Otros temas de la estimación Mónica Mamani Cereceda ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA Instituto IACC 09 de julio de 2017
INSTRUCCIONES: Sobre la base de las lecturas y de los contenidos revisados en la semana (intervalos de confianza de la diferencia entre las medias de dos poblaciones normales; muestras dependientes; muestras independientes, varianzas poblacionales conocidas (datos pareados); intervalos de confianza de la diferencia entre las medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas; muestras independientes y varianzas supuestamente iguales; muestras independientes y varianzas supuestamente distintas; intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales; intervalos de confianza de la varianza de una distribución normal; elección del tamaño de muestra). Resuelva paso a paso los siguientes problemas planteados, realizando la aplicación (desarrollo) y análisis de acuerdo a lo trabajado en la semana, incorpore, además, las interpretaciones correspondientes:
1. Se lleva a cabo un estudio para determinar la efectividad de una nueva vacuna contra la gripe. Se administra la vacuna a una muestra aleatoria de 3.000 sujetos y de este grupo 13 contraen la gripe. Como grupo de control se seleccionan al azar 2.500 sujetos, a los cuales no se les administra la vacuna, y de este grupo 170 contraen la gripe. ¿Es efectiva la vacuna? Construya un intervalo de confianza del 95% que avale su respuesta.
Para este problema tenemos que X1 y X2 son variables aleatorias con distribución de Bernoulli:
X~Bn, p; X~Bn, p nn == 2500 3000
El tamaño de las muestras es respectivamente:
e P̂i = caocaofavorabl oale P̂ = 300013170 = 0,004333 ̂P = 2500 = 0,068 ⟹ Z ⁄ = 1,96 ̂P P̂ Z ∗ √ [P̂ ∗ 1 ̂P]n + [P̂ ∗ 1 ̂P]n ; ̂P P̂ + Z ∗ √ [P̂ ∗ 1 P̂]n + [P̂ ∗ 1 P̂]n 0,0043333000 1 0,004333 + 0,0682500 1 0,068 ; 0, 0 04333 0, 0 68 1, 9 6 = 0 , 0 043331 0, 0 04333 0 , 0 681 0, 0 68 0, 0 04333 0, 0 68+ 1, 9 6 + 3000 2500 ) ( Se tiene la probabilidad: Entonces:
El nivel de confianza es de un 95%
α
Cuando se tienen las probabilidades en cada caso, entonces el intervalo de confianza está dado por: α
α
Por lo tanto el intervalo de confianza es:
= 0,073 ; 0,053
En el cualel cero no pertenece a él, lo que indica probablemente que la vacuna es muy efectiva y ya no hay enfermos de gripe.
2. Se lleva a cabo un estudio para determinar el porcentaje de hogares en donde hay al menos dos televisores. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 99% y que el error al estimar esta cantidad sea menor que 0,017?
Para calcular el tamaño se tiene esta formulación:
0 , 2 5 ∗Z n = ME MEZ ==2,0,507517
Del problema tenemos: (del nivel de confianza del 99%). Reemplazando estos valores en la fórmula del tamaño muestral tenemos:
n = 5735,8
3. En una muestra aleatoria de 30 ampolletas, la desviación estándar muestral de la duración de una ampolleta es 12,6 horas. Construya un intervalo de confianza del 90% para la varianza de la duración de dicha ampolleta.
1 0,05 = 0,95 →
1 0,95 = 0,05 n 1 ∗ s < < n1 ∗ s −, / −,− /
→
Se busca en la tabla de ji-cuadrado con 29 grados de libertad 17,708 42,557 El intervalo de confianza para la varianza está dado por la siguiente formulación: χ
ns == 12,306 s = =0,158,1 76 1 1 ==0,3095 1 = 29 −, / = 42,557 = 17,708
σ
α
χ
Y del enunciado se obtiene: (tamaño muestral) (desviación estándar muestral) (varianza muestral) (se obtiene del nivel de confianza del 90%) α α (percentil)
χ
α
(grados de libertad) (se obtiene de tabla ji-cuadrado con 29 G.L.)
α
(se obtiene de tabla ji-cuadrado con 29 G.L.) −,− / Con estos datos el intervalo queda: 2942,∗158,55776 < < 2917,∗158,70876 108,18 < < 259,99
χ
α
σ
σ
4. El administrador de un lote de autos prueba dos marcas de llantas radiales. Para ello asigna al azar una llanta de cada marca a las dos ruedas posteriores de 8 automóviles y luego hace correr los vehículos hasta que las llantas se desgastan. Los datos obtenidos (en kilómetros) aparecen en la siguiente tabla. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en el tiempo promedio de duración. Con base a estos cálculos. ¿Qué llanta es la que usted preferiría? Argumente.
Consideraremos como variable “x” los valores de llanta marca 1 y como variable “y” los valores
de llanta marca 2. El intervalo de confianza es:
̅xy̅ −, ∗ + ≤ ≤ x̅ y̅ + −, ∗ + xy̅̅ == 38.37.4671 == 5590, 2 7 5243,90 = = 8 1 = 8 1 = 7
Obteniendo sus medias muestrales y desviaciones estándar muestrales respectivamente:
Los tamaños muestrales son:
Además se tiene que:
= 1 0,9t9,=.0,/0 1= 3,499 Por lo tanto
Reemplazando todos los valores anteriores en la formulación del intervalo de confianza tenemos:
38.47 37.61 3,499 ∗ 5590,8 27 + 5243,8 90 ≤ ≤ 38.47 37.61 +3,499 ∗ 5590,8 27 + 5243,8 90 9481,1 ≤ ≤ 9482,9 μ
μ
μ
μ
No se puede determinar cuál marca de llanta es mejor que la otra, ya que el intervalo de confianza obtenido incluye el 0.
Bibliografía
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Biosca, A.; Espinet, M. J.; Fandos, M. J.; Jimeno, J.; Villagrán, B. J. & Escolano, L. E. (2003).Matemáticas II aplicadas a las ciencias sociales. España: Edebé bachillerato. Canavos, G. (1998). Probabilidad y estadística, aplicaciones y métodos. 1ª edición. Estados Unidos: McGraw-Hill. Montgomery, D. & Runger, G. (1996). Probabilidad y estadística aplicadas a la Ingeniería. 1ª edición. Estados Unidos: McGraw-Hill. Newbold, P.; Carlson, W. & Thorne, B. (2008). Estadística para la administración y economía. 6ª edición. Estados Unidos: Pearson Prentice-Hall. Pérez, C. (2002). Estadística aplicada a través de Excel. 2ª edición. Madrid, España: Prentice-Hall. IACC (2013). Otros temas de estimación. Inferencia estadística. Semana 5.