I.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
1. REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS PLANO CARTESIANO: Sistema de coordenadas que consta de dos rectas dirigidas perpendiculares llamadas ejes. El eje Horizontal se llama llama EJE DE LAS ABSCISAS o EJE “ X” y el eje vertical se llama EJE DE LAS ORDENADAS o EJE DE LAS Y. +Y Q2
Q1
-X
+X Q3
Q4 -Y
UBICACIÓN DE UN PUNTO: Se ubica en el Plano Cartesiano por medio de sus COORDENADAS escritas en forma de par ordenado. A(1;3) se lee “Punto A cuyas coordenadas son 1 y 3” +Y 6
B(3;5)
5 4
r
3
a
2
A(1;3)
b
r 2=a2+b2
1
-X
1 2 3 4
5 6
+X
-Y
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Cuando se ubican dos puntos en el Plano Cartesiano, se forma un triángulo rectángulo. La distancia entre los
dos puntos recibe el nombre de RADIO VECTOR y hallar su valor consistirá en hallar el valor de la hipotenusa de dicho triángulo. 2. ELEMENTOS DE UN ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL: Su vértice coincide con el origen de las coordenadas del Plano Cartesiano.
Uno de sus lados coincide siempre con el semieje positivo de las
abscisas.
El otro de sus lados puede ubicarse en cualquier parte del plano cartesiano.
En la figura siguiente los ángulos y β están en posición normal. Y
Y P(x;y)
P(-x;y)
y α x
y X
“α” es un ángulo en Posición Normal
-X
-x
“” es un ángulo en Posición Normal
3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Sea el ángulo “” en Posición normal.
Y P(x;y)
r es el radio vector x es la abscisa y y es la ordenada
y α x
X
“α” es un ángulo en Posición Normal
Las razones trigonométricas de “” son las siguientes: sen
y
cos
x
tg
r
r
y
x
ordenada radio vector abscisa
x
r
sec
radio vector
ordenada
cot g
csc
abscisa
x
y
y
ordenada
radio vector abscisa
r
abscisa
radio vector
ordenada
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En el cuadro siguiente muestra los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante.
R.T.
I C
II C
III C
IV C
Sen
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tg
+
-
+
-
Cotg
+
-
+
-
Sec
+
-
-
+
cosec
+
+
-
-
4. VALORES QUE PUEDEN TOMAR TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS 1
≤ seno ≤ 1
coseno ∞
-∞
-1
1
+∞
≤ tangente ≤ +∞ -∞
cotangente Secante
≤-1
cosecante Secante
Cosecante
+∞
-∞
≥1
-1
1
+∞
5. EJERCICIOS 1) Se tiene el punto P (-3;4), determinar las 6 razones trigonométricas. 2) Se tiene el punto Q (-8;-6), determinar las 6 razones trigonométricas. 3) Los cuadrantes en que el Cos y Tg; tienen el mismo signo son: A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) III y IV
4) 5) Se sen = -0,8; III C. Hallar: E = tg - sec a) 3
b) -3
c) 1/3
d) – d) – 1/3
e) 6
6) Si Tg = 0,75; III C. Hallar: E = sec - tg a) 1/2
b) -1/2
c) 2
d) – d) – 2
7) Calcular la Tg en:
Y α x
(-4,-3)
8) Calcular Senβ Senβ en: Y β x
(15,-8)
e) 4
E) I y IV
II.
ANGULOS COTERMINALES 2.1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS ÁNGULOS ÁNGULOS COTERMINALES COTERMINALES EN POSICIÓN NORMAL Si dos ángulos coterminales y β están en posición normal, se cumple la siguiente propiedad: R.T.() = R.T.(β) En general: R.T.() = R.T. (n° vueltas + β) = R.T.(β) Ejemplo:
sen 415° = sen(360° +55°) = sen55° Sen 415° = sen 55°
2.2. REPRESENTACIÓN DE LOS ÁNGULOS COTERMINALES EN EL PLANO CARTESIANO
EJERCICIOS 1. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones y señalar cuales son coterminales a) Sen 405° b) Cos 80° c) Sen 45° d) Sen 1520°
2. Si: α y son ángulos coterminales. Además 90º <α <α <180º y Tg2 = -0,5. Calcular
M 5 Sen 2 Cos 2 A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
3. Si el punto P(-1;2) P(-1;2) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “” ( Q2) Hallar: E 5 Sec Tg A) 1
B) 6
4. Si el punto Q (-
C) -7 3
D) -2
E) -3
; -1) pertenece al lado final del ángulo en posición normal
“” ( Q3) Hallar: Sec . Cosec 5 3
A)
3
2 3
4 3
B) 3 3
C)
2
3
D)
E)
3
5. Si: Sen = 1/3 Calcular “Cotg . Sec” A) 2 2
B) -3
6. Siendo: Tgβ Tgβ = -0,75;
C) 3
D) – D) – 1/3
E) 1/3
B Q2. Calcular:
K = Cscβ Cscβ + Ctgβ Ctgβ A) 1
B) -1
C) -3
D) – D) – 1/3
E) 1/3
3
III.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTES
ÁNGULOS CUADRANTALES: Son aquellos ángulos que además de encontrarse en posición normal, tienen como lado final a uno de los semiejes coordenadas. Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante y sus valores son múltiplos de 90º ó /2.
3.1.
0º
90º
180º
270º
360º
0
/2
3/2
2
LAS
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
DE
UN
ÁNGULO
CUADRANTAL: Se determinan aplicando las definiciones de razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud. (x;y) 90° (0;r)
r
180° (-x;y) (-r;0)
r
r
r
270°
(-x;-y) (0;-1)
0° - 360° (x;y) (r;0)
En el siguiente cuadro se sintetizan los valores de las razones trigonométricas de los principales ángulos cuadrantales.
Ángulo
Sen
Cos
Tg
Ctg
Sec
Csc
0º
0
1
0
N.D.
1
N.D.
90º
1
0
N.D.
0
N.D.
1
180º
0
-1
0
N.D.
-1
N.D.
270º
1
0
N.D.
0
N.D.
-1
360º
0
1
0
N.D.
1
N.D.
N.D.: No se puede determinar
3.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS Y
P(x,y)
r
X
- r
P’(x,-y) P’(x,-y)
Del gráfico hallamos las razones trigonométricas tr igonométricas del ángulo y de -: Sen = y/r
Sen (-) = -y/r
Cos = x/r
Cos (-) = x/r
Tg = y/x
Tg (-) = -y/x
Ctg = x/y
Ctg (-) = -x/y
Sec = r/x
Sec (-) = r/x
Csc = r/y
Csc (-) = -r/y
Y obtenemos que: Sen = Sen (-) Cos = Cos (-) Tg = Tg (-) Ctg = Ctg (-) Sec = Sec (-) Csc = Csc (-)
EJERCICIOS 1. Sen180º . Cos + Tg0º 2. Cos90º + 4Sen270º . Sec180º 3. 2Cos . Csc 3/2 + 3Cos2 . Sen0º 4. Hallar: a) sen (-45º)
d) csc (-90º)
b) tg (-60º)
e) sec (-360º)
5. Hallar el valor numérico de:
E
Csc (270º ) 3Tg 2 60º 2 Csc 4 Ctg (60º )
6. Hallar el valor numérico de:
R
Cos(180º ) Cos 2 (45º ) Sec 2 (180º ) Tg 2 (180º )
IV.
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL I CUADRANTE
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor a 90º; es escribir el valor de su razón trigonométrica, en función de otra razón trigonométrica de un ángulo equivalente al primer cuadrante.
CASOS DE REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE: 1. Razones Trigonométricas Trigonométricas Equivalentes para Ángulos Ángulos Positivos Positivos 1 CASO Para los ángulos que tienen la siguiente forma: (180º + α) ó (360º - α), también
( + α) ó (2 - ) Entonces: R.T. (180º + α) + R.T. (α (α) R.T. (360º + α)
Ejemplos: Reducir al primer cuadrante: 1) Tg(180º - α) (180º - α) al Q2. En este cuadrante la tangente es negativa, por lo tanto al resultado se colocará el signo negativo. Así: Tg (180º - α) = -Tgα -Tgα R p t a .
2) Sen (2 + α) Sen (2 + α) al Q1. En este cuadrante el seno es positivo, luego al resultado se colocará el signo positivo. Así: Sen (2 + α) = senα senα R p t a .
2 CASO Para los ángulos que tienen la siguiente forma: (90º + α) ó (270º + α), también
3 ó 2 2 Entonces: R.T. (90º + α) = + Co - R.T. (α (α) R.T. (270º + α)
OBSERVACIÓN: “El signo (+ ó -), depende del signo que tiene la razón en el cuadrante al cual pertenece al ángulo a reducir”
Ejemplos: Reducir al primer cuadrante: 1) Sen(90º + α) (90º + α) al Q2, en este cuadrante seno tiene signo positivo, por lo que el resultado llevará este signo acompañado de la confusión del seno. Así: Sen (90º + α) = + Cosα Cosα 2) Sec(3/2-α /2-α) (3/2-α /2-α) al Q3, la secante en ese cuadrante tiene signo negativo, por lo que el resultado llevará este signo acompañado de la confusión de la secante. Así: Sec(3/2-α /2-α) = -Cscα -Cscα
EJERCICIOS 1. Reducir al primer cuadrante: a. Sen(180º - α) b. Tg (180º - α) c. Cos (2 + α) d. Ctg 410º e. Csc 275º f. Sen 5/4
2. Reducir al primer cuadrante a. Sen(90º - α) b. Tg (90º - α) c. Sec (90º - α) 3 Sec d. 2 e. Csc (270º + α) f. Tg 4/3
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Si el punto P (-5;2) es un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal “α”. “α”. Calcular: E
A)
27 5
B)
27 5
C)
29 Cos Tg
5
23
27
D)
5
21
E)
5
2) Si el punto P (5; -3) -3) es un punto que pertenece al lado final del ángulo “ ” en posición normal. Calcular:
S 3
A)
34
5
34
B)
3
Sen . Cos . Tg
C)
34
D)
3
34
E) N.A.
3) Si Tgα Tgα = -3/2 y cumpliéndose que: α Q2. Hallar el valor de: R = (Senα (Senα + Cosα Cosα)2 A) 13
B) 1/13
C) 2/13
D) 5/13
4) Si: Senα Senα = -15/17 -15/17 siendo “α” del Q4. Hallar: T
Tg Cos Sec Ctg
E) N.A.
A)
8
17
8
B)
17
C)
17
15
D)
5
7
E)
15 17
5) Si Q2 y αQ4; tal que: Cos = -3/5 y Tgα Tgα = -4/3. Hallar el valor de: K = Sen.Cosα .Cosα + Cos . Senα Senα A)
1 25
B)
24 25
C)
2 25
D)
4 25
E) N.A.
