JOHN MAMANI M.
© Cokito RM Autor: John Mamani Machaca Editado por: John Mamani Machaca E-mail:
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La sociedad actual evidencia grandes logros en el campo de los conocimientos, principalmente en lo científico y tecnológico; pero, paradójicamente, dichos avances no están al alcance de las grandes mayorías. Es el caso de la educación, la cual se ha convertido en privilegio de una minoría, cuyos fines, muchas veces, están puestos al servicio de intereses particulares. La educación, desde una concepción científica, es la formación integral de la personalidad del educando en el aspecto intelectual, moral, artístico y físico. Solo así el hombre estará en la capacidad de explicarse objetivamente la realidad, asumir una actitud crítica ante los problemas, expresar sensibilidad ante el dolor humano, profesar y aplicar principios nobles. De lo contrario, resulta un autómata, objeto de manipulación, inconsciente ante la tragedia, incapaz de comprender los procesos naturales, sociales y psíquicos. Nuestra Institución, como un centro pre-universitario y cultural, consciente de los problemas estructurales que aquejan a nuestra sociedad, los cuales no permiten instituir una educación acorde a las necesidades y objetivos del ser humano, a través de nuestra academia, contribuye una sólida formación al brindar una enseñanza académica de nivel y una producción bibliográfica de calidad. El presente Libro CokitoRM, expresión de la creatividad, originalidad e innovación, al igual que todas nuestras actividades, es producto de un trabajo planificado y organizado en función a objetivos. Está dirigido a nuestros alumnos, principalmente provenientes de los sectores populares, y a la sociedad en general, quienes emulan y practican nuestra forma de trabajo. Saludamos a los estudiantes y padres de familia quienes, a pesar de los grandes problemas sociales y económicos, con perseverancia y convicción buscan una educación de carácter científico, pues son conscientes de su rol para alcanzar una sociedad más justa y humana.
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Para ti, por los recuerdos.
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ÍNDICE Pág. Relaciones de Parentesco……...…..………………………………
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Relaciones de Tiempo……….....…..………………………………
21
Verdades y Mentiras……….....…..…………….…………………
33
Orden de Información……….....…..………………………………
41
Razonamiento Inductivo……...…..…………………………………
56
Sistemas de Numeración……...….…………………………..…….
83
Criptoaritmética……...…..………………………….……….......…
137
Sucesiones……...…..………….………………….……….......……
175
Analogías y Distribuciones……...…..……...…….………..............…
208
Series……..………….………………....…….…..…….…….......…
234
Sumatorias…….…............…….…..…………….……….….........…
292
Cuatro Operaciones……............…….…..…………….……........…
322
Métodos Prácticos…….............…….…..…………….…..….........…
341
Planteo de Ecuaciones…….............….…..…………….……........…
373
Edades…….............….…..…………….……………………........…
413
Cronometría…….............….…..……….……………………........…
457
Promedios…….............….…..……….…………………...…........…
474
Operadores Matemáticos…….............….……….…………........…
485
Operadores Binarios…….............….…………….…………........…
550
Conteo de Figuras.......….……………..…………….……….......…
572
Áreas Sombreadas y Perímetros…….....………..….………........…
582
Análisis Combinatorio………............….….…………………........…
644
Probabilidades……............…..……….…………….………........…
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Relaciones de Parentesco CAPÍTULO I En este tema es necesario conocer las relaciones de parentesco entre los miembros de una familia.
VÍNCULOS CONSANGUÍNIOS Padres, hijos, hermanos, abuelos, bisabuelos, nietos, bisnietos, tíos, sobrinos, primos…
VÍNCULOS LEGALES (AFINIDAD) Esposos, sueros, yernos, concuñados, consuegros…
nueras,
cuñados,
Veamos el siguiente esquema familiar:
Juan
Zoila
Audina
hermanos Lisbeth
Christian
Álex
Jéssica
hermanas Mathías
Alejandra
Gabriela
Se observa lo siguiente: Juan y Audina son consuegros. Zoila es suegra de Christian. Lisbeth y Jéssica son concuñadas. Audina es abuela de Mathías. Alejandra es sobrina de Lisbeth. Mathías y Gabriela son primos. Christian es cuñado de Jéssica. Zoila no tiene ninguna relación de parentesco con Jéssica. Lisbeth es la nuera de Audina. Álex es el tío de Mathías.
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TIPOS DE PROBLEMAS A. PROBLEMAS FAMILIARES
SOBRE
RELACIONES
En este tipo de ejercicios, es necesario reconocer las relaciones de parentesco que hay entre los miembros de una familia. Observación En los problemas donde se quiere encontrar la relación de parentesco entre dos personas, se puede tener en cuenta lo siguiente: Lea atentamente e identifique una relación directa o una persona de referencia. … su única hermana. … la madre de Pedro. Continúe la lectura, en forma regresiva, hasta establecer la relación familiar que tiene con la persona de referencia. ¡Tenga en cuenta que…! Otro de los criterios para resolución de este tipo de problemas es establecer mediante un gráfico el árbol genealógico familiar de una persona de referencia e ir determinando las relaciones de parentesco, comenzando por la parte final del enunciado hasta determinar la primera persona (relación de parentesco) ubicada en el enunciado. Ejemplo 01 ¿Qué viene a ser de mí la madre del hijo de la esposa de mi padre?
Resolución Empleamos el procedimiento regresivo. La madre del hijo de la esposa de mi padre. mi madre
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JOHN MAMANI M. La madre del hijo de mi madre yo o mi hermano
BETO
La madre de yo o mi hermano mi madre
Por lo tanto, la madre del hijo de la esposa de mi padre es mi madre. PABLO
B. PROBLEMAS SOBRE CANTIDAD MÍNIMA DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA En este tipo de ejercicios, se debe tener en cuenta que cada integrante de la familia puede asumir la mayor cantidad de roles familiares. Por ejemplo, una persona al ser abuela ya es madre. Observación En este tipo de problemas, se sugiere iniciar reconociendo la máxima cantidad de generaciones que integran la familia. padre – hijo: 2 generaciones abuelo – padre – nieto: 3 generaciones bisabuelo – abuelo – padre – bisnieto: 4 generaciones Y así sucesivamente. Luego, para que la cantidad de personas sea la menor posible, debemos buscar que cada integrante asuma la mayor cantidad de roles familiares (por ejemplo: padre, tío, hijo, hermano, cuñado, esposo, etc.) ¡Tenga en cuenta que…! En los problemas sobre cantidad mínima de personas, se sugiere iniciar reconociendo la cantidad de generaciones que integran la familia (2; 3 o más), luego ubicar la cantidad de integrantes que pertenecen a la generación de mayor jerarquía (primera generación) y a la menor jerarquía (última generación), completando el resto de las relaciones de parentesco. Para estos casos de cantidad mínima de personas, debe tener en cuenta el siguiente ejemplo.
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JUAN
LILIAN
Beto es padre, abuelo y suegro. Juan es hijo, padre, hermano y esposo. Lilian es madre, nuera, cuñada y esposa. Ejemplo 02 Una familia está compuesta por un padre, una madre, un hijo, un suegro, una suegra, una nuera, dos esposos y dos esposas. ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia?
Resolución De los datos se deduce que solo hay dos generaciones en esta familia. − padre − suegro − esposo
− hijo − esposo
− madre − suegra − esposa − esposa − nuera
El mínimo número de personas es: 4 GLOSARIO Yerno. Respecto de una persona, el esposo de su hija. Nuera. Respecto de una persona, la esposa de su hijo. Tío abuelo. Respecto de una persona, el hermano de su abuelo Consuegro. Padre o madre de una de dos personas unidas en matrimonio, respecto del padre o madre de la otra. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. RELACIONES FAMILIARES PROBLEMA 01 ¿Qué parentesco tiene conmigo Rocío, si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre? a) sobrina b) hija c) hermana d) prima e) nieta
la hija de la esposa de Yo mi esposa
la hija de mi esposa mi hija
Graficado:
Resolución Relacionando de forma vertical los que tienen distinto parentesco y los que tienen similar e igual parentesco de forma horizontal.
Mamá El único vástago de mi madre
Mi madre
Yo
Mamá de Rocío
Hermanos
Tio - sobrina
Rocío
Esposa
Yo
única hija
Padre - hija
Hija
∴ Hija
∴ Sobrina
PROBLEMA 03 PROBLEMA 02 ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) nieta b) hija c) hermana d) sobrina e) prima
Resolución En este problema se tiene que analizar el enunciado del problema de forma inversa (de adelante para atrás). A continuación se da el análisis del enunciado del problema, además de la gráfica. Analizando: … esposa del único vástago de mi madre
Juan es el padre de Carlos, Oscar es hijo de Pedro y a la vez hermano de Juan. ¿Quién es el padre del tío del padre del hijo de Carlos? a) Carlos b) Oscar c) Pedro d) Juan e) tío de Juan
Resolución Graficando parte del enunciado, tenemos: Pedro Padre Juan Padre
hermanos
Oscar Tío de Carlos
Carlos
Yo
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JOHN MAMANI M. Analizando la pregunta del enunciado: ¿Padre del tío del padre del hijo de Carlos ? Carlos ¿ Padre del tío del Carlos ?
Oscar Pedro
a) hermana d) tía
b) hija e) sobrina
c) prima
Resolución Analizando: Como “mi abuela tuvo una hija solamente” la hija del nuero de la mamáde mi madre mi abuela la hija del nuero de mi abuela
¿ Padre Oscar del ? Pedro
∴ Pedro
mi papá
la hija de mi papá soy yo - mi hermana
PROBLEMA 04 Mi nombre es Rocío y mi hermana es Yuli, además mi abuela tuvo una hija solamente. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija del nuero de la mamá de mi madre?
De las alternativas: hermana
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Qué parentesco tengo con el único hermano del hijo de mi padre? a) yo mismo b) mi primo c) mi abuelo d) mi padre e) mi tio
05. ¿Qué representa para JohnsRM el único nieto del abuelo del padre de JohnsRM? a) El mismo b) El nieto c) Su hijo d) Su papá e) Su abuelo
02. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) mi hermana b) mi sobrina c) mi hija d) mi abuela e) mi madre
06. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) hija b) madre c) tía d) sobrina e) esposa
03. ¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mama de mi madre? a) mama b) suegra c) cunada d) tia e) prima
07. La mamá de Samuel es la hermana de mi madre. ¿Qué representa para mí el abuelo del gemelo de Samuel? a) Mi hermano b) Mi sobrino c) Mi tío d) Mi hijo e) Mi abuelo
04. ¿Qué relación de parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) su padre b) su esposo c) su hijo d) su tío e) su abuelo
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08. Juan se jactaba de tratar muy bien con la esposa del suegro de la mujer de su hermano ¿por qué? a) es su hermana b) es su hija c) es su tío d) es su mamá e) es su abuela Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 09. El único tío del hijo de la hermana del esposo de mi padre es mi: a) Hermano b) Tío c) Abuelo d) Primo e) Padre
16. Si el hijo de JohnsRM es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo con JohnsRM? a) Es mi suegro b) Es mi tío abuelo c) Es mi abuelo d) Es mi primo e) Es mi yerno
10. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi abuela, si yo soy el único hijo varón? a) Hermana b) Tía c) Sobrina d) Prima e) Hija
17. Paulina es hija de Andrés, quien es el esposo de Carmen. Si Carolina es hija de Paulina, entonces podemos decir que Carolina es para Carmen a) su madre. b) su nieta. c) su abuela. d) su hija. e) su hermana.
11. JohnsRM es padre de Mariana, Heber es hijo de Antonio y a la vez hermano de JohnsRM. ¿Quién es el padre del tío del padre del hijo de Mariana? a) Walter b) Antonio c) Heber d) Su hermano e) Su primo 12. Mi nombre es JohnsRM, ¿qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? a) Mi amigo b) Mi primo c) Mi padre d) Mi hermanastro e) Ninguna relación 13. Si el hijo de Manuel es el padre de mi hijo. ¿Qué parentesco tengo con Manuel? a) es mi esposo b) es mi amante c) es mi tío d) es mi suegro e) ninguna 14. La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana, ¿Qué relación de parentesco tiene conmigo? a) mi hermana b) mi sobrina c) mi tía d) mi hija e) mi esposa 15. Mi nombre es Micaela, ¿qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? a) Es mi hermano b) Es mi tío c) Es mi abuelo d) Es mi primo e) Es mi padre Academia GAUUS
18. ¿Qué parentesco tiene Toribio con la hija de la esposa del único vástago de su madre? a) hijo – madre b) abuelo – nieta c) tío – sobrina d) padre – hija e) primos 19. Si el hijo de Pedro es primo de Juan, ¿qué es para Pedro el hijo del hermano de Juan? a) su tío b) su abuelo c) su padre d) su tío abuelo e) su primo 20. Si soy el hijo de la esposa del hijo único de la abuela de Lilian, entonces el primo de Lilian es mi a) hermano. b) primo. c) cuñado. d) tío. e) padre. 21. La señorita María, cuyo padre es hijo único, al mirar el retrato de un hombre dijo: La madre de ese hombre es la suegra de mi madre. ¿Qué parentesco hay entre la señorita María y el retrato del hombre? a) hija – padre b) nieta – abuelo c) sobrina – tío d) nuera – suegra e) esposa – esposo 22. Lilian es sobrina de Juan. Si Juan no tiene hermanos y su única hermana se ha casado con José, ¿qué parentesco hay entre Lilian y José, respectivamente?
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JOHN MAMANI M. a) primos c) hija – padre e) madre – hijo
b) hermanos d) nieta – abuelo
23. El único hermano del padre del esposo de la única hermana de mi padre es Álex. ¿Qué es de la hermana de mi padre el hermano de Álex? a) su abuelo b) su papá c) su tío d) su suegro e) su tío abuelo 24. Si Anibal es el hijo de la hermana de la madre de Amelia, ¿qué parentesco existe entre el hijo de Amelia y Anibal? a) sobrino – tío b) nieto – abuelo c) hijo – padre d) primos e) hermanos 25. ¿Qué relación de parentesco existe entre el abuelo paterno del hijo de mi hermana y la única cuñada de la tía de mi único sobrino? Considere que yo soy soltero y solo tengo una hermana. a) padre – hija b) tía – sobrino c) abuelo – nieta d) madre – hijo e) suegro – nuera 26. ¿Qué viene a ser de Mario la suegra de la esposa del único hermano del abuelo de la mamá de su hermana? a) bisabuela b) abuela c) cuñada d) tatarabuela e) madre 27. ¿Qué viene a ser del hijo de José, la suegra de la esposa del único hermano del padre de la mamá de la esposa de José? a) su bisabuela b) su tatarabuela c) su abuela d) su cuñada e) su madre 28. ¿Qué parentesco tiene con Johns, la única hermana de la suegra de la esposa del padre de su hermana?
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a) su tía – abuela c) su madre e) su suegra
b) su abuela d) su bisabuela
29. El hijo del único primo de mi único sobrino, ¿qué viene a ser del papá del padre de mi nieto? Considere que yo solo tengo un hermano y mi esposa es hija única. a) su hermano b) su nieto c) su padre d) su hijo e) su sobrino 30. La mamá de Sofía es suegra del único hijo de Roberto. ¿Qué viene a ser el hijo del único hijo de Roberto respecto de la madre de la hija de Sofía si Sofía es hija única? a) yerno b) hijo c) nieto d) hermano e) abuelo 31. ¿Qué es, con respecto a mí, la única hermana del cuñado del único hijo del abuelo paterno del yerno del esposo de la madre de la única hermana, de 6 años, de mi esposa? Considere que mi padre es hijo único. a) mi hermana b) mi tía c) mi madre d) mi prima e) mi abuela 32. ¿Qué es de mi hermana, la sobrina de la única cuñada del tío del único tío del hijo de mi hermana? Considere que mi madre es hija única. a) su nieta b) su hija c) su prima d) su sobrina e) su hermana 33. ¿Qué relación existe entre la esposa del nieto de la hermana de mi hermano, y la hermana del hijo de la hija de mi único cuñado si mi única hermana tiene una sola hija y yo soy soltero? a) abuela – nieta b) cuñadas c) madre – hija d) hermanas e) sobrinas – tía Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 34. Si mi primo y yo somos hijos únicos y mi padre no tiene hermanos ni hermanas, ¿qué representa el padre del tío del único primo del único sobrino de la abuela paterna del único sobrino de mi primo respecto del único cuñado del tío abuelo de mi hijo? a) su yerno b) su padre c) su tío d) su suegro e) su hijo 35. Si mi padre fuese hijo único, A sería el hijo del hijo de la suegra de la esposa del único cuñado de mi padre. Si mi madre fuese hija única, B sería la madre de la única cuñada de mi tía. ¿Qué relación de parentesco existe entre la madre de A y el hijo de B? a) cuñados b) hermanos c) primos d) esposos e) sobrina – tío 36. Sonia le dice a María: Tú tienes el mismo parentesco con mi hija, que el que Gloria tiene conmigo, y María le responde: Es cierto, y tú tienes el mismo parentesco conmigo, como el que yo tengo con Gloria. Entonces es cierto que a) María es hermana de Gloria. b) Sonia es hija de María. c) Gloria es madre de Sonia. d) Sonia es tía de María. e) Gloria es hija de Sonia. 37. Si José tiene un solo hermano, ¿quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la esposa del hijo del padre de José que no es el tío del hijo de José? Considere que la esposa de José es hija única. a) su padre b) su tío c) su cuñado d) su hijo e) José
a) O bien ahijados o bien hijos. b) Ambos, sus sobrinos naturales. c) Uno, su sobrino natural; el otro, su ahijado. d) Uno, su sobrino político; el otro, su ahijado. e) Uno, su sobrino natural, el otro, su sobrino político. 39. Alberto le dice a Carlos: Benito tiene el mismo parentesco contigo que el que yo tengo con tu hijo; a lo que responde: y tú tienes el mismo parentesco conmigo que Benito contigo. ¿Cuál es el parentesco entre Carlos y Benito? a) nieto – abuelo b) sobrino – tío c) tío – sobrino d) primos hermanos e) hijo – padre 40. El matrimonio Silva tiene 3 hijos: Jorge, Nancy y Antonio. El matrimonio Álvarez tiene 4 hijos: Rosa, Carmen, Pablo y Walter. Y, finalmente, el matrimonio Castro tiene 2 hijos: Elena y Estela. Antonio se casó con una de las hijas de la familia Álvarez, matrimonio del cual nacen Alejandro y Juana. Walter se casó con Elena, matrimonio del cuál nace Víctor. La tía, por parte de madre, de Víctor se casa con el señor Manuel Ramirez, con quien tiene una hija llamada Betty, la que con el tiempo llega a casarse con Alejandro Silva Álvarez, y tiene un hijo llamado Ernesto. ¿Qué viene a ser de Ernesto la mamá de Jorge Silva? a) tatarabuela b) tía c) abuela d) tía abuela e) bisabuela
38. Pedro es concuñado de José porque su única hermana se ha casado con el único hermano de este. Si Juan es hermano de José, entonces, ¿qué resultan ser el hijo de Pedro y el hijo de José en relación con Juan? Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M. CANTIDAD MÍNIMA DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos. ¿Cuál es el menor número de personas que pueden trabajar en esa fábrica? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Atendiendo en un almuerzo, el mozo de un restaurante preguntó a una familia: “¿Cuántos son?” El papá contestó: “somos padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos”. ¿Cuál es el mínimo número de personas en esa familia? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Resolución En primer lugar, no nos olvidemos de atribuir las mayores características posibles a las personas para que su número sea mínimo. Analizando, tenemos Bisabuelo y padre a la vez
Resolución Aparentemente se trata de una familia numerosa; pero… ¡cuidado!..., preguntan por la cantidad mínima, no se deje llevar por la apariencia, pues son solamente 4, ¿Por qué? Observa el siguiente esquema, la resolución se aprecia mejor con un cuadro:
Hermanos
Abuelo, padre e hijo a la vez
Padre Tío
Tía Madre
Padre e hijo a la vez
Hija
Hijo Hijo
Primos ∴ El mínimo número de personas es: 4
∴ Número de personas: 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. La familia Romero consta de madre, 2 hijas, 2 hermanas. ¿Cuantas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Mi hermana Ana tiene 2 hermanos y cada hermano tiene una hermana. ¿Cuántos son en la familia si contamos también a nuestros padres?
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a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
03. La familia Daza consta de un padre, una madre, 3 hijos y cada hijo tiene una hermana. ¿Cuantas personas, como mínimo forman esta familia? a) 6 b) 2 c) 8 d) 10 e) 4 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 04. A una fiesta asistieron 1 padre, 1 tío, 1 hijo, 1 sobrino y 2 primos. ¿Cuántas personas como mínimo fueron a esa fiesta? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 05. Halla el menor número de personas que conforma una familia, si en ella hay 1 abuelo, 2 esposos, 2 nietos, 3 hijos y 2 hermanos. a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 06. Una familia consta de 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 2 hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, 2 nietos, una nieta, 4 esposos y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 8 b) 9 c) 10 d) 6 e) 7 07. Halla el menor número de integrantes de una familia que tiene: 2 esposos, 2 esposas, 2 hermanos, 2 hermanas, 2 hijos, 2 primos, 2 sobrinos, 2 tíos, 2 tías y 4 cuñados. a) 12 b) 10 c) 4 d) 6 e) 8 08. Una pareja de ratones da una vez por mes una cría de dos ratoncitos (macho y hembra); al cabo de dos meses de nacimiento, los ratoncitos recién nacidos ya dan cría. ¿Cuántos ratones habrá al cabo de 3 meses? a) 14 b) 10 c) 12 d) 6 e) 8 09. En una cena familiar se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿cuántas personas como mínimo están compartiendo la cena? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. En un almuerzo estaban presentes: padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor número de personas presentes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Academia GAUUS
11. En una reunión se encuentran 1 abuelo, 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuantas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos, ¿cuál es el menor número de personas que pueden trabajar en esa fábrica? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. En una reunión familiar se encuentran presentes una abuela, dos madres, un padre, dos hermanos, un esposo, una esposa, un cuñado, una cañada, un tío, tres hijos, un sobrino y un nieto. ¿Cuántas personas hay como mínimo en dicha reunión? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 14. Una familia consta de 2 padres, 2 madres, 3 hijos, 2 hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, 2 nietos, una nieta, 2 esposos y una nuera. ¿Cuál es el mínimo número de personas en dicha familia? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. Los esposos Álvarez tienen 4 hijos (varones), cada hijo tiene una hermana y cada hermano tiene 3 sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia? a) 9 b) 10 c) 15 d) 17 e) 22 16. ¿Cuántas personas como mínimo hay una reunión familiar si se observa a un abuelo, un padre, una madre, dos hijos, dos hijas, dos hermanos, dos hermanas, un tío, un nieto y una nieta? a) 6 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4 17. En el cumpleaños de las mellizas Angélica y Anita se encontraban presentes dos abuelos,
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JOHN MAMANI M. una abuela, dos padres, dos madres, dos hermanas, dos suegros, una suegra, un yerno, una nuera, un tío, dos cuñados, dos hijos, tres hijas. ¿Cuántas personas como mínimo se encontraban reunidas incluyendo a las mellizas? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12 18. Dos abuelas, dos abuelos, tres padres, tres madres, dos suegras, dos suegros, cuatro hijas, cuatro hijos, un yerno, una nuera, tres hermanas y tres hermanos, consumieron en un almuerzo familiar cinco ciruelas cada uno. ¿Cuántas ciruelas se consumieron, como mínimo, en esta reunión familiar? a) 55 b) 50 c) 60 d) 48 e) 65 19. En una reunión familiar se encuentran presentes un abuelo, dos padres, una madre, dos hijos, un esposo, una esposa, un hermano, una hermana, una nuera, un suegro, dos cuñados, un tío, un sobrino y un nieto. ¿Cuántas personas hay, como mínimo en dicha reunión? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. En una familia, cada hermano tiene 4 hermanas y 4 hermanos, y cada hermana tiene 5 hermanos y 3 hermanas. ¿Cuántos hijos son en total? a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 15 21. En una reunión se encuentran 2 padres, 2 madres, un nieto, un hijo, una hija, un abuelo, una abuela, un yerno, un suegro y una suegra. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? a) 3 b) 5 c) 8 d) 10 e) 12 22. En una reunión familiar se encuentra 3 padres, 3 hermanos, 3 tíos, 3 sobrinos y 3 primos. ¿Cuál es el menor número de asistentes a dicha reunión?
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a) 5 d) 9
b) 7 e) 4
c) 6
23. Una familia está compuesta por 2 hijos, un padre, una madre, 2 hermanos, 2 hermanas, 2 sobrinos, una tía, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia? a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 24. En una reunión hay 3 padres, 2 hermanas, 2 primos, 3 hijos, 3 tíos, 2 sobrinos, un nieto, un abuelo y un tío abuelo. ¿Cuántas personas, como mínimo están presentes en la reunión? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 25. En una reunión familiar se observa a un abuelo, una abuela, tres padres, dos madres, dos tíos, una tía, cuatro hijos, una hija, un suegro, una suegra, un cuñado, una cuñada, dos nietos, dos sobrinos, dos primos, un yerno y una nuera. Si Luchito es uno de ellos, ¿cuántas personas como mínimo lo acompañan? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 26. En una reunión por el onomástico de Luis se encontraban reunidos dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres esposas, un hermano, una hermana, dos hijos, dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos suegras, tres madres, tres padres, un yerno y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 27. En una reunión familiar se observa que hay un abuelo, una abuela, un yerno, una nuera, un suegro, una suegra, 4 hijos, 2 hijas, 2 tíos, 2 tías, 3 primos, una prima, 3 hermanos, 3 nietos y una nieta. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran reunidas? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 7 d) 10
b) 8 e) 12
c) 9
28. Los esposos José y Elena tienen 4 hijos: Carlos es el hijo único del hijo mayor de José, Ana es la única hija de la única hija de Elena, Pedro es el único hijo del hijo menor de José, y los hijos del otro hijo de José son César y Cristina. ¿Cuántos sobrinos y sobrinas en total tiene el hijo menor de José y Elena y cuántos primos y primas en total tiene César? Dé como respuesta la suma de los resultados. a) 4 b) 8 c) 5 d) 7 e) 6 29. Los esposos Wálter y Marcela tienen 3 hijos. Sandra y Marcos son hijos del hijo de Marcela. Nicolás y Gabriela son hijos del hijo de Wálter. Si los hijos del otro hijo de Wálter son tres, y Marcela con Wálter antes de su matrimonio no tuvieron ningún hijo, ¿cuántos primos, como mínimo, tiene Gabriela? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 30. En la oficina de una compañía de seguros se encuentran 5 hermanos, 5 padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos y 5 primos; para firmar sus respectivos contratos, el menor número de contratos que firmaron fueron: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 11 31. La familia Orozco está conformada por el padre, madre y 8 hijas y se sabe que cada hija tiene un solo hermano. ¿Cuántas personas hay en dicha Familia? a) 20 b) 11 c) 18 d) 12 e) 10 32. En una familia hay 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 3 madres, 2 sobrinos, 1 sobrina, 1 tío, 2 tías, 2 nietos, 1 nieta, 1 nuera, 1 suegro, 1 suegra, 2 cuñadas, 2 primos, 1 prima, 3 hijos y 2 hijas. Indicar el mínimo número de personas presentes. Academia GAUUS
a) 5 d) 8
b) 6 e) 21
c) 7
33. ¿Cuál es el menor número de niños (en total) que puede haber en una familia, si cada niño o niña tiene al menos un hermano y una hermana? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 34. El nieto de mis padres es uno de mis sobrinos y tengo tres sobrinos más, que ninguno de ellos son hermanos entre sí. Si todos los hijos viven con sus padres biológicos, ¿cuántos hijos e hijas tienen, como mínimo, mis padres? a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 35. En una reunión familiar están presentes dos abuelos, dos abuelas, tres padres, tres madres, tres hijos, tres hijas, dos suegras, dos suegros, un cuñado, una cuñada, un yerno, una nuera, tres hermanos, un tío, dos nietas, un nieto y dos hermanas. ¿Cuántas personas se encuentran, como mínimo, en dicha reunión? a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 7 36. Durante un viaje me encontré a una familia que estaba integrada por dos hermanos, dos esposos, dos esposas, cuatro hermanas, dos cuñados, dos cuñadas, un padre, una madre, dos hijas, un tío, una tía, dos concuñados, dos concuñadas y dos sobrinas. ¿A cuántas personas de esa familia, como mínimo, conocí en aquel viaje? a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10 37. En una reunión familiar se encuentran presentes un bisabuelo, dos abuelos, una abuela, tres padres, dos madres, dos suegros, dos nueras, dos nietos, un bisnieto y tres hijos. ¿Cuántas personas, como mínimo, hay en dicha reunión familiar?
19
JOHN MAMANI M. a) 4 d) 6
b) 9 e) 7
c) 8
38. En un avión viajan dos padres, dos madres, tres hijos, un abuelo, una abuela, un tío, un sobrino, dos hermanos, un nieto, una suegra, un suegro, una nuera, una cuñada y un cuñado. ¿Cuántas personas, como mínimo, viajan en dicho avión? a) 4 b) 7 c) 6 d) 8 e) 5 39. Observé en una reunión familiar que había dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres esposas, un hermano, una hermana, dos hijos, dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos suegras, tres madres, tres padres, un yerno y una nuera. ¿Cuántas personas, como mínimo, integran la familia que observé? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 40. Cuando mi familia decidió viajar por vacaciones al Cusco se contrató un bus. Mi familia está conformada por un abuelo, una abuela, dos padres, tres madres, dos nietos, tres hijos, dos hijas, tres hermanas, un hermano, dos tíos, dos tías, tres sobrinos, dos primos, un tío abuelo, un sobrino nieto, un esposo y una esposa. Si el bus dispone de 20 asientos y cada integrante de la familia ocupó un asiento, ¿Cuántos asientos, como máximo, quedaron vacíos? a) 10 b) 14 c) 11 d) 13 e) 12 41. En una reunión familiar Ítalo observó que habían dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres esposas, un hermano, una hermana, dos hijos, dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos suegras, tres madres, tres padres, un yerno y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo integran la familia de Ítalo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
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42. En una reunión familiar están presentes un abuelo, dos tíos abuelos, una nieta, dos tíos, dos primas, una sobrina nieta, dos primos, dos primas, dos hermanos, un esposo, una esposa, tres padres, una madre, tres hijas, un suegro, un yerno, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 43. Me preguntaron cuántos hermanos tengo y respondí: Tengo 10, pero conmigo no somos 11, porque somos 9 y somos 3, y además, porque soy el último y el primero. ¿De cuántas personas se habla? a) 10 b) 11 c) 12 d) 8 e) 9 44. En una reunión familiar se encuentran presentes 2 padres, 3 madres, 2 hijos, 2 hijas, un hermano, una hermana, un tío, 2 tías, un sobrino, una sobrina, 2 primos (en total), un nieto, una nieta, un abuelo, una abuela, 2 cuñadas, un suegro y una nuera. ¿Cuántas personas, como mínimo, hay en dicha reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 45. En el aniversario de bodas de los abuelos de Iván se observó a 2 abuelos, 2 abuelas, 2 primas, un primo, 3 hijos, 3 hijas, 4 padres, 3 madres, un yerno, una nuera, 2 suegros, 2 suegras, 2 tíos, una tía, 2 hermanas, 2 hermanos, 2 sobrinas, un sobrino, 2 nietas y un nieto. ¿Cuál es el mínimo número de personas presentes en dicho aniversario? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
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JOHN MAMANI M.
Relaciones de Tiempo CAPÍTULO II PROBLEMAS SOBRE VARIACIÓN DE DÍAS En este tipo de problemas debes determinar qué día de la semana fue, es o será, debido a cierta variación de días respecto a un día de referencia (generalmente hoy). Regla práctica A. Equivalencias numéricas
+ 3 < > jueves Es decir, dentro de 3 días será jueves. −3
−2
−1
0
+1
+2
+3
V
S
D
L
M
M
J
Nos piden: x < > − 1
−2
−1
0
+1
anteayer
ayer
hoy
mañana
+2 pasado
mañana
¡Tenga en cuenta que…! Anteayer <> –2 Ayer <> –1 Hoy <> 0 Mañana <> + 1 Pasado mañana <> + 2 ¡Recuerde que…! En los enunciados, podemos encontrar términos que no necesariamente son los que habitualmente se utilizan para representar variación de días (mañana, pasado mañana, …), entre ellos tenemos: Anteayer <> hace 2 días Ayer <> el día que precede <> el día que antecede <> el día anterior Mañana <> el día posterior <> el siguiente día <> el día que sigue Pasado mañana <> el día que subsigue Ejemplo 01 Si dentro de 6 días del ayer del subsiguiente día del día que precede al mañana de hace 4 días es jueves. ¿Qué día fue ayer? Academia GAUUS
Resolución Dato: + 6 − 1 + 2 − 1 + 1 − 4 < > jueves
x < > domingo B. Para determinar qué día de la semana fue hace n días o será dentro de n días, podemos utilizar la siguiente regla práctica. Dividida el número de días n entre 7 utilice el resto. Ejemplo 02 Si hoy es sábado, ¿Qué día fue hace 124 días?
Resolución − 124 días
124 7 5 17
SÁB.
o
LUN.
7− 5
Por lo tanto es lunes.
PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS En este tipo de problemas se determinara el día y/o fecha en un mes que cumpla ciertas condiciones. Se debe tener en cuenta la cantidad de días que tiene cada mes. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. 31 28 31 30 31 30 29 Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. 31 31 30 31 30 31
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JOHN MAMANI M. ¡Recuerde que…! En problemas sobre calendarios No hay dos meses seguidos que tengan 30 días cada uno. Si un mes tiene más lunes que otros días de la semana, dicho mes tiene 29 días y el primero cae lunes. Si un mes tiene más lunes y martes que otros días de la semana, dicho mes tiene 30 días y el primero cae lunes. Si un mes tiene más jueves, viernes y sábados que otros días de la semana. Dicho mes tiene 31 días y el primero cae jueves. Ejemplo 03 En un determinado mes existe 5 miércoles y 5 viernes. ¿Cuál es la suma del número correspondiente al tercer domingo del mes y el número de días de dicho mes?
Resolución Como los días son consecutivos, decir que existen 5 miércoles y 5 viernes implica que también deben existir 5 jueves. Ahora, si el mes tiene 5 miércoles, 5 jueves y 5 viernes, entonces dicho mes tiene 31 días e inicia un día miércoles. Así. L
Reconocimiento de un año bisiesto
o cd= 4 → abcd es bisiesto abcd , si cd ≠ 00 o año cd ≠ 4 → abcd no es bisiesto
o ab= 4 → abcd es bisiesto abcd , si cd = 00 o año ab ≠ 4 → abcd no es bisiesto
Variación del día de la semana de un año a otro Esquema para una misma fecha + n años
M
M J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
AÑO A
AÑO B
variación de días
(n + x ) días n° de años
Nos piden: 19 + 31=50
PROBLEMAS SOBRE VARIACIÓN DEL DÍA DE LA SEMANA A TRAVÉS DE LOS AÑOS
n° de años bisiestos
Además
n° de años ultimo bisiesto − primer bisiesto = bisiestos +1 4
Para determinar cómo varían los días de una fecha en la sucesión de años, debemos considerar lo siguiente. AÑO COMÚN o
AÑO BISIESTO o
365 días <> 7 + 1 366 días <> 7 + 2 Por cada año Por cada año transcurre un día transcurre dos días Febrero: 28 días Febrero: 29 días
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JOHN MAMANI M. VARIACIÓN DE DÍAS PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Si el mañana de ayer fue miércoles, ¿Qué día fue el pasado mañana de ayer de hace tres días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Si el anteayer de pasado mañana del día que precede al ayer del anteayer de mañana es viernes, ¿Qué día sea el ayer del pasado mañana del subsiguiente día de hoy? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Resolución Dato: + 1 − 1 <> miércoles 0 <> miércoles Es decir, hoy es miércoles.
Resolución
−2
−1
0
+1
+2
L
M
M
J
V
Dato: − 2 + 2 − 1 − 1 − 2 + 1 <> viernes − 3 <> viernes Es decir, hace tres días era viernes.
Nos piden: x <> + 2 − 1 − 3 x <> − 2 x <> lunes
−3
−2
−1
0
+1
+2
+3
V
S
D
L
M
M
J
Nos piden: x <> − 1 + 2 + 2 x <> + 3 x <> jueves
PROBLEMA 02 Si el pasado mañana de mañana del anteayer de ayer de hace tres días fue lunes, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Resolución
PROBLEMA 04 Si hoy es domingo, dentro de 187 días, ¿Qué día será? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Dato: + 2 + 1 − 2 − 1 − 3 <> lunes
Resolución
− 3 <> lunes Es decir, hace tres días era lunes. −3
−2
−1
0
L
M
M
J
Nos piden: x <> − 1 + 2 x <> + 1 x <> viernes
Academia GAUUS
+1
+2
+3
V
S
D
Procedemos a dividir 187 entre 7 y utilizamos el resto. + 187 días
DOM.
o
VIER.
7 + 5 días
Por lo tanto, será viernes
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05 Si el mañana de anteayer es lunes, ¿Qué día de la semana será dentro de 53 días? a) sábado b) martes c) miércoles d) jueves e) domingo
Luego Procedemos a dividir 53 entre 7 y utilizamos el resto. + 53 días
MAR.
Resolución
o
SÁB.
7 + 4 días
Primero hallemos que día es hoy Dato: + 1 − 2 <> lunes − 1 <> lunes Es decir, hace tres días era viernes.
Por lo tanto, será sábado
−2
−1
0
+1
+2
D
L
M
M
J
Entonces hoy es martes.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si hoy es lunes, ¿qué día será el ayer de pasado mañana? a) lunes b) miércoles c) jueves d) martes e) viernes 02. Si el ayer de pasado mañana es martes, ¿qué día será el subsiguiente día de ayer? a) lunes b) miércoles c) jueves d) martes e) domingo 03. Si el mañana de ayer es jueves, ¿qué día será el anteayer de pasado mañana? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) sábado 04. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue anteayer? a) domingo b) lunes c) jueves d) miércoles e) martes
a) lunes d) domingo
b) jueves e) miercoles
c) martes
07. Si el viernes es el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana de anteayer de pasado mañana? a) lunes b) martes c) miercoles d) jueves e) viernes 08. Si anteayer fuera hoy, mañana sería miércoles, ¿qué día será pasado mañana? a) jueves b) sábado c) miercoles d) domingo e) viernes 09. Si el viernes es el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana de anteayer de pasado mañana? a) jueves b) sábado c) miercoles d) domingo e) viernes
05. Si el ayer de mañana es domingo, ¿qué día será el mañana de ayer de pasado mañana? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) martes
10. Si el lunes es el martes del miércoles, el jueves es el viernes del sábado, ¿qué día es el domingo del lunes? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) sábado
06. Si el anteayer de dentro de cuatro días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana del ayer de dentro de tres días?
11. El mañana del pasado mañana del anterior día al día anterior al anteayer a hoy es equivalente al
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JOHN MAMANI M. a) ayer. d) hoy.
b) mañana. c) anteayer. e) pasado mañana.
12. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 13. Si el ayer del pasado mañana del mañana es el mañana del pasado mañana del jueves, ¿qué día será dentro de 5 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 14. Si el pasado mañana del ayer del pasado mañana del mañana es el ayer del anteayer del mañana del jueves, ¿qué día será el mañana del inmediato anterior de hace dos días? a) martes b) viernes c) lunes d) jueves e) miércoles 15. Si el ayer del mañana del subsiguiente día será viernes, ¿qué día de la semana será el mañana del pasado mañana del día que antecede al día que precede a hoy? a) domingo b) jueves c) martes d) miércoles e) viernes 16. ¿Qué día de la semana fue hace tres días del pasado mañana del mañana del ayer del anteayer de mañana de anteayer, si hoy es viernes? a) sábado b) jueves c) domingo d) lunes e) martes 17. ¿Qué día fue el ayer del anteayer del pasado mañana del subsiguiente día al día anterior del que precede al que antecede al posterior día de hace 20 días? Considere que hoy es jueves. a) miércoles b) jueves c) martes d) sábado e) domingo 18. Si el ayer del mañana del ayer del anteayer del pasado mañana del mañana del ayer del mañana del ayer del mañana de anteayer de Academia GAUUS
pasado mañana es lunes, ¿qué día será pasado mañana? a) domingo b) lunes c) martes d) miércoles e) sábado 19. ¿Qué día será el ayer del mañana del anteayer del subsiguiente día al pasado mañana de hoy si ayer fue jueves? a) domingo b) lunes c) martes d) miércoles e) jueves 20. Si el ayer fuese como pasado mañana, faltarían 5 días para ser sábado. ¿Qué día fue anteayer? a) lunes b) martes c) miércoles d) viernes e) domingo 21. ¿Cuál es el día que está antes del anterior al siguiente día del que subsigue al posterior día del que está después del día que precede al anterior día de hoy miércoles? a) martes b) lunes c) miércoles d) jueves e) sábado 22. Si el ayer del mañana del ayer del anteayer del pasado mañana del mañana del ayer del mañana del ayer fue lunes, ¿qué día de la semana será dentro de 300 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 23. Si hoy es domingo, ¿qué día de la semana será el mañana del anteayer del subsiguiente día de hace tres días al día que antecede al mañana dentro de 251 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) sábado 24. ¿Qué día será el día que subsigue al inmediato anterior día que precede al pasado mañana del día anterior al pasado mañana de dentro de 5 días si el ayer del día que antecede al posterior día a anteayer fue sábado? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
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JOHN MAMANI M. 25. El día que sigue al anteayer de 3 días antes del día posterior al ayer de 5 días después de tantos días antes como semanas completas tiene un año del lunes es a) viernes. b) sábado. c) lunes. d) miércoles. e) domingo. 26. Si el ayer del pasado mañana del día que está inmediatamente antes del día que subsigue al día posterior del mañana del anteayer del pasado mañana de ayer es el anteayer del mañana del día viernes, ¿qué día de la semana fue el ayer del mañana de hace 69 días? a) sábado b) domingo c) lunes d) jueves e) martes
30. Se sabe que el martes del miércoles es el ayer del mañana del día que antecede al viernes. ¿Qué día de la semana será el viernes del ayer del domingo? Considere que el ayer del jueves es el lunes del martes. a) lunes b) domingo c) martes d) jueves e) miércoles 31. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces, faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el día anterior al mañana del ayer del anteayer del subsiguiente día al pasado mañana de hace 100 días de hoy? a) viernes b) lunes c) sábado d) jueves e) miércoles
27. Carlitos le pregunta a su profesor cuándo es su cumpleaños y este le responde: Mi cumpleaños será (o fue) un día después del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana de hace 2 días. Si hoy es domingo, ¿qué día será (o fue) el cumpleaños del profesor? a) sábado b) domingo c) lunes d) martes e) miércoles
32. ¿Qué día de la semana será el pasado mañana del ayer del mañana del día que precede al mañana del pasado mañana del ayer al pasado mañana del ayer y así sucesivamente tantas veces el pasado mañana del ayer como días tiene un año bisiesto? Considere que dentro de dos días será lunes. a) domingo b) viernes c) lunes d) martes e) miércoles
28. Si hace 5 días faltaban 2 días para ser el mañana del martes, ¿cuántos días faltaron como mínimo hace 4 días para que sea domingo? a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 5
33. Si el anteayer del mañana fue el pasado mañana del ayer del pasado mañana del ayer, así sucesivamente tantas veces el pasado mañana del ayer como la cantidad de letras que tiene el abecedario respecto del ayer de hoy jueves, ¿qué día será el subsiguiente día al anteayer de hace tres días? a) domingo b) lunes c) martes d) viernes e) sábado
29. Si el anteayer del mañana fue el pasado mañana del ayer del pasado mañana del ayer, así sucesivamente tantas veces el pasado mañana del ayer como ensayos presenta la obra principal de José Carlos Mariátegui respecto del ayer de hoy jueves, ¿qué día será el subsiguiente día al anteayer del mañana del día que sigue al anteayer de hace 20 días? a) miércoles b) jueves c) viernes d) martes e) lunes
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34. Si el mañana del pasado mañana de 5 días antes al posterior día al día que antecede al día que precede al subsiguiente día del jueves es el mañana del pasado mañana del día anterior al anteayer del inmediato posterior del día que sigue al mañana de hoy, ¿qué día será dentro de 2013 días? a) domingo b) lunes c) martes d) miércoles e) jueves Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. CALENDARIOS PROBLEMA 01 El 1 de enero de cierto año fue martes. ¿Qué día fue 24 de enero de ese mismo año? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Resolución M M J V S D 1 2 3 4 5 6 8 15 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21
a) 2 marzo d) 6 abril
b) 3 abril e) 7 mayo
Resolución Del dato: presente mes L
M
M
J
V S D Se trata del mes 1 de febrero 8 15 22 23 24
L
Del cuadro, el 24 de enero fue jueves.
PROBLEMA 02
Resolución Para que exista 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles el primero debe ser un lunes. L M M J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Por lo tanto, el 25 de este mes es jueves.
Próximo mes (marzo) L M M 5
6
PROBLEMA 03
Academia GAUUS
J V S D 1 2 3 7
Por lo tanto el primer martes del próximo mes es 5 de marzo.
PROBLEMA 04 En un determinado mes existían 5 jueves y 5 sábados. ¿Cuál es la suma del número correspondiente al tercer domingo del mes y el número de días de dicho mes? a) 46 b) 48 c) 50 d) 47 e) 49
Resolución Como lo días son consecutivos, es decir que existen 5 jueves y 5 sábados da a entender que también deben existir 5 viernes. Además, deducimos que el mes trae 31 días y comienza jueves. L M M
Si el último viernes de este mes tuvo como fecha 22, ¿Cuál será la fecha del primer martes del próximo mes?
último viernes
25 26 27 28
4
En un determinado ms hay 5 lunes, 5 martes, 5 miércoles. Determine que día de la semana cae 25? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
c) 5 marzo
J V S D 1 2 3 4 8 11 15 18 22 29 30 31
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JOHN MAMANI M. El único mes que tiene 29 días es febrero (año bisiesto). Si ese día de más fue domingo, dicho mes debe iniciar en domingo.
Pide: 31 + 18 = 49
PROBLEMA 05 En cierto mes se observó que había más días domingos que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana será el 17 en dicho mes? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Resolución
L
M
M
J
V
S
D 1 8 15 16 17 18 19 20 21 22 29
Por lo tanto, el día será martes.
Para que un mes tenga un día más que los demás, ese mes debe tener 29 días.
¡Comprueba lo que sabes! 01. En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día será 26 de dicho mes? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) jueves 02. En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿qué día será el 17 del siguiente mes? a) Sábado b) Jueves c) Domingo d) Martes e) Miércoles 03. Si el último viernes de este mes tuvo como fecha 22, ¿cuál será la fecha del primer martes del próximo mes? a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 04. En el mes actual, la cantidad de jueves y domingos es la menor posible, y la cantidad de viernes y sábados es la mayor posible. ¿En qué día de la semana terminará el próximo mes? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 05. El mes pasado tuvo más martes y miércoles que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana es el último día de este mes?
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a) domingo d) sábado
b) jueves e) miércoles
c) viernes
06. Si el mes pasado tuvo más lunes y martes que otros días de la semana, ¿qué día de la semana empezará el próximo mes? a) lunes b) miércoles c) viernes d) sábado e) domingo 07. Se sabe que mi cumpleaños es el 27 de este mes y que el mes pasado tuvo más días viernes, sábados y domingos, que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana cae mi cumpleaños? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) jueves 08. La fecha del último lunes del mes pasado sumado a la del primer viernes del mes que viene da 37. ¿En qué mes estamos? Considere que los meses son de un mismo año. a) junio b) julio c) agosto d) septiembre e) octubre 09. El tercer día de este mes y el tercer día del próximo mes son lunes. ¿Qué día de la semana será el 13 del subsiguiente mes? a) lunes b) miércoles c) viernes d) sábado e) domingo Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 10. Se observa que un determinado mes tiene más lunes que miércoles y menos jueves que sábados. ¿Qué día de la semana es el día 18 de dicho mes? a) martes b) viernes c) lunes d) domingo e) jueves 11. La fecha de hoy coincide con la fecha del último miércoles del mes pasado que tuvo más domingos, lunes y martes que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana será dentro de 9 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) domingo 12. Si el mes pasado tuvo más jueves y viernes que los demás días de la semana y el mes actual tiene un día más que este, ¿qué día será el 18 del mes siguiente? a) domingo b) viernes c) miércoles d) lunes e) sábado 13. Si se sabe que en el mes pasado había exactamente 5 lunes y 5 miércoles y que el próximo mes tiene exactamente 30 días, ¿en qué mes podríamos estar? a) diciembre b) mayo c) octubre d) marzo e) agosto 14. El primer día de un determinado mes cayó domingo, el último día del mes siguiente fue miércoles y el siguiente a este último tuvo 31 días. ¿A qué mes nos referimos inicialmente? a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) diciembre 15. Si el mes anterior tiene más viernes y domingos que otros días de la semana y el siguiente mes empezará un martes, ¿qué día de la semana será el 9 de abril del año actual? a) viernes b) domingo c) martes d) sábado e) lunes 16. Si la suma de las fechas de todos los viernes de un determinado mes es igual a 80, entonces, ¿qué día cae el 15 de dicho mes? Academia GAUUS
a) miércoles d) martes
b) jueves e) lunes
c) viernes
17. Si la suma de las fechas de todos los días lunes de cierto mes resulta 80, ¿qué día de la semana viene a ser el 18 de dicho mes? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) sábado 18. En un determinado mes, el primer día fue lunes y el último también lunes. ¿Qué día fue el 2 de septiembre de dicho año? a) sábado b) viernes c) jueves d) martes e) lunes 19. En un determinado mes, se observa que el primer y último día fueron lunes. ¿Qué día de la semana fue el 5 de julio de ese mismo año? a) sábado b) viernes c) jueves d) martes e) lunes 20. En cierto año, ocurrió que el primer día de un determinado mes fue lunes, mientras que el último día también fue lunes. ¿Qué fecha fue el penúltimo jueves del mes siguiente? a) 17 b) 24 c) 23 d) 18 e) 16 21. El tercer día d este mes y el tercer día del próximo mes son lunes. ¿qué día de la semana será el 13 del subsiguiente mes? a) jueves b) martes c) miércoles d) viernes e) lunes 22. El mes anterior tuvo más miércoles que domingos y menos martes que viernes. ¿Qué día de la semana será el 19 del presente mes? a) jueves b) martes c) miércoles d) sábado e) lunes 23. En un determinado mes, hubo cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles. En el mes anterior, hubo solo cuatro domingos. Entonces, el próximo mes incluirá, necesariamente. a) cinco domingos b) cuatro jueves
29
JOHN MAMANI M. c) exactamente cuatro viernes d) cinco miércoles e) exactamente cuatro sábados 24. Las fechas de tres martes de este mes resultan ser números pares. Lo mismo ocurrió el mes pasado, pero con los domingos. ¿Qué día de la semana será el 21 del próximo mes? a) jueves b) martes c) miércoles d) sábado e) lunes 25. Cierto año tiene más martes que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana es el 1 de marzo de dicho año? a) domingo b) martes c) jueves d) viernes e) sábado 26. Si el producto de la fecha del primer miércoles de este mes con la fecha del primer sábado del mes siguiente es 4, además, el subsiguiente mes tiene 31 días, ¿qué día de la semana fue el 13 del mes anterior? a) jueves b) martes c) viernes d) sábado e) lunes 27. En dos meses consecutivos se cumple que todos los días aparecieron igual número de veces, excepto el viernes. ¿Qué día de la semana será el noveno día del mes con tantos lunes como viernes, si dicho mes es uno de los dos mencionados? a) lunes b) miércoles c) viernes d) sábado e) domingo 28. El primer día de un determinando mes cayó domingo, el último día del mes siguiente fue miércoles y el siguiente a este último tuvo 31 días. ¿A qué mes nos referimos inicialmente? a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) diciembre
del próximo año? Considere que los meses mencionados pertenecen a un mismo año. a) jueves b) martes c) viernes d) sábado e) lunes 30. Se conoce que las fechas del último lunes del primer mes de tres meses consecutivos con la del primer miércoles del último de estos meses suman 35. ¿Qué fecha resultará el último día del último de los meses consecutivos si ninguno de estos meses mencionados pertenece a un mes veraniego? a) domingo 30 de setiembre b) lunes 31 de julio c) sábado 31 de diciembre d) domingo 31 de octubre e) lunes 30 de setiembre 31. Alicia y Bruno visitaron a Laura durante un mes de 31 días. Alicia empezó sus visitas el primer lunes del mes y lo hizo cada 5 días. Bruno empezó el primer martes del mismo mes y la visitó cada 4 días. Si coincidieron un solo día del mes en visitar ambos a Laura, ¿qué día de ese mes fue? a) 26 b) 12 c) 17 d) 20 e) 27 32. Pedrito observó el almanaque del año actual y se percató de que el mes anterior había tenido más días martes, miércoles y jueves que el resto de días de la semana, y que el penúltimo domingo del mes actual sumado al segundo lunes del próximo mes resulta 32. ¿Qué día será el anterior al mañana del pasado mañana del posterior al subsiguiente día del anterior al anteayer de 60 días más? Considere que hoy está comenzando el mes. a) sábado b) domingo c) lunes d) jueves e) viernes
29. Si la fecha del último del mes pasado sumado a la fecha del primer domingo del subsiguiente mes resulta 37 y la fecha del primer lunes de este mes sumado a la fecha del último sábado del siguiente mes resulta también 37, ¿qué día resulta el 28 de febrero
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JOHN MAMANI M. VARIACIÓN DEL DÍA DE LA SEMANA A TRAVÉS DE LOS AÑOS PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Si Lilian cumplió 17 años el jueves 10 de junio de 2010, ¿Qué día de la semana cumplirá 22 años? a) jueves b) martes c) miércoles d) domingo e) lunes
Si el 7 de marzo del 2010 fue domingo, ¿Qué día será el 7 de marzo del 2047? a) jueves b) martes c) miércoles d) domingo e) lunes
Resolución
Resolución
Analicemos en el esquema:
Analicemos en el esquema: + 37 años
+ 5 años
10 de junio de 2010 (17 años)
10 de junio de 2015 (22 años)
jueves
???
7 de marzo de 2010
(5 + 1) = días 6 días < > 7 − 1 n° de años bisiestos
Del 2010 a 2015 solo existe solo un año bisiesto que es el 2012. ∴ Cumplirá 22 años un día miércoles (jueves − 1 )
???
domingo
o
(37 + 9) = días 46 días < > 7 + 4
o
n° de años
7 de marzo de 2047
n° de años
n° de años bisiestos
n° de años 2044 − 2012 = +1 9 = 4 bisiestos ∴ El 7 de marzo de 2047 será jueves (domingo + 4 )
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si Lilian nació un día lunes del año 1989, ¿qué día de la semana será su cumpleaños número 12? a) jueves b) lunes c) martes d) viernes e) sábado
03. Si en el año 2003 el 1.º de enero fue día martes, ¿qué día de la semana será el 1.º de enero del año 2033? a) viernes b) lunes c) martes d) jueves e) sábado
02. El jueves 28 de marzo del 2004 nació mi hermano menor. ¿En qué día de la semana cumplirá 11 años? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
04. Si un sábado del año 1996 Marcos cumplió 32 años, ¿en qué día de la semana nació? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 05. Si un sábado del año 1996 Marcos cumplió 32 años, ¿en qué día de la semana nació?
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JOHN MAMANI M. a) lunes d) jueves
b) martes e) viernes
c) miércoles
06. El 15 de febrero del 2008, JohnsRM ingresó a la UNA y exactamente 5 años después, un día sábado, terminó su carrera. ¿Qué día de la semana ingresó JohnsRM? a) domingo b) martes c) jueves d) sábado e) lunes 07. El cumpleaños número 7 de Anita fue el martes 7 de agosto de 1907. ¿Qué día de la semana celebró su cumpleaños número 17? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) domingo 08. El cumpleaños número 25 de Carlos fue el jueves 9 de febrero del año 1989. ¿Qué día será su cumpleaños número 44? a) jueves b) lunes c) martes d) sábado e) miércoles 09. Si el 3 de febrero del 2010 será miércoles, ¿qué día de la semana fue el 3 de febrero de 1964? a) martes b) sábado c) domingo d) lunes e) miércoles 10. Si el señor Jaime nació el martes 8 de octubre de 1975, ¿qué día de la semana cumplirá 40 años? a) viernes b) domingo c) lunes d) sábado e) miércoles 11. Jacinta nació el domingo 7 de febrero de 1960. ¿Qué día de la semana será el cumpleaños de su prima Rosenda en el 2028 si nació 17 días después que Jacinta? a) jueves b) martes c) miércoles d) domingo e) lunes 12. Mis abuelos contrajeron matrimonio el lunes 16 de febrero de 1954. ¿Qué día de la semana celebraron sus bodas de oro si hasta hoy siguen felizmente casados? a) miércoles b) viernes c) domingo d) martes e) lunes
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13. Si el 20 de enero del 2005 fue lunes, ¿qué día de la semana será el 21 de julio del 2095? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) viernes 14. Fiorella nació el martes 11 de abril de 1880 y un descendiente suyo, Fabián, nació el 8 de abril del 2013. ¿Qué día de la semana Fabián cumplirá 50 años? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) sábado 15. El 20 de junio de 1991 nació mi primo Arturo y cinco años después, el jueves 19 de junio, nació su hermana Elvira. ¿Qué día de la semana Arturo cumplió 18 años? a) domingo d) jueves
b) viernes e) lunes
c) sábado
16. Si el año actual tiene más martes y miércoles que otros días de la semana, ¿qué día será el 15 de octubre del año actual? a) martes b) jueves c) miércoles d) sábado e) domingo 17. Si el 20 de febrero de 1990 nació Bertha y el 15 de abril del siguiente año nació Francisco, además se sabe que Francisco cumplió 18 años un día lunes, ¿en qué día de la semana Bertha celebró sus 15 años? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 18. Guillermo nació el lunes 7 de enero de 1979. En su cumpleaños más próximo que fue un día domingo, ya sabía leer, y cuando su cumpleaños más próximo coincidió con el día que nació, ya sabía tocar la guitarra. ¿En qué años ocurrieron tales situaciones? Dé como respuesta la suma de dichas cantidades. a) 3984 b) 3972 c) 3982 d) 3974 e) 3970
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JOHN MAMANI M.
Verdades y Mentiras CAPÍTULO III Resolver este tipo de problemas implica obtener conclusiones a partir de un conjunto de proposiciones cuyo valor de verdad de cada una se desconoce; sin embargo, debido a que están relacionados entre sí, con condiciones particulares dadas, se puede determinar cuál es verdadera y cual es falsa.
PROPOSICIÓN Enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambos. Ejemplos Lima es la capital del Perú. José es ingeniero Rosa es más alta que JohnsRM
TIPOS DE PROPOSICIONES a. Proposiciones contradictorias Dos proposiciones son contradictorias cuando se oponen, de tal manera que si la primera es falsa, la segunda será verdadera, y si la primera es verdadera, la segunda será falsa. Ejemplo María: Lilian es mayor de edad Lilian: Yo soy menor de edad. Se sabe que una persona es mayor o menor de edad; por lo tanto, deducimos que una de las afirmaciones es verdadera o falsa.
decir, puede darse el caso de que ambas proposiciones sean falsa. Ejemplo Edwin: Hoy es lunes Renzo: Hoy es viernes Observación La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera. Ejemplo Lilian postula a Ing. Económica Entonces su negación: Lilian no postula a Ing. Económica. No es el caso que Lilian postula a Ing. Económica. ¡Cuidado! Analicemos las siguientes afirmaciones: Juan: María tiene 20 años Luis: María tiene 24 años De las dos afirmaciones, no podemos concluir que son contradictorias (si una es verdadera, la otra es falsa o viceversa); sin embargo, si concluimos que son contrarias (al menos una de ellas es falsa), es decir, o hay una verdadera y una falsa o las dos proposiciones son falsas
b. Proposiciones contrarias Dos proposiciones son contrarias cuando al menos hay una posición falsa entre ellas, es Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M. CRITERIOS DE RESOLUCIÓN 1. POR CONTRADICCIÓN Se agrupa las proposiciones contradictorias en forma parcial o total, de este modo se asegura la existencia de proposiciones falsas. Luego, a partir de las condiciones y ciertas relaciones, se obtiene el valor de verdad de las proposiciones. Ejemplo 01 Tres amigos, Gustavo, César y Tito, tienen la siguiente conversación. Gustavo: Yo soy menor de edad. César: Gustavo miente. Tito: Cesar es mayor de edad. Si solo uno de ellos miente y solo uno es mayor de edad, ¿Quién miente y quien es mayor edad respectivamente?
Resolución Si analizamos lo mencionado por Gustavo y César, notaremos una contradicción. Entonces uno de estos enunciados es verdadero y el otro es falso. Gustavo: Yo soy menor de edad. (V y F) César: Gustavo miente. (V y F) Tito: Cesar es mayor de edad. (V) Como solo uno es mayor de edad, entonces Gustavo y Tito son menores de edad. Por lo tanto, miente César y él mismo es el mayor de edad.
Luego, cuando se cumplan todas las condiciones dadas habremos obtenido la solución. Ejemplo 02 Cuatro atletas participan en una carrera y al final cada uno hizo las siguientes afirmaciones: Pablo: Yo fui primero. Sergio: Yo fui último. Lalo: No llegué primero ni último Marcos: Yo no llegué último. Si se sabe que solo uno de ellos mintió, ¿Quién ganó la carrera?
Resolución No se observa contradicciones entre las proposiciones, entonces evaluaremos. Como solo hay una afirmación falsa, iniciaremos buscando dicha proposición. Pablo: Yo fui primero. (F) ← evaluemos Sergio: Yo fui último. (V) Lalo: No llegué primero ni último (V) Marcos: Yo no llegué último. (V) Al analizar los valores no se establece ningún absurdo, entonces se considera como válido el supuesto inicial. Por lo tanto, gano Marcos. ¡Tenga en cuenta que…! En problemas sobre verdades y mentiras, debemos garantizar las condiciones dadas, las cuales se priorizan sobre las afirmaciones de las personas que participan en el problema.
2. POR SUPOSICIÓN A falta de proposiciones que sean contradictorias se asigna convenientemente un valor de verdad a una proposición y se examina el valor de vedad de las demás.
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JOHN MAMANI M. VERDADES Y MENTIRAS PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Cuatro personas son acusadas de haber pintado la pared del colegio; al ser interrogadas hicieron las siguientes afirmaciones: Marco: Fue Lucio Lucio: Fue Lenin Iván: Yo no fui Lenin: Lucio miente Si uno de ellos miente, ¿quién pinto la pared? a) Marco b) Lenin c) Iván d) Lucio e) Lilian
Isaías, Aldo y Juan reciben el resultado de su examen de RM y comentan: Isaías: Yo aprobé Aldo: Yo no aprobé Juan: Isaías dice la verdad Si solo uno de ellos miente y hay dos aprobados, ¿Quién miente? a) Juan b) Isaías c) Percy d) Ronald e) Aldo
Resolución
Isaías y Juan confirman lo que dicen por lo tanto ambos mienten o dicen la verdad, como uno miente, entonces es Aldo. Por lo tanto, Aldo miente
Lucio y Lenin se contradicen Entonces Marco dice la verdad Por lo tanto fue Lucio.
Resolución
PROBLEMA 04
PROBLEMA 02 Tres compañeros de clases tienen 10, 11 y 12 años. Al consultarles su edad manifestaron: Aldo: Yo tengo 11 años Beto: Cesar tiene 10 años Cesar: Aldo tiene 10 años Si solo uno de los tres miente, ¿Quién es el mayor? a) Raúl b) Juan c) Aldo d) César e) Beto
Resolución Aldo y César se contradicen, entonces Beto dice la verdad César tiene 10 años y miente Aldo tiene 11 años y dice la verdad Beto tiene 12 años y dice la verdad Por lo tanto, el mayor es Beto
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Tres amigas sostienen la siguiente conversación, luego de observar el resultado del examen de admisión a la Universidad Nacional del Altiplano. Ana: Yo ingresé Brenda: Yo también Celia: Ana miente Si se sabe que solo una de las amigas miente y solo una ingreso, ¿Quién miente? a) Ana b) Celia c) Katia d) Brenda e) Roció
Resolución Ana y Celia se contradicen, entonces Brenda dice la verdad, como una de ellas ingresó y es Brenda, entonces Ana miente. Por lo tanto, Ana es la que miente
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05
PROBLEMA 06
Cuatro hermanos son interrogados por su padre, pues uno de ellos uso su corbata favorita sin su permiso. Ellos contestaron lo siguiente: Víctor: Ángel fue. Ángel: Freddy fue. Freddy: Yo no fui. Armando: Yo no fui Si tres de ellos mienten, ¿Quién es el culpable? a) Ángel b) Víctor c) Freddy d) Armando e) JohnsRM
Dora, Nelly, Lucy y Liz tienen S/.20, S/5, S/.4 y S/.2, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que cada una dijo: Dora: Yo tengo más que Nelly. Nelly: Yo tengo el doble que Lucy. Lucy: Yo tengo S/.2. Liz: Yo tengo S/.10. Si solo una de ellas miente, ¿Cuánto tienen Liz y Dora juntas? a) S/.22 b) S/.6 c) S/.24 d) S/.25 e) S/.9
Resolución Nos piden determinar quién es el culpable. Buscamos dos proposiciones contradictorias. Ángel: Freddy fue. (V/F) Freddy: Yo no fui. (V/F) Uno de ellos dice la verdad y el otro miente necesariamente. Se sabe que tres mienten, entonces Víctor: Ángel fue. (F) Armando: Yo no fui (F) Ambos están mintiendo. Por lo tanto, Armando es el culpable.
Resolución Tienen: 20; 5 ; 4; 2. Dora: D > N Nelly: N = 2(Lucy) Lucy: Lu = 2 Liz: Liz = 10 Si Lucy miente haría mentirosa a Nelly también, por lo tanto ambas dicen la verdad y tienen 2 y 4 soles respectivamente. Entonces Dora + Liz = 20 + 5 = S/.25
¡Comprueba lo que sabes! 01. Cuatro amigas de 12; 13; 14 y 15 años de edad tienen la siguiente conversación: María: “Yo tengo 12 años” Lucila: “Yo tengo 14 años” Carolina: “María tiene 13 años” Verónica: “Yo tengo 13 años” Si una de ellas miente y las otras dicen la verdad, ¿cuánto suman las edades en años, de María y Verónica? a) 31 b) 26 c) 27 d) 25 e) 30 02. Una persona zurda y otra diestra conversan. Una de ellas dice: “Yo soy zurdo” y la otra agrega: “Yo también soy zurdo”. De acuerdo al dialogo, siempre se cumple que:
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a) Ambos mienten b) Ambos dicen la verdad c) Solo el zurdo dice la verdad d) Solo el diestro dice la verdad e) Solo uno de ellos dice la verdad 03. Sandra miente los días martes y jueves. El día que le invito al cine a Patricia dijo: “Vamos hoy día que es Jueves”. ¿Cuál fue el día anterior a la invitación, si ese día efectivamente era Jueves? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Domingo 04. Después de haber desaparecido un pastel, se interroga a cuatro sospechosos con la pregunta: ¿Quién desapareció el pastel? Los sospechosos dieron las siguientes respuestas: Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Aníbal: “Uno de nosotros miente” Boris: “Los cuatro decimos la verdad” César: “Dos de nosotros mienten” Dante: “Tres de nosotros mienten” Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién es? a) Aníbal b) Boris c) Cesar d) Dante e) Aníbal o Cesar 05. De tres amigos que fueron al circo, uno de ellos no pagó la entrada. Pedro dice: “Yo si pagué” Sergio dice: “Javier si pagó” Javier dice: “Pedro si pagó” Si se sabe que solo uno de ellos miente, ¿quién no pagó la entrada? a) Pedro b) Sergio c) Javier d) Faltan datos e) Ninguno pagó la cuenta 06. Abel es un joven con una característica extraña, pues miente los lunes, martes y miércoles, pero dice la verdad los otros días de la semana. ¿En qué día de la semana le es posible decir: Ayer mentí y mañana mentiré de nuevo? a) lunes b) miércoles c) lunes o miércoles d) martes o jueves e) lunes o viernes 07. Alicia, Beatriz y Carmen son tres amigas. Se sabe que dos de ellas tienen 16 años y siempre mienten, mientras la edad de la otra es 18 años y siempre dice la verdad. Si Beatriz dijo: Carmen no tiene 16 años, entonces es cierto que a) Carmen y Alicia mienten. b) Beatriz tiene 18 años. c) Alicia y Beatriz tienen 16 años. d) Alicia es mayor de edad. e) Carmen no tiene 16 años. 08. Al formar un número de 3 cifras con las primeras cifras significativas, cuatro amigos comentan: Pablo: El número es impar. Miguel: El número es múltiplo de 3. Enrique: El número es primo. Academia GAUUS
Gabriel: La cifra central es 1. Si uno de ellos dice la verdad, indique el número formado. a) 132 b) 102 c) 213 d) 123 e) 312 09. Cuatro sospechosos son interrogados, pues uno de ellos cometió un robo al banco. Cada uno afirmó lo siguiente: Abel: Fue Miguel. César: Yo no fui. Rafael: Fue Abel. Miguel: Abel miente al decir que fui yo. Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién robó el banco? a) Abel b) Rafael c) Miguel d) César e) no se puede determinar 10. Tres amigos, Hugo, Gerald y José, tienen la siguiente conversación: Hugo: Yo soy menor de edad. Gerald: Hugo miente. José: Gerald es mayor de edad. Se sabe que solo uno de ellos miente y que solo uno es mayor de edad. ¿Quién miente y quién es mayor de edad, respectivamente? a) Hugo y José b) Hugo y Gerald c) José y Gerald d) José y Hugo e) Gerald y Gerald 11. Cuatro primas, cada una con lentes oscuros, tienen la siguiente conversación: Patty: Yo no tengo ojos azules. Betty: Yo no tengo ojos pardos. María: Yo tengo ojos pardos. Mónica: Yo no tengo ojos verdes. Si se sabe que una de ellas tiene ojos azules y las demás tienen ojos pardos, y que solo una de las afirmaciones es incorrecta, ¿quién tiene ojos azules? a) María b) Betty c) Patty d) Mónica e) ninguna 12. Dos hermanas tienen una rara característica, una de ellas miente los lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad los otros días de la
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JOHN MAMANI M. semana; la otra hermana miente los martes, jueves y sábados, y dice la verdad los otros días. Cierto día se le oyó la siguiente conversación. Noelia: Mañana iré al cine. Noemí: Mañana es lunes. Noelia: Hace dos días fue domingo. ¿Qué día de la semana se realizó dicha conversación? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) domingo 13. Un viajero llega a una isla en la que todos sus habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingos; mientras que los demás días de la semana siempre mienten. El viajero mantiene el siguiente diálogo con un nativo de la isla: Viajero: ¿Qué día es hoy? Nativo: sábado Viajero: ¿Qué día será mañana? Nativo: miércoles ¿Qué día de la semana es realmente? a) martes b) viernes c) domingo d) sábado e) jueves 14. Cuatro amigos de 15; 17; 18 y 20 años tienen la siguiente conversación: Marco: Yo tengo 15 años. Lucio: Yo tengo 18 años. Carlos: Marco tiene 17 años. Víctor: Yo tengo 17 años. Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuánto suman las edades en años de Marco y Víctor? a) 38 b) 33 c) 34 d) 32 e) 37 15. El profesor de un colegio interroga a tres alumnos que rompieron el vidrio de su aula: ¿Quién pateó la pelota? y ellos respondieron: Eduardo: Yo no fui. Patricio: Raúl pateó la pelota. Raúl: Patricio miente. Si solo uno de ellos pateó la pelota y solo uno de ellos dice la verdad, entonces es necesariamente cierto que
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a) Raúl miente. b) Eduardo y Patricio son inocentes. c) Raúl dice la verdad y es inocente. d) Eduardo es el culpable. e) Eduardo y Raúl mienten. 16. Nilda, Lucía, Míriam, Sonia y Ángela son amigas y se sabe que solo una de ellas es casada. Al preguntárseles quién es la casada, ellas respondieron: Nilda: Lucía es la casada. Lucía: Míriam es la casada. Míriam: Ángela es la casada. Sonia: Yo no soy casada. Ángela: Míriam mintió cuando dijo que yo soy casada. Si solamente es cierta una de las afirmaciones, ¿quién es la casada? a) Lucía b) Míriam c) Nilda d) Sonia e) Ángela 17. Durante el receso, cuatro alumnos, Abel, Andrés, Arturo y Abelardo, empiezan a jugar y resulta herida Alejandra, después de que uno de ellos la empujó. La maestra se entera de la situación y llama a los alumnos para averiguar quién empujó a su compañera y ellos respondieron: Abel: Yo no fui. Andrés: Abel miente. Arturo: Andrés no miente. Abelardo: Todos ellos son mentirosos. Si la maestra sabe que solo dos de ellos mienten, ¿quién golpeó a Alejandra? a) Abel b) Andrés c) Arturo d) Abelardo e) Abel o Andrés 18. Lucía repartió monedas de S/.5; S/.2; S/.1 y S/.0,5 entre sus 4 hijos. Se sabe que cada hijo recibió solo una de estas cuatro monedas y que, además, cada uno de ellos dijo: Álex: Yo recibí S/.5. Alberto: Yo recibí S/.1. César: Álex recibió S/.0,5. Miguel: Yo recibí S/.0,5. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Si solo uno de ellos miente y los demás dicen la verdad, ¿cuánto suman las cantidades de Álex y Miguel? a) S/.5,5 b) S/.6 c) S/.7 D) S/.3 e) S/.1,5 19. Verónica, Ariana y Micaela son tres amigas cuyas edades son 23; 29 y 28 años, no necesariamente en el mismo orden. Aquellas que tienen edades cuya numeración es impar mienten siempre, mientras que la otra amiga siempre dice la verdad. Si Ariana dice que Verónica es la menor de todas, Verónica dice que Micaela miente y Micaela dice que Ariana tiene 28 años, ¿cuántos años tiene Ariana? a) 23 b) 28 c) 29 d) 30 e) no se puede determinar 20. Cuatro atletas participan en una carrera y al final cada uno hizo las siguientes afirmaciones: Pamela: Yo fui primera. Sofía: Yo fui última. Liz: No llegué primera ni última. Marisella: Yo no llegué última. Si se sabe que solo una de ellas mintió, ¿quién ganó la carrera? a) Liz b) Sofía c) Pamela d) Marisella e) no se puede determinar 21. Dos gemelos, Arthur y Andrew, tienen una extraña característica, uno de ellos mienten los lunes, miércoles y viernes, pero dice la verdad los otros días; y el otro miente los martes, jueves y sábados, más no los otros días. Cierto día se les oyó la siguiente conversación: Arthur: Hoy es domingo. Andrew: Ayer fue domingo. Arthur: Es verano. ¿Qué podemos afirmar respecto al día de hoy? a) Es un domingo de verano. b) Es un lunes de verano. c) No se puede saber. d) Es lunes, pero no es verano. e) Es domingo, pero no es verano. Academia GAUUS
22. Jacinto dispone solo de cinco monedas: una de S/.0,20, dos de S/.0,50, una de S/.1 y otra de S/.2, que repartió entre sus cinco hijos. Cada hijo comentó lo siguiente: Carlos: Recibí menos de S/.1. Andrés: Recibí S/.1. Juan: Recibí el doble que Carlos. Braulio: No recibí los S/.0,20. Ernesto: Recibí S/.1 más que Juan. ¿Cuánto recibió el único que mintió? a) S/.1 b) S/.0,50 c) S/.0,40 d) S/.0,20 e) S/.2 23. Tres parejas de esposos asisten a una reunión. Los nombres de las seis personas son Álex, Mario, César, Ana, Beatriz y Carmen. A cuatro de ellos se les pregunta sobre sus respectivos cónyugues y se obtienen las siguientes respuestas: Mario: Ana es mi esposa. Álex: No estoy casado con Beatriz. César: Soy esposo de Carmen. Beatriz: Mi esposo está mintiendo. Si solo uno de los interrogados dijo la verdad, indique una pareja de esposos. a) Álex – Carmen b) Mario – Ana c) César – Carmen d) César – Beatriz e) Mario – Carmen 24. Al formar un número de 3 cifras con las primeras cifras significativas, cuatro amigos comentan: Pablo: El número es impar. Miguel: El número es múltiplo de 3. Enrique: El número es primo. Gabriel: La cifra central es 1. Si solo uno de ellos dice la verdad, indique el número formado. a) 132 b) 102 c) 213 d) 123 e) 312 25. En un pueblo lejano existen habitantes de dos tipos, los del tipo A, quienes siempre mienten, y los del tipo B, quienes siempre dicen la verdad. Cierto día se escuchó la siguiente conversación entre algunos habitantes del pueblo.
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JOHN MAMANI M. Andrés: Benito miente. Benito: César dice la verdad. César: Diego miente. Diego: Andrés y Benito son del mismo tipo. ¿Cuántas afirmaciones son verdaderas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) ninguno 26. Cinco sospechosos son interrogados, pues uno de ellos robó una joya. Cada uno dio su declaración. Pablo: Enrique robó una joya. Enrique: Carlos es inocente. Rubén: Darío robó la joya. Darío: Enrique es inocente. Carlos: Pablo robó la joya. Si solo dos de ellos mienten y uno de estos es el ladrón, ¿quién robó la joya? a) Pablo b) Enrique c) Rubén d) Darío e) Carlos 27. En una reunión están presentes 50 políticos. Cada político o bien siempre dice la verdad o bien siempre miente. En pleno debate, uno de ellos se pone de pie y dice: Todos ustedes son mentirosos y se retira. Acto seguido, otro de ellos se pone de pie, afirma lo mismo sobre los restantes y se retira, y así sucesivamente hasta que queda solo un político. ¿Cuántos políticos veraces había en la reunión? a) 0 b) 1 c) 2 d) 50 e) 49
a) 3 d) 6
b) 4 e) 2
c) 5
29. La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, se deduce que a) el lagarto está loco. b) la oruga está loca. c) los dos están locos. d) ninguno está loco. e) la oruga dijo la verdad. 30. El señor Carpintero, el señor Mayordomo, el señor Ingeniero y el señor Lechero están empleados como carpintero, mayordomo, ingeniero y lechero, aunque sus apellidos no corresponden con sus profesiones. Ellos afirmanlo siguiente: Sr. Carpintero: Yo soy el lechero. Sr. Ingeniero: Yo soy el carpintero. Sr. Mayordomo: Yo no soy el lechero. Sr. Lechero: Yo no soy el mayordomo. Si tres de las cuatro afirmaciones son falsas, ¿quién es el ingeniero? a) Sr. Carpintero b) Sr. Mayordomo c) Sr. Ingeniero d) Sr. Lechero e) no se puede precisar
28. Siete sospechosos son interrogados, pues algunos de ellos cometieron un robo. Cada uno declaró lo siguiente: Antonio: Manuel es culpable. Manuel: Luis es culpable. Luis: Pedro es culpable. Pedro: Esteban es inocente. Carlos: Mario es culpable. Mario: Antonio y Pedro son culpables. Esteban: Carlos es culpable. Si solo los inocentes dicen la verdad, ¿cuántos de los sospechosos son culpables?
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JOHN MAMANI M.
Orden de Información CAPÍTULO IV ORDENAMIENTO LINEAL Se ubican los elementos (personas, animales, objetos, etc.) en un esquema lineal (horizontal o vertical). A. De izquierda y derecha se considera lo siguiente. izquierda
Si A no es mayor que B, equivale a decir que A es menor o igual que B. Si Raúl se ubica a la derecha de Luis, no implica que necesariamente estén juntos. Si Carlos llego tres lugares detrás de Abel, se puede interpretar como: 1
4°
3°
2°
después
C. Ascendente y descendente
EDIFICIO
5.° piso
Carlos
Ejemplo 01 San Mateo está ubicado al este de Chosica. Huancayo se ubica al oeste de Pucallpa. Chosica a su vez está ubicado al oeste de Huancayo. ¿Cuál de los pueblos está más al oeste?
B. Orden de llegada. 1°
Resolución
arriba
4.° piso
Oeste
Chosica
3.° piso
San Mateo
Huancayo
Este
Pucallpa
Por lo tanto, el pueblo que está más al oeste es Chosica.
2.° piso abajo
1.° piso
3
Abel
derecha
antes
2
ORDENAMIENTO CIRCULAR Observación Considere el siguiente grafico ordenamiento de 5 personas. A
B
C
D
referido
al
E
La persona ubicada en el lugar B está a la izquierda de las personas situadas en C, D y E. La persona ubicada en D esta junto y a la derecha de C. ¡Recuerde que…! Respecto al ordenamiento lineal, considere las siguientes interpretaciones que podrían darse para cierta información. Academia GAUUS
A través de la información brindada, se ubicarán los elementos (personas, animales, objetos, etc.) en un esquema cerrado (Circular, cuadrado, etc.) Si deseamos ordenar a 6 personas ubicadas de manera simétrica alrededor de una mesa circular, se debe considerar lo siguiente. sentado frente a A
D
izquierda de A
E
C
F
B A
derecha de A
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JOHN MAMANI M. Además B está sentado junto a la derecha de A. D está entre B y E. ¡Sabía que…! En algunos problemas de ordenamiento, aparecen en el enunciado los puntos cardinales. Norte NE NO
Oeste
ORDENAMIENTO POR CATEGORÍAS La información se ordena a través de una tabla de Categorías. Las categorías (características) pueden ser nombres, apellidos, profesiones, deportes, lugares, etc. A. Para dos categorías, se emplea una tabla de doble entrada. Categoría B
SO
Categoría A
Este SE Sur
¡Recuerde que…!
Sentido Horario
B
A
Sentido Antihorario
Categoría A Categoría B Categoría C Categoría n
C
D
Ejemplo 02 Durante una reunión cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Carlos se sienta junto y a la izquierda de Luis, Juan se sienta junto a Luis, Roberto está muy entretenido observando cómo los otros tres juegan ludo. ¿Quién se sienta a la derecha de Roberto?
Resolución Carlos
Segundo
Luis
Ejemplo 03 Carlos, Dante y Luis son: chileno, peruano y ecuatoriano, pero no en ese orden necesariamente. Carlos no es chileno y Dante es ecuatoriano. Entonces Luis es:
A está al frente de C A está a la izquierda de D A está a ala derecha de B
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B. Para más de dos categorías.
Resolución chileno peruano ecuatoriano Carlos Dante Luis Por lo tanto, Luis es chileno.
Primero Roberto
Juan
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JOHN MAMANI M. ORDENAMIENTO LINEAL PROBLEMA 01 Pilar es más baja que Mirza. Dora es más alta que Ada y más baja que Luz. Ada es más alta que Mirza y Pilar es más alta que Rosa. ¿Quién es la más alta de todas? a) Luz b) Pilar c) Ada d) Dora e) Mirza
Resolución L
más alta
D A M P R Por lo tanto, Luz es la más alta
PROBLEMA 02 En un examen Ana obtuvo menos puntos que Bertha; David menos puntos que Ana y Carlos más puntos que Elena. Si Elena obtuvo más puntos que Bertha, ¿Quién obtuvo el puntaje más alto? a) Ana b) Bertha c) Carlos d) David e) Elena
Resolución Se trata de formar en un solo sentido las desigualdades (ya sea “<” o únicamente “>”). Ana < Bertha David < Ana Carlos > Elena ⇒ Elena < Carlos Elena > Bertha ⇒ Bertha < Elena Academia GAUUS
Gráficamente se tendrá: --
+
David Ana Bertha Elena Carlos Por lo tanto, el más alto puntaje lo obtuvo Carlos.
PROBLEMA 03 Cinco personas A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una e un piso diferente. Si se sabe que: A trabaja en un piso adyacente al de B y C. D trabaja en el quinto piso. Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío. ¿Quiénes trabajan en el 4º y 6º piso respectivamente? a) B y C b) C y A c) E y C d) C y E e) C y B
Resolución Se tratará de empezar por los datos más claros (aquellos que no presentan varias posibilidades). Tenemos clara la posición de “D”. Del último dato se deduce que “B” no puede estar ni en el 1º ni en el 6º piso (es evidente que tampoco en el 5º), luego las posibilidades restantes serán. 1er Intento D B
2do Intento
3er Intento
D
E D C
B
↓ ↓ No se puede No se puede colocar "A" colocar "A" y "C"
A B ↓ Ahora si coincide
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JOHN MAMANI M. Por lo tanto, las personas que están en el 4º y 6º piso son: C y E.
Resolución
PROBLEMA 04 El volcán Temboro está ubicado al este de Krakatoa. El volcán Singapur al oeste al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este? a) Sumatra b) Singapur c) Krakatoa d) Temboro e) a o b
Krakatoa
Temboro
Singapur
Krakatoa
Sumatra
Singapur
Juntando los Datos: Oeste
Este
Sumatra Singapur Krakatoa Temboro
El Temboro estará más al este que los demás
¡Comprueba lo que sabes! 01. Betty es mayor que Mary. Nancy es menor que Mary. Si Betty es menor que Teresa. ¿Quién es la mayor? a) Betty b) Mary c) Teresa d) Betty y Mary e) No se puede determinar 02. Miguel es más bajo que Alberto, Gabriel es más bajo que Julio y Miguel es más alto que Julio. ¿Quién es el más bajo? a) Miguel b) Alberto c) Gabriel d) Julio e) Jorge 03. Juan es mayor que Luis, Rodolfo mayor que Ángel pero menor que Luis y Juan es menor que Eduardo. ¿Quién es el menor de todos? a) Ángel b) Juan c) Luis d) Rodolfo e) Eduardo 04. Pedro es 7 años menor que Víctor, Raúl es 8 años mayor que Alberto y Pedro es 3 años menor que Raúl, ¿cuántos años le lleva Víctor a Alberto? a) 12 años b) 10 años c) 11 años d) 9 años. e) 13 años 05. Cuatro hermanos viven en un edificio familiar de cuatro pisos y en pisos diferentes, se sabe que: Arturo vive en el primer piso, Mario vive más abajo que Jorge, y que Willy vive en el
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piso inmediato superior al de Mario. Indique en qué piso vive Willy. a) Primero b) Segundo c) Tercero d) Cuarto e) Vive con Mario 06. En una competencia de velocidad de una sección, llegan a la meta: Enrique delante de Aníbal, pero detrás de José, Yuri detrás de Sebastián y delante de José, si Luis llego entre Enrique y Aníbal. ¿Quién ganó la carrera? a) Anibal b) Jose c) Sebastian d) Yuri e) Luis 07. En una competencia atlética entre cinco amigas: María va en primer lugar y Lucía en el quinto puesto. Si Leticia va en el puesto intermedio entre ambas, Juanita le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juanita, ¿cuál de ellas ocupa el segundo lugar? a) Irene b) Leticia c) Juanita d) Lucía e) María 08. Cuatro amigos hacen cola para ingresar al cine. A está detrás de B y C; en el momento de ingresar B empuja a C y D se molesta con él. El orden en que están colocados en la cola, de atrás hacia delante es: Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) BACD d) BCDA
b) ACBD e) ADCB
c) ABDC
09. En una competencia de carreras, Rosa está ubicada delante de Gina y detrás de Julia. Si Julia está detrás de María. .Quien ocupa el primer lugar y quien es el último? a) Maria y Julia b) Julia y Rosa c) Rosa y Gina d) Maria y Rosa e) Maria y Gina 10. Se sabe que Juan es menor que José, Julio es mayor que Jesús y José no es menor que Jesús. ¿Quién es el menor de todos? a) Juan b) Julio c) Jose d) Jesus e) Mario 11. Si “A” es mayor que “B”, pero menor que “C”. “C” es mayor que “B”; pero menor que “E”. “D” es mayor que “A” .Quien es el menor de todos? a) A b) B c) C d) D e) E 12. Sobre una mesa hay 3 naipes en hilera. Si sabemos que: • A la izquierda del Rey hay un As. • A la derecha de una Jota hay un diamante. • A la izquierda del diamante hay un trébol. • A la derecha del corazón hay una Jota. ¿Cuál es el naipe del centro? a) Coco b) Diamante c) Corazón d) Trébol e) Espada 13. Glicerio tiene 3 años menos que Alberto, Hirineo 6 años menos que Glicerio y Carlos 9 años más que Eliseo; si Eliseo tiene más años que Alberto. ¿Quién tiene más años? a) Hirineo b) Eliseo c) Carlos d) Glicerio e) Pedro 14. Juan es mayor que Pedro; Pedro no es igual ni mayor que Luis; pero Luis es menor que Juan. Entonces la relación correcta de mayor a menor es: Academia GAUUS
a) Juan, Luis y Pedro b) Juan, Pedro y Luis c) Pedro, Luis y Juan d) Pedro, Juan y Luis e) Falta más informacion 15. En un campeonato de futbol el equipo B va a la cabeza, el A ocupa el 5° puesto y el C el lugar intermedio entre ambos. Si el equipo D esta delante de A y el equipo E aparece clasificado entre A y C. ¿Qué equipo figura en el 2° puesto del campeonato? a) E b) D c) B d) C e) A 16. Si se sabe que Lucia es mayor que Leticia y que María es mayor que Irene, pero esta última no es menor que Lucia. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera? a) Leticia no es mayor que Irene b) María no es menor que Lucia c) Irene no es menor que Leticia d) Leticia no es menor que María e) Leticia es menor que María 17. Si se sabe que Juanito es mayor que Marcos y que Paolo, pero este último es mayor que José y que Mario. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es verdadera? a) Mario es menor que Paolo b) José es menor que Juan c) Juan es mayor que Mario d) Marcos es menor que Juan e) Paolo es menor que Marcos 18. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto, Gabriela vive más abajo que Jorge, pero más arriba que Marcos; Nicolás vive tres pisos más abajo que Gabriela, Abel vive dos pisos más arriba que Gabriela y a cuatro pisos de Sandra. ¿Quien vive en el tercer piso? a) Sandra b) Gabriela c) Marcos d) Jorge e) Abel
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JOHN MAMANI M. 19. Suponga que en las eliminatorias para el campeonato mundial, el Perú ocupa el primer puesto y Chile el quinto lugar, además, el lugar intermedio de ambos lo ocupa Ecuador. Si Brasil aparece clasificado antes de Chile y Colombia inmediatamente después de Ecuador, ¿quién ocupa el segundo lugar? a) Perú b) Chile c) Colombia d) Brasil e) Ecuador 20. Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias. Cada familia ocupa un piso. La familia Arellano viven 2 pisos más arriba que la familia Calderón y 2 pisos más abajo que la familia Bustamante. La familia Durán viven en el segundo piso y la familia González no viven adyacente con la familia Arellano. ¿En qué piso viven la familia Martínez? a) 1° b) 3° c) 4° d) 5° e) 6° 21. Juan, José, Pedro y María se encuentran sentados uno al lado de otro. Ni Juan ni José están junto a María. José está entre Pedro y Juan. Dadas las siguientes proposiciones, ¿cuáles son correctas? I. Juan está más lejos de María. II. Juan está al lado de José. III. Pedro no está al lado de María. a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) II y III 22. Cinco amigos van al cine y ocupan una fila de cinco asientos. De acuerdo con lo anterior, se observa que: • Érika está en el extremo izquierdo. • Paolo está al lado de Andrea y Sebastián. • Matías está a la derecha de Sebastián, quien está sentado junto a Érika. ¿Quién ocupa la cuarta posición desde la derecha? a) Matías b) Sebastián c) Paolo d) Andrea e) no se puede determinar
de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto; Carlos a la derecha de Toño, junto y entre Flavio y Dante; Dante está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha? a) Carlos b) Erick c) Dante d) Flavio e) Toño 24. Se tiene un castillo de 4 pisos, en cada uno de los cuales vive una familia. La familia Durán vive en un piso más arriba que la familia Fernández; la familia Rojas habita más arriba que la familia Mondragón y los Durán viven más abajo que los Mondragón. ¿En qué piso viven los Durán? a) primero b) segundo c) tercero d) cuarto e) segundo o tercero 25. En un edificio de 5 pisos viven las familias, Álvarez, Berna, Cáceres, Pérez y Durán, cada una en pisos diferentes. Además, se sabe lo siguiente: • Los Durán viven en el piso inmediato superior de los Berna. • Los Álvarez viven lo más alejado posible de los Pérez. • El patriarca de los Cáceres no puede subir las escalera, por lo que habitan en el primer piso. • A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último piso. De acuerdo a la información dada, indique cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas. I. Los Álvarez viven en el piso dos. II. Los Pérez viven en el piso tres. III. Los Duran viven en el piso cuatro. a) solo I b) solo III c) I y III d) todas e) ninguna
23. Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera
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JOHN MAMANI M. ORDENAMIENTO CIRCULAR PROBLEMA 01 4 amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente, se sabe que: PI no se sienta junto a PU PA se sienta junto y a la derecha de PU ¿Dónde se sienta PO? a) frente a PA b) frente a PI c) a la izquierda de PU d) a la derecha de PI e) más de una es correcta
Resolución Considerando primero el segundo dato por ser más conciso: PA
Como PI no se sienta junto a PU, entonces necesariamente estará al frente de PU y para PO le queda al frente de PA; quedando el gráfico así: PA
PI
PU
PO
Luego analizando las alternativas son 3 las que cumplen las condiciones del problema (a, c y d). Por lo tanto, más de una es correcta
PU
¡Comprueba lo que sabes! 01. En una mesa circular se encuentran sentados simétricamente tres niños: Gabriel, Cesar y Freddy. Si Freddy está a la izquierda de Cesar; ¿cuál es el orden en que se sientan dichos niños empezando por Gabriel y siguiendo el sentido anti horario? a) Gabriel, Freddy, Cesar b) Freddy, Cesar, Gabriel c) Gabriel, Cesar, Freddy d) Cesar, Gabriel, Freddy e) Cesar, Freddy, Gabriel 02. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: Andrea se sienta frente a Natalia y a la izquierda de Lady, además Elissa está conversando entretenidamente con Natalia. ¿Quién se sienta frente a Lady? Academia GAUUS
a) Andrea d) Janisse
b) Elissa e) Lady
c) Natalia
03. En una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente se encuentran sentados cuatro siniestros monstruos del siguiente modo: La Momia está a la izquierda del Hombre Lobo y a la derecha del Conde Drácula, además Frankenstein está durmiendo. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda del Conde Drácula? a) Frankenstein b) Momia c). Hombre Lobo d) Zombie e) Conde Dracula 04. En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan seis personas del modo siguiente: Jorge se sienta junto y a la derecha de Raúl y frente a José;
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JOHN MAMANI M. además José se sienta a la izquierda de Eduardo y junto a Alex. Si Luis es el más callado de los que están sentados en dicha mesa, responder: ¿Frente a quien se sienta Luis? a) Raul b) Jorge c) Eduardo d) Jose e) Alex
08. Aldo y sus 5 amigos se sentaron alrededor de una mesa circular. Él se sentó entre Boris y Cesar, Dante se sentó junto a Eloy. Fidel se sentó frente a Boris y a la izquierda, junto a Dante. ¿Quién se sentó frente a Cesar? a) Aldo b) Boris c) Cesar d) Dante e) Eloy
05. Tres parejas se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos, simétricamente se sabe que: • A la derecha de la novia de Antonio se sienta Gabriel. • Maritza, que está sentada a la derecha de Dora, está al frente de su propio novio. • Antonio está a la izquierda de Mario • Esperanza está al frente de la novia de Gabriel. ¿Quién es el novio de Dora? a) Mario b) Dora c) Gabriel d) Antonio e) Raúl
09. Alicia invitó a cenar a sus amigos: Brenda, Carmen, Doris, Elvis y Fidel. Doris no asistió a la cena. Las amigas se sentaron alrededor de una mesa circular con 6 asientos simétricamente distribuidos. Alicia se sentó junto a Carmen y a Brenda, frente a Carmen se sentó Elvis. Ninguna dama se sentó junto al asiento vacío. ¿Quién se sentó frente al asiento vacío? a) Alicia b) Brenda c) Carmen d) Elvis e) Fidel
06. Ana, Bertha, Carla, Diana, Elena y Felia se sientan, simétricamente, alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente: • Ana se sienta junto y a la derecha de Bertha y frente a Carla. • Diana no se sienta junto a Bertha. • Elena no se sienta junto a Carla. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Felia? a) Carla b) Bertha c) Elena d) Diana e) Ana 07. Ana, Benito, Cesar, Ever y Fanny se encuentran sentados alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sabe que: • Ana está sentada adyacente a Cesar y Fanny. • Benito está sentado adyacente a Ever y Diana. • Diana está sentado frente a Fanny. ¿Cuantos ordenamientos en la mesa son posibles? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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10. En una mesa circular, con 6 sillas distribuidas simétricamente, están sentadas 6 personas. Si se sabe que: Lea no está al lado de Dora ni de Judith, Dora no está al lado de Carlos ni de Mario, y además Iris esta junto y a la derecha de Dora. ¿Quién se encuentra sentado(a) junto a la izquierda de Mario? a) Iris b) Carlos c) Lea d) Judith e) Dora 11. En un comedor ocho comensales se sientan en una misma mesa circular. Las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades: el de ingeniería esta frente al de educación y entre los de economía y farmacia; el de periodismo está a la izquierda del de educación y frente al de economía. Frente al de farmacia está el de derecho, y este a su vez a la simetría del de arquitectura. ¿Cuál es su profesión del que esta entre el de biología y educación? a) periodismo b) farmacia c) derecho d) ingeniería e) economía
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JOHN MAMANI M. 12. Durante una cena, cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Carlos se sienta junto y a la derecha de Luis; Juan se sienta junto a Luis; Marcos está muy entretenido, observando como los otros tres discuten. Respecto a lo anterior señale lo incorrecto. a) Marcos y Carlos se sientan juntos. b) Luis y Marcos no están juntos. c) Luis se sienta frente a Marcos. d) Juan se sienta junto y a la derecha de Marcos. e) Juan se sienta junto y a la derecha de Carlos. 13. Seis amigas se sientan alrededor de una mesa circular en asientos simétricamente distribuidos. Mary, que está sentada a la derecha de Pilar, se encuentra frente a Nadia; Pilar está frente a la que está junto y a la derecha de Susi, quien está frente a Rosa. ¿Quién está junto y a la derecha de Cielo? a) Rosa b) Nadia c) Pilar d) Mary e) Susi 14. Abel, Beto, Carlos, Darío, Enrique y Félix se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Además sabemos lo siguiente: • Abel se sienta junto y a la derecha de Beto, y frente a Carlos. • Darío no se sienta junto a Beto. • Enrique no se sienta junto a Carlos. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Félix? a) Abel b) Beto c) Carlos d) Enrique e) Darío 15. Cinco amigos se sientan alrededor de una mesa circular de seis asientos. Jorge se sentó frente a Carlos y junto a Renzo; Manuel se sentó frente a Renzo y a la izquierda de Carlos; Manuel no se sienta junto a Juan. Respecto a lo anterior, ¿qué se puede afirmar? Academia GAUUS
a) Juan está frente a Jorge. b) Renzo está a la izquierda de Juan. c) Carlos está a la derecha de Juan. d) Jorge está entre Manuel y Carlos. e) Juan está frente a un lugar vacío. 16. Ángel, Boris, César y Diego se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. De acuerdo con lo anterior, se sabe lo siguiente: • César está sentado frente a un asiento vacío. • Entre Ángel y César hay un asiento vacío. • Diego está junto y a la derecha de Boris, quien no está junto a César. ¿Quién está sentado al frente del asiento que está junto y a la izquierda de Boris? a) Diego b) César c) Ángel d) no se puede determinar e) el asiento está vacío 17. En un comedor, 8 comensales se sientan alrededor de una mesa circular. Las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades. Se sabe lo siguiente: • El de Ingeniería está frente al de Educación y junto a los de Economía y Farmacia. • El de Periodismo está a la izquierda del de Educación y frente al de Arquitectura. • Frente al de Farmacia está el de Derecho; este, a su vez, está a la siniestra del de Biología. Por lo tanto, el de Derecho está junto y entre los de a) Arquitectura y Economía. b) Biología y Derecho. c) Periodismo y Educación. d) Biología y Farmacia. e) Economía y Biología.
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JOHN MAMANI M. ORDENAMIENTO POR CATEGORÍAS PROBLEMA 01 A, B y C se encuentran en la antigua parada y comentan sobre sus vicios. A dice: A mi no me gusta fumar ni beber. C dice: Me hubiera gustado aprender a fumar. Considerando que solo hay 3 vicios: fumar, beber y jugar; y que cada uno de ellos tiene un solo vicio. ¿Cuál es el vicio de B? a) fumar b) beber c) jugar d) faltan datos e) mirar TV
Resolución Construyamos un cuadro de doble entrada, para así mostrar todas las posibilidades. Características
FUMA BEBE JUEGA Nombres
A B C
Como a “A” no le gusta fumar ni beber, entonces el juega, y el cuadro resultará así:
FUMA BEBE JUEGA A B C Como el juego le corresponde a “A” entonces el juego no será para “B”. Considerando el segundo dato, se tendrá que “C” no fuma.
FUMA BEBE JUEGA A B C Se deduce que debe ser "SI"
Se deduce que debe ser "SI"
Por lo tanto, B fuma.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Arón, Ben y Ken se van a la escuela. Uno va a pie, otro en el auto de su papá y el otro en el ómnibus. Ken no viaja en ningún vehículo y el papá de Ben no tiene auto. ¿Cómo va Aron a la escuela? a) A pie b) En avión c) En auto d) En ómnibus e) En patines
03. Ana, Betty, Cira y Dora tienen12; 16; 8 y 24 años. Bety tiene el doble de los años que Cira, la suma de las edades de Ana y Dora da la edad de Bety,Cira no es la mayor de todas. ¿Quién tiene 12 años y qué edad tiene Ana? a) Ana –16 b) Dora – 8 c) Cira – 16 d) Betty – 24 e) Cira – 24
02. Boris, César y Elvis toman diferentes jugos: naranja, piña y fresa. Boris y Elvis no toman jugo de fresa, César le pidió a Elvis un poco de su jugo de naranja para probarlo. ¿Quién toma jugo de piña y qué jugo toma Elvis? a) Boris – fresa b) César – naranja c) Boris – naranja d) Elvis – naranja e) César – piña
04. Mirza, Julia y Elsa se apellidan Díaz, Bravo y Espino. Elsa es vecina de Bravo, Espino es amiga de Mirza, Julia no apellida Díaz y ninguna lleva la misma letra inicial en su nombre y apellido. ¿Cómo apellida Elsa y cuál es el nombre de la que apellida Bravo?
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Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) Espino – Mirza c) Díaz – Mirza e) Díaz – Julia
b) Díaz – Elsa d) Bravo – Elsa
05. Aldo, César y Dante juegan en un equipo de fulbito: arquero, defensa y delantero. Aldo va a la escuela con el arquero, César es hermano del delantero, Dante es hijo único y César no es defensa. ¿Quién es el defensa y de qué juega Ángel? a) Dante – defensa b) Dante – delantero c) Aldo – delanterod d) César – delantero e) Dante – arquero 06. Ada, Flor y Luz tocan flauta, guitarra y tambor. Ada está en primer año de secundaria, Flor está en segundo año de secundaria, la que toca flauta y Luz están en 2do secundaria, la que toca tambor y luz se conocen de mucho tiempo. ¿Qué instrumento toca Flor y quién toca el tambor? a) Flauta – Ada b) Flauta – Flor c) Tambor – Ada d) Flauta – Luz e) Guitarra – luz 07. Tres amigas: Blanca, Carla y Dina, viven en Tacna, Puno y Cusco y practican distintos deportes. Blanca no vive en Tacna, Carla no vive en Puno, la que vive en Puno practica vóley; la que vive en Tacna no practica básquet, Carla no practica natación. ¿Dónde vive Dina y que deporte practica? a) Tacna – vóley b) Cusco – natación c) Puno – básquet d) Tacna – natación e) Cusco – básquet 08. Alberto, Brian y Carlos tienen distintas profesiones. Carlos y el abogado no se conocen, Alberto es hermano del abogado y amigo del profesor. Si uno de ellos es médico, entonces es correcto que: a) Alberto es profesor b) Alberto es abogado c) Brian es abogado d) Brian es profesor e) Carlos es médico 09. Betty, Lenny, Miriam, Pamela y Juana tienen ocupaciones diferentes. Betty, Juana y la Academia GAUUS
profesora están enojadas con Pamela; Lenny es amiga de la contadora y de la economista, la doctora es familiar de Pamela. La Peluquera es muy amiga de Miriam, Juana y la contadora, a Betty siempre le gustó la medicina. ¿Quién es la peluquera? a) Betty b) Lenny c) Pamela d) Juana e) Miriam 10. Se va a montar una escena teatral con cinco personajes: juez, abogado, fiscal, testigo y acusado, para ello se reúnen: Mario, Jorge, Willy, Sonia y Claudia, estos personajes deberán tener por características ser: furioso, tranquilo, enojado, alegre y triste. El juez estará tranquilo en escena, Sonia será la fiscal, el papel de testigo alegre se lo dieron a Willy, Jorge no será el acusado porque tendría que estar triste. A Claudia le dieron el papel de abogado y no estará furiosa. Según esto: a) Sonia estará enojada. b) Mario hará de juez. c) Sonia estará tranquila. d) Jorge hará de juez. e) Claudia estará tranquila. 11. Tres estudiantes de: Historia, Economía e Ingeniería lo hacen en universidades de Chiclayo, Lima y Arequipa (no necesariamente en ese orden). El primero de los nombrados no vive en Lima ni estudia Ingeniería. El segundo vive en Chiclayo y estudia Economía, el estudiante de Historia vive en Arequipa. Entonces determine qué estudia el tercero y su lugar de residencia: a) Ingeniería - Lima. b) Historia - Arequipa. c) Historia - Lima. d) Ingeniería - Chiclayo. e) Economía - Chiclayo. 12. Javier, Luis y Manuel forman parejas con Martha, Susy y Ana, cuyas profesiones son enfermera, profesora y secretaria (no necesariamente en ese orden). Luis es cuñado de Martha, que no es enfermera. Manuel fue
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JOHN MAMANI M. con la profesora al matrimonio de Susy. Hace dos años que Ana peleó con Luis y desde entonces es secretaria. De acuerdo a esta información; ¿quién es la pareja de Luis y cuál es su profesión? a) Susy - enfermera. b) Susy - profesora. c) Susy - secretaria. d) Ana - secretaria. e) Ana - enfermera. 13. Cuatro amigos se reúnen el fin de semana en casa de José, cada uno de ellos tiene un carro de distinto color y son aficionados a diferentes deportes: tenis, frontón, billas y básquet, se sabe además que: Juan mandó pintar su carro de verde, el que juega frontón jamás lleva su carro porque el negro es muy fúnebre para los deportes. Hernando ganó el campeonato de billas en el último verano, y su primo José el de tenis, un carro es de color rojo y el otro azul. Según esto, ¿de qué color es el carro del que juega básquet? a) Azul b) Negro c) Verde d) Rojo e) Amarillo 14. Tres hermanos practican Natación, Atletismo y Fútbol: cada deporte se identifica con un color: azul, rojo y verde. Alberto no participa por el color verde, quien juega por el verde es atleta. Los rojos no juegan fútbol, Juan no sabe nadar. ¿Qué deporte y qué color pueden corresponder a Gustavo? a) Natación – rojo b) Natación – azul c) Atletismo – azul d) Fútbol – verde e) Atletismo – rojo 15. En una reunión deportiva se encuentran tres amigas: Elena, Cristina, Nadia; ellas a su vez son nadadora, voleibolista y gimnasta, aunque no necesariamente en ese orden. Cristina, que es vecina de la nadadora, siempre va al estadio con la gimnasta. Si la nadadora es prima de Nadia. ¿Quién es la gimnasta? a) Elena b) Nadia c) Cristina d) María e) Cristina y Elena
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16. Manuel, José y Horacio compraron, entre los tres, 6 camisas de distinto color (rojo, azul, blanco, verde, amarillo y guinda), y convinieron regalar cada uno dos camisas a sus respectivos padres. Manuel no regaló ni una camisa roja ni blanca. José regaló una camisa verde pero no regaló una camisa amarilla. Horacio no regaló una camisa guinda ni blanca. ¿Qué colores de camisa eligió Horacio para regalar a su padre si Manuel eligió el color amarillo? a) rojo y verde b) verde y azul c) blanco y azul d) rojo y azul e) blanco y rojo 17. En una pequeña empresa trabajan las siguientes personas: el Sr. Andrade, el Sr. Benítez, el Sr. Céspedes, la Srta. Dávila, la Sra. Espejo y la Srta. Franco, que son gerente, subgerente, contador, taquígrafo, cajero y oficinista, aunque no necesariamente en ese orden. El subgerente es nieto del gerente, el contador es yerno del taquígrafo, el Sr. Benítez tiene 24 años, la Srta. Franco es la hermanastra del cajero, el Sr. Céspedes es vecino del gerente y el Sr. Andrade es soltero. ¿Cuál es el apellido del taquígrafo? Considere que el gerente es varón. a) Andrade b) Franco c) Benítez d) Céspedes e) Espejo 18. Los señores Trujillo, Lara, Bolívar y Sucre nacieron en los lugares llamados Trujillo, Lara, Bolívar y Sucre, más en ningún caso el apellido coincide con el nombre del lugar de nacimiento. El nacido en Trujillo no tiene el mismo apellido que el nombre del lugar de nacimiento del señor Bolívar, el nacido en Lara no es el señor Sucre ni tiene como apellido el nombre del lugar de nacimiento del señor Lara. ¿Quién nació en Sucre? a) señor Lara b) señor Sucre c) señor Trujillo d) señor Bolívar e) no se puede determinar Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. ¿Qué es para mí, el sobrino del hijo del padre de mi madre? UNAP–EXT–2001
a) abuelo d) padre
b) tío e) sobrino
c) hermano
UNAP–EXT–2007
02. ¿Qué parentesco tiene conmigo, si su madre fue la única hija de mi madre? UNAP–EXT–2002
a) Abuelo y nieto b) Hermano y hermana c) Tío y sobrina d) Madre e hijo e) Eran hijo y padre 03. ¿Quién será el nieto de la madre del único nieto del bisabuelo de la única bisnieta de Dionisio? UNAP–EXT–2003
a) Dionisio b) Bisnieto de Dionisio c) Padre de Dionisio d) Nieto de Dionisio e) Faltan datos
c) Miércoles
• El perro y el gato peleaban. • Jorge le decía al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. • Julio le dice Luis que su hijo es veterinario. • Julio le dice al dueño del gato que este quiso comer al canario.
UNAP–EXT–2008
UNAP–EXT–2004
c) Jueves
05. Dos personas que no tienen parentesco alguno y no se conocen; ¿pueden tener una hermana sanguínea? UNAP–EXT–2005
Academia GAUUS
b) Martes e) Viernes
07. Tres amigos con nombres diferentes tienen cada uno un animal diferente. Se sabe que:
a) perro d) gato
b) Miércoles e) Sábado
a) No se sabe c) Nunca e) Es posible
a) Lunes d) Jueves
¿Qué animal tiene Luis?
04. Si el ayer de anteayer de la mañana es domingo, ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? a) Martes d) Viernes
06. ¿Cuál es el día que esta antes del anterior al siguiente día que subsigue al posterior día que esta inmediatamente después del día que precede al anterior día de hoy miércoles?
b) Si d) Algunas veces
b) mono e) loro
c) canario
08. En un almuerzo estaban presentes, padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y 2 primos. ¿Cuál es el número de persona presentes? UNAP–EXT–2004/2009
a) 4 d) 5
b) 2 e) 8
c) 10
09. Un distribuidor de productos alimenticios tiene 3 diferentes vendedores en tres diferentes ciudades. Trujillo, Lima y Arequipa. Cada uno de los vendedores comercializa distintos productos. Arroz, leche y azúcar. Además se sabe que:
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JOHN MAMANI M. I. Javier no vende en Trujillo. II. Daniel no vive en Lima. III. El que vive en Trujillo no vende arroz IV. El que vive en Lima vende leche. V. Daniel no vende azúcar. ¿Qué vende Teófilo y donde vive? UNAP–EXT–2010
a) Azúcar en Arequipa. b) Azúcar en Trujillo. c) Leche en Lima. d) Azúcar en Lima e) Leche el Trujillo.
UNAP–EXT–2014
UNAP–EXT–2010
b) 2 e) 5
• B tiene menos población que A pero más que C. • D tiene más población que C. • A tiene la mitad de la suma de las poblaciones de D y E. • D tiene más población que B y menos que E. ¿Cuáles son las ciudades de mínima y máxima población?
10. En una cena familiar se encuentran 2 padres y 2 nietos. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo la mesa? a) 6 d) 3
12. De las siguientes ciudades se sabe que:
c) 4
11. En un evento se encuentran: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres, aunque no necesariamente en el orden de las profesiones son: Pedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que: • Pedro y el contador no se llevan bien. • Juan se lleva muy bien con el médico. • Daniel es el pariente del abogado y este es amigo de Luis. • El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico.
a) A tiene máxima y B mínima. b) B tiene mínima y A máxima. c) C tiene mínima y E máxima. d) D tiene máxima y C mínima. e) D tiene mínima y A máxima. 13. Emma es esposa de Wily con quien tuvo tres hijos y una hija, la que se casó con Juan Carlos y tuvieron a Pedro, si Pablo es hijo de Fernando y este de Emma. ¿Qué viene a ser Pablo de Pedro? UNAP–2003
a) nieto d) primo
b) hermano e) sobrino
c) tio
14. Alfredo es cuñado de David, David es cuñado de María y María es hermana de la esposa de David. ¿Qué parentesco hay entre el esposo de María y Alfredo? UNAP–2005
¿Quién es el abogado? UNAP–EXT–2011
a) Pedro d) Juan
54
b) Roberto e) Daniel
c) Luis
a) Son concuñados. b) Son hermanos. c) Son padre e hijo. d) Son primos. e) Son cuñados.
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 15. La señorita Janeth al mirar el retrato de un hombre le dijo a su padre: “la madre de ese hombre era la suegra de mi madre”. ¿Qué parentesco hay entre la señorita Janeth y el hombre del cuadro? UNAP–2006
a) Sobrina-tío. b) Hija-padre c) Prima-primo d) Nieta-abuelo e) Suegra-yerno 16. Acerca de las edades de un grupo de amigos se tiene la siguiente información: Juan es menor que Percy. Alberto es mayor que Julio, Ernesto y José son mellizos, Julio y Percy tienen la misma edad, Víctor es menor que Juan, así como Alberto es menor que Ernesto. ¿Quién es el menor de todos los amigos?
a) 25 d) 15
b) 11 e) 20
c) 10
19. Cuatro amigos: Aida, Carmen, Juan y Enrique se sientan alrededor de una mesa circular de cuatro asientos distribuidos simétricamente: Si se sabe que: • Carmen se sienta ala izquierda de Enrique. • Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. Podemos afirmar que: CEPREUNA–BIO–2013
a) b) c) d) e)
Enrique se sienta a la derecha de Aida Juan se sienta a la derecha de Carmen Aida se sienta frente a Juan Carmen se sienta a la izquierda de Juan Aida se sienta a la izquierda de Juan
UNAP–2010
a) Alberto d) Juan
b) Julio e) Percy
c) Víctor
17. El señor Cornejo tiene dos hijos, estos a su vez son padres de Juan y Mario, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Mario?
20. Si la mamá de Daniela es la hermana de mi hermano gemelo, ¿qué es respecto a mí, el abuelo del mellizo de Daniela? CEPREUNA–2007
a) mi abuelo b) mi padre d) mi sobrino e) mi primo
c) mi hermano
UNAP–EXT–2014
a) El señor Cornejo. b) El padre de Mario. c) El padre de Juan. d) Juan. e) Mario. 18. En una oficina de una compañía de seguros se encuentran 5 hermanos, 5 padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos y 5 primos para firmar sus respectivos contratos. El número de contratos que firmaron es: CEPREUNA–SOC–2013
Academia GAUUS
55
JOHN MAMANI M.
Razonamiento Inductivo CAPÍTULO V RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es un razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir
Casos particulares N= 1 97 × 92 N = 997 × 992 2 = N 3 9997 × 9992
B. EN ARREGLOS GRÁFICOS Caso General
CASO 1 CASO 2 INDUCCIÓN CASO 3
CASO GENERAL
1
99 100
2
Casos particulares Casos particulares Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones. Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo. Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original. Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares. En este tema podemos observar cuatro tipos de problemas.
1
2
1
C. EN ARREGLOS LITERALES Caso General A Y I
50 cifras
56
D
A
Y I
Y
I R R R R R O O O O O O
I
Casos particulares
A. EN ARREGLOS NUMÉRICOS Caso General = N 999......97 × 999......92
3
2
1
A
D
A
A Y
D Y
A A Y
I
Y
I
D Y
A I
Y
I
50 cifras
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. D. EN ARREGLOS SOMBREADOS
Para arreglos de esta forma
Caso General O N N H H H S S S S
J O N H S
O N N H H H S S S S
5 niveles
El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión: 1 2 3
3
18 19 20
Casos particulares
n −1
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer 5 −1
4
JOHNS será 3 = 3= 81 Para arreglos de esta forma 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
1 2
Si en cada caso se requiere saber el resultado, el número de cerecillos, el número de palabras y el número de esferas sombreados, lo podemos obtener relacionando los resultados de los casos particulares con la cantidad de cifras, el número de filas, número de letras… Observación
J
J J O J O N O N H
C O
I
O
I
C O
I
C O
5 niveles
I
O
El número de maneras de leer la palabra ROCIO se determina mediante la siguiente expresión: 2
n
4
JOHNS será 2 = 2= 16
Academia GAUUS
2 −1
5
JOHNS será 2 − 1 = 31 ¡Tenga en cuenta que…! Además en este tema, los números triangulares son muy usados.
n −1
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer 5 −1
5 niveles
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer
R O
J O J N O J H N O J
El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:
Para arreglos de la siguiente forma O
J O N H S
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1
3
6
10
1× 2 2
2× 3 2
3× 4 2
5× 6 2
57
JOHN MAMANI M. ARREGLOS NUMÉRICOS PROBLEMA 01
Calcule el valor de E y de cómo respuesta la suma de las cifras del resultado. 2 E = (999....995)
2+ 3 sumandos ; R = 1 + 4 2 3 −1
4 sumandos ; R = 1+ 2 + 4 +8 2 4 −1
101 cifras
a) 901 d) 907
b) 307 e) 607
c) 405
40 sumandos ; R = 1+ 2 4 8 +....... + +
Resolución
2 40 −1
Analicemos por Inducción. 95 2
=
Resultado Suma de cifras 9025 → 1 ×9 +7
2 99 5
=
990025
→
2 ×9 +7
99952
Halle el valor de M.
=
99900025
→
3 ×9 +7
2 9999 5
= 9999000025 →
4 ×9 +7
M = 3 9999 × 10000 × 10001 + 10000 a) 2 b) 10000 c) 9999 d) 1 e) 10001
Cantidad de cifras "9" (999...995)2 =
PROBLEMA 04
Resolución
→ 100 × 9 + 7 = 907
Analicemos los tres casos particulares
100 cifras
M1 = 3 1 × 2 × 3 + 2 = 2 PROBLEMA 02
M 2= 3 2 × 3 × 4 + 3= 3
Calcular: R = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ......
a) 2
40
d) 2
39
−1
−1
b) 2 e) 2
40 sumandos 40
+1
39
+1
Resolución Analizando por partes, tenemos:
c) 2
40
M 2 = 3 3 × 4 × 5 + 4= 4 Siempre sale el último número Entonces
M = 3 9999 × 10000 × 10001 + 10000 M = 10000
1 sumando ; R = 1 2 1 −1
2 sumandos ; R = 1 + 2 2 2 −1
58
PROBLEMA 03
Si:
a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161
+ aa + aaa + ..... Calcular: R =a " a " sumandos
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 4924 d) 4936
b) 4862 e) 4816
c) 4546
3 × 4× 5× 6 = +1 3× 6
Resolución Analizamos los casos particulares con el producto de cuatro números consecutivos.
1 × 2 × 3 × 4 += 1 1× 4
2× 5
+1
Luego para el caso pedido a5 × a8 + 1 = 2161 a5 × a8 = 2160 45 × 48 = 2160
= 5 25
Por tanteo a = 4
+1
2 × 3× 4 × 5 = +1
361 = 19
Entonces: R =4 + 44 + 444 + 4444 R = 4936
121 = 11
+1
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle la suma de las tres últimas cifras del resultado. (666 666)
b) 10 e) 17
100 cifras
a) 1800 d) 720
c) 13
a) 900 d) 450
c) 1760
a) 606 d) 500 2
Academia GAUUS
b) 600 e) 909
c) 630
08. Calcular la suma de cifras del resultado de: 2 E = (33......34)
100 cifras
b) 900 e) 320
2
101cifras
c) 420
04. La suma de cifras de: E = (333...333) a) 9000 d) 300
c) 630
= A 36 × (111...111 )
222 cifras
b) 441 e) 453
b) 360 e) 540
07. Calcular la suma de las cifras de A
03. Halle la suma de cifras de N = N 37 × (222 222) a) 451 d) 160
c) 180
50 cifras
200 cifras
b) 1820 e) 1800
b) 900 e) 1080
06. Calcula la suma de las cifras del resultado de: = A (999...999) × 12
02. Determine la suma de cifras de (222 222) × 12 a) 1200 d) 1560
2 E = (999......99)
2
40 cifras
a) 16 d) 15
05. Hallar la suma de cifras de:
c) 1089
21 cifras
a) 127 d) 130
b) 128 e) 125
c) 129
59
JOHN MAMANI M. 09. Hallar la suma de cifras del resultado:
E = (999....994)
2
30 cifras
a) 277 d) 130
b) 228 e) 265
c) 229
b) 174 e) 176
2
c) 178
16. Calcule la suma de cifras del resultado de la siguiente operación. = N 999......97 × 999......93 100 cifras
10. Hallar la suma de las cifras de: A = (999...995)
a) 179 d) 271
a) 900 d) 907
b) 905 e) 903
100 cifras
c) 921
31cifras
a) 925 d) 62
b) 279 e) 155
c) 277
11. Hallar la suma de las cifras del resultado de: 3 (999......999)
17. Hallar a ÷ b si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N. = M 999......93 × 999......97 101 cifras
101 cifras
2003 cifras
Indicar la última cifra de dicha suma. a) 8 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 12. Hallar la suma de cifras del resultado: 2 2 = A (333......33) + (999......99) 21 cifras
a) 199 d) 201
b) 189 e) 203
21 cifras
c) 198
a) 450 d) 700
307 a) 308 d)
298 b) 299
301 302
e)
50 cifras
50 cifras
b) 630 e) 2500
c) 350
100 cifras
a) 800 d) 700
b) 900 e) 1200
60
305 306
a) 567 d) 163
b) 546 e) 357
51 cifras
c) 239
19. Calcula el valor de "N" y dar como respuesta la suma de sus cifras en: = E 999.....992 × 999.....992 a) 9n + 18
b) 9n + 27
d) 9n − 20
e) 9n − 23
(n − 3) cifras
c) 9n + 20
100 cifras
c) 1000
15. Hallar la suma de cifras del resultado: = N 999......97 × 999......93 20 cifras
c)
18. Calcule la suma de cifras del siguiente producto: 222.....222 × 999.....998
(n − 3) cifras
14. Halle la suma de cifras del resultado de: = A 888.....888 × 999.....999
101 cifras
300 301
51 cifras
13. Hallar la suma de las cifras del resultado de: = E (999...999) × (777...777)
101 cifras
= N 999......94 × 999......96
20 cifras
2
20. Hallar " K ", si: "n" sumandos 9 + 45 + 105 + ...... + 3n K= 3 + 12 + 27 + ...... " n " sumandos
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 1 d) 16
b) 4 e) 25
26. Calcular “E”
c) 9
24 cifras
13 1313 131313 1313...13 E= + + + ... + 12 1212 121212 1212..13
21. Halle el valor de m. 100 sumandos 1 + 9 + 25 + 49 + m= 4 + 16 + 36 + 64 +
24 cifras
a) 12 d) 1/2
100 sumandos
a) 199/200 d) 199/202
b) 199/201 e) 99/201
c) 100/159
444....444 − 888....888 100 cifras
a) 100 d) 300
20 sumandos 1 + 9 + 25 + ...... M= 4 + 16 + 36 + ......
c) 13/12
= A
23. Calcule el resultado en la expresión
a) 100 d) 90
20 sumandos 2 + 5 + 8 + 11 + 14...... M= 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ......
b) 62/65 e) 61/65
= M
c) 20/25
2
2
2
2
a) 300 d) 900
2
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − + 21 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 21 a) 1 b) 21 c) 3 d) 1/21 e) 4
2
25. Calcule el valor de la siguiente expresión A=
a) 1 d) 90
1 × 3 + 3 × 5 + 5 × 7 + + 59 × 61 + 30 2
2
2
2
1 + 2 + 3 + 4 + + 30 b) 2 c) 30 e) 40
Academia GAUUS
1000....000 − 1999....999 20 cifras
10 cifras
b) 99 e) 200
c) 180
111....111 − 222....222 200 cifras
24. Calcule el valor de la expresión
P=
c) 600
29. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
20 sumandos
a) 18/11 d) 80/81
b) 200 e) 400
50 cifras
28. Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente operación.
20 sumandos
b) 13 e) 13/14
c) 13/12
27. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
22. Calcule el valor de la expresión
a) 12/13 d) 14/11
b) 13 e) 13/24
2
b) 100 e) 200
100 cifras
c) 450
30. Calcule el valor de M= 40 × 41 × 42 × 43 + 1 Dé como respuesta la suma de sus cifras a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
31. Hallar: E= a) 10310 d) 10410
100 × 101 × 102 × 103 + 1 b) 10030 c) 13001 e) 10301
61
JOHN MAMANI M. 32. Halle el valor de: S=
38. Halle el valor de N(152) si N(1) = (1 × 2) + 3 N(2) = (2 + 3) × 4 N(3) = (3 × 4) + 5 N(4) = (4 + 5) × 6
94 × 96 × 98 × 100 + 16 b) 9440 c) 9040 e) 9004
a) 9404 d) 9044
33. Calcule la suma de cifras del resultado que se obtiene de operar A. A= 3 2011 × 2012 × 2013 + 2012 a) 3 b) 7 c) 5 d) 11 e) 9
34. Determine expresión.
el
resultado
de
la
siguiente
100 × 101 × 102 × 103 + 1 − 100
a) 99 d) 101
b) 100 e) 102
c) 201
a) 9404 d) 9044
94 × 96 × 98 × 100 + 16 b) 9440 c) 9040 e) 9004
36. Sabiendo que: A(1) = 1 × 100 + 50 A(2) =2 × 99 + 49 A(3) =3 × 98 + 48 Calcular: A(20) a) 1551 d) 1546
b) 1651 e) 1561
39. Dada la siguiente sucesión R(1) = 1 × 2 + 3 R(2) = 2 + 4 + 1 R(3) = 3 × 4 + 3 R(4) =4 + 16 + 1 R(5) = 5 × 6 + 3 R(6) =6 + 36 + 1 Hallar el valor de: R(14) + R(17) a) 520 d) 420
35. Halle el valor de E=
Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 24 b) 25 c) 26 d) 18 e) 29
c) 2236
b) 400 e) 440
c) 540
40. Calcule; f(24) si: f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) = a) 22 d) 30
2 + 1−1 6 − 3× 2 12 × 6 ÷ 3 20 ÷ 10 + 4 30 + 15 − 5 42 − 21 × 6
b) 24 e) 876
c) 26
37. Si se cumple que: M(1) = 2 + 1 − 1 M(2) = 4 − 4 ÷ 3 M(3) = 6 × 9 − 5 M(4) =8 + 16 ÷ 7 Halle: M(19) a) 348 d) 286
62
b) 362 e) 456
c) 452
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. ARREGLOS GRÁFICOS SUCESIVOS PROBLEMA 01
¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?
9 puntos de contacto = 3 × 3 = 3(1+2) 2 ×3 2
Fig. 2
18 puntos de contacto = 3 × 6 = 3(1+2+3) 3 ×4 2
Fig. 3 Fig.1
Fig.2
a) 260 d) 644
Fig.3
b) 307 e) 630
Fig.20
c) 635 3(1+2+3+.....+20) = 630
Resolución
20 × 21 2
3 puntos de contacto = 3 × 1 = 3(1) 1 ×2 2
Fig. 1
Fig. 20
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cuántos puntos de corte tendrá la figura 100?
03. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 18?
Fig. 1 a) 100 d) 600
Fig. 2 b) 200 e) 800
Fig. 3 c) 400
F1
02. Se sigue la secuencia, ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 100?
a) 225 d) 164
F2
F3
b) 464 e) 324
F4
c) 400
04. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?
Fig. 1 a) 200 d) 404
Fig. 2 b) 400 e) 800
Academia GAUUS
Fig. 3 c) 440
Fig. 1 a) 59 d) 63
Fig. 2 b) 60 e) 64
Fig. 3 c) 61
63
JOHN MAMANI M. 05. Siguiendo la secuencia mostrada, determine cuántos segmentos tendrá la figura 100.
Fig. 1 a) 299 d) 399
Fig. 2 b) 300 e) 400
a) 440 d) 380
b) 450 e) 500
c) 400
10. En la sucesión mostrada de figuras construidas con palitos de fósforo, calcula el doble de número de palitos de la figura que ocupa el decimotercer lugar.
Fig. 3 c) 397
06. Halle la cantidad de triángulos de la figura 20. Fig. 1
Fig. 1 a) 41 d) 320
Fig. 2 b) 80 e) 400
Fig. 3 c) 210
a) 448 d) 390
a) 232 d) 244
b) 260 e) 250
b) 335 e) 364
c) 194
Fig. 2
Fig. 3
11. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?
07. ¿Cuántos palitos se necesitan para formar la figura 30?
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1 a) 21 d) 25
Fig. 2 b) 22 e) 26
Fig. 3 c) 24
12. En la siguiente secuencia gráfica, ¿Cuál será el número de puntos de corte de la figura 20?
c) 248
08. ¿De cuántos lados constará la figura 2002?
F(1) a) 2002 d) 8007
F(2) b) 4004 e) 1608
F(3) c) 8008
Fig. 1 a) 450 d) 480
Fig. 2 b) 400 e) 420
Fig. 3 c) 500
13. ¿Cuántos puntos de cortes tenemos en la figura 20?
09. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?
Fig. 1
64
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1 a) 420 d) 480
Fig. 2 b) 440 e) 500
Fig. 3 c) 460
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 14. De acuerdo a la secuencia de las figuras. ¿Cuántos cuadraditos no sombreados habría en la figura 150?
18. Calcule el número total de bolas que se ubican en la figura 10.
Fig. 1 a) 11250 d) 11320
Fig. 2 b) 11235 e) 11325
Fig. 1
Fig. 3
a) 100 d) 101
c) 11415
Fig. 2
Fig. 3
b) 90 e) 120
c) 99
19. Calcule el número de esferas que tiene la figura 50.
15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?
Fig. 1 a) 210 d) 240
Fig. 2 b) 220 e) 250
Fig. 3 Fig. 1
c) 230
16. Halle el número de esferas que hay en la figura 15.
Fig. 1 a) 133 d) 132
Fig. 2 b) 134 e) 136
a) 250 d) 200
Fig. 2 b) 110 e) 400
Fig. 3 c) 120
20. Halle la suma de las cifras del número de palitos que forman la figura 100.
Fig. 3 c) 135
17. Determine el número total de esferas oscuras que habrá en la figura 10.
Fig. 1 a) 12 d) 15
Fig. 2 b) 13 e) 18
Fig. 3 c) 14
21. Dada la siguiente sucesión de figuras:
Fig. 1 a) 50 d) 42
Fig. 2 b) 55 e) 100
Academia GAUUS
Fig. 3 c) 27
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Si en la figura 20 hay “x” triángulos más que el total de triángulos de las 3 primeras figuras, determine el valor de “x”
65
JOHN MAMANI M. a) 360 d) 436
b) 530 e) 410
c) 483
a) 200 d) 320
22. Calcule el número de intersecciones que hay entre el cuadrado y rectas en la figura 20.
Fig (1)
a) 760 d) 420
Fig (2)
b) 800 e) 400
b) 130 e) 400
c) 210
26. En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.
Fig (3)
c) 840
23. En la siguiente secuencia, calcule el número de círculos en la figura 17.
a) 201 d) 181
b) 131 e) 231
27. ¿Cuántos triángulos ubicación 100?
c) 151 se
contarán
en
la
Fig (1)
a) 200 d) 208
Fig (2)
Fig (3)
b) 155 e) 180
c) 210
Fig. 1
24. ¿Cuántas bolitas pintadas hay en la figura 15?
a) 103 d) 275
Fig. 2
Fig. 3
b) 300 e) 725
c) 301
28. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(n)?
Fig. 1 a) 240 d) 225
Fig. 2 b) 140 e) 150
Fig. 3 c) 340
25. Halle el número de círculos sin sombrear en la figura 10.
F(1)
F(2)
a) 4n d) 4n + 2
b) 4n –1 e) 3n –1
F(3) c) 4n + 1
29. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contaran en la figura 25?
Fig. 1
66
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 625 d) 250
b) 600 e) 750
c) 500
a) 8372 d) 7024
30. Halle el número de cerillas de la figura 20.
b) 6162 e) 3080
c) 4422
34. ¿Cuánto suman los números de la figura 20?
Fig. 1 a) 842 d) 867
Fig. 2 b) 754 e) 859
Fig. 3 c) 782
a) 44400 d) 44100
31. Determine el número total de cerillas desde la figura 1 hasta la figura 20.
b) 44300 e) 44000
c) 44200
35. Calcule la cantidad de esferas del gráfico 39.
Fig. 1 a) 2250 d) 2050
Fig. 2 b) 2450 e) 2375
Fig. 3
a) 780 d) 819
c) 6160
32. ¿Cuál es la suma del número de triángulos de la figura n + 1 y el número de cuadriláteros de la figura n − 1 ?
b) 840 e) 849
c) 860
36. Halle el número de rombos que contiene el hexágono H(25).
Fig. 1 a) 4n + 1 d) n
Fig. 2 b) 4n e) 4 + n
Fig. 3 c) 2n + 1
33. En el gráfico se muestra una sucesión de rumas, formadas por fichas numeradas. ¿Cuál es la suma de todos los números de la ruma T 12 ?
Academia GAUUS
a) 1950 d) 1875
b) 2025 e) 15625
c) 1200
67
JOHN MAMANI M. ARREGLOS GRÁFICOS En el problema:
PROBLEMA 01
Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre.
1
2
3
28 29 30
2
1 2 a) 900 d) 907
3
28 29 30 c) 405
b) 307 e) 899
Resolución
⇒ 30 − 1
∴ Nº de palitos = 899 PROBLEMA 02
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Caso 1:
1
2
= 3 2 −1
1
2
2
3
Caso 2: 2
= 8 3 −1
1
2
3
18 19 20 a) 400 d) 907
Caso 3:
b) 307 e) 300
c) 405
Resolución 2
15 = 4 −1
Analizando por partes, tenemos: Caso 1
1 triángulo = 12 1
68
2
3
4
1 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Caso 2
En el problema: 1
4 triángulos = 22
1
2 3
2
20 2 = 400 triángulos 18 19 20
Caso 3
1
∴ el total de triángulos es 400.
9 triángulos = 32
2 3
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle la cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangular.
1 2 a) 4950 d) 5050
3
b) 5000 e) 5151
98 99 100 c) 4850
02. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?
1 2 a) 2450 d) 4500
3
4 47 48 49 b) 1350 c) 1225 e) 1325
Academia GAUUS
03. Calcule el número total de cerillos en el siguiente gráfico.
a) 2400 d) 2560
b) 2460 e) 2580
c) 2500
04. Halle el número total de palitos utilizados en la construcción del siguiente gráfico.
50 1
2
3
48
49
50
69
JOHN MAMANI M. Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
08. ¿Cuántos palitos hay en total en el siguiente gráfico?
05. Halle el número total de cerillos en el gráfico.
1
2 3 4
a) 800 d) 982
38 39 40 41
b) 881 e) 884
c) 882
06. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura
1
2
a) 1010 d) 10197
3
1
70
2
b) 610 e) 560
c) 850
09. ¿Cuántos cerillos se cuentan en total en el siguiente gráfico?
98 99 100
b) 5000 e) 20097
c) 10027
07. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura
a) 5000 d) 4080
a) 720 d) 960
3
b) 5050 e) 5060
48
49
c) 4060
50
a) 780 d) 779
b) 859 e) 616
c) 860
10. Hallar el número total de puntos de contacto.
1 2 3 a) 290 b) 870 d) 1305 e) 2875
28 29 30 c) 420 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 11. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?
1
2 a) 6225 d) 4525
3
4 b) 7550 e) 3125
97 98 99 100 c) 8950
12. Halle el número total de palitos en la siguiente figura:
1
2 3
a) 250 d) 5050
4
b) 2450 e) 1275
47
48 49
14. Halle el número total de cerillos en el siguiente gráfico.
a) 1487 d) 1427
b) 1457 e) 1367
c) 1447
15. Halle el total de cerillos que se utilizaron en la construcción del siguiente arreglo.
50
c) 1324
13. ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se pueden contar en la siguiente figura?
a) 1220 d) 1218
b) 1180 e) 1829
c) 1058
16. En la siguiente figura, se han contado 570 puntos de contacto. Calcule el número de monedas colocadas en la base.
48 49 50
1 2 3
a) 625 d) 450
b) 756 e) 650
Academia GAUUS
c) 240
a) 10 d) 18
b) 12 e) 20
c) 19
71
JOHN MAMANI M. ARREGLO MATRICIALES PROBLEMA 01
Calcule la suma de todos siguiente arreglo. 3 5 7 1 3 5 7 9 5 7 9 11 49 51 53 55 a) 30625 d) 87815
los elementos del
b) 12254 e) 13315
... 49 ... 51 ... 53 ... c) 32350
Resolución Analizamos tres casos particulares de matrices más pequeñas.
[ 1]
1+ 1 2 Suma : 1 = 1 × 1 = 1 × 1 = 1 2
2 1 3 3+1 2 3 5 Suma : 12 = 3 × 4 = 3 × 2 = 3 2
1 3 5 2 3 5 7 5+1 2 Suma : 45 = 5 × 9 = 5 × 3 = 5 2 5 7 9
Por lo tanto para la matriz de 49 3 5 1 2 49 + 1 = = 30625 Suma : 49 2 49 51
2
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo: 1 2 3 4 12 2 3 4 5 13 3 4 5 6 14 4 5 6 7 15 12 13 14 15 23 a) 1608 b) 1728 c) 1624 d) 1526 e) 1804 02. Hallar la suma de siguiente matriz 1 2 2 3 3 4 4 5 10 11
72
a) 100 d) 2000
... ... ... ...
10 11 12 13 ... 19
c) 8000
03. calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 10
5 4 3 4 5 4 3 2 3 4 10
3 2 1 2 3
10
4 3 2 3 4
todos los elementos de la
3 4 4 5 5 6 6 7 12 13
b) 1000 e) 1500
5 4 3 4 5
a) 1000 d) 3781
10 b) 2000 e) 1331
c) 3000
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 04. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución numérica cuadrada si consta de 400 números 1 5 9 13 ... 77 5 9 13 17 ... 9 13 17 21 ... 13 17 21 25 ... 77 ... ... ... ... a) 32800 b) 30800 c) 30600 d) 32600 e) 30400 05. Hallar la suma de los siguiente matriz de 10 × 10 6 8 2 4 8 10 4 6 6 8 10 12 8 10 12 14 20 22 24 26 a) 1800 b) 2000 d) 2400 e) 2700
elementos de la
... ... ... ...
20 22 24 26 ... 38
c) 2100
06. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución cuadrada de 20 × 20 2 5 8 11 ... 59 5 8 11 14 ... 8 11 14 17 ... 11 14 17 20 ... 59 ... ... ... ... a) 22600 b) 21600 c) 23400 d) 23800 e) 23600 07. Hallar la suma numérico: 1 + 3 3 + 5 5 + 7 7 + 9 19 + 21 Academia GAUUS
a) 3780 d) 1650
b) 1700 e) 1500
c) 1900
08. Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente. F1 F2 F3 F4
1 4 9 16
a) 44000 d) 10000
4 9
16
9 16
.
16
b) 44100 e) 12100
c) 14400
09. Calcular la suma de la fila 50 Fila 1 : 1
Fila Fila a) 125000 d) 75000
2 : 3 + 5 3 : 7 + 9 + 11 b) 12500 c) 25000 e) 250000
10. Calcular el valor de "R", si: (n + 2) R= (n + 1) (n + 2) + n (n + 1) +
3 2
3+ 2+
1 1+
n+2 n+1 n+3 d) n+4
a)
n+3 n+1 n+3 e) n+2 b)
c)
1 2
n+5 n+3
total en el siguiente arreglo + + + +
5 7 9 11
+ + + +
7 9 11 13
+ + + +
... ... ... ...
+ + + +
19 21 23 25
+ 23 + 25 + ... + 37
73
JOHN MAMANI M. ARREGLO LITERALES En el problema:
PROBLEMA 01 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"?
SEBASTIAN : 9 letras
S E A
I
A
A
N
S T
I A
N
a) 256 d) 444
A S
T
I
A N
S T
I
A N
T
B A
S
T I
B A
S
2 8 = 256 formas
E
B
N
T I
N
PROBLEMA 02
I
A
A N
b) 307 e) 322
A N
N
¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra LIBROS uniendo las letras adyacentes?
c) 435 L I
Resolución
B
Cuando la palabra tiene:
R
−1
S : 1 letra
O
S
S
O S
O S
b) 63 e) 31
S
c) 62
Resolución
−1
1
1
−1
S E
3 4
5
1 2
1 3
6 10
1 4
10
1 5
1
∴ Total de palabras 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
E B
A
1 1
SEBA : 4 letras
B
1
→ 4 formas = 2 2
E
B B B
74
O
R
Resolveremos por el triángulo de pascal
SEB : 3 letras
A
B R
S
→ 2 formas = 2 1
E E
E
O
a) 64 d) 32
−1
I B
R
S
S → 1 formas = 2 0 SE : 2 letras
−1
→ 8 formas =2 3
B A
A Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Resolución
PROBLEMA 03 ¿Cuántas palabras RAZONAMIENTO se pueden leer en total uniendo letras adyacentes? Z N E A A I T R Z O N M E N O A A I T Z N E a) 64 d) 256
b) 128 e) 36
1
4
1 1
16 8
2
4
4
1
16 16
8 1
4
64 32
64
16
128 64
16
∴ Total de palabras 128
c) 72
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle de cuantas maneras se puede leer la palabra RIOS, en el siguiente arreglo numérico R I I O O O S S S S a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2 02. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra YELSIN? Y E E L L L S S S S I I I I I N N N N N N a) 4 b) 128 c) 16 d) 32 e) 64
a) 64 d) 128
b) 32 e) 49
c) 56
04. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra PERUANO?
a) 16 d) 128
b) 32 e) 256
c) 64
05. En el arreglo mostrado, halle el número de maneras distintas que se lee la palabra TRABAJO.
03. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “ESTUDIO”, uniendo círculos consecutivos? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O Academia GAUUS
a) 2187 d) 64
b) 192 e) 729
c) 343
75
JOHN MAMANI M. 06. En el siguiente triángulo numérico, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer el número ciento veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis?
a) 16 d) 128
b) 32 e) 512
c) 64
07. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INGENIO uniendo letras vecinas?
a) 64 d) 120
b) 128 e) 256
b) 64 e) 256
c) 127
10. ¿De cuantas maneras distintas se puede leer la palabra ROMA en el siguiente arreglo triangular: R R O R R O M O R R O M A M O R a) 12 b) 32 c) 15 d) 18 e) 23 11. Determine el número de formas diferentes en que se puede leer la palabra CULTURAL uniendo letras vecinas.
c) 60
08. De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCE uniendo letras vecinas. E C U D N I N D U C E E C U D N D U C E E C U D U C E E C U C E E C E E a) 16 b) 32 c) 31 d) 64 e) 63 09. ¿De cuantas formas diferentes se puede leer la palabra RAZONAR, uniendo letras vecinas, en el siguiente arreglo? RAZONARANOZAR RAZONANOZAR RAZONOZAR RAZOZAR RAZAR RAR R
76
a) 63 d) 128
a) 128 d) 138
b) 168 e) 252
c) 140
12. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas distintas se lee la palabra INDUCTIVO uniendo letras vecinas?
a) 60 d) 68
b) 65 e) 120
c) 75
13. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra EXITOSA? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 256 d) 128
a) 130 d) 256
b) 132 e) 246
c) 128
14. ¿De cuantas maneras se pude leer la palabra COMPLETA, de modo continuo y uniendo letras vecinas en la siguiente distribución? C O O M M M P P P P L L L L L E E E E E E T T T T T T T A A A A A A a) 124 b) 126 c) 253 d) 128 e) 254 15. ¿De cuantas maneras se puede leer, de forma continua y uniendo letras vecinas, la palabra LEONEL en el siguiente esquema? L L L E E E E O O O O O N N N N N N E E E E E E E L L L L L L a) 96 b) 95 c) 92 d) 93 e) 94 16. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer ESTUDIOSO en el arreglo mostrado? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O S S S S S S S S Academia GAUUS
b) 254 e) 126
c) 512
17. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra SALSA, de forma continua y uniendo letras vecinas en el siguiente esquema? S A A L L L S S S S A A A A A L L L L L L S S S S S S S A A A A A A a) 80 b) 90 c) 88 d) 76 e) 78 18. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra música, de forma continua y uniendo letras consecutivas en el siguiente diagrama? C I S U M U S I C A C I S U S I C A A C I S I C A A C I C A A C A a) 63 b) 62 c) 61 d) 60 e) 59 19. En el arreglo mostrado, ¿de cuántas maneras distintas se puede leer la palabra ACTIVIDAD uniendo letras vecinas?
a) 172 d) 154
b) 162 e) 254
c) 170
77
JOHN MAMANI M.
01. Halle la suma de las cifras del producto de: = A 7777777 × 999999999 a) 82 d) 19
b) 18 e) 81
c) 80
2 E = (3333......3333) 100 cifras
CEPREUNA–BIO–2012
b) 1000 e) 9000
b) 24 e) 20
c) 26
UNAP–2008
02. Halle la suma de cifras del resultado de:
a) 900 d) 1098
a) 22 d) 30
c) 300
03. Calcular la suma de cifras del resultado de: 2 = E (333.....333) ×6
06. Si
R(1) = 1 + 2 × 3 R(2) = 2 + 3 × 4 R(3) = 3 × 4 + 5 R(4) = 4 + 5 × 6 Halle el valor de R(22) a) 542 d) 574
UNAP–EXT–BIO–2015
b) 745 e) 457
c) 225
07. ¿Cuántas bolitas tiene la posición número 20?
50 cifras
CEPREUNA–BIO–2014
a) 650 d) 750
b) 450 e) 350
c) 550
Nº 1
Nº 2
a) 180 d) 420
04. Si se observa que: 2
1 = 2 − 3×1
Nº 3 UNAP–EXT–2014
b) 280 e) 400
c) 300
08. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 10?
2
2 = 3 + 4×2 2
3 = 4 − 5× 3 2
4 = 5 + 6× 4 Halle el valor de: 15 a) 2 d) 5
b) 3 e) 1
05. Calcule; f(20) si: f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) =
CEPREUNA–BIO–2014
c) 4
2 + 1−1 6 − 3× 2 12 × 6 ÷ 3 20 ÷ 10 + 4 30 + 15 − 5 42 − 21 × 6 UNAP–SOC–2013
F2
F1
a) 150 d) 100
F3
F4 UNAP–SOC–2015
b) 50 e) 160
c) 90
09. ¿Cuánto triángulos habrá en la figura F10 ?
F1
F2
F3
F4
UNAP–EXT–SOC–2015
78
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 14 d) 19
b) 15 e) 21
14. Si se dispone del siguiente arreglo de esferas
c) 17
10. Halle el numero de cuadradosque hay em la figura 10. ¿Cuántas esferas se necesitan cuando en la base del arreglo existan 30 esferas? Figura 3
Figura 1 Figura 2
a) 19 d) 23
CEPREUNA–SOC–2014
b) 21 e) 17
a) 425 d) 496
b) 450 e) 435
UNAP–SOC–2012
c) 465
c) 25
15. ¿Cuántas esferas hay en la f(11)?
11. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(10)?
F(2)
F(1) a) 47 d) 42
f (1)
F(3) CEPREUNA–ING–2015
b) 43 e) 41
c) 44
12. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?
F(1) a) 77 d) 92
F(2)
F(3) c) 64
13. ¿Cuántos cuadrados posición número 20?
F(1)
F(2)
se
encontraran
b) 81 e) 400
Academia GAUUS
UNAP–EXT–ING–2015
b) 20 e) 36
#1
#2
a) 1475 d) 1275 en
c) 25
#3 b) 1175 e) 1375
#4 UNAP-ING-2012
c) 1075
17. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 19?
F(3) CEPREUNA–BIO–2013
a) 96 d) 144
a) 28 d) 30
16. ¿Cuántos cuadrados se obtiene en la posición número 50 de esta figura?
UNAP–ING–2007/2014
b) 88 e) 81
f (3)
f (2)
c) 399
Fig. 1 a) 190 d) 210
Fig. 2 b) 240 e) 200
Fig. 3 CEPREUNA–ING–2014
c) 120
79
JOHN MAMANI M. 18. ¿Cuántos puntos de intersección hay en la figura 20?
22. Dado el esquema: S1 = S2 =
Fig (1)
a) 490 d) 480
Fig (2)
b) 840 e) 449
S3 =
Fig (3) UNAP–ING–2012
c) 400
S4 =
19. Halle el total de palitos de fosforo en P(10). ¿Cuántas bolitas habrá en S12 ? a) 4095 d) 1645 F(1)
F(2)
F(3) CEPREUNA–BIO–2015
a) 440 d) 210
b) 220 e) 110
CEPREUNA–BIO–2014
b) 380 e) 400
c) 320
21. ¿Cuántas bolitas se contaran en la figura f(20)?
f(1)
f(2)
80
b) 1060 e) 1260
23. En la siguiente secuencia, calcular el número de circunferencias en la figura 20.
Fig (1)
Fig (2)
Fig (3) CEPREUNA–BIO–2014
a) 3
21
d) 3
−1
20
b) 2
21
e) 2
21
−1
c) 2
20
−1
24. Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular
f(3) UNAP–BIO–2014
a) 1000 d) 1200
CEPREUNA–2007
c) 5155
c) 100
20. ¿Cuántos puntos de intersección se contaran como máximo al intersectar 20 circunferencias? a) 225 d) 256
b) 4810 e) 4050
c) 1160
1
2 3
48 49 50
UNAP–EXT–SOC–2015/CEPREUNA–SOC–2015
a) 1215 d) 1275
b) 1200 e) 1300
c) 1225
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. Se tiene la siguiente formación de ladrillos, cuantos ladrillos se contaran en total.
1
2
a) 250 d) 210
3
18 19 20
b) 710 e) 211
CEPREUNA–BIO–2012
2
a) 1395 d) 1590
29
b) 1585 e) 1251
1
c) 510
26. Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo.
1
28. Calcule el número total de palitos que conforman la figura siguiente
2
3
a) 690 d) 906
4
27 28 29 30
b) 890 e) 899
c) 900
UNAP–2010
29. Halle el número máximo de triángulos que hay en la figura.
30
UNAP–SOC–2008/2014
c) 1495
27. Halle la cantidad de palitos de la figura.
1 a) 4851 d) 5253
2
3
4
47 48 49 50
b) 5000 e) 4735
CEPREUNA–ING–2014
c) 5050
30. ¿Cuantos ladrillos hay en total? 1 2 3
1
a) 14250 d) 15650
2
3
b) 13250 e) 15150
100 UNAP–ING–2015
38 39 40
c) 14650
a) 4000 d) 1800 Academia GAUUS
b) 1000 e) 2000
CEPREUNA–BIO–2013
c) 1600
81
JOHN MAMANI M. 31. En una hoja cuadriculada con 40 cuadraditos por lado, se traza una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total? a) 120 d) 1640
UNAP–EXT–2014
b) 240 e) 1820
c) 1200
32. Según el siguiente el esquema ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra SOCIALES?
794 793 793 d) 794
791 792 792 e) 793
b)
a)
c)
793 792
35. Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a PQ al interior del triángulo. ¿Cuántos triángulos se contaran en total?
S O C I A L E S
S
a) 120 d) 128
I A
L E
C I
A L
E S
O C
S
A
L E
P
I A L E
S
a) 81 d) 163
L E
S
E S
S
CEPREUNA–SOC–2013
b) 200 e) 512
c) 256
33. ¿De cuantas formas se puede leer la palabra “NUMERO”? N U U M M M E E E E R R R R R O O O O O O a) 8 d) 32
b) 16 e) 36
UNAP–2006
34. Calcule: 792 791 792 + 790 791 +
3 2
3+ 2+
1 1+
1 2
b) 144 e) 177
c) 153
36. Calcule la suma de todos siguiente arreglo: 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 20 21 22 23 a) 6000 d) 7000
c) 24
Q CEPREUNA–BIO–2014
b) 8000 e) 5000
los números del 20 21 22 23 39
UNAJ–2014
c) 9000
37. Calcula la suma de todos los siguiente matriz 3 5 7 1 3 5 7 9 5 7 9 11 9 11 13 7 99 101 103 105 a) 247500 d) 254700
b) 275400 e) 245700
elementos de la ... 99 ... 101 ... 103 ... 105 ...
CEPREUNA–ING–2014
c) 274500
CEPREUNA–ING–2013
82
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Sistemas de Numeración CAPÍTULO VI NUMERACIÓN Es la parte de la matemática que estudia la formación, representación y conteo de los números.
BASE DE UN NÚMERO n ≥ 2 abcd (n) n > a, b, c, d
Sea: a(5a)b (b + 4) (c − 3) a ≠ 0, el número tiene 5 cifras.
abc (10) = abc
Ejemplo 01 Si los números están correctamente escritos:
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sistema binario ternario cuaternario quinario senario eptal octal nonal decimal
Cifras 0,1 0,1, 2 0,1, 2, 3 0,1, 2, 3, 4 0,1, 2, 3, 4, 5 0,1, 2, 3, 4, 5,6 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8,9
2m3 (p) ; 54n (7) ; 213 ; 3p1 (m) (n) Hallar: m + n + p
Resolución Aplicando principios tenemos m< p ;n<7 ; 3< m; p
En casos, en que la base del sistema sea superior o igual a 10, se emplean símbolos especiales para indicar algunas cifras del sistema de esta forma admitiremos. α= A= 10 β= B= 11 2α 3β (13) = 2(10)3(11)(13) = γ C= 12
CARACTERÍSTICAS NUMERACIÓN
El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema de numeración es el cero (0) y el máximo valor es la unidad menos que el valor de la base. Si la primera cifra de un numeral es una letra, necesariamente esta debe ser ≠ de cero. Todo lo que se encuentra en paréntesis en un numeral representa una sola cifra.
DE
UN
SISTEMA
DE
3< m< p
Pide: m + n + p = 15
NÚMERO CAPICÚA Son aquellos números cuya lectura de izquierda a derecha o viceversa es la misma aa
2 cifras
aba
3 cifras
abba
4 cifras
abcba 5 cifras
Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes. Academia GAUUS
83
JOHN MAMANI M. CAMBIO DE BASE EN NÚMEROS ENTEROS DE BASE “n” A BASE 10. Método: Descomposición Polinómica. ab= a(n) + b (n) 2
abc (n) = a(n) + b(n) + c 3
2
abcd (n) = a(n) + b(n) + c(n) + d 4
3
2
abcde (n) = a(n) + b(n) + c(n) + d(n) + e
Resolución El método consiste en dividir sucesivamente entre 6, los residuos que van quedando, indican las cifras del orden respectivo 200 6 2 33 6 3 5 ∴ 200 = 532(2)
DE BASE “n” A BASE “m”. Método: Ruffini.
Método: Combinado (se utilizan los 2 métodos anteriores).
Sea: abc (n)
a
b
n ↓
c 2
an + bn
an
2
a (an + b)
an + bn + c 2
∴ abc (n) = an + bn + c Ejemplo 02 Convertir 322 al sistema decimal (4)
Resolución Descomposición Polinómica. 2
1
322 (4) = 3(4) + 2(4) + 2
322 (4) = 3(16) + 2(4) + 2
Ejemplo 04 Cambiar número 132(5) a base (4)
Resolución Cambiamos 132(5) a base (10) 2
132(5) = 1(5) + 3(5) += 2 42
Luego 42 se cambia a base (4) 42 4 2 10 4 2 2 ∴ 132(5) == 42 222(4)
322 (4) = 58
Ruffini. 3 2 4 ↓ 12
2 56
3 14
58
DE BASE 10 A BASE “n” Método: Divisiones Sucesivas Ejemplo 03 Convertir 200 al sistema senario.
84
base DP base DS base → → n 10 m
CAMBIO DE BASE EN NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD DE BASE “n” A BASE 10. Método: descomposición polinómica. a n a b 0,ab(n)= + n n2 a b c 0,abc (n) = + + n n2 n3 0,a (n) =
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Ejemplo 05 Cambiar 0, 302(4) a base decimal
Luego 0,6875 se cambia a base (2) 0 1 0 1 1
Resolución 3 0 2 0, 302(4) = + + =0,78125 4 42 43
Ejemplo 06 Convertir 0,78125 a base (4)
Resolución Se traza una vertical por la coma del decimal. La parte decimal se multiplica por la nueva base, del resultado, la parte entera se coloca a la izquierda de la vertical y parte decimal se vuelve a multiplicar por la nueva base y así sucesivamente. 0 3 0 2
78125 × 4 = 3,12500 12500 × 4 = 0, 50000 50000 × 4 = 2,00000 00000
∴ 0,78125 = 0, 302(4)
DE BASE “n” A BASE “m” Método: Combinado (se utilizan los 2 métodos anteriores). base DP base MS base → → n 10 m Ejemplo 07 Cambiar el número 0, 54 (8) a base (2)
Resolución
CASOS ESPECIALES DE CAMBIO DE BASE DE BASE n A BASE nK Se forma grupos de K cifras; de derecha a izquierda. Cada grupo así se descompone polinómicamente, dicho resultado es la K
cifra en la nueva base n . Ejemplo 08 Exprese 10202112(3) en el sistema (9)
Resolución 2
Como 9 = 3 , cada grupo se formara con dos cifras.
10(3)
20(3)
Academia GAUUS
21(3)
12(3)
1× 3 + 0 2 × 3 + 0 2 × 3 + 1 1× 3 + 2 3 6 7 5 3675(9) ∴ 10202112(3) =
DE BASE nK A BASE n K
Cada cifra del numeral de la base n genera un grupo de K cifras en base n. Si las divisiones no genera K cifras, se completara con ceros a la izquierda. Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones sucesivas entre n. Ejemplo 09 Expresar 5762(9) en base 3.
Resolución
Cambiemos 0, 54 (8) a base (10) 5 4 0, 54 (8) = + =0,6875 8 82
×2 ×2 ×2 ×2
∴ 0, 54 (8) =0,6875 =0,1011(2)
DE BASE 10 A BASE “n” Método: Multiplicaciones sucesivas
6875 3750 7500 5000 0000
2
Como 9 = 3 cada cifra del numeral genera un bloque de 2 cifras.
85
JOHN MAMANI M. 5
7
6
Resolución
2(9)
5 3 7 3 6 3 2 3 21 12 02 20 12 21 20 02(3)
(n − 1)(n − 1)(n − 1)(n) = 31(n − 1) 3
n −= 1 31(n − 1) 2
(n − 1)(n + n + 1) = 31(n − 1)
∴ 5762(9) = 12212002(3)
2
n + n+1 = 31 2
OBSERVACIONES: A mayor numeral aparente le menor base y viceversa.
n +n= 30 ↓ ↓
corresponde
2
5 +5= 30 5 ∴n =
234 (5) = 10212(3) MENOR
(MAYOR)
=MAYOR
(MENOR)
Numeral de bases sucesivas. 1a
Ejemplo 10
1a
= n + xa 1a
" x " veces
Si: 3ab (7) = 5cd (n)
1a (n)
Hallar: “n”
Resolución −
+
Ejemplo 12 Se define: 13
3ab (7) = 5cd (n) +
13
= 121 13
−
Los valores que puede tomar “n” n<7 n>5 Entonces: 5
13
x cifras
x (n − 1)(n − 1) (n − 1)(n) =n − 1
Ejemplo 11 ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor número de 3 cifras es igual a 31 veces la mayor cifra que existe en ese sistema? Indique la base
86
(n)
Calcular el valor de “n”
Resolución Por propiedad: n + 3(4) = 121
(4)
2
El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.
(4)
1
n + 12= 1(4) + 2(4) + 1 n + 12 = 16 + 8 + 1 n + 12 = 25 ∴n = 13
Numeral de bases sucesivas. 1a
1b
= n + (a + b + c + + x) 1c
1x (n)
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Ejemplo 13 Se define:
11
12
= 18 13
14
Intervalo de un numeral Esta propiedad permite que un numeral en cualquier base se pueda acotar en base 10
(n)
n
Calcular el valor de “n”
Resolución
k −1
kcifras k ≤ abc... x (n) < n
Ejemplo 15
n + 1+ 2 + 3+ 4 = 18 n + 10 = 18 ∴n = 8
Si abcabc (n) = 1430 Calcule a + b + c
De un aval exacto
Resolución
0,abc (n) =
abc (n) 1000
Se sabe que los intervalos de los números son 5
n ≤ abcabc (n) < n
(n)
5
n ≤ 1430 < n
6
6
De un aval inexacto del periódico puro abc (n)
0,abc (n) =
Deducimos con la propiedad, que el único valor que toma n es 4. 5
De un aval inexacto del periódico mixto abcde(n) − abc (n) 0,abcde (n) = (n − 1)(n − 1)000 (n)
Ejemplo 14
Expresar 0,123 (5) a base 10
Resolución Llevando a base 10. 123 (5) − 1 (5) 0,123 (5) = 440 (5) 2
1(5) + 2(5) + 3 − 1 0,123 (5) = 2 4(5) + 4(5) + 0 37 0,123 (5) = 120 0,123 = 0, 3083
6
4 ≤ 1430 < 4 1024 ≤ 1430 < 4096
(n − 1)(n − 1)(n − 1) (n)
Remplazando en el enunciado, se tiene abcabc (4) = 1430
Llevemos 1430 a base 4
1430 4 2 357 4 1 89 4 1 22 4 2 5 1
4 1
Luego abcabc (4) = 112112 (4)
Igualando: a = 1 , b = 1 y c = 2 Pide: a + b + c = 4
(5)
Academia GAUUS
87
JOHN MAMANI M. PRINCIPIOS DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN PROBLEMA 03
PROBLEMA 01 Si los siguientes correctamente.
numerales
están
escritos
Si los siguientes correctamente.
2
2
c) 13
están
Expresar mnn (6) en base decimal a) 105 b) 145 c) 56 d) 732 e) 179
Resolución
Resolución
Aplicando principios tenemos: 5
Aplicando principios tenemos: 3< m ; n<6 ; m
Ordenando
Ordenando
2
5
2
2
Pide: n − m = 7 − 6 = 13
3< m
Entonces: mnn (6) = 455
PROBLEMA 02 Hallar a + b si el siguiente numeral es capicúa.
b (a + 3)3(b − 3)(2a) 2 (8) a) 12 d) 15
b) 14 e) 10
Pide
455
(6)
(6)
en
base
decimal,
para
ello
aplicaremos el método Ruffiini.
c) 11
Resolución
4 5 6 ↓ 24
5 174
4 29
179
179 ∴ 455 (6) =
b = 2a → b = 4a 2 a+ 3 = b−3→ a+6 = b
PROBLEMA 04
Remplazando en b: a+6= 4a a=2
Entonces: b = 8 Por lo tanto, a + b = 10
88
escritos
1a3(m) ; bn2 (6) ;12m(n)
351(m) ; 4m2 (n) ;n46(8) Calcular: (n − m ) a) 12 b) 14 d) 15 e) 16
numerales
Calcular S en base 10 si: S = 3ab (6) + 4b2 (a) + 23 (b) a) 275 d) 914
b) 747 e) 100
c) 847
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Resolución Aplicando principios tenemos: a<6 ; b
3< b
Remplazando en S: S = 354 + 442 (6)
(5)
+ 23
Pide “S” en base decimal, aplicando Ruffiini se tiene. 3 5 S = 6 ↓ 18 3 23
4 4 4 138 + 5 ↓ 20
2 2 120 + 4 ↓
3 8
142
122
11
4 24
2
S = 142 + 122 + 11 S = 275
(4)
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si los numerales mostrados a continuación:
2n5 (9)
y
576
(n)
escritas. Determinar; “n” a) 8 b) 7 d) 6 e) 9
; están correctamente
c) 4
33
; nn (m) ; mm (6) (n) Están bien representados 2
Calcular: (m − n ) a) 8 b) 9 d) 10 e) 11
c) 7
03. Si los números están bien representados: 213
; 10m (n) ; 2n4 (p) ; mnp (7) Determinar: m + n + p a) 20 d) 15
3a (b) ; 55
(a)
; b3 (c) ; 2c (9)
Hallar: (a + bc) a) 73 b) 62 d) 82 e) 64
c) 56
06. Si los números están correctamente escritos
02. Si los números:
2
05. Si los números están bien representados:
(m)
b) 18 e) 23
c) 19
04. Si los números están bien representados: c42 (8) ; 43 (a) ; a5 (b) ; b42 (c) Calcular: a + b + c a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
223 ( x ) ; 2 x 3 ( y) ; 54 z (7) ; 3y1 (z) Halle x + y + z a) 15 b) 18 d) 20 e) 21
c) 19
07. Dado siguiente igualdad: 136 (m) + 33n (p) + 13m (n) = 44p
Hallar: (m + n + p) a) 21 b) 23 d) 24 e) 26
c) 22
08. Si se cumple: 15425 = a1 (b) × b3 (8) (a)
Hallar: ab + ba a) 123 b) 67 d) 226 e) 113
c) 143
09. Si se sabe que 234 (m) + 1m 4 (n) =24 n (7) + x Halle el valor de m + n
Academia GAUUS
89
JOHN MAMANI M. a) 8 d) 11
b) 9 e) 13
a) 361 d) 362
c) 10
10. Hallar; a + c , en:
aa a) 8 d) 11
11. Dado los números: 4m3 (p) ; pp
(8)
; 14a (n) ; 35n (m)
Determinar: m + n + p a) 20 b) 18 d) 15 e) 23 12. Si: 10a
(4)
; 2bc
(a)
(c)
13. Sabiendo que: U0(N) + N1 (A) + A2(P) = P3(5) . c) 12
14. Si los numerales: (b − 1)1bm
(c)
; 2c3a
(5)
; b1c1b
(a)
Están correctamente escritos, calcule a × b × c a) 15 b) 6 c) 24 d) 20 e) 18 15. Sabiendo que “a” es impar y “b” es par. Hallar “c” si: 231 (a) + 11a a) 3 d) 5
(b)
− 1ab
b) 4 e) 6
(8)
= c (7)
c) 2
16. Calcular en base decimal: 135
90
(a)
+ ab
(c)
+ (d + 1)3d
b) 9 e) 12
+ 12b (c) + 15a (b) + 14c (9)
(6)
+ bc0
(d)
c) 10
18. Como se escribe en base 9 el menor de los siguientes números: a) 252 d) 418
Están correctamente escritos y a, b y c son cifras diferentes. Hallar: a + b + c a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4
Hallar: U + N + A + P + P a) 10 b) 11 d) 13 e) 14
(b)
7a3 (8) + 545
c) 19
; bb
c) 359
17. Calcular en base decimal, dé como respuesta la suma de sus cifras:
5ab (c) ; 2c (7) ; 4bd (a) b) 12 c) 13 e) 25
a) 11 d) 14
b) 360 e) 363
(b)
b) 352 e) 128
+ 6b5 (a) c) 333
19. Si los numerales (3a)b; (2b)c
2
(a)
;(c − 1)(d − 1)
(5 − d)
Están correctamente escritos Calcule a + b + c + d a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 20. El siguiente numeral es capicúa a 4c (2a + 1)(2a) 3 + (b + 1) d 2 3 (5) Calcule a + b + c + d a) 3 b) 2 c) 5 d) 7 e) 1
21. Dado el numeral capicúa
(2a − 1)(a + b)(c + b − 2)(8 − c)(3 + c)(5 − a) Calcule el valor de a × b + c a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 22. Si el numeral es capicúa 2
3
(a + b)(c + 1)(b + 1)(b + 3)(m + 4) Calcule el máximo valor de a + b + c + m a) 18 b) 13 c) 21 d) 17 e) 16
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. CONTEO DE NÚMEROS PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
¿Cuantos numerales de
la siguiente forma
a(a + 1)b(b − 3)c existen? a) 575 b) 767 d) 514 e) 560
¿Cuántos
números
Resolución
forma
Resolución
a(a + 1)b(b − 3)c
3 4 5 9 × 7 ×
la
b a(a + 6) (c − 3)d existen en base 8? 2 a) 1575 b) 1267 c) 1024 d) 1514 e) 1060
c) 340
Forma práctica
1 2 3 8 8
de
b a(a + 6) (c − 3)d 2 (8)
0 1 2 9
0 2 4 14
1 2
10 = 560 2
Por lo tanto, hay 560 numerales
×
3 4 5 10
0 1 2 7
8×8 × 8= 1024
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cuántos
números
(a − 6)(b + 2)(a + 2) a) 25 d) 23 02. ¿Cuantos
(11)
de
forma
existen?
b) 26 e) 24 numerales
la
la
forma
n existen 9? (m − 3)(2 + n)(1 + m) p 2 (9) a) 120 d) 144
b) 108 e) 288
c) 64
03. ¿Cuántos numerales existen de la forma c ? (b + 3) (c + 1)(5 − b) 2 (15) a) 56 d) 64
b) 80 e) 49
Academia GAUUS
números
de
la
forma
x existen? (3 x ) (y − 4)(y + 2) 2 (18)
c) 22 de
04. ¿Cuántos
a) 25 d) 23
b) 26 e) 24
c) 22
05. ¿Cuántos numerales de la siguiente forma (a + 2)ab(2b)(c − 3)c 12 existen? a) 510 d) 620
b) 540 e) 640
c) 560
06. Si existen 693 numerales de la forma (a − 4)ba(b + 3)c(2c)n , calcule la suma de
c) 92
cifras de “n”. a) 9 b) 7 d) 6 e) 4
c) 5
91
JOHN MAMANI M. CAMBIO DE BASE I II. 2215
PROBLEMA 01 El número 231 del sistema de base de cinco, es el sistema de base 10 es: a) 60 b) 66 c) 63 d) 65 e) 71
llevemos a base 10
(6)
2 2 1 6 ↓ 12 84
5 510
2 14 85
515
Resolución Pide
en
231 (5)
base
decimal,
para
aplicaremos el método Ruffiini. 2 3 5 ↓ 10
1 65
2 13
66
515 ∴ 2215 (6) =
ello III. 1340
llevemos a base 10
(7)
1 7 ↓
3 7
4 70
0 518
1 10 74
518
∴ 231 (5) = 66
∴ 1340 (7) = 518 IV. 1004
PROBLEMA 02 ¿Cuál de los siguientes números representa el mayor número en base 10? I. 4024 2215
III.
1340
IV.
1004
V.
371
a) I d) IV
4 512
1 8 64
516
(6)
∴ 1004 (8) = 516
(7) (8)
V. 371
(12)
b) II e) V
c) III
Resolución I. 4024
(5)
llevemos a base 10
1 0 0 8 ↓ 8 64
(5)
II.
(8)
llevemos a base 10
4 0 2 5 ↓ 20 100
4 510
4 20 102
514
(12)
llevemos a base 10
3 7 12 ↓ 36
1 516
3 43
517
∴ 371 (12) = 517 El mayor número en base 10 es III
∴ 4024 (5) = 514
92
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 03 Las edades de Paola y Beatriz se expresan en el sistema de numeración binario como 11001 (2) y 10011 (2) respectivamente. Hallar la suma de sus
edades en el sistema decimal. a) 45 b) 46 d) 44 e) 48
Juan: 1F (16) llevemos a base 10 además se sabe que F=15 1 F 16 ↓ 16 1
31
c) 49 Piden: 42 − 31 = 11
Resolución Paola: 11001 (2) llevemos a base 10 1 1 0 0 1 2 ↓ 2 6 12 24 1 3 6 12
Convierta 81 al sistema de numeración binario. a) 1001001 b) 1101000 c) 1010001 d) 1001000 e) 1110001
25
∴ 11001 (2) = 25 años Beatriz: 10011 (2) llevemos a base 10 1 0 0 1 1 2 ↓ 2 4 8 18 1 2 4 9
PROBLEMA 05
Resolución Llevemos 81 a base 2 con el método de división sucesiva.
81 2 1 40 2 0 20 2
19
0 10 2
∴ 10011 (2) = 19 años Piden: 25 + 19 = 44
0 5 2 1 2 2 0 1
PROBLEMA 04 Si Luis tiene 101010 años en la base 2 y Juan 1F años en la base 16, la diferencia de sus edades es: a) 7 b) 8 c) 10 d) 5 e) 11
Resolución Luis: 101010 (2) llevemos a base 10 1 0 1 0 1 0 2 ↓ 2 4 10 20 42 1 2 5 10 21
42
∴ 101010 (2) = 42 años Academia GAUUS
∴ 81 = 1010001(2)
PROBLEMA 06 Convierta el número 2456 del sistema octonario al sistema nonario. a) 1733 b) 1622 c) 1522 d) 1326 e) 1433
Resolución Del problema: 1° 2° 2456 (8) → Base 10 → Base 9
93
JOHN MAMANI M. 1° Por Ruffiini 2 4 5 8 ↓ 16 160
6 1320
2 20 165
1326
PROBLEMA 08 122 × 240 (6) (5) Calcular: 120 (5) un número en base 3 a) 12002 b) 21002 d) 10210 e) 20012
2° Por divisiones sucesivas
1326 9 3
147 9
Llevamos ambos números del numerador y denominador al sistema decimal. 1 2 2 6 ↓ 6 48
7 1
∴ 2456 (8) = 1326 = 1733 (9)
1 8
PROBLEMA 07 Convierta 1αβ a) 260 d) 762
(13)
0 70
2 14
70
c) 262
Resolución Del problema: 1° 2° → Base 10 → Base 11 1(10)(11) (13)
1° Por Ruffiini 1 10 13 ↓ 13
11 299
1 23
310
⇒
50
2 4 5 ↓ 10
a base 11
b) 132 e) 140
1 2 5 ↓ 5
0 35
1 7
35
122 (6) × 240 (5) 120 (5)
50 × 70 == 100 35
Ahora llevemos este número a sistema de base 3 100 3
1
33 3 0 11 3
2° Por divisiones sucesivas
2 3 3
310 11
0 1
2 28 11 6 2 ∴
Luego: ∴ 1αβ
94
(13)
c) 10201
Resolución
3 16 9
Luego:
y expresarlo como
= 310 = 262 (11)
122 (6) × 240 (5) 120 (5)
= 10201 (3)
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Indica el mayor de los siguientes números. a) 1002 (3) b) 212 (4) c) 47 (8) d) 104 (5)
e) 54 (6)
02. ¿Cuál de los siguientes numerales representa la mayor cantidad? a) 237 (9) b) 102 (14) c) 143 (12) d) 124 (13)
e) 183 (11)
03. ¿Cuántos números naturales hay entre 10 (5) y 13 (4) ? a) 5 d) 1
b) 6 e) 7
c) 2
04. ¿Cuántos números naturales hay entre 10 (3) y 13 (4) ? a) 5 d) 1
b) 6 e) 2
c) 3
05. Calcular el perímetro en el sistema decimal
20 (5)
1000 (2)
08. Convertir ααββ a) 188630 d) 178518
(γ)
al sistema decimal.
b) 137551 e) 167951
09. Halle la suma en base decimal del menor numeral de 4 cifras diferentes de la base 7, con el menor numeral de tres cifras de la misma base. Dé como respuesta la suma de las cifras del resultado. a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 10. ¿Cuál de los siguientes números binarios es la representación del número 100 del sistema decimal? a) 110010 b) 110110 c) 1100100 d) 110100 e) 1101010 11. Convertir 222 (6) al sistema quinario a) 322 b) 432 c) 321 d) 423 e) 451 12. Convertir 132(5) a base (4) a) 111 d) 245
b) 222 e) 125
13. Expresar el número
101 (3) a) 20 d) 112
b) 31 e) 41
c) 30
06. Lilian cumplió 15 años en el año 1165 (12) . ¿En qué año nació? a) 1956 b) 1934 c) 1945 d) 1900 e) 2000 07. Convertir 5αβ a) 800 d) 851
(12)
al sistema decimal.
b) 551 e) 951
Academia GAUUS
c) 861
c) 180861
septenario: a) 260 d) 1010
b) 332 e) 324
14. Convertir 2211 a) 118 d) 136
(3)
c) 124 352 (6)
al sistema
c) 111
al sistema de base 7.
b) 122 e) 126
c) 128
15. En el sistema de numeración con base 8 una cantidad está representada por 1757. ¿Cómo se representaría la misma cantidad en el sistema de base 3?: a) 101102 b) 110012 c) 11010 d) 1101022 e) 1011202
95
JOHN MAMANI M. 16. Escribiendo en base 11 el número 1010011 del sistema binario, se obtiene: a) 76 b) 84 c) 72 d) 86 e) 75 17. El mayor número de 3 cifras del sistema octonario ¿Cómo se representa en el sistema septenario? a) 133 b) 1330 c) 1220 d) 331 e) 1331 18. Exprese en el sistema heptanario el menor numeral de 3 cifras diferentes del sistema nonario. a) 204 b) 144 c) 146 d) 145 e) 206 19. Exprese en el sistema nonario, el menor número del sistema cuaternario, tal que la suma de cifras sea 13. a) 627 b) 616 c) 726 d) 567 e) 267 20. En la figura las longitudes de los lados de un triángulo están expresados en el sistema ternario
20(3)
22(3)
101(3) Como se expresa el perímetro de triangulo en el sistema binario a) 11100 b) 1111 c) 1101 d) 11000 e) 1011
23. Dados los números binarios m=11; n=111 y 3
2
p=1111, entonces m + n + p en base binaria es: a) 1010011 b) 101001 c) 1101101 d) 1101100 e) 1011011 24. Al expresar 242 en base 7 se obtuvo ana (7) , calcular la suma de cifras al expresar aaaa (5) en base “n” a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
25. Expresar “M” en base ocho si: 4
3
2
M = 2 × 8 + 3 × 8 + 7 × 8 + 43 Dar como respuesta la suma de cifras de orden impar. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 6
4
2
3
2
1
26. Si: N = 4 × 7 + 3 × 7 + 5 × 7 + 4 ¿Cuántas cifras tiene N al expresarlo en base siete? a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 27. Si: N = 3 × 7 + 4 × 7 + 5 × 7 + 4 ¿Cómo expresaría “N” en base siete? Dar como respuesta la cifra de tercer orden. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a
b
c
d
e
21. El producto 2010 (4) × 111 (2) en base 7 está dado por: a) 2620 b) 2260 c) 2640 d) 2460 e) 2450
28. Si: 2541 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 Calcular: (a + b + c + d + e) a) 20 b) 25 c) 30 d) 10 e) 15
22. Lilian tiene 41 (8) años y Rocío tiene 210 (4) años ¿Cuál es la diferencia de sus edades en base 2? a) 11 (2) b) 101 (2) c) 110 (2)
29. Sabiendo que: a > b > c > d > 0, resolver la
d) 111 (2)
96
e) 10 (2)
a
b
c
d
ecuación: 2 + 2 + 2 + 2 = 2328 Indicar el valor de: a × b × c × d a) 810 b) 1056 c) 960 d) 720 e) 1024 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. CAMBIO DE BASE II 2° Por divisiones sucesivas 255 8
PROBLEMA 01 Hallar " x + y + z " si se cumple: ( x + 1)(y − 3)( z + 2) a) 9 d) 12
(6)
b) 10 e) 13
7
= 200
7
c) 11
3
Luego: ∴ 11111111 (2) = 255 = 377 (8) = abc (8)
Resolución Llevemos 200 a base 6, por divisiones sucesivas. 200 6 2 33 6 3 5 Luego 200 =532 (6) =( x + 1)(y − 3)( z + 2)
Igualando ⇒ = a 3
= b 7
= c 7
Piden: a + b + c = 3 + 7 + 7 = 17
(6)
Igualando x += 1 5 y −= 3 3 z += 2 2 = x 4= x 6= z 0 Pide: x + y + z = 10
PROBLEMA 03 ANITALAVALATINA (M) es el menor número
capicúa posible, sabiendo que a letra diferente corresponde cifra diferente. Hallar
ISLA (8) ,
dando la respuesta en base decimal. a) 1444 b) 2378 c) 5715 d) 1505 e) 1022
PROBLEMA 02 Si se sabe que:
11111111 (2) = abc
Resolución
(8)
Dando valores al capicúa para que sea el menor posible.
Hallar: (a + b + c) a) 12 d) 17
31 8
b) 16 e) 10
c) 15
ANITALAVLATINA (M) = 102314151413201
Resolución
ISLA (8) = 2741
Del problema: 1° 2° 11111111 (2) → Base 10 → Base 8
1° Por Ruffiini 1 1 1 1 1 1 1 2 ↓ 2 6 14 30 62 126
1 254
1 3 7 15 31 63 127
255
Academia GAUUS
(6)
Entonces: (8)
Llevando a base decimal. 2 7 4 8 ↓ 16 184
1 1504
2 23 188
1505
Luego: ∴ ISLA (8) = 1505
97
JOHN MAMANI M.
Resolución
PROBLEMA 04 Se tiene una colección de pesas de 1kg, 3kg, 9kg, 27kg, …, y se desea pesar 1140kg. ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse? a) 4 b) 10 c) 6 d) 3 e) 2
1º = a En cada dada salió: 2º = b 3º = c Del enunciado (a(7) + b)7 + c = 136 2
Resolución
a(7) + b(7) + c = 136
Como las pesas son potencias de 3, entonces 1140 lo expresamos en base 3. Así:
1140 3
abc (7) = 136 Llevemos 136 a base 7, por divisiones sucesivas.
136 7 3 19 7 5 2
0 380 3 2 126 3 0 42 3
Entonces:
0 14 3
abc (7) = 253
2 4 3 1 1
Luego: 5
4
1
1140 = 1(3) + 1(3) + 2(3) + 2(3)
1 pesa de 36 kg 1 pesa de 3 5 kg Se tiene 4 2 pesas de 3 kg 1 2 pesas de 3 kg ∴ N° de pesas = 1 + 1 + 2 + 2 = 6
PROBLEMA 05 Se arrojan tres dados; el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 136 ¿Cuánto sumaran las cantidades que dan como resultado los dados? a) 10 b) 11 c) 14 d) 13 e) 12
98
= a 2= b 5= c 3 Piden: a + b + c = 2 + 5 + 3 = 10
1140 = 1120020 (3) 6
(7)
PROBLEMA 06 El número telefónico de JohnsRM es capicúa. Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego se multiplica por 11 y finalmente se añade la tercera cifra y obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de JohnsRM? a) 985589 b) 640046 c) 816618 d) 327723 e) 648846
Resolución El número telefónico será: abccba Del enunciado (a(11) + b)11 + c = 985 2
a(11) + b(11) + c = 985 abc (11) = 985 Llevemos 985 a base 11, por divisiones sucesivas. 985 11 6 89 11 1 8 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Entonces: abc (11) = 816
Resolución Llevemos 42E a base 7, por divisiones sucesivas.
(11)
= a 8= b 1= c 6
42E 7 E 60 7 4 8 7 1 1
Por lo tanto: abccba = 816618 Luego:
= 42E 114E = MATE (7) (7) Igualando:
PROBLEMA 07 Si: MATE (7) = 42E Encuentre el valor de: M+A+T a) 5 b) 4 d) 8 e) 6
⇒= M 1 c) 7
= A 1
= T 4
Piden: M + A + T = 1+ 1+ 4 = 6
¡Comprueba lo que sabes! a) 1 d) 4
01. Hallar " a + b + c " Si: abc (3) = 15 a) 7 b) 8 d) 3 e) 2
c) 1
c) 13
Si: m13 (4) = 39 a) 1 b) 4 d) 3 e) 2
c) 5
05. Si: xyz
(5)
= 89
(6)
c) 3
= 209 c) 25
142 =
b) 7 e) 23
c) 8
08. Hallar " a + b " Si: ab (9) = 135 (7) a) 11 b) 12 d) 14 e) 15
04. Calcular “b” Si 1b7 (9) = 124 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
07. Si: xy( x + 1)
(7)
b) 9 e) 49
Halle: x + y a) 6 d) 9
03. Calcular “m”
c) 3
2
06. Calcular a , si : 41a a) 16 d) 36
02. Hallar " a + b + c " Si: abc (7) = 139 a) 11 b) 12 d) 14 e) 15
b) 2 e)5
c) 13
09. Hallar " a + b " , si: aba (5) = 102 (9) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Halle: x + y − z Academia GAUUS
99
JOHN MAMANI M. 10. Halle: a + b + c Si: abbc (8) = 4175 (9) a) 13 b) 14 d) 8 e) 5
18. Calcule 2a + b c) 12
11. Halle: a + b + c Si: abcd (6) = 413 (9) a) 3 b) 6 d) 8 e) 5
13. Si: 1011 (4) = abc (6) Halle: " a + b + c " a) 8 b) 6 d) 10 e) 12 14. Si: 1894 = 3abc (8) Hallar: 2a + b + c a) 21 b) 22 d) 23 e) 24
c) 2
c) 12
c) 9
Calcular: J + O + H + N a) 10 b) 15 d) 25 e) 30
100
= 2799
(8)
c) 20
22. Si: c) 20
c) 4
(U − 2)(N + 1)(A − 2)
Halle: U + N + A a) 12 b) 13 d) 15 e) 16
(8)
c) 5
= 256 (9)
c) 14
23. Dada la igualdad (U − 2)(N + 2)(A − 4)(P − 5)
16. Hallar a + b + c , si: abc (7) = 246 (8) a) 10 b) 14 c) 15 d) 16 e) 12 17. Si: 312 (4) = abcd (3) Calcular: a + b + c + d a) 6 b) 4 d) 2 e) 3
20. Si: = = abc (9) mnp 312(7). (8) Hallar: a + b + c + m + n + p a) 19 b) 12 c) 21 d) 23 e) 20
(J + 1)(O + 2)(H + 3)(N + 4)
3
b) 3 e) 6
c) 6
21. Sabiendo que:
15. Si: baba (11) = 10114 (6) ; halle: a + 2b a) 2 d) 5
Si aab (7) = 213 (5) a) 2 b) 4 d) 8 e) 5
19. Se sabe que al expresar abc (6) en base 8 se obtiene 136. Calcule el valor de a + b + c . a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
12. Halle: a + b + c Si: abc (6) = 12112 (3) a) 9 b) 10 d) 8 e) 7
2
Halle: U + N + A + P a) 12 b) 19 d) 20 e) 21
(6)
= 605 (9)
c) 18
24. Se tiene un peso de 862g, una balanza de dos platillos y una colección de pesas de 1g, 10g, 100g 1000g así sucesivamente. ¿Cuál es el menor número de pesas que se deben emplear utilizando un solo platillo para las pesas? a) 17 b) 18 c) 21 d) 19 e) 16 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. Se dispone de una colección de pesas de 1kg, 2kg, 4kg, 8kg así sucesivamente, una de cada una y con ellas se quiere equilibrar un peso de 1000kg. ¿Cuántas pesas se emplearán? a) 6 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3 26. Se dispone una colección de pesas de 1kg, 3kg, 9kg, 27kg, así sucesivamente, una de cada una y con ellas se quiere equilibrar un peso de 1000kg. ¿Cuántas pesas se emplearán? a) 6 b) 8 c) 4 d) 12 e) 15 27. Se tiene una colección de pesas de 1kg, 3kg, 9kg, 27kg etc. y se desea pesar 3171kg ¿Cuál es el menor número de pesas que debe tomarse? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 28. Se dispone de una colección de pesas de 1kg, 4kg, 16kg, 64kg así sucesivamente, una de cada una y con ellas se quiere equilibrar un peso de 100kg. ¿Cuántas pesas se emplearán? a) 6 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3 29. Se tiene una colección de pesas de 1kg, 4kg, 16kg, 64kg, etc. Calcule el menor número de pesas que deben tomarse para pesar 5202kg. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 30. En un almacén se cuenta con una colección de pesas de 1kg; 6kg; 36kg; … El almacenero desea pesar 7897 kg. de azúcar. Para el efecto se desea saber ¿Cuántas pesas se usara?. a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
cuántos recipientes serán necesarios para envasar todo el aceite. a) 7 b) 6 c) 9 d) 4 e) 8 32. Un casino ofrece fichas que valen S/. 1, S/. 5, S/. 25, S/.125 y así sucesivamente. Si tengo S/.20451, ¿Cuántas fichas como mínimo podre canjear? a) 7 b) 14 c) 12 d) 11 e) 8 33. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas de tal modo que lo que les corresponda sea S/. 1,00; S/. 7,00; S/. 49,00; S/. 343,00 etc. Y que no más de 6 personas reciban la misma suma. Determinar cuántos fueron los beneficiados. a) 4 b) 5 c) 22 d) 8 e) 16 34. Robert arroja tres dados; el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 333. ¿Cuánto sumaran las cantidades que dan como resultado los dados? a) 14 b) 15 c) 16 d) 13 e) 12 35. Una empresa que fabrica yogurt, desea almacenarlo en contendedores de 64, 512 y 4096 litros, si se cuenta con una producción de 25920 litros ¿Cuál es el menor número de contenedores a utilizar? a) 12 b) 16 c) 19 d) 13 e) 15
31. Se tiene 929 litros de aceite que se desea envasar en recipientes de 1, 5, 25, 125 litros … de capacidades, si se disponen de a lo más 4 recipientes de cada tipo. Determinar Academia GAUUS
101
JOHN MAMANI M. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA I
Resolución
PROBLEMA 01 En qué sistema de numeración se realizó: 41 − 32 = 5 a) Octal b) Decimal c) Heptal d) Nonario e) Senario
Descomponiendo. 2
2
n + 2n − 63 = 0 (n + 9)(n − 7) = 0 ∴n = 7
PROBLEMA 04 Hallar “n” en: 370 = 226 a) 14 d) 12
c) 16
Descomponiendo.
Halle “x”, si: 4 x1 (7) = 1 xxx (5) b) 4 e) 2
2
c) 5
2
364 = 2n + 2n 182 = n(n + 1) 13(13 + 1) = n(n + 1) ∴n = 13
Resolución 2
3
2
4(7) + x(7) += 1 1(5) + x(5) + x(5) + x 196 + 7 x + 1= 125 + 25 x + 5 x + x 197 + 7 x = 125 + 31 x 72 = 24 x x=3
PROBLEMA 05 Hallar a + b , si: ababab (3) = abb0 (7) a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
PROBLEMA 03
Resolución
Hallar el valor de “n”, si: 123 (n) = 231 (5) b) 7 e) 9
1
370 = 2(n) + 2(n) + 6
Descomponiendo
102
(n)
b) 11 e) 13
Resolución
PROBLEMA 02
a) 8 d) 10
1
2
Resolución
a) 3 d) 1
2
n + 2n + 3 = 66
Sea “x” la base, luego. 41( x ) − 32( x ) = 5( x ) Descomponiendo: (4 x + 1) − (3 x + 2) = 5 4 x + 1 − 3x − 2 = 5 x −1 = 5 x=6 ∴ se realizó en el sistema senario.
1
1(n) + 2(n) += 3 2(5) + 3(5) + 1
Descomponiendo polinómicamente 5
c) 6
4
3
2
3
2
a3 + b3 + a3 + b3 + a3 + b = a7 + b7 + b7 + 0 273a + 91b = 343a + 56b 35b = 70a 1b = 2a
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. ∴La diferencia es 5
Entonces: = a 1= b 2 Pide: a + b = 3
PROBLEMA 07 Calcular el valor de “a” 2
PROBLEMA 06 Existen dos valores de " a " que cumplen: a(a + 1)(a + 2)
(a + 3)
a) 2 d) 8
105 =
¿Cuál es su diferencia? a) 4 b) 3 d) 7 e) 6
(4a)
Resolución
c) 5
Resolución Descomponiendo. 2
1
2
1
a(a + 3) + (a + 1)(a + 3) + (a += 1) 1(4a) + 0(4a) + 5 3
2
a a (a − 1)(a − 1) = aa 2 2 b) 4 c) 6 e) 5
Descomponiendo polinómicamente a 3 2 a 2 (a − 1)10 + (a − 1)10 + 10 + = (10a + a) 2 2 a 2 1100(a − 1) + 11 = 121a 2
2
2200(a − 1) + 11a = 242a
a + 7a + 14a += 5 16a + 5 2
200(a − 1) + a = 22a a=8
a − 9a + 14 = 0 (a − 2)(a − 7) = 0 a=7 a=2
2
2
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿En qué sistema de numeración se realizó: 41 32 5 ? a) 2 b) 6 c) 10 d) 9 e) 12
05. ¿En qué sistema de numeración se cumple: 54 + 43 = 103 ? a) octal b) quinario c) heptal d) nonal e) senario
02. En qué sistema de numeración se efectuó la siguiente operación: 34 + 15 = 53 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
06. ¿en qué sistema de numeración se realizó la operación 134 + 43 = 221 ? a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
03. En qué sistema se realizó la operación: 63 − 27 = 35 a) 10 b) 9 c) 5 d) 2 e) 8
07. Al responder una encuesta un ganadero escribe en la ficha lo siguiente: N° de toros: 24 N° de vacas: 32 Total de cabezas: 100 El sistema de numeración que utiliza el ganadero es: a) 8 b) 9 c) 5 d) 6 e) 7
04. En qué sistema de numeración se cumple: 50 − 22 = 27 a) 9 b) 7 c) 5 d) 6 e) 8 Academia GAUUS
103
JOHN MAMANI M. 08. En el sistema de numeración en el que 100 se expresas como 84, el producto 8 × 8 se expresa como: a) 54 b) 45 c) 62 d) 80 e) 72 09. Hallar “a” aa3 (5) = 333 (4) a) 2 b) 1 c) 0 d) 4 e) 3
a) 2 d) 4
b) 55 e) 22
c) 44
2
11. Si: 2n = 42 (n) , el valor de n es: a) 36 b) 25 c) 16 d) 49 e) 64
aa5 (8)= (a − 3)05 Hallar el valor de “a” es: a) 4 b) 5 d) 7 e) 8
43 x (5) = xx 6 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
13. Halla “a” para que se cumpla: 3aa a) 1 d) 4
(7)
11a3
b) 2 e) 5
(5)
c) 3
14. Halla “a” para que se cumpla: a11
a) 2 d) 6
(7)
= 37a
b) 3 e) 2
(8)
c) 5
(4)
= 1x1
2
Hallar “ x ”. a) 4 b) 5 d) 9 e) 16
c) 25
Hallar: (a + 2) / (a − 2) a) 2 b) 1,5 d) 1, 3 e) 3
104
= 3n3 (7) (6)
c) 2,5
19. Hallar “n” si se cumple: (n + 1)(n − 2)(n − 3)(n) = 1317 b) 11 e) 14
c) 12
20. Hallar el valor de “n”, si se cumple: n n n n = n 2 2 2 (n) 2 a) 2 d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
21. Si aa (8) = 4a + 1a (9) Representar aaa (12) en base 10. a) 1099 b) 1092 c) 2000 d) 7 e) 777 22. Determinar “m” tal que vale la igualdad:
(10(m) ) a) 5 d) 2
= 10 000 000(m)
b) 4 e) m cualquiera
c) 3
23. Si: ab = ba (4) 3
16. Hallar “n” (2n)3n
c) 6
aaaa (5) = (a + 2)(a − 2)a
111m
15. Se tiene: 1( x + 1) x1
(12)
18. Si se cumple que:
a) 10 d) 13
12. Calcular “x” en:
c) 0
17. Si se cumple la siguiente igualdad:
10. Si: n7 (8) = 10n (7) el valor de nn es: a) 33 d) 66
b) 1 e) 5
Calcule el valor de: a + b a) 9 b) 8 d) 14 e) 28
2
c) 10
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 24. Si: ab = ba (4) . Calcular 3a+2b a) 9 b) 7 c) 12 d) 11 e) 13 25. Hallar " a + b " ; si: ab (9) = ba (7) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)8
c) 3
27. Halle: 2a + b a) 7 d) 5
(6)
= bab (7)
b) 8 e) 6
c) 9
28. Sabiendo que: a0b (11) = b0a (13) Hallar: " a + b " a) 9 b) 12 c) 10 d) 11 e) 15 29. Sabiendo que: a0b (7) = b0a (11) Hallar: " a + b " a) 9 b) 8 c) 10 d) 11 e) 7 30. Hallar " a + b " : si: a(2a)a a) 10 d) 5
b) 4 e) 8
(9)
= bbbb (7) c) 6
31. Si: aba (5) = aab (6) Hallar: a + b a) 3 b) 4 d) 6 e) 7 32. Si: aaa = bbbb (6) Hallar: " a + b " Academia GAUUS
b) 3 e) 12
c) 10
33. Hallar el valor de “n” si: 1004 (n) 4100 a) 9 d) 5
b) 7 e) 8
c) 6
34. Halla el valor de “n”. Si: 203 (n) = 55 (6)
26. Si: aba (4) = bba (3) Calcule: a + b a) 9 b) 8 d) 1 e) 4
Si: (2a)ba
a) 7 d) 11
c) 5
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
35. Si se cumple que: 102(n) = 266(7) Calcular “n”. a) 5 b) 7 c) 12 d) 8 e) 15 36. Hallar “n”. Si: 501 (n) = 265 (8) a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 37. Si 3n (5) = 103 (n) el valor de 2n − 1 es: a) 5 d) 3
b) 9 e) 1
c) 7
38. Hallar "n"; Si: 222 (n) = 182 a) 8 b) 7 c) 10 d) 11 e) 9 39. Si: 121 (n) = 196 . Halla el valor de “n”. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 40. Halle " n + 3" en 114 (n) = 234 (6) a) 7 b) 8 c) 11 d) 12 e) 9 41. Hallar “x” si. 530 ( x ) = 363 (11) a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 8
105
JOHN MAMANI M. 42. Hallar “n”, en: 421 (n) = 133 (9) a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
43. Calcular “n”, si: 105 (n) = 132 (4) a) 6 d) 7
b) 5 e) 8
c) 9
44. Hallar "n"; Si: 1331 (n) = 20000 (4) a) 3 d) 6
b) 5 e) 10
45. Calcular “n” en: 100 a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 7
(n)
= 1000
(4)
c) 6
46. Hallar la base del sistema de numeración en el cual el número 52 del sistema decimal se escribe como 103. a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) 9 47. Hallar la base del sistema de numeración en el cual el número 72 del sistema decimal se escribe como 1020. a) 1 b) 5 c) 6 d) 3 e) 4 48. ¿En qué sistema de numeración el número 141 (base 10) se escribe como 261? a) heptal b) quinario c) nonario d) binario e) decimal 49. ¿En qué sistema de numeración el número 141 se escribe 261? a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 4 50. El número 1002 de la base 4, en que base se escribe como 123.
106
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
51. El número 102 se escribe como 204 en base “k”, halla “k”. a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 52. ¿En qué sistema de numeración el número 345 se escribe 137? a) 8 b) 7 c) 5 d) 6 e) 9 53. ¿En qué sistema de numeración el número 323 se escribe 164? a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 11 54. Si el número 145 (6) se expresa en base "n" como 1001. Hallar "n" a) 5 b) 4 d) 3 e) 8
c) 6
55. El numeral 254 (9) es equivalente a 421 de la base “n”. Hallar el valor de "n" a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 56. Si el numeral 1331 de la base "n" es igual al menor número de cuatro cifras de la base 6. Hallar "n". a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 57. Un número se escribe en el sistema binario como 101010, en que base se representará como 132. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 8
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA II PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Calcular: (a + b + c) , si.
Hallar: (a + x) , si:
aabc
a) 6 d) 8
(7)
= babb
144
(5)
b) 9 e) 4
a) 13 d) 25
c) 7
2
= aa5
b) 10 e) 15
c) 11
Resolución
Resolución
Descomponiendo y luego tanteamos.
Descomponemos y luego tanteamos. 3
(x)
3
2
2
1
2
1(x) + 4(x) += 4 a(10) + a(10) + 5
a(7) + a(7) + b(7) += c b(5) + a(5) + b(5) + b 376a + c = 124b ↓ ↓ ↓ 1 5 3
2
x + 4x + = 4 110a + 5 2
x + 4x= 110a + 1 ↓ ↓ ↓ 13 13 2 ∴x+a = 15
∴a + b+ c = 9
PROBLEMA 02 Hallar (b − a) a(2a)(a + 1)
a) 4 b) 7
(b)
= 1233
PROBLEMA 04
(5)
b) 5 e) 8
Hallar la suma mínima de las bases; en las cuales 444 = 124 ; b > a > 4
c) 6
(a)
a) 16 d) 18
Resolución
(b)
b) 15 e) 20
Descomponiendo y luego tanteamos: 2
1
3
2
2
ab + 2ab + a + 1 = 193
Resolución
1
a(b) + 2a(b) + (a + 1) = 1(5) + 2(5) + 3(5) + 3
Descomponiendo y luego tanteamos. 2
1
2
1
4(a) + 4(a) + = 4 1(b) + 2(b) + 4
2
ab + 2ab + a = 192
2
2
4a + 4a + 4 = b + 2b + 4
2
a(b + 2b + 1) = 192
2
2
4a + 4a = b + 2b ↓ ↓ ↓ ↓ 5 5 10 10
2
a(b + 1) = 192 2
a(1 + b) = 192 ↓ ↓ 3 7
c) 17
Piden:
∴a + b = 15
∴b−a = 4
Academia GAUUS
107
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05
PROBLEMA 07
En qué sistema de numeración los números que se dan, están en progresión aritmética.
Si: 9 6 15
284 ; 2α1; 2ββ
a) 11 d) 14
b) 12 e) 16
a a a (7)
Determinar: a × n a) 10 b) 18 d) 12 e) 9
c) 13
Resolución
( 284(x) ; 2α1(x) ; 2ββ(x) ) P.A
a 9, 6 y 15. Entonces:
2α1(x) − 284 (x) = 2ββ(x) − 2α1(x)
Descomponiendo y remplazando a: α = 10
325
y
2
2x − 3 = x − 10
= 2212
(n)
3
2
3
2
3(7) + 2(7) + 5= 2n + 2n + 1n + 2
164 = 2n + 2n + n
2
2x + 10x + 1 − 2x − 8x − 4 = 2x + 11x + 11 − 2x − 10x − 1
(7)
2
β = 11 se tiene:
Por tanteo: n = 4 Piden: a × n = 3 × 4 = 12
x = 13
PROBLEMA 06
PROBLEMA 08
Un capicúa de 3 cifras de la base 10 es un número de 4 cifras iguales en base 6. Hallar la suma de las cifras del primer número. a) 20 b) 15 c) 18 d) 21 e) 12
Si: ab5
(b −1)5
= c(b − 1)(2b + 4)(2b + 1)
Calcule: a + b + c a) 8 b) 11 d) 19 e) 23
c) 15
Resolución
Resolución Del enunciado
El único valor que puede tomar b = 2
aba = cccc (6)
Remplazando en el enunciado
Descomponiendo polinómicamente 2
3
2
a(10) + b(10) += a c(6) + c(6) + c(6) + c 101a + 10b = 259c ↓ ↓ ↓ 7 7 3 Entonces: aba = 777 Pide: 7 + 7 + 7 = 21
108
c) 15
El valor de a = 3 , porque es el único que divide
Como es una serie aritmética, hallemos su razón.
2
(n)
Resolución
Sea la base “x”
2
=(a − 1)(a − 1)(a − 2)(a − 1)
a25 15 = c185 Descomponiendo polinómicamente 2
3
2
a(15) + 2(15) = + 5 c(10) + 1(10) + 8(10) + 5 225a + 35 = 1000c + 185 225a 1000c + 150 = = 9a 40c + 6 ↓ ↓ 14 3 Pide: a + b + c = 14 + 2 + 3 = 19
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 10
PROBLEMA 09 3
Si: a(n )bc
(4n)
= aac
Si: (n + 1)
3
40a
Calcular el valor máximo de: a + b + c a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
Resolución El único valor que puede tomar n = 1
50a
= 751
(b) (b)
Resolución Descomponiendo
a1bc (4) = aac (8)
2
Descomponiendo polinómicamente 2
(11)
= 606
El numeral ab escrito en el sistema de numeración duodecimal será: a) 1α b) 7α c) 84 d) 81 e) 75
Remplazando en el enunciado
3
(11)
2
a(4) + 1(4) + b(4) += c a(8) + a(8) + c 16 + 4b = 8a 4+b= 2a ↓ ↓ 2 3 Como pide calcular el máximo valor entonces
2
4(11) + 0(11) + a= 6b + 0b + 6
478 + a = 6b 2
2
2
5(11) + 0(11) + a= 7b + 5b + 1 2
604 + a= 7b + 5b Sumando ambas ecuaciones 2
1082 + 2a= 13b + 5b ↓ ↓ ↓ 8 9 9
Piden ab en base 12 89 12 5 7
c=3 Calculando lo que pide: a + b+ c = 3+ 2+ 3 = 8
⇒ ab = 75
(12)
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar " a + m + p " , en: aaa
a) 12 d) 16
(7)
b) 13 e) 18
03. Se cumple que: aaa (8) = bc8 = mp2
c) 15
02. Hallar: (a + b + c)
b) 12 e) 15
Academia GAUUS
c) 13
04. Si: xxx (3) = a6 ; Hallar: "a + x "
Si: ccc (8) = ab1 a) 11 d) 14
Halle: a + b + c a) 16 b) 12 d) 14 e) 15
c) 13
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
109
JOHN MAMANI M. 05. Si: aaaa (4) = xy 0 ; Hallar: "a + y − x " a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
(5)
= xy 8, calcular el
valor de: ( x + y) b) 9 e) 12
c) 10
07. Si: xxx (9) = yz7 . Hallar: a) 14 d) 12
b) 7 e) 15
2
y −z 3 c) 9
2
08. Si se cumple:
xxx (11) + xx (11) + x (11) = ab8 Calcular: a + b − x a) 5 b) 6 d) 8 e) 4 09. Si a5(a − 1)
(8)
c) 7
= ba4
b) 9 e) 8
c) 5
b) 12 e) 14
c) 6
11. A partir de la igualdad abc (6) = bcb (7) , calcule el valor de a × b × c a) 18 b) 12 d) 24 e) 20 12. Hallar x + y, si: xyx
110
c) 8
(6)
= ab7
b) 19 e) 11
(8)
c) 18
14. Si m0m (8) = ab 00 (5) Calcule a + b + m a) 14 b) 13 d) 12 e) 9
c) 10
15. Si el doble de abb (7) es igual a b7 a (9) , halle el valor de a × b a) 20 b) 12 d) 24 e) 9
c) 8
16. Calcular " a + b " , si se sabe que:
abab (5)= (a + b)aa (8)
17. Si: xyy
b) 6 e) 5
(9)
c) 7
=(y + 1)(y + 1) x
(7)
Calcular: ( x + y)
10. Si: 144 (m) = aa5, calcular: (a + m) a) 13 d) 15
a) 15 d) 10
a) 8 d) 9
Calcule a × b
a) 12 d) 6
b) 7 e) 10
13. Calcular a × b si: 10ab
06. En la igualdad aaaa
a) 8 d) 11
a) 6 d) 9
(7)
c) 16
= 11y1
a) 5 d) 8
b) 6 e) 4
c) 7
18. ¿Cuántos valores puedes tomar “b” para que se cumpla?
a0ab (6) = bb(2b) a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
19. Hallar: a + b , si: aab (5) = bbb (b + 1) (6)
a) 7 d) 6
b) 8 e) 9
c) 5 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 20. Halle el máximo valor de “a” a0a (n) = (3a)a a) 7 d) 10
b) 8 e) 4
27. Hallar el máximo valor de “n”, si: ab (n)= (b + 1)a
(3n)
c) 9
a) 14 d) 18
21. Halle el máximo valor de “ a + n ” a0a (n) = (2a)a
a) 7 d) 10
b) 8 e) 4
(b)
a) 6 d) 7
c) 9
a) 7 d) 11
c) 3
b) 12 e) 16
24. Si: (2a)(2a)(2a)
(8)
a) 34 d) 21
= a06
(n −1)
a) 34 d) 29
(n + 1)
c) 17
b) 28 e) 32
+ aa
(n + 2)
= 105
c) 36
26. Calcular el máximo valor de n en:
ab (9) ba (n) a) 63 d) 64
b) 65 e) 66
b) 33 e) 17
c) 67
(a + 1)b6 a) –2 d) –4
c) 27
(x)
= abb (8)
b) 2 e) 5
c) 4
32. Sea la siguiente igualdad: 4ab (2n= 3a(n − 3)(8) + 1) Determine el mayor valor de: (a + b + n) a) 12 d) 10
b) 9 e) 8
c) 11
33. Si: 4a6= 3n(n + 1)(8) (m) Calcular: (a + m + n) a) 8 d) 11
Academia GAUUS
c) 10
31. Calcular (a − b), sabiendo que:
25. Hallar: " a + n " en: + aa
b) 8 e) 12
= bc
(3)
121(n) 8ab
c) 13
Hallar: " a + n " a) 15 b) 16 d) 14 e) 13
(n)
c) 9
30. Halla “ a + b + n ”, si se cumple :
23. Hallar x + y; Si: 48 x ( y) = 402
aa
b) 5 e) 8
(a + 1)(a − 1)(a) (5)
b) 2 e) 5
a) 15 d) 14
28. Hallar el menor valor posible de m + n
29. Halla “ a + b + c ”, si se cumple:
= ab
a) 1 d) 4
c) 16
1331(m) 1000(n)
(2n)
22. Hallar: (a + b) Si: 111
b) 15 e) 20
(5)
b) 9 e) 16
c) 10
111
JOHN MAMANI M. 34. Dado: mnp(a) =− (a 4)2(a + 2)8 Calcular: m + n + p a) 9 d) 6
b) 8 e) 5
c) 7
ab(x) + bc (x) + ca (x) = 70(a + b + c) a) 35 d) 23
b) 34 e) 12
c) 56
42. Hallar “a” y “b”: ababab = 13ab(a b) 35. Si: abc
(6)
= 1224
a) 2 y 7 d) 5 y 6
(x)
Hallar: (a + b + c + x) a) 13 d) 16
b) 14 e) 17
c) 15
3
36. Si: (n − 1)(n )(n += 3) aba= mppq(b) (7) Calcule: “n + a + b + m + p + q” a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
2
La razón entre m y n es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 38. Calcular (a + b), sabiendo que: (a + 1)b6(x) = abb (8) a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
39. Si: abcdef (n) = x(x + 1)0x (3) Hallar: a + b + c + d + e + f + n + x a) 4 b) 15 c) 7 d) 6 e) 8 40. Si: a89 = = (m) 81m (n) 6mp(12) Hallar: m + n + p + a a) 19 d) 12 41. Hallar “x”:
112
b) 20 e) 21
c) 23
c) 3 y 7
43. Un número en el sistema de base 15 se escribe 793. ¿En qué sistema es el mayor numeral de tres cifras diferentes? a) 12 b) 14 c) 17 d) 19 e) 10 44. Encontrar expresado
37. Se tiene que: x 0 x 0 x (n) = xxx (m)
b) 7 y 3 e) 7 y 2
2
el
mayor
en
numeral
base
4
abc (6) tal
que
abc (6) = 1abc (3) . (dar como respuesta al suma de sus dígitos) a) 5 b) 6 d) 8 e) 9
c) 7
45. Hallar el valor de “m” si se cumple que: mn (a) = na (m + 2) a) 6 d) 3
b) 7 e) 5
∧
a+m+n = 21 c) 9
46. Si el número a = 20034001100010003 (escrito en base n) se convierte al sistema de 4
numeración de base n obtenemos un número cuya tercera cifra, leída de derecha a izquierda es 6. Entonces el valor de n es: a) 6 d) 9
b) 7 e) 5
c) 8
47. Si abcabc (n) = 1430 Calcule a + b + c Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 8 d) 5
b) 4 e) 11
48. Si: xyxy
(n)
a) 8 d) 9
c) 2
= 221; Hallar: x + y + n b) 7 e) 10
c) 5
( n)
a) 3 d) 6
= 592
b) 4 e) 7
c) 5
c) 12
51. Calcular (a + b + n) Si: abab (n) = 481 a) 7 d) 10 52. Si
b) 8 e) 11
c) 9
valores que toma “n” a) 20 b) 30 b) 19 e) 21
c) 48
53. Hallar el termino 50avo en la siguiente serie aritmética: 123 (n) ; 128 (n) ; 132 (n) ; ..... a) 396 (n)
b) 319 (n)
d) 389 (n)
e) 315 (n)
c) 326 (n)
54. Calcular la suma de la siguiente PA 21 (n) ; 24 (n) ; 30 (n) ; ;645 (n) Academia GAUUS
b) 1678 e) 1346
c) 1623
56. Hallar el número de términos de la progresión aritmética. 25 (n) ; 40 (n) ; 51 (n) ; ; 4121 (n) b) 123 e) 129
c) 126
57. ¿En qué sistema de numeración los números 123, 140, y 156 forman una progresión aritmética? a) Octal b) Decimal c) Heptal d) Nonario e) Undecimal 58. Hallar el número de términos de la progresión aritmética: 31
abc (n) = 329 , calcule la cantidad de
c) 1323
55. Calcular la suma “S”, de los siguientes números impares consecutivos. = S 23 (n) + 30 (n) + 32 (n) + + 311 (n)
a) 131 d) 127
50. Si abab (n) = 407 , Calcule a + b + n a) 8 b) 9 d) 15 e) 10
b) 1378 e) 1346
a) 1645 d) 1343
49. Halle x + y Si xyxy
a) 17955 d) 1345
(n)
a) 74 d) 72
; 35
(n)
; 40
(n)
b) 76 e) 73
; ; 400
(n)
c) 75
59. Halle la base del sistema de numeración en donde los siguientes números forman una progresión aritmética. 231 ; 305 ; 343 ; … a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 60. Hallar la suma de todos los términos de la progresión aritmética. 25
a) 1130 d) 1029
(n)
; 40
(n)
; 51
b) 1112 e) 913
(n)
; ; 322
(n)
c) 1028
113
JOHN MAMANI M. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA III
Resolución
PROBLEMA 01 Si: aaa
(5)
= xy30
De la igualdad hallemos “n”
(a)
(n − 1)n(n + 1)
Calcula: a + x + y a) 5 b) 8 d) 8 e) 45
c) 2
Resolución OJO: A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa. − aaa
(5)
= xy30
(a)
+
2
124 = xy30 4
+
⇒ m= 8
PROBLEMA 03 Si: 2m7a= bn(n − 5b)0 (n) (9) Hallar el valor de “m” a) 0 b) 1 d) 5 e) 2
PROBLEMA 02
Hallar, (n + m) si:
114
(9)
−
corresponde
4
↓ ↓ ↓ 4 + 1+ 3 = 8
(m)
(9)
Pide: n + m = 13
Pide: a + x + y
a) 11 d) 10
(m)
Entonces: 7 < m < 9
Llevamos 124 a base (4)
567
⇒ n= 5
Los valores que puede tomar “m” m<9 m>7
124 = xy30 4
4
(9)
(m)
4(5) +4(5)+4 = xy30 4
= xy30
= 456
A mayor numeral aparente le menor base y viceversa. + − = 456 567
444 5 = xy30 4
1330
(9)
De la igualdad hallemos “m” 567 = 456
−
Los valores que puede tomar “a” a<5 a>3 Entonces: 3 < a < 5 ∴ a = 4 Luego:
Llevemos 375 a base 9, por divisiones sucesivas. 375 9 6 41 9 5 4 (n − 1)n(n + 1)
+
= 375
(9)
= (n − 1)n(n + 1)
b) 12 e) 13
c) 6
Resolución (9)
= 375
c) 9
Aplicando principios tenemos 7
⇒
n=8
Y el único valor de “b” es: b = 1 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Remplazando en el enunciado, se tiene 2m7a (8) = 1830
Llevemos 1830
(9)
(9)
a base 8
Llevando a base decimal 1830 1830
3
(9) (9)
2
= 1(9) + 8(9) + 3(9) + 0 = 1404
1234
(5)
= 194
Llevando a base 6 194 6 2 32 6 2 5 Luego: abb (6) = 522
Llevando a base 8 1404 8 4 175 8 7 21 8 5 2
(6)
Igualando: a = 5 y b = 2 Pide: a + b = 7
PROBLEMA 05 Si se tiene que:
Luego 2m7a (8) = 2574
2
a(a + 2)(a − 2)(a )
(8)
Igualando: m = 5
abb (6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
b) 5 e) 9
(n + 4)
c) 8
abb (6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n + 4)
+ − Los valores que puede tomar “n” ∧ n≠0 n+4 < 6
Entonces: n = 1 Luego, remplacemos en el enunciado
(5)
(5)
a base 6
Llevando a base decimal 1234
3
(5)
2
= 1(5) + 2(5) + 3(5) + 4
Academia GAUUS
2
a(a + 2)(a − 2)(a )
Por lo tanto
+
abb (6) = 1234
+
nm
(8)
c) 12
− 2
nm
= c(b )b nn (b)
−
Resolución
Llevemos 1234
nn (b)
Resolución
Hallar (a + b) en la siguiente expresión:
−
= c(b )b
Calcule: a + b + c + m + n a) 8 b) 10 d) 14 e) 18
PROBLEMA 04
a) 6 d) 7
2
nm
nn (b)
(8)
+
<8
y las cifras de
2
a(a + 2)(a − 2)(a ) deben ser menores que 8. Entonces el único valor que puede tomar “a” y
“b” es: a = 2 ,
b=2 .
Remplazando en el enunciado 2404
nm
nn (2)
= c 42 (8)
Luego: n < 2 ⇒ n = 1 2404
1m 11
= c 42 (8) (2)
115
JOHN MAMANI M. 2404
Si: m < 3
y
1m
= c 42 (8)
(3)
Descomponemos 3
2
2
2(5) + 4(5) + 0(5) += 4 c(8) + 4(8) + 2 354 = 64c + 34
4 < 3+ m ⇒ m = 2 2404
12
2404
= c 42 (8)
(3)
(5)
c=5
Piden: a + b + c + m + n = 2 + 2 + 5 + 2 + 1 = 12
= c 42 (8)
¡Comprueba lo que sabes! a) 9 d) 14
01. Si: 3ab (7) = 5cd (n) Hallar: “n” a) 2 b) 3 d) 7 e) 6
c) 5
02. Dadas las siguientes igualdades: 23a (9) = 27b (n) abc (8) = 1611 (m) Hallar: m + n a) 16 b) 12 d) 17 e) 15
c) 10
03. Si: 4m6 (9) = 567 (n) :Hallar m + n a) 11 b) 12 c) 10 d) 9 e) 13 04. Calcule el valor de " m + n ", si: 251
a) 10 d) 13
(m)
= 20n
b) 11 e) 14
05. Sea 2n2 (6) = 40m (n) Calcule el valor de m × n a) 16 b) 20 d) 12 e) 10
(7)
c) 12
c) 24
b) 10 e) 15
c) 12
Si: a64 (n) = a20 (8) a) 10 b) 9 d) 8 e) 7
; (0 : Cero)
07. Halle (a + n)
08. Si: a2a (n) = a00 (4) Calcule: (a + n) a) 10 b) 4 d) 9 e) 7
c) 6
c) 11
09. Calcular el valor de (a + b + n), en: a72 (n) = a2b (9) a) 11 d) 15
b) 13 e) 14
c) 16
10. Si se cumple que a2b (7) = a51 (n) Halle el valor de a + b + n a) 11 b) 13 c) 16 d) 15 e) 14 11. Si: 451 (n) = 3ab (7) , halle a + b + 2 a) 4 b) 5 c) 8 d) 7 e) 6
06. Si: a57 (n) = a14 (9) , hallar: n + a
116
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 12. Si se cumple que 35a (n) = 2b0 (7) , halle el valor de a + b + n a) 14 b) 12 c) 13 d) 15 e) 16
20. Si: abc (8) = 1226 (n)
13. Si: 201 (3) = abcde (n) Hallar: a + b + c + d + e + n a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
21. Calcule el valor " a + b + n ", si:
14. Si: 102 (3) = abcd (n) Hallar: a + b + c + d + n a) 4 b) 5 d) 7 e) 8
22. Si: ab5 (n) = 1n4 (7) Hallar: “n” a) 2 b) 3 d) 7 e) 6
15. Si: 1122
(3)
324
a) 9 d) 7
c) 6
= abcdef (n)
(n)
Calcular: a + b + c + n a) 10 b) 16 d) 13 e) 14
= 1abc (7) c) 12
17. Si: abc (6) = 1224 (n) Hallar: a + b + c + n a) 11 b) 12 d) 14 e) 15
c) 13
18. Si: abb (6) = 1234 (n) , halle a − b a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
2
c) 3
19. Si se cumple: 2abc (7) = 3254 (n) Hallar a + b + c + n a) 14 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Academia GAUUS
(n)
c) 11
= abn
b) 10 e) 8
23. Si: a4bc (9) = pq7rs (n) Hallar el valor de “n” a) 4 b) 5 d) 7 e) 6
Hallar: a + b + c + d + e + f + n a) 9 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 16. Si se cumple: 2155
Halle a + b + c + n a) 20 b) 14 d) 12 e) 13
24. Si: 212 (5) = 3ab (n) , Calcular: (a + b + n) a) 5 b) 6 d) 8 e) 9
(6)
c) 11
c) 5
c) 8
c) 7
25. Hallar n + a si: 3a7 (n) = 304 (9) a) 18 b) 16 c) 12 d) 14 e) 15 26. Si: aba (8) = 1106 (n) , halle a + b a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 27. Si: 3ab (c) = 2ba (5) , hallar: (a + b + c) a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 81
2
117
JOHN MAMANI M. MAYOR NUMERAL PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Si: ( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = ab4
¿Cuál es la base del mayor número de “x” cifras, que equivale al mayor número de “4x” cifras del sistema octal? a) 3990 b) 4096 c) 64 d) 8 e) 4084
Hallar: " a + b " a) 16 b) 13 d) 9 e) 7
c) 8
Resolución
Resolución
Por propiedad
Planteándonos.
4
x −1 = ab4
(n − 1)(n − 1) (n − 1)
4
ab4 + 1 = x
(n)
= 77777 7777
4
x = ab5 Tanteando.
(8)
" 4x " cifras
" x " cifras Por propiedad.
4
n − 1= 8
x
4x
4
n =8
x
4x
n=8
4
5 = ab5 5 = 625 Por lo tanto los valores son a 6= , b 2 = Piden: a + b = 8
−1
∴n = 4096
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si: (k − 1)(k − 1)(k − 1)(k − 1)(k − 1) 2
(k)
= 31
3
Hallar: k + k + k a) 16 b) 12 d) 11 e) 14
c) 13
b) 5 e) 3
b) 5 e) 3
c) 6
04. Se cumple que (n − 1)(n − 1)(n − 1)(n) = 111 2 + 2222 3 + 3333 4
02. Si: ( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = 728 Hallar: " x " a) 2 d) 9
a) 2 d) 9
Calcule el valor de n. a) 6 b) 7 d) 9 e) 8
c) 5
c) 6
03. Si: ( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = 242
05. Si: ( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = ab5 Hallar: " a + b + x " a) 6 b) 7 d) 9 e) 10
c) 8
Hallar: " x "
118
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. n cifras 06. Si: 1111 1111 (2) = 1023
13. Si se cumple (n − 1)(n − 1)(n − 1)(n) = abc Calcule la suma de valores de n. a) 25 b) 28 c) 10 d) 35 e) 45
2
Calcular el valor de n . a) 25 b) 4 d) 100 e) 144
c) 16
07. Se tiene que (2 x + 3) cifras
(3 x + 12) cifras
(n − 1) (n − 1)
2
(n)
2
=(n − 1) (n − 1)
Calcule el valor de x. a) 5 b) 6 d) 8 e) 9
2 (n )
15. Un número en el sistema cuaternario se representa 11112 ¿En qué sistema es mayor numeral de tres cifras? a) 2 b) 4 c) 7 d) 9 e) 10
c) 7
08. Se cumple que 60 cifras
24 cifras
333 33 (4) =(2n − 1)(2n − 1) (2n − 1) Calcule el valor de n. a) 64 b) 8 d) 16 e) 4
(2n)
c) 32
09. Hallar la suma de las cifras de " n " , si: 20 cifras
(n − 1)(n − 1).........(n − 1) a) 9 d) 21
b) 15 e) 20
(n)
+1= 27
c) 18
10. Si: ( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = 4540 Hallar: " x " a) 7 d) 9
b) 5 e) 8
5
c) 36
( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = 367
(12)
b) 5 e) 8
Academia GAUUS
c) 6
18. ¿En
cuántos
sistemas
de
numeración
19. El mayor numeral de “k” cifras en el sistema de base “n” se escribe como el mayor numeral de “4k” cifras en el sistema de base “m”. Si el mayor numeral de “m” cifras en el sistema binario se escribe en el sistema octal
12. Hallar: " x " , si: a) 7 d) 9
17. Un número de la base 10 en base “n” resulta ser el mayor número de 3 cifras y en base “2n” el mayor número de 2 cifras, expresar el número en base 12. a) 53 b) 63 c) 64 d) 35 e) 68
2 − 1 se puede representar como el máximo numeral posible? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
2
Hallar: " x " a) 16 b) 25 d) 49 e) 64
8
40
16. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor número de tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema de numeración? a) 6 b) 7 c) b d) 9 e) 10
18
c) 6
11. Si: ( x − 1)( x − 1)( x − 1)( x ) = 2332
14. Un número en el sistema de base 6 se escribe 1290. ¿En qué sistema es el mayor numeral de tres cifras? a) 2 b) 4 c) 7 d) 9 e) 6
como 3ab (8) , hallar: m + n a) 1 024 b) 2 048 c) 1 032 d) 2 056 e) 4 104
119
JOHN MAMANI M. BASES SUCESIVAS PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Se define: 13
13
= 121 13
13
Si: abc (n) = cc (4)
2 (n )
1c
(n)
Calcular el valor de “n” a) 10 b) 11 d) 13 e) 14
nn 1c
" 20 " veces
c) 12
1c
1c
Resolución (4)
Resolución
1
n + 12= 1(4) + 2(4) + 1 n + 12 = 25 ∴n = 13
Descomponiendo: 1c
1c
nn 1c
" 20 " veces
1c
1c
PROBLEMA 02
(n)
20c = 10n 2c = n
Se cumple que: 10 n + 10
10
+ 10
n
10
10
+ + 10 n
10
10
"n" numerales
= aa(2a)
Calcular el valor de (n + a) a) 12 b) 10 d) 11 e) 9
10
(5)
n
c) 13
Donde: c+n= 12 c + 2c = 12 c=4
2
n + n + n + + = n a(5) + a(5) + 2a 2
n = 32a ↓ ↓ 8 2
Piden: n + a = 8 + 2 = 10
n=8
abc (n) = cc
Descomponiendo "n" numerales
y
Remplazando el enunciado
Resolución
120
(n)
Calcular la suma de cifras de cba (n) en base 10. a) 12 b) 8 c) 13 d) 14 e) 15
Por propiedad: n + 3(4) = 121
2
1c
; c+n= 12
2 (n )
ab4 (8) = 44
Llevando 44
(64)
(64)
a base 8
Llevado a base decimal 44 = 4(64) += 4 260 (64)
Llevando a base 8
260 8 4 32 8 0 4 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. ab4 (8) = 404
Igualando: a = 4
11n + 10 = 3a 30
(8)
Piden: cba (n) en base decimal 2
404 = 4(8) + 0(8) += 4 260 (8)
Entonces:
Por lo tanto: 2 + 6 + 0 = 8
(n − 4)(a − 9)(n − 5)
Si se cumple:
Llevando 241 1n
11 numerales
3a 30 1n
1n
12
(n −1)
2
(n − 3)
Llevando a base 3 71 3 2 23 3 2 7 1
11 numerales
1n
3 2
= 241 mpqq = 2122 (5)
3a 30
(3)
a base 3
241 (5) = 2(5) + 4(5) += 1 71
Resolución Descomponiendo: 1n
= mpqq
(n − 3)
Llevado a base decimal
5
mpqq =
Calcule el valor de: " a + n + m + p + q " a) 26 b) 24 c) 14 d) 61 e) 18
1n
(5)
(5)
mpqq =
1n
Además (n − 4)(a − 9)(n − 5)
1n
(n −1)
241
PROBLEMA 04 1n
7
11n + 10 = 3a 21 11n + 10 = 63 + a ↓ ↓ 6 13
b=0
y
12
5
(3)
(3)
Piden: a + n + m + p + q = 13 + 6 + 2 + 1 + 2 = 24
1n
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle: E = 1817 a) 26 d) 36
16
a) 9 d) 6
7
b) 27 e) 37
c) 28
02. Calcule: E = 112 + 1213 + 14 15 4 16 a) 33 d) 36 03. Si: 1213
b) 34 e) 37 15
c) 35
b) 4 e) 7
c) 8
04. Cuál es el valor de “x” en: 12 = 100 12
7
a) 4 d) 7
12
12
b) 5 e) 8
(4)
(x)
c) 6
= 17, Hallar “n” (n)
Academia GAUUS
121
JOHN MAMANI M. 11. Si:
05. Calcular “x”, si: 15 15
a) 3 d) 6
= 122 15
15
c) 5
a) 21 d) 24
= 103
19
(8)
a) 3 d) 6
= 13 n
b) 4 e) 7
28 veces
a) 4 d) 7
1b
1a
13
m
13
14
= 90
c) 6
150 veces
a) 7 d) 14
= 98
13
aa
c) 8
18
= 653 18
18
8
(n)
Calcule el valor de “n” en: a) 14 b) 11 d) 10 e) 13
c) 12
14. Halle “a”, si: aa = abc
14
c) 49
13. Si se cumple: 25
09. Calcule; " a + b + c " , en: 14
13
" a " veces
25 veces
n
b) 5 e) 8
2
12. Si se cumple:
18
bb
Calcular el valor de “a” a) 6 b) 7 d) 9 e) 10
c) 5
08. Calcular el valor de “n” 13 13 13
15
b) 36 e) 81
13
c) 23
07. Calcule " n m " , si: 1b
= 128
Calcular el valor de b
(n)
b) 22 e) 25
1a
" b " veces
a) 25 d) 64
06. Calcular “n”, en: 10 12
15
(x)
b) 4 e) 7
11
15 15 (4)
1a
141 1a
13 numerales
1a
14
b) 10 e) 5
c) 15
a) 2 d) 5
1a
b) 3 e) 6
c) 4
15. Halle “n”, si: nn
10. Calcular el valor de “n” 1n
1n
"n" veces
a) 5 d) 8
122
1n
= 112 n
1n 8
b) 6 e) 4
c) 7
1n
747 1n
" n " numeros a) 9 d) 5
b) 7 e) 6
1n
1n
c) 8
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 16. Si se cumple que: 18 18
18
22 n veces
21. Calcular el valor de " a + b + x + y " 17 = aba
= 526
18
17
(n)
Calcular el valor de " n " a) 19 b) 20 d) 29 e) 40
= (3a)(2a)
15
15
n veces
15
a(2a)
1n
(8)
14 veces a) 17 d) 13
1k (n)
b) 14 e) 12
12
1n
1n
c) 6
1n
600 1n
1n
1n
b) 7 e) 6
c) 8
1(a + 3)(a − 4)(a + 1)(k) =1(x + 2)mp(n)
+ 13 13
n
13
n
+ + 17 17
17
= 300 7
Siendo: n < 14; además
n
c) 13
1a
1a
11 veces
1a
= 3x 30 12 9 1a
Calcular: " x + m + p + n " a) 32 b) 35 d) 42 e) 45
20. Si: b = 12 (n) Además: 11 12
1n
24. Si se cumple:
Calcule el valor de “n” a) 11 b) 12 d) 14 e) 15
ab
360
" n " numeros a) 9 d) 5
c) 15
19. Si se cumple: 12 12
1n
b) 5 e) 8
nn 171
c) 14
23. Halle “n”, si:
Halle " k + n " ; Si además:
1k
xy
22. Halle “n”, si:
a) 4 d) 7
18. Si se cumple que: 1331(k) = 1000 (n)
1k
17
" 50 " veces
Determine el mínimo valor de n. a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
1k
Además: 10 < xy < 20 a) 12 b) 13 d) 15 e) 16
c) 30
17. Si se cumple: 15
17
40 veces
ba 13
25. Si se cumple: abc
1b (a)
Calcular: a + b + n a) 12 b) 13 d) 16 e) 15 Academia GAUUS
(25)
c) 14
c) 38
ab
ab
= 9c (11) ab
(p)
Calcular el valor de: (a + b + p) a) 5 b) 4 c) 6 d) 10 e) 14
123
JOHN MAMANI M. CAMBIO DE BASE CON DIVISIÓN POLINÓMICA Aplicando divisiones sucesivas:
PROBLEMA 01 Como se representa 234 ( x ) en base ( x − 1) . a) 279 d) 299
b) 249 e) 459
c) 219
Resolución 2
1
x −1
2
+ 2x + 5 −2 x + 2 7
−2 x + 2 x 5x + 4 −5 x + 5 9
Aplicando descomposición polinómica 234 ( x ) = 2( x) + 3( x) + 4( x)
2
2x + 3x + 4
0
x −1 2
∴ 234 ( x ) = 279( x −1)
2
234 ( x ) = 2 x + 3 x + 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cómo se representa 231( x ) en base ( x − 1) ? a) 320 b) 172 c) 276 d) 280 e) 726 02. ¿Cómo ( x + 2) ? a) 300 d) 200
se
representa b) 172 e) 206
288( x )
en
base
c) 206
03. Cómo se representa 3αβ( x ) a la base ( x + 1) a) 344 b) 254 c) 452 d) 125 e) 475 04. Escribir: 121n + 12 n en base (n + 1) a) 112 b) 113 c) 111 d) 121 e) 131 05. Un número en la base " x " se expresa como 123 ¿Cómo se expresaría en la base x + 1 ? a) 102 b) 201 c) 103 d) 101 e) 100 06. Un número en la base " n " se expresa como 157. ¿Cómo se expresaría en la base (n + 2) ?
124
a) 118 d) 111 07. Al convertir
b) 110 e) 112 1573(n)
c) 142 a la base
(n + 1)
entonces la suma de sus cifras en la base (n + 1) es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. Al
convertir
2001( x+ 1)
a
base
"x" ,
determine la suma de sus cifras en base " x " . a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 09. El mayor número de 3 cifras en base (k + 2) es llevado a la base " k " . ¿Cuál es suma de sus cifras en la base " k " ? a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 10. Al convertirse el número
124 (n) a base
(n + 1) se obtiene un número cuya suma de cifras más su número de cifras es "n". Hallar "n". a) 10 b) 9 c) 7 d) 4 e) 6
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 11. Se sabe que al expresar 344 (n) en base (n + 1) la suma de cifras del numeral que se obtiene es 11. Halle el valor de n. a) 6 b) 8 c) 7 d) 11 e) 9 12. Al convertir 1003(n+ 1) a base " n " se observa que la suma de dichas cifras es igual a " n ". Determine " n ". a) 11 b) 13 c) 8 d) 12 e) 10 13. Expresar el número: 1( k + 2) 3(k + 3) a base (k + 2) a) 123 d) 342
b) 234 e) 134
c) 432
14. Al expresar los numerales 123(n) , 1234 (n) en base (n + 1) , la suma de cifras del segundo numeral es el cuádruple de la suma de cifras del primer numeral. Calcule n. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 15. Exprese 235(n) en base (n + 2) y dé como respuesta la suma de cifras del numeral obtenido. Considere que 7
18. Expresar: R= 14641(n) + 1331(n) + 121(n) + 1 En el sistema de base (n + 1) y dar como respuesta la suma de las cifras del numeral R. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 19. El mayor número de 3 cifras en base "b" es llevado a la base (b + 1) . ¿Cuál será la cifra correspondiente a las unidades de orden 1, del número escrito en la base (b + 1) ? a) 1 b) 2 c) 3 d) b e) b − 1 20. Al expresar el numeral 4122(n) en la base (n + 1) , la suma de sus cifras es 26, calcule el valor de " n ". Además se sabe que n > 11 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 21. Expresar el número 3465(n) en el sistema de numeración de base (n + 1) a) 2470(n+ 1) b) 2(n − 4)60(n+ 1) c) 2(n − 2)07(n+ 1) d) 2(n − 4)70(n+ 1) e) 2(n − 4)77(n+ 1)
16. Al expresar el numeral 1(n − 2)3(n) en base (n + 1) , el producto de sus cifras es 28. Calcule el valor de “n”. (n > 6). a) 12 b) 9 c) 8 d) 10 e) 7
17. Al expresar el numeral
243(n)
en base
(n + 1) se obtiene un numeral cuya suma de cifras es m. Exprese, en base 10, el menor numeral de 4 cifras de la base m. a) 216 b) 16 c) 27 d) 64 e) 125
Academia GAUUS
22. El número UNA 3 se convierte a la base (n ) “n” (n > 3) y se obtiene un número formado por 9 cifras máximas, entonces: U + N + A en base “n” es. a) 300(n − 3)(n) b) 3003(n) c) 3(n − 1)(n − 1)(n − 3)(n) d) (n − 1)(n − 1)3(n) e) 2(n − 1)(n − 1)(n − 3)(n)
125
JOHN MAMANI M. APLICACIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN PROBLEMA 01 Hallar un número de tres cifras que sea igual a 12 veces la suma de sus cifras. a) 103 b) 108 c) 102 d) 180 e) 109
Resolución Dato:
abc = 12(a + b + c) 100a + 10b + c= 12a + 12b + 12c 88a = 1b + 11c ↓ ↓ ↓ 1 0 8 ∴ abc = 108
a) 758 d) 234
b) 620 e) 733
c) 340
Resolución Como: 1 gruesa = 12 docenas 1 docena = 12 unidades Con el enunciado: Producción semanal (número de huevos) 2
1
4(12) + 3(12) + 8 = 438(12) Como nos pide en base 9 2
1
1º → 438(12) = 4(12) + 3(12) + 8 438(12) = 620 2º → 620 (8)
PROBLEMA 02 Un granjero vende huevos en cajas de 12 unidades. De la producción de una semana se tiene 4 gruesas, 3 docenas y 8 huevos. ¿Cuál es este número si le hacen un pedido que debe entregar en cajas de 9 unidades?
9
68 9 758(9) (5) 7 ∴ 758(9)
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se tiene un número de 2 dígitos. Si se le agrega un 3 a la izquierda se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de la cifras del número original. a) 8 b) 17 c) 10 d) 15 e) 12 02. Te tiene número de 2 cifras, se agrega un 2 a la izquierda del número, se convierte en un número igual a 9 veces el número original. Halle la suma de sus dígitos.
126
a) 7 d) 6
b) 20 e) 5
c) 25
03. Se tiene un número de 2 cifras, si se agrega un 2 a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho numero a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 04. Si a un número de tres cifras que empieza por 9, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. La suma de las tres cifras de dicho número es: a) 12 b) 18 c) 15 d) 24 e) 21 05. Si a un número de tres cifras que empieza con la cifra 6, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/26 del número original. Hallar la suma de las cifras del número. a) 10 b) 15 c) 18 d) 12 e) 16 06. Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito el número resultante es 1/26 del número original. ¿Cuánto suman los tres dígitos de dicho número? a) 15 b) 22 c) 17 d) 11 e) 14 07. Hallar un número de 4 cifras, cuya cifra inicial es 3, tal que si esta cifra inicial se suprime se obtiene un número que es 1/5 del número original. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original. a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 08. Si a un número de tres cifras se le agrega un 8 al final, el número original queda aumentado en 3527. Hallar la suma de cifras de dicho número de tres cifras a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 17 09. Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Dar Academia GAUUS
como respuesta la suma de las cifras del número original. a) 10 b) 14 c) 13 d) 11 e) 12 10. Se tiene un número de 3 cifras al cual se le coloca un 7, primero al comienzo y luego al final. Si se suman los dos números de 4 cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del número original. a) 13 b) 8 c) 10 d) 7 e) 15 11. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de mayor orden más nueve veces la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de sus cifras? a) 7 b) 9 c) 12 d) 11 e) 13 12. Halle el producto de las cifras de un número de dos dígitos que al sumarle el número que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene como resultado 11 veces la diferencia de los números. a) 12 b) 9 c) 20 d) 30 e) 8 13. Un número de tres cifras terminado en 3, es igual a tres veces el número formado por sus dos primeras cifras pero en orden inverso. Hallar la suma de las cifras del número inicial. a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 14. Un numeral de dos cifras aumentado en el doble de sus cifras de decenas es igual al mayor numeral de dos cifras cuya suma de cifras es 16. Hallar el producto de las cifras del numeral.
127
JOHN MAMANI M. a) 8 d) 15
b) 6 e) 21
c) 10
a) 322 d) 355
15. Un numeral de dos cifras aumentado en el numeral que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a 44 veces la diferencia de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras. a) 12 b) 18 c) 6 d) 15 e) 20 16. Hallar un número de dos cifras que sea igual a la suma de todas las cifras de nuestro sistema que son diferentes a las cifras que forman dicho número. Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 12 b) 28 c) 24 d) 21 e) 18 17. En la academia GAUUS el número de estudiantes Pre-Universitarios son: bac de Sociales,
bca
de Ingenierías y
ba
de
Biomédicas; si en total son abc, ¿Cuántos son de Biomédicas? a) 26 b) 28 d) 27 e) 45
c) 25
18. En un corral se tiene b00 patos, ccc gallinas y “a” conejos; si hacen un total de ab0 animales. Halle a + b + c a) 13 b) 11 d) 12 e) 15
c) 14
19. Un libro tiene “c” páginas de índice; bc páginas de introducción; ab0 páginas de teoría y a0c páginas de problemas. Hallar el
b) 250 e) 155
c) 255
20. Alex divide un numero UNA entre NA obteniendo un cociente de 11 y un residuo 80. Halle U + N + A a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 21. La suma de las dos cifras que componen un número es igual a 5. Si se invierte el orden de las cifras de dicho número y se le suma 9, entonces se obtiene el número original. ¿Cuál es el número original aumentado en 11? a) 25 b) 34 c) 43 d) 52 e) 45 22. ¿Cuál es el menor número de tres cifras que es igual a 27 veces la suma de sus cifras? Dar como respuesta la cifra de las decenas a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 23. Hallar un número de tres cifras que empieza en 2, y que es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 8 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 24. Se tiene un numero de 2 cifras, si se agrega un 2 a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho numero a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10
total de páginas, si es igual a bcc y menos de 400
128
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. Un número consta de 2 dígitos cuya suma es 11. Si se intercambia sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número primitivo Calcular el producto de las cifras de dicho número a) 10 b) 9 c) 11 d) 16 e) 18 26. Un número está formado de dos cifras cuya suma de los valores absolutos es 9. Cuando se invierte el orden las cifras se obtiene un segundo número que excede en 9 al cuádruplo del primero ¿Cuál es este número? a) 19 b) 20 c) 17 d) 18 e) 16 27. ¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300, tal que, leído al revés, es el doble del número que sigue al original? a) 297 b) 295 c) 237 d) 247 e) 252 28. En una fiesta asistieron nm chicos y mn chicas, en un momento dado el número de chicos que no bailan es " m + n " y el número de chicas que no bailan es " 2m − n " . Halle el número total de asistentes, si cuando bailan lo hacen en parejas (chicos y chicas) a) 143 b) 165 c) 132 d) 341 e) 176 29. Para pesar 92kg de arroz se utilizaron pesas de 4kg; 5kg y 6 kg. ¿Cuál fue el máximo número de pesas que se usaron, si se usaron los tres tipos de pesas? a) 20 b) 22 c) 32 d) 24 e) 52 30. Hallar un número menor que 100 tal que el número de las decenas sea dos unidades más Academia GAUUS
que el de las unidades que al invertir el orden de las cifras y restar este número del original, la diferencia es dos unidades más que la suma de los dígitos de dicho número. a) 97 b) 86 c) 75 d) 64 e) 53 31. Un banco usa el sistema de numeración de base 7 para numerar las libretas de sus ahorristas. Si en este momento la antepenúltima libreta es 5365. ¿Cuál es el número de la última libreta? a) 5400 b) 5380 c) 5402 d) 6000 e) 5367 32. La cifra de las decenas de un número de dos dígitos excede al de las unidades en 4 y la diferencia de sus respectivos cuadrados es 32. ¿Cuál es el número? a) 95 b) 51 c) 62 d) 84 e) 73 33. Si a un número de 6 cifras que empieza con uno (1), se le traslada este uno a la derecha de la última cifra se obtiene otro número que es triple del primero. El número inicial es: a) 141857 b) 114957 c) 155497 d) 134575 e) 142867 34. ¿Cuántos números de 3 cifras no contienen al 3 ni al 7 en su escritura? a) 567 b) 512 c) 528 d) 448 e) 568 35. ¿Cuántos números pares de tres cifras cumplen que al ser expresados en bases 6 y 8 se obtienen números de 4 y 3 cifras, respectivamente? a) 138 b) 148 c) 136 d) 129 e) 139
129
JOHN MAMANI M.
06. Si Luis tiene 101010 años en la base 2 y Juan 1F años en la base 16, la diferencia de sus edades es:
01. Dado los números n23p
; m4n (5) ; 110 (p) (m) (n) Encuentre el valor de m + n + p a) 14 d) 15
; p22
b) 12 e) 8
UNAP–BIO–2013
UNAP–EXT–2013
c) 9
02. Se sabe que “a” es impar, además los siguientes numerales están bien escritos: amaba (8) ; 131
(a)
; mama (b) ; a2a (m)
Calcule el valor de: a + b + m a) 28 d) 30
b) 18 e) 15
CEPREUNA–BIO–2014
c) 16
(7)
respectivamente. La suma de sus edades es: a) 130 d) 151
b) 145 e) 163
c) 135
UNAP–1997
04. ¿Cuál de los siguientes números representa el mayor número en base 10? VI. 4024 (5)
VII.
2215
VIII.
1340
IX.
1004
X.
371
a) I d) IV
(6)
(8)
130
b) 66 e) 71
UNAP–SOC–2014
b) 1101000 e) 1110001
c) 1010001
UNAP–SOC–2015
b) 324 (5) e) 222(5)
c) 234 (5)
09. El número 1061 en base 7 es: a) 3404 d) 3045
b) 3046 e) 3044
10. Convertir 2211 a) 118 d) 136
(3)
UNAP–EXT–SOC–2015
c) 3041
al sistema de base 7. CEPREUNA–2003
b) 122 e) 126
c) 128
11. Convierta el número 2456 del sistema octonario al sistema nonario. b) 1622 e) 1433
CEPREUNA–ING–2012
c) 1522
12. ¿Cómo se representaría en el sistema heptal, el mayor número de 3 cifras del sistema octal?
(12) UNAP–ING–2013
c) III
05. El número 231 del sistema de base de cinco, es el sistema de base 10 es: a) 60 d) 65
c) 10
08. Exprese en el sistema quinario el número 73.
a) 1733 d) 1326
(7)
b) II e) V
a) 1001001 d) 1001000
d) 423(5) (4)
b) 8 e) 11
07. Convierta 81 al sistema de numeración binario.
a) 243(5)
03. Las edades de Fernando, Edgar y Edgardo 65 , 2002 , 300 , son: (3)
a) 7 d) 5
CEPREUNA–SOC–2012
c) 63
a) 1510 d) 5101
b) 1330 e) 3301
CEPREUNA–ING–2015
c) 5110
122 × 240 (6) (5) 13. Calcular: 120 (5) como un número en base 3
y expresarlo
CEPREUNA–ING–2013
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 12002 d) 10210
b) 21002 e) 20012
14. Convierta 1αβ a) 260 d) 762
(13)
c) 10201
a base 11
b) 132 e) 140
c) 262
UNAP–2005
15. Robert arroja tres dados; el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 333. ¿Cuánto sumaran las cantidades que dan como resultado los dados? a) 14 d) 13
b) 15 e) 12
CEPREUNA–2004
c) 16
16. Se arrojan tres dados; el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por último se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 136 ¿Cuánto sumaran las cantidades que dan como resultado los dados? a) 10 d) 13
b) 11 e) 12
UNAP–2009/2014
c) 14
17. El número telefónico de Rosa es capicúa. Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego se multiplica por 11 y finalmente se añade la tercera cifra y obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Rosa? a) 985589 d) 327723
b) 640046 e) 648846
UNAP–EXT–2007
c) 816618
18. Se tiene una colección de pesas de 1kg, 4kg, 16kg, 64kg, etc. Calcule el menor número de pesas que deben tomarse para pesar 5202kg. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
Academia GAUUS
UNAP–EXT–2002
c) 6
19. Se tiene una colección de pesas de 1kg, 3kg, 9kg, 27kg, …, y se desea pesar 1140kg. ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse? a) 4 d) 3
b) 10 e) 2
CEPREUNA–2011
c) 6
20. Un casino ofrece fichas que valen S/. 1, S/. 5, S/. 25, S/.125 y así sucesivamente. Si tengo S/.20451, ¿Cuántas fichas como mínimo podre canjear? a) 7 d) 11
b) 14 e) 8
CEPREUNA–ING–2013
c) 12
21. Una empresa que fabrica yogurt, desea almacenarlo en contendedores de 64, 512 y 4096 litros, si se cuenta con una producción de 25920 litros ¿Cuál es el menor número de contenedores a utilizar? a) 12 d) 13
b) 16 e) 15
CEPREUNA–2007
c) 19
22. Si: MATE (7) = 42E Encuentre el valor de: M + A + T a) 5 d) 8
b) 4 e) 6
UNAP–EXT–2013
c) 7
23. En qué sistema de numeración se realizó: 41 − 32 = 5 a) Octal d) Nonario
b) Decimal e) Senario
UNAP–EXT–2000/2015
c) Heptal
24. En qué base se cumple que: 24 + 35 = 103 a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
UNAP–EXT–SOC–2015
c) 7
25. Halle “x”, si: 4 x1 (7) = 1 xxx (5) a) 3 d) 1
b) 4 e) 2
c) 5
UNAP–2008
131
JOHN MAMANI M. 3
26. Si: ab = ba (4) , calcule el valor de a + b a) 14 d) 10
2
UNAP–EXT–BIO–2015
b) 9 e) 28
c) 8
CEPREUNA–ING–2015
c) 5
a) 7 d) 5
= bab (7) (6) UNAP–ING–2015
b) 8 e) 6
c) 9
(n)
31. Si: 421
b) 7 e) 9 (n)
= 133
UNAP–2008
(5) UNAP–EXT–2004
c) 6
(9)
b) 7 e) 5
UNAP–ING–2012
c) 8
32. Halle la base del sistema de numeración en el cual el número 52 del sistema decimal se escribe como 103. a) 5 d) 6
b) 7 e) 9
a) 4 d) 7
CEPREUNA–SOC–2014
b) 12 e) 13
c) 11
(a + 3)
= 105
(4a)
UNAP–ING–2014/2015
c) 8
33. Hallar la base del sistema de numeración en el cual el número 72 del sistema decimal se escribe como 1020.
b) 3 e) 6
CEPREUNA–2003
c) 5
37. El mayor número de tres cifras diferentes en cierto sistema de numeración, convertido a la base quinaria es 41. Hallar el valor de la suma de todas las cifras de dicho número. a) 5 d) 4
Halle “n” a) 6 d) 9
a) 10 d) 9
¿Cuál es su diferencia? c) 16
30. Hallar el valor de “n”, si: 123 = 231
c) 13
36. Existen dos valores de " a " que cumplen:
(n)
b) 11 e) 13
a) 8 d) 10
b) 16 e) 12
a(a + 1)(a + 2)
29. Halle “n”, si: 370 = 226 a) 14 d) 12
a) 14 d) 15
35. ¿Cuál es el sistema de numeración usado para escribir el número 3157, si su equivalente en el sistema decimal es 6832?
28. Halle: 2a + b Si: (2a)ba
c) 6
UNAP–SOC–2015
Si: abb (9) = bba (6) b) 4 e) 7
b) 5 e) 4
34. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226?
27. Halle el valor de: a + b
a) 9 d) 6
a) 1 d) 3
b) 9 e) 3
c) 6
UNAP–2003
38. El mayor número de tres cifras diferentes en cierto sistema de numeración, convertido a base 6 es 313. Halle la base de dicho sistema a) 1 d) 5
b) 2 e) 4
UNAP–ING–2000/2014
c) 3
39. Si 234 le falta 76 para ser 321. ¿Cuánto le faltara a 45 para ser 123? a) 68 d) 67
b) 76 e) 87
UNAP–EXT–2001
c) 61
40. Halle el término que continua en la siguiente sucesión:
CEPREUNA–ING–2015
132
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 123 (9) ; 140 (9) ; 156 (9) ; UNAP–BIO–2014
a) 181 (9) d) 167 (9)
b) 173 (9) e) 177 (9)
c) 170 (9)
UNAP–EXT–2014
b) 7 e) 10
c) 8
UNAP–2001/2011
b) Decimal c) Heptal e) Undecimal
43. Hallar el número de términos de la progresión aritmética: 31 ; 35 ; 40 ; ; 400 (n)
a) 74 d) 72
(n)
(n)
c) 75
44. Hallar la cantidad de términos de progresión aritmética. 25 ( x ) ; 40 ( x ) ; 51 ( x ) ; ; 4121 ( x ) a) 112 d) 140
la
c) 129
(n)
(n)
a) 4 d) 10
b) 1645 e) 1635
(n)
c) 1632
= xy
14
14
(8) CEPREUNA–2001
b) 6 e) 2
c) 8
49. Halle “n”, sabiendo que: 14 14
a) 7 d) 10
14
14
b) 8 e) 11
13
13
= 25
( n)
c) 9
50. Halle el valor de “n” en: 13 13
= 121
UANCV–2013
(4)
(n) CEPREUNA–2007
b) 11 e) 14
c) 12
51. Calcular el valor de “n” 1n
1n
1n
"n" veces
c) 120
46. Hallar la suma de todos los términos de la progresión aritmética. 25 ; 40 ; 51 ; ; 322
(n)
CEPREUNA–2011
Hallar: " x + y "
UNAP–BIO–2015
b) 119 e) 129
(n)
48. Si:
a) 10 d) 13
45. ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética? 25 (b) ; 40 (b) ; 51 (b) ; ; 4110 (b) a) 130 d) 128
a) 1728 d) 1735
UNAP–EXT–ING–2015
b) 145 e) 138
c) 1028
(n)
(n)
UNAP–ING–2012
b) 76 e) 73
(n)
14
42. ¿En qué sistema de numeración los números 123, 140, y 156 forman una progresión aritmética? a) Octal d) Nonario
b) 1112 e) 913
47. Halle la suma de los siguientes números impares consecutivos. S = 23 + 30 + 32 + 311
41. Halle la base del sistema de numeración en donde los siguientes números forman una progresión aritmética. 231 ; 305 ; 343 ; … a) 6 d) 9
a) 1130 d) 1029
a) 5 d) 8
b) 6 e) 4
= 112 n
1n 6
c) 7
UANCV–2014
(n)
CEPREUNA–2003
Academia GAUUS
133
JOHN MAMANI M. 52. Si: ab − ba = 72 Halle: a − b a) 9 d) 11
59. Si: 3(2a) UNAP–ING–2014
b) 8 e) 10
c) 7
53. Si: 11(ab − ba) =ab + ba Hallar: (a + b) a) 11 d) 9
CEPREUNA-SOC-2014
(2n) UNAP–SOC–2014
b) 2 e) 4
c) 3
56. Halle: a + b + c ; si: ccc (8) = ab1 UNAP–BIO–2015
b) 15 e) 12
c) 14
Si: abc (6) = 1224 (n) CEPREUNA–ING–2013/ UNAP–BIO–2015
b) 12 e) 14
c) 16
(b)
2
b) 36 e) 81
CEPREUNA–SOC–2010/2014
c) 25
= ab (5) UNAP-EXT-2009
b) 7 e) 1
61. Hallar a + n , si 144 a) 13 d) 25
c) 3
(n)
= aa5
b) 10 e) 15
c) 11
UNAP-2004
62. Hallar un número de 3 cifras iguales de base decimal, sabiendo que este número se escribe con cuatro cifras iguales en el sistema senario. CEPREUNA–SOC–2012/UNAP–ING–2015
a) 999 d) 555
b) 888 e) 777
c) 666
63. Si un numero de tres cifras del sistema nonario se escribe en el sistema heptal con las mismas cifras, pero dispuestos en orden invertido, halle la suma de las cifras de uno de los números. UNAP-EXT-2009
b) 5 e) 1
c) 8
64. El menor número de 4 cifras de base “n”, se escribe como 2ab en el sistema decimal. Halle: a + b + n a) 16 d) 17
58. Si: 3ab (c) = 2ba (5)
a) 49 d) 16
111
a) 12 d) 9
57. Halle: a + b + c + n
Calcule; (a + b + c)
c) 4
c) 9
a0a (n) = (2a)a
a) 18 d) 9
UNAP-ING-2012
b) 2 e) 9
a) 6 d) 4
55. Obtenga el máximo valor que pueda tomar “a”, si:
a) 11 d) 13
a) 1 d) 3
c) 7
aa0 + bb0 = aa00 , donde 0=cero
a) 1 d) 7
Halle el C.A. (a + n)
CEPREUNA-2010
b) 88 e) 10
b) 8 e) 5
= 4a (n)
60. Halle “ a + b ” en la siguiente igualdad sabiendo que “b” es par:
54. Calcular el valor de (a + b) si:
a) 4 d) 10
(7)
65. Si: xyy
UNAP-BIO-2014
b) 6 e) 13 (9)
c) 19
=(y + 1)(y + 1) x
(7)
Calcular: ( x + y) UNAP-EXT-2012
134
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 5 d) 8
b) 6 e) 4
66. Si xxyy
(7)
73. El mayor número de 3 cifras de base “x” se escribe en el sistema senario como 2211. Hallar el valor de “x”
c) 7
= 11 x 4 (9) , hallar: y − x
a) 6 d) 2
b) 8 e) 4
UNAJ-2014
c) 1
a) 12 d) 8
abd (6) en base 5.
68. Si 13
( x)
UNAP-EXT-2008
b) 131 e) 231 = 17
( y)
c) 113
; entonces 31
(n − 1)(n − 1)(n − 1)(n − 1)
d) 71
(8) (8)
b) 21
( x)
e) 27
c) 35
(8)
(8)
(8)
69. Hallar la suma mínima de las bases; en las cuales: 444 = 124 ; b > a > 4 (a)
a) 16 d) 18
(b)
UNAP-EXT-2007
b) 15 e) 20
c) 17
70. Hallar: b − a , si: a(2a)(a + 1) a) 4 d) 7
= 1233 (5)
(b)
UNAP-EXT-2003
b) 5 e) 8
c) 6
a) 38 d) 34
72. Halle “ x + y ” si: xyxy a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
Academia GAUUS
(7) CEPREUNA-2007
b) 44 e) 51
c) 46
( n)
(n)
= ab4 UNAP-2007
c) 1
75. Hallar el valor de (a + b) , si: (n − 1)(n − 1)(n − 1)(n − 1)
(n)
ab (4) =
CEPREUNA-2010
a) 6 d) 2
b) 8 e) 4
c) 1
76. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor número de tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema de numeración? a) 3 d) 8
b) 7 e) 9
UNAP-ING-2012
c) 4
77. ¿Cuál es la base del mayor número de “x” cifras, que equivale al mayor número de “4x” cifras del sistema octal? b) 4096 e) 4084
UNAP-EXT-2004
c) 64
78. ¿En qué sistema de numeración, el mayor número capicúa de dos cifras es 17 veces el menor capicúa del mismo número de cifras? a) 20 d) 19
= 592
c) 5
b) 8 e) 4
a) 3990 d) 8
71. Hallar el máximo valor de “n”, si: ab (n)= (b + 1)a
a) 6 d) 2
=?
UNAP-EXT-2009
a) 45
c) 7
74. Hallar el valor de (a + b) , si:
67. Si abc (6) = 1abc (3) , halle el mayor número
a) 433 d) 424
UNAP-2005/2007
b) 9 e) 10
b) 16 e) 18
CEPREUNA-SOC-2013
c) 17
79. El número 124 (m) en base (m + 1) es: UANCV-2013
a) 13 d) 103
b) 310 e) 301
CEPREUNA–BIO–2014
c) 31
135
JOHN MAMANI M. 80. ¿Cómo se representa 231( x ) en base ( x − 1) ? UNAJ-EXT-2013
a) 320( x −1) d) 280( x −1)
b) 172( x −1) e) 726( x −1)
c) 276( x −1)
81. Al convertir 1003(n + 1) a base “n” se observa que la suma de dichas cifras es igual a “n”. Determine “n”. a) 11 d) 12
b) 13 e) 10
UNAP-ING-2013
c) 8
82. Hallar un número de tres cifras que sea igual a 12 veces la suma de sus cifras. a) 103 d) 180
b) 108 e) 109
CEPREUNA-SOC-2013
c) 102
83. ¿Cuál es el menor número de tres cifras que es igual a 27 veces la suma de sus cifras? a) 271 d) 301
b) 910 e) 150
UANCV-2013
c) 243
b) 17 e) 12
c) 10
UNAP-2004
85. Te tiene número de 2 cifras, se agrega un 2 a la izquierda del número, se convierte en un número igual a 9 veces el número original. Halle la suma de sus dígitos. a) 7 d) 6
b) 20 e) 5
CEPREUNA-BIO-2013
c) 25
86. Si a un número de tres cifras que empieza por 9, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. La suma de las tres cifras de dicho número es: a) 12 d) 24
136
b) 18 e) 21
CEPREUNA-SOC-2013
c) 15
a) 12 d) 30
b) 9 e) 8
CEPREUNA-SOC-2013
c) 20
88. ¿Cuál es el número comprendido entre 230 y 298, tal que, leído al revés, es el doble del número que sigue al original? a) 297 d) 247
b) 295 e) 252
UNAP-BIO-2013
c) 237
89. En una fiesta asistieron nm chicos y mn chicas, en un momento dado el número de chicos que no bailan es " m + n " y el número de chicas que no bailan es " 2m − n " . Halle el número total de asistentes, si cuando bailan lo hacen en parejas (chicos y chicas) a) 143 d) 341
84. Se tiene un número de 2 dígitos. Si se le agrega un 3 a la izquierda se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de la cifras del número original. a) 8 d) 15
87. Halle el producto de las cifras de un número de dos dígitos que al sumarle el número que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene como resultado 11 veces la diferencia de los números.
b) 165 e) 176
CEPREUNA-BIO-2013
c) 132
90. En dos sistemas de numeración cuyas bases suman 15 se observa que en uno de ellos existen 42 números capicúa de 3 cifras más que en el otro. ¿Cuál es la base menor? a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
CEPREUNA-BIO-2014
c) 7
91. Convierta el número 0,452 a base 5. UNAP-EXT-2008 a) 0, 3223 b) 0, 2113 c) 0, 2332 e) 0, 2112 d) 0, 4223 92. Halle una fracción decimal, tal que al llevarlas a las bases 5 y 7 se tenga: 0,ab = 0,(2a)b (5)
a) 1/5 d) 3/8
b) 5/9 e) 4/7
(7)
CEPREUNA-2007
c) 2/3
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Criptoaritmética CAPÍTULO VII PRINCIPIOS GENERALES Los principios que se siguen generalmente para resolver los ejercicios son: Cada letra o símbolo representa sólo una cifra. A letras diferentes les corresponden valores diferentes. A letras iguales les corresponden valores iguales. Se utilizan símbolos que no son letras, cada símbolo no necesariamente representan cifras diferentes. La letra "O" no representa necesariamente al cero, a menos que sea indicado por el problema.
Se cumple que automáticamente las cifras U y E en las sumas siguientes, toman casi siempre el valor de 1 porque no existe cifras para sumar en su columna. U U + Q U E + N N Q U E A A E S O S U N A Ejemplo 01 Si cada letra diferente representa su dígito diferente y sabiendo que:
QUE + QUE = ESOS ; (O ≠ 0) Halle: Q + U + E + S + O
Resolución
CASOS PRINCIPALES
Q U E + Q U E E S O S
CRIPTOARITMÉTICA CON ADICIÓN Técnicas La suma de dos cifras no puede ser mayor que 18 (= 9 + 9 ). Escribir la operación en forma de columna para observar de manera más sencilla alguna relación entre las cifras, además, fue la forma como aprendimos a resolver la adición. Si al sumar tres cifras el resultado casi siempre empieza en 1 a veces en 2. P E R U + P U N O U N A U N A J U+O+ A = J U+O+ A = 1J U+O+ A = 2J Academia GAUUS
Por técnicas de la adición E=1 De la columna de las unidades E+E = S 1+ 1 = S S=2 De la columna de las centenas
Q+Q = ES Q+Q = 12 Q=6 De la columna de las decenas U+U = O ↓ ↓ ↓ 4 4 8 Pide: Q + U + E + S + O = 6 + 4 + 1 + 2 + 8 = 21
137
JOHN MAMANI M. En sumas de la forma se cumple: U N A + U N A J U A N C V T R A N C A Se cumple 1
U U N U A N T R A N 1
1
N A + A J C V C A
suma es cero 0 J+ V = 10 ó J + V =(la siempre en cuando sean letras iguales) 1+ U + N = 10
Ejemplo 02 Halle: U + N + A , si:
Resolución U N A U N
U + N A A
De la columna de las centenas, aplicando una de las técnicas de la adición. U=1 De la columna de las unidades, aplicando una de las técnicas de la adición. U+ N = 10 1+ N = 10 N=9 De la columna de las decenas, aplicando una de las técnicas de la adición. 1+ U + A = 10 1+ 1+ A = 10 A=8 Piden: U + N + A = 1 + 9 + 8 = 18 = 18
138
Técnicas Escribir la operación en forma de columna para observar de manera más sencilla alguna relación entre las cifras, además, fue la forma como aprendimos a resolver la sustracción. Sea abc ; a > c 9 m + p = Si: abc − cba= mnp ⇒ n= 9 a − c = m + 1 Ejemplo 03 Si: EVA − AVE = TIC Calcular: TIC + CTI + ICT
Resolución
UNA = UU + NN + AA
1
CRIPTOARITMÉTICA CON SUSTRACCIÓN
Por técnicas de sustracción se sabe I = 9 y T+C = 9 ⇒ T + I + C =18 Piden: 1
1
C
T
I
I
C
T
1 9
9
8
T
I
C +
∴ TIC + CTI + ICT = 1998
CRIPTOARITMÉTICA CON MULTIPLICACIÓN × ⇒ Multiplicando ⇒ Multiplicador
⇒ Productos parciales
⇒ Producto final
Técnicas Escribir la operación en forma de columna para observar de manera más sencilla alguna relación entre las cifras, además, fue la forma como aprendimos a resolver la multiplicación. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Si se tiene una multiplicación de la forma: Si:
T × AMO = 235 E × AMO = 1880
Calcular: TE × AMO Resolveremos de la forma siguiente: A M T E × AMO = 1880 ⇒ 1 8 8 T × AMO = 235 ⇒ 2 3 5 4 2 3
O × E 0 0
Si se tiene una multiplicación de la forma: UANCV × 999 = 1234 Resolveremos de la forma siguiente: UANCV × (1000 − 1) = 1234 UANCV000 − UANCV = 1234 Ejemplo 04 Si: MIA × 999 = ....1648 Calcular: MAMA × 99
Resolución MIA × 999 = ....1648
MIA × (1000 − 1) = ....1648 MIA000 − MIA = ....1648
Ejemplo 05 En la multiplicación A B C D × 4 D C B A Hallar: A + B + C + D
Resolución A B C D × 4 D C B A
En el multiplicando: 4×A = D ⇒ A = 1 ó A = 2 (D<10) En el producto 4×D = A (par) ⇒ A = 2 y D = 8 4 × B = C ⇒ B = 1 ( A ≠ B y no nada) 4 × C + 3= B ⇒ 4 × C + 3= 1 Termina en 1 ⇒ C = 7 Reconstruyendo 2 1 7 8 × 4 8 7 1 2
lleva
Pide: A + B + C + D = 2 + 1 + 7 + 8 = 18 CRIPTOARITMÉTICA CON DIVISIÓN
Verticalmente MIA000 −
Dividendo
Divisor
MIA ...1648 De la resta se tiene: 10 − A = 8 ⇒ A = 2 9−I = 4 ⇒ I = 5 9 − M =6 ⇒ M = 3 Lo que pide: MAMA × 99= 3232 × 99 = 319968 Academia GAUUS
Cociente
Residuo Técnicas Se cumple D d r q
⇒
D =dq + r
139
JOHN MAMANI M. Ejemplo 06 Obtenga la suma de la cifras del cociente ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗ − − − ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − −
Resolución Piden calcular la suma de las cifras del cociente, entonces analizaremos las cifras del cociente. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − − ∗ ∗ −
∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − −
1ra paso: ya que estas cifras han generado que se emplee simultáneamente 2 cifras del dividiendo, ellas son iguales a 0
Luego ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − − ∗ ∗ −
∗ ∗ ∗
1 ∗ m 0 8 0 n
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − − 2do paso: analizando
Necesariamente m>8 ∧ n>8 m= n= 9 Piden la suma de las cifras del cociente es: 9+0+8+0+9 = 26
Ejemplo 07 Dada la siguiente división UNA NA (80) 11 Halle: U + N + A
Resolución UNA =11 × NA + 80 U00 + NA =11 × NA + 80 U00 =10 × NA + 80
= NA + 8 U0 ↓ ↓↓ 90 = 82 + 8
Piden: U + N + A = 9 + 8 + 2 = 19 CRIPTOARITMÉTICA CON POTENCIA Técnicas Para problemas de la forma 3
UNA = (U + N + A) Se debe considerar los cubos perfectos de 3 cifras.
Para problemas de la forma. X
DAYIRO = X Se le debe dar la forma de potencia como: X
1∗ × 8 = ∗ ∗
DAYIRO = X Luego buscar que valor debe ser “X” para que
1∗ × m = ∗ ∗ ∗
dé un resultado de forma DAYIRO .
1∗ × n = ∗ ∗ ∗
140
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Ejemplo 08
UN6(UN6 − 1) = ∗ ∗ ∗ 000
V
Si: UANC = V , Siendo: C = V y U ≠ A ≠ N Halle:
(
U+ A+ N+C+ V
)
UN6(UN5) = ∗ ∗ ∗ 000 N
Resolución Si
V
UANC = V V
⇒ UANC = V Dando valores a “V” 11 = 1 (no) 2 2 = 4 (no) V 3 = UANC V= 27 (no) 3 4 4 = 256 (no) 5 5 = 3125 (si) Entonces: UANC = V ↓ ↓↓↓ ↓ 31 2 5 = 5 Piden:
K= K=
( (
Por tanteo: 376(375) = 141000 Donde: U = 3 y N = 7 Piden: U+ N+ A = 3+7+ 6 = 16 Ejemplo 10 Halle los números ocultos por los asteriscos y encuentre la suma de las cifras del radical ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ 1 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 1 0
Resolución
V
Aplicando las técnicas para extraer la raíz cuadrada de un número.
5
U+ A+ N+C+ V 3+ 1+ 2 + 5 + 5
)
)
N
2
K = 16
Ejemplo 09 Si A = 6 y UNA= ∗ ∗ ∗ UNA El valor de U + N + A es:
Hallando los números ocultos 2 3 5 1 5 1 1 125 1 3 5 25 × 5 = 1 2 5 1 0
Piden la suma de las cifras del radical 2+ 3+ 5 = 10
Resolución UN6=
∗ ∗ ∗ UN6
2
UN6 = ∗ ∗ ∗ UN6 2
UN6 = ∗ ∗ ∗ 000 + UN6 Academia GAUUS
141
JOHN MAMANI M. RECONSTRUCCIONES PROBLEMA 01 Hallar el residuo de la siguiente división en la cual cada asterisco es una cifra. a a a b b b a b ∗ ∗ ∗ (3a) (2a) 0 ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − ∗ a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
Se observa en el cociente (3a), (3b) son números de una cifra además se tiene que. 3a ≤ 9 ⇒ a = 1, 2, 3 2b ≤ b = 1, 2, 3, 4 Si: a=1 y b=1,2,3,4 (contradicción) Si: a=2 y b=1,2,3,4 (contradicción) Si: a=3 y b=4 se cumple. 333444 34 306 9807 274 272 244 238 --6 Piden: Residuo=6
Hallar la suma de las cifras que reemplazan los asteriscos en los productos parciales. * * * 1 × * 6 2 7 * * * * * * * 3 1 6 * 3 5 *
c) 30
Resolución
4 6 2 3 2 7 7 2 1 3 8 6 3 1 6 6 3 5
1 × 6 6 6
Suma de todas las cifras (*) en los productos parciales es: 15 + 18 = 33
PROBLEMA 03 Hallar la suma de las cifras del dividendo ∗ ∗ 4 ∗ 2 ∗ ∗ − 3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ − − a) 10 d) 20
PROBLEMA 02
b) 33 e) 29
Reconstruyendo la multiplicación recordando que los (*) representan cifras, se tiene que:
c) 6
Resolución
142
a) 23 d) 34
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2
∗ 0 −
b) 12 e) 18
c) 14
Resolución Del grafico nos damos cuenta que esta división no tiene residuo, bastaría con solo conocer las cifras del cociente para resolver este problema
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Reconstruyendo la operación de división 2 6 4 0 0 7 5 2 2 5 3 5 2 − 3 9 0 3 7 5 1 5 0 1 5 0 − − − Hallando la suma de las cifras del dividendo 2+6+ 4+0+0 = 12
PROBLEMA 04 Halle U + N + A + J , si: U ∗ N ∗ A ∗ ∗ ∗ ∗ − − − ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ − −
J ∗ ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗
a) 25 d) 16
b) 18 e) 17
c) 24
Resolución Reconstruyendo la operación de división, ya que es muy similar al problema anterior U N J A ↓ ↓ ↓ ↓ 1 0 8 9 7 0 9 1 2
1 0 8 9 0 8 0 9 − − − 9 7 9 6 − 1 0 9 1 0 8 − − 1 Piden: U + N + A + J = 1 + 8 + 7 + 9 = 25
∗ ∗ 1
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar la suma de las cifras que faltan en el siguiente producto. (Todas las cifras ∗ son diferentes) ∗∗∗ 5× ∗ 39140 a) 16 b) 18 c) 28 d) 19 e) 29 02. Hallar la suma de las cifras del producto: 3 ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ ∗
Academia GAUUS
∗ × ∗ ∗
a) 13 d) 12
b) 14 e) 11
c) 15
03. Se tiene: 4 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ × 7 3 ∗
Hallar la suma de las cifras del producto a) 10 b) 11 c) 9 d) 7 e) 8
8
143
JOHN MAMANI M. 04. Hallar la suma de cifras del producto en:
08. Si se cumple que:
∗ ∗ × 9 8 ∗ ∗
abc × 14 ∗ ∗ ∗ ∗ (a ≠ b ≠ c) ∗∗∗ ∗ 518
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
a) 14 d) 13
b) 12 e) 15
c) 11
05. Hallar la suma de las cifras del producto total en la siguiente multiplicación: 5 ∗ 4 × ∗ 5
Hallar el valor de: abc − bac a) 170 b) 260 c) 180 d) 250 e) 122 09. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto. 7 ∗ ∗ × 4 ∗
2 ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ 6 ∗ ∗ 4 8 ∗
a) 14 d) 20
b) 16 e) 17
c) 18
06. Hallar la suma de todos los asteriscos: ∗ ∗ 3 × 5 ∗ 8 ∗ 2 1 0 6 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 2
a) 22 d) 18
b) 15 e) 26
( )
Calcular: ab a) 144 d) 121
144
6 × b ∗
b) 17 e) 20
c) 18
10. Hallar la suma de las cifras del primer producto parcial. 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 3 5 3 ∗ ∗
a) 10 d) 14
∗ × 4 ∗ 0
b) 12 e) 18
c) 13
11. Determine la suma de cifras del producto en la siguiente multiplicación
∗
b− a
b) 169 e) 196
a) 16 d) 19
c) 21
07. En la multiplicación siguiente, cada asterisco representa una cifra. 4 5 a ∗ 3 ∗ 4 ∗ 6 5 ∗ ∗
∗ 4 ∗ ∗ ∗ ∗ 4 0 ∗ ∗ ∗ 7 0
c) 125
∗ ∗ ∗ 4 8 9 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ × ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 26 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
15. Hallar la suma de las cifras del producto total.
12. En la siguiente multiplicación, cada ∗ representa un dígito distinto de cero. Reconstruya y dé como respuesta el valor de U+ N+ A U N A × U N A ∗ ∗ ∗ 9 ∗ ∗ ∗ 4 ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ a) 12 d) 18
b) 15 e) 24
a) 30 d) 33
∗ 9 ∗ ∗ ∗ ∗
13. Si:
∗ 4 8 ∗ ∗ ∗
a) 30 d) 33
∗ 3 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 5 1 ∗ 8 ∗ a) 13 d) 11
b) 17 e) 16
Academia GAUUS
1 ∗ × ∗ 2 3 ∗ ∗
8 9 c) 32
∗ ∗ ∗ ∗ 6 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 9
∗ ∗ × ∗ 7 6 ∗ ∗ 4 1
b) 31 e) 34
c) 32
17. Calcular el dividendo en: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 2 ∗ − 3 ∗ 3 0 − 4
Indicar la suma de las cifras del producto total a) 9 b) 23 c) 20 d) 26 e) 27 14. Hallar la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos en los productos parciales.
∗ ∗ × 8 ∗ 2 ∗ ∗
16. Hallar la suma de las cifras del producto:
c) 10
4 ∗ ∗ × ∗ ∗ 5 1 ∗ ∗ ∗ 3 ∗ ∗ 9 ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 b) 31 e) 34
a) 134 d) 310
b) 130 e) 140
c) 341
18. Hallar la suma de las cifras del cociente:
3 0 c) 15
∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ −
∗ ∗ 7 2 ∗ ∗ 3 ∗ ∗ 8 ∗ ∗ − −
145
JOHN MAMANI M. a) 2 d) 8
b) 5 e) 9
c) 7
22. Halle: “ a + b + c + m ”, si a b b
19. En la división mostrada: cada asterisco representa una cifra (los asteriscos a la izquierda de cada número no son ceros). Hallar la suma de las cifras del divisor
∗ ∗ − ∗
b) 5 e) 10
a) 10 d) 13 c) 4
a) 14 d) 17
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 3 ∗ ∗ 5 ∗ ∗ 5 ∗ − −
b) 15 e) 18
c) 16
2 ∗ 0 9 −
a) 13 d) 17
c) 12
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
5 ∗ 3 2 5 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ ∗ − −
b) 12 e) 18
c) 16
24. Calcular el valor de P+E+R+U reconstruyendo la siguiente división exacta. P E R U − M U E E −
6 7 b 8 a b d c 2 f g − a b a b − − 8
Calcular el valor de: a + b + c + d + f + g a) 12 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
b) 11 e) 14
∗ ∗ ∗ ∗ −
21. En la operación:
146
9
23. En la siguiente división, hallar la suma de las cifras del dividendo:
20. En la siguiente división, hallar la suma de las cifras del dividendo: 2 ∗ ∗ ∗ ∗ − − ∗ ∗ −
6
m m m
c d − m
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 8 − − ∗ ∗
a) 3 d) 9
c
b d − a b b d − a b
a) 11 d) 12
R U R U E R U R N R U R U − − b) 9 c) 8 e) 17
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. Hallar la suma de cifras de la raíz de: ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 5 ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∗
a) 16 d) 19
b) 10 e) 17
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ − 1
∗ ∗
∗
8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
9 ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ 4 − 2 ∗ 2 b) 6 e) 10
a) 5 d) 8
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
a) 24 d) 27
3 ∗ ∗ ∗ ∗ − 7 ∗ ∗ 3 − 7 ∗ −
c) 7
a) 25 d) 32
∗
∗
∗ ∗ 6 ∗ −
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − −
Academia GAUUS
∗
c) 26
∗
∗
9 ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − −
b) 27 e) 21
c) 30
31. Hallar la suma de las cifras de la raíz en: c) 10
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
28. Hallar suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos ( ∗ ) en el radicando. 4 ∗ ∗ ∗ − ∗ 4 −
b) 25 e) 28
30. Hallar suma de las cifras del radicando.
5 ∗ ∗
− − − b) 13 e) 12
a) 8 d) 9
∗ ∗
∗
27. Hallar la suma de las cifras de la raíz. 5 ∗ ∗ ∗ − 7
∗ 5 ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ 0 9 − 3 ∗ 9
c) 11
26. Hallar la suma de las cifras de la raíz.
c) 18
29. Hallar la suma de las cifras del radicando.
3
a) 9 d) 13
b) 17 e) 15
5 ∗ ∗ ∗
a) 10 d) 12
∗
∗
∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ − − − −
b) 9 e) 13
c) 11
147
JOHN MAMANI M. ADICIÓN PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Hallar: abc + bca + cab Si: a + b + c = 18 a) 1222 b) 1998 d) 3231 e) 1458
Sabiendo que: SS + AA + LL = 264, donde cada letra representa una cifra diferente. Hallar el resultado de S × A × L a) 503 b) 504 c) 508 d) 509 e) 510
c) 125
Resolución
Resolución
Colocamos la suma de una forma adecuada 1
1
a b c 1 9
b c a 9
SS+
c + a b 8
AA LL 26 4 De la suma de las unidades.
S+ A+L
PROBLEMA 02 Hallar: abc + bca + cab 2
Si: (a + b + c) = 144 a) 1222 b) 1332 d) 3231 e) 1452
c) 125
Resolución
4 (no) 14 (no) 24 (si)
De la suma de las decenas. S+ A+L+2 = 26 S+ A+L = 24 ↓ ↓ ↓ 9 7 8 Piden: S × A × L = 9 × 7 × 8 = 504
Del enunciado: 2
(a + b + c) = 144 a + b + c = 144 a+ b+c = 12 Ordenemos lo que pide en forma de columna. 1
1
a b c + b c a c a b 1 3 3 2
PROBLEMA 04 Si: UNO + DOS + TRES = PUNO Calcular: S + E + D + R + O a) 15 b) 25 c) 23 d) 19 e) 20
Resolución La suma lo colocamos de una forma adecuada. 1
1
U N O + D O S T R E S P U N O
148
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. De la suma de las unidades. S+ S = 10
PROBLEMA 06 Reconstruir la siguiente suma:
S=5 De la suma de las decenas. 1+ O + E = 10
SAL + MAS = ALLA
Calcule: ALLA a) 1442 b) 1331 d) 1221 e) 1441
O+E = 9 De la suma de las centenas: 1+ D + R = 10
Resolución Ubicamos la suma de una forma adecuada
D+R = 9
11
+E+D +R Piden: S + E + D + R + O = S +O 9 5 9
SAL + MAS
S+E+D+R+O = 23
ALLA Donde automáticamente: A = 1 De la suma de las unidades
PROBLEMA 05 En la siguiente adición U N P 1 N
L+S= 1A
P N + A A U P A N
Calcule: P + A + P + U a) 16 b) 15 d) 17 e) 19
c) 18
1
1
N + N A A P U P 1 N A N U
S=8
Piden: ALLA = 1331
P
En la columna de las unidades se cumple que A+P = 10 ó A + P =, 0 en este caso A + P será: A+P = 10 En la columna de las decenas se cumple que: 1+ P + U = 10 P+U= 9 Piden: P +A+P +U= 19 9
L+S= 11 De la suma de las decenas: 1+ A + A = L 1+ 1+ 1 = L ⇒ L = 3 Luego remplazamos en la suma de las unidades: L+S= 11 3+ S = 11
Resolución
10
c) 1552
PROBLEMA 07
AMOR, O=cero; si Se sabe que: DAME + MAS = la palabra AMOR toma su máximo valor, hallar este valor. a) 9143 b) 9107 c) 9145 d) 9147 e) 9207
Resolución DAME + MAS AMOR
Academia GAUUS
149
JOHN MAMANI M. Empecemos
PROBLEMA 08
Unidades: E + S > 10 (suponiendo)
Hallar a + b :
Decenas: 1 + M + A = 10 ⇒ M + A = 9
......M Centenas: 1 + M + A =
a) 12 d) 14
a1b + a2b + a3b + + a9b = 50c1 b) 16 c) 15 e) 13
Se deduce que: M = 0 (falso)
Resolución
Ya que: O = cero
5
a a a a 5 0
Luego se deduce que: E + S < 10
Unidades: E + S = R Decenas: 1 + M + A = M Millares: 1 + D = A = 9 ⇒ D = 8 Se deduce: M=1 , A=9 Como
AMOR debe tomar su máximo valor
entonces: R = 7, luego:
8
1 2 3 9 3
b + b b b 1
Donde: b = 9 y a = 5 , para que se cumpla la suma Piden: a + b = 14
Piden: AMOR = 9107
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si se conoce que: a + b = 13 Hallar: 2abab5 + 5baba2 a) 844437 b) 856637 d) 858827 e) 456633
04. Hallar : c) 367798
02. Hallar : abc + bca + cab Si: a + b + c = 18 a) 1990 b) 1992 d) 1998 e) 1999
05. Sabiendo que: a + b + c = 14 Hallar: c) 1994
03. Hallar : abc + bca + cab Si: a + b + c = 14 a) 2834 b) 1664 d) 1554 e) 3108
150
abc + acb + bac + bca + cba + cab Sabiendo que: a + b + c = 9 a) 1445 b) 1998 c) 1886 d) 1776 e) 2011
abc + acb + bac + bca + cba + cab a) 1554 b) 1664 c) 1665 d) 1778 e) 3108 2
06. Si: (U + N + A) = 289 c) 1774
Calcular: UNA + NAU + AUN a) 867 b) 289 c) 1887 d) 1778 e) 1878 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 07. Se cumple:
14. Si:
AB + EF + IJ + MN = 284
3A2ABC +
CD + GH + KL + OP = 652
C8A4DD
Hallar: ABCD + EFGH + IJKL + MNOP a) 29052 b) 26052 c) 27042 d) 27031 e) 26052 08. Si: aa = (a + b + c) × a Calcule el valor de: abc + bca + cab a) 1111 b) 1221 c) 1234 d) 1332 e) 1001 09. Si: aa = (a + b + c + d + e) × a Calcule el valor de: abcde + bcdea + ceabd + dabab + edecc a) 122221 b) 133331 c) 233332 d) 22222 e) 322223 M+4 17 2 + = 17 M+4 Además a + b + c = M
10. Si
Calcule a1bc + c3ab + b5ca y halle la suma de cifras. a) 10 b) 12 c) 24 d) 17 e) 16 2
11. Si: (a + b + c) = a25 Calcular: M = ab3 + c2b + 4ac + bca a) 1475 b) 1685 c) 2088 d) 1575 e) 1988 12. Calcular (M × N × P) si se cumple que: a) 30 d) 36
M82N + P7N + 5NP2 = NNM64 b) 42 c) 48 e) 35
13. Si: ABB + 33A = 800 Hallar el valor de “A” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Academia GAUUS
E1DE19 Hallar: A + B + C a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
15. Si se cumple que: A BC23D + C4EFGB B769C7 Hallar: F + E + A a) 12 b) 11 c) 10 d) 13 e) 8
16. Si: AVILA + PINADA = 1000000 y L = 1 , V = 2 ; entonces el valor de NAVILA es: a) 702415 b) 123308 c) 703320 d) 765430 e) 236740
17. Calcular “x” en la siguiente adición: a) 6 d) 8
97yx + 692 + xxxx = yxzw2 b) 10 c) 5 e) 7 2
18. Hallar el valor de (a − b) , si se conoce que: ab+ 5a b3 1ab a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36 19. Si: ab + ca = 130 Hallar: ba + ac a) 110 b) 112 d) 120 e) 124
c) 115
20. Hallar: bcc si se sabe que es menor que 500 y además: ab0 + a0c + bc + c = bcc
151
JOHN MAMANI M. a) 244 d) 255
b) 266 e) 366
21. Si: 9b6c − 82c9 = daa6 Calcular: a + b + c + d a) 4 b) 8 d) 12 e) 12
c) 233
a) 10 d) 13
c) 9
bd + np + yw = 160 ac + mp + xz = 127
c) 25
a) 12790 d) 12540
ap + bq + cr = 253
Hallar: SEIS, además I = E y T R a) 8128 b) 8118 c) 9229 d) 9339 e) 9119 24. Si: EVA + AVE = 645; Hallar: V + E + A a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
px + qy + rz = 138 xa + yb + zc = 104 Calcular: rbz + qax + pcy a) 1548 b) 1458 d) 1358 e) 1368
abcd Si: aaa + b = acd (a ≠ b ≠ c ≠ d) a) 9859 b) 8579 c) 8759 d) 8795 e) 8621
26. Si: wxyz + w + x + y + z = 2013 , c) 128
27. Calcule el máximo valor de: m × n × p Sabiendo que; m ≠ n ≠ p Además: mmm + nnn + ppp = 1554 a) 70 b) 85 c) 91 d) 90 e) 12
32. Si: abc + cba = 666 Además: c a 2 Se puede afirmar: I. a + b + c = 9 II. a 2 III. a + b × c = 20a a) FVV b) VFV d) FFV e) VVV
c) VVF
33. Hallar el valor del digito D de la siguiente suma: TVTV+ RR 3S
28. Determinar: " U + N + A ",
152
c) 1348
31. Calcule el máximo valor que puede tomar:
25. Si: PAZ + ZAP = 847 Hallar P + A + Z a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
Si: UNA + ANU = 888 Además: U − A = 4
ab + mn + xy = 124 b) 13590 c) 17590 e) 12590
30. De acuerdo con las adiciones indicadas
23. Si: SIETE + TRES = 100000
Calcule zx + yw + wz a) 148 b) 136 d) 130 e) 132
c) 11
29. Hallar: E =abcd + mnpp + xyzw, Sabiendo que:
22. Hallar: A × B Si: A 47 + BAB = 1093 a) 23 b) 24 d) 26 e) 28
b) 14 e) 12
a) 2 d) 4
SVD8T b) 8 e) 6
c) 0
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 10 b) 11
34. Si: UU + NN + AA = UNA Calcular: E = 2U + N − A a) 2 b) 7 d) 3 e) 9
c) 5
c) 12
42. En la siguiente adición, las letras A, C, D y E representan números primos diferentes. AEC +
35. Si se sabe que: NUA + NAU + NU = UNA Hallar: U + N + A a) 13 b) 18 c) 11 d) 15 e) 13
36. Si se cumple: ABC = AB + BC + CA Halle: A − B + C a) 0 b) 9 c) 2 b) 1 e) 3
37. Si: AA + LL + OO = ALO; (O ≠ cero) Calcular el valor de la suma de las cifras de: a) 25 d) 27
b) 9 e) 13
OLLA + LOLA b) 26 c) 24 e) 22
38. Si se cumple que: PPU + EEU + RRU = PERU Donde, letras diferentes representan cifras
diferentes, calcule: PU + R E a) 89 b) 98 c) 78 d) 99 e) 87 39. Si: UU + NN + AA = UNA 2
2
Calcular: E = U + N − A a) 16 b) 20 d) 14 e) 12 40. Si: MM + EE + SS = 19S Halle: M + E + S a) 13 b) 18 d) 15 e) 13
2
c) 18
c) 11
41. Si se cumple: ab + bc + dd = (c − 1)dd Hallar: (a × c + b) Academia GAUUS
CDD E AE 1CDC Calcular el valor de: E × D + A × C a) 33 b) 31 c) 29 d) 27 e) 3 43. Sabiendo que a letras iguales le corresponde cifras iguales y además: NE + EN = SOS Hallar: N + O + S + E a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 44. Si: DOS + DOS + TRES = SIETE Determinar: R + E + S + T + O a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 45. Si: BATA + BATA = MANTO; Con (O ≠ cero) Letras diferentes representan cifras diferentes. Hallar: B + O + B + T + M a) 19 b) 40 c) 33 d) 17 e) 30 46. Si: TEN + TEN + FORTY = SIXTY Calcular: T × R × I a) 19 b) 31 c) 33 d) 30 e) 48 47. Si: TRES + DOS = CINCO Además: N=5; R > D Hallar la suma de cifras de: CINCO
153
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 11
b) 13 e) 14
c) 10
54. Dada la siguiente adición, las letras iguales tienen la misma cifra.
COCA +
48. Hallar la suma de las cifras del máximo valor que puede tomar el resultado de: MAMA + PAPA =; TITIO O=cero a) 12 b) 16 c) 14 d) 18 e) N.A 49. Si: HOL A + CHA U CUCHA Hallar: H + C a) 13 b) 15 d) 16 e) 9
;
O ≠ cero
c) 12
51. Si: PARA + PARA = CATRE Hallar: T + E + T + A a) 17 b) 21 c) 19 d) 16 e) 8 E
52. Si: A = A × B, hallar el resultado de la siguiente suma. PAPA + MAMA = BEBE b) 8484 c) 8585 e) 5454
53. Si se sabe que: CERO + CERO + CERO + CERO + CERO = NADA
Con: O=cero. Hallar: D + O + C + E + N + A a) 28 ó 35 b) 26 ó 30 c) 25 ó 35 d) 28 ó 34 e) 27 ó 29
154
LATA Calcule: C × O × L + C + A a) 15 b) 18 d) 17 e) 16
c) 12
55. Dada la siguiente adición, las letras iguales tienen la misma cifra, además A=3 PIE N SE + AN T E S
50. Si: NADA + NADA = FALSO, D = S, (O ≠ cero) y letras diferentes representan cifras diferentes. Hallar: F + A + L + D + O + N a) 30 b) 34 c) 28 d) 31 e) 36
a) 2484 d) 3434
COL A
EX I STA Halle: XE + NP + ST + AI a) 196 b) 198 d) 192 e) 194
c) 188
56. Si se cumple que: APT + MAP = STOP Además STOP toma su máximo valor y (O=0. Hallar: M + O + T + A + S a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 57. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además: OLIM + PIA + DA = RIEMA Donde: M = 3 y L > P Hallar: R + O + M + M + E + L a) 20 b) 24 c) 28 d) 26 e) 30 58. Si sabemos que se cumple que: N I A + L I Y U M I E L Además: MIEL = tiene el máximo valor posible y A > U Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Hallar el valor de: YULIANI + MIEL Dar como respuesta la suma de cifras del resultado a) 37 b) 33 c) 28 d) 14 e) 24 59. Sabiendo que ninguna cifra puede ser cero, y: T E + A M O A N I Y U L I Y U L I = máximo valor posible , Y ≠ 2 ; M= N = T Hallar: Y + U + L + I + A + N + I a) 37 b) 39 c) 38 d) 44 e) 25 60. Hallar: x + y + z Si: 1x + 2x + 3x + ... + 6x = yz8 a) 12 b) 16 c) 15 d) 14 e) 10 61. Hallar: a + y + x Si se cumple que: a1x + a2x + a3x + ... + a7x = 38y1 a) 8 d) 10
b) 6 e) 11
c) 7
63. Se sabe que: 7 + 77 + 777 + + 7777 77 = mnpq 36 sumandos
Hallar: p + m + n + q
Academia GAUUS
a) 6050 d) 7750
.....abcd b) 5070 e) 4023
c) 7050
66. Se sabe que: 23 cifras
x1x + x2x + x3x + ... + x9x = abc4 a) 17 b) 23 c) 14 d) 20 e) 24
b) 5 e) 14
65. En la siguiente suma, calcular: abcd 3+ 55 333 5555 (20 sumandos) 33333 ............
b + ab + bab + abab + + baba bab ab =
62. Hallar: a + b + c + x Si se cumple que:
a) 7 d) 12
64. Calcular las tres últimas cifras del resultado de la siguiente suma: 8 + 88 888 8888 (32 sumandos) 8......88 .......cba a) 736 b) 726 c) 746 d) 546 e) 666
c) 15
Calcular:= M ab − ba a) 6 b) 2 d) 4 e) 10
c) 8
67. Si: n + nn + nnn + + nn nnn xy9 = 17 sumandos (x − y)
Calcular: E = (n − y) a) 100 b) 36 d) 144 e) 625
c) 256
155
JOHN MAMANI M. MULTIPLICACIÓN
(
PROBLEMA 01
Entonces: AVE
UNA × M = 3496
Si:
UNA × S = 2185 Determine el valor del producto de las cifras de: UNA × SM a) 567 d) 720
b) 134 e) 324
c) 980
Resolución U N A × S M UNA × M = 3496 ⇒ 3 4 9 6 UNA ×= S 2185 ⇒ 2 1 8 5 2 5 3 4 6
Entonces: UNA × SM = 25346 Piden: 2 × 5 × 3 × 4 × 6 = 720
= 45796
PROBLEMA 03 Si se sabe que: 25N = 225 23N = 927 Calcular las tres últimas cifras de: 42N a) 582 b) 298 c) 522 d) 742 e) 258
Resolución Los dos datos del enunciado en este caso restaremos, pero en otros casos se suman. 25N = 225 (− ) 23N = 927 2N = 298 × 21 × 21 42N = 258
AVE × E = 856 AVE × V = 214
PROBLEMA 04
AVE × A = 428
Si: MIA × 999 = ....1648
(
Hallar: AVE a) 45796 d) 42841
)
2
b) 45794 e) 42588
Resolución
( AVE= ) 2
AVE × AVE AVE × AVE 856 214 428 45796
156
2
∴ Últimas tres cifras: 258
PROBLEMA 02 Si:
)
c) 10425
Calcular: MAMA × 99 a) 319968 b) 344968 d) 314968 e) 302219
c) 2022
Resolución MIA × 999 = ....1648 MIA × (1000 − 1) = ....1648 MIA000 − MIA = ....1648 Verticalmente
MIA000 − MIA ...1648 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. De la resta se tiene: 10 − A = 8 ⇒ A = 2 9−I = 4 ⇒ I = 5 9 − M =6 ⇒ M = 3
Donde:
A = 5; G = 1; T = 3; U = 7
Piden: G + A + T + A = 14
PROBLEMA 07
Lo que pide: MAMA × 99= 3232 × 99 = 319968
resultado de. UNA × 468 a) 16 b) 12 d) 14 e) 15
PROBLEMA 05 Determinar: J + U + L + I + A Si: 5 × JULIA7 = 7JULIA a) 18 b) 19 d) 21 e) 30
Si: UNA × 156 = .....876 Calcular la suma de las 3 últimas cifras del
c) 20
c) 13
Resolución De UNA × 468 = UNA × 156 × 3 Remplazando:
Resolución
UNA × 468= ....876 × 3
Colocamos la expresión de una forma adecuada JULIA7 × 5 7JULIA
= ....628 Luego será: 6 + 2 + 8 = 16
Luego: 2 1 4
2
3
1 4 2 8 5 7 × 5 7 1 4 2 8 5 Piden: J + U + L + I + A = 1 + 4 + 2 + 8 + 5 = 20
PROBLEMA 08 Si:
PERU × E = 19138 ;
PERU × U = 10936 Hallar: P + U + R + E a) 11 b) 16 d) 14 e) 15
c) 13
Resolución
PROBLEMA 06 Si: GOTA × 5 = AGUA Hallar: (G + A + T + A) a) 11 b) 12 d) 14 e) 15
Ordenando: c) 13
Resolución Colocamos la expresión de una forma adecuada GOTA × 5
PERU × = E 19138 = 2734 × 7 PERU × U = 10936 = 2734 × 4 De donde se deduce que:
P=2 , E=7 , R=3 , U=4 P + U+ R + E = 2+ 4+ 3+7
P+U+R+E = 16
AGUA Academia GAUUS
157
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 09 Halle el valor de R + O + S + A , sabiendo que cifras iguales son letras iguales en:
RACSO × 4 = OSCAR b) 17 c) 18 e) 20
a) 16 d) 19
R
Resolución
A C
S C A
en 1) ⇒ S = 7 4 × C + 3= 3C ⇒ cumple si C = 9 Reconstruyendo
S O ×
R
4 O
En el producto 4×O = R (par) ⇒ R = 2 y O = 8 4 × A = S ⇒ A = 1 ( A ≠ R y no lleva nada) 4 × S + 3= A ⇒ 4 × S + 3= 1 (Termina
R
O
En el multiplicando: 4×R = O ⇒ R = 1 ó R = 2 (O<10)
S O × 2 1 9 7 8 × ⇒ 4 4 S C A R 8 7 9 1 2
A C
Pide: R + O + S + A = 2 + 8 + 7 + 1 = 18
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si:
a) 5635 d) 5563
abc × m = 2312 abc × n = 1734
¿Cuánto es abc × mn ? a) 9652 b) 24854 d) 25854 e) 27243 02. Si:
UNA × U = 122
c) 31427
La suma de las cifras de UNA × UNA es: a) 18 b) 24 c) 28 d) 32 e) 34 06. Si:
M × ABCD = 30555
N × ABCD = 8730
03. Si se sabe que: MNP × x = 5781
P × ABCD = 4365
MNP × y = 6342
Calcular: PNM × ABCD a) 553455 b) 553445 d) 554355 e) 445355
¿Cuánto es MNP × yx ? a) 69301 b) 59301 d) 69201 e) 59201
c) 58301
DOR × I =490 DOR × S = 735
Hallar: DOR × IS
158
UNA × A = 244 UNA × N = 2484
T × DEJE = 37420
04. Se sabe:
c) 5736
05. Se tiene los siguiente productos parciales c) 21954
E × DEJE = 29936
Calcular: TE × DEJE a) 404136 b) 403246 d) 254100 e) 641522
b) 3565 e) 7356
c) 355454
07. Hallar: VOY × ESA , si: VOY × E = 610 VOY × A = 2745 VOY × S = 1830 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 43579 d) 32768
b) 82645 e) 25345
c) 18674
b) 12 e) 15
c) 13
13. Si se sabe que:
08. Halle el valor de abc × mnp , Si se sabe que:
a) 54975 d) 56175
a) 17 d) 14
abc × a = 428
mnp × a = 525
abc × b = 214
mnp × c = 175
abc × c = 856
mnp × b = 350 b) 55875 c) 45975 e) 55675
2
Calcular: (a × b × c) a) 64 b) 144 d) 36 e) 25
c) 81
14. Si se sabe que:
09. Si: MARI × S = 3702
abc × n = 516
MARI × L = 8638 O = cero
abc × m = 1204 abc × p = 1032
Hallar: MARI × SOL a) 37887405 b) 37920820 c) 379802920 d) 378998020 e) 378838 10. Si se sabe que:
Calcule (100m + p + 10n) × abc y dé como respuesta la suma de cifras. a) 20 b) 21 c) 23 d) 24 e) 25 15. Si se sabe que:
abc × a = 1068
UAN × C = 490
abc × b = 1780
UAN × V = 735
abc × c = 2138 Hallar la suma de las cifras de: abc a) 27 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 11. Si: abc × b = 6264 abc × c = 2349
12. Hallar (a + b + c) , si: abc × a = 1904 abc × b = 3332 abc × c = 2856 Academia GAUUS
Calcule UAN × (10C + V) y respuesta la suma de cifras. a) 20 b) 11 c) 23 d) 19 e) 18
dé
como
16. Si suponemos que: 170, 5 682 ; O,R = y (O = 0) S= AVE AVE
abc × a = 5481
Halle la suma de las cifras de abc a) 30 b) 18 c) 21 d) 27 c) 24
2
2
Hallar: AV,E × S,ORRO Dar como respuesta la suma de las cifras enteras del resultado a) 12 b) 10 c) 70 d) 7 e) 38 17. Si: UV, A × A = 43, 8 V=
893 UVA
159
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 18
O, U × UVA = 36,9 Determine el valor de: 2
a) 462,83 d) 745,41
UVA + 15 es: 100 b) 473,21 c) 471,68 e) 384,14
18. Si se sabe que: 25N = 927 23N = 225 Calcular las tres últimas cifras de: 42N a) 582 b) 298 c) 522 d) 742 e) 258 19. Si se cumple que: 9536 431 × abcd = 8544 124 × abcd = Halle la suma de la cuatro últimas cifra del
resultado de 555 × abcd . a) 16 b) 14 d) 17 e) 18
c) 15
20. Sea 19 × mnp = 892 17 × mnp = 956 Hallar la suma de las tres últimas cifras de: 18 × mnp a) 10 d) 17
b) 18 e) 8
c) 5
21. Si se sabe que: 13N = 769 8N = 704 ¿Cuáles son las tres últimas cifras en que termina 35N ? a) 243 b) 445 c) 455 d) 355 e) 325 22. Si se sabe que: 19N = 541 13N = 107 Determine la suma de las tres últimas cifras de 78N
160
b) 14 e) 20
c) 16
23. Determine la suma de las tres últimas cifras de N, si: 8N = 6536 6N = 7402 a) 20 b) 23 c) 24 d) 25 e) 19 24. Si: 25N = 800 4N = 248 ¿Cuáles son las tres últimas en que termina 58N? a) 896 b) 096 c) 196 d) 296 e) 336 25. Si: N × 375 = 625 N × 427 = 021 Halle las tres últimas cifras de N × 156 a) 168 b) 188 c) 146 d) 224 e) 092 26. Si se cumple que 2495 35 × abcd = 7712 16 × abcd = Calcule la suma de las cuatro últimas cifras
del resultado de 3 × abcd . a) 12 b) 9 d) 6 e) 15
c) 18
27. Si se sabe que: UNAP × 99 = ....1043 Hallar: U + N + A + P a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 28. Si: DAYIRO × 99 = 291403 además a letras iguales les corresponden cifras iguales. Calcular: Y + O + D + I a) 22 b) 17 c) 20 d) 18 e) 21 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 29. Si: mnpqr × 99 = 77232 Hallar: m + n + p + q + r a) 35 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 30. Se tiene la operación: MIPERU × 99999 = 647816 Determinar la suma de las cifras de: a) 32 d) 40
PREMIUM b) 34 c) 36 e) 44
31. Si: KENAR × 99999 = 12345 Hallar: K + A + R + E + N a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 40 32. Si: ADCV × 99999999 = 3518 Halle: A + D + C + V a) 20 b) 24 c) 12 d) 18 e) 25 33. Si: AVE × 999 = .....1648 Calcular la suma de las cifras de: a) 28 d) 12
VEA × VAE b) 26 c) 13 e) 22
34. Si se sabe: abcd × 9999999 = .....2468 Calcular: a + b + c + d a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 35. Si el producto mcdu × 999 termina en 2471. Calcular el valor de: m + c + d + u a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 36. Si: 2abcde × 3 = abcde2 Hallar: a + b + c + d + e a) 23 b) 24 d) 26 e) 27 Academia GAUUS
37. Hallar la suma de las cifras del resultado de multiplicar:
7 × edcba , si se sabe que:
edcba7 × 5 = 7edcba a) 40 b) 20 d) 42 e) 41
c) 27
38. Si: ANITA × 8 = PEPITO; O = cero Hallar: M = A + N + I + T + E + P a) 20 b) 24 c) 35 d) 27 e) 28 39. Si: ROMCHI × 6 = CHIROM C+H+I Calcular: O+M−R a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 6 40. En la multiplicación, el mayor dígito que aparece en el producto es: a) 5 d) 8
NIGMAE × 5 = ENIGMA b) 6 c) 7 e) 9
41. Al dividir abcd entre 4, el cociente es dcba y el resto es cero. Halle: a + b + c + d a) 15 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18 42. Hallar la suma de los dígitos de DOCE , si además en la siguiente multiplicación: SEIS × 2 = DOCE Ningún digito puede ser seis y dos. a) 20 b) 14 c) 31 d) 27 e) 22 43. Sabiendo que: RADAR × 5 = CRAAC Hallar la suma de las cifras de CRACA a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
c) 25
161
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA 3
PROBLEMA 01
N = 376(dato)
Si: M ANy = M
N = N × N = ( 376)( 376) = 376
Calcular: M + y + N + y + N + A a) 22 b) 13 c) 19 d) 28 e) 41
N = N × N = ( 376)( 376) = 376 N
Resolución Si
M
N
ANy = M
6
3
3
9
6
3
12
= N × N = ( 376)( 376) = 376
9
90
= 376
Entonces: 3
M
6
9
90
N + N +N + + N = ....abc
⇒ ANy = M Dando valores a “P” 11 = 1 (no) 2 2 = 4 (no) M ANy = M 3 3 = 27 (no) 4 4 = 256 (si) Entonces: ANy = M ↓↓↓ ↓
3
30 sumandos
( 376) + ( 376) + ( 376) + + ( 376) = ....abc 30 sumandos
30( 376) = ....abc 1280 = ....abc
Luego: a = 2 ; b = 8 ; c = 10 Piden: a+ b+c = 2+ 8+0 = 10
M
4
25 6 = 4 Piden: M+ y+ N+ y+ N+ A = 4+6+ 5+6+ 5+ 2 = 28
PROBLEMA 03 Hallar: U + N + A + x + y
PROBLEMA 02 3
Si: N = .......376 Calcular (a + b + c) , en: 3
6
9
N + N + N ++ N b) 9 e) 6
a) 10 d) 4
90
162
a) 29 d) 32
UNA = 1535 − ANU b) 10 e) 33
c) 21
Se tiene: UNA = ANU + 2xy
Para hallar; a, b, c, habrá que hallar las potencias 3
UNA = ANU + 2xy
Resolución = ....abc c) 7
Resolución de N , entonces:
Si:
Disponiendo: UNA − ANU 2xy
UNA −
⇒
ANU 297
Si se cumple: x = 9 ; y = 7 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Se tiene:
UNA − ANU = 297
+
Resolución Del enunciado. abc + cba = ....8 (+ ) abc − cba = ....8
UNA + ANU = 1535 2UNA = 1832 UNA = 916
2(abc) = ....6
Donde: N=1 ; U=9 y
(abc) = ....3 ∴c = 3
A=6
Piden:
U + N + A + x + y = 9 + 1+ 6 + 9 + 7 U+ N+ A+ x+ y = 32
Luego: abc + cba = ....8 (− ) abc − cba = ....8 2(cba) = ....0
PROBLEMA 04 abc + cba = ....8
Si:
abc − cba = ....8 Calcular el máximo valor de: a + b + c a) 20 b) 21 c) 17 d) 18 e) 19
(cba) = ....5 ∴a = 5 “b” toma su máximo valor: ∴ b = 9 Piden: a + b + c = 17
¡Comprueba lo que sabes! M
01. Si se sabe que: ROSA = 8 , Donde M=R, hallar: A + M + O + R a) 13 b) 14 c) 15 d) 18 e) 19 02. Si:
∗
AMA = 7
Hallar: MAMA a) 1212 b) 3434 d) 4343 e) 2121 03. Si se sabe que:
M
AMOR = 7
M
R R Hallar: + A M a) 1/2 b) 1/4 d) 1/16 e) 1/32 04. Si
$
ALLA = 11 y
$
Hallar: MAS + ALLA Academia GAUUS
c) 4949
A
c) 1/8
MAS = 8
a) 1483 d) 1384
b) 1834 e) 1843
c) 1438
3
05. Si se sabe que: UNA = A Calcular: U + N + A a) 16 b) 12 c) 18 d) 14 e) 12 A −1
06. Si se sabe que: SALVEZ = 5 Hallar la suma de cifras de: L+ A+ S+E+ V+Z a) 24 b) 26 c) 25 d) 27 e) 28 P
UNAP = P U× N + P Calcular: E = A a) 6 b) 2 d) 4 e) 12
07. Si:
c) 8
163
JOHN MAMANI M. N
U
08. Si: OLA = N y PERU = U Hallar: P + E + R + U + A + N + O a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 09. Si : AABB = CC Hallar: A + B + C a) 15 b) 19 d) 24 e) 20
16. Hallar: aab − ab Si se cumple que: 8(ababa) = 242424 b) 308 c) 320 e) 330
a) 300 d) 230
17. Si: JOHNS × 7 = 333333 c) 21
Entonces OH ÷ NS es: a) 5 b) 6 d) 4 e) 3
c) 7
A
10. Si: KARI= A + 3 Hallar: R + I + K + A a) 10 b) 9 d) 8 e) 12 11. Hallar: U + T, si: TU6 = a) 9 b) 10 d) 12 e) 22
18. Si se cumple que: c) 7
aaa = bbb − 111 aaa + bbb = 1665
* * *TU6 c) 11
Hallar el valor de: a(b − a)b a) 827 b) 817 c) 718 d) 615 e) 428 19. En la siguiente operación:
12. Si sabemos que:
aaaa = (2a)b × aa
M × YULI = 9422 I × YULI = 8076 L
Además: ANI = L Hallar la suma de cifras del resultado de: a) 10 d) 18
MI × YULI + ANI b) 15 c) 12 e) 9
A−2
13. Si AAAY = 6 , Hallar YAYA a) 6666 b) 7676 c) 6767 d) 7777 e) 5656 x
14. Si: ERROR = x , O ≠ Cero , hallar REO a) 654 b) 465 c) 456 d) 645 e) 546 15. Si: ababa × 6 = 212118 Hallar: aab + ab a) 335 b) 370 d) 730 e) 337
164
Calcular: (a + b) × ab a) 51 b) 300 d) 308 e) 90 20. Se sebe que: L
(O + L + A) = 1 + 3 + 5 + 7 + + 23 Además: O ≠ 0 Halle: OLO + ALA + ALO + OLA a) 2000 b) 2010 c) 2100 d) 1200 e) 1210 21. Hallar la suma de las cifras del resultado y la de las cifras de ambos sumandos, en la expresión: PALIS + SILAP= 8 ∗ 6 ∗ ∗ Sabiendo que cada letra diferente tiene un valor diferente; Además que: y P>A>L>I>S 2
c) 535
c) 306
2
2
3
P +I = A +L +S a) 72 b) 36 d) 45 e) 27
2
c) 78 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 22. Si:
A+C= 11 , encuentre el valor de
EVA en: ABC − CBA = EVA a) 136 b) 197 c) 247 d) 297 e) 143 23. Si se cumple que: abc − mn4 = cba Además: a + b + c = 20 c Halle: a−b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 24. Si:
LIZ + ZIL = 1324
LIZ − ZIL = ∗ ∗ 6 Hallar el valor de: L + I + Z a) 10 b) 11 d) 13 e) 14
25. Si:
c) 12
abc − cba= 3 ∗ ∗
abc + cba = ∗ 35 ∗ Hallar (2a + b + c) a) 18 b) 24 d) 21 e) 27
30. Si sabe que: ab0d × m = 33663 c0 × n = 420 Hallar el valor de: abcd × m a) 55083 b) 34083 c) 39658 d) 58980 e) 57842 31. Si: abc = × 6 ....344 (a > c > b) Hallar: ab + bc − ac a) 26 b) 24 d) 28 e) 29
c) 22
32. Hallar el valor de: a − b + c − d c) 19
26. Hallar: a + b + c + x + y , si: abc = cba + 2xy a) 29 d) 32
29. Al dividir un numeral de cuatro cifras, se obtuvo en el procedimiento de la división los residuos parciales 17, 9 y 12 como residuo final. Calcular la suma del dividendo y del cociente que se obtuvo. a) 9813 b) 9934 c) 9930 d) 9834 e) 9381
= abc 1535 − cba b) 10 c) 21 e) 33
27. Si:
Si: abc7 × d = 19914 ; a, b, c, d son cifras significativas a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 33. Hallar la suma de las cifras del resultado de multiplicar " abc × 512 " , sabiendo que la suma de los productos parciales de esta multiplicación resulta 3496. a) 26 b) 24 c) 28 d) 23 e) 22
abc + cba = x25y abc = cba + mn8 Calcular: a + b + c a) 10 b) 18 d) 14 e) 12
34. Un número de 4 cifras de la forma abc6, c) 20
28. Al dividir el número abc entre el número bc, se obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Calcular: " a + b − 2c " a) 19 b) 17 c) 13 d) 12 e) 11 Academia GAUUS
elevando al cuadrado, termina en abc6. Calcular: a + b + c a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 35. Si se cumple que: a × ab × abc = 41514 Hallar: " a + b + c " a) 2 b) 0 c) 4 d) 8 e) 6
165
JOHN MAMANI M. 36. Si: ABC × CBA = 48763 Hallar: A + B + C a) 6 b) 7 d) 8 e) 10
c) 9
a) 1 d) 5
b) 2 e) 7
44. Hallar:
a0b + cdaec
Si: 37. Hallar: a + b + c , si abc × cba = 39483 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 38. Si: a7b4 × ab = cc9c68 ; halle: a + b + c a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 39. Si: CCA × CPU = 5A7A 4 Determine el valor de: a) 3 b) 4 d) 1 e) 6
P + U+ C+ A −1 c) 8
40. Hallar: a + b + c + d , si: abcd × bd = 43904 bc × bd = 1184 Donde letras iguales son dígitos iguales. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
41. Si: DOS × DOS = CUATRO Además S = 2 y si uno de los productos parciales termina en cero. Hallar: CUA a) 392 b) 293 c) 221 d) 417 e) 582 42. Si: TOC × TOC = ENTRE, (O = cero) y letras diferentes representan cifras diferentes. Halle la suma de las cifras de: a) 29 d) 31
ENTRETOC b) 30 c) 28 e) 27
43. Si las letras G,O,L,E,S representan dígitos (no necesariamente diferentes) tales que GOL × GOL = GOLES Hallar el valor de: G + O + L + E + S
166
( a0b )
2
c) 4
= cdaec
Además (0 = cero), y las letras diferentes tienen valores diferentes a) 43472 b) 43470 c) 43478 d) 43414 e) 12414 2
45. Si: AMOR = * * * * AMOR , O = cero Hallar: ROMA a) 6729 b) 6719 d) 6739 e) 7439
c) 6717
46. Hallar: a + b + c , si: abc × bc × cb = 162500 a) 9 b) 8 c) 11 d) 12 e) 13 47. Hallar: 3 A + B + C + D + E Si: ABCD × B = BCDE además B es par y C es impar. a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6 48. Si: 1500 < UNAP < 1800 Además: U + N + A + P = 18 Calcular: U × N × A × P a) 48 b) 56 c) 45 d) 54 e) 63 P + E + R , si además O = cero , en:
49. Hallar:
a) 8 d) 9 50. Si: PAN =
150 < PER < 300 ,
POR + PE + P + R = PER b) 10 c) 7 e) 10
534 691 , (O=0) = Z N
Calcular: PAN × ZON a) 54901 b) 54910 d) 44091 e) 64091
c) 54091 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 51. Si:
como 2
PAR + RAS ASSA Hallar: S + A + P + A a) 10 b) 11 d) 13 e) 14
c) 12
52. Calcular la suma de, sabiendo que N = 6 a) 10651 d) 10621
SEND + MORE = MONEY b) 10652 c) 10653 e) 10562
53. Reconstruir la suma siguiente si TERNO tiene las cifras impares y todas las letras corresponden a cifras diferentes. De cómo respuesta las cifras de SACO . SACO + PANT ALON a) 8640 d) 8642
TERNO b) 8645 e) 8643
c) 8641
DONALD + GERARD = ROBERT a) 197483 b) 197485 c) 197483 d) 197486 e) 198738 55. En la siguiente adición reemplace cada letra con los números 1; 2; 3; 4 y 7, sin repetir, y dé como respuesta el valor de U−N+O−D+ S. U N O + U N O D O S b) 8 e) 10
c) 9
56. En la siguiente adición hay que sustituir cada letra por un dígito del 1 al 6 sin repetir. Dé Academia GAUUS
2
(M + A + R ) − (O M M M M O L
a) 12 d) 7
b) 10 e) 14
el 2
2
valor
de
2
+L +S ) A R + A R A R A R A S
c) 9
57. Reemplace cada letra por uno de los siguientes números: 0; 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9. S E N D + M O R E M O N E Y Dé como respuesta la suma de cifras de SORRY . a) 25 d) 24
b) 30 e) 27
c) 22
58. Si se sabe que APT + MAT = STOP , donde
54. Si “O” es diferente de cero. Hallar:
a) 5 d) 7
respuesta 2
STOP toma su máximo valor y O es cero, calcule T + A + S + M + P . Considere que letras distintas toman valores diferentes y a letras iguales les corresponde el mismo valor. a) 20 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
59. Si ASES + REYES = POKER además K=8 y todas son cifras significativas, halle S+O+R+P+R+E+ S+ A a) 35 b) 37 c) 34 d) 39 e) 32 60. En el siguiente operación, a letras diferentes le corresponde cifras diferentes. SEIS + SEIS = DOCE Si E<8, determine el máximo valor de DIOCES . De cómo respuesta la suma de sus cifras a) 27 b) 30 c) 25 d) 24 e) 32
167
JOHN MAMANI M.
01. Hallar la suma de las cifras que faltan en el siguiente producto. (Todas las cifras ∗ son diferentes) ∗∗∗ 5× ∗ 39140 a) 16 d) 19
∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ 4 ∗ ∗ ∗ 1 ∗
a) 13105 d) 21105
03. Reconstruya la siguiente multiplicación y halle el producto total.
a) 900 d) 700
b) 500 e) 800
5 UNAP–EXT–2010
b) 11105 e) 10105
∗ ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 5 1
UNAP–ING–2015
a) 23 d) 22
∗
∗ × 3 ∗
c) 12105
06. Indique la suma de cifras del resultado. Cada asterisco representa un digito cualquiera.
c) 1100
2 × ∗ 0
c) 966
05. Hallar el producto:
c) 28
b) 1400 e) 1300
∗ 2 ∗ ∗ ∗ 4 ∗ 0
b) 766 e) 756
UNAP–EXT–SOC–2015
b) 18 e) 29
02. Reconstruya la siguiente multiplicación y halle el producto total. 2 ∗ × ∗ 2 ∗ 0 1 ∗ 5 ∗ 3 0 ∗ a) 1350 d) 1250
a) 866 d) 826
b) 24 e) 21
∗ ∗ × 6 ∗ 4 ∗ ∗ 2 9 CEPREUNA–BIO–2013
c) 25
07. Si: 1CHAPE × 3
UNAP–BIO–2015
c) 600
04. Reconstruya la siguiente multiplicación y halle el producto total. ∗ 2 × 2 ∗ ∗ ∗ 6 ∗ 4 ∗ 6 ∗
CHAPE1 Calcular el valor de: A+P+A+C+H+E
a) 34 d) 31
b) 41 e) 14
CEPREUNA–2005
c) 28
UNAP–SOC–2015
168
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 08. Calcule m + n , si se tiene la siguiente división 3 6 m 6 3 2 n 3 2 n n n − 4 4 6 3 2 n n 2 m UNAP–SOC–2013
a) 1 d) 4
b) 3 e) 6
c) 5
09. En la siguiente división, intervienen tres dígitos: p, q y r. Calcule el valor de 2p + 3q + 5r. p q q r r p p p q r p a) 47 d) 49
UNAP–EXT–2008
b) 38 e) 43
c) 30
10. Halle el cociente de la siguiente división: A B C C C ∗ ∗ ∗ − D D C D ∗ 8 − A B C ∗ E ∗ − D D a) 363 d) 373
b) 463 e) 462
8 8 A E ∗
a) 10 d) 20
c) 362
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − − ∗ ∗ −
a) 12 d) 28
Academia GAUUS
UNAP–EXT–2013
b) 22 e) 32
U ∗ N ∗ A ∗ ∗ ∗ ∗ − − − ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ − −
c) 26
J ∗ ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗
∗ ∗ 1
b) 18 e) 17
c) 24
UNAJ–2013
14. Halle los números ocultos por los asteriscos y encuentre la suma de las cifras del radical ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ 1 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 1 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2
∗ 0 −
∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − − −
13. Halle U + N + A + J , si:
11. Hallar la suma de las cifras del dividendo ∗ ∗ 4 ∗ 2 ∗ ∗ − 3 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗ − −
c) 14
12. Obtenga la suma de la cifras del cociente
a) 25 d) 16 CEPREUNA–2007
b) 12 e) 18
a) 8 d) 14
b) 10 e) 16
CEPREUNA–ING–2013
c) 12
CEPREUNA–2011
169
JOHN MAMANI M. 21. Si: UNJ + UJNU = 433A Halle: U + N + A + J
15. Si: ababa × 6 = 212118 Hallar: aab + ab UNAP–EXT–BIO–2015
a) 335 d) 730
b) 370 e) 337
c) 535
Calcule: MAMA + AMAM CEPREUNA–2005
b) 12332 e) 13232
c) 12232
Además: p + q = 12; r + s = 16 Calcule: (a + b + c − d) b) 36 e) 25
c) 9
18. Calcular el valor de la expresión abc + bca + cab 2
Si se sabe que: (a + b + c) = 2025 UNAP–EXT–2012
b) 4695 e) 9045
Si: RAMA + AMAR = 9328 Sabiendo, que cada letra representa una cifra impar. a) 17 d) 13
b) 18 e) 15
c) 19
23. Si: 47b + 5b = 5bc
2 UNAP–2009/2006
a) 4895 d) 4867
c) 20
CEPREUNA–2007
17. Si: qqss + rrpq + pprp + ssqr = addbc
a) 100 d) 16
b) 23 e) 16
22. Hallar el máximo valor de M + A + R
16. Si: M + A = 12
a) 13332 d) 12222
UNAJ–2013
a) 19 d) 14
c) 4995
Halle: bc + cb CEPREUNA–ING–2012
a) 77 d) 66
b) 88 e) 55
c) 44
24. Si: 42b + 3b = 4bc ; b ≠ c Halle bb − cb CEPREUNA–BIO–2015
a) 30 d) 35
b) 45 e) 50
c) 40
25. Halle: R = mnp
19. Calcule m × n × p Sabiendo que; m ≠ n ≠ p
Si: mn + np = 97 y m + n + p = 13
Además: mmm + nnn + ppp = 2664
a) 427 d) 649
UNAP–EXT–2014
a) 504 d) 604
b) 506 e) 606
c) 704
UNAP–EXT–2009
Halle: U + N + A UNAP–SOC–2012
170
b) 17 e) 19
c) 340
26. Halle el producto a × b × c , si se sabe que: a7c + c6a + 5b9 = 1c26
20. Si: UN9 + UANU = 5353 y N ≠ 2
a) 16 d) 20
b) 634 e) 543
c) 18
CEPREUNA–2007
a) 96 d) 76
b) 86 e) 66
c) 56
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 265 d) 280
27. Si: abcde + edcba = 876fg Además: a < b < c < d < e 2
2
2
2
Calcular: E = a + b + c + d + e
2
b) 285 e) 270
33. Si:
UNAP–EXT–2014
a) 58 d) 78
b) 98 e) 88
c) 68 I
28. Si: UNA + NAU = 789
UNAP–ING–2014
c) 11
T T
U R A L
I I
N A
; N≠0
a) 16 d) 17
b) 15 e) 19
c) 18
34. Si UNO + DOS + TRES = PUNO ; S ≠ 0 Calcular: S + E + D + R + O
29. Halle: U + N + A
CEPREUNA–2009
Si: UNA + ANU = 888 Además: U − A = 4 UNAP–EXT–SOC–2015
a) 10 d) 13
R O M A + I L A N
CEPREUNA–BIO–2012
Calcule U + N + A b) 14 e) 12
M
Halle: A + M + O + R
Sabiendo que: A − U = 1
a) 10 d) 13
c) 260
b) 14 e) 12
c) 11
a) 15 d) 19
b) 25 e) 20
c) 23
35. Si: UU + NN + AA = 19A Halle: U + N + A CEPREUNA–BIO–2014
30. Si ABA + AB + B = A79
a) 13 d) 15
2
Determine: B + 5
b) 18 e) 13
c) 11
UNAP–EXT–BIO–2015
a) 14 d) 9
b) 21 e) 30
c) 6
36. Determine el valor de U − (N + A) , si se cumple A + A N U N A A A
31. Halle: U + N + A , si: UNA = UU + NN + AA CEPREUNA–2003/2013/2014/2015
a) 15 d) 19
b) 16 e) 17
c) 18
32. En un pueblo viven bac puneños; bca juliaqueños y ba azangarinos si en total son
A A
CEPREUNA–ING–2014
a) –2 d) –3
b) –4 e) 4
37. Dada la siguiente suma, hallar el resultado de: SAL + MAS = ALLA
abc . ¿Cuántos no son puneños?
UNAP–EXT–2005
UNAP–BIO–2012
a) 1133 d) 1331 Academia GAUUS
c) 3
b) 518 e) 3311
c) 813
171
JOHN MAMANI M. 38. Si: PAPA + MAMA = BEBE
43. Si: UN − EC = 42 y EC + AP =, 59 halle la suma de las cifras de:
Halle el mayor valor de BEBE Si: A < M < P y P < 6
= E UNAP + APUN
CEPREUNA–SOC–2012
a) 9696 d) 9898
b) 9797 e) 8989
c) 8787
39. Si cada letra diferente representa su dígito diferente y sabiendo que: QUE + QUE = ESOS ; (O ≠ 0)
CEPREUNA–ING–2014
a) 4 d) 18
b) 23 e) 2
44. Si: E × BESO = 6548 y T × BESO = 16370 Calcule el valor de: TE × BESO
Halle:
UNAP–2010/2012
Q+U+E+ S+O UNAP–ING–2013
a) 21 d) 27
b) 23 e) 19
a) 102748 d) 170248
abc × m = 2312
Hallar: a + b CEPREUNA–2010
b) 13 e) 14
41. Calcular: (U − N − A)
c) 15
abc × n = 1732 ¿Cuánto es abc × mn ? UNAP–EXT–2010
a) 9652 d) 25852
c) 21952
AVE × V = 214 AVE × A = 428
1U + 2U + 3U + + 9U = NA1 CEPREUNA–2009
b) 1 e) 4
c) 2
y “a” conejos; si hacen un total de ab0 animales. Halle a + b + c CEPREUNA–ING–2013
b) 11 e) 15
Hallar: AVE
(
)
a) 45796 d) 42841
b) 45794 e) 42588
2 CEPREUNA–2010
42. En un corral se tiene b00 patos, ccc gallinas
172
b) 24852 e) 27243
AVE × E = 856
46. Si:
2010
Si se sabe:
a) 13 d) 12
c) 127048
45. Se sabe que:
a2b + a3b + a4b + + a8b = 5992
a) 16 d) 12
b) 107248 e) 172048
c) 20
40. Se sabe que:
a) 0 d) 3
c) 5
c) 14
c) 10425
P
47. Si UNA = 7 , siendo A= P= U Halle: U+ N+ A+P CEPREUNA–2011
a) 16 d) 13
b) 17 e) 15
c) 14
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 48. Hallar: a + m + o + r Si:
m
Halle:
amor = 7 UNAP–2004
a) 9 d) 8
b) 10 e) 7
c) 6
49. Si cada letra diferente representa un digito diferente y se sabe que: 3
AUN = 8 ,
UANCV–2014
b) 18 e) 17
U+ A+ N+C+ V
)
N UANCV–2013
a) 25 d) 9 54. Si:
N
b) 12 e) 16
c) 13
UNAP= N + 3
Halle: U + N + A + P UNAP–BIO–2014
CV = 9
Además U = V , halle: U + A + N + C + V a) 19 d) 16
(
a) 10 d) 8
b) 9 e) 12
c) 7
c) 15 55. Si A = 6 y UNA=
∗ ∗ ∗ UNA
El valor de U + N + A es: 50. Si
P
UNAP–ING–2012
UNA = P
Hallar: U + N + A Letras diferentes tienen valores diferentes. UNAP–SOC–2012
a) 15 d) 20
b) 13 e) 18
c) 16
a) 17 d) 15
b) 18 e) 28
56. Si: UNA = (U + N + A) Calcular: U
N
c) 16
3
A CEPREUNA–SOC–2015
P
51. Si: UNA = P Calcular:
a) 1 d) 25
b) 9 e) 8
c) 5
U+ N+ A + P −1 UNAP–ING–2014
a) 11 d) 4 52. Si
∗
b) 12 e) 2
c) 10
57. Si: 3 × abcde = bcde3 Hallar: a + b + c + d + e UNAP–BIO–2012
a) 20 d) 21
UNAP = ∗
Halle: U + N + A + P Letras diferentes tienen valores diferentes.
53. Si:
V
b) 13 e) 12 UANC = V ,
c) 16
c) 17
58. Se tiene la operación: ABCAB × 6 = BBBBBB
UNAP–ING–2012
a) 9 d) 11
b) 18 e) 23
¿Cuál es el valor de: A + B + C ? UNAP–2011
a) 12 d) 14
b) 11 e) 16
c) 10
Siendo: C = V y U ≠ A ≠ N
Academia GAUUS
173
JOHN MAMANI M. 59. En la multiplicación A B C D × 4 D C B A
a) 1998 d) 1997 65. Si:
Hallar: A + B + C + D a) 19 d) 18
UNAP–EXT–2011
b) 20 e) 16
c) 17
60. Halle: a + b − c Si se cumple:
CEPREUNA–SOC–2015
b) 6 e) 9
CPU + UPC = 1332
a) 182 d) 172
a) 169 d) 144
c) 7
a) 20 d) 18
c) 17
abc + cba = 2 abc − cba = 6
2
b) 64 e) 96
CEPREUNA–2010
c) 81
resultado de. UNA × 468 b) 12 e) 15
a) 18 d) 17
c) 13
68. Efectúe la siguiente U+ N+ A+P.
CEPREUNA–ING–2013
c) 19
suma
y
halle
7 + 77 + 777 + + 7777 77 = UNAP 36 sumandos
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
CEPREUNA–ING–2014
c) 14
3
69. Si: N = .......376 Calcular (a + b + c) , en:
UNA NA (80) 11
3
6
9
N + N + N ++ N
Halle: U + N + A b) 17 e) 20
b) 20 e) 21
UNAP–ING–2012
63. Dada la siguiente división
a) 19 d) 18
UNAP–ING–2013
b) 21 e) 19
67. Calcule el máximo valor de a + b + c , Si:
62. Si: UNA × 156 = .....876 Calcular la suma de las 3 últimas cifras del
a) 16 d) 14
c) 152
abc + cba = ....8
61. Si: GOTA × 5 = AGUA Hallar: (G + A + T + A)
UNAP–EXT–2007
b) 192 e) 162
abc − cba = ....8 Calcular el máximo valor de: a + b + c
9 6 1
a) 11 d) 10
c) 2001
CPU − UPC= 5 ∗ ∗ Hallar: C × P × U
66. Si: a b c× 3
b) 1999 e) 1345
UNAP–BIO–2012
c) 21
a) 10 d) 4
b) 9 e) 6
90
= ....abc CEPREUNA–2009
c) 7
64. Si: EVA − AVE = TIC Calcular: TIC + CTI + ICT UNAP–SOC–2013
174
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Sucesiones CAPÍTULO VIII SUCESIÓN NUMÉRICA: Es el conjunto de números en el que cada uno de ellos tiene un orden determinado por su ley de formación, los términos se relacionan por adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplo 01 ¿Qué número sigue? 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , x
Resolución E,F,G,H,I, J,K,L,M, N, Ñ,O,P,Q,R, S, T,U, V +2
+5
+4
La letra que continúa es: V
SUCESIONES GRAFICAS Conjunto ordenado de figuras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios:
Resolución 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , x +1 +1 +2 +6 +a ×1 × 2 × 3 × 4 a = 6 × 4 = 24 = x 12 + a x = 12 + 24 = 36
+3
Criterio de Giro. (Horario: ó antihorario: ) Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura Unión y/o intersección de figuras. Otros. Ejemplo 03 ¿Qué figura continua?
SUCESIONES LITERALES Es el conjunto de letras relacionadas por el abecedario castellano y por alguna relación lógica. Nota: No se considera ni CH ni LL, por ser estas letras compuestas mientras no digan lo contrario. Es decir: A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N Ñ O P Q R S T U V W 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 X Y Z 25 26 27 Ejemplo 02 Que letra continua en: E , H , L , P , ..... Academia GAUUS
,
a)
b)
d)
e)
c)
Resolución Como la región sombreada en forma horaria avanzo primero 1 espacio, luego 2 espacios, 3 espacios y la bolita cada 3 espacios. (Avanza en la última figura la región sombreada 4 espacios).
∴ Respuesta D
175
JOHN MAMANI M. SUCESIÓN ARITMÉTICA SIMPLE También conocida como progresión aritmética (P.A.) y es de la siguiente forma:
Ejemplo 04 En la siguiente sucesión, calcule t 10 –2 ; 2 ; 6 ; 10 ; …
Resolución
t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; ; t n
Donde: r = 4 ; t1 = −2 ; n = 10 ; t n = ? Hallemos t 10 :
+r +r +r Se cumple:
t n = t 1 + (n − 1)r
t n = t 1 + (n − 1)r = n
t n − t1 +1 r
t= r n + t0 n
t 10 =− 2 + (10 − 1)4
t −t n= n 0 r
t 10 = 34
SUCESIÓN ARITMÉTICA CUADRÁTICA
r = t 2 − t 1 = t 3 − t 2 = ...
Es una sucesión cuya forma presenta la siguiente secuencia:
Donde: t 1 : Primer término n : Número de términos t 0 : Término anterior al primero r
A+B = + m 0 + m1 + m 2 + m 3 2A = + r
: Razón de la sucesión
¡Tenga en cuenta que…! En una sucesión aritmética se cumple que la diferencia de los términos consecutivos es constante, además, que cualquier término se puede expresar en función de otro.
+8r
+6r t 14
t6
t 20
Se cumple que t 14= t 6 + 8r
En general
;
t n = t m + (n − m)r
176
primer término + último término 2
+r
+r
→ Razón única
Su término general se calcula así: 2
t n = An + Bn + C Si se sabe que: ⇒ = 2A r
A= + B m0 = C t0
El termino enésimo también lo podemos calcular utilizando el método combinatorio. n −1
t n =t 1C 0
t= t 14 + 6r 20
¡Recuerde que…! En toda PA se cumple: Si el número de elementos es impar, entonces existirá un término central (t c ) tal que: tc =
t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; … ; t n
C = t0 ;
t n : Último término
n −1
+ m1 C 1
n −1
+ rC 2
Donde: n Ck
"k" factores descendentes n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = 1× 2 × 3 ×× k
Ejemplo 05 Dada la sucesión: 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; … Hallar: t 20 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Resolución C = 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; … ; t 20 A + B =3
5
2A = 2
7 2
9
tn
2
¡Recuerde que…! En toda PG se cumple: Si el número de elementos es impar, entonces existirá un término central (t c ) , donde: 2
término primer último = central término × término
Donde:= A 1= ; B 2= ;C 0 Calculemos “n”:
Ejemplo 06 Halle el t 21 en la siguiente sucesión:
2
t n = An + Bn + C 2
t= + 0 440 20 (1)20 + 2(20) =
7 ; 14 ; 28 ; 56 ; 112 ; …..
Resolución
Otra forma (Método Combinatorio)
7 ; 14 ; 28 ; 56 ; ; t 21
Donde = r 2= ; t 1 3 ;= m1 5= ; n 20 = ; tn ? Remplazando en el método n −1 t n =t 1C 0
n −1 + m1 C 1
19
n −1 + rC 2
19
19
t 20 = 3C 0 + 5C1 + 2C 2
19 × 18 t 20 =3(1) + 5(19) + 2 1× 2 t 20 = 440
SUCESIÓN GEOMÉTRICA Es llamada también progresión geométrica (P.G.) la forma de esta progresión es la siguiente. t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; ; t n ×q ×q ×q
Se cumple: t n= t 1 × q
n −1
t2 t3 t4 = q = = = t1 t 2 t 3
Donde: q : Razón
(q ≠ 0; q ≠ 1)
t 1 : Primer término
×2 ×2 ×2 Hallando el término 21 t n= t 1 × q
n −1
t 21= 7 × 2
20
SUCESIONES ESPECIALES Números primos 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; … No tiene término enésimo. Sucesión de Fibonacci 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; …. t n t n −1 + t n − 2 Su término enésimo:= Se cumple: t= 2n + 1
( t n ) 2 + ( t n +1 ) 2
Sucesión de Lucas 1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; 29 ; …. Su término enésimo:= t n t n −1 + t n − 2 Sucesión de Ferenberg 1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 13 ; …. El: t n = t n −1 + t n − 2 + t n − 3
t n : Último término n : Número de términos
Academia GAUUS
177
JOHN MAMANI M. SUCESIONES NUMÉRICAS
Resolución
PROBLEMA 01 Dada la sucesión: 1; 2; 5; 8; 9; x El valor de a) 8 d) 10
4,
0,
−4
9x − 1 , es: b) 9 e) 12
c) 7
+4
2
5
+1 +3 ×
27 9
8
+3 ×
9 9
x=
+1 + ×
3 9
×
82 9
1 9
1 9
82 9x − 1 = 9 −1 = 9 9
32,
+ 24 + 16
+8 ×2
9
8,
+8
0
Resolución 1
0,
×2
88
208
+ 56 + 120
+ 32 ×2
+ 64 ×2
PROBLEMA 04 Determinar el valor de y − x , en la sucesión: 6 , 3 , 7 , 19 , 42 , 81 , x , y a) 94 b) 91 c) 97 d) 88 e) 100
Resolución Hallando “x” e “y” en la sucesión 6 , 3 , 7 , 19 , 42 , 81 , 143 , 237
PROBLEMA 02 En la siguiente sucesión, obtener el término que sigue: 3 , 43 , 78 , 107 , 128 , 138 , . . . a) 133 b) 140 c) 138 d) 143 e) 130
–3 +4 +12 +23 +39 +62 +94 +7
+8 +11 +16 +23 +32
+1 +3
+5
+7
+9
Son impares ⇒ x = 143 ; y = 237 La respuesta será: y − x= 237 − 143= 94
Resolución 3 , 43 , + 40
+ 35 −5
78 , 107 , 128 , 138 , 133 + 29 −6
−1
+ 21 −8
−2
+ 10 − 11
−3
+ a =− 5 − b =− 15
−4
PROBLEMA 03 El término que sigue en la serie es: 4 , 0 , 0 , 8 , 32 , 88 , … a) 208 b) 200 c) 400 d) 204 e) 300
PROBLEMA 05 Dada la sucesión: 1; 1; 2; 2; 4; 8; 8; 48; 16; X; Y El valor de: X − 2Y , es: a) 364 b) 384 c) 320 d) 330 e) 300
Resolución x2
x6
x8
1; 1; 2; 2; 4; 8; 8; 48; 16; x; y
x2
178
x4
x2
x2
x2
x2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. x = 384 y = 32 ∧ Luego: x − 2y = 384 − 2(32) = 320
En la sucesión: 6 ; 12 ;
Resolución 30 ;
56 ;
132 ;
X
Números consecutivos
PROBLEMA 06 En la sucesión: 6; 12; 30; 56; 132; X El valor de “X” menos el producto de las cifras de “X”, es: a) 166 b) 182 c) 128 d) 170 e) 186
2× 3 3× 4
5×6
7×8
11 × 12 13 × 14
Números primos
X = 182 Piden: 182 − 1 × 8 × 2 = 166
¡Comprueba lo que sabes! 01. El número que sigue en la serie es:
05. El número que falta es:
1 ; 2 ; 8 ; 8 ; 64 ; 32 ; ........ a) 512 d) 128
b) 1024 e) 64
c) 256
02. ¿Cuál es el número que sigue en la serie 1/2 ; 3/2 ; 3 ; 4 ; 8 ; ...... a) 7 d) 14
b) 16 e) 18
c) 9
03. En la siguiente serie, hallar el número que sigue: 3 ; 6 ; 12 ; 21 ; 33 ; ......... a) 42 d) 46
b) 50 e) 48
c) 45
2 ; 6 ; 24 ; N ; 720 ; 5040 b) 80 e) 40
Academia GAUUS
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
06. El número que completa la serie es : 12 ; 48 ; 9 ; 36 ; 6 ; 24 ; ….... a) 12 d) 1
b) 10 e) 36
c) 3
07. Hallar el número que falta : 2 ; 8 ; 5 ; 20 ; 17 ; 68 ; 65 ; ...... a) 65 d) 100
b) 130 e) 120
c) 260
08. Hallar la suma de los términos de la fracción que sigue:
04. El número que falta es:
a) 100 d) 110
–21 ; –16 ; –9 ; 0 ; ........
c) 120
4/7 ; 8/11 ; 4/5 ; 16/19 ; ....... a) 20/23 d) 23
b) 43 e) 20
c) 30
179
JOHN MAMANI M. 09. Hallar el número que falta:
a) 117 d) 148
1 ; 2 ; 10 ; 20 ; 100 ; 200 ; 1000 ; ..... a) 200 d) 1000
b) 30 e) 50
c) 2000
1 ; 10 ; 28 ; 55 ; 91 ; ….... b) 120 e) 150
c) 100
11 , 14 , 10 , 13 , 9 , 12 , … son: b) 8 y 9 e) 11 y 8
c) 8 y 11
1 , 2 , 5 , 10 , 13 , … b) 8 e) 9
8 , 10 , 13 , 17 , 22 , … b) 24 e) 22
0 , 5 , 22 , 57, 116 , … b) 205 e) 464
a) 14 d) 17
c) 97
b) 16 e) 23
c) 19
18. Hallar "x" en:
a) 6 d) 10
c) 8
13 , 31 , 42 , … , 37 , 73 a) 84 d) 44
b) 24 e) 65
c) 48
20. Hallar el doble del número que falta: 1 , 2 , 2 , 5 , 3 , 10 , 4 , 17 .... a) 5 d) 4
b) 10 e) 9
c) 34
21. Hallar el valor de "X" en la sucesión:
c) 23
15. Hallar el número que continua en
b) 7 e) 11
19. Hallar el número que falta en:
c) 28
14. Hallar el número que continua en
a) 117 d) 148
b) 215 e) 92
17. Hallar el número que continúa en:
c) 18
13. Hallar el número que sigue en:
a) 23 d) 26
a) 126 d) 81
1, 1, 2, 3, 5, x, …
12. Hallar la suma de cifras del número que completa la serie:
a) 26 d) 10
16. Hallar " x + y "
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , …
11. Los números que siguen en:
a) 9 y 10 d) 9 y 11
c) 23
3 , 4 , 8 , 12 , 13 , 36 , x , y , …
10. El número que completa la serie es:
a) 136 d) 200
b) 205 e) 464
8 , 10 , 13 , 17 , 23 , 35 , X a) 56 d) 71
b) 72 e) 82
c) 65
0 , 5 , 22 , 52, 116 , …
180
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 22. ¿Qué número sigue? 4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 16 ; 24 ; 40 ; 59 ; ...... a) 95 d) 98
b) 96 e) 99
a) 65 d) 72
1 3 3 ; 4 ; ; ; ........ 9 7 2
b) 1 e) 3/5
c) 6/5
24. Hallar el término que continúa: 3 4 13 9 ; ; ; ; ........ 8 5 12 7
a) 21/13 d) 23/16
b) 19/22 e) 24/16
5 ; 7 ; 11 ; 12 ; 23 ; 17 ; x ; y
c) 97
23. Qué término continúa:
a) 5/4 d) 2/3
28. Calcular el valor de x + y en la siguiente sucesión:
c) 20/17
a) 13/6 d) 18/13
b) 19/8 e) 15/7
c) 21/10
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 252 ; a) 1554 d) 1454
b) 1252 e) 1152
a) 70 d) 60
b) 71 e) 66
c) 137
40 ; 240 ; 60 ; 360 ; 90 ;
a) 240 d) 540
Academia GAUUS
c) 480
32. Halle el término que continua en la siguiente sucesión: 2 4 6 ; ; ;? 3 15 35 a) 8/65 d) 4/43
Si:
4 ; 2 ; 2 ; 4 ; ...... b) 4 e) 0
b) 320 e) 720
b) 7/51 e) 4/42
c) 8/63
33. Halle x + y
27. ¿Qué número sigue?
a) 1 d) 16
c) 75
31. El número que sigue en la sucesión es:
5 ; 7 ; 10 ; 15 ; 22 ; ...... b) 142 e) 143
c) 1354
30. Hallar el valor de x en la sucesión: 8; 10; 13; 17; 23; 35; x
26. Hallar la suma de los 3 términos siguientes:
a) 140 d) 139
c) 70
29. Halle el término que continua en:
25. Calcular el término que continúa: 1 5 5 7 ; ; ; ; ........ 2 6 4 10
b) 68 e) 69
c) 2
2 5 9 14 x ; ; ; ; 9 13 18 24 y
a) 43 d) 63
b) 67 e) 35
c) 51
181
JOHN MAMANI M. SUCESIONES LITERALES PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Hallar el siguiente término de la sucesión:
Hallar el siguiente término en la sucesión:
B, Y, C, X, D, W, E ...
V , R , Ñ , K , G , ....
a) A d) D
b) C e) F
a) A d) M
c) B
b) L e) R
Resolución
Resolución −3 UTS
V ,
−3 QPO
R ,
−3 NML
Ñ ,
−3 JIH
K ,
B, Y, C, X, D, W, E, V
−3 FED
G , ....
⇒ El término que continúa es: C
PROBLEMA 04 Hallar el octavo término de la sucesión: R;P;N;L;I;G;.....
PROBLEMA 02 La letra que continúa en la sucesión, es: B, E, J, P a) X d) Z
b) W e) Q
a) C d) E
;
2 letras
E
:
4 letras
b) B e) A
c) Y
J
;
6 letras
c) D
Resolución 1
Resolución B
c) V
ro
2
do
3
ro
4
to
5
to
6
to
7
mo
8
vo
R ; P ; N ; L ; I ; G ; D ; B
P
;
Y
Q
OÑ
M
KJ
H
FE
C
8 letras
¡Comprueba lo que sabes! 01. Qué letra continúa:
B , E , J , P , ....... a) Z d) W
b) X e) V
c) Y
02. Qué letra continua:
A,D,H,K,Ñ,?
182
a) R d) Q
b) P e) S
c) O
03. Qué letra continua:
C , G , L , Ñ , R , V , ...... a) B d) X
b) A e) Z
c) C
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 04. En la siguiente sucesión, indique el término que sigue: B3 ; D5 ; G7 ; K9 ; ... a) N16 d) O16
b) N20 e) O18
c) O11
R,O,M,J,? b) G e) F
c) I
06. El grupo de letras que falta es: AB , EFG , KLMN , … a) QRSTU d) STUVW
b) OPQRS e) RSOTU
c) RSTUV
07. La letra que continúa la serie es: B, E, I, L, O, … a) P d) S
b) Q e) T
c) R
08. ¿Qué término continúa? E, H, L, P, … a) P d) V
b) U e) R
c) T
09. La letra que falta es: D, L, M, M, J, V, … a) P d) J
b) S e) A
c) M
10. ¿Qué letra continúa? A, C, I, T, A, M, E, T, A, … a) A d) P
b) M e) Q
c) O
11. ¿Cuál es el par de letras que siguen? C, O, D, E, G, U, K, I, Ñ, A
Academia GAUUS
b) TO e) QO
c) QP
12. Indique cual es la letra que continúa: A ; Z ; Y ; B ; X ; ........ a) Y d) V
05. Qué letra continua:
a) H d) K
a) OQ d) RS
b) C e) P
c) W
13. Las letras que completan la serie es: aaab ; aaba ; abaa ; ...... a) abba d) baaa
b) bbaa e) bbba
c) abbb
14. Las letras que completan la serie es: ABC ; EFG ; JKL ; …… a) MNÑ d) OPQ
b) NÑP e) PQR
c) NÑO
15. Complete la serie : a4b3 ; a3b3 ; a3b2 ; a2b2 ; a2b1 ; ….. a) aobo d) 1a1b
b) b1a1 e) a1b1
c) ab
16. Las letras que completan la serie son: wxy ; rst , mnñ ; ...... a) ghi b) hij c) fgh d) hhi e) abc 17. La letra que sigue es: c ; ch ; d ; i ; j ; e ; f ; g ; k ; l ; h ; …. a) i d) a
b) j e) c
c) h
18. Las letras que completan la serie son: CJ ; DG ; FD ; ..... a) BH d) BJ
b) HB e) IA
c) JH
19. Las letras que completan la serie es: ABC ; EFG ; JKL ; …
183
JOHN MAMANI M. a) MNÑ d) POQ
b) NÑP e) PQR
c) NÑO
20. Hallar el par de letras que siguen: C ; D ; E ; I ; G ; M ; I ; O ; ...... a) KR d) KR
b) LR e) MQ
c) KQ
21. ¿Qué letra sigue? A ; B ; D ; H ; ...... a) P d) O
b) R e) Q
c) Ñ
22. Señale el grupo alfanumérico que sigue : 13ZD25 ; 16WH36 ; 19TL49 ; ...... a) 22 RT64 d) 22RS64
b) 22QO64 e) 22RO64
c) 22QR64
23. Señale el grupo de letras que sigue: BMD ; CÑG ; DPJ ; ...... a) ETS d) ERM
b) EQP e) ETN
c) EQN
24. Qué letra continúa: o ; s ; s ; o ; o ; s ; ... a) s d) p
b) e e) o
c) q
25. Qué letra continúa: R ; M ; Q ; N ; P ; ..... a) Q d) L
b) Ñ e) K
b) Q
26. Qué letra continúa: U ; S ; O ; D ; V;..... a) U d) X
b) B e) V
c) Z
a) S d) Q
b) X e) T
c) P
28. Qué letra sigue: G ; H ; I ; G ; I ; K ; G ; J ; ....... a) N b) M
c) P e) S
d) R
29. Señale el grupo de letras que sigue: CTT ; FUV ; IVX ; ...... a) KWZ d ) LVW
b) KVZ e) LVZ
c) LWZ
30. Señale el grupo alfanumérico que sigue: 5ZA18 ; 17WC25 ; 29TE32 ; ...... a) 41QH39 d) 41QH40
b) 41RG37 e) 41QG39
c) 39QG38
31. ¿Qué término continúa: A/B ; C/D ; H/M ; J/N ; …? a) N/V b) M/P c) Ñ/P d) N/R e) Ñ/U 32. Indique la letra que continúa en la siguiente secuencia. A; A; B; C; E; H; M; ... a) U d) S
b) T e) W
c) Ñ
33. Halle las dos letras que continúan en la siguiente secuencia. A; U; C; S; F; P; ... a) K; N d) H; L
b) J; M e) K; M
c) J; N
34. Halle el término que continua: B4 ; F9 ; I9 ; M16 ; O13 ; ... a) S4 d) S16
b) P5 e) M10
c) R4
27. Hallar la letra que sigue: B ; F ; I ; M ; 0 ; ......
184
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SUCESIÓN ARITMÉTICA PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Calcule el término enésimo en la siguiente sucesión: 3 ; 8 ; 13 ; 18 ; 23 ; … b) 5n c) 5n + 2 a) 5n − 2 d) 5n − 4 e) 5n + 5
El cuarto término de una progresión aritmética es 17 y el décimo término es 65. Calcula el decimoquinto término a) 105 b) 150 c) 110 d) 810 e) 70
Resolución
Resolución
Por dato:
Es una sucesión aritmética Donde: = r 5= ; t 1 3= ; tn ?
+6r
Hallemos t n :
+5r
t n = t 1 + (n − 1)r
t4
t 10
t 15
t n = 3 + (n − 1)5
17
65
x
t n =3 + 5n − 5
Del esquema: = t 4 + 6r t 10
t= 5n − 2 n
PROBLEMA 02 En la sucesión lineal cuyo segundo término es 15 y cuyo decimo termino es 63, ¿Cuál es la razón? a) 15 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7
Resolución
Calcule el valor de “x” en la siguiente progresión aritmética. (3 x + 2) ; (59 − x ) ; (5 x − 4) ; ...
+8r t2
t 10
15
63
63 = 15 + 8r r=6
Academia GAUUS
x 65 + 5(8) = x = 105
PROBLEMA 04
Analizamos
Del esquema: t 10 = t 2 + 8r
65 = 17 + 6r r=8 Luego: t= t 10 + 5r 15
a) 15 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
Resolución Se sabe que: primer término + último término tc = 2 Tenemos: (3 x + 2) + (5 x − 4) 59 − x = 2
185
JOHN MAMANI M. Nos damos cuenta que es una sucesión aritmética
118 − 2 x = 8 x − 2 120 = 10x x = 12
simple: = r 5= ; t 1 3= ; n ¿? = ; t n ¿? Hallemos t n :
PROBLEMA 05 Lilian se encuentra en un una huerta de cerezas donde comienza a comer de éste de la siguiente manera: el primer día come 3 cerezas, el segundo día come 8 cerezas, el tercer día come 13 y así sucesivamente; hasta que cierto día se da cuenta que el número de cerezas que comió ese día era 8 cerezas menos que el doble de cerezas que comió el décimo día ¿Cuántos días han transcurrido hasta ese cierto día? a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) 16
1º
2º
Hallemos t 10 : = t 10 5(10) − 2 t 10 = 50 − 2 t 10 = 48
= tn 2
3º … 10º … nº
Cerezas: 3 ; 8 ; 13 ; … ;
t= 5n − 2 n
Por dato
Resolución Días:
t n = 3 + (n − 1)5
;…; t n ↓
2
−8
5n −= 2 2(48) − 8 n = 18
−8
¡Comprueba lo que sabes! 01. En la siguiente progresión aritmética, calcular el término que ocupa el lugar 32. 3; 6; 9; … a) 94 b) 96 c) 98 d) 100 e) 92 02. Federico reparte a sus nietos caramelos del modo siguiente: a Paula 2; Andrea 7, Sebastián 12, André 17, Anita 22, así sucesivamente. ¿Cuántos caramelos recibirá el nieto número 24? a) 123 b) 120 c) 117 d) 119 e) 121 03. Dada la sucesión lineal 8; 13; 18; 23; 28; …; calcula la suma del quinto termino más el undécimo término.
186
a) 90 d) 72
b) 86 e) 84
c) 81
04. Dada la sucesión 19; 23; 27; 31; …; calcula la suma del sexto término con el vigésimo segundo término. a) 142 b) 186 c) 111 d) 172 e) 124 05. Halle la suma del término del lugar 12 más el término del lugar 20. 5; 8; 11; 14; … a) 88 b) 92 c) 96 d) 100 e) 104 06. ¿Qué término de la P.A. es: 89? –15; –13; –11; –9; … Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 62 d) 63
b) 52 e) 51
c) 53
07. Calcular la cantidad de términos en la siguiente sucesión. 23; 31; 39; 47; …; 199 a) 20 b) 27 c) 24 d) 23 e) 33 08. Calcula cuantos términos tiene la siguiente sucesión lineal: –4; –1; 2; 5; …; 149 a) 47 b) 42 c) 34 d) 52 e) 38 09. ¿Cuántos términos tiene la sucesión? 64; 74; 84; ... ; 2974 a) 296 b) 189 c) 190 d) 200 e) 292
15. Se tiene la siguiente progresión aritmética 8; a; b; c; 32; … Calcular el valor de: a + b + c a) 70 b) 60 c) 40 d) 68 e) 42 16. En la siguiente progresión aritmética 2m ; 2m + 7 ; 4m − 4 ; Calcule t n . a) 7n + 11 d) 7n − 5
b) 7n − 11 e) 7n + 12
c) 7n + 5
17. Se tiene la siguiente sucesión lineal a + 5 ; 15 ; 2 a + 4 ; Calcule la suma de los términos del lugar 10 y el lugar 15. a) 80 b) 67 c) 84 d) 93 e) 73
10. Calcula el término enésimo de la siguiente sucesión: 13; 20; 27; 34; … b) 7n + 6 c) 7n + 2 a) 7n − 2 d) 7n − 4 e) 7n − 5
18. La suma de los 3 términos de una progresión aritmética es 33 y su producto es 1232. ¿Cuál es el mayor término? a) 14 b) 15 c) 16 d) 11 e) 8
11. Calcule el termino general de la sucesión 69; 63; 57; 51; … b) 56 − 6n c) 15 − 6n a) 6n + 13 d) 6n + 72 e) 75 − 6n
19. El cuarto término de una progresión aritmética es 9 y el noveno es –6 hallar la razón a) –1 b) –2 c) –3 d) 2 e) –4
12. Calcula el valor de “x” en la siguiente PA (5 x − 10) ; 38 ; (6 x − 2) ; ... a) 5 d) 7
b) 8 e) 10
c) 3
13. Calcular “k” de modo que la progresión (8k + 4) ; (6k − 2) ; (2k − 7) sea aritmética. a) 2 b) 1/2 c) 1/3 d) 4 e) 1/5 14. En la siguiente progresión aritmética x + y ; 4 x − 3y ; 5 y + 3 x ; Halle la relación entre x e y. a) x = 3 y b) 2 x = 5 y c) y = 3 x e) 3 x = 4 y d) y = 2 x Academia GAUUS
20. El vigésimo término de una sucesión lineal es 131 y la razón de la sucesión es 4. Calcule el sexto término. a) 73 b) 75 c) 73 d) 74 e) 14 21. Lilian compra todos los días 3 libros más que el día anterior. Si compró 9 libros el tercer día, ¿Cuántos libros compro el noveno día? a) 27 b) 14 c) 12 d) 14 e) 30 22. Calcular la razón de una progresión aritmética, sabiendo que el término 42 es 5 y el primer término es 1.
187
JOHN MAMANI M. a) 41 d) 4/41
b) 4 e) 4,41
c) 41/4
23. En una progresión aritmética el 7º término es 40 y el 15º término es 56. Halle el valor del vigésimo término. a) 72 b) 76 c) 66 d) 62 e) 64 24. En una P.A., el cuarto término es 53 y el décimo tercer término es 89. Halle el vigésimo término. a) 105 b) 109 c) 113 d) 117 e) 121 25. En una progresión aritmética de 39 términos, el primer término es 13 y el último término es 317. Calcule el valor del décimo noveno término, de la progresión. a) 145 b) 157 c) 123 d) 124 e) 156 26. El cuarto término de una progresión aritmética es 16 y el décimo término es 28, calcule el término de lugar 50 a) 108 b) 192 c) 102 d) 121 e) 110 27. En una progresión aritmética de 35 términos, el primer término es 25 y el último término es 229. Halle t 20 − t 10 a) 54 d) 60
b) 48 e) 66
c) 72
28. La suma del segundo y el quinto término de una P.A. es igual a 14, la suma del tercero y sétimo es 8. Hallar la razón. a) –1 b) –2 c) –3 d) 2 e) –4 29. Sabiendo que hay 16 términos en la siguiente P.A.: 2n; 2n + 4; 2n + 8 ; …. ; 5n Hallar: “n” a) 10 b) 15 c) 25 d) 20 e) 30
188
30. ¿Cuántos términos que terminan en 5 se pueden contar en la siguiente sucesión? 5; 12; 19; 26; ... ; 348 a) 5 b) 7 c) 11 d) 9 e) 15 31. En la siguiente sucesión, ¿cuántos términos terminan en cifra 3? 5; 8; 11; 14; ... ; 242 a) 7 b) 8 c) 10 d) 6 e) 11 32. En la siguiente sucesión, halle el segundo término negativo. 381; 374; 367; 360; ... a) – 9 b) – 11 c) – 13 d) – 15 e) – 17 33. Cuál es el primer término positivo: –641 ; –628 ; –615 ;........ a) 13 b) 8 c) 9 d) 6 e) 4 34. Cuál es el primer término negativo: 695; 689; 683; 677;..... a) –1 b) –5 c) –6 d) –3 e) –4 35. En la sucesión, halle el primer término negativo de 3 cifras. 120 ; 113 ; 106 ; 99 ; a) –120 b) –101 c) –104 d) –107 e) –100 36. En una P.A., cuya razón es 16, t x = 400 y el t( x += 19) 644 + 3 x . Calcule el t 51 . a) 735 d) 694
b) 896 e) 872
c) 856
37. Rocío en su jardín, cada día planta 3 rosas más de lo que planta el día anterior. El último día plantó tantas rosas como el quíntuplo del número de días trabajados. ¿Cuántas rosas plantó el segundo día, si se sabe que lo que plantó el primer y último día suman 143 rosas? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 46 d) 40
b) 49 e) 20
c) 43
38. En una sucesión aritmética, de 40 términos, cuyo primer término es 4m , y los dos últimos términos son 309 y 316, respectivamente, 2
halle m . a) 9 d) 4
b) 16 e) 25
c) 0
39. La suma del noveno y décimo séptimo término de una PA es 82 y la relación del noveno y el vigésimo primer término es como 7 es a 27. Halle el séptimo término. a) 9 b) 31 c) 43 d) 11 e) 17 40. La suma del sexto y decimosegundo término de una progresión aritmética es 1800 y la relación del cuarto y decimosegundo término es como 2 es a 6. Halle el primer término. a) 50 b) 100 c) 200 d) 400 e) 500 41. La suma de 3 términos de una progresión aritmética es 12 y la suma de sus cuadrados es 66. Hallar la razón a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 3 42. En una progresión aritmética se conoce que t3 + t6 = 57 y t 5 + t 10 = 99 hallar la razón. a) 5 d) 8 43. Si
b) 6 e) 9 al
escribir
c) 7 los
números
naturales
consecutivos desde 1ab hasta el ab1 inclusive, se utilizaron 327 cifras, halle a − b . a) 1 b) 5 c) –1 d) – 5 e) 2 44. Las edades de tres hermanos están en P.A. creciente cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1395. Hallar la edad del mayor. a) 24 b) 25 c) 27 d) 28 e) 31 Academia GAUUS
45. José desea comprar galletas de la siguiente manera: cada día 5 galletas más que el día anterior ¿en qué día se cumplirá que lo comprado ese día será 3/2 de lo comprado 4 días antes y además sea 3 veces lo comprado el primer día? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 46. Fabricio se pone a resolver problemas de aptitud académica diariamente: el primer día resuelve tres problemas, el segundo resuelve ocho problemas, el tercero quince, el cuarto 24 y así sucesivamente; hasta que cierto día se da cuenta que ha resuelto tantos problemas como 24 veces el número de días que ha estado practicando. Luego el número de problemas resuelto dicho día es: a) 272 b) 920 c) 102 d) 528 e) 100 47. ¿Cuántos términos comunes a las sucesiones mostradas existen? S1 =16; 18; 20; 22; ...; 124 S 2 =13; 16; 19; 22; ...; 250 a) 24 d) 32
b) 42 e) 19
c) 40
48. ¿Cuántos términos presenta la siguiente progresión aritmética? mn4 ; n03 ; n3p ; nmq ; ; qqmn mn4; n03; n3p; nmq; ...; qqmn a) 17 b) 23 c) 18 d) 20 e) 21
49. Rocío en su jardín, cada día planta 3 rosas más de lo que planta el día anterior. El último día plantó tantas rosas como el quíntuplo del número de días trabajados. ¿Cuántas rosas plantó el segundo día, si se sabe que lo que plantó el primer y último día suman 143 rosas? a) 46 b) 49 c) 43 d) 40 e) 2
189
JOHN MAMANI M. SUCESIÓN ARITMÉTICA CUADRÁTICA PROBLEMA 01
Nº pruebas Puntajes 1º 2 2º 5 3º 10 4º 17
Calcula el vigésimo término de: 4; 14; 28; 46; …. a) 874 b) 878 c) 402 d) 485 e) 822
Resolución − 2 ; 4 ; 14 ; 28 ; 46 ; … ; t 20
C A+B
+ 6 + 10 + 14 + 18
2A
+4
+4
tn
+4
Donde: • 2A = 4 ⇒ A = 2 • A+B =6⇒ B =4 • C = −2 Calculemos “n”:
Si mantiene sus puntajes con la regularidad que puede observarse, ¿Cuánto obtendrá en la prueba decima primera? a) 401 b) 400 c) 402 d) 405 e) 122
Resolución 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; … ; t 11
C A+B
2
t n = An + Bn + C
1
2A
2
t 20 = 2(20) + 4(20) − 2
3 2
5 2
7
tn
2
Donde: • 2A = 2 ⇒ A = 1 • A + B =1 ⇒ B = 0 • C=1 Calculemos “n”:
t 20 = 878
PROBLEMA 01 En la academia CokitoRM los alumnos son evaluados quincenalmente. Los puntajes que obtiene la alumna Lilian en sus pruebas de matemática son:
2
t n = An + Bn + C 2
= t 11 1(11) + 0(11)= + 1 122
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Qué término ocupa el lugar 100? 1 ; 4 ; 10 ; 19 ; 31 ; ...... a) 15681 b) 15302 c) 14524 d) 14981 e) 14851
03. Hallar el término veinte: 6; 11; 18; 27; 38; ….. a) 238 b) 382 c) 443 d) 448 e) 520
02. Calcule el término 20 de la sucesión. 2; 5; 12; 23; 38; …. a) 742 b) 740 c) 741 d) 764 e) 782
04. Halle el término 25 en la sucesión: 3 ; 9 ; 19 ; 33 ; ..... a) 1425 b) 1247 c) 1553 d) 1251 e) 1425
190
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 05. Calcular el t 24 4 ; 9 ; 17 ; 28 ; 42 ; ....... a) 878 b) 787 c) 868 d) 856 e) 798 06. Hallar el t 40 en la sucesión: a) 1572 d) 1596
12. Calcule el número total de bolas que se ubican en la Figura 10.
f(1)
6 ; 11 ; 18 ; 27; ...... b) 1618 c) 1683 e) 1719
07. Calcule el vigésimo termino de –1 , 3 , 13 , 29 , 51 , …. a) 1101 b) 1111 c) 1107 d) 1201 e) 1011
a) 100 d) 101
f(2)
f(4)
f(3) b) 90 e) 120
c) 99
13. ¿Cuántas bolitas se contaran en la figura f(20)?
08. Halle el término enésimo en la sucesión: 2; 3; 6; 11; 18; …… 2
a) n − 2n + 3 2
c) 2n − n + 3
2
b) n + 2n + 3 2
d) n + n + 3
2
d) n − 2n + 1 09. Halle su término enésimo de la sucesión −5 ; − 9 ; − 9 ; − 5 ; 3 ; 2
b) 10n − 2n + 3
2
d) 10n + 2n + 3
a) 2n + 10n + 3 c) 2n − 10n + 3
2
2
2
e) n − n + 5 10. Hallar el número de términos: 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; ..... ; 1891 a) 26 b) 30 c) 36 d) 24 e) 25 11. En la siguiente sucesión halle el segundo término negativo de 2 cifras: 851.; 848 ; 845 ; 842 ; ….. a) –15 b) –17 c) –13 d) –14 e) –16 Academia GAUUS
f(1) a) 1000 d) 1200
f(2) b) 1060 e) 1260
f(3) c) 1160
14. Micaela empezó a leer una novela de la siguiente manera: el primer día 3 páginas, el segundo día 4 páginas, el tercer día 7 páginas, el cuarto día 8 páginas más que el segundo día y así sucesivamente. Si el décimo tercer día terminó de leer la novela, ¿cuántas páginas leyó dicho día? a) 147 b) 127 c) 136 d) 149 e) 150 15. El primer día de trabajo gané S/.3; el segundo día gané S/.7; el tercer día gané S/.13; el cuarto día gané S/.21 y así sucesivamente. Si trabajé 20 días, ¿cuánto gané el último día? a) S/.600 b) S/.560 c) S/.380 d) S/.421 e) S/.430 16. En una tienda delivery, el repartidor recorre 6m para llevar el primer pedido; para el
191
JOHN MAMANI M. segundo pedido 11m; para el tercer pedido 18m; para el cuarto pedido 27m y así sucesivamente. Calcule cuántos metros recorre en su trigésimo noveno pedido. a) 1527 b) 1604 c) 904 d) 1602 e) 1525 17. En la academia GAUUS los alumnos son evaluados diariamente. Los puntajes que obtiene la alumna Yesica en sus pruebas de practica domiciliaria son: Nº pruebas Puntajes 1º 7 2º 19 3º 37 4º 61
¿Cuánto obtendrá en la prueba 20? a) 12401 b) 1261 c) 1245 d) 1427 e) 1200 18. Un tren parte con una cierta rapidez. Luego de 1 segundo recorre 4m, en el siguiente segundo recorre 10m, en el siguiente segundo recorre 18m, en el cuarto segundo recorre 28m, y así sucesivamente. Determine la suma de la distancia recorrida en el decimonoveno y trigesimoquinto segundo. a) 1748 b) 2408 c) 1864 d) 1624 e) 1784 19. Lucrecia se dedica a la venta de revistas. El primer día vende 6; el segundo día vende 9; el tercer día, 14; el cuarto día, 21 y así sucesivamente hasta que el ultimo día vendió 230 revistas. ¿Cuántos días estuvo vendiendo? a) 25 b) 26 c) 35 d) 28 e) 15
192
20. En un cuartel, el mayor decide que cada cadete realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6:16a.m. se realiza 2 abdominales; a las 6:17a.m., se realiza 5 abdominales; a las 6:18a.m., se realiza 9 abdominales; a las 6:19a.m., se realiza 14 abdominales y así sucesivamente. Si Kevin llego al patio a las 6:59a.m., ¿Cuántos abdominales deberá realizar? a) 1325 b) 1034 c) 1024 d) 1045 e) 1028 21. Giovanna se propone leer una novela de la siguiente manera: el primer día 3 páginas, el segundo día 8 páginas, el tercer día 15, el cuarto 24 y así sucesivamente hasta que cierto día se da cuenta que el número de páginas leídas ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. Hallar el número de páginas leídas en dicho día. a) 168 b) 136 c) 178 d) 172 e) 164 22. Fabricio se pone a resolver problemas de aptitud académica diariamente: el primer día resuelve tres problemas, el segundo resuelve ocho problemas, el tercero quince, el cuarto 24 y así sucesivamente; hasta que cierto día se da cuenta que ha resuelto tantos problemas como 24 veces el número de días que ha estado practicando. Luego el número de problemas resuelto dicho día es: a) 272 b) 920 c) 102 d) 528 e) 100 23. Durante varias tardes de un mes otoñal solía sentarme a la sombra de un árbol. La primera tarde del árbol cayeron 9 hojas de las que recogí 1; la segunda tarde cayeron 17 de las que recogí 3; la tercera tarde cayeron 25 de las que recogí 7; la cuarta tarde cayeron 33 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. de las que recogí 13 y así sucesivamente, hasta que una tarde recogí todas las que cayeron esa tarde. ¿Cuántas hojas cayeron esa tarde? a) 65 b) 82 c) 78 d) 93 e) 73 24. En el campo, un investigador descubre que existen dos tipos de hormigas. Las del tipo A el primer día son 3, el segundo día aumenta a 6, el tercer día son 11, el cuarto día son 18 y así sucesivamente. Las del tipo B el primer día son 10, el segundo día son 11, el tercer día 13, el cuarto día son 16 y así sucesivamente. ¿En qué día las hormigas del tipo A son el doble de las del tipo B? a) 20 b) 16 c) 18 d) 15 e) 19 25. Calcule la suma de cifras del último término de la sucesión: 18; 24; 34; 48; 66; ... si se sabe que tiene la misma cantidad de términos que la sucesión 17; 24; 31; 38; ...; 290. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 26. En una dulcería Lucio compra una caja de chocolates y el vendedor le regala un chocolate por su compra. En una segunda vez compra dos cajas y le regalan 3 chocolates, la tercera vez compra 4 cajas y le regalan 6 chocolates, la cuarta vez compra 7 cajas y le regalan 10 chocolates. ¿Cuántos chocolates recibirá cuándo entre a la tienda por décima cuarta vez? Cada caja contiene 11 chocolates a) 1011 b) 1116 c) 1111 d) 1117 e) 1118
cerezas, el segundo día come 7, el tercer día come 11, el cuarto come 16 y así sucesivamente; hasta que cierto día se da cuenta que el número de cerezas que comió ese día era 10 cerezas menos que el triple de cerezas que comió el décimo día ¿Cuántos días han transcurrido hasta ese cierto día? a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) 16 28. Dada la siguiente sucesión de segundo orden 7; 13; 21; 31; 43; … halle la suma de los dos mayores términos de tres cifras. a) 1922 b) 1924 c) 1926 d) 1928 e) 1932 29. Alberto comenzó a leer un día jueves de la siguiente manera: El primer día, 3 páginas; el segundo día, 7 páginas; el tercer día, 13 páginas; el cuarto día, 21 y así sucesivamente hasta que el último día leyó 601 páginas. ¿Qué día terminó de leer? a) jueves b) sábado c) miércoles d) martes e) lunes 30. En la sucesión cuadrática mostrada, determine el término que ocupa el lugar 20.
a ; b ; c ; d ; 41 ; … 5
m a
a) 611 d) 400
b) 525 e) 893
c) 429
27. Pilar se encuentra en una huerta de cerezas donde comienza a comer de ella de la siguiente manera: el primer día come 4 Academia GAUUS
193
JOHN MAMANI M. SUCESIÓN GEOMÉTRICA 36 = 9n n=4
PROBLEMA 01 Calcula el término 40 de: 8; 16; 32; 64; …. a) 2
24
b) 2
d) 2
84
e) 2
42
c) 2
48
12
Resolución 16 = 2 8 Además se sabe qué t 1 = 8 y n = 40
Calculamos la razón: = q Remplazando en:
t n= t 1 × q t 40= 8 × 2
Resolución Trabajemos con los datos
n −1
×q
40 −1
3
t 40 = 2 ×2 t 40 = 2
PROBLEMA 03 El segundo término de una progresión geométrica es 36 y el quinto es 972. Calcula la suma de cifras del cuarto término. a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 9
39
42
t= t2 × q 5
PROBLEMA 02 Calcula el valor de “n” en la P.G.: (n − 3) ; n ; (n + 12) ; ... a) 2 d) 4
b) 6 e) 9
c) 8
t5
36
972
3
972 = 36 × q q=3
3
Piden: t 4= t 2 × q
2 2
t 4 = 324
Como es una P.G. sabemos que: 2
n = (n − 3) × (n + 12) 2
t2
t= 36 × 3 4
Resolución
3
La suma de cifras 3 + 2 + 4 = 9
2
n = n + 9n − 36
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcula el octavo término en la siguiente progresión geométrica. 3; 6; 12; 24; …. a) 374 b) 884 c) 384 d) 287 e) 661
194
02. En una sucesión geométrica
t 12 = 36
y
q = 1/4 determina el término t 9 a) 3204 b) 2525 c) 2304 d) 3400 e) 8393
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 03. Un hombre desea ahorrar guardando 100 soles el primer día, 200 el segundo día, 400 el tercero y así sucesivamente. Si continua duplicando la cantidad guardada todos los días, ¿Cuánto debe guardar el decimoquinto día? a) 1638400 b) 823400 c) 1632200 d) 6234003 e) 223000 04. Calcula el término enésimo de la progresión geométrica 3; 12; 48; 192; …. a) 3 ⋅ 4 d) 4
n −1
n −1
b) 3 ⋅ 4 e) 4
n +1
c) 3 ⋅ 4
2n −1
2n + 1
05. Calcula el término general de una progresión geométrica que empieza con 9 y cuya razón es 4. a) 9 ⋅ 4
n −1
b) 9 ⋅ 4
n +1
d) 9 ⋅ 4
2n −1
e) 3 ⋅ 4
n −1
c) 9 ⋅ 4
n
06. Calcula el término general de una progresión geométrica cuya razón es 6 y el tercer término es 48. a) 4 ⋅ 6
n
b) 4 ⋅ 6
d) 4 ⋅ 6
n −1
e) 8 ⋅ 6
n +1
c) 8 ⋅ 6
n− 2
n −1
07. Calcula la cantidad de términos en la siguiente progresión geométrica. 1; 4; 16; 64; ... ; 16384 a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 e) 3 08. Hallar el número de términos de la progresión geométrica: 3 96, 48, 24, ..., 8 a) 6 b) 14 c) 11 d) 9 e) 6 Academia GAUUS
09. Calcula la cantidad de términos en la siguiente progresión geométrica. 64 32 16 81 ; ; ; 8; … ; 27 9 3 2 a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 e) 3 10. Calcula la cantidad de términos en la siguiente progresión: 1 1 1 ; ; ; 1; … ; 729 27 9 3 a) 2 b) 8 c) 4 d) 11 e) 10 11. Hallar el número de términos de una P.G., cuyo primer término es 3, el último 192 2 y la razón a) 14 d) 16
2.
b) 10 e) 13
c) 12
12. Hallar el número de términos de la progresión geométrica: 4 324 ; − 108, ; 36 ; − 12 ; ... ; 729 a) 11 b) 12 c) 10 d) 9 e) 13 13. Hallar la razón de una P.G., sabiendo que el octavo término es 32 y el quinto término es 4. a) 1 b) 4 c) 6 d) 3 e) 2 14. En una progresión geométrica el sexto término es 972 y el primer término e 4. Calcule la razón. a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 e) 3
195
JOHN MAMANI M. 15. El primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es –729. Calcule la razón. a) 2 b) –8 c) –2 d) 3 e) –3 16. Calcula el octavo término de una progresión geométrica, si el tercer término es 36 y tiene como razón a 3. a) 4374 b) 8748 c) 729 d) 2187 e) 6561 17. En una progresión geométrica el quinto término vale 5 y octavo término vale 135. Calcula el valor del séptimo término de la progresión. a) 45 b) 20 c) 8 d) 55 e) 35 18. Tenemos una progresión geométrica cuyo primer término es 2, y el sexto término es 64. Calcula el séptimo término. a) 128 b) 120 c) 18 d) 155 e) 135 19. El sexto término de una P.G. es 48 y el duodécimo es 3072. Calcula el quinto término. a) 35 b) 12 c) 6 d) 24 e) 8 20. Una progresión geométrica tiene como primer término el 5, y como séptimo término es 320. Calcula el noveno término. a) 1280 b) 1200 c) 180 d) 1550 e) 1350 21. Calcula el valor de “a” si: (2a + 1) ; (4a + 2) ; (7a + 5) ; ...
a) 2 d) 1
b) 8 e) 3
c) 4
22. Los términos n; (n + 4) ; (n + 16) son los tres primeros términos consecutivos sucesión geométrica. Calcule “n” a) 2 b) 6 c) 4 d) 1 e) 3
de
una
23. Calcula el menor valor de “k” que hace a la siguiente sucesión una P.G. (3k + 1) ; (k − 3) ; (2k + 9) ; ... a) –2 d) –5
b) 0 e) –7
c) 2
24. Tres madres tienen sus hijos de 1; 37 y 289 días de nacido. ¿Dentro de cuantos dias las edades de sus hijos estarán en P.G.? a) 2 b) 8 c) 4 d) 5 e) 7 25. La cantidad que hay que sumar a: 5, 13 y 29, para que formen una progresión geométrica es: a) 3 b) 7 c) 1 d) 9 e) 5 26. Al sumar un mismo número a 20, 50 y 100, respectivamente, los tres números resultantes forman una progresión geométrica creciente. Determine la razón. a) 5/3 b) 3/2 c) 4/3 d) 3/4 e) 7/5 27. Si a; (a + 1) ; (a + 3) forman una P.G., el cuarto término es: a) 6 b) 8 d) 64 e) 7
c) 16
Es una progresión geométrica, donde a ∈
196
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 31. ¿Cuál es el término central de una P. G. de 3 términos positivos, si el producto de los dos primeros es 24 y el producto de los dos últimos es 54? a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 32 28. En la siguiente progresión geométrica: (a − 1) ; x ; 3a ; mn ; aa + a ; y ; ...
Calcula el valor de mn a) 6 b) 8 d) 4 e) 16
c) 15
29. Las edades de tres personas están en P.G., siendo el producto de sus edades 27000. ¿Cuál es la edad de la persona intermedia? a) 18 b) 10 c) 8 d) 22 e) 30 30. La suma del segundo y quinto término de una P.G. es a la suma del primer y el tercer término de dicha P.G. como 42 es a 5. Calcule la razón de la P.G. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 31. Es una P.G. creciente, se sabe que el cuarto término es 9 veces el segundo término. Además, el primer término aumentado en 2 es igual a la mitad del segundo. Halle la suma del t 1 y t 2 . a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
32. La suma de 3 números positivos que forman una progresión geométrica es igual a 35. Si a estos números le restamos 1; 2 y 3 respectivamente, los nuevos números forman una progresión aritmética. Determine la suma de los cuadrados de los números. Academia GAUUS
a) 520 d) 515
b) 525 e) 518
c) 535
33. Tres números positivos forman una progresión aritmética y además su suma es 21. Si a esos números añadimos 2; 3 y 9 respectivamente obtenemos una progresión geométrica. Calcula el producto de estos números. a) 231 b) 240 c) 238 d) 236 e) 228 34. Hay 3 números que forman una P.A. y la suma de todos ellos es 36. Si se les suma 1; 6 y 35 respectivamente forman una P.G. Calcula el producto de los tres números iniciales. a) 1200 b) 1210 c) 1150 d) 1140 e) 1250 35. En una progresión geométrica creciente se sabe que el cuarto término es 9 veces el segundo término, además, el primer término aumentado en 2 unidades es igual a la mitad del segundo. Halle el valor de la suma del segundo y quinto término. a) 108 b) 324 c) 336 d) 234 e) 432 36. Se tienen los 3 primeros términos de una progresión aritmética de razón 2, se le aumenta 1; 3 y 9, respectivamente, formando una progresión geométrica. Halle el término que ocupa el lugar 20 en la progresión aritmética. a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41
197
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA
Resolución
PROBLEMA 01 ×2
Indicar el término que sigue en la siguiente sucesión: X
a)
E
d)
E
B , R D , N H , J N , G U , ...
F E
b)
F
e)
E
c)
D
D
F
C
B ,
MLK
QPOÑ
R
N
D ,
H ,
4
N ,
H
+4
IH
J
C
EFG
IJKLM
1
3
5
F
G
N ,
ÑOPQRST VWXYZABCD 7
192
,
−6
O
16
+8 192
9
2 ; Ñ 7 ; J 24 ; F 77 ; .....
T
U , ...
∴ El término que sigue será: E E
24
8
14
PROBLEMA 04 En la sucesión, indicar el número que sigue:
Hallando el término que sigue: WVUTS
1
J ,
10
−2
×8
×6
∴ El término que sigue será: O
Resolución X
1 L2 , 12
×4
a)
C
d)
D
238 238
b)
C
236
e)
D
222
c)
B
236
Resolución I)
PROBLEMA 02 Hallar el siguiente término de la sucesión: A , 3 , D , 6 , G , 12 , J , 24 , .... a) L b) R c) Q d) P e) M
+2 BC
+2 EF
Resolución +2 HI
+2 KL
PROBLEMA 03 En la sucesión, el término que falta es: 192
b) P
190
e) O
a) G
d) O
190 192
; H
24
SRQPO NMLK
,
II)
2
Luego:
C
7
×3 + 1
,
F
IHG
4
5
; _____
c) Ñ
192
SR
ED
3
,
24
×3 + 3
, C 2
77
×3 + 5
,
238
×3 + 7
238
Resolución
PO
NM
KJ
HG
1 T; 3 Q; 9 Ñ; 23 L; 53 I; 115 F +2
+6 +4
198
,
J
PROBLEMA 05
⇒ El término que continúa es: M
4
,
Ñ
Hallar el sexto término de la sucesión: 1 T; 3 Q; 9 Ñ; 23 L; 53 I; ... a) 105 F b) 115 G c) 115 F d) 120 F e) 116 F
A , 3 , D , 6 , G , 12 , J , 24 , ....
L ; J ; N
,
T
+ 14 +8
+ 30
+ 16
+ 62
+ 32
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 06 Hallar el término siguiente en la sucesión: − 9 C ; − 8 E ; − 6 H ; − 3 L ; ... O
a) 1
d) 1
b) 2
N
C
c) 2
M
2 + 27 = 29
e) 1
;
FG
−8
E
;
Resolución IJK
−6
7 + 15 = 22 9 + 40 = 49 52 + 30 = 82
P
D
−9
Q
Resolución Sumando los números de la serie:
H
;
La nueva serie será:
MNÑO
−3
L
22, P
; 1
29,
+7
49,
82, 128
+ 20 + 33
+ 13
+ 13
+ 46
+ 13
Pero: 73 + ?? = 128 +1
+2
+3
?? = 55
+4 P
⇒ El término que continúa es: 1
Para la serie literal: U, B , U, A,
↓ 22
PROBLEMA 07 En la siguiente sucesión: (7@U) * 15 , (2@B) * 27 , (9@U) * 40 , (52@ A) * 30 , (73@ ?) * ?? Obtener los términos del lugar de: ?, ?? a) U, 75 b) C, 83 c) R, 55 d) S, 55 e) T, 67
↓ 29
↓ 49
↓ 82
?
↓ 128
Lo que debemos hacer es continuar la serie cíclica es decir el lugar 128 es S. Luego la respuesta es: S, 55
¡Comprueba lo que sabes! 01. El 1er. día ahorro 3 soles; el segundo día, 6 soles; el 3er día, 3 soles más que el 2do. día; el 4to. día, 15 soles; el 5to. día 9 soles más que el día anterior y así sucesivamente. ¿Cuántos soles ahorro el 8vo día? a) 80 b) 99 c) 100 d) 98 e) 102 02. El primer día ahorré S/.1; el segundo día S/.1; el tercer día S/.2; el cuarto día el triple de lo que ahorré el segundo día; el quinto día ahorre S/.3 más de lo que ahorré el tercer día, y así sucesivamente ¿Cuánto ahorré el décimo quinto día? a) S/.710 b) S/.810 c) S/.610 d) S/.510 e) S/.410 Academia GAUUS
03. El primer día ahorré S/.1; el segundo día S/.1; el tercer día S/.2; el cuarto día el cuádruple de lo que ahorré el segundo día; el quinto día ahorre S/.5 más de lo que ahorré el tercer día, y así sucesivamente ¿Cuánto ahorré el décimo día? a) S/. 149 b) S/. 500 c) S/. 610 d) S/. 147 e) S/. 143 04. Qué término continúa: 1 3 3 ; 4 ; ; ; ........ 9 7 2 a) 5/4 b) 1 c) 6/5 d) 2/3 e) 3/5
199
JOHN MAMANI M. 12. En la sucesión hallar el valor de " x + y "
05. Hallar el término que continúa: 3 4 13 9 ; ; ; ; ........ 8 5 12 7 a) 21/13 b) 19/22 c) 20/17 d) 23/16 e) 24/16
2
1
e) 2 18
c) 4 15
a) 18 x
32
d) 17 x
28
2
; 5x
6
; 8x
12
b) 15 x
30
e) 17 x
30
; 12 x
20
; ......
c) 16 x
24
3
; 4
a) 41 d) 27
4
; 6 b) 40 e) 31
6
; 8
9
y
; x ; 12 c) 24
z
a) 9 d) 6
200
2
; 3
4
; 5 b) 8 e) 5
6
; 7
10
x
y
n
c) 37
75
;7a
72
a) 104 d) 94
; 11 ; y c) 7
;11a
69
; ;( x + 49)a
b) 34 e) 54
(49 − x )
c) 84
15. ¿Qué termino continua en la siguiente sucesión? E
8 , G 13 , K 9 , P 3 , .......
a) C 20
b) X 2
d) N 10
e) X 6
c) N 18
16. ¿Qué número falta en la sucesión? 2 ; 2;
a) 8 2
b) 8
d)
e) 2 2
24
8 ; 4;
c) 2 8
17. ¿Qué número completa? 2 2 ; 4 ; 8 ; 32 ; ? b) 128 c) 256 e) 1024
18. Halle el t 11 en: 2 ; 2; 2 2 ; 4;
11. Hallar: " x + y − z " 2
3a
a) 64 d) 512
10. Hallar: " x + y + z " 2
; x
5
b) 35 e) 39
1;
09. Hallar el término que sigue en la siguiente sucesión: 3x
13
14. Calcule “x” si:
12 ; 4 3 ;
d) 6 18
3
a) 36 d) 30
08. ¿Qué termino continua en la sucesión? b) 2 13
8
; 11 ; 13 c) 38
(a + 3) ;(a + 7) ;(a + 11) ; ;(a + 118 − n)
07. En la sucesión: 2 5 10 17 ; ; ; ; 3 7 11 15 Calcule la suma de los términos de la fracción que ocupa el lugar veinte a) 301 b) 301 c) 415 d) 217 e) 480
a) 4 18
5
13. Halla el valor de “n” en:
06. Calcular el término que continúa: 1 5 5 7 ; ; ; ; ........ 2 6 4 10 a) 13/6 b) 19/8 c) 21/10 d) 18/13 e) 15/7
2 ; 2 ;
3
2; 3 ; 5 ; 7 a) 18 b) 28 d) 48 e) 58
z
a) 64 2
b) 6 2
d) 32 2
e) 11 2
c) 16 2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. ¿Qué letra continua? E;G;J;N;?
a) C d) D
b) F e) E
c) G
UNAP–SOC–2012
a) O d) I
b) R e) M
c) H
09. ¿Qué letra continua? A, D, E, F, I, H, …
02. ¿Qué letra sigue? D ; C ; S ; …. a) Z d) O
b) T e) R
a) M d) P
b) R e) O
c) K
UANCV–2014
04. ¿Qué letra continua en la siguiente sucesión? A ; E ; J ; O ; ……. a) Z d) W
b) V e) T
CEPREUNA–2007
c) U
05. ¿Qué letra falta? Sin considerar las letras dobles, en la sucesión literal A ; D ; I ; O ; …. a) Q d) P
b) X e) M
CEPREUNA–SOC–2014
c) T
06. ¿Qué letra falta en: B; D; H; N; …. ? a) W d) T
b) U e) X
UNAP–EXT–2008
c) V
b) P e) S
c) Q
a) I ; O d) L ; S
b) N ; O e) P ; S
CEPREUNA–SOC–2013
c) L ; P
11. ¿Qué mes continua: diciembre; setiembre; junio; …? a) mayo d) enero
b) marzo e) febrero
CEPREUNA–SOC–2015
c) abril
12. Completar el número que completa la sucesión 7 ; 13 ; 24 ; 45 ; 86 ; ? a) 125 d) 163
b) 147 e) 142
c) 167
UNAP–2003
13. Determine el valor de “x” en la siguiente sucesión. 3 ; 6 ; 11 ; 19 ; 31 ; 48 ; x b) 78 e) 71
c) 72
UNAP–2007
14. ¿Qué termino continua? 26 ; 12 ; 12 ; 27 ; 58 ; …. UANCV–2014
08. ¿Qué letra falta en la siguiente sucesión? B ; …… ; H ; N ; U UNAP–EXT–2013
Academia GAUUS
c) Ñ
10. Halle el par de letras que siguen en la siguiente sucesión. V;E;J;D;M;N;M;O;…
a) 80 d) 74
07. ¿Qué letra sigue? A;C;E;I;M;? a) O d) R
CEPREUNA–BIO–2015
UNAP–SOC–2014
c) U
03. ¿Qué letra sigue en la siguiente sucesión? E ; L ; F ; M ; M ; M ; A ; ….. a) J d) I
b) N e) Q
a) 103 d) 112
b) 109 e) 100
UNAP–SOC–2012
c) 106
15. Que numero sigue en la siguiente sucesión: 4 ; 7 ; 12 ; 21 ; 38 ; … UNAP–SOC–2015
201
JOHN MAMANI M. a) 71 d) 49
b) 61 e) 41
c) 51
16. En la siguiente sucesión: 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; …….. Determine el valor que sigue a) 124 d) 84
b) 132 e) 96
UNAP–SOC–2015
c) 162
17. En la siguiente sucesión, que número sigue: 2 ; 5 ; 10 ; 25 ; 42 ; 93 ; …. a) 146 d) 141
b) 136 e) 152
UNAP–SOC–2012
c) 53
18. En la secuencia 8 ; 10 ; 9 ; 12 ; 10 ; X El valor de X es: a) 14 d) 16
b) 13 e) 15
UNAP–SOC–2011
c) 11
19. Halle A en: 8 ; 27 ; 64 ; A a) 100 d) 97
b) 90 e) 144
UNAP–SOC–2014
c) 125
20. Halle el número que sigue en la serie: 4 ; 12 ; 6 ; 24 ; 8 ; ….. a) 48 d) 56
b) 40 e) 28
b) 36 e) 16
c) 32
CEPREUNA–SOC–2014
c) 64
22. Halle el termino siguiente, en la sucesión: 2 ; 6 ; 4 ; 12 ; 10 ; 30 ; ….. a) 42 d) 60
b) 40 e) 25
b) 621 e) 469
c) 747
24. Halle el valor de “x” en la sucesión 8 ; 10 ; 13 ; 17 ; 23 ; 35 ; x a) 69 d) 73
b) 65 e) 67
UNAP–BIO–2007/2012/2014
c) 71
25. En la siguiente sucesión 10 ; 18 ; 29 ; 45 ; 68 ; …… ¿Qué número sigue? a) 98 d) 89
UNAP–ING–2014
b) 196 e) 91
c) 100
26. ¿Qué numero continua en la siguiente sucesión? 2 ; 5 ; 9 ; 16 ; 28 ; ……. a) 45 d) 47
CEPREUNA–BIO–2012
b) 43 e) 49
c) 51
27. Encuentre el valor de x en la siguiente sucesión: 2 ; 2 ; 4 ; 16 ; 128 ; x a) 5048 d) 3048
CEPREUNA–SOC–2014
b) 2048 e) 4048
c) 1048
CEPREUNA–SOC–2012
21. Halle el termino que continua en la siguiente sucesion: 1 ; 1 ; 4 ; 8 ; 9 ; 27 ; ……. a) 25 d) 125
a) 1005 d) 370
UNAP–ING–2011/2001
c) 28
28. Halle “n” en la siguiente serie 5 ; 10 ; 5 ; 15 ; 10 ; n UNAP–EXT–2003
a) 10 d) 50
c) 40
29. Halla “X” en: 0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 22 ; X a) 56 d) 50
UNAP–EXT–2006
b) 60 e) 63
c) 48
30. Halle ( x + y) en: 5
23. Indique la alternativa que continua correctamente en la siguiente sucesión: 6 ; 15 ; 36 ; 93 ; 258 ; …..
b) 20 e) 15
29
; 10
28
; 40
25
; 320
20
; x
y
UNAP–EXT–ING–2015
a) 5210 d) 5233
b) 5120 e) 5366
c) 5133
UNAP–BIO–2012
202
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 31. Dada la siguiente sucesión: 2 ; 9 ; 28 ; 65 ; 125 ; ….. ¿Cuántos términos son de 4 cifras? a) 13 d) 12
a) 90 d) 150
UNAP–EXT–ING–2015
b) 11 e) 14
c) 10
b) 105 e) 85
c) 115
38. Halle “x” en la sucesión: 2 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 36 ; x UNAP–EXT–2012
a) 72 d) 136
32. Halle el valor de X en la sucesión: 2 ; 4 ; 8 ; 15 ; 26 ; X
b) 104 e) 98
c) 108
CEPREUNA–2010
a) 41 d) 42
b) 39 e) 38
c) 40
39. Halle los dos términos siguientes: 5 ; 1 ; 8 ; 1 ; 14 ; 3 ; 23 ; 15 ; …. UNAP–SOC–2013
33. En la siguiente sucesión 7 ; 11 ; 19 ; a ; 67 ; b ; 259 ; ….. Halle: a + b CEPREUNA–2010
a) 163 d) 166
b) 165 e) 167
b) 25 y 125 e) 28 y 78
c) 35 y 105
40. Halle: x + y en la sucesión
c) 164
2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; 10 ; 48 ; 15 ; x ; y UNAP–2010
a) 256 d) 261
34. Indicar el número que sigue: 4 ; 7 ; 12 ; 15 ; 36 ; 23 ; …. UNAP–EXT–2000/2015
a) 117 d) 45
a) 30 y 90 d) 34 y 108
b) 42 e) 108
c) 111
b) 45 e) 48
c) 86
41. En la sucesión –12 ; –11 ; –9 ; y ; –2 ; x ; z Halle: x + y + z UNAP–BIO–2015
35. Halle el siguiente número de la sucesión: 40 ; 240 ; 60 ; 360 ; 90 ; ….
a) 7 d) 5
b) 8 e) 6
c) 9
UNAP–EXT–2009
a) 240 d) 720
b) 400 e) 540
c) 320
42. Encontrar “X” en: 1 ; 1 ; 3 ; 15 ; 105 ; X CEPREUNA–BIO–2012
36. En la siguiente sucesión numérica que termino continúa. 2
3
5
8
(4 + x );(7 + x );(11 + x );(16 + x );... CEPREUNA–SOC–2012
a) 22 + x
12
d) 21 + x
12
b) 23 + x
12
e) 20 + x
12
c) 24 + x
12
37. Halle “n” en la siguiente sucesión 0 ; 1 ; 6 ; 20 ; 50 ; n UANCV–2013
Academia GAUUS
a) 945 d) 545
b) 555 e) 845
c) 645
43. ¿Qué número continua? 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 : 252 ; ….. CEPREUNA–2005
a) 1252 d) 1354
b) 1452 e) 1454
c) 1554
44. Halle el valor de “x” en: 2 ; 16 ; 54 ; 128 ; x CEPREUNA–BIO–2014
203
JOHN MAMANI M. a) 150 d) 250
b) 450 e) 216
51. Halle x + y
c) 350
Si:
45. El número que sigue en la sucesión es: 40 ; 240 ; 60 ; 360 ; 90 ; a) 240 d) 540
b) 320 e) 720
CEPREUNA–SOC–2013
c) 480
46. Determine el valor de " x + y " en: 0; 13; 5; 10; 10; 7; 15; 4; x ; y a) 20 d) 19
b) 22 e) 18
UNAJ–EXT–2013
c) 21
b) 2500 e) 6000
UNAP–BIO–2013
c) 1250
48. Halle " a + b " , si: 5 29 12 22 26 a , , , , , 31 10 26 24 17 b a) 64 d) 62
b) 65 e) 63
c) 66
CEPREUNA–ING–2013
a) 43 d) 63
UNAP–2005
a) 8/65 d) 4/43
b) 7/51 e) 4/42
4 8 12 16 x , , , , y 7 14 28 56 CEPREUNA–2005
c) 8/63
53. Halle el décimo quinto término en la siguiente sucesión. 13 10 27 3; ; ; ; 4 3 8 CEPREUNA–BIO–2014
a) 104/30 d) 102
b) 105 e) 103/31
c) 106
54. ¿Qué termino continua en la sucesión? 2 ; 2 ;
b) 112 e) 142
c) 51
52. Halle el término que continua en la siguiente sucesión: 2 4 6 ; ; ;? 3 15 35
49. Halle x + y , si:
a) 152 d) 132
b) 67 e) 35
CEPREUNA–BIO–2013
47. ¿Cuál es el décimo término de la sucesión? 625 ; 125 ; 500 ; 1000 ; 200 ; 800 ; ….. a) 2560 d) 1375
2 5 9 14 x ; ; ; ; 9 13 18 24 y
12 ; 4 3 ; UNAP–ING–2012
a) 4 18
b) 2 13
d) 6 18
e) 2 18
c) 4 15
c) 122 55. Halle a + b , en:
50. Halle el termino 20 de la sucesión: 3 8 15 24 ; ; ; ; ....... 2 9 19 32
2 ; 3 6 ; 5 11 ; 7 18 ; 11 29 ; a b UNAP–EXT–2006
a) 48 d) 64
b) 56 e) 70
c) 61
CEPREUNA–BIO–2013
110 a) 81
d)
204
220 55
55 b) 81
e)
81 220
c)
81 112
56. ¿Qué número falta? 2 2 ; 4 ; 8 ; 32 ; ? UNAP–EXT–2013
a) 64 d) 512
b) 128 e) 1024
c) 256 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 57. ¿Qué termino continua en la siguiente sucesión? E
F1 → 1 F2 → 2; 3 F3 → 4 ; 5;6 F4 → 7 ; 8 ;9 ;10 F5 → 11;12;13;14 ;15
8 , G 13 , K 9 , P 3 , ....... UNAP–2005
a)
C
20
d) N 10
b)
X
c)
8
N
18
UNAP–EXT–2009
e) X 6
a) 200 d) 220
b) 420 e) 210
c) 820
58. Halle “X” en la figura: 6 24
0 X
120
60
UNAP–EXT–2006
a) 140 d) 240
b) 180 e) 280
c) 210
UNAP–ING–2013
a) 1520 d) 1450
59. Halle x + y en: 1 − 5n 16
2 − 4n 8
4 − 2n 4
7+n 2
x y
UNAP–EXT–2014
a) 5n + 11
b) 5n + 10
d) 5n + 12
e) 5n + 8
UNAP–EXT–2005
b) S/.810 e) S/.410
c) S/.610
61. Disponga los números naturales en la forma adjunta y dé en seguida el último término de la 20ava fila: Academia GAUUS
b) 1250 e) 1550
c) 1350
63. En la UNA los alumnos son evaluados quincenalmente. Los puntajes que obtiene la alumna Silvia en sus pruebas de física son: Nº pruebas Puntajes 1º 2 2º 5 3º 10 4º 17
c) 5n + 9
60. El primer día ahorré S/.1; el segundo día S/.1; el tercer día S/.2; el cuarto día el triple de lo que ahorré el segundo día; el quinto día ahorre S/.3 más de lo que ahorré el tercer día, y así sucesivamente ¿Cuánto ahorré el décimo quinto día? a) S/.710 d) S/.510
62. En el siguiente arreglo numérico, halle la suma del primero y el último término de la fila 25. F1 → 1 F2 → 3 5 F3 → 7 9 11 F4 → 13 15 17 19 F5 → 21 23 25 27 29
Si mantiene su rendimiento académico con la regularidad que puede observarse, ¿Cuánto obtendrá en la prueba decima primera? CEPREUNA–ING–2012
a) 401 d) 405
b) 400 e) 122
c) 402
64. En la siguiente sucesión: 2; 3; 6; 11; 18; 27; …. halle la suma de las cifras del termino 25. CEPREUNA–2009
205
JOHN MAMANI M. a) 19 d) 15
b) 18 e) 16
c) 20
día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. Hallar el número de páginas leídas en dicho día.
65. Encuentre el doceavo término de la siguiente sucesión: 1 ; 7 ;19 ; 37 ; …
CEPREUNA–BIO–2014/2015
a) 168 d) 170
b) 172 e) 160
c) 166
UNAP–EXT–2011
a) 397 d) 379
b) 399 e) 396
70. Calcule el décimo término de la sucesión. –4 ; –2 ; 0 ; 14 ; 52 ; ….
c) 398
UNAP–2010
66. Halle el número que ocupa la posición 10 en la siguiente sucesión. 2 ; 11 ; 26 ; 47 ; …. UNAP–EXT–2014
a) 270 d) 285
b) 279 e) 265
c) 299
a) 1523 d) 1322
b) 1022 e) 1023
c) 1322
71. Encuentre el número de sumandos de la serie: S = 2 + 7 + 12 + 17 + + 197 UNAP–BIO–2015
67. Calcule el termino enésimo de la siguiente sucesión: 2 ; 7 ; 14 ; 23 ; 34 ; … UNAJ–2014
2
b) 2n + n + 2
2
d) n + 2n + 1
a) n + 2n − 1 c) n − 2n − 1
2
2
2
e) 2n + n − 1 68. En la siguiente sucesión: 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; 28 ; …. El término enésimo es: CEPREUNA–SOC–2012
2
a) n + 2
1 n+1 2
c) 3n + e)
2 n 7
b)
1 2 7 n + n− 2 2 2 2
d) 4 n + 5n + 6
1 2 5 n + n+1 2 2
a) 360 d) 40
b) 47 e) 390
72. ¿Cuántos términos tiene la sucesión? 64 ; 74 ; 84 ; ….. ; 2974 UNAP–EXT–2004
a) 292 d) 189
b) 200 e) 296
206
c) 190
73. Halle el término que ocupa el lugar 18 en la siguiente progresión aritmética: 20; 16; 12; ......... CEPREUNA–2008
a) 88 d) 52
b) –52 e) –44
c) –48
74. Si los términos consecutivos de progresión aritmética son: (3 x − y ) ; (2 x + 3 y ) ; (4 x − 5 y ) Halle, la relación
69. Diego se propone leer un libro diariamente: el primer día 3 páginas, el segundo día 8 páginas, el tercer día 15, el cuarto 24 y así sucesivamente hasta que cierto día se da cuenta que el número de páginas leídas ese
c) 28
una
x y CEPREUNA–ING–2015
a) 2 d) 6
b) 8 e) 3
c) 4
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 75. En la siguiente sucesión aritmética
79. Calcule “x” en la siguiente sucesión:
x , 8 , y + 1 , 12 Calcular el valor de: 2 x +
3a
b) 65 e) 81
c) 35
76. El tercer término de una progresión aritmética es 12 y el octavo es 27. Halle la suma de los términos al cuadrado del cuarto al sexto término. CEPREUNA–ING–2014
a) 940 d) 990
b) 900 e) 980
c) 890
CEPREUNA–2006/2013
b) 13 e) 10
72
;11a
69
; ;(x + 49)a
(49 − x)
a) 104 d) 94
b) 34 e) 54
c) 84
80. ¿Cuántos términos de la sucesión; 13; 16; 19; …; 613 resultan tener raíz cuadrada exacta al sumarles dos unidades? CEPREUNA–BIO–2014
a) 8 d) 5
b) 9 e) 7
c) 6
81. En la sucesión siguiente: encontrar el primer término negativo. 64 ; 57 ; 50 ; 43 ; …..
77. Se reparte caramelos a un grupo de niños en cantidades que forman una progresión aritmética. Al séptimo niño le toco la mitad de lo que lo toco al último y a este el quíntuplo de lo que lo toco al primero. ¿Cuántos niños son? a) 12 d) 15
;7a
UNAP–ING–2013
y CEPREUNA–2010
a) 25 d) 75
75
c) 17
CEPREUNA–ING–2013
a) –12 d) –8
b) –6 e) –3
c) –7
82. ¿Cuál es el quinto término de la sucesión siguiente, sabiendo que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante? 27 ; –18 ; 12 ; …. UNAP–EXT–2002
78. Krystel se encuentra en un viñedo donde comienza a comer de éste de la siguiente manera: el primer día come 4 uvas, el segundo día come 7 uvas, el tercer día come 10 y así sucesivamente; hasta que cierto día se da cuenta que el número de uvas que comió ese día era 11 uvas menos que el triple de uvas que comió el décimo día ¿Cuántos días completos han transcurrido hasta ese día?
a) –16/3 d) –8
b) 8 e) 6
c) 16/3
83. Halle el tercer término cuyo último digito es 7 en la siguiente sucesión: 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; … UNAP–EXT–2008
a) 127 d) 427
b) 227 e) 627
c) 837
UNAP–2005
a) 25 d) 20
b) 30 e) 21
Academia GAUUS
c) 26
207
JOHN MAMANI M.
Analogías y Distribuciones CAPÍTULO IX ANALOGÍAS NUMÉRICAS Comparación horizontal entre relaciones numéricas, generalmente se relacionan los términos extremos, para así hallar el del centro. Ejemplo 01 ¿Qué número falta? 3 (16) 5 7 (34) 10 4 ( ) 9
Resolución Analizando ∗ (3 + 5) × 2 = 16 ∗ (7 + 10) × 2 = 34 ∗ (4 + 9) × 2 = 26
3
4
5
39
48
x
7
6 8
4 9
Resolución Analizando las primeras figuras se deduce que: ∗ 7× 3+ 6× 3 = 39 ∗ 8× 4 + 4× 4 = 48 ∗ 9 × 5 + 11 × 5 = 100
( )
2
Resolución
3
6
1 2
4
2
2
Es el conjunto de números ordenados en función de 2 ó más figuras iguales y según una misma relación operacional.
9
Sumando cifras: 1+0=1
2da fig : 4 + 6 + 7 = 17 Sumando cifras: 1+7=8
∗ (4 − 2) = 4
ANALOGÍAS NUMÉRICAS GRAFICAS
x
7 5
Resolución 1ra fig : 2 + 3 + 5 = 10
∗ (4 − 1) = 9 ∗ (7 − 3) = 16
8
8 5
2
208
11
Ejemplo 04 Hallar el valor de “x” en la siguiente distribución gráfica:
Ejemplo 02 Hallar el número que falta en: 4 (9) 1 7 ( 16 ) 3 4
Ejemplo 03 Halle “x” en:
3ra fig : 5 + 8 + 9 = 22 Sumando cifras: 2+2=4
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. ANALOGÍAS LITERALES Sus términos son letras, relacionadas ya sea por el orden del alfabeto u otro criterio lógico. Ejemplo 05 Hallar el término que falta D (S) E C (W) H B ( ) I
Ejemplo 08 Hallar "x" en: 7
4 2 x 10 2 3 3 7
Ejemplo 06 ¿Qué termino falta? CASA ( CATO ) TOMA PARA ( ) SAPO
Resolución 7 + 4 + 2 =13 x + 10 + 2 =13 3 + 3 + 7 =13
Resolución
Resolución
Sus términos son letras y números
De las dos primeras filas se cumple que: (2 + 3 + 6) × (7 + 3 + 0) = 110 (1 + 3 + 1) × (4 + 0 + 5) = 45 Luego: (2 + 8 + 0) × (5 + 2 + 9) = 160
Ejemplo 07 ¿Qué letra falta?
6
5
M
12 12
2
1 ⇒x=
263 110 730 131 45 405 280 x 529
ANALOGÍAS ALFA NÚMERICAS
9
Se deduce
Ejemplo 09 Hallar: x
CASA ( CATO ) TOMA PARA ( PASA ) SAPO
E
⇒K
Se diferencias de las analogías porque no lleva paréntesis, además las relaciones operacionales para hallar la incógnita puede darse a parte de los extremos entre los elementos de las filas y columnas
Cambiando letras por números 4 (20) 5 ⇒ 4 × 5 = 20 3 (24) 8 ⇒ 3 × 8 = 24 2 ( ) 9 ⇒ 2 × 9 = 18 ⇒ Q
1
⇒M
DISTRIBUCIONES NÚMERICAS
Resolución
3
(5 + 12 + 9) = 13 2 (2 + 8 + 12) 3ra fig : = 11 2 2da fig :
8
Resolución 1ra fig :
(1 + 6 + 3) = 5 2
Academia GAUUS
⇒E
209
JOHN MAMANI M. ANALOGÍAS NUMÉRICAS PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Determina el número que falta 15 (14) 27 81 (30) 9 70 ( ) 2 a) 8 b) 24 c) 7 d) 50 e) 12
Determina el número que falta. 6 (41) 2 5 (130) 3 2 ( ) 5 a) 21 b) 32 c) 34 d) 37 e) 14
Resolución
Resolución
2
1° fila: 6 + 5 = 41
15 + 27 = 14 3 81 + 9 2° fila: = 30 3 70 + 2 3° fila: = 24 3
1° fila:
3
2° fila: 5 + 5 = 130 5
3° fila: 2 + 5 = 37
PROBLEMA 04
PROBLEMA 02 Determina el número que falta. 14 (15) 21 23 (50) 19 11 ( ) 47 a) 18 b) 14 c) 72 d) 51 e) 22
Resolución
Calcula el número que falta, en: 345 (27) 126 226 (80) 84 369 ( ) 64 a) 53 b) 27 c) 64 d) 512 e) 115
Resolución 2
2
2
2
2
2
1° fila: (3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 6) = 27 2° fila: (2 + 2 + 6) + (8 + 4) = 80
1° fila: (1 + 4) × (2 + 1) = 15 2° fila: (2 + 3) × (1 + 9) = 50 3° fila: (1 + 1) × (4 + 7) = 22
3° fila: (3 + 6 + 9) + (6 + 4) = 64
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar el valor de “x” en: 36 (51) 15 23 ( x ) 14 a) 35 b) 37 c) 28 d) 32 e) 16
210
02.Hallar el número que falta: 24 (21) 18 35 ( ? ) 13 a) 20 b) 23 c) 25 d) 24 e) 26 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 03. Hallar “x” en: a) 50 d) 46
14 (27) 5 23 ( x ) 7 b) 48 c) 42 e) 44
11. Hallar “x” en: a) 68 d) 164
3 (70) 5 23 ( ? ) 7 b) 152 c) 170 e) 166
04. Hallar el número que falta: 5 (48) 7 3 (?) 5 a) 26 b) 30 c) 38 d) 34 e) 32
12. Hallar el número que falta: 6 (513) 9 4 ( ? ) 6 a) 424 b) 152 c) 232 d) 162 e) 124
05. Hallar “x” en:
13. Hallar “x” en:
a) 19 d) 17
12 (20) 7 9 (x) 5 b) 18 c) 16 e) 14
a) 180 d) 162
65 (294) 34 43 ( x ) 18 b) 240 c) 184 e) 220
06. Hallar el número que falta: 8 (89) 5 7 (?) 3 a) 58 b) 56 c) 71 d) 73 e) 138
14. Hallar el número que falta: 263 (189) 134 524 ( ? ) 103 a) 84 b) 64 c) 104 d) 21 e) 284
07. Hallar “x” en:
15. Hallar el número que falta: 603 (1156) 569 128 (484) 106 523 ( ? ) 499 a) 625 b) 529 c) 441 d) 576 e) 361
a) 11 d) 9
837 (10) 431 598 ( x ) 327 b) 13 c) 8 e) 10
08. Hallar el número que falta: 826 (481) 345 937 ( ? ) 456 a) 326 b) 461 c) 460 d) 481 e) 361 09. Hallar “x” en: a) 48 d) 84
8 (20) 5 42 ( x ) 6 b) 68 c) 62 e) 126
10. Hallar el número que falta: 384 (12) 216 836 ( x ) 314 a) 8 b) 14 c) 18 d) 23 e) 25 Academia GAUUS
16. Hallar “x” en:
a) 20 d) 15
423 (136) 237 642 (28) 564 186 ( x ) 135 b) 3 c) 1 e) 6
17. Hallar el número que falta: 523 (256) 213 467 (841) 325 238 ( ? ) 136 a) 529 b) 576 c) 625 d) 441 e) 484
211
JOHN MAMANI M. 18. Hallar “x” en:
a) 9 d) 5
620 (15) 322 484 ( 9 ) 236 361 ( x ) 145 b) 11 c) 13 e) 7
19. ¿Qué número falta en la distribución? 64 (34) 52 91 (27) 36 32 ( ? ) 46 a) 20 b) 25 c) 27 d) 30 e) 31 20. Hallar el número que falta: 8 (33) 3 5 (21) 2 7 ( ) 4 a) 28 b) 30 c) 33 d) 26 e) 34 21. Hallar el número que falta: 3 (0) 3 7 ( ) 3 8 (22) 6 a) 33 b) 34 c) 24 d) 44 e) 54 22. Hallar el número que falta: 628 ( ) 345 829 (35) 394 732 (27) 438 a) 25 b) 28 c) 27 d) 32 e) 34 23. ¿Qué número falta en la analogía? 43 (216) 65 67 (210) 38 56 ( ? ) 24 a) 132 b) 154 c) 160 d) 176 e) 188 24. ¿Qué número falta en la analogía? 23 (51) 5 17 (36) 2 14 ( ? ) 3 a) 35 b) 30 c) 33 d) 31 e) 35
212
25. Hallar “x” en:
a) 14 d) 17
523 (29) 318 321 (24) 255 134 (x) 122 b) 23 c) 16 e) 18
26. ¿Qué número falta en la analogía? 262 (518) 521 447 (366) 264 631 ( ? ) 528 a) 270 b) 206 c) 308 d). 342 e) 226 27. Halle el número que falta. 18 (14) 24 26 (13) 10 31 (14) 92 15 ( ?) 31 a) 9 b) 8 c) 12 d) 21 e) 10 28. ¿Qué número falta? 31 (2) 11 52 (4) 23 20 (3) 33 37 (x) 14 a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 29. Hallar el valor de “x”. 3 (9) 3 2 (4) 2 5 (7) 2 3 (x) 4 a) 12 b) 7 d) 11 e) 15
c) 9
30. Hallar “x” en:
a) 86 d) 150
34 (85) 22 23 (24) 42 32 (13) 41 28 (x) 33 b) 90 c) 240 e) 283
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. ANALOGÍAS LITERALES PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Determina la letra que falta T (V) X B (J) Q
Determina la letra que falta G (I) D Q (O) N Z ( ) X a) A b) S d) Q e) D
R ( ) Ñ a) T d) Q
b) V e) C
c) P
c) P
Resolución
Resolución Remplazamos las letras por su ubicación en el alfabeto. 21 + 25 21 (23) 25 → 23 = 2 2 + 18 2 (10) 18 → 10 = 2 19 + 15 19 ( ) 15 → = 17 2 La letra que ocupa la posición 17 es “P”
Remplazamos las letras por su ubicación en el alfabeto.
7
(9)
4
2
→ (7 − 4) = 9 2
18 (16) 14 → (18 − 14) = 16 2
27 ( ) 25 → (27 − 25) = 4 La letra que ocupa la posición 4 es “D”
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Qué palabra falta en la analogía? SAPO (PASA) SACO BOTE (……) ROCA a) ROTO b) LORO c) TORO d) COLA e) PALO
04. ¿Qué palabra falta en la analogía? AVIAR ( AVES ) ESTRO FICHA (……….) JOVEN a) HIJO b) FOCA c) FAJO d) VENA e) HIGO
02. ¿Qué palabra falta en la analogía? PLACA (BALA) ABEJA ANEJO (……) AVENA a) NAVE b) VENA c) NEVA d) VEJO e) VERA
05. Completar lo que falta: CORO ( COSA ) MASA MANO ( ..………. ) PATA
03. ¿Qué palabra falta en la analogía? TRABA ( TUBO ) CULTO ASOMA (………) TRATA a) AMAR b) RAMA c) TARA d) ARMA e) RATA Academia GAUUS
a) TAMI d) META
b) MITA e) MATO
c) MOTA
06. ¿Qué termino falta? RICA (MARI) MALA SOLA ( ) BECA a) BESO b) LACA c) CASO d) BOLA e) BASE
213
JOHN MAMANI M. 07. ¿Qué palabra falta? ROCIO (IRAN) NELA MINAS ( ) RETO a) ROMA b) RINA c) AMOR d) RITA e) MIRA
15. ¿Qué palabra falta? LAGUNA (GULA) PELADO POROTO ( ) TOMATE a) AROM b) TOMA c) RAMO d) POMA e) ROMA
08. ¿Qué palabra falta? ASUMA (ARMA) TRATA TRABA ( ) CULTO a) TOBU b) BUTO c) RAMA d) TUBO e) BOTU
16. ¿Qué palabra falta en la analogía? LUNA (LAMO) MANO PERO ( ) LORO a) PELO b) PORO c) LORO d) POLO e) PERO
09. Encuentra la palabra que falta. MESA (SALA) TELA COPA ( ) MOTA a) PATA b) TAPA c) COMO d) MACO e) TACO
17. ¿Qué palabra falta en la analogía? SUSANA (SALA) GRACIELA ROSANA ( ) MARIANA a) SANO b) RANA c) SOLA d) MASA e) LUNA
10. Encuentra la palabra que falta. PELOTA (MELODIA) MEDICO CAMION ( ? ) CASITA a) CASIMIO b) MECAMI c) PECAS d) CATASI e) CAMISIN
18. Determina la palabra que falta si: RUSO (ROCA) COSA PAJA ( ) TUBO a) TOPA b) PATO c) TAPO d) PABU e) JABO
11. Encuentra la palabra que falta en: SOPA (OPAR) MARTE MESA ( ) RELOJ a) ESAO b) MELO c) ESEL d) MEJOR e) RELSE
19. ¿Qué palabra falta? RATO (RARO) TORO LOBA ( ) TILO a) RATO b) LOTI c) BATI d) LOLO e) BALA
12. Encuentra la palabra que falta: MARTIR (ARCA) ROCA MIMOS ( ? ) PLAN a) OSLA b) IMAN c) MONA d) IMLA e) MOLA
20. ¿Qué letra falta? RIFLE (RISA) RASO CABOS ( ) AMEN a) CAMA b) NECA c) CAEM d) SONE e) BAMA
13. ¿Qué palabra falta? MESA (SALA) LATA BECA (…….) SAPO a) CASA b) BESA c) POCA d) CAPO e) BEPO
21. Encuentra la palabra que falta: CASA (CATO) TOMA PARA ( ) SAPO a) PAPO b) RAPA c) SAPA d) PASA e) POSA
14. Encuentra la palabra que falta: SOPA (PESO) PERO PATA (……) TAZA a) ZATA b) PATA c) PASTO d) TAPA e) ROPE
22. ¿Qué palabra falta? ESTUDIO (ESCASA) CANSA ALEGRIA ( ) TANTO a) LETANTO b) TALATO c) TALOTA d) LETALO e) ALTATO
214
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 23. ¿Qué palabra falta? TORBULENTO (PUCOLEN) FLANCO CARGADORES ( ) FUERTE a) RESFUGA b) RAFUTER c) GARESTE d) RESTAR e) GATEDOR 24. Encuentra la palabra que falta. LOCA (LILOPO) POLICIA PATA ( ) CALERAS a) LEPACO b) LOTOSA c) PETI d) LIPACO e) LITOSO 25. Encuentra la palabra que falta. CULEBRA (TOLEGA) TORTUGA COLIBRI ( ) PINTADO a) COPIN b) BRIDO c) DIRIN d) TABRI e) PILIDO 26. ¿Qué letra falta? a) J d) N
A (H) Ñ E (…) P b) K c) L e) S
27. Hallar el término que falta: D (S) C (W) B ( ) a) T b) P d) R e) Q
E H I c) V
28. Completa la letra que falta: B (F) C D (S) E A ( ) A a) B b) P c) C d) A e) T 29. Indica la letra que completa la analogía. A (G) M C (E) G S ( ) U a) P b) M c) U d) Y e) T
Academia GAUUS
30. Determina la letra que falta. B (O) D C (I) B E ( ) B a) R b) X c) S d) Z e) Y 31. Determina la letra que falta. T (V) X B (J) Q R ( ) Ñ a) O b) Q c) P d) A e) F 32. ¿Qué letra completa la analogia? G (I) D Q (O) N Z ( ) X a) F b) E c) G d) D e) H 33. Hallar el número que falta: Ñ (D) R D (K) M F ( ) Q a) L b) M c) I d) J e) W 34. Hallar el número que falta: F (O) B Ñ (E) C O ( ) D a) A b) B c) C d) D e) E 35. Hallar el número que falta: B (H) D E (Ñ) C G ( ) C a) S b) T c) U d) Z e) Y
215
JOHN MAMANI M. ANALOGÍAS NUMÉRICAS GRÁFICAS
Resolución
PROBLEMA 01 Hallar el valor de “x” en la siguiente distribución gráfica: 3
6
1 5
a) 3 d) 4
2da. figura:
2x 7 5
4
1ra. figura:
8
8
2
2 × 3= 6+ 4×4 = 16 22 5 × 3 = 15 + 3× 4 = 12 27 1× 3= 3+ 7× 4 = 28 31 x − 1 31 − 1 ∴ = = 15 2 2
b) 6 e) 2
9
c) 5
3ra. figura:
Resolución 3
2
2 + 3 + 5 = 10 Sumando cifras: 1 1+0=1
PROBLEMA 03 Si se cumple:
5
5
6
4 + 6 + 7 = 17 Sumando cifras: 1+7=8
8 7
4
3
9
5
6
9
⇒ 2x = 4
X
x=2
2
Hallar: 2x + a) 27/4 d) 1
PROBLEMA 02 Hallar el valor de
x −1 en: 2
2
5
1
4
3
7
27
x
22
216
4
8
5 + 8 + 9 = 22 Sumando cifras: 2+2=4
2x
a) 17 d) 16
4
7 4
8
5
8
b) 15 e) 12
c) 18
3 x
b) 125/7 e) 5
c) 0
Resolución +
5
3
+
+
7
8
4
+
4
4
5
15 → 5 − 1 =4
16 → 6 − 1 =5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. +
Piden:
+
8
6
1 1 = E= 1+ 1+ 1 1 1− 1− −2 x 5 E= 3
9 X
23 → 3 − 2 =1=x Piden:
PROBLEMA 05
3 2 3 E= 2x + = 2 ( 1 ) + x 1 E = 2+ 3 =5 2
2
Hallar el valor numérico de " x − 3" siguiente distribución gráfica: 5
PROBLEMA 04 En la siguiente distribución gráfica: 4
3
8
5
1 − 3
6
15
10
2 − 3
8 − 10 1 2 =− × 2 =− 6 3 3
iii)
15 − 12 3 1 = = ×3= 1 9 9 3
38
20
12
31
x
4
b) 321 e) 625
15
c) 958
1er Fig.= 2 + 10 + 5 = 17 2da Fig.= 7 + 20 + 11 = 38 3ra Fig.= 20 + 31 + 18 = 69 4ta Fig.= 4 + 15 + 12 = x ⇒ x=31 2
2
Piden: x − 3= 31 − 3 = 961 − 3= 958
PROBLEMA 06 Determinar el valor de
5 13
a) 11 d) 6 Academia GAUUS
7
10
Resolución 5 c) 3
x2 − 3 = 1 x2 = 4 x = −2
69
1 x
Resolución
ii)
20
a) 457 d) 524
1
5 b) − 3 3 e) − 5
4−5 1 1 =− × 1 =− 3 3 3
17
11
18
12
x −3
1−
i)
9 2
Hallar el valor de: E= 1 + 3 a) − 7 3 d) 5
2
en la
x + 5, en:
x
14 11 17
b) 12 e) 5
12 13
9
c) 4
217
JOHN MAMANI M. a) 120 d) 61
Resolución 1ra. Figura:
2 13 − 11 = 2 × 3 − 1 = 6 −1= 5
2da. Figura:
17 − 12 = 5 5 × 3 − 1 = 15 − 1 = 14
3ra. Figura:
13 − 9 =4 4 × 3 − 1 = 12 − 1 = 11
81 4
4
125
2 5
2
125
2 2
5
3
2 5
3
I
3
6
II
III
3 ( 4 + 5 )2 = 81 ( 2 + 3 ) = 125
( 5 + 6 )3 = 121
∴ El número que falta: 121
PROBLEMA 07 En el siguiente esquema gráfico, hallar el número que falta: 81
c) 119
Resolución
11 + 5= 4
x + 5=
b) 121 e) 110
2
3
5
6
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Qué número falta? 6
04. Calcula “x” :
5 4
5 6
9 13
a) 4 d) 9
6
3
5 8
b) 5 e) 6
16
a) 29 d) 16
b) 20 e) 10
23 ?
20
3 14 x
b) 33 e) 29
x
5 6
1
a) 10 d) 13
7
c) 24
7
12 9
8
218
b) 27 e) 15
c) 80
5
a) 28 d) 34
x
05. Halla “x”
03. Halla “x + y” :
4
7
8
c) 7
14 45 18
10
11
4
02. ¿Qué número falta? a) 12 d) 60
17
2
?
8 9
13 12 21
20
4 8
8
5
b)12 e) 9
7
6
2
c) 11
06. Qué número falta:
y
c) 36
17
6
16
28
1
41
37
x
29
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 14
b) 10 e) 16
c) 13
12. Halla el número que falta: 8
07. Calcular: “x +y” 5
2 3
6 6
20 3 5
a) 20 d) 23
x
4
a) 8 d) 6
y 19
b) 25 e) 24
4
c) 28
a) 54 d) 73
55 91 y
100 169 x
b) 46 e) 55
30
21
70 40
80 m
b) 5 e) 3
8
9
x 5
4
b) 16 e) 36
a) 5 d) 4
7
c) 25
8
6
7
4
13 12
18
4
x
9
a) 6 d) 8
c) 6
5
7
x
2 8
9
b) 5 e) 4
3
9
c) 7
16. Halla “x”: 3
20
9
8
10
7
?
Academia GAUUS
c) 21
2
1
14
b) 9 e) 6
91
15. Halla “x”:
16
5 8
x 10
b) 7 e) 13
3
b) 4 e) 8
12 26
3
a) 4 d) 2
1
11. ¿Qué número falta?:
6
40 14
10. Calcula “x”:
a) 3 d) 7
c) 4
14. Halla el número que falta:
c) 65
8
c) 40
13
15
3
9
24 1/3
23 14
13
36
a) 9 d) 49
20 1/2
b) 12 e) 10
a) 8 d) 2
09. Halla “x”
9
10
13. Halla el número que falta:
08. Hallar: “x – y” 10 13 11
2
5
4
m
2
6
c) 7
4
1
2
a) 4 d) 5
-1
x
1
7
5
8
3
1
6
6
10
2
b) 3 e) 6
c) 2
219
JOHN MAMANI M. 17. Halla “x”: 2
a) 7 d) 8
3
6
7
2
7
35
a) 5 d) 6
1
8
3
c) 3
2
5
8
3
3
a) 2 d) 0
x 5
2
b) 1 e) 4
2
3
a) 7 d) 81
b) 19 e) 21
x
10 8 7
8
5
9
a) 216 d) 319
220
18 27
−3
x 1
4 3
a) 36 d) 60
?
?
b) 54 e) 69
2 10
3
c) 63
25. ¿Qué número falta?
c) 181
4
45
25
35
3
2 6
c) 518
15
21. Hallar el número que falta: 3
3
b) 231 e) 126
10
b) 256 e) 215
3
5
81
c) 596
216
5
21
24. ¿Qué número falta?
20. Escriba el número que falte: 2
2
a) 189 d) 319
5 9 7
b) 294 e) 7
169
19
19
x
a) 35 d) 612
y
5
4
45
150
14
c) 30
12
2
6
165
9
105
19. Escriba el número que falte:
5
7
4
23. Hallar '' x + y '' en:
c) 3
12 5 16
3
x
8
4
1 1
9
49 15
7 4
4
22
18. Qué término falta en: 3
c) 6
22. Escriba el número que falte:
x
b) 4 e) 7
b) 5 e) 11
a) 6 d) 14
4
8
7
13
6
6
16
8
4 b) 10 e) 16
5
4
6
9
?
c) 12
5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS a) 22 d) 25
PROBLEMA 01 ¿Qué número falta? 2 7 1 9 29 2
a) 10 d) 40
8 b) 20 e) 25
?
b) 23 e) 24
c) 21
Resolución 3
9
c) 30
Resolución De las premisas extraemos que: 3× 2 + 1 = 7 3× 9 + 2 = 29 Luego: 3 × 8 + 6 ⇒ ? = 30
8 + 2 = 2+ 2 = 4 8 2 4 → 3 27 3 6 → 27 + 3 = 3 + 3 = 6 64 4 2 x → 3 64 + 4 = 4 + 4 = 2 x Luego: 2x = 8 ⇒ x = 4 Nos piden: 2
= E x +5 2
E= 4 + 5=
21
PROBLEMA 02
PROBLEMA 04
Hallar: x
Hallar el valor de “y” en la siguiente ecuación “ y − 3x = 4 ”, sabiendo que “x” está en la siguiente distribución:
a) 120 d) 140
263 110 730 131 45 405 280 ? 529 b) 220 c) 160 e) 100
Resolución De las dos primeras filas se cumple que: (2 + 3 + 6) × (7 + 3 + 0) = 110 (1 + 3 + 1) × (4 + 0 + 5) = 45 Luego: (2 + 8 + 0) × (5 + 2 + 9) = 160
PROBLEMA 03 2
Hallar el valor de = E x + 5 en la siguiente distribución: 8 2 4 27 3 6 64 4 2x Academia GAUUS
a) 8 d) 10
1 2 3 5 6 7 9 5 x 11 b) 12 e) 16
c) 14
Resolución Hallando “x”: 1 2 3 → 5 6 7 → 9 5 x 11 → Luego: 5 x= 10 ⇒ x=
(1+3) ÷ 2=2 (5+7) ÷ 2 = 6 (9 + 11) ÷ 2 = 10 2
Resolviendo la ecuación y remplazando: y − 3x = 4 y= 4 + 3 x y= 4 + 3(2) y = 10
221
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05
PROBLEMA 06
Determinar el valor de 6x + 1 , en: 11 18 14 7 10 6 13 x 14 a) 9 b) 11 c) 10 d) 12 e) 8
En la siguiente distribución numérica: 3 1 10 4 4 25 −8 −6 x 20 ( x + 1)
Resolución
a)
Operamos los extremos de cada fila, para obtener
2da. fila:
11 +
Se pide
b) − 5 4
14 = 18 2
e)
4 5
c)
5 4
4 5
Resolución De las premisas:
6 = 10 2
De la fila 1 :
14 = 20 2
De la fila 2 : De la fila 3 :
7+
3era. fila: 13 +
1 x
3 4
d) −
el término central: 1ra. fila:
Hallar: 1 +
3 1 11 + 10 + = 4 4 25 + (− 8) + (− 6) =11
x + 20 + x + 1 = 11 ⇒
6x + 1 : 6(20) += 1
121 = 11
x = −5
Hallemos lo que pide: 1 1 4 ∴ 1 + =1 − = 5 5 x
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar “x”:
03. Hallar “N” 2 7 6 9 5 1 4 3 x
a) 8 d) 9
b) 6 e) 11
02. ¿Qué número falta? 0 1 1 2 0 2 a) 7 b) 10 d) 9 e) 11
222
c) 5
a) 15 d) 18
25 10 25 16 8 N 9 2 10 b) 20 c) 25 e) 21
04. Completar: 2 3 6
3 4 ? c) 12
a) 17 d) 12
12 8 5 4 9 9 6 3 13 ? 2 15 b) 9 c) 5 e) 8
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 05. Hallar “x”
a) 43 d) 18
32 41 10 54 62 32 25 83 x b) 14 c) 35 e) 34
11. ¿Qué numero falta? 7 9 4 15 13 8 a) 15 b) 13 d) 12 e) 10
5 12 11
11 7
c) 9
06. ¿Qué número falta? 5 8 12 7 12 18 13 4 x a) 12 b) 15 c) 16 d) 19 e) 11
12. ¿Qué números faltan? 3 24 5 120 6 x a) 150 y 8 b) 90 y 7 d) 84 y 12 e) 72 y 9
07. ¿Qué número falta? 6 8 36 64 24 48 a) 28 b) 42 d) 43 e) 41
13. Calcular el valor de “x” en: 16 3 12 36 5 30 100 4 x a) 40 b) 30 c) 38 d) 28 e) 6
7 49 ? c) 35
08. Completar el número faltante: 19 22 25 10 7 ? 6 14 20 3 1 4 a) 1 b) 16 c) 18 d) 2 e) 3 09. ¿Qué número falta? 2 10 3 17 3 ? a) 13 b) 14 d) 16 e) 17 10. Hallar el valor de “x” 12 6 16 12 20 x a) 12 b) 16 d) 20 e) 8 Academia GAUUS
14. ¿Qué número falta? 3 1 10 a) 39 b) 30 d) 28 e) 6
5 4 29
6 3 y c) 210 y 3
6 3 ? c) 38
c) 15
15. Calcula el valor de “x” en: 2 3 4 10 8 2 3 19 7 1 1 x a) 10 b) 14 c) 15 d) 8 e) 20
2 3 4 c) 18
16. Calcula el valor de “x” en: 6 5 4 x 25 64 3 2 3 a) 200 b) 65 c) 216 d) 115 e) 233
4 5 4
223
JOHN MAMANI M. 17. ¿Qué número falta? 13 25 42 67 35 21 a) 13 b) 3 d) 18 e) 11
a) 9 d) 6
? 19 11 c) 15
18. Determina el número que distribución: 8 26 9 26 ? 32 a) 11 b) 66 d) 9 e) 13
falta en la siguiente
19. ¿Qué número distribución?
en
a) 98 d) 108
falta
6 8 11 4 9 12 b) 102 e) 112
20. ¿Qué número falta? 9 4 7 3 9 2 a) 30 b) 35 d) 28 e) 25 21. Determina el número distribución: 18 47 56 a) 3 b) 5 d) 2 e) 7
c) 10 la
siguiente
50 46 ? c) 110
20 16 x
c) 18
que falta en la siguiente 23 12 35
22. ¿Qué número falta? 36 9 42 17 18 29
224
5 4 7
4 8 x c) 8
21 31 x
b) 35 e) 27
23. ¿Qué número falta? 7 6 12 2 15 6 a) 97 b) 84 d) 101 e) 107 24. ¿Qué número falta? 3 2 5 3 6 2 a) 22 b) 13 d) 4 e) 17
c) 18
36 22 x c) 76
10 17 ?
c) 23
25. Calcular el valor de “x” en: 9 5 2 6 7 x 1 4 11 a) 3 b) 5 c) 8 d) 7 e) 6 26. Determina el valor de “x” en: 8 2 40 7 5 48 x 2 80 a) 20 b) 24 c) 18 d) 27 e) 16 27. Determina el valor de “x” en: 8 7 9 6 10 12 8 14 x 8 13 4 a) 15 b) 12 c) 8 d) 7 e) 9 28. Calcula el valor de “x” en: 1 12 6 18 9 x 19 21 19 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 14
b) 18 e) 16
c) 13
a) 59 d) 54
b) 60 e) 50
c) 45
29. Calcula el valor de “x” en: 3 9 3 7 7 1 7 1 x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
35. Calcular el valor de “x” en: 4 8 6 5 5 12 3 10 9 a) 2 b) 1 d) 4 e) 5
2 1 x c) 3
30. Calcula el valor de “x” en: 5 5 24 15 3 40 12 4 x a) 45 b) 38 c) 42 d) 40 e) 48
36. Calcular el valor de “x” en: 27 3 9 8 2 2 32 2 4 a) 3 b) 2 d) 4 e) 5
2 4 x c) 9
31. Calcula el valor de “x” en: 9 13 7 6 6 6 8 4 x a) 9 b) 15 c) 18 d) 10 e) 12
37. Calcula el valor de “x” en: 9 3 6 13 10 2 9 2 x a) 10 b) 11 d) 12 e) 16
8 1 3 c) 13
32. Calcular el valor de “x” en: 18 25 4 16 20 3 6 15 x a) 10 b) 3 c) 7 d) 4 e) 5
38. Calcular el valor de “a” en: 3 5 3 6 4 2 3 2 79 23 25 x a) 30 b) 32 c) 36 d) 34 e) 38
33. Calcular el valor de “x” en: 4 5 9 9 9 36 16 x 25 a) 1 b) 2 c) 9 d) 12 e) 15
39. Calcular el valor de “ x + y ” en: 2 1 1 3 3 2 2 11 5 1 0 x a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 8
34. Calcular el valor de “x” en: 6 9 5 8 7 9 84 36 x
40. Calcula “x” en:
Academia GAUUS
5 2 3 2 0 0 4 2 2
8 6 x
225
JOHN MAMANI M. a) 3 d) 9
b) 6 e) 0
c) 8
41. Calcular el valor de “x” en: 10 4 7 9 6 6 8 3 x a) 8 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11 42. Calcular el número que falta. 3 9 11 8 13 20 2 7 ? a) 8 b) 21 c) 19 d) 16 e) 10 43. Calcula el valor de “x”, en: 9 5 2 6 7 x 1 4 11 a) 3 b) 9 c) 5 d) 4 e) 8 44. Encuentra e número que falta. 100 36 25 8 4 0 12 8 x a) 12 b) 20 c) 16 d) 14 e) 10 45. ¿Qué número falta? 8 3 25 9 6 15 10 8 x a) 12 b) 0 c) 19 d) 10 e) 23 46. Calcula en número que falta en: 2 6 44 5 15 350 8 x 516
226
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
47. ¿Qué número falta? 3 2 4 8 3 1 ? 12 2 a) 8 b) 5 c) 6 d) 4 e) 1 48. ¿Qué número falta? 3 7 10 9 4 13 7 ? 9 a) 2 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7 49. Calcula el valor de “x”, en: 8 1 3 2 4 4 17 5 x a) 15 b) 19 c) 9 d) 13 e) 7 50. ¿Qué número falta? 9 3 3 17 5 6 14 8 ? a) 5 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 51. Hallar “x”
a) 12 d) 14
8 7 9 10 12 8 x 8 13 b) 20 e) 10
6 14 4 c) 9
52. Hallar “x”
a) 6 d) 9
9 8 4 6 6 9 x 10 4 b) 8 c) 4 e) 7
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. Halle el número que falta 268 (422) 576 146 ( ? ) 854 a) 500 d) 414
UNAP–SOC–2014
b) 708 e) 844
c) 1000
a) 20 d) 17
02. ¿Qué número falta? 127 (225) 32 42 (144) 231 611 ( ) 123 a) 169 d) 625
b) 324 e) 196
c) 256
UNAP–2004
b) 20 e) 32
UNAP–BIO–2004/2013/2014
c) 24
a) 7 d) 8
b) 5 e) 3
UNAP–BIO–2012
c) 10
05. Determine el número que faltan en: 9 (45) 81 8 (36) 64 10 ( x ) y Calcule el valor de: 2 x − y a) 15 d) 10
b) 20 e) 5
Academia GAUUS
UNAP–BIO–2012
c) 25
c) 16
b) 11 e) 7
CEPREUNA–BIO–2012
c) 10
08. Qué número falta 16 (7 ) 3 1 (8) 7 25 ( ) 2 UNAP–BIO–2015
a) 4 d) 5
04. ¿Qué número falta? 18 25 4 16 20 3 6 15 ?
UNAP–ING–2012
b) 19 e) 18
07. ¿Qué número falta? 4 (20) 9 8 (14) 5 10 ( ) 3 a) 17 d) 12
03. ¿Qué número falta? 23 (15) 21 15 (18) 12 13 ( ) 24 a) 21 d) 27
06. Halle el número que falta 91 (13) 78 91 (19) 270 111 ( ) 289
b) 6 e) 7
c) 8
09. Halle el número que falta en la siguiente analogía numérica. 8 ( 69 ) 5 1 ( 25) 24 3 ( ? ) 11 a) 20 d) 26
b) 22 e) 28
UNAP–EXT–BIO–2015
c) 23
10. Hallar el valor de “x” 1 0 2 9 2 1 3 36 3 2 4 x a) 73 d) 84
b) 82 e) 79
UNAP–EXT–2010
c) 81
227
JOHN MAMANI M. 11. Escriba la letra que falta en la siguiente analogía E H K H L O L P ? Sin considerar las letras CH y LL a) Q d) U
UNAP–ING–2014
b) X e) O
c) R
12. ¿Qué letra debe ir interrogación? B C C a) D d) J
en lugar del signo de (E) E (I) F ( ?) D
16. Halle el valor de “ x + y + z ” de las siguientes:
9 3 27 4
UNAP–EXT–2013
c) BERA
6
48
UNAP–EXT–2011
b) 30 e) 26
4
17
3
7
10
2
z
c) 3141
8 x
20 14
b) 69 e) 67
2 1
5 10 13 26 y 29
UNAP–EXT–BIO–2015
c) 70
10 55 100 13 91 169 11 y x a) 54 d) 55
7 14
c) 120
19. Halle x − y , en la distribución siguiente:
c) 20
5 10
UNAP–EXT–2014
b) 110 e) 125
18. Halle x + y en la siguiente distribución.
15. Halle el valor de " x + y " , en:
y x
8 x
a) 100 d) 135
a) 64 d) 71
?
12
1
10 3 7, 5 30 10 30 y 5
11 20
2 9
2
9
UNAP–BIO–2012
b) 3171 e) 3131
9 17
16
27 256
y
4 9 17 9
4
8
4
1 21
a) 3161 d) 3151
14. Indique el número faltante
8 4
x 7
c) Q
b) DIGA e) BODA
c) 36
17. Halle el valor de x × y en:
13. Complete la expresión que falta: 25 ( BECA) 31 49 (........) 35
a) 24 d) 16
b) 33 e) 29
CEPREUNA–ING–2012
b) C e) F
a) DICE d) DICA
a) 28 d) 34
b) 65 e) 73
CEPREUNA–BIO–2001/2013
c) 46
UNAP–EXT–ING–2015
228
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 20. Completar el número que falta
a) 6 d) 8
17 16 2 72 70 10 651 ? 18 a) 671 d) 661
c) 648
8
15 30 90 20 80 400 25 150 ?
10
CEPREUNA–2010
4
2
8
10
3 2
3
8
UNAP–EXT–2013
9
3 2
8
a) 4 d) 6
10
b) 5 e) 7
3
4
5
4
10
2
17 23
30
c) 3
UANCV–2013
28. ¿Qué número falta?
4 12
c) 14
5
c) 150
3
4
9
4
7 4 8
3
8
6
7
27. ¿Qué número falta?
5
9
UNAP–SOC–2012
b) 16 e) 13
c) 10
3
3
CEPREUNA–2011
24. Halle el número que falta
6
3
c) 16
3
5
a) 12 d) 15
1 2 4 7 7 8 12 21 21 22 30 57 57 58 74 ?
5
1
8
4
23. Dada la serie halle el número que falta
2
2
3
b) 13 e) 12
c) 1080
b) 100 e) 200
5
2
26. ¿Qué número falta?
8 14 18 10 14 14 12 10 12 8 14 16 16 14 6 x
a) 50 d) 155
2
a) 14 d) 15
UNAP–ING–2012
b) 18 e) 24
6
1
2
22. En el siguiente arreglo, el valor de “x” es
a) 22 d) 14
18
4
21. Del siguiente cuadro, determine el número faltante.
b) 1020 e) 1040
c) 16
25. Halle el número que falta UNAP–EXT–2004
b) 649 e) 653
a) 1050 d) 1010
b) 4 e) 12
a) 6 d) 4
b) 5 e) 10
8
8 8 10
x
12
CEPREUNA–2006
c) 3
12
UNAP–BIO–2012/2013
Academia GAUUS
229
JOHN MAMANI M. 29. Halle “x” en:
34. Halle “x”
2
3
3
5
3
1 4
3
6 6
b) 9 e) 36
c) 20
30. Halle el valor de “x” en la siguiente analogía
5
8
13
10
7
5
x
3 3
a) 6 d) 7
6
9
a) 15 d) 20
2
c) 8
2
8
a) 27 d) –5
4
5
x
c) 32
32. Calcule el valor de " x + y " , en:
6
20
3 5
a) 9 d) 25
4 1
y
6
a) 65 d) 45
230
5
9
4
c) 20
1
8
10
9 3
7
b) 18 e) 57
30 6
1
4 n 2 1 UNAP–SOC–2015
c) 10
3 5 2
9 x 2
5
1
13
b) 27 e) 25
6
5
c) 36
x
4 14 7
8
5
2
9 10
UNAP–EXT–2010
b) 22 e) 18
c) 21
38. En los siguientes triángulos, hay una sucesión numérica; donde el valor de y − x es: 12
81
9 2
UNAP–2006
c) 7
3 12 5
11 8 2
27
c) 17
37. ¿Qué número falta?
33. Halle “x” 4
7 3
4 27 8
a) 20 d) 19
x
UNAP–EXT–ING–2015
b) 10 e) 30
5
13
b) 9 e) 7
4
5 3
8
a) 5 d) 15
6
UNAP–EXT–2003
b) 8 e) 64
6
48 2
a) 8 d) 6
2
−1
2
2
x
36. Hallar el valor de “x”
3 4 1
10
35. Halle “n”
31. Hallar “x” 3
2
CEPREUNA–2001/2008/2010
b) 10 e) 35
3
CEPREUNA–2011
b) 10 e) 9
2
8
4
UNAP–SOC–2013
a) 12 d) 16
3 2
15
x
50
5 4
a) 21 d) 29
6 49
b) 30 e) 26
5
13 5 x y UNAP–EXT–2012
c) 36
UNAP–2004
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 39. ¿Qué número distribución? 1 23
8
falta
la
siguiente 2
15 1
2
3
a) 4 d) 1
en
8
c) 8
12
x
11
78
60
64
y
c) 36
?
4
UNAP–SOC–2012
b) K e) V
c) L
6 2
3
a) M d) CH
K
0
7 5 3 4 9
12 15 8 7
3 2
1 2
2 4
b) 3 e) 10
3
4
2
?
24
63
x
19
6
9
y
1
a) 24 d) 33
15
8
UNAP–ING–2007/2013
Academia GAUUS
5
3
3
2
1
CEPREUNA–BIO–2012
b) 90 e) 31
c) 20
47. Halle “x” en:
8
9 7
7 75
x
c) V
6 8
5
1
25
9 5
UNAP–2009
c) 7
46. Halle el valor de “x” en al siguiente distribución
43. Halle: x + y
3
9
c) 46
21
UNAP–EXT–2007
b) N e) O
y
8 8
4
3 4
21
UNAP–ING–2012
4
5
H
6 7
8 2 6 4
42. ¿Qué letra falta?
1
15
b) 28 e) 63
a) 5 d) 4
6
Q Ñ 4 2 3 5 6 (Sin considerar las letras CH, LL)
x
35
45. En la siguiente secuencia ¿Qué número falta?
UNAP–EXT–SOC–2015
41. ¿Qué letra del alfabeto falta? 7 8
a) W d) M
45
a) 38 d) 54
13
b) 28 e) 52
c) 55
15
9
3
40. Halle el valor de " x + y " , si:
a) 46 d) 49
3
2
UNAP–EXT–SOC–2015
b) 7 e) 2
b) 52 e) 53
44. Halle ( x − y) ; si:
?
3
a) 56 d) 54
a) 14 d) 12
18
7
9
b) 8 e) 6
13 10
4
x
UNAP–SOC–2012
c) 10
231
JOHN MAMANI M. 48. Considerando las siguientes determine el valor de “x” x
2
5 6 9
3
7
9
b) 6 e) 9
4
c) 5
7
6
2
3
5 7
7
4
?
1
3
UNAP–BIO–2012/2015
a) 4 d) 1
8 2 4
1
x
3 2
15
5
3
2
b) 5 e) 3
c) 2
53. ¿Qué número falta?
3
7
1
c) 12
9
7
49. Halle “x”
3
b) 6 e) 15
6
6 UNAP–2011
a) 7 d) 8
a) 18 d) 9
52. El número que falta es:
8
12
18
figuras,
33
39
4
5
42
48
12
15
UNAP–EXT–2011/2014
a) 5 d) 1
b) 3 e) 4
c) 2
UNAP–BIO–2013
a) 11 d) 8
b) 10 e) 7
c) 9
50. ¿Qué número falta? 20
9
8
10
7
?
54. ¿Qué número falta?
16
17 6
5
8
2
6
6
2
41
28 15
?
UNAP–BIO–2011
a) 5 d) 4
b) 9 e) 6
3 3 2
3 2
4
4
17
5
3
4
2 x
2
UNAP–SOC–2012/2013
232
b) 18 e) 10
c) 12
55. Hallar el número que falta
51. Halle “x”
5
UNAP–ING–2015
a) 14 d) 13
c) 7
29
37
17
6
16
28
15
41
37
29
CEPREUNA–2004
a) 12 d) 18
b) 21 e) 9
c) 15
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 56. Halle el número que falta 24
6 1
a) 2 d) 4
2
2
4
6
b) 150 e) 120
c) 90
3 4
5 3
9 6
3
6
9
57. ¿Qué número falta? 2
3
1
5
3
7
CEPREUNA–2009
a) 5 d) 34
12 6 x
UNAP–EXT–2013/ UNAP–SOC–2015
a) 3 d) 12
24
7
c) 5
61. Halle “x”
20 CEPREUNA–2009
a) 50 d) 80
b) 1 e) 3
b) 46 e) 25
c) 52
32
x
12 16
20 24
24 48
c) 9
62. Halle el número que falta en la siguiente analogía gráfica.
58. En la relación gráfica, halle “x” 40
b) 6 e) 15
5
6
7
4
15
3
2
2
9
8
9
CEPREUNA–2007 CEPREUNA–ING–2013
a) 80 d) 84
b) 72 e) 64
c) 108
a) 5 d) 7
b) 1 e) 9
63. Se cumple que:
59. Hallar el número que falta:
es a 8
4
5
3
6
8
2
como
es a:
5 10 UNAP–ING–2015
x
8
20
c) 3
a)
b)
d)
e)
c)
UNAP–EXT–2002
a) 12 d) 8
b) 20 e) 14
c) 10
60. Hallar “x” 1
3
2
x
4
4
6
4
8
2
2
1
UNAP–EXT–2009
Academia GAUUS
233
JOHN MAMANI M.
Series CAPÍTULO X SERIES
Resolución
Es la adición indicada de los términos de una sucesión dada.
PRINCIPALES TIPOS DE SERIES SERIE ARITMÉTICA
Donde: = r 7= ; t 1 10 = ; n 15= ; tn ?
t +t S= 1 n 2
t n = t 1 + (n − 1)r
n
t 15 = 10 + (15 − 1)7 t 15 = 108
S=t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + + t n +r +r +r Se cumple: t n= rn + t 0
t n − t1
t −t n= n 0 r
S=
(10 + 108)15 2 S = 885
S=
t n = t 1 + (n − 1)r = n
Luego:
r
+1
(t 1 + t n )n 2
S = tc × n
r = t 2 − t 1 = t 3 − t 2 = ... Donde: t 1 : Primer término t n : Último término n : Número de términos t 0 : Término anterior al primero
Ejemplo 02 Hallar el valor de la serie S =7 + 11 + 15 + 19 + + 123
Resolución Donde: = r 4= ; t 1 7= ; t n 123 = ;n ?
t +t S = 1 n n 2
t n = t 1 + (n − 1)r 123 =7 + (n − 1)4 n = 30
t c : Término central (existe cuando “n” es impar)
S : Suma de la serie r : Razón de la serie Ejemplo 01 Hallar el valor de la siguiente serie. S = 10 + 17 + 24 + 15 términos
234
Luego: (7 + 123)30 2 S = 1950
S=
Ejemplo 03 Hallar la suma de una serie aritmética de 31 términos, donde su término central es 50. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Ejemplo 04 Hallar el valor de “S” S= 2 + 7 + 16 + 29 +
Resolución Se sabe que: S = tc × n
20 términos
= S 50 × 31 S = 1550 SERIE ARITMÉTICA CUADRÁTICA
Resolución
S =
2 + 7 + 16 + 29 + … + t 20
Regla práctica: En toda sucesión cuadrática el término enésimo es de la forma: 2
t n = An + Bn + C Donde A, B y C son valores constantes que se hallan de la siguiente manera: (Método de diferencias)
C = t0 ;
t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; … ; t n
A+B = + m 0 + m1 + m 2 + m 3 2A = + r
+r
+r
→ Razón única
5
9 4
Luego:
4
20
20
20 20 × 19 20 × 19 × 18 S= 2 + 5 + 4 1 1× 2 1× 2 × 3 S = 40 + 5 × 10 × 19 + 4 × 20 × 19 × 3 S = 5550
Ejemplo 05 Hallar el valor de: S = 8 + 15 + 24 + 35 + + 255
Resolución A= C t0 + B m0 =
La suma lo calcularemos utilizando el método combinatorio y el notable. = S A
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) +B + Cn 6 2 n
n
n −1
n −1
+ m1 C 1
A+B
5
7
2A
2
9 2
11
tn
2
Donde: A = 1 ; B == 4 ; C = 3 2
t n = An + Bn + C n −1
+ rC 2
Donde: "k" factores descendentes n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n Ck = 1× 2 × 3 ×× k
Academia GAUUS
3 + 8 + 15 + 24 + 35 + … + 255
C
Calculemos “n”:
n
S =t 1C1 + m1C 2 + rC 3 t n =t 1C 0
20
S = 2C1 + 5C 2 + 4C 3
Si se sabe que: 2A r ⇒ =
13
2
255 = n + 4n + 3 n = 14 Luego 14
14
14
S = 8C1 + 7C 2 + 2C 3 14 14 × 13 14 × 13 × 12 S= 8 + 5 + 4 1 1 2 × 1× 2 × 3 S = 1477
235
JOHN MAMANI M. SERIE GEOMÉTRICA
Donde: S : Suma de la serie t 1 : Primer término
S=t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + + t n ×q ×q ×q
q : Razón (− 1 < q < 1)
Se cumple: t n= t 1 × q
Ejemplo 07
n
n −1
S=
t 1 (q − 1)
Hallar: S = 32 + 8 + 2 +
q−1
t2 t3 t4 = = = t1 t 2 t 3
= q
Resolución S = 32 + 8 + 2 +
Donde: S : Suma de la serie q : Razón (q ≠ 0; q ≠ 1)
×
t 1 : Primer término
×
1 4
×
1 4
Ejemplo 06 Hallar el valor de la siguiente serie S = 3 + 9 + 27 + 81 + + 6561
Resolución + 3
3
32 1 1− 4 32 S= 3 4 128 S= 3 S=
n : Número de términos
S =3 + 3
1 4
1 + ∞ 2
Donde:
t n : Último término
2
1 + 2
+ 3
4
+ + 3
8
×3 ×3 ×3 Se observa que son 8 términos, en donde se aplicara la regla práctica, tenemos
SERIES NOTABLES 1. Suma de los “n” primeros enteros positivos.
8
3(3 − 1) 3−1 3(6560) S= 2 S = 9840 S=
n(n + 1) 1+ 2 + 3+ 4 + 5 ++ n = 2
2. Suma de los “n” primeros números pares positivos.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + + 2n= n(n + 1)
SUMA LÍMITE S=t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + ∞
3. Suma de los “n” primeros números impares positivos.
×q ×q ×q Se cumple: S=
236
t1
n+1 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + n = 2
2
1− q
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 4. Suma de cuadrados de los “n” primeros enteros positivos. n(n + 1)(2n + 1) 2 2 2 2 1 + 2 + 3 ++ n = 6
5. Suma de los cubos de los “n” primeros enteros positivos. n(n + 1) 3 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + 4 ++ n = 2
2
6. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números pares naturales. n(n + 1)(n + 2) 2 2 2 2 2 + 4 + 6 ++ n = 6
7. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números impares naturales.
3
3
2 + 4 + 6 + + (2n) = 2 n ( n + 1 )
2
9. Suma de los cubos de los “n” primeros números impares naturales. 3
3
3
3
3
2
2
1 + 3 + 5 + 7 + + (2n −= 1) n (2n − 1)
10.Suma de los “n” primeros números naturales a la cuarta potencia. 2
n(n + 1)(2n + 1)(3n + 3n − 1) 4 4 4 4 1 + 2 + 3 ++ n = 30
Academia GAUUS
12.Suma de los “n” primeros productos binarios. n(n + 1)(n + 2) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + + n(n + 1) = 3
13.Suma de los “n” primeros productos ternarios. S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + + n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) S= 4
14.Suma de las inversas de los productos binarios. 1 1 1 1 + + ++ a1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3 a 3 ⋅ a 4 a n −1 ⋅ a n +r
8. Suma de los cubos de los “n” primeros números pares naturales. 3
n
k(k − 1) 1 2 3 4 n k + k + k + k ++ k = k −1
= S
n(n + 1)(n + 2) 2 2 2 2 1 + 3 + 5 ++ n = 6
3
11.Suma de potencias.
+r
+r
+r
1 1 1 = − S r a 1 a n
15.Suma de las inversas de los productos de números consecutivos de 2 en 2. 1 1 1 1 n + + ++ = 1× 2 2 × 3 3 × 4 n(n + 1) n + 1
16.Suma de las inversas de los productos de números consecutivos de 3 en 3. 1 1 1 1 + + ++ 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 n(n + 1)(n + 2) n(n + 3) S= 4(n + 1)(n + 2)
S=
237
JOHN MAMANI M. SERIES NOTABLES I PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Se tiene S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + + 49
Calcular: 2
Hallar S1 + S 2 a) 1200 d) 1250
b) 1710 e) 1270
c) 1275
Resolución Primero, aplicando la propiedad 3. S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + + 49 49 + 1 S1 = 2 S1 = 625
2
2
2
2
S = 3 + 6 + 9 + 12 + + 90 a) 85195 b) 85095 c) 85295 d) 85395 e) 85495
S 2 = 2 + 4 + 6 + 8 + + 50
Resolución Primero, aplicando la propiedad 4. 2
2
2
2
S = 3 + 6 + 9 + 12 + + 90
2
2 2 2 2 2 2 = S 3 1 + 2 + 3 + 4 + + 30
30(30 + 1)(2 ⋅ 30 + 1) S = 9 6
2
Luego, aplicando la propiedad 2. S 2 = 2 + 4 + 6 + 8 + + 50 S 2 = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2(25) = S 2 25(25 + 1) S 2 = 650
Por lo tanto S1 + S 2 = 625 + 650 = 1275
30 × 31 × 61 S = 9 6 S = 85095
PROBLEMA 04
Hallar el valor de “A” si: A = 3 + 24 + 81 + 192 + + 5184 a) 14754 b) 19456 c) 19172 d) 18252 e) 18145
Resolución PROBLEMA 02
Hallar el valor de " E " en la siguiente expresión: E = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 25 × 26 a) 5850 b) 5860 c) 854 d) 5870 e) 5840
Resolución Aplicando la propiedad 12. 25 × 26 × 27 = 5850 3
238
Primero, aplicando la propiedad 5. A = 3 + 24 + 81 + 192 + + 5184 A = 3(1 + 8 + 27 + 64 + + 1728) 3 3 3 3 3 A = 3 1 + 2 + 3 + 4 + + 12
12(12 + 1) A = 3 2 12 × 13 A = 3 2 A = 18252
2
2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05
S = 2 + 8 + 18 + + 200
Calcular el valor de S: S = 2 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + + 20 + 20 + + 20
S= 2(1 + 4 + 9 + + 100)
10 sumandos
a) 700 d) 750
b) 710 e) 770
Primero, aplicando la propiedad 4. 10 sumandos S = 2+ 4+4+6 6 6 20 20 + + + + + + + 20 18
2
2
2
n(n + 1)(2n + 1) 6
c) 730
Resolución
8
2
+ 2 + 3 + + 10 ) S= 2(1
10(11)(21) S = 2 6 S = 770
200
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle A + B + C A = 1 + 3 + 5 + 7 + + 29 B = 2 + 4 + 6 + 8 + + 50 C = 1 + 4 + 9 + 16 + + 100 a) 1225 d) 2112
b) 2376 e) 1260
c) 1222
02. Calcule A + B A = 1 + 8 + 27 + + 1000 B = 2 + 4 + 6 + 8 + + 100 a) 5575 d) 5075
b) 5467 e) 5672
c) 4560
03. Calcula : S = 1 + 2 + 3 + + 86 a) 3741 d) 3962
b) 3681 e) 3572
05. Calcula:
c) 1148
06. Calcula: S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + + 18 × 19 × 20 a) 35410 d) 36219
b) 35910 e) 35915
c) 34210
07. Hallar la suma de cifras del resultado: S = 1 × 2 + 2× + 3 × 4 + 3 15 términos
a) 11 d) 8
b) 10 e) 12
c) 9
08. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + ( 30 ter min os ) a) 950 d) 930
S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 47
b) 576 e) 100
b) 1134 e) 1107
c) 8631
04. Calcular:
a) 325 d) 212
a) 1156 d) 1159
c) 880
09. Calcula: S = 1 + 4 + 9 + + 400
c) 422
S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 67
b) 850 e) 980
a) 2660 d) 2970
b) 2690 e) 2390
c) 2870
10. Hallar: S = 1 + 4 + 9 + + 576
Academia GAUUS
239
JOHN MAMANI M. a) 2890 d) 5340
b) 3690 e) 4900
c) 4209
11. Calcula:
b) 6081 e) 8281
c) 8000
12. Calcula:
b) 20400 e) 44100
c) 58200
13. Halla: 3
3
3
S = (1 + 12) + (2 + 12) + + (9 + 12)
a) 2312 d) 2416
b) 2415 e) 2815
c) 2133
14. Calcula: 2
2
2
S = (1 − 10) + (2 − 10) + + (12 − 10) a) 490 d) 610
b) 510 e) 598
R = 0,1 + 0, 2 + 0, 3 + + 2 b) 19 e) 22
c) 20
b) 193,6 e) 154,3
c) 191,2
240
b) 240,1 e) 120,2
b) 175,5 e) 164,4
c) 181,8
20. Calcular el valor de: J= 3,01 + 3,02 + 3,03 + + 7 a) 2002 d) 1200
b) 2004 e) 802
c) 2006
21. Determinar el valor de la siguiente suma: S= 2,01 + 4,04 + 6,09 + + 18, 81 a) 90,28 d) 92,28
a) 112 d) 142
b) 92,85 e) 93,23
c) 98,25
c) 193,6
b) 102.3 e) 124.6
c) 96.4
23. Calcula: 42
a) 10 d) 40
(1 + 3 + 5 + ... + 39)
b) 20 e) 24
0,1+ 0,2 + 0,3+ ..+ 2
c) 30
24. Calcula: M =
17. Calcular: S = 0,1 + 0, 3 + 0, 5 + + 9,7 a) 151, 1 d) 303,2
19. Calcular: S= 0, 01 + 0, 04 + 0, 09 + + 16
M =
16. Calcular: S = 0,1 + 0, 3 + 0, 5 + + 8,7 a) 147, 5 d) 183,4
c) 803
22. Calcular: S = 1, 8 + 1,9 + 2,0 + + 4, 8
c) 530
15. Calcular:
a) 18 d) 21
b) 802 e) 701
a) 136,2 d) 221,4
S = 1 + 8 + 27 + + 8000 a) 54120 d) 35200
E= 0,01 + 0,02 + 0,03 + + 4
a) 801 d) 401
S = 1 + 8 + 27 + + 2197 a) 8361 d) 4097
18. Hallar:
a) 10 d) 1
11
(1 + 3 + 5 + ... + 19)
b) 10 e) 1000
0,1+ 0,2 + 0,3+ ..+ 1
c) 100
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. Hallar “n” en: 42
32. Calcular:
(1 + 3 + 5 + (2n + 1))
a) 12 d) 23
0,1+ 0,2 + 0,3++ 2
b) 10 e) 18
a) 1125 d) 1100
c) 21
b) 0,123 e) 100
3
3
3
3
c) 28530
(1 + 2 + 3 + .... + n)
b) 2 e) 5
2
c) 3
b) 32065 e) 50055
c) 30345
3
a) 194736 d) 8910
b) 36191 e) 11197
35. Hallar “R” si: R = 4 + 16 + 36 + + 1024 + 1156 a) 7140 d) 7420
b) 7410 e) 9240
c) 6980
36. Calcular: 2
c) 1710
3
c) 39744
2
2
S = 1 + 3 + 5 + + 19
S = 20 + 21 + 22 + + 60
b) 1590 e) 1720
3
S= 12 + 13 + 14 + + 20
3
29. Halla:
a) 1330 d) 1520
b) 1880 e) 1842
2
c) 1830
37. Calcular: 2
2
2
2
2 + 4 + 6 + 8 + + 30
30. Calcular: S = 26 + 27 + 28 + + 62 b) 1628 e) 1821
c) 1632
31. Calcula: S = 17 + 19 + 21 + 23 + + 73 a) 1305 d) 1275
3
b) 98700 e) 27700
3
3
(1 + 2 + 3 + .... + n )
28. Calcular: S = 3 + 24 + 8 + 192 + + 8232
a) 1626 d) 1723
3
34. Calcular: S=
a) 1520 d) 1640
2
c) 1235
S = 3 + 4 + 5 + + 18
a) 35500 d) 29232
c) 80
27. Efectuar:
a) 33075 d) 33045
2
b) 1200 e) 1190
0,01 + 0,03 + 0,05 + ...... + 19,99
a) 1 d) 99
a) 1 d) 4
2
33. Calcular:
26. Calcular: E=
2
S = 3 + 4 + 5 + + 15
19 =
b) 1205 e) 1315
Academia GAUUS
c) 1425
a) 4690 d) 4760
b) 4890 e) 4980
2
c) 4960
38. Dados: S1 = 10 × 11 + 11 × 12 + 12 × 13 + ... + 20 × 21 S 2 = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 20 × 21 Hallar: S1 − S 2 a) 5310 d) 5610
b) 5410 e) 5710
c) 5510
241
JOHN MAMANI M. SERIES NOTABLES II PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Hallar “n”
Hallar “x” 1 + 8 + 27 + 64 + + x = 44100 a) 1800 b) 2000 c) 8000 d) 640 e) 2700
a) 40 d) 80
2 + 4 + 6 + ..... + n = 1 640 b) 90 c) 120 e) 100
Resolución
Resolución
Sea: n = 2x , entonces 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + n= n(n + 1) 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + 2x = 1 640
Hacemos que: x = n 3
3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 ++ n = 44100 2
n(n + 1) 2 = (210) 2
2(1 + 2 + 3 + ..... + x) = 1 640
x(x + 1) 2 = 1 640 2
n(n + 1) = 210 2
x(x + 1) = 1 640
n = 20
x = 40
3
3
⇒ x = n = 20 = 8000
⇒ n = 2x = 2(40) = 80
PROBLEMA 02
PROBLEMA 04
Hallar “x” 1 + 3 + 5 + 7 + + (2 x − 13) = 324 a) 17 b) 19 c) 21 d) 24 e) 32
Calcular: “x” en: 3 + 24 + 81 + 192 + + x = 13068 a) 3933 b) 4915 c) 2712 d) 891 e) 1257
Resolución
Resolución Por formula de impares. 1 + 3 + 5 + 7 + + (2 x − 13) = 324 2
(2 x − 13) + 1 = 324 2 2 x − 12 = 18 2 2 x − 12 = 36 2 x = 48 x = 24
242
x 3 1 + 8 + 27 + 64 + + = 13068 3
(
3
3
3
3
3 1 + 2 + 3 + 4 ++ n Donde: x = 3n
3
) =13068
3 2
n(n + 1) 3 = 13068 2 2
n(n + 1) = 4356 2 n(n + 1) = 4356 2 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. n(n + 1) = 66 2 n(n + 1) = 132 n(n + 1) = 11(12) n = 11 3
3
PROBLEMA 06 Si:
2 + 6 + 12 + 20 + 30 + + 2n = 440
Halle el valor de: E = a) 8 d) 5
Luego: = x 3n = 3(11) = 3993
n+5 12
b) 7 e) 3
c) 6
Resolución
PROBLEMA 05 La suma de los “n” primeros números pares es a00 . Hallar: a + n a) 20 b) 12 d) 22 e) 30
c) 18
Cambiemos de variable: = 2n x( x + 1) 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + + x( x + 1) = 440 Descomponemos, 1(2) + 2(3) + 3(4) + 4(5) + 5(6) + + x( x + 1) = 440 x ( x + 1)( x + 2) 3
Resolución 1º 2º 3º 4º nº
Luego
2 + 4 + 6 + 8 + 2n = a00
x( x + 1)( x + 2) = 440 3 Por tanteo: x = 10 Hallemos “n” = 2n x( x + 1) 2n = 10(11) n = 55 n + 5 55 + 5 Piden: = E = = 5 12 12
2(1 3 + + n) = a00 + 2 + n(n + 1) 2
n(n + 1) 2 = a00 2 n(n + 1) = a00 ↓ ↓ 24(25) = 600 Por tanteo: n = 24 y a = 6 Piden: a + n = 30
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halla “x” 1+ 2 + 3+ 4 + 5 ++ x = 105 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18 02. Calcule “x” 1+ 2 + 3+ 4 + 5 ++ x = 406 a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 24
Academia GAUUS
03. Un coronel tiene 210 soldados a su cargo y quiere colocarlos en forma triangular de modo que en la primera fila haya 1, en la segunda 2 en la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas se formaran? a) 20 b) 21 c) 22 d) 18 e) 24 04. Un coronel tiene 120 soldados a su cargo y quiere colocarlos en forma triangular de modo que la primera fila haya 1, en la
243
JOHN MAMANI M. segunda 2, en la tercera 3 y así sucesivamente. Determine el número de filas que formaran. a) 20 b) 14 c) 21 d) 19 e) 15 05. Con 105 bolas iguales se forma un triángulo equilátero ¿Cuántas bolas hay en cada lado? a) 14 b) 18 c) 21 d) 12 e) 11 06. Una persona empieza a formar un triángulo con 1035 bolas; las coloca de modo tal que en la primera fila se tiene una, en la segunda dos, en la tercera tres y, así sucesivamente ¿Cuántas bolas formarán la base de dicho triángulo? a) 85 b) 45 c) 55 d) 65 e) 75 07. Con 406 canicas, un niño formó un triángulo equilátero. ¿Cuántas bolas formaran la base? a) 18 b) 24 c) 28 d) 32 e) 40 08. Gladys tiene 435 bolas de billar para formar un triángulo mediante filas, de modo tal que la primera fila tenga uno, la segunda dos, la tercera tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá dicho triángulo?. a) 31 b) 28 c) 32 d) 29 e) 30 09. En una industria de productos para “Taco” produce 78 bolas por cada minuto, las cuales las acondicionan en forma de triángulos de modo que en al 1ra fila haya una bola, en la 2da dos, en la 3ra tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas se formarán? a) 26 b) 23 c) 12 d) 13 e) 263 10. Halla “x” a) 20 d) 23
244
1+ 3+ 5 + 7 ++ x = 100 b) 17 c) 21 e) 19
11. Hallar “x”, si: 1+ 3+ 5 + 7 ++ x = 15625 a) 125 b) 135 c) 145 d) 115 e) 249 12. Hallar el valor de: 3 x ; si: 1 + 3 + 5 + 7 + + (2 x + 5) = 900 a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5 13. Halla “x” 1 + 3 + 5 + 7 + + (2 x + 7) = 9025 a) 90 b) 81 c) 91 d) 18 e) 71 14. Calcular “x” 1 + 3 + 5 + 7 + + (2 x + 5) = 3025 a) 50 b) 52 c) 51 d) 53 e) 54 15. Halla “x” 2
2
2
2
2
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 ++ x = 285 a) 9 b) 10 c) 8 d) 11 e) 12 16. Halla “x” 3
1 + 2 + 3 + 4 ++ x = 8281 a) 12 b) 15 c) 16 d) 13 e) 17 17. Halla “x” 3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 ++ x = 672400 a) 60 b) 40 c) 30 d) 20 e) 50 18. Siendo:
Calcular:
1+ 2 + 3+ 4 ++ a = 1275 1+ 3+ 5 + 7 ++ b = 1225
E= a) 60 d) 90
(a − 1)(b − 20)(a + b − 19) b) 80 e) 70
c) 40
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 19. Calcule " x + y " si: 1+ 2 + 3+ 4 ++ x = 1830 2 + 4 + 6 + 8 + + 2y = 4032 a) 123 b) 113 c) 240 d) 132 e) 63 20. Calcule " x + y " si: 1+ 3+ 5 + 7 ++ x = 196 2 + 4 + 6 + 8 ++ y = 420 a) 69 b) 68 c) 67 d) 40 e) 65 21. Calcule " x + y " si: 1+ 2 + 3+ 4 ++ x = 300 2 + 4 + 6 + 8 ++ y = 930 a) 69 b) 68 c) 67 d) 40 e) 84 22. Si: 2 + 4 + 6 + 8 + + x = 650 1 + 3 + 5 + 7 + + (3y − 2) = 625 Calcule: 1 + 2 + 3 + 4 + + ( x + y ) a) 2140 b) 2145 c) 2150 d) 2155 e) 2 278
23. Hallar “n” 2 + 4 + 6 + 8 ++ n = 1640 a) 80 b) 60 c) 40 d) 70 e) 68 24. Si: 2 + 4 + 6 + + 7x = 1260 Calcular: a) 1 d) 4
2
x +1 101 b) 2 e) 5
a) 35 d) 38
b) 36 e) 111
c) 37
27. Hallar “x”, en: 11 + 12 + 13 + + x = 1220 a) 50 b) 51 c) 52 d) 39 e) 49 28. Halle el valor de “m” para que se cumpla: 15 + 21 + 27 + 33 + + m = 351 a) 60 b) 63 c) 62 d) 61 e) 65 29. Hallar “r”, sabiendo que: 1 + 8 + 27 + + 343 = 4 + 12 + 20 + + r a) 100 b) 04 c) 108 d) 112 e) 116 30. Hallar “x”, en: 29 + 31 + 33 + 35 + + x = 3525 a) 123 b) 119 c) 117 d) 121 e) 125 31. Hallar “x” 3
3
3
3
2 + 4 + 6 ++ x = 352800 a) 40 b) 20 c) 60 d) 50 e) 30 32. Hallar “n” si:
49 + 64 + 81 + + n La suma de los términos de la sucesión es 433. a) 529 b) 400 c) 576 d) 676 e) 900
c) 3
25. Hallar: (x + a) , si: x + (x − 1) + (x − 2) + ..... + 3 + 2 + 1 = aaa a) 37 b) 42 c) 39 d) 48 e) 45
26. Calcular el valor de “x” 1+ 2 + 3+ 4 + 5 ++ x = aaa
Academia GAUUS
245
JOHN MAMANI M. SERIES NOTABLES III 3
PROBLEMA 01 Juan conviene en pagar un artículo cada fin de semana de la siguiente forma: la primera semana paga S/.0,25, la segunda S/.1, la tercera S/.2,25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente durante veinte semanas. El precio del artículo es: a) 1245,5 b) 514 c) 124 d) 717,5 e) 118,5
Resolución = P 0, 25 + 1 + 2, 25 + 4 + (20 términos) 1 4 9 16 + + + + + t 20 4 4 4 4 1 2 2 2 2 P 1 + 2 + 3 + + 20 = 4 P=
2
t n = 2n + 3n + 5n 2
n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + 3 S= 2 + 5 2 6 2
Donde “n” toma el valor de 10 2
10(11) 10(11)(21) 10(11) S= 2 + 3 + 5 2 6 2 S = 6050 + 1155 + 275 S = 7480
PROBLEMA 03
P=
1 20 × 21 × 41 4 6 ∴P = 717, 5
Un caño malogrado gotea un día 63 gotas y cada día que transcurre a partir de ese día gotea dos gotas menos que en el día anterior. ¿Cuántas gotas dará en total? a) 1020 b) 1028 c) 1010 d) 1019 e) 1024
PROBLEMA 02
Del enunciado:
Resolución
Calcule la suma de los 10 primeros términos de una sucesión cuyo término general es 3
2
63 + 61 + 59 + + 1 Aplicando la fórmula de número impares. 2
t n = 2n + 3n + 5n
a) 7814 d) 7510
b) 7480 e) 7873
63 + 1 = ??? 2
c) 7380
2
64 = ??? 2
Resolución
2
(32) = ??? 1024 = ???
A este tipo de series se les llama serie polinomial, debido a que su término general tiene la forma de un polinomio, en este caso de tercer grado Se resuelve de la siguiente forma:
¡Comprueba lo que sabes! 01. Anita llega a la Academia con cierto retraso diariamente. El primer día llego 1 minuto tarde, el segundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3 minutos tarde y así sucesivamente; al cabo de 20 días de
246
asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por la tardanza? a) 2,5h b) 8h c) 5h d) 1h e) 3,5h Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 02. ¿Cuántos cuadrados hay en una superficie cuadriculada de 20 cuadraditos por lado? a) 2870 b) 2780 c) 2680 d) 2500 e) 2850
2
tn = n + n + 3
a) 3180 d) 3160
b) 3110 e) 3120
c) 3140
03. Halle el total de naranjas que se necesitan para construir una pirámide de base cuadrada de 10 niveles. a) 385 b) 280 c) 345 d) 180 e) 110
10. Calcular la suma de los 20 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es:
04. En la base cuadrangular de una pirámide se ha usado 900 bolas ¿Cuántas bolas se han usado en total? a) 9215 b) 9455 c) 7215 d) 3025 e) 17850
11. Si: a n = n − n + 2, halle el valor de: S = a 1 + a 2 + a 3 + + a 10
05. En la base cuadrangular de una pirámide se han usado 400 bolas de billar ¿Cuántas bolas se han usado en total? a) 8270 b) 2870 c) 2370 d) 3450 e) 2780
12. Calcule la suma de los 20 primeros números triangulares, sabiendo que un número triangular es el semi producto de los números naturales tomados de dos en dos. a) 1530 b) 1540 c) 1550 d) 1560 e) 1570
06. Lilian compra el día de hoy 19 cajas de manzanas y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo día se compraron 43 cajas? a) 623 b) 819 c) 720 d) 430 e) 580 07. Calcule la suma de los 20 primeros términos de una progresión cuyos términos son de la forma: 2
= t n 2n + 10n
a) 7840 d) 7480
b) 8740 e) 9480
c) 8470
08. Calcule la suma de los 10 primeros términos de una sucesión cuyo término general es: 3
2
t n = 2n + 3n + 5n
a) 7480 d) 7860
b) 7610 e) 7380
c) 7140
09. Calcular la suma de los 20 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es: Academia GAUUS
3
2
t n = 3n − 2n + 5n + 3
a) 128890 d) 127670
b) 138080 e) 125450 3
a) 1660 d) 2550
c) 75880
2
b) 2660 e) 2670
c) 1550
13. Halle el total de naranjas que se necesitan para construir una pirámide de base triangular de 10 niveles. a) 220 b) 280 c) 345 d) 180 e) 110 14. Jorge está apilando las canicas que tiene formando una pirámide tetraédrica ¿Cuántas canicas tiene Jorge como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 20 niveles? a) 1460 b) 1540 c) 1560 d) 1650 e) 1645 15. La “Reyna” y el “rey” de un reino salen a pasear por los bosques de sus dominios, mientras la “Reyna” da 20 pasos en forma constante por cada minuto el “rey” avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final ambos han dado la misma cantidad de pasos. ¿Cuántos pasos han dado en total cada uno?
247
JOHN MAMANI M. a) 730 d) 745
b) 39 e) 800
c) 780
16. Dos hermanas: Juana y María iniciaron ante la proximidad del verano un régimen de dieta, Juana la lleva a cabo comiendo 13 duraznos cada día, mientras que María la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primer día, 2 en el segundo, 3 en el tercero y así sucesivamente, la dieta terminó cuando, ambas habían comido la misma cantidad de duraznos, si la dieta se inició el 15 de noviembre. ¿Qué día terminó? a) 7 de diciembre b) 8 de diciembre c) 9 diciembre d) 10 de diciembre e) 11 de diciembre 17. José y Ana leen una novela de 1100 páginas José lee 50 páginas diarias y Ana lee 10 páginas el 1er día, 20 el 2do, 30 el 3ro y así sucesivamente. Si comienza el 19 de marzo. En qué fecha llegarán a la misma página. a) 28 de marzo b) 27 de marzo c) 29 de marzo d) 2 de abril e) 6 de abril 18. Gilder y Lincoln leen una novela de 3000 páginas, Gilder lee 100 páginas diarias y Lincoln 10 páginas el primer día, 20 páginas el segundo día, 30 el tercero y así sucesivamente. ¿Después de haber leído cuántas páginas, coincidirán? a) 1950 b) 2000 c) 1900 d) 1850 e) 2100 19. Dos hermanas: Karen y Melina, compran cada una el mismo álbum de figuritas. Karen pega en el suyo 1 figurita el primer día, 2 en el segundo día, 3 en el tercero y así sucesivamente y Melina pega 10 figuritas cada día. Si ambas compraron su álbum el mismo día y Melina lo llena el día 16. ¿Cuántas figuritas le faltarán a Karen ese día para completar el suyo? a) 18 b) 24 c) 20 d) 36 e) 56 20. La suma de los “n” primeros números consecutivos es igual a un número de tres
248
cifras iguales. Hallar dicho número de tres cifras. a) 222 b) 333 c) 444 d) 555 e) 666 21. Si “A” y “B” representan las sumas respectivas de los pares e impares positivos no mayores que 1000. Calcular. A–B a) 501 b) 500 c) 499 d) 999 e) 1000 22. ¿Qué precio pide por su caballo quien exige por el primer clavo de sus herraduras S/.125; S/.216 por el segundo; S/.343 por el tercero; hasta S/.1331 por el penúltimo clavo? a) S/.5316 b) S/.5984 c) S/.5397 d) S/.5270 e) S/.6084 23. Durante el mes de agosto las llamadas telefónicas de María variaron de la siguiente manera, una llamada el 1°, tres el 2°, cinco el 3° y así sucesivamente hasta el día 15 inclusive, pero a partir del 16 las llamadas fueron; dos el 16, cuatro el 17, seis el 18 y así hasta fin de mes. ¿Cuántas llamadas hizo María durante todo el mes? a) 465 b) 480 c) 487 d) 497 e) 483 24. Leticia debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero, etc., le faltarían aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro? a) 144 b) 156 c) 169 d) 182 e) 152 25. En una canasta hay 60 duraznos. Pilar los va colocando por fila de la siguiente manera: En la primera fila pone un durazno; luego toma 2 duraznos de la canasta y los pone en la segunda fila; y así sucesivamente hasta donde le sea posible. ¿Cuántos duraznos sobraran en la canasta? a) 5 b) 7 c) 9 d) 1 e) 3 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SERIES NOTABLES IV PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Calcular: S = 1(5) + 2(6) + 3(7) + ..... + 10(14) a) 606 b) 605 c) 610 d) 613 e) 608
Hallar “E”: E = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + + 20 × 23 a) 3500 b) 2870 c) 2240 d) 8720 e) 1678
Resolución
Resolución Término General → n(n + 4)
Término General → n(n + 3)
S = 1(5) + 2(6) + 3(7) + ..... + 10(14)
E = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + + 20 × 23
S = 1(1 + 4) + 2(2 + 4) + 3(3 + 4) + ..... + 10(10 + 4)
E = 1(1 + 3) + 2(2 + 3) + 3(3 + 3) + + 20(20 + 3)
2
2
2
S= (1 + 2 + ...... + 10 ) + 4(1 + 2 + 3 + ..... + 10) S=
10(11)(21) 10(11) + 4 = 605 6 2
2
2
2
2
E = 1 + 3 + 2 + 3 × 2 + 3 + 3 × 3 + + 20 + 3 × 20 2
2
2
2
E = (1 + 2 + 3 + + 20 ) + 3(1 + 2 + 3 + + 20)
20 × 21 × 41 20 × 21 = E + 3 2 6 E = 3500
S = 605
¡Comprueba lo que sabes! 01. Halla: S= 1(3) + 2(4) + 3(5) + + 20(22) a) 3290 b) 3160 c) 3194 d) 3198 e) 9431
05. Calcular: S =1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + ... + 19 × 1 a) 1290 b) 1330 c) 1020 d) 1390 e) 1225
02. Halle la suma de: S= 1(8) + 2(9) + 3(10) + + 26(33) a) 8688 b) 8648 c) 8668 d) 8658 e) 8678
06. Hallar: S = 1(20) + 2(19) + 3(18) + + 20(1) a) 1560 b) 1540 c) 1610 d) 1570 e) 1624
03. Hallar la suma de todos los términos en: S = 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + + 36 × 40 a) 18510 b) 17520 c) 16250 d) 17740 e) 18870
07. Calcular: S = 1(99) + 2(98) + 3(97) + + 50(50) a) 24 320 b) 84 575 c) 49 570 d) 69 360 e) 28 575
04. Hallar:
08. Halla el valor de: = S 1(100) + 2(99) + 3(98) + + 50(51) a) 85900 b) 85905 c) 85605 d) 85860 e) 85850
1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + + 40 × 44 a) 25020 b) 25120 c) 25220 d) 25320 e) 25420
Academia GAUUS
249
JOHN MAMANI M. 09. Calcular: S= 1(8) + 2(9) + 3(10) + + 15(22) a) 2060 b) 2080 c) 2010 d) 2720 e) 2780 10. Hallar “S” si tiene 16 términos: S = 1(5) + 2(6) + 3(7) + a) 2041 b) 2042 c) 2040 d) 2431 e) 2641 11. Calcular el valor de: M =1 × 100 + 2 × 99 + 3 × 98 + 50 términos
a) 65650 d) 95950
b) 75750 e) 60900
c) 85850
12. Resolver: a) 23310 d) 2560
S = 6 + 12 + 20 + + 1262 b) 15540 c) 7770 e) 56789
13. Determinar el último sumando de: 1 × 30 + 2 × 29 + 3 × 28 + = 4960 a) 30 b) 58 c) 84 d) 40 e) 45
a) 5120 d) 5132
2
a) 1240 d) 400
b) 1540 e) 210
c) 2000
2
20. Calcule el valor de M = 1 × 7 + 3 × 10 + 5 × 13 + + 39 × 64 Dé como respuesta la suma de cifras del resultado a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 21. Calcular el valor de la siguiente serie: R = 1× 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 × 5 + 3 × 4 × 5 × 6 + .... + 20 × 21 × 22 × 23 a) 1002096 c) 1020096 e) 1080096
23. Dados:
16. Si: S n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........ + n Calcular: S1 + S 2 + S 3 + ........... + S 20
2
19. El valor de la siguiente serie es 3710 Calcular: (a + b) 1× 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + + a × b a) 84 b) 88 c) 48 d) 66 e) 44
15. Dada: S n = 1 + 2 + 3 + + (n + 1) Hallar: S = S1 + S 2 + S 3 + + S 30 c) 5480
2
S = 20 × 1 + 19 × 2 + 18 × 3 + + 1 × 20 a) 12440 b) 13560 c) 15600 d) 16170 e) 16240
22. Hallar:
b) 5310 e) 5455
c) 5130
18. Calcule el valor de la serie
x sumandos 14. Dada: f ( x ) = 102 + 104 + 106 + ... Calcular: S = f(1) + f(2) + f(3) + + f(49) a) 134 560 b) 164 150 c) 136 420 d) 230 400 e) 143 250
a) 2680 d) 5430
b) 5122 e) 5140
b) 2550240 d) 1040086
= S 1(4)(2) + 2(5)(4) + 3(6)(6) + + 20(23)(40)
a) 102450 d) 104520
b) 10542 e) 105420
c) 105422
S1 = 10 × 11 + 11 × 12 + 12 × 13 + ... + 20 × 21 S2 = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 20 × 21
Hallar: S2 ÷ S1 84 42 a) b) 75 75 84 83 d) e) 85 84
c)
42 25
17. Halle el valor de la serie: S = 1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 7 + ....... + 19 × 39
250
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SERIE ARITMÉTICA I PROBLEMA 01 Halle el valor de la siguiente serie: S = 4 + 7 + 10 + + 61 a) 600 b) 650 c) 660 d) 700 e) 750
Resolución S = 4 + 7 + 10 + + 61 +3 +3
t +t S = 1 n n 2
t +t S= 1 n 2
t n = t 1 + (n − 1)r
n
5x = x + (n − 1)4 4x= (n − 1)4 n= x + 1
Luego remplazando en la fórmula de la suma x + 5x 720 = (x + 1) 2 x(x + 1) = 240 x = 15
t n = t 1 + (n − 1)r 61 = 4 + (n − 1)3 57 = (n − 1)3 n = 20
Luego remplazando en la fórmula de la suma t +t S = 1 n n 2 4 + 61 S= 20 2 S = 650
PROBLEMA 02
PROBLEMA 03 Halle el valor de la siguiente suma: 2
Resolución
2
2
Resolución 2
2
2
2
2
2
2
M =1−2 + 3 − 4 + 5 − 6 + + 99 100 − −3
−7
− 11
−199
50 términos M =− 3 − 7 − 11 − − 199
−4
Hallar: “x” Si: x + (x + 4) + (x + 8) + 5x = 720 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
2
1 − 2 + 3 − 4 + − 100 a) 5050 b) –5050 c) 5151 d) –5151 e) 6262
−4
t +t S= 1 n 2
n
− 3 − 199 S= 50 2 S = − 5050
x + (x + 4) + (x + 8) + 5x = 720 +4
+4
Academia GAUUS
251
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 04 Se sabe que: S n = a + a + a + + a 1 2 3 n 5 ; n impar Donde: a = n 5n ; n par
t +t S= 1 n 2
t n = t 1 + (n − 1)r
n
t n = 3 + (n − 1)4 t n =3 + 4n − 4 t= 4n − 1 n
Calcular S 40 a) 2200 d) 2820
b) 2420 e) 2400
c) 2440
Resolución S 40 = a + a 1
2
+a
3
+a
4
+a
5
+a
6
++ a
39
+a
40
S 40 = 5 + 5(2) + 5(4) + 5(6) + 5(40) +5 +5 ++ 5 15
25
35
205
20 términos
S 40 = 15 + 25 + 35 + + 205
1830= n + 2n ↓
2
= 30 + 2(30) 1830
2
La serie tiene 30 términos.
+ 10 + 10
t +t S= 1 n 2
Luego remplazando en la fórmula de la suma 3 + 4n − 1 1830 = n 2 1830= (1 + 2n)n
Segunda forma: La nueva serie es:
n
1º 2º 3º
15 + 205 S= 20 2 S = 2200
4º nº
3 + 7 + 11 + 15 + t n = 1830 +4
+4
+4 n
n
3C1 + 4C 2 = 1830 n(n − 1) 3n + 4 1830 = 2
PROBLEMA 05 A los términos de la serie: S = 2 + 5 + 8 + 11 + Se le agrega 1; 2; 3; 4; 5;… respectivamente, de tal manera que la suma de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie original? a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 35
Resolución Primera forma: La nueva serie es: 3 + 7 + 11 + 15 + = 1830
+4
252
+4
+4
2
2n + n = 1830 ↓ 2
2(30) + 30 = 1830 La serie tiene 30 términos.
PROBLEMA 06
Halle la suma de los “n” primeros números naturales que terminan en cifra 7. b) 5n 2 + 2n c) 6n 2 + 3n a) 3n 2 + n d) 9n 3 + 3n 2
e) 11n 2 + 7n
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JOHN MAMANI M.
Resolución 1º 2º 3º 4º nº S =7 + 17 + 27 + 37 + t n
t n = t 1 + (n − 1)r
t +t S = 1 n n 2
t n =ab + (30 − 1)1 t= ab + 29 n
+ 10 + 10 + 10
t +t S= 1 n 2
t n = t 1 + (n − 1)r
n
t n =7 + (n − 1)10 t n =+ 7 10n − 10 t n 10n − 3 =
Luego remplazando en la fórmula de la suma 7 + 10n − 3 S= n 2 S = (2 + 5n)n = S 2n + 5n
2
Luego remplazando en la fórmula de la suma ab + ab + 29 1875 = 30 2 1875 = (2ab + 29)15 125 = 2ab + 29
48 = ab Comparando: a = 4 y b = 8 Piden: a + b = 12 Segunda forma: La nueva serie es:
1º
30º
ab + (ab + 1) + (ab + 2) + t 30 = 1875
PROBLEMA 07 La suma de 30 números consecutivos a partir de ab es 1875. Hallar a + b a) 8 b) 10 d) 14 e) 16
+1
+1 30
30
ab C1 + 1C 2 = 1875
c) 12
30(29) 30ab + 1 1875 = 2
Resolución Primera forma: Números consecutivos ab + (ab + 1) + (ab + 2) + = 1875 +1
3º
2º
+1
30ab + 435 = 1875 ab = 48 Comparando: a = 4 y b = 8 Piden: a + b = 12
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcula el valor de la siguiente serie: S = 4 + 7 + 10 + ... + 37 a) 188 d) 405
b) 246 e) 94
c) 318
02. Calcula la suma de la P.A.: 2, 11, 20, 29,…,902 Academia GAUUS
a) 38460 d) 10108
b) 45652 e) 25120
c) 8492
03. Calcular: S = 111 + 114 + 117 + 120 + ... + 345 a) 18374 d) 18353
b) 18012 e) 18638
c) 17363
253
JOHN MAMANI M. 04. Calcular: S = 18 + 21 + 24 + 27 + + 111 a) 2064 b) 2018 c) 2038 d) 2072 e) 2070 05. Calcule el valor de la serie. 6 + 10 + 14 + 18 + + 202 a) 5200 b) 5100 c) 5000 d) 4900 e) 4800 06. Calcula el valor de “S” en la P.A.: 75; 80; 85;90;... 83 términos a) 18636 d) 35128
b) 42718 e) 23240
c) 56440
26. Calcular: S = 75 + 80 + 85 + 90 + ... (83 términos) a) 23240 d) 23527
b) 62829 e) 29736
c) 36372
07. Halle S: S= 2 + 3+ 1+ 4 + 6 + 2 + 6 + 9 + 3 + 30 sumandos
a) 200 d) 300
b) 220 e) 330
c) 250
08. Calcule el valor de la siguiente serie: S= 5 + 6 + 7 + 9 +9 + 12 + 11 + 15 100 sumandos
a) 6675 d) 6915
b) 6645 e) 6924
c) 6895
09. Calcule el valor de la siguiente serie. M =− 2 + 1 + 3 + 4 + 8 + 7 + 13 + 10 41 sumandos
a) 1476 d) 1598
b) 1435 e) 1640
c) 1681
a) 1492 d) 1842
b) 1575 e) 1594
c) 1750
11. Calcular: = 11(4) + 11(6) + 11(8) + + 11(100) S a) 2597 d) 3322
b) 2450 e) 3332
c) 2000
12. Calcular: = S 13(4) + 13(6) + 13(8) + + 13(100) a) 1254 d) 1978
b) 2578 e) 2695
c) 2647
13. Calcula la suma de la siguiente serie: = S 23(x) + 30(x) + 35(x) + ... + 155(x) a) 1415 d) 1210
b) 1712 e) 1643
c) 1216
14. Hallar “x”, en: 29 + 31 + 33 + 35 + + x = 3525 a) 123 b) 119 c) 117 d) 121 e) 125 15. Halle “x” x + ( x + 1) + ( x + 2) + + 2 x = 360 a) 14 d) 18
b) 16 e) 19
c) 15
16. Hallar “x” x + ( x + 3) + ( x + 6) + + (4 x ) = 1050 a) 20 d) 24
b) 21 e) 15
c) 22
17. Hallar “x” x + ( x + 3) + ( x + 6) + + (4 x ) = 680 a) 16 d) 13
b) 15 e) 20
c) 12
10. Halle la suma de la serie: S = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 11 + + 62
254
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 18. Halle “n” en (3n + 2) + (3n + 4) + (3n + 6) + ... + (5n) = 81n a) 25 d) 40
b) 10 e) 50
c) 20
19. Halle “a” en: a + (a + 1) + (a + 2) + + (3a ) = 1640 a) 35 d) 23
b) 15 e) 25
c) 20
20. Calcule el valor de “x” en: x + ( x + 3) + ( x + 6) + + (7 x − 3) = 1313 a) 10 d) 13
b) 11 e) 15
c) 12
21. Calcule el valor de “x” en: ( x + 1) + ( x + 5) + ( x + 9) + + (5 x + 1) = 408
a) 9 d) 14
b) 11 e) 16
c) 12
22. Halle el valor de “x” en: ( x −1) términos (2 x + 1) + (2 x + 4) + (2 x + 7) + = 707
a) 12 d) 16
b) 14 e) 18
c) 15
23. Determinar la suma: x + ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + + 3 x 2
a) 2 x + 1
b) (2 x + 1)
d) ( x − 3)
e) 2 x (2 x + 1)
c) ( x + 3)
24. Determine la suma: x + ( x + 2) + ( x + 4) + ( x + 6) + + 7 x a) 4 x (3 x + 1) b) 4 x ( x + 1)
c) x ( x + 1)
d) 7 x ( x + 1) e) 2(2 x − 1) 25. Se tiene: a + (a + 2) + (a + 4) + + (7a) = xa( ya + 1)
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
26. ¿Cuántos términos de la progresión 9, 12, 15, 18,…; deben tomarse para sumar 306? a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 20 27. ¿Cuantos términos debe considerarse en la siguiente serie para que la suma de ellos sea igual 1365? 5 + 11 + 17 + 23 + a) 20 b) 21 c) 25 d) 30 e) 27 28. Sumar los 15 primeros términos de la siguiente serie y dar como respuesta la suma de las cifras del resultado S = 1753 + 1804 + 1855 + a) 18 b) 15 c) 20 d) 30 e) 22 29. Halle la suma de las cifras de “x” x términos x términos 41 + 44 + 47 + = 11 + 18 + 25 + a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 6
30. Halle el valor de “x” si se cumple que: 1 + 3 + 5 + 7 + ( x términos) 40 = 4 + 7 + 10 + 13 + ( x términos) 7 x a) 12 d) 8
b) 10 e) 11
c) 7
31. En la siguiente igualdad ambas series tienen el número de términos dependientes de “n” (n− 4) términos términos n 1 + 3 + 5 + x = 40 + 38 + 36 + + y
Hallar: " x + y "
Hallar " x + y " Academia GAUUS
255
JOHN MAMANI M. a) 42 d) 48
b) 45 e) 41
c) 49
32. Cuantos términos hay que considerar en las dos sumas siguientes para que tengan el mismo valor: S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + S 2 = 100 + 98 + 96 + 94 + a) 104 d) 75
b) 67 e) 57
c) 76
33. En la siguiente serie, calcule: a + b (3b −1) términos 2
7 + 11 + 15 + + (2a + 15) = 2625
a) 21 d) 20
b) 18 e) 22
c) 19
34. Si la suma de los “n” primeros términos de 2
una P.A. es: S= n + n , calcula la razón. n a) 8 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 35. Si la suma de los “n” términos de una P.A. es: 2
= S n 3n − 5 . Hallar el trigésimo primer
término. a) 321 d) 326
b) 328 e) 331
c) 316
2
36. Si = S n 2n + 5n indica la suma de los “n” primeros términos de una serie aritmética. Halle el termino 10 a) 45 b) 44 c) 47 d) 43 e) 46 37. En una serie aritmética la suma de todos los términos en función del número de términos es:
256
Sn =
2
3n 13n + 2 2
Halle el termino 400 a) 1205 b) 1208 d) 1020 e) 1022
c) 1400
38. La suma de las “n” primeros términos de una serie aritmética está definida por 2
= S n 2n + 3n . Halle la suma de los términos
de lugar 10 y 20 de la serie. a) 124 b) 122 c) 132 d) 116 e) 118 39. Si (2n + 9)n representa la suma de los n primeros términos de una sucesión, halle la suma de los términos comprendidos entre los términos de lugares 14 y 31. a) 1480 b) 1570 c) 1940 d) 1586 e) 1552 40. En una serie aritmética, la suma de las “n” primeros términos está definida por 2
= S n 2n − n . Halle la suma de los términos
comprendidos entre decimo y vigesimoprimer término de la serie. a) 580 b) 570 c) 610 d) 708 e) 590 41. Si la suma de los n primeros términos de una PA están definidas por n(3n + 1) Sn = 2 halle la suma de los términos comprendidos entre el lugar 10 y el lugar 20. a) 396 b) 390 c) 423 d) 382 e) 406
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JOHN MAMANI M. SERIE ARITMÉTICA II PROBLEMA 01 Una empresa constructora gana una licitación para construir un edificio en un tiempo de 5 meses. Si la constructora excede los 5 meses acuerda pagar una multa por el exceso de tiempo, siendo la multa $.40 el primer día y de $.10 más que la multa del día anterior por cada día adicional. Si la multa fue de $.2250. ¿Cuántos días se excedió la constructora en terminar el edificio? a) 16 b) 14 c) 22 d) 18 e) 20
Segunda forma: Del enunciado
1º 2º 3º
40 + 50 + 60 + 70 + t n = 2250 + 10 + 10 + 10 n
n(n − 1) 40n + 10 1830 = 2 2
35n + 5n = 2250 ↓ 2
1º 2º 3º
4º nº
40 + 50 + 60 + 70 + t n = 2250 + 10 + 10 + 10
t +t S= 1 n 2
n
40C1 + 10C 2 = 2250
Resolución Primera forma: Del enunciado
4º nº
t n = t 1 + (n − 1)r
n
t n = 40 + (n − 1)10 t n =40 + 10n − 10 t n 10n + 30 =
Luego remplazando en la fórmula de la suma 40 + 10n + 30 2250 = n 2 2250 = (35 + 5n)n
2250 = 35n + 5n
2
2250 = 35n + 5n ↓
2
= 2250 35(18) + 5(18)
35(18) + 5(18) = 2250 Se excedió 18 días
PROBLEMA 02 Lilian empieza a ahorrar 25 soles y cada mes aumenta 10 soles a sus ahorros ¿Cuánto ahorrara al cabo de un año? a) 560 b) 820 c) 960 d) 1200 e) 750
Resolución 1º 2º 3º 4º 12º S = 25 + 35 + 45 + 55 + t 12 + 10 + 10 + 10
t +t S = 1 n n 2 2
t n = t 1 + (n − 1)r t 12 = 25 + (12 − 1)10 t 12 = 25 + 110 t 12 = 135
Se excedió 18 días Academia GAUUS
257
JOHN MAMANI M. Luego remplazando en la fórmula de la suma (25 + 135)12 S= 2 S = 960
t +t S = 1 n n 2
t n = t 1 + (n − 1)r t 20 =10 + (20 − 1)2 = 10 + 38 t 12 t 12 = 48
PROBLEMA 03 Un abuelo tiene 20 nietos y repartió cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma: El primero le dio 10, al segundo 12, tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos? a) 30 b) 29 c) 31 d) 28 e) 32
Resolución
Luego remplazando en la fórmula de la suma (10 + 48)20 S= 2 S = 580 Total de caramelos es 580 pero el número de bolsas será: 580 = = 29 # bolsas 20
1º 2º 3º 4º 20º S = 10 + 12 + 14 + 16 + t 20 +2
+2
+2
¡Comprueba lo que sabes! 01. Un comerciante advierte que la demanda de su producto va en aumento por lo que decide comprar cada día 5 unidades más respecto al día anterior y de esa manera satisfacer a los clientes, si empezó comprando 19 unidades y el penúltimo día compro 169 unidades, ¿Cuántas unidades compro en total? a) 3005 b) 3088 c) 3006 d) 3107 e) 3012 02. Juan decidió ahorrar a partir del 1.º de mayo. Si inició ahorrando S/.10 y cada día siguiente ahorró S/.2 más que lo ahorrado el día anterior, ¿cuánto dinero ahorró en todo el mes de mayo? a) S/.1240 b) S/.1204 c) S/.1420 d) S/.1724 e) S/.1320 03. Una persona camina diariamente 5 metros más que el día anterior. Si el primero de enero de este año caminó 8 metros, ¿cuántos
258
metros habrá caminado hasta el último día de febrero de este año? (Año actual 2015) a) 8546 b) 9027 c) 9034 d) 10234 e) 15600 04. Un biólogo se dedica al cultivo de cierta bacteria. El primer día cultiva 33 bacterias, luego a partir del segundo día cultiva 8 bacterias más que el día anterior. ¿Cuántas bacterias habrá cultivado en 30 días? Dé como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 15 05. Una persona debe pagar una deuda total de S/. 2800. El pago lo va realizar de la siguiente manera: el primer mes S/.50, el segundo mes S/.80, el tercer mes S/.110, el cuarto mes S/. 140, y así sucesivamente. Después de un año Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. de pago aun le quedara un pequeño saldo por pagar. ¿Cuánto es dicho saldo? a) S/.210 b) S/.230 c) S/.240 d) S/.220 e) S/.250 06. Carlos observo que su secretaria realizo 37 llamadas telefónicas hasta el 14 de diciembre. El día 15 hizo 2 llamadas, el 16 hizo 4 llamadas, el 17 hizo 6 llamadas y así sucesivamente hasta en fin de mes. ¿Cuál es el total de llamadas que hizo la secretaria en el mes de diciembre? a) 342 b) 343 c) 338 d) 352 e) 368 07. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno delos 30 árboles que están al lado de la calzada; los arboles están a 8m de distancia y el montón de arena está a 10m antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena?. a) 8250m b) 8200m c) 7450m d) 5680m e) 7560m 08. Andrés tiene un total de 210 piedras, las cuales irá ubicando en línea del siguiente modo: primero, del montículo inicial lleva una piedra al punto A; luego, regresa y lleva 2 piedras al punto B; luego, regresa y lleva 3 piedras al punto C y así sucesivamente hasta terminar su tarea; es decir, llevar el último montón de piedras al punto que le corresponde. ¿Cuál es el recorrido total realizado por Andrés?
a) 520 m d) 990 m
b) 1040 m e) 1080 m
c) 495 m
09. Sobre un terreno hay colocadas 10 piedras distantes una de otra a 8m. ¿Cuánto tendrá que recorrer una persona que tenga que Academia GAUUS
llevarlas una a una a un camión colocado a 12m de la primera piedra si la persona se baja del camión? a) 960m b) 920m c) 760m d) 840m e) 1100m 10. Luis todos los días visita a uno de sus familiares en orden más cercano. Si la casa del más cercano está a 10m de la casa de Luis y a partir de allí todos se encuentran a 10m de distancia. ¿Cuánto habrá caminado Luis en total después de haber visitado al último de sus familiares, sabiendo que luego de visitar a un familiar siempre retorna a su casa y que sus familiares son 9? a) 920 b) 915 c) 850 d) 900 e) 870 11. En un evento artístico se observa que los asientos de un salón han sido colocados en un total de 20 filas: 20 en la primera, 24 en la segunda, 28 en la tercera, así sucesivamente hasta la fila diez, y de la fila siguiente en adelante todas tienen 30 asientos. Determine cuánto se recaudó si está totalmente lleno y se cobró 20 soles la entrada. a) 18000 b) 22000 c) 24000 d) 26000 e) 28000 12. Valery compra un libro, y cada día lee dos páginas menos que el día anterior. Si el quinto día lee el quíntuple de las páginas que lee el ultimo día, ¿Cuántas paginas tiene el libro, si lee todo en 11 días? a) 164 b) 142 c) 124 d) 143 e) 214 13. Luis ahorrará dinero de la siguiente manera: el primer día ahorrará S/.0,70; el segundo día, S/1,60; el tercer día, S/.2,50; el cuarto día, S/.3,40; y así sucesivamente hasta que el último día llegue a ahorrar el triple de lo ahorrado el quinto día, menos S/.0,50. ¿Cuánto dinero ahorrará, en total, hasta dicho día? a) S/.89,7 b) S/.78,7 c) S/.101,5 d) S/.93,1 e) S/.91,7
259
JOHN MAMANI M. 14. Un comerciante ha estado ahorrando en este mes 178 soles y tiene con esto, S/ 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorro el primer mes? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
20. Se reparten 4044 panes de tal manera que el primer niño recibe 2; el segundo, recibe 4; el tercero, 6 y así sucesivamente. ¿Cuántos panes sobran? Considere que la cantidad de niños es la máxima posible. a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 22
15. Juan debe pagar un total de S/.448000 en cierto número de cuotas mensuales. La primera cuota es de S/.29500 y cada cuota, a partir de la segunda, será S/.1000 menos que la anterior. ¿En cuántos meses será cancelada la deuda? a) 32 b) 30 c) 29 d) 28 e) 27
21. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurría el ciclo, el gastaba mayor número de tizas por semana. Así la primera semana gasto 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente. Si el ciclo duró 38 semanas; y cada caja de tizas contiene 15 tizas. ¿Cuántas abrió el profesor durante el ciclo para completar su dictado? a) 121 b) 122 c) 123 d) 120 e) 124
16. En el trabajo de perforación de un pozo de cierta profundidad; el costo es de S/.6 para el primer metro y S/.4 más para cada metro adicional; si el costo de la perforación total es S/.720 ¿cuál es la profundidad del pozo? a) 12m b) 16m c) 18m d) 20m e) 15m 17. Mengano no pudiendo cancelar una deuda de S/.12950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/.600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago? a) S/.1400 b) S/.1200 c) S/.1500 d) S/.1250 e) S/.3000 18. Al sumar 61 números naturales consecutivos el resultado da 2745. Hallar el mayor de los sumandos. a) 75 b) 74 c) 73 d) 76 e) 77 19. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en cada estación suben 2 pasajeros más de los que subieron en la estación anterior. Si al llegar al paradero final se contaron 616 pasajeros, ¿en cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
260
22. La suma de todos los números naturales desde "n" hasta "5n" es 1230. Calcular el valor de "n" y dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 0 b) 24 c) 12 d) 32 e) 40 23. He repartido un total de 1900 caramelos entre los 25 sobrinos que tengo, dándole a cada uno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuántos caramelos les di a los 10 primeros? a) 815 b) 420 c) 720 d) 535 e) 180 24. Por motivos de una fiesta infantil se repartieron un total de 1600 juguetes entre 25 niños, dándole a cada uno 2 juguetes más que al anterior. ¿Cuántos juguetes se les dio a los 15 primeros? a) 800 b) 820 c) 290 d) 810 e) 560 25. Sobre el piso se ha dibujado un polígono regular de 24 metros de lado, un atleta se para sobre uno de los vértices y recorre todo el polígono; y luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada día un lado menos. Si ha recorrido en total 864m ¿Cuántos lados tienen el polígono? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
26. Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio abierto, formando así el primero lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse. ¿Cuántos lechos pueden formarse? a) 81 b) 27 c) 35 d) 44 e) 20 27. Un tren parte con 10 pasajeros; en el 1º paradero suben 4 y bajan 2, en el 2º suben 6 y bajan 2, en el 3º suben 8 y bajan 2 así sucesivamente, ¿Cuántas personas subieron en el paradero central de su recorrido, si finaliza el viaje con 472 pasajeros a bordo? a) 22 b) 38 c) 121 d) 11 e) 21 28. Un micro parte con 10 pasajeros, en el primer paradero suben 4 y bajan 2, en el siguiente suben 8 y bajan 3, en el siguiente suben 12 y bajan 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos bajaron en el paradero central de su recorrido, si finaliza con 561 a bordo? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 29. Un tren sale con 12 pasajeros a bordo de su paradero inicial; en el siguiente paradero suben 4 y bajan 2; en el siguiente, suben 8 y bajan 3; en el siguiente, suben 12 y bajan 4; y así sucesivamente. ¿Cuántos pasajeros bajan en el paradero central de su recorrido si finaliza el viaje con 563 pasajeros a bordo? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 30. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellos tiene 16m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14m del extremo de la huerta y da la vuelta el caballón por el surco, el agua que carga cada vez le sirve para regar un solo caballón. ¿Cuál es la Academia GAUUS
longitud de camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? Nota: El camino comienza y termina junto al pozo. a) 4225 m b) 4325 m c) 4125 m d) 4025 m e) 4200 m 31. Un obrero ahorra cada día S/.5 más de lo que ahorra el día anterior; además, el último día de ahorro se da cuenta de que el número de días que estuvo ahorrando hasta ese día era la séptima parte de lo que ahorró ese día. Si lo que ahorró el quinto día y lo que ahorró el penúltimo día totalizan S/.290, ¿cuánto ahorró en total? a) S/.4125 b) S/.4215 c) S/.4035 d) S/.3975 e) S/.4995 32. La suma de 20 números enteros consecutivos es 410. Calcule la suma de los 20 números enteros consecutivos siguientes. a) 950 b) 1200 c) 930 d) 900 e) 810 33. La suma de 20 enteros consecutivos es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? a) 830 b) 790 c) 840 d) 810 e) 780 34. La suma de 30 números enteros consecutivos es 360. Calcule la suma de los 30 números enteros consecutivos siguientes. a) 3600 b) 2360 c) 1260 d) 900 e) 1200 35. Sabiendo que las suma de 30 números enteros consecutivos es 1665. Halla la suma de los 30 números consecutivos siguientes: a) 2565 b) 2434 c) 2556 d) 2439 e) 2563 36. Sabiendo que la suma de 25 enteros consecutivos es 775. Hallar la suma de los 25 posteriores a los 25 siguientes enteros consecutivos. a) 2095 b) 2085 c) 2025 d) 2075 e) 2035
261
JOHN MAMANI M. 37. La suma de 50 números naturales consecutivos es “k”, entonces la suma de los 50 números siguiente es: a) 2k b) k+25000 c) k+2500 d) k-2500 e) k 38. Si la suma de 20 números naturales consecutivos es M, entonces la suma de los 20 números siguientes es: a) M + 590 b) M + 400 c) M + 390 d) M + 210 e) 2M 39. Sabiendo que las suma de 30 números enteros consecutivos es 1665. Halla la suma de los 30 números consecutivos siguientes: a) 2565 b) 2434 c) 2556 d) 2439 e) 2563 40. Se sabe que la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 365, cuyo primer término es 23. Calcula la razón de la sucesión. a) 3 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/3 41. Calcula la suma de los 40 primeros términos de una P.A., sabiendo que la suma del segundo y el penúltimo término es 498. a) 5780 b) 9960 c) 4920 d) 8120 e) 10208 42. La suma de los nueve primeros términos de una P.A. es 17874. Calcula el valor del quinto término. a) 1986 b) 1921 c) 1987 d) 1497 e) 1540 43. El segundo término de una progresión aritmética es 9 y el séptimo es 34. Calcula la suma de los 100 primeros términos de la P.A. a) 53638 b) 37382 c) 27738 d) 2489 e) 25150
a) 14615 d) 16210
b) 17912 e) 16780
c) 16543
45. Calcular la suma de los 40 primeros términos de una P.A., sabiendo que la suma del segundo y el penúltimo termino es 498. a) 3233 b) 2183 c) 9960 d) 9376 e) 9363 46. Calcular la suma de una serie aritmética que consta de 45 términos, si se sabe que su término central es 38. a) 1610 b) 1510 c) 4258 d) 1710 e) 4500 47. Si la suma de los 35 términos de una serie aritmética cuya razón es 1, es 1575, entonces el primer término es: a) 34 b) 28 c) 16 d) 14 e) 45 48. Si la suma de los 100 números enteros consecutivos es igual a 150 veces el primero de los sumandos. Hallar el último número. a) 146 b) 198 c) 199 d) 236 e) 99 49. Una serie aritmética de 100 términos tiene de particular que sumados el primer y penúltimo término resulta 310; en tanto, la suma del segundo y último término resulta 316. Halle el valor de la serie mencionada. a) 15050 b) 15150 c) 15250 d) 15450 e) 15650 50. La suma del primer y segundo término de una sucesión aritmética es 20 y la del vigésimo con el vigésimo primer término es 248. Calcule la suma de todos los términos comprendidos entre el tercer y décimo noveno término. a) 1193 b) 1005 c) 1139 d) 1318 e) 1050
44. La suma de los 40 primeros términos de una progresión aritmética de razón 7 es 5580; calcule la suma de los 40 términos siguientes de la progresión.
262
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SERIE ARITMÉTICA CUADRÁTICA PROBLEMA 01
Donde: A = 3;B= −2 ; C = 2
La producción de polos en una fábrica se dio de la siguiente manera: el primer día se produjeron 3 polos, el segundo 10 polos, el tercero 23, el cuarto 42 y así sucesivamente hasta el último día en que se produjeron 647 ¿cuantos polos se produjeron en total? a) 3814 b) 3245 c) 3213 d) 3510 e) 3873
Calculemos “n”:
Resolución
2
647 = 3n − 2n + 2 2
645 = 3n − 2n n = 15 Luego n
n
n
S =t 1C1 + m1C 2 + rC 3 15
Del enunciado S = 3 + 10 + 23 + 42 + + 647 Aplicando el método de la serie aritmética cuadrática
C
2
t n = An + Bn + C
15
15
S = 3C1 + 7C 2 + 6C 3
15 15 × 14 15 × 14 × 13 S= 3 + 7 + 6 1 1× 2 1× 2 × 3 S = 3510 polos
2 + 3 + 10 + 23 + 42 + … + 647
A+B 2A
1
7 6
13 6
tn
19 6
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular: S = 6 + 9 + 14 + 21 + + 405 a) 2970 b) 7204 c) 3504 d) 2530 e) 2450 02. Calcule el valor de la suma en: S = 9 + 12 + 17 + 24 + + 177 a) 814 b) 923 c) 913 d) 920 e) 873 03. Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + + 462 a) 4512 b) 3542 c) 3478 d) 1254 e) 3258 04. Determine el valor de la suma en: S = 8 + 15 + 24 + 35 + + 255 Academia GAUUS
a) 1478 d) 1576
b) 1477 e) 1547
c) 1578
05. Calcule el valor de la suma en: S = 1 + 2 + 6 + 12 + 20 + + 420 a) 3080 b) 3081 c) 3180 d) 3181 e) 3810 06. Hallar: S = 2 + 6 + 12 + 20 + + 930 a) 19840 b) 3380 c) 5456 d) 9920 e) 3332
07. Hallar el valor de la siguiente suma: S = 2 + 6 + 12 + 20 + + 600 a) 2 200 b) 3 200 c) 8 200 d) 4 200 e) 5 200
263
JOHN MAMANI M. 08. Determine el valor de la suma S= 2 + 7 + 16 + 29 +
a) 1560 d) 1570
b) 1540 e) 1624
c) 1610
20 términos
a) 5550 d) 5520
b) 5555 e) 5557
c) 4553
09. Halle el valor de la suma de los 20 primeros términos de la serie S =5 + 5 + 20 + 50 + 95 a) 15400 b) 24350 c) 17200 d) 3540 e) 44320 10. Hallar la suma de todos los términos de la sucesión finita. 4; 7; 12; 19; 28; ….. ; 292 a) 1833 b) 1332 c) 1836 d) 1863 e) 1945 11. Halle la suma de: S= 1(8) + 2(9) + 3(10) + + 26(33) a) 8688 d) 8658
b) 8648 e) 8678
c) 8668
12. Hallar la suma de todos los términos en: S = 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + + 36 × 40 a) 18510 b) 17520 c) 16250 d) 17740 e) 18870 13. Hallar: 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + + 40 × 44 a) 25020 b) 25120 c) 25220 d) 25320 e) 25420 14. Calcular: S =1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + ... + 19 × 1 a) 1290 b) 1330 c) 1020 d) 1390 e) 1225 15. Hallar: S = 1(20) + 2(19) + 3(18) + + 20(1)
264
16. Calcular: = 1(99) + 2(98) + 3(97) + + 50(50) S a) 24320 d) 69360
b) 84575 e) 28575
c) 49570
17. Calcule el valor de la siguiente serie: 112 + 22 3 + 33 4 + (30 sumandos) a) 14880 d) 15100
b) 14960 e) 10 3850
c) 15000
18. Lilian ahorrará todo el mes de febrero de 2016 de la siguiente forma: el primer día S/.2; el segundo día S/.6; el tercer día S/.12; el cuarto día S/.20 y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero ahorrará Lilian hasta el antepenúltimo día de febrero? a) 2450 b) 6894 c) 4950 d) 7308 e) 5860 19. Robertito va a una tienda y compra un chocolate, regalándole el vendedor un chocolate por su compra. En la segunda vez compra 3 chocolates y lo regalan 2, la tercera vez compra 6 chocolates y lo obsequiaron 3, en la cuarta vez compro 10 chocolates y lo regalaron 4 así sucesivamente. ¿Cuántos chocolates recibirá en total cuando entre a la tienda a comprar por vigésima vez? a) 1500 b) 1750 c) 1980 d) 1800 e) 1920 20. Se tiene la siguiente sucesión cuadrática a 3 ; a 9 ; 49 ; 83 ;
Calcule la suma de los 12 primeros términos. a) 6092 b) 8050 c) 6200 d) 6990 e) 6020 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SERIE GEOMÉTRICA PROBLEMA 01
PROBLEMA 01
Lahur Sessa inventor del ajedrez pidió al Rey Hindú 1 grano de trigo por el primer casillero y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad, Hasta terminar con los 64 casilleros que contiene un tablero de ajedrez. ¿Cuántos granos de trigo pidió?
Se contrata a un vendedor para venta de autos prometiéndosele pagar una comisión por el primer auto que venda y luego se le ira duplicando dicha suma por cada nuevo auto vendido. Si vende 12 autos y recibe por ellos S/. 12285, ¿Cuánto le pagaron por el Quinto auto vendido? a) S/. 48 b) S/. 42 c) S/. 41 d) S/. 56 e) S/. 64
a) 2
64
−1
b) 2
64
d) 2
63
−1
e) 16
+1
c) 2
64
Resolución
Resolución Analizando. Casillero: 1º ⇓
2º ⇓
3º ⇓
4º ⇓
64º ⇓
S =1 + 2 + 4 + 8+ +2 ×2
×2
63
S = x + 2x + 4 x + 8x + + 2 ×2
×2
×2
11
x
×2
Aplicando Serie Geométrica, para determinar el
Aplicando Serie Geométrica
n
n
t (q − 1) valor de “x” S = 1 q−1
t (q − 1) S= 1 q−1
S=
Sea S/. x lo que recibe como comisión por el primer auto vendido, Planteamos Auto: 1º 2º 3º 4º 12º ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
64
12
x(2 − 1) 2−1 12285 = 4095x ⇒ x = 3 Por el 5º auto recibió: = 16 x 16(3) = 48 soles
1(2 − 1) 64 = 2 −1 2−1
12285 =
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular: 2
3
15
Q = 1+ 2 + 2 + 2 ++ 2 a) 65535 b) 65536 c) 1023 d) 65532 e) 23455
02. Hallar el valor de la siguiente serie S = 2 + 4 + 8 + 16 + ....... + 1024 a) 2045 b) 2046 c) 2048 d) 2058 e) 2047 Academia GAUUS
03. Hallar el valor de la siguiente serie S = 3 + 9 + 27 + ....... + 729 a) 1092 b) 1255 c) 1093 d) 1234 e) 1942 04. Calcular: S = 1 + 3 + 9 + 27 + + 6561 a) 9841 b) 9832 c) 9843 d) 9840 e) 9270
265
JOHN MAMANI M. 05. Calcular: S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + ....... + 1536 a) 1023 b) 3069 c) 9000 d) 6138 e) 9123 06. Efectuar S = 13 + 39 + 117 + 351 + + 9477 La suma de las cifras del resultado es: a) 16 b) 17 c) 18 d) 13 e) 14 07. Halle el valor de E. 1
2
3
4
E = 5 + 5 + 5 + 5 ++ 5
a) d)
31
−5 4
5
b)
31
+5 4
5
e)
31
5
−1
c)
4
30
+5 4
08. Calcular el valor de la siguiente serie mostrada. 1
3
5
7
a) d)
104
3
−3
8 100
3
−3
8
b) e)
101
3
−1
c)
8 100
3
99
101
3
20
−3
8
20
22
8
7
M= 2 +2 +2
a) d)
2
62
2
64
− 15 7 −2
7
b) e)
+2
− 16 7
64
−1
13
++ 2
c)
2
64
− 16 7
2
2
N = 2 + 4 + 8 + 16 + + 1024
a) d)
266
2
21
4
12
−4 3 −4 3
b) 2
22
4
11
e)
−6
7
7
b) 8 − 2
6
e) 8 − 1
8
c) 8 − 1
6
S= 2 + 4 +8 + 16 +
−4
−4 3
12 términos
a) 8190 d) 8248
b) 8255 e) 8270
c) 8270
15. Calcule: A = 4 + 12 + 36 + 108 + 324 +
7
2
21
−6
a) 8 − 1
61
10. Halle el valor de la siguiente serie 2
d) 3 × 2
14. Calcular:
62
2 2
10
−6
Son el segundo, el cuarto y el sexto término de una progresión geométrica creciente. Halle la suma de los 20 primeros términos de la progresión.
09. Halle el valor de la siguiente serie 4
b) 3
13. Los números ( x − 5) ; ( x + 7) ; (7 x + 1)
d) 8 − 2
−1
19
−6
−6
e) 3 × 2
−5 4
A = 3 + 3 + 3 + 3 ++ 3
Son los tres primeros términos de una progresión geométrica. Calcule la suma de los x + 9 primeros términos. c) 3
32
5
12. Los números ( x − 5) ; ( x + 1) ; ( x + 13)
a) 3 × 2
30
5
11. Los números a; (a + 4) ; (a + 16) son los primeros términos de una progresión geométrica. Calcule la suma de sus diez primeros términos. a) 59049 b) 57046 c) 59048 d) 59047 e) 58048
c)
2
22
−2 3
2
20 sumandos 20
a) 2(3
20
− 1) b) 2(3
d) 2(3
21
19
− 1) e) 3
+ 1) c) 2(3
20
)
−1
16. Calcular el valor de “S” : S= a) 8 d) 6
21
0
1
2
8(9 + 9 + 9 + ..... + 9
b) 9 e) 10
20
)+1
c) 7
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 17. El costo de una yegua se vincula al número de clavos que lleva en las herraduras, cotizando el primero clavo en 3 dólares, el segundo clavo en 9 dólares, el tercer clavo en 27 dólares y así sucesivamente siempre triplicando hasta el último clavo. Determine el costo de la yegua, si en total la yegua lleva 8 clavos. a) 9840 b) 3280 c) 29520 d) 12680 e) 9060 18. Un sacerdote le confiesa un grave pecado a su sacristán que poco prudente se lo cuenta a grupo de fieles. Cada uno de estos fieles le cuenta el pecado a otros dos fieles al cabo de 1 hora, y así sucesivamente se va transmitiendo el secreto. Si al cabo de 12 horas lo saben 12285 fieles, ¿a cuántos fieles se lo conto inicialmente el sacristán? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 19. Un padre de familia ha propuesto a su hijo 8 problemas, ofreciéndole un dólar por resolver correctamente el primer problema, 2 dólares por el segundo, 4 dólares por el tercero y así sucesivamente. Si el hijo resuelve todos los problemas, ¿Cuántos dólares recibirá? a) 132 b) 255 c) 250 d) 248 e) 200 20. Chiquilín un veterano judoka, recibe como recompensa 1 céntimo por el primer competidor al que venció en las olimpiadas; 2 por el segundo; 4 por el tercero; y así sucesivamente. Cuando se hizo el recuento, Chiquilín resulto recompensado con 655 soles y 35 céntimos ¿a cuántos competidores venció?. a) 15 b) 16 c) 17 d) 20 e) 30 21. Si durante 20 años, debido a una situación crítica en la cual los hechos han ido golpeando las mentes de las personas, un hombre consciente, concientiza a 5 hombres por año y cada uno de estos concientiza a un Academia GAUUS
individuo por año. ¿Cuál es el número de hombres capaces de transformar su realidad a partir de la conciencia de los hechos al cabo de 20 años? a) 10(2
19
c) 10 × 2
− 1)
18
+5
19
−4
e) 10 × 2
b) 10 × 2
18
+6
19
−5
d) 10 × 2
22. Calcule: A = 9 + 99 + 999 + + 999 999 20 cifras
a) b) c) d)
10
21
− 190 9
10
20
− 190 9
10
19
10
e) 10
− 100 9
21
− 10 9
19
− 180
23. Calcule: A =7 + 77 + 777 + + 777 777 20 cifras
7 21 a) (10 − 190) 81 7 21 b) (10 − 190) 9 7 19 c) (10 − 190) 81
d) 10
21
− 190
e) 81(10
21
− 190)
24. Halle el valor de la siguiente serie 4 + 44 + 444 + + 444 444 20 cifras
10 20 − 190 a) 4 81
267
JOHN MAMANI M. 27. Halle el valor de S.
10 21 − 10 b) 4 + 20 81
S = a + aa + aaa + + aaa aaa 10 sumandos
10 21 − 190 c) 4 81
a) b)
10 20 − 10 d) 40 81
c)
10 20 − 1 e) 40 81
d)
25. Calcule el valor de: 11 + 101 + 1001 + 10001 + + 100 01 100 cifras
a) b) c) d) e)
10 77 (10 − 1) + 99 7 10 88 (10 − 1) + 88 9 10 99 (10 − 1) + 99 9 10 99 (10 − 1) + 89 7 10 99 (10 − 1) + 100 3
ncifras
b) c) d) e)
268
10
n +1
+ 9n − 10 27
28. Hallar la suma de los 20 primeros términos múltiplos de 3. a) 620 b) 630 c) 600 d) 590 e) 456 29. Calcular la suma de los 36 primeros múltiplos de 7. a) 4736 b) 4528 c) 4792 d) 4662 e) 4972
26. Si “n” es un entero positivo, el valor de la suma es: 3 + 33 + 333 + ..... + 3.......3 a)
e)
100 9 (10 − 11)a 9 10 9 (10 − 9)a 81 100 9 (10 − 1)a 81 10 9 (10 − 1)a 9 100 9 (10 − 1)a 81
30. Calcular la suma de todos los número naturales, múltiplos de 6, menores que 200. a) 3636 b) 3663 c) 3366 d) 3676 e) 3456 31. En una progresión geométrica el primer término es 8 y la razón es 2. Calcula la suma de los 9 primeros términos de esta progresión. a) 3890 b) 2980 c) 4088 d) 4880 e) 3980
n
10 − 9n − 10 27 10
n +1
− 9n − 10 27
n
10 − 9n + 10 27 10
n +1
32. Calcula la suma de los 7 primeros términos de una progresión geométrica que tiene por primer término a 8 y por razón 2. a) 762 b) 504 c) 1524 d) 1016 e) 3048
− 9n + 10 27
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SERIES FRACCIONARIAS PROBLEMA 01 Halla el valor de “R”: 1 1 1 1 1 R= + + + ++ 2 6 12 20 600 a) 24/23 b) 24/22 c) 25/24 d) 24/25 e) 22/24
= R
Resolución Primera forma: 1 1 1 1 R= + + + ... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 24 × 25 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − = R − + + + .... + 1 2 3 4 2 3 24 25
1 1 = R − 1 25 R=
24 25
1 1 1 1 1 + + ++ 2 × 2 1× 2 2 × 3 3 × 4 5× 6
Por propiedad 1 5 R= 46 5 R= 24
PROBLEMA 03 Calcule el valor de la siguiente serie 1 1 1 1 M= + + ++ 3 × 7 7 × 11 11 × 15 47 × 51 a) 8/51 b) 2/51 c) 7/51 d) 5/51 e) 4/51
Resolución
Segunda forma: 1 1 1 1 1 R= + + + + ... + 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 24 × 25 Propiedad: 24 R= 25
M=
1 1 1 1 + + ++ 3 × 7 7 × 11 11 × 15 47 × 51 +4
+4
+4
+4
Forma Práctica Serie Notable # 14 1 1 1 = M − r a 1 a n 11 1 − 4 3 51 4 M= 51
= M
PROBLEMA 02 Hallar: 1 1 1 1 + + ++ 2× 4 4× 6 6× 8 10 × 12 a) 5/24 b) 23/11 c) 21/14 d) 10/12 e) 24/25 R =
Resolución Factorizando 1 1 1 1 R = + + ++ 2× 4 4× 6 6× 8 10 × 12 Academia GAUUS
PROBLEMA 04
Calcule la suma de inversas (respecto a la multiplicación) de los términos de la siguiente sucesión: 10 ; 40 ; 88 ; 154 ; 36 términos
269
JOHN MAMANI M. a) 9/55 d) 18/25
b) 12/37 e) 19/75
c) 37/55
M=
Resolución 1 1 1 1 M= + + + + 10 40 88 154 1 1 1 1 M= + + + + 2 × 5 5 × 8 8 × 11 11 × 14 +3
+3
+3
Luego:
+3
Halle la última fracción, sabiendo que el número de términos es 36
1 1 1 1 1 + + + + 2 × 5 5 × 8 8 × 11 11 × 14 107 × 110
Forma Práctica Serie Notable # 14 1 1 1 = M − r a 1 a n 1 1 1 − 3 2 110 9 M= 55
M =
t n = t 1 + (n − 1)r t 36 =2 + (36 − 1)3 t 36 = 107
¡Comprueba lo que sabes! 05. Hallar:
01. Calcular: 1 + 1 + 1 ++ 1 S= 1× 2 2 × 3 3 × 4 29 × 30 a) 19/20 b) 20/19 c) 18/2 d) 18/19 e) 29/30
02. Calcular:
06. Calcular:
1 1 1 1 + + ++ S= 1× 2 2 × 3 3 × 4 21 × 22
a) 16/18 d) 11/18 03. Resolver: S =
b) 14/19 e) 17/18
c) 21/22
1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 20 términos
a) 9/10 d) 1
b) 10/11 e) 20/21
c) 1/11
04. Calcular: 1 + 1 + 1 ++ 1 S = 3 × 6 6 × 9 9 × 12 30 × 33 a) 10/33 b) 10/99 c) 10/44 d) 1 e) 99/11
270
1 + 1 + 1 ++ 1 5 ⋅ 10 10 ⋅ 15 15 ⋅ 20 100 ⋅ 105 a) 4/105 b) 50/51 c) 49/50 d) 1 e) 2/51
S=
1 1 1 1 + + ++ 2 ⋅ 6 6 ⋅ 10 10 ⋅ 14 22 ⋅ 26
a) 11/96 d) 15/90
b) 12/98 e) 3/26
c) 10/93
07. Efectuar: 1 1 1 1 + + ++ 2 × 5 5 × 8 8 × 11 35 × 38 a) 1/39 b) 3/19 c) 5/19 d) 6/5 e) 2/19 08. Halle: 1 1 1 1 + + ++ 2 × 7 7 × 12 12 × 17 87 × 92 a) 9/92 b) 9/91 c) 5/92 d) 6/97 e) 2/97
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 09. Halla el valor de: 1 1 1 1 + + ++ 5 × 8 8 × 11 11 × 14 41 × 44 a) 7/220 b) 15/220 c) 13/220 d) 21/220 e) 12/127 10. Ejecutar: 1 1 1 1 + + ++ 4 × 7 7 × 10 10 × 13 61 × 64 a) 5/64 b) 5/22 c) 5/27 d) 5/4 e) 5/61 11. Halle el valor de la serie: 3 3 3 3 + + ++ 5 × 8 8 × 11 11 × 14 32 × 35 a) 6/35 b) 8/35 c) 4/35 d) 11/35 e) 9/35
c)
4n + 1 (n + 2)(n + 6)
e)
2 (4 n + 1)(4 n + 5)
d)
n+1 10(n + 6)
15. Calcular: S=
a) 43/14 d) 40/43
1 1 1 1 + + ++ 4 28 70 1720 b) 14/43 c) 17/36 e) 43/40
16. Calcular: 1 1 1 1 + + ++ 2 ⋅ 6 4 ⋅ 9 6 ⋅ 12 48 ⋅ 75 a) 0,25 b) 0,16 c) 0,15 d) 0,24 e) 0,27 M=
17. Halle:
12. Efectuar: 3 3 3 3 + + ++ 5× 6 6×7 7× 8 40 × 41 a) 124/175 b) 128/245 c) 129/295 d) 136/225 e) 108/205 S =
13. Calcular la suma 1 1 1 1 + + ++ 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1)(2n + 1) a)
n 2n + 3
b)
n 2n + 2
d)
n 2n − 1
e)
n 2n − 2
c)
n 2n + 1
14. Dada la siguiente serie 2 2 2 2 + + ++ 5 × 9 9 × 13 13 × 17 (n + 2)(n + 6) Indique la expresión que representa su valor. n+ 4 n+ 2 b) a) (n + 2)(n + 6) 5(n + 6)
1 1 1 1 + + ++ 6 × 6 12 × 9 18 × 12 60 × 33 a) 1/96 b) 1/98 c) 5/93 d) 5/99 e) 1/89
18. Ejecutar: 1 1 1 1 + + ++ 2 × 4 3 × 8 4 × 12 31 × 120 a) 17/57 b) 17/63 c) 15/62 d) 19/71 e) 19/61 S =
19. Efectuar: 3 5 7 9 11 41 − + − + −+ 2 6 12 20 30 420 a) 20/21 b) 21/20 c) 22/21 d) 21/22 e) 20/23 S=
20. Calcular: E=
1 1 1 1 + + + + 2 × 3 6 × 5 10 × 7 14 ×9 20 sumandos
Academia GAUUS
271
JOHN MAMANI M. a) 10/12 d) 1/12
b) 10/41 e) 2/25
c) 21/41
21. Calcular “P”: 1 1 1 + + + P= × × × 11 4 5 10 8 16 30 Sumandos
a) 45/64 d) 5/124
b) 15/184 e) 5/182
c) 5/92
26. Hallar el valor de “m”: 2 2 2 2 + + ++ = 0,64 1 × 4 4 × 7 7 × 10 m a) 460 b) 504 c) 550 d) 598 e) 700 27. Si: 1 1 1 + + + = 0,15 30 42 56 " n " sumandos
22. Halle el valor de 1 1 1 S= + + + 7 × 10 9 × 14 11 × 18
El valor de “n” es: a) 13 b) 15 d) 20 e) 12
c) 10
30 Sumandos
a) 31/64 d) 5/61
b) 3/65 e) 7/69
c) 2/43
1 1 1 1 + + ++ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 4 ⋅ 6 ⋅ 8 6 ⋅ 8 ⋅ 10 40 ⋅ 42 ⋅ 44
23. Halla el valor de: 7 7 7 S= + + + 2 × 5 5 × 8 8 × 11 15 terminos
a) 105/94 d) 90/103
b) 94/105 e) 90/101
28. ¿Cuál es el valor de la serie?
c) 103/90
a) 115/3696 b) 117/632 d) 119/3656 e) 115/2344
c) 125/622
29. Calcular: 1 2 3 4 + + + + 2 × 3 3 × 5 5 × 8 8 × 12 20 terminos
24. Calcular: 1 2 3 4 + + + + 1 × 2 2 × 4 4 × 7 7 × 11 10 terminos
a) 54/61 d) 1/30
b) 60/61 e) 31/60
c) 55/56
25. Sabiendo que: 1 1 1 1 19 + + ++ = 5 ⋅ 7 7 ⋅ 9 9 ⋅ 11 x ( x + 2) 215 Calcular el valor de “x” a) 40 b) 41 d) 42 e) 48
272
c) 43
a) 105/212 d) 115/213
b) 112/201 e) 351/60
c) 115/56
30. Hallar la suma de: 1 2 3 10 + + ++ 1024 512 256 2 a) 9215/1024 b) 9217/1024 c) 115/512 d) 15/512 e) 123/2 31. Calcular: 1 2 3 4 + + + + 4× 5 5×7 7 × 10 10 × 14 40 terminos
a) 205/824 d) 204/825
b) 210/821 e) 211/824
c) 215/824
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SUMA LÍMITE
Resolución
PROBLEMA 01 Hallar el valor de la siguiente serie infinita. 4 4 S = 36 + 12 + 4 + + + ....... 3 9 a) 53 b) 55 c) 57 d) 54 e) 56
36 + 12 + 4 + ×
1 3
Sabemos: S = = S
×
1 3
×
1 3
4 4 + + ....... 3 9 ×
3S = 1 +
(− ) S=
Resolución S=
Multiplicamos a ambos miembros por 3; luego restamos miembro a miembro
1 3 5 7 9 + + + + + 3 9 27 81 243
2S = 1 +
1 1 ⇒ q= 3 3
T1
3 5 7 9 + + + + 3 9 27 81
2 2 2 2 + + + + 3 9 27 81 suma límite
2 3
2S= 1 +
1− q
1−
36 = 54 1 1− 3
1 3
2 2S= 1 + 3 2 3 2S = 2
PROBLEMA 02
∴S = 1
Hallar el valor de “S” en: 1 3 5 7 S= + + + + 3 9 27 81 a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) 3
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar: S = 32 + 16 + 8 + 4 + ∞ a) 32 d) 16
b) 64 e) 1
S= 108 + 36 + 12 + 4 +
b) 162 e) 102
Academia GAUUS
S= 100 + 20 + 4 +
c) 128
02. Halla el valor de “S”:
a) 126 d) 154
03. Halla el valor de “S”:
4 + ∞ 3
c) 145
a) 125 d) 150
b) 138 e) 1000
4 + ∞ 5
c) 145
04. Calcular: S=
1 1 1 1 + + + + ∞ 2 4 8 16
273
JOHN MAMANI M. a) 1/2 d) 1
b) 1/3 e) 25
c)1/4
05. Halle:
a) 4 d) 2
b) 6 e) 1/2
11. Hallar la suma: 1 1 1 1 S= + + + + ∞ 5 20 80 320
a) 4/15 d) 1
b) 15/4 e) 2
c)3/1020
06. Calcular: 1 1 1 1 S= + + + + ∞ 9 27 81 243
a) 1/2 d) 1
b) 1/3 e) c)1/6
c)1/5
07. Calcular la suma de los infinitos términos dados: 1 1 1 K =2+ + + + ∞ 8 16 32 a) 2,85 d) 4,99
b) 2,25 e) 3,25
c) 2,65
08. Sumar: S =2+
a) 0,43 d) 0,043
2 2 2 2 + + + + ∞ 3 27 243 1287
b) 2,75 e) 0,32
b) 4/5 e) 3/5
S=
a) 2/5 d) 9/4
c) 2/3
3 3 3 + + +
274
c) 2/3
12. Determinar la suma de los infinitos términos dados: 9 18 36 72 S= + + + + ∞ 20 80 320 1280 a) 10/9 d) 3/10
b) 9/10 e) 1/9
c) 10/3
13. Dada la Progresión geométrica 3 − 9 27 − 81 ; ; ; ; 5 20 80 320 Calcular la suma límite de sus términos: a) 12/35 d) 1/2
b) 11/3 e) 2/53
c) 35/12
14. Hallar: M + N 1 1 1 + + + 3 9 27 1 1 1 1 + + N= + + 4 8 16 32
M =1 +
a) 1,5 d) 2,25
b) 1,75 e) 3
c) 2
15. Calcule el valor de: S =+ 1
10. Hallar la raíz cubica de “S” 2 2 2 S= + + + 2 4 8 5 25 125
3 1 1 2 + + + + 4 2 3 9
b) 1/6 e) 4/9
c) 0,41
09. Calcule: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 3 6 12 2 8 32 a) 4/3 d) 2/5
c) 8
a)
2 1 2 1 2 + + + + + 4 4 16 16 64
11 4
d) 2 +
2
b)
2 16
e)
(4 − 2) 3
c)
(4 + 2) 3
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 16. Calcule el valor de la suma límite: 1 1 1 1 1 + − + S =1 − + − 3 9 27 81 243 a) 1/2 d) 3/4
b) 1/3 e) 4/5
c)2/3
17. Halle el valor de la serie. 1 1 1 1 1 1 − + + S =1 + − + + 2 4 8 16 32 64 a) 10/7 d) 1/2
b) 3/10 e) 4/3
c) 4/5
18. Calcular la suma de los infinitos términos dados: 1 2 1 2 1 2 + + + + + + 7 72 7 3 7 4 75 76 a) 3/16 d) 6/19
b) 4/17 e) 7/20
c) 5/18
19. Calcular: 1 2 1 2 1 2 + + + + + + 3 3 2 3 3 3 4 3 5 36 a) 5/8 d) 13/9
b) 3/8 e) 13/8
c) 11/8
1 3 1 3 S = + + + + ... 7 72 73 74
b) 7/17 e) 5/24
c) 4/17
21. Hallar el valor de “S” en: 1 3 5 7 S= + + + + 3 9 27 81 a) 1 d) 1/3
3 4 3 4 3 S= + + + + + ......... 5 52 53 54 55
a) 7/5 d) 3/25
b) 1/5 e) 19/24
c) 1
23. Halle el valor de “S” en: 1 3 5 7 S= + + + + 6 62 63 64 a) 1/25 d) 6/25
b) 2/25 e) 7/25
c) 3/25
24. Calcule: 1 2 3 4 5 + + + + ∞ S= + 3 32 33 34 35
a) 5/4 d) 3/5
b) 3/4 e) 4/5
c) 5/3
25. Calcule: S=
a) 3/49 d) 8/49
1 2 3 4 + + + + ∞ 8 82 83 84
b) 6/49 e) 9/41
c) 7/46
26. Calcule:
20. Hallar:
a) 7/16 d) 5/17
22. Calcular:
b) 1/2 e) 3
Academia GAUUS
c) 2
1 2 3 4 5 S= + + + + + ∞ 5 52 53 54 55
a) 5/9 d) 5/29
b) 5/19 e) 6/14
c) 5/16
27. Determinar el valor de “S”: 1 2 3 4 S= + + + + ∞ 10 10 2 10 3 10 4 a) 10/27 d) 1/2
b) 10/81 e) 1/81
c) 81/100
275
JOHN MAMANI M. 28. Calcular el valor de “S” 2
3
1 1 1 S= 1 + 2 + 3 + 4 + 2 2 2
a) 3 d) 1
b) 4 e) 2
c) 5
34. Hallar: S = 3125 + 2500 + 2000 + 1600 + a) 25255 d) 8400
2− k
Cuando: n → ∞ b) 4,5 e) 2,5
S =2+
a) 3,8 d) 2,5 c) 5,5
b) 1/2 e) 1/36
c) 1/9
31. Hallar el valor de la siguiente serie: 1 5 9 + + S= + 6 36 216 a) 3/4 d) 1
b) 1/3 e) 1/2
c) 9/25
32. Calcular el valor de: 1 1 3 1 5 1 S= + + + + + + 4 4 16 8 64 64 a) 1/2 d) 1/4
b) 1 e) 3
c) 1/3
33. Calcule: S=
a) 1 d) 4
276
1 2 3 4 + + + + ∞ 2 22 23 24
b) 2 e) 5
c) 3
5 13 35 + + + ........ 6 36 216
b) 4,5 e) 2,6
c) 3,5
36. Halle el valor de: 2 2
2
2 3
+ + +∞ π π π 3 3 3 + + + + π 64 32 16
30. Hallar la suma límite de la serie infinita: 1 5 19 65 S= + + + + 2 × 3 4 × 9 8 × 27 16 × 81 a) 1/3 d) 1/4
c) 78125
35. Calcular:
29. Si: S k = 3 Calcular: S = S1 + S 2 + S 3 + S 4 + S n
a) 3,5 d) 1,5
b) 15000 e) 15625
127 π 64 d) 2π
a)
126 π 64 e) 125π
b)
c)
129 π 64
37. Calcular: 1 2 3 4 + + + .... E= + 7 49 343 2401
a) 1/49 d) 1/3
b) 7/36 e) 13/37
c) 1/2
38. Efectuar: 1 1 1 1 E= + + + + ........ 5 20 80 320
a) Infinito d) 3/1020
b) 15/4 e) 1
c) 4/15
39. Calcular: S=
a) 0,1 d) 1,9
9 18 36 72 + + + + .... 20 80 320 1280
b) 0,7 e) 0,9
c) 0,6
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 40. Determina la suma de los perímetros de los infinitos triángulos equiláteros formados como muestra la figura (el lado es la mitad del otro anterior)
12
a) 144π d) 192π a a) 6a d) 18a
b) 9a e) 36a
c) 12a
41. Determinar la suma de las áreas de los infinitos cuadrados formados como se muestra en la figura (tomando como lado la mitad del lado del cuadrado anterior, teniendo en cuenta que tiene mayor lado e igual a una longitud de “a” unidades) A
b) 160π e) 200π
c) 180π
43. Determinar la suma de las áreas de los infinitos triángulos equiláteros formados como muestra la figura (tomando como lado la mitad del lado del triángulo anterior, teniendo en cuenta que el primer triángulo es el triángulo más grande)
a
B
a 2
a 4
a 8
O O’
a)
3 2 a 4
d)
3a
O” D 4a 3
2
3a d) 4
2
a)
C 10a 3
2
12a e) 5
2
b)
c)
16a 3
2
a 2
42. Hallar la suma de las áreas de los infinitos círculos así formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior.
Academia GAUUS
2
b)
3 2 a 3
e)
3 2 a 2
44. Si los radios de circunferencias son:
3 2 a 8
c)
una
sucesión
de
1m ; 1 m ; 1 m ; 1 m ,....... 2
4
8
La suma de sus correspondientes longitudes son: a) π d) 8π
b) 2π e) 16π
c) 4π
277
JOHN MAMANI M. 45. Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide “a”. Se toman los puntos medios de sus lados y al unírseles se forman otro triángulo equilátero, en este triángulo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se les une, formando otro triángulo equilátero y repetimos la operación infinitas veces. Calcular la suma de las áreas de todos estos triángulos formados, incluyendo el mayor. a)
a
d) a
2
3
3
2
3
b)
a
e)
a
2
3
2
2
c)
a
2
3
4
2
6
2 d) πR 2
b) 2 πR
2
c) 4 πR
2
2 e) 3 πR 4
47. Una pelota de hule de una altura de 18 metros y cada vez rebota hasta una tercera parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular el espacio total recorrido por la pelota hasta que teóricamente quede en reposo. a) 30 m d) 39 m
b) 36 m e) 30 m
c) 25 m
48. Una pelota se deja caer desde una altura de 20 m y en cada rebote se eleva 1/3 de la altura anterior. ¿Cuál es el espacio total recorrido por la pelota hasta detenerse? a) 30 m d) 40 m
b) 45 m e) 20 m
c) 25 m
49. Dejamos caer una pelota, desde una altura de 96 metros y en cada rebote se eleva hasta los
278
a) 480 m d) 400 m
b) 450 m e) 192 m
c) 205 m
50. Una pelota se suelta desde una altura de 17 metros. Si en cada rebote alcanza una altura igual a los 2/3 de la altura anterior, calcular la distancia total recorrida hasta que se detenga a) 85 m d) 160 m
3
46. En un círculo de radio R se inscribe un cuadrado; en este cuadrado se inscribe un círculo en este otro cuadrado y así sucesivamente (indefinidamente). Se quiere saber el límite de la suma de las áreas de los círculos. a) πR
2/3 de la altura desde la cual cae. Calcular el recorrido total de la pelota hasta que se detiene.
b) 84 m e) 80 m
c) 120 m
51. Desde cierta altura se deja caer una pelota y se observa que en cada rebote alcanza sólo los 2/3 de la altura de donde cae. Si hasta el momento de detenerse ha hecho un recorrido de 100m, ¿de qué altura se dejó caer? a) 25 m d) 20 m
b) 10 m e) 15 m
c) 24 m
52. Una pelota de hule cae desde una altura determinada y cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 4/5 de altura alcanzada en el rebote inmediato anterior. ¿Cuál ha sido la altura desde la cual dejo caer la pelota de hule, si cuando se detuvo había recorrido 180 metros? a) 30 m d) 40 m
b) 45 m e) 20 m
c) 25 m
53. Al dejar caer una pelota cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/5 de la altura anterior. Si en el momento que va a dar su cuarto rebote ya ha recorrido en total 1124cm. ¿De qué altura cayo? a) 150 d) 500
b) 250 e) 725
c) 400
54. Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m de altura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual a la mitad de la altura Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. anterior. ¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta que quedó teóricamente estática? a) 48 m d) 24 m
b) 96 m e) 108 m
c) 72 m
55. Una pelota se deja caer desde una altura de 160cm. después de cada rebote se eleva nuevamente una altura igual a la mitad de la altura de la cual cayó. ¿Qué altura se elevara después del cuarto rebote? a) 10cm d) 80cm
b) 20cm e) 5cm
c) 40cm
56. Al dejar caer al suelo una pelota cada vez que rebota se eleva una altura igual a los 2/5 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 16cm. ¿De qué altura cayó inicialmente? a) 350cm d) 150cm
b) 250cm e) 200cm
c) 400cm
57. Se deja caer una pelota desde 20,48m. Cada rebote que da alcanza 1/2 de la altura anterior. ¿Cuántos rebotes ha dado si la última altura que alcanzo es de 0,04m? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
b) 48m e) 58m
c) 16m
e) 596m
60. Una pelota se deja caer desde 10m. De altura, si la longitud total recorrida por la pelota hasta que se detuvo fue de 40m. ¿Qué altura alcanzo después del segundo rebote? a) 3,2m d) 6,4m
b) 3,4m e) 6m
c) 3,6m
61. La masa de un péndulo recorre 36 cm. durante la primera oscilación. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Determine en cm. la distancia total recorrida por la masa hasta que se detiene por efecto de la resistencia del aire. a) 96 d) 108
b) 98 e) 112
c) 102
62. La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación; en cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 3/4 de lo recorrido en la oscilación anterior. Calcule el espacio total recorrido de la masa hasta el momento de detenerse. a) 325 cm d) 2048 cm
c) 8
58. Una pelota se deja caer desde una altura de 18m. En cada rebote pierde un tercio de la altura de la cual cayo. Calcular el espacio total recorrido por la pelota hasta que toca el suelo por tercera vez a) 28m d) 64m
d) 350m
b) 228 cm e) 64 cm
c) 128 cm
63. La masa de un péndulo recorre 27 cm en la oscilación inicial, en cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la oscilación anterior. ¿Cuál será la distancia que habrá recorrido dicha masa hasta el momento de detenerse? a) 35 cm d) 81 cm
b) 54 cm e) 108 cm
c) 72 cm
59. Se deja caer una pelota, desde una altura de 300m y en cada rebote se eleva hasta 1/3 de la altura desde la cual cae. Hallar el recorrido total de la pelota hasta que se detiene. a) 500m
b) 450m
Academia GAUUS
c) 650m
279
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Calcular: (− 1) + 2 + (− 3) + 4 + (− 5) + + (− 169) + 170 a) 85 b) 86 c) 90 d) 100 e) 170
La suma de los “n” primeros números naturales consecutivos, pares consecutivos es (3n + 6) . Hallar “n” a) 12 b) 15 c) 17 d) 13 e) 16
Resolución Sumamos dos términos y resulta (1) S = 1 + 1 + 1 + + 1 → (85 términos) S = 85(1) S = 85
Resolución Del enunciado n(n + 1) 2 + n(n + 1) + n = 31n + 6 2 2
n(n + 1) + 2n(n + 1) + 2n = 62n + 12 2
PROBLEMA 02
3n(n + 1) + 2n = 62n + 12
Halla el valor de la “S”: S = 2 + 6 + 12 + 20 + + 210 a) 1012 b) 1120 c) 1220 d) 2012 e) 2011
2
2
3n + 3n + 2n = 62n + 12 2
5n − 59n − 12 = 0
(n − 12)(5n + 1) = 0
n = 12
Resolución S = 2 + 6 + 12 + 20 + + 210 S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + … + 14 × 15
Por Propiedad 14 × 15 × 16 S= 3 S = 1120
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar la suma: S = 1 × 3 − 3× 5 + 5×7 − 7× 9 + 40 sumandos
a) 3280 d) 3500
b) 1570 e) −3280
c) 1250
02. ¿Cuál es la suma de la serie? S = 1 × 3 − 3× 5 + 5×7 − 7× 9 +
a) –840 d) –842
b) –848 e) –860
c) –800
03. Calcule la siguiente suma: S = 1 × 3 + 3× 5 + 5×7 + 7× 9 + 20 sumandos
a) 11460 d) 2830
b) 12510 e) 10534
c) 32506
20 sumandos
280
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 04. Reducir: 0 × 1 − 1 × 2 + 2 × 3 − 3 × 4 + + 100 × 101 1 × 2 − 2 × 3 + 3 × 4 − 4 × 5 + + 101 × 102 a) 50/49 b) 50/53 c) 51/50 d) 50/51 e) 58/55 05. Hallar el valor de x si: 5
3.
5
3
3 .
a) 6 d) 4
5
5
3
b) 5 e) 2
5
3
2x + 1
= 243
c) 3
06. Hallar “x” 7
a) 1 d) 9
7
7
3
5
7
2x + 1
3 × 3 × 3 × ... 3 2187 = b) 3 c) 6 e) 12
07. Hallar: “n” 4 3 4 5 4 7 4 2n −1 2. 2 . 2 . 2 2 = 512 a) 4 b) 10 c) 6 d) 8 e) 12 4
08. Hallar los 4 últimos dígitos de la suma 64 + 6464 + 646464 + + 6464 64 64 dígitos
a) 8448 d) 2552
b) 2442 e) 2332
c) 5445
09. Hallar el valor de: = S 31(7) + 31(10) + 31(13) + + 31(91) a) 4478 d) 4576 10. Calcular: a) 3071 d) 3064
b) 4477 e) 4222
c) 4578
S = 1 + 3 + 6 + 12 + + 1536 b) 3074 c) 3070 e) 3069
11. Un campeonato durará 39 días. Si cada día se jugarán 4 partidos, ¿cuántos equipos participan, sabiendo que se jugarán 2 ruedas? (Todos contra todos)
Academia GAUUS
a) 18 d) 12
b) 17 e) 13
c) 19
12. En una reunión todos los asistentes se saludaron con un apretón de manos, si en total hubo 28 apretones de manos. ¿Cuántos asistieron a la reunión? a) 8 b) 6 c) 9 d) 7 e) 5 13. Una persona debe recorrer 3275 m y los hace de la siguiente manera, en el primer minuto recorre "a" metros, en el segundo minuto recorre "2a" metros y retrocede 10m, en el tercer minuto recorre "3a"m y retrocede 10m, en el cuarto minuto recorre "4a"m, y retrocede 10m, y así sucesivamente, llegando a la meta en 21 minutos exactamente. Hallar "2a". a) 15 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32 14. Un cura da propina a un grupo de niños en cantidades que forman una progresión aritmética, al séptimo niño le tocó la mitad de lo que le tocó al último y a este el quíntuplo de lo que le tocó al primero. ¿Cuántos niños son? a) 15 b) 12 c) 16 d) 17 e) 20 15. Julio entra a laborar a una fábrica y le piden aumentar su productividad diariamente en 4 unidades. Si lo producido el último día es igual al cuádruplo del número de días que ha estado trabajando. ¿Cuántas unidades ha producido el décimo segundo día? a) 44 b) 48 c) 36 d) 40 e) 96 16. Karina trabaja diariamente en un puesto de venta. El 30 de Octubre obtiene S/. 9, al día siguiente gana S/.13 y gasta S/.1, al día siguiente gana S/.17 y gasta S/.3, al día siguiente gana S/.21 y gasta S/.6 y así sucesivamente. ¿Qué día será cuando lo que gana es igual a lo que gasta?
281
JOHN MAMANI M. a) 8 de noviembre b) 7 de noviembre c) 9 de noviembre d) 10 de noviembre e) 20 de noviembre 17. Una hormiga recoge las migajas de pan que hay frente a su hormiguero, ubicadas en una línea recta y equidistantes entre sí 7,5 cm. La hormiga arrastra las migajas hacia su hormiguero, llevando sólo una a la vez, estando la primera a 9cm de su entrada, donde las deposita, recorriendo en total 14,04 metros. ¿Cuántas migajas recogió si partió de su hormiguero? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 18. En una dulcería Maricruz compra una caja de chocolates y el vendedor le regala un chocolate por su compra. En una segunda vez compra 2 cajas y le regalan 3 chocolates, la tercera vez compra 4 cajas y le regalan 6 chocolates, la cuarta vez compra 7 cajas y le regalan 10 chocolates. ¿Cuántos chocolates recibirá cuando entre a la tienda por décimo cuarta vez?, Cada caja contiene 11 chocolates. a) 1 171 b) 1 117 c) 1 271 d) 1 277 e) 1 217 19. Una persona debe vaciar un balde de agua a cada uno de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8m. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua y el pozo donde sacará el agua está a 10m del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado con su tarea y haber vuelto el balde donde está el pozo? a) 3 440m b) 3 452m c) 1 032m d) 2 800m e) 5 320m
282
20. Calcule la suma de los números de forma (4k + 3) , donde k = 1,2, 3, n 2
b) 3n + 2n
2
e) 3n + 4n
2
a) 2n + 3
2
c) 2n + 5n
2
d) 3n + 5
21. Dados: S1 = 10 × 11 + 11 × 12 + 12 × 13 + ... + 20 × 21 S 2 = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 20 × 21 Hallar: S1 − S 2 a) 5310 b) 5410 d) 5610 e) 5710
c) 5510
22. Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30.
1
2 4 7
5 8
11 12 a) 465 d) 910
3 6 9 13
10 14
b) 850 e) 999
15
c) 890
23. Hallar la suma total si hay 20 filas:
1
2 3 4 5 a) 2870 d) 2872
2 3
4 5
3 4
5
b) 2780 e) 2880
4 5
5 c) 2875
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 24. Hallar la suma total en el siguiente arreglo triangular:
F1 F2 F3 F4 F5
1 3 5 7 9
2 1
2 4
4 3
5
6 6
8
F20 a) 15486 d) 15342
b) 15480 e) 15398
27. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico. F1 1
a) 3225 d) 1515
b) 2525 e) 4225
16 49
3 + 4 + 5 4 + 5 + 6 + 7
26. Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico: 2
1 + 22 + 3 2 + 42 + 52 + ........... + 20 2 2 2 + 3 2 + 42 + 52 + ........... + 20 2 3 2 + 42 + 52 + ........... + 20 2 42 + 52 + ........... + 20 2
Academia GAUUS
20 2
Fila 1 Fila 2
9 25
64
a) 804470 d) 805070
Es igual a 2380, ¿cuántas filas tiene el arreglo? a) 35 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41
c) 44400
F4
c) 3025
1
4
1 2 + 3
b) 42400 e) 4540
F3
28. En el siguiente arreglo triángulo calcular la suma de los términos de F20
c) 15470
25. La suma de la última fila del arreglo:
a) 44100 d) 4300
F2
5 9 11 13 15 17 19 3
7
36 81
Fila 3 Fila 4
100
Fila 20
b) 804670 e) 804600
c) 846470
29. Hallar la suma total del siguiente arreglo: 2 + 4 + 6 + 8 + ……………+ 100 4 + 6 + 8 + ……………… + 100 6 + 8 + ……………… + 100 8 + ………………+ 100 100 a) 45450 d) 95950
b) 65650 e) 75750
c) 85850
30. Hallar la suma total del siguiente arreglo: 50 49 49 48
48
48
47
47
47
47
1
1
1
1
a) 29 000 d) 24 100
b) 28 100 e) 23 100
1 c) 22 100
283
JOHN MAMANI M.
01. Calcula: S = 1 + 8 + 27 + + 8000
07. Calcule el valor de S en: S = 11 + 12 + 13 + 14 + + 30
UNAP–SOC–2012
a) 54120 d) 35200
b) 20400 e) 44100
c) 58200
02. Efectúe:
UNAP–SOC–2014
a) 400 d) 420
b) 380 e) 390
08. Calcule el valor de:
S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + + 20 × 21 × 22
21 + 22 + 23 + + 100
CEPREUNA–SOC–2014
a) 27720 d) 43120
b) 53030 e) 53130
c) 9240
03. Efectuar:
CEPREUNA–SOC–2014
a) 6840 d) 4840
b) 2840 e) 5840
c) 3840
2
S=
3
3
3
3
09. Halle: (C + P + U) , si:
(1 + 2 + 3 + .... + n ) (1 + 2 + 3 + .... + n)
b) 2 e) 5
CPU = 16 + 17 + 18 + + 30
2
CEPREUNA–SOC–2013
a) 1 d) 4
c) 410
c) 3
CEPREUNA–2010
a) 169 d) 144
b) 64 e) 96
c) 81
10. Calcular el valor de S, donde: 04. Hallar la suma de todos los números de tres cifras, que tengan sus cifras iguales. UNAP–EXT–2001
a) 4994 d) 4995
b) 4893 e) 4870
c) 4875
S= 2 + 4 + 6 + 8 + 30 términos
CEPREUNA–2004
b) 930 e) 850
c) 980
06. Calcular: S = 0,1 + 0, 3 + 0, 5 + + 9,7 CEPREUNA–BIO–2013
a) 151, 1 d) 303,2
284
2
2
2
2
UNAP–1997
a) 2433 d) 4323
b) 3342 e) 3234
c) 4233
11. Calcular:
05. Calcular:
a) 880 d) 950
2
S = 7 + 8 + 9 + 10 + + 23
b) 240,1 e) 120,2
c) 193,6
2
2
2
2
S= 33 + 34 + 35 + 36 + + 50
2
UNAP–2003
a) 31420 d) 40280
b) 31485 e) 31220
c) 32000
27. Calcule la décima parte de: K = 2 + 8 + 18 + 32 + + 1250 UNAP–ING–2015
a) 1107 d) 2034
b) 1208 e) 2105
c) 1105
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 12. Un comerciante compra el día de hoy 21 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total si el penúltimo día se compraron 39 cajas? CEPREUNA–2005/2013
a) 720 d) 580
b) 640 e) 496
Halle: S = a1 + a 2 + a 3 + + a 20 CEPREUNA–BIO–2014
a) 85775 d) 80010
b) 1365 e) 1335
c) 1380
14. María es una vendedora de huevos, quién empieza a apilar los huevos sobre la base de 400 de los mismos, llegando a formar una pirámide como el mostrado en la figura: ¿Cuántos huevos apila María en total? CEPREUNA–2008
b) 2860 e) 3600
c) 2800
15. Calcule la suma de los 20 primeros términos de la sucesión, cuyo término enésimo es:
c) 5970
16. Calcular la suma de los 20 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es:
UNAP–EXT–SOC–2015
a) 53 d) 43
UNAP–BIO–2012
Academia GAUUS
b) 33 e) 73
c) 63
20. Calcule " a + b " si: 1+ 2 + 3+ 4 ++ a = 1830 2 + 4 + 6 + 8 + + 2b = 4032 UNAP–ING–2012
a) 123 d) 132
b) 113 e) 63
c) 240
m + n si:
21. Calcule
1+ 2 + 3+ 4 ++ n = 990
3 + 6 + 9 + 12 + + 3m = 630 a) 6 d) 12
b) 8 e) 10
c) 7
22. Halla “x” 3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 ++ x = 672400 UNAP–SOC–2012
2
tn = n + n + 3
b) 3110 e) 3120
c) 15
CEPREUNA–ING–2015 UNAP–BIO–2014
b) 5950 e) 5930
b) 14 e) 17
19. Halle el valor de “x” en: 1+ 3+ 5 + 7 ++ x = 1369
2
a) 3180 d) 3160
c) 89578
UNAP–EXT–SOC–2015
a) 13 d) 16
t n= 2n + n + 1 a) 5960 d) 5990
b) 85579 e) 87795
18. Calcule “n” en: 1+ 2 + 3+ 4 ++ n = 105
CEPREUNA–ING–2013
a) 2870 d) 4050
2
c) 610
13. Hoy Fernando compra 16 paquetes de galletas y ordena que cada día que transcurra se compre un paquete más que el día anterior. En el penúltimo día se compraron 53 paquetes ¿Cuántos paquetes se compraron? a) 1350 d) 1360
3
17. Si: an = 2n − 3n + 2n
c) 3140
a) 60 d) 20
b) 40 e) 50
c) 30
285
JOHN MAMANI M. 23. Halle n, si: 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n − 9) = 400 CEPREUNA–2010
a) 20 d) 24
b) 22 e) 20
c) 30
29. Con 406 canicas, un niño formó un triángulo equilátero. ¿Cuántas bolas formaran la base dl triángulo? CEPREUNA–SOC–2013
a) 18 d) 32
b) 24 e) 40
c) 28
24. Hallar “n” en: 42
(1 + 3 + 5 + (2n + 1))
0,1+ 0,2 + 0,3++ 2
= 19
30. Halle: 2
a) 12 d) 23
b) 10 e) 18
c) 21
2
2
2
S = 3 + 6 + 9 + 12 + + 90
CEPREUNA–2010
2
CEPREUNA–SOC–2014
a) 85095 d) 34750
b) 10325 e) 8095
c) 84225
25. Calcule (a + x ) si: 1+ 2 + 3+ 4 + 5 ++ x = aaa
31. Efectuar: 3
a) 37 d) 48
b) 42 e) 45
c) 39
a) n (n + 1) 2
c) n (n + 1) e)
c) 30
28. Con 105 bolas iguales se forma un triángulo equilátero ¿Cuántas bolas hay en cada lado? UNAP–ING–2013
a) 14 d) 12
286
b) 18 e) 11
2
2
d) 2n (n + 1)
2
2
32. Halle “n”, en: n
a⋅
n
2 n
a ⋅
3
a
n
a
n
20
= a
UNAP–BIO–2013
UNAP–SOC–2013/2014
b) 40 e) 50
3
n 2 (n + 1) 2
c) 55
27. En una fábrica de municiones hay 210 granadas, estas se acomodan en forma triangular de modo que en la primera fila hay una granada; en la segunda 2; en la tercera 3 y así sucesivamente ¿Cuántas filas se forma? a) 60 d) 20
3
CEPREUNA–2004
UNAP–2004
b) 45 e) –75
3
n b) (n + 1) 2
3
26. Una persona empieza a formar un triángulo con 1035 bolas; las coloca de modo tal que en la primera fila se tiene una, en la segunda dos, en la tercera tres y, así sucesivamente ¿Cuántas bolas formarán la base de dicho triángulo? a) 85 d) 65
3
E = 2 + 4 + 6 + 8 + + (2n)
CEPREUNA–BIO–2014
c) 21
a) 30 d) 39
b) 33 e) 42
c) 35
33. Mily y Yesy salen a pasear por el campo, mientras la Mily da 20 pasos en forma constante por cada minuto. Yesy avanza 1 paso en el primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final ambos han dado la misma cantidad de pasos. ¿Cuántos pasos han dado en total cada una? CEPREUNA–BIO–2014
a) 700 d) 745
b) 750 e) 790
c) 780
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 34. Ana y Betty leen una novela de 1100 páginas, Ana lee 50 páginas diarias y Betty lee 10 páginas el primer día, 20 el segundo, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambas comienzan el primero de enero. ¿En qué fecha llegaran a la misma página?
40. Calcule la siguiente suma: S = 1 × 3 + 3× 5 + 5×7 + 7× 9 + 20 sumandos
UNAP–ING–2013
a) 11460 d) 2830
b) 12510 e) 10534
c) 32506
CEPREUNA–2004
a) 15 de febrero b) 17 de febrero c) 8 de enero d) 9 de enero e) 16 de marzo
41. Un frutero está apilando las naranjas con la intensión de formar dos pirámides tetraédricas iguales. Se desea que cada pirámide tenga 20 niveles ¿Cuántas naranjas debe tener como mínimo? CEPREUNA–2011
35. Calcular: S = 1(5) + 2(6) + 3(7) + ..... + 10(14)
a) 420 d) 770
b) 1540 e) 3080
c) 4620
UNAP–EXT–2003
a) 606 d) 613
b) 605 e) 608
42. Calcular: “x” en: 3 + 24 + 81 + 192 + + x = 13068
c) 610
CEPREUNA–ING–2013
36. Hallar la suma de todos los términos en: S = 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + + 36 × 40
a) 3933 d) 3953
b) 3963 e) 1257
c) 3993
UNAP–2006
a) 18510 d) 17740
b) 17520 e) 18870
c) 16250
43. Halle el valor de la siguiente serie: S = 4 + 7 + 10 + + 61 UNAP–BIO–2010/2012
37. Halle la suma de: S= 1(8) + 2(9) + 3(10) + + 26(33) UNAP–2009/2013
a) 8688 d) 8658
b) 8648 e) 8678
c) 8668
a) 600 d) 700
b) 650 e) 750
c) 660
44. Halle el valor de E = 17 + 21 + 25 + 20 sumandos
38. Halla el valor de: = S 1(100) + 2(99) + 3(98) + + 50(51) UNAP–2003
a) 85900 d) 85860
b) 85905 e) 85850
c) 85605
39. Hallar: = S 1(4)(2) + 2(5)(4) + 3(6)(6) + + 20(23)(40) UNAP–EXT–2007
a) 102450 d) 104520
b) 10542 e) 105420
Academia GAUUS
c) 105422
UNAP–EXT–BIO–2015
a) 1034 d) 1100
b) 1017 e) 1200
c) 1000
45. Sumar los 15 primeros términos de la siguiente serie y dar como respuesta la suma de las cifras del resultado S = 1753 + 1804 + 1855 + UNAP–1997
a) 18 d) 30
b) 15 e) 22
c) 20
287
JOHN MAMANI M. 46. Calcule el valor de la siguiente serie: S= 5 + 6 + 7 + 9 +9 + 12 + 11 + 15
a) 35 d) 23
b) 15 e) 25
c) 20
100 sumandos
UNAP–EXT–BIO–2015
a) 6675 d) 6915
b) 6645 e) 6924
c) 6895
UNAP–ING–2015
b) 752 e) 157
( x + 3) + ( x + 7) + ( x + 11) + + ( x + 79) = 840 CEPREUNA–2005
47. Calcular el valor de la suma de una serie aritmética de 19 términos cuyo término central es 17. a) 323 d) 279
52. Resolver:
c) 231
a) 1 d) 9
b) 7 e) 5
53. Se tiene: a + (a + 2) + (a + 4) + + (7a) = xa(ya + 1) Hallar " x + y " UNAP–2006
48. Cuantos términos hay que considerar en las dos sumas siguientes para que tengan el mismo valor: S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + S 2 = 100 + 98 + 96 + 94 +
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
b) 67 e) 57
c) 76
Sn =
UNAP–EXT–2004
b) 35 e) 19
c) 30
UNAP–EXT–2014
b) 174 e) 165
c) 185
51. Halle “x” en: x + ( x + 1) + ( x + 2) + + (3 x ) = 1640 UNAP–2009
288
UNAP–2008
a) 1205 d) 1020
b) 1208 e) 1022
c) 1400
55. Calcule el valor de la suma en: S = 9 + 12 + 17 + 24 + + 177 CEPREUNA–2009/2010
50. El segundo término de una progresión aritmética es 7 y el séptimo término es 22. Calcule la suma de los 10 primeros términos. a) 172 d) 175
2
3n 13n + 2 2
Halle el término 400
49. Encontrar el número de términos de una progresión aritmética que debe considerarse para que su suma sea 304; si el primer término es 4 y la razón es 2. a) 16 d) 18
c) 8
54. En una serie aritmética la suma de todos los términos en función del número de términos es:
UNAP–BIO–2013
a) 104 d) 75
c) 4
a) 814 d) 920
b) 923 e) 873
c) 913
56. Calcule S = 5 + 12 + 21 + + 480 UNAP–ING–2014
a) 3590 d) 3640
b) 3750 e) 3340
c) 3710
57. Calcule la suma de los 20 primeros términos de la siguiente secuencia: S =4 + 11 + 22 + 37 + 56 + CEPREUNA–BIO–2012
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 5956 d) 7700
b) 5669 e) 3080
c) 5970
a) S/. 48 d) S/. 30
b) S/. 31 e) S/. 16
63. Calcule:
58. Halle el valor de 1
2
3
E = 2 + 2 + 2 ++ 2
A =7 + 77 + 777 + + 777 777
10
20 cifras
UNAP–EXT–BIO–2015
a) 1024 d) 2016
b) 2048 e) 2024
c) 2046
UNAP–EXT–2007
a) 2
64
64
−1
b) 2
d) 2
63
−1
e) 16
+1
c) 2
UNAP–EXT–2009
7 21 a) (10 − 190) 81
59. Lahur Sessa inventor del ajedrez pidió al Rey Hindú 1 grano de trigo por el primer casillero y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad, Hasta terminar con los 64 casilleros que contiene un tablero de ajedrez. ¿Cuántos granos de trigo pidió?
b)
7 21 (10 − 190) 9
c)
7 19 (10 − 190) 81 21
d) 10
− 190
e) 81(10
21
− 190)
64
64. Si “n” es un entero positivo, el valor de la suma es: 3 + 33 + 333 + ..... + 3.......3
60. Calcule
ncifras
A=2 + 6 + 18 + 54 +
UNAP–EXT–2012
2003 sumandos
CEPREUNA–ING–2013
a) 3
3002
− 1 b) 2
2003
− 1 c) 2
d) 3
2003
− 1 e) 2
3001
−1
2002
b)
UNAP–BIO–2012
b) 3069 e) 9123
c) 9000
62. Se contrata a un vendedor para venta de autos, prometiéndosele pagar una comisión por el primer auto que venda y luego se le ira duplicando dicha suma por cada nuevo auto vendido. Si vende 12 autos y recibe por ellos S/. 12285, ¿Cuánto le pagaron por el Quinto auto vendido? UNAP–2007/2013
Academia GAUUS
a)
−1
61. Calcular: S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + ....... + 1536 a) 1023 d) 6138
c) S/. 2457
c) d) e)
10
n +1
+ 9n − 10 27
n
10 − 9n − 10 27 10
n +1
− 9n − 10 27
n
10 − 9n + 10 27
10
n +1
− 9n + 10 27
65. Calcule: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 3 6 12 2 8 32 UNAP–ING–2005/2013
a) 4/3 d) 2/5
b) 4/5 e) 3/5
c) 2/3
289
JOHN MAMANI M. 66. Calcular la suma: 1 2 1 2 1 2 + + + + + + 7 72 7 3 7 4 75 76 a) 3/16 d) 6/19
CEPREUNA–2006
b) 4/17 e) 1/16
c) 5/18
67. Calcule la suma límite de la serie infinita 2 2 2 2 2 2 2 S= + − + + − + + 2 4 8 16 32 64 128 a) 7/10 d) 4/3
UNAP–2001
b) 10/7 e) 1
c) 4/33
72. La suma de 20 números enteros consecutivos es 410. Calcule la suma de los 20 números enteros consecutivos siguientes. a) 950 d) 900
a) 830 d) 810
126 b) π 64 e) 125π
b) 0,6 e) 0,4
CEPREUNA–BIO–2013
c) 0,5
70. Halle el valor de: 1 3 5 7 S= + + + + 3 9 27 81 b) 1/2 e) 2/3
UNAP–EXT–BIO–2015
c) 1/3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 + 5 + + 20 2
5 + + 20
2
20
2
2
2
2
2
2
a) 44100 d) 4300
b) 42400 e) 4540
CEPREUNA–SOC–2013
c) 44400
75. Hallar los 4 últimos dígitos de la suma 64 + 6464 + 646464 + + 6464 64 64 dígitos
UNAP–EXT–2002
a) 1128 d) 0448
b) 1148 e) 0248
76. Calcular el valor de:
71. La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación; en cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 3/4 de lo recorrido en la oscilación anterior. Calcule el espacio total recorrido de la masa hasta el momento de detenerse. b) 228 cm e) 64 cm
2
3 + 4 + 5 + + 20
129 c) π 64
69. Halle la siguiente suma: 1 1 1 1 S= + + + + 3 15 35 63
290
c) 840
2 + 3 + 4 + 5 + + 20
CEPREUNA–2008
a) 325 cm d) 2048 cm
UNAP–EXT–2000
b) 790 e) 780
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 20
π π π + + ++ π 64 32 16
a) 1 d) 1/4
UNAP–2007
73. La suma de 20 enteros consecutivos es 430: ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes?
2 2 2 2 3 + + +∞ 3 3 3
a) 0,8 d) 0,7
c) 930
74. En el siguiente arreglo numérico, hale la suma de todas las filas
68. Halle el valor de:
127 a) π 64 d) 2π
b) 1200 e) 810
c) 1248
a + 2c , si: b+ d
3 + 33 + 333 + 3333 + + 333 333 dcba = 33 sumandos
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
UNAP–EXT–2004
c) 3
CEPREUNA–2007
c) 128 cm
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 77. En el siguiente arreglo triangular, hallar la suma de las 20 primeras filas
80. Halle la suma total del arreglo; si son 24 filas: 5 5
1 2 4 7
a) 210 d) 22700
5
3 5
8
b) 22155 e) 2215
5
6 9
10
c) 28000
F1 → 1 F2 → 3 5 F3 → 7 9 11 F4 → 13 15 17 19 .
b) 17500 e) 12525
CEPREUNA–ING–2013
c) 12000
79. En el siguiente arreglo numérico, calcule la suma de los elementos de la fila 30 1 2 + 4 3 + 6 + 9 4 + 8 + 12 + 16
a) 12547 b) 13950 d) 15790 e) 10550
Academia GAUUS
5
2 2
2
CEPREUNA–2010
c) 17560
a) 678 d) 506
5 2
2 2
CEPREUNA–2007
78. En el siguiente esquema formado por números impares, halle la suma de los términos de la fila 25.
a) 15625 d) 8000
5
5 2
b) 697 e) 776
5 2
2
5 2
5
CEPREUNA–ING–2013
c) 741
81. En el siguiente triángulo numérico, halle la suma de los elementos de la fila número 20. 1 1 1 2 1 2 3 3 3 3 4 6 6 6 4 5 10 10 10 10 5 6 15 15 15 15 15 6 UNAP–EXT–2008
a) 3116 d) 3115
b) 3113 e) 3117
c) 3114
82. Calcule la suma de los elementos de las 20 primeras filas en el siguiente arreglo numérico. 1 3 3 5 2 5 7 2 2 7 9 2 2 2 9 UNAC–2015
a) 1144 d) 1141
b) 1461 e) 1891
c) 2301
291
JOHN MAMANI M.
Sumatorias CAPÍTULO XI SUMATORIA
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
Si queremos representar la serie numérica de forma abreviada, usaremos la siguiente notación, en la cual ∑ es el operador de la sumatoria. m
∑ ak
k =n
m
∑ a k ⇒ # términos =
Ejemplo 02 Calcular el número de sumandos de: 15
∑ (8k + 2)
k=3
: Límite inferior de la sumatoria : Límite superior de la sumatoria
NOTACIÓN ∑ : Este símbolo es la décima octava letra del alfabeto griego, que se usa para representar la sumatoria. m
∑ ak
Resolución Aplicando la propiedad: ∴ 15 − 3 + 1 = 13 Sumandos SUMATORIA CON TÉRMINO CONSTANTE O NUMÉRICO: m
∑ c=
k =n
Se lee:
La sumatoria de los elementos a k desde k n hasta k n
Ejemplo 01 Calcular:
5
27
∑ (2k − 1)
∑ (2k − 1)=
2(3) −1 + 2(4) −1 + 2(5) −1
= k 3= k 4= k 5
5
∑ (2k − 1) = 5 + 7 + 9
k=3 5
21 ∑ (2k − 1) =
(m − n + 1)c
Ejemplo 03 Calcular:
∑8
k=3
Resolución k=3
GENERAL
k =n
k=3
5
m−n+1
k=n
= a n + a n +1 + a n + 2 + + a m
Donde: k : Índice de la sumatoria. a k : k-ésimo término de la suma.
n m
NÚMERO DE TÉRMINOS:
Resolución Aplicando la propiedad 27
∑ 8=
(27 − 3 + 1)8
k=3 27
∑ 8 = 200
k=3
k=3
292
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SUMATORIA DE UN TÉRMINO GENERAL CON COEFICIENTE: m
∑ Ca k
SUMA
DE CUADRADOS DE LOS PRIMEROS ENTEROS POSITIVOS.
m
n
= C ∑ ak
∑k
= k n= k n
SUMATORIA DE CONPUESTO:
UN
m
=
k =1
TÉRMINO
m
2
GENERAL
20
∑ 6k
∑ (a k + b k )= ∑ a k + ∑ b k = k n= k n m m
= k n
= k n= k n
∑ (a k − b k )= ∑ a k − ∑ b k
m
ak ∑=
m
∑
ak −
n −1
∑
= k n= k 1= k 1
ak
Resolución Aplicando la sumatoria notable
∑ 6k
2
20(20 + 1)(2(20) + 1) = 6 6
∑ 6k
2
= 17220
k =1 20
k =1
SUMA
DE LOS CUBOS DE LOS PRIMEROS ENTEROS POSITIVOS.
SUMATORIAS NOTABLES
SUMA DE LOS “n” PRIMEROS ENTEROS
n
n(n + 1) ∑ k = 2 k =1
POSITIVOS. n
∑k=
k =1
2
k =1
20
SUMATORIA CUYO ÍNDICE INFERIOR NO ES LA UNIDAD
n(n + 1)(2n + 1) 6
Ejemplo 05 Calcular:
m
= k n m
n(n + 1) 2
“n”
3
“n”
2
Ejemplo 06 Calcular: 10
∑ 4k
Ejemplo 04 Calcular:
3
k =1 15
∑ 3k
k =1
Resolución Aplicando la sumatoria notable 15
15(15 + 1) ∑ 3k = 3 2 k =1
Resolución Aplicando la sumatoria notable 10
∑ 4k
3
10(10 + 1) = 4 2
∑ 4k
3
= 12100
k =1 10
2
k =1
15
∑ 3k = 360
k =1
Academia GAUUS
293
JOHN MAMANI M. NOTACIÓN DE SUMATORIA Calculando el número de términos t n= rn + t o
PROBLEMA 01 Calcular el valor de la suma 3
∑k
2
81 = 8n + 1 n = 20
(k − 3)
k =0
a) –11 d) –7
b) –4 e) –6
c) –10
Resolución 3
∑k
2
PROBLEMA 03 Calcular el valor de la siguiente suma:
(k − 3)
k =0 2
S= 2
2
= k 0= k 1= k 2= k 3
∑2
a) 0 d) 8
A = 0−2− 4+0 A = −6
k
n
−2∑ 2
81
∑ (8n + 1)
b)
∑ (8n − 1)
e)
n= 5 20
b) 2 e) 16
n +1
∑2 0
Expresar en términos de sumatoria: S = 5 + 9 + 13 + 17 + + 81
n= 3
20
∑ (8n + 1)
c)
n =1 20
10
∑ (4n + 1)
n− k
∑ (n + 1)
n =1
k −1
+
n
∑2
k
n
−2∑ 2
n− k
1
n
+8
1
0
1
n
n
n
n −1
n −1
0
+ 2 )
0
+ 2 )
PROBLEMA 04 Determinar el valor de la suma:
1
∑ k(k + 1)
k =1
a) 50/51 d) 1
b) 51/52 e) 1/2
c) 40/25
Resolución
+8
Su término enésimo se calcula así:
n
S= 2(2 + 2 + 2 ) − 2(2 + 2 S=0
50
1 + 9 + 17 + 25 + 33 + + 81 +8
0
S = (2 + 2 + 2 ) + (2 + 2 + 2 ) − 2(2 + 2
Resolución
M=
50
1
∑ k(k + 1)
k =1
t n= rn + t o ⇒ t n = 8n + 1
c) 4
n=0
Hallemos el t n y el número de términos
294
n
∑2
+
= k 1= k 0= k 0
PROBLEMA 02
+8
k −1
Resolución S=
d)
n +1
= k 1= k 0= k 0 2
A= 0 − 3) + 1(1 − 3) + 2 − 3) + 3 − 3) (0 (2 (3
a)
20
∑ (8n + 1)
n =1
Remplazando al termino enésimo los valores de “k” desde 0 hasta 3 = A
Luego: = S
M=
1 1 1 1 + + ++ 1(2) 2(3) 3(4) 50(51)
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 1 − 1 1 M= − 1 50 M= 51 M=
1 1 1 1 1 1 1 + − + − ++ − 2 2 3 3 4 50 51 1 51
n − 1 47 = n + 1 49 n = 48 n 48 Piden: = = 8 6 6
PROBLEMA 06
PROBLEMA 05 1 47 Si: ∑ = k 1 49 k=2 k + 2 2 n Halle el valor de: 6 a) 15 b) 10 d) 12 e) 14
n
∑ ak x
Si:
n
k
4
2
=x + 2 x − 1
k =0
n
∑ ak
Calcular:
k =0
c) 8
a) 4 d) 3
b) 2 e) 5
Resolución n
Resolución
∑ ak x
n
1 47 = 49 k 1 k=2 k + 2 2
∑
c) 0
k
4
2
=x + 2 x − 1
k =0 0
1
2
3
4
n
4
2
2
3
4
n
4
2
a0 x + a1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x + + an x = x + 2x − 1 a0 + a1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x + + an x = x + 2x − 1
n
1 47 = + k(k 1) 49 k=2 2
∑
Comparando términos: a0 = −1
n
2 47 ∑ k(k + 1) = 49 k=2 n
1 47 = k(k 1) 98 + k=2
∑
Desarrollando 1 1 1 1 47 + + ++ = 2(3) 3(4) 4(5) n(n + 1) 98 1 1 1 1 1 1 1 1 47 − + − + − ++ − = 2 3 3 4 4 5 n n + 1 98 1 1 47 − = 2 n + 1 98 n−1 47 = 2(n + 1) 98
Academia GAUUS
a2 = 2
a4 = 1
Los demás coeficientes son cero. Piden: M=
n
∑ ak
k =0
M = a0 + a1 + a 2 + a 3 + a 4 + + an M =− 1 + 0 + 2 + 0 + 1 + + 0 M= 2
295
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 8
∑ (k − 5)
01. Hallar:
2
b) 18 e) 42
c) 20
a) 4 d) 4/9
7
∑ i(i − 1)
02. Evaluar:
b) 25/12 e) 2/9 4
∑
09. Calcule
k=2 k
i= 4
a) 128 d) 178 03. Hallar:
b) 168 e) 198
c) 148
4
7
∑ (3n + 2) + ∑ (n
2
+ 2n)
a) 62/120 d) 60/120 10. Calcular:
= n 1= n 4
a) 200 d) 300 04. Halle:
1
∑ k
k =1
k=3
a) 19 d) 21
4
08. Calcular: E =
b) 233 e) 310 6
8
2
1 2
−1 b) 21/40 e) 13/120 1
∑ n (−1)
− n)
a) 5/12 d) 7/12
11. Hallar la suma de:
c) 212
05. Calcular el valor de la siguiente suma:
a) 19/2 d) 20/13
n
c) 120
a) n d)
06. Calcule el valor de la expresión: 3
4
4
3
5
+∑ k +∑ k
2
= k 1= k 1= k 1
a) 580 d) 268
b) 321 e) 253
2
296
e)
b) 355 e) 385
c) 365
2n + 1
2k − 1 c)
2n + 1 − 1
n 2
13. Calcular: 40
1
∑ k(k + 1)
+ 2k + 1)
k=4
a) 255 d) 375
n n
c) 200
07. Hallar: 9
2k + 1 −
b)
a) 39/40 d) 80/81
∑ (k
n −1
c) 18/6
k =1
x=5
∑k
b) 12/5 e) 15/4
∑
∑ [ ( x − 2)( x + 1) − 6 ]
S=
1
∑ 2n (− n)
12. Efectuar:
7
b) 300 e) 74
4
c) 9/41
n =1
b) 203 e) 271
a) 92 d) 68
n +1
b) 7/31 e) 9/31
= y 2= n 5
a) 200 d) 250
c) 4/3
n =1
c) 208
∑ (3y − 1) + ∑ (n
4
c) 1/9
14. Halla:
10
k =1 b) 40/41 e) 81/82
1
c) 41/42
1
∑ k + 1 − k
k =1
a) –10 d) –10/11
b) –11 e) –11/10
c) 10/11
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 15. Calcular: 19
1
29
1
39
1
∑ i(i + 1) + ∑ i(i + 1) + ∑ i(i + 1)
i 1= i 1 =i 1= a) 345 b) 347 c) 341 d) 343 e) 349
4 ∑ k(k + 1) b) 23/31 e) 25/31
−1
c) 26/31
a) 91/101 d) 400/501
2n − 1 c) ∑ n = 1 2n − 3
d)
n =1 4n − 1 b) 100/201 c) 200/301 e) 500/601 2
a) c) e)
1
∑ (k + 1)(k + 2)
k =1
n 2(n + 1) n d) 2(n + 2)
a)
1 2(n + 2) n e) 2(n + 3)
c)
n+1 2n
k+1−
∑
k =1
d)
23. Si:
b)
∑ k(29 + k)
d)
k =1 15 k =1 30
15
∑ k(30k − 1)
k =1 15
∑ k(31 − k)
k =1
∑ k(29 − k) 2005
∑
k =0
2
k +k
b) 1 e) 2,99
∑ 2x
b)
∑ 2− x
e)
x =1 10
30
∑ k(31 − k)
k
5
2
tk x = x − 2 x + 7 x + 3 100
∑ t(2k −1)
a) 8 d) 7
k c) 0,99
x =1
Academia GAUUS
10
∑x
x =1 10
24. Si:
b) 3 e) 5 30
∑ an x
n−1
c) 9
5
2
= 4 x − 2x + 7x + 1
n=1
Calcule: a1 + a 2 + a 3 + + a 30 a) 14 b) 20 c) 12 d) 10 e) 15
20. Sintetizar en forma e sumatoria: 2 + 8 + 18 + 32 + + 200 10
2n + 5
k =1 99
a)
2n + 1 2n n= 0
∑
∑ 2n − 3
Calcule:
19. Calcula:
a) 0,9 d) 1,1
n= 2 28
k =1
b)
2n + 1
22. La siguiente suma se puede expresar: S =1 × 30 + 2 × 29 + 3 × 28 + + 15 × 16
18. Halle: n
28
28
∑ 2n − 1
n=1
1
∑
b)
e)
17. Calcular 100
2n + 1
n=1 28
k=4
a) 12/31 d) 27/31
28
∑ 2n + 3
a)
16. Calcular: 30
21. Expresar como sumatoria 57 3 5 7 9 S = + + + ++ 59 5 7 9 1
c)
10
∑ 2x
2
x =1
∑ 2+ x
x =1
297
JOHN MAMANI M. PROPIEDADES DE SUMATORIA PROBLEMA 01 Cuantos sumandos tiene la serie que se desarrolla a partir de: 51
∑
2
(2n − 6)
n = 20
a) 21 d) 150
b) 26 e) 32
c) 20
= A
PROBLEMA 02 Calcular
∑ ∑ 20 c) 2345
Resolución Por propiedad: m
= M
27
8
∑ ∑ 20
= n 8= k 6 27
M=
∑ [(8 − 6 + 1)20]
40
19
5
1
∑ ∑ ∑ i
1 1 1 1 1 + + + + =i 11 =i 10 1 2 3 4 5 40
19
40
19
∑ ∑
137 =i 11 =i 10 60
A=
∑ ∑
Por propiedad:
(m − n + 1)c
k =n
c) 675
∑ ∑
A =
Aplicando en el problema
b) 685 e) 645
60 + 30 + 20 + 15 + 12 60 =i 11 =i 10
= n 8= k 6
∑ c=
−1
=i 11 =i 10=i 1 40 19
A=
8
b) 1200 e) 3450
5
Resolución
A=
# términos = 32
27
19
Remplazando al termino enésimo los valores de “i” desde 1 hasta 5
Aplicando en el problema # términos = 51 − 20 + 1
M=
40
∑ ∑ ∑ (i)
m−n+1
k =n
a) 200 d) 3280
Encuentre el valor de la sumatoria:
a) 695 d) 665
Por propiedad m
PROBLEMA 03
=i 11 =i 10=i 1
Resolución
∑ a k ⇒ # términos =
M= (27 − 8 + 1)60 M = 1200
A= A=
40
137 ∑ ( 19 − 10 + 1 ) 60
i =11 40
137 i =11 6
∑
( 40 − 11 + 1 ) 137 6
A = 685
n= 8 27
∑ 60
n= 8
298
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Determinar el número de sumandos que se obtiene al desarrollar: 43
∑
x
3
b) 25 e) 28
b) 37 e) 28
c) 52
07. Determine la suma:
x =17
a) 24 d) 27
a) 38 d) 84
24
∑
c) 26
8
x =10
02. Halle el número de términos de:
a) 120 d) 137
b) 160 e) 240
c) 125
70
∑ (2 x + 3)
08. Determine la suma:
x =9
a) 60 d) 62
b) 61 e) 63
15 + n
∑
c) 26
03. Determinar el número de sumandos que se obtiene al desarrollar:
a) 620 d) 637
b) 660 e) 640
20
∑
k=4
b) 31 e) 28
c) 32
2 30 3 k + (k + 1) − 2k + 20 2 k +k k = 23
∑
20
∑
3
= k 5= k 5 20
b) 1 e) 8
c) 2
k=5
a) 2 d) 3
b) 1 e) 6
c) 5
10. Calcular: 15
∑
1 28 4
15 1 + ∑ 15 4 k 10 = k 8= k 3=
k=4
05. Calcule el valor de: 26
a) 125 d) 10
1
∑ 10
k =7
a) 3 d) 4
8–
∑1
04. Halle el número de términos de:
a) 3 d) 9
c) 625
09. Calcular el valor de la siguiente suma:
32
∑ ak
a) 30 d) 29
40
x =n
b) 1 e) 8
c) 2
b) 3 e) 4
19
∑2
c) 5
11. Calcular: 10
06. Obtenga el resultado de:
30
∑ 2− ∑
∑
1 22 5
1 38 1 10 1 + ∑ − ∑ 4 K 9= 5 K 72 = K 3=
K =1
∑
i=1
Academia GAUUS
299
JOHN MAMANI M. a) 1 d) 2
b) 3 e) 4
c) 5
17. Calcular: 22 21 20
= k 1= k 1= k 1
12. Calcule el valor de “n” en: 20
9 ∑=
1
∑ ∑ ∑ k(k + 1)(k + 2)
n(n + 9)
a) 105 d) 135
b) 115 e) 145
c) 125
k =11
a) 6 d) 2
b) 3 e) 4
c) 5
18. Calcular: 23
1 + 3 + 5 + ... + (2 x + 1) 1 ÷ 1+ + + + + x x 1 2 3 ... x = 10
∑
13. Calcular:
a) 36 d) 42
20 12
∑ ∑8
b) 28 e) 29
c) 32
x 1= x 1 =
a) 1920 d) 1640
b) 1620 e) 2960
c) 1250
19. Calcular: b
= n a = k c= i 3
14. Calcular:
b − 3 38 ∑ ∑ 4 m= c + 2 n = a−3 k= 4
∑
= x 1= x 1
b) 1450 e) 1440
c) 1450
15. Halle el valor de “ B − A ”
a) 1 d) 1/4
8
10
a) 30 d) 68
c) 1/3
b) 20 e) 70
4 12 + 4 + 3 + ... ∑ k = 17 24 + 12 + 6 + ... b) 9,45 c) 8,05 e) 8,25 38
∑ ∑ 3
= m 2= k 3
b) 1/2 e) 3/2
20. Calcular:
5 A = ∑ ∑ 2 = k 1= n 1 10
B=
d+ 2
10 18
∑ ∑ 18
a) 1430 d) 1410
d 22
∑ ∑ ∑ 7
c) 60
a) 7,35 d) 8,50
16. Calcular: 18
30
4
∑ ∑ ∑k
−2
= k 10 = k 15 = k 1
a) 225 d) 200
300
b) 215 e) 205
c) 210
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. SUMATORIAS NOTABLES, CUYO ÍNDICE INFERIOR ES LA UNIDAD PROBLEMA 01 Calcule la sumatoria 20
∑n
n =1
a) 200 d) 120
b) 210 e) 350
c) 290
Resolución
PROBLEMA 03
Aplicando la fórmula. M=
20
∑
10(10 + 1)(2(10) + 1) 6 10(11)(21) A= 6 A = 385
A=
Halle “n” n
n
∑k
n =1
M=
3
= 3025
k =1
n(n + 1) 2
a) 30 d) 14
Para: n = 20 20(20 + 1) M= 2 M = 210
b) 10 e) 32
c) 5
Resolución Aplicando la fórmula n
∑k
3
= 3025
k =1
2
PROBLEMA 02 Calcule la sumatoria 10
∑k
2
k =1
a) 430 d) 420
b) 210 e) 350
Resolución
c) 385
n(n + 1) 2 = 3025 n(n + 1) = 3025 2 n(n + 1) = 55 2 n(n + 1) = 110 Por tanteo
n = 10
Aplicando la fórmula. A=
10
∑k
2
k =1
A=
n(n + 1)(2n + 1) 6
Para: n = 10 Academia GAUUS
301
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar:
a) 40 d) 62
12
∑i
i =1
a) 156 d) 78
b) 64 e) 82
c) 72
b) 45 e) 60
c) 90
07. Calcular el valor de: 20
15
= S 5 ∑ (k) − 7 ∑ (p) = k 1= p 1
a) 200 d) 426
02. Hallar: 25
∑i
i =1
a) 156 d) 375
b) 623 e) 325
c) 372
b) 210 e) 320
c) 0
08. Hallar “n” n
∑ 2i = 342
i= 1
03. Calcular: 30
∑k
+
27
∑k
= k 1= k 1
a) 460 d) 715
b) 525 e) 462
c) 843
a) 24 d) 18
b) 21 e) 19
c) 20
09. Calcular: 15
∑i
2
i =1
a) 1240 d) 1310
04. Hallar: 15
∑ 2i
i =1
a) 210 d) 230
b) 250 e) 240
c) 220
b) 1320 e) 1275
c) 1260
10. Hallar: 10
∑k
2
20
+∑ a
2
= k 1= a 1
a) 3245 d) 3135
05. Calcular: 18
∑ 3k
k =1
a) 518 d) 712
b) 513 e) 716
c) 418
b) 3255 e) 3745
c) 3455
11. Hallar: 11
∑ 8a
2
a =1
06. Calcular: = F
25
a) 4048 d) 4903
b) 4262 e) 5102
c) 4804
6 ∑ (k) + 75 k =1
302
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 12. Halle “n” en:
18. Calcular: A − B n
∑k
2
4 5 3 29 A = ∑ 2+ ∑ 3+ ∑ 4 ∑ k k 1= k 1 k 1= k 1= =
= 91
k =1
a) 6 d) 8
b) 7 e) 10
c) 5
B=
28 8
∑ ∑ k
= k 1= k 1
13. Hallar: “n” en n
∑ 2k
2
a) 15522 d) 17731
= 1300
k =1
a) 13 d) 12
b) 11 e) 15
b) 15324 e) 12191
c) 16248
19. Calcular el valor de:
c) 14
20
20
∑ 8k − ∑ 3k
= k 1= k 1 20
14. Calcular: 10
∑i
∑ 10k
3
k =1
i =1
a) 4205 d) 3225
b) 3620 e) 3250
c) 3025
a) 1/3 d) 2/3
b) 1/2 e) 4/3
c) 1/4
20. Calcular: 15. Hallar: “a”
15
a
3
∑
b = 53361
b= 1
a) 19 d) 23
b) 20 e) 21
c) 22
16. Hallar la mayor sumatoria: I)
29
∑k
III)
y =1
k =1
a) I d) Todas
17. Hallar:
22
∑ 2y
II)
1
∑ 5 ∑ 11k – 2 ∑ k k =1 k 1= = k 1 100 100 1 2 2 ∑ k+ ∑ 5k = k 1 k 1= 100
11
a) 1000 d) 1331
b) 729 e) 1728
100
c) 512
∑ 7z
z =1
b) II c) III e) No se puede n
n
n
n
∑ 2k + ∑ 4k + ∑ 6k + ∑ 8k
= k 1= k 1= k 1= k 1
Si:
n
∑k=A
k =1
a) 25A d) 15A
b) 30A e) 10A
Academia GAUUS
c) 20A
303
JOHN MAMANI M. SUMATORIAS CON POLINOMIOS, CUYO ÍNDICE INFERIOR ES UNO Aplicando las fórmulas n(n + 1) = T 2 − 5n 2 T = n(n + 1) − 5n
PROBLEMA 01 Halle 10
∑ (3k − 1)
k =1
a) 125 d) 123
b) 155 e) 145
c) 120
2
T = n + n − 5n 2
= T n − 4n
Resolución El término enésimo ya está en forma de polinomio. 10
PROBLEMA 03 Calcule la sumatoria 20
∑ (3k − 1)
= S
∑ (3n
k =1
3
2
− 2n + 5n + 3)
n =1
a) 75880 d) 127670
Aplicando las fórmulas n(n + 1) = S 3 − 1n 2
b) 138080 e) 125450
c) 128890
Resolución El término enésimo ya está en forma de polinomio.
Para: n = 10 10(11) = S 3 − 1(10) 2 S = 155
R =
20
∑ (3n
3
2
− 2n + 5n + 3)
n =1
Aplicando las fórmulas 2
n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) R = 3 − 2 + 5 + 3n 2 6 2
PROBLEMA 02 Halle
Para: n = 20
n
∑ (2i − 5)
2
a) n − 4n 2
d) 3n + 4n
i =1 2
b) n + 4n
2
2
c) 2n − n
2
e) 5n + 4n
Resolución El término enésimo ya está en forma de polinomio. = T
R= 132300 − 5740 + 1050 + 60 R = 127670
PROBLEMA 04 Calcular el valor de R:
n
∑ (2i − 5)
i =1
304
20(21) 20(21)(41) 20(21) R = 3 − 2 + 5 + 3(20) 6 2 2
R =
15
∑ n + n(n − 2) + 3
n =1
a) 165 d) 1165
b) 1365 e) 1095
c) 1865 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Para: n = 40 y m = 15
Resolución El término enésimo no está en forma de polinomio, entonces
= R = R
15
∑ n + n(n − 2) + 3
n =1 15
∑ n + n
2
n =1 15
− 2n + 3
40(41) 11(12) E =3 + 10 − 5(11) 2 2 E = 3065
PROBLEMA 06 Si:
2 R ∑ n − n + 3 = n =1
n
2
∑ k
−
k =1
n k − = 72 3 3 2
Aplicando las fórmulas n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) R = − + 3n 6 2 Para: n = 15 15(16)(31) 15(16) = R − + 3(15) 6 2 R = 1240 − 120 + 45 R = 1165
Halle el valor de: n + 5 a) 69 b) 41 d) 30 e) 54
c) 45
Resolución El término enésimo no está en forma de polinomio, entonces n
2
∑ k
−
k =1
n k − = 72 3 3
3k 2 − n − k = 72 3 k =1 n
∑
PROBLEMA 05
n
Calcular el valor de: 40
E =∑ 3n +
11
∑ 5(2n − 1)
= n 1= n 1
a) 3506 d) 3056
b) –3560 e) 3065
c) 3605
Resolución 40
11
E =∑ 3n +
∑ 5(2n − 1)
E =∑ 3n +
∑ (10n − 5)
= n 1= n 1 40 11
∑ (3k
2
− k − n) = 216
k =1
Aplicando las fórmulas n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) 3 − n(n) = 216 − 6 2 n(n + 1) n(n + 1) 2 (2n + 1) − −n = 216 2 2 n(n + 1) 2 (2n + 1 − 1) − n = 216 2 2
= n 1= n 1
Aplicando las fórmulas para cada sumatoria n(n + 1) m(m + 1) E= 3 + 10 − 5m 2 2
Academia GAUUS
2
n (n + 1) − n = 216 3
n = 216 n=6 2
2
Piden: n + 5 = 6 + 5 = 41
305
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 07
PROBLEMA 08
Calcular:
Calcular la siguiente sumatoria: 20 n ∑ ∑ (2k − 1) = n 1= k 1 a) 3870 b) 2870 c) 2780 d) 3780 e) 3080
40
10
∑ ∑ (6 x
2
− 2 x + 8)
= = x 18 x 1
a) 14700 d) 12040
b) 27600 e) 52440
c) 36040
Resolución
Resolución
El término enésimo ya está en forma de polinomio.
El término enésimo ya está en forma de polinomio. 40 10 20 n 2 = M ∑ ∑ (6 x − 2 x + 8) = P ∑ ∑ (2k − 1) = = x 18 x 1 = n 1= k 1 40 n(n + 1)(2n + 1) 20 n(n + 1) n(n + 1) = M ∑ 6 − 2 + 8n P ∑ 2 6 2 = −n x =18 2 n =1 Para: n = 10 40
= P
40
= P
10(11)(21) 10(11) 6 − 2 + 8(10) 6 2 x=18
∑
= M
∑ ( 10(11)(21) − 10(11) + 8(10) )
= M
x=18 40
P=
∑ ( 2310 − 110 + 80 )
M = M=
x=18 40
∑
20
∑ ( n(n + 1) − n )
n =1 20
∑ (n
n =1 20
∑n
2
+n−n
)
2
n =1
Aplicando las fórmulas n(n + 1)(2n + 1) P= 6
2280
x=18
Aplicando propiedad = M 2280(40 − 18 + 1) M = 52440
Para: n = 20 20(21)(41) = P = 2870 6
¡Comprueba lo que sabes! 01. Determinar el valor de:
02. Calcular:
10
18
∑ (3k + 5)
∑ (2k − 3)
k =1
a) 165 d) 225
306
b) 115 e) 231
k =1
c) 215
a) 288 d) 235
b) 287 e) 200
c) 286
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 09. Determine el valor de “A” en:
03. Calcular: 18
9
18 ∑ (k − A) =
∑ (2i − 1)
k =1
i =1
a) 324 d) 348
b) 360 e) 340
c) 320
04. Halla:
a) 0 d) 3
b) 2 e) 4
10. Halla “n” en:
30
n
∑ (3 x + 2)
1280 ∑ (2k − 9) =
x =1
a) 1425 d) 1625
b) 1455 e) 1591
c) 1325
05. Calcular:
k =1
a) 40 d) 44
b) 42 e) 45
∑ (3i + 2)
A=
i =1
b) 3435 e) 3595
35
B=
8+
20
∑ (5n − 4)
b) 1050 e) 1238
c) 1138
07. Hallar: 58
∑ (2k + 1)
69
∑
y
= C
n
∑ (4x − 1)
x =1
Hallar “n” para que se cumpla que: A= B + C a) 32 b) 36 c) 35 d) 37 e) 33 12. Resolver: 10
k =1 36
∑ (5k − 3) −
∑ (3k
30
∑ (5k + 27)
k 1= k 1 =
a) 10 d) 40
2
y =1
= = k 15 n 1
a) 1122 d) 1218
24
∑k
k =1
c) 3325
06. Hallar el valor de:
∑
c) 41
11. Si:
50
a) 3925 d) 2325
c) 1
b) 20 e) 80
c) 30
+ 2k − 5)
a) 720 d) 700
b) 660 e) 1215
c) 1440
13. Resolver:
08. Calcule la expresión:
10
∑ (7k
n
∑ (3k + 2)
2
− 3k + 2)
k =1
k =1
2n + 7 3n + 2 b) a) n n n(3n + 7) 3(3n + 7) d) e) 2 2
2
k =1
3n + 1 c) 2
a) 2500 d) 2480
b) 2600 e) 2345
c) 2550
14. Efectuar: = A
10
∑ (3n
2
+ 4n + 5)
n =1
Academia GAUUS
307
JOHN MAMANI M. a) 1825 d) 1325
b) 1545 e) 1425
c) 1245
10
∑ (4k
19
3
+ 2k − 7)
k =1
15. Calcular:
∑ (2k
21. Hallar:
2
+ 6) −
19
∑ (k
2
− 4) +
19
∑ (2k − 9)
a) 12100 d) 1210
b) 12240 e) 12343
c) 1200
= k 1 = k 1= k 1
a) 2870 d) 2900
b) 2869 e) 2915
c) 2871
22. Resolver: 15
3
∑ (2k
2
− 3k )
k =1
16. Efectuar: n
∑ (3i
2
a) 28800 d) 20760
− 3i + 1)
b) 25080 e) 12342
c) 30840
i =1 2
b) n + 1
3
3
e) 2n
a) n + 1 d) n
c) n
2
23. Hallar: 10
2
∑ (20k
13
∑ (2 x
2
3
+ 3x )
x =1
a) 26480 d) 27481
b) 23456 e) 28480
c) 26481
a) 60500 d) 56650
b) 38500 e) 22234
10
∑ (3k
20
3
2
− 3n + 2n)
n =1
a) 81000 d) 5000
b) 80010 e) 81400
c) 75000
12
3
2
− 5k + 7k + 4)
b) 9731 e) 9820
14
2
c) 450
25. Calcular la suma de todos los números de la
26. Hallar: 20
∑ x ( x + 1)
x =1
3
− 5 x + x − 2)
x =1
b) 43560 e) 15217
b) 550 e) 546
c) 9615
20. Calcular:
∑ (3 x
1 3 k ) 5
3
k =1
a) 9512 d) 9475
a) 500 d) 555
−
forma (8k − 5) donde: k = 1; 2; 3;...;12 a) 4860 b) 48540 c) 48660 d) 48612 e) 48622
19. Calcular:
∑ (2k
2
k =1
∑ (2n
c) 50560
24. Hallar:
18. Halle el valor de:
a) 3080 d) 5740
b) 4420 e) 3270
c) 5610
27. Calcular: 10
c) 13517
∑ (n + 1)
n =1
a) 210 d) 250
308
2
− 10k )
k =1
17. Hallar:
a) 12430 d) 18210
3
b) 220 e) 290
2
2 − (n − 1)
c) 240 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 28. Calcular la suma de cifras de:
35. Hallar:
100
24
∑ (101 − k)k
k =1
a) 21 d) 18
b) 20 e) 24
c) 23
29. Calcular:
n
∑ ∑ (2 x − 1)
n 1= x 1 =
a) 4800 d) 8400
b) 5200 e) 7200
c) 4900
36. Hallar: 20
∑ (2i − 1)
2
A=
i =1
a) 10330 d) 10440
b) 10990 e) 10660
c) 10880
30. Calcular:
∑ (2i − 3)
b) 220680 e) 244350
∑ (k
c) 260280
31. Calcular: 20 20
∑ ∑ (3 x + 1)
x 9= x 1 =
b) 8700 e) 7200
c) 2600
2
+ 2k = + 1)
k =1
10
∑ ∑ (2 x + 1)
n 2 (Bn + Cn + D) A
Hallar: A + B + C + D a) 16 b) 28 d) 36 e) 30
c) 32
38. La siguiente sumatoria n
∑ (2003k
3
2
− 2002k + 2001k − 2000)
k =1
4
32. Calcular: 40
= n 1 = m 1= k 1 b) 3960 c) 3040 e) 3780
a) 3020 d) 3080
n
3
i =1
a) 7800 d) 6200
n m
37. Si:
20
a) 206280 d) 234189
20
∑ ∑ ∑ 2
3
2
es igual a: an + bn + cn + dn + e Calcular: a + b + c + d + e a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) –1
= x 18 = x 1
a) 2567 d) 6270
b) 2760 e) 2603
c) 2670
37
15
2
= x 24 = x 1
a) 31500 d) 32210
k 3 + (k + 1)2 − 2k + 20 2 k +k k =1 a) 240 b) 220 c) 230 d) 210 e) 250 20
∑
33. Calcular:
∑ ∑ (2 x
39. Calcular:
− 3 x + 4)
b) 30520 e) 21500
c) 21520
34. Calcular: 30
a
∑ ∑
x
= a 1= x 1
a) 4960 d) 4970
b) 4230 e) 4860
Academia GAUUS
c) 4980
309
JOHN MAMANI M. SUMATORIAS, CUYO ÍNDICE INFERIOR ES DIFERENTE DE UNO Por diferencia calculamos la sumatoria
PROBLEMA 01 Calcular: 20
∑
= M
x( x + 5)
b) 3900 e) 4100
c) 3840
= M
∑ (x
2
+ 5 x) −
4
∑ (x
2
+ 5 x)
Aplicando fórmulas 20(21)(41) 20(21) 4(5)(9) 4(5) M = + 5 + 5 − 6 2 6 2
= M 3920 − 80
Resolución 20
2
= x 5= x 1
x=5
a) 3910 d) 3710
20
∑ (x
M = 3840
+ 5 x)
x=5
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar:
05. Calcular: 20
30
∑i
∑
i= 8
a) 168 d) 216
c) 224
a) 65435 d) 65439
b) 65720 e) 65450 11
∑i
∑ 3i
b) 250 e) 820
c) 670
a) 3816 d) 3925
b) 4120 e) 3945
c) 3915
07. Calcular:
03. Calcular: 20
∑
i
20
∑ (2i − 1)
2
i =12
i =10
b) 2585 e) 2700
c) 2690
a) 320 d) 279
b) 281 e) 275
c) 310
08. Ejecutar:
04. Halla: 80
∑
k
22
∑ (3a − 1)
2
a=8
k =15
310
3
i=7
i= 9
a) 170860 d) 173921
c) 65670
06. Hallar: 23
a) 2680 d) 2640
2
x =16
b) 182 e) 176
02. Calcular:
a) 720 d) 270
8x
b) 180915 e) 175461
c) 172865
a) 680 d) 660
b) 690 e) 670
c) 610
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 16. Calcular:
09. Hallar: 15
20
∑ (4k + 6)
∑ k(k + 3)
k=2
k =9
a) 888 d) 480
b) 666 e) 222 29
10. Calcular:
∑
c) 660
a) 3600 d) 3497
b) 3592 e) 3531
17. Resolver:
(3k − 7)
15
∑ (9k
k =17
a) 806 d) 1305
b) 91 e) 408
c) 897
10
3
b) 2610 e) 2630
2
+ 2k + 1)
b) 355 e) 385 20
∑
2
(9k − 7)
14. Calcular el valor de:
∑
3
2
(4 x − 5 x )
x =13
b) 323245 e) 383854
c) 111123
15. Hallar: 2
k +
− 2) − 3
100
∑
b) 40202 e) 44230
30
∑ (k
2
− 3k + 7) −
a) 100 d) 211
k =10
25
2
2
(6m − 4) c) 44032
33
∑ (9k − k
2
− 18)
= k 0= k 3
Dar como respuesta la suma de cifras: a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) 34
∑
∑ (3m
19. Calcule
c) 365
13. Hallar:
22
100
m 1= m 20 =
k=4
a) 373789 d) 272734
6
a) 44232 d) 44432
9
a) 255 d) 375
18. Halle el valor de la expresión
c) 2640
12. Hallar:
∑ (k
− 3)(k + 2)
2
−x )
x=2
a) 2890 d) 2610
2
k=8
Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20
11. Hallar:
∑ (x
c) 3825
44
∑ (2k − 1)
b) 150 e) 115
20. Halle: P + A + T + A + S Si se cumple: 50
∑
a = 14
a) 29 d) 30
( 2a
2
c) 217
)
+ a −1 = PATAS
b) 31 e) 32
c) 28
21. Calcular 35
3 2 4 3k − 4k − k + 18 5 k =11
∑
a) 1120510 d) 1322514
b) 1023525 e) 1123515
c) 1519315
= k 12 = k 8
a) 4960 d) 4970
b) 4230 e) 3324.
Academia GAUUS
c) 4980
311
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Hallar la suma de la siguiente serie: ∞
∑
k
5 +3 7
k =0
a) 23/4 d) 17/3
M=
k
∑
7
k =0
= M
M =
∞
5
∑ 7
k
k =0
= M
∞
M=
k
5
∑ 7
k
+
= M
∑
M =
+ 7
3
∑ 7
= M
k
×
5 7
×
Aplicando suma limite S = 0
= M
M =
M=
M=
0
5 3 7 7 + 5 3 1− 1− 7 7 1 1 + 2 4 7 7 7 7 + 2 4 21/4
312
c) 14/5
3 + (− 1)
n =1
4
∞
3n
∑ ∞
4
n
n (− 1) n 4
+
n
3
∑ 4 ∞
3
∑ 4
n
n
n
+
1 +− 4 ∞
n
1
∑ − 4
n
= n 1= n 1
5 0 5 1 5 2 3 0 3 1 3 2 = M + + + + + + + 7 7 7 7 7 7 5 7
∑
n =1
= k 0= k 0
×
n
∞
n =1
k 3
∞
n
Resolución
k
k ∞ k 5 3 + k 7k k =0 7
n
4 b) 7/5 e) 13/6
a) 3/4 d) 7/3
c) 14/5
Resolución 5 +3
3 + (− 1)
n =1
k
b) 21/4 e) 13/6
∞
n
∞
∑
Calcule:
k
t1 1− q
3 7
×
3 7
3 1 3 2 3 3 1 1 1 2 1 3 = M + + + + − + − + − + 4 4 4 4 4 4 ×
3 4
×
3 4
Aplicando suma limite S = 3 4
−1 × 4
−1 × 4
t1 1− q
1 4 = M + 3 −1 1− 1− 4 4 3 1 M = 4− 4 1 5 4 4 1 14 M =3− = 5 5 −
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 03
PROBLEMA 04
Determinar el valor de convergencia de la serie:
Determinar el valor de convergencia de la serie:
∞
1
∑ k 2
∞
k −1
∑2
k =1
k =1
a) 1/4 d) 4
b) 1/2 e) 7/4
a) 1/2 d) 2
c) 2
b) 1/4 e) 4
∞
1
∑ k 2
k −1
M=
k =1
0
1
2
3
1 1 1 1 M = 1 + 2 + 3 + 4 + 2 2 2 2 2 3 4 M =1 + + + + 2 22 23 Multiplicamos a ambos miembros por 2; luego restamos miembro a miembro 2M = 2 + 2 + (− )
3 4 + + 2 22
M =1 +
2 3 4 + + + 2 3 2 2 2
M = 3+
1 1 1 + + + 2 22 23 ×
1 2
×
Aplicando suma limite S =
M= 3 +
1 2 1−
M=4
1 2
1 2
t1 1− q
M= M= M=
= M
∞
∑2
−2− k
k =1 ∞
1
∑
k =1 2 ∞
2+ k
∑
k =1 2 ∞
2
1 ×2
k
1 1 ∑ 4 k =1 2 k
1 1 1 1 + + + 1 2 3 4 2 2 2 ×
1 2
×
1 2
Aplicando suma limite S =
1 1 2 M= 1 4 1− 2 1 M= 4
t1 1− q
PROBLEMA 05 Determinar el valor de convergencia de la serie: ∞
∑
n =1
a) 3 d) 2
Academia GAUUS
c) 1
Resolución
Resolución M=
−2− k
b) 1 e) 5
3
n −1
4
n
c) 4
313
JOHN MAMANI M. a) 1/3 d) 5/3
Resolución M=
M= M=
M=
∞
3
∑
n −1
n =1 4 ∞ n
n
n =1
4
∑
b) 2/3 e) 3/5
c) 1
Resolución
3 ×3
Por diferencia calculamos la sumatoria n 10 n 2 2 2 ∑ k – ∑ k − ∑ k = k 1 = k 1 k 1= S=
−1
n
n
1 ∞ 3 ∑ 3 n =1 4 n ∞
1 3 ∑ 3 n =1 4
10
2
∑ 8k
n
10
–5∑ k
2
= k 1= k 1 n
1 2 3 1 3 3 3 + + + M= 3 4 4 4
3 × 4
3 × 4
∑k
S=
2
+
10
∑ 8k
2
10
∑k
2
k =1
k =1
k =1
10
∑k
t1
S=
1− q
10
–5∑ k
2
Simplificando
S=
Hallar el valor de “S”: n
∑
k
= k 1= k 11 S= 10 10 2
∑ 8k
10
–5∑ k
2
10
∑
se tiene:
k =1
PROBLEMA 06 –
2
= k 1= k 1
S=
2
2
k =1 10
∑ 8k
3 3 1 4 1 4 =1 = M = 3 1− 3 3 1 4 4
n
n
∑k
–
= k 1= k 1
Aplicando suma limite S =
∑k
2
2
–5∑ k
k
2
2
8 k – 5k k
2
3k
2
=
2
1 3
2
= k 1= k 1
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular:
02. Hallar: ∞
∞ 5n + 2 n n =1 3
1 ∑ n(n + 1) n= 3 a) 1 d) 1/4
314
b) 1/2 e) 1/5
∑
c) 1/3
a) 10/9 d) 17/6
b) 19/4 e) 24/19
c) 4/5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 03. Calcular: ∞
a) 1/2 d) 7/2
1
∑ n(n + 3)
n =1
a) 3/8 d) 13/18
b) 9/8 e) 2/3
c) 11/18
04. Calcular: n ∞ n 2 +3 n 5 n=0
∑
a) 25/3 d) 23/6
b) 25/2 e) 6/25
c) 25/6
10. Calcule: 2
1 n 1 n ∑ 2 − 3 n=0 b) 13/121 c) 13/120 e) 7/120 ∞
a) 15/91 d) 7/121 11. Calcular:
∞
1
n =1
a) 1/2 d) 1/4
7n 2 + 2 ∑ n 3 n =1 ∞
b) 23/2 e) 20/3
c) 23/3
∞
∑
2
b) 1 e) 6
20
20
∑
4k
∑
k
2
∑k
–
= k 1= k 21
−1 c) 5
a) 2 d) 3
b) 1 e) 6
c) 5
13. Calcular el valor de: 20
2n + 3 ∑ (n − 1)n(n + 2) n= 2 b) 5/3 e) 1/6
= k 1= k 1 20
∑ 10k
c) 65/30
k =1
a) 1/3 d) 2/3
08. Calcular: ∞
1
∑ (2n + 3)(4n + 10)
n =1
b) 1/20 e) 1/5
b) 1/2 e) 4/3
100
∑ (i
4
− 1) −
n=0
Academia GAUUS
n +1
100
∑ (2i
4
− 2)
=i 0=i 0 100 2 2
∑ (i
∑ (2
c) 1/4
14. Calcular:
c) 1/10
09. Calcular: ∞
20
∑ 8k − ∑ 3k
∞
a) 1/2 d) 1/4
2
= k 1= k 1 100 100 2 2
07. Hallar:
a) 2 d) 3/2
c) 1/10
10 ∑ k –
2
n =1 4n
b) 1/20 e) 1/5
12. Calcular el valor de la siguiente suma:
06. Calcular:
a) 2 d) 3
c) 2
∑ (2n + 3)(4n + 10)
05. Calcular:
a) 21/2 d) 13/3
b) 3/2 e) 9/2
1 − 1) 3
n
+ 1)(i − 1)
i= 0
a) –1/3 d) 1
b) –1/2 e) 1/2
c) –1
315
JOHN MAMANI M. 15. Calcular: 15
1
100 ∑ 5 100 ∑ 11k – 2 ∑ k k =1 k 1= = k 1 100 100 1 2 2 ∑ k+ ∑ 5k = k 1 k 1=
a) 1000 d) 1331
b) 729 e) 1728
c) 512
20 (k + 1)!
∑ (k − 1)!
k=5
b) 2950 e) 3420
R=
9
∑2
n
10
k
∑ ∑ n + 1
k 1 = n 1= a) 28/5 d) 55/2
c) 273/5
b) 89/10 e) 163/5 2
a b 2 22. Si: + = b a Calcule:
k 50 a
b + a
∑ b
k =1
a) 150 d) 175
k
b) 100 e) 120
c) 200
23. Halle la suma de los 20 primeros términos de una serie, cuyo término general es:
k
k =1
b) 1024 e) 1025
c) 15
21. Calcule:
c) 3208
17. ¿Cuál es el valor de la expresión?
a) 1022 d) 1021
b) 12 e) 10
2
16. Hallar:
a) 3040 d) 2840
a) 8 d) 6
2
(2k − 3k + 1)
c) 1023 a) 5420 d) 4820
b) 5130 e) 5080
c) 6240
18. Halla el valor de: 10
∑ (2
k
− 4k + 3)
k =1
a) 2 046 d) 1 023
b) 2 200 e) 480
c) 1 856
19. Hallar el valor de “n” en: n
∑2
k
= 255
24. Calcular la suma de los 20 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es: 2
tn = n + n + 3
a) 3180 d) 3160
b) 10 e) 8
a
∑ k = bbb
c) 15
20. Halle J + O + H + N , si
c) 3140
25. Halle a + b; si:
k =0
a) 25 d) 7
b) 3110 e) 3120
k =1
a) 39 d) 42
b) 40 e) 43
c) 41
7
∑ (2 + 8 + 18 + 32 + + 288) =JOHN
k =1
316
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 26. Calcular el valor de:
30. Calcular: A − B 26
1
40 ∑ 10 40 ∑ k − ∑ k k =7 k 1=k 9 =
a) 1236 d) 1242
b) 1296 e) 1316
c) 1342
27. Sean M y N dos series definidas por: 2 ∞ 1 1 y , N= ∑ 2 k =1 k k =1 2k − 1 entonces la relación correcta entre M y N es: a) 2M = 3N b) 2N = 5M b) 4N = 3M d) M =3N e) 4M = 3N
M=
4 5 3 29 A = ∑ 2+ ∑ 3+ ∑ 4 ∑ k k 1= k 1 k 1= k 1= =
B=
28 8
∑ ∑ k
= k 1= k 1
a) 15522 d) 17731
b) 15 324 e) 12191
c) 16248
∞
∑
31. Determine el valor de “n” si: 3n
∑
k = 1640
k=n
a) 18 d) 25
b) 20 e) 26
c) 24
28. Si: A=
24
∑k
32. Calcular:
2
30
B=
69
∑
x
= a 1= x 1
y
a) 4 960 d) 4 970
y =1
= C
a
∑ ∑
k =1
n
∑ (4x − 1)
b) 4 230 e) 4 860
c) 4 980
33. Hallar la mayor sumatoria:
x =1
Hallar “n” para que se cumpla que: A= B + C a) 32 b) 36 c) 35 d) 37 e) 33 29. Si:
29
∑k
I)
II)
22
∑ 2y
III)
y =1
k =1
a) I d) Todas
11
∑ 7z
z =1
b) II c) III e) No se puede
34. Calcular: n
200
∑ k = 5 050
k =1 23
∑
∑ 3a − 3 ∑
2
n
n
∑ k² − ∑
k²
a
∑ 8k² − 5 ∑ k²
= a 1= a 16 = k 1 = k 1
y=7
Academia GAUUS
18
a−∑ 3
a 9= a 21= a 1 = = + k 1=k 11 50 50 10 10
y =A
Hallar: n + A a) 4523 b) 4333 d) 4671 e) 4723
200
∑ a− ∑
c) 4421
a) 2 d) 1/5
b) 2/3 e) 2/5
c) 3
317
JOHN MAMANI M.
01. Calcule:
b)
4
∑ 2x
k =1
x =1
UNAP–SOC–2015
a) 10 d) 25
b) 20 e) 15
c) d)
3 3 ∑ ∑ ( x − 1) y 8= = x 1
e)
b) 62 e) 78
c) 63
05. Exprese en términos de sumatoria S = 8 + 11 + 14 + 17 + + 98 CEPREUNA–ING–2012
03. Exprese como sumatoria, la siguiente serie: S =6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24
a) b)
7
∑ (6i + 24)
31
∑ (3n + 5)
n= 8
UNAP–ING–2014
98
∑ (3n + 5)
n= 8
i =1
c)
7
∑ (3i + 3)
98
∑ (3n + 5)
n=1
i =1
d)
24
∑ (3i + 3)
8
∑ (3n + 5)
n=1
i =1
d)
10
∑ (2k + 4)
k =1
CEPREUNA–SOC–2014
a) 61 d) 58
c)
24
∑ (2k + 4)
k =6 14
b)
24
∑ (2k + 4)
k =1
c) 30
02. Calcule:
a)
10
∑ (k + 24)
e)
24
∑ (3i + 3)
31
∑ (3n + 5)
n=1
i= 6
e)
24
06. Hallar la suma:
∑ (3i + 3)
7
i =7
04. Exprese como sumatoria la serie 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 CEPREUNA–BIO–2013
a)
1
∑ − k(k + 1)
k =1
UNAP–EXT–2011
a) –11/8 d) –5/8
b) –9/8 e) –7/8
c) –13/8
6
∑ (2k + 4)
k =1
318
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 07. Hallar la suma: n
1
a) 21 d) 150
∑ k(k + 1)
k =1
UNAP–2000
a)
n n−1
1 d) n+ 2
n n+1
b)
c)
b) 26 e) 145
11. Obtenga el resultado de: 19
n−1 n
2n e) n+1
∑ 23
i= 8
UNAP–EXT–2013
a) 276 d) 184
08. Hallar el valor de la siguiente sumatoria 20
1 ∑ (2i + 3)(2i + 1) i =1
b) 437 e) 328
09. Si:
b) 3/129 e) 43/129
n
∑ 3k = a ,
271
∑
c) 20/129
halle “x” en la siguiente
k=4
expresión. x =
c) 152
12. Calcule: 86
x = 48
UNAP–2003
a) 40/129 d) 129/43
c) 20
CEPREUNA–2009
a) 29264 d) 19264 13. Hallar el expresión:
n
b) 19364 e) 19624 equivalente 6
∑k
6
c) 19246
de 6
= k 1= k 1 = k 1 CEPREUNA–2006
a+9 a) 3
a + 12 4
c)
a−9 3
d)
a+6 2
UNAP–EXT–2004
a) 128 d) 164
b) 162 e) 296
c) 126
14. Halle a + b; si: a
∑ k = bbb
k =1
CEPREUNA–ING–2013
a) 39 d) 42
9−a e) 3
10. Cuantos sumandos tiene la serie que se desarrolla a partir de:
∑ (2k − 7)
k=5
CEPREUNA–SOC–2013
b) 40 e) 43
c) 41
15. Calcule: 28
∑ (8k − 5)
k =1
30
Academia GAUUS
siguiente
∑ k + ∑ 2k + ∑ 3k
k=3
b)
la
CEPREUNA–SOC–2013/2015
a) 3205 d) 1950
b) 3108 e) 5013
c) 2005
319
JOHN MAMANI M. 20. Halle el valor de “x”
16. Calcule:
n
30
∑ (2 x + 2y) = n(n + 9)
∑ (4i − 3)
y =1
i=1
UNAP–EXT–2014
UNAP–2001
a) 170 d) 1162
b) 1560 e) 1170
c) 1770
a) 2 d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
21. Calcule el resultado de:
17. Efectuar:
10
n
10
∑ (2 x + 7) + ∑ ( x
∑ (4i − 3)
2
− 7)
= x 1= x 1
i =1
UNAP–2002
2
a) 2n − n 2
b) 3n − 2n − 1 c) n(n − 1) − 3
CEPREUNA–2007
a) 495 d) 470
b) 385 e) 720
c) 405
22. Calcule
d) n(n + 1) + 3
8
∑ (x
2
e) 2n − n + 1
2
+ x)
x =1
CEPREUNA–2009/UNAP–SOC–2014
a) 200 d) 240
18. Efectuar: n
∑ (2k − 3)
k =1
UNAP–EXT–2001
b) 180 e) 340
23. Calcular: 9
∑ (x
2
a) n + 2n b) n − 2n
+ x) CEPREUNA–BIO–2012
2
a) 430 d) 320
c) n + 3n 3
d) n + 2n 2
e) n − 2n
b) 330 e) 420
c) 530
24. Halle el valor de la sumatoria: 10
∑ (2 x
19. Calcule la suma de los números de forma (4k + 3) , donde k = 1, 2, 3, n UNAP–2008
2
2
x =1
3
a) 2n + 3
c) 120
2
+ 3 x)
x =1
UNAP–BIO–2015
a) 1020 d) 650
b) 875 e) 935
c) 230
2
b) 3n + 2n 2
c) 2n + 5n 2
d) 3n + 5 2
e) 3n + 4n
320
25. Calcule: 5
∑ (2k
3
− 10)
k =1
UNAP–EXT–2013
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 225 d) 550
b) 400 e) 250
31. Calcule la sumatoria.
c) 325
30
S=
∑
8x
2
x =16
26. Calcular:
UNAP–BIO–2012
20
∑ (2 x
3
a) 62720 b) 63720 d) 64720 e) 65720
2
+ 3 x + 2 x)
x =1
c) 61720
UNAP–EXT–2005
a) 97230 d) 89430
b) 89556 e) 96520
c) 95550
32. Calcule: 29
∑
27. Calcular el valor de la siguiente sumatoria: 50
2k ! ∑ (k − 1)! k =1
(3k − 7)
k = 17 UNAP–1998
a) 806 d) 1305
b) 91 e) 408
c) 897
UNAP–2007
a) 51 d) 1225
b) 2550 e) 16
c) 50 33. Hallar el valor de “S”: n
∑k
28. Calcular: 20
∑ 8k
= x 18 = x 1
c) 360
–5∑ k
b) 2/3 e) 3/5
2
c) 1
n
∑k
J 1= n 1 =
2
–
n
∑
k
k 1= k 11 = S= 10 10 2
UNAP–EXT–2012
b) 3140 e) 3410
2
34. Hallar el valor de “S”:
J
∑ ∑ [ n(3n − 1)]
a) 3040 d) 3420
k
UNAP–ING–2012
a) 1/3 d) 5/3
29. Hallar: 10
n
∑
= k 1= k 1
UNAP–SOC–2013/ UNAP–EXT–2015
b) 2760 e) 1546
–
= k 1= k 11 S= 10 10 2
10
∑ ∑ (2 x + 1)
a) 1470 d) 120
2
c) 3400
∑ 8k
2
–6∑ k
2
k 1= k 1 =
UNAP–EXT–2015
30. Hallar el valor de: 90
∑
a) 1/4 d) 2/3
k
b) 1/2 e) 3/4
c) 1/3
k = 30 UNAP–1998
a) 7320 d) 870
b) 3660 e) 4320
Academia GAUUS
c) 4095
321
JOHN MAMANI M.
Cuatro Operaciones CAPÍTULO XII CUATRO OPERACIONES En este tema consideraremos situaciones donde se incluyen las cuatro operaciones elementales (adición, sustracción, multiplicación y división), pero sus resoluciones se deben hacer sólo en base al razonamiento.
D = Dividendo d = divisor q = cociente r = residuo
División por defecto: D d r q
ADICIÓN: Es la operación binaria que se representa mediante el operador “+” a + b =S → Suma
sumandos
SUSTRACCIÓN: Es la operación inversa a la adición y se representa mediante el operador “–” M
↓ Minuendo
−
S
↓ Sustraendo
= D → diferencia
D d − re q + 1
D= d(q + r) − re
q=cociente por defecto q + 1 =cociente por exceso r=residuo por defecto re =residuo por exceso
r + re = d → divisor
Es una operación directa que tiene por objeto, dadas dos cantidades: “multiplicando” y “multiplicador”. Hallar una tercera llamada “producto”. ×
División por exceso:
Propiedades
MULTIPLICACIÓN:
M
D dq + r =
m
↓ ↓ multiplicando multiplicador
residuo maximo=d − 1 residuo minimo=1
= P ↓ producto
DIVISIÓN: Es la operación inversa a la multiplicación. D d D dq + r = r q
322
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. CUATRO OPERACIONES I PROBLEMA 01 Los gastos de 15 excursionistas ascienden a 375 soles los cuales deben ser pagados por partes iguales. Pero en el momento de cancelar la cuenta faltaron algunos de los viajeros, por lo que cada uno de los restantes, tuvo que abonar 12,5 soles más. ¿Cuántos no estuvieron presentes al momento de cancelar la cuenta? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7
Resolución 375 = 25 soles 15 Nueva cuota 25 + 12, 5 = 37, 5 soles Esto significa que los que pagan la cuenta tienen que desembolsar 37,5 soles cada uno. 375 Nº de pagantes = = 10 12, 5 Nº de excursionistas que no pagaron 15 − 10 = 5
Cuota original =
precio venta
Compre un lote de polos a 500 soles el ciento y los vendí a 84 soles la docena ganando en el negocio 4000 soles. ¿Cuántos cientos tenía el lote? a) 20 b) 2 c) 30 d) 24 e) 28
Resolución Compra: 100 polos → Venta: 12 polos → →
100 polos → Academia GAUUS
500 soles 84 soles 84 = 7 soles 12 7 × 100 = 700 soles
precio compra
ganancia
Pero la ganancia total fue 4000 soles 4000 Nº de cientos = 20 200
PROBLEMA 03 Un vendedor de libros compra 3 libros por S/. 70 y vende 4 por S/. 105. ¿Cuántos libros debe vender para ganar S/. 350? a) 220 b) 130 c) 240 d) 120 e) 200
Resolución Compra: 3 libros 1 libro Venta: 4 libros
PROBLEMA 02
1 polo
Ganancia: En cada ciento ganará: 700 − 500 = 200 soles ↓ ↓ ↓
1 libro
→ → → →
70 soles 70 soles 3 105 soles 105 soles 4
Ganancia: En cada libro ganará: 105 70 35 − = 4 3 12 ↓ ↓ ↓ precio venta
precio compra
ganancia
Nº de libros que debe vender para ganar 350 soles es: 350 = 120 35 12
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 04
PROBLEMA 05
Una Combi que hace servicio de Juliaca a Puno cobra 3,5 soles como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3. Si llego a Puno con 12 pasajeros y una recaudación de 52,5 soles. ¿Cuántas personas partieron de Juliaca? a) 15 b) 6 c) 5 d) 3 e) 9
Una persona deja al morir a c/u de sus hijos S/.840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de este se repartió entre los demás, recibiendo entonces c/u S/.1120. ¿Cuál era la fortuna dejada? a) S/.3360 b) S/.3630 c) S/.3603 d) S/.3300 e) S/.2345
Resolución Total de pasajeros 52, 5 = 15 3, 5 Como llego con 12 pasajeros, quiere decir que bajaron: 15 − 12 = 3 pasajeros Si por cada uno que bajo subieron 3, entonces por 3 que bajaron subieron: 3× 3 = 9 pasajeros Nº de pasajeros que partieron de Juliaca: 15 − 9 = 6 pasajeros
Resolución Por la muerte de uno de los herederos, cada uno de los restantes aumento su parte en: 1120 − 840 = 280 soles Luego, el número de hijos que viven es: 840 =3 280 Por lo tanto el padre tenía: 3+1 = 4 hijos Y la fortuna dejada: 4 × 840 = 3360 soles
¡Comprueba lo que sabes! 01. Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales la suma de S/. 20000, como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tienen que pagar S/. 1500 más, ¿Cuántas personas no pagaron? a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 2 02. Entre 6 personas quedan en pagar en partes iguales S/. 144, como algunos de ellos no pueden hacerlo, cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 12 más ¿Cuántas personas no pagaron? a) 6 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 03. Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales S/. 240, como algunos de ellos no
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pueden hacerlo, cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 10 más. ¿Cuántas personas no pagaron? a) 2 b) 8 c) 3 d) 5 e) 1 04. Quince personas tienen que pagar por partes iguales 9600 soles, como algunas de ellas no pueden hacerlo, cada una de las restantes tiene que pagar 160 soles más para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas no pagaran? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. 16 personas tienen que pagar por partes iguales S/. 75000, como algunos son insolventes; cada uno de los restantes tienen que poner S/. 2812.50 para cancelar la deuda. ¿Cuántos son insolventes? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 6 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
06. S/. 2500 se deben cancelar entre 8 personas pero como algunos de ellos no pueden pagar las otras tienen que pagar S/. 187,50 más. ¿Cuántas personas no pagaron? a) 7 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5 07. Quince personas tienen que pagar S/. 1500 por partes iguales, algunas ellas no pueden pagar y las restantes tienen que aumentar S/. 50 c/u para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas no pueden pagar? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 08. S/. 5400 se deben cancelar entre 18 personas pero como algunos de ellos no pueden pagar las otras tienen que pagar S/. 150 más. ¿Cuántas personas no pagaron? a) 8 b) 6 c) 12 d) 4 e) 10 09. Un premio de S/.20700 se va a repartir entre 300 personas. Algunos de los cuales fallecen antes de poder cobrar, entonces el resto tiene que cobrar S/.2070 cada una. ¿Cuántas fallecieron? a) 250 b) 200 c) 290 d) 170 e) 270 10. Compre un lote de polos a 180 soles el ciento y los vendí a 24 soles la docena ganando en el negocio 600 soles. ¿Cuántos cientos tenía el lote? a) 20 b) 2 c) 30 d) 24 e) 28 11. Compre un lote de polos a 270 soles el ciento y los vendí a 36 soles la docena ganando en el negocio 750 soles. ¿Cuántos cientos tenía el lote? a) 25 b) 28 c) 30 d) 50 e) 15 Academia GAUUS
12. Compré un lote de polos a S/.350 el ciento y los vendí a S/.60 la docena, ganando en el negocio S/.4500. ¿De cuántos cientos constaba el lote?. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 13. He comprado 4 plátanos por 1 sol para luego venderlos a 3 por 2 soles. Si deseas obtener una ganancia de 60 soles. ¿Cuántos plátanos tendré que vender?. a) 120 b) 121 c) 144 d) 150 e) 169 14. Un comerciante compra 3 limones por 2 soles y vende 4 por 3 soles. ¿Cuántos limones debe vender para ganar 10 soles? a) 120 b) 230 c) 160 d) 180 e) 280 15. Se paga S/. 10 por cada 3 manzanas y se vende 5 por S/. 20. ¿Cuál es el número de manzanas que se debe vender para ganar S/. 100? a) 140 b) 150 c) 160 d) 130 e) 120 16. Naty compra 6 manzanas por S/. 4 y vende 4 manzanas por S/. 6. ¿Cuántas manzanas tendrá que vender para ganar S/. 180? a) 260 b) 216 c) 213 d) 330 e) 234 17. Un vendedor de libros compra 3 libros por S/.70 y vende 4 por S/.105. ¿Cuántos libros debe vender para ganar S/.350? a) 220 b) 130 c) 240 d) 120 e) 200 18. Se compra 120 dulces a 5 por 1 sol, luego se compra 120 dulces a 3 por 1 sol y se vende los 240 dulces a 4 por un sol. ¿Cuánto se gana o se pierde? a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
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JOHN MAMANI M. 19. Un comerciante compra cuadernos a 4 por 45 soles y luego los vende a 3 por 50 soles. Si ha obtenido una ganancia de S/.6500. ¿Cuántos cuadernos vendio? a) 1200 b) 860 c) 1500 d) 1000 e) 980 20. Juana compró mesas a 4 por S/.1300 y las vende a 7 por S/.2700; si ella debe ganar S/.5 100. ¿Cuántas mesas tiene que vender?. a) 90 b) 35 c) 64 d) 84 e) 27 21. Un microbús que hace servicio de Juliaca a Ayaviri cobra 3 soles como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3. Si llego a Ayaviri con 35 pasajeros y una recaudación de 135 soles. ¿Cuántas personas partieron de Juliaca? a) 15 b) 18 c) 5 d) 13 e) 9 22. El costo de cada pasaje en un micro es de 5 soles, por cada pasajero que baja suben dos. Si al final se ha recaudado 300 soles. ¿Con cuántos pasajeros partió al inicio, si al final llegó con 50 pasajeros? a) 20 b) 40 c) 30 d) 15 e) 25 23. El chofer de un ómnibus observa que en su recorrido por cada persona que baja suben 3, llegando a su destino final con 56 personas. Si el costo del pasaje por persona es de S/. 2,2 c/u y recaudo en total S/. 176, ¿Con cuántas personas inicio su recorrido? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 24. En un ómnibus llegaron 53 pasajeros pero por cada pasajero que bajaba subía 3, el
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precio de cada pasaje era S/. 6 y se recaudó en total S/. 390 ¿Cuál era la cantidad de pasajeros que había inicialmente? a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 25. Un microbús parte del terminal terrestre de Ayaviri en dirección a Juliaca, llega al paradero final con 53 pasajeros; sabiendo que cada pasaje cuesta 3 soles y que ha recaudado en total 195 soles y en cada paradero bajaba un pasajero pero subían tres. ¿Cuántos pasajeros partieron del paradero inicial? a) 29 b) 31 c) 25 d) 27 e) 33 26. Un ómnibus sale de Lima a Cerro Azul y cobra un pasaje único de S/.8. Si en cada paradero por cada 2 pasajeros que bajaban, subían 3. Además se sabe que a Cerro Azul llegaron 44 pasajeros y se recaudó S/.560. ¿Cuántos pasajeros partieron d Lima?. a) 39 b) 33 c) 31 d) 35 e) 32 27. Un ómnibus que hace servicios de Lima a Tumbes cobra S/. 88 como pasaje único en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3. Si llego a Tumbes con 49 pasajeros y un recaudación de S/. 5456. ¿Cuántas personas partieron de Lima? a) 39 b) 23 c) 30 d) 50 e) 27 28. El chofer de un ómnibus observa de que en su recorrido han subido solo adultos pagando cada uno S/. 22 y cuando baja uno suben tres, llegando al paradero final con 56 adultos. Con cuantos inicio su recorrido, si recaudo en total S/. 1760 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
29. Un ómnibus de Lima a Chimbote cobra como pasaje único: 88 soles. Se observa que cada vez que baja un pasajero, suben tres. El ómnibus llega a Chimbote con 49 pasajeros y con una recaudación de 5554 soles incluido el seguro del pasajero que es de un sol por cada uno. ¿Cuántos pasajeros partieron de Lima? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 30. Un ómnibus hace el servicio de Lima – Barranca cobrando como único pasaje S/.50 y S/.4 de seguro. Si al final del viaje se dan cuenta que llegaron 35 personas y que por cada uno que bajo subieron 3, ¿cuántas personas partieron; si se recaudó 2592? a) 7 b) 11 c) 8 d) 10 e) 9 31. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 250 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 300 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 6 32. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 350 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 400 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? a) 5 b) 8 c) 3 d) 7 e) 1
despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 400 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? a) 5 b) 8 c) 3 d) 7 e) 1 34. Un padre deja a cada uno de sus hijos S/. 11550, pero los dos mayores renuncian a su parte, distribuyéndose éstas entre los restantes y recibiendo cada uno S/. 15400. ¿Cuántos eran los hijos? a) 10 b) 8 c) 12 d) 4 e) 6 35. Un padre deja una herencia de 152000 dólares a cada uno de sus hijos. Antes de efectuarse el reparto muere uno de ellos y la suma que le correspondía se distribuye equitativamente entre sus hermanos quienes reciben entonces 190000 dólares cada uno. ¿Cuántos hijos eran al principio? a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7 36. Un padre dejo al morir S/. 1360 a cada uno de sus hijos; pero el mayor renunció a su parte y la parte de este se repartió por igual entre los menores, recibiendo entonces cada uno de ellos S/. 1530. ¿Cuántos hermanos son en total? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
33. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 350 soles. Uno de ellos es Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M. CUATRO OPERACIONES II PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
De la casa a la Academia gasto S/. 1 y de regreso gasto S/. 2. Si tengo gastados S/. 91; ¿Dónde estoy? a) En mi casa b) Parque Pino c) Academia d) Casa de Locos e) A la mitad del camino
A una fiesta de promoción asistieron 95 personas y en un momento determinado, 15 mujeres y 20 hombres no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? a) 22 b) 35 c) 45 d) 50 e) 15
Resolución En el viaje de ida y vuelta gasta S/. 3 91 3 (1) (30) → # de viajes ↓
resto
Como queda 1 sol esto le servirá de su casa a la academia. ∴ Se encuentra en la academia
Resolución V = Varones M = Mujeres Total de personas: V+M = 90 Nº de personas que no bailan: 15 + 20 = 35 Nº de personas que bailan 90 − 35 = 60 Pero como bailan en pareja, entonces: 60 Nº de mujeres que bailan = = 30 2 Además no bailan 15 mujeres. Total de Mujeres = 30 + 15 = 45
Sea:
PROBLEMA 02 Dos secretarias tienen que escribir 800 solicitudes cada una, la primera escribe 80 solicitudes por hora y la segunda 70 solicitudes por hora, cuando la primera haya terminado su tarea ¿Cuántas solicitudes faltaran escribir a la segunda? a) 80 b) 150 c) 100 d) 94 e) 75
Resolución 800 = 10 horas 80 La segunda en 10 horas escribe: 10(70) = 700 solicitudes Luego para 800 solicitudes le falta: 800 − 700 = 100 solicitudes
La primera demora:
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PROBLEMA 04 Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordando pagarle 700 soles más un televisor, pero al cumplir los 7 meses se le despide pagándole 250 soles más el televisor. El precio del televisor es: a) 420 b) 360 c) 400 d) 350 e) 380
Resolución Del problema se deduce: 12 meses = 700 + TV ↓( − ) 7 meses = 250 + TV 5 meses = 450
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. En un mes gana: 450 = 90 soles 5 En 12 meses debe ganar: 12 × 90 = 1080 soles Pero en realidad recibe 700 soles más el televisor, esto significa que: 700 + TV = 1080 TV = 380 soles
PROBLEMA 05 Un chico robo flores a un jardín y después de andar 80 pasos empezó a perseguirlo el jardinero. El chico da 6 pasos mientras que el jardinero da 4; pero 3 de este equivale a 5 de aquel. ¿Cuántos pasos dio el jardinero para alcanzar al chico? a) 360 b) 380 c) 400 d) 450 e) 480
Resolución Ventaja: 80 pasos del chico Sea: C= pasos del chico J= pasos del jardinero Luego:
(Homogenizando)
×3 → : 12J → 18C 4J → 6C ×4 3J → 5C → : 12J → 20C
2C
De lo último se deduce que cada 12 pasos que da el jardinero descuenta 2 pasos al chico; luego para descontar 80 pasos tendrá que dar: En:
Descuenta 12J → 2C
× 40
En:
× 40
Descuenta
480J → 80C Ventaja
Clave E
¡Comprueba lo que sabes! 01. Cada día un ingeniero para ir de su casa a su oficina gasta 2 soles y de regreso 4 soles, si gastó 92 soles. ¿Dónde se encuentra el ingeniero? a) En la oficina b) En la casa c) A mitad de camino a la casa d) A mitad de camino a la oficina e) No se puede determinar 02. Si voy desde mi casa (En Ayaviri) a la de mi hermano (En Arequipa) gasto S/.35 y de regreso gasto S/.80. Si luego de ir y venir varias veces llevo ya gastados S/.1460. ¿Dónde estoy? a) En mi casa b) Casa de mi hermano c) Juliaca d) Santa Lucia e) En el trayecto 03. De la casa a la fábrica gasto S/. 45 y de regreso gasto S/. 90. Si tengo gastados S/. 1575; ¿Dónde estoy? Academia GAUUS
a) En mi casa b) Casa de mi hermano c) Fabrica d) Ayaviri e) En el trayecto 04. José se encuentra en el sexto piso de un edificio luego baja al tercer piso, vuelve a subir al quinto piso y finalmente baja al segundo piso. Si entre piso y piso las escales tienen 12 peldaños. ¿Cuántos peldaños ha bajado José? a) 72 b) 96 c) 84 d) 120 e) 48 05. Carlos ingresa a un edificio y sube hasta el quinto piso, luego baja al segundo piso y vuelve a subir al cuarto piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 15 peldaños. ¿Cuántos peldaños ha subido el Carlos? a) 105 b) 135 c) 90 d) 120 e) 75
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JOHN MAMANI M. 06. A una reunión bailable asistieron 50 personas. Si todas bailan a excepción de 8 mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en total?. a) 21 b) 29 c) 42 d) 39 e) 19 07. En una fiesta a la que fueron 53 personas, en un momento determinado, 8 mujeres no bailaban y 15 hombres tampoco. ¿Cuántas mujeres asistieron a la reunión? a) 8 b) 15 c) 23 d) 20 e) 19 08. A una fiesta asistieron 67 personas y en un momento determinado, 13 mujeres y 10 hombres no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? a) 22 b) 35 c) 44 d) 50 e) 9 09. A una fiesta asistieron 85 personas y en un momento determinado, 17 mujeres y 24 hombres no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? a) 20 b) 84 c) 35 d) 32 e) 39 10. En una fiesta de etiqueta habían 97 personas. Si en un determinado momento no bailaban 17 hombres y 8 mujeres. ¿Cuántas mujeres había en la fiesta? a) 64 b) 43 c) 25 d) 72 e) 44 11. A una fiesta asistieron 156 personas. En un momento determinado, bailaban algunas parejas (hombre y mujer) y se observó que 31 mujeres y 11 hombres no bailaban. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta? a) 68 b) 74 c) 76 d) 78 e) 88 12. Un examen de la UNAP de 60 preguntas dura 2 horas. Si José dedica 60min. para leer y responder 25 preguntas y de cada 10 acierta 8 ¿Cuántas no acertó o dejó de responder?
330
a) 60 d) 80
b) 40 e) 30
c) 20
13. Un examen de 140 preguntas dura 3 horas. Si José dedica 60min. para leer y responder 40 preguntas y de cada 10 acierta 5 ¿Cuántas no acertó o dejó de responder? a) 80 b) 60 c) 20 d) 50 e) 130 14. En una fiesta hay 42 personas, la primera dama baila con 7 caballeros, la segunda con 8 caballeros; la tercera con 9 y así sucesivamente hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros hay? a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25 15. A un baile asistieron 52 personas, una primera dama baila con 5 caballeros, una segunda dama baila con 6, una tercera baila con 7, y así sucesivamente, hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántas damas concurrieron? a) 28 b) 26 c) 24 d) 30 e) 25 16. A una fiesta asistieron 260 personas, entre hombres y mujeres; se observó que la primera mujer bailo con 29 hombres, la segunda con 30 y la tercera con 31 así sucesivamente, hasta que la última bailo con todos los hombres Halle el número de hombres que asistieron a) 116 b) 72 c) 58 d) 48 e) 144 17. Dos secretarias tienen que escribir 600 cartas cada una, la primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea. ¿Cuántas cartas le faltaran escribir a la segunda? a) 72 b) 84 c) 64 d) 60 e) 80
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 18. Dos secretarias tienen que escribir 390 cartas cada una. La primera escribe 13 cartas por hora y la segunda 11 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su trabajo. ¿Cuántas cartas le faltaran escribir a la segunda? a) 65 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50 19. Una jarra llena de vino pesa 8kg y vacía 1kg. Si se vende el contenido en vasos que llenos pesan 270 gramos y vacíos 20 gramos. ¿Cuántos vasos se pueden vender en total?. a) 20 b) 25 c) 28 d) 30 e) 32 20. Se compra un recipiente que lleno pesa 9,5kg y vacío pesa 2,5kg se vende el contenido en vasijas que llenas pesan 290g y vacías pesan 40g. ¿Cuántas de estas vasijas se han podido llenar? a) 28 b) 30 c) 56 d) 14 e) 37 21. Diana perseguida por su enamorado le lleva 130 pasos de ventaja y da 5 pasos, mientras que su enamorado sólo da 4; pero 9 pasos de él equivalen a 8 pasos de ella. ¿Cuántos pasos dará el enamorado para alcanzar a Diana?. a) 450 b) 200 c) 360 d) 300 e) 320 22. Un tigre persigue a un venado que lleva 90 saltos de adelanto. Sabiendo que el tigre da 7 saltos mientras que el venado da 6 y que 4 saltos del venado equivalen a 3 del tigre. ¿Cuántos saltos dará el tigre para alcanzar al venado? a) 600 b) 210 c) 450 d) 129 e) 189 Academia GAUUS
23. Se contrata un hombre por 12 meses y se le pagará 1400 soles más una sortija, al octavo mes se le despide dándole 900 soles más la sortija. ¿Cuál es el precio de la sortija? a) 60 b) 200 c) 300 d) 400 e) 100 24. Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordándole pagarle 3500 dólares más una computadora, pero al cumplir los 9 meses se le despide pagándole 2250 dólares más la computadora. ¿El precio de la computadora es? a) 1020 b) 1550 c) 1200 d) 1400 e) 1500 25. En una empresa ofrecen a un empleado un sueldo anual de S/. 6 000 más un televisor de 14 pulgadas y un equipo de sonido. A los 10 meses lo despiden dándole S/. 4 400 más las 2 cosas prometidas. Si se hubiese retirado a los 7 meses hubiera obtenido S/. 3 600 y el equipo. ¿Cuál es el precio del equipo? a) S/. 1 800 b) S/. 2 000 c) S/. 2 200 d) S/. 2 400 e) S/. 1 500 26. A un empleado le prometen por un año de trabajo 8000 dólares, un televisor y un equipo de sonido; pero por ocioso lo despiden a los 10 meses recibiendo 6000 dólares más los dos artefactos. Si se le hubiera despedido a los 8 meses habría recibido 5800 dólares y el equipo de sonido. ¿Cuál es el precio del televisor? a) $ 1500 b) $ 3500 c) $ 1800 d) $ 1250 e) $ 1100
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JOHN MAMANI M. CUATRO OPERACIONES III PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Una tortuga se encuentra en una pendiente, durante el día avanza 160m, y durante la noche desciende 120m por acción de su propio peso. Al cabo de cuantos días llega a la parte superior de la pendiente de 400m. a) 10 b) 6 c) 8 d) 7 e) 12
Un comerciante compras libros a 50 soles cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, obteniendo en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros ¿A qué precio debe vender cada libro para ganar 6000 soles? a) 54 b) 62 c) 60 d) 56 e) 58
Resolución
Resolución
Primeramente, observemos que el ultimo día asciende 160 metros y como ya no resbala, los demás días anteriores tendrá que ascender: 400 − 160 = 240m Como en cada día asciende 180m y desciende 120m, entonces su ascenso real por día es de: 160 − 120 = 40m Luego, para ascender los 240m restantes necesita: 240 = 6 días 40 Por lo tanto, total días: 6 + 1(ultimo día) = 7 días
La compra es de 13 en 13 porque le obsequian “1” por cada docena comprada, entonces: 780 Nº de docenas compradas: = 60 12 + 1 Nº de libros comprados: 60 × 12 = 720 60 Precio de compra total de libros: 720 × 50 = 36000 soles Para ganar 6000 soles se le debe recaudar: 36000 + 6000 = 42000 soles Como decide regalar 30 libros, entonces quedan aptos para la venta: 780 − 30 = 750 libros Por lo tanto cada libro lo venderá en: 42000 = 56 soles 750
¡Comprueba lo que sabes! 01. Julia compra un televisor a plazos cuyo precio al contado es S/.500. El vendedor le sugiere que se fraccione el pago en tres cuotas mensuales y le indica que deberá pagar tres cuotas de S/.185 cada una. Al llegarle las cuotas mensuales a casa, julia se entera de que le recargan S/.7 por enviarle cada uno de los tres recibos. ¿Cuántos nuevos soles
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más que el precio al contado pagara finalmente Julia? a) S/.76 b) S/.55 c) S/.34 d) S/.21 e) S/.27 02. Por cada 12 borradores que un profesor compró, le regalaron un borrador más. Si recibió 130 borradores en total, ¿Cuántos borradores le regalaron? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 11 d) 13
b) 12 e) 20
c) 10
03. El director de un colegio va de paseo con todos sus profesores y solo dispone de S/.24 para los pasajes de todo el grupo. Si compra pasajes de S/.3, le sobra dinero; pero si compra pasajes de S/.4, le falta dinero. ¿Cuántos profesores viajan con el director? a) 4 b) 7 c) 5 d) 8 e) 6 04. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos? a) 5 b) 4 c) 7 d) 6 e) 3 05. Cuatro hermanos tienen en conjunto S/.1800; cada uno tiene la misma cantidad de billetes. El hermano mayor posee solo billetes de S/.100; el segundo, solo de S/.50, el tercero, solo de S/.20, y el cuarto, solo de S/.10. ¿Qué cantidad de dinero tiene el mayor? a) S/.600 b) S/.800 c) S/.1000 d) S/.1200 e) S/.500 06. Un vendedor de golosinas regala 2 caramelos por cada 5 chocolates que vende. Si cada chocolate se vende a 2 nuevo soles y ha regalado 70 caramelos ¿Cuánto dinero ha recaudado por la venta de chocolates? a) S/.350 b) S/.140 c) S/.70 d) S/.175 e) S/. 123 07. Dos secretarias deben escribir el mismo número de cartas. La primera escribe 2 cartas por hora y la otra, 5 cartas por hora. Si la primera ha empezado 6 horas antes que la segunda. ¿Cuántas horas trabajó la primera? a) 4h b) 6h c) 8h d) 10h e) 12h 08. Cinco amigos consumieron en un restaurante por un total de 400 soles y dos de ellos solo Academia GAUUS
1 1 y del consumo. Para cubrir la 8 5 diferencia, cada uno de los restantes pagó por igual la suma de: a) 270 b) 90 c) 130 d) 180 e) 80
tenían
09. Juan compró siete billetes de la lotería de una misma serie de los cuales salieron premiados. El recibirá como premio S/. 240000 si hubiese comprado un billete menos. ¿Qué cantidad recibió Juan? a) 350000 b) 280000 c) 460000 d) 580000 e) 380000 10. Hallar la suma de los dígitos del menor número, tal que al multiplicarlo por 9, se obtenga otro número formado solo por cifras 8. a) 44 b) 48 c) 40 d) 36 e) 42 11. Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto, éste quedará aumentado en 1100. ¿Cuál será dicho producto si la diferencia de sus factores es 20? a) 4800 b) 3500 c) 2400 d) 1800 e) 6300 12. Un comerciante adquirió 1800 lapiceros a 8 soles cada uno, habiéndosele obsequiado 4 lapiceros por cada caja de 20 unidades que compró. ¿A qué precio debe vender cada lapicero, si él a su vez regalará 5 por caja y piensa obtener una ganancia total de 9600 soles? a) 90 b) 12 c) 15 d) 15 e) 9 13. En el sentido de la corriente una lancha recorre 400km en 10 horas, de regreso al punto de partida requiere 16 horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? a) 40km/h b) 7,5km/h c) 25km/h d) 32,5km/h e) 12,5km/h
333
JOHN MAMANI M. 14. Una persona quiere rifar un reloj de un precio determinado emitiendo para esto cierto número de acciones. Si vende 2000 soles cada acción perderá 30000 soles y vendiendo en 5000 soles la acción ganará 60000 soles. ¿Cuánto vale el reloj y cuantas son las acciones? a) 90000 soles, 30 acciones b) 80000 soles, 30 acciones c) 120000 soles, 40 acciones d) 160000 soles, 50 acciones e) 180000 soles, 24 acciones 15. Si trabaja los lunes inclusive, un peón economiza 40 soles semanales; en cambio, la semana que no trabaja el día lunes, tiene que retirar 20 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejo de trabajar en estas 10 semanas? a) 1 b) 9 c) 5 d) 3 e) 7 16. Manuel compro cierto número de ovejas por valor de 6000 soles. A vendido de ellas por valor de 1800 soles, a 120 soles, cada oveja, perdiendo en cada una 30 soles. ¿a cómo debe vender cada una de las restantes para resultar ganando 600 soles sobre lo pagado en cada compra de todas? (O sea para sacar 6600 soles en la venta) a) 182 b) 192 c) 172 d) 1760 e) 125 17. Un comerciante compro 30 lapiceros por 540 soles, si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de la compra de 6 lapiceros. ¿a cómo tendrá que vender cada uno de ellos? a) 29 b) 27 c) 24 d) 32,4 e) 55 18. Un comerciante compro 30 lapiceros por 54 soles. Si vendió 6 lapiceros a S/.2.00 c/u. ¿Cómo tendrá que vender c/u de los lapiceros restantes para no ganar ni perder?.
334
a) S/. 1,75 d) 1,85
b) 1,8 e) 4
c) 1,9
19. Ricardo compro 6 docenas de libros a 35 soles cada uno y recibe 13 libros por cada docena; en al factura le hacen además una rebaja de 650 soles. Si vende el ejemplar 37,5 soles. ¿Cuánto ganara vendiendo todos los libros? a) 1440 b) 1105 c) 1500 d) 1055 e) 1230 20. Un comerciante compra libros a 60 soles cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, obteniendo en total 910 libros. Si decide regalar 40 libros. ¿A qué precio debe vender cada libro para ganar 8760 soles? a) 68 b) 84 c) 70 d) 48 e) 51 21. La señora Antolina tiene 240 conejos, para los cuales tienen alimento durante 30 días. Pero la señora Antolina no tiene dinero, y quiere que el alimento le dure 10 días más, dándole la misma ración diaria. ¿Cuántos conejos tendrá que vender si desea llevar a cabo su plan? a) 65 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50 22. Con la gratificación recibida por fiestas patrias compré 30 libros, si cada libro me hubiera costado 10 soles menos, hubiera adquirido 50 libros más. ¿Cuánto me costó cada libro? a) 10 b) 15 c) 16 d) 20 e) 25 23. Hay 4 miembros de una familia que van al teatro a preferencial. Cambian de opinión y compran entradas de platea ahorrando S/. 120. Si los precios unitarios de ambas entradas suman S/. 110. ¿Cuánto pagó por las entradas en total? a) 100 b) 120 c) 160 d) 150 e) 140
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 24. Miguel y Percy juegan sobre la base de que en cada jugada ganada se ganen 5000 soles. Después de 20 jugadas Miguel resultó ganando 40000 soles. ¿Cuántas jugadas de las veinte gano c/u?. a) 10 y 10 b) 12 y 8 c) 14 y 6 d) 16 y 4 e) 11 y 5 25. Se han de repartir 160 caramelos entre 45 niños de un salón, dándole 3 caramelos a cada varón y 4 a cada niña. ¿Cuántas niñas hay en esta aula?. a) 32 b) 25 c) 26 d) 28 e) 30 26. Se ha de repartir 180 chocolates entre 50 animales. Cada animal es un mono o un gato. A cada mono le ha de corresponder 3 chocolates y a cada gato 5 chocolates. ¿Cuántos son monos y cuántos son gatos? a) 16, 34 b) 25, 25 c) 35, 15 d) 28, 22 e) 30, 20 27. Pepe ha de multiplicar un número por 50, pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallando así un producto que se diferencia del verdadero en 11610. ¿Cuál es el número?. a) 528 b) 825 c) 258 d) 321 e) 657 28. Al multiplicar por 73 un cierto número, éste aumenta en 26 280. ¿Cuál es el número? a) 365 b) 563 c) 635 d) 356 e) 653 29. Si al minuendo le sumamos 140 y le restamos el cuádruple de la suma del sustraendo más la diferencia. Se obtendrá como resultado el minuendo. Hallar la diferencia original, si el sustraendo es la mayor posible y la suma de sus cifras es 10. Academia GAUUS
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
30. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es 13225m2 con una cerca de 4 hileras de alambre. ¿Cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta 2 soles y la mano de obra total 100 soles? a) S/.3280 b) S/.3580 c) S/.3330 d) S/.3870 e) S/.3780 31. Un edificio se pintó por S/.3500; pero si se hubiese ganado S/.3 menos por cada m2, el costo del pintado habría sido S/.2000. ¿Cuánto se pagó por cada m2?. a) S/.5 b) S/.6 c) S/.7 d) S/.8 e) S/.9 32. Cuando un comerciante compra pelotas le regalan 1 por cada 9 y cuando los vende regala 5 por cada 50. ¿Cuántas pelotas compró, si vendió 800? a) 880 b) 792 c) 815 d) 840 e) 672 33. Fabricio compra cierta cantidad de gallinas por 800 soles y vende parte de ellos por 620 soles a 4 soles cada uno, ganando en esta venta 124 soles. ¿Cuántas gallinas compró? a) 150 b) 220 c) 240 d) 180 e) 250 34. Se compraron 70 vasos a 180 soles cada uno, Después de vender 20 con una ganancia de 35 soles por vaso, se rompieron 12. ¿A cómo debo vender cada uno de los restantes para obtener una ganancia total de 1200 soles? a) S/.190 b) S/.175 c) S/.200 d) S/.225 e) S/.250
335
JOHN MAMANI M. 35. Compré libros por S/.2800; vendí parte de ellos por S/.900 a S/.60 cada libro, perdiendo S/.20 en cada uno. ¿A cómo debo vender cada uno de los restantes para que pueda ganar S/.500 en la venta total?. a) S/.100 b) S/.110 c) S/.120 d) S/.130 e) 140 36. Los jornales de dos obreros suman S/.60. Si uno de ellos gana S/.12 más que el otro. ¿Cuánto ganan cada uno de ellos? a) S/.12 y S/.48 b) S/.20 y S/.40 c) S/.36 y S/.24 d) S/.18 y S/.42 e) S/.10 y S/.50 37. Un granjero vendió 12 pavos y 15 gallinas por S/.255. ¿Cuánto cuesta cada pavo, si el precio de un pavo es tres veces el de una gallina? a) S/.10 b) S/.8 c) S/.15 d) S/.9 e) S/.20 38. Luis y Miguel van de Shopping llevando entre ambos 620 soles. Luis gasto 240 soles y Miguel 160 soles. Si quedaron con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenían cada uno inicialmente?. a) S/.300 y S/.320 b) S/.280 y S/.340 c) S/.360 y S/.260 d) S/.250 y S/.370 e) S/.350 y S/.270 39. Angie compró 100 relojes a $9 cada uno. Luego vende cierto número en $600, a $15 cada uno. ¿A cómo tendrá que vender el resto para no perder?. a) $8 b) $5 c) $4 d) $10 e) $6 40. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días, pero tardó 9 días más, por trabajar 3 horas
336
menos cada día. ¿Cuántas horas trabajo diariamente? a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 41. Al multiplicar un número por 35 el valor primitivo se ha incrementado en 4250 unidades. ¿Cuál es ese número? a) 120 b) 123 c) 125 d) 115 e) 135 42. Cuando compro me regalan 4 cuadernos por cada docena, y cuando vendo regalo 1 cuaderno por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1600? a) 1214 b) 1216 c) 1212 d) 1208 e) 1206 43. Un comerciante compró cierta cantidad de pelotas por un total de S/.720, vende parte de ellos por S/.1008; a S/.21 cada uno ganando en este negocio S/.432. ¿Cuántas pelotas dejó de vender? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 44. Se compraron 60 vasos a S/.5 cada uno. Después de vender 10 vasos con una ganancia de 2 soles por cada vaso, se rompieron 5. ¿A cómo se debe vender cada uno de los restantes para obtener una ganancia total de 130 soles?. a) S/.5 b) S/.6 c) S/.7 d) S/.8 e) S/.9 45. Cuando compro, me regalan 3 libros por cada 13 y cuando vendo regalo 2 libros por cada 15. ¿Cuántos libros debo comprar para regalar 32?. a) 272 b) 221 c) 224 d) 262 e) 240 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 46. Un ganadero compró 75 vacas por un costo total de S/.275 625. Por una rara plaga murieron algunas de ellas vendiendo las que quedaron en S/.6 125 cada una. ¿Cuántas vacas murieron sabiendo que al quedarse el ganadero sin ninguna de las 75 vacas iniciales, no le queda tampoco ganancia? a) 30 b) 32 c) 28 d) 27 e) 35 47. Un importador adquiere 50 impresoras offset todo por S/.785000. Si por razones de embalaje quedan 7 máquinas inservibles, ¿A qué precio deberá vender las demás para tener una máxima pérdida de S/.6 700? a) S/.17 100 b) 17 900 c) 18 050 d) 18 225 e) 18 100 48. Un criador compró cierto número de caballos por S/.114000. Vendió una parte por S/.80000 a S/.3200 cada uno, ganando en esta operación S/.5 000. ¿Cuántos caballos compró inicialmente? a) 40 b) 35 c) 39 d) 42 e) 38 49. Compré cierto número de libros por S/. 600. Vendí 40, perdiendo S/.2 en cada uno y recibí un total de S/.320. ¿A cómo tengo que vender los restantes si quiero ganar S/.60? a) S/. 14 b) S/. 15 c) S/. 17 d) S/. 19 e) S/. 20 50. Si vendo un departamento por S/.15 800, gano el doble del costo más S/.800. ¿Cuánto me costó el departamento? a) S/. 4500 b) 3800 c) 7500 d) 5000 e) 8000
por S/.29 000, ha ganado S/.1000 más el triple de lo que le costó a ella. a) S/. 10000 b) 7000 c) 14000 d) 15 000 e) faltan datos 52. Un cañón dispara 35 balas cada hora y otro solamente 24 balas en el mismo tiempo y cuando empezó a disparar el segundo, el primero ya había estado disparando 3 horas. Hallar la suma de las cifras de los números que representan la cantidad de cañonazos que cada uno había disparado desde que ambos dispararon juntos hasta que en total entre los dos dispararon juntos 518 cañonazos. a) 29 b) 31 c) 32 d) 33 e) 26 53. Para instalar tuberías de agua un gasfitero solicito 10 soles por cada punto, incluyendo material y mano de obra, y calculó ganar 96 soles; pero acuerda una rebaja de 3 soles por cada punto y resulta ganando solamente 63 soles. ¿Cuánto invirtió el gasfitero en el material de gasfitería? a) 79 b) 15 c) 49 d) 97 e) 14 54. Martha que tiene el hábito de lavarse la cabeza diariamente utiliza la misma cantidad de champú. Después de 15 días observa que ha consumido la cuarta parte del frasco. Veinte días más tarde observa que aún le quedan 50cm3. ¿Cuántos cm3 de champú consume diariamente en cada lavado de cabeza? a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 7
51. Jessica desea saber cuánto costó el auto de Mónica. Si ésta le ha dicho que al venderlo Academia GAUUS
337
JOHN MAMANI M.
01. Un alumno ingresa a un edificio y sube hasta el quinto piso, luego baja al segundo piso y vuelve a subir al cuarto piso. Si entre piso y piso las escaleras tienen 15 peldaños. ¿Cuántos peldaños ha subido el alumno? a) 105 d) 120
b) 135 e) 75
UNAP–2005/2012
c) 90
02. Cierta clase de microbio tiene la propiedad de duplicarse en cada minuto. Si en 28 minutos ocupan la mitad de un recipiente. ¿En cuánto tiempo se llenara éste? a) 56 d) 30
b) 50 e) 52
UNAP–EXT–2006
c) 29
03. A la recepción de una fiesta asistieron 69 personas y en un momento determinado, 14 mujeres y 11 varones no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? a) 36 d) 25
b) 44 e) 69
UNAP–SOC–2014
c) 22
04. En una fiesta a la que fueron 53 personas, en un momento determinado, 8 mujeres no bailaban y 15 hombres tampoco. ¿Cuántas mujeres asistieron a la reunión? a) 8 d) 20
b) 15 e) 19
b) 156 e) 236
b) 130 e) 200
c) 240
07. Se paga S/.10 por cada 3 manzanas y se vende 5 por S/.20. ¿Cuál es el número de manzanas que se debe vender para ganar S/.100? a) 150 d) 130
b) 140 e) 120
CEPREUNA–2007
c) 160
08. Se compran pares de zapatos cuyos precios varían desde 25 a 40 soles y se venden a precios que varían desde 30 a 45 soles. ¿Cuál es la máxima ganancia que se puede obtener en la venta de 16 pares de zapatos? a) S/ 240 d) S/ 400
b) S/ 160 e) S/ 320
UNAP–2008
c) S/ 180
09. En un examen de ingreso a la UNAP que consta de 90 preguntas para ser desarrollado en 3 horas, un postulante lee y responde 25 preguntas en una hora y, si acierta 10 de cada 15 preguntas, ¿cuántas no acertó o dejó de responder? a) 40 d) 25
b) 45 e) 35
c) 15
UNAP–2007
CEPREUNA–2011/2012
c) 23
05. Jaime compra 6 peras por 4 soles y vende 4 peras por 6 soles. ¿Cuántas peras tendrá que vender para ganar 180 soles? a) 256 d) 216
a) 220 d) 120
UNAP–BIO–2015
c) 176
06. Un vendedor de libros compra 3 libros por S/.70 y vende 4 por S/.105. ¿Cuántos libros debe vender para ganar S/.350? CEPREUNA–2008
10. Un examen de admisión de 140 preguntas dura 3 horas. Si un postulante dedica 60 minutos para leer y responder 40 preguntas; y de cada 10 acierta 5, ¿Cuántas no acertó o dejó de responder? a) 80 d) 50
b) 60 e) 130
UNAP–BIO–2014
c) 20
11. Un examen de admisión tiene 160 preguntas y dura 3 horas. Si un postulante dedica 60 minutos en leer y responder 40 preguntas y de cada 10 preguntas, acierta 5. ¿Cuántos acertó o no respondió? UNAP–EXT–2004
338
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 80 d) 120
b) 60 e) 100
c) 90
12. Dos secretarias tienen que escribir 600 cartas cada una, la primera escribe 30 cartas por hora y la segunda 26 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea. ¿Cuántas cartas le faltaran escribir a la segunda? a) 78 d) 120
b) 40 e) 80
UNAP–SOC–2012
c) 52
13. Dos secretarias tienen que escribir 300 cartas cada una, la primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora, cuando la primera haya terminado su tarea. ¿Cuántas cartas faltaran por escribir a la segunda? a) 26 d) 40
b) 39 e) 20
UNAP–BIO–2014
c) 60
UNAP–EXT–2013
b) 72 e) 144
c) 58
15. A un baile asistieron 52 personas, una primera dama baila con 5 caballeros, una segunda dama baila con 6, una tercera baila con 7, y así sucesivamente, hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántas damas concurrieron? a) 28 d) 30
b) 26 e) 25
CEPREUNA–2004
c) 24
16. Una jarra llena de vino pesa 8kg y vacía 1kg; si se vende el contenido en vasos que llenos pesan 270 gramos y vacíos 20 gramos. ¿Cuántos vasos se pueden vender en total? UNAP–2005/2014
b) 12 e) 15
c) 28
17. En una oficina de admisión se atiende 10 postulantes cada 3 minutos y si una cola de 200 postulantes ocupa una cuadra. ¿A qué hora espera ser atendido un postulante que llega a las 9 a.m. y se encuentra a 3 cuadras de la oficina? a) 2p.m. d) 12m.
b) 3p.m. e) 1p.m.
UNAP–ING–2015
c) 11a.m.
18. 5400 soles se deben cancelar entre 18 personas, pero algunos son insolventes; entonces los otros tienen que poner 50 soles más cada uno para cancelar la deuda. ¿Cuántos son insolventes? a) 8 d) 4
14. A una fiesta asistieron 260 personas, entre hombres y mujeres; se observó que la primera mujer bailo con 29 hombres, la segunda con 30 y la tercera con 31 así sucesivamente, hasta que la última bailo con todos los hombres Halle el número de hombres que asistieron a) 116 d) 48
a) 10 d) 36
b) 6 e) 10
UNAP–EXT–2004
c) 12
19. Si 16 personas tienen que pagar por partes iguales S/. 7500, como algunos de ellos no pueden hacerlo; cada uno de los restantes tienen que poner S/. 281.25 para cancelar la deuda. ¿Cuántos son insolventes? a) 6 d) 4
UNAP–EXT–2003/CEPREUNA–ING–2013
b) 2 e) 5
c) 3
20. Un padre deja una herencia de S/.152000 dólares a cada uno de sus hijos. Antes de efectuarse el reparto muere uno de ellos y la suma que le correspondía se distribuye equitativamente entre sus hermanos quienes reciben entonces S/.190000 cada uno. ¿Cuántos hijos tenía? a) 4 d) 3
b) 5 e) 7
UNAP–BIO–2012/2014
c) 6
21. Una persona deja al morir a cada uno de sus hijos S/.840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de este se repartió entre los demás, recibiendo entonces cada uno S/.1120. ¿Cuál era la fortuna dejada? UNAP–SOC–2012
Academia GAUUS
339
JOHN MAMANI M. a) S/.3360 d) S/.3300
b) S/.3630 e) S/.2345
c) S/.3603
22. Un padre deja a cada uno de sus hijos S/. 11550, pero los dos mayores renuncian a su parte, distribuyéndose éstas entre los restantes y recibiendo cada uno S/. 15400. ¿Cuántos eran los hijos? a) 10 d) 4
b) 8 e) 6
c) 12
UNAP–2008
23. Ricardo compro 6 docenas de libros a S/. 35 cada libro y recibe 13 libros por cada docena. Si en la factura le hacen una rebaja de S/. 650 y el vende el ejemplar a S/. 37.5. ¿Cuánto ganara vendiendo todos los libros? a) S/. 1200 d) S/. 1000
b) S/. 1055 e) S/. 1440
UNAP–2004
c) S/. 1106
24. Un comerciante compras libros a 50 soles cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, obteniendo en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros ¿A qué precio debe vender cada libro para ganar 6000 soles? a) 54 d) 56
b) 62 e) 58
CEPREUNA–2006/2011
c) 60
25. Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles cada uno y además le regalan 4 por cada 19 que compra. Si recibió en total 391 carteras, ¿Cuál es la inversión hizo el comerciante? a) 23175 d) 29175
b) 29325 e) 24225
UNAP–BIO–2012
c) 25630
26. Un comerciante compra celulares a un precio de 75 nuevos soles cada uno, además le regalan 2 celulares por cada 15 que compra. Si en total se llevó 170 celulares. ¿Cuántos nuevos soles invirtió este comerciante al adquirir estos celulares? a) 11520 d) 12520
340
b) 11250 e) 11252
27. Un comerciante compro 30 lapiceros por 5400 soles, si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de la compra de 6 lapiceros. ¿A cómo tendrá que vender cada uno de ellos? a) S/. 250 d) S/. 280
b) S/. 260 e) S/. 290
UNAP–EXT–2003
c) S/. 270
28. Un comerciante adquiere 4 sillas por S/. 50 y vende 6 sillas por S/. 100, después de un día de trabajo observa que le quedan 50 sillas como ganancia de su negocio. ¿Cuántas sillas compro? a) 300 d) 240
b) 250 e) 100
c) 200
UNAP–2004
29. Un pasajero parte a las 9 a.m. (hora de Lima) de Lima a Lisboa, siendo la duración de viaje con escalas, de cierto número de horas. Si llego a Lisboa al día siguiente a las 12 m. (hora de Lisboa). ¿Cuántas horas duro el viaje si hay una diferencia de 6 horas de Lima y Lisboa? a) 22 d) 20
b) 21 e) 23
UNAP–EXT–2002
c) 18
30. Una botella vacía pesa 425g y llena de agua pesa 1175g. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225lt? a) 280 d) 320
b) 300 e) 290
CEPREUNA–2007
c) 310
31. En un ómnibus llegaron 53 pasajeros. Por cada pasajero que bajaba en el trayecto subían 3. El precio de cada pasaje era S/. 6 y se recaudó en total S/. 390 ¿Cuál era la cantidad de pasajeros que había inicialmente? a) 29 d) 26
b) 27 e) 31
CEPREUNA–2011
c) 24
CEPREUNA–ING–2015
c) 15120
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Métodos Prácticos CAPÍTULO XIII MÉTODO DEL CANGREJO
MÉTODO DEL ROMBO
Este método nos permite resolver un problema en forma directa, para lo cual se realizan operaciones inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el inicio. Esta clase de ejercicios se reconocen trabajando con operaciones sucesivas (se trabaja siempre con el nuevo resultado), y si se trata de fracciones, se trabaja con la cantidad con la fracción que es “el complemento de la unidad”.
El método del rombo es una regla práctica del método de FALSA SUPOSICIÓN, se caracteriza por presentar 2 incógnitas y 4 datos. M (− )
(×)
N
(− )
R
m
Ejemplo 01 Multiplicando un número por 5, al producto le restamos 2, al resultado le dividimos entre 4 con lo cual obtenemos 12 ¿Cuál era el número inicial?
Resolución Primero ordenamos todo el enunciado: Incógnita
×5
−2
÷4
Número Inicial
Dato 12
Nº de elementos = de m
Donde: N : M : m : R :
Nº de elementos que intervienen. Cantidad unitaria mayor. Cantidad unitaria menor. Total recaudado o acumulado
Ejemplo 02 En un corral donde existen conejos y gallinas se cuentan 60 cabezas y 150 patas. Determinar el número de conejos.
Luego cambiamos con su operación opuesta a cada operación y enseguida operamos por la parte final: Incógnita
×5
10
÷4
−2 50
÷5
+2
Resolución Conejos 4 patas
Dato 12
48
N× M − R M−m
(×)
Total 60 cabezas
(− ) (− )
150 patas
×4
2 patas Gallinas
Entonces el número inicial = 10
60 × 4 − 150 = 45 4−2 N° de Conejos: 60 − 45=15
N° de gallinas:
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341
JOHN MAMANI M. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
Resolución
Es un método que se aplica a problemas donde participan dos cantidades excluyentes, una mayor que la otra, las que se comparan en dos oportunidades originando, generalmente, en un caso sobrante o ganancia y en el otro caso un faltante o pérdida. Caso I: Opuestos: a (−) b
A (gana, pierde)
(+)
(+)
7L
3 (falta)
7+ 3 ⇒ L=5 7−5 El costo del libro es: S/. 5 El dinero que dispone Fernando: 5 L + 7
Resolviendo: L =
5(5) + 7 = S/. 32
A+B a−b
Caso II: De la misma índole: a A (pierde, gana) b
7 (sobra)
5L (−)
B (pierde, gana)
Nº de elementos =
(−)
Sea “L” el precio de un libro
(−) B (pierde, gana) A−B Nº de elementos = a−b
NOTA: • En los casos anteriores las diferencias son positivas, es decir la diferencia siempre debe ser de un número mayor respecto del número menor. • Si se observa detenidamente los casos anteriores, en el gráfico la operación que va a la izquierda y que en la operación va siempre en el denominador es siempre una sustracción.
MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA A este método también se denomina como el “Método de las equivalencias”. Para resolver un problema utilizando el método de la regla de conjunta, uno debe reconocer que en el enunciado del problema se mencionan cantidades que son equivalentes. Y luego se sigue el siguiente procedimiento: • Se ordenan los datos verticalmente en una serie de equivalencia. • En las equivalencias, las cantidades de una misma especie deben estar en miembros distintos. • Se debe procurar que el primer miembro de la primera equivalencia y el segundo miembro de la última equivalencia deben ser siempre cantidades de la misma especie. • Se multiplica miembro a miembro las igualdades, cancelando las unidades de medida. • Resolviendo al final una igualdad, con la variable incógnita que se despejará.
Ejemplo 03 Cuando Fernando va a la librería, observa que si compra 5 libros, le sobra 7 soles, pero si quiere comprar dos más le faltarían tres soles. ¿De cuánto dinero dispone Fernando?
342
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. MÉTODO DEL CANGREJO PROBLEMA 01
A un número se le multiplica por 2, al resultado se le suma 10, enseguida dividimos entre 5 y, finalmente, se le resta 6 para obtener como resultado 20. Hallar el número original. a) 50 d) 40
b) 70 e) 30
c) 60
Resolución Sea el número pedido: “x”
×2
÷5
+10
−6
x
20
Inicialmente tenía: S/. 600 600 El Promedio de gasto: = S/. 150 4
PROBLEMA 03
Elías dispone su sueldo de la siguiente manera: la tercera parte en la academia; los 4/7 del resto en el vestido de su hija Trudy y los 2/5 del nuevo resto en el pago de su vivienda, si aún le queda S/. 90. ¿Cuál es el sueldo de Elías? a) S/. 450 d) S/. 525
b) S/. 500 e) S/. 600
Realizando las operaciones inversas: x
120
130
÷2
−10
26
20
×5
+6
120 = 60 2
De donde: = x
Resolución Aplicamos el método del cangrejo, ordenando convenientemente tenemos: 1 3 2 3
Gasta:
Queda: PROBLEMA 02
Mario cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.20. Si gastó todo en 4 días, su promedio de gasto por día fue: a) S/.150 d) S/.250
b) S/.180 e) S/.300
c) S/. 625
2 5 3 5
4 7 3 7
3 2 525
7 3 350
Op. Inv. : ×
×
×
Aún le Queda 90
5 3 150
c) S/.200 Su sueldo es: S/. 525
Resolución Aplicando el método del cangrejo: 1er día
2do día
3er día
4to día
Gasta:
1 +20 2
1 +20 2
1 +20 2
1 +20 2
Queda:
1 − 20 2
1 − 20 2
1 − 20 2
1 − 20 = 0 2
Op Inv: × 2 + 20
× 2 + 20
× 2 + 20
× 2 + 20
600
280
Academia GAUUS
120
PROBLEMA 04
Un grifo vende combustible de 92 octanos, cada día vende los 2/3 partes más 150 galones de su stock. Si al cabo de 3 días vendió todo el combustible. ¿Cuántos galones tenía inicialmente? a) 6 850 d) 7 850
b) 5 850 e) 5 580
c) 4 850
40
343
JOHN MAMANI M.
Resolución 1er día 2 +150 3 1 Queda: − 150 3
Vende:
Op Inv:× 3 +150 5 850
2 do día 2 +150 3 1 − 150 3 × 3 +150 1800
3 er día
a) 510 d) 480
b) 500 e) 540
Resolución
2 +150 Queda al final 3 1 − 150 = 0 3 × 3 +150 450
Inicialmente tenía: 5850
1er día
2do día
3to día
Escribe:
1 + 35 2
1 + 35 2
1 + 35 2
Queda:
1 − 35 2
1 − 35 2
1 − 35 = 0 2
Op Inv: × 2 + 35
× 2 + 35
× 2 + 35
490
PROBLEMA 05
Un estudiante escribe cada día, la mitad de hojas en blanco más 35 hojas, si al cabo de tres días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?
c) 490
210
70
Total de hojas en el cuaderno: 490
¡Comprueba lo que sabes! 01. Miro hacia el cielo para ver si encuentro la luz, que me ilumine el camino hasta donde estés tú y poderte decir: ¿Cuál es el número que al llevarlo al cubo, sumarle 6 lo obtenido, luego dividirlo entre 7 y restarle 8 al resultado, para finalmente elevar al cuadrado, encuentro 4 como resultado final?. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 02. Con un cierto número Angie hizo las siguientes operaciones: Primero le sumo 3, al resultado lo multiplico por 7 enseguida al resultado anterior le extrajo la raíz cuadrada por último lo dividió entre 2, obtuvo así 7 como resultado final. Hallar la quinta parte del número a) 25 b) 4 c) 15 d) 5 e) 12 03. Ana le dice a María : “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 5 soles, a ese resultado lo elevo al cuadrado, luego lo dividió entre 4, para quitarle a continuación 9
344
soles y por último lo dividió entre 8, obtengo 5 soles”. Lo que Ana tenía al inicio es : a) S/.5 b) S/.6 c) S/.7 d) S/.8 e) S/.9 04. A un número positivo lo dividimos entre 5, luego al resultado se le suma 2, al nuevo número se le eleva al cuadrado, al número así obtenido lo multiplicamos por 9, para finalmente extraer raíz cuadrada y obtener 15 como resultado final. ¿Cuál es la suma de las cifras del número? a) 15 b) 5 c) 10 d) 12 e) 6 05. Si al número total de patas de conejo que hay en un corral se le multiplica por 3, al producto se le extrae raíz cúbica y luego al resultado se le resta 3, a la diferencia se eleva al cubo, obteniendo un número al cual luego de sumarle 3 y dividirlo entre 3, se obtiene 10 como resultado final. ¿Cuántos conejos hay? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 72 d) 45
b) 24 e) 18
c) 36
06. El profesor de Razonamiento matemático divide entre 4 al número de alumnos de un salón, al cociente le sumo 4 y a la suma lo multiplica por 4, a continuación al producto lo multiplico por 4, para finalmente extraerle la raíz cuarta, obtuvo así 4. Si hay 18 alumnos, entonces el número de alumnos es : a) 52 b) 36 c) 30 d) 40 e) 34 07. Cuando a la edad de Michelle se divide entre 3 después de restarle 2, al resultado se le eleva al cubo a continuación se suma 19, luego a la suma se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente sumar 5 y elevar al cuadrado, se obtiene 289. ¿Cuál es la edad de Leonel, si éste nació cuando Michelle tenía 5 años?. a) 17 años b) 18 años c) 20 años d) 21 años e) 22 años 08. Si al número de hojas de mi libro de Razonamiento Matemático se le divide entre, al cociente se le suma 13, a la suma se le extrae raíz cuadrada, luego al resultado se le eleva al cubo, seguidamente se resta 13 y divide entre 22, para finalmente elevar al cuadrado y dividir entre 25, se obtiene así 9 como resultado final. Entonces el número de páginas es: a) 216 b) 432 c) 108 d) 260 e) 264 09. Un estudiante gastó las hojas de su cuaderno en 2 días y lo hizo del modo siguiente: Cada día gastó la mitad de hojas en blanco, más 8 hojas. ¿Cuántas páginas tenía el cuaderno? a) 48 b) 24 c) 96 d) 144 e) 100 10. Un vendedor de huevos, una cierta mañana vendió los huevos que tenía de una manera muy extraña. Cada hora vendió la mitad de los huevos más 2 huevos, quedándose al final Academia GAUUS
de 3 horas con sólo un huevo. ¿Cuántos huevos vendió esa mañana? a) 36 b) 72 c) 35 d) 18 e) 34 11. Leonel se puso a jugar con el dinero que llevaba: logra duplicarlo e inmediatamente gasta S/.20, con lo que le queda juega por segunda vez y triplica su dinero y gasta luego S/.30. Si finalmente le queda S/.6. ¿Cuánto gasto? a) S/.16 b) S/.10 c) S/.12 d) S/.6 e) S/.8 12. María pensó un número, lo multiplico por 4, le sumo 6, lo dividió entre 2 y le resto 4. Si el resultado es 39. ¿En qué número pensó? a) 16 b) 20 c) 19 d) 15 e) 21 13. Con un cierto número se hizo las siguientes operaciones: se multiplico por 5, al resultado se aumentó 5, enseguida a la suma anterior se dividió entre 5, para finalmente al resultado anterior restarle 5, obteniendo 5 como resultado final. ¿Cuál fue el número?. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 14. La edad de Melissa se quintuplica, al resultado se le suma 21, para luego dividirlo entre 6, al cociente se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente restarle 4, obteniendo cero años. ¿Cuál es la edad de Melissa? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 15. A un número se le extrae raíz cuadrada después de agregarle 9, al resultado se le multiplica por 3 y se obtiene 9. ¿Cuál es el número? a) 15 b) 16 c) 18 d) 6 e) 8 16. Cada vez que Leo se encuentra con Carla, éste le duplica el dinero a Carla, en
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JOHN MAMANI M. agradecimiento Carla le da 1 sol. Si en un día se han encontrado dos veces, luego de los cuales Carla tiene 9 soles. ¿Cuántos tenía inicialmente Carla? a) S/.1 b) S/.2 c) S/.3 d) S/.4 e) S/.5 17. Estrella cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.5. Si gastó todo en 2 días. ¿Cuánto gasto el primer día? a) S/.30 b) S/.15 c) S/.20 d) S/.10 e) S/.18 18. Renato y Miguel juegan a los naipes con la condición que el que pierda triplicará el dinero al otro. Pierden una partida cada uno en el orden mencionado, resulta que el primero tiene S/.90 y el segundo S/.60. ¿Cuánto tenía Renato al inicial el juego?. a) S/.100 b) S/.120 c) S/.110 d) S/.50 e) S/.40 19. Cada vez que me encuentro con mi padrino, él me entrega S/.5, luego me duplica lo que tengo ahora; pero luego me pide S/.2 para su pasaje. Hoy día me he encontrado con él, 2 veces consecutivas, terminando con S/.28. ¿Cuánto era lo que yo tenía al principio? a) S/.1 b) S/.2 c) S/.3 d) S/.5 e) S/.10 20. Con el número de bicicletas que tengo realice las siguientes operaciones. Lo elevo al cubo, al resultado le resto 5, a la diferencia lo divido entre 8, al número así obtenido lo elevo al cuadrado, para luego restarle 29 y por último al resultado le extraigo raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 14. ¿Cuántas llantas hay? a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 21. Una persona ingreso a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina: Luego ingreso a una heladería, gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2
346
soles de propina, quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 12 soles b) 16 c) 10 d) 14 e) 18 22. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones, se le agrego 10, al resultado se le multiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el número? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 14 23. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende 3 cm. por debajo de su mitad, hasta quedar vació el pozo luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente? a) 144cm b) 120 c) 80 d) 72 e) 90 24. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deja una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro. Uno de sus feligreses resultó favorecido 3 veces seguidas y dejó también sus ofrendas, pero que al final quedó poseedor de nada. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 90 b) 120 c) 70 d) 80 e) 160 25. Jorge le dice a Rosa: “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles y luego a ese resultado lo multiplico por 6, para quitarle a continuación 24 soles. Y si a este resultado le extraigo la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obtengo 8 soles, lo que tengo al inicio es”. a) S/.92 b) 24 c) 80 d) 576 e) 352 26. Lili, cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.20; si gastó todo en 4 días. ¿Cuánto gasto el segundo día?. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 100 d) 130
b) 110 e) 140
c) 160
27. Hallar la profundidad de un pozo de agua sabiendo que cada día su nivel desciende en 4 metros por debajo de su mitad, quedando vació al cabo del cuarto día. a) 110m b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 28. Juan le dice a Luis: “Si el doble de mi edad, lo multiplicas por 8, luego divides por 10, al cociente lo multiplicamos por 3, agregas 36 y por último, divides el resultado entre 6, obtendrías 30 años. ¿Cuántos años tienen Juan? a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 29. Paola escribe cada día la mitad de las hojas en blanco de un cuaderno más 5 hojas. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?. a) 200 b) 175 c) 225 d) 120 e) 150 30. En una iglesia hay un santo milagroso que duplica el dinero con la condición que se le deje S/.80 de limosna por cada milagro: Mery entusiasmada lleva todos sus ahorros y después de tres milagros se queda sin nada. ¿Cuánto llevó Mery? a) S/.60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 240 31. Un profesor de “RM” entra a una iglesia donde existe un santo milagroso, que le duplica el dinero cada vez que entra a la iglesia, con la condición de que por cada milagro le deje de limosna S/. 25. Si después de haber entrado tres veces sale con S/. 225. ¿Cuál era su dinero inicial? Academia GAUUS
a) 75 d) 50
b) 65 e) 100
c) 125
32. Hacer un favor a un amigo significa triplicarle su dinero y darle S/.100 más, después de tres favores en su beneficio un fulano tiene S/.2380. ¿Cuánto tenía al principio? a) 80 b) 20 c) 40 d) 100 e) 120 33. Alejandro compró cierta cantidad de caramelos; 1/3 de ellos le regaló a Josefina, los 2/5 del resto le regaló a Marisol y 1/4 de lo quedaba a Raquel, quedándose únicamente con 3 caramelos. ¿Cuántos caramelos compro Alejandro? a) 5 b) 60 c) 20 d) 10 e) 15 34. Pitágoras es un experto vendedor de huevos. Una noche vendió sus huevos de una manera muy especial. Cada hora vendió los 3/4 de los huevos que tenía en esa hora más 1/2 huevo, quedándose al final de las 3 horas únicamente con 2 huevos. ¿Cuántos huevos vendió esa noche? a) 160 b) 168 c) 150 d) 170 e) 174 35. Un pozo de agua se vacía en 4 horas. Si en cada hora se vacía la mitad que había en esa hora más 1 litro. ¿Cuántos litros tenía inicialmente el pozo? a) 21 b) 27 c) 30 d) 28 e) 29 36. Un tonel siguiente consume segunda aumenta
lleno de manera: la cuarta hora se 10 litros
vino se consume de En la primera hora parte más 4 litros, en extrae los 3/5 y se y en la tercera hora
la se la le se
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JOHN MAMANI M. consume 1/3, quedando aún 10 litros de vino. ¿Cuántos litros de vino se bebieron? a) 15 b) 10 c) 22 d) 9 e) 12
compró Antonio si aún le quedan 18 naranjas? a) 80 b) 84 c) 94 d) 82 e) 96
37. Antonio quería conocer la edad de su profesor, y este le respondió diciendo: “Si a mi edad le multiplicas por 2, al resultado lo divides por 18, luego lo elevas al cubo, finalmente, le sumas 13, obtendras como resultado 21 años.” ¿Hace cuántos años nació el profesor? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 12
41. Patty fue de compras a una feria, primero gasto 1/4 de su dinero en ropa, luego con los 2/3 del resto compró un reloj, más tarde compró un helado de S/.10, finalmente con los 3/7 del último resto compró un regalo para su esposo. Quedándose únicamente con S/.16 para el cine. ¿De cuántos soles disponía Patty? a) S/. 140 b) S/. 130 c) S/. 150 d) S/. 120 e) S/. 152
38. Un recipiente de agua está lleno, al abrirse el caño, cada hora se desagüa la tercera parte de su contenido más 12 litros, hallar la capacidad del recipiente, si al cabo de 3 horas quedó 12 litros. a) 192 L b) 168 L c) 160 L d) 130 L e) 126 L 39. Mijael entra a una iglesia donde le pide a San Judas Tadeo que le haga el milagro de duplicar el dinero que lleve. San Judas Tadeo le contesta que le va a realizar 4 milagros, pero con una condición, que por cada milagro qué le haga ha de devolver 20 nuevos soles, Mijael acepto la propuesta. ¿Con qué cantidad ingresó inicialmente si salió con 100 nuevos soles? a) S/. 40 b) S/. 30 c) S/. 25 d) S/. 20 e) S/. 15 40. Antonio compró cierta cantidad de naranjas, a su hermano Henry le vende la mitad de lo que compró más 5 naranjas, a su otro hermano Andrés le vende la mitad de lo que le queda más 3 naranjas. ¿Cuántas naranjas
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42. Efraín compró cierta cantidad de caramelos; 1/3 de ellos regaló a su hermanito menor, los 2/5 del resto a su primo Carlos y 1/4 del último resto a su prima Lelia, quedándose únicamente con 9 caramelos. ¿Cuántos caramelos regaló Efraín? a) 30 b) 25 c) 18 d) 24 e) 21 43. Un almacenero de la empresa Kamisea despacha el primer día la tercera parte de la mercadería más 10 cajas, el segundo día despacha los 2/5 de la mercadería que le quedaba más 10 cajas y por último el tercer día despacha la cuarta parte más 10 cajas. ¿Cuántas cajas despachó en total si al final solo le quedaron 5 cajas? a) 90 b) 85 c) 80 d) 75 e) 70 44. Leonel y Anthony juegan a las cartas, con la condición que aquel que pierda duplicará el dinero al otro. Si cada uno ha perdido una partida en el orden en que han sido nombrados, quedaron luego de haber Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. perdido el último, con 12 soles cada uno. ¿Cuántos soles más tenía uno que el otro? a) S/.10 b) S/.4 c) S/.15 d) S/.9 e) S/.6 45. Alexandra y Diana juegan a los dados de tal manera que la perdedora duplicará el dinero a la otra. Se sabe que pierden en el orden indicado y al final cada una quedó con 40 soles. ¿Con cuánto empezó Alexandra? a) S/.20 b) S/.30 c) S/.40 d) S/.50 e) S/.60 46. Vanessa y Karina juegan a los naipes y convienen en que el que pierda la partida duplicará el dinero al vencedor. Pierden una partida cada uno en el orden indicado y quedan con 60 y 80 soles respectivamente. ¿Con cuánto empezó Vanesa? a) S/.55 b) S/.75 c) S/.65 d) S/.35 e) S/.85 47. Tres amigos Alberto, Brian y Carlos juegan a los dados y acuerdan que aquel que pierda un juego, debe duplicar su dinero a los otros dos. Si luego de tres juegos, cada uno perdió un juego en el orden mencionado y se retiran con S/. 24 cada uno. ¿Cuánto ganó o perdió el primero?. a) S/.3 b) S/.4 c) S/.5 d) S/.12 e) S/.15
de otra. Después de dos partidas, que las ha ganado una sola jugadora cada una tiene 64 soles. ¿Cuánto tenía la perdedora al inicio?. a) S/.16 b) 128 c) 96 d) 112 e) 32 50. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el 1º tiene 24 soles, el 2º 28 y el 3º 14. ¿Cuánto dinero perdió “A”?. a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18 51. Tres jugadores A, B y C onvienen que el perdedor duplicará el dinero de los otros dos, juegan 3 partidos y pierden una cada jugador y en el orden indicado; retirándose después con S/.16 cada uno. ¿Con qué cantidad ingresó al juego el primer jugador? a) S/.23 b) S/.24 c) S/.28 d) S/.26 e) S/.25 52. Tres jugadores Alex, Juan y Luis convienen en que el que pierde la partida, triplicará el dinero de los otros dos. Pierde una partida cada uno en orden alfabético y quedan con 36; 57 y 55 soles respectivamente. ¿Con cuánto empezó a jugar Luís? a) 15 b) 35 c) 39 d) 4 e) 13
48. De un salón A pasan al salón B, 10 alumnos al salón A. Si al final A y B tienen 20 y 25 alumnos respectivamente. ¿Cuántos alumnos tenía cada salón inicialmente?. a) 10 ; 30 b) 15 ; 30 c) 30 ; 10 d) 15 ; 25 e) 16 ; 24 49. Dos jugadores; acuerdan que después de cada partida la que pierde duplicará el dinero Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M. MÉTODO DEL R0MBO PROBLEMA 01 Para pagar una deuda de S/.130 empleo billetes de S/.10 y S/.5, ¿cuántos billetes de los 25 con que pago dicha suma son de S/.5? a) 24 b) 30 c) 20 d) 40 e) 22
Resolución Billetes de S / .10
(− )
Nº de billetes 25
S / . 130 (Deuda a pagar)
Billetes de S / .5
Nº de billetes de S/. 5 =
25(10) − 130 = 24 10 − 5
PROBLEMA 02
Jorge propone resolver 12 problemas a Hernan con la condición de que por cada problema que resuelva recibirá 10 soles y por cada problema que no resuelva perderá 6 soles después de trabajar con los 12 problemas recibirá 72 soles. ¿Cuántos problemas resolvió? a) 4 b) 9 c) 12 d) 5 e) 10
Resolución Pr oblema resuelto S/.1000 (×)
Nº de Pr oblemas 12
(− ) (− )
Nº de problemas resueltos: 12 − 3 = 9
PROBLEMA 03
(− )
(×)
Nº de problemas no resueltos 12 × 1000 − 7 200 4 800 = 1 000 − (− 600) 1 000 =3
S / . 7200 (Recibe al final)
Una señora vendió 120 manzanas de 2 calidades a S/. 67, si las de primera vendió a S/. 7,20 la docena y las de segunda a S/. 5 la decena. ¿Cuántas manzanas vendió de las de segunda calidad? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
Resolución Hallemos el precio unitario de las manzanas: 7,20 = 0,6 1º calidad: 12 5 2º Calidad: = 0, 5 10 Apliquemos el método del rombo 1º calidad S/. 0,6 (×)
Nº de Manzanas 120
(− ) (− )
S / . 67 (Recibe al final)
S/. 0,5 2º calidad
Nº de manzanas de 2º calidad es: 120(0,6) − 67 = 50 0,6 − 0, 5
−S/.600 Pr oblema no resuelto
350
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Jaimito tiene 34 animales entre gallinas y perritos. Cuantos perritos tiene Jaimito si en total hay 100 patas (extremidades) a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
07. Se desea envasar 100 litros de vino en botellas de 2 y 5 litros. Si el total de botellas es 26. ¿Cuántos son de 5 litros? a) 10 b) 12 c) 16 d) 15 e) 14
02. En un corral se contaron 40 cabezas y 130 patas. ¿Cuántos conejos existen en el corral, si en dicho corral existen solamente conejos y pollos? a) 18 b) 10 c) 16 d) 15 e) 25
08. En un salón hay 50 carpetas, unas bipersonales y otras para 4 alumnos. Si en total hay 130 alumnos ocupando estas 50 carpetas. ¿Cuántas carpetas son bipersonales? a) 15 b) 20 c) 25 d) 18 e) 35
03. En un taller fueron reparados durante un mes 120 vehículos entre automóviles y motos. El número de ruedas de los vehículos reparados fue de 336 exactamente. ¿Cuántas motos se repararon? a) 68 b) 75 c) 81 d) 64 e) 72
09. Un comandante de un destacamento de 100 soldados ordena a todos a hacer “planchas”. En un determinado momento, el comandante pudo observar sobre el piso 280 extremidades. ¿Cuál es el número de soldados haciendo planchas? a) 60 b) 40 c) 70 d) 35 e) 30
04. A una fiesta asistieron un total de 350 personas entre niños y niñas. Se recaudó S/.1550 debido a que cada niño pagó S/.5 y una niña S/.4. ¿Cuál es la diferencia entre el número de niñas y el número de niños? a) 100 b) 150 c) 75 d) 60 e) 50 05. En un circo las entradas de adultos costaban S/.30 y la de niños S/.10. Cierto día acudieron un total de 752 espectadores y se recaudaron S/.18240. Dar como respuesta la suma de las cifras del número de adultos que asistieron ese día a) 12 b) 14 c) 9 d) 11 e) 10 06. Cada vez que voy al cine gasto S/.15 y cada vez que voy al teatro gasto S/.25. Si he salido 20 veces (al cine o al teatro) y gasté S/.360. ¿Cuántas veces he ido al teatro? a) 14 b) 9 c) 15 d) 6 e) 8 Academia GAUUS
10. Una vendedora lleva al mercado 80 frutas entre plátanos y manzanas cuyo importe total es de S/.536. El precio de cada uno de ellos es de 9 y 5 soles respectivamente. Entonces el número de plátanos es : a) 46 b) 43 c) 34 d) 64 e) 36 11. Jessica compra en el mercado 2000 frutas, entre peras y naranjas. Cada pera costó 0,30ctms. Y cada naranja costo 0,80ctms. Si gastó en total 12 soles. ¿Cuántas naranjas compró? a) 800 b) 1200 c) 900 d) 1500 e) 600 12. En un examen cada respuesta correcta vale 4 puntos y cada incorrecto vale -1 punto. Si un alumno, luego de responder 30 preguntas, obtuvo 80 puntos. ¿En cuántos se equivocó? a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6
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JOHN MAMANI M. 13. En un simulacro de admisión, el número de preguntas es 140, la calificación es de 4 puntos por respuesta correcta y me descuentan 1 punto por cada incorrecta, si obtuve 260 puntos y respondí todas las preguntas. ¿Cuántas no acerté? a) 40 b) 60 c) 50 d) 36 e) 47 14. En un examen de admisión, el número de preguntas es 140; la calificación es 4 puntos por pregunta correcta y menos 1 punto por cada pregunta errada. Si Karen ha obtenido 335, puntos al contestar todo el examen. ¿En cuántas preguntas se equivocó? a) 15 b) 45 c) 135 d) 95 e) 125 15. Catherine rinde un examen de 60 preguntas. Si por cada respuesta acertada obtiene 4 puntos y por cada equivocación pierde un punto. ¿Cuántas preguntas contesto bien, si obtuvo un puntaje de 100 puntos y contestó todas las preguntas planteadas?. a) 36 b) 28 c) 27 d) 32 e) 35 16. La semana que trabajo el día lunes, puedo ahorrar S/.30, pero la semana que no lo hago tengo que retirar del banco S/.20. Si después de 15 semanas he podido ahorrar sólo S/.250. ¿Cuántos lunes trabajó? a) 4 b) 10 c) 8 d) 11 e) 9 17. Martín trabaja en una compañía en la cuál por día de trabajo le pagan S/.30 y por cada día que falta a sus labores le descuentan S/.10 de su sueldo. ¿Cuántos días había trabajado, si al final de 40 días adeuda a la empresa la suma de S/.200? a) 12 b) 13 c) 5 d) 18 e) 10 18. Leonel juega a los naipes, de tal modo que por cada partida ganada recibirá S/.5 y por
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cada partida que pierda pagará S/.3. Si luego de 30 partidas adeuda S/.42. ¿Cuántas partidas perdió? a) 18 b) 6 c) 24 d) 15 e) 21 19. Entre gallos, gallinas y conejos hay 60 animales. El total de patas es 150 y el número de conejos es inferior en 5 al número de gallinas. Determinar el número total de animales. a) 40 b) 50 c) 35 d) 60 e) 30 20. Una canasta obtiene 80 frutas entre lúcumas y manzanas. Cada lúcuma pesa 300 gramos y cada manzana 220 gramos. Si la canasta pesa en total (con frutas) 24kg y además las frutas pesan 16kg más que la canasta. ¿Cuántas de las frutas son manzanas? a) 40 b) 50 c) 35 d) 60 e) 30 21. En un grupo de conejos y gallinas el número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas, entonces el número de conejos es: a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6 22. En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 90 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja? a) 36 b) 40 c) 32 d) 54 e) 52 23. Si pagué una deuda de 1450 dólares con 38 billetes de 50 y 20 dólares. ¿Cuántos billetes de 50 dólares he usado?. a) 15 b) 27 c) 23 d) 19 e) 25 24. Vanesa tiene 3900 soles en billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 45 billetes? a) 28 b) 32 c) 25 d) 33 e) 36 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. En un taller encontramos 50 vehículos entre autos y motocicletas, contando 130 llantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos? a) 15 b) 25 c) 35 d) 30 e) 45
litros y otras de 3 litros. ¿Cuántas botellas de 3 litros se va a necesitar?. a) 5 b) 8 c) 4 d) 10 e) 15
26. Leo tiene 800 soles en billetes de 10 y 50 soles. ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 20 billetes?. a) 5 b) 10 c) 15 d) 12 e) 8
31. A un cine concurren 200 personas a las localidades de platea y galería. Si cada boleto de platea vale 20 soles y de galería 12 soles y se recauda 3040 soles. ¿Cuántos boletos de platea se vendieron? a) 120 b) 80 c) 150 d) 60 e) 70
27. En un parque hay niños paseándose ya sea en triciclo o en bicicleta. Si en total se cuentan 20 timones y 55 ruedas. ¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay? a) 15 b) 5 c) 10 d) 12 e) 4
32. Se compran 17 kilos de fruta entre manzanas y peras de 2 y 3 soles el kg. Respectivamente, gastando en total 46 soles. ¿Cuántos kilogramos de manzanas se compró? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
28. El profesor de Razonamiento Matemático le propone a Ana 30 problemas, para que lo resuelva todos, por cada problema bien resuelto le da S/.5 y por cada mala le quita S/.1. ¿Cuántos problemas buenos hizo, si resulta que recibió S/.30?. a) 20 b) 15 c) 10 d) 12 e) 18
33. Luis y Miguel ahorran en total S/.7000. Luis ahorra S/.500 mensuales y Miguel S/.600 mensuales. El número de meses que ha ahorrado cada uno suman 13. ¿Cuántos meses ha ahorrado Miguel? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
29. Un cazador regresa de cacería y, al ser preguntado por su esposa, le dice: “Me fue muy bien”, entre los patos y conejos que he cazado hay 20 cabezas y 64 patas”. ¿Cuál es la diferencia entre el número de conejos y patos? a) 8 b) 12 c) 4 d) 6 e) 10 30. Un barril contiene 55 litros de vino, si éste debe ser envasado en 20 botellas, unas de 2 Academia GAUUS
34. Un camión lleva 900 maletines de dos tipos con un peso total de 2300 kg. Si los del primer tipo pesan 2 kg cada uno, y los del segundo tipo 3kg cada uno. Determinar cuántos maletines hay de cada clase. a) 350 , 550 b) 400 , 500 c) 360 , 540 d) 380 , 520 e) 450, 450 35. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de tiros acertados fue:
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JOHN MAMANI M. a) 76 d) 74
b) 78 e) 70
c) 72
36. Los pasajes en microbús valen S/.0,25 y S/.0,13 para adultos y universitarios, respectivamente. Luego de una vuelta en que viajaron 255 personas, se recaudó S/.52,35. ¿Cuántos universitarios viajaron? a) 95 b) 80 c) 90 d) 100 e) 98 37. Una persona concurre al hipódromo a apostar en las carreras de caballos. En cada carrera que acierta gana S/.30 y si no acierta pierde S/.10. Después de 50 carreras, su capital ha aumentado en S/.780. ¿Cuántas carreras acertó?. a) 18 b) 20 c) 35 d) 16 e) 10 38. En un zoológico hay 100 animales entre aves y felinos. Si se cuenta el número total de patas tenemos que es 270. ¿Cuál es la diferencia entre el número de aves y felinos?. a) 65 b) 20 c) 30 d) 45 e) 35 39. Una empresa contrata a un administrador por 18 semanas, con la condición de que la empresa le abonara 120 soles por cada día que asista y por cada inasistencia le descontará 30 soles de su sueldo. Si trabaja de lunes a viernes y al final no recibe nada. ¿Cuántos días trabajó? a) 16 b) 8 c) 72 d) 12 e) 18 40. Si trabaja los domingos inclusive, un profesor economiza 40 soles semanales, en cambio la semana que no trabaja el día domingo, tiene
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que retirar 20 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar 220 soles. ¿Cuántos domingos dejó de trabajar en estas semanas?. a) 3 b) 5 c) 1 d) 7 e) 9 41. Un heladero gana un promedio diario de S/.50 y gasta por día S/.32,5 pero el día que no trabaja gasta S/.8 más. ¿Cuántos días no trabajó, después de 60 días esta adeudado con S/.110?. a) 20 b) 16 c) 25 d) 40 e) 5 42.En un zoológico, entre todas las jirafas y avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas. Determinar el número de alas. a) 14 b) 28 c) 16 d) 12 e) 30 43. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si un vendedor entregó 55 litros que pasaban 56,5 kg. Calcular la cantidad de agua que contenía esta entrega. a) 5L b) 4 c) 9 d) 13 e) 11 44. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2 puntos por repuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contesto todas?. a) 42 b) 36 c) 38 d) 34 e) 32 45. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 y S/.50 que se han repartido entre 45 personas tocándole c/u unos billetes. ¿Cuántas personas recibieron un billete de S/.100?. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 30 d) 15
b) 18 e) 13
c) 27
a) 8 d) 9
b) 7 e) 10
c) 6
46. Dos niños han recorrido en total 64 metros dando entre los dos 100 pasos. Si cada paso del segundo mide 50 cm. y cada paso del primero mide 70 cm. ¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero?. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
51. A un concierto en el coliseo cerrado asistieron 2000 personas. El valor de las entradas era S/.10 para adultos y S/.7 para niños. Finalmente se recaudó S/.1 8500, ¿cuántos adultos asistieron? a) 700 b) 1500 c) 1000 d) 1200 e) 1400
47. En un examen Juan gana dos puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió mal? a) 18 b) 14 c) 12 d) 16 e) 15
52. En un corral se contaron 114 ojos y 178 patas entre conejos y gallinas, ¿cuántos conejos existe en el corral? a) 35 b) 37 c) 32 d) 21 e) 22
48. Vicente ha sido contratado por el colegio parroquial, por 3 años en la siguiente condición; por cada mes que trabaje le pagan S/. 300 y por cada mes que no trabaje debe pagar S/. 320 ¿Cuántos meses ha trabajado si recibió S/. 2120? a) 28 b) 26 c) 24 d) 22 e) 14 49. Se desea pagar una deuda de 130 soles con 50 monedas de 5 y 2 soles. ¿Cuántas monedas de 5 soles debo emplear? a) 25 b) 30 c) 40 d) 20 e) 10
53. Un barril contiene 154 litros de vino que deben ser envasados en 280 botellas, unas de 0,75 litros y otras de 0,40 litros. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros se van a necesitar? a) 120 b) 170 c) 150 d) 180 e) 160 54. Se contrata a un cocinero por 335 días con la condición de que le abonarían S/. 200 por cada día que cocine rico, pero le descontarían S/. 50 por cada día que no cocine rico. ¿Cuántos días cocinó rico si al final no recibió nada? a) 72 b) 75 c) 60 d) 67 e) 66
50. En un examen por cada respuesta bien contestada se gana un punto y por cada respuesta mal contestada pierde un punto, si la calificación por las 30 preguntas que contestó el alumno fue de 14 ¿Cuántas preguntas contestó fue mal contestada? Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M. MÉTODO DEL RECTÁNGULO Resolviendo: 400 + 5600 6 000 Para comprar 16 televisores me faltan “2n” soles, = N = 700 − 550 150 pero si compro 10 me sobran “n” soles. ¿Cuánto dinero tengo? ⇒ N = 40 a) 4 n b) 8 n c) 5 n Número de empleados: 40 d) 6 n e) 2 n PROBLEMA 01
Resolución
PROBLEMA 03
Sea “T” el precio unitario del televisor
Para realizar el sorteo de un minicomponente se imprimieron 640 boletos pensando ganar $. 845, pero sólo vendieron 210 boletos, originándose una pérdida de $. 15. ¿Cuál es el precio del minicomponente? a) $. 525 b) $. 2200 c) $. 2125 d) $. 450 e) $. 435
"2n" (faltan)
16 T
(+)
(−)
"n" (sobra)
10 T
Resolviendo: = T
⇒
2n + n 3n = 16 − 10 6
Resolución
n T= 2
Sea “B” el precio de un boleto 640 B
n 2 El dinero que tengo es: 16T − 2n
Precio unitario del televisor:
n 16 − 2n = 8n − 2n = 6n 2
(−)
210 B
Resolviendo: 845 + 15 860 B = = 640 − 210 430
PROBLEMA 02
Resolución Sea “N” el número de empleados
(−)
550 N
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(+)
15 (pierde)
⇒
B=2
El precio de cada boleto es: S/. 2,00
Si pago 700 soles a cada uno de mis empleados me faltan 400 soles, pero si les pago 550 soles me sobran 5600 soles. ¿Cuántos empleados tengo? a) 39 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80
700 N
845 (gana)
400 (falta) (+)
El precio del minicomponente: 640B − 845 S/. 435 640(2) − 845 =
PROBLEMA 04
Un empleado es contratado por una empresa y le prometen pagar S/. 6 400 por un año de trabajo más un incentivo especial, al cabo de 8 meses abandona el trabajo y recibe S/. 2 400 más el
5 600 (sobra)
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. incentivo especial. ¿A cuánto asciende incentivo especial? a) S/. 4800 b) S/. 5200 c) S/5600 d) S/. 3600 e) S/. 3200
el
⇒
M = 1000
Sueldo mensual: S/. 1000 Veamos a cuánto asciende el incentivo:
Resolución
Como: 12M = 6400 + I ⇒= I 12M − 6 400 Sean “M” el sueldo mensual del empleado y “I” el incentivo especial. Reemplazando: 6400 + I (gana) 12 M = I 12(1000) − 6 400 ⇒ I = 5 600 (−) (−) El monto del incentivo especial es: S/. 5600 2400 + I (gana) 8M Resolviendo: 6400 + I − (2400 + I) 4000 M = 12 − 8 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si Leonel compra 5 helados le sobra 3 soles; pero si quiere comprar 8 helados le faltan 9 soles. ¿Cuánto cuesta cada helado?. a) S/.1 b) S/.2 c) S/.3 d) S/.4 e) S/.5 02. Si doy 5 caramelos a cada uno de mis hermanos sobran 6 caramelos; pero si doy 2 más a cada uno, faltan 8 caramelos. ¿Cuántos hermanos somos? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 03. Diana al comprar 10 plátanos, le sobran S/.15; pero al adquirir 14 plátanos, le faltarían S/.9. ¿Cuánto cuesta cada plátano?. a) S/.2 b) S/.3 c) S/.4 d) S/.5 e) S/.6 04. Gian Marco pensó comprar 8 camisas y entonces le sobra 360 soles, pero si comprara 12 camisas le faltarían 80 soles. ¿Cuánto cuesta cada camisa?. a) S/.50 b) S/.60 c) S/.70 d) S/.80 e) S/.90 05. Un estudiante dice :”Para comprar una docena de lapiceros me faltan S/.15, pero si Academia GAUUS
compro 8 lapiceros me sobran S/.3. ¿Cuánto cuesta cada lapicero y cuánto es lo que tiene?. a) S/.4 y S/.39 d) S/.4,5 y S/.3 b) S/.4,5 y S/.39 e) Falta datos c) S/.4 y S/.36 06. Jessica quiere repartir cierto número de caramelos a sus hermanos. Si les da 5 caramelos a cada uno le sobraría 15; pero si les da 12 caramelos a cada uno le faltarían 20 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene?. a) 20 b) 30 c) 25 d) 35 e) 40 07. Un empresario decía : “Si le pago S/.15 a cada uno de mis empleados, me faltarían S/.50; pero si sólo les pago S/.10, me sobrarían S/.30. ¿Cuántos empleados tengo?. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 08. Un tío reparte propina entre sus sobrinos. Si les da 3 soles a cada uno, le sobrarían 8 soles, y si les da 7 soles a cada uno, le faltarían 12 soles. ¿Cuántos sobrinos tiene?. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
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JOHN MAMANI M. 09. Se realizó una colecta para obsequiarle un pantalón a la tutora el día de su cumpleaños. Si cada alumno colabora con 5 soles sobrarían 50 soles, pero si cada uno de ellos diera 3 soles, faltarían 30 soles. ¿Cuánto costo el pantalón?. a) S/.120 b) S/.90 c) S/.150 d) S/.110 e) S/.140 10. Un carpintero pensó comprar 12 martillos pero observó que le sobrarían 80 soles y si compra 15 martillos, también le sobrarían 50 soles. ¿Cuánto cuesta cada martillo?. a) S/.10 b) S/.8 c) S/.12 d) S/.9 e) S/.14 11. Si comprase 13 CDs me faltarían 20 soles y si comprase 9 CDs me sobrarían 20 soles. ¿Cuánto cuesta cada CD?. a) S/.25 b) S/.10 c) S/.12 d) S/.15 e) S/.20 12. Carla dice: “Si compro 7 pelotas me faltan 75 soles, pero si sólo compro 5 pelotas me faltan 25 soles. ¿ Cuánto cuesta cada pelota?. a) S/.15 b) S/.12 c) S/.25 d) S/.30 e) S/.35 13. Un gerente quiere premiar a algunos de sus empleados, dando 50 soles a cada uno le faltarían 180 soles y dándoles 20 soles le sobrarían 120 soles. Dar la suma del número de empleados y el número total de soles. a) 120 b) 320 c) 520 d) 330 e) 400 14. Para ganar $300 en la rifa de un cuadro, se imprimieron 200 boletos, sin embargo; sólo se vendieron 120 boletos, originándose una pérdida de $20. ¿A cuánto se vendió cada boleto?. a) $1 b) $2 c) $3 d) $4 e) $5 15. Para rifar una bicicleta se imprimieron cierto número de boletos. Si se vende cada uno en S/.3 se pierde S/.50 y si se vende a S/.5 cada
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uno se gana S/.250. ¿Cuántos boletos se imprimieron?. a) 100 b) 120 c) 150 d) 90 e) 80 16. La tutora al acomodar a los alumnos en el aula trata de razonar de la siguiente forma: “Si a los alumnos los hago sentar de 2 en 2 me sobran 5 alumnos, pero si les hago sentar de 3 en 3 me sobrarían 5 carpetas. ¿Cuántas carpetas hay en el salón?. a) 18 b) 20 c) 25 d) 30 e) 32 17. Cuando Karen compró 5 galletas le sobró 5 soles, en cambio si hubiera comprado 9 galletas le hubiera faltado 3 soles. ¿Cuánto cuesta cada galleta?. a) S/.1 b) S/.2 c) S/.3 d) S/.4 e) S/.5 18. Leonel razona así : Si doy 3 rosas a cada una de mis amigas sobran 3 rosas; pero si doy 3 más a cada una, faltan 9 rosas. ¿Cuántas amigas tiene Leonel?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. Un sastre pensó comprar 4 tijeras pero observo que le sobrarían 4 soles y si comprara 2 tijeras más le faltaría 6 soles. ¿De cuánto dinero dispone?. a) S/.20 b) S/.24 c) S/.30 d) S/.32 e) S/.28 20. Si se vende cierta cantidad de libros a 15 soles cada uno, se obtendría como ganancia 150 soles y si lo vendemos a 12 soles se ganaría sólo 60 soles. ¿Cuántos libros se tiene para la venta?. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 21. Luis Miguel al comprar 9 polos, le sobran 80 soles; pero para adquirir 15 polos le faltarían 70 soles. ¿De cuánto dinero disponía?. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) S/.175 d) S/.305
b) S/.205 e) S/.375
c) S/.325
a) 6 d) 3
b) 5 e) 2
c) 4
22. Se organiza una función de teatro en nuestro Colegio. Si el señor Quiroz paga S/.5 por cada entrada le sobrarían S/.11 y si paga S/.2 por cada entrada le sobrarían S/.47. ¿Cuántas entradas compró?. a) 10 b) 8 c) 11 d) 9 e) 12
28. Un padre va al cine con sus hijos y al sacar entradas de S/.15 observa que le falta dinero para 2 de ellos, entonces tiene que sacar entradas de S/.10 así entran todos y aún le sobran S/.5. ¿Cuántos eran los hijos?. a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
23. Un tío quiere compartir entre sus sobrinos cierto número de caramelos. Si les da 5 caramelos a cada uno le sobran 15 y si les da 8 caramelos a cada uno le falta 6 caramelos. ¿Cuál es el número de sobrinos?. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
29. Un grupo de palomas se aproxima a un grupo de postes. Si en cada poste se posan 4 palomas resultarían 3 postes sobrantes, en cambio si en cada poste se posan 3 palomas harían falta 3 postes más. ¿Cuántas son las palomas?. a) 21 b) 36 c) 42 d) 72 e) 84
24. Si compro libros de 15 soles cada uno me sobran 20 soles; pero si compro el mismo número de libros a 20 soles cada uno me faltan 40 soles. ¿Cuánto es mi dinero?. a) S/.200 b) S/.180 c) S/.240 d) S/.220 e) S/.160 25. Fabian pensó comprar 10 lapiceros y observo que le sobraría 20 soles, pero si compra 18 lapiceros entonces le faltaría 4 soles. ¿Cuánto cuesta cada lapicero?. a) S/.1 b) S/.2 c) S/.3 d) S/.4 e) S/.5 26. Angie dice : “Al comprar 6 litros de Yogurt me sobran 4 soles y me faltan 2 soles para comprar uno más”. ¿Cuánto cuesta el litro de Yogurt?. a) S/.5 b) S/.6 c) S/.7 d) S/.8 e) S/.9 27. Coco invita al cine a su enamorada y sus cuñados. Si quieren sacar entradas de S/.10, Coco dice que le sobraría S/.40, pero si quieren sacar entradas de S/.15 su enamorada le dice que le sobraría S/.10. ¿Cuántos cuñados tiene Coco?.
Academia GAUUS
30. Un profesor distribuye a los alumnos colocando 6 alumnos por carpeta. Si ubicara 2 alumnos en cada carpeta se necesitarían 10 carpetas más. ¿Cuántas carpetas se iban a utilizar inicialmente?. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 31. Para ganar S/.150 en la rifa de un bicicleta; se imprimieron 100 boletos; sin embargo, sólo se vendieron 60 boletos, originándose una pérdida de S/.50. Hallar el precio de la bicicleta. a) S/.250 b) S/.300 c) S/.350 d) S/.400 e) S/.450 32. Si se vende cierta cantidad de libros a 20 soles cada uno, se obtendría como ganancia 60 soles y si los vendemos a 17 soles se ganaría sólo 24 soles. Calcule el número de libros que se tiene para la venta. a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 33. Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de Básquet. Su c/u colaborase con 3 soles
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JOHN MAMANI M. faltarían 20 soles, entonces deciden aumentar la colaboración a 3,5 soles y ahora les alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?. a) 150 b) 170 c) 180 d) 120 e) 125
soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles, dar la suma del # de ayudantes y el # total de soles?. a) 10 b) 47 c) 57 d) 67 e) 48
34. Un padre va con sus hijos a un concierto y al querer comprar entradas de 65 soles. Observa que le falta para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de 35 soles. Es así que entran todos y le sobra 10 soles. ¿Cuántos hijos llevó al concierto?. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
39. Se contrata un empleado; por el tiempo de 9 meses; prometiéndole pasar S/.800 más un reloj; pero al cabo de 5 meses se le despide, pagándole entonces S/.200 más el reloj. Determine el precio del reloj?. a) S/.400 b) 450 c) 500 d) 550 e) 600
35. Se requiere rifar una computadora con cierto # de boletos si se vende cada boleta a 10 soles se pierde 1000 y si se vende a 15 soles se gana 1500 soles. Determinar el # de boletos y el precio de la computadora. a) 500;6400 b) 600;1200 c) 400;5000 d) 500;6000 e) 300;7000 36. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto numero de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles y si se vende cada boleto a S/.0,80. Se gana 50 soles. El precio del reloj en soles es: a) 90 b) 220 c) 720 d) 670 e) 120 37. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8 le faltaría S/.12 y si adquiere entradas a S/.5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 38. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a c/u le faltarían 3
360
40. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a c/u le sobran 45 y si les da 11 a c/u, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir?. a) 237 b) 327 c) 273 d) 723 e) 372 41. Si se forman filas de 7 niños sobran 5 pero faltarían 4 niños para formar 3 filas adicionales de 6 niños. ¿Cuántos niños son?. a) 72 b) 61 c) 68 d) 116 e) 12 42. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de 30 soles observa que le falta para 3 de ellos, y resuelve comprar de 15 soles. De esta manera entran todos y le sobran 30 soles. ¿Cuántos eran los hijos?. a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9 43. Si compro 10 camisas me faltarían 100 soles para comprar 4 más, pero si sólo 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es: Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 750 d) 325
b) 425 e) 875
c) 525
44. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se posara una paloma en cada poste, sobrarían 6 palomas. ¿Cuál es la cantidad de postes? a) 6 b) 7 c) 10 d) 8 e) 9 45. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. ¿Cuánto dinero tenía?. a) 80 b) 75 c) 48 d) 90 e) 65 46. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galería les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobraría solo 10 soles, pero si uno de ellos se va sólo les faltaría 40 soles. ¿Cuántos son el grupo?. a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) 4 47. Para ganar S/.500 en la rifa de un T.V. se hicieron 150 boletos; se vendieron sólo 120 boletos originándose de S/.400. ¿Cuánto valía la T.V.? a) 5000 b) 6000 c) 7000 d) 4000 e) 3000 48. Para ganar 500 nuevos soles en la rifa de una moto se imprimieron 900 boletos, pero no se vendieron más que 750 y se originó una pérdida de 100 nuevos soles ¿Cuánto cuesta la moto? a) 3000 b) 3100 c) 3600 d) 3200 e) 2800 Academia GAUUS
49. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿Cuántas palomas hay? a) 8 b) 12 c) 9 d) 10 e) 13 50. Si pago S/.12 a cada uno de mis empleados me faltan S/.340, pero si sólo les pago S/.4, me sobraría S/.100. ¿cuánto dinero tengo? a) S/. 340 b) S/. 500 c) S/. 320 d) S/. 420 e) S/. 430 51. Me faltan “a” soles para comprar “x” cuadernos y me sobran “b” soles si quisiera comprar “x–1” cuadernos. Si compro un cuaderno, ¿cuánto debo pagar? a) a–b b) a+x c) b+x d) b–a e) a+b 52. En la plaza San Francisco se observa que en cada banca están bien sentadas 3 personas, pero si en cada banca se sentaran 5 personas habrían 4 bancas vacías, ¿cuántas personas se encuentran en esta plaza? a) 40 b) 50 c) 20 d) 10 e) 30 53. Para ganar S/. 360 en la rifa de un televisor se imprimieron 160 boletos, vendiéndose únicamente 95 boletos dando una pérdida de S/. 30. ¿Cuál era el costo del televisor? a) S/. 380 b) S/. 570 c) S/. 960 d) S/. 450 e) S/. 600 54. Jesús decía: “Si a cada uno de mis discípulos les entrego tantos panes como discípulos tengo me sobrarían 17 panes, pero si les daría 2 panes más a cada uno me faltarían 5 panes.” ¿Cuántos panes tenía Jesús para repartir?
361
JOHN MAMANI M. a) 111 d) 138
b) 124 e) 121
c) 161
55. La academia contrata un empleado por 40 días de trabajo con la condición de pagarle S/.420 y un incentivo económico, pero a los 25 días se anula el contrato recibiendo así el empleado S/.195 más el incentivo económico. ¿A cuánto asciende el Incentivo? a) S/. 150 b) S/. 140 c) S/. 160 d) S/. 180 e) S/. 200 56. Se quiere rifar una calculadora a un precio determinado, emitiendo para ello un cierto número de boletos. Si vende a dos dólares cada boleto se perderá 30 dólares, y vendiendo a tres dólares cada boleto se ganara 70 dólares. ¿Cuánto cuesta la calculadora? a) $. 200 b) $. 230 c) $. 170 d) $. 240 e) $. 220 57. En la Iglesia San Francisco, los feligreses se sientan exactamente en un número de bancas con capacidad para 6 personas, si se les coloca en bancas con capacidad para 4 personas se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos feligreses hay en la Iglesia? a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 32 58. Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3000 soles y si tiene un buen rendimiento en el trabajo de premio recibirá una bicicleta. Al cabo de 7 meses el obrero renuncia y recibe 1500 soles y por su buen rendimiento recibe de premio la bicicleta. ¿Cuál era el valor de la bicicleta? a) S/. 500 b) S/. 450 c) S/. 480 d) S/. 550 e) S/. 600
362
59. En una reunión celebrada para reunir fondos para el día de la Amistad se observó que si cada uno de los asistentes colaborara con 5 soles faltaría 125; mientras, que si la colaboración fuese de 8 soles sobraría 100 soles. ¿Cuánto era la cantidad necesaria? a) S/.700 b) 600 c) 500 d) 350 e) 250 60. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto número de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles, y si se vende cada boleto a S/.0,80 se gana 50 soles. El precio del reloj es: a) S/.670 b) 630 c) 610 d) 680 e) 640 61. Para ganar 28 soles en la rifa de un VHS se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75 y originándose así una pérdida de 17 soles. Entonces el valor del VHS es : a) S/.270 b) 242 c) 262 d) 224 e) 263 62. Se realizó una colecta para obsequiarles una blusa a una alumna el día de su cumpleaños. Si cada alumno colabora con 8 soles sobrarían 6 soles, pero si cada uno de ellos diera 6 soles faltarían 12 soles. ¿Cuánto costó la blusa? a) S/.65 b) 66 c) 68 d) 69 e) 64
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JOHN MAMANI M. MÉTODO DE LA CONJUNTA PROBLEMA 01
Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo, ¿cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
Resolución Sea “x” la cantidad de martillos Del enunciado, agrupándolas en equivalencias: 3 desarmadores ≡ 1 alicate 3 alicates ≡ 1 martillo
x martillos ≡ 117 desarmadores 3 × 3 × x = 1 × 1 × 117 ⇒ x =
117 ⇒ 3 × 3
x = 13
Despejando la variable “x”: x = 9 × 6 × 21 × 2 ⇒ 4 × 7 × 3
x = 27
PROBLEMA 03
En una feria local, 4 caballos cuestan lo mismo que 8 ovinos, 3 toros cuestan lo mismo que 6 chanchos y un toro cuesta lo mismo que 3 ovinos. ¿Cuántos chanchos cuestan lo mismo que 3 caballos? a) 6 d) 3
b) 5 e) 2
c) 4
Resolución Del enunciado, agrupándolas en equivalencias 4 Caballos ≡ 8 Ovinos 3 Toros ≡ 6 Chanchos 3 Ovinos ≡ 1 Toro
PROBLEMA 02
Sabiendo que 4 litros de RV cuestan lo mismo que 9 libros de RM; 6 libros de Trigonometría equivalen a 7 de RM, además 3 libros de Trigonometría cuestan 21 nuevos soles. ¿Con cuántos nuevos soles se podrá comprar 2 libros de RV? a) 19 d) 20
b) 18 e) 30
c) 27
Resolución Del enunciado, agrupándolas en equivalencias 4 libros de RV ≡ 9 libros de RM 7 libros de RM ≡ 6 libros de Trigon. 3 libros de Trigon. ≡ 21 nuevos soles
x Chanchos ≡ 3 Cababallos 4 × 3 × 3 × x = 8 × 6 × 1 × 3
Despejando la variable “x”
x= 8 × 6 × 1× 3 ⇒ 4 × 3 × 3
x= 4
PROBLEMA 04
En una feria se puede canjear 5 teclados por 11 mouses, 2 monitores por 45 teclados, 3 monitores por una impresora, entonces ¿cuántos mouses se pueden canjear por 2 impresoras? a) 315 d) 270
b) 297 e) 225
c) 300
x nuevos soles ≡ 2 libros de RV x = 9 × 6 × 21 × 2
4 × 7 × 3 ×
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363
JOHN MAMANI M.
Resolución Del enunciado, agrupándolas en equivalencias 5 teclados ≡ 11 mouses 2 monitores ≡ 45 teclados
papa. ¿Cuántos kg de maíz darán por 10 kg de oca? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
1 impresora ≡ 3 monitores
x mouses ≡ 2 impresoras 5 × 2 × 1 × x = 11 × 45 × 3 × 2 Despejando la variable “x”: x = 11 × 45 × 3 × 2 ⇒ x = 297 5 × 2 × 1
PROBLEMA 05
En la feria agropecuaria de de Ayaviri hacen el trueque de la siguiente manera: por 3 kg de maíz dan 5 kg de papa, por 4 kg de oca dan 6 kg de
c) 8
Resolución Agrupándolas en equivalencias 6 kg de papa ≡ 4 kg de oca 3 kg de maíz ≡ 5 kg de papa 10 kg de oca ≡ x kg de maíz 3 × 6 × 10 = 5 × 4 × Despejando la variable “x”
x
x = 3 × 6 × 10 ⇒ x = 9 5 × 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si te doy un plátano me das 6 manzanas, si me das 8 manzanas sólo recibirías 2 piñas. ¿Cuántos plátanos debo darte si me das 15 piñas?. a) 8 b) 10 c) 9 d) 11 e) 12 02. Por un melón me dan 4 naranjas por 6 naranjas solo recibo 8 chirimoyas. ¿Cuántos melones debo dar para recibir 16 chirimoyas?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. En un pueblo africano, por cada 16 espejos, dan 2 diamantes y por cada 6 diamantes dan 4 monedas de oro. ¿Cuántas monedas de oro darán por 36 espejos?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. En un bazar se observa que el precio de 4 pantalones equivalen al precio de 6 camisas, 9 camisas cuestan tanto como 2 chompas.
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¿Cuántas chompas se pueden comprar con 3 pantalones?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. En una cierta distribuidora de autos se observa que : El precio de 6 autos Toyota es igual al de 15VW; 10VW cuestan tanto como 8 Fiat; el precio de 4 Fiat equivale al de “x” Toyota. Hallar “x” a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 06. Sabiendo que 12 varas de paño cuestan lo mismo que 15 metros y que 6 metros valen S/.20. ¿Cuánto costarán 18 varas?. a) S/.65 b) S/.45 c) S/.75 d) S/.85 e) S/.55 07. En una investigación científica se ha demostrado que 8 chivos comen tanto como 2 toros, 20 gatos comen tanto como 3 toros y 6 chivos tanto como 2 tigres. ¿Cuántos gatos hacen falta entonces para observar la misma Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. cantidad de alimento de una docena de tigres?. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 08. Sabiendo que 6 marcos alemanes equivalen a 4 dólares, que 2 dólares equivalen a 3 libras esterlinas y que 4 soles equivalen a una libra esterlina. ¿Cuántos soles equivalen a 5 marcos?. a) S/.10 b) S/.20 c) S/.30 d) S/.40 e) S/.50 09. En un Mercado por 4 kilos de arroz, dan 3 kilos de azúcar, de la misma manera por 6 kilos de azúcar dan 8 kilos de papas, por 10 kilos de papas dan 2 kilos de carne de res. ¿Cuántos kilos de carne de res nos darán por 15 kilos de arroz?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 12 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 6 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre. a) 8 b) 5 c) 2 d) 6 e) 3 11. En una librería, 5 lapiceros equivalen a 2 reglas, 3 reglas equivalen a 8 plumones, del mismo modo que 4 plumones es a 6 cuadernos. Si por S/.3 dan 2 cuadernos. ¿Cuántos lapiceros dan por S/.12?. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 12. En una feria venden 4 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 5 duraznos al mismo precio que 20 nísperos. Una docena de nísperos al mismo precio que una piña. Si 4 piñas cuestan S/.2. ¿Cuánto cuesta cada plátano?. a) S/.1 b) S/.0.25 c) S/.2 d) S/.0.75 e) S/.0.50
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13. En una feria agropecuaria 8 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos, 6 patos cuestan lo mismo que 2 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 4 patos. ¿Cuánto cuestan 2 gallinas, si un conejo cuesta 16 soles?. a) S/.15 b) S/.16 c) S/.18 d) S/.20 e) S/.24 14. En una joyería, 2 cadenas de oro equivalen a 6 de plata, 10 de plata, 10 de plata equivalen a 2 de diamantes, del mismo modo que, uno de diamantes es a 16 de acero. Si por S/.6 me dan 8 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro darán por S/.180?. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 45 15. En una feria se observó que por 3 patos me dan 2 pollos; por 4 pollos me dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos; 5 monos cuestan S/.150. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?. a) 75 b) 30 c) 50 d) 40 e) 80 16. En un trueque, por 5 cuadrados se reciben 6 círculos, por 10 rectángulos se reciben 9 círculos y por 15 rombos se reciben 8 rectángulos. ¿Cuántos triángulos pueden recibirse por 60 rombos, si por 2 triángulos se reciben 3 cuadrados?. a) 5 b) 24 c) 18 d) 12 e) 16 17. ¿Qué suma necesita un gobierno para pagar a 3 generales, si el sueldo de 8 coroneles equivale al de 2 comandantes, el de 3 comandantes al de 6 tenientes, el de 2 generales al de 4 coroneles, el de 4 tenientes al de 3 sargentos y si 3 sargentos ganan S/.3600 al mes?. a) S/.2700 b) S/.2500 c) S/.2400 d) S/.3500 e) S/.3200 18. Seis gotas del grifo “A” equivalen a 4 gotas del grifo “B”; 5 gotas del grifo “B” equivalen a 3 gotas del grifo “C”; 6 gotas de este grifo es
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JOHN MAMANI M. como 5 gotas del grifo “D”, del mismo modo que 15 gotas del grifo “D” es a 4,5 litros. ¿Cuántos litros existe en 40 gotas del grifo “A”?. a) 1L b) 2L c) 3L d) 8L e) 4L 19. Si 10m de madera de abeto pesan lo mismo que 7m3 de madera de acacia, 10m3 de madera de cerezo lo que 9m3 de madera de acacia; 5m3 de madera de cerezo lo que 3,6m3 de madera de eucalipto, y esta última pesa lo mismo que el agua. Calcular el peso de 1m3 de madera de abeto. a) 520kg b) 260kg c) 560kg d) 480kg e) 450kg 3
20. El trabajo de cuántas mujeres equivaldrá al trabajo de 3 hombres, si el trabajo de 9 hombres equivale al de 12 niños, el de 3 niñas al de 1 niño y el de 2 mujeres al de 6 niñas. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21. Sabiendo que 10 pulgadas de alambre cuestan lo mismo que 30cm y que 45cm valen S/.6. ¿Cuánto costarán 20 pulgadas?. a) S/.9 b) S/.16 c) S/.10 d) S/.12 e) S/.8 22. Por un coco me dan 4 melones, por 2 melones sólol recibo 3 piñas. ¿Cuántos cocos debo dar para recibir 30 piñas?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. En una juguetería por 4 carritos me dan 6 pelotas; por 4 pelotas, 9 rompecabezas; por 15 rompecabezas, 2 pistolas. Si 3 pistolas
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cuestan S/.10. ¿Cuál es el precio de 8 carritos?. a) S/.15 b) S/.12 c) S/.18 d) S/.24 e) S/.27 24. Sabiendo que 4 soles equivalen a un dólar, que 3 dólares equivalen a 4 libras esterlinas, que 6 euros equivalen a 5 libras esterlinas. ¿A cuántos soles equivalen 2 euros?. a) S/.4 b) S/.3 c) S/.5 d) S/.7 e) S/.6 25. En un trueque, por un cuadrado se reciben 4 círculos y por 6 círculos se reciben 3 triángulos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 24 triángulos?. a) 30 b) 24 c) 36 d) 48 e) 12 26. En una panadería por 4 panes de yema dan uno de baguet, por 12 cachitos dan 3 de baguet, por 36 caramandungas dan 15 cachitos. Si 20 caramandungas cuestan S/.2. ¿Cuánto cuesta 10 panes de yema?. a) S/.2,5 b) S/.2 c) S/.2,8 d) S/.2,3 e) S/.2,4 27. Cinco gallinas cuestan tanto como 9 pavos, 8 patos valen lo mismo que 15 pavos. Si, se sabe que 6 patos cuestan S/.20. ¿Cuánto cuestan 2 gallinas?. a) S/.6,2 b) S/.6 c) S/.6,4 d) S/.6,5 e) S/.6,8 28. En un bazar se observa que el precio de 8 camisas equivalen al precio de 3 pantalones, 15 pantalones cuestan tanto como 12 chompas. Si 10 chompas cuestan S/.800. ¿Cuál es el precio de 5 camisas?. a) S/.120 b) S/.100 c) S/.150 d) S/.110 e) S/.130 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 29. En un restaurante, 3 platos de ceviche cuestan lo mismo que 8 platos de tallarines; 12 platos de tallarines cuestan lo mismo que 9 platos de lomo, del mismo modo que 16 platos de lomo cuestan lo mismo que 15 platos de bisteck. Si por S/.24 nos dan 3 platos de bistec. ¿Cuántos platos de ceviche dan por S/.60?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
34. Por una docena de naranjas dan dos manos de plátanos, por 18 manzanas dan 15 plátanos y por 7 manzanas sólo recibo 9 melones. ¿Cuántas naranjas debo dar para recibir 27 melones? a) 18 b) 20 c) 15 d) 21 e) 24
30. En el supermercado por 15 plátanos dan 12 naranjas; por 8 naranjas dan 10 melocotones; por 15 melocotones dan 9 papayas; 4 papayas cuestan S/.2. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 10 plátanos?. a) S/.2 b) S/.4 c) S/.6 d) S/.3 e) S/.8
35. En una tribu, por cada 15 linternas dan 24 diamantes, por 8 diamantes dan 6 perlas y por 10 perlas dan 4 monedas de oro. ¿Cuántas monedas de oro darán por 75 linternas?. a) 32 b) 36 c) 30 d) 24 e) 45
31. Si una ficha blanca equivale a dos fichas azules y 3 fichas azules equivalen a 4 fichas rojas y 5 fichas rojas a 6 fichas negras. ¿A cuántas fichas negras equivale 10 fichas blancas?. a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 e) 32
36. ¿Cuánto costará 2 metros de lanilla, sabiendo que 5 metros de lanilla cuestan lo mismo que 3 metros de casmir, que 8 de casmir lo mismo que 15 de polystel y que 9 metros de polystel cuesta S/.120?. a) S/.20 b) S/.25 c) S/.30 d) S/.35 e) S/.40
32. En una feria, 6 cuadernos equivalen a 9 borradores, 2 reglas equivalen a 4 borradores, del mismo modo que 3 calculadoras es a 12 reglas. Si por S/.72 dan 6 calculadoras. ¿Cuántos cuadernos dan por S/.18?. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
37. El precio de 2 TV marca son Sony es igual al precio de 3 TV Panasonic, el de 4 TV marca Panasonic es igual al de 9 TV LG y el de 6 TV LG cuestan igual que 8 TV Samsung. Si 3 TV Sony cuestan $630. ¿Cuál es el precio de 6 TV marca Samsung?. a) $280 b) $140 c) $260 d) $180 e) $120
33. En una ferretería 3 baldes de pintura equivalen a 10 brochas, 4 brochas a un martillo, 2 martillos a 9 alicates y 2 kilos de clavos a 5 alicates. Si por S/.28 dan 6 kilos de clavos. ¿Cuántos baldes de pintura dan por S/.35?. Academia GAUUS
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
38. Cinco destres mallorquines equivalen a 12 canas, 48 canas a 80 varas y 1 vara, a 0,625 de metro. Hallar la equivalencia del destre con el metro.
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JOHN MAMANI M. a) 2,0 d) 2,5
b) 2,1 e) 2,8
c) 2,2
39. Sabiendo que 2 kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar, 4 lápices valen lo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos de frijoles?. a) S/.63 b) 24 c) 36 d) 48 e) 32 40. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldría el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 41. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles, por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿Cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz?. a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 12 42. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos, 5 monos cuestan 150 dólares. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?. a) $50 b) 80 c) 60 d) 65 e) 42
a) 32 d) 28
b) 31 e) 30
c) 36
44. En un bazar 4 pantalones equivalen al precio de 5 camisas; 4 chompas cuestan tanto como 6 camisas. ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 12 pantalones?. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 5 45. En un poblado se realiza el trueque de la siguiente manera: por 3 kilos de papa dan 5 kilos de maíz; de la misma manera, por 8 kilos de maíz dan 4 kilos de pallar; por 10 kilos de pallar dan 2 kilos de carne. ¿Cuántos kilos de carne darán por 30 kilos de papa? a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 12 46. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niños?, si se sabe que: el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 47. En la feria agropecuaria de Sicuani se observa que 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos lo mismo que 5 pavos, 8 patos lo mismo que 3 conejos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles? a) S/. 28 b) S/. 36 c) S/. 42 d) S/. 54 e) S/. 26
43. Si 2 triángulos pueden cambiarse por 5 círculos, 3 círculos por 4 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados pueden ser cambiados por 9 triángulos?.
368
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. En una tienda 4 gallinas equivalen a 10 pollos, 9 pollos equivalen a 3 gallos, del mismo modo que 8 gallos equivalen a 6 pavos. Si por S/ 160,00 dan cuatro pavos ¿Cuántas gallinas dan por S/ 150,00?
tercera y cuarta vez, hasta que le quedaron solo 15 soles. ¿Cuánto de dinero perdió? CEPREUNA–2005
a) 210 d) 220
b) 230 e) 215
c) 225
CEPREUNA–2004
a) 10 d) 12
b) 8 e) 4
c) 6
02. En un grupo de conejos y gallinas el número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas, entonces el número de conejos es:
06. Tito gasta todos los días la mitad de lo que tiene más S/. 10. Si al cabo de 3 días ha gastado todo. ¿Cuánto tenia al inicio? CEPREUNA–2006
a) S/.120 d) S/.90
b) S/.80 e) S/.100
c) S/.140
CEPREUNA–2004
a) 7 d) 9
b) 8 e) 6
c) 10
03. Cesar escribe cada día 3/4 de las hojas en blanco de un cuaderno, más 5 hojas. Si al cabo de 3 días escribió todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno al principio? CEPREUNA–2005
a) 320 d) 220
b) 520 e) 420
c) 120
04. Si trabaja los lunes inclusive, un peón economiza 40 soles semanales, en cambio, la semana que no trabaja el día lunes, tiene que retirar 20 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejo de trabajar en estas 10 semanas? CEPREUNA–2005
a) 9 d) 5
b) 4 e) 7
CEPREUNA–2008
a) 8 d) 6
b) 11 e) 5
c) 9
08. En el examen del CEPREUNA, el número de preguntas es 60, la calificación es de 7 puntos por respuesta correcta y me descuentan 2 puntos por cada incorrecta. Si obtuve 366 puntos y respondí todas las preguntas. ¿Cuántas no acerté? CEPREUNA–2008
a) 8 d) 5
b) 6 e) 9
c) 11
c) 3
05. Luego de que un jugador perdió la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por Academia GAUUS
07. En el examen del CEPREUNA, el número de preguntas es 60, la calificación es de 7 puntos por respuesta correcta y me descuentan 2 puntos por cada incorrecta. Si obtuve 366 puntos y respondí todas las preguntas. ¿Cuántas no acerté?
09. En un examen de 140 preguntas las respuestas correctas se califican con 4 puntos y por cada repuesta incorrecta se descuenta 1 punto, si se obtiene una nota final de 260 puntos habiendo respondido todas las
369
JOHN MAMANI M. preguntas. acertaron?
¿Cuántas
preguntas
no
se
lapiceros me sobran S/.3 ¿Cuánto de dinero tiene Martin?
CEPREUNA–2008
a) 120 d) 4
b) 260 e) 60
c) 80
10. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles? CEPREUNA–2009
a) S/.54 d) S/.42
b) S/.36 e) S/.28
CEPREUNA–2011
b) S/.240 e) S/.268
c) S/.234
CEPREUNA–SOC–2012
b) 20 e) 15
c) S/.37
15. Si compro 10 tortas me faltan S/. 100 para comprar 4 más, pero si solo compro 6, me sobran S/. 200, entonces tengo. UNAP–BIO–2014
a) S/. 875 d) S/. 450
b) S/. 425 e) S/. 524
c) S/. 325
16. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 11 caramelos a cada uno, le sobran 116 y, si les da 24 caramelos a cada uno, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir? Dé como respuesta la suma de los dígitos de la solución. UNAP–EXT–2008
12. En una granja se observa 40 animales y 100 patas entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de animales de cada especie? a) 25 d) 30
b) S/.35 e) S/.39
c) S/.48
11. Elva, cada día gasta la mitad de lo que tiene más 2 soles. Si después de 3 días le queda 30 soles. ¿Cuánto tenia al inicio? a) S/.210 d) S/.300
UNAP–EXT–SOC–2015
a) S/.32 d) S/.36
c) 10
a) 12 d) 11
b) 13 e) 9
c) 10
17. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8, le faltaría S/.12 y si adquiera entradas de S/.5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio? UNAP–EXT–2006/UNAP–BIO–2014
13. Un electricista debe colocar 24 focos en la casa de Manuel, ganando 2 soles por cada foco que coloque, pero debe pagar 6 soles por cada foco que rompa. Concluido el trabajo, se le pago 16 soles. ¿Cuántos focos rompió? UNAP-EXT-2008/CEPREUNA–BIO–2015
a) 2 d) 6
b) 20 e) 4
c) 8
14. Martin dice: “Para comprar una docena de lapiceros me faltan S/.15, pero si compro 8
370
a) 5 d) 7
b) 3 e) 4
c) 2
18. Para ganar 500 nuevos soles en la rifa de una moto se imprimieron 900 boletos, pero no se vendieron más que 750 y se originó una pérdida de 100 nuevos soles ¿Cuánto cuesta la moto? UNAP–2011
a) 3000 d) 2800
b) 3200 e) 3600
c) 3100
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 19. Para ganar S/. 180 en la rifa de un televisor, se hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75 boletos y originándose así una pérdida de S/. 45. Hallar la suma de las cifras del costo del televisor.
ninguna moneda, ¿Cuántas monedas tenía inicialmente? UNAP-2005
a) 40 d) 120
b) 80 e) 70
c) 60
UNAP–BIO–2012
a) 7 d) 6
b) 5 e) 4
c) 8
20. Para ganar S/.2800 en una rifa de un cuadro. Se hicieron 90 boletos, solo se vendieron 75, lo cual origino una pérdida de S/.1700. ¿Cuánto valía el cuadro? UNAP–BIO–2012
a) 23200 d) 22200
b) 20200 e) 24200
c) 21200
21. Estelita fue de compras al mercado de Bellavista, primero gasto 1/4 de su dinero en ropa, luego con el 2/3 del resto compro un reloj; más tarde, compro una caja de galletas de S/. 10, finalmente con los 3/7 del ultimo resto compro un regalo para Patricia, quedándose únicamente con S/. 16. ¿De cuánto dinero disponía Estelita? UNAP-2005
a) S/. 160 d) S/. 162
b) S/. 170 e) S/. 152
UNAP-2005
b) 20 e) 10
UNAP-2009
a) 40 monedas. b) 60 monedas. c) 70 monedas. d) 80 monedas. e) 120 monedas. 25. Los 3/8 de un poste están pintados de rojo, 3/5 del resto de blanco y lo que queda de azul, ¿Cuál es la altura del poste, si dos metros esta pintados de azul? UNAP-SOC-2011
a) 6 d) 5
b) 4 e) 8
c) 2
c) S/. 150
22. María pensó un número, lo multiplico por 4, le sumo 6, lo dividió entre 2 y le resto 4. Si el resultado es 39 ¿En qué número pensó? a) 15 d) 5
24. Existe una fuente milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deje una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro. Si al retirarse un hombre, que resulto 3 veces favorecido, se fue sin poseer ninguna moneda, ¿Cuánto tenia inicialmente?
c) 25
26. De un tanque lleno de agua, empieza a disminuir su contenido del siguiente modo; en la primera hora en su cuarta parte y 40 litros más, en la segunda hora reduce en 3/5 de lo que quedaba y se aumenta 100 litros, y en la tercera hora disminuye en 1/3 de lo que restaba, quedando el tanque con 100 litros. ¿Cuál es la capacidad del tanque? UNAP-EXT-2002
23. Existe un fuente milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deje una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro. Si al retirarse un hombre, que resultó 3 veces favorecido, se fue sin poseer Academia GAUUS
a) 200 L d) 300 L
b) 220L e) 400 L
c) 280 L
27. Un profesor de “RM” entra a una iglesia donde existe un santo milagroso, que le duplica el dinero cada vez que entra a la
371
JOHN MAMANI M. iglesia, con la condición de que por cada milagro le deje de limosna S/. 25. Si después de haber entrado tres veces sale con S/. 225. ¿Cuál era su dinero inicial? UNAP-EXT-2005
a) S/. 75 d) S/. 50
b) S/. 65 e) S/. 100
c) S/. 125
a) 14 d) 10
b) 16 e) 18
c) 12
32. Entre los cerdos y gallinas que tengo cuento 86 cabezas y 246 patas. ¿Cuántos cerdos tengo? UNAP-EXT-2014
28. Un cazador dispara tres veces para cazar un águila y dos veces para cazar una paloma. Si hoy hizo 60 disparos llegando a cazar 26 aves. Hallar la diferencia entre el número de palomas y de águilas.
a) 30 d) 37
b) 33 e) 39
c) 35
33. Entre cerdos y pollos se cuentan 37 cabezas y 102 patas. ¿Cuál es la diferencia entre el número de animales?
UNAP-EXT-2006
a) 18 d) 14
b) 8 e) 12
c) 10
29. Alejandro compró cierta cantidad de caramelos; 1/3 de ellos le regaló a Josefina, los 2/5 del resto le regaló a Marisol y 1/4 de lo quedaba a Raquel, quedándose únicamente con 3 caramelos. ¿Cuántos caramelos compro Alejandro? UNAP-EXT-2006
a) 5 d) 10
b) 60 e) 15
UNAP-SOC-2015
a) 9 d) 20
b) 14 e) 17
c) 23
34. Al comprar 20 celulares, me sobran 480 nuevos soles, pero al adquirir 24 celulares; me faltaría 120 nuevos soles ¿Cuánto cuesta cada celular? CEPREUNA-SOC-2015
a) S/. 200 d) S/. 180
b) S/. 150 e) S/. 120
c) S/. 100
c) 20
30. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 11 caramelos a cada uno, le sobran 116, y si les da 24 a cada uno, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir? De cómo respuesta la suma de los dígitos de la solución.
35. Luis tiene a animalitos entre loritos y gatitos, si entre los animalitos que tiene se puede observar p patas. ¿Cuántos loritos tiene? UNAP-BIO-2015
a) 4a − p d)
4p − a 2
2a − p b) 2
e)
c)
4a − p 2
4a + p 2
UNAP-EXT-2008
a) 12 d) 11
b) 13 e) 9
c) 10
31. Un tanque de agua se vacía en 3 horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora más un litro. ¿Cuántos litros de agua tenia inicialmente en el tanque? UNAP-EXT-2009
372
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Planteo de Ecuaciones CAPÍTULO XIV PLANTEO DE ECUACIONES
TRADUCCIÓN E INTERPRETACIÓN
Un aspecto importante en las ciencias (Matemáticas, físicas, ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este tema nos ayudara a traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y a partir de ellas resolverlas. LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADO)
LENGUAJE MATEMÁTICO (ECUACIÓN)
TRADUCIR
Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incógnitas. Ejemplos 5x − 4 −7 = 0 2x − 1 2
2
x − 3 x + 8= 5 x − 8 x 0 x − 3y + 4 = 0 5 x + 7 y − 10 =
2
CRITERIOS PARA PLANTEAR: 1. 2. 3. 4.
Leer y comprender el enunciado. Extraer los datos. Elegir la(s) variable(s) y representarla. Relacionar los datos a través de una igualdad lógica (ecuación). 5. Resolver la ecuación obteniendo el valor de la variable o incógnita. Academia GAUUS
FORMA SIMBOLICA
FORMA LITERAL
Un número, aumentado en su mitad El doble de un número
x+
x 2
2x
El triple de “x”, más 8
3x + 8
El triple, de “x” más 8
3( x + 8)
3x − 5
El triple de “x” menos 5 Mitad de un número
x/2 x ; ( x + 1)
Dos número consecutivos Lo que le falta para 50
50 − x
Por cada 5 mujeres hay 7 hombres.
M 5 = H 7
“A” excede a “B” en 7
A− B = 7
“A” es excedido por “B” en 7
B− A = 7
“M” es a “N” como 2 es a 3
M 2 = N 3
“A” es 7 veces “B”
A = 7B
“A” es 7 veces más que “B”
A = 8B
Dos números relación de 3 a 5
están
en
El exceso de “M” sobre “N” es “Z”
x 3 = y 5 M−N= Z
Suma de dos números al cuadrado
( x + y)
Suma de los cuadrados de dos números
x +y
Inverso de un número 5 menos 4 veces un numero
2
2 2
1/x 5 − 4x
373
JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES I 7= A − 2 A=9
PROBLEMA 01 El doble de un número es disminuido en 70 y resulta 48. ¿Cuál es el número? a) 34 b) 56 c) 70 d) 10 e) 59
Resolución Sea: Número = N Por dato del problema: 2N − 70 = 48 2N = 118 N = 59
PROBLEMA 02 El triple de la suma de un número con 6 es 48. ¿Cuál es el número? a) 34 b) 16 c) 14 d) 10 e) 12
Resolución Sea: Número = N Por dato del problema: 3(N + 6) = 48 3N + 18 = 48 N = 10
PROBLEMA 04 El exceso de 8 veces un número sobre 60, equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número ¿calcular dicho número? a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9
Resolución Sea “x” el número. 8 x − 60 = 60 − 7 x 15 x = 120 x=8
PROBLEMA 05 Aurora recibió tres dólares, tuvo entonces tres veces más de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido ¿Cuánto tenia al comienzo? a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7
Resolución Dinero “x”
PROBLEMA 03 El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de "A" sobre 2. ¿Cuánto vale "A"? a) 4 b) 6 c) 7 d) 10 e) 9
Resolución Por dato del problema: 15 − 8 = A − 2
374
x + 3= 4( x − 3) x + 3 = 4 x − 12 3 x = 15 x=5
PROBLEMA 06 Hallar un número cuyo cuádruple excede en 270 a su suma con 90 a) 120 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Resolución
Resolución
Sea “x” el número, del enunciado x 90 4 x − 270 =+ 5 x = 360 x = 120
# de personas “x” x − 14 =x −
2 x 9
2 x = 14 9 2 x = 126 x = 63
PROBLEMA 07 Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que esta quedo disminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron? a) 49 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
Quedaron: 63–14=49
¡Comprueba lo que sabes! 01. Un número aumentado en 53 es igual a 71, encuentra dicho número a) 36 b) 18 c) 36 d) 14 e) 6
07. Hallar un número que disminuido en sus 5/8 nos da 240 a) 600 b) 530 c) 800 d) 640 e) 960
02. El triple de un número, aumentado en 8 es igual a 23. Halla el número. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
08. El cuádruplo de un número aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho número. a) 40 b) 10 c) 20 d) 60 e) 30
03. El triple de un número, aumentado en 9 es igual a 21. Halla el número. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
09. El doble de un número es igual a la mitad de la suma del número con 90. Hallar el número. a) 15 b) 45 c) 30 d) 60 e) 80
04. El triple de un número disminuido en 7 es igual a 24. Halla el número. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
10. La suma de dos números es 60 y la diferencia de los mismos es 18. Hallar el número mayor. a) 21 b) 16 c) 29 d) 18 e) 39
05. El cuádruplo de un número aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho número. a) 40 b) 10 c) 20 d) 60 e) 43
11. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87? a) 66 b) 67 c) 68 d) 69 e) 70
06. ¿Cuál es el número que excede a 84 tanto como es excedido por 260? a) 172 b) 160 c) 140 d) 136 e) 194
12. Hallar un número, tal que su doble excede a 60 tanto como su triple excede a 96? a) 42 b) 38 c) 40 d) 36 e) 34
Academia GAUUS
375
JOHN MAMANI M. 13. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18? a) 17 b) 14 c) 15 d) 12 e) 11 14. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número? a) 75 b) 71 c) 69 d) 70 e) 73 15. El triple del exceso de un número sobre 20 equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Hallar el mencionado número. a) 60 b) 57 c) 50 d) 64 e) 59 16. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número? a) 80 b) 92 c) 83 d) 72 e) 82 17. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número a) 160 b) 300 c) 320 d) 480 e) 360 18. Si al cuadrado de la cantidad que tengo le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 24 soles. ¿Cuánto tengo? a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7 19. El cuádruplo de la tercera parte de un número, aumentado en su novena parte es igual a 13. Indicar el triple de dicho número. a) 21 b) 24 c) 27 d) 30 e) 33 20. Disminuyendo el doble de un número de 25, se obtiene 1. ¿Cuál es el número? a) 15 b) 12 c) 16 d) 13 e) 14
376
21. Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? a) 12 b) 14 c) 17 d) 16 e) 15 22. Una yuca pesa 8 Kg. Más media yuca. ¿Cuánto pesa yuca y media? a) 16 b) 32 c) 24 d) 48 e) 12 23. Si ganara s/. 880 tendría 9 veces lo que me quedaría si perdiera s/. 40. ¿Cuánto tengo? a) 120 b) 400 c) 260 d) 155 e) 180 24. Dos números están en la relación de 4 a 3. La mitad del mayor excede a la tercera parte del menor en 5. Encontrar el mayor. a) 16 b) 12 c) 8 d) 20 e) 24 25. Si al numerador y denominador de la fracción 3/5 se le suma una misma cantidad, se obtiene la fracción 5/7. ¿Cuál es esa cantidad? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 26. El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en 1. Si al numerador se resta 4, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. a) 4/9 b) 12/19 c) 13/27 d) 7/9 e) 4/13 27. Un número excede al cuadrado más próximo en 29 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 18 unidades. Hallar la suma de cifras del número. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 28. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy tres pasos más que subiendo 5 en 5 escalones ¿Cuántos escalones tienen la escalera? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 90 d) 40
b) 80 e) 50
c) 60
a) 4 d) 8
b) 9 e) 2
c) 10
29. Al subir un edificio de 2 en 2, Pedro da 8 pasos más que al subir de 3 en 3 peldaños. ¿Cuántos peldaños tiene en total la escalera del edificio? a) 24 b) 36 c) 48 d) 56 e) 72
37. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número? a) 220 b) 320 c) 540 d) 480 e) 370
30. Halle un numero entero se le agrega dos ceros a la derecha, dicho número aumenta en 78111 unidades. El número mencionado es a) 789 b) 689 c) 589 d) 879 e) 987
38. La diferencia de dos números más 80 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 60 unidades. Hallar el número mayor, si el mayor es el triple del menor. a) 210 b) 220 c) 140 d) 440 e) 380
31. Si a un numero se le agrega 2 ceros a la derecha, dicho número aumenta en 2475 unidades. La suma de las cifras del número inicial era: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
39. Un número es tal, que multiplicado por 3, por 5 y por 7 da tres números cuyo producto es 840000 ¿Cuál es el numero? a) 12 b) 20 c) 25 d) 15 e) 14
32. Al multiplicar por 36 un número, este aumenta en 175 unidades ¿Cuál es el número? a) 15 b) 5 c) 10 d) 8 e) 55
40. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 4 da 3 números cuyo producto es 81000 ¿Cuál es el numero? a) 19 b) 15 c) 25 d) 20 e) 10
33. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 288, ¿Cuánto tengo? a) 17 b) 18 c) 20 d) 14 e) 21
41. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. a) 13 b) 10 c) 7 d) 3 e) 8
34. El dinero que tiene Carlos, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenia Paco? a) 232 b) 220 c) 540 d) 480 e) 380
42. Si un número aumentado en 8 se multiplica por el mismo número disminuido en 3, resulta el cuadrado del número más 76. ¿Cuál es el número? a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
35. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 120. ¿Cuánto tengo? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 36. La suma, el producto y la diferencia de dos números son entre sí como: 5; 12 y 1. Hallar el menor. Academia GAUUS
43. Si se sabe que 140 excede al doble de un número en tanto como el triple de dicho número excede a su tercera parte, halle los dos tercios de dicho número. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
377
JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES II Por dato del problema:
PROBLEMA 01 Hallar el menor de tres números consecutivos, si sabemos que la mitad del menor sumada con la quinta parte del número medio, equivale al mayor disminuido en 9. a) 18 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
Resolución Sean los números: x ;( x + 1);( x + 2) Por dato del problema: x x+1 + = x + 2−9 2 5 5 x + 2 x + 2= 10 x − 70 72 = 3x x = 24
2
2
( x + 1) − x = x + 2 + 10 x
2
2
+ 2 x + 1 − x = x + 12
x = 11
Nos piden: x + 2 = 11 + 2 = 13
PROBLEMA 03 Dados tres números pares consecutivos se sabe que la suma del menor con el doble del intermedio nos da el tercero aumentado en 80. ¿Cuál es el menor de los números? a) 42 b) 35 c) 40 d) 22 e) 20
Resolución PROBLEMA 02 Hallar el mayor de tres números enteros consecutivos, si se sabe que la diferencia de cuadrados entre el medio y el menor, excede al mayor en 10 unidades. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
Resolución
Sean los números: 2 x ;(2 x + 2);(2 x + 4) La ecuación es: 2 x + 2(2 x + 2) = (2 x + 4) + 80 2 x + 4 x + 4 = 2 x + 4 + 80 6 x + 4 = 2 x + 84 4 x = 80 x = 20 Por lo tanto, el menor de los números es 40
Sean los números: x ;( x + 1);( x + 2)
¡Comprueba lo que sabes! 01. Tres números consecutivos suman 60. ¿Cuál es el valor del mayor de los números? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 19
03. Se tiene cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102. Hallar el mayor de ellos. a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
02. La suma de dos números consecutivos es 31. Hallar el menor de ellos. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
04. Dos números pares consecutivos suman 122. ¿Cuál es el valor del menor de los números?
378
a) 58 d) 64
b) 60 e) 56
c) 62 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 05. Tres números impares consecutivos suman 57. ¿Cuál es el valor del mayor de los números? a) 19 b) 17 c) 23 d) 25 e) 21
nueve es igual al doble de la suma de los dos mayores, disminuido en 10. Calcular el menor. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
06. La suma de cuatro números impares consecutivos es 80. ¿Cuál es el número mayor? a) 25 b) 23 c) 21 d) 27 e) 19
13. Dado tres números consecutivos: el doble del mayor más el triple del menor es igual al intermedio aumentado en 67. Hallar el mayor. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
07. Cinco números impares consecutivos suman 185. ¿Cuál es el valor del mayor de los números? a) 37 b) 39 c) 41 d) 43 e) 33 08. Calcular el menor de dos números consecutivos, si al quíntuplo del mayor le restamos 22 obtenemos el doble del menor, aumentado en cuatro. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 09. Dado tres números consecutivos: el doble del mayor más el triple del menor es igual al intermedio aumentado en 67. Hallar el mayor. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 10. Calcular el menor de tres números consecutivos tal que si sumamos los tres nos da el cuádruple del mayor, disminuido en 11. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 11. Se tienen dos números impares consecutivos tal que el séxtuplo del menor más el doble del mayor nos da 76. Hallar el par siguiente al mayor. a) 10 b) 8 c) 12 d) 14 e) 6 12. Dado cuatro números consecutivos tal que la suma de los dos menores, aumentado en Academia GAUUS
14. Si el producto de tres números consecutivos se le agrega el número que no es mayor ni es menor de ellos, se obtiene 8000. Determine la suma de los números. a) 60 b) 100 c) 90 d) 80 e) 50 15. Se tiene tres números consecutivos, si al producto de estos se le agrega el numero intermedio de ellos, se obtiene 512. Determine el mayor de ellos. a) 6 b) 10 c) 9 d) 8 e) 5 16. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. El consecutivo de la suma de los números es: a) 18 b) 17 c) 19 d) 20 e) 21 17. Hallar dos números consecutivos, si sabemos que los 5/6 del menor al ser sumados con los 7/9 del mayor, nos da 33 de resultado. Dar el menor de ellos. a) 19 d) 26
b) 21 e) 20
c) 24
18. Hallar el menor de tres números enteros consecutivos, si sabemos que los 3/4 del menor sumado con la tercera parte del número medio, equivale al mayor.
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JOHN MAMANI M. a) 22 d) 18
b) 21 e) 20
c) 24
19. Hallar tres números consecutivos, si se sabe que los 8/15 del intermedio sumados con la mitad del mayor, equivale al menor de ellos aumentado en 3. El menor de ellos es: a) 42 b) 41 c) 44 d) 46 e) 43 20. Se tiene tres números consecutivos. Si sumamos el doble del menor con el triple del mayor, obtenemos el número intermedio aumentado en 49. ¿Cuál es el valor del menor de los números? a) 17 b) 15 c) 14 d) 12 e) 11 21. Dados tres números consecutivos se sabe que la mitad del menor más la quinta parte del intermedio es igual a la sexta parte del cuádruple del mayor. ¿Cuál es el valor del mayor de los números? a) 31 b) 36 c) 66 d) 96 e) 6 22. Hallar la suma de tres números consecutivos, tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el cuádruplo del intermedio y le agregamos el mayor obtendremos 241. a) 240 b) 234 c) 246 d) 252 e) 249 23. Hallar la suma de cuatro números consecutivos, tales que si al triple de la suma de los dos mayores le disminuimos el doble de la suma de los dos menores resultaría 53. a) 94 b) 90 c) 78 d) 82 e) 86
380
24. Dados tres números pares consecutivos se sabe que la suma del menor con el doble del intermedio nos da el tercero aumentado en 80. ¿Cuál es el menor de los números? a) 40 b) 60 c) 62 d) 64 e) 56 25. Se tiene dos números pares consecutivos. Si sumamos la mitad del menor con la tercera parte del mayor, obtenemos 14. ¿Cuál es el valor del mayor de los números? a) 36 b) 42 c) 30 d) 18 e) 24 26. Hallar el mayor de tres números enteros consecutivos, si se sabe que la diferencia de cuadrados entre el medio y el menor, excede al mayor en 10 unidades. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 27. Hallar el mayor de tres números enteros consecutivos, si se sabe que la diferencia de cuadrados entre el medio y el menor, excede al mayor en tres unidades. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 28. Se tienen tres números consecutivos. Si dividimos al menor entre 17, el intermedio entre 7, y el mayor entre 9, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos? a) 34 b) 32 c) 37 d) 35 e) 38
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES III PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Dos números suman 70 y si dividimos al mayor entre el menor obtenemos 2 de cociente y 4 de residuo. ¿Cuál es el menor de los números? a) 70 b) 44 c) 54 d) 48 e) 22
Un número excede a otro en 40 y si los dividimos, obtenemos 4 de cociente y 4 de residuo. ¿Cuál es el valor del mayor de dichos números? a) 48 b) 51 c) 54 d) 56 e) 52
Resolución
Resolución x
x
2 x + 80
70 x + 40
70 − x
70 − x x 4
2
⇒
D d dc + r D= r c
Aplicando la propiedad 70 − x = 2 x + 4 3 x = 66 x = 22 El menor de los números es 22.
x + 40 x 4
4
⇒
D d dc + r D= r c
Aplicando la propiedad x + 40 = 4 x + 4 3 x = 36 x = 12 El mayor de los números es: 12 + 40 = 52
¡Comprueba lo que sabes! 01. La suma de dos números es 360 y su cociente es 9. Determine el mayor de los números. a) 82 b) 36 c) 324 d) 62 e) 326 02. Hallar la diferencia de dos números tales que su suma es 400 y su cociente es 3 a) 100 b) 200 c) 300 d) 150 e) 240 03. La suma de dos números es 63 y el cociente es 6. Su diferencia es: a) 45 b) 52 c) 47 d) 51 e) 53 Academia GAUUS
04. La suma de dos números es 36, su cociente 5 y su residuo 6. Determine el mayor de los números: a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33 05. En una división inexacta el dividendo es 180 y el divisor es el mayor número de dos cifras posible. Indicar el cociente. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. La suma de dos números es 63 y el cociente es 6. Su diferencia es:
381
JOHN MAMANI M. a) 45 d) 51
b) 52 e) 53
c) 47
07. La suma de dos números es 300 y su cociente es 4. Hallar la diferencia de dichos números. a) 120 b) 180 c) 240 d) 300 e) 320 08. La suma de dos números es 47 y al dividir el mayor entre el menor se obtiene 2 de cociente y 5 de residuo. ¿Cuál es el valor del menor de dichos números? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 09. Si la suma de dos números es 64 y su cociente, 4 con residuo 4. ¿Cuál es el número menor? a) 14 b) 15 c) 12 d) 18 e) 20 10. La suma de dos números es 74 y su cociente 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número menor? a) 67 b) 7 c) 14 d) 22 e) 19 11. La suma de dos números es 130, su cociente es 17 y su residuo es 4. Hallar la diferencia de los números. a) 116 b) 123 c) 122 d) 118 e) 117 12. La suma de dos números es 157, su cociente es 4 y su residuo es 2. Hallar la diferencia de dichos números. a) 100 b) 95 c) 87 d) 64 e) 58 13. La suma de dos números es 260. Si al dividir el mayor entre el menor el cociente es 3 y el residuo es 20, hallar la diferencia de dichos números. a) 88 b) 102 c) 116 d) 128 e) 140
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14. Hallar dos números, tales que su diferencia sea 90, su cociente 3 y su residuo 10, El menor es: a) 130 b) 59 c) 40 d) 80 e) 45 15. Hallar dos números, tales que uno excede al otro en 70 unidades, y al dividirlos entre sí el cociente es 5 y el resto es 10. El mayor es: a) 80 b) 81 c) 85 d) 75 e) 60 16. Encontrar dos números cuya diferencia es 203, su cociente es 6 y su residuo es 8. La suma de los números es: a) 281 b) 280 c) 242 d) 139 e) 145 17. La diferencia entre dos números es 656. Dividiendo el mayor entre el menor, resulta 4 de cociente y 71 de resto. Determinar el menor. a) 145 b) 195 c) 891 d) 1131 e) 851 18. La suma de dos números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división es el mayor posible. Hallar el menor. a) 23 b) 17 c) 16 d) 22 e) 18 19. La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro, se tiene 16 de cociente y residuo máximo el número mayor es: a) 302 b) 234 c) 305 d) 304 e) 243 20. La suma de dos números es 930, su cociente es 17 y el resto de su división es el mayor posible. Hallar la diferencia de los números. a) 832 b) 841 c) 842 d) 852 e) 862 21. La suma de dos números es 351, si se divide el mayor entre el menor se obtiene 20 de cociente y un residuo que es el más grande Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. posible. Hallar la diferencia de dichos números. a) 309 b) 319 c) 305 d) 312 e) 321 22. La diferencia de 2 números es 107 y su cociente es 12 dejando un residuo que es el mayor posible. Calcular el mayor de dichos números a) 110 b) 116 c) 123 d) 130 e) 135 23. La suma de dos números es 74; su diferencia dividida entre el menor, da 3 por cociente y 4 por residuo. Halle el mayor de ellos a) 60 b) 65 c) 70 d) 50 e) 55 24. Dividir 260 en 2 partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Hallar el mayor de ellos. a) 200 b) 180 c) 150 d) 190 e) 195 25. La suma de los cuatro términos de una división entera inexacta es 600. Hallar el dividendo si el cociente es 12 y el resto, la mitad del divisor. a) 525 b) 475 c) 460 d) 495 e) 574 26. Al dividir 368 por un número entero el cociente excede en dos unidades al duplo del divisor y el resto es 4; hallar el producto de los dígitos del divisor. a) 6 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 27. Hallar dos números, si sabemos que su suma es 730 y que cuando se divide el mayor entre Academia GAUUS
el menor el cociente es 4 y el residuo es 80. El mayor es: a) 600 b) 630 c) 500 d) 430 e) 530 28. Si dividimos el mayor de dos números entre el menor, el cociente es 2 y el resto es 2. Además si dividimos cinco veces el menor entre el mayor obtenemos 1 de cociente y 7 de residuo. Hallar el mayor. a) 6 b) 12 c) 8 d) 10 e) 9 29. En una división exacta cuyos términos suman 125; el dividendo es 6 veces el divisor. El dividendo es: a) 96 b) 98 c) 100 d) 102 e) 104 30. Cuando un número se divide entre 10 el cociente es14 y el resto es la mitad del divisor. Hallar el resto de dividir dicho número entre 11. a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) 8 31. La diferencia de dos números naturales es 118, el cociente es 7 y el residuo es el máximo posible. Hallar el menor de los números. a) 16 b) 6 c) 7 d) 9 e) 17 32. El dividendo de una división es 990, su cociente y el residuo son iguales y el divisor el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor? a) 28 b) 36 c) 42 d) 44 e) 46
383
JOHN MAMANI M. 33. La suma de dos números es 340; el cociente entre ellos es 13 y el residuo 18. Dar el mayor. a) 311 b) 317 c) 316 d) 309 e) 301 34. En una división el dividendo es 98 y el resto es 7. Hallar el divisor, sabiendo que es de dos cifras y el cociente es mayor que 1. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 17 35. ¿Cuál es el mayor número que dividido entre 12 da un residuo igual a la mitad del cociente? a) 240 b) 275 c) 286 d) 149 e) 126 36. En una división inexacta de residuo máximo, el divisor es 16. Si el cociente es el C.A. de 94. ¿Cuál es el valor del dividendo? a) 110 b) 111 c) 112 d) 113 e) 114 37. En una división el divisor vale 28, el cociente es 12 y el residuo es el mayor posible. ¿Cuánto vale el dividendo? a) 263 b) 463 c) 563 d) 763 e) 363 38. El residuo de la división de un cierto número entre 13, es 11; pero si dicho número se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el residuo anterior disminuye en 1 ¿Cuál es el número? a) 65 b) 76 c) 75 d) 78 e) 85
a) 20 d) 21
b) 17 e) 19
c) 18
40. Hallar " a + b " , si la división de ab5 entre b7 da como cociente 22 y residuo 21. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 41. Al dividir “A” entre “B” se obtiene residuo máximo. Si el dividendo se disminuyera en 170, el cociente disminuiría en tres unidades y el residuo se volvería mínimo. Hallar “B”. a) 45 b) 43 c) 37 d) 51 e) 39 42. En una división entera inexacta, el divisor es 24 y el resto 6. ¿Cuál es la máxima cantidad que se le puede aumentar al dividendo de manera que el cociente aumente en tres unidades? a) 66 b) 43 c) 67 d) 89 e) 88 43. Dividiendo un número entre 113, se halla por resto 11 y dividiéndolo entre 108, el resto es 31. Si en las dos divisiones el cociente es el mismo, ¿cuál es el producto de las cifras del dividendo? a) 72 b) 71 c) 70 d) 74 e) 63 44. El número mayor excede en 7 al doble de otro número, y si los dividimos obtenemos 3 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor del menor de dichos números? a) 7 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3
39. Al dividir el número abc entre bc se obtiene 11 de cociente y 80 de residuo. Hallar: a+ b+c
384
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES IV PROBLEMA 01 Al preguntarle un padre a su hijo ¿Cuánto había gastado de los S/. 350 que le dio?. Este respondió he gastado las 3/4 partes de lo que no gaste’ ¿Cuánto gastó? a) 120 b) 160 c) 140 d) 150 e) 180
Resolución Gasté No gasté Del enunciado.
Por dato del problema: 2 x + x + 2 x − 15 = 640 5 x = 655 x = 131 Nos piden: 2 x − 15 = ??? 2(131) − 15 = 247
PROBLEMA 03
:x : 350 − x
Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es nueve soles más de lo que tú tendrás. ¿Cuánto más que tu es lo que tengo? a) S/ 12 b) S/ 13 c) S/ 14 d) S/ 15 e) S/ 16
3 (350 − x ) 4 4 x 1050 − 3 x = 7 x = 1050 = x
x = 150
Resolución
PROBLEMA 02 En tres canastas se tienen un total de 640 manzanas. Si la primera canasta tiene el doble de manzanas que la segunda y 15 más que la tercera, ¿cuántas manzanas hay en la tercera canasta? a) 262 b) 131 c) 247 d) 237 e) 222
Resolución 2x
x
TENIAS
TIENES
2x
x
TENDRAS 3x
Yo tengo = 3x + 9 2x + x + 3x = 3x + 9 3x = 9
x=3 Tú tienes: S/. 3 Yo tengo: S/. 18 Lo que pide: 18 − 3 = S/. 15
2 x − 15
¡Comprueba lo que sabes! 01. Un niño tenía S/.65. Si gastó el cuádruple de lo que no gasto, ¿cuánto gastó el niño? a) S/.13 b) 12 c) 52 d) 18 e) 14 Academia GAUUS
02. Rosa fue al mercado con S/. 850. Si gastó el cuádruple de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó? a) S/. 340 b) S/. 680 c) S/. 740 d) S/. 540 e) S/. 480
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JOHN MAMANI M. 03. De los 20 soles que tenía, gasté á tercera parte de lo que no gaste. ¿Cuánto gasté? a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 7 04. Al preguntar un padre a su hijo, cuánto había gastado de los $140 de propina que le dio, el hijo contestó. He gastado las 3/4 partes de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó? a) $ 60 b) $ 50 c) $ 40 d) $ 30 e) $ 26 05. Tenía S/. 480 y gasté la tercera parte de los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? a) 400 b) 80 c) 320 d) 160 e) 200 06. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los S/. 35 que le dio, le contestó: las tres cuartas partes de los que no gasté. ¿Cuánto gastó? a) S/.12 b) S/.20 c) S/.18 d) S/. 32 e) S/.15 07. María va al mercado con 340 nuevos soles, al preguntarle su esposo cuanto había gastado, responde: he gastado la tercera parte de los dos quintos de lo que no he gastado. ¿Cuántos nuevos soles gasto? a) S/. 60 b) S/. 300 c) S/. 240 d) S/. 40 e) S/. 46 08. Un niño le dice a su padre: “de los 140 soles que me diste, gaste 58 soles más de lo no que gasté”. ¿Cuánto no llegó a gastar el niño? a) 21 b) 75 c) 80 d) 37 e) 41 09. Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me quedan S/.20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? a) S/.100 b) S/.120 c) S/.80 d) S/.90 e) S/.110 10. Tengo S/.120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría, ¿Cuánto más hubiese gastado?
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a) 2 d) 5
b) 4 e) 7
c) 3
11. De los 40 soles que tenía Luis gasto 2/3 de lo que no gasto. ¿Cuánto gasto? a) 18 b) 15 c) 9 d) 10 e) 16 12. Gaste los 3/5 de lo que no gaste y aun me quedan 60 soles más de lo que gaste. ¿Cuánto tenia? a) 250 b) 150 c) 190 d) 200 e) 240 13. De los S/.60 que tenía, si no hubiera comprado un regalo que me costó S/.16; tan solo hubiera gastado los 2/3 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gasté? a) 20 b) 40 c) 32 d) 36 e) 24 14. Al preguntar una madre a su hija cuánto había gastado de los S/.40 que ésta le entregó, la hija responde: “Si no hubiera comprado el chocolate que me costó S/.10, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado”. ¿Cuánto es lo que gastó la hija? a) S/.15 b) S/.20 c) S/.25 d) S/.30 e) S/.45 15. José razonaba: tenía S/. 50, primero compré una camiseta y luego una gorra que me costó S/.15. Si no hubiera comprado la gorra, tan sólo hubiera gastado 3/7 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gasté en total? a) S/. 20 b) S/. 30 c) S/. 35 d) S/. 25 e) S/. 45 16. A una iglesia asisten 399 personas entre hombres; mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo de mujeres y el de mujeres es el triple que el de los niños ¿Cuántos hombres hay? a) 367 b) 98 c) 298 d) 234 e) 315 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 17. La suma de tres números es 112, sabiendo que el medio es la mitad del mayor y el menor la mitad del medio. Hallar el número menor. a) 12 b) 16 c) 19 d) 24 e) 28
23. Ana tiene el triple de pasteles que Tomas. Diego tiene la mitad que Tomas. Ana tiene 16 pasteles más que Tomas. ¿Cuántos pasteles tiene Tomás? a) 4 b) 24 c) 32 d) 8 e) 13
18. Ana tiene el triple, de lo que tiene Liz más 10 soles y entre ambas tienen 230 soles. ¿En cuánto excede lo que tiene una a lo que tiene la otra? a) 100 b) 130 c) 120 d) 150 e) 320
24. Anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue S/.50 menos que anteayer. ¿Cuántos soles me faltan para comprarme un pantalón que cuesta S/.60? a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/. 50 d) S/: 20 e) S/. 35
19. La suma de tres números es 73; si el mayor es el triple del menor y además excede al del medio en 4. ¿Cuál es el número intermedio?. a) 12 b) 18 c) 23 d) 29 e) 36 20. La suma de tres números es 84; el número medio es el doble del menor y el mayor el doble del número medio. Hallar el mayor de dichos números. a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 55 21. Entre Ana, Pedro y Luisa tienen 640 soles. Si Ana tiene el doble de lo que tiene Pedro, y éste el triple de lo que tiene Luisa, ¿cuánto dinero tiene Ana? a) 364 soles b) 324 c) 384 d) 412 e) 392 22. Betty tiene el triple que Ana y Carmen S/.8 más que Betty. Si entre las tres tienen S/.71, ¿cuánto tiene Carmen? a) S/.30 b) 9 c) 27 d) 36 e) 35
25. Hoy tengo el triple de lo que tuve ayer, y ayer tuve la quinta parte de lo que tendré mañana. Si las tres cantidades fuesen todas 4 soles menos, resultaría entonces que la cantidad de hoy sería el cuádruple de la cantidad de ayer; ¿Cuánto tengo hoy? a) S/ 12 b) S/ 36 c) S/ 60 d) S/ 48 e) S/ 54 26. Entre Ronald, Adolfo y Jorge tienen 35 cervezas. Ronald tiene 6 cervezas más que Adolfo y Jorge tiene 7 cervezas menos que Adolfo. ¿Cuántas cervezas tiene Ronald? a) 12 b) 18 c) 5 d) 21 e) 20 27. María reparte su fortuna entre sus tres novios: al primero le da el doble de lo que le dio al segundo y al tercero $ 2000 más que al segundo. Si su fortuna fue de $22000, ¿cuánto le tocó al tercero? a) $ 8000 b) 6000 c) 5000 d) 7000 e) 9000 28. Blas reparte su fortuna del modo siguiente: a Fernando le da la mitad, a Alfredo la séptima
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JOHN MAMANI M. parte y a Letty los 2000 dólares restantes. ¿Cuál era la fortuna de Blas? a) S/. 5 600 b) 6 000 c) 4 200 d) 2 800 e) 5 800 29. En una reunión hay 5 hombres más que mujeres; luego llegaron un grupo de personas cuyo número es igual al de los hombres inicialmente presentes; de modo que en la reunión todos están en parejas y hay 50 hombres en total. Hallar el número de mujeres inicialmente presentes. a) 20 b) 60 c) 30 d) 10 e) 40 30. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? a) 190 b) 188 c) 176 d) 197 e) 181 31. En un corral hay cierto número de gallinas. Tres quintos de dicho número son gallinas de color blanco, la tercera parte son negras y las 40 restantes son marrones. ¿Cuántas gallinas había en dicho corral? a) 600 b) 550 c) 280 d) 420 e) 500 32. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves el doble de lo que gané el miércoles, el viernes S/.30 menos que el jueves y el sábado S/.10 más que el viernes. Si en los seis días he ganado S/.911, ¿cuánto gané el miércoles? a) S/.124 b) 131 c) 133 d) 126 e) 132
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33. Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes, si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás; tu dinero sería igual al que yo tengo que es 75 soles más de lo que tú tienes. ¿Cuánto dinero tendrías si tuvieses el doble de lo que tenías, más lo que tendrás? a) S/ 102 b) S/ 103 c) S/ 104 d) S/ 105 e) S/ 106 34. Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tú tendrás ¿Cuánto tenías? a) 120 b) 140 c) 340 d) 162 e) 178 35. Tú tienes la mitad de lo que tenías y después del negocio que hagas tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendría lo que yo tengo, que es S/. 81 más de lo que tú tendrás. ¿Cuántos soles tenemos entre los dos? a) S/. 114 b) S/. 159 c) S/. 216 d) S/. 189 e) S/. 169 36. Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy entonces me quedaría sin dinero alguno; pero en cambio, si ayer hubiese gastado la mitad de lo que gaste, hoy tendría para gastar S/. 10 más de lo que gaste realmente ayer. ¿Cuánto gaste ayer? a) S/. 14 b) S/. 159 c) S/. 6 d) S/. 10 e) S/. 9
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JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES V PROBLEMA 01 El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay? a) 7 b) 8 c) 4 d) 10 e) 2
Igualando: (1) = (2) n + 3= 2(n − 3) n + 3 = 2n − 6 n=9 Remplazando en (1) “n” n+ 3 = x → 9+ 3 = x x = 13
Resolución Número de mujeres = x Número de hombres = 5x Por dato del problema: x + 5x = 42 6 x = 42 x=7
PROBLEMA 03 Si se forman filas de 7 niños sobran 5, pero faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6 niños c/u. ¿Cuántos niños son? a) 45 b) 49 c) 50 d) 60 e) 47
Resolución
PROBLEMA 02 Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se posa 2 palomas quedan 3 postes libres ¿Cuántas palomas hay? a) 12 b) 13 c) 8 d) 9 e) 10
Resolución
# de niños=x # de filas=n … (1) = x 7n + 5 x = 6(n + 3) − 7 … (2) Igualando: (1) = (2) 7n + 5= 6(n + 3) − 7 … (3) n=6 Remplazando (3) en (1) = x 7(6) + 5
Sea:
Nº de postes: n Nº de palomas: x Del enunciado: … (1) n+ 3 = x 2(n − 3) = x … (2)
x = 47
¡Comprueba lo que sabes! 01. En un corral el número de gallos es el cuádruplo del número de gallinas, si se venden 4 gallos y 4 gallinas, entonces el número de gallos es 6 veces el número de gallinas. ¿Cuántas aves habían inicialmente? a) 33 b) 63 c) 40 d) 50 e) 95 Academia GAUUS
02. En una caja registradora hay 2400, en billetes de 10 soles y 100 soles. Si hay doble número de las primeras que de las segundas. ¿Cuántos billetes hay de 10 soles hay? a) 20 b) 60 c) 30 d) 10 e) 40
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JOHN MAMANI M. 03. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número a) 160 b) 300 c) 320 d) 480 e) 360
10. La suma de dos números es 88; el mayor es el triple del menor disminuido en 12. Hallar la diferencia de dichos números. a) 32 b) 36 c) 38 d) 40 e) 28
04. Si al cuadrado de la cantidad que tengo le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 24 soles. ¿Cuánto tengo? a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 7
11. Entre A y B tienen 9007 soles; si A tiene el triple de lo que tiene B más 7 soles. ¿Cuál es la diferencia de ambos? a) 4 507 b) 4 267 c) 3 507 d) 3 267 e) 3 567
05. El cuádruplo de la tercera parte de un número, aumentado en su novena parte es igual a 13. Indicar el triple de dicho número. a) 21 b) 24 c) 27 d) 30 e) 33
12. La suma de dos números es 300 y su cociente es 4. Hallar la diferencia de dichos números. a) 120 b) 180 c) 240 d) 300 e) 320
06. Dividir 260 en 2 partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Hallar el mayor de ellos. a) 200 b) 180 c) 150 d) 190 e) 195 07. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro y un gato, cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato cinco. ¿Cuántos perros hay? a) 4 b) 6 c) 5 d) 10 e) 12 08. Andrea cortó una soga de 79m de largo en 2 partes, la parte mayor tiene 21 metros más que la parte menor. ¿Qué longitud tiene cada parte? a) 29 b) 49 c) 59 d) 39 e) 14 09. La suma de dos números es 370, el mayor excede al menor en 50. Hallar el menor de los números. a) 120 b) 140 c) 160 d) 180 e) 200
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13. Entre Arturo y Guillermo tienen 2 400 soles, si Arturo le da a Guillermo 500 soles, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto tiene Arturo? a) 1200 b) 1500 c) 1700 d) 1900 e) 2100 14. La suma de dos números es 160 y su diferencia es 136. Hallar el producto de los números encontrados. a) 1776 b) 1 557 c) 1876 d) 2117 e) 2 577 15. La suma de dos números es 141. Si el mayor excede al menor en 55, hallar el número mayor. a) 120 b) 112 c) 106 d) 98 e) 99 16. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en el segundo piso? a) 12 b) 16 c) 24 d) 8 e) 32 17. Juanito tenía 90 pelotitas y regalo 8 veces tantas pelotitas como las que no regalo. Calcular la quinta parte de las pelotitas que quedan. Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 10 d) 15
b) 2 e) 5
c) 16
18. La suma de tres números es 72. El segundo es un quinto del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar el menor número. a) 16 b) 22 c) 8 d) 6 e) 10 19. Alberto tiene 2 veces más huevos de lo que tiene Juan. Si Alberto le diera 15 huevos a Juan entonces tendría la misma cantidad. ¿cuánto tienen los dos? a) 90 b) 60 c) 45 d) 15 e) 30 20. Si compro 10 plumones y 20 lapiceros, gasto 70 soles. Sabiendo que el precio de cada plumón excede en un sol al del de un lapicero. ¿cuánto cuesta un plumón? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 0,6 21. Entre dos personas tienen 196 soles. Si una de ellas diera 8 soles a la otra, los dos tendrían igual suma. Una de ellas tiene: a) 80 b) 90 c) 75 d) 86 e) 100 22. La diferencia de 2 números es 36. Si el mayor disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. Hallar el producto de los números dados. a) 328 b) 334 c) 234 d) 330 e) 352 23. 140 excede al doble de un número en tanto como el triple de dicho número excede a su tercera parte. Hallar los dos tercios de dicho número. a) 20 b) 30 c) 15 d) 25 e) 35 24. Subiendo las escaleras de 3 en 3 José da tres pasos más que subiendo de 5 en 5. ¿cuántos peldaños tiene la escalera? Academia GAUUS
a) 20 d) 60
b) 35 e) 50
c) 45
25. El multiplicador de una multiplicación es 1/12 del multiplicando. Cuando ambos se aumentan en 4, el producto aumenta en 1 212. ¿Cuál es el multiplicando? a) 276 b) 101 c) 240 d) 296 e) 202 26. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del segundo. El consecutivo de la suma de los 2 números es: a) 18 b) 17 c) 19 d) 20 e) 21 27. Dos números naturales son tales que si se les resta 6 y tres respectivamente, su producto es igual a 2. ¿Cuál es la suma de dichos números? a) 14 b) 18 c) 12 d) 20 e) 16 28. Si la diferencia de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 24. La diferencia de sus cubos es: a) 92 b) 90 c) 100 d) 112 e) 96 29. En 3 kilos de naranjas vienen de 10 a 15 naranjas; entonces el máximo peso de 30 naranjas sería. a) 6 b) 9 c) 12 d) 10 e) 15 30. Me falta para tener 486 soles el doblé de lo que me falta para tener 384 soles. ¿Cuánto tengo? a) 300 b) 184 c) 292 d) 164 e) 196 31. En un salón de clase, el número de alumnos excede al duplo de las alumnas en 2, pero si se disminuye 5 alumnos y se aumenta 10 alumnas, el número de alumnos y alumnas se
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JOHN MAMANI M. igualarían. Hallar el total de alumnos y alumnas. a) 36 b) 54 c) 23 d) 47 e) 41 32. La suma de tres números es 73; si el mayor es el triple del menor y además excede al del medio en 4. ¿Cuál es el número intermedio?. a) 12 b) 18 c) 23 d) 29 e) 36 33. La suma de tres números es 112, sabiendo que el medio es la mitad del mayor y el menor la mitad del medio. Hallar el número menor. a) 12 b) 16 c) 19 d) 24 e) 28 34. La suma de tres números es 84; el número medio es el doble del menor y el mayor el doble del número medio. Hallar el mayor de dichos números. a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 55 35. Pedro tiene S/. 1 600, Sonia y Pedro tienen el doble de lo que tiene Alfredo y lo que tiene Alfredo más lo que tiene Pedro es igual a lo que tiene Sonia más S/. 1 900. ¿Cuánto tienen los tres en total? a) 2 800 b) 3 200 c) 3 900 d) 4 100 e) 4 500 36. El exceso de 8 veces un número sobre 800 equivale al exceso de 880 sobre cuatro veces el número. Hallar el número a) 140 b) 120 c) 160 d) 100 e) 80
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37. ¿Cuántas monedas de S/.2 debo de entregar para pagar una deuda de S/.29. Si tengo diez monedas de S/.5 y S/.2 soles? a) 6 b) 7 c) 4 d) 2 e) 1 38. Ángel le dice a su hermano: la cantidad de dinero que tengo excede a lo que tú tienes en 20. A lo que su hermano le dice: es cierto, pero si nuestro padre nos diera S/. 5 a cada uno entonces, tu dinero y el mío estarían en relación de 7 a 3, respectivamente. Halle la cantidad inicial de dinero que tenía Ángel. a) S/.13 b) S/.7 c) S/.30 d) S/.20 e) S/.10 39. En un aula los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitaran 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes? a) 20 b) 16 c) 32 d) 21 e) 36 40. Para ganar S/.180 en la rifa de un televisor, se hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75 boletos y originándose así una pérdida de S/.45. ¿Cuál es el valor de dicho televisor? a) S/.110 b) S/.140 c) S/.330 d) S/.420 e) S/.260 41. La suma, diferencia y producto de dos números, están en la relación de 10, 6 y 40. Hallar el producto de los números. a) 160 b) 70 c) 100 d) 120 e) 150
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JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES VI PROBLEMA 01 En un salón de clases, antes del recreo el número de varones es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo hay 8 varones y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de varones a mujeres es como 7 es a 4 ¿Cuántos varones habían después del recreo? a) 28 b) 26 c) 16 d) 20 e) 36
Resolución
V = 9k V 9 = ⇒ M 5 M = 5k Después del recreo 9k − 8 7 = 5k − 4 4 36k − 32 = 35k − 28 k=4 Después del recreo el número de varones es: 9k − 8= 9(4) − 8 = 28
Sea V=varones y M=mujeres
¡Comprueba lo que sabes! 01. El número de niños y niñas en una fiesta infantil está en la relación de 2 a 3, pero si se aumentan 9 parejas, entonces el número de niños y niñas estarían en la relación de 3 a 4. Hallar el número de niños. a) 27 b) 36 c) 18 d) 54 e) 30 02. En un nido infantil: la relación entre niños y niñas es de 4 a 3. Si después de 2 horas, 8 niños son recogidos por sus mamás y a la vez llegan 5 niñas, entonces la nueva relación es de 2 a 7. ¿Cuántas niñas quedan en el nido? a) 9 b) 14 c) 12 d) 18 e) 10 03. En una fiesta los hombres y mujeres asistentes están en la relación de 3 a 1. Después de transcurridas 6 horas se retiran 20 parejas y ocurre que la nueva relación de hombres a mujeres es de 5 a 1. Entonces, el número original de asistentes a la fiesta fue de: a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240 04. Lo que cobra y a gasta un profesor suman S/. 600 lo que gasta y lo que cobra está en Academia GAUUS
relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea 3 a 5? a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 40 05. Lo que cobra y gasta semanalmente una persona está en la relación de 7 a 3. Si esta persona ahorra 480 soles en un mes, ¿En cuánto debe disminuir su gasto mensual, para que la relación entre lo que cobra y gasta sea de 21 a 5? a) 120 d) 140 c) 150 d) 160 e) 200 06. En una fiesta la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 6 mujeres y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuantas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1. a) 21 b) 24 c) 22 d) 20 e) 23 07. A una fiesta infantil concurrieron 484 niños, entre varones y mujeres; asistiendo 7 varones por cada 4 mujercitas. Si luego de hora y
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JOHN MAMANI M. media; por cada 5 varones hay 2 niñas, el número de parejitas que se retiran es: a) 89 b) 88 c) 86 d) 85 e) 84 08. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando dos niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. ¿Cuál el número inicial de niñas? a) 12 b) 40 c) 25 d) 60 e) 92 09. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? a) 2/3 b) 4/5 c) 1/3 d) 3/4 e) 5/3 10. En una fábrica trabajan 240 personas y se observa que por cada 4 hombres hay 1 mujer. ¿Cuántas mujeres deben contratarse de tal forma que se tenga 3 hombres por cada 2 mujeres? a) 50 b) 60 c) 70 d) 75 e) 80 11. En una ciudad se observa que existe 5 gatos por cada 2 ratones pero un virus elimina 5 ratones por cada 2 gatos, sobreviviendo 84 gatos y ningún ratón ¿Cuántos ratones habían inicialmente? a) 60 b) 100 c) 50 d) 40 e) 22 12. En una fiesta de cachimbos se observa que por cada 5 varones hay 3 mujeres y por cada 2 que bailan, 3 no bailan. ¿En qué relación están los varones y mujeres que no bailan? a) 13 a 5 b) 17 a 7 c) 8 a 7 d) 15 a 7 e) 17 a 8 13. En una reunión el número de mujeres asistentes es al número de mujeres que no bailan como 10 es a 3, si todos los hombres
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estaban bailando y son 20 más que las mujeres que no bailan. ¿Cuántas personas hay en una reunión? a) 70 b) 85 c) 90 d) 35 e) 100 14. En un determinado instante de una fiesta, el número de hombres que no baila es al número de personas que están bailando como 5 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 7 es a 8. Encuentre la cantidad de hombres en la fiesta si el total de personas en la fiesta es de 180. a) 60 b) 70 c) 55 d) 90 e) 80 15. En una reunión se observa a 102, personas entre varones y mujeres. En un momento se observa que la cantidad de varones que bailan y las mujeres que no bailan están en la relación de 2 a 1, respectivamente, además, el total de personas que bailan en ese momento es tres veces más la cantidad de varones que no bailan. Determine cuantas personas no bailan en este momento. a) 34 b) 36 c) 44 d) 46 e) 26 16. En un cierto momento en una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6; además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 2. Encontrar el número de damas que están bailando, si el total de personas que asistieron a la fiesta es 455. a) 56 b) 84 c) 215 d) 105 e) 300 17. En una reunión hay 80 personas, el número de varones es al de mujeres como 3 es a 5. Si luego llegaron 40 varones y n mujeres, entonces la relación ahora es de 4 a 6, respectivamente. Halle n. a) 36 b) 34 c) 24 d) 40 e) 55 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PLANTEO DE ECUACIONES VII Resolviendo:
PROBLEMA 01 Aurora recibió tres dólares, tuvo entonces tres veces más de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7
Resolución Sea “x” el dinero de Aurora al inicio Recibió tres dólares: x+3 Si hubiera perdido lo recibido: x − 3 Recuerde que “3 veces más que un número” equivale a decir: el cuádruplo del número Luego, planteando la ecuación x + 3= 4 ( x − 3 )
Operando:
Entre dos personas tienen 600 soles, si uno de ellos diera 100 soles al otro, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene uno de ellos? a) 350 b) 250 c) 400 d) 300 e) 450
Sea “ x ” lo que tiene la 1ra persona Entre los ambos tienen 600 soles, podemos suponer que la 2da persona tiene: 600 − x
Resolviendo: = 15 3x ⇒ x=5
PROBLEMA 02 Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta quedó disminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron? a) 49 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
Resolución Sea “x” el número de personas al inicio
Quedó disminuida en sus 2/9:
PROBLEMA 03
Resolución
x + 3 = 4x − 12
Se retiran 14 personas:
7 x − 14 =x 9 9x − 126 = 7x 2x = 126 x = 63 Quedaron en la reunión: 63 − 14 = 49
x − 14 2 x− 9
Cuando dice: “Si uno diera al otro 100 soles, ambos tendrían la misma cantidad”, significa que la diferencia entre ambos es el doble de 100: x − (600 − x) = 200
Resolviendo: x − 600 + x = 200 2x = 800 x = 400 Lo que tienen ambos es: 1ra. persona: 400 soles 2da. persona: 600 − 400 = 200 soles Uno de ellos tiene 400 soles
Del enunciado tenemos: x − 14 =x −
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2 x 9
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 04
PROBLEMA 05
Elías dice a Aurora: “Si me das S/. 7, tendré el doble de lo que posees tú.”, y Aurora le contesta:, “Tú tienes más que yo, pues si me das S/. 5 tendríamos cantidades iguales.” ¿Cuánto tiene Elías? a) S/. 42 b) S/. 53 c) S/. 48 d) S/. 49 e) S/. 41
Manuel compra la mitad de un rollo de alambre, menos 12 metros. Raúl compra un tercio del mismo rollo, más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Manuel. ¿Cuántos metros compró Manuel? a) 52 m b) 60 m c) 72 m d) 44 m e) 50 m
Resolución
Resolución
En este problema utilizaremos dos variables. Sean
Lo que tiene Elías: Lo que tiene Aurora: Traduciendo el enunciado: 1ro Elías dice a Aurora:
x y
x + 7= 2(y − 7) …. (1)
2do Aurora contesta: x−5= y+5
Sea: “x” metros medida del rollo de alambre x Manuel compra: − 12 … (*) 2 x Raúl compra: +4 3 Como lo que compra Raúl es 8 metros menos que Manuel, podemos afirmar que: x x 8 − 12 − + 4 = 2 3
….. (2)
De (2), despejando tenemos: y= x − 10 ….. (3) Reemplazando (3) en (1) tenemos: x+= 7 2 (x − 10) − 7 Resolviendo:
x + 7= 2(x − 17) x + 7 = 2x − 34 = x 34 + 7 x = 41 En la ecuación (3) hallamos el valor de “y”
= y 41 − 10 y = 31
Resolviendo: x x − 12 − − 4 = 8 2 3 x x − = 24 2 3 x = 144 Para saber cuento compró Manuel, debemos reemplazar en (*): 144 − 12 = 72 − 12 = 60 2 Manuel compró 60m
Por lo tanto, Elias tiene: S/. 41
¡Comprueba lo que sabes! 01. Compre el cuádruple de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 animales más de cada clase, tendría triple número de caballos que de vacas. Dar la diferencia de caballos y vacas. a) 40 b) 10 c) 30 d) 25 e) 60
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02. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces al número de damas, después que se retiran 8 parejas, el número de caballeros que aún quedan, es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente?
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 36 d) 30
b) 48 e) 16
c) 32
03. En una reunión, si los integrantes se sientan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2 quedarían de pie 18 integrantes ¿Cuántos son los integrantes de la reunión? a) 78 b) 156 c) 39 d) 30 e) 60 04. En una iglesia, si se sientan de 3 en 3 se quedarían de pie 8 personas y si se sientan de 4 en 4 sobrarían 1 banca. Calcular el número total de personas. a) 55 b) 64 c) 44 d) 91 e) 46 05. En una asamblea, si las personas se sientan de 4 en 4 sobrarían 3 bancas y si se sientan de 2 en 2, se quedarían de pie 20 personas ¿Cuántas personas hay en la asamblea? a) 60 b) 55 c) 57 d) 62 e) 52 06. En una iglesia, si se sientan de 4 en 4 se quedarían de pie 8 personas y si se sientan de 5 en 5 sobrarían 3 bancas. Calcular el número total de personas. a) 50 b) 60 c) 80 d) 90 e) 100 07. Un estante puede llenarse con 12 libros de RM y 10 libros de RV, ó 18 de RM y 6 de RV ¿Con cuántos libros solo de RM se llena el estante? a) 42 b) 33 c) 27 d) 24 e) 45 08. Sobre un estante se puede colocar 24 libros de RM y 20 libros de RV, ó 36 de RM y 15 libros de RV ¿Cuántos de RM únicamente entraran en el estante? a) 8 b) 24 c) 240 d) 120 e) 72 09. Tengo S/. 52 entre monedas de 5 y 2 nuevos soles. Si el número de monedas de 5 nuevos Academia GAUUS
soles excede en 2 al número de monedas de 2 nuevos soles. Halle la cantidad total de monedas que tengo. a) 13 b) 11 c) 10 d) 14 e) 12 10. Tengo 56 soles entre monedas de 10 y 2 soles. Si el número de monedas de 10 soles excede en 2 al número de monedas de 2 soles, halle la cantidad total de monedas que tengo. a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 11 11. Juan tiene (2 x − 4) , ( x + 2) y ( x − 2) billetes de S/.10, S/.20 y S/.50 respectivamente. ¿Cuánto tendrá ahorrado, si al cambiarlos a billetes de S/.100 obtiene el mismo número de billetes de S/.50 que tenía inicialmente? a) 800 b) 250 c) 1 250 d) 980 e) 620 12. Los ahorros de un niño constan de ( x + 1) ; (3 x − 5) y ( x + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros, si al cambiarlos en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles? a) S/.400 b) S/.410 c) S/.420 d) S/.430 e) S/.450 13. Un salón está iluminado por 48 focos y otro salón está a oscuras. Si en el primer salón se apagan 4 focos y en el segundo se encienden 2, y esta operación se repite hasta que ambos salones queden con igual número de focos encendidos, entonces el número total de focos encendidos es: a) 30 b) 34 c) 36 d) 32 e) 28 14. En un cuarto hay 90 focos encendidos y en otro un número igual de focos apagados. Si por cada 3 focos que se apagan del primero se encienden 2 del otro, ¿Cuántos se
397
JOHN MAMANI M. encendieron hasta que hubo igual cantidad de focos encendidos en ambos cuartos? a) 36 b) 40 c) 18 d) 20 e) 54 15. En dos habitaciones de un local hay 120 focos, de los cuales hay un cierto número de focos prendidos, luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los focos apagados, resultando que el nuevo número de focos prendidos es el triple de los apagados ¿Cuantos focos estaban prendidos inicialmente? a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70 16. En 2 habitaciones hay un total de 90 focos, de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente? a) 50 b) 40 c) 45 d) 55 e) 60 17. De dos velas de igual calidad una tiene 18cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 20 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la mayor duró 300 minutos en total? a) 88cm b) 90cm c) 92cm d) 94cm e) 100cm 18. Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en 12cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado, la longitud de uno es el cuádruple de la del otro y media hora después se termina el más pequeño. Si el mayor dura 4 horas, su longitud era: a) 24cm b) 28cm c) 32cm d) 30cm e) 48cm
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19. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el segundo, en 3 horas. Si cada cirio se quemó en forma constante. ¿Dentro de cuantas horas, después de haber encendido los cirios, la altura del primero es el doble que la altura del segundo? a) 2 2 h
b) 2 5 h
d)
e)
5 33h 7
2 1 5 h 2
c) 3 1 h 2
20. Ayer por noche, mientras estudiaba se fue la luz, inmediatamente encendí dos velas del mismo tamaño y seguí trabajando hasta que arreglaron la avería y apague las velas. Al día siguiente quise averiguar cuánto duro el apagón, pero no sé cuándo empezó ni cuando termino, solo me recuerdo que la primera vela estaba previsto que durara 5 horas y la segunda 4 horas. ¿Cuánto tiempo duro el apagón si la primera vela se había quedado tres veces más grande que la segunda? a) 3h 20min b) 2h 40min c) 3h 45min d) 3h 12min e) 3h 10min 21. En una familia, el hermano mayor dice “Mis hermanos son el doble de mis hermanas”. Y la hermana mayor dice: “Tengo 5 hermanos más que hermanas” ¿Cuántas hijas tiene la familia? a) 9 b) 11 c) 3 d) 10 e) 8 22. Sandra dice: “Yo tengo tantos hermanos como hermanas tengo”; pero Roberto hermano de Sandra dice: “Tengo la mitad de Hermanos que de Hermanas”, ¿Cuántos somos en total? pregunta Andrés, hermano de Sandra. a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11 23. En una familia se cuenta varios niños y niñas. Alguien les pregunto: ¿Cuántos son? y la niña mayor responde que tiene tantos hermanos Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. como 5 veces el número de hermanas; pero el niño mayor dijo que tenía tantos hermanos como 3 veces el número de hermanas. ¿Cuántos niños son en total? a) 13 b) 9 c) 3 d) 10 e) 11
agua por día. Ahora que la población se ha aumentado en 40 habitantes a cada uno de ellos les corresponde 58 litros de agua por día. Hallar la población actual. a) 1000 b) 1100 c) 1200 d) 900 e) 800
24. A un alambre de 38 metros se le ha hecho dos cortes de tal manera que la longitud de cada trozo sea igual al anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo menor? a) 18 b) 10 c) 8 d) 12 e) 9
29. Lo que cobra y a gasta un profesor suman S/. 600 lo que gasta y lo que cobra esta en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea 3 a 5? a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 40
25. A un alambre de 122cm de longitud se le ha hecho 2 cortes, la longitud de cada trozo es igual a la longitud del inmediato anterior más 1/4 de ésta longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? a) 48 d) 50 c) 60 d) 62 e) 54
30. Lo que cobra y gasta semanalmente una persona está en la relación de 7 a 3. Si esta persona ahorra 480 soles en un mes, ¿En cuánto debe disminuir su gasto mensual, para que la relación entre lo que cobra y gasta sea de 21 a 5? a) 120 d) 140 c) 150 d) 160 e) 200
26. A un alambre de 91 metros de longitud se le da tres cortes de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? a) 43,10 d) 25,20 c) 37,80 d) 38,00 e) 40,30 27. En un pueblo correspondía a cada habitante 60 litros de agua por día. Hoy ha aumentado la población en 40 habitantes y corresponde a cada uno 3 litros menos. El número de habitantes del pueblo es: a) 660 b) 700 c) 440 d) 720 e) 800
31. Mis camisas son de colores verdes, azules y blancos. Si todas mis camisas son blancas, menos cuatro; todas son azules, menos cuatro; y todas son verdes, menos cuatro. ¿Cuántas camisas y tengo en total? a) 16 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 32. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 4 niños, los restantes reciben 5 caramelos más. ¿Cuántos niños había inicialmente? a) 20 b) 16 c) 25 d) 15 e) 30
28. Cuando se instaló agua a una población correspondía a cada habitante 60 litros de Academia GAUUS
399
JOHN MAMANI M. 33. A una fiesta asistieron 20 personas, Silvia bailó con 7 muchachos, Nancy con 8, Jaki con 9 y así sucesivamente hasta llegar a katty que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos habían en la fiesta? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 34. Cada alumno recibe diariamente 36 hojas para su práctica calificada. Si el número de alumnos aumenta en 960 y no varia la dotación diaria de hojas, cada alumno ahora recibe 6 hojas menos. Ahora ¿Cuántos alumnos son en total? a) 3460 b) 5760 c) 4360 d) 7560 e) 4800 35. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8. a) 13 b) 10 c) 7 d) 3 e) 8 36. Si reparto tantos caramelos como niños hay, me faltan 2; pero si doy un caramelo a cada niño me sobran 70 caramelos. ¿Cuántos caramelos tengo? a) 70 b) 79 c) 80 d) 68 e) 54 37. Con las alumnas de un salón de clase se puede conformar un número exacto de equipos de voley (6 jugadoras por quipo) y con los alumnos del salón; el mismo número de equipos diferentes, pero de basket (5 jugadores por equipo). Se sabe que en el salón hay 5 alumnas más que alumnos. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay? a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60
400
38. En una reunión se encuentran tantos caballeros como 3 veces el número de damas, después se retiran 8 parejas; el número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? a) 10 b) 42 c) 45 d) 48 e) 24 39. La raíz cuadrada de la mitad de un enjambre se ha ido a un manzano, los 8/9 del enjambre se fue a un capulí; mientras la única abeja que quedó en la colmena da vuelta al rededor del único zángano que la acompaña. ¿Cuál era el tamaño del enjambre? a) 64 b) 72 c) 68 d) 76 e) 80 40. En una granja se tienen: palomas; loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves; sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el número de palomas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 41. Si me das 2 soles, tendré tanto como tú tengas; pero si te doy 3 soles, tú tendrás el doble de lo que yo tenga. ¿Cuánto tienes? a) 13 b) 17 c) 12 d) 16 e) 18 42. En una reunión hay 5 hombres más que mujeres; luego llegaron un grupo de personas cuyo número es igual al de los hombres inicialmente presentes; de modo que en la reunión todos están en parejas y hay 50 hombres en total. Hallar el número de mujeres inicialmente presentes. a) 20 b) 25 c) 30 d) 32 e) 35 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 43. Con los alumnos de un aula se formó un cuadrado compacto y sobran 9 alumnos para que se forme un cuadrado compacto sin que sobre ningún alumno tendría que haber 18 alumnos más como mínimo. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? a) 178 b) 181 c) 154 d) 205 e) 126 44. En lugar de caminar a lo largo de los dos lados de un patio rectangular, un niño toma la diagonal del rectángulo y se economiza una distancia igual a la mitad del lado mayor. La razón del lado menor a la mayor es: a) 1/2 b) 2/3 c) 1/4 d) 3/4 e) 2/5 45. Con 3125 soles se pueden hacer tantos grupos iguales con monedas de 5 soles como monedas tenga cada grupo, la suma de las cifras del número que representa el valor, en soles de cada grupo es: a) 8 b) 11 c) 7 d) 10 e) 13 46. En una fiesta hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como hombres sentados. Luego se observa que todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentran sentados. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? a) 56 b) 65 c) 45 d) 54 e) 35 47. En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 14 de éstos y los colocamos dentro de la otra, logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menos de éstos? Academia GAUUS
a) 18 d) 28
b) 20 e) 16
c) 14
48. Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles cada una y además le regalan 4 por cada 19 que compra, recibiendo en total 391 carteras. ¿Cuál fue la inversión del comerciante? a) 2242 b) 24522 c) 24225 d) 42225 e) 25422 49. Si por S/. 200 pudieran ingresar 6 personas más de las que ingresan normalmente al teatro, entonces el valor de una docena de entradas costaría S/. 90 menos. ¿Cuánto cuesta en soles, cada entrada al teatro? a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/. 15 d) S/. 20 e) S/. 24 50. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas; pero tanto en las sillas como en las mesas, obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió, si las mesas las vende a S/.360 más que las sillas y recaudó S/.9600 en total? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 51. Se tiene un cajón de 84 manzanas de 10gr cada uno y otro cajón con 54 manzanas de 25gr cada uno. ¿Cuántas manzanas deben intercambiarse para que sin variar el número de manzanas de cada cajón, ambas adquieran el mismo peso? a) 16 b) 15 c) 18 d) 19 e) 17 52. Con motivo de la navidad los hijos de Toribio decidieron hacerle un regalo. Nancy propuso dar cada uno 5 soles, pero faltó 5 soles para el regalo, por lo que decidieron aportar cada uno 8 soles; de esta manera aún sobró 10
401
JOHN MAMANI M. soles después de comprar el regalo. ¿Cuál es el precio del regalo? a) 30 b) 35 c) 25 d) 40 e) 5 53. En 2 habitaciones hay un total de 90 focos, de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente? a) 50 b) 40 c) 45 d) 55 e) 60 54. Una persona realiza la rifa de un televisor para pagar una deuda que tiene. Si la persona vende todas sus 400 rifas, pagará la deuda y aún le queda S/.40 de ganancia, pero si vende solamente 260 rifas, no podrá pagar su deuda y le quedará una pérdida de S/.45. Si la deuda asciende a S/.615, ¿Cuántas rifas tendrá que vender para pagar solamente S/.300 de su deuda? a) 153 b) 155 c) 329 d) 108 e) 225 55. Se ha ofrecido a 20 parejas de novios dos pavos por pareja. Si en el momento de la repartición se observa que habrían desaparecido cierta cantidad de pavos. Ordenándose traer tantos pavos como la mitad de los que quedaron, más cuatro pavos. ¿Cuántos pavos se ordenaron traer? a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 56. Un edificio tiene 4 pisos; el número de habitaciones de cada piso son números enteros consecutivos crecientes; y cada habitación del edificio tiene tantas ventanas
402
como habitaciones hay en el respectivo piso. Si el número de ventanas del último piso y el número de habitaciones del primer piso suman 69. ¿Cuántas habitaciones hay en el último piso? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e)9 57. En una reunión habían tantas chicas por cada chico, como chicos habían. Si en total hay 420 personas entre chicas y chicos. ¿Cuántas chicas quedaron luego que cada uno de la mitad de chicos se retiren acompañados de 4 chicas? a) 260 b) 360 c) 320 d) 300 e) 240 58. En una ciudad se observa que existen 5 gatos por cada 2 ratones, pero un virus elimina 5 ratones por cada 2 gatos, sobreviviendo 84 gatos y ningún ratón. ¿Cuántos ratones había inicialmente? a) 40 b) 42 c) 48 d) 50 e) 62 59. Al término de una reunión, hubieron 28 estrechadas de mano. Suponiendo que cada uno de los participantes fue cortes con cada uno de los demás, el número de personas presentes fue: a) 14 b) 56 c) 28 d) 8 e) 7 60. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 21 segundos. Si se escucharon tantas campanadas como 10 veces el tiempo que hay entre campana y campana. ¿Cuánto tiempo empleara este campanario para tocar 7 campanadas? a) 10s b) 8s c) 9s d) 7s e) 6s Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. Si al producto de tres números consecutivos se le agrega el número que no es mayor ni el menor de ellos, se obtiene 8000. Determine la suma de los números. a) 60 d) 80
b) 100 e) 50
UNAP–ING–2012
c) 90
02. La suma de los cuadrados de 3 números naturales consecutivos es igual a la suma de los cuadrados de los siguientes 2 consecutivos. ¿Cuál es el menor de ellos? a) 10 d) 14
b) 13 e) 12
CEPREUNA–2010
c) 11
03. A una fracción propia de términos consecutivos se le añade 2 unidades a cada término. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la original. Halle la fracción original. a) 3/4 d) 7/4
b) 1/4 e) 5/4
UNAP–2005/CEPREUNA–2005
c) 9/4
04. Existen dos números consecutivos; el menor excede en 81 a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor. Halle la suma de las cifras del menor. a) 5 d) 9
b) 6 e) 8
CEPREUNA–ING–2012
c)7
05. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del segundo. ¿Cuál es el número consecutivo obtenido de la suma de los dos números? a) 21 d) 16
b) 19 e) 18
CEPREUNA–SOC–2012
c) 17
06. Halle dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. ¿Cuál es el consecutivo del mayor de dichos números?
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
07. En un edificio de cuatro pisos, el número de habitaciones de cada piso son números consecutivos decrecientes a partir del primer piso, además cada habitación del edificio tiene tantas ventanas como habitaciones hay en el piso. Si el número de ventanas del último piso y el de habitaciones del primer piso suman 9. ¿Cuántas habitaciones hay en el edificio? a) 14 d) 13
b) 17 e) 16
CEPREUNA–ING–2014
c) 12
08. Determine el número mayor de 3 números consecutivos, si el cociente del mayor entre el menor es igual a 0,3 del intermedio a) 8 d) 6
b) 10 e) 16
UNAP–EXT–2013
c) 5
09. A cierto número par se le suma dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose en total 968. ¿Cuál es la suma de los dígitos de este número? a) 16 d) 12
b) 14 e) 13
UNAP–EXT–2010
c) 15
10. 5 veces, la suma de un número con 3 es igual a 40. Hallar el número. a) 2 d) 6
b) 4 e) 5
UNAP–SOC–2014
c) 7
11. El triple de un número aumentado en su mitad es igual a 28. Hallar el número. a) 5 d) 8
b) 6 e) 4
UNAP–SOC–2014
c) 7
UNAP–EXT–SOC–2015
Academia GAUUS
403
JOHN MAMANI M. 12. El dinero que tiene Paco, aumento en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenia Paco? a) 480 d) 740
b) 540 e) 840
UNAP–EXT–2014
c) 640
13. Halle un numero tal que al exceso del triple de el sobre 5 equivale al cuadrado del exceso del numero sobre 5. a) 15 d)9
b) 12 e) 8
CEPREUNA–2010
c) 10
14. Si a un número entero se le agrega dos ceros a la derecha, dicho número aumenta en 78111 unidades. El numero mencionado es: a) 987 d) 689
b) 879 e) 589
CEPREUNA–SOC–2012
c) 789
15. Hallar la cantidad de dinero en el bolsillo de Pablo, sabiendo que al sumar sus 3/8 y su quinta parte, dicha suma excede en 149 al doble de la diferencia entre 1/6 y 1/2 de la cantidad de su dinero. a) 120 d) 140
b) 110 e) 130
UNAP–2007
c) 100
16. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy tres pasos más que subiendo 5 en 5 escalones ¿Cuántos escalones tienen la escalera? UNAP–ING–2011/ UNAP–EXT–2011
a) 90 d) 40
b) 80 e) 50
c) 60
17. Un número es tal, que multiplicado por 3, por 5 y por 7 da tres números cuyo producto es 840000 ¿Cuál es el numero? UNAP–SOC–2012/2013
a) 12 d) 15
b) 20 e) 14
c) 25
18. Se ha vendido la cuarta, la sexta y la tercera parte de una alfombra, quedando un saldo de 6 metros. ¿Cuantos metros se han vendido? a) 24 d) 18
404
b) 22 e) 16
UNAP–BIO–2014
c) 20
19. Se divide un tubo en 4 partes diferentes. La primera es 1/3 de total, la segunda es 1/4 de total, la tercera es 2/7 del total y la cuarta mide 11/14 metros. ¿Cuál es la longitud del tubo? a) 7 d) 6
b) 4 e) 3
UNAP–ING–2014
c) 5
20. Un grupo de monos está divido en dos bandos: La octava parte de ellos al cuadrado se solaza en el bosque, mientras que los otros doce juegan en el campo. La mayor cantidad de monos que podemos tener es: a) 48 d) 58
b) 50 e) 36
CEPREUNA–2005
c) 68
21. Con dos números enteros y positivos se realizaron las siguientes operaciones: los sumaron, restaron el menor del mayor, y los multiplicaron. Si la suma de los 3 resultados es 243 ¿Cuál es el mayor de dichos números? a) 54 d) 37
b) 81 e) 27
CEPREUNA–2010
c) 10
22. Del número de personas que escucho misa los 5/9 eran damas, 1/3 eran caballeros y el resto 10 parejas (niño y niña). Hallar el número de caballeros. a) 90 d) 60
b) 15 e) 45
UNAP–EXT–2001
c) 30
23. Si un profesor universitario ganara 880 dólares, tendría 9 veces lo que le quedaría si perdiera 40 dólares. ¿Cuánto tiene? a) $ 200 d) $ 150
b) $ 255 e) $ 100
UNAP–SOC–2012
c) $ 155
24. Hallar un número, cuyo óctuplo excede a 60 en una cantidad equivalente al doble de dicho número aumentado en 180. a) 28 d) 30
b) 40 e) 60
CEPREUNA–SOC–2015
c) 42
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. Un niño le dice a su padre: “De los 140 nuevo soles que me diste, gaste 68 nuevos soles más de lo que no gaste”. ¿Cuánto no gasto el niño? a) 26 d) 72
b) 36 e) 41
UNAP–EXT–SOC–2015
c) 31
26. Ana y Beatriz pesan juntas 105kg, Ana pesa los 3/4 de lo que pesa Beatriz. Halle el peso de Beatriz. a) 50 d) 60
b) 55 e) 85
UNAP–EXT–SOC–2015
c) 58
27. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 12 y el segundo por 10, la suma de estos cocientes es 18. ¿Cuáles son los números? a) 60 y 40 d) 120 y 80
UNAP–EXT–SOC–2015
b) 70 y 100 c) 130 y 90 e) 110 y 70
28. Se desea pagar una deuda de 142 soles con 50 monedas de 5 y 2 soles. ¿Cuántas monedas de 5 soles se debe emplear? a) 12 d) 28
b) 14 e) 16
UNAP–EXT–BIO–2015
c) 2
29. En un cumpleaños han asistido 94 personas notándose que la primera dama baila con 5 varones, la segunda con 8, la tercera con 13, la cuarta con 20 y así sucesivamente hasta que la última que bailo con todos, ¿Cuántas damas asistieron? a) 5 d) 13
b) 8 e) 20
UNAP–EXT–BIO–2015
c) 9
30. Pensé obtener una ganancia de 1/3 de lo que me costó un auto; pero el momento de venderlo tuve que rebajar una cuarta parte de lo que pensé ganar, habiendo ganado 600 soles menos de lo que me costó. ¿Cuál es la mitad del precio que me costó el auto? a) 500 d) 800
b) 400 e) 750
Academia GAUUS
c) 300
UNAP–2003
31. A y B tienen 84 soles. Si A gana 80 soles y B gana 4 soles, A tendrá el triple de lo que tendrá B. ¿Cuánto tiene cada uno respectivamente? a) S/.36 y S/.48 c) S/.46 y S/.38 e) S/.40 y S/.44
b) S/.48 y S/.36 d) S/.38 y S/.46
UNAP–2004
32. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿Cuántas palomas hay? a) 8 d) 10
b) 12 e) 13
c) 9
UNAP–2004
33. Dos números son entre sí como 4 a 9, si la suma de sus raíces cuadradas es 20 halle el mayor. UNAP–2004
a) 154 d) 164
b) 64 e) 174
c) 144
34. Marco reparte 26 caramelos entre sus cuatro sobrinos. Cada uno de los cuatro comen más de un caramelo. Al cabo de una hora Pedro comprueba que le queda a cada uno el mismo número. Si el mayor había comido tantos como el tercero; el segundo comió la mitad de su número inicial y el cuarto comió tantos como los 3 juntos. ¿Cuántos caramelos recibió el menor de los sobrinos? a) 10 d) 30
b) 20 e) 12
c) 5
UNAP–2006
35. Un poste de luz de 10 metros de alto se ha quebrado en un punto ubicado a una altura “h” del suelo, de manera que el extremo superior ha quedado tocando el suelo a 5m de distancia de la base del poste. Hallar “h” a) 3,50m d) 3,25m
b) 4,00m e) 3,00m
UNAP–2006
c) 3,75m
36. Se divide un terreno rectangular en parcelas lográndose 108 parcelas cuadradas de 169m2 cada una. En cada esquina de las parcelas se
405
JOHN MAMANI M. coloca un poste, empleándose en total 130 postes. Hallar la diferencia entre el largo y el ancho del terreno. a) 39m d) 33m
b) 30m e) 20m
UNAP–2006
c) 35m
37. A una fiesta asisten 120 parejas; 70 hombres usan anteojos; hay tantas personas con anteojos, como mujeres que no usan anteojos. ¿Cuántas mujeres no usan anteojos? a) 55 d) 35
b) 25 e) 85
c) 95
UNAP–2007
38. Un negociante cambia 2 monedas de 2 nuevos soles por monedas de 50 y 20 céntimos. ¿Cuántas monedas como máximo recibe dicho comerciante? a) 16 d) 13
b) 14 e) 17
c) 15
UNAP–2009
39. Un día le preguntaron a Paul: ¿Cuántos hermanos y hermanas tienes? Paul respondió: “Tengo tantas hermanas como hermanos”; Irene, la hermanita de Paul, al escuchar a su hermano intervino: “Pero, sin embargo yo – dijo– tengo el doble de hermanos que hermanas”. ¿Cuántas hermanas tiene Paul? a) 2 d) 4
b) 5 e) 3
c) 6
UNAP–2009
40. Si por S/. 200 darían 6 pelotas más de las que dan, la docena costaría S/.90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota? a) S/.5 d) S/.20
UNAP–2010/CEPRE–ING–2012
b) S/.30 e) S/.10
c) S/.25
41. Se tiene un cajón con 84 manzanas de 10g cada una y otro cajón con 54 manzanas de 25g cada una. ¿Cuántas manzanas deberán intercambiarse de cada cajón para que sin variar el número de manzanas, ambos tengan el mismo peso? a) 18 d) 19
406
b) 15 e) 16
c) 17
UNAP–2010
42. Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordando pagarle 700 soles más un televisor, pero al cumplir los 7 meses se le despide pagándole 250 soles más el televisor. El precio del televisor es: a) 420 d) 350
b) 360 e) 380
c) 400
UNAP–2010
43. En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 6 mujeres y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuantas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1. a) 21 d) 20
b) 24 e) 23
UNAP–ING–2011
c) 22
44. En un salón de clases, antes del recreo el número de varones es al número de mujeres como 9 es 5. Si después del recreo hay 8 varones y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de varones a mujeres como 7 es a 4 ¿Cuántos varones habían después del recreo? a) 28 d) 20
b) 26 e) 36
UNAP–SOC–2011
c) 16
45. Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto, éste quedará aumentado en 1100. ¿Cuál será dicho producto si la diferencia de sus factores es 20? a) 4800 d) 1800
b) 3500 e) 6300
UNAP–ING–2012
c) 2400
46. En una reunión hay 40 personas cuando se retiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 10 ¿Cuántos varones quedaron? a) 8 d) 18
b) 26 e) 16
UNAP–ING–2012
c) 20
47. Un sargento luego de efectuada un misión peligrosa piensa: “He perdido 2/7 de mi pelotón, pero si me hubiesen enviado 21 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. hombres más; antes de comenzar la misión, mi pelotón habría aumentado en 3/8 y el resultado podría haber sido diferente”. ¿Cuántos soldados murieron durante esa misión? a) 56 d) 37
UNAP–SOC–2012
b) 18 e) 16
c) 15
48. En un cuarto hay 90 focos encendidos y en otro un número igual de focos apagados. Si por cada 3 focos que se apagan del primero se encienden 2 del otro, ¿Cuántos se encendieron hasta que hubo igual cantidad de focos encendidos en ambos cuartos? UNAP–ING–2012
a) 36 d) 20
b) 40 e) 54
c) 18
49. El papa de Juan acude al hipódromo con S/. 4300 y cuando ya ha perdido S/. 700 más de lo que no ha perdido, apuesta lo que le queda y lo triplica. ¿Cuánto gana el papa de Juan? a) S/. 1700 d) S/. 700
UNAP–BIO–2012/CEPRUNA–ING–2012
b) S/. 1300 e) S/. 1100
c) S/. 1800
50. El residuo de una división de un número entre 13, es 11; pero si dicho número se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el residuo anterior disminuye en 1. ¿Cuál es el número? a) 96 d) 86
b) 56 e) 76
UNAP–2007/UNAP–ING–2012
c) 66
51. Una persona tiene S/.20000 y otra S/.7500, cada uno ahorra anualmente S/.500. ¿Dentro de cuantos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda? a) 7 d) 10
b) 5 e) 15
UNAP–ING–2012
c) 12
52. La suma de dos números es 74; su diferencia dividida entre el menor, da 3 por cociente y 4 por residuo. Halle ambos números UNAP–SOC–2012
Academia GAUUS
a) 58 y 16 d) 65 y 18
b) 70 y 4 e) 60 y 14
c) 55 y 19
53. Con 195 soles compro cuadernos 7, 8 y 13 soles, respectivamente. ¿Cuántos cuadernos se compró, si en total se compró el máximo número de cuadernos y por lo menos se compró uno de cada precio? a) 24 d) 30
b) 26 e) 25
UNAP–ING–2013
c) 23
54. Se tiene 48 canicas divididas en tres grupos diferentes, si el primer grupo se pasa al segundo tantas canicas como hay en este, luego el segundo se pasa al tercero tantas como hay en el primero, se obtiene el mismo número de canicas en cada grupo. ¿Cuántas canicas había al principio en cada grupo? a) 32; 8; 8 d) 24; 8; 16
UNAP–BIO–2013
b) 16; 16; 16 c) 16; 20; 12 e) 22; 14; 12
55. Si se forman filas de 7 niños sobran 5, pero faltarían 7 para formar 3 filas más de 6 niños. ¿Cuántos niños son? a) 48 d) 46
b) 45 e) 44
UNAP–ING–2014
c) 47
56. Encuentre el numero tal que dividiéndolo entre 10 y este cociente dividiéndolo entre 3; la suma de estos cocientes es 600 a) 4600 d) 6400
b) 4200 e) 3800
UNAP–SOC–2013
c) 4500
57. Si la suma de dos números es 64 y su cociente, 4 con residuo 4. ¿Cuál es el número menor? a) 14 d) 18
b) 15 e) 20
UNAP–SOC–2013
c) 12
58. Al preguntar un padre a su hijo cuanto había gastado de los 40 soles que le dio, el respondió: “Si no hubiera comprado un chocolate que me costó 10 soles, tan solo
407
JOHN MAMANI M. hubiera gastado 3/5 de lo que no hubiera gastado” ¿Cuánto gasto? a) 15 d) 30
UNAP–ING–2014/CEPREUNA–ING–2012
b) 20 e) 16
c) 25
59. En el centro experimental de Tambopata se tienen; palomas, loros y gallinas; sin contar las palomas tenemos 6 aves; sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el número de loros? a) 5 d) 4
UNAP–SOC–2014
b) 7 e) 2
c) 11
60. De los 60 soles que tenía, si no hubiera comprado un regalo que me costó 16 soles, tan solo hubiera gastado los 2/3 de los que no hubiera gastado. ¿Cuánto gaste? a) 25 d) 35
UNAP–ING–2014/CEPREUNA–2009
b) 40 e) 20
c) 30
61. Las camisas que tengo son de color verde, azul y blanco. Si todas mis camisas son blancas, menos cuatro; todas son azules, menos cuatro; todas son verdes, menos cuatro. ¿Cuántas camisas tengo en total? a) 16 d) 8
UNAP–ING–2015
b) 5 e) 10
c) 6
2
de la tela después de
lavarla? a) 18m d) 30m
b) 20m e) 24m
CEPREUNA–2006
c) 25m
63. Un ganadero vendió 60 cabezas de ganado entre vacas y terneros, recibiendo S/.216000. Pero como necesitaba S/.250000 tuvo que hacer una venta complementaria a los mismos compradores, y razona que si vende 8 vacas le sobran 2000 soles, pero se vende
408
a) 42 y 18 d) 36 y 24
b) 32 y 28 e) 40 y 20
CEPREUNA–2006
c) 43 y 17
64. A un alambre de 91m. de longitud se le corta en 4 trozos de modo que cada trozo tiene una longitud igual al la del trozo anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más corto en metros? a) 11,20m d) 25,20m
b) 7,20m e) 10,60m
CEPREUNA–2006
c) 16,40m
65. Una carreta llena de frutas pesa 30kg. Cuando contiene los 2/3 de su capacidad, pesa los 7/9 del peso anterior. ¿Cuánto pesa la carreta vacía? a) 10kg d) 16kg
b) 12kg e) 18kg
CEPREUNA–2006
c) 14kg
66. Verónica vende huevos rosados a S/.36 la docena y huevos blancos a S/.24 la docena y por 250 huevos obtiene S/.624. ¿Cuántos huevos fueron rosados, si por cada dos docenas que vende obsequia un huevo blanco? a) 148 d) 212
62. Una tela al lavarla se escoge el 20% de su ancho y el 40% de su largo. Si la tela tiene 5 m de ancho. ¿Qué longitud debe comprarse si se necesita 48 m
20 terneros le faltarían S/.4000. ¿Cuántas vacas y cuantos terneros vendió al principio?
b) 144 e) 123
CEPREUNA–2007
c) 224
67. Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 7 escalones y bajar 6. Si en total subió 91 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 19 d) 17
b) 18 e) 20
CEPREUNA–ING–2007
c) 21
68. El profesor ‘‘Juan Carlitos después de salir con ‘‘Esmer’’ dice: Hoy tengo el doble de lo que tuve anteayer, que fue 40 soles menos que hoy’’. ¿Cuánto tiene el profesor ‘‘Juan Carlitos’’? CEPREUNA–ING–2008
a) 70 d) 55
b) 40 e) 80
c) 60 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 69. En una institución educativa, si se forman filas de 8 niños sobrarían 4 pero faltarían 8 niños para formar 3 filas más de 7 niños. ¿Cuántos niños son? a) 86 niños d) 82 niños
b) 84 niños e) 76 niños
CEPREUNA–ING–2008
c) 12 niños
70. Manuel había ahorrado lo suficiente para comprar cierto número de videos, pero cuando fue a comprarlos el precio por unidad había subido en 3 nuevos soles, razón por la cual el dinero le alcanzó para 1/5 menos del número previsto. ¿Cuál es el precio actual de los videos por unidad? a) 12 d) 14
CEPREUNA–2008
b) 15 e) 18
c) 16
71. El número 250 puede descomponerse en 4 sumandos, de manera que sumando 4 al primero, restando 4 al segundo, multiplicando por 4 al tercero y dividiendo entre 4 al cuarto, se obtiene siempre el mismo resultado. Calcular el promedio, entre el mayor y menor. a) 95 d) 80
CEPREUNA–2010
b) 32 e) 85
c) 98
72. Dos personas tienen respectivamente 184000 soles y 128000 soles, ambos gastan la misma suma de dinero en la compra de terrenos 2
cuyos precios por m son 500 soles y 400 soles respectivamente; quedándole al final de esta operación al primero de ellos el triple de lo que le quedaba al segundo. Hallar el área de los terrenos. a) 200; 300 d) 250; 350
b) 200; 250 e) 250; 300
CEPREUNA–2010
c) 300; 200
73. En una fiesta había 37 personas, las damas se retiraron una por una de la siguiente manera: la primera se despide de todas las damas y de tres caballeros; la segunda, de todas la otras damas y de cinco caballeros; la tercera, de las damas que quedan y de siete caballeros, y Academia GAUUS
así sucesivamente, y hasta que la última dama se despide de todos los caballeros. ¿Cuantas damas había inicialmente? a) 12 d) 25
b) 11 e) 26
CEPREUNA–2010
c) 13
74. En un viaje realizado, fuera de la ciudad de Puno, observe que: -Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde. -Cuando llovía en la tarde, estaba despejada la mañana. -Hubo 5 tardes despejados. -Hubo 6 mañanas despejadas ¿Cuántos días duro mi viaje? a) 5 d) 8
b) 6 e) 7
CEPREUNA–2011
c) 9
75. Robert le dice a Mily: yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes más 10 soles. Si tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto más que tú, tengo? CEPREUNA–ING–2012
a) 30 d) 20
b) 55 e) 10
c) 25
76. Al multiplicar por 36 un número, este aumenta en 175 unidades. ¿Cuál es el número? a) 15 d) 8
b) 5 e) 55
CEPREUNA–SOC–2012
c) 10
77. En un aula los alumnos están agrupados en un numero de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en bancas de 4 alumnos, se necesitaran 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes? a) 35 d) 26
b) 40 e) 25
CEPREUNA–BIO–2012
c) 36
78. Tengo 56 soles entre monedas de 10 soles y 2 soles. Si el número de monedas de 10 soles excede en 2 al número de monedas de 2 soles, halle la cantidad de monedas que tengo. CEPREUNA–BIO–2012
409
JOHN MAMANI M. a) 7 d) 5
b) 4 e) 6
c) 8
79. Tengo 52 soles entre monedas de 5 y 2 nuevos soles. Si el número de monedas de 5 nuevos soles excede en 2 al número de monedas de 2 nuevos soles. Halle la cantidad total de monedas que tengo. a) 13 d) 14
b) 11 e) 12
CEPREUNA–ING–2013
c) 10
80. Un asta de metal se rompió en cierto punto quedando la parte de arriba doblada y tocando el suelo en un punto localizado a 20 pies de la base. Se reparó, pero se rompió de nuevo Esta vez toco el suelo a 30 pies de la base, rompiéndose a 5 pies por debajo de la primera vez. ¿Qué longitud total tenía el asta? a) 62 pies d) 50 pies
b) 55 pies e) 20 pies
CEPREUNA-BIO-2013
c) 58 pies
81. Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra están en la relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? CEPREUNA–SOC–2013
a) 40 d) 24
b) 36 e) 20
c) 30
82. En una fiesta hay 76 personas. Se nota que el número de varones es igual a la raíz cuadrada del número de mujeres que hay, y el número de niños es igual a la raíz cubica del número de mujeres. ¿Cuántos niños hay? a) 7 d) 4
b) 5 e) 8
CEPREUNA–ING–2013
c) 6
83. La suma, diferencia y producto de dos números están relación de 10, 6 y 40. Halle el producto de los números. a) 120 d) 70
410
b) 1600 e) 150
CEPREUNA–SOC–2013
c) 100
84. En un triángulo rectángulo, el triple del cateto menor excede en una unidad al cateto mayor, pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa. Halle la longitud de la hipotenusa. a) 36 d) 37
b) 12 e) 40
CEPREUNA–SOC–2013
c) 35
85. Cierta persona participa en un juego de azar, el cual paga el doble de lo que apuesta al ganador, arriesgando sucesivamente S/.1; 2; 3; 4;… de tal forma que gana todos los juegos en que interviene excepto el ultimo; retirándose entonces con una ganancia de S/.65. ¿Cuántos juegos ganó? a) 9 d) 12
b) 10 e) 14
CEPREUNA–BIO–2013
c) 8
86. Un empleado gana en dos días la misma cantidad de lo que otro gana en tres días. El primero trabajo 38 días y el otro 33 días. ¿Cuál es la diferencia positiva de sus ingresos si la suma de estos es de S/.9300? a) 2350 d) 2460
b) 2480 e) 2760
CEPREUNA–BIO–2013
c) 2450
87. Un empleador promete pagarle a Darío, por un año de trabajo, ocho mil cuatrocientos dólares más un televisor. Si al cabo de ocho meses, despide a Darío pagándole cuatro mil ochocientos dólares más dos televisores (cada uno de igual costo que el prometido) halle el precio del televisor en dólares. a) 900 d) 600
b) 500 e) 550
CEPREUNA–BIO–2013
c) 750
88. Los pobladores de una hacienda acostumbran cambiar 12 choclos por 36 papas y también 24 papas por 16 camotes. En cierta ocasión un poblador quiso cambiar 120 choclos por “n” papas y “n” camotes. Determine el valor de “n”. a) 120 d) 144
b) 180 e) 100
CEPREUNA–ING–2014
c) 160
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 89. La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado? a) 60cm d) 140cm
b) 80cm e) 160cm
CEPREUNA–SOC–2014
c) 100cm
90. Un grupo de niños está formado de modo que hay tantos niños por columnas como por filas. Para formar con un niño más por columna y un niño más por fila harían falta 13 niños. ¿Cuántos son los niños? a) 36 d) 16
b) 25 e) 9
CEPREUNA–BIO–2014
c) 49
91. A una fiesta asistieron 1022 personas; se sabe que por cada 6 hombres, habían 8 mujeres, ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta? a) 584 d) 438
b) 348 e) 483
UNAP–EXT–2000
c) 854
92. En una función de cine se venden 7/8 de los asientos de galería, y 5/6 de platea, si hay tantos asientos de galería como de platea. ¿Qué fracción del total de asientos del cine no se vendieron en esa función? a) 7/24 d) 7/8
b) 6/32 e) 1/48
UNAP–EXT–2002
c) 7/48
93. Debo pagar 2150 soles con 26 billetes de 50 soles y 100 soles. ¿Cuántos billetes de 100 soles debo emplear? a) 16 d) 14
b) 18 e) 17
UNAP–EXT–2002
c) 15
94. La suma de dos números naturales es 1043, su cociente es 27 y el resto es el mayor posible. Halle el dividendo. a) 927 d) 907
b) 1027 e) 1007
UNAP–EXT–2006
c) 1050
95. Al dividir abc entre bc se obtiene 11 de cociente y 80 de residuo. Halle a + b + c a) 19 d) 17
b) 18 e) 20
UNAP–EXT–2006
c) 16
96. En una ciudad se observa que existen 5 gatos por cada dos ratones pero un virus elimina 5 ratones por cada 2 gatos, sobreviviendo 84 gatos y ningún ratón. ¿Cuánto ratones había inicialmente? a) 60 d) 40
b) 100 e) 22
UNAP–EXT–2006
c) 50
97. Si a cada niño de lo que tengo le entrego tantos caramelos como niños hay, me faltarían 12 caramelos, pero si le entrego a cada uno 2 caramelos menos, entonces me sobraría lo mismo que me faltaba. ¿Cuántos niños tengo? a) 8 d) 6
b) 10 e) 4
UNAP–EXT–2007
c) 12
98. Podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana de sol gasto S/.9 en helados y cada mañana fría gasto S/.6 en café si ya tengo ahorrado S/.258. solo hay mañanas frías y soleadas. ¿Durante cuantos días ahorre? a) 9 d) 19
b) 12 e) 21
UNAP–EXT–2007
c) 17
99. Descomponga 895 en dos números, de modo que al dividir el mayor por el menor se obtenga 6 de cociente y 6 de resto. Halle la diferencia entre el mayor y del menor. a) 446 d) 641
b) 279 e) 362
UNAP–EXT–2009
c) 528
100. Si tuviera lo que tengo, más la mitad de lo que tengo, tendría los 3/4 de lo que tengo. Pero si tuviera 15 nuevos soles más de lo que no tengo. Tendría 5/8 de lo que tengo. ¿Cuánto no tengo? UNAP–EXT–2010
Academia GAUUS
411
JOHN MAMANI M. a) 11 d) 12
b) 10 e) 9
c) 8
101. Una cantidad de 675 nuevos soles se ha pagado con billetes de 100 nuevos soles y monedas de 5 nuevos soles. ¿Con cuántas monedas de 5 soles se ha pagado si estas son 30 más que el número de billetes? a) 39 d) 35
b) 37 e) 36
UNAP–EXT–2010
c) 38
102. Por una casa en el centro de la ciudad de Puno, se paga 73950 soles más la mitad de su precio. ¿Cuál es el precio total de la casa? UNAP–EXT–2012
a) S/.147690 b) S/.146650 c) S/.149770 d) S/.147900 e) S/.148730
103. Un granjero compro 5 caballos y 3 burros. Si hubiera comprado un caballo menos y un burro más habría gastado 5000 soles menos. ¿En cuánto difieren el precio de un caballo y el de un burro? a) S/.5000 c) S/.2500 e) S/.3500
b) S/.1500 d) S/.10000
UNAP–EXT–2012
104. Los lados de un triángulo miden 18cm, 16cm y 9cm. ¿Qué longitud igual, se debe quitar a cada lado para obtener un triángulo rectángulo? a) 3 cm d) 4 cm
b) 2 cm e) 3.2 cm
UNAP–EXT–2012
c) 1 cm
105. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 24 y 18. Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división el cociente queda multiplicado por 26 y el resto no se altera. ¿Cuál es dividendo inicial? a) 255 d) 450
412
b) 900 e) 540
UNAP–EXT–2013
c) 360
106. Un alambre de 260 metros de longitud se corta en 4 trozos, de modo que cada trozo tiene una longitud igual a la del trozo anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud en metros del trozo mayor? a) 36 d) 130
b) 108 e) 48
UNAP–EXT–2013
c) 216
107. En una reunión, si los integrantes se sientan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2 quedarían de pie 18 integrantes ¿Cuántos son los integrantes de la reunión? a) 78 d) 30
b) 156 e) 60
UNAP–EXT–2013
c) 39
108. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedaron fuera 36 hombres, entonces pone a un hombre mas a cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres hay en la tropa? a) 2536 d) 3061
b) 3036 e) 55
UNAP–2011
c) 2061
109. Un grupo de amigos deciden alquilar un auto para un paseo, cuyo alquiler es 120 soles. Al desistir viajar dos de ellos, cada uno de los restantes paga 10 soles más. ¿Cuántos van al paseo? a) 2536 d) 3061
b) 3036 e) 55
UNAP–ING–2011
c) 2061
110. Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy entonces me quedaría sin dinero alguno. Pero en cambio, si ayer hubiese gastado la mitad de lo que gaste; hoy tendría para gastar S/.12 más de lo que gasté realmente ayer. ¿Cuánto gasté ayer? a) 20 d) 8
b) 12 e) 6
CEPREUNA–ING–2015
c) 10
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Problemas de Edades CAPÍTULO XV CUANDO INTERVIENE UN SUJETO En este tipo de problemas se debe tener en cuenta que solo participa una persona; pero debemos identificar los tiempos que intervienen y la diferencia de años entre dichos tiempos. Es recomendable resolver el problema planteando una simple ecuación.
Ejemplo 02 Si a la edad que tendré dentro de 10 años le suman la edad que tenía hace 5 años obtienes lo que me falta para tener 65 años. ¿Cuántos años tengo?
Resolución −5
Esquema: Si mi edad actual es “x” años, entonces, dentro de “b” años y hace “a” años, mi edad se expresará así. Hace a Edad Dentro de años Actual b años Yo x − a x x+b
CONCLUSIÓN. Cuando en el enunciado de un problema se mencionan: “hace...” o “dentro de…”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente; a partir de allí se cuenta el tiempo transcurrido “hace...” o el tiempo por transcurrir “dentro de...” Ejemplo 01 El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40, suma 200 años. ¿Cuántos años tengo?
Resolución Sea "10x" años mi edad. Del enunciado obtenemos la siguiente ecuación: 2(10 x ) +
1 2 3 (10 x ) + (10 x ) + (10 x ) + 40 = 200 2 5 10 20 x + 5 x + 4 x + 3 x + 40 = 200 32 x = 160 x=5
+ 10
x−5
x
x + 10
Hace 5 años
Edad actual
Dentro de 10 años
Planteando:
( x + 10) + ( x − 5) = 65 − x x = 20
CUANDO INTERVIENEN DOS O MAS SUJETOS En este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, como el que mostramos a continuación: Tiempos
Sujetos
Pasado Pr esente Futuro
Yo
A
Tú
B C
Él
Edades y condiciones Edades y condiciones
Con el propósito de ubicar correctamente los datos en el cuadro de doble entrada, veamos el siguiente cuadro.
∴ Mi edad es: = 10 x 10(5) = 50 años
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413
JOHN MAMANI M.
Resolución
Pasado Presente Futuro tenía tendré Yo tengo tuve tenga tenías tendrás Tú tienes tuviste tengas tenía tendrá Él tiene tuvo tenga
Planteamos y verifiquemos la diferencia de edades en el tiempo. −8 +8
Padre Hijo
Damos dos observaciones importantes ayudaran a la resolución de los problemas.
que
Observación 1 La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante en el tiempo. Hace 3 años Dentro de 8 años Pasado Pr esente Futuro Tú 23 26 34 Yo 17 20 28 En el pasado 23 17 =
En el presente 26 20
Observación 2 La suma en aspas (de simétricamente) es constante. Hace 3 años
Tú Yo
Pasado Presente Futuro 4 2 1 1
= Observamos queD las3= diferencias noDson1 iguales, entonces haremos que sean iguales. ¿Cómo? multiplicando en el pasado por 1 y el futuro por 3, (Si las diferencias se pueden simplificar, simplifícalo y luego recién multiplique) −8
Padre Hijo
Pasado Presente Futuro 4 6 1 3
= D 3= D 3
En el futuro
Luego, verificar el tiempo que transcurre.
= 34 28
−8
valores
+8
ubicados
Dentro de 8 años
Pasado Pr esente Futuro 23 26 34 17 20 28 23 + 28 = 17 + 34 23 + 20 = 17 + 26 26 + 28 = 20 + 34
PROBLEMAS CON TIEMPO ESPECIFICADO Ejemplo 03 Un padre le dice a su hijo: Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías: pero dentro de 8 años únicamente será el doble. ¿Cuál es la edad del Hijo?
16
+8
Pasado Presente Futuro Padre 4 6 Hijo 1 3 2 = D 3= D 3 Para que se cumpla el dato debemos multiplicar por 8 a los valores del cuadro (8 resulta al dividir 16/2) Padre Hijo
Pasado Presente Futuro 32 48 8
24
Entonces pasamos a completar el cuadro. −8 +8
Padre Hijo
Pasado Presente Futuro 32 40 48 8 16 24
Por tanto la edad del hijo es 16
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JOHN MAMANI M. Ejemplo 04 Hace 4 años, la edad de Paola era el cuádruplo de la edad de Marco, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales.
Resolución De acuerdo al enunciado del problema podemos construir el siguiente cuadro de doble entrada. Hace 4 Dentro de Presente años 5 años Paola 4x 4x + 4 4x + 9 Marco x x+4 x+9
De la condición, que dice de la edad de Paola respecto de la Marco: “Dentro de 5 años será el triple”, podemos plantear: 4 x + 9= 3( x + 9)
Resolviendo la ecuación anterior: 4 x + 9 = 3 x + 27 4 x − 3 x = 27 − 9
“Cuando yo tenía la edad que tú tienes” Yo Tú
x 2 = y 3 De la proporción establezcamos la relación: x = 2k y = 3k Reemplazamos en el cuadro: Pasado 3k 2k
Presente 4k 3k
Futuro
Prosiguiendo con la interpretación del enunciado “Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 63 años” Este valor lo calculamos aplicando la suma en aspa
PROBLEMAS CON TIEMPO NO ESPECIFICADO Ejemplo 05 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años. Hallar la suma de las edades actuales.
Resolución Haciendo un gráfico para cada tiempo “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías” Presente 2x
Futuro
2y = 3 x
Juan : x + 4 = 18 + 4 = 22 Luego, la suma de las edades es: 76 + 22 =años 98
Pasado
x
Presente 2x y
Aplicando el criterio de las sumas en aspa: y + y =x + 2x
Yo Tú
x = 18 Las edades actuales de: Ana : 4 x += 4 4(18) += 4 76
Yo Tú
Pasado y
Futuro
Yo
Pasado 3k
Tú
2k
Presente 4k 3k
Futuro 5k 4k
Suma 63
De la condición del problema, tenemos: 5k + 4 k = 63 k = 7 Luego: Las edades actuales: Yo : 4(7) = 28 años Tú : 3(7) = 21 años ∴ La suma de las edades actuales es: 49
x
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JOHN MAMANI M. Ejemplo 06 Luís le pregunta a Mario sobre las edades que tienen, entonces Mario le responde: “Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes.” Cuál es la edad actual de Mario sabiendo que dentro de 6 años sus edades sumarán 68 años.
Resolución Pasado Presente Futuro y Mario 2x 2x + 6 x y y+6 Luis De la condición, “sabiendo que dentro de 6 años sus edades sumarán 68 años”, tenemos: (2 x + 6) + (y + 6) = 68 Reduciendo la ecuación 2x + y = 56
… (I)
Aplicando el criterio de la suma en aspa, obtenemos: y + y = 2x + x
⇒ 2y = 3 x ⇒
y=
3 x … (II) 2
Reemplazando (II) en (I): 2x + y = 56 3 2x + x = 56 2 4 x + 3x Así, = 56 2 x=16
La edad actual de Mario: 2(16) = 32 años RELACIÓN CON EL AÑO DE NACIMIENTO Si la persona ya cumplió años. año de edad año nacimiento + actual = actual
Si la persona todavía no cumple años. año de edad año nacimiento + actual = actual − 1
416
Ejemplo 07 Katy nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (4a + 5b) años. ¿Cuál fue el año en que 3
tuvo: (a + 3b) años?
Resolución Se cumple que: año de edad año nacimiento + actual = actual
19aa + (4a + 5b) = 19bb
1900 + bb 1900 + aa + 4a + 5b = 10a + a + 4a + 5b= 10b + b 15a = 6b 5a = 2b Donde: a = 2 y b = 5
Nació en el año 1922 3
3
(a + 3b) = (2 + 3(5)) = 23
Tuvo 23 años en el año: 1922 + 23 = 1945 Ejemplo 08 Determine la edad que cumplirá una persona en 1986, sabiendo que es igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento.
Resolución Sea el año de nacimiento: 19ab Se cumple que: año de edad año nacimiento + actual = actual
19ab + (1 + 9 + a + b) = 1986
1900 + ab + 10 + a + b = 1900 + 86
10a + b + a + b = 76 11a + 2b = 76 ↓ ↓ 6 5
Luego calculemos la edad que cumplirá en 1986
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JOHN MAMANI M. CUANDO INTERVIENE UN SUJETO PROBLEMA 01
Si a la edad que tendré dentro de 10 años le suman la edad que tenía hace 5 años obtienes lo que me falta para tener 65 años. ¿Cuántos años tengo? a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25
Resolución + 10
−5 x−5
x
x + 10
Hace 5 años
Edad actual
Dentro de 10 años
Planteando:
De la condición del problema: 4( x + 10) − 3( x − 5) = 2x 4 x + 40 − 3 x + 15 = 2x x + 55 = 2x x = 55 Edad actual: 55 años Para cumplir 60 años me faltan: 60 − 55 = 5
PROBLEMA 03
Hace 3 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 21 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 7 años? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1
( x + 10) + ( x − 5) = 65 − x 2 x + 5 = 65 − x 3 x = 60 x = 20
PROBLEMA 02
Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace 5 años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuántos años me falta para cumplir 60 años? a) 9 b) 2 c) 3 d) 5 e) 8
Resolución −5
+ 10
x−5
x
x + 10
Hace 5 años
Edad actual
Dentro de 10 años
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Resolución −3
+ 21
x−3
x
x + 21
Hace 3 años
Edad actual
Dentro de 21 años
Planteando: x + 21 x−3= 4 4 x − 12 =x + 21 3 x = 33 x = 11 El triple de la edad que tenía hace 7 años. 3( x − 7)= 3(11 − 7) = 12
Por lo tanto: 12 − 11 = 1
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 04
Si mi edad más dos veces mi edad, más tres veces mi edad y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad como años tengo es 126. ¿Qué edad tengo? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
Resolución Sea "x" años mi edad. Del enunciado: x + 2 x + 3 x + + x( x ) = 126 x(1 + 2 + 3 + + x ) = 126 x( x + 1) x = 126 2
a) 25 d) 29
b) 22 e) 30
Resolución − 10
+ 20
x − 10
x
x + 20
Hace 10 años
Edad actual
Dentro de 20 años
x + 20 = 3( x − 10) x + 20 = 3 x − 30 x = 25
2
x ( x + 1) = 252 x=6
c) 28
∴ Si hubiera nacido 3 años antes, tendría 3 años más; es decir: 25 + 3 = 28 años.
PROBLEMA 05
Dentro de 20 años tendré 2 veces más que la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendría actualmente si hubiese nacido 3 años antes?
¡Comprueba lo que sabes! 01. Dentro de 60 años la edad de Richard será el triple de la edad actual. ¿Qué edad tiene Richard? a) 20 b) 10 c) 15 d) 25 e) 30
04. Pedro tendrá dentro de 9 años el triple de la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene Pedro? a) 10 años b) 16 años c) 30 años d) 15 años e) 17 años
02. Dentro de 12 años, Javier tendrá 3 veces la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Javier? a) 15 b) 14 c) 16 d) 18 e) 14
05. La edad de Pepe dentro de 30 años será el quíntuple de la que tuvo hace 10 años. ¿Cuál es la edad actual?. a) 10 años b) 15 c) 5 d) 20 e) 21
03. Laura dice: "dentro de 3 años tendré el doble de la edad que tenía hace 7 años". ¿Qué edad tiene Laura? a) 16 años b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
06. Si dentro de 8 años tendré el doble de la edad que tuve hace 9 años. ¿Qué edad tuve hace 5 años? a) 24 años b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
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JOHN MAMANI M. 07. Hace 13 años la edad de Antonio fue la mitad de su edad actual. ¿Qué edad tiene ahora? a) 36 años b) 10 c) 16 d) 26 e) 13 08. Scarlet le plantea a una de sus hermanas el siguiente problema: "hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años". ¿Qué edad tiene Scarlet? a) 28 años b) 30 c) 25 d) 23 e) 32 09. Ricardo hace 10 años tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 12 años. ¿Cuál es la edad de Ricardo? a) 22 años b) 24 c) 30 d) 26 e) 28 10. La edad de Nataly hace 14 años fue la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 10 años. ¿Cuál es su edad actual? a) 26 años b) 10 c) 18 d) 19 e) 20 11. La edad de Percy dentro de 25 años será el triple de la que tuvo hace 9 años. ¿Cuál es su edad actual? a) 26 años b) 16 c) 10 d) 12 e) 14 12. La edad de Yesica dentro de 10 años será el triple de la edad que tuvo hace 10 años ¿Cuál es su edad actual? a) 40 b) 60 c) 30 d) 20 e) 50 13. Si al triple de la edad que tengo le quito mi edad aumentado en 8 años, tendría 16 años. ¿Qué edad tengo? a) 10 b) 11 c) 14 d) 12 e) 13 14. Si al triple de la edad que tengo, se quita mi edad aumentada en 8 años, tendría 36 años. ¿Qué edad tengo? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 Academia GAUUS
15. Dentro de 10 años tendré en edad el cuádruple de lo que tenía hace 8 años. ¿Cuál será mi edad dentro de 15 años? a) 22 b) 18 c) 21 d) 29 e) 19 16. Hace 8 años la edad de Danitza era la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 2 años. ¿Qué edad tendrá dentro de 7 años?. a) 13 años b) 15 c) 20 d) 22 e) 24 17. Dentro de 12 años Lucia tendrá el doble de la edad que tenía hace 3 años. ¿Hace cuántos años tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 6 años? a) 13 b) 15 c) 10 d) 12 e) 11 18. Hace 2 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 5 años? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 19. Si al doble de tu edad se le quita 27 años se obtiene lo que te falta para tener 48 años. ¿Qué edad tendrías actualmente si hubieras nacido 10 años antes? a) 25 años b) 15 años c) 20 años d) 45 años e) 35 años 20. Si a la edad que tendré dentro de 10 años le suman la edad que tenía hace 5 años obtienes lo que me falta para tener 65 años. ¿Cuántos años tengo? a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25 21. Hace 3 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 21 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 7 años? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1
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JOHN MAMANI M. 22. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años. a) 18 b) 16 c) 8 d) 10 e) 12 23. A Miguelito se le pregunta por su edad y el responde: “Si al doble de mi edad se le quita 12 años se obtendrá lo que me falta para tener 45 años. ¿Cuál es la edad de Miguelito? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 24. Si al doble de mi edad se le quitan 13 años, se obtendrá lo que me falta para tener 50 años. ¿Cuánto me falta para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 25. Si al doble de mi edad se le quita 19 años, se obtendría lo que falta para cumplir 50 años. ¿Cuántos años me faltan para cumplir el doble de lo que tenía hace 3 años? a) 21 b) 23 c) 17 d) 19 e) 28 26. Si al triple de mi edad se le quita 14 años, se obtendría lo que me falta para tener 58 años. Calcula los años que me faltan para cumplir el doble de lo que tenía hace 6 años. a) 10 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 27. Si al doble de mi edad se le quita 10 años, se obtendría lo que me falta para tener 50 años. ¿Cuántos años me faltan para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? A) 50 b) 20 c) 10 d) 5 e) 30 28. Si al doble de tu edad se le quita 28 años, se obtiene lo que le falta para tener 50 años. ¿Qué edad tendrías actualmente si hubieras nacido 15 años antes?
420
a) 19 d) 41
b) 21 e) 51
c) 31
29. Habiéndose preguntado a un matemático por su edad, éste responde: “Si al doble de mi edad le quito 20 años, esta diferencia será igual al doble de lo que me falta para tener 90 años”. ¿Qué edad tiene el matemático? a) 40 años b) 45 años c) 50 años d) 55 años e) 60 años 30. Hallar la edad de Rosa, si al duplicar su edad para luego aumentarla en 28 años obtenemos el cuádruple de ella disminuida en 16 años. a) 20 años b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 31. Cuando se le pregunta la edad a Nancy ella responde: "dentro de 5 años tendré los 3/2 de lo que tuve hace 6 años". ¿Cuántos años tendrá Nancy dentro de 8 años? a) 28 b) 30 c) 32 d) 35 e) 36 32. Hallar la edad de Rosa, si se sabe que el triple de su edad, disminuida en sus 11/17, resulta 40 años. a) 17 años b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 33. Jorge tiene el doble de la edad que tenía hace 18 años. ¿Cuál es su edad actual? a) 27 años b) 36 c) 40 d) 30 e) 54 34. Si al doble de la edad que tendré dentro de 2 años, le resto el doble de la edad que tenía hace 2 años, se obtiene la edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de 8 años? Dé como respuesta la suma de sus dígitos. a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) 9 35. A Leo le preguntaron por su edad, éste aficionado a los números, respondió: “Si el triple de la edad que tendré dentro de tres años, le restan el triple de la edad que tuve Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. hace tres años, obtendrán mi ¿Cuántos años tiene Leo? a) 12 b) 6 c) 18 d) 9 e) 10
edad”.
36. El cuádruplo de la edad que tendré dentro de 4 años, menos el cuádruplo de la edad que tenía hace 4 años resulta mi edad actual. ¿Cuántos años faltan para cumplir 45 años? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 17 37. Se le pregunta por su edad a Mary y contesta “formen 5 veces los años que tendré dentro de cuatro años y resten le 5 veces los años que tenía hace 4 años y resultara exactamente mi edad actual”. ¿Qué edad tiene Mary? a) 20 b) 40 c) 46 d) 30 e) 50 38. A José se le pregunta por su edad, responde: “Si restas a la edad que tendré dentro de 10 años, la edad que tuve hace 10 años, obtendrás mi edad” . ¿Cuántos años tiene José? a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 6 39. Si al cuádruple de la edad que tendré dentro de 8 años, le restamos el doble de la edad que tenía hace 5 años, resultaría 19 años más el triple de mi edad. ¿Qué edad tengo? a) 18 b) 31 c) 23 d) 41 e) 16 40. Natalie dice: "si al doble de la edad que tendré dentro de 4 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 4 años, resultaría la edad que tuve hace 2 años". ¿Cuántos años tiene Natalie? Academia GAUUS
a) 12 d) 18
b) 15 e) 20
c) 16
41. José le dice a Elena; “si al triple de mi edad se le quita 16 años, tendría lo que me falta para tener 88 años”. Elena le responde: “si al triple de la edad que tendré dentro de 4 años le sumo el cuádruple de la edad que tenía hace 9 años, resultará el séxtuplo de mi edad”. ¿Cuánto suman sus edades? a) 45 años b) 50 años c) 55 años d) 35 años e) 30 años 42. ¿Qué edad tiene July, si cuando se le preguntó, respondió: “Si la edad que tengo más 7 años y medio se le resta la edad que tengo menos 7 años y medio se obtiene mi edad? a) 18 años b) 15 c) 30 d) 21 e) 12 43. Dentro de 12 años Carlos tendrá 3 veces más la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Carlos? a) 15 b) 12 c) 14 d) 10 e) 16 44. Dentro de 20 años tendré 2 veces más que la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendría actualmente si hubiese nacido 3 años antes? a) 25 b) 22 c) 28 d) 29 e) 30 45. La edad que tendrá Angélica dentro de dos años será siete veces más que la edad que ella tenía hace cinco años. ¿Qué edad tendrá Angélica dentro de cinco años? a) 6 años b) 8 años c) 10 años d) 11 años e) 13 años
421
JOHN MAMANI M. 46. Diana tendrá cinco veces la edad que hace 9 años tenía, dentro de 55 años. ¿Cuándo cumplirá un cuarto de siglo de vida? a) Hace 5 años b) Dentro de 1 año c) Hace 1 año d) Dentro de 5 años e) Ya los cumplió 47. Cuando a Paola se le pregunta por la edad de su Hamstercito, responde: “Hace 2 meses tenía la tercera parte de los meses que tendrá dentro de 4 meses”. ¿Dentro de cuántos meses cumplirá el quíntuplo de los meses que tiene? a) 25 b) 5 c) 20 d) 15 e) 10 48. Un niño dice: “Si a la edad que tenía hace 8 años lo multiplico por la edad que tendré dentro de 8 años resulta 105. Hallar mi edad. a) 11 b) 7 c) 12 d) 8 e) 13 49. Hace 7 años tenía “x” años, dentro de 5 años tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que tenía hace 5 años. Hallar “x” a) 10 b) 9 c) 8 d) 12 e) 11 50. Seis veces la edad que tendré dentro de 5 años, menos seis veces la edad que tenía hace 5 años resulta mi edad actual. ¿Cuántos años falta para cumplir los 68 años?. a) 8 años b) 6 años c) 4 años d) 10 años e) 9 años 51. Cuando transcurran a partir de hoy tantos años como el doble de los años que pasaron desde que nací hasta hace 36 años, tendré cinco veces más la edad que tenía en ese entonces ¿hace cuántos años nací?
422
a) 36 d) 30
b) 45 e) 42
c) 48
52. Tomemos la edad que tendré dentro de “algunos años”, tantas veces como años tendré, y restémosle los años que tuve hace los mismos “algunos años”, tantas veces como años tuve y obtendremos 24 veces mi edad actual. De aquellos años que tuve, ¿Cuántos años más son los que tengo? a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7 53. Tomemos la edad que tendré dentro de algunos años, tantas veces como años tendré y restémosle los años que tuve hace los mismos algunos años, tantas veces como años tuve y obtendremos una cantidad 79 veces mayor que mi edad actual. De aquellos años que tuve ¿Cuántos años más son los que tengo? a) 6 b) 20 c) 40 d) 10 e) 8 54. Cuando transcurran a partir de hoy tantos años como los años que pasaron desde que nací hasta hace 30 años, tendré el quíntuplo de la edad que tenía en ese entonces. ¿Cuántos años tengo? a) 30 b) 20 c) 18 d) 50 e) 40 55. Si hubieran pasado tres veces los años que han pasado, me faltaría la tercera parte de los años que supongo que pasaron, para duplicar la edad que tengo, y la suma de esta supuesta edad actual con mi edad actual real sería 80 años. ¿Qué edad tengo? a) 30 b) 50 c) 36 d) 45 e) 27 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. CUANDO INTERVIENE UN SUJETO II
Resolución
PROBLEMA 01
La raíz cuadrada de la edad que tendrá un Joven dentro de 7 años, más la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 2 años, es igual a nueve ¿Cuál es su edad? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 14
Resolución Sea "x" años del joven Del enunciado: x+7 + Por tanteo x = 18
x−2 = 9
PROBLEMA 02
Chinita tuvo trillizos a los 30 años, hoy las edades de los cuatro suman 90 años. ¿Cuál es la edad de los trillizos? a) 6 años b) 8 c) 15 d) 12 e) 13
Resolución La edad actual de los trillizos = x La edad actual de Chinita = 30 + x Del enunciado: (30 + x ) + 3 x = 90 4 x = 60 x = 15
PROBLEMA 03
Rossmery tuvo su primer hijo a los 18 años, un segundo a los 20 años y el tercero, 2 años después. Si en el 2013 la suma de las edades era de 80 años, ¿En qué año nació el tercer hijo? a) 1999 b) 1993 c) 2000 d) 1992 e) 2007
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Del enunciado: Nace el Nace el Nace el 2013 1er hijo 2er hijo 3er hijo Rosmery 18 20 22 22 + x 1er hijo 0 2 4 4+ x 2er hijo − 0 2 2+ x 3er hijo − − 0 x 80
(22 + x ) + (4 + x ) + (2 + x ) + x = 80 28 + 4 x = 80 4 x = 52 x = 13 El tercer hijo en el 2013 tendrá 13 años, entonces nació en el año: 2013 − 13 = 2000
PROBLEMA 04
En un aula de 40 alumnos, el profesor de R.M. suma los años de nacimiento de todos ellos y, luego suma las edades de los 40 alumnos; a continuación suma los dos resultados obteniendo 78868. Si la suma se hizo ayer ¿Cuántos ya cumplieron años en este año 1972? a) 26 b) 28 c) 15 d) 12 e) 13
Resolución Año actual = 1972 Suponiendo que todos ya cumplieron este año, la suma seria: 40(1972)=78880 Si todos ya hubieran cumplido años, el resultado debió ser de 78880, pero el resultado real es de 78868. No cumplieron años = 78880 − 78868 = 12 Ya cumplieron años = 40 − 12 = 28
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05
La edad de Daniela dentro de 9 años será un cubo perfecto. Hace 15 años su edad era la raíz cubica de dicho cubo perfecto. ¿Cuántos años le falta para tener 30 años? a) 6 b) 8 c) 15 d) 12 e) 13
Resolución
3 x + 9 = P ......(1) Dato 3 3 x − 15 =P ......(2)
(1) en (2) x − 15 = 3 x + 9
Tanteando: x = 18 Para cumplir 30 años le falta: 30 − 18 = 12
La edad actual de Daniela = x
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cuántos años tiene una persona sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 4 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 8 años suma 6? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 02. Qué edad tiene Raúl, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años, más la raíz cuadrada de la que tendrá dentro de 6 años es 11 años. a) 28 b) 30 c) 34 d) 32 e) 36 03. ¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 10 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 17 años suman 9? a) 9 b) 19 c) 34 d) 12 e) 24 04. ¿Cuántos años tendrá Beto dentro de 9 años; sabiendo que la diferencia entre la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 30 años, con la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 2 años es 2? a) 49 b) 51 c) 56 d) 60 e) 81 05. En un concurso de matemática a la con cursante Brenda le formulan la siguiente pregunta: ¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que
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tendrá dentro de 2 años, aumentada en la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 7 años da como resultado 9? Indique la respuesta del concursante, si fue correcta. a) 47 b) 34 c) 23 d) 14 e) 7 06. Thalía tuvo trillizos a los 25 años, hoy las edades de los cuatro suman 65 años. ¿Cuál es la edad de los trillizos? a) 6 años b) 8 c) 10 d) 12 e) 13 07. Mónica tuvo a los 30 años, quintillizos. Hoy las edades de los 6 suman 60 años. ¿Qué edad tiene uno de los quintillizos? a) 5 años b) 7 años c) 9 años d) 15 años e) 20 años 08. Susana tuvo a los 18 años trillizos, hoy las edades de los 4 suman 50 años ¿cuántos años tiene Susana? a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 8 09. Luz tuvo a los 20 años quintillizos. hoy las edades de los seis suman 80 años. ¿Cuál será la edad de uno de los quintillizos dentro de 4 años? a) 12 b) 13 c) 14 d) 19 e) 10
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JOHN MAMANI M. 10. María tuvo su primer hijo a los 27 años y 4 años después tuvo a su segundo hijo, si en el 2013 las edades de los tres sumaban 53 años, ¿en qué año nació María? a) 1972 b) 1980 c) 1974 d) 1978 e) 1976 11. Sara tuvo su primer hijo a los 17 años y 4 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 2013 las edades de los tres sumaban 49 años. ¿En qué año nació Sara? a) 1983 b) 1973 c) 1995 d) 1982 e) 1984 12. Sandra tuvo su primer hijo a los 20 años, un segundo a los 25 años y el tercero, 7 años después. Si en el 2012 la suma de las edades era de 83 años, ¿en qué año nació la madre? a) 1953 b) 1963 c) 1972 d) 1952 e) 1957 13. Judith tuvo su primer hijo a los 25 años, su segundo hijo a los 30 y 3 años después a su tercer hijo. Si actualmente (2005) la suma de todas las edades es 84. ¿En qué año nació Judith? a) 1959 b) 1962 c) 1958 d) 1960 e) 1956 14. Leonor tuvo su primer hijo a los 18 años, 3 años después tuvo a su segundo hijo y 5 años después a su tercer hijo. En el año 2009 las edades de los 4 suman 79 años. ¿En qué año nació Leonor? a) 1975 b) 1971 c) 1970 d) 1980 e) 1973 15. Paulina tuvo su primer hijo a los 21 años, a los 27 años su segundo hijo; a fines de 1995 la suma de edades de dichos hijos es 32 años. ¿En qué año nació Paulina? a) 1945 b) 1955 c) 1962 d) 1964 e) 1948 16. En el año 1988 un profesor sumó los años de nacimiento de 45 estudiantes de un salón y luego las edades de los estudiantes, enseguida Academia GAUUS
sumó ambos resultados y obtuvo 89437. ¿Cuántos estudiantes ya cumplieron años en dichos años? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 21 17. Teófilo festejó su cumpleaños con 9 amigos en junio de 2007, y se le ocurre sumar las edades de todos con los años en que habían nacido, obteniendo como resultado 18059 ¿Cuántos cumpleaños faltaban festejar el resto del año? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. En el año 2002 un profesor sumo los años de nacimiento de 45 estudiantes de un salón y luego las edades de los estudiantes, enseguida sumo ambos resultados y obtuvo 90068. ¿Cuántos estudiantes no cumplieron años en dicho año? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 21 19. Cierto día del mes de mayo del año 2000 a 10 personas se les pidió que sumasen las edades que tenían a los años en que nacieron y obtuvieron como resultado 19994. ¿Cuántas personas aún no habían cumplido años hasta ese entonces? a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 20. Estando reunidos el día de ayer, 20 alumnos procedieron a sumar los años de nacimiento de cada uno y por otro lado se sumó las edades también de cada uno, dando como resultado global 39916. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplieron años en el presente? (año actual: 1996) a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6
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JOHN MAMANI M. 21. En una reunión que se realizó en el 2002, uno de los 5 amigos que estaban reunidos comenta: "si calculamos el promedio de nuestras edades actualmente sería 14,8; pero si calculamos el promedio de nuestros años de nacimientos sería 1986,8". y uno de ellos responde: "esto quiere decir que algunos de nosotros ya celebró su onomástico". Calcule cuántos de dichos amigos ya cumplieron años. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. Dentro de cuatro años la edad de Rosa será un cuadrado perfecto, pero hace tres años era el cuadrado perfecto anterior al inicial. ¿Cuál era su edad hace seis años? a) 10 años b) 5 años c) 18 años d) 6 años e) 12 años 23. Dentro de 3 años la edad de un niño será un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era la raíz de ese cuadrado perfecto ¿Cuál es la edad del niño? a) 4 años b) 5 años c) 6 años d) 7 años e) 8 años 24. La edad de un niño dentro de 4 años será el cuadrado perfecto, hace 8 años su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado ¿Qué edad tendré dentro de 8 años? a) 20 años b) 25 años c) 21 años d) 4 años e) 12 años 25. La edad de Juana dentro de 6 años será un cuadrado perfecto. Hace 14 años, su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 9 años? a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
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26. La edad de Sebastián será, dentro de 29 años, un cuadrado perfecto. Hace 1 año, su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Dentro de cuántos años tendré el cuádruple de la edad que tuve hace 2 años? a) 7 b) 13 c) 20 d) 12 e) 23 27. La edad de María José será, dentro de 80 años, un cubo perfecto. Hace 40 años, su edad era la raíz cúbica de ese cubo perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 5 años? a) 45 b) 59 c) 50 d) 52 e) 63 28. La edad de un niño será, dentro de 13 años, un cuadrado perfecto. Hace 7 años, su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años? a) 7 b) 13 c) 20 d) 12 e) 23 29. La edad de José será, dentro de 12 años, un cubo perfecto. Hace 12 años, su edad era la raíz cúbica de ese cubo perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 5 años? a) 7 b) 13 c) 20 d) 12 e) 23 30. La edad de la tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un numero N, y menor en 5 que el cuadrado que del número siguiente a N ¿Cuántos años tiene la tortuga? a) 276 b) 245 c) 120 d) 189 e) 164
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JOHN MAMANI M. CUANDO INTERVIENE DOS O MÁS SUJETOS PROBLEMA 01
Un padre le dice a su hijo: Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías: pero dentro de 8 años únicamente será el doble. ¿Cuál es la edad del Hijo? a) 20 b) 16 c) 25 d) 19 e) 24
Resolución Planteamos y verifiquemos la diferencia de edades en el tiempo. −8 +8 Pasado Presente Futuro Padre 4 2 Hijo 1 1 = D 3= D 1 Observamos que las diferencias no son iguales, entonces haremos que sean iguales. ¿Cómo? multiplicando en el pasado por 1 y el futuro por 3, (Si las diferencias se pueden simplificar, simplifícalo y luego recién multiplique) −8 +8
Padre Hijo
Pasado Presente Futuro 4 6 1 3
= D 3= D 3 Luego, verificar el tiempo que transcurre. −8
16
+8
Pasado Presente Futuro Padre 4 6 Hijo 1 3 2 = D 3= D 3 Para que se cumpla el dato debemos multiplicar por 8 a los valores del cuadro (8 resulta al dividir 16/2) Academia GAUUS
Padre Hijo
Pasado Presente Futuro 32 48 8 24
Entonces pasamos a completar el cuadro. −8 +8
Padre Hijo
Pasado Presente Futuro 32 40 48 8 16 24
Por tanto la edad del hijo es 16 PROBLEMA 02
En el año 2001, la edad de Lucia era cuatro veces la edad de Sandra; en el 2009, la edad una de ellas era el doble de la otra. ¿Qué edad tiene Lucia en el 2013? a) 20 b) 16 c) 25 d) 28 e) 24
Resolución Con el mismo método 2001 2009 2013 Lucia 4 2 Sandra 1 1 = D 3= D 1 8 Lucia Sandra
2001 2009 2013 4 6 1 2 3
= D 3= D 3 +4 Lucia Sandra
2001 2009 2013 16 24 28 4 12 16
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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 03
Dos jóvenes estudiantes conversaban: “Hace 2 años, mi edad era los 4/3 de tu edad”, decía el primero. “Sin embargo, dentro de 2 años, mi edad será los 4/5 de tu edad”, replicaba el segundo. Halle las edades de los jóvenes y de como respuesta la suma de ellas. a) 20 b) 15 c) 35 d) 25 e) 32
−2
Joven 1 Joven 2
Pasado Presente Futuro Joven 1 4 5 Joven 2 3 4 = D 1= D 1
+2
Pasado Presente Futuro 4 5 1 3 4
= D 1= D 1 Joven 1 Joven 2
Resolución
4
Pasado Presente Futuro 16 20 12 16 −2
+2
Pasado Presente Futuro Joven 1 16 18 20 Joven 2 12 14 16
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hace 4 años la edad de Víctor era tres veces la edad de José y dentro de 5 años será el doble. ¿Cuál es la edad de Víctor? a) 30 b) 35 c) 42 d) 48 e) 31
05. Hace 5 años la edad de un padre era 3 veces la de su hijo. Dentro de 5 años será el doble. ¿Qué edad tiene el padre? a) 28 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
02. Hace 4 años la edad de Ana era el cuádruple la de Juan, pero dentro de 5 años será el triple. ¿Hallar la suma de las edades actuales? a) 98 b) 99 c) 100 d) 118 e) 48
06. Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo, ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple de la de su hijo? a) 20 años b) 16 años c) 15 años d) 18 años e) 14 años
03. Hallar la suma de la edad de un padre y la de su hijo, si hace 8 años, la edad del primero fue el cuádruple de la del hijo y dentro de 12 años sólo será el doble. a) 55 b) 36 c) 66 d) 26 e) 46 04. Dentro de 10 años la edad de Katty será el doble de la de Patty. Si hace 5 años la edad de Katty era el quíntuplo de la edad de Patty. Dar la suma de las edades actuales de ambas. a) 30 b) 50 c) 20 d) 45 e) 40
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07. Dentro de 15 años, la edad de Roberto será el doble de la de Antonio. Si hace 6 años la edad de Roberto era el triple de la de Antonio, dar la suma de las edades actuales de ambos. a) 60 b) 38 c) 90 d) 96 e) 102 08. Martha le dice a Cristy: ahora tu edad es un quinto de la mía; hace 5 años, no era más que la novena parte. ¿Qué edad tiene Martha? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 40 d) 50
b) 30 e) 55
c) 60
09. En 1990, la edad de Alex era cuatro veces la edad de Beto y en 1998 la edad de Alex fue el doble de la edad de Beto. Halle la edad que tuvo Beto en el 2005. a) 16 años b) 17 años c) 18 años d) 19 años e) 20 años 10. En 1909 decía un padre a su hijo, mi edad es el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo será el duplo. ¿Qué edad tenía el padre en 1930? a) 48 años b) 39 años c) 56 años d) 52 años e) 42 años 11. En 1918, la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la que tenía su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940? a) 47 b) 50 c) 67 d) 60 e) 77 12. En 1995 la edad de Angélica era tres veces la edad de María, en 2002 la edad de Angélica fue el doble de la edad de María. ¿Cuál fue la edad de Angélica en 1990? a) 15 b) 18 c) 16 d) 21 e) 17 13. En 1920 la edad de José era 4 veces la edad de María en 1928 la edad de José fue el doble de la edad de María ¿Cuál fue la edad de José en 1930? a) 19 b) 27 c) 26 d) 15 e) 30 14. En 1963 la edad de Julio era 9 veces la edad de Juan. En 1968 era solamente el quíntuplo. En 1993, el número de años que cumplió Julio fue: a) 75 b) 70 c) 83 d) 80 e) 74 15. En 1961, decía un padre a su hijo: “Mi edad es el quíntuplo de tu edad, pero en 1982 no Academia GAUUS
será más que el duplo”. ¿En qué año nació el hijo? a) 1962 b) 1958 c) 1954 d) 1998 e) 1948 16. Hace 5 años Pedro tenía el doble de la edad que tenía Juan. ¿Cuál es la edad actual de Juan sabiendo que dentro de 5 años se cumplirá que la edad de Juan será los 2/3 de la edad que tenga pedro? a) 20 b) 15 c) 35 d) 25 e) 10 17. Hace 10 años la edad de un padre era el doble de la de su hijo, pero dentro de 20 años la relación de sus edades será de 4 a 3. Hallar la edad actual del padre. a) 20 b) 40 c) 35 d) 25 e) 30 18. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre. Si dentro de 5 años, la mitad de la edad del padre será igual a la edad que el hijo tendrá. ¿Cuál es la edad del padre? a) 35 años b) 40 años c) 45 años d) 55 años e) 60 años 19. Las edades de Henry y Antonio están en relación de 2 a 3, si dentro de 8 años dicha razón será 3/4. ¿Cuál será la suma de edades 12 años más? a) 78 b) 80 c) 74 d) 76 e) 72 20. La edad de Juan es 4/5 de la edad de Raúl, si hace 3 años, los 3/4 de la edad de Raúl era igual a la edad de Juan ¿Cuántos años tiene actualmente Juan? a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
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JOHN MAMANI M. 21. Hace 5 años nuestras edades estaban en la relación de 5 a 3, y dentro de 25 años, tu edad será a la mía como 5 es a 7. ¿Cuántos años tengo? a) 40 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 22. Hace 5 años, la edad de un padre cuatro veces la de su hijo; y dentro de 5 años será solamente el doble de la de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo cuando nació el hijo? a) 40 b) 50 c) 30 d) 45 e) 35 23. Hace 15 años mi edad era los 16/3 de tu edad; pero si contamos 45 años a partir de hoy, sucederá que tú tendrás 15/28 de la edad que yo tenga. ¿Hace cuantos años mi edad fue el séxtuplo de tu edad en ese entonces? a) 16 b) 15 c) 17 d) 20 e) 18 24. Hace 5 años, las edades de Miguel y de Sandra estaban en la relación de 7 a 4, y dentro de 7 años sus edades estarán en la relación de 3 a 2. ¿Cuál será la suma de las edades de ambos dentro de tantos años como tenía Miguel cuando nació Sandra? a) 112 b) 118 c) 120 d) 122 e) 108 25. Hace 6 años la edad de un tío era 8 veces la edad de su sobrino, pero dentro de 4 años será sólo el triple. ¿Cuánto sumarán sus edades dentro de 5 años? a) 53 años b) 64 años c) 56 años d) 58 años e) 48 años
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26. Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4, si hace 5 años esa relación era como 3 es a 2. ¿Hace cuántos años nací? a) 5 b) 15 c) 45 d) 20 e) 30 27. Dentro de 15 años la edad de un padre será el doble de la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 6 años, la edad del padre era el triple de la del hijo? a) 23 años b) 21 años c) 22 años d) 24 años e) 27 años 28. Hace 7 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo; pero dentro de 9 años será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 48 años b) 78 años c) 68 años d) 49 años e) 10 años 29. Hace 14 años, la relación de mi edad a tu edad era como 5 es a 1 y dentro de 6 años dicha relación será como 5 es a 3. ¿Qué edad tengo? a) 30 años b) 20 años c) 36 años d) 18 años e) 34 años 30. Dentro de 10 años, la edad de Edgar será el doble de la edad de Blanca. ¿Cuál es la edad actual de Blanca, si hace 5 años la edad de Edgar era el quíntuplo de la edad de Blanca? a) 15 años b) 20 años c) 10 años d) 30 años e) 40 años 31. Hace 5 años la edad de Vanessa era a la de Luis como 7 es a 5 respectivamente, pero si dentro de 14 años la relación será como 13 es a 12. ¿Cuál será la edad de Luis dentro de 6 años? a) 16 b) 20 c) 15 d) 13 e) 18 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. CUANDO INTERVIENE DOS O MÁS SUJETOS II
Resolución
PROBLEMA 01
Hace 4 años, la edad de Paola era el cuádruplo de la edad de Marco, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales. a) 60 b) 76 c) 87 d) 98 e) 68
Resolución De acuerdo al enunciado del problema podemos construir el siguiente cuadro de doble entrada. Hace 4 Dentro de Presente años 5 años Paola 4x 4x + 4 4x + 9 Marco x x+4 x+9
Del enunciado del problema podemos establecer el siguiente cuadro de doble entrada. Presente Yo Tú
x
x+6
Él
6x
6x + 6
De la condición: “Si dentro de 6 años, él va a tener el cuádruplo de la edad que tú tengas” podemos plantear la siguiente ecuación: 6 x + 6= 4( x + 6)
Resolviendo:
6 x + 6 = 4 x + 24 6 x − 4 x = 24 − 6 2 x = 18 x=9
De la condición, que dice de la edad de Paola respecto de la Marco: “Dentro de 5 años será el triple”, podemos plantear: 4 x + 9= 3( x + 9)
Resolviendo la ecuación anterior: 4 x + 9 = 3 x + 27 4 x − 3 x = 27 − 9 x = 18
2x
Dentro de 6 años 2x + 6
Mi edad actual (Yo): 2(9) = 18 años Tendré 26 años dentro de: 26 − 18 = 8
PROBLEMA 03
Las edades actuales de: Ana : 4 x += 4 4(18) += 4 76 Juan : x + 4 = 18 + 4 = 22 Luego, la suma de las edades es: 76 + 22 = 98 años
En 1920 la edad de Marco era 4 veces la edad de Carla y en 1928 la edad de Marco fue el doble de la edad de Carla ¿Cuál fue la edad de Carla en 1930? a) 19 b) 27 c) 26 d) 30 e) 32
PROBLEMA 02
Del enunciado, exponemos la siguiente tabla:
Resolución Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años, él va a tener el cuádruplo de la edad que tú tengas, ¿dentro de cuántos años tendré 26 años? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Academia GAUUS
Marco Carla
1920 1928 4x 4x + 8 x x+8
En 1928 nos dicen que “la edad de Marco fue el doble de la edad de Carla” La edad de Marco=2 ( Edad de Carla )
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JOHN MAMANI M. 4 x + 8= 2( x + 8)
La edad de Carla en 1928 es: 4(4) + 8 = 24 años
4 x + 8 = 2 x + 16 4 x − 2 x = 16 − 8 2x = 8 x=4
En 1930 Carla tendrá: 24 + 2 = 26 años
Resolviendo:
¡Comprueba lo que sabes! 01. Cristian tiene 4 años más que Sonia. La suma de sus edades dentro de 6 años será 34 años. ¿Qué edad tiene Cristian? a) 10 b) 11 c) 14 d) 15 e) 13
07. La edad de un padre y la de su hijo suman 90. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años. ¿Cuántos años tiene el hijo? a) 12 b) 30 c) 27 d) 15 e) 9
02. Guido tiene 4 años más que Rouz. Hace 2 años la suma de sus edades era 16, ¿qué edad tiene Guido? a) 8 b) 14 c) 12 d) 11 e) 10
08. Dos personas tienen 12 y 32 años respectivamente. Dentro de cuántos años la edad de la mayor será el doble de la menor. a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 6
03. Wilmer tiene el triple de la edad de Milagros. Hace 5 años la suma de sus edades era 14. ¿Qué edad tiene Wilmer? a) 18 b) 15 c) 24 d) 16 e) 20
09. Una madre y su hijo tienen 40 y 23 años respectivamente. ¿Hace cuántos años la edad de la madre era el doble de la del hijo? a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 8
04. Un padre tiene 14 años más que su hijo. Calcula la edad del hijo, sabiendo que dentro de 10 años, la suma de las edades será 88. a) 20 b) 27 c) 17 d) 24 e) 37
10. La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es de 9 años. ¿Al cado de cuantos años la edad del padre triplica al a de su hijo? a) 8 b) 9 c) 5 d) 6 e) 7
05. Marco tiene 8 años más que Manuel, hace 9 años la suma de sus edades era 60 años. ¿Qué edad tiene Manuel? a) 45 b) 42 c) 32 d) 35 e) 38
11. Lucho tiene 47 años y Jesús 32 años. ¿Hace cuántos años que la edad de Lucho fue el cuádruplo de la edad de Jesús? a) 38 b) 27 c) 15 d) 37 e) 28
06. La edad de Masshelk es dos veces mayor que la edad de Dickson, hace 8 años la suma de sus edades era 40 años. ¿Qué edad tiene Dickson? a) 12 b) 19 c) 16 d) 18 e) 14
12. Un padre tiene 40 años y su hijo 30 años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será 7/6? a) 30 b) 20 c) 18 d) 40 e) 60
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13. La edad de Montesinos es la mitad de la edad de Paola, pero hace 20 años la edad de Paola Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. era el triple de la edad de Montesinos. ¿Qué edad tiene Montesinos? a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 14. La edad de Rocío es el doble de Pitágoras y hace 15 años la edad de Rocío era el triple de la edad de Pitágoras. Halla la edad de Pitágoras. a) 24 b) 25 c) 32 d) 36 e) 30 15. La edad de Marcial es el doble que la edad de Irene y hace 15 años la edad de Marcial era el triple de la edad de Irene. ¿Cuántos años tiene Irene? a) 30 b) 10 c) 20 d) 50 e) 40 16. La edad de Marcos es 7 veces la edad de Elvira, dentro de 1 año la edad de Marcos será el quíntuplo de la de Elvira. ¿Cuál es la edad de Marcos? a) 14 b) 32 c) 20 d) 18 e) 22 17. Un padre tiene 24 años más que su hijo, determine sus edades actuales, sabiendo que dentro de 8 años la edad del padre es el doble que la de su hijo. a) 18 y 50 b) 11 y 40 c) 12 y 60 d) 15 y 50 e) 16 y 40 18. La edad de Javier es la tercera parte de la edad de Fernando, pero hace 10 años la edad de Fernando era 5 veces la edad de Javier. La suma de las edades que ambos tenían hace 2 años es: a) 80 b) 72 c) 84 d) 74 e) 76 19. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años el tendrá el cuádruple de la edad que tu tengas. ¿Dentro de cuantos años tendré 20 años? a) 6 b) 3 c) 4 d) 2 e) 1 Academia GAUUS
20. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es 18 años menor que la edad de él. ¿Qué edad tengo? a) 16 b) 24 c) 14 d) 12 e) 18 21. El menor de tres hermanos tiene 3 años menos que el segundo y la edad del mayor es el duplo de la edad del segundo. Si, dentro de 6 años la suma de las edades será 47 años, ¿qué edad tiene el mayor? a) 16 b) 10 c) 8 d) 14 e) 22 22. La edad de María es la mitad de los 2/3 de la edad de Maritza. Si ésta tiene 24 años, María tiene: a)6 b) 10 c) 4 d) 8 e) 16 23. Beto tiene 4 años más que Juana. La suma de sus edades dentro de 6 años será 34 años. ¿Qué edad tiene Beto? a) 10 b) 11 c) 14 d) 15 e) 13 24. Naty tiene 4 años más que Rocío. Hace 2 años la suma de sus edades era 16, ¿qué edad tiene Naty? a) 8 b) 14 c) 12 d) 11 e) 10 25. Carla tiene el triple de la edad de Denise. Hace 5 años la suma de sus edades era 14. ¿Qué edad tiene Carla? a) 18 b) 15 c) 24 d) 16 e) 20 26. Gladis tiene 4 veces la edad de Tomy. Hace 3 años ella era 6 veces mayor que él. ¿Qué edad tiene Gladis? a) 20 b) 24 c) 28 d) 16 e) 18
433
JOHN MAMANI M. 27. Una madre y su hijo tienen 40 y 23 años respectivamente. ¿Hace cuántos años la edad de la madre era el doble de la del hijo? a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 8
estarán en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad de Danilo? a) 1/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 2/4 e) 3/5
28. Un padre tiene 40 años y su hijo 30 años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será 7/6? a) 30 b) 20 c) 18 d) 40 e) 60
35. La edad de Marcial es el doble que la edad de Irene y hace 15 años la edad de Marcial era el triple de la edad de Irene. ¿Cuántos años tiene Irene? a) 30 b) 10 c) 20 d) 50 e) 40 36. La edad de María es el triple de la edad de la de Paula y dentro de 20 años será el doble. Hallar la edad de María. a) 10 b) 60 c) 20 d) 50 e) 40
29. Hace 4 años la edad de Ana era el cuádruple de la edad de Juan, pero dentro de 5 años será el triple. Halla la suma de sus edades actuales. a) 94 b) 98 c) 96 d) 90 e) 97 30. Un padre tiene 14 años más que su hijo. Calcula la edad del hijo, sabiendo que dentro de 10 años, la suma de las edades será 88. a) 20 d) 24
b) 27 e) 37
c) 17
31. La edad de Miguel es el doble de la edad de Pedro, pero hace 10 años era el triple. Halla la suma de las edades actuales a) 10 b) 60 c) 50 d) 40 e) 15 32. Si un padre tiene 24 años más que su hijo. Hace 10 años la suma de ambas edades fue 28 años. Hace 5 años el hijo tenía: a) 10 b) 17 c) 12 d) 7 e) 2 33. Determina la edad de Panchito, sabiendo que es 12 años menor que Martincito y hace 6 años la edad de Martincito era el cuádruple de la edad que tenía Panchito. (en años). a) 10 b) 12 c) 15 d) 8 e) 6 34. La edad de Orlando es a la de Danilo como 5 es a 6. Después de cierto tiempo sus edades
434
37. La edad de Marcos es 7 veces la edad de Elvira, dentro de 1 año la edad de Marcos será el quíntuplo de la de Elvira. ¿Cuál es la edad de Marcos? a) 14 b) 32 c) 20 d) 18 e) 22 38. La edad de Julio es el triple de la edad de Gloría, hace 10 años sus edad era 7 veces la edad que tenía Gloría. ¿Qué edad tiene Gloría? a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 18 39. Hace 20 años, la edad de Julio era el doble de la edad de Pedro. Actualmente sus edades suman 85 años, ¿cuál es la edad actual de Julio? a) 30 b) 50 c) 20 d) 45 e) 40 40. A Manuel, al preguntarle sobre la edad de su hijo contesta: Mi edad es 3 veces la edad de mi hijo, pero hace 10 años nuestras edades sumaban 60 años. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? a) 15 y 45 b) 20 y 60 c) 12 y 36 d) 25 y 75 e) 22 y 43 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 41. La edad de Pilar es el triple de la edad de Vanesa, y hace 4 años ambas edades sumaban tantos años como la edad de Vanesa dentro de 16 años, ¿edad de Vanesa es? a) 6 b) 4 c) 10 d) 4 e) 12 42. La edad de Norka es el triple de la edad de Alberto. Hace cuatro años la suma de sus edades era la mitad de la edad que tendrá Norka dentro de catorce años. ¿Cuántos años tiene Norka? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 43. Hace 12 años, la edad de Carmen era el doble de la de Ana y dentro de 12 años la edad de Isabel será 68 años menos que el triple de la de Ana. Hallar la edad de Ana. a) 25 b) 32 c) 15 d) 19 e) 48 44. El hermano mayor tiene cuatro veces la edad de su hermano menor. Dentro de 10 años el hermano mayor tendrá el doble de la edad del menor. ¿Cuántos años tiene el hermano menor? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 45. La edad de Nancy es la tercera parte de la edad de Javier, pero hace 10 años la edad de Javier era 5 veces la edad de Nancy. La suma de las edades que ambos tenían hace 2 años es: a) 72 b) 76 c) 80 d) 84 e) 88 46. Hace 3 años las edades de dos hermanas estaban en la relación de 4 es a 5. Actualmente sus edades suman 42 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 es a 9? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Academia GAUUS
47. Las edades de tres hermanos hace 3 años estaban en la relación 2, 3, 4, y dentro de tres años será como 5, 6, 7 ¿Qué edad tiene el menor? a) 8 b) 5 c) 9 d) 6 e) 7 48. Las edades de tres hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5, 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor? a) 18 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8 49. Hallar las edades de Ana, Beatriz y Roxana, respectivamente, si su suma es 39, además la edad de Beatriz excede al doble de la edad de Roxana en 6 y la edad de Ana es igual al doble de la edad de Beatriz. a) 24; 12 y 3 b) 12; 24 y 3 c) 9; 7 y 2 d) 14; 22 y 1 e) 22; 11 y 5 50. Una señora a los “n” años tuvo mellizos, hoy las edades de los tres suma 101 años. Hallar el valor de “n” sabiendo que en la actualidad la señora tiene 47 años. a) 25 b) 20 c) 24 d) 18 e) 27 51. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años el tendrá el cuádruple de la edad que tu tengas. ¿Dentro de cuantos años tendré 20 años? a) 6 b) 3 c) 4 d) 2 e) 1 52. Pedro tiene el tiple de la edad de Rosa, pero Eddy tiene el quíntuple de la edad de Pedro. Si dentro de 4 años la edad de Eddy será el cuádruple de la edad Pedro. ¿Qué edad tiene Eddy? a) 50 b) 60 c) 40 d) 30 e) 20
435
JOHN MAMANI M. CUANDO INTERVIENE DOS O MÁS SUJETOS III PROBLEMA 01
Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años. Hallar la suma de las edades actuales. a) 36 b) 49 c) 54 d) 37 e) 60
“Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 63 años” Este valor lo calculamos aplicando la suma en aspa
Yo Tú
Pasado
Presente
Futuro
3k 2k
4k 3k
5k 4k
Resolución
Suma 63
Haciendo un gráfico para cada tiempo “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías” Pasado Yo Tú
Presente
2x
“Cuando yo tenía la edad que tú tienes” Yo Tú
Presente
x
2x y
y
Futuro
y + y =x + 2x 2y = 3x x 2 = y 3
De la anterior proporción establezcamos la relación:
x 2k y 3k
Presente
3k 2k
4k 3k
Resolución
Futuro
Prosiguiendo con la interpretación del enunciado
436
PROBLEMA 02
Yo tengo los 13/9 de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 6 años. ¿Qué edad tuve yo hace 10 años? a) 18 b) 19 c) 25 d) 28 e) 29
Traduciendo el enunciado del problema paso a paso: “Yo tengo 13/9 de la edad que tú tenías”.
Reemplazamos en el cuadro: Pasado
Luego: Las edades actuales: Yo : 4(7) = 28 años Tú : 3(7) = 21 años ∴ La suma de las edades actuales es:
28+21=49
Aplicando el criterio de las sumas en aspa:
Yo Tú
5k + 4k = 63 k=7
Futuro
x
Pasado
De la condición del problema, tenemos:
Pasado Yo
Presente
Futuro
13x
Tú 9x “Cuando yo tenía la edad que tú tienes” Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Yo Tú
Pasado
Presente
9x
13x y
y
Este valor lo calculamos aplicando la suma en aspa
Futuro
Yo
Aplicamos suma en aspa:
2y = 22x ⇒ y = 11x
Tú
Pasado
Presente
Futuro
11x 9x
13x 11x
15x 13x
Reemplazamos:
Diferencia 6
Pasado
Presente
Yo
11x
Tú
9x
13x 11x
Futuro
“Cuando tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 6 años”.
De la diferencia de las edades, tenemos:
15x 13x = 6 x=3 Luego, las edades actuales son: Yo: 13(3) = 39 años Tú: 11(3) = 33 años ∴ Hace 10 años tuve: 39 10 =29
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hugo tiene 48 años, esta edad es el doble de la edad que tenía Milagros cuando Hugo tenía la misma edad que tiene Milagros. ¿Qué edad tiene Milagros? a) 42 b) 28 c) 39 d) 40 e) 36 02. Paola le dice a Guido: “Yo tengo 20 años, mi edad es la mitad de la que tu tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes”. ¿Qué edad tiene Guido? a) 36 b) 30 c) 50 d) 45 e) 40 03. José tiene 40 años, su edad es el doble de la edad que tenía Pedro cuando José tenía la edad que ahora tiene Pedro. ¿Qué edad tiene Pedro? a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 35 04. Zaida tiene 24 años, su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Betty cuando Zaida tenía la Academia GAUUS
tercera parte de la edad que tiene Betty. ¿Qué edad tiene Betty? a) 18 b) 23 c) 21 d) 25 e) 20 05. Esther tiene 64 años, su edad es el cuádruple de la edad que tenía Judith, cuando Esther tenía la tercera parte de la edad que tiene Judith. ¿Qué edad tiene Judith? a) 45 b) 50 c) 60 d) 75 e) 72 06. Martha tiene 48 años, y su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Ana cuando Martha tenía la tercera parte de la edad que tiene Ana. ¿Qué edad tiene Ana? a) 32 b) 42 c) 18 d) 56 e) 21 07. Juana tenía 5 años cuando Walter tenía la cuarta parte de la edad que tiene Juana. Calcula la suma de sus edades actuales, si Walter tiene 30 años.
437
JOHN MAMANI M. a) 52 d) 40
b) 58 e) 56
c) 39
08. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes actualmente. ¿Cuántos años tengo, si la suma de nuestras edades es 35 años? a) 20 b) 23 c) 24 d) 27 e) 21 09. Tú tienes 16 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 44 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 35 10. Hace tiempo yo tenía la edad que tú ahora tienes y tú tenías la quinta parte de los años que tengo. Si la suma de nuestras edades actuales es 48 años, ¿Cuántos años tengo? a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 35 11. Él tiene la edad que ella tuvo cuando él tenía la cuarta parte de la edad que tiene. Si ella tiene 15 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella? a) 60 b) 25 c) 30 d) 40 e) 35 12. Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más que él. Halle la suma de las cifras que ella tiene. a) 6 b) 5 c) 9 d) 7 e) 8 13. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, mi edad será 30 años. ¿Qué edad tengo? a) 12 b) 16 c) 24 d) 36 e) 54 14. Oscar le dice Juanito: tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, la
438
suma de nuestras edades será 54 años. ¿Cuál es la edad de Juanito? a) 16 años b) 18 años c) 20 años d) 22 años e) 24 años 15. Juan le dice a Pancho “yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 81 años”. Hallar la edad de Pancho. a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 30 16. Andrés le dice a Nicolás: Dentro de 2 años, yo tendré el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tendrás en ese entonces. Si actualmente la suma de sus edades es 21 años. ¿Qué edad tenía Nicolás hace 2 años? a) 5 años b) 8 años c) 6 años d) 10 años e) 7 años 17. Tú tienes cuatro veces más la edad que yo tenía cuando tú tenías la edad que yo tengo. Si dentro de 10 años nuestras edades sumarán 100 años, ¿qué edad tengo? a) 10 años b) 30 años c) 50 años d) 40 años e) 35 años 18. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste, cuando yo tuve la dieciseisava de la edad que tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades sumarán 175. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 90 años? a) 15 b) 10 c) 18 d) 20 e) 22 19. Sixto le dice a Pedro: yo tengo el doble de la edad que usted tenía cuando yo tenía la que usted tiene. La suma del triple de la edad que usted tiene con la que yo tendré cuando usted tenga lo que yo tengo, es 280. ¿Cuáles son las edades de Sixto y Pedro? a) 80 y 60 b) 70 y 60 c) 60 y 75 d) 80 y 90 e) 50 y 40 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 20. Yo tengo los 13/9 de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, cuando tu tengas la edad que yo tengo la diferencia de nuestras edades será de 6 años. ¿Qué edad tuve yo hace 10 años? a) 25 años b) 29 años c) 27 años d) 30 años e) 32 años 21. Tú tienes los 3/2 de la edad que él tenía cuando tú tenías la tercera parte de lo que tendrás cuando él tenga los 9/2 de lo que tuviste cuando él tuvo la tercera parte de la edad que tienes, que es 30 años. ¿Qué edad tendrá él dentro de 12 años? a) 20 años b) 35 años c) 36 años d) 40 años e) 47años 22. Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumaron 56 años? a) 12 b) 16 c) 24 d) 36 e) 54 23. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tuviste cuando yo nací. Cuando tú tengas el doble de la edad que tengo la suma de nuestras edades será 75 años. ¿Cuántos años tengo? a) 25 años b) 20 años c) 16 años d) 18 años e) 24 años 24. Karen le dice a Rosa; la suma de nuestras edades es 46 años y tú edad es el triple de la edad que tenías, cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. ¿Dentro de cuántos años la edad de Karen será el doble de la edad que tiene Rosa? a) 18 b) 26 c) 24 d) 20 e) 25
que tuviste hace 5 años?. Si actualmente nuestras edades suman 34 años a) 18 años b) 16 años c) 20 años d) 22 años e) 26 años 26. Yo tengo el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el cuádruple de la edad que tuviste cuando mi edad era el triple de tu edad de ese entonces y cuando tu tengas mi edad, nuestras edades sumaran 28 años ¿Qué edad tengo?. a) 10 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 27. Tú tienes los 3/2 de la edad que él tenía cuando tu tenías la tercera parte de lo que tendrás cuando él tenga los 9/2 de lo que tuviste cuando él tuvo la tercera parte de la edad que tienes, que es 30 años. ¿Qué edad tendrá el dentro de 12 años? a) 20 años b) 35 años c) 36 años d) 40 años e) 47 años 28. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía, cuando él tenía la octava parte de lo que tendré, cuando tengas lo que yo tengo, y él tenga 6 años más de lo que tuve; si lo que tuve es 6 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo? a) 36 años b) 38 años c) 40 años d) 37 años e) 42 años 29. Yo tengo doce veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía dos veces la edad que tuviste, cuando yo tuve un exceso de 10 años sobre tu edad actual, y cuando tenga 2 veces la edad que tú tienes la suma de nuestras edades será 105. ¿Qué edad tendré dentro de un año? a) 60 años b) 61 años c) 68 años d) 58 años e) 63 años
25. Yo tengo dos veces más de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve una vez más de la edad que tuviste, cuando yo tuve tres veces menos de la edad que tengo. ¿Qué edad tendrás cuando yo tenga el doble de la edad Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M. RELACIÓN CON EL AÑO DE NACIMIENTO PROBLEMA 01
1900 + aa + 4a + 5b = 1900 + bb
Katy nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (4a + 5b) años. ¿Cuál fue el año en que 3
tuvo: (a + 3b) años? a) 1945 b) 1965 d) 1954 e) 1955
c) 1975
10a + a + 4a + 5b= 10b + b 15a = 6b 5a = 2b Donde: a = 2 y b = 5 Nació en el año 1922 3
3
(a + 3b) = (2 + 3(5)) = 23 Tuvo 23 años en el año: 1922 + 23 = 1945
Resolución Se cumple que: 19aa + (4a + 5b) = 19bb
¡Comprueba lo que sabes! 01. Un alumno nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a + b) años ¿En qué año tuvo (2a + b) años? a) 1986 d) 1988
b) 1987 e) 2000
c) 1985
02. Lilian nació en 19ab y en 1993 cumplió (a + b) años. Por lo tanto, Lilian cumplirá
a) 1935 d) 1947
b) 1942 e) 1937
c) 1975
05. Miler nació el año 19ab y se sabe que en el año 19ba cumplirá 2b años, ¿Cuántos años cumplirá en el año 2011? a) 64 b) 62 c) 63 d) 65 e) 66
(ab) años en:
a) 2012 d) 2028
b) 2023 e) 2025
c) 2034
03. Una persona nació en el año 19ab observa que en el año 19ba cumplirá (a + b) años de edad. ¿En qué año nació? a) 1947 b) 1945 c) 1900 d) 1948 e) 1946 04. Una persona que nació en 19ab observa que en el año 19ba cumplirá (a + 3b) años de edad. ¿En qué año nació?
440
06. El padre de Machaca nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (3a + 5b) ¿Cuántos años cumplirá el padre de Machaca el año 2014? a) 81 b) 71 c) 80 d) 90 e) 35 07. Isabel cuenta que cuando cumplió años en 1994, se dio cuenta que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 2013? a) 45 b) 46 c) 48 d) 44 e) 40 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 08. Yo nací en el año 19ab y en el año 1980 tuve (a + b) años. ¿En qué año tendré 2
2
(a + b ) años? a) 2052 b) 2038 d) 1999 e) 2006
c) 2055
09. Lilian nació en el año 19ab y en 1950 tuvo (a + b) años. ¿En qué año tendrá (2a + 3b) años? a) 1960 b) 1962 c) 1965 d) 1961 e) 1964 10. Si una persona nació en el año 19ab , y en el año 1990 tiene (a + b) años de edad. ¿En qué año tiene (a × b) años? a) 1981 b) 1972 c) 1978 d) 1989 e) 1998 11. Raúl nació en el año 19ab y en 19ba, tiene (a + b) años. ¿En qué año cumplió ab? a) 1945 b) 1954 c) 1965 d) 1975 e) 1974 12. Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (a + 5b) años ¿Cuál fue 4
el año en que obtuvo (a + b) años de edad? a) 1981 b) 1971 c) 1992 d) 1988 e) 1955 13. Montesinos nació en 19ba y en el año 19ab cumplió (a + b) años ¿En qué año cumplió b 3a × ? 2 a) 1965 b) 1975 c) 1978 d) 1984 e) 1980 14. Rocio nació en el año 19aa y en el año 19(a + 2)b cumplió (5a − b) años. Calcule ab , si a
15. Si Alberto hubiera nacido en el año 19ba , en el año 2030 tendría ba años; sin embargo nació en el año 19bb. ¿Cuántos años tendrá en el año 2015? a) 36 b) 32 c) 38 d) 45 e) 49 16. En 1995 una persona tiene ab años. Si en 19ab tuvo (a + b) años. ¿En qué año nació? a) 1950 b) 1946 c) 1975 d) 1955 e) 1965
17. Arturo nació en el año 19ab y en el año 20ba tendrá 46 años. ¿En qué año nació Arturo, si a + b = 10 ? a) 1981 b) 1982 c) 1983 d) 1984 e) 1973
18. En 1998 Pedro tenia tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento ¿Cuál es la suma de las cifras de la edad que tenía en 1980? a) 6 b) 8 c) 5 d) 7 e) 4 19. A principios de los años ochenta, un maestro universitario tuvo una edad igual a la raíz cuadrada del año de su nacimiento. ¿En qué año cumplió 60 años? a) 1994 b) 1996 c) 1986 d) 1992 e) 1986 20. Una persona tuvo en 1995, tantos años como el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en el año 2013? a) 45 b) 49 c) 32 d) 48 e) 45 21. Masshiel y su abuelo tenían en 1928 tantos años como indicaban las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tenía el abuelo cuando nació Masshiel? a) 60 b) 50 c) 49 d) 54 e) 56
441
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Luís le pregunta a Mario sobre las edades que tienen, entonces Mario le responde: “Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes.” Cuál es la edad actual de Mario sabiendo que dentro de 6 años sus edades sumarán 68 años. a) 20 b) 32 c) 15 d) 19 e) 14
Cuando tú tenías 10 años, yo tenía la mitad de la edad que tú tendrías cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes, si nuestras edades suman 28 años. ¿Qué edad tengo? a) 11 b) 15 c) 12 d) 16 e) 18
Resolución Pasado
Presente
Resolución Del enunciado podemos formar el siguiente cuadro:
Futuro
Pasado
Mario
y
2x
2x + 6
Yo
x
Luis
x
y
y+6
Tu
10
De la condición, “sabiendo que dentro de 6 años sus edades sumarán 68 años”, tenemos: (2x + 6) + (y + 6) = 68 Reduciendo la ecuación 2x + y = 56
… (I)
Aplicando el criterio de la suma en aspa, obtenemos: y + y = 2x + x
⇒ 2y = 3x ⇒
y=
3 x … (II) 2
Reemplazando (II) en (I): 3 2x + x = 56 2 4x + 3x Así, = 56 2 7 ⇒ x = 56 2
⇒
x=16
Presente
Futuro
28 − y
2y
y
2x
Por el criterio de la suma en aspa, tenemos: x + y = 10 + 28 − y
⇒
x + 2y = 38 …(I)
Además, si nuevamente aplicamos el criterio de la suma en aspa, conseguimos: (28 − y) + 2x = 2y + y
⇒ 4y = 28 + 2x ⇒
2y = 14 + x
…(II)
Reemplazando (II) en (I) x + (x + 14) = 38 ⇒
x=12
En la (II) ecuación reemplazando el valor de “x”: 2y = 14 + (12) ⇒
y=13
La edad que tengo (Yo): 28 –13=15
La edad actual de Mario: 2 ( 16 ) = 32 años
442
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 01. La edad que tendrá Lulú dentro de 15 años y la edad que tenía hace “x” años están en la relación de 17 es a 11; mientras qºue la que tendrá dentro de “x” años y la edad que tenía hace 10 años están en la relación de 3 a 2. Hallar “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Las edades del profesor, tutor y alumno están en la relación de 5, 4 y 3 respectivamente. Hace 10 años las edades del tutor y alumno sumaban la mitad de lo que el profesor tendrá dentro de catorce años. ¿Cuánto suman las edades de los tres actualmente? a) 64 b) 70 c) 72 d) 74 e) 80 03. Noemí es madre de Lady y Rommel es hijo de Alex. Cuándo nació Rommel, Alex tenía el triple de la edad que tenía Noemí y cuando nació Lady, Noemí tenía la misma edad que tenía Alex cuando nació Rommel, y cuando Lady tenga la mitad de la edad que tenía Rommel cuando nació Lady, las edades de Noemí y Alex sumarán, 80 años. ¿Cuántos años tenía Noemí cuando nació Rommel? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 04. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando yo tenga el triple de la edad que tú tenías hace 6 años, tú tendrás 72 años. ¿Cuántos años tenía uno de ellos cuando el otro nació? a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 22 05. Gildeer le dice a Arturo: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tu tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 63 años”. ¿Qué edad tiene Arturo? Academia GAUUS
a) 19 d) 26
b) 21 e) 30
c) 25
06. Patty le dice a Verónica: “Tú edad es el doble de aquella que tenías, cuando yo tuve el doble de edad que tú tuviste, cuando cumplí 4 años. Si nuestras edades actuales suman 32 años”. ¿Qué edad tengo? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 07. Al preguntarle la edad de Guadalupe ella respondió: “Si al año en que cumplí los 18 años le suman el año en que cumplí los 23 años y le restan el año en que nací y el actual, obtienen 17 años”. La suma de las cifras de la edad de Guadalupe es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 08. En 1993 la edad de una persona era igual a la suma de las cifras del año en que nació. ¿Qué edad tendrá en el año 2000? a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29 09. Una persona en 1996 tenía tantos años como lo indicaba el número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tenía en 1987? a) 31 b) 33 c) 35 d) 37 e) 39 10. En Octubre de 1972 en un salón donde habían 40 alumnos, el profesor suma los años del nacimiento de todos ellos y las edades de todos ellos luego suma los dos resultados obteniéndose 78868. ¿Cuántos alumnos habían cumplido años a la fecha? a) 15 b) 28 c) 12 d) 25 e) 16 11. El 30 de junio de 1992 le preguntaron a Karina por su edad. Ella dijo que la suma de
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JOHN MAMANI M. los años más todos los meses vividos en 329. ¿En qué mes y en qué año nació? a) Febrero, 1992 b) Junio, 1992 c) Octubre, 1992 d) Julio, 1992 e) Enero, 1992 12. Un hijo decía a su padre. “La diferencia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad de mi hermano es 95”. El padre le contesta: “Es la misma diferencia que hay entre los cuadrados de mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació su hijo mayor? a) 36 b) 32 c) 38 d) 34 e) 35 13. Karla tuvo su primer hijo a los 18 años, 3 años después tuvo a su segundo hijo y 5 años después a su tercer hijo. Si en el 2009 las edades de los 4 sumaban 79 años. ¿En qué año nació Karla? a) 1975 b) 1971 c) 1970 d) 1980 e) 1973 14. Margot dice tener 24 años, luego de haberse disminuido el 25% de su edad ¿Cuál es su edad real? a) 28 años b) 30 años c) 34 años d) 32 años e) 36 años 15. Antonia le dice a Alex cuando tu tenias 7 años menos de la edad que yo tengo, yo tenía tres años menos de la edad que tú tienes, y cuando tenga el doble de la edad que tú tienes nuestras edades sumaran 66 años ¿Qué edad tiene Antonia? a) 17 b) 18 c) 20 d) 22 e) 19 16. Hace 4 años, la edad de Paola era el cuádruplo de la edad de Marco, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales. a) 60 años b) 76 años c) 87 años d) 98 años e) 68 años
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17. Cuando María tenía la mitad de la edad que tienes, tú tenías la edad que Juan tenía cuando tú naciste. Si María tiene 35 años y Juan tuene el cuádruple de lo que tenías cuando naciste ¿Qué edad tienes? a) 10 b) 20 c) 30 d) 35 e) 25 18. Se sabe que, de hoy a 5 años, “A” será tan viejo como lo es hoy “B” quien tiene la cuarta parte de la edad que tendrá “C” en ese entonces. Halle la suma de las edades de los tres dentro de 10 años. Si además, “C” es mayor que “B” en 16 años. a) 42 años b) 78 años c) 62 años d) 52 años e) 87 años 19. José comenta a Raúl: yo tengo el doble de la edad que tu tenias cuando Andrés tenia la mitad de la edad que tienes; cuando Andrés tenga la edad que tengo, yo tendré el triple de la edad que el tenia cuando ya te dije y tu tendrás el doble de la edad que tenías hace 7 años ¿Cuál es la suma de las edades actuales de José y Raúl? a) 88 años b) 44 años c) 22 años d) 45 años e) 45 años 20. A principios de los años ochenta, un maestro universitario tuvo una edad igual a la raíz cuadrada del año de su nacimiento. ¿En qué año cumplió 60 años? a) 1994 b) 1996 c) 1986 d) 1992 e) 1986 21. Cuando “Eliar” tenía 10 años, “Kristel” tenía la mitad de la edad que “Eliar” tendrá cuando “Kristel” tenga el doble de la edad que “Eliar” tiene; si sus edades suman 28 años. ¿Qué edad tiene “Kristel”? a) 18 b) 15 c) 17 d) 12 e) 24 22. Yo tengo el doble de la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. de nuestras edades será 54 años ¿Cuál es mi edad? a) 24 años b) 32 años c) 28 años d) 42 años e) 16 años 23. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es de 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tengo? a) 16 años b) 24 años c) 14 años d) 12 años e) 18 años 24. En 1998 Pedro tenia tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento ¿Cuál es la suma de las cifras de la edad que tenía en 1980? a) 6 b) 8 c) 5 d) 7 e) 4 25. Cuando yo nací; tu tenías la edad que yo tengo, ahora cuando yo tenga el triple de la edad que tú tienes, nuestra edades sumara 130 años ¿Cuántos años tienes tú? a) 20 b) 5 c) 10 d) 25 e) 15 26. Al preguntarle la edad a un abuelo este contestó: “No tengo menos de 60, pero aun no soy noventón. Cada uno de mi hijos me ha dado tanto nietos como hermanos tiene; y mi edad es exactamente el cuádruplo el número de hijos y nietos que tengo”. Halla la edad del abuelo: a) 60 años b) 62 años c) 63 años d) 64 años e) 70 años 27. Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo tenía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años más de lo que yo tendré. Pero si yo tuviese 10 años más de los que tendré y tú los que te he Academia GAUUS
dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 80 años. ¿Qué edad tienes? a) 40 años b) 30 años c) 20 años d) 25 años e) 10 años 22. Jorge le dice a Luis: “La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. Entonces, ¿Cuántos años tiene Jorge actualmente? a) 18 años b) 14 años c) 16 años d) 21 años e) 22 años 23. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tuviste cuando yo nací. Cuando tú tengas el doble de la edad que tengo la suma de nuestras edades será 75 años. ¿Cuántos años tengo? a) 25 años b) 20 años c) 16 años d) 18 años e) 24 años 24. Karen le dice a Rosa; la suma de nuestras edades es 46 años y tú edad es el triple de la edad que tenías, cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. ¿Dentro de cuántos años la edad de Karen será el doble de la edad que tiene Rosa? a) 18 b) 26 c) 24 d) 20 e) 25 25. Patty le dice a Verónica: “Tú edad es el doble de aquella que tenías, cuando yo tuve el doble de edad que tú tuviste, cuando cumplí 4 años. Si nuestras edades actuales suman 32 años”. ¿Qué edad tengo? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 26. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste, cuando yo tuve la dieciseisava de la edad que tú tienes. Si dentro de 10 años
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JOHN MAMANI M. nuestras edades sumarán 175. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 90 años? a) 15 b) 10 c) 18 d) 20 e) 22 27. Tú tienes los 3/2 de la edad que él tenía cuando tú tenías la tercera parte de lo que tendrás cuando él tenga los 9/2 de lo que tuviste cuando él tuvo la tercera parte de la edad que tienes, que es 30 años. ¿Qué edad tendrá él dentro de 12 años? a) 20 años b) 35 años c) 36 años d) 40 años e) 47años 28. Yo tengo dos veces más de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve una vez más de la edad que tuviste, cuando yo tuve tres veces menos de la edad que tengo. ¿Qué edad tendrás cuando yo tenga el doble de la edad que tuviste hace 5 años?. Si actualmente nuestras edades suman 34 años a) 18 años b) 16 años c) 20 años d) 22 años e) 26 años 29. Yo tengo el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el cuádruple de la edad que tuviste cuando mi edad era el triple de tu edad de ese entonces y cuando tu tengas mi edad, nuestras edades sumaran 28 años ¿Qué edad tengo?. a) 10 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 30. Tú tienes los 3/2 de la edad que él tenía cuando tu tenías la tercera parte de lo que tendrás cuando él tenga los 9/2 de lo que tuviste cuando él tuvo la tercera parte de la edad que tienes, que es 30 años. ¿Qué edad tendrá el dentro de 12 años? a) 20 años b) 35 años c) 36 años d) 40 años e) 47 años
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31. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía, cuando él tenía la octava parte de lo que tendré, cuando tengas lo que yo tengo, y él tenga 6 años más de lo que tuve; si lo que tuve es 6 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo? a) 36 años b) 38 años c) 40 años d) 37 años e) 42 años 32. Yo tengo doce veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía dos veces la edad que tuviste, cuando yo tuve un exceso de 10 años sobre tu edad actual, y cuando tenga 2 veces la edad que tú tienes la suma de nuestras edades será 105. ¿Qué edad tendré dentro de un año? a) 60 años b) 61 años c) 68 años d) 58 años e) 63 años 33. La edad que tiene Diana y la edad que tendrá Brandon dentro de 12 años están en la relación de 5 a 6; además, la edad que Brandon tuvo hace 15 años es la mitad de la edad que tendrá Luis dentro de 12 años. Si actualmente las edades de Brandon y de Luis son entre sí como 6 es a 5, halle la edad de Diana hace 20 años. a) 39 años b) 47 años c) 20 años d) 50 años e) 52 años 34. Las edades de Elizabeth y Katherine se encuentran en la relación de 9 a 10. Si hace 6 años la relación de las edades de Elizabeth y de Cristian era de 2 a 3 y dentro de 8 años las edades de Katherine y Cristian estarán en la relación de 7 a 8, halle la edad que tendrá Cristian dentro de 2 años. a) 22 años b) 24 años c) 20 años d) 26 años e) 30 años
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. Si al cuadrado de mi edad, le disminuyo el doble de la misma, queda un valor igual a 360 años. ¿Qué edad tengo? UNAP–EXT–2014
a) 18 d) 24
b) 19 e) 30
c) 20
a) 24 d) 20
b) 50 e) 40
c) 30
07. Dentro de 20 años, tendré 3 veces la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuál fue mi edad hace 3 años? UNAP–SOC–2014
02. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus 2/5, en sus 3/10 y en 40, suma 200 años. ¿Cuántos años tengo? CEPREUNA–SOC–2012
a) 50 d) 80
b) 60 e) 40
c) 70
a) 22 años d) 37 años
b) 25 años e) 26 años
c) 34 años
08. Dentro de 10 años tendré en edad el cuádruple de lo que tenía hace 8 años. ¿Cuál será mi edad dentro de 15 años? CEPREUNA–SOC–2012
03. Margot dice tener 24 años, luego de haberse disminuido el 25% de su edad ¿Cuál es su edad real? UNAP–2010
a) 28 años d) 32 años
b) 30 años e) 36 años
c) 34 años
04. Si tuviera el 25% más de la edad que tengo, tendría 35 años. ¿Qué edad tendrá dentro de dos años?
a) 25 d) 32
b) 30 e) 20
c) 29
09. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? UNAJ – 2013
a) 13 años d) 11 años
b) 12 años e) 10 años
c) 14 años
UNAP–SOC–2012
a) 30 d) 19
b) 24 e) 23
c) 45
05. La edad de Pedro dentro de 30 años será el quíntuplo de la edad que tuvo hace 10 años ¿Cuál es su edad actual?
10. Los 5/7 de la edad de una persona menos 4 años, es igual a la edad que tenía hace 12 años. ¿Cuál era edad su edad hace 12 años? CEPREUNA – 2010
a) 14 d) 20
b) 18 e) 22
c) 16
UNAP – SOC – 2012
a) 40 d) 20
b) 60 e) 50
c) 30
06. Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente? CEPREUNA–SOC–2013
Academia GAUUS
11. Si al doble de mi edad se le quita 10 años, se obtendría lo que falta para tener 50 años. ¿Cuántos años me falta para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? UNAP – SOC – 2013
a) 50 d) 5
b) 20 e) 30
c) 10
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JOHN MAMANI M. 12. Si al doble de la edad que tendré dentro de 2 años, le resto el doble de la edad que tenía hace 2 años, se obtiene la edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de 8 años? Dé como respuesta la suma de sus dígitos.
siguiente a “n” ¿Cuántos años tiene la tortuga?
UNAP–2008/2013/2014
18. La edad de un mamut es mayor en 31, que el cuadrado del número “K” y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a “K”. ¿Cuántos años tiene el mamut?
a) 7 d) 5
b) 8 e) 9
c) 6
13. Si al doble de la edad que tendré dentro de 2 años, le resto el doble de la edad que tenía hace 2 años, se obtiene la edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de 8 años? Dé como respuesta la suma de sus dígitos. a) 7 d) 5
b) 8 e) 9
UNAP–2008/2013/2014
c) 6
14. Me preguntaron por la edad que tengo y respondí: "toma 5 veces los años que tendré dentro de 5 años y restarle 5 veces los años que tenía hace 5 años y resultará los años que tengo". ¿Cuál es mi edad? a) 50 d) 55
b) 40 e) 45
UNAP – EXT – 2010
c) 60
15. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace 5 años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuántos años me falta para cumplir 60 años? a) 7 d) 4
b) 5 e) 3
CEPREUNA–BIO–2012
c) 6
b) 32 años e) 26 años
UNAP – 2010
c) 24 años
17. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número “n” y menor en 5 que el cuadrado del número
448
a) 287 d) 301
b) 164 e) 94
b) 304 e) 315
UNAP – 2003
c) 150
UNAP – EXT – 2004
c) 320
19. La edad de Sara es mayor en 7 que el cuadrado de un numero P y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a P. ¿Cuántos años tiene Sara? a) 28 años d) 32 años
b) 35 años e) 31 años
UNAJ – 2014
c) 30 años
20. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años, su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años? a) 25 años d) 18 años
b) 20 años e) 30 años
CEPREUNA – 2005/2006
c) 15 años
21. La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto; hace tres años su edad era la raíz de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 15 años? a) 16 años d) 23 años
16. Qué edad tiene Raúl, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años, más la raíz cuadrada de la que tendrá dentro de 6 años es 11 años. a) 28 años d) 30 años
a) 89 d) 180
b) 21 años e) 42 años
CEPREUNA–SOC–2014
c) 19 años
22. Dentro de cuatro años la edad de Luchito será un cuadrado perfecto, pero hace tres años era el cuadrado perfecto anterior al inicial. ¿Cuál era su edad hace seis años? a) 10 años d) 6 años
b) 5 años e) 12 años
CEPREUNA–SOC–2013
c) 4 años
23. Halle la edad actual de María, sabiendo que la tercera parte de la edad que tuvo el año pasado es mayor que 24 y que la cuarta parte Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. de su edad del próximo año es menor que 19. a) 74 años d) 73 años
CEPREUNA – ING – 2013
b) 75 años e) 77 años
c) 76 años
24. Si al doble de la edad de Roberto se le resta 15 años resulta mayor que 45, pero si a la mitad de la edad de Roberto se le suma 6 el resultado es menor que 22. ¿Cuál es la edad de Roberto? a) 31 d) 33
b) 29 e) 32
c) 30
UNSA – 2014
25. Cuando transcurran desde hoy tantos años como los años que pasaron desde que nací hasta la edad que tenía hace 10 años, tendré el cuadrado de que edad que tenía hace 9 años. ¿Cuántos años tenía hace 3 años? a) 13 d) 10
b) 9 e) 12
UNAP – EXT – 2009
c) 11
26. Tomemos la edad que tendré dentro de “algunos años”, tantas veces como años tendré, y restémosle los años que tuve hace los mismos “algunos años”, tantas veces como años tuve y obtendremos 24 veces mi edad actual. De aquellos años que tuve, ¿Cuántos años más son los que tengo? a) 3 d) 4
b) 6 e) 7
UNAP – ING – 2012
c) 5
27. La edad de un estudiante es la suma de los números naturales para los cuales, el cuadrado de su quíntuplo disminuido en 4 es mayor que 16 y menor que 900. ¿Cuál es la edad del estudiante? a) 23 d) 22
b) 19 e) 20
CEPREUNA – 2007
c) 21
28. Cuando transcurran “ m + n ” años a partir de hoy, tendré el triple de la edad que tenía hace “ m − n ” años. Actualmente tengo: UNAP – EXT – 2003
Academia GAUUS
a) 2m + n d) n − 2m
b) 2(m + n) e) 3m − 2n
c) 2m − n
29. Manuel es 4 años menor que Alberto, Raúl es un año mayor que Pedro, Raúl es 2 años menor que Juan y Alberto es 7 años mayor que Juan. ¿Cuál es la diferencia de edades entre el mayor menor? a) 8 d) 9
b) 12 e) 10
UNAP – EXT – 2011
c) 11
30. Hallar las edades de Ana, Beatriz y Roxana, respectivamente, si su suma es 39, además la edad de Beatriz excede al doble de la edad de Roxana en 6 y la edad de Ana es igual al doble de la edad de Beatriz. UNAP – 2006
a) 24; 12 y 3 b) 12; 24 y 3 c) 9; 7 y 2 d) 14; 22 y 1 e) 22; 11 y 5
31. Tú tienes 7 veces la edad yo tenía cuando tu tenías la edad que yo tengo. Si dentro de 5 años nuestras edades sumaran 120 ¿Qué edad tengo? a) 80 d) 50
b) 70 e) 60
CEPREUNA–2012/ UNSA–2014
c) 40
32. En 1980, la edad de Elena era cuatro veces la edad de Mónica; en 1988, la edad de Elena fue el doble de la edad de Mónica, ¿Cuál fue la edad de Elena en 1990? a) 26 d) 18
b) 19 e) 30
c) 28
UNAP – 1997
33. Juan tiene 8 años más que Manuel, hace 9 años la suma de sus edades era 60 años. ¿Qué edad tiene Manuel? a) 45 d) 35
b) 42 e) 38
c) 32
UNAP – 2000
34. La edad de Susana es dos veces mayor que la edad de Arturo, hace 8 años la suma de sus edades era 40 años. ¿Qué edad tiene Arturo? UNAP – 2000
449
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 18
b) 19 e) 14
c) 16
35. La edad de Juan y su esposa es 6 veces la suma de las edades de sus hijos; hace 2 años esta suma era diez veces la de sus hijos y dentro de 6 años será tres veces la de sus hijos ¿Cuántos hijos tienen? a) 1 d) 5
b) 2 e) 4
c) 3
UNAP – 2006
36. Se sabe que, de hoy a 5 años, “A” será tan viejo como lo es hoy “B” quien tiene la cuarta parte de la edad que tendrá “C” en ese entonces. Halle la suma de las edades de los tres dentro de 10 años. Si además, “C” es mayor que “B” en 16 años. a) 42 años d) 52 años
b) 78 años e) 87 años
UNAP – 2007
c) 62 años
37. Las edades de tres hermanos hace dos años estaban en la relación 3, 4, 5. Si dentro de 2 años será como 5, 6, 7 ¿Qué edad tiene el mayor? a) 14 años d) 12 años
b) 18 años e) 8 años
UNAP – 2008
c) 6 años
b) 7 años e) 4 años
CEPREUNA – 2010
c) 5 años
39. Carmen tuvo su primer hijo a los 18 años, tres años después tuvo a su segundo hijo, y cinco años después a su tercer hijo. Si en el 2008 las edades de los 4 sumaban 79 años. ¿En qué año nació Carmen? a) 1983 d) 1986
b) 1987 e) 1972
a) 6 d) 2
UNAP – ING – 2011
b) 3 e) 1
c) 4
41. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es 18 años menor que la edad de él. ¿Qué edad tengo? a) 16 años d) 12 años
CEPREUNA –ING2007/2014
b) 24 años e) 18 años
c) 14 años
42. La suma de las edades de Antonio y Beatriz es igual a 7/2 de la edad de Antonio, hace tres años la edad de Beatriz era la misma que tendrá Antonio dentro de nueve años. ¿Cuántos años tiene Antonio? a) 8 d) 6
b) 9 e) 7
UNAP – SOC – 2012
c) 10
43. Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años. ¿Hace cuantos años la edad del padre fue el triple de la edad de su hijo? CEPREUNA – 2003
38. Las edades de tres hermanos hace 3 años estaban en la relación 2, 3, 4, y dentro de tres años será como 5, 6, 7 ¿Qué edad tiene el menor? a) 9 años d) 6 años
40. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años el tendrá el cuádruple de la edad que tu tengas. ¿Dentro de cuantos años tendré 20 años?
UNAP – 2009/2010
c) 1990
3b − a a) 2 a + 2b d) 3
a − 3b b) 2 a − 2b e) 2
c)
a + 2b 2
44. Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 5 a 4? a) 4a − 5b d) 5a − 4b
UNAP – EXT – 2001
b) 9ab e) 3a − 2b
c) 9(a + b)
45. Hace 12 años, las edades de dos hermanos estaban en la relación de 4 es a 3; actualmente sus edades suman 59 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 es a 7? CEPREUNA – 2003
450
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 20 d) 8
b) 21 e) 7
c) 9
46. Si un padre tiene ahora dos años más que la suma de las edades de sus dos hijos y hace ocho años tenía tres veces la edad del hijo menor y dos veces la edad del hijo mayor en ese entonces ¿Qué edad tiene ahora el hijo menor? a) 22 d) 28
b) 20 e) 29
CEPREUNA – 2003
c) 26
47. Halle las edades de Juan y Mario; si hace 5 años Mario tenía el triple de la edad que tenía Juan, y dentro de 10 años Mario tendrá el doble de la edad que tenga Juan. a) 80; 30 d) 50; 20
b) 30; 10 e) 60; 20
CEPREUNA – 2005
c) 40; 20
48. Manuel tiene el doble de la edad que tenía Nicolás hace 8 años, Nicolás tiene el triple de la edad que tenía Pedro hace 6 años, y Pedro dentro de 2 años tendrá el cuádruple de la edad que tenía Manuel hace 5 años. ¿Cuál es la edad de Pedro? a) 24 d) 12
b) 10 e) 18
CEPREUNA – 2008
c) 16
49. Las edades de Rubén y Roger son las mismas, pero con los dígitos al revés. Si hace un año la edad de Rubén era el doble de la edad de Roger, la diferencia de edades es: a) 45 d) 36
b) 27 e) 68
CEPREUNA – 2011
c) 72
50. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 25 años, ¿Qué edad tenía cuando las edades de los tres sumaban 95? a) 10 d) 15
b) 20 e) 5
Academia GAUUS
CEPREUNA – 2011
c) 12
51. Un padre le dice a su hijo: “Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías: pero dentro de 8 años solo será el doble. ¿Qué edad tiene el hijo actualmente? a) 30 d) 32
CEPREUNA–BIO–2012
b) 40 e) 8
c) 16
52. La edad de dos amigos; uno menor y otro mayor están en relación de 5 y 7. Si la diferencia de sus edades hace 3 años fue de 4 años. ¿Cuál es la edad del menor? a) 10 d) 11
CEPREUNA–ING–2013
b) 7 e) 9
c) 12
53. La edad de Javier es la tercera edad de Fernando, pero hace edad de Fernando era 5 veces Javier. La suma de las edades tenían hace 2 años es: a) 80 d) 74
parte de la 10 años la la edad de que ambos
CEPREUNA–BIO–2013
b) 72 e) 76
c) 84
54. El señor Eduardo tuvo su hijo a los 32 años y un nieto 18 más tarde. Actualmente, el nieto tiene 22 años y tano el abuelo como el hijo afirman tener 60 y 38 años respectivamente. Halle el producto de los años que ambos ocultan. a) 20 d) 26
CEPREUNA–BIO–2013
b) 18 e) 22
c) 24
55. Lucho tiene 47 años y Jesús 32 años. ¿Hace cuántos años que la edad de Lucho fue el cuádruplo de la edad de Jesús? a) 38 años d) 37 años
CEPREUNA – BIO – 2013
b) 27 años e) 28 años
c) 15 años
56. Una señora a los “n” años tuvo mellizos, hoy las edades de los tres suma 101 años. Hallar el valor de “n” sabiendo que en la actualidad la señora tiene 47 años. a) 25 d) 18
b) 20 e) 27
CEPREUNA – ING – 2013
c) 24
451
JOHN MAMANI M. 57. Hace dos años tenía el cuádruple de tu edad, dentro de 8 años tendré 30 veces la edad que tu tendrás dentro de 9 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 d) 22
b) 19 e) 23
UNAP – EXT – 2002
c) 18
58. Una persona nació el 3 de abril de 1993 y otra el 7 de mayo del 2001, ¿En qué fecha; día, mes, año, la edad del primero fue el triple de la edad del otro? a) 7 de mayo del 2006 b) 17 de mayo del 2011 c) 17 de mayo del 2010 d) 24 de mayo del 2001 e) 24 de mayo del 2005
CEPREUNA – 2014
UNAP – EXT – 2007
b) 22 e) 28
c) 24
b) 15 e) 27
UNAP – EXT – 2012
c) 20
61. Ana tuvo su primer hijo a los 17 años, y cuatro años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años. ¿En qué año nació Ana? a) 1970 d) 1968
452
b) 1976 e) 1969
b) 78 años e) 10 años
UNAP – EXT – 2012
c) 68 años
63. El menor de tres hermanos tiene 3 años menos que el segundo y la edad del mayor es el duplo de la edad del segundo. Si, dentro de 6 años la suma de las edades será 47 años, ¿qué edad tiene el mayor? b) 10 e) 22
UNAJ – EXT – 2013
c) 8
64. Las edades de Juan y Pedro suman 55 años, Cuando Juan tenía 10 años, Pedro tenía la edad que Juan tendrá dentro de 5 años. ¿Qué edad tiene Juan? a) 15 d) 30
b) 35 e) 25
c) 20
UNAP – 2007
65. La edad de Eduardo y de su hijo Jorge suma 90 años; Jorge nació cuando Eduardo tenía 36 años. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que la edad de Eduardo sea el doble de la edad de Jorge? UNAP – BIO – 2012
60. Las edades de Juan y Jorge, hace 5 años estaban en la relación de 3 a 1, y dentro de 10 años la relación de las edades será de 3 a 2. Determine la edad actual de Juan a) 10 d) 30
a) 48 años d) 49 años
a) 16 d) 14
59. Dentro de 8 años, la edad de un padre será el doble de la edad que tendrá su primer hijo, dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá su segundo hijo y dentro de 18 años, la edad del padre será el doble de la edad de su tercer hijo. Si la edad del padre excede en 4 años a la suma de las edades de sus tres hijos, ¿Cuántos años tiene el padre? a) 20 d) 26
62. Hace 7 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo; pero dentro de 9 años será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de las edades actuales?
UNAP – EXT – 2012
c) 1967
a) 15 d) 8
b) 10 e) 12
c) 9
66. María mercedes tuvo quintillizos a los 30 años; hoy las edades de los 6 suman 90 años ¿Cuál es la edad de las quintillizos? UNAP – SOC – 2012
a) 8 d) 5
b) 13 e) 12
c) 10
67. La edad que tiene Diana y la edad que tendrá Brandon dentro de 12 años están en la relación de 5 a 6; además, la edad que Brandon tuvo hace 15 años es la mitad de la edad que tendrá Luis dentro de 12 años. Si actualmente las edades de Brandon y de Luis
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. son entre sí como 6 es a 5, halle la edad de Diana hace 20 años. a) 39 años d) 50 años
CEPREUNA – ING – 2014
b) 47 años e) 52 años
c) 20 años
68. Zaida tiene 24 años, su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Betty cuando Zaida tenía la tercera parte de la edad que tiene Betty. ¿Qué edad tiene Betty? a) 18 d) 25
b) 23 e) 20
UNAP – EXT – 2011
c) 21
69. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tuviste cuando yo tuve la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 76 años, ¿Cuántos años tengo? a) 24 d) 21
b) 27 e) 36
CEPREUNA–SOC–2013
c) 30
70. En cierta reunión entre Carlos, Pedro y María se escucha lo siguiente; Pedro dice: “mi edad es la misma que tuvo Carlos cuando María nació”, Carlos afirma: “así es, y en ese entonces nuestras edades sumaban 30 años”, María complementa: “mi edad actual es la misma que tuvo Pedro cuando yo nací”. ¿Cuál será la suma de las edades de Carlos y Pedro cuando María tenga la edad que tiene Pedro? a) 70 d) 20
b) 80 e) 50
CEPREUNA–BIO–2013
c) 40
71. Julio le dice a Diana: “yo tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tu tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 12 años” ¿Qué edad tiene Diana? a) 26 d) 18
b) 24 e) 20
CEPREUNA–BIO–2013
c) 22
72. Juan le dice a Mily: “Yo tengo 20 años, mi edad es la mitad de la que tu tendrás cuando Academia GAUUS
yo tenga la edad que tú tienes”. ¿Qué edad tiene Mily? a) 36 d) 45
CEPREUNA–SOC–2013
b) 30 e) 40
c) 50
73. Él tiene la edad que ella tuvo cuando él tenía la cuarta parte de la edad que tiene. Si ella tiene 15 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella? a) 60 d) 40
b) 25 e) 35
c) 30
UNAP – 2000
74. Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más que él. Halle la suma de las cifras que ella tiene. a) 6 d) 7
b) 5 e) 8
UNAP – BIO – 2012/2014
c) 9
75. Juan le dice a Coco: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 81 años”. Hallar la edad de Coco a) 21 d) 9
b) 27 e) 18
c) 45
UNAP – 2001
76. Diana le dice a Marilyn: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando transcurran el doble del tiempo de aquel entonces al presente, nuestras edades sumaran 117 años”. ¿Qué edad tiene Diana? a) 42 d) 45
b) 36 e) 39
UNAP – BIO – 2013
c) 37
77. Yo tengo el doble de la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 54 años ¿Cuál es mi edad? CEPREUNA – 2004
a) 24 años d) 18 años
b) 23 años e) 6 años
c) 12 años
453
JOHN MAMANI M. 78. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Si cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 90 años. ¿Qué edad tenía yo cuando tú naciste? a) 12 años d) 10 años
b) 18 años e) 17 años
CEPREUNA – 2007
c) 15 años
79. Mili le dice a Mila: “Yo tengo tres veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años”. ¿Cuál es la edad de Mili? a) 12 d) 16
b) 13 e) 14
CEPREUNA – 2007
c) 15
b) 75 e) 85
c) 90
UNAP – 2007
81. Un discípulo le dice a su maestro: “Cuando tú tenías el triple de la edad que yo tengo, yo tenía la onceava parte de la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas el cuádruplo de la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 80 años. ¿Qué edad tiene el discípulo? a) 16 d) 14
b) 17 e) 15
UNAP – BIO – 2012
c) 18
82. Yo tengo los 13/9 de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 6 años. ¿Qué edad tengo? a) 33 d) 49
454
b) 13 e) 39
a) 64 y 58 d) 70 y 54
CEPREUNA–ING–2012
c) 26
b) 64 y 48 e) 72 y 54
UNAP – EXT – 2005
c) 72 y 58
84. Sara le pregunta a Coco por su edad y le responde “tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes”. Hallar las edades actuales sabiendo que dentro de 6 años la suma de ellos será 68 años a) 36 y 38 d) 24 y 32
80. Un discípulo le dice a su maestro: “Cuando tú tenías el triple de la edad que yo tengo, yo tenía la onceava parte de la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 100 años. ¿Qué edad tiene el discípulo? a) 80 d) 60
83. Juan le dice a Pedro: “Yo tengo el doble de la edad que tu tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 162” ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?
b) 36 y 24 e) 28 y 42
UNAP – EXT – 2006/2014
c) 28 y 36
85. Un estudiante le dice a su profesor “cuando usted tenía el triple de la edad que yo tengo, yo tenía la onceava parte de la edad que usted tiene, pero cuando usted tenga el cuádruplo de la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 80 años” ¿Qué edad tiene el estudiante? a) 16 d) 18
b) 14 e) 17
UNAP – EXT – 2013
c) 15
86. Antonio le dice a Alex: “cuando tu tenías 7 años menos de la edad que yo tengo, yo tenía tres años menos de la edad que tú tienes, y cuando tenga el doble de la edad que tú tienes, nuestras edades sumaran 66 años” ¿Qué edad tiene Antonio? a) 15 d) 8
b) 26 e) 19
c) 33
UNAP – 2005
87. Cuando María tenía la mitad de la edad que tienes, tú tenías la edad que Juan tenía cuando tú naciste. Si María tiene 35 años y Juan tiene el cuádruplo de lo que tenía cuando naciste ¿Qué edad tienes? a) 10 d) 35
b) 20 e) 25
c) 30
UNAP – 2005
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 88. José comenta a Raúl: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando Andrés tenía la mitad de la edad que tienes; cuando Andrés tenga la edad que tengo, yo tendré el triple de la edad que él tenía cuando ya te dije y tu tendrás el doble de la edad que tenías hace 7 años ¿Cuál es la suma de las edades actuales de José y Raúl? a) 50 años d) 55 años
b) 66 años e) 44 años
UNAP – 2008
c) 40 años
89. Jorge le dice a Luis: “La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. Entonces, ¿Cuántos años tiene Jorge actualmente? a) 18 años d) 21 años
UNAP – ING – 2011/2013
b) 14 años e) 22 años
c) 16 años
90. Cuando yo nací, tú tenías la edad que yo tengo, ahora. Cuando yo tenga el triple de la edad que tú tienes, nuestras edades sumaran 130 años ¿Cuántos años tienes tú? a) 20 d) 25
b) 5 e) 15
UNAP – ING – 2012
c) 10
91. Cuando yo tenía 1 año menos de la edad que tú tienes, tú tenías 5 años menos de la edad que yo tengo. Pero, cuando tengas la edad que yo tengo nuestras edades sumaran 42 años. ¿Qué edad tienes tú? a) 20 d) 22 92.
b) 24 e) 16
UNAP – BIO – 2012
c) 18
Una persona a la que se le pregunto qué edad tenia contesto: “Mi madre acababa de cumplir 20 años en el mismo momento que yo nacía, y el número actual de sus años multiplicado por los míos, excede en 2500 a su edad y a la mía juntas”. ¿Cuál es la edad actual de la madre? a) 42 d) 72
b) 62 e) 82
Academia GAUUS
UNAP – ING – 2012
93. Omar le dice a Oscar: “Tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad que tenías hace 12 años”. Halle la suma de las edades actuales. UNAP – BIO – 2013
a) 60 d) 66
b) 62 e) 68
c) 64
94. José tiene 40 años, su edad es el doble de la edad que tenía Pedro cuando José tenía la edad que ahora tiene Pedro. ¿Qué edad tiene Pedro? UANCV – 2013
a) 20 d) 40
b) 25 e) 35
c) 30
95. Cuando “Eliar” tenía 10 años, “Kristel” tenía la mitad de la edad que “Eliar” tendrá cuando “Kristel” tenga el doble de la edad que “Eliar” tiene; si sus edades suman 28 años. ¿Qué edad tiene “Kristel”? CEPREUNA – 2008
a) 18 d) 12
b) 15 e) 24
c) 17
96. Estando reunidas Ana, Betty y Carmen se escucha la siguiente conversación: Bety: “Mi edad es la misma que tuvo Ana cuando Carmen nació” Ana: “así es, y en ese entonces nuestras edades sumaban 20 años” Carmen: “mi edad actual es la misma que tuvo Bety cuando yo nací” ¿Cuál será la edad que tenga Ana cuando Carmen tenga la edad que tiene Bety? UNAP – EXT – 2013
a) 30 d) 40
b) 20 e) 50
c) 1
c) 52
455
JOHN MAMANI M. 97. El año que nació mi abuelo representaba el cuadrado de su edad en 1892. ¿Cuál sería su edad en el año 2003? UNAP – 2003
a) 211 d) 100
b) 110 e) 87
c) 154
98. A principios de los años ochenta, un maestro universitario tuvo una edad igual a la raíz cuadrada del año de su nacimiento. ¿En qué año cumplió 60 años? UNAP – 2009
a) 1994 d) 1992
b) 1996 e) 1986
c) 1986
a) 1945 d) 2000
que en el año 19ba cumplirá (a + b) años de edad. ¿En qué año nació?
c) 1999
103. Gustavo nació en el año 19aa y en el año
19(a + 2)b cumplió (5a − b) años. Calcule ab , si a
a) 8 d) 24
b) 25 e) 18
c) 48
104. Yo nací en el año 19ab y en el año 1980 tuve (a + b) 2
99. Una persona nació en el año 19ab observa
b) 1990 e) 1950
años. ¿En qué año tendré
2
(a + b ) años? UNAP – EXT – 2013
a) 2052 d) 1999
b) 2038 e) 2006
c) 2055
UNAP – SOC – 2012
a) 1947 d) 1948
b) 1945 e) 1946
c) 1900
100. A una persona en el año 1975 se le pregunto por su edad y contesto, tengo en años la mitad del número que forman las dos últimas dos cifras del año de nacimiento. Hallar la suma de las cifras de su edad CEPREUNA – 1997
a) 5 d) 7
b) 6 e) 8
c) 14
101. José nació el año 19ab y se sabe que en el año 19ba cumplió 2b años, ¿Cuántos años cumplirá en el año 2013? UNAP – EXT – 2011
a) 57 d) 39
b) 84 e) 66
c) 30
102. Martha nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (4a + 5b) años. ¿Cuál fue el 4
año en que tuvo: (2a + 9b) años? UNAP – EXT – 2014
456
105. En 1988 Pedro tenía tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento ¿Cuál es la suma de las cifras de la edad que tenía en 1980? CEPREUNA – 2008
a) 6 d) 7
b) 8 e) 4
c) 5
106. Sandra cuenta que cuando cumplió años en 1994, se dio cuenta que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1999? CEPREUNA–BIO–2012
a) 25 d) 30
b) 24 e) 28
c) 36
107. Jaimito y su abuelo tenían en 1928 tantos años como indicaban las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál era la edad del abuelo cuando nació Jaimito? UNAP – EXT – 2005
a) 45 d) 30
b) 40 e) 60
c) 50
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Cronometría CAPÍTULO XVI NÚMERO DE CAMPANADAS DETERMINADO TIEMPO
EN
UN "11" campanadas
Analizando para un reloj que indica la hora con igual número de campanadas.
1
2 2s
3 2s
" n " campanadas 2
1
3
4
n
n−1
5
N
Campanadas = N
o
Intervalos + 1
Resolución Cuando el reloj indica las 6:00 a.m., ella toca 6 campanadas, por lo tanto, hay 5 intervalos y como se demora 10 segundos en tocar, cada intervalo de tiempo entre campanada y campanada es de 2 segundos, como se indica en la siguiente figura: " 6 " campanadas 2
2s
3
2s
5
4
2s
2s
6
2s
" 5 " intervalos
Ahora, para indicar las 11:00 a.m., debe tocar 11 campanadas, y por lo tanto hay 10 intervalos de tiempo, ver gráfico: Academia GAUUS
8
7 2s
2s
9 2s
10 2s
11 2s
METODO ABREVIADO
Ejemplo 01 Se tiene un reloj que indica la hora con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 6:00 a.m. demoró 10 segundos, ¿cuánto se demorará para indicar que son las 11:00 a.m. del mismo día?
1
6 2s
Y como cada intervalo de tiempo es de 2 segundos, en total se demorará en tocar 10(2)=20s.
Aplicaremos:
6 : 00
5 2s
"10 " intervalos
" n − 1" Intervalos o
4 2s
* T1
:
T1 C1 − 1
=
T2 C2 − 1
=t e
Tiempo que se mantendrá para dar
C 1 campanadas * T2
:
Tiempo que perdurará para dar C 2
* Te
:
campanadas El intervalo
de
tiempo
entre
campanada y campanada. Aplicamos la fórmula en el problema anterior. Datos: C1 = 6 T1 = 10 C 2 = 11 T2 = ?
Reemplazando en la fórmula: T2 10 = 6 − 1 11 − 1 Resolviendo: T2 = 20s
457
JOHN MAMANI M. Ejemplo 02 Un reloj demora 12 segundos en dar 7 campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en 36 segundos?
Resolución
Resolución Aquí está la hora exacta
0 : 00
Datos:
x
T1 = 12 C1 = 7 T2 = 36 C2 = ?
Hace 40 min
Dentro de 40 min
40 min
40 min
Tiempo transcurrido desde la 1:00 a.m. hasta hace 40 min.
Lo que falta para las 4:00 a.m. pero dentro de 40 min.
3 horas < >3 60 min. < > 180 min.
Del esquema se obtiene: x + 40 + 40 + x = 180 Resolviendo: x = 50 min Luego la hora pedida será: 1 : 00a.m. + 50 min + 40 min = 2 : 30a.m.
Reemplazando en la fórmula: 12 36 = 7 − 1 C2 − 1 Resolviendo: C 2 = 19
TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR Para este tipo de problemas se emplean de manera práctica, los siguientes esquemas:
1 día < > 24 h
ADELANTOS Y ATRASOS: Surgen como consecuencia del funcionamiento de aquellos relojes defectuosos (malogrados), los cuales registran adelantos o retrasos respecto a la hora señalada por un reloj de funcionamiento normal. ATRASO TOTAL
Tiempo transcurrido
Hora (1) Tiempo transcurrido
Hora exacta
Tiempo que falta transcurrir
Hora (2) Hora Tiempo que falta exacta transcurrir
Ejemplo 03 Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada, pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4 a.m., el mismo tiempo que transcurrió desde la 1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?
458
4 :0 0
x
Hora que marca un reloj que se atrasa.
ADELANTO TOTAL
Hora Re al
Hora que marca un reloj que se adelanta
Para este tipo de problemas debemos tener en cuenta las siguientes relaciones: Hora Real=Hora Marcada − Adelanto Hora Real=Hora Marcada + Atraso
Para que un reloj vuelva a marcar la hora exacta sus manecillas deben estar en la misma posición, esto ocurrirá cuando el horario dé una vuelta completa, por ello tendrían que transcurrir 12 horas de adelanto o atraso (720 minutos).
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
hora Entonces se puede concluir que en una hora los dos se alejarán: 7 + 13 = 20 min
Tiempo Transcurrido
Alejamiento Total
1H
20 min
x
30 min
= x
3 = Hora 90 min 2
Ejemplo 05 Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas y otro se adelanta 2 minutos cada hora, si se malograron en el mismo instante. A partir de este último momento, después de cuántos días volverán a marcar simultáneamente la hora correcta.
ÁNGULOS FORMADOS Y HORAS MARCADAS POR LAS MANECILLAS Las posiciones de las manecillas de un reloj dependen una de la otra. 12
11 10
Atraso Total 3 min 720 min
720 ( 2 ) = 480 H ⇒ T = 1 20 días 3
Segundo reloj
Tiempo Transcurrido 41 H T2 Academia GAUUS
30º
2
12
11
30º
6º 6º 6º 6º
6º
1
30º
3
8
4 7
6
5
1 división <> 1 minuto <> 6º En el minutero se cumple: "x" divisiones <> "x" minutos
Debemos encontrar un tiempo en que ambos se distorsionan 12 H o un múltiplo de 12 H, pero primero hallemos por separado el tiempo en que se adelantan o se atrasan 12 H o 720 min. Primer reloj
T = 1
1
9
Resolución
Tiempo Transcurrido 2H T1
30º
º
hora
El segundo reloj se atrasa 13 minutos en 1
30
El primer reloj se adelanta 7 minutos en 1
º
Resolución
720 ( 41 ) = 480 H ⇒ T = 1 15 días 2 Luego marcará la hora correcta cada 20 días y el otro cada 15 días; por lo tanto para que ambos coincidan en marcar la hora correcta, deberá transcurrir un tiempo común que contenga exactamente a 20 y 15, el cual será: MCM ( 20,15 ) = 60 T= 2
30
Ejemplo 04 Un reloj se adelanta 7 minutos cada hora y otro se atrasa 13 minutos cada hora, ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día ¿Después de cuánto tiempo el primero estará alejado 30 minutos respecto al otro?
Atraso Total 2 min 720 min
Análisis del recorrido de las agujas MINUTERO MINUTERO HORARIO HORARIO (div - min) (grados) (div-min) (grados) 60
360º
5
30º
30 15
180º 90º
2, 5 5/4
15º 7, 5º
RELACIÓN ENTRE EL RECORRIDO DEL MINUTERO Y EL HORARIO
M = 12 H M : Recorrido del minutero en minutos H : Recorrido del horario en minutos
459
JOHN MAMANI M. 12
Ejemplo 08 ¿Qué hora indica el gráfico? 12 11 1
1 2
θ 3
α
8
α+θ= 360º
4
9
5
6
3
α
º
ÁNGULO ENTRE HORARIO Y MINUTERO
8
I) Cuando el minutero se encuentra antes que el horario
Resolución
12
11
9
2
3
α
x º 2
º
10
2
10
1
8
4
7
5
6
5
"
6
4
"x
7
8
>
3
<
9
in
α
)º
12
1
x
11
Graficando y adicionando datos:
(6
Ejemplo 06 ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 4:10?
Resolución
5
6
11 m 2
= α 30H −
Datos: H=4 m=10 Reemplazando: 11 = α 30(4) − (10) 2 Evaluando: α = 65º
7
4
m
7
2
10
+ 10
9
2α
10
+ 10
11
2α
NOTA
II) Cuando el horario se encuentra antes que el minutero 11 = α m − 30H 2
Del esquema: º
x α= ⇒ 2
2α = x º
…(I)
2 α + 10= (6 x )º − 180º
… ( II )
Además, del gráfico: Ejemplo 07 ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 4:40?
Resolución Datos: H=4 m=40 Reemplazando: 11 = α (40) − 30(4) 2 Evaluando: α = 100º
460
11
12
x º + 10= (6 x )º − 180º 1
x º + 190º = 6xº 2
10
9
De ( I ) y ( II ), reemplazando y resolviendo:
x = 38 3
α
8
Luego la hora será: 3 : 38
4
7
6
5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. NÚMERO DE CAMPANADAS EN UN DETERMINADO TIEMPO 01. Un campanario da 4 campanadas en 6 segundos ¿Cuánto demorará en dar 7 campanadas? a) 7 seg b) 6 c) 8 d) 12 e) 11
09. La campana de un reloj demora 5 segundos en dar las 11 horas ¿Qué hora da cuando demora 3 segundos? a) 3 horas b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
02. Un reloj da 5 campanadas en 8 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 18 segundos? a) 9 b) 12 c) 11 d) 10 e) 13
10. Un mensajero toca cuatro veces un timbre en cinco segundos ¿Cuántas veces timbrará en diez segundos? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11
03. Un campanario da 8 campanadas en 7 segundos ¿Cuánto demorará en dar 13 campanadas? a) 13 seg b) 12 c) 11 d) 8 e) 6,6 04. Se escuchan cinco campanadas en 20 segundos ¿Cuántas campanadas se escucharán en un minuto? a) 18 b) 15 c) 11 d) 13 e) 12 05. Un policía dispara 5 balas en 16 seg. de una ametralladora. ¿Cuántas balas disparara en 3 minutos? a) 45 balas b) 46 c) 90 d) 91 e) 23 06. Un tatuador da 5 puntadas en 2 seg. ¿Cuántas puntadas dará en 2 minutos? a) 120 punt. b) 121 c) 240 d) 241 e) 122 07. Un campanario da 8 campanadas en 14 segundos ¿Cuánto demorará en dar 10 campanadas? a) 10 seg b) 20 c) 19 d) 18 e) 17 08. Un reloj da 7 campanadas en 9 segundos ¿Cuánto se demora en dar 17 campanadas? a) 16 seg b) 18 c) 24 d) 51 e) 17 Academia GAUUS
11. Un cartero da 3 golpes a una puerta en 2 segundos ¿Cuántos golpes da en 7 segundos? a) 14 b) 7 c) 8 d) 3,5 e) 9 12. Un boxeador da siete golpes en dos segundos ¿Cuántos golpes dará en cinco segundos? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 13. Un boxeador da ocho golpes en dos segundos ¿Cuántos golpes dará en 14 segundos? a) 49 b) 48 c) 50 d) 13 e) 15 14. Un gallo cantó cinco veces en 4 segundos ¿Cuántas veces canto en un minuto? a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 30 15. Una ametralladora USI dispara 6 proyectiles por segundo ¿Cuántos proyectiles disparará en 10 segundos? a) 60 b) 59 c) 51 d) 50 e) 49 16. Cierto boxeador golpea sobre una pera de entrenamiento tardando cinco segundos en dar 6 golpes ¿En cuántos segundos dará 12 golpes?
461
JOHN MAMANI M. a) 10 d) 12
b) 9 e) 13
c) 11
17. Un baterista de un grupo musical en determinado momento hace un “solo” de batería y golpea la tarola 9 veces por segundo. Si el “solo” duró 15 segundos. ¿Cuántas veces golpeó la tarola? a) 120 b) 121 c) 60 d) 135 e) 130 18. Se escuchan 5 campanadas en 4 segundos ¿Cuánto se demora en escucharse 12 campanadas? a) 12 seg b) 11 c) 14 d) 10 e) 13 19. Una ametralladora KLM dispara 5 proyectiles por segundo ¿Cuántos proyectiles dispara en 3 segundos? a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 9 20. Un gallo cantó cuatro veces en tres segundos ¿Cuántas veces cantó en cinco segundos? a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 21. Una campana demoro 8 segundos para tocar 7 campanadas. ¿Cuantas campanadas tocara en 20 segundos? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 12 22. Un reloj da 7 campanadas en 20 segundos. ¿En cuántos segundos dará 13 campanadas? a) 40 b) 45 c) 35 d) 30 e) 32 23. Si un campanario toca 10 campanadas en 27 segundos. ¿Cuántas campanadas tocará en un minuto? a) 20 b) 18 c) 22 d) 19 e) 21
22 segundos. ¿Cuánto demorará en indicar las 4:00? a) 7 b) 6 c) 4 d) 9 e) 12 25. Un reloj señala la hora con el triple de campanadas con que señalaría un reloj normal. Si para indicar las 4:00a.m. demoró 44 segundos ¿Cuánto demorará para indicar las 21:00h? a) 104 b) 108 c) 110 d) 231 e) 252 26. Un reloj demora (m+1) segundos en tocar 2
m campanadas. ¿Cuántas campanadas tocara en 1 segundo? a) m b) m − 1 c) m + 1 d) m
2
2
e) m − 1 2
27. Un reloj demora (m − 1) segundos en tocar (m + 2) campanadas. ¿Cuántas campanadas tocara en 1 segundo? a)
m m−1
b)
m m+1
d)
2m + 1 m
e)
m +1 m−1
c)
2
m −1 m
2
2
28. Un reloj demora (m − 1) segundos en tocar 2
campanadas. ¿Cuántas campanadas m tocar en (m − 1) segundos? a) 1 b) m c) 3m d) 4 e) 2m 29. El campanario de un reloj emplea 12 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurre, entre campanada y campanada. ¿Cuántas campanadas tocara en 20 segundos? a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 4
24. Un reloj señala la hora con igual número de campanadas si para indicar las 12:00 demoró
462
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMAS ADELANTOS Y ATRASOS 01. Un reloj defectuoso se atrasa 3 minutos cada 7 horas que transcurren. ¿Cuánto se habrá atrasado en 21 horas? a) 10 min b) 11 c) 7 d) 8 e) 9 02. Un reloj se encuentra malogrado y se adelanta 4 horas cada 5 días. ¿Cuánto se habrá adelantado en 20 días? a) 13h b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 03. Un reloj se atrasa 2 min. cada 3 horas. ¿Cuánto se atrasará en 18 horas? a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 9 04. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 3 horas. ¿Cuántos minutos se habrán adelantado desde las 2:00 a.m. hasta las 8:00 a.m?. a) 2min b) 3 c) 3/2 d) 1 e) 5/2 05. En la casa de José hay un reloj que se adelanta 5 horas cada 4 días. ¿Cuánto se adelantará en 20 días? a) 25 horas b) 20 c) 15 d) 12 e) 10 06. Fernando tiene un reloj que se adelanta 3 horas cada día. ¿Cuánto se adelanta en una semana? a) 6 horas b) 8 c) 12 d) 18 e) 21 07. El reloj de Eucalipto se atrasa 6 horas cada 2 días. ¿Cuántas horas se atrasará en 6 días? Academia GAUUS
a) 20 horas d) 15
b) 19 e) 14
c) 18
08. Un reloj se atrasa 7 minutos cada 3 horas. ¿Cuánto se habrá atrasado en 21 horas? a) 21 min b) 35 c) 49 d) 50 e) 56 09. El reloj de Toñito se atrasa 6 horas cada 2 días. ¿En cuántos días se atrasará 9 horas? a) 4 días b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 10. Cindy le comenta a lady que su reloj se atrasa 5 horas cada 2 días. ¿En cuántos días el reloj de Cindy se atrasará 15 horas? a) 3 días b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 11. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 3 horas. ¿Cuántos minutos se adelantará desde las 2:00 a.m. las 11 a.m.? a) 3min b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿Cuántos minutos se adelantará desde las 10:00 a.m. hasta las 4:00 p.m.? a) 2 min b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 13. Un despertador se atrasa 1 min. cada 4 horas si hace 12 horas está que se atrasa. ¿Qué hora será realmente cuando marque las 07:50 a.m.? a) 08:50 a.m. b) 08:53 c) 07:53 d) 07:47 e) 08:47
463
JOHN MAMANI M. 14. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 9 horas y hace 15 horas está que funciona con este desperfecto. ¿Qué hora será realmente cuándo marque 09:37 p.m.? a) 09:30 b) 09:32 c) 09:42 d) 09:40 e) 09:37 15. Hace 36 horas que un reloj está que se atrasa 6 minutos cada 8 horas. ¿Qué hora es en la realidad si está marcando las 02:49 a.m.? a) 03:10 b) 03:16 c) 02:22 d) 02:40 e) 02:32 16. El reloj de Rosa se atrasa 3 minutos cada 2 horas. ¿Cuántos minutos se atrasará en 6 horas? a) 9 min b) 8 c) 6 d) 5 e) 4
a) 19 d) 12
b) 32 e) 21
c) 16
21. Un reloj se atrasa 5 horas cada 6 días. ¿Cuánto se atrasará en 30 días? a) 20h b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 22. Un despertador se atrasa 2 minutos cada 8 horas. ¿Cuántos minutos se atrasará en 1 día? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 23. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 7 horas. ¿Cuánto se adelantará desde las 04:00 a.m. hasta las 18:00 p.m.? a) 2 min b) 6 c) 12 d) 4 e) 5
17. Lazito compra un reloj malogrado sabiendo que se atrasa 8 minutos por cada hora. ¿Cuántos minutos se habrá atrasado en 30 minutos? a) 8 min b) 6 c) 5 d) 4 e) 2
24. Hace 2 semanas un reloj se adelanta 3 horas cada 2 días. ¿Qué hora será en realidad si está marcando las 22:00 h? a) 01:00 h b) 02:00 h c) 20:00 h d) 22:20 h e) 12:00 h
18. Gildercito observa que el reloj de su amiguita Cinthia se atrasa 16 minutos en 2 horas. ¿Cuántos minutos se atrasará el reloj de Cinthia en 30 minutos?. a) 8 min b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
25. Un despertador se atrasa 2 minutos cada 8 horas. Si hace 24 horas está que se atrasa. ¿Qué hora será realmente cuándo marque 08:56 am?. a) 08:00 am b) 09:56am c) 8:50 am d) 09:02am e) 09:02pm
19. Al caer un reloj comienza a fallar y se atrasa 1/4 hora cada 10 h. ¿Cuánto tiempo se atrasará en 80h?. a) 90 b) 120 c) 60 d) 180 e) 128
26. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 900 segundos. Si ahora marca las 4:20 y hace 8 horas que se adelanta; ¿Cuál es a hora correcta? a) 3:42 b) 4:12 c) 3:16 d) 3:48 e) 3:30
20. El reloj de Cecilia se atrasa 7 horas cada 4 días. ¿En cuántos días se atrasará 28 horas?
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JOHN MAMANI M. 27. Un reloj que se atrasa 5 minutos en cada hora es sincronizada hoy al medio día (12m). ¿Qué tiempo, como mínimo, de verá transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta? a) 6 días b) 9 días c) 7 días d) 8 días e) 10 días 28. Un reloj que se adelanta 7 min. cada hora y otro que se atrasa 3 min. Cada hora se sincronizan a las 10:00am. ¿Dentro de cuánto tiempo como mínimo marcarán juntos la misma hora? a) 2 días b) 3 días c) 4 días d) 5 días e) 6 días 29. Un reloj se adelanta 15 minutos cada hora y otro se adelanta 25 minutos cada hora. ¿Dentro de cuantos días volverán a marcar la hora correcta? a) 2 días b) 3 días c) 8 días d) 4 días e) 9 días 30. Un reloj se adelanta 15 minutos cada hora y otro se atrasa 5 minutos cada hora. ¿Dentro de cuantos días volvera a marcar la hora correcta nuevamente? a) 35 h b) 28 h c) 16 h d) 38 h e) 36 h 31. Un reloj se atrasa un cuarto de minuto durante el día, pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un tercio de minuto durante la noche; al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy al atardecer marca la hora exacta. a) 19 b) 20 c) 15 d) 25 e) 21 32. Un reloj se adelanta 5 minutos cada 2 horas. Si hace ya 12 horas que viene funcionando Academia GAUUS
y marca las 3:00 a.m. ¿Qué hora será en realidad? a) 1:00 a.m. b) 2:48 a.m. c) 4:00 a.m. d) 2:00 a.m. e) 2:30 a.m. 33. Un reloj se adelanta 3 minutos cada “x” horas si empieza a fallar a las 10:29 p.m. y luego marca las 8:35 a.m. cuando en realidad son las 8:29 a.m. Calcular “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 34. María sale de su casa a las 7:00a.m. (según el reloj de su casa) con dirección a la escuela, llegando a las 8:15 (según el reloj de la escuela). Si el reloj de su casa está atrasado 5 minutos y el reloj de su escuela esta adelantado 10 minutos. ¿Cuánto tiempo se demoró María en ir de su casa a la escuela? a) 1h 20min b) 1h c) 1h 30 min d) 1h 5 min e) 1h 25 min 35. En el instante de comenzar un año no bisiesto, un reloj señala las 11h 6´40´´a.m. se supone que va adelantado. Este reloj se atrasa: el primer día 4 segundos; el segundo día, 12 segundos; el tercer día, 20 segundos y así sucesivamente. Al comenzar un día del año, el reloj marcará la hora exacta. ¿Cuál es ese día? a) 11 abril b) 10 abril c) 21 marzo d) 04 abril e) 11 mayo 36. Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 3 minutos por hora y el otro se atrasa 2 minutos por hora. Si ambos relojes se les sincronizó el 25 de febrero de un año bisiesto a las 15:00 h. ¿En qué fecha exactamente ambos relojes volverán a marcar la misma hora? a) 1 de marzo b) 29 de febrero c) 2 de marzo d) 28 de febrero e) 3 de marzo
465
JOHN MAMANI M. TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR 01. ¿Qué hora es? Si las horas transcurridas son la tercera parte de las horas que falten transcurrir. a) 2h b) 6h c) 12h d) 3h e) 5h 02. ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a los 5/3 de lo que faltaba por transcurrir? a) 3 p.m. b) 1 p.m. c) 7 p.m. d) 5 p.m. e) 6 p.m. 03. Elías le dice a Rocío: ‘‘Nos encontraremos en el lugar de siempre, cuando las horas transcurridas del día sean 3/5 de las horas que faltan por transcurrir’’. ¿A qué hora será el encuentro? a) 8:00 b) 9:00 c) 9:30 d) 8:30 e) 10:00 04. Las horas que faltan para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en la relación de 3 a 5. ¿Cuántas horas han transcurrido desde el medio día? a) 2h b) 1h c) 4h d) 3h e) 5h 05. ¿Qué hora es? Si el tiempo transcurrido desde las 7 horas es el quíntuplo de las horas que faltan transcurrir para las 13 horas. a) 11h b) 12h c) 9h d) 8h e) 13h 06. La mitad del tiempo que ha transcurrido desde las 8 horas es la quinta parte del tiempo que falta por transcurrir para las 22 horas. ¿Qué hora es?
466
a) 16h d) 17h
b) 12h e) 18h
c) 11h
07. Faltan para las 9 horas la mitad de minutos que pasaron desde las 7 h. ¿Qué hora es? a) 8:20 b) 8:24 c) 8:44 d) 8:24 e) 8:36 08. Si son más de las 3, pero aún no son las 5 y los minutos transcurridos desde las 3 es la cuarta parte de los minutos que faltan para las 5, ¿Qué hora es? a) 3:20 b) 4:24 c) 3:44 d) 3:24 e) 3:36 09. Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día. ¿Qué hora será dentro de 4 horas? a) 18h00 b) 16h00 c) 21h00 d) 20h00 e) 19h00 10. ¿Qué hora es, si el triple de las horas transcurridas es igual al quíntuplo de las horas no transcurridas? a) 4 p.m. b) 5 p.m. c) 3 p.m. d) 11 a.m. e) 1 p.m. 11. Faltan transcurrir del día, tanto como la tercera parte del tiempo que transcurrió hasta hace 4 horas. ¿Qué hora es? a) 6 pm b) 7pm c) 8pm d) 5pm e) 9pm 12. Alioska le pregunta la hora a Rodrigo y él le responde: ‘‘Para saber la hora, debes sumar la mitad del tiempo que falta para acabar el Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. día con los 2/3 del tiempo que ha transcurrido desde que se inicio’’. ¿Qué hora es? a) 2:30p.m b) 1:24p.m c) 2:34p.m d) 2:24p.m e) 1:34p.m 13. Un postulante le dice a su amiga: ‘‘Cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir, te espero donde tú ya sabes ’’ ¿A qué hora es la cita? a) 9am b) 9pm c) 7pm d) 6pm e) 3pm 14. Consultando la hora una persona contesta: Las horas que quedan del día son menores en 6 que las horas transcurridas. ¿Qué hora 1 será dentro de 3 horas? 2 a) 6:30 b) 6:24 c) 6:34 d) 3:24 e) 3:36 1 horas, si se sabe 4 que en estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en 5 horas de lo que falta transcurrir del día? a) 1:45pm b) 3:15pm c) 2:20pm d) 2:45pm e) 3:25pm
15. ¿Qué hora será dentro 5
16. Son más de la seis sin ser las ocho y hace 10 minutos, los minutos que habían transcurrido desde las 6 eran iguales a 1/9 del tiempo que faltaría transcurrir hasta las ocho dentro de 10 minutos. ¿Qué hora es? a) 6h 00 b) 6h 20 c) 8h 00 d) 7h 00 e) 6h 25 17. Si dentro de 35 minutos faltaran para las 18:00 horas, 5 minutos más que los minutos transcurridos desde las 16:00 horas. ¿Qué hora es? Academia GAUUS
a) 16:40 d) 16:25
b) 16:30 e) 16:20
c) 16:15
18. Si dentro de 2h el tiempo que faltará transcurrir del día será 2/3 del tiempo que ya transcurrió. ¿Qué hora es? a) 1:12 a.m. b) 1:24 p.m. c) 2:12 p.m. d) 2:24 p.m. e) 1:12 p.m. 19. Son más de las 5 pero aun no son las 7 de ésta mañana. Si el tiempo que había transcurrido desde las 5 hasta hace 20 minutos es igual a 1/9 del tiempo que faltará transcurrir hasta las 7, pero dentro de 40 minutos. ¿Qué hora es? a) 5:30 b) 5:25 c) 5:20 d) 6:10 e) 6:15 20. Al preguntarle la hora a un romántico responde: pasan de las 3 sin ser las 4 de hasta hermosa tarde. Si hubiera pasado 25 minutos más; faltarían para las 5 horas los mismos minutos que pasaron desde las 3 hace 15 minutos, que es el tiempo que espero a mi amada. ¿Qué hora es? a) 3h 21min b) 3h 55min c) 3h 30min d) 3h 31min e) 3h 15min 21. Dentro de 4 h se verificará que el tiempo transcurrido del día será 8/3 de lo que falta por transcurrir, más 2 horas. ¿Qué hora será cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de horas numéricamente igual a la décima parte del ángulo que forman las agujas actualmente (sexagesimales)? a) 9:00 p.m. b) 2:00 p.m. c) 6:00 p.m. d) 8:00 p.m. e) 10:00 p.m. 22. Julio le preguntó a Marilú sobre la hora y ella respondió: “Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además dentro de 13 minutos faltarán para las 13 horas la misma cantidad de minutos que había pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos”. Según lo expresado por Marilú, qué hora es: a) 11:21 b) 11:32 c) 11:57 d) 11:50 e) 11:56
467
JOHN MAMANI M. PROBLEMAS MANECILLAS DEL RELOJ 01. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 145º por segunda vez? a) 2h 50min b) 2h 40min c) 2h 55min d) 2h 53min e) 2h 45min
08. ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 8:24 h? a) 100º b) 112º c) 108º d) 120º e) 100º
02. Calcule al ángulo que forma las manillas del reloj a las 1:18. a) 60° b) 69° c) 68° d) 67° e) 70°
09. Silvia al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa y dice: “son las 4:42 h”. ¿Qué hora es realmente? a) 9:24 h b) 8:42 c) 8:24 d) 9:26 e) 9:27
03. Desde las 7:18 p.m. hasta las 7:25. ¿Qué ángulo habrá girado el minutero? a) 84º b) 7º c) 60º d) 42º e) 21º 04. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 30º? a) 3:10 10/11 b) 3:15 0/11 c) 3:11 10/11 d) 3:20 10/11 e) 3: 21 10/11 05. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 3:20 h? a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 45º 06. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4:30 h? a) 115º b) 45º c) 145º d) 60º e) 90º Si nuestro reloj marca las 6:20 ¿Qué ángulo forman las agujas de nuestro reloj? a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 90º 07. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 6:30 p.m.? a) 15º b) 60º c) 7º d) 42º e) 21º
468
10. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 el minutero y el horario forman un ángulo que es la quinta parte del ángulo externo antes que el minutero pase al horario? a) 5h 16 3/11min b) 5h 15 3/11min c) 5h 16 4/11min d) 5h 17 5/11min e) 5h 11 2/11min 11. El examen semanal de la academia JOHNS empieza a las 4:15 p.m. y debe terminar entre las 6 y las 7 p.m., cuando las manecillas del reloj de la academia formen un ángulo de 40º por segunda vez. ¿Cuánto tiempo dura el examen? a) 2h b) 2h 15min c) 2h 20 min d) 2h 25min e) 2h 10min 12. Enrique inicia un viaje cuando las manecillas de un reloj están superpuestas entre las 8 y las 9 a.m. y llega a su destino entre las 2 y 3 p.m. del mismo día cuando las manecillas del reloj formaban un ángulo de 180°. ¿Cuánto demoró Enrique en su viaje? a) 5h 20min b) 6h 30min c) 6h d) 6h 20min e) 6h 40min
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 13. ¿Qué hora indica el reloj?
16. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?
2α α
α
2α
a) 2:51 d) 2:54
b) 2:52 c) 2:53 e) 2:54’ 30’’
14. Observando el gráfico determinar qué hora es: 12
11
1
2
10
9
2 min 7 3 c) 2 h 34 min 7 1 e) 2 h 32 min 7
a) 2 h 34
4 min 7 5 d) 2 h 33 min 7
b) 2 h 33
17. ¿Qué hora es en el gráfico adjunto? 3
α
7
5 a) 6 : 25 7 4 d) 6 : 25 7
2α
8
6
4
θ
5
7 b) 6 : 25 5 3 e) 6 : 25 4
c) 6 : 25
12 5
2
10
3
156º
8
4 7
5
6 4 3 2 a) 3h 47 min . b) 3h 48 min . 7 11 11 1 c) 3h 49 min d) 3h 47 min 11 e) 3h 48 min
Academia GAUUS
8 h 11 7 c) 10 : 33 h 11 8 e) 10 : 31 h 11
b) 10 : 35
a) 10 : 32
15. ¿Qué hora marca el reloj de acuerdo al gráfico? 12 11 1
9
θ
d) 10 : 32
9 h 11
18. ¿Qué hora marca el reloj mostrado? a) 9 : 23 9 h b) c) d) e)
11 9 : 21 9 11 9 : 22 9 11 9 : 25 9 11 9 : 31 9 11
h
11
h
1 2
10
h 9 h
12
α
3 α
8
4 7
6
5
469
JOHN MAMANI M. 19. Según el grafico, ¿que hora es exactamente?
22. Según el grafico, ¿Qué hora indica el reloj?
5x 3x 2 − 8 min
c) 7 : 22 9 4
a) 7 : 24
b) 7 : 22
d) 7 : 23
e) 7 : 219 11
a) 2 : 40 d) 2 : 42
b) 2 : 37 e) 2 : 36
c) 2 : 32
23. ¿Qué hora indica el grafico? 20. ¿Qué hora es según el grafico mostrado?
α
α
8α
2α
a) 2 : 38 4 7
b) 2 : 36 1 7
c) 2 : 37
d) 2 : 39 4 7
e) 2 : 37 1 2
a) 2 : 27 d) 2 : 28
b) 2 : 25 e) 2 : 29
c) 2 : 26
24. ¿Qué hora indica el reloj?
21. ¿Qué hora es exactamente según a figura?
α
8α α 3α+10°
a) 2 : 27 d) 2 : 28 a) 1:21 1 3
b) 1:22 3 4
c) 1:22
d) 1:22 2 3
b) 2 : 25 e) 2 : 29
c) 2 : 26
e) 1:24
470
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. Una campana demoro 8 segundos para tocar 7 campanadas. ¿Cuantas campanadas tocara en 20 segundos? a) 13 d) 16
b) 14 e) 12
CEPREUNA–2006
c) 15
a) 75,0º d) 65,5º
02. El campanario de un reloj emplea 12 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurre, entre campanada y campanada. ¿Cuántas campanadas tocara en 20 segundos? a) 5 d) 7
b) 6 e) 4
UNAP–EXT–2008
c) 8
03. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 21 segundos. Si se escucharon tantas campanadas como 10 veces el tiempo que hay entre campana y campana. ¿Cuánto tiempo empleara este campanario para tocar 7 campanas? a) 10s d) 7s
b) 8s e) 6s
c) 9s
UNAP–2009
04. Un reloj se atrasa 8 minutos cada 24 horas. Si este marco la hora correcta a las 7:00 de la mañana el 2 de mayo, ¿Qué hora marcara a las 13:00 horas del 7 mayo? CEPREUNA–ING–2014
a) 12h 42min c) 12h 08min e) 12h 18 min
b) 11h 07min d) 11h 18min
05. Un reloj se atrasa un cuarto de minuto durante el día, pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un tercio de minuto durante la noche; al cabo de cuantos días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy al atardecer marca la hora exacta. a) 19 d) 25
b) 20 e) 21
Academia GAUUS
06. Fernando mira su reloj y ve que el horario adelanta al minutero en xº; luego de media hora ve que el minutero adelanta al horario en xº; ¿Cuánto vale xº?
c) 15
UNAP–2008
b) 80,5º e) 82,5º
UNAP–2003
c) 30,0º
07. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 15 minutos. Si ahora marca las 5:20 horas y hace 4 horas que se adelanta; la hora correcta sería: a) 4:48 d) 3:50
b) 4:24 e) 4:28
CEPREUNA–2007
c) 4:32
08. Un reloj se retrasa 4 minutos cada 5 horas, se pone a la hora al medio día. Si se desea poner nuevamente a la hora a las 8:00a.m. del día siguiente. ¿Cuántos minutos se debe adelantar para ponerlo a la hora? a) 15 d) 24
b) 16 e) 25
UNAP–EXT–2001
c) 20
09. Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj a razón de 5 minutos por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj cuando en realidad sean las 10 p.m. del mismo día? a) 11:20p.m b) 10:00p.m d) 10:10p.m e) 11:10p.m
UNAP–EXT–2009
c) 10:15p.m
10. Un postulante le dice a su amiga: ‘‘Cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir, te espero donde tú ya sabes ’’ ¿A qué hora es la cita? a) 9am d) 6pm
b) 9pm e) 3pm
CEPREUNA–2007
c) 7pm
1 horas, si se sabe 4 momentos el tiempo
11. ¿Qué hora será dentro 5 que
en
estos
471
JOHN MAMANI M. transcurrido es excedido en 5 horas de lo que falta transcurrir del día? a) 1:45pm d) 2:45pm
b) 3:15pm e) 3:25pm
CEPREUNA–2007/2008
c) 2:20pm
12. Tania le pregunta la hora a Rubén y el responde: “Para saber la hora debes sumar la mitad del tiempo que falta para acabar el día con 2/3 del tiempo que ha transcurrido desde que se inició”. ¿Qué hora es? CEPREUNA–2011
a) 14h 24min c) 14h 54min e) 14h 38min
b) 14h 48min d) 14h 44min
17. Elías le dice a Rocío: ‘‘Nos encontraremos en el lugar de siempre, cuando las horas transcurridas del día sean 3/5 de las horas que faltan por transcurrir’’. ¿A qué hora será el encuentro? CEPREUNA–SOC–2014
a) 8:00 d) 8:30
b) 9:00 e) 10:00
c) 9:30
18. Si dentro de 35 minutos faltaran para las 18:00 horas, 5 minutos más que los minutos transcurridos desde las 16:00 horas. ¿Qué hora es? UNAP–2004
13. Son más de la seis sin ser las ocho y hace 10 minutos, los minutos que habían transcurrido desde las 6 eran iguales a 1/9 del tiempo que faltaría transcurrir hasta las ocho dentro de 10 minutos. ¿Qué hora es? a) 6h 00 d) 7h 00
b) 6h 20 e) 6h 25
CEPREUNA–2011
c) 8h 00
b) 16h00 e) 19h00
CEPREUNA–ING–2012
c) 21h00
15. Si hace 4 horas faltaba para acabar el día, el triple del tiempo que faltara para acabar el día dentro de 4 horas. ¿Qué hora es? a) 18:00h d) 21:00h
b) 16:00h e) 17:00h
CEPREUNA–2007
c) 19:00h
472
b) 1:24p.m e) 1:34p.m
c) 16:15
19. Faltan transcurrir del día, tanto como la tercera parte del tiempo que transcurrió hasta hace 4 horas. ¿Qué hora es? a) 6 pm d) 5pm
b) 7pm e) 9pm
c) 8pm
20. El menor ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 08 horas con 20 minutos es: CEPREUNA–2010
a) 130° d) 129°
b) 132° e) 133°
c) 135°
21. ¿Cuál es el mayor ángulo formado por las manecillas de un reloj cuando marca las 11 horas 15 minutos? UNAP–2011
16. Alioska le pregunta la hora a Rodrigo y él le responde: ‘‘Para saber la hora, debes sumar la mitad del tiempo que falta para acabar el día con los 2/3 del tiempo que ha transcurrido desde que se inicio’’. ¿Qué hora es? a) 2:30p.m d) 2:24p.m
b) 16:30 e) 16:20
UNAP–EXT–2012
14. Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día. ¿Qué hora será dentro de 4 horas? a) 18h00 d) 20h00
a) 16:40 d) 16:25
CEPREUNA–BIO–2014
c) 2:34p.m
a) 230° 30’ d) 247° 30’
b) 112° 30’ e) 202° 30’
c) 102° 30’
22. Pamela, al ver la hora, confundió las manecillas del reloj y vio 4:48. ¿Qué hora era realmente? CEPREUNA–ING–2014
a) 9:36 d) 9:20
b) 9:24 e) 9:28
c) 9:26 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 23. ¿Cuál es el mayor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 10h 28min? CEPREUNA–SOC–2013
a) 220° d) 214°
b) 200° e) 221°
c) 146°
28. Luego que un reloj marco las 3:00 p.m.; transcurrió un tiempo hasta que el minutero traspaso al horario, formando un ángulo de 53°. ¿Cuántos minutos transcurrieron desde las 3:00 p.m. hasta ese momento? UNAP–2009
24. ¿Cuál es el mayor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 10 horas con 28 minutos? UNAP–EXT–2011
a) 34° d) 214°
b) 236° e) 146°
c) 124°
a) 24 min d) 23 min
b) 27 min e) 17 min
c) 26 min
29. ¿A qué hora después de las 3, el minutero adelanta al horario, tanto como el horario adelanta; a las 12? UNAP–EXT–2008
25. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj forma un ángulo de 145° por segunda vez? UNAP–EXT–2010
a) 2h 53min b) 2h 55min d) 2h 40min e) 2h 50min
c) 2h 45min
26. Juan salió de su casa entre las 15h 00 min y 16h 00 min, cuando las agujas del reloj formaban un ángulo de 180° y regreso entre las 22h 00min y 23h 00 min cuando las agujas del reloj se superponían. ¿Qué tiempo estuvo fuera de su casa?
a) 3:10 d) 3:36
b) 3:24 e) 3:20
c) 3:18
30. Supongamos que en el planeta Leo, el día dura 16 ‘‘horas’’ y que cada ‘‘hora’’ tiene 45 ‘‘minutos’’. ¿Qué ‘‘hora’’ será en reloj de este planeta, cuando un reloj de la tierra marque las 6:20p.m? Observación: Un día del planeta Leo es equivalente a un día del planeta tierra. CEPREUNA–2006
a) 12:20 d) 12:35
b) 12:35 e) 12:10
c) 12:00
CEPREUNA–2011
6 a) 7h 6 min 11
b) 7h 4
4 min 11
c) 7h 3
3 min 11
d) 7h 5
5 min 11
e) 7h 5
7 min 11
31. Gabriela emplea exactamente 1 hora en ir de su casa al colegio, si salió a las 7 horas de su casa y para llegar al colegio le faltan 10 minutos menos de lo que ha caminado. ¿Qué hora es? CEPREUNA–2011
27. En un reloj, los minutos marcados en valor numérico es equivalente al ángulo formado por el minutero y el horario. Además son menos de las 4. ¿Qué hora es?
a) 7h 20min c) 7h 40min e) 7h 30min
b) 7h 35min d) 7h 15min
CEPREUNA–BIO–2014
a) 3:20 d) 3:50
b) 3:45 e) 3:40
Academia GAUUS
c) 3:25
473
JOHN MAMANI M.
Promedios CAPÍTULO XVII DEFINICIÓN ∴ M.A.=
a1 + a n
=
8 + 20 = 14 2
Se llama promedio o cantidad media de un conjunto de números a un número que es mayor que la menor cantidad y menor que la mayor. a 1 < a 2 < a 3 < ...... < a n a 1 < Promedio < a n
MEDIA GEOMÉTRICA (M.G)
MEDIA ARITMÉTICA (M.A)
Media geométrica de a y b.
Es el promedio más utilizado. El cálculo se realiza de la siguiente manera Media aritmética de a y b. M.A. =
a + a 2 + a 3 + ...... + a n M.A. = 1 n
Ejemplo 01 Halle la media aritmética de: 10; 15; 13 y 20
10 + 15 + 13 + 20 = 14, 5 4
Ejemplo 02 Halle la media aritmética de: 8; 11; 14; 17 y 20
Resolución Se observa que los datos están en progresión aritmética. 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20
474
+3
+3
M.G. =
a×b
Media geométrica de n números
Ejemplo 03 Halle la media geométrica de: 8; 27 y 125
Resolución ∴ M.G. =
3
8 × 27 × 125 = 30
MEDIA ARMÓNICA (M.H) Se calcula de la siguiente manera
Resolución
+3
Es un promedio que permite calcular el índice y la tasa de crecimiento.
M.G.= n a 1 × a 2 × a 3 × ...... × a n
a+b 2
Media aritmética de n números
= ∴ M.A.
2
+3
Media armónica de a y b. M.H. =
2ab a+b
Media armónica de n números M.H. =
n 1 1 1 1 + + + ...... + a1 a 2 a 3 an
Ejemplo 04 Halle la media armónica de: 6; 10 y 15 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Resolución
Resolución
Sean los números a; b; c; d y e. ∴= M.H. promedio a + b + c + d + e = inicial = 16 5 Luego: Ejemplo 05 3(2) + 2( − 1) ∆M.A. = 0, 8 Un móvil para ir de A hacia B recorre con una = 5 velocidad de 20km/h y de regreso (de B hacia A) lo hace con una velocidad de 30km/h. Calcule la Por lo tanto velocidad promedio. promedio promedio = + ∆M.A. final inicial 3 = 9 1 1 1 + + 6 10 15
Resolución
velocidad 2 ∴ = 24km/h = 1 1 promedio + 20 30
PROPIEDADES
promedio = final
16
+= 0, 8 16, 8
PROMEDIO PONDERADO (Promedio de promedios)
Para un conjunto de valores diferentes: M.A. > M.G. > M.H.
Si todos los valores son iguales, entonces: M.A. = M.G. = M.H.
Para 2 números:
a p + a 2 p2 + a 3p 3 + + a n pn PP = 1 1 p1 + p 2 + p 3 + + p n
Donde: a n = Cantidades (Notas; Precios; etc.) Pn = Pesos (Créditos, frecuencias; etc.)
2
(M.G.) = (M.A.)(M.H.) 2 2 (a = − b) 4 (M.A.) − (M.G.) 2
Ejemplo 07 Se muestra en el cuadro las notas de un estudiante de la Facultada de Ingeniería Eléctrica
VARIACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA aumento y/o disminución en la suma de datos ∆M.A. = cantidad de datos
Ejemplo 06 El promedio de 5 números es 16, luego se aumenta a los tres primeros números dos unidades a cada uno y se disminuye al resto una unidad a cada uno. Calcule el nuevo promedio Academia GAUUS
Nota
N° de Crédito
1 2 3 4
12 15 14 13
4 3 5 2
Calcule su promedio
Además: promedio promedio = + ∆M.A. final inicial
Curso
Resolución Calculando con promedio ponderado x p + x 2 p2 + x 3 p 3 + x 4 p 4 P.P. = 1 1 p1 + p 2 + p 3 + p 4 12(4) + 15(3) + 14(5) + 13(2) 4+ 3+ 5+ 2 189 P.P. = = 13, 5 14
P.P.=
475
JOHN MAMANI M. Ejemplo 08 El promedio de 6 números es 8 y el promedio de otros 4 números es 9. Hallar el promedio de todos los números.
Resolución Por promedio ponderado: Promedio=
6(8) + 4(9) = 8, 4 6+ 4
Ejemplo 09 En una clase de Razonamiento Matemático el promedio de 20 alumnos es 12, de otros 15 es 14 y de los restantes 27 es 15. ¿Cuál es el promedio de todos?
Resolución Por promedio ponderado: 20(12) + 15(4) + 27(15) Promedio= = 13,79 20 + 15 + 27 Ejemplo 10 Si la razón de la suma con la diferencia de dos números enteros positivos es 5/3 ¿calcular la media aritmética de los números? si su producto es 64.
Resolución: n1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 + n 6 = 48 6 Como la menor edad es 46, para que uno tenga la máxima los otros deben tener lo mínimo. Luego: n (MAX) + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 = 48 6 n (MAX) + 230 = 288
n (MAX) = 58
Ejemplo 12 La diferencia de dos números es 7 y la suma de su media geométrica y su media aritmética es 24,5. Hallar el exceso de su media aritmética sobre su media geométrica.
Resolución: Del enunciado: M.A (a,b) + M.G(a,b) = 24, 5 a+b + 2
a + b + 2 ab = 49
(
Resolución: Sean a y b los números (a>b) a+b 5 = ⇒ a = 4 b.......(1) a−b 3 ab = 64 ⇒ ( 4 b ) b = 64 ⇒ b = 4.......(2) (2) en (1): a = 4 b ⇒ a = 4 ( 4 ) ⇒ a = 16 16 + 4 M.A = = 10 (a,b) 2 M.A (a,b) = 10 Ejemplo 11 El promedio de las edades de 6 personas es 48, si ninguno de ellos es menor de 46 ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?
476
ab = 24, 5
a+
b
)
a+
Del enunciado:
2
49 =
b= 7.......(1)
a−b= 7
7 ( a) −( b) = 7 ( a + b )( a − b ) = 7( a − b ) = 7 2
2
a−
Pide: M.A (a,b) − M.G(a,b) =
b= 1........(2)
(
a− 2
b
)= 2
1 2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMAS DE PROMEDIOS 01. Calcular el promedio aritmético de los números 15; 19; 20; 35; y 46 a) 34 b) 17 c) 27 d) 38 e) 28 02. El promedio aritmético de 7; 9; 16; 23 y 45 es: a) 18 b) 20 c) 34 d) 46 e) 51 03. Calcular el promedio geométrico de 12; 6 y 24. a) 8 b) 10 c) 4 d) 12 e) 6 04. Calcular el promedio armónico de 1; 2: 3 y 6 a) 1,8 b) 2 c) 2,1 d) 3 e) 4 05. Luis Ángel obtuvo 14; 10 y 18 en tres evaluaciones. ¿Qué nota obtuvo en el cuarto examen si su promedio final fue de 15? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 06. El promedio aritmético de a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmético de 12 y 20, calcular (a+c) a) 72 b) 61 c) 71 d) 62 e) 51 07. El promedio aritmético de 30 números es 14. Si agregamos un número, el promedio se incrementa en 2 unidades. ¿Qué número estamos agregando? a) 75 b) 76 c) 77 d) 78 e) 79 08. Si la media armónica de dos números es 4 y su media geométrica es 12, ¿cuál es su media aritmética? a) 26 b) 36 c) 42 d) 34 e) 50 Academia GAUUS
09. El promedio aritmético de 60 números es 13,8. Si a cada uno de éstos se multiplica por 2,5 ¿cuál es el nuevo promedio? a) 32,4 b) 35,4 c) 36,5 d) 35,6 e) 34,5 10. ¿Cuál es el promedio de los 20 primeros números enteros positivos? a) 11,5 b) 12,5 c) 9,5 d) 10,5 e) 13,5 11. Si el promedio aritmético de 15; 40; B y 16 es 24, calcular el valor de “B”. a) 24 b) 25 c) 30 d) 40 e) 58 12. La media aritmética de 30 números es 20. Si se quita 2 de éstos cuya media aritmética es 48, ¿en cuánto disminuye la media aritmética de los restantes? a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 13. Se sabe que la media aritmética de dos números es 5 y su media armónica es 24/5, calcular dichos números. a) 5 y 4,5 b) 8 y 2 c) 6 y 4 d) 6,5 y 3,5 e) 7 y 3 14. Calcular la media armónica de dos números cuya media aritmética es 20 y su media geométrica es 10. a) 10 b) 5 c) 8 d) 12 e) 6 15. El promedio de edades de cuatro personas es 44 años. Sabiendo que ninguno de ellos es menor de 36 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? a) 65 años b) 67 años c) 44 años d) 68 años e) 86 años
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JOHN MAMANI M. 16. El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4, calcular su promedio aritmético. a) 38 b) 20 c) 16 d) 24 e) 36 17. La media aritmética de dos números es 8. Si se cuadruplica el primero de ellos y se aumenta en 5 unidades el otro, el nuevo promedio sería 26. ¿Cuál es la diferencia de dichos números? a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 18. El promedio de edades de cuatro personas es 44 años. Sabiendo que ninguno de ellos es menor de 36 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? a) 65 años b) 67 años c) 44 años d) 68 años e) 86 años 19. Si el promedio de tres números consecutivos es 12, calcular el promedio de los tres números consecutivos siguientes: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 20. Un ciclista recorre desde su casa al trabajo a una velocidad de 120m/seg y de retorno por el mismo camino a una velocidad de 280m/seg. Hallar la velocidad media del recorrido. a) 168 b) 194 c) 200 d) 140 e) 175 21. Un automóvil viaja de Lima a Arequipa a una velocidad de 120km/hr y regresa por Cusco, Apurimac, Ayacucho llegando a Lima en el mismo tiempo, con una velocidad de 180km/hr. ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido? a) 150 b) 144 c) 136 d) 186 e) 140 22. La edad promedio de 10 personas es 40 años. Si ninguno tiene más de 44 años. ¿Cuál
478
es la menor edad que uno de ellos puede tener? a) 8 b) 7 c) 4 d) 5 e) 6 23. La edad promedio de 15 personas es 16, si ninguno tiene menos de 8 años, ¿cuál es la máxima edad que uno de ellos puede tener, si además todos tienen edades diferentes? a) 35 b) 40 c) 22 d) 37 e) 21 24. El promedio de 100 números es 47. Hallar uno de los números si el promedio de los restantes es 43. a) 443 b) 325 c) 54 d) 1201 e) 356 25. La media armónica de 40 números es 20 y la media armónica de otros 60 números es 15. Hallar la media armónica de los 100 números. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 26. Durante el recorrido de 420 km se malograron dos de las llantas de un automóvil, por lo que se utilizaron 6 en lugar de 4. ¿Cuál es el recorrido promedio por cada llanta? a) 420 b) 280 c) 340 d) 70 e) 105 27. El promedio de un conjunto de números es un número “P”. Si se eliminan 31 números cuya suma es 527, el promedio de los números restantes sigue siendo “P”. ¿Cuánto deben sumar 23 números de tal manera que, agregado a los anteriores, el promedio sea “P”? a) 531 b) 297 c) 374 d) 451 e) 391 28. de Ingeniería y Administración rinden conjuntamente un examen de estadística, el promedio general es de 11,5; la media o promedio de los estudiantes de Ingeniería es Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 10,8, los 49 estudiantes de Administración obtuvieron un promedio de 12. ¿Cuántos estudiantes de Ingeniería rindieron examen? a) 42 b) 36 c) 32 d) 35 e) 28 29. El sueldo promedio de una empresa es $ 500, posteriormente se incorporan a la empresa un conjunto de empleados igual al 25% de los que trabajan inicialmente. El nuevo empleado ingresa a la empresa con un sueldo promedio igual al 60% del sueldo promedio de un empleado antiguo. Tres meses después la empresa concedió un aumento $ 70. ¿Cuál será el nuevo sueldo promedio de todos los empleados. a) $ 460 b) $ 530 c) $ 525 d) $ 480 e) $ 490 30. En una serie de 3 razones geométricas, la media geométrica de los promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Hallar la media aritmética de la media geométrica de los antecedentes y la media geométrica de los consecuentes. a) 1,5 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2
34. La edad promedio de 4 personas es de 25 años, si ninguno tiene menos de 18 años. Cuál es la edad mayor que podría tener una de ellas. a) 40 b) 45 c) 44 d) 43 e) 46 35. El promedio geométrico de 4 números pares distintos es 6 3. aritmético de ellos. a) 20 b) 16 d) 16 e) 10
Hallar
el
promedio
c) 18
36. El promedio aritmético de 5 números pares consecutivos es 24. hallar el promedio geométrico de la quinta parte del menor y la séptima parte del mayor. a) 5 b) 4 c) 6 d) 16 e) 18 37. El promedio aritmético de 30 números es 20. si se quita dos de ellos, cuyo promedio aritmético es 48, en cuanto disminuye el promedio aritmético. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
31. Un auto de Cusco a Puno lo hace a una velocidad de 80km/hr y de retorno lo hace a 20km/hr. Halle usted la velocidad promedio. a) 48 b) 49 c) 32 d) 30 e) 38
38. El promedio de 8 números es 12, si se aumenta a dichos números 1, 2, 3, . . . , respectivamente, ¿Cuál será el promedio de los nuevos números? a) 14 b) 14,5 c) 15 d) 16 e) 16,5
32. La edad promedio de tres personas es de 56 años, si ninguno tiene más de 59 años. Cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas. a) 51 b) 52 c) 50 d) 54 e) 53
39. Un bebe recorre de su cuna a la cama de sus papis a una velocidad de 200cm/minuto, y retorna por el mismo camino a una velocidad de 300cm/minuto. La velocidad promedio es: a) 150 b) 240 c) 260 d) 280 e) 250
33. La edad promedio de 4 personas es de 35 años, si ninguno tiene más de 40 años. Cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas. a) 25 b) 20 c) 28 d) 26 e) 29
40. El mayor de los promedios de dos números es 25 y el menor de los promedios es 24. Hallar el mayor de ellos. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
Academia GAUUS
479
JOHN MAMANI M. 41. El promedio aritmético de dos números es 29 y su media geométrica es 20. Hallar el menor de ellos. a) 4 b) 5 c) 8 d) 11 e) 20 42. El precio promedio de 5 artículos es $ 50, si ninguno de ellos puede costar menos de $ 35. ¿Cuál es el mayor costo para uno de ellos? a) 100 b) 110 c) 120 d) 180 e) 80 43. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón. a) 15 b) 16,2 c) 15,2 d) 15,1 e) 16,1 44. De los 20 integrantes de un club de tiro todos ellos aciertan de 25 tiros amas. ¿Cuál será la máxima cantidad de aciertos que uno de ellos puede obtener para que el promedio de aciertos del club sea 27? a) 27 b) 75 c) 55 d) 65 e) 54 45. En el aula A de un colegio hay 60 alumnos y en el aula B, 40. El promedio de notas en matemáticas de los alumnos del aula A es 15 y el de los del aula B es 17,5. Si se juntaran ambos salones en uno solo. ¿Cuál sería el promedio de notas en matemáticas de los 100 alumnos? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 46. El promedio de edad de 5 personas es 46, si ninguna de ellas es menor de 44 años. ¿Cuál es la máxima edad que una de ellas puede tener? a) 45 b) 46 c) 48 d) 54 e) 56 47. En un aula de 230 alumnos la menor edad es de 12 años, la mayor es de 24 años y el promedio de las 18 edades intermedias es 16
480
años. Cuál es el promedio de todas las edades. a) 16,5 b) 16,2 c) 17,4 d) 16,6 e) 17,5 48. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuantas perdonas de las que tienen 25 años deben retirase para que el promedio de los restantes sea de 20 años. a) 10 b) 11 c) 20 d) 25 e) 15 49. Si tenemos 4 números enteros positivos, se seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se calcula su media aritmética, a la cual se agrega el número restante, esto da 29. Repitiendo el proceso 3 veces más se obtienen como resultados 23, 21 y 17, la suma del menor con el mayor es: a) 15 b) 21 c) 24 d) 30 e) 33 50. Para un curso de química se tiene alumnos de primera matricula y alumnos de segunda matricula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matricula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de la segunda matricula? a) 30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 80% 51. EL promedio de 50 números es 38; siendo 28 y 62 dos de los números, eliminando estos números el promedio de los restantes es: a) 36,5 b) 38 c) 37,2 d) 38 e) 37,5 52. El promedio de 50 números es 62,1, se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varia el promedio? a) 5 b) 4,7 c) 5,7 d) 4,9 e) 3,9
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JOHN MAMANI M. 53. El promedio aritmético de 60 números es 15. Si a la cuarta parte de ellos se les aumenta en 6 unidades y alas restantes se les disminuye en 4 unidades, el nuevo promedio aritmético es: a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 54. La media geométrica de dos números enteros A y B es 6 2. Se sabe que su media armónica y su media aritmética son dos enteros consecutivos. Entonces la diferencia en valor absoluto de dichos números es: a) 1 b) 6 c) 12 d) 18 e) 24 55. De 500 estudiantes de un colegio, cuya estatura es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedio de los varones del grupo. a) 1,70m b) 1,64m c) 1,71m d) 1,69m e) 1,68m 56. La suma de las edades de los alumnos de un salón de clases es 1800 y su promedio es 20. Si a cada hombre se le agrega 4 años y a cada mujer se le resta 2 años el nuevo promedio es 21. Hallar el número de mujeres. a) 354 b) 45 c) 48 d) 50 e) 55 57. Se ha mezclado 52 litros de alcohol de 60% de pureza con 48 litros de 85% y 50 litros de alcohol de 96%. ¿Cuál es la concentración media de la mezcla final? a) 80% b) 75% c) 88% d) 65% e) 72%
mezcla de 20 litros que cueste 9 soles cada litro. Cuantos litros de calidad B se debe comprar. a) 15 b) 14 c) 17 d) 13 e) 16 60. El promedio de 6 números es x. Si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia entre el promedio y el y el número mayor retirado. a) -24 b) 24 c) 20 d) -20 e) 30 61. La media aritmética de dos números enteros positivos es a la media geométrica de los mismos números como 13 es a 12. El menor de dichos números puede ser: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 62. La media aritmética de dos números es 5, y la media es 6. Hallar la suma de los cuadrados de los números. a) 36 b) 28 c) 10 d) 72 e) 30 63. La edad promedio de Juan, Héctor y Alberto es 22 años y ninguno de ellos tiene más de 23 años. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener uno de ellos? a) 18 años b) 19 años c) 20 años d) 12 años e) 17 años 64. El promedio de 40 números es “n” y el promedio aritmético de otros 20 números es “(n-9)”. Calcular el valor de “n” si el promedio aritmético de los 60 números es12. a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 e) 12
58. El mayor promedio de dos números es 40 y el menor promedio es 30. Hallar la diferencia de los números. a) 30 b) 20 c) 10 d) 40 e) 22 59. El litro de vino de calidad A cuesta 5 soles y el de calidad B, 10 soles. Se desea obtener una Academia GAUUS
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JOHN MAMANI M.
01. La medida aritmética de tres números es nueve. Si el mayor de los números es el doble del menor y el intermedio es la medida aritmética de los otros dos, el menor de ellos es: CEPREUNA–2005
a) 14 d) 8
b) 12 e) 10
c) 6
02. Halle la media aritmética (MA) de m, n y p, si la MA de mn5 y 3(m − 2) p es mn5 . CEPREUNA–2008
a) 4 d) 2
b) 6 e) 5
c) 3
03. El promedio aritmético de cuatro números es 11 y cuando se les agrupa de 3 en 3 dichos promedios aritméticos son números pares consecutivos. ¿Cuál es el mayor de los cuatro números? CEPREUNA–2008
a) 10 d) 22
b) 30 e) 20
c) 18
a
a
04. Si el promedio geométrico de 2 , 4 , 8 2
2a
a
y
a es 32 , halle b b
CEPREUNA–2009
a) 5/2 d) 4/3
b) 2/5 e) 3/2
c) 7/9
05. El promedio de 12 números es 15; al agregar 2 números, el promedio aumenta en 5. Halle el mayor número agregado, si la diferencia de estos dos números es 50. CEPREUNA–2010
a) 75 d) 100
482
b) 25 e) 150
c) 50
06. Halle la media armónica de: 6 ; 12 ; 20 ; …… ; 552 CEPREUNA–2010
a) 48 d) 64
b) 52 e) 36
c) 42
07. Si la MA y la MH de dos números están en la misma relación que los números 49 y 9. Hallar el mínimo valor que puede tomar la MG de dichos números si esta es entera. MA (media aritmética) MH (media armónica) MG (media geométrica) a) 1 d) 5
b) 7 e) 6
CEPREUNA–2010
c) 3
08. El promedio de edades de cuatro personas es 48 años, ninguno de ellos es menor de 45 años. ¿Cuál es la edad máxima que puede tener uno de ellos? a) 60 d) 56
b) 61 e) 58
CEPREUNA–2011
c) 57
09. De 500 alumnos de la Escuela Profesional de Arquitectura, cuya estatura promedio es de 1,67m, 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60. Calcule la estatura promedio de los varones de dicha Escuela a) 1,67m d) 1,65m
b) 1,60m e) 1,70m
CEPREUNA–ING–2012
c) 1,75m
10. ¿Cuál es la media aritmética de dos números, si su media geométrica es 12 y su media armónica es 4? a) 26 d) 36
b) 46 e) 16
CEPREUNA–SOC–2012
c) 56
11. Se tiene 60 personas, cuyos pesos son números enteros en kilogramos. Sabiendo Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. que el promedio de los pesos es 50kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos, si ninguno pesa menos de 48kg? a) 167 d) 178
b) 188 e) 169
CEPREUNA–BIO–2013
c) 168
12. La suma de dos números es 200 y su media geométrica es 40, la media armónica es: a) 18 d) 31
b) 16 e) 22
CEPREUNA–SOC–2013
c) 61
13. Halle a + b , si la media geométrica de 2; 4 ; 8; 16; …. ; 2 a) 7 d) 9
ab
es igual a 2048.
b) 10 e) 5
CEPREUNA–ING–2013
c) 3
14. Halle la media aritmética de: 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; ….; 60 a) 30,5 d) 27,5
b) 32,5 e) 28,5
CEPREUNA–ING–2013
c) 31,5
15. El promedio aritmético de las edades de 3 hermanos es 20 si sus edades están relación 5, 3 y 2, calcule la edad del menor a) 12 d) 30
b) 18 e) 15
CEPREUNA–SOC–2013
c) 10
16. El doble de la media aritmética de dos números es igual al cuadrado de su media geométrica más uno. Si uno de los números es 28 halle el otro número. a) 2 d) 5
b) 1 e) 3
CEPREUNA–SOC–2014
c) 4
17. Un tren recorre la distancia que separa dos ciudades (A y B) a una velocidad de 80km/h de ida y 120km/h de regreso ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido? a) 105km/h d) 110km/h
b) 100km/h e) 98km/h
Academia GAUUS
CEPREUNA–ING–2014
c) 96km/h
18. La media aritmética de dos números es 15 y su media geométrica es 12. Calcule la diferencia de dichos números. a) 25 d) 38
b) 18 e) 20
CEPREUNA–BIO–2014
c) 28
19. La media aritmética de dos números enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. El menor de dichos números es: a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
CEPREUNA–SOC–2014
c) 4
20. Halle el promedio de los términos de la siguiente sucesión. 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; …. ; 10100 a) 3636 d) 3434
b) 3131 e) 3838
CEPREUNA–ING–2014
c) 3333
21. Si la media armónica del 40% y el 60% de un número entero es 384, entonces halle dicho número a) 600 d) 350
b) 800 e) 900
CEPREUNA–SOC–2014
c) 400
22. El promedio de edad de 18 varones es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de edad del grupo UNAP–2004
a) 16,1 d) 15,2
b) 15,0 e) 15,1
c) 16,2
23. El promedio geométrico de 4 números pares distintos es 6 3 . aritmético de ellos. a) 30 d) 50
b) 60 e) 40
Halle
el
c) 20
promedio UNAP–2009
24. La media aritmética de 20 números es 40; cuando se considera un número más, la media aritmética disminuye en una unidad. ¿Cuál es el número considerado? UNAP–2011
483
JOHN MAMANI M. a) 19 d) 17
b) 15 e) 16
c) 18
a) 3 2 d) 2
25. La media aritmética de 30 números es 20, si se quita dos de ellos cuya media aritmética es 48 ¿en cuánto disminuye la media aritmética de los restantes? a) 2 d) 3
b) 1 e) 3/2
UNAP–SOC–2011
c) 5/2
26. En el aula A de un colegio hay 60 alumnos y en el aula B, 40 alumnos. E l promedio de notas en matemáticas de los alumnos del aula A es de 15 y el de B es de 16. S i se juntaran ambos salones en uno solo; ¿Cuál sería el promedio de notas de matemáticas de 100 alumnos? a) 15,2 d) 15,6
b) 15,4 e) 15,8
UNAP–EXT–2000
c) 15,5
27. Hallar la media geométrica de: 8 ; 16 ; 1/64 y 128 a) 6 d) 16
b) 8 e) 2
UNAP–EXT–2001
c) 4
28. El promedio de 50 números es 62.1; se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varia el promedio? a) 5 d) 4,9
b) 4,7 e) 3,9
UNAP–EXT–2004
c) 5,7
29. La media aritmética de 200 números pares de 3 cifras es 699, de otros 200 números pares también de 3 cifras es 299 ¿Cuál es la media aritmética de los mismos números pares de 3 cifras no consideradas? a) 969 d) 498
b) 949 e) 721
UNAP–EXT–2008
b) 2 e) 1
c)
3
31. La suma de las edades de los alumnos de un salón de clases es 1800 y su promedio es 20. Si a cada hombre se le agrega 4 años y a cada mujer se le resta 2 años el nuevo promedio es 21. Hallar el número de mujeres. a) 35 d) 50
UNAP–EXT–2009
b) 45 e) 55
c) 48
32. Los siguientes datos corresponden al ingreso familiar de 20 familias de un barrio popular. Halle el ingreso promedio por familia. N° de familias Ingreso (S/.) 8 180 6 190 3 200 2 240 1 260 a) S/. 196 d) S/. 194
UNAP–EXT–2010
b) S/. 200 e) S/. 192
c) S/. 198
33. La media armónica de tres números es 9/19, si dos de ellas son 1/2 y 1/4, el tercer número es: a) 1/3 d) 13/3
UNAP–EXT–2011
b) 3 e) 9
c) 19/3
34. Si la media geométrica de: 4 ; 4 Halle “x”
2
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
1
; 4
3
; ….. ; 4
x
es 512
UNAP–EXT–2012
c) 8
c) 953
30. Si la media aritmética y la media geométrica de dos números enteros positivos x e y son enteros consecutivos, halle
x−
y
UNAP–EXT–2008
484
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
Operadores Matemáticos CAPÍTULO XXIII MÁQUINA
Materia prima Números
+
Adición
−
Sustracción
×
Multiplicación
÷
División
Producto Terminado Resultado
Botones Operadores Proceso de producción Operación Matemática
OPERACIÓN MATEMÁTICA
NOTA:
Estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades numéricas y/o literales mediante una llamada ley de formación o regla de correspondencia
Para resolver ejercicios con operadores matemáticos arbitrarios tenemos que conocer la definición del operador matemático, para luego comparar a la pregunta que se le hace, identificar, remplazar y resolver.
OPERADOR MATEMÁTICO Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer a la operación matemática a realizar con su respectiva regla de definición:
Ejemplo de operación arbitraria m ⊗ n= operador matemático
m
n
+ 6m + 5n regla de definición
Operadores Matemáticos clásicos: + ; − ; × ; ÷ ;
; ∑ ; π ;
Calcular: 3 ⊗ 2 n
m ⊗ n= m + 6m + 5n
Operadores Matemáticos arbitrarios ∗ ; ⊕ ; ∆ ; ⊗ ; %; # ; θ ;
Academia GAUUS
2
3 ⊗ 2 = 3 + 6(3) + 5(2) = 37 3⊗ 2 = 37
485
JOHN MAMANI M. TIPOS DE OPERADORES MATEMÁTICOS DEFINICIÓN SIMPLE
Son aquellas que solamente hay que reconocer los elementos, remplazar y operar. Ejemplo 01 Se define en : a ∗ b = 3a − 2b + 5 Calcule: 4 ∗ 2
3
128 ⊗ 243 = 2 ⋅ 4 ⊗ 3 ⋅ 3 2
128 ⊗ 243 = 4 +3 128 ⊗ 243 = 5
4
2
Ejemplo 04 Se define: x + 3 = 4x + 8
Resolución Remplazando en la regla de definición a ∗ b = 3a − 2b + 5 ↓ ↓ 4 ∗ 2= 3(4) − 2(2) + 5 4∗2 = 13
Hallar: 8
Resolución Dando la forma de la regla de definición x=5 8 = 5 + 3 = 4(5) + 10 = 30
Ejemplo 02 Definimos en : m # n =
3m − n m+n
DEFINICIÓN CON CONDICIÓN
Calcule: 4 # 4
Resolución Remplazando en la regla de definición 3(4) − 4 ∴ 4#4 = 4+4 8 4#4 = 8 4#4 = 1 DEFINICIÓN EXPLÍCITA
Ejemplo 03 De acuerdo a: b
a
2a ⊗ 3b =
Calcular: 128 ⊗ 243
En este tipo de ejercicio la operación tiene 2 o más “Reglas de operaciones” a elegir según algunas condiciones que deben reunir las variables. Ejemplo 05 Se define: a+ 3 , si: "a" es impar a = 2 a + 4 , si: "a" es par 2 Hallar: 8 + 13
Son aquellos en las que antes de remplazar y operar, hay que darle la forma de la definición a lo que nos piden para poder reconocer los elementos a remplazar.
486
Resolución Dando la forma de la regla de definición
2
a +b
2
Resolución De la expresión 8+ 4 = 8 = 6 ; puesto que 8 es par 2 13 + 3 = 13 = 8 ; puesto que 13 es impar 2 Piden:
8 + 13 = 6 + 8 = 14
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Ejemplo 06 Sabiendo que:
Resolución
5a − 3b; si: a < b a∗b = 3b − 5a; si: a ≥ b Calcular: (2 ∗ 1) ∗ (1 ∗ 2)
Resolución Calculemos (2 ∗ 1) puesto que 2 > 1 , entonces utilizaremos: a ∗ b = 3b − 5a
2 ∗ 1 =3(1) − 5(2) =− 7 Calculemos (1 ∗ 2) puesto que 1 < 2 , entonces
Primero calculemos y ∗ x , invirtiendo términos en el dato: y ∗ x= 2( x ∗ y) + y Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: x ∗ y= 2(y ∗ x ) + x ∗ y 2 2( x ∗ y) + y + x x= Luego despejamos ( x ∗ y) x ∗ y= 4( x ∗ y) + 2 y + x − 2 y − x = 3( x ∗ y) Entonces nuestra regla definición es:
utilizaremos: a ∗ b = 5a − 3b
−2y − x x∗y = 3
1 ∗ 2 =5(1) − 3(2) =− 1 Remplazando, tenemos: A = (2 ∗ 1) ∗ (1 ∗ 2) A = −7 ∗ −1 Luego,
calculemos
(− 7 ∗ − 1)
puesto
que
− 7 < − 1 , entonces utilizaremos la definición: a ∗ b = 5a − 3b A = −7 ∗ −1 A = 5(− 7) − 3(− 1) A = − 32 DEFINICIÓN IMPLICITA
La regla de definición aparece en función de la misma operación matemática, es decir, en la que no se puede hacer un remplazo directo del valor de los componentes de la operación, sino que es necesario hacer un despeje previo para conseguir una operación con regla de definición explícita o, a veces, asignar valores que nos permitan conseguir lo pedido sin obtener previamente la regla de definición explicita. Ejemplo 07 Si:
x ∗ y= 2(y ∗ x ) + x
Calcular: 5 ∗ 8 Academia GAUUS
Remplacemos la incógnita en la regla de definición. − 2(8) − 5 5∗ 8 = 3 5 ∗ 8 =− 7 Ejemplo 08 Si:
a ∗ b= 3(b ∗ a) − 5b
Calcule: E = (7 ∗ 5) +
3 4
Resolución Primero calculemos b ∗ a , invirtiendo términos en el dato: b ∗ a= 3(a ∗ b) − 5a Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: a ∗ b= 3(b ∗ a) − 5b a ∗= b 3 3(a ∗ b) − 5a − 5b Luego despejamos (a ∗ b) a ∗ b= 9(a ∗ b) − 15a − 5b 15a + 5b = 8(a ∗ b) Entonces nuestra regla definición es:
15a + 5b a∗b = 8
487
JOHN MAMANI M. Aplicando esta definición en “E” 3 E = (7 ∗ 5) + 4 15(7) + 5(5) 3 = E + 8 4 130 3 = + E 8 4 75 3 = + E 4 4 E = 17 SIN DEFINICIÓN
La regla de definición no aparece como dato ni explícitamente, ni implícitamente; en este caso tendremos que hacer uso de mucha creatividad e ingenio, pues el resultado se puede obtener de muy diversas maneras, veamos algunos de ellos: Sumar los números dados Restar los números dados Promediar los números dados Multiplicar los números dados Dividir los números dados Realizar operaciones entre los dígitos que componen cada número y luego operar ambos resultados Realizar una operación entre el dígito de un número y un dígito del otro; operar, luego, el dígito sobrante de uno de los números con el dígito sobrante del otro y operar, finalmente, ambos resultados. En resumen, realizar la mayor cantidad posible de operaciones con los datos dados hasta obtener una regla adecuada que se cumpla para todos los casos dados como información. Dicha regla no debe fallar en ningún caso. En fin, la lista de posibilidades puede ser muy amplia y tan solo la práctica constante nos permita visualizar, en forma rápida, la regla de definición de la operación matemática utilizada.
Resolución Observamos atentamente, lo que ocurre con los números operados, así: 23 ∗ 42 = 2 × 2 + 3 × 4 = 16 35 ∗ 16 = 3 × 6 + 5 × 1 = 23 64 ∗ 71 = 6 × 1 + 4 × 7 = 34 Luego la regla de definición es: ab ∗ cd = a × d + b × c Calculemos lo que pide: A = 59 ∗ 86 = 5 × 6 + 9 × 8 = 102 Ejemplo 10 Se tiene:
72 #10 = 56 48 #15 = 54 100 #1 = 52 Calcule: A = 12 # 40
Resolución Observamos atentamente, lo que ocurre con los números operados, así: 72 72 #10 = + 2(10) = 56 2 48 48 #15 = + 2(15) = 54 2 100 + 2(1) = 52 100 #1 = 2 ⇒ La regla de es:
m #= n
m + 2n 2
Calculemos lo que pide: 12 A= 12 # 40 = + 2(40) = 86 2
Ejemplo 09 Dado:
23 ∗ 42 = 16 35 ∗ 16 = 23 64 ∗ 71 = 34 Calcule: = A 59 ∗ 86
488
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS I Calcular: (4 # 6)%(6 # 2) a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
PROBLEMA 01 2
Si: aθ= b a − 3b Hallar: (2θ1) + (4 θ 2) a) 11 b) 12 d) 14 e) 10
c) 13
c) 3
Resolución 2x − y 2
De la primera condición: x # y =
Resolución
M = (4 # 6)%(6 # 2)
2
Con la condición: aθ= b a − 3b = M (2θ1) + (4 θ 2)
2(4) − 6 2(6) − 2 M= % 2 2 M = 1%5
2 2 M = 2 − 3(1) + 4 − 3(2) M= 1 + 10 M = 11
x+y 2
De la segunda condición: x % y =
PROBLEMA 02
Definidas las operaciones: 2x − y x+y ; x %y = x#y = 2 2
M = 1%5 1+ 5 M= 2 M=3
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define: a Ω b = 2a + 3b
04. Si: a∆b= a + b
Calcule: 5 Ω 8 a) 32 d) 30
b) 34 e) 38
c) 36
02. Se define: x #= y 2x − y Hallar: 3# 4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 03. Si: a # b =
Academia GAUUS
c) 5
2
05. Se define: f ( x ) = x + 5 x − 2 c) 3
a + 2b a−b
Calcular: 6 # 4 a) 5 b) 6 d) 8 e) 9
Hallar el valor de: 7 ∆ 9 a) 3 b) 4 d) 6 e) 7
Hallar: f ( 2) a) 5 2
b) 3 2
d)
e) − 2
2
c) 2 2
2
c) 7
06. Si: f ( x ) = x − 3 x + 1 Hallar: f (4) − f (3) − f (1) a) 5 b) 6 d) –1 e) 0
c) 1
489
JOHN MAMANI M. 07. Si: m ∗ n= 3m + n 6∗2 Calcular: E = 4∗2 a) 7/10 b) 3/5 d) 10/7 e) 8/9
c) 5/7
2
c) 8
2
09. Si: a%b = a + 3b Calcular: (2%2) + (3%3) a) 27 b) 74 d) 36 e) 18
c) 0
2
10. Si: m ⊗ n= m + 3n + 1 Calcule: I = (2 ⊗ 1) + (2 ⊗ 3) a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 b
a
b
a
11. Se define : a ∗ b= a − 2 Calcular: (1 ∗ 2) + (2 ∗ 1) a) 3 b) 6 c) –1 d) –6 e) –3 2
= n 2m − n 12. Si: m∆ Calcular el valor de: (3∆ 2)∆1 a) 3 b) 7 c) 8 d) 9 e) 4 13. Si: a #= b 7a − 13b Calcular: E = (4 # 2)#(2 #1) a) 1 b) 3 c) 2 d) 0 e) 4 14. Si: a ⊗ b = 5a − 3b Calcular: (5 ⊗ 2) ⊗ (3 ⊗ 1) a) 30 b) 35 d) 56 e) 61 15. Si: a∆ = b a+b Hallar la raíz cuadrada de:
490
x y + y x 5 Hallar: (1@ 2)@ 2 a) 0,5 b) 1,5 d) 3 e) 4
16. Si: x @ y=
08. Si: a ⊗ b = a − b Calcular: (3 ⊗ 4) + (2 ⊗ 1) a) 5 b) 7 d) 9 e) 10 3
P = (4 ∆7)∆(25 ∆ 8) b) 2 c) 4 e) 25
a) 16 d) 5
c) 59
c) 2
17. Si: m ⊕ n= 2m + n y m ∗ n= 3m − n Calcular: (6 ⊕ 4) − (4 ∗ 2) a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 11 18. Si: m = n 5m − n y a ∗ b = 3a − b Calcular: (2 ∗ 3) ∗ (14) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12 19. Si:
a = b 3a − b
2
2
a = b a +b Calcular: E = (2 1) (1 2) a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 20. Si:
x %y =x + xy + y 2
2
x ∆y = x + xy − y Calcular: I = (2%4)%(3∆ 2) a) 124 b) 168 c) 153 d) 160 e) 179
21. Un comando para descifrar mensajes utiliza el operador M (mensaje) que aplicado a una palabra devuelve: Por cada consonante, la consonante inmediata posterior y por cada vocal, la vocal inmediata anterior. Al descifrar M(IK SOFQI). ¿Qué mensaje recibió?. a) EL TURNO d) AL FINAL b) EL TIFON e) EL TACHO c) EL TIGRE
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 22. Si el operador ∇ aplicado a una palabra devuelve el número de sílabas de la palabra. Hallar: ∇(estudio) + ∇(Razonamiento) ∇(Leo) + ∇(Trilce) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. Si: a ∗ b = (b + a)b Hallar el valor de “m”: (3 ∗ 2) + m = (2 ∗ 3) a) 5 b) –5 c) 3 d) –3 e) 4 2
24. Sabiendo que: a∆= b a + 2b Además: (m = Θn) (m∆n) + 1 Calcular: (M = 7 Θ(5Θ(4 Θ 3)) a) 70 b) 194 c) 250 d) 36 e) 195 a∗b ; a ≠ −b a+b Además: x ∗ y = x − 2 y Halle: 6 ∆ 2 a) 2/3 b) 1/4 d) 4/5 e) 1/9
25. Si: a∆b =
26. Si: a∆b = a ∗ a + b Además: x ∗ y = x − 2 y Halle: 6 ∆ 2 a) −4 b) −3 d) 1 e) 2
Calcular: 6 ∆ 2 a) −1 b) 1/2 d) 3/2 e) 2
Academia GAUUS
a ∗ b = ab ⊗ (a + b) a ⊗ b = 2a + b Calcular: 2 ∗ 3 a) 12 b) 14 d) 17 e) 19
29. Si:
c) 16
a∗b = a− b m +1 m∆= n n
5 Halle “x” en: (4 ∗ 5)∆x = 6 a) 1 b) 3 c) 6 d) 11 e) 8
30. Se define la operación (%), para cualquier par de números reales “a” y “b”, como 2
a%b = a − ab Calcular el valor de “x” en: ( x + 2)%( x − 1) = 5x a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5 2
c) 1/6
31. Si: a ∗ b = a − ab Hallar “x” en: ( x + 2) ∗ ( x + 1) = 3 x − 4 a) −6 b) −3 c) 6 d) 3 e) 4
c) 4
32. Si: p%q = 2p + 5q Halle " x " para que cumpla la igualdad: (2 x − 2)%(4 x + 2) = 9%( x − 10) a) –1 b) 1 c) 2 d) –2 e) 3
27. Definamos las operaciones “S” y “∆” como : 2a − b aSb= 2 a∆b=
28. Si:
a S 4b 2
c) 1
33. Si: a ∗ b = 2a + b Hallar “x”: ( x ∗ 3) ∗ (1 ∗ 2) = 14 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 34. Si: m ∗ n = p + 2 ⇔ p ⋅ n = m − 1 Encontrar el valor de “x” en: x ∗ 7 + ( x + 1) ∗ 7 = (6 ∗ 5) + 8 a) 10 b) 35 c) 20 d) 30 e) 25
491
JOHN MAMANI M. 35. Se define las siguiente operación 2
= a # b ab (a + 2) Si: a= x + 3 y b= x + k Hallar “k”; k>0, si el termino independiente de a # b = 60 a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6 2
2
36. Si: a ∗ b = a − b Además: 8 ∗ θ = 39 Hallar " θ " , si se sabe que es positivo. a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6
a+b a−b − 2 2 Además que: 15 S b = 5 Hallar: 6 S b a) 7/3 b) 1/6 c) 7/2 d) 5/6 e) 5
aSb =
3
3
a −b 40. Si: a ∗ b = 2 2 a + ab + b m
a) 0 d) 1
b
Además: m # n = n 1 Calcule: = A #(102 ∗ 38) 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
43. De acuerdo: − n − m + n + m − n − m + n + m⊗n = m
( (1⊗ 7)
9⊗ 9 3⊗15
b) 0 e) 3
Si: x∇ x = a) 1 d) 4 2
)
2⊗16
45. Si: a α b = a
17 ⊗1
c) 1
44. Se define: a∇ b = a
b −1
; halle " x ",
2∇ 3 b) 2 e) 5
c) 3
b
Hallar “x” en: ( x α x )2 = a) 2
−6
b) 2
−1
d) 2
−8
e) 2
−3
a 46. Si: a ∗ b = b
2 c) 2
−4
b+1
Encontrar el valor de x
2
en:
x∗ 2 = 2 a) 2 d)
492
a
42. Si: a ⊗ b = a + b Hallar el valor de: (− 2) ⊗ (1 ⊗ (0 ⊗ (1 ⊗ (2 ⊗ (3 ⊗ ))))) a) –3 b) –1 c) 15/4 d) 4 e) 17/4
a) 4 d) 2
38. Si se cumple que:
3
2
(4 x + 3 x )%( x + 3 x ) =+ 1 2x b) 2 c) 3 e) 1/2
E =
c) 32
39. Se define: a∆b= a b + 1 + b − 2ab Hallar: 2013∆ 2012 a) 2012 b) 0 c) 1 d) 2013 e) 2
b ; resolver en :
Calcule:
2
2
a+ 2
(m + n) sumandos
37. Sabiendo que: m ∗ n= 3m − 2n Además: 2 ∗ a =− 2 Hallar: a ∗ 2a a) 4 b) 16 d) 64 e) 128
41. Si: a%b =
2
2 +1
b) 1
c)
2
e) 0 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. b
47. Se define: a #= b a ×b Hallar: a + b
4
4
a) 2 d) 2
b) 4 e) 6
53. Se define:
a
( x ⊗ y)
c) 8
48. Se define: m θ n = m n Hallar: 10 θ ( xyz)
d) x
49. Si:
3
b)
x
e) x
6
c) x
2
2 2 (3a ⊕ 2a )
b≠0 d≠0
50. Si: a ⊗ b = M ↔ a = b Hallar “x” en:
51. Si
entonces:
b = 16, es: a) 8π d) 16π
y
b) a
d) a
−2
e) a
7
c) a
entonces
2 2 2 a) − (b + b + 1)(a + b + b + 1) + a
2
2
b) (b + b + 1)(a + b + b + 1) + a 2
2
2
2
2
d) (b + b + 1)(a + b + b + 1) − a x −1
2
2
2 2 2 e) − (b + b + 1)(a + b + b + 1) − a
⊗ 9) c) 3
2
a= b
[ (a b) ∗ (a ∗ b)] 18π
8
2
c) −(b + b + 1)(a + b + b + 1) + a
= ⊗ 3 2(4 b) 2 e) –2
a∗b = πab
2
2
M
x +1
a) a
55. Si: a ∗ b = ab − a − b , a ∗ (b ∗ (b + 1)) es igual a:
n − 1 n − 1 n Halle: ∆ ∆ n n n − 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) 1 d) –3
2
Hallar: (5 ⊗ 3)
1 a+ a c b ∆ = 1 b d c+ d
2
2
a⊗b= a − b a⊕ = b log 2 (a − b)
54. Si:
Si: 2= θ x 3= θy 5θz a) x
(y − x )
x= y ; x ≠ y ∀ x, y Calcular el valor de: (2 ⊗ 5)(5 ⊗ 2) R= (99 ⊗ 100)(100 ⊗ 99) a) –6 b) 6 c) 9 d) –9 e) 12
2
en a # b = 2
a+b + 2
ab
, para a = 4 y
b) 24π e) 4π
c) 64π
56. Si: f ( x= ) x ( x − 3) + 3( x + 1) − 4 Determine −
E=
8 27
f ( x)
1/ 3
[ f ( x − 1)]
1 1 f 3 3 1/ 3
+ [ f ( x + 1) ]
20
Para: x= 2 × 10 a) 1/2 b) 1/4 d) 1/32 e) 1/16
c) 1/8
52. Se define: a
a∆b
Calcular: 2 ∆ 4 a) 1 b) 2 d) 8 e) 0 Academia GAUUS
=b
log
a
b
c) 4
493
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS II PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Se define:
2
Si: = A 2A − 5 Hallar:= V
n= 3n − 1
2 +3 3
a) 1210 d) 1021
m= 2m + 1
b) 1012 e) 2011
c) 2101
Calcular:
5
a) 4225 d) 400
Resolución
b) 65 e) 100
2 +3 3
Se pide el resultado de:
Para calcular lo pedido, hallaremos primero 2
c) 36
Resolución Calculemos a partir de las reglas de definición:
y 3 a partir de la regla de definición. 2
5
= A 2A − 5
= 2(5)+1
2
= 2 2(2) −= 5 3
= 11
2
= 3 2(3) −= 5 13 =
Remplacemos en la incógnita: = V
= V
3(11) − 1
=
2 +3 3
= 32 2(32) + 1
= 65
3 + 3 13
2 V= 13 + 3 2(13) − 5 ∴ V= 1012
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define el operador:
02. Se define: = x x( x − 1)
2
a= a − 3a
Calcular: a) 10 d) 8
Hallar: 10 + 9
4 − 3
b) 25 e) 5
c) 4
a) 70 d) 80
b) 162 e) 50
c) 90
03. Sabemos que: 2
m = m −1
494
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Calcular el valor de: a) 6 d) 12
a) 8 d) 10
2
b) 8 e) 15
c) 10
b) 11 e) 4
c) 0
09. Sabiendo que: 2
x= x + 3
04. Se define el operador:
x= 5 x − 4
x= 2 x − 5
Calcular: Calcular:
4
a) –3 d) 0
b) 3 e) 7
c) 1
a) 36 d) 53
b) 39 e) 64
n =(n − 1)(n + 1) 2
x = x − 2x + 1
b) 48 e) 72
c) 56
x =
a) 3 d) 1
c) 4
07. Sabemos que: a = 3a
c) 8
5
Calcular: a) 51 d) 400
b) 65 e) 101
c) 100
n= 2n − 3
÷ 1 3
b) 43 e) 56
8
12. Se define:
Determine el valor de:
08. Si:
b) 9 e) 5
m= 2m + 1
b) 9 e) 2
a) 45 d) 41/3
a) 6 d) 7
n= 3n − 1
→ 400 operadores
3
2
11. Se define:
x+1 x −1 Calcule el valor de:
06. Si:
= m m(m − 1) Halle:
3
a) 36 d) 64
c) 42
10. Si se sabe que:
05. Si se sabe que:
Calcular:
2
n= 3n − 5
c) 30/2
Calcular: a) 1 d) 5
a = a ; ∀a∈
2
+ 3 b) 3 e) 6
c) 4
13. Se defínelos operadores: Halle:
1
+
2
+ 3 + 4
x= 2 x − 3 x= 3 x − 4
Academia GAUUS
495
JOHN MAMANI M. −
Evaluar:
2
a) 3 d) 1
b) 9 e) 2 ∗
14. Si: m= (m + 2) Además: a
∗
c) 8
2
c) 1
15. Se define:
b
2n + 5 n + 1 − 3 4 2
b) 2 e) 0
x =2
c) 14/5
Además: x = 1, 5
29 Calcular: 3 4
a) 3 d) 4
b) 19/4 e) 16/5
19. Si: = n
2
a = 2, 5
Hallar “a” en: a) 24/5 d) 1/5
= 16 a
3x + 2 x − 4 3
18. Se define: = x
2
x−2 n
Además: = ∫x a
x = 64
;
x − 64
1 n+ 1 n+ 1 b −a n+1
Hallar: 6
3 +∫x
Hallar:= E 5x + 1 a) 5/6 b) 6/5 d) 7/6 e) 1 3
x + 27
20. Se define: x =
2
x − 3x + 9 Calcule el valor de: → 20 operadores
1
a) 61 d) 58
2
c) 6/7
b) 64 e) 60
c) 67
3
a) 64 d) 1/64
b) 0 e) 65
c) 1
= a 2= a y a
Calcule:
a+1 3
5 + 8 + 11 b) 18 e) 40
17. Se define:
c) 24
Calcule: 2 ∗ 3 + 5 − 6 a) 15 d) 17
b) 14 e) 20
c) 5
22. Se tiene los operadores: 2
Calcular el valor de: M = 1 % 3
Calcule:
a) 2/3 c) 1/4
a) 1 d) 4
496
+ 3
x = 2x
a + 5a a 2= a y a 3 x Además: x %y = y
b) 6/4 e) 4
a
x = 2x
16. Sea el operador:
a) 12 d) 32
21. Se define: a = ∗b
c) 3/4
x
x
−x
x
−x
x
=
e +e 2
x
=
e −e 2
2
− b) 2 e) 5
x
2
c) 3 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. ( x + 136)
23. Si: x = ( x − 135)
∀x ∈
a =⋅ a
28. Si:
Calcular: 23 16 9 2 A = ...... ......
a −1
Calcular: a
( )
40 exponentes
a) 0 d) 2
b) 1 e) –2
24. Si: x = a) x d) –x
c) –1
x −1 ; entonces x+1 b) –1/ x e) 1/ x
x , es: c) 2x
a) a
b) a
d) 1
e) a − 1 4
x x
1 + 2
Calcule:
1 + 2
1 + 2
b) 2 e) 5
c) 3/4
3
9
x =a + b x − 1
Además:
Calcule: 8
9 operadores
a) 2 d) 16
b) 1 e) 8
c)
2
x
26. Se define x = x − 3 Determine el valor de:
Calcule: ab a) 32 d) 256
4
b) 2 e) 1/4
2
4
x= x + 4
c) 4
2
b = b − 2b + 2 2
m
Si: M = 18 × 18 × 18
Calcule: M = 99 × 98 × 97 × × 3 × 2
Academia GAUUS
c) 128
a = a + 2a + 2
27. Si: m = m − 1,
b) 4 e) 0
b) 64 e) 1024
31. Se define que:
7 × 10 × 13 × 16
a) 2 d) 1
2
30. Sea: x= 2 x + 1
x
a) 1 d) 1/2
c) 0
29. Si: x = x − x − x
a) 1/4 d) 4
25. Se define: x =
a −1 ⋅ a ⋅ a −1 ⋅ a ⋅ a −1 ⋅a
c) 3
Calcular: M − 328 a) 18
4
4
b) 18 − 18
4
3
2
2
c) 18 − 8
4
d) 18 − 1
e) 18 (18 − 1)
497
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS III PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Sea el operador:
Se define:
a = a 3 − 2bc b c
Hallar “m” en:
Calcule: 2 + 2 1
a) 11 d) 13
3 4 3
4 6 5
+
b) 9 e) 1
c) 12
4 1 3 n 5 1 + = 6 5 1 m n m a) 4 d) 1
b) 7 e) 5
Calculemos con la regla de definición.
Calculemos con la regla de definición. 2 2 1
E= 2 E=
3
3 4 3
+
+
4 6 5
4 1 3 n 5 1 + = 6 5 1 m n m 4(5) − 6(1) + 3(m) − 1(n) = 5(m) − n(1) 20 − 6 + 3m −= n 5m − n
3 3 − 2(2)(1) + 3 − 2(4)(3) + 4 − 2(6)(5)
[ 4]
[ 3]
+
c) 9
Resolución
Resolución E=
a c = ad − bc b d
14 + 3m = 5m m=7
[ 4]
+
E = 11
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si: b a c
Calcular: a) 2 d) 6
=
a) 2/7 d) 6/5
2a + b − c 2
c) 5/3
03. Se define el operador:
4 3 2
a = b
b) 4 e) 8
c) 5
02. Se define el operador:
b
Calcule: 5 9
498
b) 7/2 e) 8
a+b = a−b a
a+b a−b − 2 3
Hallar el valor de: 6 a) 2/3 d) 6/3
b) 4/3 e) 8/3
2 c) 5/3
04. Sabiendo que: a b c = ad + be − cf d e f Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Cuál es el valor de: 4 5 6 6 3 7 + 3 2 1 4 5 4 a) 24 d) 28
b) 27 e) 32
c) 17
a) 22 d) 28
b) 36 e) 45
08. Se define:
b a
05. Se define el operador: a = 4a − 3b b
c
3
2
4
a) 91 d) 92
5 ×
2
3
c) 64
=
a) 27 d) 28
b) 26 e) 29
c) 24
Calcular: 1 2 3
6 3
1
6
2
2
b) 44,5 e) 48
2 3 4
1
4
4
3
3
c) 45
a) 44 d) 42
2
b) 47 e) 45
c) 48
10. Si:
07. Se define:
a b
= 3a + 2b + c
c Hallar:
3
a 2 = b − ac b c
ab − abc 2
Calcular:
a) 40 d) 43
1
2
09. Si se cumple:
06. Sea el operador:
a c
1
1
3 2
b) 62 e) 63
b
= 3a − 2b + c
Calcular:
Determine el valor de: 1 3
c) 20
1 5
a = a+ b+c b c a =a
2
Halle el valor de: 1
7 Academia GAUUS
1 −2
1 −3
499
JOHN MAMANI M. a) 16 d) 9
b) 1 e) 169
Calcular: a) 6 d) 12
H
−1
1 11. Si: = x y 3 x
4 2
15. Si:
c) 4
1 − 2 y
P
−1
n 3
5 3
b) 8 e) 9
= 14
Calcular:
5
c) 10
n a) 125 d) 81
12. Se define el operador:
a+b a−b − 3 5 2 Hallar “n” en: n 4 = 3 a) –11 b) 12 c) 11 d) –12 e) –8
a = b
2
b) 120 e) 60
c) 205
+
16. Se define en : a b =
2
2
2
2
a + 2ab + b a − 2ab + b
Calcular: a+ b+c c = a b 2
x y
a) 100/121 d) 100/81
Además:
b) 144/121 e) 121/81
c) 16 a −2
4
17. Sea el operador: y a = y y
= 12
x 5
Donde: n
Calcular el valor de:
x x b) 6 e) 12
2
3 = 81
−8
−3
−1
Calcule el valor de “n” a) 3 b) 9 d) 1/9 e) 1/3
2
c) 8
c) 81
18. Si: y
a b 14. Definimos: = ad − bc c d
500
x 1 1 2 x 1 − = 2 x 3 x 2 4 3 b) –3 c) –2 e) 3
y 2
2
x= x − y
Halle el mayor número que satisface la ecuación.
a) 4 d) –1
; a≠b
Además: 2 x = 9∧ y 6 = 16
13. Si:
a) 4 d) 16
P + H + 15 2
=
Además: 3
0 1
x= y − x
m
m = − 5
Calcule “m” si m ∈ a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
+ 10
+
c) 3 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS IV PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Definimos en la siguiente operación:
Se define la operación:
3
2
a ⊗ b = 3b − 2a Calcule: 27 ⊗ 16 a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4
2
4
3
2
2b ∗ a = b + a Calculemos: 32 ∗ 81 a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76
Resolución
Resolución
Observamos que para identificar los valores que Dándole forma la incógnita corresponden a “a” y “b”, debemos previamente 2 4 32 ∗ 81 =2 ⋅ 4 ∗ 3 darle forma a 27 y 16 de acuerdo a la definición, luego: Remplacemos en la condición dada 3 2 a ⊗ b = 3b − 2a 2 4 3 2 2b ∗ a = b + a Entonces: 3
2
27 ⊗ 16 = 3 ⊗ 4 Al acomodar adecuadamente obtenemos a=3, b=4, valores que remplazamos en la regla de definición. 3
2
3
2
3
2
3
2
2
4
2
4
2
4
3
2⋅ 4 ∗ 3 = 4 + 3
2
2 ⋅ 4 ∗ 3 = 64 + 9
2⋅ 4 ∗ 3 = 73
a ⊗ b = 3b − 2a 3 ⊗ 4 = 3(4) − 2(3)
∴ 32 ∗ 81 = 73
3 ⊗ 4 = 12 − 6 3 ⊗4 = 6 ∴ 27 ⊗ 16 = 6
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define:
3
b
2
a ⊗ b = (a + b) − ab Hallar: 8 ⊗ 3 a) 20 b) 19 c) 17 d) 18 e) 15
02. Dada la operación matemática: 2
3
a ∗ b = 3a + 4b Calcular: 16 ∗ 27 a) 20 b) 21 c) 17 d) 24 e) 15 Academia GAUUS
2
03. Definimos en : a ⊗ b = 3b + 2a Calcule: 27 ⊗ 4 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 04. Sabiendo que: 3
4
a ⊕ b = 5a + 6b Calcular: 8 ⊕ 16 a) 12 b) 22 c) 32 d) 26 e) 14
501
JOHN MAMANI M. 05. Si: (3a) ⊗ (2b) = a − Calcular: 48 ⊗ 18 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4
2 13. Sabemos que: 3 x @ y = x – 4 y
b c) 2
06. Dada la operación matemática: 4 x ⊗ 3y =
x−
Calcular: 64 ⊗ 27 a) 4 b) 2 d) 0 e) 3
x−
3
x ⊗
y
(27∗6)
Calcular: (12 ∗ 2) a) 4 b) 2 d) 0 e) 3
c) 1
2
08. Si: 4a ⊗ 2b = a − 2a + b Hallar: E =(8 ⊕ 10) + (12 ⊕ 8) a) 14 b) 12 c) 11 d) 10 e) 13 09. Dada la operación matemática 2
2a ∆ (b + 1) = a + b
2
Calcule: 8 ∆ 8 a) 64 d) 66
b) 63 e) 65 +
c) 61
y
x
10. Definimos en : x ∗ y = 4 x − y Calcular: 16 ∗ 16 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 2
3
2
2
11. Si: a ⊕ b = 2ab − a + b Hallar: (16 ⊕ 27) + (9 ⊕ 64) a) 58 b) 18 c) 28 d) 38 e) 48 3 2 12. Si se sabe que: 3 x ∗ y = x + y
Calcular: 2 ∗ 3 a) 593 b) 81 d) 512 e) 18
502
c) 9
14.Se define lo siguiente: y
c) 1
07. De acuerdo a: 3 x ∗ 2 y =
Hallar: 3@ 36 a) 3 b) 6 d) 7 e) 24
c) 13
y=
2 x 3y + 3 2
Calcule: 27 ⊗ 4 a) 20 b) 22 d) 26 e) 25
c) 23
4
x ∆ y = 5 x − 3y
15. Sabemos que:
Hallar: (3 ∆ 16) + (6 ∆ 81) a) 210 d) 510
b) 310 e) 610
m+n n ∗m = m Calcular: = ψ 32 ∗ 16 a) 6 b) 9 d) 8 e) 4
16. Si: m
c) 104
n +1
a +1
a −1
17. Se define: a ∗b Calcule: 1024 ∗ 512 a) 121 b) 144 d) 169 e) 196
c) 3
=+ (a b)
2
c) 100
2 x 3y = + 3 2 Determine: 27 ∗ 4 a) 19 b) 20 c) 16 d) 18 e) 22
18. Si:
3
3
2
3
3
2
x ∗ y
19. Si: a ∗ b = (a + 3)(b − 2) Halle el valor de: 8 ∗ 9 a) 17 b) 125 c) 38 d) 93 e) 175 20.Si: x
y
x ∆ y = 3 x+y
Calcular: 125 ∆ 243 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 2 d) 5
b) 3 e) 6 y
28. Dada la operación matemática:
c) 4
m
n
⊕ n =m − n 1 Calcular: E= 1 ⊕ 4 a) 1/2 b) 3 c) 3/2 d) 1 e) 2 m
x
21.De acuerdo a: x ∗ y = 5 x + 2 y Calcule: 81 ∗ 64 a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
29. Se define los operadores: y
y 2 x
x
22.Se define: x = y
Halle el valor de: 81 64 a) 15 b) 1 d) 8 e) 5 23. Definimos en Calcular: = M a) 214 d) 223
b
x
y 2 +y
y
c) 4
18
a
x
y
b) 3 8
d) 8 2
e) 5 3
b
a
2
25. Si: 2a ⊗ 3b = a + b Calcular: 128 ⊗ 243 a) 5 b) 1 d) 3 e) 4
24
⊗2 ) c) 13
30. Se define en : b 2 = a ×4 b a 4
Calcule:
9 2
a) 70 d) 62
b) 72 e) 65
c) 60
2
c) 2
y
x
31. Si se sabe que: ( x + 1) ⊕ (y − 1) = x + y Calcular el valor de “m” en: (5 ⊕ 4) ⊕ (m ⊕ 2) = 14 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 32. Si: x
2
m ⊗m = x +1 4
Calcule: 2 4 2 ⊗ 4 4 a) 601/756 b) 501/576 c) 601/576 d) 576/601 e) 756/601
27. Si:
Academia GAUUS
a) 9 d) 14
c) 8 3
26. Se sabe que: ( x + y) ∗ ( x − y) = x + y Calcular: 7 ∗ 3 a) 60 b) 57 c) 35 d) 25 e) 50 m 3n − m #n = 3 mn 1 Calcule: # − 2 #(− 3) 6 a) 19/39 b) 15/17 d) 15/29 e) 21/29
(4 ⊗ 1) + (3 b) 11 e) 16
3
24. Se define: 2 x ⊗ 4 y = x +x +2 Determine el valor de: 6 ⊗ 4 a) 2 8
x
x ∗ y = 2x + y Determine el valor de:
= 23b + 11a : a %b (64%81) + (25%32) b) 263 c) 234 e) 174 y
y
x ⊗ y =y ∗ x
c) 20/27
503
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS V PROBLEMA 01 Se define la siguiente operación en el conjunto :
Remplacemos la incógnita en la regla de definición. 8 ∗1 = 3
2
m ∗ n= m(n ∗ m) ; (m ∗ n) ≠ 0 Calcule: 8 ∗ 1 a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/5 e) 7/6
Resolución
n ∗ m= n(m ∗ n)2 Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: m ∗ n= m(n ∗ m)2 2 m = ∗ n m n ( m ∗ n )
2
Luego despejamos (m ∗ n) m= ∗ n mn 2 (m ∗ n) 4 1 3 = (m ∗ n) 2 mn Entonces nuestra regla definición es: 1 mn
2
1 ∴ 8 ∗1 = 2
PROBLEMA 02
Como en este ejemplo la operación no ha sido definida de manera explícita, tenemos que encontrar la regla de definición y para esto procedemos de la siguiente manera: Primero calculemos (n ∗ m) , invirtiendo términos en el dato:
3 m∗n =
1 8(1)
Se define el operador: a ⊕ b = a + b + 4(b ⊕ a) Calcule: 1 ⊕ 2 a) 1 b) –1 c) –15 d) –2 e) 2
Resolución Calculemos (1 ⊕ 2) con la definición. 1 ⊕ 2 = 1 + 2 + 4(2 ⊕ 1)
1 ⊕ 2 = 3 + 4(2 ⊕ 1)......(1) Calculemos (2 ⊕ 1) con la definición. 2 ⊕ 1 = 2 + 1 + 4(1 ⊕ 2)
2 ⊕ 1 = 3 + 4(1 ⊕ 2)......(2) Remplazando (2) en (1) 1 ⊕ 2 = 3 + 4(2 ⊕ 1) 1 ⊕ 2 = 3 + 4(3 + 4(1 ⊕ 2)) 1 ⊕ 2 = 15 + 16(1 ⊕ 2) 1 ⊕ 2 =− 1
2
¡Comprueba lo que sabes! 01. De acuerdo a a ∗ b= 2(b ∗ a) − 3a Halle: 7 ∗ 9 a) 24 b) 23 c) 27 d) 26 e) 25
504
02. Se define:
a ∗ b = 2a + b − 3(b ∗ a) Determine e valor de: 8 ∗ 16 a) 10 b) 15 c) 23 d) 25 e) 11 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 03. Se define:
a ⊕ b= 4(b ⊕ a) + a − b Calcule: 5 ⊕ 3 a) 5 b) 2/3 c) 2/5 d) 2/7 e) 8
04. De acuerdo a: a ∗ b =− 2(b ∗ a) + 3a + 3b Halle: 10 ∗ 20 a) 20 b) 10 c) 5/8 d) 30 e) 60 05. Dada la operación matemática a ∗ b= 3(b ∗ a) − 5b Calcule: E = (7 ∗ 5) + a) 11 d) 17
b) 13 e) 19
3 4
c) 15
06. Se define en el conjunto : 2
a ∗ b = a − 2b + 3(b ∗ a) Calcular: (2 ∗ 2) + (3 ∗ 1) a) –1/2 b) –1 c) 1 d) 1/2 e) 0
07. Si: x ∗ y = 3 x − y + 4(y ∗ x ) Calcular: (41 ∗ 1) + (37 ∗ 2) a) 3 b) –1 c) 1 d) 1/2 e) 2 08. Se define: a ∗ b = (b ∗ a)2 a Calcule: 0, 25 ∗ 2 a) 1 b) 1/3 c) 1/4 d) 2 e) 1/6 2
09. Si: aθb = a(bθa) con aθb ≠ 0 Calcular: 1θ 8 a) 1/2 b) 1/8 c) 4 d) 2 e) 1/4 10. Se define en , la operación: (b ∗ a) a∗b = 4 Academia GAUUS
2
Calcule: 3 ∗ 5 a) 2 b) 4 d) 5 e) 1
c) 3
11. Se define en 2
= (m ⊗ n)
(n ⊗ m) 5
Calcule: 10 ⊗ 11 a) 10 b) 11 d) 25 e) 5
; m⊗n > 0 c) 21
12. Si: a ∗ = b a 2 (b ∗ a) + b Calcular: (1 ∗ 3)(3 ∗ 1) a) 7/4 b) 0 d) 7/2 e) 8/5 13. Se define: a ⊕= b
3
c) 57
a(b ⊕ a)
Calcular: 16 ⊕ 2 a) 5 b) 6 d) 7 e) 8
c) 9
14. Se define: m∗n = Calcular: M= a) 55 d) 76
(m + n) n ∗ m ; m ∗ n > 0 (2 ∗ 4) b) 36 c) 56 e) 85
15. Se define la operación ∗ en siguiente manera: m∗n =
1 ∗8 8 Halle: M = 1 ∗ 27 27 a) 2/7 b) 1/3 d) 3/2 e) 3
de la
n∗m 2m
c) 2/3
16. Se define en 2a ∗ = b 3(2b ∗ a) − ab Calcule: 10 ∗ 6 a) 60 b) 30 c) 20 d) 15 e) 40
505
JOHN MAMANI M. 17. Se define:
Calcule: 2 ∗ 1 2
2
m = n (m + n) n m Calcule: (1 2) + (2 1) a) 18 b) 81 c) 19 d) 91 e) 80 2
2
Calcule: (0 ∗ 1) + (1 ∗ 0) ∗ 1 a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2 19. Se define: 4(3a θ= 4b) (6b θ 2a) + 7a + b Calcule: 18 θ 12 c) 24
20. Se definen los operadores: 2
a ∗ b= 4(b ∗ a) − 2a + b m ∆= n 2m − n Calcule (15 ∆ 25) ∗ 5
b) 15 e) 30
24. Si: a ⊕ b= 3(b ⊕ a) − ab
Calcular: 6 ⊕ 4 a) 5 d) 7
b) 0 e) 8
c) 6
25. Se define el operador: a b c =b c b a
c) 35
a) 1 d) 1/4
b) 1/2 e) 4
2
y∗ x +
x∗y ; x∗y > 0
Calcule: 1∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + 4 ∗ 5 + 5 ∗ 6 a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 22. Se define el operador "⊗ " se cumple 3
3
a ⊗ 3 b = 3(b ⊗ 3 a ) − 4a Calcule: 8 ⊗ 2 a) 15 b) 14 c) 16 d) 13 e) 18 23. Se define los operadores
2
a ∗ b ∗= c ab(c ∗ b ∗ a) ; a ∗ b ∗ c > 0 Calcule el valor de: 2 ∗ a) 1 d) 1/4
2
1 1 ∗ 2 4
b) 1/2 e) 4
27. Se define en :
c) 2
m∗n (n ∗ m)
2
=
2
m n
) )
( (
1 Calcule: ( ( 1 ∗ 2 ) ∗ 3 ) ∗ 4 ∗ n n − 2 paréntesis
a) 1
b) n
d) n + 1
e) n
c) 2 2
28. Si: x # y = n y(y # x ) 2 n −1
Calcule: E = (a # b) b) b − a a) ab n
x = x − 7 x + 10
c) 2
26. Si:
21. De acuerdo a x ∗ y=
c) 6
Calcule: 1 2 3
b) 18 e) 21
a) 20 d) 45
b) 12 e) 8
Además m + 2 = m − 2
2
18. Si: x ∗ y = 2(y ∗ x ) − y
a) 12 d) 15
a) 10 d) 4
d) b a
c) a
n
e) a b
a
a ∗ b = (b ∗ a) − b − a
506
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS VI PROBLEMA 01
PROBLEMA 03 2
Se define: f ( x − 2) = x + 3 x + 1 Calcular: f (3) a) 42 b) 40 c) 43 d) 39 e) 41
Resolución
Si: m + 1 = 2m + 1 4 + 6
Calcular: a) 20 d) 35
b) 28 e) 24
c) 23
Resolución
Dando forma a la incógnita Hallando la regla de como operar: f (3) = f (5 − 2) m + 1 = 2m + 1 Al dar forma adecuadamente obtenemos x = 5 , valor que remplazamos en la regla de definición. ×2 − 1 f (3) = f (5 − 2) 2 Calculemos 4 y 6 f (3) =5 + 3(5) + 1 f (3) = 41
4
=
7
6
×2 − 1
PROBLEMA 02
11
×2 − 1
Luego:
Se define: x − 2 = 4 x + 3
= M
Hallar: 9 + 10 + 5 a) 122 d) 129
=
b) 123 e) 126
c) 124
4 + 6
M =
7 + 11
= M
= 18
35
×2 − 1
Resolución
∴ 4 + 6 = 35
Dando forma a la operación: M= M=
9
+
10
+
5
11 − 2 + 12 − 2 + 7 − 2
PROBLEMA 04 Al dar forma adecuadamente obtenemos x = 11 , x = 12 , x = 7 , valores que remplazamos en la Si: 3 x + 2 = 3 x 3x − 2 2 regla de definición. Halle el valor de: M 4(11) + 3 + 4(12) + 3 + 4(7) + 3 =
E=
M = 47 + 51 + 31 M = 129
Academia GAUUS
a) 98 d) 101
3 × 5 × 7 × × 199 b) 99 e) 100
c) 102
507
JOHN MAMANI M.
Resolución De la definición, haciendo cambio de variable. 3x + 2 =m 3x − 2 3x + = 2 3 xm − 2m 3 x − 3 xm =− 2 − 2m 3 x(1 − m) =− 2 − 2m 2(m + 1) 3x = m−1 Remplazando en la definición 3x + 2 3x = 3x − 2 2
2(m + 1) m = m−1 2 m+1 m = m−1 Hallando lo que pide con la nueva definición E=
3 × 5 × 7 × × 199
3 + 1 5 + 1 7 + 1 199 + 1 E= 3 − 1 5 − 1 7 − 1 199 − 1
4 E= 2 E = 100
6 8 200 4 6 198
¡Comprueba lo que sabes! 05. Se define el operador:
01. Si: x + 1 = 2 x − 1 Halle:= E a) 16 d) 20
x + 1 = 2x − 1
4 + 6 b) 14 e) 12
c) 13
Calcular: 10 − 3 c) 65
a) 24 d) 21
Hallar: 11 + 5 b) 36 e) 27
c) 34
2
x − 3 = x − 2x + 1
a) 74 d) 76
508
3
b) 29 e) 25
3
b) 73 e) 77
c) 75
c) 27
x
07. Si: x − 2 = 2 Hallar el valor de: E =
04. Sea el operador:
5 +
c) 8
06. Sea x + 1 = x − 1 Calcular 3
2
Calcular:
b) 6 e) 0 2
b) 63 e) 62
03. Se define: 3 x − 4 = x + 1
a) 8 d) 51
3 − 2 a) 3 d) 1
2
02. Si: x + 2 = x − 1 a) 64 d) 66
Halle el valor de:
a) 4 d) 9
b) 8 e) 12
4 3
c) 2
08. Si: x + 1 = 2 x − 1 Hallar:
4 + 6
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 20 d) 16
b) 25 e) 18
a) 23 d) 36
c) 24
2
09. Si: 2 x − 1 = x − 3 Hallar: a) 13 d) 256
5 + 3
b) 16 e) 259
c) 19
2
10. Si: x − 2 = x Halle: 3 + 1 a) 146 d) 150
b) 130 e) 115
a) 25 d) 10
15. Si: f (2 x − 5) = 2x + 1 + Hallar: f (3) a) 4 b) 6 d) 8 e) 5
x+5
16. Si: f (3 x − 5) = 5x + 9 + Hallar: f (19) a) 10 b) 11 d) 9 e) 13
x+1 c) 12
3 + 7
b) 125 e) 15
x + 2= x
18. Si: x + 1 = 2 x + 3
c) 60
Determinar “w” en: 4 = w a) 3 d) 9
1997
+
x
a) 3 d) 9
c) 0
Determine el valor de: a) 5 b) 15 d) 4 e) 25
x+1 =
b) 5 e) 11
c) 7
u + 3 = 4u + 1 x +1
Determine w en la siguiente igualdad w+ 8 + w−7 = 54
2
c) 8
x3 + 3 =x 3 − 2 x 2 + 6 14. Si: P x Halle P(10)
Academia GAUUS
2n + 20
20. Si se cumple que:
13. Para “x” en ; tenemos que: y
c) 7
19. Si: x − 1 = 4 x + 1 Hallar: “n” en: = 3n
b) –2 e) –1
= 2x + 6
b) 5 e) 11
3w + 14
1 1998
Calcular el valor de: 1
x
c) 8
17. Si: f (2 x + 1)= x + 3 + 3 x + 10 Hallar la raíz cuadrada de: f (5) + 13 a) 4 b) 12 c) 7 d) 3 e) 5
12. Se define el operador:
a) 2 d) 1
c) 24
c) 122
11. Si: 2a + 1 = 5a Hallar:
b) 15 e) 42
a) 7 d) 13
b) 9 e) 15
c) 11
21. Se define la operación: 2x + 3 2x + 1 = 2
Halle el valor de “n” en:
509
JOHN MAMANI M.
a) 4 d) 3
26. Si: x + 2 = x + 7
= 2n
2
b) 2 e) 1
c) 5
2 x = x
∧
n= +1 n
Calcule:
A= 3 + 4 − 5 b) 2 e) 7
c) 1
23. Sea el operador:
a) 9 d) 12
5
b) 10 e) 13
c) 11
x −1 = 2x + 3 2
Calcular: n − a) n + 4 d) n − 1
1 4 b) 4(n + 1) e) 4 + 2n
a) 4 x + 17
b) 4 x − 17
d) 2 x + 7
e) x − 17
29. Si se sabe que:
2
x= x + 2
Calcular: f (3 x + 2) 2
a) 18 x − 24 x + 14 2
b) 18 x + 24 x + 14 2
Halle “m” en= m m ; m∈
c) 18 x − 24 x − 14
a) 2 d) 5
d) 18 x + 24 x − 14
b) 7 e) 11
c) 1
2
30. Se define: 2
x − 1 = x + 2x − 3
=6 x + 2
Encuentre el término independiente de:
Determinar el valor de: = E
a) 668 d) 596
510
12
2
e) 18 x − 24 x − 14
x + 5 = 3x − 1 x−2
c) x − 1
2
x= 2 x + 5
Además:
c) n + 1
f ( x + 4)= 2 x + 6
24. En se define la operación matemática
25. Si:
c) n + 8
Calcule: H(2 x + 1)
b= 5b − 4 x =
27. Si:
b) n + 5 e) 2n − 7
28. Se define el operador: H( x − 3) = 2 x + 9
a = 3 a −1 + 8
Calcular “x” en:
n−7
a) n + 2 d) 2n + 7
22. Se define:
a) 10 d) 5
Calcular:
+
b) 682 e) 562
2x − 1
1
c) 586
a) 1 d) 4
b) 2 e) –3
c) 3
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 31. Se define en :
36. Se define en :
a= ∗ b 5a ; a ∗ b > 0
m+ 2 =m−2
2
a+1 = a − 4
Calcule a) 1 d) 4
12 ∗ 8 b) 2 e) 5
c) 3
Calcular:= A ..... 8 + 8 + 8 ..... 30 operadores
a) 930 d) 780
32. Se define: 2
b) 900 e) 760
37. Se define en :
x −1 = x −9
x − 5 =x − 9
m∗ n = 9n
Determine el valor: = M 225 ∗ 15 a) 11 b) 10 c) 9 d) 20 e) 14 33. Se define una operación: m∗ n = 16n
Calcular: = E ..... 6 + 6 + 6 ..... 125 operadores
a) 125 d) 375
b) 250 e) 500
a − 2 =a + 2
x−2 = x −4 Calcula:= R 216 ∗ 6 a) 2 b) 4 d) 8 e) 10
Determine el valor de: c) 6
34. Se define: x + 3 = 2x
a − 500 a) a d) a + 500
4 + 4 + 3 + 1 +
b) 980 e) 930
c) 560
x −1 =x +1 Determine el valor de: x+5
35. Se define: x − 3 =x + 7 Calcular: A =
..... 15 .....
a) 1015 d) 905
b) 1005 e) 915
100 operadores
Academia GAUUS
250 operadores b) –500 c) 500 e) 500a
39. Se define:
30 operadores
a) 840 d) 710
c) 300
38. De acuerdo a:
2
Calcular:
c) 120
c) 1000
a) x + 205 c) x + 200 e) x + 220
100 operadores b) x + 210 d) x + 207
40. Se define: x
100
3x −x =
100
+ 2 x + 14 5 x + 35
511
JOHN MAMANI M. Calcule: 7 a) 1 d) 7
b) 100 e) 20000
c) 35
b) 1/2 e) 2
c) 1/4
2
46. Dado: P(2a + b ; a − 2b) = a + b
1 1 − , donde “x” es un x+2 x+3 entero, x ≠ − 2, x ≠ 3; entonces el valor de:
41. Si:
a) –4 d) –5
x + 2=
2
Calcular: P( 5 + 3 ; 5 − 3 ) a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 2
1 + 2 + 3 + + 200 , es: a) 200/201 d) 1
b) 2/7 e) 201/200
c) 7/2
47. Se define: m + 5 =m m m Halle el valor de:
42. Se define: 2x + 3 x+1 = x+1
Halle: 1 +
1 1 1 + ++ 2 3 20
a) 40 d) 250
b) 210 e) 230
c) 200
43. Se define en 2
4
2
x + 2 = x + 4x + 5 Calcule: 1 + 2 + 3 + + 20 a) 2870 d) 2860
b) 2770 e) 2970
c) 2890
e) 13 5
48. Dada la operación matemática en ( x + y) ( x − y) = 4 xy Calcule: (13 12) + (12 11) + (11 10) + + (4 3)
a) 170 d) 160
c) 11 5
x
a+
512
c) 164
2
2
=8
1 a
1
2
=a +
a
2
; a∈
+
Calcule el valor de: 3 +
Encontrar el valor de “n” en 2n + 2
b) 156 e) 158
49. Se define en
45. Si se sabe que: x − 1 = 2 n
c) 110
50. Se define:
Calcule 1 d) 12 5
b) 90 e) 150
Calcule: (1 ∗ 1) + (2 ∗ 2) + (3 ∗ 3) + + (10 ∗ 10) a) 497 b) 495 c) 485 d) 475 e) 477
1 1 7 , =n + 7 n n 1 Donde n − > 0 n b) 10 5
a) 100 d) 120
(a + b) ∗ ab = a + 4ab + b
44. Si: n −
a) 9 5
20 + 1 + 2 + 3 + + 19
a) 50 d) 55
4 +
b) 52 e) 60
5 ++
12
c) 54
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JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS VII
Resolución
PROBLEMA 01 2
x= ( x − 1) ; x ∈
Se acuerdo a: Hallar “n” en: a) 1 d) 4
Se sabe de la regla de definición:
+
= x x ( x − 1)
= 64
n
Del dato
b) 2 e) 5
c) 3
a − 9 = 380= 20(20 − 1)=
Simplificando el operador se tiene
Resolución Se sabe de la regla de definición: x= ( x − 1)
a − 9 = 20 = 5(5 − 1) =
2
Demos forma al resultado de la incógnita según la regla de definición, hasta llegar a la respuesta, es decir: n
20
2
=64 =(9 − 1) = 9
5
Simplificando el operador se tiene a−9 = 5 ∴ a= 14
PROBLEMA 03 De acuerdo a:
Simplificando el operador se tiene:
2
2
x + 2 x − 3 = x + 10 x + 21
2
n =9 =(4 − 1) =4
x−2
Halle “x” en: Simplificando el operador se tiene:
a) 7 d) 6
2
n =4 =(3 − 1) =3
= 221
b) –1 e) 8
c) –4
Resolución
Simplificando el operador se tiene: ∴n = 3
Se sabe de la regla de definición: 2
2
x + 2 x − 3 = x + 10 x + 21 PROBLEMA 02 Se define:
2
+
x= x ( x − 1); ∀x ∈ ,
hallar el 2
+1 ( ) − 4
valor de " a " en: a−9 = 380
a) 14 d) 13
2
( x + 1) − 4 = x + 10 x + 21
b) 17 e) 15
c) 18
Demos forma al resultado de la incógnita según la regla de definición.
x−2
2
= 221 = 10 + 10(10) + 21 =
117
2
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+1 ( ) − 4
513
JOHN MAMANI M. Simplificando el operador se tiene: 2
x − 2 = 117 = 6 + 10(6) + 21 = 45 2
+1 ( ) − 4
Simplificando el operador se tiene:
Simplificando el operador se tiene: x−2= 5 x=7 Por lo tanto el valor de “x” es 7
2
x − 2 = 45 = 2 + 10(2) + 21 = 5 2
+1 ( ) − 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. De acuerdo a:
3
05. Si: x= ( x + 1) ,
n= 2n − 1
Hallar el valor de “n” en:
Halle “x” en:
a) 5 d) 6
n
= 17
x
b) 3 e) 7
c) 4
02. Si se define el siguiente operador:
a = 3a + 4
b) 12 e) 1
m c) 9
2
b) 9 e) 8
c) 14
x −1 = 13
Hallar “x” en: n
= 63
b) 2 e) 5
c) 3
a) 5 d) 7
b) 6 e) 0
c) 2
08. Si: n= 2n + 1
04. Si: x= 6 x + 3 Hallar el valor de “n” en: n
514
a) 12 d) 6
= 55
07. Si: n = 1 + 3n
Calcular “n”, si:
b) 1 e) 4
a = 2a + 1 2
03. Si: = x x −1
a) 0 d) 3
c) 2
06. Se define el siguiente operador
= 97
z
a) 1 d) 4
b) 1 e) 4
Determine la suma de cifras de m , sabiendo que:
Halle el valor de “z” en:
a) 3 d) 6
a) 0 d) 3
= 729
Hallar “x” en:
= 561
c) 2
a) 5,4 d) 7,0
x−2 = 13
b) 6,5 e) 8,5
c) 4,5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 09. Si: = x x( x + 1) Calcular m
14. Se define en
7
2
3m − 8
en:
a) 5 d) 25
b) 9 e) 16
= 42
3x − 4
Calcular “x” en: a) 1 d) 6
b) 2 e) 8
11. Se tiene en
= 84
x( x + 1) ; ( x ≥ 0) 15. Se define: x = Hallar “n” en:
n +5 = 2070 3
2
12. Se define: x = x +1 ; x > 0 Halle la suma de las cifras de “n” = 26
b) 6 e) 4
b) 9 e) 6
Academia GAUUS
m −2 20 a) 1270 d) 1732
= 3486
b) 1720 e) 1750
c) 1240
+
17. Se define en : = m m(m − 3) Hallar “n” si: 3
n −n+ 4 = 10 2 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 +
c) 3
3
18. Se define ; n = n −n
= x x( x + 1) n+1
c) 104
x( x − 1) ; ( x ≥ 0) 2 Halle el valor de m en:
c) 2
+
Halle “n”, en:
b) 103 e) 70
= x
c) –3
2n − 25
c) 11
16. Se define:
= 21
b) 3 e) 8/9
= 2197
b) 9 e) 6
c) 4
x( x + 1) 2
3 x − 10
13. Se define en
n− 8
a) 120 d) 60
Halle “x”, en:
a) 5 d) 3
Halle “n”, en:
a) 8 d) 7
+
x =
a) 4 d) –4
x = x + 3x + 1
c) 7
m(m + 2) 10. Se define: m = 2
a) 8 d) 7
+
= 5256
c) 10
Hallar “x” en: a) 5 d) 8
x−8
b) 10 e) 9
= 210
c) 7
515
JOHN MAMANI M. 24. Se define el operador:
19. Si: N =2N + 6; N > 0
x − 1 = 2x + 1
2
x −6
Además:
66 =
Halle “n” en:
Calcule: 2x a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
2m + 1
Si:
Halle el valor de m en:
b) 325 e) 140
1 − 3n
a) –2 d) 1
a) 1 d) 4
2
x − 16 , ∀ x ≠ −4 x+4
m−1 2
b) 0 e) 8
= 231
d)
516
e)
b) 2 e) 5
c) 3
2
Calcule el valor de “m” en: 2m − 6 = 20 b) 2 e) 13
c) 3
28. Dada la operación matemática:
= 101
m
= 19
27. Si: x + 1 = x − x ; x > 0
a) 5 d) 8
b) 4 3
Halle el valor de m en:
c) 5
23. Si: = x x +1
a) 1
x − 2 = 2x + 1
a) 1 d) 4
2
Calcule m en:
c) 3
m
22. Si: n = 1 + 2 + 3 + + n Calcular " m " en:
b) 2 e) 5
26. Se define:
= − 14; hallar: n + 1 c) 0
= 20
m
c) 135
b) –1 e) 2
a) 5 d) 7
c) 4
x + 1 = x( x − 1)
2
21. Se define: = x
b) 3 e) 2
= 16
Calcule: m − 4 a) 137 d) 132
a) 0 d) 1 25. Se define:
20. Se define: x = x − 3 Además:
= 17
n
c) 3
= x −1
2
x −1 ; n>0 2
2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Además:
x −1
Además:
10 − m
= 84 m
Halle la suma de las cifras de: a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
= 676
2
x +1 b) 6 e) 10
Halle: a) 5 d) 7
c) 8
33. Se define: 2
x + 1 = x − 6x + 9
( x + 1)( x + 3) 29. Si: x − 1 = 2
Calcular “n” en a) 1/3 d) 4/9
Halle el valor de m en:
3n − 1 = 24
b) 2/7 e) 3
a) 1 d) 4
30. Se define en los números reales. x =
x +1
∧
x =x
a) 9 d) 5
= 2 7
b) 10 e) 17
c) 3
2
2
x−4
Halle “x” en: a) –2 d) 1
= 340
b) –1 e) 2 2
c) –3
2
35. Si: n − 3n + 2 = n + 7n + 12; n ∈
x
x = x +1 ;x ∈
b) 8 e) 12
+
x+2 = 156
b) 6 e) 8
c) 4
36. Si:
= 3126
Calcule la suma de cifras de
Calcular “x” si: a) 5 d) 7
Además:
a) 6 d) 10
b) 2 e) 5
34. Si: x + x − 2 = x + 13 x + 40
c) 19
31. Dada la operación matemática
2n − 5
= 441
3
Calcular el valor de m en la siguiente ecuación m−7
2m + 1
c) 1/4
2
2
n − 2n + 1 = n + 2n + 1; n > 0 n
Además:
3x + 1
= 225
c) 9
32. Si: 2
Calcular la suma de cifras de “x”: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
m + 3 = (m + 1) + 6(m + 3) − 3
Academia GAUUS
517
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS VIII
Resolución
PROBLEMA 01 Dada la operación matemática: x = 2x + 1
x= 6 x + 5
∧
Se deduce que todo lo que está dentro del operador círculo se eleva al cuadrado y se resta 25.
Determine el valor de:
2
7 +
a) 33 d) 36
x= x − 25
4
b) 32 e) 37
2
( ) − 25
c) 35
Resolución
Luego aplicamos dicha idea de la operación a la otra definición.
Se deduce que todo lo que está dentro del operador cuadrado se multiplica por 2 y se suma 1: x= 2 x + 1
x= x( x + 10) x
Luego aplicamos dicha idea de la operación a la otra definición.
2
2
Ahora calculemos lo que nos pide = M
x= 3 x + 2
Ahora calculemos lo que nos pide 4
37 3(7) + 2 + 3(4) + 2 = 4
2
=x + 10 x + 25
x= x + 5
2 x + 1= 6 x + 5
7 +
2
x = ( x + 5)
x= 6 x + 5
∴
2
− 25 = x + 10 x x
×2 + 1
7 +
2
= 37
37 + 21
M = (37 + 5) + (21 + 5) M = 68 PROBLEMA 03 Se define: x − 1 = 2x + 1
PROBLEMA 02
x + 1 = 8x + 9
Se define:
Calcular el valor de: 2
x= x − 25 y
x= x( x + 10)
a) 76 d) 82
Calcular: 37 + 21 a) 72 d) 66
518
b) 70 e) 68
2 + 5
b) 77 e) 78
c) 80
c) 64 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Deducimos que:
Resolución Deducimos que:
×4 − 1
×2 + 3
x + 1 = 4x + 3
x − 1 = 2x + 1
Finalmente hallemos lo que pide: ×4 − 1 ×4 − 1
Luego: ×2 + 3
= 2
x+1 = 2 x+1 + 3
= 7 27
×2 + 3
= 5
8 x + 9= 2 x + 1 + 3
×4 − 1
= 13
51
∴ 2 + 5
x + 1 = 4x + 3
= 78
¡Comprueba lo que sabes! 01. Dada la operación matemática x= 2 x + 1
x = 3x + 2
x = 6x + 5
Calcular:
Calcular: 7 + 4 a) 33 d) 37
b) 35 e) 34
c) 36
02. Se define:
x = 6 x + 11
y
5
a) 35 d) 42
b) 37 e) 48
c) 39
05. Se define:
x = 2x + 3 Calcular:
04. Se define:
y
x= 4x − 3
x= 4x + 7
y
Calcular: 3 + 3
7
a) 19 d) 23
x= 2 x − 1
b) 11 e) 31
c) 7
a) 10 d) 32
b) 20 e) 34
c) 24
06. Sabiendo que:
03. Se define:
m= 3m + 1
y
m= 6m + 13
x
2
=4 x + 1 ; x > 0 2
x= x + 1
Calcular: a) 21 d) 23
−1 + 3
b) 20 e) 28
Academia GAUUS
c) 24
Calcular: 4 +
2
− 8
519
JOHN MAMANI M. a) 19 d) 18
b) 20 e) 22
c) 21
a) 4 x + 1 d) x − 1
07. Se define
b) 4 x − 1 e) 4 x
c) x + 1
12. Sabiendo que:
2
x= x − 1
y
x= 2 x + 3
x x ( x + 2) =
Calcular: 6 + 16 a) 10 d) 36
b) 12 e) 18
= 35
x
c) 25
Calcular el valor de:
2
x = x( x + 2) y
x= x − 1
Determine el valor de: a) 6 d) 8
… 2013 veces
5
08. Se sabe que:
3
b) 5 e) 9
+
2
a) 7 d) 5
b) 9 e) 6
c) 8
13. Sabiendo que: = x x ( x + 2)
c) 7
4 = 24
09. Se define
Calcular el valor de: 2
x= x − 9
y
Calcular el valor de: 3 + 2 + 4
a) 71 d) 74
a) 4 d) 5
−1
b) 72 e) 75
c) 73
… 2014 veces
4
x= x ( x + 6)
b) 6 e) 7
c) 8
14. Se define los operadores: x
2
=− 1 + x
4
2
n= n + 2n
10. Se define en m = m(m + 24); m > 0
3 + 2
x= 4 x − 40
a) 7 d) 8
Halle: 23 a) –2 d) –26
b) 2 e) 26
11. Sabiendo que: x = 8x + 7
x= 2 x + 5
Calcular el valor de:
c) 3
b) 9 e) 6
c) 10
15. Si: x −1
2
= 2x − 3
x = 8x + 5
Calcule: 8 + 15
Calcular: x
520
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 15 d) 11
b) 14 e) 10
c) 12
a) 34 d) 32
16. Dada las siguientes operaciones: x
= x
2
∧
x+1
= 4x
2
x −1 =x +1 y
Calcular el valor de: a) 10 d) 36
6
b) 198 e) 81
c) 64
2x − 1
b) 58 e) 81
c) 64
18. Se define los operadores: x − 2 = 2x + 8
Hallar: a) 52 d) 130
8
+
10
b) 50 e) 189
c) 125
n+1
Calcular: 2 + 5
Academia GAUUS
= 12n + 25
4
b) 64 e) 125
c) 225
22. Se define los operadores: = 9x ; x + 2
x −1
= 3x
x
a) 8 x + 13 c) 8 x − 13 e) x − 1
b) 9 x − 13 d) 9 x + 13
23. Se define: 2
x = 2 x + 3 x − 10
19. Dados los operadores: n + 2 = 3n + 10
+
3
Calcular: =10 x + 4
= 16 x + 9
Calcular el valor de:
a) 81 d) 188
x+3
c) 15
21. Dados los operadores:
= 12 x + 14
2
a) 55 d) 27
4 +1
2x − 1 = 4 x + 1
x + 2 = 3 x + 11 x+1
x +1 =x −1
b) 13 e) 14
17. Se define la siguiente operación matemática.
Calcule:
c) 36
20. Se define
Calcule el valor de:
a) 125 d) 144
b) 35 e) 33
2
= x
x
;
x >0
Calcule: 1 + 2 + 3 + + 99 + 100
521
JOHN MAMANI M. a) 0 d) 9900
b) 2 e) 900
c) 100
28. Si:
x − 2 =x − 1
24. Para un entero “x”, x > 0 se define: x
= 2x + 5 ;
x
Hallar el valor de “a” en: a) 1 b) 2 d) –1 e) 1/2
x+2
2
= x +2 a =a c) 3
x=
2
x = x − 20 x
x
+
x
6
Calcule:
25. Se define:
= 2x + 3
a) 15 d) 17
b) 14 e) 16
c) 5
2
= x + 6 x − 91
x
29. Sabiendo que:
Hallar: 20 a) 33 d) 34
b) 31 e) 35
x= x−3
c) 32 x+1
= 2x
26. Se define: x = 2x + 5
x = x+5
Calcular el valor de:
3
= x + 2x − 5
x
3
Hallar:
1 +
a) –335 d) –345
2 b) –315 e) –355
c) –325
a) 100 d) 150
… 50 operadores
b) 103 e) 251
30. Si:
27. Si:
x = x+4
x + 2 = 2x + 5
x+3 x+1
c) 50
= x −1
= 2x + 1
x = x+8 x
= 2x
Calcular: Calcule: a) 13 d) 14
522
7
b) 11 e) 15
c) 12
1 a) –3 d) 4
b) –4 e) 5
+
3 c) –6
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS IX PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Se define el operador:
Se define: x= ax − b
= x 16 x − 15 Además:
x = 8 x − 21
= x 25 x + 36 Hallar:
Calcule el valor de: A =
−
1 a) –14 d) –12
a) 16 d) 121
3
b) –17 e) –10
c) –13
Resolución
x = 8 x − 21 x= 2 [ 2(2 x − 3) − 3 ] − 3
x = 4(4 x − 3) − 3
Por lo tanto se tiene que:
x= 2 x − 3
⇒ x = 4x − 3
Calculemos lo que pide:
= x 25 x + 36
A=
x = 5(5 x + 6) + 6 ⇒ x =5x + 6
E= = E
= E
1
−
3
5(1) + 6 − 11
−
Academia GAUUS
2
2
(1 + 3 + 5)2
A = 81
PROBLEMA 03 4(3) − 3
9
[ 4(11) − 3 ] − [ 5(9) + 6 ]
∴ E =− 10
(2+3+4)
= A ( 2(2) − 3 ) + ( 2(3) − 3 ) + ( 2(4) − 3 ) A=
Por lo tanto ahora hallemos lo que nos pide = E
c) 36
Resolución
= x 16 x − 15
2
Descomponemos
Descomponemos ambas definiciones
b) 81 e) 225
(2+3+4)
Si:= a ∆ b 2(b ∆ a) − a Además: 5 ∆
x
=
16 x + 33 3
Halle: 8 + 7 a) 30 d) 36
b) 31 e) 40
c) 34
523
JOHN MAMANI M.
Resolución Como en este ejercicio la operación = a ∆ b 2(b ∆ a) − a , no ha sido definida de manera explícita, tenemos que encontrar la regla de definición y para esto procedemos de la siguiente manera: Primero calculemos (b ∆ a) , invirtiendo términos en el dato:
b ∆ a 2(a ∆ b) − b =
Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: a ∆ b 2(b ∆ a) − a = = a ∆ b 2 2(a ∆ b) − b − a Luego despejamos (a ∆ b)
= a∆ b 4(a ∆ b) − 2b − a
=
3
2
16 x + 33 3
+ 5= 16 x + 33
x
x = 8 x + 14 Descomponiendo
x= 2 [ 2(2 x + 2) + 2 ] + 2 Por lo tanto se tiene que: x= 2 x + 2 Calculemos lo que pide:
3(a ∆ b) = 2b + a
= M
2b + a 3
M=
a∆b =
+5
x
2
8 + 7
[ 2(8) + 2 ] + [ 2(7) + 2 ]
M = 34
Con el otro dato hallemos x
5∆
x
=
16 x + 33 3
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define el operador:
x= 4 x + 3
a) –2 d) –11
Calcular: = E a) 10 d) 8 02. De acuerdo a:
2 + 3
b) 12 e) 9
c) 15
x= 9 x + 20
b) 35 e) 32
c) 40
03. Se define el operador:
x= 64 x − 63
524
b) 8 e) 11
c) –10
04. Se define el operador: = x 125 x + 124;
Calcular: 10 a) 30 d) 36
Halle: − 2
Halle: J = 1 + 2 − 3 a) 11 d) 2
b) 4 e) 5
c) 7
05. Se define: m= 9m + 8
m = 16m + 10
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Calcule el valor de: +
2
a) 94 d) 106
a) 10 d) 14
1
b) 80 e) 100
c) 98
b) 12 e) 13 m−3
10. Se cumple:
c) 11
=m − 15
Determine el valor de:
06. Se define el operador:
a) 9 d) –3
x= 4 x − 3
x= 4 x + 9
2 + 1
b) 4 e) –4
c) –9
11. Se define los operadores:
x = x
Hallar:
+
2 a) 24 d) 19
x = x + 15
3
b) 26 e) 16
c) 28
Calcular:
8 + 8 a) 31 d) 28
07. Dado: x = 8 x + 21
x
S = 1 + 2 + 3 + + 20 b) 480 e) 200
Hallar:
Además:
b) 8 e) 2
c) 7
13. Dado el operador: x= 27 x + 10
x − 8 = 2x − 2x + 2x − 2x +
Calcule: 10
Calcule: 2a + b a) 42 d) 40
x
4
a) 9 d) 10
x= ax + b
=
x= 8x + 7
c) 840
08. Se define:
c) 24
12. Se define los operadores
Calcule: a) 420 d) 400
b) 25 e) 47
b) 22 e) 20
c) 32
a) 14 d) 10
b) 12 e) 13
c) 11
14. Si se cumple que. 09. Se define: x −1
=8 x + 6
x
= 125 x + 31 ;
m
= 5
Calcule el valor de: Halle: 5 Academia GAUUS
2 + 2
525
JOHN MAMANI M. a) 11 d) 16
b) 12 e) 17
c) 14
a) 0 d) –3
15. Se define:
b) –1 e) –4
c) 4
19. Se define el operador:
x = x
3x + 6
x = x + 15 Calcular:
Determine el valor de: 5 x − 1 a) 5 x + 5 d) x − 1
x + x
a) 2 x + 15 d) x − 15
=3 x + 12
b) x + 15 e) 2 x + 23
c) 4 x
b) 5 x + 1 e) 4 x
c) 2 x + 1
20. Si se cumple que.
16. Si se sabe que:
x+1 =
x+1
x = ax + b ; a > 0 =
x
Ademas: 2
x+3
2
= 16( x + 6 x + 9) + 75
x 8
Calcule el valor de: 49 + 32
Calcule:
+
1
a) 38 d) 44
−1
b) 40 e) 46
c) 42
a) 21 d) 42
x = a( x + 1) − b( x − 1); a > b
2
= x ax + b
Además:
Ademas:
Calcule:
4
2
= 27 x + 36 x + 14 2 +
a) 41 d) 39
c) 30
21. Dada la definición matemática
17. Definimos los operadoes:
x
b) 23 e) 15
3
b) 43 e) 45
c) 40
= x 16 x + 50
Calcule: a ⋅ b a) 80 d) 75
b) 85 e) 84
c) 90
22. Si se cumple:
= x
x
18. Se define el operador:
= x
x= 4x + 5
4x − 9
Calcular " y " en:
x= 16 x − 15 Calcular:
M =
526
x − x
y a) 1 d) 4
b) 3 e) 5
=
y c) 2 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS X PROBLEMA 01
= 4
Calcular: 6 Si: a + 3 =
2a + 1 + a
Además: 9 = 5 a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
2 2 × 2 5 4
4 =
2 2 2 × 1 5 4 3
= 4
2 2 2 × 15 5 4 3
4 =2
Resolución Calculemos 6 con la definición (a = 3) 3 + 3= 6 =
2(3) + 1 + 3
PROBLEMA 03 Se define:
7 +3
x =
Calculemos 7 con la definición (a = 4)
6 = 9 + 4 + 3
Además se tiene como dato 7 = 5
a) –6 d) 6
b) 5 e) 7
6 = 12
c) –5
Resolución
PROBLEMA 02 Se define la siguiente operación matemática. 2 n + 1= × n n+ 2
2 x −1 Del dato despejamos: x + 3 = 2 Cuando x = 7 t1= : 10
Además: 1 = 15
2 7 − 1 2(5) − 1 = = 4, 5 2 2
Cuando x = 10
Calcule: 4 b) 8 e) 6
c) 14
Resolución Calculemos 4 con la definición ( x = 3) 4=
2
Calcule el valor de: 73
6 = [5 + 4] + 3
a) 10 d) 2
2 x+ 3 +1
2 × 3 5
Academia GAUUS
= t 2 : 13
2 10 − 1 2(4, 5) − 1 = = 4 2 2
Cuando x = 13 t 3= : 16
2 13 − 1 2(4) − 1 = = 3, 5 2 2
527
JOHN MAMANI M. Hallemos el número de términos desde hasta 73 que tiene razón 3.
10
Hallemos el término 22 en la siguiente progresión aritmética de razón (− 0, 5) . 4, 5 ; 4 ; 3, 5 ; ; t 22 t n = t1 + (n − 1)r
t n = t1 + (n − 1)r
t 22 = 4, 5 + (22 − 1)(− 0, 5)
73 = 10 + (n − 1)3
t 22 = − 6
n = 22
∴ 73 = −6
¡Comprueba lo que sabes! 05. De acuerdo a:
01. Sea: x + 1= 3 x − 2 x − 1
Además: 4
=1 y
6 =4
Hallar: 5 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
02. Se define: n= 2 n − 1 + 3 ; ∀n > 1 Además: 1 = 4 b) 27 e) 20
Además:
1
Calcule: a) 63 d) 66
4
c) 28
b) 5 e) 6
c) 4
Hallar:
528
x 1 =3
x 5
a) 12 d) 16
b) 15 e) 33
c) 17
2 x −1 x+1 = x+2
b) 1 e) 1/6
c) 1/2
2
08. Se define: n − n − 1= n ; ∀n > 0
2x + 1 − x + 1
b) 6 e) 8
Hallar: 5 a) 2 d) 1/4
Además: 0 = 3
Además: 3 = 1 a) 5 d) 7
c) 65
Además: − 1 = 3
04. Calcular el valor de 7 Si: 2 x − 1 =
b) 64 e) 67
x 0 =2 y
07. Se define:
Calcular: 5 a) 2 d) 3
=1
x n= +1 3 x n − 2 x n−1
03. Si: x = 2 x − 2 + 1 Además: 1 = 0
+ 2n
06. Se define: Además:
Calcule: 3 a) 24 d) 25
n+1 = 3 n
c) 4
Calcule: 7 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 133 d) 142
b) 136 e) 143
c) 139
Calcule el valor de: 67
09. Si: 2
x +1
=
x
a) –2 d) 1
2
+1
−
11
12
Halle el valor de:
10. Sea
b) –1 e) 2
c) 0
un operador del que: x+1 =
x +2
Hallar: 8 − 6 a) 1 d) 3
b) 0 e) 4
c) 2
Calcula el valor de: 3 − − 3 a) –1 d) –4
b) 4 e) –6
c) 0
c) 91
15. Se define: 2 x + 1 − x − x = 0 Calcule:
15 − 1 7 − 3
a) 11/2 d) 11/3
x +1
Calcular: 24
c) 3/11
16. Se define en : x = x + 5 + 2 Además 10 = 10
a) –15 d) 24 17. Si: n + 1 =
a) 2002 d) 2001
19. Dado x = b) 5 e) 6
Academia GAUUS
b) 11/5 e) 5/11
c) 6
x =
b) –14 e) 14 n +
c) 25
1 2
1 2
b) 1001 e) 1/2
c) 2000
18. Se define: f ( x + 5) = f ( x + 2) + 2 Además: f (12) = 20 Calcule: f (300) a) 212 b) 215 c) 224 d) 216 e) 214
9 =2
14. Se define en :
c) –3
Calcular: 2002
13. Se define:
Además:
b) –2 e) –5
Además: 1 =
12. Si: f (n + 2) = nf (n) ; n ∈ Además: f (2) = 2 Calcular: = S f (8) − f (4) a) 89 b) 90 d) 92 e) 96
x+5=
a) –1 d) –4
Calcule 70
11. Se sabe que: x + 1 − x = 2x
a) 4 d) 10
Además 7 = 5
2 x+ 3 +1 2
1+ x −1
Además: 1 = 63 Calcular: 1999 − 2000 a) 1 d) 3
b) 0 e) 314
4
c) –1
529
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS XI PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Si " ∆ " es un operador tal que:
Dados los operadores:
2
a ∗ b= a − a − 1 Calcular: 5 ∗ (5 ∗ (5 ∗ (5 ∗))) a) 12 b) 19 c) 13 d) 5 e) 25
Resolución Se aprecia que la regla de definición depende únicamente de “a” (1er. elemento); el 2do. Elemento no interviene en los cálculos. Ahora veamos lo que nos pide ∗ (5∗ M =5 (5 ∗ ))) ∗ (5 a b 2 M= 5 − 5 − 1 M = 19
x = 2 2x − 1 + 5 x+1 =
x −1 − 4
Calcular el valor de: 3 + 5 a) –1 b) 3 c) 2 d) 7 e) 5
Resolución En la primera condición con ( x = 3) x= 2 2 x − 1 + 5
= 3 2 5 + 5.............(*)
En la segunda condición con ( x = 4) x+1 =
= 5
PROBLEMA 02 2
Si: a ⊗ b = a − ab − 1 Calcular: 3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ ))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3 − 4.............(**)
Remplazando (*) en (**) = 5
3 −4
5= 2 5 + 5 − 4
Resolución Con: M = 3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ )))
x −1 − 4
5 = −1
Para calcular
M
3
remplacemos en (*)
3 2 5 +5 =
M= 3 ⊗ M
3 = 2(− 1) + 5
Remplacemos en la definición M= 3 ⊗ M 2
M = 3 − 3M − 1 4M = 8 ∴ M= 2
3 =3
Pide: = M
3 + 5
M= 3 − 1 M =2
530
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 2
01. Si: m∆n = m − m − 1 Calcular: S = 3∆(3∆(3∆(3∆ ))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si ∗ es un operador tal que: 2
a ∗ b= a − a − 1 Calcular: 9 ∗ (9 ∗ (9 ∗ (9 ∗))) a) 12 b) 19 c) 13 d) 71 e) 9 2
03. Si: a ∗ b= 3a + 2a + 1 Hallar: E = 5 ∗ (4 ∗ (3 ∗ (2 ∗ ∞ ))) a) 26 b) 46 c) 86 d) 16 e) 56 2
04. Se define: m ∗ n= 3m − m Calcular: R =1 ∗ (2 ∗ (3 ∗ ())) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –2 3
05. Siendo: a ⊕ b = a + 2a Calcule: E = 3 ⊕ (4 ⊕ (5 ⊕ (19 ⊕ 20))) a) 44 b) 33 c) 34 d) 36 e) 38 2
m +3 2 4 ∗ (5 ∗ (6 ∗ )) Halle: E =
06. Si: m ∗ n=
b) 2200 e) 1100
c) 120
2
5 ∗ (7 ∗ (9 ∗ (2012 ∗ 2015))) b) 2014 e) 6
Academia GAUUS
b) 2 e) 12
c) 3
09. Dada la operación matemática 3RS + 3R + 4S + 4 R⊗S = 2S + 2 Calcule: E = 16 ⊕ (15 ⊕ (14 ⊕ (2 ⊕ 1))) a) 24 b) 20 c) 32 d) 26 e) 28 2
10. Si: m ⊗ n= m − mn − 10 Calcular: M = 8 ⊗ (8 ⊗ (8 ⊗ )) a) 8 b) 6 c) 7 d) 10 e) 13 11. Se define: m ∗ n = 3n − m Calcular: R = 4 ∗ (4 ∗ (4 ∗ ())) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –2 2
12. Si: m∆n= m − n − 1 Calcular: S = 3∆(3∆(3∆(3∆ ))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Calcular: E = a) 4 d) 0
x ∗ y= x + 2x + 1 Halle el valor de: a) 100 d) 25
a) 1 d) 6
2
07. Dado el siguiente operador:
M=
Halle: M = 5 # { 5 #(5 # )}
13. Si: x = y 3y − 10 x
2013 operadores
a) 2002 d) 11
a 2 b + 35b −1 b ,a ≠ 0; 08. Si: a # b = 4a
c) 10
5 5 5 ...
b) 6 e) 2
c) 5
2
14. Si: m ∗= n (2n) − 3m Hallar: F =
4 ∗ 4 ∗ 4 ∗∞
a) 4 d) 5
b) 2 e) 1
c) 3
531
JOHN MAMANI M. Hallar el valor de:
2
15. Si: a ∗ b= 2b − 3a Calcule: E =
3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ ; E > 0
a) 3 d) 4
b) 21 e) 6
c) 1
6 + 12
a) 1 d) –6
b) 2 e) –1
c) –7
21. De acuerdo a:
2
16. Si: m ∗ n= 4n − 50m Calcular: E =
5x =
6 ∗ 6 ∗ 6 ∗∞
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
x+1
x+6
+7
= 3 x + 3 − 2x − 1
Calcule: 10 3
17. Si: a ∗ b= 4b − 3a Halle: M =
3
a) 8 d) 10
8∗
3
8 ∗ 3 8 ∗
b) 2 e) 4
c) 12
a) 8 d) 4
b) 5 e) 6
c) 2
22. Dados los operadores: = x 2 2x + 5
18. Dados los operadores:
x + 2= 3 2 x − 5
x = 5 4 x − 1 + 5x x+1 =
Calcular el valor de:
x−4 −8
a) –1 d) –7
Calcular el valor de: 2 + 7
a) –1 d) 7
b) 3 e) 5
c) 2
3 + 6
b) 3 e) –4
c) –3
23. Si se cumple: 2
9 x + 2 − 10 = x − 5 x + 3
19. Dada las operaciones matemáticas: x= 2
2x − 1
4 x + 3 =9 − 2 x + 3 x + 2
+5
Calcule el valor de: x+1
= x−2 −4
Halle el valor de: 4 + a) –1 d) 0
11
7
b) 1 e) 3
c) 2
a) 1 d) 8
b) 5 e) 11
c) 3
20. Sea los operadores: 2x =
x + x −1
x −1= 2 x + 5 − x + 3
532
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS XII PROBLEMA 01
De la segunda condición
Definido el operador "
" mediante:
es impar), calculemos 5 .
(n − 1)2 ; si "n" es par n = ; si "n" es impar 2n Determinar: L = a) 10 d) 40
= L
= 5 2(5)
∴L = 10
3 × 2 − 2
b) 20 e) 50
PROBLEMA 02
c) 30
Se define:
Resolución De la segunda condición
x+2 ; para " x " par x = 2 x + 1 ; para " x " impar 2 Determine el valor de: #
n = 2n cuando (“n”
es impar), calculemos 3 .
#
3 2(3) = = 6
De la primera condición
n= (n − 1)
2
cuando
a) 4 d) 2
#
#
Resolución
2
2 =(2 − 1) =1
K = (6
Remplazando en L:
L=
#
K = (6 − 3 ) + (7 − 4 ) b) 6 c) 3 e) 1
(“n” es par), calculemos 2 .
L=
n = 2n cuando (“n”
#
#
− 3 ) + (7
#
#
−4 )
6 + 2 3 + 1 7 + 1 4 + 2 − + − K= 2 2 2 2
3 × 2 − 2
K = [ 4 − 2 ] + [ 4 − 3]
6×1− 1
K= 2 + 1 K= 3
L= 5
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define la operación (%) como: a+ b , si: a + b = par a%b = 3 a − b, si: a + b = impar Hallar el resultado de: (5%1) × (7%4) a) 4 d) 8
b) 5 e) 12
Academia GAUUS
c) 6
02. Sabiendo que: 2a − b, si: a ≠ b a∗b = b a + 2b, si: a = Hallar: (3 ∗ 1) ∗ 5 a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
533
JOHN MAMANI M. 03. Sabiendo que:
08. Se define:
a+ b , si: a < b a%b = 3 a − b , si: a > b 3 Hallar el valor de: (4%6)%(7%3) a) 5/2 b) 7/2 c) 2/3 d) 3 e) 5 04. En: a ; si : a < b a∗b = b; si: a > b Luego son verdaderas I. 7 ∗ 8 = 8 ∗ 7 II. 5 ∗ 3 = 3 III. (5 ∗ 3) ∗ 4 = 5 ∗ (3 ∗ 4) a) Solo I b) Solo II d) Solo III e) I, II y III
2m + n 3 , si: m ≥ n m∗n = m + 2n , si: n > m 2 Calcular: (9 ∗ 9) ∗ (2 ∗ 5) a) 6 b) 9 c) 3 d) 8 e) 4 09. En el conjunto de los números naturales se define la operación: 3m − 2n ; si: m>n m%n = 3n − 2m ; si: m ≤ n Calcular: E =
c) I y II
05. Sabiendo que: 2m − n ; si: m>n m%n = ; si: m ≤ n m + n Calcular: ( 3 % 4 ) % ( 5 % 2 ) a) 12 b) 16 c) 10 d) 15 e) 18 06. Sabiendo que: 2a + 3b, si: a ≥ b a∗b = 3a − b, si: a < b
a) 71 d) −73 10. Si:
a+ 2 , si a = par o cero a = 2 a + 1 , si a = impar 2 ∗
∗
b) 35 e) 37
a 2 − b ; si: a>b a#b = 2 3 2a − b ; si: a ≤ b Calcular: = R ( 3# 2 ) − ( 2 # 3 ) a) 0 b) 12 c) –12 d) 26 e) 30
534
∗
∗ ∗ ∗
11. Se define: a+ 2 , si: "a" es par a = 2 a + 3 , si: "a" es impar 3
c) 20
07. Se definen:
∗ ∗
Calcular: E = ((4 + 3 ) − (5 + 2 ) ) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Hallar: (4 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 3) a) 12 d) 25
2
(5%2) %(1%2) 5 b) −71 c) 73 e) 5
Hallar:
3 −
a) 1 d) 6
3 2 5
b) 2 e) 0,25
c) 3
12. Se define: −b
−a
(a ) × (− b ) ; si: a < b a%b = −a −b (a ) × (− b ) ; si: a ≥ b
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Halle: = E (2% − 2) − (− 2%2) a) –1 b) –2 c) 0 d) 2 e) 1
a − b, si a < b a ∗ b = a + b, si a = b 2 b − a, si a > b 2
Calcule: E = (− 5 ∗ − 3) ∗ 4 + (5 ∗ 7) ∗ − 6 a) –12 b) 10 c) 6 d) –4 e) –6 14. Si: 2 x + 3; x ≤ 2 2 x = x − 2; 2 ≤ x ≤ 3 3 x − 1; x > 3 Calcular: E=
2 + −1 + 4 − −6
a) 21 d) 20
b) 22 e) 24
c) 23
15. Sabiendo que: m 2 − 1; si: m > n m%n = 2 n − m : si: n > m Simplificar: 5%( 4% 17 ) a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 16. Defina los siguientes operadores: a 2 b 3 si: a ≠ b a∗b = b 2a + b si: a = 2 2
a#b = a b Entonces el valor de (1 ∗ 1) ∗ ( 3 ∗ 1) N= #4 4∗4 b) 8 e) 10
Academia GAUUS
x − 1 ; si x ≤ 10 x = x − 2 ; si x > 10 Calcule: 1 + 2 + 3 + + 20
13. Se define en
Es igual a: a) 7 d) 21
17. Si:
a) 93 d) 146
b) 170 e) 190
c) 180
+
18. Se define en , la siguiente operación ; Si x ≥ 100 x − 3 x = x + 5 ; Si x < 100 Calcule: 97 a) 95 d) 98
b) 96 e) 99
c) 97
19. Se define: 3 − n 2 , si: n<3 ∗ (n + 5) = 2n + 6, si: n ≥ 3 ∗ ∗
∗
Hallar: (5 ) − 6 a) –6 b) –3 d) 4 e) 2
c) 16
20. Se define: 2 m − 5, si m es par m+ 5 = 3 m − 6, si m es impar Calcular: 20 ; si 5 = 4 a) 14 d) 13
b) 16 e) 15
c) 18
21. Se define: P + ∆(P − 1), si: P > 0 ∆(P) = 0, si: P ≤ 0 Calcule: ∆(6, 5) a) 16 b) 24,5 c) 22,5 d) 24 e) 25
c) 9
535
JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS XIII
Resolución
PROBLEMA 01 Se define: P M = N↔M
= P
Entonces los operadores círculos se simplifican, se tiene:
Calcule el valor de x en: 2
x −1
a) 2 d) 5
y =a
2
x +1
b) 3 e) 6
b = −1
y = 3a
2
b + 2b = −1
c) 4
2
b + 2b + 1 = 0 2
(b + 1) = 0 b+1= 0 b = −1 ∴ b + 5 =− 1 + 5 =4
Resolución 2
x −1
y =a a
y =2
3
=0 =(− 1) + 1 = − 1
b
N
2
x +1
x −1
y = 3a y
3a
(y ) (2 ) a
x −1
2
3 3
3 x− 3
=2
x +1
PROBLEMA 03
=2
x +1
=2
x +1
= 2
x+ 1
3x − 3 = x + 1 x=2
En se define: x = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈
Encuentre el valor de: 4 E= + 9 − 1, 5 − π + 4,7 5 a) 6 d) 8
b) 7 e) –3
c) 5
Resolución PROBLEMA 02 En el conjunto de los números enteros se definen: x
3
2
= x + 1;
x = x + 2x b
=0
Calcular el valor de: b + 5 a) –1 b) 2 d) 4 e) –5
536
c) –3
Con la definición, calculamos los máximos enteros. 4 = = 0, 8 0 porque 0 ≤ 0, 8 < 1 5 3,1 =
= π
3 porque 3 ≤ 3,1 < 4
Remplazando en “E” 4 E= + 9 − 1, 5 − π + 4,7 5 E = 0 + 9 − 1, 5 − 3 + 4,7 E =0 + 9 − 3, 2 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. E =0 + 9 − 3
Calculemos 3, 2
3, 2 = 3
E= 0 + 6
porque 3 ≤ 3, 2 < 4
E= 6
Remplazando en “E” E =0 + 9 − 3, 2
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se definen:
Calcular el valor de: b + 5 a) 2 b) 3 d) 6 e) 4
2
m = m + 3m a b= (a − b)
2
05. Se define en 1 2 ( x + 1) x = 2
Determine el valor de: 2 a) 4280 d) 4292
2
( x − y)
x ∗ y = ( x + y)
b) 4288 e) 4296
c) 4289
Además: m ∗ n = 53 2
a b= 2a + b a b= 2b − a
x =
2 m =5
b) 2 e) 5
03. Se define: = P
Calcule el valor de x en: 3
x −1
y =a
a) 2 d) 5
3
x +1
3
y = 2a
8 + 7
c) 4
−4 + 3
Academia GAUUS
=8
Calcule: 2
x = x + 3x b
c) 4
07. Sea x una función constante tal que:
b) 3 e) 6
= x + 1;
2
Halle: m + n a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
1989 − 2010 − 21
04. Sea “x” un número entero, x > − 2 : x
( x − y)
Además: m ∗ n = 31 2
P M = N↔M
2
x +1 2
x ∗ y = ( x + y) c) 3
N
c) 4
06. Se define en
Determine el valor de m en:
a) 0 d) 4
2
Halle: m + n a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
02. Se definen los operadores:
4 3
c) 5
a) –9 d) 4
b) 4 e) –4
c) 19
= −7
537
JOHN MAMANI M. a) –1 d) –3
08. Si: x − 2 = x + 2 − x ab= ba − ab
Halle el valor: a) 31 d) 34
17 − 1
b) 36 e) 27
n−2
c) 32
10. Se define los operadores: 2
= x − 4x + 5 ∧
2
x= x − 1
Calcule: a) 7 d) 27
a) 7/9 d) 19/17
3 +
2
b) 24 e) 21
24 ∆15 = 3 49 ∆ 26 = 24 18 ∆ 23 = 2
bb∆ ab
; si: a ≠ b
ba∆ aa b) 9/7 e) 79/2
c) 17/19
x+3
x −1 =
x
= x+8
Calcular:
1
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
16. Se cumple que:
2
2 2 2
Además 0 = 1
(a ∗ b ∗ c) − 4abc(a ∗ b ∗ c) + 4a b c = 0 2
2 −1
Calcule: (m + n) ∗ (m − n) ∗ (m − n ) a) 6 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2 n
13. Si: x + 1 = x − 1
Calcule “n”
538
c) 3
= x x x−2
12. Si:
Además: 3 = − 7
c) 3
15. Si:
c) 65
a 5∆ 3b = 8 Calcule: N =
= n2 + 2n
x = x+4
b) 67 e) 68
11. Si se sabe que:
= n(n + 2)
n−2
Calcular: 8 + 4 a) 64 d) 66
c) –1/3
14. Se define en
P(4) x 09. Si: P = P( x ) − P( y) , calcule: y P(2) a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1
x
b) 1/3 e) 0
Halle el valor de a) 2 d) 100
100 50!
b) 50 e) 1
c) 2
50
17. Se define x −1 + x + x +1 = 20
3 Además
0 =7
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 21. Se define:
Calcule: M = 1 + 2 + 3 + 4 + + 92 a) 607 d) 615
b) 610 e) 617
c) 613
3 x + 4 = 15 x + 18 Además: x + 1 − 3x =
18. Si se sabe que:
Calcule:
x= 2 x + 5
x
+ 10 =x
=
a) 21 d) 24
x+1 +
x
=x + 6
x+1 −
x
= x
x+2
Calcule: b) 22 e) 25
c) 0
19. En se define:
x = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈ E= −3, 5 + 1 + π ⋅ 2 b) –1 e) –2
c) 1
2
a) 1 d) 3
b) –1 e) 5
c) 2
23. De acuerdo a: n = xn + y ; x > 0
Encuentre el valor de:
a) 0 d) 2
c) 39
Además:
5
Calcule:
b) 40 e) 36
22. Si: x = x + 2
Siendo además que: x+2
2
a) 32 d) 37
x= 2 x + a
2 x − 1 + 2 x + 20
Además
n + xn + 2 y = 18n + 20
Calcule: 15 + 5 a) 62 d) 58
b) 64 e) 60
c) 54
20. En se define:
x = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈
Simplifique: E= a) –5/7 d) –10/7
4, 2 + 6, 5 −3,7 + −2, 2
b) 3/2 e) 9/20
Academia GAUUS
c) –10/11
539
JOHN MAMANI M.
07. Se define el operador:
+
01. Se define en :
2
Calcule: 25 ∆ 9 a) 8 d) 15
UNAP–EXT–SOC–2015
b) 17 e) 12 2
02. Si: a θ b = a − a + b
c) 10
2
a) 35 d) 41
UNAP–SOC–2012
b) 12 e) 10
c) 13
b a + 2b 04. Si: a #= 6#3 Hallar: P = #18 2# 5 b) 30 e) 61
c) 36
UANCV–2013
UNAP–2003
2
540
b) 340 e) 405
c) 14
b a
x
5
∫ 2 f (m) = 13 UNAP–2004/2014
b) 9 e) –5 2
c) 3
2
( x − 10) θ 3 = 91
a) 20 d) 22
2
UNAP–2009
11. Si m θ= n m − n , halle “x” en:
c) 2
UNAP–ING–2014
b) 18 e) 26
c) 24
2
UNAP–BIO–2015
a) 413 d) 407
b) 7 e) –1
10. De acuerdo a: ∫ f (= x) a + b
a) 4 d) 1
(4 # 3)#(2 #1) 1#(2 # 3)
06. Si: a ∗ b = a + ab + b Calcule: (2 ∗ 3) ∗ 2
c) 39
Si se pide calcular “m” si:
05. Si: a #= b 2a − b
b) 3 e) 7
CEPREUNA–ING–2015
b) 37 e) 43
09. Sea la operación # definida en los números reales como: a+b a#b = a−b Halle el valor de “x”, si x # 2 = 2 x # 3 a) 0 d) 1
2
a) 5 d) 8
2
UNAP–SOC–2014
c) 50
2
Hallar: E =
c) 4
2
03. Si: aθ= b a − 3b Hallar: (2θ1) + (4 θ 2)
a) 25 d) 45
CEPREUNA–SOC–2015
b) –3 e) 1
08. Si: m # n = m − mn + n Calcule: (2 #1)#(2 # 3)
b) 42 e) 60
a) 11 d) 14
Determine el valor de “P” Si: P = (1 2) (1) a) –4 d) 3
Halle: 8 θ 2 a) 82 d) 72
2
a b = 2a − 3b + 4ab
x ∆= y 3 x −2 y
c) 403
12. Se define: f= ( x ) ax − 8 Hallar “a” si: 2
f ( x ) + f (2 x ) + f (3 x ) = 280 x − 24 UNAP–EXT–2005
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 21 d) 41
b) 20 e) 25
c) 40
Halle: 24 ∗ x Si: x ∗ 25 =25
13. Si en el conjunto de los números enteros a −1
se define la operación: a ∗ b = b (a + 1) ∗ (ab + a) Calcule: (a + 1) ∗ (b + 1)
a) 1/2 d) 1 19. Siendo:
UNAP–EXT–2010
a) a
a +1
d) b
a
b) a
b
e) a
a −1
c) a
a
Halle: x ⇐ x
UNAP–BIO–2012
b) 6 e) 9
c) 5
c) 21700
2
CEPREUNA–BIO–2014
b) 3 e) 16 θ
c) 4
1 (a + b + 5) 2
θ
17. Sabiendo que: a # b = θ
θ
a) 10 d) 25
θ UNAP–EXT–2006
b) 8 e) 15
c) 20
18. Se define la operación “ ∗ ” en x
x∗y = y
Academia GAUUS
a ⇐ b = a − 3b UNAP–EXT–2014
b) 8 e) 11
c) 9
20. Se define a∆ b = log b a
a) 20 d) 25 21. Si:
2
+
CEPREUNA–2004
b) 27 e) 41
c) 14
a%b = 2b − a m # n = 2(n − m) + 3
Halle: CEPRE = 3% [ (4%5)# 2 ] a) 17 d) 13
CEPREUNA–BIO–2013
b) –11 e) –13
22. Se define en :
c) 12
2
2
a∗b= a + b a # b = 4ab Hallar el conjunto solución de:
(x ∗ a) + (2a = # x) a) {2; 24b} d) {8; 24a}
θ
Además 3 # x = 14 Halle: x # 5
a) 7 d) 10
UNAP–EXT–2006
16. Al definir el operador por: x ∗ y= ax − xy Se obtuvo 2 ∗ 1 = 10 Halle “b”, si 3 ∗ b = 0 a) 9 d) 1
a ⇒ b = 3a − 2b 6⇒ x= 8
(5 ∆ 3)
15. Si: f (n) = (2n) Halle el valor de “R” en: R= f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + + f (10) b) 23400 e) 22800
c) 2
Calcular: S = 3
3
a) 25100 d) 24200
CEPREUNA–SOC–2014
b) 6 e) 5
2
14. Si a ∗ m= m + a , halle la suma de las cifras del décimo sexto término de la sucesión. 3 ∗ 9 ; 4 ∗ 16 ; 5 ∗ 25 ; a) 2 d) 3
25∗ x
[ a #(2x)] + a 2 + 6(b # x) CEPREUNA–2005
b) {0; 24a} c) {0; 24b} e) {24a; 24b}
a∗b ; a≠b a−b Además: m ∗ n = m + 2n 8⊕4 Halle el valor de: E = 2⊕1
23. Dado que:= a⊕b
UNAP–ING–2012
541
JOHN MAMANI M. a) 2 d) 5
b) 4 e) 3
29. Se define:
c) 1
P M = N↔M
24. Si: (a + b) 2
2
2
a %= b b +a
2
−3
a) 32 d) 4
b) 64 e) 16
UNAJ–2014
c) 8
b
26. Se define: a ∗ b = a × b
c) 13
a) 1/2
b)
d) 1
e) 2
a)θa = a+4 c)
3
1 (9 + 17) 2
a b − b a si : a > b a = b a a − b b si : a < b 2 3 − 3 2 UNAP–1997
a) 24 d) –24
b) 22 e) –42
c) 23
32. Sabiendo que:
en a # b = 2
b) 4 e) 6
2
c) 8
Calcular: (− 2 ⊕ − 1) − (− 1 ⊕ − 2) a) 3 d) –2
b) –7 e) –3
UNAP–2011
c) 4
33. Se define:
a∆b 28. Si: = a
b b ; a ≠ b a b (7 ∆ 6)(6 ∆ 7) Calcule: R = (3∆ 8)(8 ∆ 3)
b) 1/25 e) 1/27
2a − 5b; si: a > b a⊕b = 3a − 7b; si: a < b
a
UNAP– EXT–2005
a) 2 d) 2
Hallar “a”, si: (a −
a− 3
5
UNAP–BIO–2014
27. Se define: a #= b a ×b 4
y = 3a c) 4
30. Se define en : a θ b = b
Calcular:
a
2
b
4
x +1
b) 3 e) 6
c) 13/4
b) 17 e) 11
Hallar: a + b
2
31. Sabiendo que:
Calcular ( x + y ), si: x ∗ y = 5 a) 14 d) 10
a) 2 d) 5
UNAP–SOC–2013
b) 26/12 e) 11/4
2
y =a
UNAP–EXT–2008
25. Sabiendo que: a ⇒ b = b ↔ a y + xy Además: ( x + y) ↔ y = x+y Calcule: 4 ⇒ 16 a) 13/8 d) 15/4
x −1
UNAP–2001
2
1 Halle (r − s) en (r%s) − (r # s) = 2
542
= P
Calcule el valor de x en: a#b =
a) 1 d) 5
N
x+2 ; para " x " par x = 2 x + 1 ; para " x " impar 2 Determine el valor de: #
CEPREUNA–BIO–2014
c) 1/5
K = (6
#
#
− 3 ) + (7
#
#
−4 )
CEPREUNA–BIO–2012
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 4 d) 2
b) 6 e) 1
39. Si: (2 x − 3) (5 y + 2) = 4 xy Halle: 7 17
c) 3
34. En se define:
a+ b a − b , si: a ≠ b a∗b = a + b , si: a = b 2 Halle “x” en: x∗5 (4 ∗ 3) = ∗ (8 ∗ 6) (12 ∗ 9) 2 a) 15 d) 4
UNAP– EXT–2013
b) 18 e) –1 5
y
c) 5
35. Si: x ∗ y = 2( x + y) − x Halle: 5 ∗ 243 a) 120 d) 125
CEPREUNA–ING–2013
c) 141
x
3
x #= m x +m Calcule el valor de: 16 #16 b) 10 6
d) 2 6
e) 16 2
c) 6 2
x y ∆= y x 18 y − 11x Calcule: A = (1∆ 2)∆(8 ∆ 9) b) –13 e) –32
b
a
c) 13
UNAP–2010
b) 7 2
d)
e)
99
Academia GAUUS
96
b
b
b= a +b
b
a
4 0, 25
a) 4,25 d) 2,75
CEPREUNA–2011
b) 1 e) 2
c) 0
m m − 4n ∆n = 4 mn 1 2 6 Calcule: M = ∆ ∆ 3 3 5
4
c) 8/3
2
aφb = a − a + 1 Encuentre el valor de: E = 7 φ(7 φ(7 φ())) 2n operadores
b) 21 e) 13
UNAP– EXT–2013
c) 5
2
s − sr − 1; s − r ≠ 0 s−r
Calcule: a) 4 d) 7
a +a +b
UNAP– EXT–2007
b) 7/2 e) 5/4
8 @(8 @(8 @(8 @))) b) 5 e) 8
CEPREUNA–SOC–2012
c) 6
3
UNAP–BIO–2012
a) 9 2
Calcule:
43. Si: s= @r
38. Se define el siguiente operador:
3a ∗ 5b = Calcule: = S 27 ∗ 40
a
a) 58 d) 43
37. Definimos en :
a) –19 d) 19
a
42. En se define:
3
CEPREUNA–ING–2012
a) 5 2
c) 62
40. Si:
a) 4/3 d) 3/2
36. Se define el operador: m
CEPREUNA–BIO–2013
b) 72 e) 50
41. Si:
y
b) 140 e) 131
a) 60 d) 70
c) 6 2
2
44. Si: a ⊗ b = a − ab − 1 Calcular: 3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ ))) a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
CEPREUNA–SOC–2013
c) 3
543
JOHN MAMANI M. a) 1/2 d) 3
3
45. Si: a ∗ b= 2b − 16a Halle: E = a) 8 d) 10
3
4∗
3
4 ∗ 3 4 ∗ CEPREUNA–SOC–2013
b) 2 e) 4
c) 12
UNAP–SOC–2007/2012
b) 3 e) 7
c) 2
47. Se define en :
m ∗ n= m(n ∗ m)2 ; (m ∗ n) ≠ 0 Calcule: 8 ∗ 1 a) 1/2 d) 2/5
b) 1/3 e) 7/6
c) 1/4
UNAP–2004
3
c) 1/2
UNAP–2001
49. Si: (b ∗ a) = a(a ∗ b) ; a ∗ b > 0 Hallar: 24 ∗ 3 UNAP–2006/2007
b) 7 e) 10
c) 6
Encuentre el valor de: 4 E= + 9 − 1, 5 − π + 4,7 5
a) 6 d) 8
c) 5
a+ b b+c a= b + a−b b−c c Entonces, hallar: 14 10 8
b) 36 e) 48
c) 14
Calcule: 2 + 2 1
c) 24
a) 11 d) 13
2
UNAP–EXT–2004
b) 19 e) 16
55. Sea el operador:
CEPREUNA–2011
51. Se define:
3 4 3
+
4 6 5
CEPREUNA–SOC–2012
b) 9 e) 1
c) 12
2
a ∗ b = 2( b ∗ a ) − ab 4
3∗2
2
56. Se define el operador: a b= a − 3b Halle:
6 UNAP–2007
544
UNAP– EXT–2013
b) 7 e) –3
a = a 3 − 2bc b c
50. De acuerdo a: a ∗= b 2a b ∗ a ; a ∗ b > 0 Halle: 1 ∗ 27
Calculemos el valor de:
c) 16
53. En se define: x = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈
a) 15 d) 10
2
a) 30 d) 25
UNMSM–2007
b) 14 e) 18
54. Se define:
b) 1 e) 1/3
a) 9 d) 8
3
a ⊗ 3 b = 3(b ⊗ 3 a ) − 4a Calcule: 8 ⊗ 2
b 3 , calcular: (2 ⊗ 8) 48. Si: a ⊗ b = 2 (b ⊗ a)
a) 3/2 d) 10
c) –1
52. Se define el operador "⊗ " se cumple
a) 15 d) 13
46. Se define el operador: x ∗ y = x − y + 2(y ∗ x ) Hallar: 12 ∗ 3 a) 5 d) 8
b) 7 e) 1
2 1
4 2 UNAP–EXT–2011
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) –11 d) –29
b) 21 e) 18
c) 10
x 1 1 2 x 1 + = 2 x 3 x 2 4 3
57. Sea el operador:
a 2 = a − bc b c
a) 4 d) –1
Calcular:
1
1 1
b) 190 e) 165
3
3
c) –2
c) 145
a c = ad − bc b d Hallar “m” en:
4 1 3 n 5 1 + = 6 5 1 m n m CEPREUNA–2006/2012
b) 7 e) 5
c) 9
b = ad − bc d valor que satisface la
1 2 1 x 2
UNAP–EXT–2004/2005
58. Se define:
a) 4 d) 0
a b c d= ac − bd Halle “x” en: x + 1 2( x + 1) x − 1 x + 2 = 5 3 − 4 1 b) 7/5 e) 3/4
UNAP–2005/2006
=
x
2 3 x 7 CEPREUNA–ING–2013
c) 1
6
62. Sabiendo que: m = n m −n
6
Calcule el valor de:
1 2 + 2 3 + 3 4 + + 9 10 a) 444444 d) 999999
b) 777777 e) 555555
a+b ;a≠b a−b
x = 3∧ y 3 = 4
Además:
4
Calcule:
3x y
a) 14 d) 10
CEPREUNA–2009
c) 888888
b) 12 e) 13
UNAP–BIO–2013
c) 11
c) 4/3
64. Para todo número real, definimos x , como: 2
= x x − 1.
60. Definimos a b = ad − bc c d
Halle el mayor número que satisface la ecuación. Academia GAUUS
3
b) 2 e) 3
63. Se define: = a b
59. Si:
a) 1/2 d) 5/7
b) –3 e) 3
a c Halle el mayor ecuación:
4
2 2
a) 4 d) 1
1
UNAP–BIO–2007/2012
61. Se tiene el operador: 4
a) 154 d) 160
0
Según
esto,
¿Cuál
es
resultado al efectuar el producto de
el 3
por 4 ? CEPREUNA–SOC–2012
545
JOHN MAMANI M. a) 120 d) 420
b) 12 e) 520
c) 320
x+1 ; x>1 x −1 Halle el valor de “x”, si:
69.= Si: x
65. Sabiendo que:
x
x= 2 x − 1 x= 3 x + 1
a) 3 d) 5
Calcular: 3 a) 20 d) 14
b) 12 e) 16
CEPREUNA–SOC–2012
66. Se define el operador: x =
Calcule:
2
c) 18
CEPREUNA–BIO–2013
c) 2
n =
70. Se la operación
valor entero de “n” en x+1 x −1
a) 4 d) 2
200 operadores b) 9 e) 2
+2 x +4= 19
b) 4 e) 1
3n + 2 , entonces el 2n n = n; es: UNAP–ING–2007/2014
b) 4 e) 5
c) 27
71. Se define lo siguiente: = n n n +1
UNAP–2003
a) 3 d) 1
2
c) 8
= m x m −1 a= 2a + 4
67. Si: x = x( x + 1) − x( x − 1)
Calcule el valor de:
Halle: −2
S = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 CEPREUNA–2009
a) 10100 d) 22000
b) 20200 e) 0
c) 11000
a) 2 d) 3
b) 1 e) 0 2
x= x + 1
x = 2x
2
x= x − 1
x= 3 x − 1 x= 2 x + 1
Evaluar:
Calcular “n” en:
UNAP–BIO–2012
c) 6
4
a 4
a) 2(a + 1) b) 2(a − 1) 4
d) a + 1 73. Si:
x =
546
+
a
UNAP–EXT–2000
n−4 + 4 + 5 = 26 b) 5 e) 8
UNAP–2007
72. Se define
68. Se define los operadores:
a) 4 d) 7
c) 4
c) 2a
4
4
e) a − 1
x+1 x −1
y
x −1 x+1 Academia GAUUS x =
JOHN MAMANI M. Calcular:
79. Si: m + 1 = 2m + 1
x
4 + 6
Calcular:
a) x + 1 x+1 d) x −1
UNAJ–2014
b) − x
c) x − 1
e) x
a) 20 d) 35
UNAP–SOC–2012
b) 28 e) 24
c) 23
80. Si: 2 x + 1 = 3 x − 2
2
74. Se define: f ( x − 2) = x + 3 x + 1 Calcular: f (3)
Hallar:
11 + 9
UNAP– EXT–2001
a) 42 d) 39
b) 40 e) 41
c) 43
a) 13 d) 23
75. Se define: f (5 x − = 3)
x+7 +
2x + 7x + 2
Halle: f ( f (7) + 4 ) a) 4 d) 3
c) 8
3 + 7
UNAP–2005
76. Si: 3 x − 1 = 2 x + 5
a) 25 d) 10
b) 125 e) 15
82. Si:
x − 1 = 2x + 5
c) 22
Halle: − 2
77. Se define el operador:
x + 1 = 2x − 1 Halle el valor de: 3 − 2 a) 3 d) 1 78. Se define: Calcule: a) 42 d) 121
a) 22 d) 15
c) 29
UNAJ–2014
83. Si se sabe que: c) 8
x−8
= 3 x + 1 ; x + 3 = 12 − 2 x
Calcular: 2
x + 2 = 3x + 1 3 + 4 + 5 3 b) 99 e) 101
b) 10 e) 21
CEPREUNA–BIO–2014
b) 6 e) 0
Academia GAUUS
UNAP–1998
= x 3x − 1 UNAP–ING–2011
b) 23 e) 25
c) 60
2
Calcular: el valor de: 5 + 14 a) 20 d) 24
c) 10
81. Si: 2 x + 1 = 5x Hallar:
b) 7 e) 5
CEPREUNA–2010
b) 31 e) 33
CEPREUNA–2009/2010
6
a) –68 d) 28
+
b) –31 e) 42
7 CEPREUNA–2005/2012
c) 37
c) 84
547
JOHN MAMANI M. 2
84. Si: x + 3 = x − 1 , halle el valor de: a+2 − 2
E =
a−2
2
2
b) a
3
e) a + 1
d) a + 1
4
2
x + 2 = x + 4x + 5 ,a≠2 CEPREUNA–2011
a) a − 1
89. Se define en
c) a
2
Calcule: 2 + 3 + + 20 a) 2888 d) 2878
CEPREUNA–ING–2014
b) 3002 e) 2856
c) 2869
90. Se define:
85. Si:
2
x= x − 25 y
a ∗= b 4a ; a ∗ b > 0 2
a+1 = a + 4
Calcular: 37 + 21
Calcular: 10 ∗ 80 a) 5 d) 11
x= x( x + 10)
UNAP– EXT–2006
b) 7 e) 3
c) 9
a) 72 d) 66
UNAP–SOC–2012
b) 70 e) 68
c) 64
91. Dado el operador en
86. Se define: = x 2 x
∧
x
n= +1 n
+
2
= x +2 y
= 4x + 2
x
Calcule el valor de:
Calcule: A= 6 + 4 − 5 a) 10 d) 5
c) 8
1 1 2 87. Si: θ x + = x + 2 x x Calcule: θ(5) a) 25 d) 22
999 operadores
UNAP– EXT–2008
b) 2 e) 7
a) 4 d) 3
4
b) 7 e) 5
c) 23
UNAP–2008
92. Se define en
+ 2
x = x − 10 x−2 = x
x+2
x= x ( x − 6)
Hallar los valores de “n” en: n
548
c) 8
CEPREUNA–SOC–2014
b) 21 e) 24
88. Se define:
a) 1 y 7 d) –1 y 1
= 3n
Hallar:
−1
b) 6 y 8 e) 6 y 7
UNAP–2001
c) 1 y 6
a) 14 d) 12
5 2
b) 17 e) 10
UNAP– EXT–2001
c) 13
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 93. Dados los operadores: 4x − 3 y x =
x
8x + 9 =
97. Se define: x =9 Determine el valor de A: A=
x
Calcular: a) 8 x + 3 d) 4 x − 5
b) 4 x + 5 e) x + 1
CEPREUNA–ING–2013
c) 8 x − 3
a) 37 d) 100
+
x
x
b) 64 e) 93
+
x
2
UNAP–ING–2015
c) 27
98. Para cualquier número entero se define el operador:
94. Se define: x= 3 x + 6 ;
x+1
=3 x − 6
= x x ( x + 1)
Halle “n” en:
Calcule:
n − 36 = 240
10
a) 42 d) 23
b) 31 e) 13
c) 32
UNAP–2008
a) 151 d) 18
b) 16 e) 42
UNAP–BIO–2015
c) 51
+
99. Se define en :
95. Si:
a(a + 1) 2 Halle el valor de “x” si: a =
x+4
= x+3
3 x − 10 x + 3 = 3x + 1
Calcular: el valor de: a) 3 d) 6
a) 2 d) 5
5 +1
b) 4 e) 7
CEPREUNA–ING–2014
c) 5
96. Se define: x − 1 = 2x + 1
2x − 3 ; si x es par x= 5 2 x + 2 ; si x es impar 4 Halle el valor de: UNAP–EXT–BIO–2015
a) 4 d) 5
2 + 5
Academia GAUUS
c) 4
10 + 8 + 7 − 11
Calcular el valor de:
b) 77 e) 78
UNAP–EXT–ING–2015
100. Sea
x + 1 = 8x + 9
a) 76 d) 82
b) 3 e) 6
= 21
b) 2 e) 6
c) 3
UNAP–EXT–2014
c) 80
549
JOHN MAMANI M.
Operadores Binarios CAPÍTULO XIX OPERACIÓN BINARIA Se presenta mediante de una tabla de doble entrada. OPERADOR
CONMUTATIVA Presentación Algebraica Presentación Tabular “El orden de los operandos no altera el resultado final”
Fila de entrada
∗ a Columna b de entrada c d
a c d a b
b d a b c
c a b c d
d b c d a
Cuerpo de la tabla (son los resultados)
Elementos que han participado en la operación.
a*b=b*a
c c a b
Mantén el mismo orden ∆
a b c d
550
b a b c d
c b c d a
La matriz es simétrica con respecto a su diagonal principal
d c d a b
Filas iguales
Columnas iguales
−1
−1
)
−1
a∗a = a
∗ a= e
e = elemento neutro
Presentación Tabular Presentación Algebraica En el conjunto: Dado el Conjunto: A = {1, 2, 3, 4} A = {a, b, c, d} Se define: y la operación a*b=d * 1 2 3 4 Los A
a d a b c
ELEMENTO INVERSO (a
CLAUSURA O CERRADA
Si: a,b A ⇒ d
4 2 4 1 3
a ∗ e = e∗a = a
a
2 3 4 1
3 4 3 2 1
∴ e= b
PROPIEDADES
1 2 3 4
2 1 2 3 4
En tablas (Criterio de intersección) Veamos:
2º elemento
1º elemento
1 3 1 4 2
ELEMENTO NEUTRO (e)
En la tabla Ubicar el primer elemento en la columna de entrada y al segundo elemento en la fila de entrada, el resultado de la operación le encontramos en la intersección de la columna de la fila del primero y el segundo elemento, veamos:
∗ a b a a b b b c c c a
* 1 2 3 4
3 1 2 4
1 2 3 4
4 3 1 2
elementos de la tabla pertenecen al conjunto A.
−1
−1 1 = elemento inverso de a a ≠ a
En la tabla: Se busca el elemento neutro y se considera todos iguales a él. Se traza una ele volteada →↑ es decir: ∗ a
a
−1
e
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERACIÓN BINARIA 6∗ 4 46 2 1 = E = 46 23
PROBLEMA 01
E=
Se define: ∗ 6 4 2 6 4 2 6 4 24 26 46 2 6 4 2
Calcular: a) 1/13 d) 1
E=
(6 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 4) (4 ∗ 2) b) 13 c) 1/23 e) 2
PROBLEMA 02 Dado la tabla: ∗ 1 2 3 4
Resolución Forma de ubicar valores en la tabla: ∗ → b ⇒ a∗b = R ↑ a R De la tabla obtenemos los siguientes valores: 6∗ 2 = 6 2∗ 4 = 4 4∗2 = 46 Remplacemos en la incógnita (6 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 4) E= (4 ∗ 2)
Calcular:
1 4 1 2 3
2 1 2 3 4
3 2 3 4 1
4 3 4 1 2
[ (2 ∗ 1) ∗ (3 ∗ 4)](2∗2)
a) 49 d) 9
b) 16 e) 36
c) 25
Resolución De la tabla:
M=
[ (2 ∗ 1) ∗ (3 ∗ 4)](2∗2)
M=
[ 1 ∗ 1] 2 2
= M 4= 16
¡Comprueba lo que sabes! 01. Dada la siguiente tabla: ∆ 1 2 1 2 4 2 4 1 3 1 3 4 3 2 Calcular: (3∆ 2) + (4 ∆ 2) a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 Academia GAUUS
02. Dada la tabla 3 4 1 3 3 2 2 4 4 1
c) 3
⊕ 1 2 3
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
Calcular: E = (2 ⊕ 1) ⊕ (3 ⊕ 2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
551
JOHN MAMANI M. 03. De acuerdo a: ∗ a b c Reducir: E = a) a d) c
a a b c
b b a c
c c c a
((a ∗ b) ∗ c) ∗ a a ∗ (b ∗ c) b) 0 c) b e) 1
04. Dada la tabla ∗ 1 2 3 Calcular: R = a) 1 d) 4
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2
Calcule [ ((a ∗ b) ∗ c) ∗ (d ∗ a) ] ∗ d c) c
Calcular: a) a d) d
552
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
P = [ (b a) (c c)] d b) b e) e
6 6 8 2
8 8 2 4
2 4 6
∗ 1 2 3 4
1 4 1 2 3
2 1 2 3 4
3 2 3 4 1
4 3 4 1 2
(2 ∗ 3) ∗ (3 ∗ 1) (1∗ 3) Calcular: + (2 ∗ 4) (3 ∗ 4) a) 7 b) 17 c) 19 d) 16 e) 25
09. Dado la tabla
⊗ 1 2 3
1 1 2 3
2 2 3 1
3 3 1 2 (2⊗ 2)
06. Dada la tabla a b c d
4 4 6 8
Halle el valor de: (4 ∗ 2) ∗ (4 ∗ 6) 2 ∗ 4 P = + (8 ∗ 2) ∗ (6 ∗ 8) 8 ∗ 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
(3 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 3) 2∗1 b) 2 c) 3 e) 6
b) b e) e
se define la operación ∗
08. Dado la tabla:
05. Se define en A={a; b; c; d} la operación matemática mediante la siguiente tabla: ∗ a b c d a c a b d b a b d c c b d c a d d c a b a) a d) d
07. En: A = [2; 4; 6; 8] mediante la tabla: ∗ 2 2 2 4 4 6 6 8 8
c) c
(3 ⊗ 2) ⊗ (2 ⊗ 1) Calcular: (3 ⊗ 2) a) 2 b) 4 c) 8 d) 1 e) 3
10. Dada la siguiente tabla: ∆ a b a b d b c a c d b d a c
c c d a b
d a b c d
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Hallar “n” en: (a∆n)∆c = (d∆b)∆c a) a b) b c) c d) d e) e 11. Se define en A={a; b; c; d} la operación matemática mediante la siguiente tabla ∗ a b c d a c d a b b b c d a c a b c d d d a b c Si: ((b ∗ c) ∗ x ) ∗ a = d Calcule el valor de: M = {(a ∗ x ) ∗ (c ∗ d)} ∗ x a) a b) b c) c d) d e) e 12. Se define en A={1; 3; 5; 7; 9} la operación matemática mediante la siguiente tabla ⊕ 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 Hallar “x” en: (3 ⊕ 5) ⊕ (1 ⊕ x ) = 7 ⊕ 9 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 13. Se define en A={a; b; c; d} la operación matemática mediante la siguiente tabla @ a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d
14. Calcule “x” según la tabla: @ 1 2 4 1 4 8 2 2 8 9 8 4 2 8 4
a) 1 d) 4
8 1 4 9
9 9 2 1
8
9 4 1 2 8
9
1 9 2 8 4
(8 @9)@(8 @ 8) = (8 @ x )( x @9) (9 @9) b) 2 c) 3 e) 5
15. De la siguiente tabla: ∗ 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 5 2 1 2 3 5 0 3 2 3 5 0 1 4 3 5 0 1 2 5 5 0 1 2 3 Halle “x” en: (( x ∗ x ) ∗ 1) ∗ (3 ∗ 5) = (1 ∗ 4) ∗ (3 ∗ 2) a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 5 16. Se define la operación matemática ∗ a b c d a c a d b b a d c d c d c b a d b d a c Halle el valor de “x” en: ( ((a ∗ b) ∗ b) ∗ b) = (c ∗ d) ∗ (x ∗ d) 2014 operadores
a) a d) d
b) b e) e
c) c
Determine el valor de “n” en: [(n @ b)@c]@(d @ d) = (a @c)@ b a) b b) c c) a d) d e) a ó b Academia GAUUS
553
JOHN MAMANI M. REGLA DE FORMACIÓN PROBLEMA 01
PROBLEMA 02
Se define en una operación representada por ∗ , mediante la siguiente tabla: ∗ 2 3 4 5 2 10 12 14 16 3 13 15 17 19 4 16 18 20 22 5 19 21 23 25
Se define la siguiente tabla ∗ 1 3 11 6 20 9 29 12 38
Calcule: 9 ∗ 8 a) 40 b) 41 d) 44 e) 45
Determine el valor de 32 ∗ 18 a) 112 b) 124 c) 132 d) 164 e) 196
c) 43
operación en la presente 2 13 22 31 40
3 15 24 33 42
4 17 26 35 44
Resolución
Resolución Notamos que los elementos de la tabla presentan una cierta formación; por lo tanto la deducimos tomando algunas operaciones de la tabla: 2 ∗ 3 = 12 = 3(2) + 2(3) 3 ∗ 5 = 19 = 3(3) + 2(5) 4 ∗ 4 = 20 = 3(4) + 2(4)
Busquemos la regla de formación de la tabla 3 ∗ 2 = 13 = 3(3) + 2(2) 9 ∗ 4 = 35 = 3(9) + 2(4) 12 ∗ 2 = 40 = 3(12) + 2(2) La regla seria:
a ∗ b = 3a + 2b
Hallando lo que pide: 32 ∗ 18= 3(32) + 2(18)
Luego: m ∗ n= 3m + 2n Hallando lo que pide: ∴9∗8 = 3(9) + 2(8) = 43
32 ∗ 18 = 132
¡Comprueba lo que sabes! 01. Dada la tabla: ⊗ 1 2 3
1 2 3 4 6 8 6 8 10 8 10 12
Calcular el valor de: M = (13 ⊗ 4) ⊗ 5 a) 72 d) 78
554
b) 74 e) 76
c) 70
02. Se define una operación mediante la tabla: ∗ 1 2 3 4 1 3 5 7 9 2 7 9 11 13 3 11 13 15 17 4 15 17 19 21 Calcule 21 ∗ 20 a) 121 b) 120 d) 138 e) 136
c) 170
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 03. Dada la siguiente tabla
4 5 ∗ 2 3 1 2 3 4 5 2 4 9 16 25 4 16 81 256 625 Halla el valor de M = (3 ∗ 5) + (2 ∗ 15) a) 160 d) 320
b) 420 e) 350
04. Dada la siguiente tabla ∗ 1 2 1 2 5 2 5 8 3 10 13 4 17 20
A = ( 3 * 2 3) 27
c) 180
3 10 13 18 25
Halle el valor de 12 ∗ 15 a) 169 b) 369 d) 225 e) 900
4 17 20 25 32
c) 400
# 1 2 3 4 1 1 9/4 4 25/4 2 9/4 4 25/4 9 3 4 25/4 9 49/4 Hallar: 1/2 # 3/4 a) 64/25 b) 25/64 d) 25/9 e) 4/9
c) 36/64
06. Se define la tabla: # 1 2 3 4 1 5 7 9 11 2 8 10 12 14 3 11 13 15 17 4 14 16 18 20 Calcule: M =
(8 # 3) + (7 # 5) (4 # 8)
a) 61/28 d) 30/68
b) 50/68 e) 81/68
a) 12 3
b) 13 3
d) 15 3
e) 16 3
c) 14 3
08. Si: ∗ 2 5 8
1 5 9 3 15 27 9 21 33 15 27 39
13 39 45 51
11 21 33 45 57
05. Si:
Academia GAUUS
07. En la siguiente tabla operativa: ∗ 1 2 3 4 1 5 3 1 − 11 2 12 10 8 6 3 19 17 15 13 Calcule el valor de:
Halle: (2003 ∗ 1) − (2 ∗ 2001) a) 2002 b) –2002 c) –2000 d) –1998 e) 2000 09. Si: ∗ 1 2 3 123 312 123 312
Calcule: [(1 ∗ 2) ∗ 3] ∗ [(3 ∗ 2) ∗ 1] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Si la siguiente tabla es conmutativa en el conjunto A = {1; 3; 5; 7}, y se define por: ⊗ 1 3 5 7 1537 3751 5173 7315 1537 Entonces reduzca el valor de: (3 ⊗ 5) ⊗ (1 ⊗ 5) (7 ⊗ 5) ⊗ (3 ⊗ 7) ⊗ (5 ⊗ 3) ⊗ 1 ⊗ 3 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
c) 51/68
555
JOHN MAMANI M. ELEMENTO INVERSO EN TABLAS Calculemos b ∗ d en tabla
PROBLEMA 01 De la tabla: # a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c −1
(d ∗ a −1 )−1 ∗ b −1 Halle: E = a) a b) b c) c d) d e) e
Resolución Calculando el elemento neutro # a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a ⇒ e= a b c
d d a b c
−1
E=a
PROBLEMA 02 En el conjunto: A={–2; –1; 0; operación. ∗ −2 −1 0 −2 −1 0 1 −1 0 1 −2 0 1 −2 −1 1 −2 −1 0 −1
Calculando las inversas: # a b c d
E = [a]
−1
Si: ( x ∗ 1) ∗ (− 2 ∗ 0) Entonces “x” es: a) 0 b) –1 d) 1 e) 4
⇒
(d ∗ a −1 )−1 ∗ b −1 E=
556
−1
c) –2
Resolución Las inversas son
−1
=a
b
−1
=d
(− 2)
−1
=c
(− 1)
−1
=b
c
−1
−1
−1
= −2
−1
= 1
= 0 0 = −1 1
Nos piden calcular “x” en: ⇒ (x
−1
∗ 1)
(x
−1
−1
−1
−1
= (− 1)
−1
= (− 1)
∗ (− 2 ∗ 0)
∗ 1)
−1
−1
∗ (1)
−1
−1
−1
( x ∗ 1) ∗ 1 =− 1
−1
E = b ∗ d
−1
De la tabla:
a
d
−1 E = (d ∗ a) ∗ d Calculemos d ∗ a en tabla −1 E (d) ∗ d =
= (− 1)
1 −2 −1 0 1
El elemento neutro es e = 1
Ahora, calculemos lo que nos pide:
−1
−1
1}, se define la
−1
⇒ (x
−1
(x
−1
∗ 1)
−1
= −1
−1
= (− 1)
∗ 1)
−1
−1
x ∗ 1 =− 1 ↓ − 1 ∗ 1 =− 1
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. −1
= −1
−1
= (− 1)
⇒x x
2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 2 [
−1
2
x ∗ 1) = ⇒ 2 ∗ ( 2
∴ x =− 1
3
PROBLEMA 03 Se define en A={1; 2; ∗ mediante la tabla. ∗ 1 1 3 2 4 3 1 4 2
3; 4} la operación binaria
⇒ x ∗1 = 3 ↓ 1∗ 1 = 3 1 ∴x =
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
De la tabla: El elemento neutro es e = 3 Las inversas son
Donde a a) 1 d) 3
−1
−1
∗2
−1
−1
−1
−1
= 2 4= 4 2
Si: [ 2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 1 ∗ 4 Calcule: R = (1
−1
= 1 1= 3 3
) ∗ (x
−1
∗ x)
Nos piden calcular:
−1
es elemento inverso de a. b) 0 c) 2 e) 4
R = (1
−1
∗2
−1
) ∗ (x
R = (1
−1
∗2
−1
) ∗ (1
R = (1 ∗ 4) ∗ (1 ∗ 1) R= 2 ∗ 3
Resolución
−1
∗ x)
−1
∗ 1)
−1
−1
−1
−1
R= 2 ∗ 3
Con la tabla calculamos:
R=2
⇒ [ 2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 1 ∗ 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define la tabla: @ 1 3 5 7 −1
02. Se define: 1 5 7 1 3
3 7 1 3 5
5 1 3 5 7
7 3 5 7 1
Calcule: A = 3 sabiendo que “ a elemento inverso de “a”. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10
Academia GAUUS
@ 1 2 3 4 −1
” es el
Donde: a Calcule:
−1
2 2 3 4 1
3 3 4 1 2
4 4 1 2 3
elemento inverso de a. (4 @ 2
a) 1 d) 4
1 1 2 3 4
b) 2 e) 0
−1
)@(3
−1
@1)
c) 3
557
JOHN MAMANI M. 03. Se define la tabla: ∆ 1 2 3 4
06. Se define el operador (@) @ 3 1 4 1 2 4 1 2 1 3 2 3 4 2 3 4 3 1 4
1 2 3 4 3 1 4 2 1 2 3 4 4 3 2 1 2 4 1
3
−1
−1
Calcular: E= Donde: a a) 1,5
−1
d) 0,5
(1 ∆ 2
2 ∆(1
)∆(3
−1
∆4
∆ 4)
−1
04. Se define el operador ∗ mediante la tabla:
Donde: a Calcular:
−1
2 2 3 1
(
−1
∗3
−1
)
−1
b) 2 e) 5
∗1
−1
c) 3
a
−1
b a b c
c b c a
: elemento neutro de “a”
Halle: E = (a ∗ c) a) 1 d) b
a c a b
−1
b) c e) 0
b) 2 e)1/2
c) 3
07. En la tabla: % −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 Donde: a
−1
elemento inverso de a.
−1 −1 Halle: E= (− 1) %2 a) –1 b) 2 d) 3 e) 4
∗b
−1
c) 0
5 2 3 4 5 1
Halle el valor de c) a
−1 M = (4 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 1)
a) 7 d) 1
558
elemento inverso de a.
08. Dada la siguiente tabla binaria ∗ 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5
05. Dada la siguiente tabla:
∗ a b c
a) 1 d) 4
3 3 1 2
elemento inverso de a.
E =2
a) 1 d) 3
1 1 2 3
−1
3 −1 @ 2 −1 −1 −1 @(2@ 3 ) 4 −1 @1−1
)
elemento inverso de a. b) 1 b) 2 e) 0,6
∗ 1 2 3
Donde: a Halle:
2 3 4 1 2
b) 5 e) 11
−1
∗5
−1
c) 3 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 09. En el conjunto A={0; 2; 4; 6; 8} definimos la operación representada por @, mediante la siguiente tabla @ 0 2 4 6 8 0 4 6 8 0 2 8 2 4 6 8 0 6 0 2 4 6 8 4 8 0 2 4 6 2 6 8 0 2 4 Calcule:
)
(
)
(
−1 −1 −1 −1 −1 −1 @ 6@8 2 @6 @4
a) 5 d) 4
b) 7 e) 6
12. Se define: @ 1 2 3 4 Donde: a
−1
2 2 4 6
4 4 6 2
6 6 2 4
−1
−1 −1 −1 Calcule: x en: 2 @ 3 = x
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
∗ 1 2 3 4
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
2 2 4 1 3
)
(
Donde: a a) 0 d) 3
4 2 3 4 1
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
)
(
−1
elemento inverso de a. b) 1 c) 2 e) 4
14. Si: ∗ 3 4 5 6 3 6 3 4 5 4 3 4 5 6 5 4 5 6 3 6 5 6 3 4
−1
es el elemento inverso de m. b) 2 c) 0 e) 4
Academia GAUUS
1 1 2 3 4
−1 −1 −1 −1 ∗ x ∗ 4 ∗ 2 ∗ 3 = 1 2 ∗3
−1
−1 −1 −1 −1 Calcule: R = (4 ∆ 3 ) ∆ 2
−1
c) 3
Calcular “x” en:
11. De la tabla:
Donde: m a) 1 d) 3
4 4 1 2 3
A={1; 2; 3; 4}
2(6 ∗ 4) + 3(4 ∗ 2) b) 30 c) 28 e) 36
∆ 1 1 3 2 4 3 1 4 2
3 3 4 1 2
13. Definamos la operación (∗) en el conjunto
c) 9
Halle: a) 32 d) 24
2 2 3 4 1
elemento inverso de a.
10. Sea ∗ el operador finido por la tabla: ∗ 2 4 6
1 1 2 3 4
Calcule: “x” en: (x
−1
∗ 3)
−1
Donde: a
−1
elemento inverso de a.
∗ (6
−1
∗ 4)
−1
−1
= 5
559
JOHN MAMANI M. a) 8 d) 3
b) 6 e) 4
c) –6
Calcule “x” en: −1
15. Se define: ∗ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
a) 8 d) 6
4 4 3 2 1
−1
Donde: a elemento inverso de a. Calcular “x” en: (2 −1 ∗ 3)−1 ∗ x ∗ (4 −1 ∗ 2) ∗ 3
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
−1
= 1
c) 2
conjunto A={1; 5; 8; 10} @ 8 10 1 5 8 5 8 10 1 10 8 10 1 5 1 10 1 5 8 5 1 5 8 10 Calcule: x en: ( x −1 @ 5)@ 8 −1 @1 = 10 −1 b) 10 c) 7 e) 5
17. Definimos la tabla: @ 0 0 4 2 6 4 8 6 0 8 2
560
18. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} Se define el operador mediante la tabla: ∆ 1 2 3 4 1 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 4 1 2 Calcule: “x” en: (2 −1 ∆ 3)−1 ∆x −1 ∆ ((4 −1 ∆ 2)−1 ∆ 3 −1 )∆ 3
16. Dada la siguiente tabla de doble entrada y de módulo 4, definamos la operación (@) en el
a) 9 d) 6
( x −1 ∗ 2 −1 ) ∗ (6 ∗ 8)−1 = 2 b) 0 c) 2 e) 4
Donde: a a) 1 d) 4
−1
4 8 0 2 4 6
6 0 2 4 6 8
8 2 4 6 8 0
=1
elemento inverso de a. b) 2 c) 3 e) 0
19. En el conjunto A={0; 1; 2; 3} Se define el operador @ mediante la tabla: @ 0 1 2 3 0 0 p 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 q r 3 −1
Donde: a elemento inverso de a. Sabiendo que @ es conmutativo. Halle: L = p
2 6 8 0 2 4
−1
a) 1 d) 4
−1
+1
b) 2 e) 5
−1
+q
−1
c) 6
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. OPERACIONES BINARIAS ARITMÉTICAS a♥ b = a + b − 7
PROBLEMA 01 Se define el operador: a♥ b = a + b − 7
−1
a = 14 − a
Calcular el valor de: = S 3
Además: a a) 13 d) 8
−1
−1
♥5
−1
Ahora, calculemos las inversas:
elemento inverso de a. b) 6 c) 12 e) 9
3
−1
= 14 − 3 = 11
−1
5 = 14 − 5 = 9 Remplazando en la incógnita
= S 3
Resolución
−1
♥5
−1
S = 11♥ 9
−1
OJO: a calcularemos multiplicando por (− 2) al término independiente de la regla de definición y luego le restamos (a).
Remplazando en la condición del enunciado S = 11 + 9 − 7 S = 13
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define : Si a
−1
es el elemento inverso de “a”
Calcular: 3 a) 2 d) 5
−1
b) 3 e) 9
02. Se define : Si a
−1
04. Se define:
c) 4
a∗b = a+ b− 5
es el elemento inverso de “a”
Calcular: 3 a) 2 d) 7
a ⊗ b = a + b − 100
a@b = a + b − 6
−1
b) 8 e) 9
c) 5
−1
Si a es el elemento inverso de “a” Calcular el inverso de 100 a) 100 b) 200 c) 300 d) 150 e) 122 05. Se define en : a ∗ b = a + b − 12 −1
Si a es el elemento inverso de “a” Hallar el inverso de 3 a) 1/3 b) 1/4 c) 21 d) 11 e) 12 06. Se define:
03. Se define: a∗b = a+ b+1 −1
Si a es el elemento inverso de “a” Calcular el inverso de –28 a) 26 b) 25 c) 24 d) 30 e) 32 Academia GAUUS
Si a
−1
x ∆ y = x + y − 10
es el elemento inverso de “a” −1
−1
Calcular: 20 + 5 + 10 a) 20 b) 25 d) –20 e) –10
−1
c) –25
561
JOHN MAMANI M. 07. Se define: Si a
−1
13. Si: a ∗ b = a + b + 3
m∗n = m + n − 2
es el elemento inverso de “a”
Calcular: 3 a) –6 d) –5
−1
−1
+ 7 + 10 b) –7 e) –8
−1
c) –4
Si a
Halle:= A 8 ∗ 18 a) 1 b) –4 d) –2 e) –5
−1
−1
−1
c) –32
es el elemento inverso de “a” −1
11. Se define: Si a
−1
c) –2,4
es el elemento inverso de “a”
Calcular: (8 a) –40 d) –35
−1
⊗ 2 ) ⊗ (2 b) –45 e) –30
−1
−1
⊗8 ) c) –50
12. Se define: m∗n = 4 + m + n Si a
−1
es el elemento inverso de “a”
Calcular: (2 a) –40 d) –41
562
−1
−1
∗ 7 ) + 12 b) –42 e) –44
) ∗ (3
−1
∗ 1) c) 3
es el elemento inverso de “a” −1
16. Se define : Si a
−1
−1
) − (20
−1
∗5 c) 4
−1
)
a∗b = a+ b+ 5
−1
−1
∗ 4 ) ∗ (2 b) –40 e) 45
−1
−1
∗6 ) c) –38
17. Se define: a ∗ b = a + b − 4 Halle: M = (2 Si a a) 0 d) 8
−1
−1
∗ 4)
−1
∗ (6
−1
∗ 8)
−1
es el elemento inverso de “a” b) –1 c) –4 e) 7
18. Se define la operación matemática: a∗b = a+ b− 5 Halle: ((3
c) –43
−1
es el elemento inverso de “a”
Calcular: (3 a) –45 d) 40
x⊗y = x+ 5+ y −1
−1
Calcular: (10 ∗ 15 a) 6 b) 2 d) 0 e) 1
−1
Halle:= A 5 ∗2 a) –1 b) –4 d) –2 e) –5
−1
a ∗ b = a + b − 20 Si a
10. Si: a ∗ b = a + b − 1 ∀ a, b ∈ , Si a
(4 ∗ 2 b) 2 e) 0
15. Se define:
−1
∗2 ) b) –30 e) –28
c) 3
Si a es el elemento inverso de “a” Determinar el valor de:
es el elemento inverso de “a”
Calcular: (5 a) –31 d) –29
−1
−1
a) 1 d) 5
a∗b = a+ b+ 8 Si a
−1
Halle: E = (3 ∗ 2 ) ∗ 3 a) –8 b) –7 d) 8 e) –11
c) –3
09. Se define: −1
es el elemento inverso de “a”
a∗b = a+ b− 2
es el elemento inverso de “a” −1
−1
14. Sabiendo que:
08. Si: a ∗ b = a + b − 9 ∀ a, b ∈ , −1
Si a
−1
∗2
−1
−1
)∗1 )∗ 0
−1
−1
Si a es el elemento inverso de “a” a) 19 b) 18 c) 14 d) 20 e) 24 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) –47/2 d) –35/2
19. Se define en : a∗b = a+ b− 5 Si a
−1
es el elemento inverso de “a”
−1 −1 −1 Calcular: (2 ∗ 5) ∗ (3 ∗ 4 ) a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 90
x∗y = x + y−7
20. Se define en : Si a
−1
−1
es el elemento inverso de “a” −1
−1 −1 Halle: (3 ∗ 5) + (6 ∗ 2) a) –11 b) –12 c) –13 d) –14 e) –15
21. Se define: a ∗ b = a + b − Si a
−1
5 4
−1
−1
+2 +3 b) 7/2 e) 1
22. Si: a ∗ b = a + b + Hallar: E = 5
−1
−1
c) 1/2
−1
+1
−1
13 23. Se define: m ∗ n = m + n − 2
es el elemento inverso de “a”
Calcular: (3 a) 13/2 d) 0
−1
−1
−1
∗ 10 ) + 13 b) 11/2 c) 11/3 e) –3
7 24. Se define: x ∗ y = x + y + 2
Si a
−1
es el elemento inverso de “a”
Calcular: 5
−1
∗8
Academia GAUUS
−1
es el elemento inverso de “a”.
−1
para dicha operación es de la forma Él 2 n/m, donde n/m es una fracción irreducible. Entonces “nm” es igual a: a) 5 b) 4 c) 6 d) 0 e) 1 26. Se define : a ∗ b = a + b − 2 −1
Si a es el elemento inverso de “a” Calcular “x” en: x = (x ∗ 5 b) 3 e) 7
a) 5 d) 1
−1
)+ 3 c) 2
27. Se define : a ∗ b = a + b − 7
x
−1
−1
Si a
4 3
−1
Si a es el elemento inverso de “a” a) –13 b) –14 c) –15 d) –23 e) –24
Si a
a⊗b = a+ b−
Si a es el elemento inverso de “a” Calcular “x” en:
5 2
+2
c) –51/4
25. Se define en :
−1
es el elemento inverso de “a”
Calcular: 1 a) 3/2 d) 5/2
b) –41/2 e) –3/2
−1
a) 5 d) 1
−1
=((2 x ) ∗ 10 ) + 2 b) 3 c) 2 e) 7
28. Se define en : a ∗ b = a + b + 2 Hallar el conjunto solución de: x∗2
−1
=5
−1
∗x
−1
−1
Si a es el elemento inverso de “a” a) 5/2 b) –5/2 c) 7/2 d) 1 e) –7/2 29. Se define en , la operación “ ∗ ”: a∗b = a+ b− 5 Resolver x
−1
∗2
−1
= 0
−1
Si a es el elemento inverso de “a” a) 22 b) 13 c) 18 d) 14 e) 10
−1
563
JOHN MAMANI M. OPERACIONES BINARIAS GEOMÉTRICAS PROBLEMA 01
ab =
Se define la operación matemática 7 a b = ab . 5 Calcule
a
−1
7 ab 5 =
25 49a
49 −1 −1 (7 ) + 4 1 . 25
Calculando las inversas de la incógnita 25 25 −1 −1 y 1 = 7 = −1 Considere que a es el elemento inverso de “a” 49(7) 49(1) a) 1 b) 3 c) 8 Calculando lo que pide: d) 9 e) 4 49 −1 −1 = M (7 ) + 4 1 25
Resolución
49 25 25 M = +4 25 49(7) 49(1) −1 OJO: a calcularemos invirtiendo el coeficiente M=3 de la regla de definición y luego elevarlo al 1 cuadrado y multiplicarlo por . a
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define en :
−1
Hallar: 2
es el elemento inverso de a.
(a
Halle 4 Si a
−1
a) 7 d) 8
b) 2 e) 1
02. Se define en :
Halle 7 Si a a) 7 d) 8
564
−1
03. Se define en :
ab a⊗b = 2
c) 0
−1
3ab a∗b = 4
−1
= es el elemento inverso de a)
a) 16/18 d) 13/18
b) 1/4 e) 13/3
c) 15/8
04. Se define: ab a∗b = 7
2 a×b 3 Halle el elemento inverso de 24. a = b
−1
es el elemento inverso de a. b) 2 e) 5
c) 4
Si a
−1
a) 32/3 d) 3/2
es el elemento inverso de a. b) 3/32 e) 1/29
c) 2/3
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 05. Se define en :
Si a
ab a∗b = 5 Determine el valor de: = E 25
Si a
−1
−1
+5
b) 5 e) 6
−1
Si a
−1
# 3)
a) 1 d) 8
−1
b) 1/3 e) 8/3
−1
Considere que a a. a) 1/2 d) 1/8
−1
(a
es el elemento inverso de
b) 4 e) 3
Si a
a) 123 d) 120
−1
−5 c) 4
−1
∗3
−1
b) 1/324 e) 1/438
c) 1/384
5 xy 12. Se define en : x ⊕ y = 2
Si a
b) 200 e) 25
−1
1 ∗ 4
c) 12
−1
a) 26 d) 84
2
es el elemento inverso de a.
Calcule:= A 4 −1
−1
12(b ⊗ a) 13. Se define en a ⊗ b = ab
c) 165
(3 −1 ∗ 2 −1 ) ∗ (1−1 ∗ 5 −1 )
−1
+9
= es el elemento inverso de a)
a) 120 d) 180
09. Se define en : a ∗ b = ab Calcule el valor de:
Academia GAUUS
1 2
−1
Si x es el elemento inverso de “x” Hallar: 1 −1 1 −1 4 −1 ⊕ ⊕ 50 25 25
es el elemento inverso de a. b) 115 e) 146
+3
−1
c) 1/4
−1 1 −1 1 E= (3 ∗ 2 ) ∗ (4 ∗ 5 )
−1
a) 1/225 d) 1/272
−1
08. Se define en : a ∗ b = ab Determine el valor de:
−1
−1
b) 2 e) 5
Hallar:= E 2
∆ 2) ∆ 1
1
11. Se define en : a ∗ b = 4ab
c) 5/3
07. Se define la operación matemática m ∆ n = 2mn Determine (4
nm 3
es el elemento inverso de a.
ab 4
es el elemento inverso de “a”
a) 1/6 d) 4/3
−1
Calcular: S =
Calcule: 4 #(2
c) 136
mn =
c) 30
a#b = −1
b) 120 e) 240
10. Definimos en :
06. Se define:
Si a
es el elemento inverso de a.
a) 64 d) 150
es el elemento inverso de a.
a) 3 d) 0
−1
−1
+9
b) 32 e) 94
−1
c) 52
565
JOHN MAMANI M. OPERACIONES BINARIAS MIXTAS PROBLEMA 03
Hallemos el elemento inverso ( a
Para los números reales se tiene la operación ∗ , definida de la siguiente forma: a ∗ b = a + b + 4ab Hallar el inverso de 4 para la operación ∗ a) –4/17 b) –4/7 c) –4/15 d) 4/15 e) 4/17
propiedad a ∗ a a∗a a+a
−1
a
), con la
= e
= e
−1
= 0
(1 + 4a) = −a
Resolución
a
Hallemos el elemento neutro (e), con la
propiedad a ∗ e = a
−1
+ 4a × a −1
−1
−1
−1
=
−a 1 + 4a
Hallemos lo que pide −4 4 −1 4 = = − 1 + 4(4) 17
a∗e = a a + e + 4ae =a
e(1 + 4a) = 0 0 (1 + 4a) ⇒e= 0 e=
¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define en : a ∗ b = a + b − 1 El elemento neutro en la operación es: a) 3 b) 6 c) 0 d) –3 e) 1
05. Se define en : a ∗ b = 1 + a + b El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –1 d) –2 e) 1
02. Se define en : a ∗ b = a + b + 20 El elemento neutro en la operación es: a) 20 b) 50 c) –10 d) –20 e) 10
06. Se define en : a ∗ b = a + 6 + b El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –6 d) –2 e) 6
03. Se define en : a ∗ b = a + b − 2 El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –1 d) –2 e) 1
07. Se define en : a ⊗ b = ab ¿Cuál es el elemento neutro de la operación? a) 2 b) 0 c) –1 d) –2 e) 1
04. Se define en : a ∗ b = a + b + 30 El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –1 d) –30 e) 30
08. Se define en : a ∗ b = 2ab El elemento neutro en la operación es: a) 1/2 b) 2 c) –1/2 d) –2 e) 1
566
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. La inversa de 2 para dicha operación “ ∗ ” es de la forma n/m. entonces “ a × b ” es igual a: a) –2 b) –60 c) –66 d) –77 e) –42
09. Se define en : a ∗ b = a − b + 6 Calcular el elemento neutro a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) no existe 10. Dada la operación binaria: a ∗ b = a + b + ab Calcular el elemento neutro. a) 1 b) 1/2 c) 0 d) –1 e) –2 p+q 11. Se define el operador: p ∗ q = 1 + pq ¿Cuál es el elemento neutro de la operación? a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) –1 2
12. Se define: x ⊗ y = ( x + y) − ( x − y) Calcular el elemento neutro. a) 2/3 b) 1/4 c) 4 d) 3/2 e) 0
2
13. En la siguiente operación matemática a ∗ b =−(b ∗ a) + 3a + 3b Halle su elemento neutro a) 3 b) 6 c) 0 d) –3 e) 1 14. Se define en : a ∗ b = a + b − 8 Halle la suma del elemento neutro con el inverso de − 25 a) 39 b) 37 c) 41 d) 43 e) 49
17. En × definimos: (a; b) ∗ (c; d) = (a + c − 4; 3bd) Calcular su elemento neutro a) (4;1/2) b) (4;2) c) (4; –2) d) (–4;2) e) (–4;1/2) 18. Se define en × : (a; b) ∗ (c; d) =(ad + bc;ac + bd) Si el elemento neutro de esta operación es ( x ; y), calcule el valor de x + y a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) –2 19. Se define en : a ⊗ b = a + b + ab Calcule " x + y " en el sistema:
−1
−1
a) –3/5 d) 5/7
a∗b = a+ b+
Academia GAUUS
5
−1
x+3
−1
y= − 10
x+7
−1
y= 2
( a = Elemento inverso de “a”) a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 21 20. En definimos la operación ∗ por la siguiente ley: a ∗ b = a − b + 2 −1
Si denotamos por a al inverso de a bajo la operación ∗ , calcule el valor de “x” de la siguiente igualdad x
−1
∗2
−1
a) 2
b) ∃
d) 1
e) 5
=5
−1
∗x
−1
c) –1
−1
( − 2) ∗ n = 3 b) 35 c) –5/4 e) –7/2
16. Se define en :
−1
−1
15. Se define en : a ∗ b= a(b + 1) + b a = Elemento inverso de “a” Halle el valor de “n” en:
2
4ab 3
21. Se define en la operación matemática conmutativa a ∗ b = (a + b) ∗ (b ∗ a) + (2a ∗ b) + (2b ∗ a) − 10
Determine el resultado de: E = (7 ∗ 5) + (4 ∗ 5) a) 6 b) 10 d) 5 e) 11
c) 7
567
JOHN MAMANI M.
04. Se define las tablas: # a b c d a a b c d b b d a c c d a d b d d c b a
01. Dada la tabla ∗ 2 3 5 7
2 5 7 2 3
3 2 3 5 7
5 3 5 7 2
7 7 2 3 5
UANCV–2014
3 b) 5 5 e) 3
5 c) 7
1 4 1 2 3
2 1 2 3 4
3 2 3 4 1
4 3 4 1 2 (2∗ 2)
[ (2 ∗ 1) ∗ (3 ∗ 4)] b) 16 e) 36
CEPREUNA–SOC–2014
c) 25
03. Consideramos al conjunto A={a; b; c} y definamos en este conjunto una operación ∗ definida por la tabla: ∗ a b c a b c a b c a b c a b c Calcule: (c ∗ a) ∗ b ∗ (a ∗ b) ∗ c a) 1 d) b
568
b) 0 e) c
c a c d b
d a d b c
UNAP–EXT–2012
a) a d) d
b) b e) –1
c) c
Hallar “x” en: (3# x )#(2 # 0) = (3# 3)# 0
Calcular:
a) 49 d) 9
b a b c d
05. Se define la operación # en: A={0; 1; 2; 3} # 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 3 0 2 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0
02. Dado la tabla: ∗ 1 2 3 4
a a a a a
Si: x = b#c Determine el valor de: (c # x )@(b # a)
Calcule el valor de: (2 ∗ 3) ∗ (5 ∗ 7) P= (3 ∗ 2) ∗ (7 ∗ 5) 2 a) 3 7 d) 3
@ a b c d
UNAP–EXT–2010
a) 1 d) 3
b) 0 e) 4
CEPREUNA–SOC–2014
c) 2
06. En el conjunto {0; 1; 2; 3} siguientes operaciones binarias: ⊕ 0 1 2 3 ⊗ 0 0 0 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 1 0 2 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 3 0
se define las 1 2 3 0 0 0 1 2 3 2 0 2 3 2 1
Resuelva la ecuación: (3 ⊗ x ) ⊕ 1 = 2 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
UNAP–EXT–2011
c) 2
c) a
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 07. De las siguientes tablas: ⊗ 1 2 ⊕ 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 1 3 3 3 1 2 Halle el valor de (a − b) si: (2 ⊗ a) ⊕ (3 ⊗ b) = 1 (3 ⊗ a) ⊕ (1 ⊗ b) = 2 a) 1 d) 2
1 3
11. Se define la siguiente tabla: ∗ 2 1 2 4 6 1 −3 −1
2
Calcule: (4 ∗ 40) + (3 ∗ 13)
3
CEPREUNA–2009
a) –14 d) –12
b) –17 e) –15
CEPREUNA–2011
b) –1 e) 0
c) –2
12. Si el operador ⊗ está definido por:
08. Se define en una operación representada por ∗ , mediante la siguiente tabla: ∗ 2 3 4 5 2 10 12 14 16 3 13 15 17 19 4 16 18 20 22 5 19 21 23 25
xy x⊗y = 6 Además: ⊗
b) 41 e) 45
UNAP–EXT–2009/2014
c) 43
Calcular: S = (5 ⊗ 1) + (6 ⊗ 2) b) 50 e) 20
3
6
a
3
b
6
c
4c 6
Calcule: a + b −
CEPREUNA–ING–2014
09. Se define la operación ⊗ mediante la tabla: ⊗ 2 3 4 2 4 3 2 3 7 5 6 4 10 9 8
a) 10 d) 30
2
2
Calcule: 9 ∗ 8 a) 40 d) 44
c) –13
a)
3+
d)
6 2
b)
3−
e)
3− 6 3
6
c)
6 6
13. Sea la tabla ∆ 3 4 5 3 A 5 7 4 5 V 11 5 7 11 E
UNAP–EXT–2005
c) 40
10. Se define: ⊕ 3 4 5 3 6 5 4 4 9 8 7 5 12 11 10
6
Calcule: " A + V + E " CEPREUNA–BIO–2014
a) 24 d) 22
b) 26 e) 30
c) 28
Hallar: S = (7 ⊕ 2) + (2 ⊗ 1) a) 17 d) 10
b) 23 e) 15
Academia GAUUS
c) 24
UNAP–2003
569
JOHN MAMANI M. 14. Se define en: L={2; 4; 6; 8} la operación # mediante la siguiente tabla # 2 4 6 8 2 6 8 2 4 4 8 2 4 6 6 2 4 6 8 8 4 6 8 2 a
−1
elemento inverso de “a”
Calcule: 8
−1
17. Dada la siguiente tabla ∗ 3 5 3 7 9 5 9 3 7 3 5 9 5 7
b) 4 e) 9
−1
E= (3 ∗ 7
c) 6
a
−1
elemento inverso de “a”
Calcule: 6
b) 4 e) 9
c) 6
2 2 4 6
4 4 6 2
6 6 2 4
Halle: 2(6
−1
∗ 4) + 3(4
−1
∗ 2) UNAJ–EXT–2013
a) 32 d) 24
b) 30 e) 36
−1
∗3
−1
)
b) 5 e) 2
c) 7
18. Se define en A={1; 2; 3; binaria ∗ mediante la tabla. ∗ 1 2 3 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4
4} la operación 4 2 3 4 1
Calcule: R = (1 Donde a
−1
−1
∗2
−1
) ∗ (x
−1
∗ x)
−1
es elemento inverso de a. CEPREUNA–BIO–2014
16. Sea ∗ el operador finido por la tabla: ∗ 2 4 6
) ∗ (5
Si: [ 2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 1 ∗ 4
−1 UNAP–SOC–2015
a) 2 d) 8
−1
UNAP–EXT–ING–2015
a) 3 d) 9
15. Se define en: L={2; 4; 6; 8} la operación # mediante la siguiente tabla # 2 4 6 8 2 6 8 2 4 4 8 2 4 6 6 2 4 6 8 8 4 6 8 2
9 5 7 9 3
es un elemento inverso de dicha Donde a operación. Calcule:
UNAP–SOC–2014
a) 2 d) 8
7 3 5 7 9
c) 28
a) 1 d) 3
b) 0 e) 4
c) 2
19. En el conjunto: A={–2; –1; 0; 1}, se define. ∗ −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 Si: ( x
−1
∗ 1)
−1
∗ (− 2 ∗ 0)
−1
= (− 1)
−1
Entonces “x” es: CEPREUNA–2006/2014
570
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 0 b) –1 c) –2 d) 1 e) 4
c) 1 d) 0 e) –1 23. Se define el operador @ por la regla:
20. Mediante la tabla: ∆ 1 2 3 4
a@b =
1 2 3 4 4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
−1
Calcule: 4 sabiendo que: elemento inverso de a.
3 4 1 2
(2 −1 ∆ 3)−1 ∆x −1 ∆ ((4 −1 ∆ 2)∆ 3 −1 )∆ 3 −1
−1
=1
es elemento inverso de a. CEPREUNA–SOC–2013
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
−1
es el
a) 9/13 b) 16/4 c) 4/16 d) 9/16 e) 16/9 24. Se define en : a ∗ b = a + b − 3 ¿Cuál es el elemento neutro? CEPREUNA–ING–2012
a) No existe b) 2 c) –2 d) 1 e) 3
21. Si: a ∗ b = a + b + 2. Si a
a
UNAP–2009
Calcule: “x” en:
Donde: a
2ab 3
−1
elemento inverso de “a”
Halle: E = (3 ∗ 2
−1
)∗ 3
−1 UNAP–ING–2013
a) –1 b) –3 c) 3 d) –6 e) 6 22. Se define : aθb = a + b − 4 Donde: a
−1
elemento inverso de a.
Calcular: M = (2
−1
θ 5)
−1
θ(6
−1
θ 8)
−1
CEPREUNA–2008
a) 5 b) 2 Academia GAUUS
571
JOHN MAMANI M.
Conteo de Figuras CAPÍTULO XX FIGURAS PLANAS CONVEXAS
Nº ∆ =
1. Número de segmentos Si se considera los puntos: 1
2
3
5
4
6
Nº seg =
m− 2 m−1 m
7
m(m − 1) 2
m(m − 1) 2
ó
Nº ∆ =
Donde: m: número de lados adyacentes a la base. n: número de espacios triangulares simples. Caso II: N
.. .
Si se considera los espacios: 1
2
3
5
4
n−1
6
4
n
3
n(n + 1) Nº seg = 2
1
3
2
...
4
m 2
. .. .
3
3 2
m−1
m(m 1) 2
ó
3
2
1
Nº
n(n 1) 2
Donde: m: número de rayos n: número de ángulos simples
1
572
3
2
3
4 4
5
mn(m + n) 2
n . .. .
..
3 2
1
2
n
Donde: m y n: indican la cantidad de espacios triangulares, pero si m = n ; entonces la fórmula se reduce a la siguiente forma:
3. Número de Triángulos Caso I:
1
1
... ...
4
Nº ∆ =
m
Nº
..
4
.. .. ..
n
1
Caso III:
1
.. .
2 n
n−1
n(n + 1) = Nº ∆ ×N 2
2. Número de ángulos agudos
1 2 3
n(n + 1) 2
... ...
n−1 n m− 2 m−1
2
3
4
Nº ∆ = n
... ...
1
n
3
m
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. Caso IV: n−1
.. .
.. .
n(n 1) m(m 1)
Nº
n n−1
n
2
5. Número de Cuadrados 1
4 . .. n
4 . ..
2 1 1
n
n(n + 1)(n + 2) 3
Nº
n(n 1)(2n 1) 6
6. Número de Triángulos Rectángulos
Caso IV: ..
. n
Caso I:
3
1 2
2
3
1
Nº ∆ =
n(n + 1)(n + 2) 6
1 2
3
4 .. . 4 . .. n
3
4 . .. n
Nº
=
n(n + 1) 2
Caso II:
4. Número de Cuadriláteros Caso I:
1
2
2
1 2 3 . . .
3
Nº= n(n + 1)
4 . .. n
n−1 n
Nº
7. Número de sectores circulares
n(n 1) 2
Caso I:
Caso II: 1 2 3 . ..
3
3
2
Nº ∆ =
2
2
3 3
2
1 2
3
n−1 n
Academia GAUUS
4
...
m
2 3
. . .
Nº sect. =
n(n + 1) 2
n
573
JOHN MAMANI M. Caso II 3
Nº octog. =
1
1 2
. .. . . .
4
2
n
n(n + 1) 2
10. Número de letras superpuestas
3
n=3
. . .
4=m
2
1 n
Nº= sect.
n(n + 1) ×N 2
1 2
n=3
8. Número de trapecios
(n + 1)(n + 2) 2 m(m + 1) Nº = 2
1
Nº =
2 3
. . . n−1 n
Nº sect. =
4=m
11. Número de semicírculos
n(n + 1) 2
9. Número de polígonos (exágonos, octógonos, etc.)
Caso I:
3
superpuestos:
4=D
2
1
1
2
4 n ... 3 2 1
1
2 3 ... n
3
n(n + 1) Nº exag. = 2
Nº semicir = 2D Caso II:
3 2
n
4
. ..
3 2 1 1 2 3 .. .
n
574
1 ... 2 3 4 = C
1
2
D=4
3
Nº semicir = 2CD Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 12. Número de triángulos formados por las diagonales de un polígono regular
CONTEO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO 1. Número de cubos
5=n
4 3
n(n − 3) D= 2
Nº= ∆ D(D + 2)
n=5
13. Número de segmentos entre rectas secantes 1
2
3
...
4
2 4
3
2
1 1
2
3
4
5=n
n(n + 1) Nº cubos = 2
2
n
2. Número de Paralelepípedos
1 2 3
4
4=p 3 3 2 2 n=6 5 4 3 2 1 1
n
Nº seg. = n(n + 1)(n + 2) 14. Número de triángulos de la forma siguiente:
..
3. Número de Pirámides
n 6=p
4 3
1
n(n + 1)(n + 2) 6
5
m=4
2
Nº ∆ =
4
3
3
2 1
2 2
Nº pirám=
Academia GAUUS
m
n(n + 1) m(m + 1) p(p + 1) Nº paralelepipedos = × × 2 2 2
. .... .
.
...
. ..
3
n=4 1
[ nm + (n − 1)(m − 1) + (n − 2)(m − 2) + ...] p
575
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA 01. ¿Cuántos triángulos y cuadrados hay en las siguientes figuras?
a) 11 y 8 d) 13 y 13
b) 12 y 8 e) 11 y 12
c) 13 y 9
02. ¿Cuantos triángulos hay en a figura?
a) 12 d) 16
b) 5 e) 9
05. ¿Cuántos triángulos hay en?
a) 10 d) 16
b) 12 e) 14
c) 13
06. ¿Cuántos segmentos hay en a figura?
c) 10
03. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 24 d) 18
b) 26 e) 27
c) 21
07. El número de ángulos agudos es:
a) 18 d) 37
b) 28 e) 41
c) 35
04. ¿Cuántos triángulos tienen al menos un “*”?
A) 9 d) 8
576
b) 10 e) 12
a) 10 d) 16
b) 12 e) 14
c) 13
08. En la siguiente figura. ¿Cuántos triángulos hay?
c) 7 a) 46 d) 21
b) 56 e) 36
c) 78 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 09. ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un (*)?
13. Calcular el número de cuadriláteros.
a) 316 d) 315 a) 10 d) 16
b) 12 e) 14
c) 13
b) 320 e) 318
c) 310
14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en?
10. ¿Cuántos sectores circulares hay en?
a) 45 d) 51
b) 49 e) 42
c) 50
11. El número de triángulos en a figura es:
a) 256 d) 190
b) 310 e) 118
c) 210
15. Hallar el número total de cuadriláteros en la figura adjunta.
a) 44 d) 48
b) 40 e) 36
c) 16
12. ¿Cuántos cuadriláteros hay como máximo en la figura?
a) 72 d) 82
b) 78 e) 86
Academia GAUUS
a) 1740 d) 1780
b) 1830 e) 1870
c) 1810
16. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
c) 80
577
JOHN MAMANI M. a) 100 d) 125
b) 93 e) 64
c) 81
17. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?
a) 60 d) 74
b) 68 e) 70
c) 72
18. ¿Cuántos cuadrados hay en total en?
a) 320 d) 152
b) 132 e) 201
c) 121
21. ¿Cuántos triángulos hay en?
a) 24 d) 21
b) 19 e) 22
c) 20
22. ¿Cuántos triángulos hay en?
a) 30 d) 165
b) 90 e) 225
c) 75
23. Calcular el número total de triángulos. a) 391 d) 803
b) 894 e) 791
c) 409
19. Hallar el máximo número de triángulos en a figura:
a) 1520 d) 1840 a) 24 d) 21
b) 19 e) 22
c) 20
b) 1540 e) 2100
c) 1270
24. ¿Cuántos cuadriláteros hay en?
20. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo menos tengan un asterisco hay en al figura?
a) 92 d) 218
578
b) 168 e) 351
c) 350
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. ¿Cuántos segmentos hay en total?
a) 11111 d) 21212
b) 12121 e) 22221
29. ¿Cuántos triángulos hay en?
c) 11112 a) 30 d) 165
26. Hallar el total de triángulos
b) 90 e) 225
c) 75
30. ¿Cuántos triángulos se encuentran como máximo?
a) 214 d) 215
b) 216 e) 220
c) 260
27. ¿Cuántos triángulos se encuentran que por lo menos tengan un asterisco en su interior?
*
a) 60 d) 45
a) 195 d) 55
2
3
b) 180 e) 100
... ...
10
c) 190
31. Determinar el número de cuadriláteros en:
*
*
1
*
* b) 55 e) 40
* c) 50
28. En la siguiente figura. ¿Cuántos triángulos poseen en su interior solo un asterisco?
a) 120 d) 200
b) 100 e) 150
c) 210
32. Total de triángulos:
* * * a) 5 d) 10
b) 6 e) 11
Academia GAUUS
c) 8
579
JOHN MAMANI M. a) 96 d) 168
b) 144 e) 170
c) 150
36. ¿Cuántos triángulos existen en la figura?
33. Señale el número total de triángulos en la figura:
a) 90 d) 95
b) 98 e) 81
c) 100
37. Hallar el máximo de cuadriláteros a) 28 d) 40
b) 25 e) 45
c) 32
34. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 500 d) 670
b) 730 e) 630
c) 315
38. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
a) 20 d) 26
b) 22 e) 28
c) 24
35. Cuántos triángulos existen en la figura:
a) 214 d) 210
b) 212 e) 208
c) 200
39. ¿Cuántos semicírculos hay en la figura adjunta?
a) 45 d) 62
580
b) 43 e) 40
c) 54
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 44
b) 24 e) 53
c) 36
40. Calcule el número total de triángulos en:
a) 20 d) 35
b) 25 e) 40
c) 30
41. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 32 d) 30
b) 34 e) 35
a) 17 d) 25
b) 18 e) 27
c) 20
44. Calcular el total de sectores circulares en:
a) 40 d) 38
b) 42 e) 48
c) 36
45. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
c) 31
42. ¿Cuántos sectores circulares presentan en su interior el asterisco?
a) 60 d) 61
b) 59 e) 62
c) 58
46. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?
* a) 9 d) 12
b) 10 e) 8
c) 14 a) 76 d) 81
b) 55 e) 123
c) 80
43. Determinar la cantidad máxima de triángulos en el gráfico.
Academia GAUUS
581
JOHN MAMANI M.
Áreas Sombreadas y Perímetros CAPÍTULO XXI Formula Trigonométrica
ÁREAS SOMBREADAS El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométricamente tradicional como los cuadriláteros, triángulos, círculos y polígonos en general. A veces debemos determinar el área para calcular otras variables como la cantidad y el costo de los materiales con los cuales se construye algo como un edificio (pisos, paredes, ventanas, etc.), o contenedores (cartón, acrílico, madera, entre otros). En esta unidad se presentan algunas regiones no convencionales para el cálculo de su área.
b
α
h
b
n
Triángulo circunscrito. a
A=
b
b
h× b 2
h
L
p(p − a)(p − b)(p − c)
582
b
a
a+ b+c 2
A=
a× b× c 4r
Círculo.
r
a+ b+c 2
A= π × r
2
Sector circular. A=
A=
L
Donde: p =
c r
Triángulo Equilátero
L
A= p × r
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
Donde: p =
c
b
r
Triángulo inscrito.
Formula de Herón a
A= m × n
m
c
h b
A=
ab Sen α 2
a Triángulo rectángulo circunscrito.
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
h
A=
2
L
3 4
h
2
3 3
r
α
A=
2
π× r × α 360
r
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. *
h
2
A=
r
πr 2
L1 + L 2 L1 A = 2
L2
r
h
h
r
A=
πr 4
2
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Cuadrado L
r
2
r
D
L
60º
A=
πr 6
A=L
L
A=
2
2
D 2
L
r
Rectángulo. r
h
A= b × h
2
πr A= 12
30º r
b Área de un paralelogramo.
Corona circular. A
B R
A π(R − r = 2
r A=
( )
π AB
2
)
h
2
4
b Rombo.
Trapecio circular. * R α
D d
r = A
Academia GAUUS
A= b × h
πα ( 2 2 R −r ) 360
A=
D× d 2
583
JOHN MAMANI M. Trapecio.
5. En un trapecio.
b
B+b A= h 2
m
h
S1
S2
A= m × h
6. En un trapecio.
B
S1
Área de un cuadrilátero.
= AT
S2
d
S1 = S 2
θ D
A=
Dd Sen θ 2
S=
AT
S=
AT
S=
AT
S=
AT
5
8. En un paralelogramo.
1. S=
S
S
S2
7. En un trapecio.
S PROPIEDADES
S1 +
AT
S
S
S
2
4
S 9. En un paralelogramo.
2. S
S
S
S
S S
S=
AT
S
6
3.
4
10. En un cuadrilátero. S S
S=
S
AT 4
S
S
2
4. 11. En un cuadrado
3S 2S
584
S 4S
S=
2S
AT 12
S
S=
AT 5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 12. Para áreas semejantes.
18.
S2
S2
S1
S1
S1 + S 2 = S3
S3
PERÍMETROS
13. En un cuadrado
Es la longitud de la línea que describe su borde, contorno o sus lados. AT
S=
S
S1 = S 2
20
1)
Perímetro = 4L
L 14. Lúnulas de Hipócrates.
L
S2 S1
S1 + S 2 =A∆
2)
b
15. En un cuadrado
3) S=
S
S
b
a
AT 30
Perímetro = a + b + c
c 4)
16. En un cuadrado
L
Perímetro = 2(a + b)
a
A∆
= S
Rr
2
L (π − 2) 2
Perímetro = 2πR
5)
L
17.
S2 S1
Academia GAUUS
r1
S1 = S 2
r2
r3
r4
R
Suma de las Longitud de la longitudes de las = semicircunferencia = πR semicircunferencias de radio R
585
JOHN MAMANI M. CRITERIOS PARA RESOLUCIÓN DE ÁREAS
POR MEDIANAS
POR TRASLADO
Ejemplo 03 Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrado cuyo lado mide 30cm. M y N son puntos medios. Calcule el área de la región sombreada. M A B
Ejemplo 01 Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado, entonces el área de la región sombreada mide. B C
N
A
D
D
C
Resolución
Resolución 6
S somb =
S
2
2
6
S
S cuadrado
6 S somb = 2 S somb = 18
6S
S S
2
S
S cuadrado = L
12S = 30
S
2
S = 75
Luego: S somb = 8S = 8(75) = 600
POR DIFERENCIA
POR TANGENTES
Ejemplo 02 Hallar el área de la región sombreado.
Ejemplo 04 En el siguiente cuadrado, hallar el área de la región sombreada.
2
2
2 2
2
Resolución
Resolución S somb =
−
4
4 2
−
4
2
S somb = 4 −
S somb= 8 − π
Aplicando Pitágoras 4
2
−
2
2
(6 − r) + 2 =(2 + r) 9 r= 4
2 2
2
4× 2 2× 4 2 π − − 2 2 4
S somb = 16 − 4 − 4 − π
586
2
2
2
Pide el área del círculo 2
2 9 S somb = π= r π 4 81π S somb = 16
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PRINCIPALES FÓRMULAS PROBLEMA 01
B
Si AB = BC y CD = DE, el área de la región sombreada es: B
10 m
D
10 m
x
x
A
D
y
y
C
E 2
2
Por Pitágoras se tiene que: 10= x + y A
C
a) 100 d) 60
b) 50 e) 85
E
c) 75
2
Entonces el área sombreada son dos triángulos rectángulos: A S =
2
y x + = 50 2 2
Resolución Por dato: AB = BC, además CD = DE, entonces se tiene:
¡Comprueba lo que sabes! 01. En el rectángulo mostrado, Calcula el área de la región sombreada. 10
a) 25 d) 10
b) 32 e) 20
c) 15
03. Calcule el área de la región sombreada.
4
6
4 4
a) 60 d) 10
b) 12 e) 30
4
c) 15
02. Determine el área de la región sombreada de la siguiente figura
10 5
a) 4u
2
b) 8u
d) 2u
2
e) 6u
2
c) 16u
2
2
04. Calcula el área del círculo mostrado, si ABCD es un cuadrado de lado 30. B C
8 5 16 A Academia GAUUS
D
587
JOHN MAMANI M. a) 135 π
b) 225 π
d) 180 π
e) 160 π
c) 140 π a) 8( 3 + 3) b) 2 3
05. Calcule el área de la región sombreada.
3−4
d)
3 +1
c)
e) 4( 3 + 1)
09. Hallar el área de la región sombreada
2
3
3 a) 3 d) 4,5
2
b) 9 e) 3,5
c) 4
06. Calcula el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es 2 2 .
a)
3 +1
b)
6+
2
d)
3 +1
e)
6−
2
c) 8 3
10. Se sabe que ABC y CDE son dos triángulos equiláteros de lados 4 y 8. Calcule el área de la región sombreada. B a) 25 d) 32
b) 16 e) 4
c) 8 D
07. En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada. A
9
6 10 b) 105 e) 98
a) 100 d) 114
E
C
a) 16 3
b) 8
c) 8 3
d) 16
e) 4 3
11. Calcular el área de la región sombreada.
4
c) 108
08. Hallar el área sombreado
4 4
4 4
588
4
a) 8 d) 5
b) 7 e) 5,5
c) 6 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 12. Hallar el área de la región sombreada.
6
12 b) 24 e) 16
a) 48 d) 4
a) 2 3 / 3
b)
d) 2 3
e) 3 3 / 2
7
A
3/3
16. Hallar el área del círculo.
c) 12
13. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que: AB = 20m
c)
3
. . .
a) 4 d) 16
.
15º
b) 9 e) 8
c) 10
2
2
2
17. En la figura: 3u , 4u , 6u , y S son las áreas de las regiones mostradas. Hallar S. B
4 S
3 b) 90π e) 100π
a) 80π d) 120π
14. Halle el área de la región sombreada.
2
a) π( 2 + 5) c) π( 2 − 5)
2
e) π(2 −
2
5)
7 2 2 b) π(4 2 + 5)
2
6
c) 110π
d) π(4 2 − 5)
a) 8 d) 6
b) 10 e) 7
c) 9
18. Un cubito sólido descansa en el fondo de una prisma recto lleno de agua. Al extraer el cubito la altura de agua disminuyen 1/8. Hallar el área de la región sombreada.
2
16
15. En la figura. Calcular el área sombreada.
4 2 4 2
a)
3
b) 4 3
d)
3/2
e)
c) 8 3
3/4
60º 1
Academia GAUUS
589
JOHN MAMANI M. SUMAS DE ÁREAS 01. Determine el área de la región sombreada. 4
4
4 2
6 2
a) 80 d) 72
b) 88 e) 90
c) 96
02. Halle el área de la región sombreada si el lado del cuadrado mide 6 metros.
a) 96 d) 114
b) 100 e) 120
c) 80
05. Si ABCD es un cuadrado, cuyo lado mide 4u y CED es un triángulo equilátero, calcule el área de la región sombreada. C B
E
A a) 15 d) 14
b) 16 e) 20
c) 25
a) 4 + 2 5
D b) 8 + 2 5
c) 8 + 2 3
d) 10 + 2 3
e) 8 + 2 3
03. En la figura mostrada, cada “cuadradito” 2
tiene un área de 4cm . ¿Cuál es el área de la región sombreada?
06. Hallar el área sombreada señalado en el cuadrado ABCD, de lado L. D C
A a) 23 d) 15
b) 18 e) 20
c) 16
04. Calcular el área de la región sombreada, si cada cuadrito tiene 2cm. de lado.
590
B
2
2
2
2
a)
L L π (2 π − 1) b) 2 8
d)
L L (π − 2) e) (2 π) 3 4
c)
2
L (π + 2) 16
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. TRASLACION DE ÁREAS
Resolución
PROBLEMA 01 2
Si el área de la figura sombreada es 8m , entonces el lado del cuadrado ABCD mide: A
B
L
D
El área sombreada es la mitad del área de todo el cuadrado: AS = 8
C
a) 6 2m
b) 6 m
d) 4 m
e) 4 2m
L
c) 2 m
2
L =8 2 ∴ L= 4
¡Comprueba lo que sabes! 01. Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado, entonces el área de la región sombreada mide. B C
03. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20m, calcular el área de la región sombreada. B C
O
A D c) 10
A a) 8 d) 18
b) 12 e) 20
02. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de “a” m de lado.
2
a) a /4 2
d) 5a /8
B
C
A
D 2
b) 3a /4 2
a) 108 d) 320
b) 200 e) 240
2
c) 100
04. Halle el área de la región sombreada de la siguiente figura
1,5
c) a /2
D
a) 3π / 2 d) 12
1,5
b) 9 e) 2 π / 3
1,5
1,5
c) 3π
e) 2a /5
Academia GAUUS
591
JOHN MAMANI M. 05. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 8m, calcular el área sombreado.
09. Calcular el área de la región sombreada.
4
a) 8 d) 8π
b) 32π e) 32
c) 4
06. Hallar el área sombreada si el lado del cuadrado es 8.
4 b) 10π e) 4(π − 2)
a) 4π d) 8π
c) 2π
10. Hallar el área de la región sombreada.
6
6 a) 32 d) 8
b) 64 e) 2 π
c) 16
a) 3π d) 12π
b) 18π e) 20π
a) 30π d) 15π
c) 25π
11. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 8m, calcular el área sombreado. 4 4
C
A
D
F
30º 30º 30º
6
07. Calcule el área sombreado, si ABCDEF es un hexágono regular de lado 6m. B
6
4
E
4
b) 9π e) π
c) 6π
08. Hallar el área de la región sombreada.
a) 24 d) 8
b) 28 e) 26
c) 16
12. Hallar el área sombreada.
14 8
a) 100 d) 50
592
b) 98 e) 70
c) 49
8 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 4π d) 8π
b) 10π e) 16π
c) 2π
17. Hallar el área de la región sombreada.
13. Hallar el área sombreada.
4
1
6
4 a) 2π d) 16 π
1 1
a) 10 d) 13
6
b) 11 e) 14
c) 12
b) π e) 32π
18. Hallar el área de la región sombreada.
14. Calcular el área de la siguiente región sombreada.
8
b) 8 (π + 2) e) 16
8
c) 8 (π − 2)
19. Hallar el área de la región sombreada.
4
2 a) 16 d) 10
8 b) 16 e) 16 π
c) 4 π
4
15. Hallar el área sombreada.
a) 64 d) 32 π
8 b) 8 π e) 32π
a) 2π d) 16 π
8 a) 64 d) 32
c) 4 π
c) 32
4 b) 18 e) 12
2 c) 8
20. Hallar el área sombreada si el lado del cuadrado es 8.
16. Hallar el área sombreada.
10 a) 16 d) 16 π
10 a) 100 d) 50
b) 10 e) 25
Academia GAUUS
b) 64 e) 32
c) 32 π
c) 20
593
JOHN MAMANI M. 25. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.
21. Calcular el área sombreada.
10 8 10
a) 30 d) 10
b) 100 e) 25
c) 50
22. Hallar el área de la región sombreada.
a) 8 d) 16
b) 4 e) 32
26. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.
4
a) 8 d) 16
b) 4 e) 32
c) 2
8
a) 8 d) 16
c) 2
23. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.
b) 4 e) 32
c) 2
27. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.
2 2
2
2 2 a) 8 d) 16
2 2 b) 4 e) 32
2
2 c) 2
24. Cuál es el área de la región marcada en:
a) 1 d) 5
b) 2 e) 4
c) 3
28. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.
20
10
a) 100 d) 25 π
594
b) 100 π e) 50
c) 25
a) 100 d) 500
b) 200 e) 400
c) 300
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 29. Calcular el área de la siguiente región sombreada.
10
10 a) 100 d) 50
b) 10 e) 25
a) 400 d) 360
c) 20
2
30. Si el área de la figura sombreada es 8m , entonces el lado del cuadrado ABCD mide:
a) 5 m d) 4 m
B
C
A
D b) 6 m e) 1 m
c) 2 m
b) 420 e) 380
33. Calcule el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 2m.
a) 4( 3 + 1) b) 4( 3 − 1) c) 8 3 d) 4( 2 − 1) e) 4(2 −
31. Se tiene un cuadrado de lado 8 , y todos los semicírculos son iguales. Hallar el área de la región sombreada.
c) 480
3)
34. Sea ABCD un cuadrado cuyo lado mide 6m. es congruente a ASQ . Además, APQ Calcule el área de la región sombreada
B
Q
C
P S
a) 2 2
b) 4
d) 2π
e)
c) 6 − π
3π 4
32. Se tiene un círculo mayor de radio igual a 20m, y cuatro círculos menores congruentes. Calcule el área de la región sombreada. Academia GAUUS
A
D
a) 4π
b) 2π
d) 5π
e) 3π
c) 6π
595
JOHN MAMANI M. DIFERENCIA DE ÁREAS
Resolución
PROBLEMA 01 En la siguiente figura, R es punto medio de GH
R
6
del triángulo SFR, si EH = 8 cm y EF = 6 cm .
3
G
⇒ A ∆ SFR =
S
4
E
R
G 3
y S es punto medio del lado EH . Halla el área F
8
F
4
H
8
−
6
−
6 4
8
8 3
−
6× 4 8× 3 4× 3 − − 2 2 2 = 48 − 12 − 12 − 6
3 4
= 8×6 − E
H
S
a) 20 cm 2
b) 15 cm 2
d) 18 cm 2
e) 19 cm 2
c) 16 cm 2
= 18cm
2
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcule el área de la región sombreada.
03. Calcule el área de la región sombreada. 2
4 2
4 10 a) 10 d) 160
10
b) 40 e) 100
c) 80
02. Hallar el área de la región sombreada
2
2
a) 3 + π
b) π − 3
d) π − 2
e) 8 − 2π
c) 4 − π
04. Hallar el área de la región sombreado.
2 2
2 a) 8(4 − π)
b) 2(4 − π)
d) 5(2 − π)
e) 4(4 − π)
596
c) 3(1 − π)
2 a) π/2
b) π
d) 4 − π
e) π/4
c) 2 − π
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 05. Hallar el área de la región sombreado.
4
a) 2 d) 3,5
b) 3 e) 4
c) 2,5
09. Hallar el área de la región sombreada
16 4 a) 8(4 − π)
b) 4(2 − π)
d) 8(2 − π)
e) 4(4 − π)
16
c) 5(1 − π)
06. Hallar el área sombreado. 2 2
a) 126 − 9π
b) 112 − 6π
c) 30 − 6π
d) 192 − 32π e) 142 − 16π 2 10. El área sombreado es: 2
a) 2(2-π) d) 4(4-π)
b) 4(2-π) e) 4(π-2)
c) 2(4-π)
07. Hallar el área de la región sombreado. 2
2 2
26
10
24 a) 120 − π
b) 120 − 6π
d) 120 − 9π
e) 120 − 16π
c) 30 − 6π
11. Hallar el área de la región sombreada
2 a) 8 − π
b) 8 − 2π
d) 7 − π
e) 16 − 2π
2
c) 2 − π 60º
08. Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios.
a) 2π
b) 5π
d) π
e) 3π
c) 6π
M 12. Calcular el área de la figura sombreada. N
2 2
2 2
Academia GAUUS
1 12 20
597
JOHN MAMANI M. a) 44 d) 42
b) 38 e) 46
c) 40
a) 6 π − 5 3 b) π − d) 5 π − 6 3 e) 5π
13. Hallar el área de la región sombreada
1
17. Calcule el área de la región sombreada.
2
a) 8 − π /2
b) 16 + π /2
d) 16 + π /4
e) 12 − 16π
6m
c) 8 + π /2
14. Calcular el área de la región sombreada.
a
6m
a) 4(6 − π)
b) 4(5 − π)
d) 5(4 − π)
e) 4(5π − 2)
Calcule el área sombreado. B
a
a
a
2
2
2
2
c) 6(4 − π)
4. 18. En la figura adjunta, AC = 6 y h 2 − h1 =
a a
c) 10π
3
h2
a) a (8 − π) b) a (π − 8)
c) a(π − 1)
d) a (5 − π) e) a (5 + π)
h1
A
15. En el cuadrado ABCD de lado “4m”, calcular el área de la región sombreado.
a) 13 d) 6
C
b) 12 e) 24
c) 14
19. Hallar el area de la region sombreada.
4 a) 16 − 4π
b) 12 − 6π
d) 2 π − 14
e) 10 − π
c) 16 − 2π
4
4 4
16. Hallar el área de la región sombreada 2 3
4
4
a) 8(3 3 − 2π)
b) 2(8 3 − π)
c) 4(2 3 − π)
d) 8(π −
3)
e) 8(2 3 − π) 2 3
598
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 20. Hallar el área de la región sombreado.
23. Hallar el área de la región sombreada
4
3 4
a) 3(π − 2)
b) 2(π − 1)
d) 4(π − 3)
e) 3(π − 1)
3
c) 2(π − 2)
21. La figura está formada por 20 cuadraditos iguales en la que cada uno tiene un lado que mide 2m. Halle el área de la región sombreada.
a) 3(2π + 3 3 − 9)
b) 3(π + 3 3 − 9)
c) 3(2π +
d) 3(3π + 2 3 − 9)
3 − 9)
e) 3(3π + 2 3 − 12) 24. En la figura mostrada, el área de la región cuadrada es numéricamente igual a su perímetro; P y T son puntos de tangencia, entonces el área de la región sombreada es:
P
a) 42 d) 48
b) 44 e) 56
r
R
22. Hallar el área de la región sombreada de la siguiente figura, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero y su lado mide 12cm. Además M, N, y P son puntos medios de los lados del triángulo. B
M
T
c) 52
a) 1 π d) 4 π
b) 2 π e) 5 π
c) 3 π
25. En la siguiente figura, hallar el área de la región sombreada.
N
4
6 A a) 3(12 3 − 2π)
b) 3(12 3 − π)
c) 3(2 3 − 2π)
d) 3(3 3 − π)
e) 3(2 3 − π) Academia GAUUS
16
C a) 256 – 52 π c) 360 – 52 π e) 253 + 25 π
b) 288 – 52 π d) 256 + 52 π
599
JOHN MAMANI M. ÁREAS CON HOJAS 01. Calcule el área de la región sombreada 2 a) 3(2 π − 1) b) 2(π − 2) c) 6(π − 2) 2 d) π − 2 e) 4(π − 2) 02. Halle el área de la región sombreada 2
a) r (π − 2) / 2 2
r (π − 2) 4 d) 2(π − 2) e) π − 1
r r
03. Hallar el area de la región sombreada. a) 8(π − 2) b) 16(π − 2) 4 c) 8(π + 4) d) 4(π − 2) e) 64(π + 4)
4
04. Hallar el area de la región sombreada. a) 2(π − 2) b) 16(π − 2) c) 8(π + 4) 2 d) 8(π − 2) e) 4(π − 2) 05. Calcule el área de la región sombreada 4 a) 3(2 π − 1) b) 2(π − 4) c) 6(π − 2) 4 d) π − 4 e) 4(π − 2)
600
07. Si los radios de los círculos iguales mide 0,5 m. Hallar el área sombreada. a) b) c) d) e)
2
b) r (π − 2) c)
06. Halle el área de la región sombreada a) 2 π − 1 b) π − 2 c) 2(π − 2) 4 d) 4(π − 2) e) π − 1 4
2π − 5 2π π−2 2π − 7 π− 3
08. Hallar el area sombreada. a)
2
a (π − 2) 2 2
b) a (π − 3) c)
2
a (π − 2) 4 2
d) a (π − 2) e) π − 3
a
a
09. Hallar el área sombreada. a) 2(π − 2) b) c) d) e)
4(π − 2) 8π − 7 7(π − 2) 2(π + 2)
4
4
10. Hallar el área sombreado 8 a) 16(π − 2) b) 16π c) π − 2 d) 4(π + 2) e) 8(π + 2)
8
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 11. Hallar el área de la región sombreada. a) 3(3π − 2) b) 3(π − 2) c) 3(3π + 2)
4
d) 3(π + 2) e) 3(4 π − 2)
C 4
d) 4(π − 2) D
A
17. Halle el área de la región sombreada a) 36(4 + π)
6
b) 18(4 − π) c) 36(4 − π) e) 62(4 − π)
b) 16 π − 12 c) 16 π − 2
6
d) 72(4 − π)
13. Hallar el área sombreado 8 a) 16 π − 32
8
d) 16(π + 2)
18. Hallar el área de la región sombreada. a) 8(4 − π) b) 4(8 − 2π)
e) 8(π + 2)
4
c) 2(4 − 6π)
14. Hallar el area de la región sombreada. a) aπ 2a 2 b) a (π + 2) 2
c) a π − 3
2a
2
d) a (π − 2)
d) 8(8 − π) e) 8(2 − π)
4
19. Calcular el área de la región sombreada. a) 2(π − 2) b) 4(π − 2) c) 8 π − 3
2
e) 2a (π − 2)
d) 3(2 − π)
15. Hallar el área de la región sombreada. a) 2π b) 2(2π − 3)
2
c) π − 2 d) 2(π − 2)
e) 3π + 2
2
2
20. Calcular el área de la región sombreada. a) 2(π − 2) b) π − 2 c) π − 3
2
d) 2 − π e) 3π + 2
Academia GAUUS
B
b) 16(π − 2)
e) 64(π + 4)
12. Hallar el area sombreada. 6 a) 16 b) 16π
e) 4(π − 2)
a) 8(π − 2) c) 8(π + 4)
4
c) π − 2 d) 18 e) 9(π − 2)
16. Si ABCD es un cuadrado, calcule el área de la región sombreada.
2
2
601
JOHN MAMANI M. ÁREAS POR TANGENTES 01. Calcular el área del círculo sombreado.
04. Hallar el área de la figura sombreada si el área del cuadrado es de 144m
4m
4m a)
25 π 9
b)
16 π 9
c)
14 π 9
20 π e) 9
15 π d) 9
2
02. Calcule el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 20cm de lado.
B
a) 4π
b) 2π
d) 16π
e) 3π
c) 9π
05. Calcule el área de la región sombreada. 36
C 36
A
D
a) 64π
b) 60π
d) 49π
e) 81π
c) 36π
03. Hallar el área de la región sombreada
a) 16π
b) 36π
d) 64π
e) 9π
c) 81π
06. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 36m, calcule el área de la región sombreada.
12
B
C
A
D
12
a) 4π
b) 2π
d) 6π
e) 9π
602
c) 8π
a) 16π
b) 36π
d) 64π
e) 9π
c) 25π
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 07. Sea ABCD un cuadrado de lado 6m. Si P es el punto de tangencia y O el centro del círculo, halle el área de la región sombreada.
B P
C O
π π (21 − 8 3) b) (57 − 32 3) 2 2 π π c) (50 − 29 3) d) (55 − 32 3) 2 2 π e) (57 − 32 3) 4 a)
10. Hallar el área de la región sombreada.
.
D
A a) 3 6
b) 5 6
d) 2 6
e) 6 6
B
C
A
D
25 π 26
b)
64 π 144
d)
9π 16
e) 2π
c)
2
a) 17 π − 30
4 4 b) 15π − 28 c) 15π − 30
d) 18 π − 36
e) 17 π − 32 2
11. Si el área del cuadrado es 64m . Hallar el área del círculo.
36 π 49
09. Hallar el área sombreada, si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 2.
B
.
c) 4 6
08. Halle el área de la figura sombreada. Si ABCD es un cuadrado.
a)
.
C
a) 3 π d) 2 π
b) 9 π e) 12 π
c) 4 π
12. Si la figura es un cuadrado de lado 10, halla el área marcada. 7 (asume que : 2 = ) 5
2
A Academia GAUUS
D
a) 4 π d) 5 π
b) 2 π e) 10 π
c) 8 π
603
JOHN MAMANI M. ÁREAS POR MEDIANAS 01. Hallar el área de la región sombreada. 6
04. En el cuadrado ABCD, si W = 2m Halle “X” A B
2
W
6 X a) 3 d) 2
b) 4 e) 5
c) 6
02. Hallar el área de la región sombreada. 3
D a) 6 d) 11
a
b) 2/3 e) 3/4
c) 1
03. Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrado cuyo lado mide 30cm. M y N son puntos medios. Calcule el área de la región sombreada. A
M
D a) 550 d) 600
604
c) 10
05. Halle el área de la región sombreada. a
3
a) 1/3 d) 4/3
C b) 8 e) 12
1 2 a 10
b)
1 2 a 3
d)
1 2 a 4
e)
1 2 a 12
c)
1 2 a 14
06. Halle el área de la región sombreada
B
a/2
N
a/2
C b) 450 e) 700
a)
a)
1 2 a 10
b)
1 2 a 3
d)
1 2 a 4
e)
1 2 a 12
c) 500
c)
1 2 a 14
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 07. Halle el área de la región sombreada, si
10. Si ABCD es un cuadrado de área igual a 2
120m , determine el área de la región sombreada. C B
ab −= 1 2(ba − 1)
(a + b)
(a + b) b) 3 e) 5
a) 4 d) 6
D
A
c) 2
a) 39 d) 42
08. Halle el área de la región sombreada a
b) 45 e) 38
c) 41
11. En la figura ABCD es un cuadrado de lado “L”. Halle el área de la región sombreada.
a/2
B
C
A
D
a/2
a)
2
a 6
b) 2
2a d) 3
2
a 3
2a e) 5
c)
2
a 8
2
09. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado “a”. Calcule entonces el área de la región sombreada. C B
A a)
2
a 8
2
a d) 12
2
a)
2L 11
d)
L 25
2
2
3a 40 2
a e) 20
Academia GAUUS
c)
3L 10
e)
5L 24
c)
2
4L 15
2
12. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 2cm , además P y Q son puntos medios de los lados, Calcule el área de la región sombreada.
D
b)
2
b)
A
B
P
Q
D
C
2
5a 36
a) 44 d) 48
b) 45 e) 40
c) 42
605
JOHN MAMANI M. ÁREAS POR PROPORCIONALIDAD 01. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 120m
2
B
04. En la figura S1 es el área de la región triangular PQR y S 2 el área de la región S1
triangular RCV, Halle
S2
C
A
7
5
a) 50m
2
d) 30m
2
b) 70m
2
e) 60m
2
3c
C c) 30m
S2
2
B
02. Calcule el ara de la región sombreada, si 4(PC)=BC, AP=3(AM) y, además, el área de la región triangular ABC es 60m
2
V
2b
R b
5a
a) 1/3 d) 1/6
b) 1/2 e) 3/4
c S1 P a
Q
c) 2/3
05. En el gráfico. ¿Qué parte del área de la región triangular ABC representa el área de la región sombreada?
B P
C 3c
M
A a) 1 d) 8
C
b) 4 e) 12
B
03. Halle la relación entre las áreas S 2 y S1 .
S2
606
b) 1/7 e) 3/4
c) 2/3
B
b
3
2a
2b
c
a) 1/5 d) 1/3
a) 3/7 d) 1/6
A
a
a
06. Hallar la razón entre las áreas de las dos regiones sombreadas
3a
S1
c
c) 6
1
4c b) 2/5 e) 4/5
c) 2/3
A
1
3
C
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 1 d) 2/3
b) 1/2 e) 1/4
c) 1/3
a) 1 d) 3
07. El área de la región triangular ABC mide 2
105m . Calcule el área de la región sombreada
b) 1/2 e) 1/4 2
BC = 6(RC) ; BQ = 3(BP) , Calcule el área de
B
2 P
1 A
2
1
a) 35 d) 56
AC = 4(AQ) ;
S ABQ = 12m ;
10. Si:
la región sombreada.
C
B
c) 2
b) 40 e) 48
R
c) 50 A
08. El área de la región triangular ABC mide
C
Q
2
420m . Calcule el área de la región sombreada C
a) 28 d) 25
b) 26 e) 27
c) 20
11. Hallar el área de la región sombreada, si el
4p
2
área de la región ABC es 30u ; AP = 2BP y BM = MN = NC .
3p B
k
a) 128 d) 132
b) 160 e) 164
B
A
2k
c) 120
P
09. Halle el área de la región sombreada, Si el área de la región limitada por el triángulo ABC es 42m
M Q N
2
B
A
a
a) 3,2 d) 3
C b) 2 e) 1,5
c) 2,5
2a A Academia GAUUS
2b
b
C
607
JOHN MAMANI M. ÁREAS CON PARTE TODO 01. En la figura ABCD y PQRC son cuadrados; siendo “P” un punto medio del lado BC, calcular la relación del área de la región sombreada respecto al área de la región no sombreada. A
B P
D
Q
b) 2/3 e) 5/6
A a) 4/3 d) 3/4
C
G
F
D b) 1/2 e) 7/8
c) 3/8
04. En la figura, AB y AD son diámetros de círculos; C y D son centros de arcos de circunferencias. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? B C
c) 5/7
02. En la figura mostrada; ADCB, CDEF, FEHG y CFJI son cuadrados de igual área. Calcular que parte del área total es el área de la región sombreada. I J
B
b) 3/2 e) 8/5
R
C
a) 3/2 d) 5/12
a) 4/5 d) 2/5
a) 1 d) 2/3
A
05. ¿Qué fracción representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada, si M, N, P y Q son puntos medios? M
Q
N
H
E c) 17/37
03. ¿Qué parte del área total representa el área de la zona sombreada?
D c) 1/3
b) 1/2 e) 1/4
P a) 1/4 d) 4/5
b) 1/3 e) 4
c) 1/2
06. En la figura la relación entre el área sombreada y el área no sombreada es: 4 4 5
608
12
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 7/12 d) 2/3
b) 5/7 e) 1/2
c) 3/4
10. La relación entre el área sombreada y el área del trapecio es: m
07. En la figura AD es diámetro y AB=BC=CD, calcule la relación entre el área de la región sombreada y el de la no sombreada (todas las curvas son semicircunferencias)
A
C
B
a) 1/3 d) 1
b) 2/5 e) 2/3
D
c) 1/2
08. En la figura, ¿Qué fracción del área del cuadrado MNPQ representa la región sombreada? P N
2m b) 1/4 e) 5/3
a) 1/2 d) 2/5
11. En la figura, AB y AD son diámetros de círculos; C y D son centros de arcos de circunferencias. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? B C
A M a) 2/5 d) 3/4
b) 2/3 e) 1/2
Q c) 4/5
09. E, F, G y H son puntos medios del cuadrado ABCD entonces la razón entre el área sombreada y el área no sombreada, es: F
B
a) 3/16 d) 3/13
G
A
D
H b) 5/21 e) 7/12
Academia GAUUS
a) 1 d) 2/3
c) 1/3
b) 1/2 e) 1/4
D c) 1/3
12. Dado el cuadrado de la figura, sabiendo que EF //BC y CF = AD/4 , determine la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada.
C
E
c) 1/3
a) 11/5 d) 16/11
B
C
E
F
A
D
b) 5/11 e) 4/3
c) 11/16
609
JOHN MAMANI M. 13. Hallar la razón entre las áreas de las dos regiones sombreadas B
16. Si M y N son puntos medios de los lados del cuadrado, halle la razón del área de la región no sombreada y el área de la región sombrada
3 1 A
1
a) 1 d) 2/3
3
b) 1/2 e) 1/4
N C
c) 1/3
M
14. En la figura se tiene un cuadrado ABCD. Si M es punto medio, ¿Qué parte del total representa el área de la región sombreada? C
B
a) 7/8 d) 2/5
b) 3/8 e) 5/3
c) 1/8
17. ¿Qué porcentaje del área del hexágono es el área sombreada?
M
D
A a) 1/3 d) 1/10
b) 1/4 e) 1/12
c) 1/6
a) 40,8% d) 65%
15. En la figura. ¿Qué parte del área del paralelogramo ABCD es el área de la región sombreada? B
b) 50% e) 42%
c) 37,5%
18. En el paralelogramo ABCD. Hallar: B
C
S1 S2 C
S1
S2 A
A a) 1/3 d) 1
610
D
D b) 1/4 e) 1/2
c) 1/6
a) 1 d) 1/3
b) 2 e) 2/3
c) 1/2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PERÍMETROS LINEALES PROBLEMA 01
N
B
C
Hallar el perímetro de la siguiente figura: P6
M
15
A
60
a) 230 d) 120
b) 120 e) 150
c) 180
D
8
a) 31 73
b) 20 + 73
d) 31 + 73
e) 21 + 73
c) 31
Resolución
Resolución En realidad se trata de una situación análoga a calcular el perímetro del rectángulo:
B
4
4
N
5
3 M
10
73
C 3 P6 3
15
A 60
= P 2(60 + 15) P = 150
8
D
P = MB + MN + NP + PA + BD + AD P = 3 + 5 + 5 + 73 + 10 + 8 = P 31 + 73
PROBLEMA 02 En la figura, ABCD es un rectángulo y además M, N y P son puntos medios. Calcular el perímetro de la región sombreada.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar el perímetro de la siguiente figura:
02. Hallar el perímetro de la siguiente figura:
a) 26
a) 60
b) 24
b) 86
c) 48
c) 39
d) 52
d) 48
e) 50
e) 72
Academia GAUUS
611
JOHN MAMANI M. 03. Hallar el perímetro de la siguiente figura:
07. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 35
a) 48 b) 78 c) 56 d) 86 e) 66 04. Hallar el perímetro de la siguiente figura:
b) 50 c) 70 d) 60 e) 20 08. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 64
a) 58
b) 22
b) 78
c) 44
c) 64
d) 56
d) 88
e) 50
e) 100 09. En 05. Hallar el perímetro de la siguiente figura:
la
figura,
ABCD
es un
cuadrado.
Determine la razón entre el perímetro de la parte sombreada y el lado del cuadrado.
a) 92 b) 82 c) 72 d) 100 e) 70 06. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 64 b) 80
a) 3 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4 10. Hallar el perímetro de la siguiente figura, si existen seis rectángulos iguales cada uno, de largo “L” y de ancho “A”.
c) 86 d) 40 e) 84
612
a) 6L+4A d) 8L+6A
b) 6(L+A) e) 4(L+A)
c) 6L+8A Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 11. Calcula el perímetro de la siguiente figura:
7
10
a) 110 d) 164
15. El perímetro de la figura es:
6
b) 44 e) 50
c) 48
12. Hallar el perímetro de la siguiente figura: 3 3
6 4
4
5
a) 26 d) 52
b) 24 e) 50
8
a) 14 d) 16
b) 28 e) 18
10 23 b) 65 e) 50
c) 33
14. Calcula el perímetro de la región sombreada de la siguiente figura.
16. Hallar el perímetro de la siguiente figura, todas las piezas son iguales, de largo “a” y de ancho “b”
a) 6a + 8b
b) 8a + 6b
d) 6a + 10b
e) 6a + 6b
12
c) 8a + 8b
17. El perímetro del cuadrado “A” es 48cm. Hallar la suma de los perímetros de los cuadrados “B” y “C” a) 96cm b) 24 c) 48 d) 64 e) 34 18. Hallar el perímetro de la región sombreada: a
10
c b
b c
8
Academia GAUUS
c) 20
c) 48
13. Calcula el perímetro de la región sombreada de la siguiente figura.
a) 66 d) 64
c) 33
8
12
a) 46 d) 54
b) 165 e) 120
c
30
c
c
613
JOHN MAMANI M. a) b) c) d) e)
3a + 4b – 6c 4a + 6b – 4c 2(a + b – 3c) 4(a + b –a 2c) N.A.
21. En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada. Si ABCD es un cuadrado de lado 10µ y RC=8µ.
B
C
19. Dado el cuadrado ABCD y el triángulo isósceles EFG de lados EF=FG=a. Hallar el perímetro de la región sombreada en la figura. a
B
C
E
F
R
A
D
a) 19 + 5 5µ
b) 9 + 5 5µ
c) 29 + 5 5µ
d) 29 + 3 5µ
e) 19 + 2 5µ
E
F
P
A
22. Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen perímetros iguales. Si el área del cuadrado es 36m2, entonces, el área del triángulo es:
Q
D
G a) (4- 2)a
b) (1 + 2)a
d) 8a
e) (4 + 2)a
c) 5 2a
20. En la figura se muestra los cuadrados A, B y C. Hallar: Perímetro de A + Perímetro de + B Perimetro de C
a) 9 3m2
b) 12 3m2
d) 20 3m
2
e) 24 3m
c) 16 3m2
2
23. Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que su perímetro mide 46m y su diagonal 17m. ¿Cuál es el área del terreno? b) 120m2 c) 210m2 a) 100m2 e) 92m2 d) 80m2 24. En la figura mostrada, el perímetro de la región sombreada es: (sabiendo que E es punto medio de AC)
B 15 30º
37º
A a) 1/4 d) 4
614
b) 1/2 e) 16
c) 1
C
E
a) 2(17 + 4 3)
b) 3(19 + 5 3)
c) 3(17 + 5 3)
d) 2(17 + 5 3)
e) 17 + 5 3 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 25. La suma total del perímetro externo de las siguientes letras es:
28. Calcular el perímetro de la figura sombreada, si AC = 6 2 A 45º
Cada cuadrado tiene una unidad de lado a) 99 + 2 5
b) 97 + 2 5
c) 96 + 2 5
d) 98 + 2 5
C
B
a) 6 + 2
e) 100 + 2 5 26. La suma total del perímetro externo de las siguientes letras es:
(
b) 6 2 +
2
2
d) 2 + 6
c) 12
2
e) 12
2 + 6
)
2
29. Los 6 segmentos verticales están igualmente distanciados entre sí. ¿Cuál es la suma de sus longitudes Cada cuadrado tiene una unidad de lado a) 85 + 2 13
b) 87 + 2 13
c) 86 + 2 13
d) 86 + 2 5
6m
e) 89 + 2 5
18 m
27. Si el lado del triángulo equilátero ABC mide 6 y AP=PM=MB=BN=NQ=QC. Calcule el perímetro de la región sombreada. B
a) 30 m d) 40
b) 21 e) 36
c) 18
30. En el triángulo equilátero ABC de perímetro 12cm. PM//BC y MQ//AB, ¿cuál es el perímetro de la superficie sombreada? B
M
Q Q
P
C
A a) 7 +
P
3
d) 8 + 7
b) 7 + 2 3 e) 14 +
Academia GAUUS
3
c) 14 + 2 3
A a) 8 m d) 6
M b) 15 e) 12
C c) 18
615
JOHN MAMANI M. PERÍMETROS CIRCULARES PROBLEMA 01
a) 2π
b) 4π
Hallar el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 8 cm. de lado.
d)
e) 8π
3π
Resolución
C
B
c) 10π
R/2
R A
a) 2π d) 3π
R
D
b) 4π e) 24π
c) 5π
Resolución
Perímetro: = 2πR + 6
R'=2
R=4
2π(R / 2) 2
= 2π(2) + 3π(2) 8
= 4 π + 6π = 10π
PROBLEMA 03 L ( INT ) = 2 πR = 2 π × 4 = 8 π
L ( EXT ) = 8( πR) = 8( π × 2) = 16 π L ( TOTAL ) = L ( INT ) + L ( EXT ) = 24π
En la figura, hallar el perímetro de la región sombreada. (AB = AC = 4 cm) B a) 8 π cm b) 4(π − 2) cm c) 6π cm d) 8(π − 2) cm C A e) 10π cm
PROBLEMA 02 Hallar el perímetro de la región sombreada, si las semicircunferencias son iguales; ( R = 2 )
Resolución Sea “P” el perímetro, en la figura se tiene:
B
R
R=4 m r=2
A
616
C
r=2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 2
= P
= P 2πr +
PROBLEMA 05
+
4
Hallar el perímetro de la parte sombreada, cuyos arcos corresponden a partes de circunferencia. a) 24 π cm. b) 12 π cm.
2πR 4
P 2π(2) + =
c) 16 π ( 2 + 1 ) cm.
2π(4) 4
d) 16 π ( 2 − 1 ) cm.
P = 6π cm
4 cm
e) 8 π ( 2 + 1 ) cm.
PROBLEMA 04
Resolución
Calcular el perímetro de la figura, si ABCD es un cuadrado de perímetro 8 2 y el triángulo BEC es equilátero. B A a) 2 + 2 2π b) 4 2 + 8 2π + 8
E
c) 8 2π + 8 2
4
O
d) 16π + 8 + 4 2
D
C
e) 4 2 + 2 2π + 4
Del triángulo:
r
2
4 cm
4
4
= r 4( 2 − 1) 4+r= 4 2 ⇒
Resolución B
2π A
2 2
2
E
2 2
O
2
2 2 C
Como: “O” es centro del cuadrado: 8 2 2 2 4
Diagonal: AC = BD = 2 2 × 2 = 4 ⇒ AO= OD =
r
4
Perímetro =2 [ 2π(4)] + 2π 4( 2 − 1) Perímetro = 16π + 8 π 2 − 8 π Perímetro = 8π( 2 + 1) cm
D
2π
Lado
long
Perímetro Long 2
PROBLEMA 06 En la figura adjunta, determinar el perímetro de la región sombreada; si el diámetro AB de la semicircunferencia mayor es 2 cm.
4 = 2 2
Luego: Perímetro = AO + DO + BE + CE + BA + CD
2 2 2 2 = 2+ 2+ 2 2 + 2 2 + π + π 2 2
= 4+ 4 2 + 2 2π
Academia GAUUS
A
a) ( 3π − 4 ) cm c) ( 3π + 4 ) cm e) ( 3π − 3 ) cm
O
B
b) ( 3π + 3 ) cm d) ( 3π + 2 ) cm
617
JOHN MAMANI M.
Resolución
P=
Resolviendo:
1
+
1
1
1 2
1
1
O
+2
1 2
1 Perimetro = 4 + π + 2 2 π 2 Perimetro= 4 + 3π
1 2
A
1 1
B
1
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular el perímetro del área sombreada, si
04. Calcular el perímetro de la región sombreada.
la figura es un cuadrado.
a) 2π
a) 11 π
b) 4π
b) 12 π
4
6
c) 6π
4
c) 13 π
d) 8π
4
d) 15 π
6
e) 7π
4
e) 14 π
05. Calcular el perímetro de la región sombreada. 02. Calcular el perímetro de la región sombreada.
a) 2π
a) 4(π + 4)
b) 4π
b) 8(π + 1)
c) 6π
c) 4(π + 1) d) 2(π + 1)
4
4
e) 10π
4
4
06. Calcule el perímetro de la región sombreada.
03. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 8(4 + π)
a) 32π b) 32 π + 1
8
c) 16π
b) 4(2 + π) 4
c) 5(1 − π)
8
d) 16(π + 1) e) 32(π + 1)
d) 8(1 − π)
618
d) 8π
8
e) 8(π + 2)
e) 2(4 + π)
4
8
8
4 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 07. Halle el perímetro de la región sombreada, si
a) 24π
las semicircunferencias son iguales.
b) 25π
a) 3πR
c) 12π
b) 4πR
d) 48π
R
c) 5πR
e) 6π
d) 8πR 11. Halle el perímetro del cuadrado ABCD, si M
e) 6πR
es punto medio del lado CD y AM = 2
08. Si el área del cuadrado es 100m , calcule el
a) 4
perímetro del área sombreado
b) 6
a) 20(π + 1)
c) 8
b) 20(π − 1)
d) 10 e) 12
c) 50π d) 25
5
C
B
M A
D
4
12. Calcular el perímetro de la región sombreada.
e) 25π
a) 4(π + 1)
09. Halle el perímetro de la región no sombreada.
b) 8(π − 1)
4
4
c) 8(π + 1) d) 2(π − 1) 4 4 a) 6(π + 4)
b) 6(π + 3)
d) 8(π + 1)
e) 10(π + 2)
e) 8(π − 2)
4
13. Calcular el perímetro de la región sombreada.
c) 8(π + 3)
a) 2π
c) 5π 10. Los radios de los círculos mostrados en la figura adjunta son R 1 ;
2
b) 4π
R2; R3 y
R4
d) 3π e) π
2
2
2 2
2
respectivamente. Halle el perímetro de la región sombreada si: R1 + R 2 + R 3 + R 4 = 12 Academia GAUUS
619
JOHN MAMANI M. 14. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 4a(π + 4) b) 4a(π + 2)
a
a
2
18. Si el área del cuadrado es 16m , calcular el perímetro de la región sombreada.
a
c) a(π + 1) d) 2a(π + 1)
a
e) 8a(π + 1)
15. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 2(π + 1) b) 4(π + 2) 4
c) 2 π + 1
a) 16π d) 8π
b) 12π e) 18π
c) 32π
19. Calcule el perímetro de la región sombreada; si el triángulo es equilátero de lado 10.
d) 4(π + 1) 4
e) 2 π + 8
16. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 24π b) 15π 6 c) 12π d) 18π e) 6π 6 17. Halle el perímetro de la región sombreada si el lado del cuadrado es 8
a) 10(3 + π +
3)
b) 10(1 + π +
c) 10(5 + π +
3)
d) 3(2 + π +
e) 6(5 + π +
620
b) 32π e) 16π
3)
3)
20. Calcule la longitud de la línea curva, formada por semicircunferencias que van desde A hasta B y que corte al segmento AB en los puntos mostrados
A
a) 24π d) 18π
3)
r1
r3
a)
AB π 2
b)
AB π 4
d)
AB π 3
e)
AB π 4
c) 12π
r4
r2
B
c) ABπ
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 21. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 2 2π + 8 2 − 8 b) 2 2π + c)
2−8 2
2π + 8 2 − 8
2π +
b) 4π e) 10π
2
2
2 −1
c) 6π
25. Hallar el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el área del cuadrado ABCD es 64m
d) 2 2π + 2 2 − 2 e)
a) 2π d) 8π
B
C
A
D
22. En la figura, calcule el perímetro de la región sombreada, si el lado del hexágono regular mide 2.
a) 4π d) 8π
b) 3π e) 6π
c) 12π
a) 4 π(2 +
2)
b) 4 π(2 −
2)
c) 2 π(2 +
2)
d) 2 π(1 +
2)
e) 4 π(1 +
2)
26. Encontrar el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 12m
23. Calcular el perímetro de la región sombreada. 2
2
2
2 2 b) 4π e) π
a) 2π d) 3π 24. Encontrar el sombreada.
2
perímetro
a) 4π d) 12π
c) 5π
de
la
región
b) 6π e) 16π
c) 8π
27. En la siguiente figura encontrar el perímetro de la región sombreada. a) 5(π + 2) b) 5(π − 2)
4
c) 10(π + 2) d) 10(π − 2) e) π + 2
10
4 Academia GAUUS
621
JOHN MAMANI M. 28. Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada. a) 64 b) 8 (π + 2) 8 c) 8 (π − 2)
32. Halle el perímetro de la región sombreada. a) 68 + 20π b) 32 + 40π
4
c) 64 − 10π
6
16
d) 64 + 15π
d) 32 e) 16
8
e) 32 + 20π
29. Hallar el perímetro del área sombreada.
4
33. Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada. a) 100π b) 10π
a) 8 (π + 2)
8 b) 8 (π + 1)
d) 32 π
e) 16 π
10
c) 20π d) 50π
c) 32
10
e) 25π
30. En la figura mostrada, calcular el perímetro de la región sombreada.
34. Calcular el perímetro de la región sombreada, si la figura es un cuadrado. a) 8 π + 16 b) 2π + 8 8
c) 4 π + 8
4
d) 4 π + 4 4
2 a) 16 π d) 10 π
b) 18 π e) 12 π
e) 4π
2 c) 8 π
35. Calcular el perímetro de la región sombreada, si la figura es un cuadrado.
31. Hallar el perímetro de la región sombreada si el lado del cuadrado es 8. a) 8 π + 8 + 8 2
d) π + e) 2 π
622
2
b) 4 π + 8 2 c) 4 π +
b) 8 π + 8 2 c) 8 π + 7 + 8 2
a) 4 π + 3 2
8
2
8
d) 3π + 5 2 e) 4 π + 4 2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 36. Hallar el perímetro del área sombreada si el
40. Calcular el perímetro de la región sombreada,
lado del cuadrado es 8.
si la figura es un cuadrado.
a) 8 π + 8
a) 1 π
b) 8 π + 16
b) 2 π
8
c) 15π + 8
4
c) 3 π
d) 8 π
d) 5 π
e) 32
e) 4 π
37. Calcular el perímetro de la región sombreada,
4
4 4
si la figura es un cuadrado.
a) 8 π
a) 144 b) 18 π c) 72 π d) 144 π e) 18 π
4
c) 2 π d) 16 π e) 32 π
38. Hallar el perímetro de la región sombreada. a) 2π
4
41. Calcular el perímetro de la región sombreada,
si la figura es un cuadrado. b) 4 π
4
12
42. Calcule el perímetro de la región sombreada si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide π cm. C B
b) π 4
c) 4 π d) 6, 5π e) 3, 2π
4
a) 2π
39. Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada
d)
π 2
2
A b) π e)
D
2
3π 2
c) 4π
2
2
43. Si el lado del cuadrado mide 6cm, hallar el perímetro de la región sombreada
a) 12π + 8 b) 8 π + 8
8
c) 4 π + 8 d) 16 π
8
e) 32π Academia GAUUS
623
JOHN MAMANI M. 7π 3 d) 7π a)
b) 14π
c)
14 π 3
a) 4π d) 12π
b) 6π e) 16π
c) 8π
e) 5π
44. En la figura "O" es el centro del cuadrante y OCB es el diámetro de la semicircunferencia, si OB = 12m , el perímetro de la región sombreada es:
A
O
47. En el gráfico, halle el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 6m.
D
a) 4π d) 7π
60º C
b) 25π e) 12π
c) 18π
B
a) 2 ( 4 π + 4 )
b) 2 ( π + 3 )
c) 2 ( 4 π + 8 )
d) 2 ( 3 + 4π )
48. Si el perímetro del cuadrado es 24m, hallar el perímetro de la región sombreada.
e) 2 ( 3 + 2π ) 45. En el gráfico, calcule el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 8m.
a) 2π d) 6π a) 12π d) 27π
b) 25π e) 16π
c) 18π
b) 3π e) 8π
c) 5π
49. El perímetro del cuadrado es 24cm. Hallar el perímetro de la región sombreada, si las curvas son cuadrantes.
46. En la figura, encontrar el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 12m.
624
a) 6(π + 2)
b) 6π
d) 3π + 12
e) π + 2
c) 5 π + 24
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 50. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 2 2cm , halle el perímetro de la región sombreada. C B
el perímetro de la región sombreada. Si: AB , BC , CD , DE , EF y AF son diámetros.
C
B
D
A D
A a)
2 (5 π + 12) 3
b) 2 2(π + 2)
c)
2 (5 π + 10) 6
d)
e)
2 (5 π + 12) 6
2(2 π + 3)
a) 60 π d) 65π
E
F
b) 48 π e) 56 π
c) 68 π
54. Del gráfico, calcular el perímetro de la región sombreada
51. En el gráfico, el lado del cuadrado es 6cm. Determine el perímetro de la región sombreada.
a) π −
2+2
b) π −
2+4
c) π − 2 2 + 2
2
d) π − 2 2 + 4 e) π − 2 2 + 1
2
55. En la figura ABCD es un cuadrado de lado a) 12 + 7π d) 10 + 5π
b) 12 + 5π e) 12 + 4π
c) 6 + 7π
2 2cm , halle el perímetro de la región sombreada. C B
52. En el gráfico, halle el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 6m.
a) 2 π + 6 d) 3π + 12
b) 5 π + 12 e) 5 π + 6
c) 5 π + 2
53. En la figura A, B, C, D, E y F son vértices de un hexágono regular de 24cm de lado. Hallar Academia GAUUS
D
a)
A 2 (5 π + 12) 3
b) 2 2(π + 2)
c)
2 (5 π + 10) 6
d)
e)
2 (5 π + 12) 6
2(2 π + 3)
625
JOHN MAMANI M.
01. Determine el área de la región sombreada: 4
4
4
04. En la figura se muestra un cuadrado de 8 metros de lado. Halle el área de la región sombreada:
2
6 2
a) 66 d) 99
CEPREUNA–SOC–2015
b) 77 e) 55
c) 88
02. Determine el área de la región sombreada. 4
4
a) 29 d) 32
b) 30 e) 33
CEPREUNA–2011
c) 31
05. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6m determine el area de la region sombreada.
4
B
C
2
6
a) 80 d) 72
UNAP–SOC–2015
b) 88 e) 90
c) 96
03. Halle el área de la región sombreada, si las circunferencia son concéntricas: Si AB = 10m
D
A
2
a) 16 d) 20
b) 14 e) 12
CEPREUNA–SOC–2014
c) 18
06. Halle el área de la región sombreada si el lado del cuadrado mide 6 metros.
A
B
UNAP–BIO–2015
a) 25 π m
2
d) 75 π m
2
626
b) 45 π m
2
e) 100 π m
2
c) 55 π m
2
a) 15 d) 14
b) 16 e) 20
CEPREUNA–SOC–2015
c) 25
07. Halle el área de la región sombreada, si ABCD un cuadrado de lado “L” Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. B
C
A
D
10. Determine el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado perfecto de lado “a”
UNAP–ING–2015
a)
2
L 6
b)
2
2
L 12
c)
2
UNAP–BIO–2015
L 3
2
L d) 4
L e) 5
08. Si ABCD es un cuadrado, cuyo lado mide 4u y CED es un triángulo equilátero, calcule el área de la región sombreada.
C
B
2
a)
4a 13
d)
2a 5
2
b)
3a 8
e)
3a 7
2
2
a 2
c)
2
11. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide “a” D
C
A
B
E
A
D UNAP–BIO–2014
a) 4 + 2 5
b) 8 + 2 5
c) 8 + 2 3
d) 10 + 2 3
e) 8 + 2 3
UNAP–2001
a) π d) a
a
2
2 2
2 2
b) π e)
2
a 4
c)
2
a 5
2
a 2
09. Hallar el área de la región sombreado. 12. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.
2
2
2m
2
a) 8 − π d) π + 2
2
b) 6 − π e) 10 − 3π
UNAP–SOC–EXT–2015
c) π − 2
8m UNAP–ING–2014
Academia GAUUS
627
JOHN MAMANI M. a) 36 d) 24
b) 18 e) 32
16. Hallar el área de la región sombreada.
c) 64
13. Calcular el área de la región sombreada.
2 3
θ θ θ 2 3 UNAP–2002
a) π
2m a) 8 d) 2
b) 16 e) 32
UNAP–SOC–2014
c) 4
c) 2 π −
b) π − 2
d) π −
3
e) 2π
3
17. Hallar el área de la región sombreada, sí
14. Si AB mide 6m todos los radios son iguales. Calcular el área sombreado.
AE = ED .
B
C
2
A
A
B
a) 8 d) 6
b) 6,5 e) 9
c) 5
UNAP–2004
15. Hallar el área de la región sombreada.
D
E
UNAP–EXT–2007
a) 12 d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
18. Calcular el área sombreado.
6
6
6 30º 30º 30º
a
a
6
UNAP–EXT–2010 UNAP–SOC–2008/2012
a) 30π d) 15π
628
b) 18π e) 20π
c) 25π
a)
2a
d) 2a
2
2
b) a
2
e) 3a
c) 4a
2
2
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 19. Hallar el área de la región sombreada:
8
22. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y el radio del círculo es “R”, M, N, P y Q son los puntos medios del cuadrado. B M
8
A
UNAP–EXT–2001/2012
a) 32 d) 20
b) 18 e) 22
C
c) 16
, 20. Si M, N, P, y Q son puntos medios y MN , PQ y QM son arcos de circunferencia. NP Calcular el área de la región sombreada. N
Q D UNAP–2007
a) 2R
b) 2R
d) R
e) 5R
P
a
Q a a) a /4 2
d) 5a /8
b) 3a /4
a) πa
2
c) a /2
2
e) 2a /5
21. Calcule el lado del cuadrado si el área de la 2
región sombreada es de 4m .
d)
2
3 2 πa 4
b) 5 e) 1
Academia GAUUS
2
2
a
a
a
c) 3
3 2 b) πa 2 2 2 e) πa 5
2 2 c) πa 3
24. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4; M y N son puntos medios de los lados y O centro del cuadrado. D C
A
CEPREUNA–2007
a) 4 d) 2
c) R
UNAP–1999 CEPREUNA–2004
2
2
23. En la figura, hallar el área sombreado
aM
2
N
a) 4 − π d) 8 − π
B b) 6 − π e) 2 + π
UNAP–2001
c) 4 + π
629
JOHN MAMANI M. 25. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es “a”
2
2
2
2
a) a (8 − π) b) a (π − 8)
c) a(π − 1)
d) a (5 − π) e) a (5 + π) 28. En la siguiente figura; ABCD es un rectángulo. Calcular el área de la región sombreada. y
UNAP–2003
3 π a) a − 8 16
π 8 b) a − 8 3
π 28 c) a − 3 16
3 2 π − d) a 16 8
2
2
3 2π e) a − 8 16 26. En la figura adjunta calcular el área de la figura sombreada.
x
(–4;0) a) 8(2 − π) d) 6(4 − π)
UNAP–EXT–2000
b) 2(2 − π) e) 4(2 − π)
c) 12(4 − π)
29. En el cuadrado ABCD de lado “a”, calcular el área sombreado. C
D
1u 12u
UNAP–EXT–2008
UNAP–2006
a) 44 d) 42
b) 38 e) 46
c) 40
27. Si ABCD es un cuadrado de lado 3a, y los puntos ubicados en los lados del cuadrado trisecan a estos. Calcule el área de la superficie sombreada. B
B
A
20u
C
2
a)
a 2 (1 − π) b) a (4 − π) 2
d)
a a (4 − π) e) (2 − π) 4 4
2
2
30. Calcule el área de la región sombreada. Si A, B y C son puntos medios. A
B
8 A
D UNAP–ING–2011
2
c) a (2 − π)
C 20 UNAP–EXT–2011
630
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 60 d) 80
b) 84 e) 85
c) 72
31. Calcular el área de la región sombreada si:
OM = AM = 2 3 B
a) 4(6 − π) d) 4(4 − π)
b) 2(2 − π) e) 4(3 − π)
c) 2(4 − π)
34. Hallar el área de la región sombreada:
N r
O
A
M
CEPREUNA–BIO–2011 CEPREUNA–2004
a) 6 π − 5 3 b) 3π −
3
d) 5 π − 6 3 e) 5 π −
2
c) 144π
32. Calcular el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado. Cuyo lado mide 12m. B C
2
b) r (2 − π) c) r (π − 2)
2
e) πr (4 π − 1)
a) πr − 2r d) πr + 2r
2
2
2
35. ABCD es un cuadrado de lado “a” y “O” es el centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A
C O
A
D
E
CEPREUNA–BIO–2014
a) 3(4 π −
3)
c) 3(5 π − 8 3)
b) 3(5 π −
3)
d) 3(5 π − 2 3)
e) 3(5 π − 6 3) 33. En la figura AB = CD = 4m ; ambas rectas son tangentes a la circunferencias. Halle el área de la región sombreada. A B
C
D CEPREUNA–2005
Academia GAUUS
D CEPREUNA–ING–2012
2
a) a /4 2
d) πa /4
2
b) πa /2 e) πa
2
c) a /2
2
36. En un círculo de 1m de radio, se trazan dos diámetros perpendiculares. Tomando como diámetro los radios, se construyen cuatro círculos. El área de la región sombreada es:
a) 2 π − 5 d) 2 π − 7
CEPREUNA–BIO–2013
b) 2π e) π − 3
c) π − 2
631
JOHN MAMANI M. 37. Hallar el área de la región sombreada 6
40. Halle el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4cm B
C
A
D
4
2 CEPREUNA–SOC–2012
a) 32 d) 30
b) 35 e) 20
c) 25
UNAP–ING–2012
a) 2(1 + π)
b) π + 4
d) 2(π + 4)
e) 2(π + 2)
c) 2 + π
38. Halle el área de la región sombreada. 41. Hallar el área sombreada.
3
4
5 UNAP–2002
a) 16π
b) 32π
d) 50π
e) 20π
4
c) 40π
39. Hallar el área sombreada señalado en el cuadrado ABCD, de lado L. D
C
UNAP–SOC–2000/2012/2014
a) 2(π − 2)
b) 4(π + 2)
d) 4(π − 2)
e) 2(π + 2)
c) 4 π − 4
42. Hallar el área de la región sombreada, si los vértices del cuadrado ABCD son centros de los cuartos de circunferencia de igual radio. A
A
B
4
B UNAP–2000
a)
2
2
2
2
L L (2 π − 1) b) π 2 8
L L d) (π − 2) e) (2 π) 4 3
632
c)
2
D
L (π + 2) 16
C UNAP–2001
a) 8(π − 2)
b) 4(π − 2)
c) 2(π − 2)
d) π − 2
e) 12(π − 2)
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 43. Hallar el area de la región sombreada.
46. Halle el área de la región sombreada
4
4
4
4 UNAP–2005
a) 5(2 − π) d)
b) 8(π − 2)
4 (π − 2) 5
e)
c) (π − 4)
π 3
a) 2 π − 1
b) π − 2
d) 4(π − 2)
e) π − 1
UNAP–SOC–2012
c) 2(π − 2)
47. Halle el área de la región sombreada
44. Hallar el area sombreada.
6m
a
6m
a UNAP–2007
2
a 2 a) (π − 2) b) a (π − 3) 2 2
d) a (π − 2)
2
a c) (π − 2) 4
e) π − 3
UNAP–ING–2012
a) 36(4 + π) b) 18(4 − π)
c) 36(4 − π)
d) 72(4 − π) e) 62(4 − π) 48. Hallar el área de la región sombreado. m
45. Calcule el área de la región sombreada
4 m
4
CEPREUNA–ING–2013 UNAP–ING–2012
a) 3(2 π − 1) d) π − 4
b) 2(π − 4) e) 4(π − 2)
Academia GAUUS
c) 6(π − 2)
2
a) m −
π 4
b)
πm 4
2
π−2 c) m 2
2 π−2 2 d) m (2 − π) e) m 4
633
JOHN MAMANI M. 49. Halle el área de la región sombreada
r
52. En la figura mostrada; ADCB, CDEF, FEHG y CFJI son cuadrados de igual área. Calcular que parte del área total es el área de la región sombreada. I J
r
B
CEPREUNA–SOC–2013
2
a) π − 1
b) r (π − 2)
d) 2(π − 2)
e)
c)
2
C
G
F
r (π − 2) 4
A
2
r (π − 2) 2
50. Si M y N son puntos medios de los lados del cuadrado, halle la razón del área de la región no sombreada y el área de la región sombrada.
a) 4/3 d) 3/4
D
H
E
UNAP–2000
b) 1/2 e) 17/40
c) 17/37
53. ¿Qué fracción representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada, si M, N, P y Q son puntos medios? M
N Q
N M a) 7/8 d) 2/5
UNAP–EXT–2012
b) 3/8 e) 5/3
c) 1/8
P UNAP–2009
51. En la figura ABCD y PQRC son cuadrados; siendo “P” un punto medio del lado BC, calcular la relación del área de la región sombreada respecto al área de la región no sombreada. A B P
D a) 3/2 d) 5/12
634
b) 1/3 e) 4
c) 1/2
54. La relación entre el área sombreada y el área del trapecio es: a
Q 2a
R
C b) 2/3 e) 5/6
a) 1/4 d) 4/5
c) 5/7
UNAP–1999
a) 1/2 d) 2/5
b) 1/4 e) 5/3
UNAP–ING–2013
c) 1/3
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 55. ¿Qué parte del área total representa el área de la zona sombreada?
2 c) 36 π 1 − 2 2 e) 6 π 1 − 2
2
2 d) 54 π 1 − 2
2
2
58. Calcular el área del círculo máximo inscrito 2 a) 4/5 d) 2/5
UNAP–EXT–2012
b) 3/2 e) 8/5
c) 3/8
2
56. Hallar el valor del área sombreada en la siguiente figura, si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 4m. B C
A a) 32 + 9π d) 16 − 9π
D b) 32 − 9π e) 16 + 9π
UNAP–1998
c) 30 + 8π
UNAP–2003
a) 2 π(3 − 2 2)
b) 5 π(3 −
2)
c) π(3 − 2 2) e) 2π
d) 3π(3 −
2)
59. De la figura mostrada T es un punto de tangencia, calcule la razón de las áreas de los semicírculos mayor y menor. B
57. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado inscrito, M es el punto medio del lado del cuadrado. B
C
M
A a) 9/4 d) 7/3
12
A
T O UNAP–BIO–2012
b) 25/16 e) 7/4
c) 16/9
60. Hallar el área de la región sombreada:
D UNAP–2003
2 a) 12 π 1 − 2
2
2 b) 18 π 1 − 2
2
3
3
3
3 UNAP–EXT–2002/2010
Academia GAUUS
635
JOHN MAMANI M. a) 3π d) 11π
b) 5π e) 9π
c) 7π
a) 36π d) 81π
61. En la figura P, Q y O son centros de los semicírculos. Si el rectángulo ABCD tiene perímetro 24cm el área de la región sombreada será de: B
Q
P
b) 25π e) 64π
c) 100π
64. Halle el área del círculo sombreado. 1 1 1
C 1 CEPREUNA–BIO–2013
O
A
b) 4 − 8π e) 32 − 9π
a) 8 − 4π d) 8 − 9π
D UNAP–BIO–2012
c) 9 − 8π
a) π(3 − 2 2)
b) π(2 +
2)
c) π(3 − 4 2)
d) π(2 −
2)
e) π(3 + 2 2) 65. Halle el área del círculo sombreado.
4
62. Halle el área sombreada, si el área del cuadrado es 36m
2
4
CEPREUNA–200/2009
a) 36 π( 2 − 1) c) 6 π( 3 − 1)
4
e) 6 π( 2 − 1)
4
b) 24 π( 2 − π) d) 18( 3 − 1)
3
2
2
63. Calcular el área sombreada en la siguiente figura.
a) π d) 2 π / 5
b) π / 2 e) π / 3
CEPREUNA–ING–2013
c) 2 π / 3
66. Calcule el área de la región sombreada. 36
36
CEPREUNA–ING–2013
30
30
a) 16π d) 64π
b) 36π e) 9π
c) 81π
CEPREUNA–ING–2011
636
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 67. Calcule el área sombreada, si ABCD es un cuadrado. 2
A
B
70. Calcular el área de la región cuadra sombreada, que se encuentra superpuesta entre dos sectores circulares como se muestra en la figura. 10
10
5
D
E
a) 36 d) 40
CEPREUNA–SOC–2013
b) 50 e) 20
c) 64
68. En el siguiente cuadrado, hallar el área de la región sombreada.
a) 12 d) 48
b) 36 e) 32
c) 24
UNAP–2006
71. Hallar el área de la región sombreada sabiendo que O es el centro de circulo mayor además MP = 4 y NQ = 6 P
2
2
M A
O
Q
N
CEPREUNA–2007
25 a) π 16
81 b) π 16 49 e) π 36
d) 64π
c)
49 π 9
UNAP–2000
a) 39π d) 36π
69. Calcule el área de la región limitada por el rectángulo inscrito en la circunferencia, si las flechas PQ y RS miden 1cm y 2cm, Respectivamente.
b) 29π e) 37π
c) 49π
72. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 120m
2
B
R S P
Q
A
C
7
5
CEPREUNA–2011
a) 48 d) 54
b) 49 e) 52
Academia GAUUS
CEPREUNA–ING–2014
c) 50
a) 50m
2
b) 70m
2
d) 30m
2
e) 60m
2
c) 30m
2
637
JOHN MAMANI M. 73. Hallar el área de la región sombreada. a
76. En el cuadrado ABCD, si W = 2m Halle “X” A
2
B W
a X UNAP–EXT–2003
2
2
a) a /15
b) a /12
2
e) a /18
2
d) a /4
2
área de la región ABC es 30u ; AP = 2BP y
UNAP–EXT–2006
b) 8 e) 12
c) 10
77. Halle el área de la región sombreada. a
B
P
a
M Q
A
N CEPREUNA–BIO–2013
C UNAP–EXT–2005
a) 3,2 d) 3
C
a) 6 d) 11
74. Hallar el área de la región sombreada, si el BM = MN = NC .
D
2
c) a /6
b) 2 e) 1,5
a)
1 2 a 10
b)
1 2 a 3
d)
1 2 a 4
e)
1 2 a 12
c) 2,5
75. ¿Qué tanto por ciento representa la parte sombreada del hexágono regular?
1 2 a 14
c)
78. Calcule el área de la región sombreada, si ABC es un triángulo equilátero de lado 3.
A
C
B a) 25%
b) 33, 3%
d) 31,2%
e) 30%
638
CEPREUNA–2011
CEPREUNA–2007
c) 37% a)
3
b) 3 3
d)
3 /5
e) 7 3 / 4
c) 1 +
3
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 79. Hallar el área de la región sombreada. 6
2
82. Si el área del cuadrado ABCD mide 40m , y PQRS son los puntos medios de los lados. ¿Cuál será el área de figura sombreada? Q C B
6
P
R
CEPREUNA–SOC–2013
a) 3 d) 2
b) 4 e) 5
c) 6
A
80. En la figura adjunta es un paralelogramo de 2
vértices ABCD cuya área mide 208m , halle el área de la región sombreada, si R y S son puntos medios de los lados S B C
D
S
a) 25 d) 15
b) 20 e) 10
c) 12
UNAP–2003
83. El área de la región paralelogramo ABCD es 2
24u . Halle el área sombreado. D
C
R A
A
D UNAP–BIO–2011
a) 13m
2
b) 26m
2
2
e) 30m
2
d) 52m
c) 104m
2
B
a) 8 d) 12
UNAP–EXT–2009
b) 9 e) 10
c) 14
84. En la figura adjunta, el radio del círculo es R. Calcular el área de la región sombreada.
81. ¿Qué porcentaje representa el área no sombreado? Q
B
C
A
S
D UNAP–SOC–2011
a) 50% d) 10,4%
UNAP–1997
R
P
b) 25% e) 50,75%
Academia GAUUS
c) 75%
2
a)
R (4 π − 3 3) 3
c)
R (4 π + 3 3) 2
2
2
e) 2R (4 π −
b)
2
R (3 3 − 4 π) 3
d) R
2
3(4 π − 6)
3)
639
JOHN MAMANI M. 85. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que: AB = 20m
además AB es diámetro, O1 y O 2 son centros. Entonces, el área S es:
A
S2 O2
B
S
A a) 80π d) 120π
b) 90π e) 100π
S1
c) 110π
86. En el rectángulo PQRS, PS=6 y PT=2, el área de la región sombreada es igual a: P
T
Q
B
O1
UNAP–1999
a) 20 d) 6
UNAP–2010/2011
b) 12 e) 10
c) 8
89. El área de las regiones sombreadas es igual a: 2L L
L L
2L
L/2
L
L L
L/2
a) 47 d) 57
b) 54 e) 52
UNAP–2002
c) 50
87. Calcular el área de la corona circular sombreado, formado por círculos inscrito y circunscrito a un cuadrado cuya área es “S”.
L
L L
L/2
UNAP–SOC–2012
R
S
L/2
2
a) L
2
3 b) L 6 + 4
3 2 + 4L 4
3 2 d) L 1, 5 + 4
3 2 c) L 8 + 4 3 2 e) L 4 + 4
90. Si el lado del cuadrado es de 2 3 , hallar el valor de la región sombreada. a a a
3a
UNAP–2004
a) Sπ / 4 d) 2Sπ
b) Sπ / 2 e) 4Sπ
a
88. En la figura, las áreas de las regiones 2 sombreadas son: S 2 = 20u y
640
3a
c) Sπ
S1 = 12u 2 ;
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
a
a UNAP–ING–2003/2012
c) 5
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 91. Hallar el área de la región sombreada de la siguiente figura, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero y su lado mide 12cm. Además M, N, y P son puntos medios de los lados del triángulo.
94. ABCD es un paralelogramo, P y Q son puntos medios. Calcule el área sombreado si: AB = 10 y DH = 4 P D C
B
M
Q A
N
A
P
a) 10 d) 40
C UNAP–ING–2012
a) 3(12 3 − 2π)
b) 3(12 3 − π)
c) 3(2 3 − 2π)
d) 3(3 3 − π)
B
H
UNAP–BIO–2013
b) 20 e) 50
c) 30
95. Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios. M
e) 3(2 3 − π) N
2 2
2
92. El área de la sala es de 27m ; el área de la 2
oficina es de 12m . Si todas las habitaciones son cuadradas. ¿Cuál es el área del salón de actos? Oficina Salón de actos
Sala
2 2
a) 2 d) 3,5
b) 3 e) 4
c) 2,5
UNAP–2002
96. Halle el área de la región del trapecio ABCD, 2
si el área del triángulo ABH = 8m , además a) 64 d) 84
b) 75 e) 40
UNAP–BIO–2013
c) 54
93. El área de la región sombreada es igual a 15 veces el área de la región no sombrada y la suma de los perímetros de ambos cuadrados es 40m. Encuentre el área de la región no sombreada.
CD × AH = 24m A
D a) 20 d) 32
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
Academia GAUUS
2
B
H b) 16 e) 30
C UNAP–SOC–2000/2013
c) 24
UNAP–SOC–2005/2013
c) 3
641
JOHN MAMANI M. 97. Se sabe que ABC y CDE son 2 triángulos equiláteros de lados a y 2a. Calcule el área de la región sombreada. B
D
A
2a
b) 2π e) 9π
c) 8π
100. Se sabe que ABC y CDE son dos triángulos equiláteros de lados 4 y 8. Calcule el área de la región sombreada. B
D
E
a
C
a) 4π d) 6π
UNAP–EXT–2006
a) a d)
2
a
b)
2
2
2
a
2
2
e) a
3
2
2
c)
a
2
3
A
2
E
C
UNAP–EXT–2013
3
98. Halle el área de la región sombreada.
a) 16 3
b) 8
c) 8 3
d) 16
e) 4 3
101. En la figura mostrada, A, B, C, D, E y F son puntos medios de las aristas del cubo cuyo 3
volumen es 64 cm . Calcule el área de la región sombreada.
2 7 2 a) π( 2 + 5)
2
c) π( 2 − 5)
2
e) π(2 −
2
5)
C B
UNAP–EXT–2011
b) π(4 2 + 5) d) π(4 2 − 5)
2
2
D A
99. Halle el área de la región sombreada. E F UNAP–EXT–2013
12
a) 24 3
b) 12 3
d) 16 3
e) 6 3
c) 8 3
102. Si la región sombreada es un triángulo 2
rectángulo de 50m de área, encuentre el área del cuadrado ABCD, Además M es el punto medio del lado BC.
5 UNAP–EXT–2014
642
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. A
3b
B a M
D
a b
C
b
b
CEPREUNA–2009
a) 250 d) 220
b) 180 e) 160
c) 200
CEPREUNA–ING–2013
a) 8 d) 12
103. En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada.
b) 10 e) 6
106. En la figura, se tiene un rectángulo ABCD, AB= 5 y BF= 1, el área de la región sombreada es igual a: F
B
8
C
6 10
D
A CEPREUNA–SOC–2013
a) 100 d) 118
c) 4
b) 105 e) 98
c) 108
CEPREUNA–ING–2013
a) 66 d) 65
104. Determine el área de la región sombreada de la siguiente figura
10 5
b) 60 e) 70
107. Si ABCD es un cuadrado con lado 8m y las cuatro semicircunferencias tangentes tienen la misma longitud, halle el área de la sección sombreada. B
6
c) 64
C
5 10 CEPREUNA–BIO–2012
a) 25 d) 10
b) 5 e) 20
c) 15
105. Halle el área de la región sombreada, si el 2
área del paralelogramo es 12m .
Academia GAUUS
A
D CEPREUNA–ING–2014
a) 16(4 + π)
b) 4(4 + π)
c) 8(4 − π)
d) 16(4 − π)
e) 4(4 − π)
643
JOHN MAMANI M.
Análisis Combinatorio CAPÍTULO XXII FACTORIALES n = n ! = 1 × 2 × 3 (n − 1)n
; n∈
+
Propiedades: 1. Por convención: 0!= 1! = 1 2. n ! = n(n − 1)(n − 2)! 3. n !! = 2 × 4 × 6 × × n ; n es par 4. n !! = 1 × 3 × 5 × × n ; n es impar
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
PERMUTACIONES CIRCULARES: Es aquella permutación donde los elementos se ordenan formando una línea cerrada o cuando se ordenan alrededor de un objeto circular. Pc (n) = (n − 1)! PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN Se van a ordenar n elementos, de los cuales hay algunos que se repiten: n! n P k ,k ,k = 1 2 3 k 1 ! × k 2 ! × k 3 ! ......k n !
PRINCIPIOS ADICIÓN
MULTIPLICACIÓN
No simultáneamente (ó)
Simultáneamente (y)
PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN TÉCNICAS PERMUTACIÓN
COMBINACIÓN
Si importa el orden como se toman los elementos.
No importa el orden como se toman los elementos.
Donde: n : número total de elementos k 1 , k 2 , k 3 ,…,k n : número de elementos repetidos de cada clase. k 1 + k 2 + k 3 + ……… + kn ≤ N COMBINACIONES: Son los diferentes agrupamientos que se obtienen con n elementos tomados de k en k. En una combinación no importa el orden como se toman los elementos.
= Cn k
n! ;0 ≤ k ≤ n k !(n − k ) !
Propiedades
PERMUTACIONES: Las permutaciones de “n” elementos tomados de r en r se pueden calcular así: n
Pr = n(n − 1)(n − 2)
1≤ r ≤ n
" r " factores
PERMUTACIONES LINEALES: Cuando se ordenan los distintos elementos de un conjunto en una fila.
n 1 n C =1 n n C + Cn = C n +1 k −1 k k n n n C + C + C ++ 1 2 3
C =n
C n = 2n − 1 n
Pn = n !
644
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. FACTORIALES Donde: x !− 24 = 0 x! = 4! x=4
PROBLEMA 01 Calcular: “R” 11!+ 10! 12!+ 11!+ 10! b) 1/12 e) 1/34
R=
a) 1/7 d) 1/16
c) 1/13
PROBLEMA 03 Hallar “x” en:
( x + 9 ) !( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 8 ) !+ ( x + 7 ) !
Resolución R=
R=
11 × 10!+ 10! 12 × 11 × 10!+ 11 × 10!+ 10!
a) 1 d) 4
10! ( 11 + 1 )
b) 2 e) 5
10! ( 132 + 11 + 1 )
Resolución Factorizando el denominador. ( x + 9 ) !( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 8 ) ( x + 7 ) !+ ( x + 7 ) !
12 R= 144 1 R= 12
( x + 9 ) !( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 7 ) ! ( x + 8 ) + 1 ( x + 9)!
PROBLEMA 02 Hallar “x”
c) 6
x+9 ( x + 9)( x + 8)!
20 ( x !− 6 = ) x ! ( x !+ 1 )
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
20 x !+ 120=
= 14 !
= 14 !
( x + 9) 14 ! ( x + 8)! =
c) 3
14 x+8= x=6
Resolución ( x !) 2 + x ! 2
0 =( x ! ) − 19 ( x ! ) − 120 0 =− ( x ! 24 ) ( x !+ 5 )
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular:
a) 1 d) 121
02. Calcular: 80! 40! + 79! 39! b) 120 c) 119 e) 122
Academia GAUUS
M=
a) 55 d) 88
b) 66 e) 99
78! 76! + 77!
c) 77
645
JOHN MAMANI M. 03. Hallar: E=
a) 5 d) 8
5! + 6! + 7! 5! + 6!
b) 6 e) 9
c) 7
04. Reducir: F=
a) 1/17 d) 1/3
15! + 16! 15! + 16! + 17!
b) 1/15 e) 1/2
c) 1/16
05. Calcular: F=
a) 121/120 d) 121/12
10! + 9!+ 11! 10! + 11!
b) 12/125 e) 12/221
c) 1/120
06. Calcular: P=
a) 12 d) 15 07. Reducir:
b) 13 e) 10
= E
a) 100 d) 98
13! + 12!+ 14 ! 12! + 13!
a) 22 d) 25
12! 14 ! + 11!+ 10! 13! + 12!
b) 23 e) 26
c) 24
09. Calcular: 9!+ 8! 10!+ 9! 8! 9!
646
c) 130
10. Simplificar: 83! 40!+ 41! × 81!+ 82! 42! b) 5 c) 3 e) 4
a) 1 d) 2 11. Simplificar:
41! 19!+ 20! 40!+ 39! 21!
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
12. Calcular: 124 ! 40!+ 41! 42! 123!+ 122!
a) 1 d) 4 13. Reducir:
b) 2 e) 6 S=
a) 1 d) 1/4
b) 2 e) 6
c) 3
9!× 17! 8!× 18! c) 1/2
14. Halle:
c) 108
08. Calcular: E =
b) 120 e) 12
c) 14
10! 100! + 9!+ 8! 99! + 98!
b) 99 e) 81
a) 110 d) 10
4 ! × 15! B= 7! × 13!
a) 1 d) 32
b) 64 e) 128
3!
c) 16
15. Simplifique: 2
a) 3700 d) 3600
(6!) 4 !+ 5! b) 3500 c) 3400 e) 3800
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 16. Calcule: ((3!)!)!+ 719! 359 = E + 721! (3!)!
a) 1/2 d) 1/3
b) 1/6 e) 1/5
c) 1/4
17. Halle la suma de cifras de (2x)! Si ( x + 1)! = 24 a) 7 d) 3
b) 2 e) 11
b) 4 e) 8
c) 5
20. Hallar “n” si: [(n! + 2)! – 4]! = 20! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21. Calcular la suma de los valores que toma “x” en: (x – 5)! = 1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 22. Calcular el valor de “n” en: (4n – 6)! = 1 a) 7/4 b) 3/2 c) 1/4 d) a y b e) a o b
a) 6 d) 8
(x + 3)! = 56 (x + 1)!
b) 7 e) 5
Academia GAUUS
b) 7 e) 10
c) 8
25. Resolver: ( x + 2)! ( x − 5)! + = 28 x! ( x − 7)!
a) 6 d) 8
19. Hallar “x” en la expresión (2 x − 3)! = 120
23. Calcular "x" si:
a) 6 d) 9
c) 9
18. Calcular el valor de “n”: (n – 10)! = 120 a) 1 b) 2 c) 10 d) 14 e) 15
a) 3 d) 6
24. Resolver “x” en: (x + 5)! = 156 (x + 3)!
b) 7 e) 5
c) 4
26. Hallar “n” (n + 1)! 8! 18! + = n! 7!+ 6! 17! ⋅ 16!
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
27. Calcule: E =
((3!)!)!+ 719! 359 + 721! (3!)!
a) 1/2 d) 1/3
b) 1/6 e) 1/5
c) 1/4
28. Calcular:
a) 1 d) 1/7
(7!!− 1)! (7!− 1)! (7 − 1)! 7!!! b) 7! c) 1/7! e) 49
29. Reduzca: ( x + 1)!+ x ! −x+2 ( x − 1)!+ ( x − 2)!
a) x
b) − x
d) 1
2
e) x
c) 0
c) 4
647
JOHN MAMANI M. 30. Reduzca la siguiente expresión R = 3 × 6 × 9 × 12 × 15 × × 3n n
a) 3 × n ! d) 3
2n
× n!
b) n × 3
n
2
37. Halla “n” en:
e) 3 × n !
n
32. Encuentre la suma: 0! 1! 2! 3! + + + + (n sumandos) 2! 3! 4 ! 5! n n+4
b)
n n+1
d)
n n−1
e)
n n+3
2 c− 8
33. Si: 3 = 3(4 !) + 3 Halle: 2 c − 2 a) 14 b) 15 d) 20 e) 18
a) 4 d) 8
c)
n n+2
2
c) 16
c) 16
38. Hallar el valor de “a” en la siguiente igualdad: a !(a !− 3)= 18(a !+ 4) b) 2 e) 6
c) 4
39. Hallar “n”: 22(n !+ 1) 1 + n !− 5 n !− 5 b) 6 c) 4 e) 2
= n !+ 5
a) 3 d) 8
40. Calcule “x” en: x ( x − 1)!( x !− 21) = 1 + 2! 4! a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
n
(n + 2)! (n − 5)! 28 − = n! (n − 7)!
b) 10 e) 12
c) 16
35. Hallar “n” (n − 5)!(n − 6)! 2 = 720(n − 12n + 35) (n − 5)!− (n − 6)! a) 22 d) 18
n !+ 6 1 = n !(n !+ 1) 20
41. Simplificar:
34. Resolver:
a) 4 d) 8
c) 5
b) 10 e) 12
a) 5 d) 3
e) 2 × n !
a)
b) 4 e) 8
c) 3!× n !
n!
31. En forma reducida, ¿Cómo se podría escribir la expresión? E = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × × 2n b) n × n !(2) c) n × n ! a) 2 × n ! d) n × n !
a) 3 d) 6
b) 14 e) 20
c) 16
36. Hallar “n”
n !+ 1
(n + 1)!
(n − 1)!
n!
n(n !)
n ! (n − 1)!
a) n! d) 1/n
b) n+1 e) n2
c) n
42. Si: a + b = 5! ; además: a b c d = = = = k 5! 6! 7! 8!
Hallar: d − c a) 6! b) 0 d) 7! e) 5!
c) 1
20(n !+ 6)= n !(n !+ 1)
648
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Resolución
PROBLEMA 01 Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, ¿De cuántas maneras distintas pueden realizar el viaje? a) 7 b) 12 c) 10 d) 13 e) 24
Los resultados del dado en nada afectan a los resultados de la moneda. Entonces los eventos no ocurren simultáneamente. Nº de resultados = 2 + 6 = 8
Resolución
Una persona puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de “B” a “C” de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder? a) 7 b) 12 c) 10 d) 12 e) 6
PROBLEMA 03 Si viaja por vía terrestre ya no viaja por vía aérea. Entonces los eventos no ocurren simultáneamente. Nº de maneras = 2 + 5 = 7
Resolución
PROBLEMA 02 ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda? a) 2 b) 12 c) 8 d) 13 e) 6
Para ir de “A” a “C”, debe tomar uno de los caminos de “A” a “B”, y seguidamente debe tomar uno de los caminos de “B” a “C”. Nº de maneras = 3 x 2 = 6
¡Comprueba lo que sabes! 01. Fausto desea viajar hoy de Lima a Piura y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 2 líneas terrestres. ¿De cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 7 02. Rosita para ir a de su casa al colegio lo hace tomando un solo microbús. Si por su casa pasan 3 líneas de transporte que la llevan al colegio, ¿de cuantas maneras diferentes, según el microbús que tome, llegara Rosita al colegio?(Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 4 microbuses y la línea C tiene 8 microbuses) a) 11 b) 12 c) 15 d) 14 e) 16 Academia GAUUS
03. ¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formarse con 4 niños y 2 niñas? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 5 04. Rosa posee 3 blusas, 2 pantalones y 4 pares de zapatos, todos diferentes. ¿De cuantas maneras distintas puede vestirse utilizando las prendas mencionadas? a) 20 b) 24 c) 28 d) 21 e) 22 05. Para comprar un libro de Razonamiento Matemático Valery tiene tres lugares distintos para hacerlo: frente a su colegio donde hay 2 librerías, en la Av. Canadá donde hay 3 librerías y en una feria de libros escolar donde
649
JOHN MAMANI M. hay 4 puestos. ¿De cuantas maneras diferentes puede obtener el libro de razonamiento matemático? a) 12 b) 8 c) 14 d) 10 e) 9 06. Para ir de Lima a Ica hay 3 líneas de transporte diferentes, para ir de Ica a Arequipa hay 4 líneas de transporte y para llegar de Arequipa a Tacna hay 2 líneas de transporte. ¿De cuantas maneras diferentes puede ir una persona de Lima a Tacna pasando por Ica y Arequipa? a) 24 b) 28 c) 30 d) 21 e) 27 07. Carlos lleva al cine a María y a sus tres hermanos y encuentra 5 asientos libres en una fila. ¿De cuantas maneras diferentes podrán sentarse? a) 124 b) 132 c) 120 d) 122 e) 100 08. Cuatro viajeros llegan a una ciudad que tiene 7 hoteles; ¿de cuantas maneras pueden ocupar sus habitaciones, si cada viajero se hospeda en un hotel diferente? a) 866 b) 835 c) 884 d) 840 e) 804 09. ¿De cuantas acomodar 4 asientos? a) 128 d) 120
maneras diferentes se pueden alumnos en una fila de 5 b) 126 e) 124
c) 122
a) 10 d) 6
b) 12 e) 7
c) 9
12. ¿Cuántos números pares de dos cifras existen? a) 42 b) 38 c) 29 d) 40 e) 45 13. De Perú a Estados Unidos hay 4 aerolíneas diferentes; ¿de cuantas maneras se puede viajar de Perú a Estados Unidos y regresar en aerolínea distinta? a) 10 b) 14 c) 13 d) 12 e) 15 14. En el menú de un restaurante se ofrece 3 platos diferentes y 4 postres. ¿De cuantas maneras diferentes se puede elegir un almuerzo de 1 plato y 1 postre? a) 18 b) 13 c) 17 d) 12 e) 15 15. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos(iguales), cinco pares de medias(tres iguales), dos pares de zapatos, ocho corbatas(dos iguales) y seis camisas(tres iguales)? a) 154 b) 168 c) 135 d) 160 e) 162 16. ¿Cuántos números de dos cifras no tienen en su escritura al 2, ni al 5, ni al 8? a) 35 b) 42 c) 49 d) 63 e) 72
10. ¿Cuántos números de 3 cifras existen tales que su cifra central es par y el producto de las cifras extremas, impar? a) 125 b) 120 c) 118 d) 115 e) 124
17. En una carrera de 100 metros participan 6 atletas. ¿De cuantas formas distintas se podrá premiar a los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? a) 216 b) 18 c) 15 d) 120 e) 60
11. Existen 5 profesores y 2 profesoras que imparten el curso de Aritmética. ¿De cuantas maneras diferentes un estudiante puede escoger a un profesor?
18. En una biblioteca hay 4 libros de novelas de misterio, 5 novelas de romance y 3 novelas de aventuras. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer 2 libros del mismo género?
650
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 12 d) 65
b) 132 e) 44
c) 38
19. ¿Cuántos números de tres cifras tienen todas su cifras diferentes entre si? a) 540 b) 480 c) 648 d) 610 e) 360 20. Un alumno debe matricularse en 3 cursos para su horario. Si puede escoger su horario entre mañana o tarde, y en cada curso tiene 3 maestros diferentes y tiene que escoger uno, ¿de cuantas maneras diferentes puede matricularse el alumno? a) 36 b) 35 c) 54 d) 28 e) 10 21. Una placa de rodaje consta de tres letras seguidas de tres dígitos y se usan 26 letras del alfabeto para formarlas. ¿Cuántas placas de rodaje diferentes saldrán, si los dígitos pueden ser desde el 0 hasta el 9? a) 160
3
d) 260
3
b) 360
3
e) 240
3
c) 340
3
22. Rocío consulta en tres tiendas comerciales para comprar un televisor. Le ofrecieron tres, cinco y ocho líneas de crédito, respectivamente, todas distintas. ¿De cuantas maneras diferentes podrá adquirir el televisor, escogiendo una de las líneas de crédito que le ofrecieron? a) 10 b) 17 c) 16 d) 14 e) 24 23. Christian va a salir a una reunión con sus amigos del colegio. Al ir a su ropero, donde guarda su ropa, encuentra 7 polos de distinto color y 5 camisas de distinto color. Si ya eligió sus zapatos y pantalón, ¿de cuantas formas se podrá vestir con las prendas que le faltan? a) 12 b) 14 c) 35 d) 11 e) 10 24. Luis posee 2 pares de zapatillas, 5 polos deportivos y 6 shorts. Si todas las prendas son Academia GAUUS
de distinto color y desea salir a jugar futbol, ¿de cuantas maneras se podrá vestir con esas prendas? a) 30 b) 18 c) 43 d) 55 e) 60 25. Jorge necesita comprar un saco de harina para elaborar pan en su panadería. Al ir al mercado, en uno de los puestos, encuentra 4 marcas distintas y en otra tienda encuentra otras 6 marcas a su disposición. ¿de cuantas formas podrá elegir la compra del saco de harina que necesita? a) 20 b) 30 c) 25 d) 10 e) 15 26. Carlitos posee 5 pantalones, 2 shorts, 3 polos, 3 pares de zapatillas y 3 gorros, todas estas prendas de distinto color. ¿De cuantas maneras se podrá vestir con estas prendas? a) 194 b) 156 c) 189 d) 198 e) 137 27. Un código consta de 4 cifras que se podrán elegir de los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. ¿Cuántos códigos se podrán formar, si estos deben tener cifras diferentes? a) 866 b) 835 c) 884 d) 840 e) 804 28. Jacinto tiene 6 camisas (3 del mismo color), 6 pantalones (2 del mismo color) y 3 pares de zapatillas. ¿De cuantas formas se podrá vestir con estas prendas? a) 50 b) 64 c) 65 d) 55 e) 60 29. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 2 dados y una moneda? a) 14 b) 24 c) 72 d) 143 e) 74 30. Omar desea comprar un celular y la empresa “Clarito” le ofrece 7 modelos distintos, la empresa “Moviton” 6 modelos distintos y la empresa “Next”, otros 8 modelos distintos.
651
JOHN MAMANI M. ¿Cuántas opciones tendrá para escoger su celular? a) 12 b) 13 c) 20 d) 32 e) 21 31. Arturo desea estudiar 2 carreras distintas en 2 universidades diferentes. Si la Universidad del Sur le ofrece 5 carreras de su agrado y la Universidad del centro le ofrece otras 7, ¿de cuantas formas podrá elegir las carreras a estudiar? a) 12 b) 16 c) 17 d) 35 e) 32 32. ¿Cuántas banderas tricolor podre formar con los colores: rojo, azul, verde, blanco, plomo y amarillo?(la bandera está compuesta por franjas horizontales) a) 210 b) 60 c) 120 d) 240 e) 180 33. ¿Cuántos menús podre escoger con 3 entradas distintas, 6 platos de fondo diferentes y 3 tipos de bebida, si puedo escoger uno de cada tipo? a) 54 b) 12 c) 36 d) 108 e) 72 34. Ana ira al mercado a comprar frutas, pero solo podrá escoger 2 tipos de estas. En un puesto encuentra 4 frutas distintas y en otro 6 frutas distintas a las anteriores. Si compra una fruta de cada puesto, ¿de cuantas formas podría realizar dicha compra? a) 12 b) 14 c) 24 d) 18 e) 36 35. Se tiene 3 pares de zapatos, 5 pantalones, 4 camisas (todos de distinto color). ¿De cuantas formas se podrá vestir con estas prendas?
652
a) 12 d) 23
b) 60 e) 62
c) 19
36. En el aula de una I.E. se desea elegir a una pareja (hombre y mujer) para que los represente en el baile de la primavera. Si en dicho salón hay 20 mujeres y 17 hombres, ¿Cuántas posibles parejas se podrán formar? a) 310 b) 320 c) 340 d) 375 e) 420 37. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se podrán formar con los números 2; 3; 4; 5; 6; 7? a) 100 b) 120 c) 108 d) 110 e) 112 38. Aldo, Beto, Carlos y Dante participaron en una carrera de 100 metros planos donde se premió con notas de 20 y 19 a los dos primeros lugares. ¿De cuantas formas se realizó la premiación, si no hubo empates? a) 10 d) 18
b) 12 e) 16
c) 14
39. Ana, María, Lucero y Rubí compraran un edificio de 4 pisos y se repartirán la propiedad tocándole un piso a cada una. ¿De cuantas formas podrán hacer dicha repartición? a) 16 b) 32 c) 48 d) 24 e) 36 40. Se desea premiar a los 3 primeros lugares de una carrera de caballos con diferentes premios. Si se inscriben 8 caballos, pero se retiran 2, antes del inicio de la carrera. ¿De cuantas formas se podrá hacer la premiación, si no habrá empates? a) 10 b) 100 c) 130 d) 120 e) 150 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 41. Carlos tiene 5 pantalones (tres iguales), 6 camisas (4 iguales) y 3 pares de zapatos distintos. ¿De cuantas formas distintas podrá vestirse con estas prendas? a) 180 b) 60 c) 27 d) 36 e) 72 42. María desea viajar de Lima a Cusco. Si dispone de 4 líneas aéreas y 3 líneas terrestres, ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? a) 7 b) 14 c) 10 d) 15 e) 14 43. Betty tiene 4 pares de zapatos, 6 pares de zapatillas y 2 pares de sandalias. ¿De cuantas maneras diferentes podrá usar los calzados? a) 15 b) 12 c) 14 d) 20 e) 14 44. Jackie tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas de diferentes modelos y 2 pares de zapatos diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir? a) 14 b) 27 c) 23 d) 24 e) 74 45. Una persona puede viajar de “A” a “B” por 2 caminos y de “B” a “C” por 5 caminos. ¿Por cuantos caminos diferentes puede ir dicha persona de “A” a “C” siempre pasando por “B”? a) 10 b) 15 c) 19 d) 12 e) 13 46. Entre Lima y Huancayo hay 5 líneas de automóviles diferentes y entre Huancayo y Ayacucho hay 3 líneas de automóviles también diferentes. ¿De cuantas maneras puede una persona ir de Lima a Ayacucho y regresar en líneas diferentes? Academia GAUUS
a) 100 d) 110
b) 120 e) 112
c) 108
47. ¿De cuantas maneras diferentes podrá vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos, 3 pares de medias y 6 polos (2 iguales)? a) 180 b) 688 c) 14 d) 83 e) 79 48. ¿Cuántos números de 4 cifras existen en el sistema heptanario? a) 2564 b) 2455 c) 1353 d) 2058 e) 2133 49. Un grupo de estudios consta de 12 alumnos a los cuales se les toma un examen. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? a) 1320 b) 1476 c) 1012 d) 1647 e) 1427 50. Si un club tiene 4 candidatos para presidente, 3 candidatos para secretario y 2 candidatos para tesorero, ¿de cuantas maneras puede elegirse la mesa directiva? a) 32 b) 76 c) 12 d) 24 e) 42 51. ¿Cuántas placas diferentes para automóviles pueden hacerse, si cada una consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos distintos? (considerar 26 letras del alfabeto). a) 486 × 10
4
d) 468 × 10
3
b) 378 × 10
3
e) 634 × 10
4
c) 35 × 10
3
52. Liliana puede viajar de Lima a Huancayo por vía aérea o por vía terrestre; tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 6 líneas
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JOHN MAMANI M. terrestres. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar el viaje? a) 10 b) 13 c) 9 d) 6 e) 8 53. ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado o una moneda? a) 12 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8 54. Jessica tiene 4 blusas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos, todos de diferentes colores. ¿De cuantas maneras podrá vestirse correctamente usando dichas prendas? a) 9 b) 24 c) 12 d) 20 e) 19 55. Emily puede viajar de Tumbes a Lima por 3 caminos diferentes y de Lima a Tacna por otros 2 caminos diferentes. ¿Por cuantos caminos puede viajar de tumbes a Tacna pasando por Lima? a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 16 56. Con 6 hombres y 6 mujeres, ¿de cuantas maneras se puede formar una pareja? a) 12 b) 18 c) 26 d) 32 e) 36 57. ¿De cuantas maneras diferentes podrá vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos (2 iguales), 5 pares de medias y 6 polos (3 iguales)? a) 360 b) 300 c) 280 d) 220 e) 180
a) 3280 d) 6030
b) 4900 e) 6840
c) 5648
59. El edificio de la Sunat tiene cinco puertas de entrada y cinco de salida para el público. Si Jorge se encuentra fuera del edificio, ¿de cuantas maneras diferentes podrá entrar y salir de la Sunat utilizando puertas diferentes en cada caso? a) 20 b) 18 c) 25 d) 10 e) 9 60. Carlos desea comprar un producto y sabe que lo venden en tres mercados distintos. En el primero lo tiene 8 tiendas, en el segundo tres y en el tercero dos. ¿En cuántas tiendas distintas puede adquirir el producto? a) 13 b) 16 c) 24 d) 218 e) 15 61. De Lima a Ica existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna 5 caminos también diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes podrá ir de Lima a Tacna y regresar si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 b) 240 c) 401 d) 380 e) 399 62. Susana tiene 6 blusas de colores diferentes y 6 minifaldas también de colores distintos. ¿De cuantas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez, si la blusa azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas? a) 64 b) 49 c) 100 d) 36 e) 25
58. Veinte corredores compiten en un Rally para el cual hay 1º, 2º y 3º premio. ¿De cuantas maneras pueden concederse los premios?
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Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PERMUTACIÓN PROBLEMA 01 ¿De cuántas maneras diferentes puede colocarse 4 soldados en una fila? a) 21 b) 20 c) 24 d) 120 e) 14
a) 6 d) 120
b) 720 e) 14
c) 24
Resolución PC (6) = (6 − 1)! PC (6) = 5!
Resolución
PC (6) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
P(4) = 4 ! P(4) = 4 × 3 × 2 × 1 P(4) = 24
PC (6) = 120
PROBLEMA 04 PROBLEMA 02 En una asamblea de accionistas, hay 6 personas que han solicitado el uso de la palabra. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden hablar si es que no se ha establecido un orden de prioridades? a) 21 b) 20 c) 24 d) 120 e) 14
Resolución P(6) = 6! P(6) = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 P(6) = 120
Se tienen 3 fichas rojas, 2 azules, 1 verde y 1 negra todas de igual forma. ¿De cuántas formas diferentes se podrán colocar estas 7 fichas en línea recta? a) 610 b) 220 c) 240 d) 320 e) 420
Resolución 7! = 3!× 2! 7 × 6 × 5 × 4 × 3! 7 P3;2 = 3!× 2
7 P3;2
7
P3;2 = 420
PROBLEMA 03 ¿De cuántas maneras distintas se podrá ubicar 6 personas alrededor de una mesa circular?
¡Comprueba lo que sabes! 01. De cuántas maneras diferentes se pueden tomarse una foto 3 amigas? a) 4 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6 02. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 5 asientos? Academia GAUUS
a) 60 d) 100
b) 24 e) 120
c) 90
03. ¿Cuantas palabras diferentes se puede formar intercambiando de orden las letras de la palabra MIRA? a) 720 b) 24 c) 120 d) 56 e) 28
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JOHN MAMANI M. 04. ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse 4 alumnos en una fila de 4 asientos? a) 24 b) 28 c) 22 d) 10 e) 16 05. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar intercambiando de lugar las letras de la palabra CASERO? a) 120 b) 125 c) 130 d) 720 e) 345 06. Con todas las letras de la palabra “ALIBABA” ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar, sin importar lo que diga? a) 560 b) 420 c) 240 d) 360 e) 340 07. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila 5 amigas (Ana, Rosa, Luz, Paola y Dina?, si Luz y Ana siempre deben estar juntas. a) 24 b) 36 c) 48 d) 42 e) 56 08. ¿De cuántas maneras diferentes podrían hacer cola para comprar pan, 5 amigas, si Sandra estará siempre adelante y Claudia siempre estará ultima? a) 24 b) 10 c) 6 d) 12 e) 8 09. Seis amigos (3 varones y 3 mujeres), ¿de cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en fila, si en ningún momento 2 personas del mismo sexo estarán juntas? a) 144 b) 48 c) 36 d) 72 e) 24 10. Cuatro parejas de novios, ¿De cuántas maneras pueden ubicarse alrededor de una fogata, de modo que cada pareja no se separe? a) 72 b) 120 c) 96 d) 90 e) 92
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11. ¿Cuántas señales diferentes de dos banderas se podrán hacer, si se dispone de 8 banderas de diferentes colores? a) 28 b) 72 c) 48 d) 56 e) 36 12. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular 6 personas? a) 120 b) 125 c) 130 d) 720 e) 345 13. ¿De cuántas maneras diferentes siete amigos podrán ubicarse en fila, si Carlos y Daniel estarán siempre en los extremos y además Boris estará en el medio? a) 64 b) 96 c) 24 d) 48 e) 36 14. ¿De cuántas maneras diferentes 4 varones y 2 mujeres se podrán ubicar en una fila, si los varones deben estar juntos, y las mujeres también? a) 144 b) 288 c) 140 d) 96 e) 36 15. ¿De cuántas maneras diferentes 5 amigos A, B, C, D y E pueden ubicarse en la fila, si A y B deben estar siempre juntos y en un extremo? a) 24 b) 12 c) 48 d) 36 e) 28 16. De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 4 hombres y 5 mujeres de modo que todas las mujeres esten juntas y los hombres por su lado? a) 120 b) 240 c) 720 d) 1 024 e) 1 500 17. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar las 9 personas, de modo que la esposa y las novias estén juntos y a la derecha de sus respectivas pareja si hay una esposa y 2 novios? a) 72 b) 120 c) 150 d) 225 e) 625 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 18. Calcula el número de variaciones que se pueden formar con las letras de la palabra “AMARRA” sin necesidad que tenga significado. a) 24 b) 120 c) 60 d) 72 e) 360 19. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separados? a) 120 b) 16 c) 48 d) 144 e) 72 20. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra CARACOL? a) 1260 b) 1320 c) 1140 d) 1200 e) 1 500 21. Alrededor de una mesa circular se sientan 4 damas y 4 varones. ¿De cuántas formas se pueden sentar, si deben estar alternados un varón y una dama? a) 144 b) 128 c) 168 d) 184 e) 116 22. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra HABANA? a) 240 b) 120 c) 110 d) 160 e) 180 23. ¿Cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra “SUSURRO”? a) 630 b) 620 c) 640 d) 580 e) 590
a) 280 d) 720
b) 360 e) 120
c) 240
26. 5 tomos de una colección de matemáticas, ¿de cuantas maneras distintas se pueden ubicar en una biblioteca? a) 720 b) 24 c) 120 d) 56 e) 28 27. ¿De cuantas maneras diferentes 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en la fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? a) 288 b) 1688 c) 1728 d) 728 e) 1288 28. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en fila, de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. ¿De cuantas formas pueden sentarse? a) 144 b) 5040 c) 2880 d) 3558 e) 1024 29. Una pareja de esposos y sus cuatro hijos van al cine y encuentran 6 asientos en la misma fila. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si los 4 niños quieren estar juntos? a) 36 b) 134 c) 48 d) 120 e) 144 30. Con fines de criptografía ¿Cuántas palabras cualquiera de 9 letras, pueden formarse por permutaciones de las letras de las palabras TENNESSE? a) 1608 b) 1680 c) 1860 d) 1068 e) 1034
24. ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de las palabras NONOM? a) 30 b) 32 c) 34 d) 10 e) 34
31. ¿De cuantas maneras 5 parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular, de modo que las parejas siempre estén juntas? a) 256 b) 812 c) 768 d) 1024 e) 702
25. ¿Cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra: KIKIRIKI; sin importar si tienen o no sentido las palabras?
32. ¿De cuantas maneras seis parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular, de modo que las parejas siempre estén juntas?
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JOHN MAMANI M. a) 96 d) 7680
b) 45080 e) 720
c) 768
33. ¿De cuantas formas pueden sentarse en una misma mesa circular de 8 asientos un grupo de 8 personas?, si 3 de las personas siempre deben estar juntas. a) 700 b) 740 c) 730 d) 710 e) 720 34. Antonio invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a un almuerzo, que se realiza en un restaurante cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuantas maneras distintas se podrán ubicar, si Antonio y su novia siempre están juntos? a) 16 b) 14 c) 12 d) 18 e) 10 35. Ocho personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas podrán ubicarse si cuatro de ellas deben estar siempre juntas? a) 586 b) 144 c) 95 d) 48 e) 576 36. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una fogata, cuatro parejas de esposos, de manera que los hombres y mujeres queden alternadas? a) 12 b) 152 c) 160 d) 144 e) 142 37. ¿De cuantas maneras distintas se puede ordenar linealmente 8 monedas, de las cuales 5 son de 20 céntimos y 3 de 10 céntimos? a) 60 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58 38. Una ama de casa tiene 2 manzanas y 3 plátanos. Durante 5 días seguidos da a su hijo una fruta. ¿De cuantas maneras puede efectuar esto? a) 8 b) 10 c) 16 d) 25 e) 30
39. Se tienen 9 vasos diferentes, 5 de los cuales deben ser llenados con vino y los 4 restantes con chicha. ¿De cuantas maneras diferentes, se puede realizar el llenado? a) 120 b) 121 c) 125 d) 126 e) 130 40. Una compañía aérea debe realizar diariamente cinco viajes al Cusco, tres a Trujillo y dos a Iquitos. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar itinerario? a) 2520 b) 2600 c) 2020 d) 2400 e) 2120 41. KiKo tiene 4 pelotas blancas (B), 5 negras (N) y 3 amarillas (A). un día vendió sus pelotas en el siguiente orden: BBAANBBANNNN, ¿En cuántas otros órdenes podría haber vendido sus 12 pelotas? a) 60249 b) 36419 c) 14329 d) 27719 e) 15314 42. Roger sufre de obesidad y le recomiendan que para que baje de peso acuda tres días de al gimnasio, dos días al sauna y haga dieta un día, en diferentes días de lunes a sábado. ¿De cuantas formas diferentes puede elaborar una programación para cumplir con la recomendación? a) 120 b) 240 c) 60 d) 90 e) 30 43. Determina todas las señales posibles que se pueden diseñar con 7 banderas de las cuales 5 son rojas y 2 son azules. a) 21 b) 14 c) 15 d) 19 e) 23 44. ¿De cuantas maneras se pueden colocar en un estante cinco libros de diferentes asignaturas, si se sabe que el de Matemática siempre debe ir al centro? a) 22 b) 16 c) 24 d) 20 e) 26 45. Una familia esta formada por un padre, una madre y tres hijos. ¿De cuantas maneras
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JOHN MAMANI M. diferentes se pueden ubicar en una mesa circular todos los integrantes de esta familia? a) 20 b) 24 c) 22 d) 16 e) 18 46. Un estante tiene una capacidad para 4 libros de Análisis Combinatorio, de pasta azul, 3 de Estadística, de pasta roja y 4 de Probabilidades, de pasta marrón. ¿De cuantas maneras puede ordenarse los libros según el color? a) 20134 b) 20736 c) 28848 d) 46764 e) 65355 47. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 3, 4, 6, 8 si se sabe que los números 3 y 4 siempre deben estar junto? a) 24 b) 83 c) 42 d) 100 e) 48 48. ¿De cuantas maneras diferentes se puede ordenar en fila 4 monedas de S/.0.20 y 5 monedas de S/.0.50? a) 126 b) 134 c) 124 d) 212 e) 133 49. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4? a) 4 b) 8 c) 24 d) 20 e) 12 50. ¿Cuántas palabras cualquiera se puede formar con las letras de la palabra “PADRE”? a) 24 b) 48 c) 120 d) 60 e) 6 51. Si los integrantes de un grupo de estudios descubrieron que se podían ubicar de 24 formas diferentes alrededor de una mesa circular, ¿Cuántos estudiantes eran? a) 3 b) 5 c) 24 d) 2 e) 4 52. ¿Cuántos números de siete cifras se pueden se pueden formar con los digitos: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3? Academia GAUUS
a) 140 d) 60
b) 150 e) 720
c) 120
53. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes mayores de 4000 se pueden formar con los dígitos 2, 0, 4 y 3? a) 24 b) 18 c) 6 d) 48 e) 12 54. ¿De cuantas formas diferentes se pueden ubicar en una fila 7 niñas, si Sara siempre debe estar en un extremo? a) 120 b) 360 c) 720 d) 240 e) 1440 55. ¿De cuantas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en un automóvil con seis asientos, si Augusto es el único que sabe manejar a) 720 b) 24 c) 1440 d) 120 e) 240 56. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ubicaren una fila 6 niños, si 3 de ellos siempre deben estar juntos? a) 144 b) 120 c) 72 d) 30 e) 720 57. ¿Cuántos números de cinco cifras que sean diferentes se puede formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 8, si el 3 y el 5 siempre deben estar juntos y además deben ser pares? a) 12 b) 60 c) 24 d) 36 e) 48 58. Si el palo de señales de un barco se puede izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas? a) 1260 b) 2160 c) 1620 d) 1160 e) 1360 59. ¿Cuántos números pares de seis cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 8, sabiendo que siempre deben empezar en 3?
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JOHN MAMANI M. a) 72 d) 20
b) 12 e) 24
c) 36
60. Si un equipo de futbol participa en 10 partidos de una temporada, ¿Cuántas maneras hay de que entre en total de juegos, obtenga 5 triunfos, 3 derrotas y 2 empates? a) 2520 b) 1260 c) 1520 d) 5040 e) 4220 61. ¿De cuantas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol, si se sabe que consta de tres delanteros, tres volantes, 4 defensas y un arquero, y además se sabe que solo se pueden permutar entre sus respectivas ubicaciones? a) 216 b) 570 c) 664 d) 864 e) 37 62. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar en una mesa circular cuatro parejas de esposos que desean jugar Monopolio si se sabe además que estas no deben estar separados? a) 16 b) 48 c) 24 d) 96 e) 32 63. 6 amigos jugaran a las cartas alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas se podrán sentar alrededor de la mesa? a) 103 b) 132 c) 120 d) 142 e) 246 64. Cinco parejas de esposos se desean sentar a cenar en una mesa circular. ¿De cuantas formas lo podrán hacer, si las parejas desean estar siempre juntas? a) 768 b) 356 c) 664 d) 114 e) 103 65. ¿Cuántas palabras distintas sin importar su significado se podrán formar con todas las letras de la palabra “Meteorito”? a) 30352 b) 18213 c) 43333 d) 55532 e) 45360 66. 3 amigos y 4 amigas van al cine y se sientan en una fila de 7 asientos. ¿De cuantas formas
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se podrán sentar si las personas del mismo sexo siempre deben estar juntas? a) 285 b) 289 c) 280 d) 295 e) 288 67. Tres parejas de novios cenan alrededor de una mesa circular con seis sillas. ¿De cuantas formas se podrán sentar, si los novios deben estar siempre juntos? a) 11 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17 68. La caja fuerte de Arturo consta de cinco cifras naturales, en un gran descuido Arturo perdió la clave pero sabe que solo esta compuesta por números impares diferentes. ¿Cuántas veces tendría que probar con claves distintas hasta abrir la caja fuerte? a) 140 b) 120 c) 125 d) 150 e) 130 69. ¿Cuántas palabras distintas se podrán formar con todas las letras de la palabra “MAMITA” (no importa el significado)? a) 190 b) 160 c) 170 d) 150 e) 180 70. Cinco personas van de excursión hacia el nevado Huascaran. ¿De cuantas formas podrían estar ubicados en fila india, si han contratado un guía y este siempre debe ir delante de todos? a) 130 b) 170 c) 120 d) 150 e) 100 71. Adolfo posee cinco cortes de la tela de distinto color y desea hacer banderas con 5 franjas horizontales de la misma medida con diferentes colores. ¿Cuántos modelos distintos podrá realizar? a) 150 b) 200 c) 180 d) 200 e) 120 72. Percy desea acomodar sus 4 libros de RM y sus tres libros de Ingles en un estante. ¿De cuantas formas los podrá acomodar, si en su Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. estante hay espacio para todos y los de la misma materia deben estar siempre juntos? (todos los libros son distintos) a) 300 b) 250 c) 280 d) 288 e) 270
78. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar seis alumnas en una fila, de manera que Rocío y Susana siempre estén juntas a) 225 b) 120 c) 240 d) 216 e) 180
73. ¿Cuántas palabras distintas se podrán formar con las letras de la palabra COREFO, si las vocales deben estar siempre juntas, al igual que las consonantes? a) 40 b) 36 c) 36 d) 35 e) 27
79. Cinco amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas maneras diferentes podrán ubicarse? a) 20 b) 24 c) 26 d) 18 e) 22
74. Siete caballos participan en una carrera. ¿De cuantas formas podrán llegar a la meta, si dos de ellos se retiraron antes de partir? a) 120 b) 124 c) 363 d) 158 e) 723
80. ¿Cuántas palabras distintas se puede formar con todas las letras de la palabra CARRERA? a) 163 b) 323 c) 482 d) 420 e) 365 81. Con 5 soldados, ¿Cuántas filas diferentes podemos formar? a) 10 b) 100 c) 130 d) 120 e) 150
75. Luisa, Pedro y los padres de cada uno de ellos se sentaran a cenar alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas se podrán acomodar si Luisa y Pedro siempre deben estar adyacentes a su papa y su mama, respectivamente? a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 7
82. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas de diferentes colores izando solo 3 cada vez? a) 180 b) 604 c) 504 d) 362 e) 723
76. En un auto pueden ingresar 5 personas. ¿De cuantas formas se podrán sentar 5 amigos, si solo dos de ellos saben manejar? a) 50 b) 48 c) 49 d) 45 e) 40
¿Cuántos comités de 3 personas: un presidente, un vicepresidente y un secretario, podemos formar con 8 personas? a) 355 b) 244 c) 336 d) 365 e) 253
77. Carlos, Jaime y Rubén van al cine y encuentran cuatro asientos consecutivos vacios. ¿De cuantas maneras pueden sentarse? a) 31 b) 32 c) 24 d) 75 e) 20
83. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes y mayores de 5000 se pueden formar con los dígitos {1; 3; 4; 6; 9} ?
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a) 43 d) 48
b) 34 e) 743
c) 23
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JOHN MAMANI M. 84. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos 3; 5; 7; 8 y 9? a) 120 b) 155 c) 193 d) 125 e) 134 85. ¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa circular? a) 720 b) 5040 c) 3210 d) 4100 e) 1125 86. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra “OSHKOSH”, tomadas todas a la vez? a) 630 b) 526 c) 600 d) 834 e) 794 87. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1; 3; 5; 7 y 8? a) 36 b) 42 c) 6 d) 60 e) 24 88. Si hay cinco objetos diferentes y 3 cajas, ¿de cuantas formas diferentes podemos colocar un objeto en cada caja? a) 60 b) 16 c) 12 d) 67 e) 47 89. La señora María tiene cinco hijos (no hay mellizos). Se desea averiguar el orden en que nacieron estos hermanos. ¿Cuántas posibilidades hay? a) 325 b) 176 c) 123 d) 120 e) 142
91. Un entrenador de basquetbol dispone de 8 jugadores que pueden jugar en cualquier posición. ¿Cuántas formaciones de 5 jugadores diferentes de basquetbol podrán formarse? a) 23510 b) 1351 c) 6720 d) 6646 e) 3458 92. La banca en una cafetería tiene 7 asientos en una fila. Si 4 personas desconocidas entre si ocupan lugares al azar, ¿de cuantas maneras diferentes pueden quedar los 3 asientos restantes desocupados? a) 912 b) 645 c) 234 d) 852 e) 840 93. Al acudir cuatro parejas de amigos al cine encuentran solamente cuatro asientos en una fila. ¿De cuantas maneras se podrán sentar, si se quiere que por lo menos este ubicado un hombre y una mujer juntos? a) 2942 b) 1632 c) 12323 d) 1320 e) 1932 94. María tiene 5 aretes diferentes y para usarlos todos se hace 2 perforaciones en la oreja derecha y 3 perforaciones en la de la izquierda. ¿De cuantas maneras diferentes puede lucir todos los aretes? a) 142 b) 152 c) 120 d) 123 e) 166
90. ¿De cuantas maneras diferentes cinco personas pueden hacer la cola en un cine? a) 123 b) 120 c) 323 d) 160 e) 123
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JOHN MAMANI M. VARIACIÓN Y COMBINACIÓN x
PROBLEMA 01 ¿Cuántas variaciones pueden formarse de 10 objetos tomados de tres en tres? a) 780 b) 720 c) 730 d) 760 e) 740
Resolución 10 Piden: V3 10 V3 = 10 × 9 × 8 10 V3 = 1720
PROBLEMA 02 Un individuo descansa 2 días cualesquiera de la semana. ¿Cuántas semanas podrán transcurrir para que no se repitan los días de descanso? a) 14 b) 20 c) 21 d) 25 e) 19
Resolución
Entonces: C 3 = 12x (x)(x − 1)(x − 2) = 12x 3× 2×1 (x)(x − 1)(x − 2) = 72x (x − 1)(x − 2) = 72 x = 10
PROBLEMA 04 Elías desea comprar 8 libros de cálculo y 10 libros de análisis. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger 8 libros de análisis y 5 libros de cálculo? a) 2520 b) 2530 c) 3620 d) 2730 e) 3520
Resolución Del enunciado: 8
10
Total = C 5 . C 8 =
Es una combinación ya que no interesa el orden en el que interviene los elementos. = 7×6 7 C2 = = 2×1 = 7 C 2 = 21
8!
.
10!
( 8 − 5 ) !5! ( 10 − 8 ) !8! 8 × 7 × 6 × 5 × 4 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 . 5× 4 × 3× 2×1 8 × 7 × 6 × 5× 4 × 3× 2×1 28 × 90 2520
PROBLEMA 05
PROBLEMA 03 ¿Cuántos objetos distintos tienen que haber para que el número de combinaciones que se pueden formar, tomándolo de 3 en 3 para que sea igual a 12 veces el número de obreros?. a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 7
Resolución
¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas izando 3 de cada vez? a) 550 b) 508 c) 505 d) 480 e) 504
Resolución Observamos que si interesa el orden 9
V3 = 9 × 8 × 7 = 504
Se “x” el número de obreros Academia GAUUS
663
JOHN MAMANI M. a) 120 d) 160
PROBLEMA 06 Hallar “n” si: n
b) 180 e) 140
n −1
6C 3 = V4 a) 5 d) 6
b) 7 e) 8
c) 9
Resolución De las formulas:
( n − 1)! n! = ( n − 3 ) ! . 3! ( n − 1 − 4 ) ! ( n − 1)! ( 6n n − 1 ) ! = ( n − 3 ) ( n − 4 ) ( n − 5 )! . 6 ( n − 5 )! 6.
Reduciendo:
n =1 ⇒ n = 6 ( n − 3)( n − 4 )
Resolución 123 ≠ 321 , interesa el orden, luego es una variación
6! ( 6 − 3 )! 6! 6 . 5 . 4 120 = V3 = 6= ( 6 − 3 )! 6
V3 =
PROBLEMA 09 Se tienen grifos de: 1, 3, 5 y 8 litros por segundo. ¿En cuántos tiempos diferentes se podrán llenar un recipiente empleando cada vez 3 de ellos? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7
PROBLEMA 07 Al término de una reunión hubieron 28 estrechones de mano; suponiendo que cada de los participantes fue cortés con cada uno de los demás; el número de personas era de: a) 14 b) 56 c) 28 d) 9 e)8
Resolución Al darse un apretón entre 2 personas no interesa el orden, luego es una combinación. x
C 2 = 28 x! = 28 ( x − 2 ) ! 2! x ( x − 1) = 28 ⇒ x ( x − 1 ) = 56 2 x ( x − 1) = 8(7 ) x=8
Resolución 1, 3, 5, 8 ⇒ total=4 cada vez 3; no interesa el orden, luego: 4
C3 =
4! ( 4 − 3 ) !3!
4
C3 = 4 PROBLEMA 10 ¿7 corredores, de cuántas maneras diferentes pueden obtener 3 premios? a) 200 b) 230 c) 180 d) 210 e) 190
Resolución Interesa el orden como obtiene los premios, luego: 7
PROBLEMA 08 ¿Cuántos números de 3 dígitos diferentes pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y en los cuales no se repita ningún dígito?
664
c) 150
V3 = 7
V3 =
7! (7 − 3 )! 7 × 6 × 5 × 4! 4!
= 210 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. PROBLEMA 11 De 14 hombres. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 2 personas? a) 366 b) 364 c) 324 d) 346 e) 234
Nro de comites = 720 PROBLEMA 13 Hallar el valor de “n” sabiendo que.
Resolución Interesa seleccionar 11 hombres de 14 sin interesar el orden, se trata entonces de una combinación: 14 = C11
Nro de comites=C 52 × C74
14! 14 × 13 × 12 × 11! = = 364 11! 3! 11!× 3 × 2 × 1
2n
C3 n C2 a) 6 d) 7
=
44 3
b) 8 e) 9
c) 10
Resolución
( 2n ) ! ( 3! 2n − 3 ) ! 44 = ( n )! 3 2! ( n − 2 ) !
PROBLEMA 12 7 hombres y 5 mujeres se van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden formarse si en el comité hay dos mujeres? a) 520 b) 340 c) 220 d) 720 e) 640
2!2n ( 2n − 1 ) ( 2n − 2 ) ( 2n − 3 ) ! ( n − 2 ) ! 44 = 3 × 2! ( 2n − 3 ) !n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ! 3
4n ( 2n − 1 ) ( n − 1 ) 44 = 3n ( n − 1 ) 3 2n − 1 = 11 n=6
Resolución En este caso tenemos que escoger 2 mujeres y 4 hombres. Las mujeres pueden escogerse de maneras y los hombres de
7
C4
5
C2
maneras, a su vez
cada uno de los grupos conformados por mujeres puede asociarse con cada uno de los grupos formados por hombres, entonces.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcule:
6
6 × 2
C C a) 420 d) 220
b) 120 e) 320
8 2
c) 210
a) 1 d) 5
4
C4×C3 5 C3 b) 6 e) 4
c) 2
04. Hallar el valor de “E”, sabiendo que:
02. Calcule.
C a) 4220 d) 2220
03. Reducir: M =
10 × 2
b) 4880 e) 4320
Academia GAUUS
C
7
7
3C 3 + C 4 E= 7 4C 3
20 4
c) 4890 a) 1 d) 2
b) 3/4 e) 4
c) 1/4
665
JOHN MAMANI M. 05. Simplificar: E=
2C
a) 1 d) 2
15 +8 6 15 5 6
C
preguntas del examen. ¿De cuantas maneras el estudiante puede escoger las 8 preguntas? a) 80 b) 40 c) 10 d) 45 e) 8
15 9
C
b) 5 e) 4
c) 3
06. Hallar “n” si: n
C 2 = 28 a) 5 d) 7
b) 8 e) 6
c) 10
07. Halle el valor de “x” en: x
C 4= a) 8 d) 13
x−3
b) 7 e) 4
c) 6
08. Halle el valor de “x” en: x
x
x 1 C 3 + C 4 =+ a) 8 d) 13
b) 7 e) 4
c) 6
09. En la Copa Perú participaron 12 equipos de futbol ¿Cuántos partidos se jugaron, todos contra todos? a) 66 b) 70 c) 76 d) 50 e) 69 10. ¿Cuántas ensaladas que contienen exactamente 4 frutas podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes? a) 120 b) 180 c) 200 d) 210 e) 240 11. ¿De cuantas maneras se pueden escoger un comité compuesto de 3 hombres de un grupo de 7 hombres? a) 6 b) 24 c) 35 d) 120 e) 72 12. Un estudiante en el concurso regional de matemática tiene que contestar 8 de 10
666
13. ¿Cuántos apretones de mano se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión? a) 680 b) 570 c) 780 d) 470 e) 870 14. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 46 personas asistentes a una reunión? a) 1820 b) 2206 c) 2116 d) 2070 e) 1035 15. Con 7 clases de vinos, tomados de tres en tres, ¿Cuántas mezclas diferentes se pueden obtener al mezclar igual cantidad de cada clase? a) 42 b) 36 c) 35 d) 38 e) 28 16. Un estudiante debe responder como mínimo 8 preguntas en un examen de 12 preguntas ¿de cuantas formas posibles puede el estudiante elegir las 8 preguntas a escoger? a) 495 b) 225 c) 550 d) 360 e) 275 17. ¿Cuántos diccionarios Bilingües hay que editar si consideramos los idiomas: español, inglés, francés, portugués y alemán? a) 2 b) 5 c) 10 d) 9 e) 7 18. Si disponemos de 8 puntos no colineales, ¿Cuál es el máximo de pentágonos que se podría formar? a) 40 b) 56 c) 120 d) 60 e) 30 19. ¿De cuantas maneras se puede formar una terna, siendo 8 candidatos? a) 28 b) 112 c) 56 d) 336 e) 72 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 20. Si se tienen 7 candidatos a la Alcaldía de un distrito, ¿Cuántas ternas se puede formar? a) 28 b) 35 c) 30 d) 42 e) 45 21. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar con 12 personas? a) 812 b) 686 c) 792 d) 704 e) 914 22. Si se tiene un grupo de 5 personas, ¿cuántos grupos diferentes de 3 personas se podrán formar? a) 15 b) 40 c) 25 d) 30 e) 60 23. Se extraen dos cartas de una baraja ¿de cuantas maneras se puede hacer eso? a) 1228 b) 128 c) 156 d) 1326 e) 756 24. ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números: 3; 8; 11; 15 y 19 tomados tres a tres? a) 10 b) 16 c) 15 d) 12 e) 34 25. ¿Cuántas selecciones de 8 artículos se pueden realizar en un almacén que tiene 15 artículos? a) 3215 b) 4820 c) 2368 d) 6435 e) 5180 26. En un campeonato de futbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos; si llegan 2 equipos más, el número de partidos adicionales que se debe jugar es: a) 22 b) 20 c) 11 d) 21 e) 10 27. En una reunión se dieron 120 estrechadas de mano. ¿Si, todos se saludaron cuantas personas habían? a) 15 b) 16 c) 8 d) 119 e) 120
Academia GAUUS
28. ¿De cuantas formas se puede escoger u comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? a) 530 b) 350 c) 335 d) 450 e) 305 29. Si 7 varones y 5 mujeres van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden agruparse si en el comité hay 2 mujeres? a) 120 b) 540 c) 350 d) 710 e) 240 30. Una urna contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Encontrar el número de maneras en que se pueden sacar 4 bolas de la urnas 2 deben ser blancas y 2 deben ser negras. a) 315 b) 140 c) 130 d) 150 e) 125 31. Un conjunto de alumnos está integrado por 5 mujeres y 3 varones. ¿de cuantas maneras se puede formar grupos diferentes de 4 personas de forma que por lo menos existan 2 varones? a) 35 b) 40 c) 30 d) 50 e) 25 32. Con las frutas: piña, papaya; manzana, naranja y plátano. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se puede hacer? a) 25 b) 5 c) 31 d) 6 e) 16 33. María tiene 3 amigos y siempre va al colegio acompañada, por lo menos de uno de sus amigos. ¿Cuántas alternativas de acompañamiento tiene María para ir al colegio? a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 34. ¿De cuantas maneras diferentes podemos elegir a 5 personas de un grupo de 11 para ir a una fiesta, si se sabe que entre las 11 hay una pareja de esposos que no va el uno sin el otro?
667
JOHN MAMANI M. a) 3528 d) 3024
b) 210 e) 126
c) 630
35. ¿De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club deportivo, si se sabe que hay 8 posibles candidatos? a) 366 b) 367 c) 135 d) 354 e) 233 36. En una carrera de 100 metros planos participan 6 atletas, ¿de cuantas maneras diferentes se puede premiar a tres de ellos con medallas de oro, plata y bronce? a) 122 b) 160 c) 120 d) 130 e) 260 37. ¿De cuántos partidos de futbol consta una liguilla formada por cinco equipos? a) 29 b) 20 c) 22 d) 16 e) 18 38. ¿Cuántas números de tres cifras, todas diferentes entre si, se puede formar con los dígitos: 1; 2; 3; 4; 5 y 6? a) 134 b) 120 c) 282 d) 124 e) 126 39. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderolas de colores diferentes, usando tres de ellas en cada señal? a) 24 b) 83 c) 42 d) 100 e) 60 40. 4 viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hospedajes, ¿de cuantas maneras pueden ocupar una habitación, debiendo estar cada uno en hospedajes diferentes? a) 360 b) 334 c) 180 d) 212 e) 120 41. ¿Cuántos apretones de mano se pueden dar en una fiesta a la que asisten 12 personas? a) 64 b) 68 c) 66 d) 60 e) 132
668
42. ¿Cuántos diagonales tiene un pentágono? a) 5 b) 15 c) 12 d) 6 e) 20 43. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices de un hexágono? a) 24 b) 18 c) 20 d) 28 e) 12 44. ¿De cuantas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en un automóvil con seis asientos, si Augusto es el único que sabe manejar a) 720 b) 24 c) 1440 d) 120 e) 240 45. ¿Cuántos diccionarios bilingües se tienen que editar para que se pueda efectuar las traducciones entre cualquiera de estos 5 idiomas: español, ingles, francés, ruso y aleman? a) 20 b) 25 c) 30 d) 9 e) 16 46. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si solo dos de ellos saben conducir, ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse en el auto? a) 120 b) 160 c) 124 d) 316 e) 148 47. Si el palo de señales de un barco se puede izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas? a) 1260 b) 2160 c) 1620 d) 1160 e) 1360 48. Carmen tiene 3 anillos diferentes. ¿De cuantas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, poniéndose solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? a) 24 b) 12 c) 36 d) 20 e) 24 49. En una jugueria se disponen de las siguientes frutas: plátano, sandia, piña y fresa. ¿Cuántos Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. jugos surtidos de diferentes sabores se podrá hacer? a) 26 b) 22 c) 26 d) 18 e) 24 50. Un total de 120 estrechadas de mano se dan al final de una fiesta; si cada asistente a la fiesta es cortes con los demás, el número que asistieron a la fiesta es: a) 15 b) 17 c) 14 d) 16 e) 27 51. En una carrera de caballos participan 8 ejemplares. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden premiar a 3 caballos que lleguen en los 3 primeros lugares? a) 56 b) 336 c) 672 d) 184 e) 472 52. Se tiene 6 libros diferentes de razonamiento matemático. ¿De cuantas formas distintas pueden ordenarse en un estante donde solo entran 4 libros? a) 360 b) 120 c) 240 d) 720 e) 840 53. ¿De cuantas maneras se puede exhibir 7 juguetes diferentes, si el estante solo tiene 3 lugares disponibles? a) 105 b) 315 c) 245 d) 185 e) 210 54. ¿De cuantas maneras diferentes se puede escoger 3 niños de un total de 7? a) 105 b) 35 c) 70 d) 210 e) 140 55. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. ¿Cuántas partidas se jugara si se enfrentan todos contra todos? a) 19 b) 13 c) 10 d) 15 e) 12 56. ¿Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no colineales? a) 54 b) 53 c) 45 d) 22 e) 40 Academia GAUUS
57. Seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea. Si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y 2 mujeres, determina el número de casos. a) 4320 b) 11200 c) 3240 d) 225 e) 3600 58. Con cinco varones y ocho señoritas, ¿Cuántos equipos de natación diferentes pueden formarse, si estos deben ser de un varón y dos señoritas? a) 130 b) 140 c) 180 d) 150 e) 120 59. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si empleamos 2 o 3 banderas? a) 48 b) 24 c) 36 d) 72 e) 16 60. ¿Cuántas banderas bicolores diferentes pueden elaborarse con las telas de 4 colores diferentes? a) 15 b) 20 c) 18 d) 13 e) 12 61. Se desea formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. Si hay 6 candidatos, ¿Cuántas combinaciones diferentes pueden formarse? a) 32 b) 25 c) 28 d) 30 e) 27 62. Con los
{1; 3; 5; 7; 9} ,
¿Cuántos números
diferentes de dos cifras se podrán formar? a) 40 b) 36 c) 20 d) 35 e) 27 63. ¿De cuantas maneras distintas pueden sentarse tres amigos en una banca de 6 asientos? a) 120 b) 124 c) 363 d) 158 e) 723 64. Siente caballos: “A”, “B”, “C”, “D”, “E”, y “G” participan en una carrera. ¿De cuantas
669
JOHN MAMANI M. maneras pueden ocuparse los tres primeros puestos? a) 752 b) 764 c) 792 d) 725 e) 793 65. De un grupo de 3 varones y 4 mujeres, se va a elegir un comité de 4 personas que esta integrada por 2 mujeres y 2 varones. ¿Cuántos comités diferentes pueden ser elegidos? a) 17 b) 18 c) 19 d) 15 e) 14 66. Con 8 hombres y 6 mujeres, ¿Cuántos comités mixtos de 5 personas pueden formarse, si deben haber en el comité 3 mujeres y 2 hombres? a) 324 b) 532 c) 560 d) 472 e) 533 67. ¿Cuántos objetos diferentes entre sí debe haber, si el número de combinaciones tomadas de 3 en 3, resulta el quíntuplo del número de objetos? a) 5 b) 6 c) 7 d) 2 e) 8 68. ¿De cuantas maneras distintas se puede elegir 5 monedas, si se tienen ocho monedas de 1; 5; 10; 20 y 50 céntimos y de 1; 2 y 5 nuevos soles? a) 50 b) 56 c) 53 d) 58 e) 52 69. ¿Cuántos triángulos como máximo se podrán formar con 7 puntos no colineales? a) 36 b) 33 c) 39 d) 35 e) 32
670
70. Con 6 pesas de: 2; 3; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿Cuántas pesadas pueden obtenerse agrupando 3 de estas? a) 21 b) 23 c) 28 d) 20 e) 24 71. Se desea colocar un mapa de 4 países con colores distintos para cada uno. Si hay 6 colores distintos, ¿de cuantas maneras pueden colorear el mapa? a) 430 b) 340 c) 293 d) 360 e) 743 72. Sin permitirse repeticiones, ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con los dígitos { 2; 4; 6; 8} ? a) 12 d) 15
b) 14 e) 13
c) 17
73. ¿Cuántos comités de tres miembros se puede elegir de un grupo de cinco personas? a) 20 b) 10 c) 14 d) 12 e) 15 74. ¿De cuantas maneras puede escogerse un comité compuesto de 2 hombres y 3 mujeres de un grupo de 4 hombres y 5 mujeres? a) 60 b) 56 c) 63 d) 64 e) 74 75. ¿Cuántos diptongos se pueden formar con las vocales a, i, u? a) 7 b) 9 c) 2 d) 6 e) 5 76. Una caja contiene focos: 2 de 25 watts, 3 de 50 watts y 4 de 100 watts. ¿De cuantas maneras puede escogerse 3 de ellos? a) 84 b) 60 c) 74 d) 80 e) 76 Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 77. Con los dígitos: 1; 3; 4; 6; 9, ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar? a) 28 b) 42 c) 63 d) 60 e) 35
84. Si el número de combinaciones de “n” objetos tomados de dos en dos es igual a 36, calcula “n” a) 9 b) 6 c) 8 d) 6 e) 7
78. Con 8 jugadores para cada posición, ¿Cuántos equipos de básquet se formaran? a) 12 b) 6 c) 23 d) 16 e) 14
85. En una mesa se tienen 12 manzanas. ¿De cuantas formas se pueden coger 3 de ellas? a) 220 b) 266 c) 263 d) 224 e) 274
79. ¿Cuántos números de 4 cifras se podrán
86. En una fiesta se produjeron 435 apretones de manos al saludarse cada una de las personas. ¿Cuántas asistieron? a) 30 b) 36 c) 63 d) 34 e) 39
formar con {1; 2; 3; 4; 5; 6;7} ? a) 510 d) 646
b) 836 e) 353
c) 840
80. Con 7 clases de vías, ¿Cuántos caminos diferentes se pueden recorrer tomándolas de 3 en 3? a) 32 b) 65 c) 34 d) 37 e) 35 81. Con 20 puntos no coliniales, ¿Cuántos segmentos se pueden formar? a) 942 b) 190 c) 193 d) 132 e) 195 82. ¿Cuántos apretones de manos se dieron al despedirse 24 personas en una reunión, si todos fueron gentiles? a) 282 b) 272 c) 276 d) 723 e) 236 83. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden efectuar con los números: 1; 3; 5; 13; 37; 59? a) 12 b) 22 c) 15 d) 13 e) 16
87. En una carrera donde participan 7 atletas, se otorgara distintos premios a los 3 primeros lugares. ¿De cuantas formas se podrá realizar dicha premiación? a) 210 b) 136 c) 163 d) 134 e) 139 88. Anita desea adornar todos sus dedos con ellos distintos, pero solo posee 4 anillos. ¿De cuantas formas distintas se podría acomodar los anillos en los dedos de su mano? a) 5510 b) 5836 c) 5040 d) 5646 e) 5353 89. En un automóvil pueden entrar sentadas 5 personas (incluido el conductor). Si 4 amigos desean ir de paseo y 2 de ellos saben conducir, ¿de cuantas maneras podrían ordenarse para realizar dicho paseo? a) 430 b) 340 c) 293 d) 360 e) 743 90. ¿Cuántos partidos de futbol se deben programar con un total de 10 equipos, si
Academia GAUUS
671
JOHN MAMANI M. deben jugar todos contra todos en una sola rueda? a) 45 b) 46 c) 43 d) 44 e) 47 91. En la jugueria “Frutita” se ofrecen jugos surtidos. ¿Cuántos jugos surtidos se podrá preparar con 10 frutas disponibles, si el jugo surtido se prepara utilizando solo 5 de las frutas? a) 250 b) 252 c) 254 d) 152 e) 255 92. Para un almuerzo familiar se necesita preparar una ensalada de vegetales. Si se dispone de cebolla, tomate, pepino, lechuga, brócoli y berro, ¿Cuántas ensaladas distintas se podrían preparar? a) 56 b) 40 c) 23 d) 63 e) 74 93. Carolina desea ir de paseo al Cusco y alista su ropa. Si lleva 5 pantalones de los 8 que tiene, ¿de cuantas maneras los podrá escoger? a) 6 b) 10 c) 13 d) 56 e) 14 94. Con 4 letras de la palabra “Orquídea”, ¿Cuántas palabras distintas se podrá formar sin importar su significado? a) 1250 b) 1260 c) 1680 d) 1220 e) 1580
96. Con las frutas: plátano, fresa, mango, pera, maracuyá y manzana, ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar? a) 25 b) 60 c) 57 d) 20 e) 50 97. Andrea recibe 3 pases para ingresar a su fiesta de graduación. Si desea escoger a sus invitados de entre 7 amigos, ¿de cuantas formas podría hacer su elección? a) 46 b) 29 c) 32 d) 35 e) 38 98. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se podrá formar si no se incluye al cero dentro de su formación? a) 3240 b) 3668 c) 3378 d) 3942 e) 3024 99. Daniel rendirá un examen de 10 preguntas, de las cuales debe responder solo 6. ¿De cuantas formas podrá elegir las preguntas, si el número 4 es obligatorio? a) 18 b) 17 c) 162 d) 126 e) 122 100. En la Marina se utilizan señales de alerta con 4 banderolas en línea a la vez. ¿Cuántas señales distintas se podrá realizar, si se tienen 7 banderines de distintos colores? a) 825 b) 760 c) 840 d) 820 e) 950
95. De un total de 12 niños se elegirá a 4 de ellos para el coro de la iglesia. ¿Cuántos posibles grupos se podrá formar? a) 456 b) 4329 c) 362 d) 495 e) 382
672
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. Establezca si son verdaderos (V) o falsas (F) las siguientes proposiciones: I. 1! + 2! + 3! = 6! II.
4
C2 = 6
III. 6! = 3! × 5! ¿Cuál es la alternativa correcta? a) VVF d) FVV
UNAP–SOC–2015
b) VFF e) VFV
c) FFV
02. Calcule el valor de “x” que verifique la igualdad: x
C 3 = 2x a) 5 d) 8
b) 6 e) 4
c) 7
UNAP–BIO–2015
b) –2 e) 4
c) –4
UNAP–2004
04. El triplete del número de combinaciones de “x” objetos tomados de tres en tres, es igual al quíntuplo del número de combinaciones de x objetos tomados de dos en dos. Hallar el valor de “x” a) 8 d) 7
b) 6 e) 4
UNAP–EXT–2001
c) 5
05. ¿Cuántos partidos se juegan en el campeonato descentralizado de futbol en una rueda, en la que participan 16 equipos? a) 80 d) 260
b) 120 e) 180
a) 33 d) 12
b) 22 e) 31
c) 9
UNAP–ING–2015
07. ¿De cuantas formas se puede colocar en una fila 6 hombres y 5 mujeres, de tal forma que los lugares a) 88600 d) 84200
b) 86400 e) 84400
UNAP–EXT–2000
c) 82800
08. Entre las permutaciones de las letras: a, b, c, d. ¿Cuántas principian con “a”? a) 4 d) 6
b) 9 e) 12
UNAP–EXT–2002
c) 24
09. Hay 8 carros que deben de viajar entre Puno y Juliaca. ¿De cuantas maneras puede una persona viajar de Puno a Juliaca, regresando en un carro diferente?
03. Resolver para “x”: x x + =− 5 + 2 x 0 1 a) 6 d) –5
¿Cuántos partidos más se deberán programar, si llegan 3 equipos más?
UNAP–SOC–2015
c) 160
a) 720 d) 56
b) 24 e) 28
UNAP–EXT–2004
c) 120
10. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en fila, de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. ¿De cuantas formas pueden sentarse? a) 144 d) 3558
b) 5040 e) 1024
UNAP–EXT–2004
c) 2880
11. En un torneo de futbol se jugaron en total 524 partidos. En la primera rueda jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántos equipos participaron? a) 40 d) 36
UNAP–EXT–2005/UNAP–2007/UNAP–ING–2014
b) 32 e) 38
c) 34
06. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda todos contra todos) Academia GAUUS
673
JOHN MAMANI M. 12. En un campamento de futbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos, si llegan 2 equipos más, el número de partidos adicionales que deben jugarse son: CEPREUNA–2003/UNAP–EXT–2006/ UNAP–2015
a) 22 d) 11
b) 20 e) 10
c) 21
13. Antonio invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a un almuerzo, que se realiza en un restaurante cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuantas maneras distintas se podrán ubicar, si Antonio y su novia siempre están juntos? a) 16 d) 18
b) 14 e) 10
UNAP–EXT–2006
c) 12
14. Una estudiante tiene para vestirse 4 camisas; 3 faldas; 2 pantalones y 5 pares de zapatos. ¿De cuantas formas se podrá vestir? a) 120 d) 64
b) 100 e) 56
UNAP–EXT–2006
c) 144
15. ¿De cuantas formas se puede escoger un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? a) 530 d) 450
b) 350 e) 305
UNAP–EXT–2008
c) 335
16. ¿Cuántos números de cuatro cifras que sean mayores de 4000 se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5, 7, si estos números pueden repetirse?
18. En un mercado se necesitan 6 varones y 3 damas. ¿De cuántos modos puede hacer la selección el gerente, si los solicitantes son 9 varones y 5 damas? a) 640 d) 940
b) 740 e) 1040
UNAP–EXT–2012
c) 840
19. Un estudiante debe responder como mínimo 8 preguntas en un examen de 12 preguntas. ¿De cuantas formas posibles puede el estudiante elegir las 8 preguntas a responder? a) 495 d) 275
b) 360 e) 550
c) 225
20. ¿Cuántas palabras de 8 letras con significado o no, se pueden formar con las letra de la palabra AAMMOOOR? a) 1380 d) 1531
b) 1720 e) 1680
UNAP–2005
c) 2480
21. Se tiene una suma con fichas azules y verdes para ganar 1 nuevo sol, es necesario sacar 2 fichas azules seguidas o 2 fichas verdes de cualquier forma. ¿de cuantas maneras se puede ganar 1 nuevo sol? a) 8 d) 5
b) 7 e) 4
c) 3
b) 200 e) 128
c) 180
17. Ocho personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas podrán ubicarse si cuatro de ellas deben estar siempre juntas? UNAP–EXT–2011
a) 586 d) 48
674
b) 144 e) 576
c) 95
UNAP–2005
22. Un conjunto de alumnos está integrado por 5 mujeres y 3 varones. ¿De cuantas maneras se puede formar grupos diferentes de 4 personas de forma que por lo menos existan 2 varones?
UNAP–EXT–2010
a) 162 d) 124
UNAP–2004
UNAP–2006
a) 35 d) 50
b) 40 e) 25
c) 30
23. Calcular el número de arreglos diferentes que se puede formar con todas las letras de la palabra “INGENIERO” de tal modo que todas las vocales estén juntas. a) 80 d) 800
b) 1800 e) 2800
UNAP–2006
c) 3800
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. 24. Un grupo de profesionales asignados a un proyecto está formado por dos ingenieros y tres técnicos y deben ser elegidos de una empresa contratista que dispone de 5 ingenieros y 8 técnicos. ¿Cuántos grupos de proyectos distintos pueden formarse a partir de los 13 profesionales distintos? UNAP–2007
a) 860 d) 760
b) 660 e) 460
c) 560
25. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 46 personas asistentes a una reunión?
29. En una reunión se dieron 120 estrechadas de mano. ¿Si, todos se saludaron cuantas personas habían? UNAP–SOC–2014
a) 15 d) 119
b) 16 e) 120
c) 8
30. En un campeonato de futbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos; si llegan 2 equipos más, el número de partidos adicionales que se debe jugar es: CEPREUNA–2003
a) 22 d) 21
b) 20 e) 10
c) 11
UNAP–2009/UNAP–2014
a) 1820 d) 2070
b) 2206 e) 1035
c) 2116
26. ¿Cuántas ensaladas que contienen exactamente 4 frutas podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes? UNAP–BIO–2014
a) 120 d) 210
b) 180 e) 240
UNAP–SOC–2014
b) 40 e) 8
CEPREUNA–2004
a) 288 d) 728
b) 1688 e) 1288
c) 1728
c) 200
27. Un estudiante en el concurso regional de matemática tiene que contestar 8 de 10 preguntas del examen. ¿De cuantas maneras el estudiante puede escoger las 8 preguntas? a) 80 d) 45
31. ¿De cuantas maneras diferentes 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en la fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?
32. Con cuatro consonantes y tres vocales, ¿Cuántas palabras de cinco letras pueden formarse, conteniendo cada palabra 3 consonantes y 2 vocales? CEPREUNA–2005
a) 1550 d) 1000
b) 60 e) 1440
c) 600
c) 10
28. Con 7 clases de vinos, tomados de tres en tres, ¿Cuántas mezclas diferentes se pueden obtener al mezclar igual cantidad de cada clase?
33. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si quedan 4 de pie? CEPREUNA–2007
a) 13000 d) 12000
b) 7200 e) 25200
c) 2520
UNAP–ING–2014
a) 42 d) 38
b) 36 e) 28
c) 35
34. Un mástil tiene 3 posiciones y se disponen de 4 banderas diferentes. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer colocando 2 banderas? CEPREUNA–2010
Academia GAUUS
675
JOHN MAMANI M. a) 60 d) 72
b) 48 e) 84
c) 36
35. En la Copa Perú participaron 12 equipos de futbol ¿Cuántos partidos se jugaron, todos contra todos? CEPREUNA–2010
a) 66 d) 50
b) 70 e) 69
CEPREUNA–2010
b) 144 e) 60
c) 288
37. Con las frutas: piña, papaya; manzana, naranja y plátano. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se puede hacer? CEPREUNA–2011
a) 25 d) 6
b) 5 e) 16
CEPREUNA–2008/CEPREUNA–ING–2013
a) 96 d) 7680
b) 45080 e) 720
c) 768
c) 76
36. Felicitas tiene para vestirse 4 blusas, 3 plantones, 2 faldas y 6 pares de zapatos ¿De cuantas formas se puede vestir? a) 120 d) 240
40. ¿De cuantas maneras seis parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular, de modo que las parejas siempre estén juntas?
41. ¿De cuantas formas pueden sentarse en una misma mesa circular de 8 asientos un grupo de 8 personas?, si 3 de las personas siempre deben estar juntas. CEPREUNA–ING–2013
a) 700 d) 710
b) 740 e) 720
c) 730
42. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BEBES? CEPREUNA–SOC–2013
a) 35 d) 20
b) 25 e) 40
c) 30
c) 31
38. En una biblioteca hay 8 libros de Geometría, 14 de Algebra, 10 de Física y 5 de Química ¿De cuantas maneras puede un estudiante seleccionar 4 libro, de manera que sea uno de cada curso mencionado?
43. Una compañía aérea debe realizar diariamente cinco viajes al Cusco, tres a Trujillo y dos a Iquitos. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar itinerario? CEPREUNA–SOC–2013
a) 2520 d) 2400
b) 2600 e) 2120
c) 2020
CEPREUNA–BIO–2013
a) 4360 d) 1800
b) 3200 e) 2700
c) 5600
39. Si 7 varones y 5 mujeres van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden agruparse si en el comité hay 2 mujeres?
44. Una urna contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Encuentre el número de maneras en que se pueden sacar 4 bolas de la urna, si 2 deben ser blancas y 2 deben ser negras. CEPREUNA–SOC–2014
a) 150 d) 151
b) 147 e) 149
c) 148
CEPREUNA–ING–2013
a) 120 d) 710
b) 540 e) 240
c) 350
45. ¿Cuántos apretones de mano se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión? UNAP–SOC–2014
676
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 680 d) 470
b) 570 e) 870
c) 780
46. Se va a colorear un mapa de 4 países con colores diferentes para cada uno. Si hay 6 colores distintos, ¿de cuantas maneras se puede colorear el mapa?
a) 12 d) 144
b) 152 e) 142
51. Se tienen 9 vasos diferentes, 5 de los cuales deben ser llenados con vino y los 4 restantes con chicha. ¿De cuantas maneras diferentes, se puede realizar el llenado?
UNAP–ING–2014
a) 280 d) 780
b) 320 e) 360
c) 420
47. Para ir de Puno a Juliaca hay dos formas, de Juliaca a Cuzco 3 formas, de Cuzco a Lima 2 formas, de Juliaca a Arequipa 3 formas, de Arequipa a Lima 2 formas. ¿De cuantas formas se puede llegar a Lima partiendo de Puno? UNAP–EXT–2000
a) 22 d) 24
b) 28 e) 25
UNAP–EXT–2005
b) 52 e) 58
c) 54
UNAP–EXT–2006
b) 48 e) 84
b) 121 e) 130
c) 125
52. Una ama de casa tiene 2 manzanas y 3 plátanos. Durante 5 días seguidos da a su hijo una fruta. ¿De cuantas maneras puede efectuar esto? UANCV–2013/2014
a) 8 d) 25
b) 10 e) 30
c) 16
53. Roger sufre de obesidad y le recomiendan que para que baje de peso acuda tres días de al gimnasio, dos días al sauna y haga dieta un día, en diferentes días de lunes a sábado. ¿De cuantas formas diferentes puede elaborar una programación para cumplir con la recomendación? UNAJ–2013
49. En un torneo de ajedrez intervienen 8 jugadores. ¿Cuántas partidas deben programarse, si cada jugador debe enfrentarse tres veces con cada uno de los restantes? a) 56 d) 60
UNAP–EXT–2014
a) 120 d) 126
c) 26
48. ¿De cuantas maneras distintas se puede ordenar linealmente 8 monedas, de las cuales 5 son de 20 céntimos y 3 de 10 céntimos? a) 60 d) 56
c) 160
c) 72
a) 120 d) 90
b) 240 e) 30
c) 60
54. Una pareja de esposos y sus cuatro hijos van al cine y encuentran 6 asientos en la misma fila. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si los 4 niños quieren estar juntos? CEPREUNAJ–2013
a) 36 d) 120
b) 134 e) 144
c) 48
50. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una fogata, cuatro parejas de esposos, de manera que los hombres y mujeres queden alternadas? UNAP–EXT–2010
Academia GAUUS
677
JOHN MAMANI M.
Probabilidades CAPÍTULO XXIII Es una rama de la matemática que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso produzca un determinado resultado
• Evento imposible (B) Si n(B) = φ • Evento elemental (C) Si n(C) = 1
DEFINICIONES PREVIAS
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado” Evento: “Obtener un puntaje impar” Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 3, 5}
A. EXPERIMENTO ALEATORIO ( ε ) Es todo experimento en el que a pesar de repetirse en las mismas condiciones es imposible predecir los resultados. Ejemplo: No podemos predecir qué resultado saldrá ya que podría ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos.
→ n(Ω) = 6
DEFINICIÓN CLÁSICA Para un espacio muestral donde sus elementos tienen las mismas probabilidades, la probabilidad de que ocurra (A) es:
= P(A)
B. ESPACIO MUESTRAL ( Ω )
Es el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzamiento de un dado”. Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Número de elementos del espacio muestral: n(Ω) = 6
C. EVENTOS Es cualquier subconjunto del espacio muestral y se denota con A; B; C; D; … Clases de eventos • Evento seguro (A): Si n(A) = n(Ω)
678
→ n(A) = 3
n(A) N° de casos a favor de A = N° total de casos posibles en Ω n(Ω)
Propiedades • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • •
C
C
donde es el A P(A) + P(A ) = 1 complemento del suceso A. P(A ∪ B)= P(A) + P(B) − P(A ∩ B) , donde A y B son sucesos cualesquiera.
CASO PARTICULAR PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean los eventos A y B son P(B) > 0 . La probabilidad de que ocurra el evento A. dado que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicional y se denota P(A/B) . P(A/B) =
P(A ∩ B) P(B)
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA PROBLEMA 01
PROBLEMA 03
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar? a) 1/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 1/6 e) 2/3
Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos en total? a) 2/18 b) 1/4 c) 1/6 d) 3/7 e) 1/12
Resolución
Resolución
Resultados posibles: 6 Resultado de que sea impar: 3 3 1 Probabilidad: P= = 6 2
Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema: dado rojo
1
PROBLEMA 02 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en ambas sello? a) 1/3 b) 5/6 c) 1/5 d) 1/4 e) 1/2
c c s s Espacio = :Ω muestral
Suceso : A =
Luego: = P
n(A) 1 = n(Ω) 4
Academia GAUUS
5
6
⊕ ⊕
⊕
3
⊕
4
Este resultado indica que se obtuvo 1 punto en el dado blanco y 6 en el rojo
⊕ ⊕
Casos totales: , , ,
( 1, 2 ) , ( 1, 3 ) , ... , ( 1,6 ) ( 2, 2 ) , ( 2, 3 ) , ... , ( 2,6 ) ( 3, 2 ) , ( 3, 3 ) , ... , ( 3,6 )
,
( 6, 2 ) , ( 6, 3 )
, ... , ( 6,6 )
→ n( Ω) = 36
) , ( s ,s )} → n ( Ω ) { ( c ,c ) , ( c ,s ) , ( s ,c=
{ ( s , s ) } → n ( A )=
dado blanco
( 1,1 ) ( 2,1 ) Ω = ( 3,1 ) ( 6,1 )
c s c s
4
2
6
Al lanzar dos monedas los posibles resultados son:
3
1
5
Resolución
2
1
4
Casos a favor: A = { ( 1,6 ) , ( 2,5 ) , ( 3, 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5, 2 ) , ( 6,1 ) }
→ n( A ) = 6 n( A ) 6 P = = 1 Luego:= 6 ( ) n Ω 36
679
JOHN MAMANI M.
Resolución
PROBLEMA 04
Para una rifa se venden 20 cupones; Mario n ( Ω )= 2 2= 4 n ( CF )= 1 compra dos cupones, si se ofrecen dos premios. n(Ω ) 1 ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga solo uno = P( A ) = ( CF ) 4 n de los premios? a) 9/5 b) 9/10 c) 9/8 d) 9/4 e) 21/2 PROBLEMA 07
Resolución 19 × 18 10 C2 2= 9 = = Probabilidad 20 × 19 10 20 C2 2
De una urna que contiene 4 bolas blancas y 5 negras, extraen al azar sucesivamente 3 bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra, la segunda blanca y la tercera negra? a) 13/42 b) 5/42 c) 5/63 d) 13/63 e) 10/63
PROBLEMA 05 Si se lanzan dos dados simultáneamente, la probabilidad de que el resultado del segundo dado sea mayor que el primero, es: a) 1/4 c) 5/9 c) 1/2 d) 2/3 e) 5/12
Resolución
dado 2º 1 2 3 4 5 6
1 2 3 1º dado 4 5 6
n ( CF ) = 15 ;
) P( A =
1N
1B
1N
4B 5N
4B 4N
3B 4N
Total : 9
Total : 8
Total : 7
P(1N,1B,1N) =
5 4 4 10 × × = 9 8 7 63
PROBLEMA 08 Una casa está conformado por 11 niños y 7 niñas, si se escoge 4 estudiantes al azar ¿Cuál es la probabilidad que todos sean niños? a) 11/50 b) 11/102 c) 11/40 d) 11/100 e) 1/2 n( Ω ) = 36
15 5 = 36 12
PROBLEMA 06
Al lanzar una moneda dos veces en forma consecutiva, la probabilidad de que en ambos lanzamientos salga “cara”, asumiendo que los lanzamientos son independientes, es: a) 1/8 b) 1/2 c) 3/4 d) 1/3 e) 1/4
680
Resolución
Resolución: 11
Probabilidad =
C4 18 C4
(# casos fav.) (# Total casos fav.)
11 × 10 × 9 × 8 18 × 17 × 16 × 15 11 Probabilidad = 102 Probabilidad =
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
¡Comprueba lo que sabes! 01. Marta compro un disco de música de dos artistas, que contienen 4 canciones de Coldplay y 6 de David Guetta. Si el equipo de música escoge el orden de las canciones al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canción que oyó fuera del Coldplay? a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5 d) 1/10 e) 3/10 02. En un cajón de una cómoda hay camisetas de varios colores: 2 rojas y 4 azules. Si Eva toma una camiseta del cajón, ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? a) 1/2 b) 1/6 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/5 03. Si Elvis va a la ciudad en autobús con 2 varones y 3 mujeres, y tiene que sentarse con alguien, calcula la probabilidad de que se siente con un varón. a) 1/5 b) 2/5 c) 4/5 d) 2/3 e) 1/3 04. Hoy Anita viajo a Puno y se dedicó a pescar en una piscigranja del lago Titicaca, donde habían 600 truchas y 460 suches. Si Ana llevo solo un pez cuando regreso al hotel, ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un suche? a) 46/107 b) 18/43 c) 30/53 d) 23/43 e) 23/53 05. Se tiene 20 libros diferentes: 6 de Aritmética y el resto de Lenguaje. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger al azar un libro resulte de Aritmética? a) 1/5 b) 2/3 c) 3/7 d) 3/10 e) 7/10 06. Don Fausto es pescador de Chorrillos. Vende pescado a 4 supermercados y 2 restaurantes, por lo general todos le pagan con cheques, pero hoy uno le pago con efectivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el efectivo fuera de un supermercado? Academia GAUUS
a) 1/3 d) 1/4
b) 5/6 e) 2/3
c) 1/6
07. Rosita ha comprado una caja de chocolates y son de sabores diferentes: 8 de almendra, 6 de pasas y 6 de coco. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chocolate que Rosa coma sea de pasas? a) 0,6 b) 0,4 c) 0,3 d) 0,5 e) 0,8 08. De 8 latas que están sobre una mesa, hay 2 de frijoles, 5 de atún y 1 de espinacas. Si una lata se cae y se daña, ¿Cuál es la probabilidad de que la lata dañada sea de frijoles o espinaca? a) 3/8 b) 1/6 c) 2/3 d) 5/12 e) 5/6 09. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos resultados iguales al lanzar dos dados al mismo tiempo? a) 3/5 b) 1/6 c) 2/3 d) 5/12 e) 5/6 10. Las 8 salas de conferencia en un edificio tienen vistas diferentes: 3 miran al norte y 5 miran al sur. Si el señor Ruiz asiste a una reunión en una de ellas esta tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una vista al norte? a) 1/8 b) 3/4 c) 1/4 d) 5/8 e) 3/8 11. Marco tiene monedas en su bolsillo: 4 de un sol y 6 de dos soles. Si Marco compra una bolsita de papas de un sol y paga con una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de que pague con un nuevo sol? a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,8 12. De un lote de 40 artefactos, se observa que 25 son buenos, 10 están dañados levemente y el resto presenta daños graves. ¿Cuál es la
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JOHN MAMANI M. probabilidad de que al sacar 2 artefactos al azar, resulten buenos? a) 3/9 b) 2/39 c) 1/20 d) 5/13 e) 5/21 13. Se lanza una moneda sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga cara? a) 7/2 b) 2/4 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/7 14. Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de que el resultado sea un número primo. a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/6 15. En el quiosco del colegio, el vencedor tiene 32 caramelos dentro de un frasco: 10 son de fresa, 8 de limón, y 14 de menta. Si Luis compra un caramelo, y el vendedor extrae uno sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad que el caramelo sea de limón? a) 1/4 b) 1/6 c) 1/2 d) 3/1 e) 1/8 16. Se lanzan 3 monedas al mismo tiempo, calcula la probabilidad de obtener 2 caras y un sello a) 1/60 b) 2/6 c) 6/2 d) 11/6 e) 3/8 17. De un mazo de 52 cartas se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha carta sea de diamantes? a) 2/4 b) 1/4 c) 3/6 d) 2/9 e) 1/7 18. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes obtenidos sea 7? a) 1/6 b) 2/2 c) 2/6 d) 1/8 e) 2/4 19. En una urna hay diez bolillas numeradas del 1 al 10. Si se extraen dos bolillas de manera consecutiva, calcula la probabilidad que el numero tenga numeración par y el segundo numeración impar.
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a) 1/15 d) 5/18
b) 2/17 e) 1/27
c) 1/14
20. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de los resultados de ambos dados sea 2? a) 5/6 b) 2/9 c) 6/2 d) 1/8 e) 4/2 21. En una urna hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 6 bolas rojas. Si se extraen dos bolas sin reposición, calcula la probabilidad de que las dos sean rojas. a) 1/7 b) 1/2 c) 2/4 d) 7/2 e) 8/4 22. En una urna hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 6 bolas rojas. Si se extraen dos bolas sin reposición, calcula la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda blanca. a) 1/5 b) 3/15 c) 2/15 d) 1/8 e) 2/21 23. En una urna hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 6 bolas rojas. Si se extraen dos bolas sin reposición, calcula la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda blanca. a) 1/5 b) 4/35 c) 1/25 d) 2/10 e) 1/40 24. Sara aposto que al lanzar un dado saldría un número mayor que 4. Calcula la probabilidad que tiene Sara de ganar. a) 1/9 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/5 e) 1/2 25. Se lanza una moneda y un dado, calcula la probabilidad de que salga cara y un puntaje no mayor que 3. a) 5/4 b) 5/3 c) 1/4 d) 2/2 e) 2/4 26. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número par? Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. a) 3/2 d) 1/2
b) 1/7 e) 3/6
c) 2/4
27. Al lanzar dos monedas, ¿Cuál probabilidad de obtener dos caras? a) 1/3 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/5 e) 1/2
es
la
28. Al extraer de una baraja de 52 cartas una de estas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que se pueda obtener un rey? a) 1/17 b) 1/16 c) 2/8 d) 1/48 e) 1/13 29. Al extraer 2 bolas de una urna donde hay 5 bolas blancas, 3 azules y 4 rojas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una roja y una blanca? (el evento se da sin reposición) a) 4/8 b) 3/24 c) 5/33 d) 3/72 e) 3/55 30. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea un número menor que 6? a) 1/15 b) 2/15 c) 18 d) 2/13 e) 5/18 31. De una baraja de 52 naipes, calcula la probabilidad que al extraer dos cartas de manera consecutiva (sin reposición) la primera sea roja y la segunda negra. a) 13/32 b) 1/25 c) 5/28 d) 13/51 e) 10/27 32. De una baraja de 52 naipes, calcula la probabilidad que al extraer dos cartas de manera consecutiva (sin reposición) las dos sean de espadas. a) 1/14 b) 3/6 c) 1/17 d) 2/35 e) 2/7 33. Se lanzan dos dados sobre una mesa, calcula la probabilidad de que la suma de los resultados de los puntos sea 5. a) 1/3 b) 1/6 c) 1/5 d) 3/4 e) 1/9 Academia GAUUS
34. Se lanzan dos dados sobre la probabilidad de que resultados de los puntos menor que 5. a) 1/4 b) 1/6 d) 1/5 e) 1/4
una mesa, calcula la suma de los sea un número c) 1/3
35. Se lanzan dos dados sobre una mesa, calcula la probabilidad de obtener puntajes iguales. a) 1/3 b) 1/5 c) 1/9 d) 1/6 e) 2/3 36. Sobre una mesa se lanzan 3 monedas legales, calcula la probabilidad de obtener resultados iguales. a) 2/5 b) 3/4 c) 4/9 d) 1/3 e) 1/4 37. Sobre una mesa se lanzan 3 monedas legales, calcula la probabilidad de obtener como mínimo 2 sellos. a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/5 e) 2/9 38. Sobre una mesa se lanzan 3 monedas legales, calcula la probabilidad de no obtener caras. a) 7/9 b) 6/9 c) 1/8 d) 3/8 e) 5/8 39. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener una reina. a) 1/12 b) 1/13 c) 1/19 d) 2/13 e) 7/9 40. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener una carta roja. a) 1/5 b) 1/9 c) 1/2 d) 4/7 e) 1/8 41. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener un as o una jota. a) 2/5 b) 1/4 c) 1/6 d) 2/13 e) 3/4 42. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener una carta roja o un trébol.
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JOHN MAMANI M. a) 1/4 d) 3/8
b) 3/5 e) 3/4
c) 2/7
43. Al sacar 2 cartas de una baraja, calcula la probabilidad de que ambas sean de espadas. a) 1/16 b) 3/17 c) 3/5 d) 6/17 e) 1/17
caramelos de fresa y 30 de limón le dan 2 caramelos de manera consecutiva, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos caramelos sean de su sabor preferido? a) 12/62 b) 38/245 c) 23/62 d) 16/26 e) 146/517
44. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un número impar? a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/5 e) 2/9
50. Miguel lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número par? a) 5/8 b) 3/6 c) 1/2 d) 6/7 e) 3/5
45. Al extraer una carta de una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as? a) 1/12 b) 1/13 c) 1/19 d) 2/13 e) 7/9
51. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 4? a) 3/8 b) 6/5 c) 3/4 d) 3/7 e) 1/3
46. Sin mirar se oprime una de las 27 letras que tiene el teclado de una computadora. Determina la probabilidad de que sea una consonante. a) 5/27 b) 20/27 c) 22/27 d) 1/27 e) 15/27
52. Al lanzar una moneda, ¿Cuál probabilidad de que salga cara? a) 0,6 b) 0,5 c) 0,2 d) 0,1 e) 0,9
47. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 9? a) 15/26 b) 18/36 c) 7/18 d) 13/18 e) 11/36 48. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos bolas al azar, calcula la probabilidad que el producto de los números de las bolas sea un número impar. a)4/17 b) 9/19 c) 3/18 d) 5/9 e) 3/17 49. A Hugo le gustan los caramelos y su sabor preferido es el de fresa. Si ingresa a una tienda y de un frasco donde hay 20
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es
la
53. En una caja hay 10 colas rojas, 5 bolas negras y 5 bolas verdes. Si sacamos una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja? a) 1/8 b) 2/7 c) 1/2 d) 2/3 e) 2/6 54. En una caja hay 12 bolas verdes, 4 azules y 15 negras. Si se extrae tres bolas al azar una tras otra sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad que las dos primeras sean azules y la tercera verde? a) 1/2 b) 22/53 c) 24/449 d) 1/3 e) 1/6 55. En una caja hay 12 bolas blancas, 7 bolas negras y 10 amarillas. Si sacamos dos al azar, Academia GAUUS
JOHN MAMANI M. una tras otra probabilidad amarillas? a) 100/841 d) 66/392
y con reposición, ¿Cuál es la de que ambas bolas sean b) 66/382 e) 74/362
c) 81/873
56. En una caja hay 4 bolas rojas y 2 bolas verdes. Si sacamos dos bolas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? a) 2/5 b) 2/6 c) 2/3 d) 2/4 e) 2/7 57. En una caja hay 5 bolas verdes, 2 bolas azules y 3 bolas negras. Si sacamos tres bolas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes? a) 1/12 b) 1/16 c) 1/13 d) 1/14 e) 1/19 58. Se eligen al azar dos números diferentes del 1 al 20. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 14, dado que resultaron impares. a) 1/15 b) 1/16 c) 1/12 d) 2/24 e) 1/19 59. La probabilidad de que un alumno ingrese a la universidad es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro postulantes, los tres primeros hayan ingresado, pero el cuarto no? a) 0,328 b) 0,642 c) 0,563 d) 0,1024 e) 0,535 60. ¿Cuál es la probabilidad de extraer 3 o 4 al lanzar un dado? a) 1/3 b) 2/6 c) 7/3 d) 2/4 e) 7/4 61. Se lanza un dado no cargado. Dado que el resultado es un numero par, ¿Cuál es la probabilidad de que dicho resultado sea mayor que 3? Academia GAUUS
a) 5/7 d) 5/6
b) 2/3 e) 5/8
c) 5/9
62. ¿Cuál es probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay 3 bolas rojas, 7 azules, 4 blancas y 2 negras, esta no sea roja? a) 13/15 b) 13/16 c) 13/64 d) 1/352 e) 1/355 63. Se lanza un par de dados. Si la suma es 6, ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dados sea 2? a) 2/5 b) 3/8 c) 1/3 d) 3/4 e) 1/9 64. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? a) 1/9 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/3 65. Se lanzan 2 dados legales simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos? a) 4/30 b) 3/40 c) 29/3 d) 5/36 e) 7/43 66. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? a) 1/5 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/9 e) 1/8 67. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3? a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9 d) 1/4 e) 1/7 68. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número cuya raíz cuadrada sea exacta? a) 2/5 b) 2/3 c) 2/7 d) 15/ e) 2/6
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JOHN MAMANI M. 69. En una urna donde hay 7 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules, ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas estas sean rojas? a) 2/15 b) 2/21 c) 2/64 d) 2/22 e) 2/45
76. De una baraja de 52 cartas se extrae una. Calcula la probabilidad de que sea un as o un diamante. a) 3/13 b) 3/21 c) 3/23 d) 3/19 e) 4/13
70. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? a) 5/6 b) 2/5 c) 2/3 d) 1/4 e) 2/4
77. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras, otra contiene 6 blancas y 4 negras. Si se extrae al azar una bola de cada urna, calcula la probabilidad de que ambas sean de color blanco. a) 3/8 b) 4/6 c) 6/8 d) 2/4 e) 7/4
71. Se lanzas dos dados simultáneamente, ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? a) 30 b) 35 c) 38 d) 39 e) 36 72. Se extrae una carta de una baraja normal. Calcula la probabilidad de obtener un 4 o un 6. a) 2/16 b) 1/13 c) 1/16 d) 2/13 e) 1/14 73. Si lanzamos dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 8? a) 3/56 b) 4/30 c) 3/23 d) 5/36 e) 3/74 74. Si lanzamos tres monedas, ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caras y 1 sello? a) 7/9 b) 3/4 c) 2/3 d) 3/8 e) 7/8 75. En una caja se dispone de 9 bolas numeradas del 1 al 9, y se extrae dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números primos? a) 2/5 b) 1/6 c) 1/5 d) 1/2 e) 4/5
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78. En una lavandería se tiene 40 camisas blancas nuevas y 60 usadas, también se tiene 30 camisas rojas nuevas y 50 usadas. Se extrae una camisa al azar. Calcula la probabilidad de que sea blanca, dado que es nueva. a) 6/8 b) 9/10 c) 2/13 d) 4/7 e) 6/14 79. En una urna se tiene 12 bolas; 7 blancas y 5 negras. Se extraen 2 bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra? a) 12/50 b) 12/60 c) 35/132 d) 1/220 e) 15/80 80. En una urna hay 4 bolas blancas y 6 rojas. Se extraen al azar una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que en la tercera extracción se obtenga por primera vez la bola blanca? a) 1/7 b) 6/9 c) 1/6 d) 1/9 e) 1/6
Academia GAUUS
JOHN MAMANI M.
01. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30 todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea múltiplo de 3 o 5?
A es 0,3 y de que ingrese a la universidad B es 0,9. Si la probabilidad de que ingrese solo a una de dichas universidades es 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez? CEPREUNA–BIO–2013
CEPREUNA–ING–2013
a) 0,24 b) 0,45 c) 0,25 d) 0,35 e) 0,65
a) 7/15 b) 6/15 c) 5/13 d) 4/13 e) 3/13 02. A una reunión asisten 90 personas, resulta que 70 fuman, 50 beben y 15 no fuman ni beben, si de estas personas se elige una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume? CEPREUNA–BIO–2013
a) 1/2 b) 2/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6
CEPREUNA–ING–2014
a) 1/5 b) 1/6 c) 1/9 d) 2/11 e) 1/24
03. Carlos rinde su práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota impar mayor que 13? CEPREUNA–SOC–2013
a) 1 b) 1/7 c) 1/3 d) 1/8 e) 1/2 04. Rosa se presenta a los exámenes de la Universidad A y de la Universidad B, la probabilidad de que ingrese a la universidad Academia GAUUS
05. En una carretera de autos participan cuatro competidores A, B, C y D. Uno de ellos debe ganar necesariamente. Si la probabilidad de que gane A es el doble de la de B, la de B es la mitad de C y la de D es el triple de A. ¿Cuál es la probabilidad de que gane A?
06. En una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de espadas con un valor menor que 7 o un valor mayor que 10? CEPREUNA–SOC–2014
a) 9/52 b) 1/3 c) 7/91 d) 5/37 e) 2/17 07. Sobre el piso, Jaimito ha dibujado una circunferencia, luego duplica el radio y dibuja
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JOHN MAMANI M. una circunferencia concéntrica. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar una canica dentro de los círculos, esta no caiga en el círculo pequeño? CEPREUNA–ING–2014
a) 0.25 b) 0.40 c) 0.50 d) 0.75 e) 0.80 08. De una reunión de 5 varones y 6 mujeres se desea escoger un grupo de 4 personas. Halle la probabilidad de que dicho grupo este conformado por más de 2 varones. CEPREUNA–ING–2014
a) 5/33 b) 19/33 c) 17/66 d) 13/66 e) 11/54 09. Josefa, Josefina y 4 amigas van a ser ubicadas en 6 asientos contiguos. ¿Cuál es la probabilidad de que no se sientan juntas? UNAP–EXT–2004
a) 1/2 b) 2/3 c) 1/5 d) 2/9 e) 4/7 10. Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Halle la probabilidad de que la carta sea un “as” o un “trébol”.
11. Se lanzan dos dados normales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? UNAP–EXT–2011
a) 1/10 b) 3/8 c) 1/12 d) 4/36 e) 5/8 12. Rosita se encuentra embarazada y le diagnosticaron que tendría cuatrillizos. ¿Cuál es la probabilidad que nazcan 4 varones? UNAP–2010/2006
a) 1/8 b) 1/2 c) 1/24 d) 1/16 e) 1/6 13. Tres cazadores A, B y C están apuntando con sus rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5; la de B es 3/7; y, la de C es 2/3. La probabilidad de que acierten los tres es: UNAP–2010
a) 8/15 b) 8/25 c) 8/35 d) 8/45 e) 8/20 14. Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas verdes. Determine ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una bola roja o blanca?
UNAP–EXT–2010
a) 9/13 b) 17/52 c) 3/26 d) 2/13 e) 4/13
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UNAP–BIO–2011
a) 2/3 b) 1/3 c) 4/9 d) 5/9 e) 7/9 Academia GAUUS
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Bibliografía
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Separatas CEPREUNA-Puno
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