Razonamiento Matemático
$$
Ronald
Carhuancho
Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.
Geometría: Geometría: Parte de la matemática que trata de las propiedades des y la medida de la extensión. Punto: Limite Punto: Limite mínimo de la extensión extensión que se considera sin longitud, latitud ni Seg Segmento de Recta: Porc Porció ión n de profundidad. recta comprendido entre dos puntos Línea: Línea: Esta formado por la sucesión que son los extremos. continua de puntos con una sola g g A B dimensión que es la longitud. AB Plano: !upe !uperf rfic icie ie imag imagin inaaria ria Línea recta: ilim ilimit itad adaa, es enge engend ndra rada da por por una línea recta cuando se desplaza Línea curva: paralelamente a su posición original. Porción Porción de Plano
Línea quebrada:
Línea mixta:
P
Figu Figurra Geom Geomét étri rica ca:: Es un con" con"un unto to de punt puntos os ó sist sistem emas as de líne líneas as y supe superf rfic icie iess que que reci recie en n el nomre de figuras geom#tricas. Significado
de los términos matemticos: !xioma: Es una proposición Lín Línea recta: suce sucesi sión ón cont contin inúa úa de e$idente por si misma y que no puntos que se desplaza hacia amos necesita demostración% extremos en forma ilimitada. "eorema: Proposición que mediante un razonamiento se hace e$idente y g g A B consta de dos partes& hipótesis y tesis. AB #orolario: io: Es una consecuencia de Semi Semi–r –rec ecta ta:: Pa Part rtee de la recta ecta que #orolar uno o $arios teoremas. carece de punto de origen. Postul Postulado: ado: Proposición que sin ser g o A B e$idente se admite su certeza por no ser posile demostrarla. A ∉ AB Lema: Es Lema: Es un teorema preliminar que g g sir$e de ase para demostra trar un A B A ∈ AB
Razonamiento Matemático
,--
Ronald
Carhuancho
teorema principal. %scolio: Es una ad$ertencia o anotación que se hace para aclarar, ampl amplia iarr o restr restring ingir ir prop propos osic icio ione ness anteriores. Pro& Pro&os osic ici' i'n: n: Es el enun enuncciado iado de una hipótesis ó suposición y conclusión. (i&'tesis: Punto (i&'tesis: Punto de partida de una demostración lógica a partir del cual se propone alcanzar la solución. Probl Problem ema: a: Es una proposición que se hace con el o"eto de aclararlo ó resol$erlo. )&eraciones con Segmentos: !uma% g
g
A
g
g
B
D
C
Nº
N º =L . n ( n −1 )
ro = n ú m e ro L = n úm ú m e ro ro n
de d e fi figu r a s d e la la d os o s d e l o liligo n o
1 Sobre una recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D. Si AB = ! BC = " C D , AD = 1 # m . Calcular la longitud de BC .
) +m e) m
g
P
Q
g
R
1#
g
A g
c) m
Resolución: Resolución:
(esta% g
1)
−
' Para polígonos secantes
a) *m d) -m
' AD = AB + BC + C D ' AD = AB + BD ' AD = AC + C D
n(n
=
B
" a !
"a
g
S
' P R = P S − P Q − RS ' P Q = P R − QS ' RS = P S − P R
g
C
g
a
D
' AB = ! BC = " C D ⇒ si$ C D% a Entonces% AB
= "a
& BC %
" !
a
"
*xi *ximo mo n+m n+mer ero o de &un &unto toss de corte
Luego% " a + a + a = 1 # m ⇒ a = ! m
' Para puntos secantes
BC
Nº =
n ( n −1 ) 2
' Para circunferencias secantes
⇒
=
" !
a
=
BC =
! "( ! "m
!)
Rpta.
Razonamiento Matemático
,-,
Ronald
Carhuancho 2 Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, donde:
AC + BD + C' = "" m ; A' = 2( m y D'
= 2 AB , Calcular la longitud de
AB .
a) /m d) m
) *m e) 01m
c) 0-m
Resolución: g
g
A
2(
g
B
g
C
g
'
D
)
2)
' AC + BD + C' = "" m ( AB + BC ) + BD + ( CD + D' ) = "" m
(
AB4 +4BC CD 1 4 2+ 4 4 +4D' 3 2( m
2( m + BD = "" m BD = 1# m Luego% ) + BD + 2) !) + 1#
= 2( ⇒
)
+ BD = "" m
Rpta.
2m
- A'
!
= !2 m
A'
(
= !2 × ( ⇒
además BD =
a) 02m d) /2m
! (
A' , calcular: A' .
) 2m e) *2m
c) -2m
C
B
A
' AC + BD + C' = !2 m ( AC + C' ) + BD = !2 m , entonces% A' + BD = !2 m 3..4 5 ) 6el dato% BD =
! (
A'
........ * ++ ,
(eemplazando 4 55 ) en 4 5 )
D
'
1AD 4 2 CD 43
/
5
Piden $ A/ 0 A/ B' ! 3333 4 5 ) " AD BD CD C/ D/ '/
1"
con$enientemente C/
1BD 4 2 D/ 43
'/
. en 1"
B/
AC C/ B/ '/ 1" A/ B' 1" 333 4 555 )
(eemplazando 4 5 ) en 4 555 ) A/ A/
A/
Resolución:
Rpta.
2m
Resolución:
AC
3 Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C, D y E, si: AC + BD + C' = !2 m y
A'%
4 Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y ! cumpli"ndose #ue: AD $ BD % CD $ C! $ D! % E! & '(, A/ edemas se cumple #ue: B' ! . " )allar A!.
4 55 ) 7grupando 4 55 )
= 2( m
)%
A' +
!
A/ " ( -
1"
Rpta.
5 En una recta se toman los puntos consecutivos *, +, , -, tal #ue es el punto medio de LN . /A #ue es igual: R
+N L+
L3 3N
+4
43
Resolución: a L a
a
6 + 6 4 c 3 a c N
Razonamiento Matemático
,-5
Ronald
Carhuancho
34 Seg+n su *agnitud: R
0
!ea%
L4 +4 6 43 c
,: 9ngulo 8ulo%
4N a L+% a 6 3N% a c
(eemplazando R R R
a
6
a
6
5: 9ngulo :on$exo% a
c
6
a
2c
6
c
°<α<1 - º
c
c
26
"
α = º
3
Rpta.
./G0L) Es la figura formada por dos rayos di$ergentes que tienen un extremo común denominado $#rtice.
α
a gud o $ o ) e : n o C
º < α < #º
rec8o $
α = #º
o68uso $
α
#º < α < 1-º
64 9ngulo llano%
1 - º α=
α
A
g
7er8ice
74 9ngulo :ónca$o% 3g
Lados 1-.º
g
B
µ & R A3B , 3 µ 8otación% A3B 1isectri2: (ayo que di$ide al ángulo en dos ángulos congruentes. A
g
3g
α α
6isec8ri9
! . º
< α <
α
84 9ngulo de una $uelta%
α=! º
α 334 Seg+n sus características a9 9ngulos :omplementarios
g
B
#lasificaci'n: Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posición de sus lados.
α+θ=# °
α
θ
Razonamiento Matemático
,-6
Ronald
Carhuancho
b9 9ngulos !uplementarios c)
θ
φ
α θ α + θ = 1- .º
.ngulos de &er&endiculares 0) 6os ángulos agudos
lados
θ
3334 Seg+n Posici'n de sus lados a9 9ngulos adyacentes suplementarios
α =θ
α α+θ=1 - º
/) 6os ángulos otusos
α θ φ
b9 9ngulos :onsecuti$os
φ=θ
θ
C
B
β
D
θ
) 9ngulos% agudo y otuso
α
3
A
+θ+β+ α .. . . . . =! °
α+θ=1- °
α
c9 9ngulos opuestos por el $#rtice
α
θ
α=θ
θ
.ngulos formados &or dos rectas &aralelas y una recta secante
.ngulos de lados &aralelos a) )
1 "
2
L1
!
θ
L 1 ;; L 2
α α
θ -
(
L2
Razonamiento Matemático
,-7
Ronald
Carhuancho Calcular la medida del ángulo 0ormado por las bisectrices de los ángulos A-B y C-D. µ A3C
9ngulos internos% ! < " < ( < 9ngulos externos% 1 < 2 < < 9ngulos alternos internos% "$
=( $
=
< 2 $
$
9ngulos 1$ = $ < 2 $
alternos
µ = B3D = #º ,
Resolución:
B
externos%
A
=$
C
9ngulos con"ugados internos% $
"
+ % 1 -º
&
$
α α θ
! + (% 1 -º $
$
9ngulos con"ugados externos% 1$ + -% 1-º
&
$
$ 1-º 2 + %
$
$
$
$
β β
$
6e la gráfica se oser$a% 2 α + θ = #º = θ + 2β = #º 2 ( α= θ= β ) = 1-º α + θ + β = #º 1 4 2 43
9ngulos correspondientes% $ < 2% ( < ! 1%
)
= $
< "$
=$
Pro&iedades entre rectas &aralelas: ,4 !i% 4 ; ; N
)
4
α
) =
)
D
#º
Rpta.
θ &
β
N
) + & α + θ + β=
54 ;isectrices de un par lineal
2 Se tienen tres ángulos consecutivos A-B, B-C y C-D de tal manera #ue las bisectrices de los ángulos A-B y C-D sean perpendiculares, donde el ángulo B-D mide 123. Calcular la medida del ángulo A-C.
a) 0-2< d) =2<
α θ θ α
) 022< e) +2<
Resolución:
C grafica% 6e la
B
α+θ=# º
PR)1L%*!S R%S0%L")S 1 Dados dos ángulos consecutivos: A-B, B-C y C-D, se cumple #ue
c) 2<
A
C )
α α θ
β β
- . º
D
Razonamiento Matemático
,-8
Ronald
Carhuancho
6e la grafica% ) = 2α + θ -º = θ + 2β ) + -º = 2 ( α + θ + β ) ......... * + , Pero% α + θ + β = #º ......* ++ , 4 55 ) en 4 5 ) ) + -º = 2 ( #º ) Rpta. ) =
4 5 ) en 4 55 ) ) + " ° = ° Rpta. ) = 2 . °
4 En la gra0ica mostrada calcular el valor del ángulo 456, si L 1 ;; L 2 ) )
)
1 º
6 En la grafica si L 1 >> L 2 , :alcular la medida del ángulo ?x@. L1 α α
)
°
L2
a) *2A 12A d) =2A
) -2A
c)
e) +2A
Revolución:
β β 2 °
a) 02A -2A d) /2A
L1
' !i >α > es el complemento de ?x@ Entonces el triangulo somreado es equilátero%
L2
) 2A
c)
)
)
α
)
)
e) *2A
L1
Resolución:
Por las propiedades entre dos rectas paralelas. L1 α
)
α
)
)
°
L2
α
6e donde% !) = 1- ° ⇒ )% Rpta.
β β
.?
2 °
Por propiedad% 2 ( β + α ) = ° + 2 ° β + α = " ° 3. 4 5 ) :uadrilátero cónca$o ) + β + α = ° 3. 4 55 )
L2
5 En la gra0ica mostrada L 1 ;; L 2 , calcular la medida el ángulo 456 )
a) *2A ) =2A c) +2A
L1
" º
L2
2 º
Razonamiento Matemático
,-
Ronald
Carhuancho
d) -2A
"eoremas Fundamentales
e) 12A
,4 En todo triangulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 0+2A B
θ Resolución:
α
)
β C
A α+θ+β=1 - º
β
L1
54 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos del triángulo no adyacentes a #l.
α "º
L2
2º
α
6el grafico se tiene que% α = 2º +"º ⇒ α% º α + β = 1- º ⇒ β% 12 º Rpta. ) + β = 1-º ⇒ )%
B
θ
.º
α
)
A
"R3./G0L)S Es la figura formada por tres segmentos de recta que se unen pos sus extremos / a /.
)% α +
C
64 En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es =2A. B θ2
B &
θ
9 α A %lementos:
θ!
β
B#rtices% 7& ; y : Lados% 7;& ;: y 7: 9ngulos interiores% α < θ & β 9ngulos exteriores% ) < & < 9
)
C
A θ θ θ 1 + 2 + ! =! º
C
θ1
74 En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y la sustracción de las longitudes de los otros dos lados.
Razonamiento Matemático
,-;
Ronald
Carhuancho
!i%
a
>6>c 6
c
6
c
a
6
c
−<<+
1isectri2: Es el segmento que iseca al ángulo de referencia, se tienen isectrices interiores y exteriores α B αθ θ
Bisec8ri9 e)8erior
a
84 En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y $ice$ersa. !i% a > 6 > c θ 6
c
α
β
A
'
C
D
#eviana: Es el segmento determinado por un $#rtice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
a
B
Ce:iana e)8erior
θ>α>β
Bisec8ri9 in8erior
Ce:iana in8erior
#lasificaci'n de "ringulos: 34 Por sus lados
escaleno
*ediatri2: ' C A D Es la línea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualquiera.
e@uila8ero
isosceles
334 Por sus ngulos
B 4edia8ri9
C
ringulo Rec8angulo A o l u g n a u c i l 6 3 o l u g n a i r A
θ α
β
B
riangulo Acu8angulo α < #º < θ < #º < β < #º
A
C
*ediana: Es el segmento determinado por un $#rtice y el punto medio del lado opuesto. B
α
4ediana
riangulo 368usangu lo α > # º
Líneas /otables en el "ringulo A
C
Razonamiento Matemático
,-=
Ronald
Carhuancho
!ltura: Es el segmento determinado por la partida de un $#rtice y la llegada en forma perpendicular al lado opuesto o su prolongación.
< Pro&iedades en el triangulo equiltero4 or8ocen8ro incen8ro 6aricen8ro circuncen8ro
B
al8ura e)8erior
al8ura in8erior
C
< Pro&iedades en el triangulo is'sceles4 Bisec8ri9 Al8ura 4ediana 4edia8ri9 Ce:iana
1
La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
c
= a
+ 6 + c
6 a
La suma de las distancias de un punto de la ase de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes. 2
.ngulos Formados Líneas /otables
Por
,4 9ngulo formado por dos isectrices interiores. !u medida es igual a 2A más la mitad de la medida del tercer ángulo interior. B
) = a + 6
) a
)
6 P
#onsecuencia:
A
) = a + 6
θ
a
6
α α
)
θ θ
D
= #º + B 2
C
5. ángulo formado por dos isectrices exteriores. !u medida es igual a 2A menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.B α α
θ
)
Las
θ
) D
P A
θθ
C
,-$
Razonamiento Matemático
Ronald
Carhuancho
74 m a
)
D
= #º − B
6
m
n
+= +
2
64 9ngulo formado por una isectriz interior y una exterior, su medida es igual a la mitad del tercer ángulo interior.
6
a n
84 m
B )
)
α α
A
θ C )
=
&
m
n
+= +
n
D &
)
4
θ
B
D B 2
θ
α = θ
Pro&iedades !dicionales
α A
C
"ringulos /otables:
,4 B
Rectngulos
α )% θ + α + β
"( º
54
E
)
θ
)
=
"( º
B
B
E !
" º
(! º 2( E
E
)
64
B
a
n
a
"E
!F(º
1F(º
E 1
E
1-F(º
6
+=+ !E
n
m
! º
2"E
α α
A
m
(E
!E 1 º
n
6
! º
E
m
θ θ
2E
E
β
A m+n 2
º E 2
E
E (
2F(º
2E
Razonamiento Matemático
,,-
Ronald
Carhuancho
PR)1L%*!S R%S0%L")S 1 En un triangulo is7sceles ABC de base AC, sobre los lados AC y BC se ubican los puntos y D tal #ue B&BD, calcular la medida del ángulo CD, sabiendo #ue el ángulo AB&(28. Resolución:
2
α = -º En el ∆ rectángulo ;C7 α + ) = #º -º + ) = #º Rpta. ) = 2 2º
B
#ongruencia de "ringulos
"º
Primer #aso: !L! α + )
α
α
5
A
∆ ABC$ Proieda d α 12" º = #º +
>!ngulo–Lado–!ngulo9 6os triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a #l.
D
+ )
α
)
C
' ∆ 5BC$ isosceles B5 = BD ' ∆ AB5$ ngulo e)8erior ( α + ) ) + ) = α + "º Rpta. ) =
B
BG
≅ α
α
θ C
A
θ
AG
CG
2 .º
∆ ABC
2 Se tiene un triangulo acutángulo ABC, donde 4+6 es el incentro y 4-6 el ortocentro y además la medida del ángulo B+C = 12"º , calcular la medida del ángulo -BA.
a) 02A d) /2A
) //A e) A
c) *2A
≅ ∆ AG B G C G
Segundo #aso: L!L >Lado–!ngulo–Lado9 6os triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Resoluci'n:
B
BG
B
≅
)
α
3g
α C
A ABC ∆
CG
AG
AG B G C G ≅ ∆
12"º
+
α A
H
C
"ercer #aso: LLL >Lado–Lado–Lado9 B
BG
≅ A
C
AG
CG
,,,
Razonamiento Matemático
Ronald
Carhuancho
CUAD RILATEROS ∆ ABC
≅ ∆ AG B G C G
#uarto #aso: LL!m >Lado–Lado–!ngulo mayor9 6os triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor. B
Los cuadriláteros, es todo polígono de cuatro lados. #L!S3F3#!#3)/: ,4 #uadriltero #onvexo !us ángulos interiores son ángulos con$exos C
BG
B
≅ A
C
A ∆ ABC
CG
AG
B AC
θ
N
54 #uadriltero #'ncavo Posee un ángulo interior cónca$o
≅ ∆ AG B G C G
"eorema de la base media En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a su mitad.
4
D
2 4N
=
A C ; ; 4N
θ
"eorema de la 1isectri2 A C
α α
"eorema de la *ediatri2
B
D A
C
#0!?R3L."%R)S #)/@%A)S ,4 P!R!L%L)GR!*)S: !on cuadriláteros que poseen lados paralelos dos a dos y además congruentes entre sí, entre ellos encontramos%
• • • •
:uadrado (ectángulo (omo (omoide
3 #0!?R!?): C y lados !us cuatroB ángulos rectos congruentes.
A
D
Razonamiento Matemático
,,5
Ronald
Carhuancho AB =C D
µ mA
AB
= BC
= CD
= DA
A
333 R)*1): !us cuatro lados congruentes y sus ángulos opuestos congruentes dos a dos. B 6 6
A
µ µ m B% mD
c c
L)S
TRAPECIOS
BC =AD
a a
&
• En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. • Los ángulos adyacentes a un lado de todo paralelogramo sin suplementarios. diagonales de los • Las paralelogramos se isecan mutuamente.
D
y
BC % AD
PR)P3%?!?%S ?% P!R!L%L)GR!*)S
33 R%#"!/G0L): !us cuatro ángulos rectos y sus lados opuestos congruentes dos a dos. B C
AB =C D
µ mC
=
&
!on cuadriláteros que poseen dos lados opuestos paralelos se les denomina ases del trapecio y dos lados no paralelos. 3 "ra&ecio %scaleno: Es el trapecio en el cual sus lados no paralelos son de diferente longitud. B
C
C
d d AB
= BC
D
= CD
D
A = AD
AB
3@ R)*1)3?%: !us lados y sus ángulos opuestos son congruentes dos a dos entre sí% B
C
≠CD
33 "ra&ecio 3s'sceles: !us lados no paralelos son congruentes B C
A A
D
D AB %
CD
Razonamiento Matemático
,,6
Ronald
Carhuancho
333 "ra&ecio Rectngulo: B
• "ra&e2oide !simétrico: C
C B
A
D
A AB
µ =# º m µ A =m B
PR)P3%?!?%S %/ L)S "R!P%#3)S
≠
CD
≠
C
Q
P
≠
• "ra&e2oide Simétrico:
6 C 4
BC
D AD
D N D
B
B
• Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos son suplementarios • La longitud de la mediana 4D8) es igual a la semisuma de las longitudes de sus ases% 4N
=
=
B−6 2
AD% CD
"%)R%*!S #)*PL%*%/"!R3)S:
B+6 2
• La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales 4P), es igual a la semiFdiferencia de longitudes de sus ases. P Q
A AB = BC &
a
α
a
)=
)
6
6
α
)
) =
66 θ
6
6
θ )
α
2
θ a a
"R!P%B)3?%S !on cuadriláteros con$exos que no poseen lados paralelos. !e tiene dos clases de trapezoides
α+θ
a
a
α+θ 2
Razonamiento Matemático
,,7
Ronald
Carhuancho )=
aa
θ−α 2
a + c = 6 + d
6
&
6 ) +& =1- º
d
) c
d
C
c
B
a m
m% n
&
6
a% 6
n
D
A a
6
• !i ?G@ es aricentro del triangulo
g
6
a ) =a +6
d
PR)1L%*!S R%S0%L")S:
a) m d) *m
6
) -m e) 1m
c) /m
Resolución:
B+6 ) = 2
)
c
a = 6 = c= d "
Ejemplo 1 En un triángulo ABC las medianas A y B se interceptan en el punto !, por se tra9a una paralela A #ue inter0ecta en a la prolongaci7n de BA: si AB&'m y &A, calcular la longitud de !.
) /
)
) %
B 4
6
B
12 m
A
B−6 ) = 2
)
/ g N
C
P
C B
B
%n todo Paralelogramo c 6 que: cum&le A a
• !e traza% D8 4ase media)
D
d
6e donde% 4N = se
12 2
=
• !e oser$a que 7D8P es un
Razonamiento Matemático
,,8
Ronald
Carhuancho
romo A4 = 4N = PN = AP = m • En el triangulo 7;: ?G@ es su aricentro, entonces diremos que% /4 = /4 =
1 ! 1 !
A4 & A4 = 4N
( ) =
2
=
) m e) *m
c) 02m
Resolución:
B
a) 02A /2A d) *2A
) 2A
c)
e) -2A
Resolución: B
Rpta.
Ejemplo 2 En un romboide ABCD se tra9a la bisectri9 AE m. Calcular la longitud del segmento #ue une los puntos medios de AC y ED
a) /m d) -m
CD se ubica un punto E de modo #ue AE corte a BD en , si m R DA' = 2º , Calcular: m R 5CD = 2º
α
a
C )
' 5 2º
"( º "(º
A D !e oser$a que existe congruencia% Ca so ( L.A.L ) ∆ 5CD ≅ ∆ 5AD Entonces% m R 'AD = m R 5CD Rpta. )= 2 .º
C
C IRCUN FERENCIA
)
α α
A
D +a • !e oser$a que ∆ AB'$ isoce les AB = B' = m Si $ 'C = a → AD
= +a • En el trapecio 7E:6 AD − 'C )= 4Propiedad)
Es el con"unto de todos los puntos aferentes que constituyen una línea cur$a plana y cerrada, cuyos puntos están a la misma distancia ?(@ *R → ra dio, de un punto interior ?H@ denominado centro de la misma. %lementos de la #ircunferencia Q 4
2
)
=
) =
(
+ a
)−
!
Rpta.
Ejemplo 3 En un cuadrado ABCD, sobre el lado
gP! g P1
N
a
2
B
P
gP2
3 g
L!
R A L2
L1
Razonamiento Matemático
,,
Ronald
Carhuancho
Puntos: ?H@ → centro de la circunferencia ?I@ → punto de tangencia P1 → punto aferente de la circunferencia P2 → punto interior a la circunferencia P! → punto exterior a la circunferencia Rectas: L 1 → recta tangente L 2 → recta secante L ! → recta exterior Segmentos: PQ → cuerda AB → cuerda m )ima o diame8ro 4N → flec a o sgi8a
A
B
D
C
PA = PB
A B Si AC es el diame8ro A
A
Si es un8o de 8a ngencia$ ⇒ 3 ⊥ L
3
A 4
3
Si $ 34 ⊥ AB ⇒ AN% NB
N B
A
4 3
C N
D
4
Q
P
N
B
D
C AB & CD$ angen8es ')8eriores 4N & PQ$ ange n8es +n8eriores AB% CD & 4N% PQ
"eorema de Poncelet c
a B
Aµ B C% # º
C
g
P
α α
B
"%)R%*!S ?% L! #3R#0/F%R%/#3! L
Si$ AB ;; CD » » AD ⇒ BC%
r Si $ 34 = 3N ⇒ AB% CD
a
6
+ 6
= c + 2r
Posiciones relativas entre dos
Razonamiento Matemático
,,;
Ronald
Carhuancho
#ircunferencias AB ; ; C D
O1
O2
!dicionales:
y A
β
B
x
P
θ β θ
m R APB %
,4 Si las circunferencias son congruentes
)= & 2
B
r
gC
g
D
r
y
x
A ¼ ¼ ACD % ADB
z
#oncuencia: B ) + & + 9 = 1-.º
O1 r
g
,54 Si: CRD es &unto de tangencia
gO2 r
B y
A ¼ ¼ A3 1 B% A3 2 B % 12º
R
)bseraci'n:
) % &
x
B C
A
Si: C"D es &unto de tangencia B
C T
A
D D A
Razonamiento Matemático
,,=
Ronald
Carhuancho
AB ;;CD
Si: C"D es &unto de tangencia
a
a % 6
6
Si: CPD es &unto de tangencia
Los lados del triangulo 7;: con referencia a la circunferencia menor son tangentes a ella, por ende% BA = ! m & BC = ( m & AC = " m Los cuales determinan un triangulo rectángulo recto en 7 • 7plicando teorema de poncelet ! + " = ( + 2r Rpta. ⇒ r% 1 m
U
N
C
P
Ejemplo 2: Calcular el perímetro del triangulo rectángulo, si las longitudes de los radios de las circun0erencias inscrita y circunscrita miden (m y '?m
a) 02m d) *2m
» » I =m P » m P N =m PC
PR)1L%*!S R%S0%L")S Ejemplo 1: Se tienen tres circun0erencias tangentes e5teriores dos a dos de radios: 'm, m y ?m. Calcular la longitud del radio de una cuarta circun0erencia #ue pasa por los puntos de tangencia de los tres primeros.
a) /m d) m
) 0m2 m e) *mr
Ag 1m 1m
Resolución:
g
!m
!m
g C
gB 2m
c) -m
) 0-m e) n.a.
c) =2m
Resolución: B
6
a
3 1g " m
g
A
3
2 m
• Por el teorema de Poncelet a + 6 = 2 + 2 ( " ) a + 6 = !" • El perímetro será% Per. = 1a 2+ 36 + 2 !"
C
Razonamiento Matemático
,,$
Ronald
Carhuancho Per. =
m
Rpta. E le m e n t o s
Ejemplo 3: Sobre el lado AB de un cuadrado ABCD se construye e5teriormente un triángulo rectángulo AB, si es el punto de intersecci7n de AC y BD. Calcular: m R 45B .
a) 2A d) -2A
) *-A e) n.a.
c) *2A
Diagonal$ 5C Diagonal media $ 4N
Resolución:
#lasificaci'n Por su Forma ,4 Polígono Plano: Lados coplanares
) A
Lados $ AB < BC < CD < ..... 7er8ices $ A < B < C < .... Jngulos in8eriores$ α 1 < α 2 < α ! < ..... Jngulos e)8eriores$ θ1 < θ 2 < θ ! < .....
D
"( º "( º
gC
Bg
Ag
4
B
C
• !e oser$a que el cuadrilátero 7J;D es cíclico 4inscriptile). µ $ + m A4B = 1-º m A5B Rpta. ⇒ )%
gD
54 Polígono !labeado: Lados no coplanares
Ag
" ( º
g
'
P O LI GO N O S
Es todo con"unto de segmentos consecuti$os, los cuales siguen diferentes direcciones. Es decir es toda poligonal cerrada N θ! θ" α" α! C A α( θ(
5
α2 α1
α θ
4
θ1
Bg
gC
6 Polígono #onvexo: !us ángulos interiores son con$exos. B g
A
g
C
θ2
D
gD
D
7 Polígono #'ncavo: Kno o mas ángulos interiores son cónca$os. B C
'
' 1
g
A
2
g
!
g
"
g
D
Razonamiento Matemático
,5-
Ronald
Carhuancho
84 Polígono equiltero: Poseen sus Lados congruentes B C
A
D 8 Polígono %quingulo: Poseen todos sus ángulos interiores congruentes
a
a
a a a
a
4 Polígono Regular: Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la $ez B
:uadrilátero Pentágono Cexágono Ceptágono Hc=togono Eneágono 6ecágono Kndecágono 6odecágono Pentadecágono 5coságono
% * lados % - lados % = lados % 1 lados % + lados % lados % 02 lados % 00 lados % 0/ lados % 0- lados % /2 lados
PR)P3%?!?%S: Para todo polígono de ?n@ lados% • En todo polígono num#ricamente% los $#rtices, lados, ángulos interiores y ángulos centrales son iguales. • 7 partir de un $#rtice de un polígono con$exo se puede trazar ( n − ! ) diagonales. • El numero de diagonales, se otiene por%
N D
=
n( n
−!)
2
• La suma de las medidas de los ángulos interiores resulta ser% Si
Polígono 3rregular: !on los que poseen ángulos y lados desiguales.
1 -º
=
(n
2
−
)
• La suma de las medidas de los ángulos exteriores, resulta ser% S e =!.º
• La suma de las medidas de los ángulos centrales S c =! º
P)R S0 /E*%R) ?% L!?)S Iriangulo % lados
• La medida de un ángulo interior de un polígono regular o equiángulo%
Razonamiento Matemático
,5,
Ronald
Carhuancho R i
=
1-.º ( n
−
S i = 1-º ( − 2 )
2)
n
• La medida de un ángulo exterior de un polígono regular o equiángulo. R e
=
!º n
1!(º
PR)1L%*!S R%S0%L")S 1 /Cual es el polígono regular en el cual al aumentar en ? su n@mero de lados, la medida de su ángulo e5terior disminuye en 8
a) :uadrilátero c) triangulo e) n.a.
) pentágono d) hexágono
Por ser polígono regular ( n + !)
n
K La do s R ')8erior
!º
!º
n
n+!
Por enunciado% n+!
=
!º
n 6e donde% n
− 2 =(
( P en8 go no )
Rpta.
2 En un eptágono, tres de sus ángulos interiores miden '28 cada uno, calcular la medida de los otros cuatro ángulos, sabiendo #ue son congruentes.
a) 0*2A d) 0-2A
) 0/2A e) n.a.
Resolución:
3 /Cuántos lados tiene el polígono conve5o #ue al duplicar el n@mero de lados, la suma de sus medidas de sus ángulos interiores se cuadruplican
a) / lados c) lados e) = lados
) * lados d) - lados
Resolución: n
K La do s Suma R in8.
Resolución:
!º
⇒ S i = #º 7demás se conoce que% S i = ! ( 12º ) + " a #º = !º +" a Rpta. ∴ a %
c) 0-A
6el enunciado se tiene que% S i = 1-º ( n − 2 )
2n
1-º ( n − 2 )
1-º ( 2n − 2 )
6el enunciado se tiene que% " 1-º ( n − 2 ) = 1-º ( 2n − 2 )
∴ n %
Rpta.
! lados
4 *a di0erencia entre en n@mero de diagonales de un polígono regular con el n@mero de ángulos rectos a #ue e#uivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1. /Calcular la medida de su ángulo central
a) 2A -2A d) *-A
) /2A
c)
e) *2A
Resolución:
6el enunciado se tiene% SR i =# º n ( n − ! ) 1-º ( n − 2 )
ND
−
2
−
(esol$iendo%
#º n=-
=-
Razonamiento Matemático
,55
Ronald
Carhuancho
Luego la medida de un ángulo central Rc R
=
c =
!º " (º
= "(º Rpta.
d) =/
e) -+
7 Los lados de un triángulo miden 1, 0* y 0- m. M:uánto se dee disminuir a cada lado para que el triángulo que resulte sea triángulo rectánguloN a) 0 m ) 0,- m c) /, - m d) / m e) ,- m 8 En un cuadrado 7;:6 de la do 0 m se trazan / cuadrantes con centros en 7 y : y con radio 0 m, que interceptan a la diagonal 7: en P y , hallar PQ . a) ( 2 − 1 ) 2 c) 2 + 1 e) ! − 1
, En un triángulo 7;:, B5 es isectriz, J esta en AC . !i% 7;;JJ:, Callar la medida del ángulo ;:7. a) 2A ) *-A c) -A d) 1A e) =A 5 En un triangulo rectángulo si uno de los ángulos agudos mide +<, M:uánto mide el ángulo que forman la altura y la mediana relati$a a la hipotenusaN a) /*< ) /2< c) 0+< d) /=< e) 8.7. 6 M:uál es el perímetro de un rectángulo que tiene de diagonal 0- m y su ancho es 1-O de su largoN a) =2 ) *+ c) */
)
−1 d) 2 − 2
2
En el cuadrilátero 7;:6 se cumple% A = ° , B = 1( ° , C = 12 ° , AB = ! , AD = 1" , calcular BC . a) d)
( # !
-
!
)
!
e) 8.7.
!
!
c)
1 !
!
; !i el área de un cuadrado inscrito en la circunferencia es al área del cuadrado inscrito en las semicircunferencias como% a) /%0 ) %/ c) -%/ d) *% e) -% = Callar la distancia entre los puntos medios de dos caras consecuti$as de un cuo, cuyas aristas miden 2 . al8ura a) 0 ) 0>/ c) 6isec8ri9 >+ mediana
media8ri9
Razonamiento Matemático
,56
Ronald
Carhuancho
d) 2,1-
e)
c)
$ En una circunferencia de 0/ m de radio se toma un sector circular de =2<. M:alcular el área del circulo inscrito en el sectorN a) - π ) 1 π c) " π d) # π e) 1- π ,- En un cuadrado de 0m de lado se inscrie un octágono regular de modo que * de sus lados están sore los lados del cuadrado. Callar el lado del octógono. a) 2 + 1 ) 2 ( 2 + 1 ) c) 2 ( 2 − 1 ) d) 1F( e)
2 −1
,, !e tiene un sólido de madera de 0+ cm de arista, se pintan todas sus caras y luego se di$ide en cuitos de cm de arista, M:uántos cuitos tienen sólo una cara pintadaN a) /* ) = c) = d) = e) + ,5 M:uál es la diferencia de las áreas de dos círculos que son tangentes interiormente si la distancia entre sus centros es 1 cm y la suma de sus circunferencias es 12 cmN a) /*) /+2 c) 0/d) 02 e) /=2 ,6 Callar el área de un rectángulo de perímetro ?/p@ inscrito en una circunferencia de radio ?(@. 2 2 2 2 − "R +R a) ) 2
2
2
− 2R 2 2
d)
2
− 2R 2 2
e) 8.7. ,7 Callar el área total de un cono si el ángulo formado por la generatriz y el radio de la ase mide =2< y el radio es cm. a) 1 π ) 1# π c) 2 π d) ! π e) 2- π ,8 Kn cilindro está lleno de agua hasta la mitad. !e suelta un pedazo metálico y el ni$el de agua sue ,- si el $olumen del cilindro es +. Callar el $olumen del pedazo. a) 01= ) 0+2 c) 0/ d) /22 e) /*2 , !i el radio de un circulo es incrementado en una unidad, la razón de la nue$a circunferencia al nue$o diámetro es% a) π + 2 ) π − 2 c) π;2 d) π e) π − 1 ,; Los radios de / circunferencias ortogonales miden + y 0-. 6eterminar el área del círculo inscrita en el triángulo que se forma al unir los centros de las circunferencias originales con uno de sus puntos de corte. a) # π ) π c) 1 π d) " π e) 2( π ,= 6el punto P se trazan las secantes PJ7 y PC; de manera que 7; es el
Razonamiento Matemático
,57
Ronald
Carhuancho
diámetro del círculo, siendo ?H@ el centro del círculo tal que% P = ( ° , hallar la medida del ángulo JHC. a) =2< ) 12< c) +2< d) -< e) 1-< ,$ 6ado un triángulo 7;: de ángulos 7 y : iguales a 2< y 0-< respecti$amente, si BC = 2 2 . :alcular% AC a) = ) * c) + d) /,e) -,/ 5- En un triángulo rectángulo% ABC ( B = #º ) , se trazan ;E y ;6 de modo que% A' = 'D = DC , además AB = BC y m ( R AB' ) = m ( R DBC ) . Callar la medida del ángulo E;6. a) =< ) 2< c) -< d) =2< e) 1<
57 a) ! − 1 ) ! + 1 c) 2 ! d) ! 2 e) " ! N
4
θ θ
"(º
Q
P
57 Callar ?x@, si% AB = 2 ( PQ ) P a) 2< ) *2< Q
c) =2< d) 1< e) *-<
5, Callar el área máxima que puede tener un rectángulo inscrito en un triángulo 7;:, 7:= y altura BH = , uno de los lados del rectángulo está sore AC . 6 6 a) ) c) ! " 6 ( 6 d) e) 2 26 55 :alcular el radio de la circunferencia inscrita en un romo si sus diagonales miden% 0=m y 0/m. a) *,+ ) -,/ c) -,0 d) ,/ e) ,+
) -/
56 Callar% 4N + 4P , si% 4N = 4Q
) " 2
"( º
g
A
B
58 En la figura 7;:6 es un rectángulo, 4D = 2 ( A4 ) . Callar el perímetro. a) -2 c) -*
B
C
! º
-
d) * e) -=
A
5 Callar% 7D mostrado% C a) 2 2
A
4
en
el
-2º
D
grafico
4
B
Razonamiento Matemático
,58
Ronald
Carhuancho
d) =-<
c) 2
e) =2<
d) ! 2 e) 8.7. 5; Callar la longitud de la fa"a que rodea las circunferencias iguales de radio 2,- cm. a) + 2 π ) " + π c) " − π d) 2 ( " − π ) e) + π 5= Kn cilindro contiene agua hasta sus >* partes. Mu# ángulo > θ > puede inclinarse de tal manera que no se derrameN a) 1< ) -< c) 2<
6, En el triangulo. M:uál de las siguientes relaciones entre los ángulos es $erdaderaN B & N 6 )
9 m
n
c
a
A a) xQzaQ
C
) yQzaQ c) mQxQRQn d) xQzQnRQcQm e) xQyQnQaQQm
θ
d) *-<
1
(
e) =2<
5$ Callar el ancho del rectángulo mostrado. a) ! + 1 B C ) ! − 1 "( º c) ! 1(º d) 2 ! A D 2 e) /
) 2 ( ! − 1 )
6- Callar% ?x@ a) 2<
B
) *-<
1(º
c) /,/d)
)
c) 1<
C
D
! +1
e) /,0/-
!º
A
65 !i 7;:6 es un cuadrado de lado /m y el triángulo :E6 es equilátero. MCallar el área del triángulo 67:N a) ! − 1 B C
A
'
,5
Razonamiento Matemático
Ronald
Carhuancho
66 6el grafico mostrado, determinar el ángulo ?x@ 2º
1º
e) 0+A 6 6eterminar el $alor del ángulo >) > . a) 2A )
) =2A c) *-A º 1 . 1 . º
d) 1A
a) 02A
)
) /2A
c)
0-A d) 0+A
67 6eterminar el $alor del ángulo ?x@, !i% 7;;:
"a
) -*A
5
c) 1A e) =2A
!)
)
A
d) 2A
B
) 0-A
a
6; !i se tiene que% 6EEJ;EJ: y 7;7J, determinar el ángulo ?x@. B a) *A
e) -A
a) 0/A
) a
)
e) -A
C
'
D
c) 01A d) 0+A e) /2A
68
2 )
)
A
C
En
el
grafico
mostrado
determinar el $alor del ángulo ?x@, si% C :P/K8 !α
a) =A ) *-A
N
c) =2A d) 2A
α α I
)
α
6= 6ado el triangulo 7;:, se tiene que
7;+
y
µ , = " ACB determinar el máximo $alor entero B que puede asumir ;:. a) 0 ) /0 µ CAB
P "α A
α
C
Razonamiento Matemático
,5;
Ronald
Carhuancho
c) 0 d) / e) // 6$
76 6el grafico, :alcular >θ > a) =2< ) *2< 6ado el triangulo rectángulo
c) -2<
7;:, recto en ;, se uican los puntos
d) +2<
6 y E exteriores y relati$o a la
e) -*<
hipotenusa& de tal forma que los triángulos 7E: y ;:6 resulten equiláteros, hallar la distancia de E a ) -
c) +
d) =
e) *
7- Callar la medida del ángulo 7:; de un triángulo 7;:, si se conoce que%
= "" ° , AB = 2( y BC = "a) 2A ) *-A c) =2A d) 1A e) 0-A µ ABC
7,
En
el
siguiente
grafico
determinar ?x@ si 7:7;Q;6. B a) --A ) 2A D c) -2 d) =A 2º 1º +2) 2º e) +2A C A 75 En un triangulo 7;: se traza la
mediana ;D, de tal manera que µ = "(º B4A
. Callar%
µ BCA
µ . µ conoce que CAB = 2BCA a) /2< ) 2<
d) *-<
θ;2
θ
77 En la figura mostrada. :alcular >θ >
a) *2< ) -2<
BD si 7;02.
a) 02
2θ
e) =2<
si se
c) 0-<
c) 12< d) -=< e) 2<
θ 2θ
θ
