Libro Razonamiento Geometrico

RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

ÍNDICE PRESENTACIÓN

Pag. 3

ÍNDICE

Pag. 5

TRIÁNGULOS

Pag. 7

PERÍMETROS

Pag. 35

ÁREAS

Pag. 49

CAPÍTULO

1

TRIÁGULOS TRIÁNGULOS

Semiperímetro del ABC: p ( ABC)

DEFINICIÓN Dados tres puntos A, B y C no colineales, la reunión de los segmentos AB , BC y AC se llama triángulo.

p ( ABC)=

internos o simplemente ángulos del triángulo ABC.

B a

c F

A

b

INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÀNGULO

C

D

Se conviene en designar las medidas de los lados de un triángulo, con la letra minúscula correspondiente al vértice del ángulo opuesto a dicho lado. Así:

AB = c ; BC = a ; AC = b ELEMENTOS

Un triángulo separa al plano en tres subconjuntos de puntos: - Los puntos que pertenecen al triángulo: A,B,C,M,etc - Los puntos interiores al ABC: P es un punto interior al ABC. - Los puntos exteriores al ABC: Q punto exterior al ABC relativo a AB L punto exterior al S punto exterior al

- Vértices: A, B, C - Lados: AB , BC y AC - Ángulos: Internos: ABC , BCA , CAB Externos: FAE , CBE , BCD *

B , BCA C, ; son los ángulos A

ABC CAB

E

a +b+c 2

Notaciones: Triángulo ABC: ABC Perímetro del ABC: 2p( ABC) 2p( ABC) = a + b + c

ABC relativo a BC ABC relativo a AC

B L

Q P

H

A M

INTERIOR

S

EXTERIOR

C

La reunión del triángulo con todos sus puntos interiores se llama región triangular.

B. Según la medida de sus lados: CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A. Según la medida de sus ángulos:

1. Triángulo Escaleno. Es aquel triángulo que tiene sus tres lados de diferente magnitud. B

AB BC AC

1. Triángulo Acutángulo. Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos. B

< 90º < 90º < 90º C

A

2. Triángulo Obtusángulo. Es aquel que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

y además C

A

2. Triángulo Isósceles. Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud; en consecuencia, los ángulos opuestos a dichos lados serán de igual medida. B AB BC m A m C

B

> 90º < 90º < 90º

a

c A

C

BASE

En el ABC isósceles: : medida de los ángulos en la base. : medida del ángulo en el vértice.

C

b

A

*a>b ya>c Nota: A este triángulo se le llama: “triángulo ABC obtuso en A” A los triángulos acutángulos y obtusángulos se les denomina “OBLICUÁNGULOS” 3. Triángulo Rectángulo. Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.

Se cumple que: ó

90º

2

3. Triángulo Equilátero. Es aquel triángulo que tiene sus tres lados de igual longitud; en consecuencia, sus tres ángulos serán de 60º. B 60º

B

AB BC AC m A m B m C 60º

AB y AC:Catetos

a

c

BC:Hipotenusa c a y b a

60º

A A

180º 2

y

90º

b

C

+

60º

C

“Todo triángulo equilátero es equiángulo”

= 90º TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. Suma de Ángulos Internos: “En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores es igual a 180º ”

B

+

= 180º

C

x

Se cumple: x + y + z = 360º C

A z 3. Teorema del Ángulo Exterior: “En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores del triángulo no adyacentes a él ” B Se cumple: e= +

e A

C

4. Propiedad de Correspondencia: “ En todo triángulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa ” B Si b > a: a > c A

C

5. Teorema de EXISTENCIA

Sea a b c se cumple:

a

c A

2. Suma de Ángulos Externos: (considerando uno por vértice) “ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º ” B y

B

Se cumple: +

A

(Desigualdad Triangular) “En todo triángulo, la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la suma y la diferencia de los otros dos lados”

b-c
b

También se cumple:

a-c
LÍNEAS NOTABLES Y PUNTOS NOTABLES 1. MEDIANA: Segmento que parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto.

B BM: mediana

A Nota:

C

M

BM es la mediana relativa al lado AC .

El punto de intersección de las medianas se llama BARICENTRO.

B Q A

G M

P C

G: Baricentro, Gravicentro o Centriode (Es el centro de gravedad del triángulo) Propiedad:

El baricentro divide a la mediana en dos segmentos que están en relación de 2 a 1 BG GM

2 1

, AG GP

2 , CG 1 GQ

Segmento limitado por el lado opuesto, que divide a su ángulo en otros dos de igual medida.

2 1

B

2. ALTURA: Segmento perpendicular al lado opuesto o su prolongación. A

P

Q

C

B

B

Donde BP : bisectriz interior

BQ : bisectriz exterior A

H

C

H

A

BH es la altura relativa al lado AC . El punto de intersección de las alturas se llama ORTOCENTRO.

C

INCENTRO: Punto de intersección de las bisectrices interiores. - Centro de la circunferencia inscrita. - Equidista de los lados I: Incentro r

I r

r Acutángulo EXCENTRO: Obtusángulo

Punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una interior. -

Rectángulo

Es centro de la circunferencia ex-inscrita.

Todo triángulo tiene un solo ortocentro y puede estar ubicado: -

Dentro si es acutángulo

-

En el vértice del recto si es rectángulo

-

Fuera del mismo si es obtusángulo

3. BISECTRIZ:

Re

B

Ea Re

A

Re

C

Ea: Excentro relativo al lado BC -

Todo triángulo tiene 3 ex-centros, uno relativo a cada lado

E1

B

A

E2

O

O

C

Acutángulo

Obtusángulo

E3

O

Donde: E1: Ex–centro relativo al lado AB E2: Ex–centro relativo al lado BC E3: Ex–centro relativo al lado AC 4. MEDIATRIZ. Es la recta o segmento de recta que divide a un segmento por su punto medio en forma perpendicular. B

L1

Rectángulo Todo triángulo tiene un solo circuncentro y puede estar ubicado: -

Dentro si es acutángulo.

-

En punto medio de la hipotenusa si es rectángulo.

-

Fuera del mismo si es obtusángulo. OBSERVACIONES

P 1. En todo triángulo equilátero, sus puntos notables se confunden. A

M

C

El Baricentro, es también ortocentro, incentro y circuncentro.

L1: mediatriz de AC MP: mediatriz de AC El punto de intersección de las mediatrices se llama CIRCUNCENTRO. - Centro de la circunferencia circunscrita - Equidista de los vértices del triángulo. Y se ubica:

O

Baricentro Ortocentro O Incentro Circuncentro

2. En todo triángulo isósceles las alturas relativas a los lados iguales son iguales.

PROPIEDADES IMPORTANTES 1. Propiedad del “PANTALONCITO”

B

b H

P

a A

c

x

C

CH

x a b c

AP

Nota: Los mismo ocurre con las bisectrices y medianas.

Demostración: B

B

B

b E

K

T

N

M

D x

a

c C

A A

C CK

A

AT

C CM

AN

3. La altura relativa al lado desigual, corta a éste un su punto medio. Esta altura es mediana, mediatriz y bisectriz a la vez, del lado desigual. B

Prolongamos AD hasta E (E en BC), para obtener triángulos: ABE:

=a+b

DEC: x =

+c

Propiedad de la “ESTRELLITA”

Si AB BC

A

H

(Angulo Exterior)

x=a+b+c

2.

y BH AC AH HC

(Angulo Exterior)

c d

b

C

Por eso cuando se tiene un triángulo isósceles se recomienda trazar su altura. Tu profe Markito

a

e

a b c d e 180º

Demostración:

4. Ángulo formado por dos Bisectrices Interiores

C c

B

B

b

D

d

e

A

A E

En ACEI: (Propiedad del Pantaloncito) =a+c+e BID: (Suma de Ángulos Internos) b+

+ d = 180º

C

Demostración: ACI: + x + +

= 180º = 180º - x… (I)

ABC: 2 + B + 2 = 180º 2 ( + ) = 180º - B … (II) I en II: 2 (180º - x) = 180º - B

b + (a + c + e) + d = 180º

x

90º

a + b + c + d + e = 180º

B 2

5. Ángulo formado por dos Bisectrices Exteriores

3. Propiedad de la “Mariposa” o Propiedad de la “Corbatita”

B

x

E

b

x 90

A Demostración:

a

M

E

BEC:

O

a A R AMO:

=a+b

(Angulo Exterior)

ROC:

=

(Angulo Exterior)

+ +

x

180º A

C

b

a+b=

C B

a b Demostración:

ˆ B 2

x

I

a

x 90

I

A +x+ +

C = 180º = 180º - x… (I)

ABC: 2 + ( 180º A ) + 2 = 360º 2 ( + ) =360º- (180º A ) 2 ( + ) = 180º A … (II) I en II: 2 (180º - x) = 180º A x

90º

A 2

ˆ A 2

6. Ángulo formado por una Bisectriz Interior y otra Exteriores E B

a x

x

b

Bˆ 2

9. Propiedad:

C

Demostración: ACE: = + x (Angulo Externo) - = x… (I)

x

ABC: 2 = 2 + 2B 2 ( - ) = 2B … (II) I en II: 2 (x) = 2B x

b 2

x x

A

a

a

B 2

a

b 2

b

x

10. Propiedad del “Pescadito”

7. Ángulo formado la Bisectriz y la Altura que parten del mismo vértice B x

2

x

A

m n

m

n

11. En todo Cuadrilátero se cumple:

C

H D Demostración: B x

x 360º

A

H

Como AD es bisectriz: m ABD m DBC AHB: BHC: (I)- (II):

C

D

8. Propiedad:

2

x

x

+ = 90º… (I) + 2x + = 90º … (II) - - 2x = 0 x

12. Propiedad:

x

y

y

PROPIEDADESS GENERALES

1. TEOREMA DE LA BASE MEDIA En todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercero y mide su mitad. B

“Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo”

Si OP:Bisec triz

B P

M

N

x 2x

A

MN es base media

C

OA OB

O

Si: AM = MB y CN = NB MN // AC

y

MN

A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

1 AC 2

2. MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA: En todo triángulo rectángulo, la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es na mitad de ésta. B

1. Triángulo Rectángulo de 45º-45º ( 45º-45º) En todo triángulo rectángulo de 45º 45º, el cateto que se opone a un ángulo de 45º mide la mitad de la hipotenusa multiplicada por 2 . 45º

A M Si: MN es MEDIANA MB MC

k 45º 2

k 2

k

AM

PA PB

C

45º

45º k 2

k

1 AC 2

3. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ “Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista los extremos de dicha mediatriz ”

L1 P Si: L1 :Mediatriz

k

2. Triángulo Rectángulo de 30º-60º ( 30º-60º ) En todo triángulo rectángulo de 30º-60º, se cumple que: El cateto que se opone a un ángulo de 30º mide la mitad de la hipotenusa. El cateto que se opone a un ángulo de 60º mide la mitad de la hipotenusa multiplicada por 3 .

AP PB 60

A

B

2k

k

APB es Isósceles 4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ

30º

k 3 3. Triángulo Rectángulo de 37º-53º

( 37º-53º) Sólo en los triángulos rectángulos de 37º-53º, SUS LADOS ESTAN EN

En la figura hallar el valor de AC, si AB = 20m. B

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. 53

60º

5k

3k

75º A

37

4k 4. Triángulo Rectángulo de 15º-75º ( 15º-75º) En todo triángulo rectángulo de 15º 75º, se tiene:

C

A) 10 m C) 10 6 m

B) 10 2 m D) 10 3 m

E) 5 3 m Solución:

15

15

3)k (2

75

( 6

2)k

k

2

37º 2

k 5

2

k 10

3k

45º

A

6. Triángulos Rectángulos de 53º y 37º

2k

30º 45º

75

Si viene un problema con ángulos de 15º o 75º, frecuentemente se usa la suma o resta de 30º y 45º

53º 2

H

20 2 )k

( 6

4k

60º

( 6

2)k

B

C

Trazamos AH BC , para obtener (45º-45º) y (30º-60º) Luego: AHB (30º-60º): Si AB = 20 BH = 10 (Opuesto a 30º) y AH = 10 3 (Opuesto a 60º) AHC (45º-45º): Si AH = 10 3 AC = AH 2 (Hipotenusa) AC = (10 3 ) 2

AC 10 6 CLAVE:

k

k

EJEMPLOS EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

C

Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Hallar el valor del segmento AC , en el gráfico que se muestra a continuación, si BC = 2 m. B

A 30º

D

15º

A

C A) 2

B)

D) 6

E) 2

2 2

B

C) 2 2

E

C

F

3

AB BC

DE EF

Solución: H SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS B 45º

Si dos triángulos son semejantes, entonces tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos respectivamente proporcionales.

2 45º 30º

60º

15º

A

C

Prolongamos AB , así el ángulo externo en B seria 45º (Notable) Trazamos CH AB , para obtener (45º-45º) y (30º-60º)

B E

A

Luego:

ˆF BAˆ C ED ˆ ABC DEˆ F ACˆ B DFˆE

BHC (45º-45º): Si BC = 2 CH = 1 (Opuesto a 45º) AHC (30º-60º): Como CH = 1 AC = 2CH (Opuesto a 60º) AC = 2 (1)

F

C D AB DE

BC EF

AC DF

K

K : Constante o razón de semejanza NOTA: Lados Homólogos son aquellos

lados que se oponen a ángulos congruentes.

AC 2 CLAVE:

C OBSERVACIONES

TEOREMA DE THALES

1. Si ABC

A'B'C'

B

B

P

M

B'

A R h

C

A

a a'

R'

h'

r

b b'

c c'

r'

A'

h h'

C'

r r'

R R'

K

L

P'

A'

B'

M'

N'

N

P' : Proyección Ortogonal de P sobre L A'B': Proyección Ortogonal de AB sobre L

2. Si EF // AC RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

B

B

F

E

C

A

a

c

BE BF EA FC y EBF ABC

A

m H

n b

C

AH: Proyección ortogonal de AB sobre la hipotenusa HC: Proyección ortogonal de BC sobre la hipotenusa

3. Si EF // AC 1. Teorema del Cuadrado del Cateto:

E

F

c 2 m.b

m

a

2. Teorema de Pitágoras:

B

n

b

A a b

y

a 2 n .b

EBF

b2 a2 c2

C

m n

ABC

PROYECCIÓN ORTOGONAL

3. Teorema del Cuadrado de la Altura: h 2 m. n

4. Teorema del producto de Catetos:

b. h a .c

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO

Acutángulo

Averiguaremos si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, con las siguientes relaciones:

Las bases de un trapecio miden 4m y 12m, y los lados no paralelos 4m y 5m. Hallar el perímetro del triángulo mayor que se forma al prolongar los lados no paralelos. (UNSAAC 2001 – II)

a

c

C

b

Siendo: a > b y a > c Se tiene que: 2

1. Si:

C

EJEMPLO 2

B

A

CLAVE:

2

a
2

< 90º

A) 21,5m C) 27,5m E) 23.5m

B) 29,5m D) 25,5m

Luego ABC es Acutángulo Solución: a2 = b2 + c2

2. Si:

= 90º

R

Luego ABC es Rectángulo a2 > b2 + c2

3. Si:

y

x

> 90º

Luego ABC es Obtusángulo

EJEMPLOS

4

A

x+4

K

y+5 5

4

EJEMPLO 1 Los lados de un triángulo miden 15, 18 y 20 metros. ¿Qué tipo de triángulo es? A) Isósceles C) Acutángulo E) Equilátero

B) Obtusángulo D) Rectángulo

Solución:

B

O

12

Notamos que: ARK MRO Por los que usamos proporciones: x 4

x 4 12

x

2

y 4

y 5 12

y

5 2

Finalmente: 20

15

A

M

18

PERÍMETRO MRO = 12+(x+4)+(y+5)

C

Aplicamos las relaciones de la Naturaleza de un triángulo y se tendría: 202 < 182 + 152 < 90º

PERÍMETRO MRO = 25.5 m CLAVE:

EJEMPLO 3

D

Oswaldo hace un recorrido de la siguiente manera: 50 pasos al SUR, 100 pasos al NORTE, 70 pasos al ESTE, luego 80 pasos al SUR. ¿A cuantos pasos del punto de partida se encuentra? (UNSAAC 2001 – II) A) 58 10

B) 10 58

C) 10 85

D) 158 10

Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí, como 2 es a 3. ¿En que relación están las longitudes de sus proyecciones sobre la hipotenusa? (UNSAAC 2002 – I PRIMERA OPCION) A) 4 9

2

D)

E) 58 58

B) 2 3 E) 3 5

3

Solución:

C) 1 2

Solución:

Realizamos el gráfico de acuerdo a los datos del problema y se tiene:

B

N

3k

2k

3

h n b

A m H

70

C

4 2

O

50

100

70 D

1

80 N

30

Usamos los teoremas de Relaciones Métricas en triángulos rectángulos. (Teorema del Cuadrado del Cateto)

50 2k

S

3k

Finalmente en el triángulo sombreado aplicamos el Teorema de Pitágoras:

D2 D2

3k

102 72 32

nxb

2

nxa

2

nxb

a b

D 10 58 CLAVE:

EJEMPLO 4

2

m x b … (I)

B

… (II)

Dividimos (I) y (II)

2k

702 302

2

4 9 CLAVE:

A

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 En la siguiente figura, calcular el valor de “x”, si el segmento AC es bisectriz del ángulo “A” y a- b = 20º

PROBLEMA 2 Sabiendo que el segmento AB mide 40cm. Hallar la medida del segmento PQ. B 30º P

B

C

x

O

45º Q

40º 53º

a

A

b

A

A) 5 D) 20

D

A) 140º D) 100º

B) 150º E) 110º

C) 90º

C C) 15

B) 10 E) 25

Solución: B

Solución:

30º

P

C

B x 40º

O

45º

40 40º

Q 53º

a

5 20

3k=15

37º

b

a

ADO: Dato:

A

a + b = 40º… (I) (

externo)

C

ABC: (30º-60º) Si AB = 40

a – b = 20º… (II)

(I) + (II)

AC = 20

PCA: (45º-45º)

a = 30º

Como AC = 20

Finalmente: BOA:

20 = 4k

D

A

PC = 20

QCA: (53º-37º)

x + a + 40º = 180º

Cómo AC = 4K=20

x + 30º + 40º = 180º

Luego QC = 3K

K=5

QC = 15

x = 110º CLAVE:

E

PQ = 5 CLAVE:

A

PROBLEMA 3 En la figura, si la medida de AE es igual a la medida de BE, hallar la medida del ángulo “x”. D B E 25º

B) 10º E) 15º

Solución:

A) 35º D) 45º

x

C) 25º

B

C C) 30º

B 25º

B) 15º E) 60º

Solución:

30º

A A) 20º D) 25º

En el interior del triángulo equilátero ABC, se sitúa un punto “A” de tal manera que el ángulo AQC mide 90º y el ángulo QAC mide 55º. Hallar la medida del ángulo BCQ.

60º

Q

D x

E

55º

35º

A

x C

30º

25º

AQC:

A C Si: AE = BE BAE = ABE = 25º ABE: = 25º+25º ( Externo) = 50º DEC: = x + 30º ( Externo) 50 = x +30º x = 20º

D

25º

x

ACB = 60º 35º + x = 60º x = 25º CLAVE:

En la figura AB = BC. Determinar el valor del ángulo ADC. (UNSAAC CBU 99 I) B D

30º

25º

A

40º

C 25º + 25º = x + 30º x = 20º CLAVE:

PROBLEMA 4

C

PROBLEMA 5

Podemos usar la propiedad de la “Mariposa”

B

ABC:

QAC = 55º (Dato) ACQ = 35º

A

A

A) 75º D) 45º

C

B) 105º E) 35º

C) 80º

Solución:

BC = DC 3 b = 3( 3) b=3

B 40º 40º

D E x x

x

ABC: (45° - 45°) AC = BC AC = 3

50º

A

a= 3

C

H

ABC Isósceles BH es bisectriz. ABH = HBC= 40º También ABE:

3 CLAVE:

PROBLEMA 7

Si: AB = BC 2 = 50º

Determinar el valor del ángulo x, en la figura: (UNSAAC CBU 99 II)

= 50º

+ 80º + x = 180º x = 75º CLAVE:

A

30º

x

PROBLEMA 6 En la figura adjunta determinar el valor de “a+b” (UNSAAC CBU 99 I) B

A) 3 D) 4

A) 80º D) 70º

60º

45º

a

2

D

3

B) 8

3

3

E) 6

3

Solución:

C) 6

x

A

30º

b=3 45º

a

D

3

BCD: (30° - 60°)

AMO:

R

O

4 + 30º = 90° = 15° + x = 90° x = 75°

60º 3

M

3

CAR:

A

C

2

B 45º

C) 85º

30º

C

3

B) 75º E) 60º

Solución:

b A

A

CLAVE:

C PROBLEMA 8

B

Hallar el valor del ángulo “x” en la siguiente figura, si BM=MC y AB=BC. (UNSAAC CBU INT 2000)

En la siguiente figura determinar el valor de “x”. (UNSAAC CBU INT 2000)

B 37º

x

x 53º

50º

2 2

M

A A) 20º D) 45º

C

B) 40º E) 30º

C) 25º

Solución:

C) 8 2 3

A) 8 2

B) 3 2

D) 13 2

E) 4 3 3

B Solución:

x

50º

C 37º

50º

50º

A

x = 4k

C

H

53º B 2 2

ABC: Isósceles BAC =

BCA = 50º

3k A

ABC: (37° - 53°)

BMC: Isósceles 2 2

MBC = Luego en

3k

k

MCB = 50º Luego:

ABC

50 + (x + 50) + 50 = 180º

x

2 2 3

4k

x

8 2 3

x = 30º CLAVE:

CLAVE:

E PROBLEMA 10

PROBLEMA 9

C

La suma de las medidas de los ángulos “marcados” en la figura adjunta, es: (UNSAAC CBU 2000 I)

Solución:

B 30º

x

6

3 3

60º A

A) 120º D) 270º

B) 150º E) 180º

Trazamos BH ángulo de 60º.

C) 360º

H

16

C

AC para aprovechar el

Luego en

c

BHA. (Teor. Pitagoras)

x 2 13 2 (3 3)2

E e

x = 14 dF

b

CLAVE:

D

B

a A

B

PROBLEMA 12

Propiedad del “Pantaloncito” En ABCF: =a+b+c Luego:

3

BHC (30º -60º) HC = 3 BH = 3 3

C

Solución:

13

Determinar la medida de AB , en la figura: (UNSAAC CBU 2000 I)

FED: + d + e = 180º a + b +c + d +e = 180º

P

CLAVE:

E

R

Q

53º 4 2

6

PROBLEMA 11

60º

Calcular la longitud de AB en el triángulo ABC, de la figura: (UNSAAC CBU 2000 I) B

A

25

45º M

A) 27 D) 20

B

N

B) 30 E) 28

C) 25

Solución: P

6

53º

60º A A) 10 D) 12

4 2

6

C

16 B) 14 E) 8

R

Q

C) 16

60º A

25

45º M

37º

x

N

B

PROBLEMA 14

PAM: (30° - 60°) Si AP = 6

AM = 3

En la figura adjunta, calcular el valor de X. (UNSAAC CBU 2000 II)

QMN: (45° - 45°) Si QM = 4 2

MN = 4

B

RNB: (37° - 53°) Si RN = 25

15

RN = 5k = 25 k=5 NB = 3k

37º 12

A

NB = 15

Luego: AB = AM + MN + NB

A) 5 D) 6

x = 27 CLAVE:

A

B) 10 E) 8

C) 12

Solución:

C

PROBLEMA 13 En la figura adjunta: AB = BC. Hallar la medida del ángulo X. (UNSAAC CBU 2000 II) C

B B) 20º E) 35º

37º 12

D C) 25º

4k = 20

B

x

ABC: (37° - 53°) CB = 15

Solución:

C

3k = 15 40º

B

ABC Isósceles CAB =

D

AB = 20 Finalmente:

ACB = x

CAB: x + x = 50º (

k=5

Luego: AB = 4k

50º

X

A

15 = 3k

A

40º

X

A A) 30º D) 15º

C

X

x = AB – 12 x = 20 - 12

externo) x=8

x = 25 CLAVE:

C

CLAVE:

E

PROBLEMA 15 En la figura adjunta. Determinar el valor de 2X. (UNSAAC CBU 2000 II)

x

x x

x

Las bases de un trapecio miden 4 metros y 12 metros y los lados no paralelos 4 metros y 5 metros. Hallar el perímetro del triángulo mayor en metros, que se forma al prologarse los lados no paralelos. (UNSAAC CBU 2000 II) A) 20.5 B) 26.5 C) 25.5 D) 24.5 E) 18.5 Solución: R

x

x

y

x

A) 120º D) 100º

B) 130º E) 140º

C) 180º

A

5

Solución:

A

R

x

x

4 M

L

M

U

LIT:

K

Z

x T MAZ:

x =x+x = 2x

I Externo)

(

=x+x ( = 2x =x+x ( = 2x

Externo)

x 4 y 4

x 4 12 y 5 12

x

2

y 2.5

Finalmente el perímetro del triángulo MRO (2p) sería: 2p = (4 + x) + ( y + 5) + 12

Externo)

2p = 25.5

Luego en LUZ tenemos sus 3 ángulos externos 6x = 360º x = 60º 2x = 120º CLAVE:

PROBLEMA 16

O

12

ARK MRQ (son semejantes, por lo tanto usamos proporcionales)

x

x

RUK:

K

4

A

CLAVE:

Nada puede conseguir el hombre si no es a través del sacrificio. PROBLEMA 17

C

Determinar la suma de los ángulos marcados en la siguiente figura:

En la figura: Hallar AE B D 15 8 53º

60º

A

E

C

A) 9 + 4 3 D) 12 + 4 3

B) 16 E) 13

A) 160º D) 180º

C) 21

B) 240º E) 360º

C) 120º

Solución:

Solución: B

B 37º

D 15

E

30º

8

53º A

D

60º E

C

C

A

De la figura: AE = AC + CE

En este problema nos están pidiendo:

Entonces calculamos AC y CE “

BAC: (37° - 53°) Si BC = 15 BC = 5k Pero: AC = 3k

k=3 AC = 9

DCE: (30° - 60°) Si DE = 8 DE = 2a Pero: CE = a

a=4 CE = 4

+

+

“

+

Para empezar a resolver este problema, prolongamos AD hasta E (E en BC), con la finalidad de formar los triángulos ABE y DEC. Luego:

Finalmente: AE = AC + CE AE = 9 + 4

ABE:

=

+

DEC:

+

+

(

externo)

= 180º

( + )+

+

= 180º

+

+

= 180º

+

AE = 13 CLAVE:

PROBLEMA 18

CLAVE:

E OTRA FORMA:

D

Si BC = 6 (Hipotenusa) B

CE = 3 (Opuesto a 30º) ABC: (30° - 60°)

D 180º-

Si BC = 6 (Opuesto a 30º) C

AC = 12 (Hipotenusa)

A Propiedad del “Pantaloncito” En

Luego: AE = AC - CE AE = 12 - 3

ABCD: 180º -

=

+

+

+

+

+

AE = 9 = 180º

Finalmente:

CLAVE:

D

DEA (45° - 45°) Si AE = 9

PROBLEMA 19

AE = 9 2

Hallar el valor de “x” en la siguiente figura:

x= 9 2

x CLAVE:

45º

E

30º PROBLEMA 20 En la figura, ABCD rectángulo, hallar “x” (UNSAAC CBU 2001 II)

6 A) 6 D) 6 3

B) 9 E) 9 2

E

C) 6 2

Solución: A

B

x

37º

C

x

45º 30º

45º

9

D

8 45º

D

A E B

30º

60º

6

3

A) 18 D) 30

C

BEC: (30° - 60°)

es

Solución:

B) 24 E) 20

C) 32

un

R

E A

45º

8

3k

C

a M

L

h

I

f

T

g

S

O

Nos piden: “a + b + c + d + e + f + g + h”

D

A

e E

8

45º 45º

Z

U

x

F 45º

37º 8

d

b

3k B

K c

Entonces tomamos los triángulos: ABF: (45° - 45°) AB = BF = 8

MTZ: LIA: RES: KUO:

ECF: (45° - 45°) EC = CF = 3k ECB: (37° - 53°) Si: EC = 3k BC = 4k 8 + 3k = 4k k=8

a + f + = 180º b + e + = 180º c + h + = 180º d + g + = 180º

Sumando las 4 ecuaciones se tiene: a + b + c + d + e + f + g + h + ( + + + ) = 720º Pero en LUZE:

+

+

+ = 360º

Finalmente: a + b + c + d + e + f + g + h + (360º) = 720º

Luego: x = 3k + 8

a + b + c + d + e + f + g + h = 360º

x = 32 CLAVE:

C

CLAVE:

E

PROBLEMA 22

PROBLEMA 21 Determinar la suma de los ángulos resaltados. (UNSAAC CBU 2001 II)

En la longitud adjunta, determinar la longitud “x”. (UNSAAC CBU 2001 II)

x 45º 30º

8

A) 180º D) 240º Solución:

B) 720º E) 360º

C) 540º

A) 12 2 D) 8 2 Solución:

B) 14 2 E) 9 2

C) 10 2

A

B

x

45º

60º

U

30º

45º

12

100º

L1

M

D A 60º

E 30º

60º

8

B

4

P

180º-

L2

C C Como el ABC es equilátero: A = B = C = 60º

BEC: (30° - 60°) Si BC = 8 (Hipotenusa) CE = 4 (Opuesto a 30º)

BUM:

ABC: (30° - 60°) Si BC = 8 (Opuesto a 30º) AC = 16 (Hipotenusa)

+ 60º = 100º ( = 40º

externo)

Luego: Propiedad del “Serruchito”

Luego: AE = AC - CE AE = 16 - 4 AE = 12

U

L1

A 60º

Finalmente: DEA (45° - 45°) Si AE = 12 x 12 2

180ºP CLAVE:

L2

+ (180º- ) = 60º = 160º

E

CLAVE:

PROBLEMA 23 En la figura L1 // L2, calcular “ ”, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero. (UNSAAC CBU INT 2002) B 100º L1

PROBLEMA 24 En la siguiente figura. Hallar la medida del ángulo : (UNSAAC CBU 2002 I) C

A

D L2

2x C A) 80º D) 100º Solución:

B) 120º E) 140º

A

C) 160º

C

A) 60º D) 20º Solución:

B

B) 80º E) 100º

C) 90º

B

C x

x 50º

D 4x 4x

2x

2x

50º

B

A

E

Si AD = DB ADB Isósceles Luego: DAB = DBA= 2x ADB:

CDB = 2x + 2x (

externo)

D

50º

A

Como BD = BC Luego: BAC =

C

DBC Isósceles BCD = 50º

Tambien AB = AC BAC Isósceles Luego: ABC = ACB = 50º

CDB = 4x Si CD = CB DCB Isósceles Luego: CDB = CBD = 4x

Finalmente: DBC: 50 + (x + 50) + 50 = 180 x = 30

DCB: 4x + 4x + x = 180º x = 20º

CLAVE:

Finalmente: ACB:

CBE = 2x + x ( = 3x = 3 (20º)

externo)

PROBLEMA 26 Calcular la medida del lado AE del siguiente polígono ABCDEA. (UNSAAC CBU 2002 I)

= 60º CLAVE:

C

A

D PROBLEMA 25 Calcular el valor del ángulo “x”, si AB = AC; BD = BC (UNSAAC CBU 2002 I)

6 3

A

H

30º

E

45º

x

C

37º

B 50º

D A) 40º D) 25º Solución:

C

A B) 36º E) 50º

A) 6 3 D) 8

C) 30º Solución:

B) 8 2 E) 10

C) 6

A

D 30º

30º

E

6 3

x

A

B

60º

x 8 45º

C

6 53º

E

C

D

8 45º 37º

Si ABC isósceles

AB = AC

Luego: m

ACB = .

ABC =

Si AD = AE

B

Luego:

DEC (30º-60º): Si DE = 6 3 (Opuesto a 60º) EC = 6 (Opuesto a 30º)

ADE isósceles

ADE =

AED = .

Seguidamente: DEC:

ADE = =

CEB (37º-53º): Si EC = 6 (Opuesto a 37º) BE = 8 (Opuesto a 53º)

BAD:

(

externo)

+ 30º (

externo)

+ x … (I)

ADC = +x=

AEB (45º - 45º) AE = BE AE = 8

+x

+ 30º… (II)

Finalmente: CLAVE:

D

(I) en (II):

+ 30º = ( + x) + x x = 15º

PROBLEMA 27

CLAVE:

En la figura, ABC es un triángulo isósceles (AB = AC). Determinar x si AD = AE. (UNSAAC CBU 2002 II) A 30º

E

B

En un triángulo isósceles EFG, de base FG , se toman los puntos M y N sobre EF y EG respectivamente, de modo que: FM = MN = EN. Si el ángulo G del triángulo dado mide

C

D

A) 15º B) 20º D) 30º E) 45º Solución:

PROBLEMA 28

80º, hallar el ángulo MNF . (UNSAAC CBU 2002 II)

x

C) 10º

E

A) 20º D) 80º Solución:

B) 30º E) 60º

C) 10º

(UNSAAC CBU 2002 II)

E

B

20º

45º

x

N 20º

M

x 30º

D x 80º

A) D)

80º

F

G

Como FG es la base Luego: EFG:

EGF = EGF +

B) 2 C) E) 3 1

3 2 1

Solución:

EF = EG

B

EFG +

15º

FEG = 180º

45º 1

2x H

x

FEG = 180º

Nos dan: MN=NE MEN es Isósceles

Como: MN = MF MNF =

30º

60º

D

MEN =

3

1

FEG = 20º

Luego:

2 1

EFG = 80º

80º + 80º +

Luego:

A

C

C

A

2

Trazamos CH AB para aprovechar los ángulos de 30º y 45º

NME = 20º MNF es Isósceles MFN = x

CHA (30º-60º): Si CA = 2 (Hipotenusa) CH = 1 (Opuesto a 30º) y HA = 3 (Opuesto a 60º)

Finalmente: NME = x + x

CHB (45º-45º): Si CH = 1 (Opuesto a 45º) HB = 1 (Opuesto a 45º)

( externo)

20º = 2x x = 10º CLAVE:

C

BDA (30º-60º) Si BD = x (Opuesto a 30º) AB = 2x (Hipotenusa) Pero:

El ÉXITO es la envoltura del sacrificio. PROBLEMA 29 En la figura AC = 2, determinar 2x.

AB = 1 + 3 2x =

3 +1 CLAVE:

E

CAPÍTULO

PERÍMETROS PERÍMETRO Es la suma de las medidas de los lados de una figura geométrica. Se representa con “2p” Cuando vemos “p” en alguna fórmula, esto significa semiperímetro, y es la mitad del perímetro.

2

Es la curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. * La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro, se denomina RADIO. CÍRCULO: Es la región plana determinada por la unión de la circunferencia y su interior.

B

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

a

c

CIRCUNFERENICIA

A

b

C

r

Perímetro del ABC: 2p( ABC) 2p( ABC) = a + b + c Semiperímetro del ABC (p) p=

a +b+c 2

PERÍMETROS DE POLÍGONOS REGULARES El perímetro de un Polígono Regular es igual al número de lados multiplicado por la longitud de un lado.

2p n l Donde: n: número de lados l: longitud de un lado CIRCUNFERENCIA:

P

O CÍRCULO

Donde: O: Centro (del círculo o la circunferencia) r : Radio (del círculo o la circunferencia) P: Punto de la circunferencia O: Punto interior de la circunferencia O no pertenece a la circunferencia pero si al círculo. Por lo tanto: - La circunferencia tiene longitud, más no área. - El círculo tiene área y su perímetro es la longitud de su circunferencia. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)

El número “pi” siempre a sido un número interesante para los matemáticos, así tenemos:

Es el límite hacia el cual se aproximan los perímetros (P) de los polígonos regulares inscritos cuando su número de lados aumenta indefinidamente.

lim P

n

EL NÚMERO “

Los Babilonios Arquímedes Francois Viette Métius Adrien Romanus L. V. Ceulen SHARPS Lagny Vega Dhase Rutherford Shangks

Lc

”

El número “pi”, también llamado “Número LEUDOLFINO” (en honor a Ludolf Van Ceulen, Matemático Alemán u Holandés que determino su valor hasta con 354 lugares decimales); es el valor constante de la razón de la longitud de una circunferencia (Lc) a su diámetro.

( =3) ( 2 decimales ) ( 7 decimales ) ( 8 decimales ) ( 16 decimales ) ( 35 decimales ) ( 73 decimales ) ( 127 decimales ) ( 140 decimales ) ( 200 decimales ) ( 440 decimales ) ( 530 decimales )

Y otros han aportado valores racionales aproximados de “pi”; tales como: Arquímedes:

Lc D

Lc

22 7

D

Lc 2 r

Pero D = 2r

D =2r

Adriano Mecio:

355 113

Lc = 2 r A

B

AB

EL VALOR DE “

”

El número “pi” es el más importante de la ciencia matemática, y es inconmensurable, así también como su cuadrado, su cubo, etc. Su valor aproximado es: 3.14159265359 Su Cuadrado

es: 9.869604401089

Su Cubo

es: 31.0062766803

Su Inverso

es: 0.318309886184

Su Raíz Cuadrada

es: 1.772453850906

Su Logaritmo en Base 10 es: 0.497149872

3.142...

3.1415929...

Papiro de Ahmés:

16 9

2

3.16049...

Los Hindúes:

3927 1250

3.1416...

Cuando se realizan trabajos de mucha precisión se usa 3.1416 , que viene a ser un trabajo aproximado por exceso con un error menor que 0.0001. LONGITUD DE UN ARCO

CURVA FORMADA POR SEMICIRCUNFERENCIAS

A

r

La suma de las longitudes de las semicircunferencias con sus diámetros sobre AB, equivale a la longitud de una semicircunferencia de diámetro AB.

L AB

O

r B Realizamos una Regla de Tres Simple:

Lc LAB

360º º A

LAB

Pero: Lc

Lc

2 r

LAB

360º

LAB

Como D = 2r

LAB

Demostración:

2 r

360º

D 360º

1. LONGITUD DE EN FUNCIÓN AL DIÁMETRO DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA

M

A

AB 2

L AM L MN L NB

LAB

2 r

Pero r

LAB

180º 360º

AB 2

AB 2

L AM

L MN

L NB

AM 2 MN 2 NB 2 AM 2

MN 2

NB 2

LAM LMN L NB

AM MN NB 2

LAM LMN L NB

AB 2

L AB

2. LONGITUD DE UNA LÍNEA

B

Luego, también se tendía:

r B

N

Sabemos por la propiedad anterior que:

LAB

PROPIEDADES

A

B

AB 2

AB 2

La propiedad anterior, también la podemos aplicar si la figura se presenta de esta forma:

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

1RA.

PROPIEDAD

Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales. P A

B

A

R

LAB

AB 2

O

R B

3. SEMICIRCUNFERENCIAS CUYOS DIÁMETROS ESTÁN FORMADAS SOBRE UN SEGMENTO La suma de las longitudes de las semicircunferencias con sus diámetros sobre un segmento AB, es igual a la medida de AB, multiplicada por y dividida por 2.

PA

2DA.

PB

PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias son iguales.

A B

B

A

D C

LAB

AB 2

De ahora en adelante:

L AB Significa longitud de las curvas

AB CD 3RA.

PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias son iguales. M Q

(semicircunferencias) en AB , y es igual a:

LAB

AB 2

Nota: Las curvas formadas sobre AB son todas semicircunferencias.

N P

MN PQ TEOREMAS IMPOTANTES

EJEMPLO 1 1. TEOREMA DE PONCELET “En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el diámetro de la circunferencia inscrita” Se anuncia también así “En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita”

Hallar el perímetro de la figura sombreada, si los arcos formados sobre este segmento son todos semicircunferencias; y el segmento MO mide 20 .

M

O

A) 10 D) 10( +2)

B

B) 20 E) 20( +1)

C) 5

Solución:

r

Debes tener cuidado, cuando te pregunten: “de la figura sombreada”, por que en este ejemplo vemos que la figura sombreada esta formada por semicircunferencias y también por segmentos.

C

A

R

AB BC AC 2r AB BC 2R 2r M

A

O

R C

2. TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados.

C B

Perím.SOMBR.

L MO L MA L AR L RC L CO

Sabemos que: MO 2 y que : L MA L AR LMO

L RC

L CO

L MO

10

2

Luego: Perím.SOMBR. Perím.SOMBR.

D

A

Perím.SOMBR.

AB CD BC AD EJEMPLOS

MO MO 2 20 20 2

CLAVE:

EJEMPLO 2

D

Hallar el perímetro de la figura sombreada, si los arcos mostrados son semicircunferencias; y el segmento AB mide 20 .

El triángulo ABC es un triángulo equilátero, los arcos son semicircunferencias. Hallar el perímetro de la región sombreada, si el perímetro del triángulo es 12 . B

B

A A) 10 D) 10( +2)

B) 20 E) 20( +1)

C

A

C) 5 A) 3 D) 8

Solución: En este caso, la figura sombreada esta limitada solamente por semicircunferencias.

B) 4 E) 4( +3)

Solución: B

C

A A

M

Perím.SOMBR.

N

B Dato: PERIM. ABC = 12 AB + BC + AC = 12

L AB LAB

Perím.SOMBR.

AB 2

Perím.SOMBR.

20 2

Perím.SOMBR. 10

Luego: AB = BC = AC = 4

AB 2

Perím.SOMBR.

20 2 10

Perím.SOMBR .

20 CLAVE:

EJEMPLO 3

C) 6

L AB L BC L AC

Perím.SOMBR.

AB 2

Perím.SOMBR.

4 2

BC 2 4 2

Perím.SOMBR.

B

AC 2 4 2

6 CLAVE:

EJERCICIOS

C

PROBLEMA 1 El lado del rombo mide 13 m y la diagonal menor mide 10m. Hallar el perímetro de la región sombreada. (UNSAAC CBU 99 I)

x x 2

PerímSOMBREADO

BP BC PC

PerímSOMBREADO

6 13

PerímSOMBREADO

61

19

61

CLAVE:

A

PROBLEMA 2 En el cuadrado ABCD de 10 cm. de lado, se ha trazado semicircunferencias en cada lado. Calcular el perímetro de la región sombreada.

A) 19 + 61 m C) 18 + 61 m E) 20 + 61 m

A

B

D

C

B) 11 + 61 m D) 25 + 61 m

Solución: B 13 A

5

6 P 6 H

13

A) 20 cm. B) 20( + 4) cm. B) 20 ( + 1) cm. D) 10 ( + 4) cm. E) 20 ( + 2) cm.

13

5

C

Solución:

5 B

A

13

5 D

5

10

BHA: (Teorema de Pitágoras) 132 52 BH 2 BH 12

D 5

BHA: (Teorema de Pitágoras) PC2 PC2 PC Finalmente:

52 PH 2 52 6 2 61

C

PS

L CURVAS L SEGMENTOS

Donde: P s = Perímetro Sombreado Dato: Lado del Cuadrado = 10 cm. Luego: AB = BC = CD = AD = 10 cm.

Primero calculamos la suma se las longitudes de los segmentos que limitan a la región sombreada L . SEGMENTOS

L SEGMENTOS

AB BC CD AD

En la figura AEB es una semicircunferencia, ¿cuál es el perímetro de la figura cerrada ADCBEA? (UNSAAC CBU INT 2000)

L SEGMENTOS 10 10 10 10

L SEGMENTOS

A

D

40

Seguidamente calculamos la suma se las longitudes de las curvas que limitan a la región sombreada L , para lo

E

2 B

CURVAS

LAB

AB 2

A) 16 + C) 14 + E) 13 +

Luego:

LCURVAS

L AB L BC

LCD

L AD

LCURVAS

AB 2

CD 2

AD 2

BC 2

10 2

LCURVAS LCURVAS

10 2

10 2

B) 8 + D) 12 +

Solución: A

10 2

B

6

1 2

E

20

Finalmente: PS

C

6

cual usamos la propiedad.

6 D

L CURVAS L SEGMENTOS

P S 40 20

PERÍMETRO P S 20

D

NOTITA: Para no operar tanto debemos darnos cuenta que: Si AB = BC = CD = AD

L BC

AB BC CD LDEA

2 CLAVE:

L AB

C

LCD

PERÍMETRO

6 2 6

P ERÍMETRO 14

AD 2

2 2

P ERÍMETRO 14 CLAVE:

L AD

PROBLEMA 3 PROBLEMA 4

C

Calcular el perímetro de la región sombreada que tiene forma de la letra “L”, sabiendo que consta de dos rectángulos iguales contiguos, cada uno de largo “A” metros y ancho “B” metros. (UNSAAC CBU INT 2000)

NOTA: También podemos sumar todos los segmentos horizontales y luego todos los verticales, y al final ambos resultados parciales para obtener el total. PROBLEMA 5 En la figura se tiene seis triángulos rectángulos isósceles. La razón del perímetro de la región sombreada al perímetro de la región no sombreada; es: (UNSAAC CBU 2000 I)

A) 2(2A + B) C) 4A + B E) 7A 4B 2

B) 2A + 2B D) 4A – 2B

1

Solución:

B

A) 4 D) 1 2

INICIO

A-B A

B) 2 E) 2

C) 3

A B

B

Solución:

1

A

B

P2 1

PERIM

A B (A B) A B (A B)

PERIM

4A 2B

1

P5

P3

Para calcular el perímetro, sumamos todos los lados de la región sombreada. Empezando del lado indicado en un solo sentido (en este caso en sentido horario)

PERIM

P6

2

P4 2

P1 1

De la figura:

2 2A B

P1 CLAVE:

A

P2

P3

P4

P5

P6

K

Luego:

PS

P1 P3 P4 P6 PNS

P2

P5

2K

PS

4K

Finalmente: Ps PNS

Luego:

4K 2K

Ps PNS

Hallamos PEXTERIOR

2

CLAVE:

B

PROBLEMA 6 En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. El perímetro de la región sombreada en cm es: (UNSAAC CBU 2000 I)

P EXTERIOR

AB BC CD AD

P EXTERIOR

4 4 4 4

P EXTERIOR

16

Hallamos PINTERIOR

PINTERIOR

MR NP MN PR

PINTERIOR

4 4

PINTERIOR

8 2

C

B

(2) 2 4

(2) 2 4

Finalmente:

PSOMBREADO

P SOMBREADO 2(12

D

A A) 2(12 ) C) 10 E) 2(10 2 )

B) 2(5 D) 20

)

CLAVE:

)

En la figura adjunta. Determinar el perímetro de la región sombreada. (UNSAAC CBU 2000 II) P

C

2 4M

2 2 O

R

2 A

N

O 2 2

D A)

De la figura: PSOMBREADO

A

PROBLEMA 7

Solución:

B

(16) (8 2 )

PEXTERIOR PINTERIOR

2

4

C) 4 2 E) 2 4

B) D) 4

4 2

Solución:

Solución:

P

2 45º

45º

O 2 2

A

a

a

2 B

A

b

b c

a

cd c

b

d d

B

De la figura:

De la figura:

PSOMBREADO

AP PB LAB

Hallamos AP y PB en Si: AB 2 2

APB (45º-45º) AP = PB = 2

LAB

AB 2 2 2 2

PSOMBREADO

3(a b c d) AB = 12

Finalmente:

(Propiedad)

LAB

2

2

3(a b c d)

PERÍMETRO

3(12) 36 CLAVE:

4 CLAVE:

E

PROBLEMA 8 Hallar la suma de los perímetros de los 4 triángulos equiláteros, sabiendo que AB mide 12 cm.

A

PERÍMETRO

PERÍMETRO

AP PB LAB 2 2 2

PSOMBREADO

A) 18 cm. C) 26 cm. E) 72 cm.

PERÍMETRO

a + b + c + d = 12

Finalmente:

PSOMBREADO

3a 3b 3c 3d

Pero nos dan:

Hallamos L AB

LAB

PERÍMETRO

PROBLEMA 9 En la figura adjunta, determinar en centímetros el perímetro de la región sombreada, si todos los círculos tienen un radio igual a 2 centímetros:

B

B) 36 cm. D) 40 cm.

B

A) 16 D) 8 Solución:

B) 18 E) 24

C) 4

L M

A R Y

K

Hallar el perímetro del triángulo rectángulo ABC. (UNSAAC CBU 2001 II)

V

O I U

E

S

T

A

Z

5x

3x

De la figura el perímetro de la región sombreada es igual a la suma las longitudes de los arcos exteriores:

B

C

2x + 4

YML, LO, OV, VEZ, ZU, UY A) 28 D) 24

y los arcos interiores:

B) 20 E) 30

C) 34

YAL, LRY, UKO, OIU, ZTV, VSZ Pero nos podemos dar cuenta que al sumar los arcos YML y LRY se obtiene la circunferencia MLRY, de manera similar en los otros arcos al sumarlos se obtiene una circunferencia, luego podemos hallar el perímetro de la región sombreada de la siguiente forma:

A

5x

3x B

C

2x + 4

ABC (Teorema de Pitágoras)

L YML L LRY LC L YAL L LO LOIU L UY LC L UKO LOV LVSZ L ZU LC

5x

2

25x 2

L ZTV LVEZ LC PerímetroSOMBREADO 4 LC

3x

9x 2

2

2x 4

2

4x 2 16x 16

12x 2 16x 16 0

Las cuatro circunferencias tienen radios iguales por los tanto tienen la misma longitud de circunferencia. Finalmente:

3x 2 4x 4 0

x=2 Luego, el perímetro sería:

Perímetro SOMBREADO

4 2 r

Perímetro SOMBREADO

4 2

Perímetro SOMBREADO

PERÍMETRO

5x 3x

2x 4

PERÍMETRO 10x 4

2

PERÍMETRO 10(2) 4

16

CLAVE:

PROBLEMA 10

Solución:

A

PERÍMETRO

24

OTRA FORMA (MÁS RÁPIDA):

A

Observemos que este es un triángulo Notable (3-4-5), entonces: A

O

6 m 5x

3x

B B

C

2x 4 4x

De la figura:

P

LAOB LBOC LAC

P

AB 2

P

6 2

6 2

2 (6)

P 3

3

3

Luego: 4x = 2x + 4 x=2 Finalmente el perímetro: PERÍMETRO 5x 3x 4x

PERÍMETRO 12x PERÍMETRO 12(2) PERÍMETRO

C

6 m

BC 2

2 r

360º

90º 360º

P 9 CLAVE:

24 CLAVE:

D

PROBLEMA 11 Hallar el perímetro de la región sombreada. (UNSAAC CBU 2001 II)

A

PROBLEMA 12 En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es r = 2a. (UNSAAC CBU 2002 I)

A r 6 m

r

r

A) 32 a B) 12 a C) 16 D) 8 a E) 20 a

B

6 m

A) 9 D) 18

B) 10 E) 6

Solución:

r

r a

C

Solución:

C) 12

Resolvimos un problema muy similar anteriormente, por lo que podemos afirmar que: PerímetroSOMBREADO = 5 L

PerímetroSOMBREADO = 5 [2 (2a)]

Perímetro SOMBREADO = 20

a

Perím SOMBR

2 (8) 4

8 2

8 2

Perím SOMBR 12 CLAVE:

E

CLAVE: E

PROBLEMA 14 PROBLEMA 13 Calcular el perímetro de la región sombreada en la siguiente figura, si AO = OB y los arcos son porciones de circunferencias. (UNSAAC CBU 2002 II)

A

Determinar el perímetro de la región sombreada, de la figura. (UNSAAC CBU 2002 II)

B a 8

A) 16a ( + 2) C) 8a ( + 2) E) 8a (2 - )

O A) 15 D) 16

B) 10 E) 12

C) 6

B) 4a ( + 2) D) 8a ( - 2)

Solución:

Solución: A

B

8

8 O

Perím SOMBR = 4 + 4L

Perím SOMBR L AB LAO L OB

2 R 4

a

De la figura, se deduce que:

De la figura podemos ver que :

Perím SOMBR

 = 4a

OA 2

OB 2

(r = a)

Perím SOMBR = 4(4a) + 4[2 (a)] Perím SOMBR = 8 a ( + 2) CLAVE:

C

CAPÍTULO

Áreas

3

Caso de 2 Círculos:

ÁREA: El área de una superficie limitada cualquiera es su extensión, indicada por un número positivo único acompañada de la unidad adecuada (cm2, m2, u2, etc.).

S1

r1

S2 r2

D1

D2

DEBEMOS RECORDAR QUE: S1 S2

I. Las Figuras Equivalentes tienen igual área, sin importar la forma.

A1

D12

r12

D22

r22

PRINCIPALES FÓRMULAS DE FIGURAS CONOCIDAS

A2

A. REGIONES TRIÁNGULARES 1. FÓRMULA GENERAL: A1

A2

-

Triángulo Acutángulo

II. Las Figuras Semejantes tienen igual forma, y sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus elementos homólogos.

B

h

Por ejemplo:

A

b

Caso de 2 Triángulos Semejantes: B

-

N

S

bh 2

Triángulo Rectángulo C

S1

S2

A

C M S1 S2

C

H

AB2

BC2

AC2

2

2

ML2

MN

NL

h

L

A

b

B

S

bh 2

INFORMES E INSCRIPCIONES Av. de la Cultura 1020 Of. 203. 2do. Nivel.

244856

49

5. EN FUNCIÓN DE SU INRADIO: -

Triángulo Obtuso

B

B

c

a

r

S pr

h C

A

b

H

S

bh 2

C

b

A

6. EN FUNCIÓN AL CIRCUNRADIO B

2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

a

c

R

B A

L A

b

C

H

C

7. TRIÁNGULO RECTÁNGULO CIRCUNSCRITO B

S

L2 3 S

4

abc 4R

L

h

L S

S

h2 3 3

mn

r A

m

C

n

b 3. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA:

8. EN FUNCIÓN A LOS EX-RADIOS E INRADIO

B S

c

b c Sen 2

B

aA

hC

b

Rc

Ra

r

b 4. FÓRMULA DE HERÓN: B p

a

c b

A S

A

a b c 2

C

Rb

C

p p a p b p c

S# ABC

r RaR bRc

B. ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES DdSen 2

S

1. CUADRADO:

D

2

S

L

S

D2 2

d

D

L

7. CUADRILÁTERO INSCRITO:

L

b

2. RECTÁNGULO:

a b c d

S

D

a

D2

ab

a2

S

3. PARALELOGRAMO:

p a

p b

p c

p d

8. CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO S

a

2

d

b2

b

p

c

a

bh

h

r S

S

pr

abSenθ

b C. REGIONES POLIGONALES

4. ROMBO:

1. POLÍGONO CIRCUNSCRITO: Dd 2

S

d

r D

S

pr

5. TRAPECIO: 2. POLÍGONO REGULAR

b S

h

B b 2

h

ap

S p x ap

B 6. TRAPEZOIDE:

D. REGIONES CIRCULARES

1.

Círculo:

B

A

D

C

R

SZC

S CD S AB

SCC

π(R 2

r2

S

5. Corona Circular: 2. Sector Circular: A

r

O

SSECTOR

π r2

θ 360

B

R

r2 )

6. Trapecio Circular:

Al Sector Circular, también se le conoce como Triángulo Circular o Triángulo Mixtilíneo y su área se calcula así:

r R

O

A R L

O

ASECTOR

R

LR 2

STC

π R2

r2

θ 360

B 3. Segmento Circular: A

El área de un Trapecio Circular, también se puede calcular con la fórmula para un trapecio y sería así:

O

r R

L1

O

L2

B R-r S AB

π r2 θ 360

r 2 Senθ 2

STC

4. Zona o Faja Circular:

L1 L2 2

R r

ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES DE ÁREAS

A) Propiedad de la Mediana. S

AT 2

S

AT 2

S S

S

S

AT 2

G) Se cumple que:

B) 1RA Propiedad de los Puntos Medios

S

S S S S S S

S

AT 6

S

C) 2DA Propiedad de los Puntos Medios

S S

S

S

H) Se cumple que:

S S

S

AT 4

S

AT 2

S

I) Se cumple que:

AT 4

S

S

J) Propiedad del Triángulo Rectángulo: D) Se cumple que:

S1

S2

S1

S1

S2 S3

E) Se cumple que:

S1

S2 AT

S2

S1

S2

Si los lados de un triángulo rectángulo son líneas homologas de figuras semejantes construidas sobre ellos, entonces la suma de las áreas de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de la región apoyada en la hipotenusa. Por consiguiente:

S1 S2 F) Se cumple que:

S3

K) Lúnulas de Hipócrates:

C

PROBLEMA 1

S2

ABCD es un cuadrado, M y N son puntos medios. ¿Qué parte de la figura falta sombrear?

S1

B

A

S ABC

1. TEOREMA DE PONCELET “En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el diámetro de la circunferencia inscrita”

B

b

B) 4/8 E) 6/8

Solución: B

M

C S

S 2S

C S

E

abc

D

PROBLEMAS

A

N

D

Usamos la propiedad de la mediana vista en la teoría, por ejemplo: En CNA MO mediana

A NOA A NOC S De manera similar para las otras regiones Finalmente:

A NS

RECTA SECANTE O TRANSVERSAL

C

C) 7/8

3S O

B

A

D

N

A) 3/8 D) 5/8

a

2. TEOREMA DE MENELAO “Toda secante a un triángulo, determina con dos lados del triángulo, cuatro segmentos parciales, y con la prolongación del tercero otros dos segmentos parciales. de tal forma que el producto de tres de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros tres tampoco consecutivos”

F

A

a c b 2r

r

A

C

O

S1 S2

FÓRMULAS GEOMÉTRICAS IMPORTANTES

c

M

B

xyz

5S AT 8S 5 A NS AT 8 CLAVE:

PROBLEMA 2

D

Hallar el área de la región sombreada, sí ABCD es un cuadrado de 12cm de lado y ABE es un triángulo equilátero. B

C

A

D

A) 36 cm2 C) 86 cm2 E) 75 cm2

¿Qué fracción representa la región sombreada de la siguiente figura?

A) 3/8 D) 5/8

B) 72 cm2 D) 70 cm2

B) 1/6 E) 2/5

C) 1/2

Solución:

Solución: A

12

B

A

A

2A

A

C 6

A

2A A

E

A A

6

A

Sabemos que en este tipo de problemas, es conveniente poner un valor al área de la región más pequeña, que en nuestro caso es la mitad de un cuadrado, que puede ser un rectángulo o un triángulo.

D 12

As

A AEA A BEC 12 6 12 6 2 2

As As

Así ponemos “A” a la mitad del área de la región que encierra en cuadrado.

72 cm 2

Luego:

También podemos usar la propiedad:

As

As

A 2

Donde: E Punto Interior.

AT

122 2

As

As

6A 12A

1 AT 2

72 cm 2 CLAVE:

PROBLEMA 3

As

B

CLAVE:

PROBLEMA 4

C

Encontrar la fracción que representa la región sombreada en el siguiente cuadrado: (UNSAAC CBU 99 I)

En el triángulo equilátero mostrado en la figura; AC = 6m, DC = 4m, AE = 4m. Calcular el área del triángulo AED. (UNSAAC CBU 99 I) B

E

D

A A) 1/8 D) 3/16

B) 5/16 E) 1/2

C 2

B) 2 3 m2 D) 2 5 m2

A) 4 5 m C) 4 3 m2 E) 3 m2

C) 1/4

Solución:

Solución:

B 60°

2

2

60°

E

2

60°

D

120°

4

4 60°

Observamos que podemos dividir la figura en triángulos congruentes. Luego contamos el número de triángulos sombreados y el total de triángulos que existen, para obtener la siguiente relación:

As AT

As

5# 16 #

A

C

6

Deducimos que AE = 2

BEA es equilátero

Usamos la fórmula trigonométrica para hallar el área de la región triangular DEA.

4x2 Luego: S# Sen120º DEA 2 4x2 3 S# DEA 2 2

5 AT 16 CLAVE:

B

S# DEA 2 3 m2 CLAVE:

PROBLEMA 5

PROBLEMA 6

B

En la figura mostrada; si el área de la región sombreada es 200 cm2. Hallar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que BOC y COD son semicírculos. (UNSAAC CBU 99 I)

En la figura mostrada: 12 y 16 unidades son las medidas de las bases del trapecio isósceles inscrito en la circunferencia de 10 unidades de radio. ¿Cuál es el área del trapecio? (UNSAAC CBU 99 I)

C

B

O

D

A 2

A) 172 u2 D) 156 u2

2

A) 400 cm C) 600 cm2 E) 300 cm2

B) 100 cm D) 800 cm2

B) 196 u2 E) 144 u2

Solución: Para calcular el área necesitamos hallar la altura.

Solución:

C

B

C) 164 u2

sombreada,

6 M 6

B

C

a

10

O 10 A

D

A

En este tipo de problemas sabemos que debemos trasladar regiones para obtener una región de área conocida; así obtenemos:

S# DEA

S

ABCD

2

S

ABCD

2S# DEA

S

ABCD

2 200

S

ABCD

8

N

D

8

Trazamos los radios OA y OB , para formar triángulos rectángulos, entonces: En

ONA (37º-53º):

b=6

En

BOM (37º-53º):

a=8

MN = a + b MN = 14 (Altura del Trapecio) Luego:

16 12 14 2

A

400m2

A CLAVE:

PROBLEMA 7

b

A

196

2

CLAVE:

PROBLEMA 8

B

En la figura mostrada, hallar el área de la región sombreada, sabiendo que el sector circular ABC, es la cuarta parte de un círculo de radio AB = 4cm. (UNSAAC CBU 99 I)

Hallar el área del sector circular de 4m de radio y 8m de arco. (UNSAAC CBU 99 I) A) 4 m2 D) 32 m2

C) 16 m2

Solución:

C O

4

A

A

B

A) 3 cm2 C) 5 cm2 E) 6 cm2

B) 2 cm2 D) 4 cm2

8 Para calcular rápidamente el área de esta región, usamos la fórmula para el Triangulo Circular.

Solución: C

4

B) 64 m2 E) 12 m2

8 4 2

AS

2 2 O

AS

2 2

16m2 CLAVE:

4

A

B

PROBLEMA 10

Como BAC es un cuadrante (la cuarta parte de una circunferencia) AC = AB = 4 BAC (45º-45º): BC = 4 2

En la figura mostrada, cada “cuadradito” tiene un área de 4 cm2. ¿Cuál es el área de la región sombreada? (UNSAAC CBU 99 I)

Luego el radio del círculo sería 2 2 Finalmente: C

AS AS

A 2 2

A 2

A B

42 4

As 4 CLAVE:

PROBLEMA 9

C

D

A) 23 cm2 C) 16 cm2 E) 20 cm2 Solución:

B) 18 cm2 D) 15 cm2

La figura ABCD es un trapecio y BCD un cuarto del círculo de radio igual a 6cm. Hallar el área de la región sombreada si AD = 12 cm. (UNSAAC CBU 99 I)

B

a=2

a=2

D C

Q A Dato a

2

H

6

B

C

4

a=2

4

A

Luego:

AS

A# BAD A# BCD

AS

BD x AH 2

As

4 6 2

4 4 2

AS

20cm2

D

A) 6 (9 - ) cm2 C) 48 - 9 cm2 E) 32 + 9 cm2

BD x CQ 2

B) 9 (6 + ) cm2 D) 9 (6 - ) cm2

Solución: 6

B

CLAVE:

C

E

6

Recuerda que el área de un triángulo obtusángulo se calcula así: A

h A

A

b

bh 2

Nos dan el radio del cuadrante CD = CB = 6cm Por lo tanto la base menor del trapecio mide 6 cm. Luego:

Que en este problema vino así:

AS

b A

A

D

12

bh 2

A

A

12 6 6 2

AS

AS

9(6

6 4

2

)cm2 CLAVE:

h PROBLEMA 11

PROBLEMA 12

C

Calcular el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el área del cuadrado ABCD es 64 cm2 A

B

En el cuadrado ABCD, de 20 cm. de lado, los puntos M, N, P, Q, E, F, G y H son puntos medios, respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrado EFGH? A M B F

E

N

P C

D

H

A) 4 ( 3 2 + 4)cm. B) 3 ( 3 2 + 4)cm. C) 3 ( 4 2 + 3) cm. D) 2 ( 4 2 + 3) cm. E) 2 ( 3 2 + 4)cm. Solución:

G

D

C

Q

A) 200 cm2 C) 100 cm2 E) 250 cm2

B) 50 cm2 D) 150 cm2

Solución:

B

A 4 2

Usamos la siguiente propiedad:

4

B N

O

C

4 4 2

D

M

4 2 4

A

C

L=8

A

Dato:

A ABCD 64 L2 64 L 8

Ahora: Si L = 8

Q

AMNPQ

BH = HC = 4

A

A

PERIM # AHO PERIM # DOC

4 2 8 PS

8 2 8

A

MNPQ

A

EFGH

A

A

2 20 2

2

A

4 3 2 4 cm CLAVE:

AABCD 2

ABCD

MNPQ

Finalmente

PS

D

Luego:

Luego usamos el (45º-45º) DO OB OC 4 2

PS

P

EFGH

A

MNPQ

A

MNPQ

200

MNPQ

2 200 2

100

CLAVE:

PROBLEMA 13 OTRA FORMA:

C

Dividimos el cuadrado en triángulos congruentes: M B A E F

Luego AH = HC = 15. BHA: (37º-53º) Si AH = 3k= 15 k=5

N

P H

Luego: BH = 4k

G

C Q Observamos que existen 16 triángulos en el cuadrado ABCD, entonces: ABCD

16A#

202 16A# Finalmente: A

A#

ABC

AC x BH 2

A#

ABC

30 x 20 2

A# ABC 300cm2

CLAVE:

CLAVE:

C

E

PROBLEMA 15

PROBLEMA 14 Calcular el área del triángulo ABC B

53º

A

A#

25

100cm2

AEFHG

BH = 20

Finalmente:

4A#

EFGH

(Opuesto a 53º)

BH = 4(5)

D

A

(Opuesto a 37º)

30 m

A) 350 m2 C) 450 m2 E) 300 m2

Hallar el área de la región sombreada, si el triángulo ABC es equilátero de lado 12m y E, F, G son puntos medios de los lados AB , BC y AC , respectivamente.

B

C

B) 400 m2 D) 250 m2

F

E

Solución:

A

B

G

C

37º

A

53º 15

Como AB = BC

H ABC isósceles

C

A) 12(3 3 - ) m2 B) 3(12 3 - ) m2 C) 3( 3 -12 ) m2 D) 12( 3 - ) m2 E) 3(4 3 - ) m2

Solución:

Solución:

B 6

E

2

6

F

A2

3

A

A2

6

6 3

3

3

A3

C

A1

A1

A4

A1

De la figura: AS Hallamos A1:

2A1 A 2 3 2

A1

2

9 2

A1

Ahora hallamos A2. A2

122 3 2 4

A2

36 3 12

Luego:

6

2

Dividimos la región total, en 5 regiones de áreas conocidas (4 triángulos rectángulos y un rectángulo); luego tendríamos:

AS

60º 360º

2A1 A2

ASOMB

2

9 2

A2 36 3 12

3 12 3

A1 A 2 A3 A 4 A 5

Entonces, calculamos:

A1

ASOMB

ASOMB

A5

m2

CLAVE:

B

A3

A4 A5

2 10 2 8 6 2 4 4 2 12 4 6 8 2

10

24 8

48 24

Finalmente: PROBLEMA 16

AS

Calcular el área de la región sombreada, si cada cuadrito tiene 2cm. de lado.

A1 A 2 A3 A 4 A 5

AS

114cm2 CLAVE:

D

PROBLEMA 17 Si la longitud de la circunferencia es 24 . ¿Cuánto mide el área del círculo? (UNSAAC CBU 99 II) A) 96 cm2 C) 80 cm2 E) 120 cm2

B) 100 cm2 D) 114 cm2

A) 122 D) 24

B) 12 E) 14

C) 144

Solución: A

A

A

A

A A

A

r

2A

2A

Dato:

Lc

2 r

2A

24

24

A

2A

r 12 Luego tendríamos:

Luego: A

12

A

A NS AS

2

9A 16A

144 CLAVE:

ANS

C

9 As 16

PROBLEMA 18

CLAVE:

¿Qué fracción del área del cuadrado, representa la parte no sombreada de la figura? (UNSAAC CBU 99 II)

A) 9/16 D) 4/5

B) 1/2 E) 3/16

PROBLEMA 19 En la figura, ¿qué fracción del área del cuadrado MNPQ representa la región sombreada?

N

P

M

Q

C) 7/16

Solución: En este problema, observamos que el cuadrado mayor queda dividido en 4 cuadrados, si cada uno de ellos tiene un área de “4A”, entonces se tiene el siguiente esquema:

A

A)

2 5

B)

2 3

D)

3 4

E)

1 2

Solución:

C)

4 5

Luego de trasladar regiones, para obtener, una región de área conocida, tenemos: N

P

8 2 r r2

A

Finalmente:

16

A

Luego:

Q

AS

En la figura adjunta, el área del trapecio ABCD es 40 cm2. Entonces el área del rectángulo ABEF es: 3k

A

Un círculo tiene igual perímetro que un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm. El área del círculo es:

B

B) 4 cm2

cm2.

D

C) 16 cm2.

E

F

cm2

D)

4 Solución:

C

9k A) 30 cm2 C) 80 cm2 E) 20 cm2

E) 16 cm2.

B

B) 25 cm2 D) 45 cm2

C

Solución: 2

2 2

A

2

Dato: BD =

B

3k 9k

E

ABCD

AB = AD = 2

8

Luego, por condición del problema: ABCD

Entonces: Lc 2 r

h

BD = 2 2

Como BD = 2 2

Perímetro

3k

D

BAC: (45º- 45º)

Perímetro

A

r

8

C

PROBLEMA 21

E

PROBLEMA 20

16

cm 2 CLAVE:

1 AT 2 CLAVE:

A)

2

4

A

M

4

r

Lc

D

F

A ABCD

40

9k 3k h 2 Luego:

40

A ABEF

kh

3k h

C

20 3

A ABEF

(UNSAAC CBU 2000 I)

20 3

3

12 cm

20cm2

AABEF

CLAVE:

E 53º

18

PROBLEMA 22 Determinar el área sombreada de la figura; Si AB = 16 cm.

cm

A) 100 cm2 C) 140 cm2 E) 110 cm2

B) 150 cm2 D) 120 cm2

Solución: 12

B

B

A

C

h=8

37º

2

A) 60 cm C) 64 cm2 E) 12 cm2

4k =8

2

B) 32 cm D) 16 cm2

53º

A

12

H 3k = 6

D

18

Trazamos CH AD para obtener el BAC: (37º- 53º) HD = 3K = 6 K=2

Solución: Trasladamos regiones así tenemos:

y

A

B Pero:

CH = 4k CH = 8 CH = AD = 8 (Altura del Trapecio)

Luego: Luego:

As

A 2

As

8 2

A

2

ABCD

A

ABCD

18 12 8 2

120cm2

As 32 CLAVE:

CLAVE:

B

D

PROBLEMA 24 PROBLEMA 23 Hallar el área de la siguiente figura:

En la figura, calcular el área en metros cuadrados de toda la región

sombreada, ABC es semicircunferencia. (UNSAAC CBU 2000 I)

a

una

h

B

A

3a

C

O

aa

2m A) 3 D) 5

Primero hallamos:

B) 2 E) 1

Solución:

C)7

ASOMBREADA

B

ATRAPECIO 1

A

As

1

A# ABC

O 2m

As

ah 2 a 3a h 2

Finalmente se tiene:

ASOMBREADA ATRAPECIO

C

1

21 2

ASOMBRADA ATRAPECIO

As 1m 2 CLAVE:

E

ah 2 3a a h 2 1 4 CLAVE:

PROBLEMA 26

PROBLEMA 25 La relación entre el área sombreada y el área del trapecio isósceles es: (UNSAAC CBU 2000 I)

Hallar el área del cuadrilátero ABCD, si el área del triángulo AMP es 30 m2. (UNSAAC CBU 2000 II)

a B

M

C

3a 1 2 1 D) 4

A)

Solución:

D

1 3 1 E) 6

B)

C)

2 5

A A) 120 m2 C) 106 m2 E) 92 m2 Solución:

D B) 64 m2 D) 96 m2

a

B

a

M

Solución:

C b

B

P

b 4b

b

N

b

12

2b A A

D

2a

Dato:

A PAM

a

C 36

2a 2b 36 a b 18 b 18 a … (I) Teorema de Pitágoras en

A ABCD

A BAM ACPM A PAD

a x 4b 2

30 2a x 4b

30 8ab

H

Perímetro# ABC

No nos dicen que es un cuadrado, por eso colocamos lados diferentes.

De la figura:

a

a xb 2

11ab 2

b

2

a

2

AHB:

2

12 … (II)

Remplazamos (I) en (II):

2a x 3b 2

18 a

ab 12 m2

2

Finalmente:

a 2 12 2

a 5 2a x 12 2

A# ABC

AABCD

Finalmente: 2a

A ABCD

8ab

A ABCD

8 12

x

4b

CLAVE:

96m2

AABCD

CLAVE:

D

PROBLEMA 27 Calcular el área del triángulo isósceles en m2, si su altura es 12 m y el perímetro del triángulo es 36 m (UNSAAC CBU 2000 II)

En la figura adjunta. Determinar el área del círculo sombreado en cm2. (UNSAAC CBU 2000 II)

2 cm A) 36 D) 80

B) 60 E) 120

B

PROBLEMA 28

2 cm

AABCD

60m2

C) 90

A) (3 + 2 2 ) C) (3 - 2 2 ) E) (3 - 2 ) Solución:

B) (2 - 3 2 ) D) (2 + 3 2 )

B

C

r

r

A

A

1 4

2cm

AS A

1 A

D

2cm

4

Para calcular el área del círculo, bastará calcular el radio del dicho círculo. CAD (45º - 45º) Como: AB = 2 AC = 2 2

A

(Opuesto a 45º) (Hipotenusa)

De la figura:

AS

A ABCD 4 A

Pero “A” es la cuarta parte de un círculo, por lo tanto: 4 A A Finalmente:

Pero de la figura: AC = 1 + 2 r + 1 2 2 =2+2r

AS

AS

A ABCD 4 A A ABCD A

Luego:

AS

L2

r2

AS

42

(2)2

r

Finalmente:

2 1

r2

A A

2 1

AS

2

4 4 CLAVE:

A

CLAVE:

C

PROBLEMA 29 El área de la región sombreada en cm2, en la figura dada es: (UNSAAC CBU 2000 II)

PROBLEMA 30 Hallar el área de la región no sombreada en cm2. Si el radio del círculo mayor mide 2 cm. y el ángulo AOB mide 120º. (UNSAAC CBU 2000 II)

4 cm Solución:

B

A O

4 cm A) 4 (8 - ) C) 8 (4 + ) E) 2 (16 - )

B

3 2 2

B) 4 (4 - ) D) 4 (8 + )

A) 4

3 8 D) 3

Solución:

B) 3 4

E) 4

C) 3 8

Trasladamos regiones y obtenemos un sector circular de 120º, como se muestra:

C

B A

A

B

A

A

120º

r =2

A

O

2A

2A

A

A

2A

2A

2A

2A

A

D

El área de cada triángulo es “A”; por la tanto el área de cada cuadradito sería “2A”.

Luego:

AS

r2

AS

(2)2

AS

Por lo tanto se tendría:

360º

AS ATOTAL

120º 360º

4 3

AS CLAVE:

B

C

A

Solución:

D 3 5 E) 2 7

B)

CLAVE:

B

PROBLEMA 32

En la figura, cada cuadradito tiene un área de 4 cm2. ¿Qué parte del área total del rectángulo ABCD es el área sombreada? (UNSAAC CBU 99 II)

4 5 D) 2 3

3 ATOTAL 5

B

PROBLEMA 31

A)

18A 30A

C)

8 15

En la figura, ¿Qué fracción del área del rectángulo ABCD representa la región sombreada? (UNSAAC CBU 99 II) B

C

A

D

A)

1 3

B)

5 8

D)

2 3

E)

1 2

Solución:

C)

1 4

M

B

C

A

A

A

N A

A

D

A Trazamos AC

A# ABC

A# ACD

Usamos la propiedad de la mediana:

El hexágono es regular por lo que lo dividimos en 6 triángulos equiláteros. Trasladamos la región indicada y luego:

ABC: AM es mediana

A# ABM

A# AMC

AS

A

ATOTAL

A

AS

ACD: AN es mediana

A# ACN

A# AND

2A 6A 1 ATOTAL 3

Finalmente:

CLAVE:

AS

2A 4A

ATOTAL AS

E

PROBLEMA 34 En la figura adjunta el área de la

1 ATOTAL 2

región sombreada es CLAVE:

E

PROBLEMA 33

cm 2 . 2 Determinar el área en cm2 del triángulo formado al unir los centros de las circunferencias siendo estas iguales. 3

En la figura adjunta. ¿Qué parte del área del hexágono regular representa la región sombreada?

A) 2 3 1 D)

2 Solución:

B) 3 8 1 E) 3

C) 5 6

A)

3 4

D)

3 2

Solución:

B)

C)

3

E)

3 3

3 5

L2 3

A# ABC

r

A

r

4

B

60º

60º

r

A

A

r

r

60º

3

4

A

r

2

2(1)

A# ABC

A# ABC

3

C

CLAVE:

B

PROBLEMA 35 Al unir los centros A, B y C se obtiene un triángulo equilátero; para calcular el área que encierra este triángulo equilátero ABC necesitamos saber cuánto mide su lado, para lo que necesitamos calcular el radio de la circunferencia. Dato: A S

3

Hallar el área de la región sombreada:

4

4

2

Pero de la figura:

AS

A# ABC 3A A) 5 D) 3

Luego: 2

AS

3

3

L

3 4

r2

3

2

2

3

4 r 2

r2 3

r2

C) 2

Solución:

360º

(2r)2 3

B) 7 E) 9

60º 360º

4

B

2

P

1

M

H

C 2

3

N

2

3

2

r

2

3

2

A r 1 Finalmente:

2

2

Q

ABQ: PM // AQ

2

D

PM es Base Media de AQ y

PM

AQ 2

D

PM 1

3A

Ahora como PM = 1

5

r O

r

de la figura MN = 3

C

DCB Triángulo Notable (37º-53º) BD = 5

Finalmente:

A# MQN

MN x QH 2

A# MQN

3x 2 2

AS

En este trapecio para hallar el su área de la región que encierra, necesitamos su altura (r) y su base menor (r). Para hallar “r” aplicamos el Teorema de Poncetet en DCB.

3 CLAVE:

CD + CB = BD +2 r 3 + 4=5+2r r=1

D

PROBLEMA 36

Finalmente:

En la figura adjunta. Determinar el área en cm2 del trapecio AOBC.

3cm A

B

4

También de la figura: QH = 2

ATRAPECIO

BC OA CA 2

ATRAPECIO

4 1 1 2

O

ATRAPECIO

C

5 2

B

4cm

CLAVE:

A) 3 D) 3 2 Solución:

B) 5 2 2 E) 5

C) 2 3

B

Nada es imposible, a menos que uno esté de acuerdo en que lo es. PROBLEMA 37

En la figura, “E” es el punto medio de AC . El área de la región sombreada, es: (UNSAAC CBU 2001 I)

D

30º

37º 40 E

C

A) 2( 3 - 48) B) 20 ( 3 - 96) D) 100 (2 3 -48) D) 2(200 3 -96) E) 2 (100 3 -48) Solución:

2

2

AS

200 3 96

AS

8 25 3 12

Buscando la respuesta de las alternativas se tiene:

AS

2 100 3 48 CLAVE:

E

PROBLEMA 38 B

En la figura: AC y BC son tangentes al círculo. El área de la región sombreada, es: (UNSAAC CBU 2001 I)

D 4k

3k 53º

A

AD x DE 2

20 x 20 3 12 x16

AS

B

A

ABx BC 2

AS

37º

20

A

30º

E 40

20

C

3 120º

ABC (30º-60º): Como AC = 40 (Hipotenusa) AB = 20 (Opuesto a30º) y BC = 20 3 (Opuesto a60º)

C

3 B

ADE (37º-53º): AE = 20 (Hipotenusa) 5k = 20

3

k=4

AD = 3k (Opuesto a30º) AD = 12 BC = 4k (Opuesto a60º) y BC = 16 Luego: AS

A) 3

A# ABC A# ADE

3 3

C) 9 E) 3 Solución:

3

3

B) 9 D) 3

3

3 3 3

En la figura: los vértices del triángulo equilátero de lado de longitud 12 son centros de círculos de radio 6. El área de la región sombreada, es: (UNSAAC CBU 2001 I)

A 3 3

3 O 60º 60º

30º 30º

3

C

3 3

B Primero trazamos OC para obtener triángulos rectángulos notables de 30º y 60º A) 6

OAC (30º-60º): Si OA = 3 AC = 3 3

(Opuesto a 30º)

D) 4 4

3 3

(Opuesto a 60º)

E) 18

2 3

B) 16

3 3

D) 9

3

Solución:

Luego:

AS

3

A1

AOACB ASECTOR AOB

AS

2 A# OAC

AS

2

ASECTOR AOB

3 x3 3

3

2

AS

9 3 3

AS

3 3 3

B 6

2

120º 360º

A

AS

9

M 12

6

C

Trasladamos regiones y se obtiene un triángulo equilátero y un semicírculo:

Buscando la forma en la que esta respuesta se presenta en las alternativas, se tiene:

AS

6

6

3

AS

AS

A# ABC

12

2

3

4

A1 6

2

2

36 3 18

3 CLAVE:

B

AS

18

2 3 CLAVE:

PROBLEMA 39 PROBLEMA 40

E

El porcentaje del área sombreada, es: (UNSAAC CBU 2001 I)

A) 50% D) 60%

B) 40% E) 45%

Si en el gráfico P y Q son puntos medios. ¿Qué parte del círculo falta sombrear? (UNSAAC CBU 2001 I)

Q

P

C) 55%

Solución: 2 3 1 D) 2

1 3 3 E) 4

A) h

B)

C)

1 4

Solución:

b

bxh AS ATOTAL AS

2 bxh

a

2a P

a Q

1 ATOTAL 2

AS

50% A TOTAL CLAVE: A

Para calcular el área de la región sombreada hemos usado esta formula:

Área del círculo menor (A1):

a2

A1

Área del círculo mayor (A2): A2

2a

2

A2

4 a2

Finalmente: A1 A2

h

PROBLEMA 41

4 a2

A1

b

AS

a2

1 A2 4

bxh

CLAVE:

2 PROBLEMA 42

C

¿Qué fracción representa la parte sombreada respecto al área total? (UNSAAC CBU 2001 II)

Hallar el área de la región sombreada, si: AB = BC; DC = DE; BD = 30 cm. (UNSAAC CBU 2001 II) B

30 cm D

A

E

C A) 900 cm2 C) 250 cm2 E) 450 cm2

A) 2 3 D) 3 4

B) 3 5 E) 2 5

C) 1 3

B) 300 cm2 D) 150 cm2

Solución:

B

30 cm

a

D

a

b

Solución: Dividimos el la figura en triángulos, para obtener regiones de áreas iguales, como se muestra a continuación:

A

b E

C

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el BCD: a 2 b2

302

a 2 b2

900 … (I)

Luego: AS = A ABC + A CDE AS

Luego:

AS

AS ATOTAL

AS

6# 18 #

bxb

2

2

a 2 b 2 … (II) 2

Remplazando (I) en (II). AS

1 ATOTAL 3

900 2

AS CLAVE:

PROBLEMA 43

axa

450cm2

C

CLAVE:

PROBLEMA 44

E

Hallar el área de un cuadrado, si la mitad de su diagonal mide 3 2 cm. (UNSAAC CBU 2001 II) A) 54 cm2 C) 36 cm2 E) 12 cm2

B

L

B) 18 2 cm2 D) 36 2 cm2 A

x

Solución: B

L

2x

C

O x 2x

C

L

L

d D A Dato:

d 2

D

Dato:

3 2

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en BOA:

d 6 2

Finalmente sabemos que: d2 2

A

6 2 A

Perímetro ROMBO 80 4L 80 L 20 … (I)

L2

x2

L

x 5

2x

2

… (II)

Remplazando (I) en (II)

2

20

x 5

x

2

A

36cm

C

BD x AC 2

A ROMBO

Hallar el área de un rombo cuya diagonal mayor es el doble de la menor y su perímetro es igual a 80cm. (UNSAAC CBU 2001 II)

Solución:

A ROMBO

4x

PROBLEMA 45

A) 300 cm C) 64 5 cm2 E) 160 cm2

5

Finalmente:

2

CLAVE:

2

20

2

B) 300 5 cm D) 320 cm2

x

2x

2

AROMBO

4 x2

A ROMBO

4

AROMBO

20

2

5

320cm2 CLAVE:

PROBLEMA 46

D

En la figura, el área del triángulo ABH es igual a 4m2; además CD x AH = 12m2. Hallar el área del trapecio ABCD. (UNSAAC CBU 2001 II) A

En la figura, hallar el área de la región sombreada. (UNSAAC CBU 2001 II) 8

A

B

B 8

D

C

H 2

)

A) 10 m C) 30 m2 E) 40 m2

8

D

2

B 15 m C) 20 m2

8

A) 8 + 16 C) 16 + 8 E) 8 + 4

C B) 16 + 4 D) 8 + 8

Solución: b

A

Solución:

B

Dividimos la región en tres regiones conocidas (un cuadrado y dos cuartos de círculo)

h D Dato:

H

C

a

A

B

A# ABH 4

bxh 2

4

A1 O

M

bxh 8

4

A1

A2

4

4

C

También nos dan este dato:

CD x AH 12

D

a x h 12

De la figura:

Luego:

ATRAPECIO ATRAPECIO

AS

a b h 2

ah bh 2

2

AS CLAVE:

PROBLEMA 47

AS

AS

12 8 2

10m2

N

4

2A1

4

A2

2

4

42

16 8 CLAVE:

A PROBLEMA 48

C

Hallar el área de la figura sombreada. Si cada cuadradito tiene un área de 20cm2. (UNSAAC CBU INT 2002)

La figura ABCD es un cuadrado de lado igual a 2 cm. Hallar el área en cm2 de la región sombreada. (UNSAAC CBU INT 2002) C

B

O

D

A A) 310 cm2 C) 320 cm2 E) 200 cm2

B) 280 cm2 D) 230 cm2

1 4 2 C) 2 1 E) 3 2

Solución: B

L

1 4 2 D) 3 1

A)

B)

Solución:

L

C

B A2 C

D

A1

O

A3

L

AS

1

20 Trazamos OE

De la figura:

AS

45º

A

2

A1

2

F

G

A Dato:

P

E

A2

A3

2L x 5L

2L x 3L

2

2

AS

5L2 3L2 8L2

AS

16 20

AS

1

D

AE = ED = 1

AD

Luego de la figura:

4L x 2L AS

16L2

AS

A

AS

2

AS

320cm2

PDA 2

A

45º 360º

4

CLAVE: C

PROBLEMA 49

E

A

AOE

1 4

2

OED

1x1 2

1 2 CLAVE:

PROBLEMA 50

B

En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, EBCF es un cuadrado de 64 m2 de área y AD = 26m. Calcular la suma de áreas de las regiones triangulares ABE y CFD. (UNSAAC CBU 2002 I) B

CLAVE:

F

A

PROBLEMA 51

B

A

D

A) 36 m2 C) 64 m2 E) 48 m2

P

B) 72 m2 D) 81 m2

L

64

x

2A

y

L F

h

h

L

D

2A

2A

2A 2A

Pero:

x=y

y:

x

x

8(9) 2

h=9

As A NS AS

Lh 2

2A

A A

De la figura se tiene:

AD = 26 2h + L = 26

A A

A BCFE = 64 L2 = 64 L = 8

Luego:

C) 3/2

2A

2A

26 Dato:

B) 5/6 E) 5/12

R

Solución:

L

E

A

A) 2/3 D) 2/5

C

Q

C

D Solución:

B

B

En la figura mostrada: ABCD y PQRC son cuadrados, siendo “P” punto medio del lado BC. Calcular qué parte del área de la región no sombreada es el área de la región sombreada. (UNSAAC CBU 2002 I)

C

E

x y 72

8A 20A 2 A NS 5 CLAVE:

D

PROBLEMA 52

36

Hallar el área que encierra el cuadrado ABCD, si el radio de la

semicircunferencia es R = 5m. (UNSAAC CBU 2002 I) B

C

C

13

A 2

D R

O

2

A) 25 m D) 8 m2

B) 16 m E) 20 m2

Solución:

B

A 2

Teorema de Pitágoras: ABC: AC2 = 122 + 52 AC = 13

2x

A x Ox D DOC: 52 = (2x)2 + x2

Teorema de Poncelet: 5 + 12 = 13 + 2r r=2 x2 = 5 Luego: A círculo

Luego AABCD = (2x) 2 AABCD = 4 x 2

B

C) 9 m

C 5

5

12

AABCD = 4 (5)

A círculo

AABCD 20m2 CLAVE:

2

2

4 CLAVE:

E PROBLEMA 54

PROBLEMA 53 Hallar el área del círculo inscrito en el triángulo ABC, si AB, = 5 cm y BC = 12cm (UNSAAC CBU 2002 I)

En el siguiente cuadriculado, cada “cuadradito” tiene un área de 9 cm2. El área de la región sombreada, es: (UNSAAC CBU 2002 I)

C

A

A) 2 cm2 D) 6 cm2 Solución:

C

B

B) 9 cm2 E) 8 cm2

C) 4 cm2

A) 54 cm2 C) 36 cm2 E) 27 cm2 Solución:

B) 72 cm2 D) 24 cm2

=3

B C

A

A2

A1 H

A

Dato: 2 = 9 De la figura:

=3 As = A1 + A2 As

6 9 2

AS

F

3C

3E

C

9 F

9

E D

B

3A

D

3F

3D

3B

=3

6 9 2

A NS AS

A B C D E F 3A 3B 3C 3D 3E 3F

A NS AS

A B C D E F 3 A B C D E F

A NS

54cm2 CLAVE:

1 AS 3 CLAVE:

A

PROBLEMA 55 ¿Qué parte de la región sombreada, representa la región no sombreada? (UNSAAC CBU 2002 II)

B

PROBLEMA 56 En el triángulo AEB, los segmentos interiores son medianas. Hallar el área de la región rectangular ABCD; si el área de la región triangular PBQ es 2u2. (UNSAAC CBU 2002 II) E

D

C

P A) 1/4 D) 3/4

B) 1/3 E) 1/2

A

C) 2/3

A) 32 u D) 72 u2

Solución: B A

A MBN

N

3A A

Luego, se tendría:

C

2

B C) 65 u2

B) 60 u E) 64 u2

Solución: Usamos la propiedad de la mediana: B

Usamos la siguiente propiedad:

M

Q 2

A ABC 4

A

A

D A Luego tendríamos:

C

E

D

C

A

20u 2

ABCD

CLAVE: 16

2

4

A

P

PROBLEMA 58

2

B

Q

E

A ABCD 2A# AEB

64u2

AS

C

8

CLAVE:

E

Determinar el área de la región de un trapecio isósceles ABCD. Si el área del círculo es 36 u2; donde CD es la mitad del diámetro AB . (UNSAAC CBU 2002 II) D

PROBLEMA 57 Calcular el área de la región cuadrangular ABCD, inscrito en el semicírculo de centro O y radio R. Si el área del semicírculo sombreado

C

B

A

mide 5 u 2 .

2

(UNSAAC CBU 2002 II) B

C

R

A) 27 2 u 2

B) 27 3 u 2

C) 18 3 u 2 E) 27 u2

D) 36 u2

Solución:

r

D A

A) 20 u2 D) 25 u2

D

O

B) 16 u2 E) 15 u2

S r

r

C) 20 u2

r

A

C

r

O

B

Solución: B

C

R

Dato:

2r

A r2

36

r

36

6

A r O r D

Luego observamos que: el área pedida es igual a 3 triángulos equiláteros:

5 2 u Dato: A = 2 r2 2

5 2

Luego: A ABCD

ATRAPECIO

r

2r

2

2

3 S

5 ATRAPECIO

3

r2

3 4

ATRAPECIO

27 3 CLAVE:

B

medidas iguales; E es el centro del cuadrado ABCD.¿Cuánto mide el área de la región cuadrangular ABCD, si el área de la region sombreada mide 4 2 m2 ?

PROBLEMA 59

A

D

Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2m. (UNSAAC CBU 2002 II)

E

F

C

B

C

B

H G

D

A A) /2 m2 C) 4 m2 E) 3 m2

B) m2 D) 2 m2

A) 16 m2

B) 12 2 m2

D) 8 2 m2

E) 16 2 m2

Solución: Trazamos las diagonales (estas se cortan en el punto E)

Solución:

D

A

C

B

E

1/2

x

C) 12 m2

1

1/2

2 C

B H

D

A De la figura se tiene que:

G

As = [A ABCD - A ] + 8x

As = [22 - (1) 2 ] + 8

AS 4m

Luego de trasladar la región:

(1/ 2) 2 2

A

A

2

CLAVE:

F

C

PROBLEMA 60 En la figura ABCD y EFGH son cuadrados cuyos lados tienen

ABCD

= 4 As

ABCD

16 2 m2 CLAVE:

E

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS 1. Se desea cercar los lados AB y AC de

un terreno que tiene la forma de la figura siguiente: B

¿Cuánto mide el perímetro de dicho triángulo rectángulo? a) 12cm b) 10cm c) 13cm d) 15cm e) 14cm 5. En la siguiente figura (UNSAAC CBU 2003 II)

30 3m 60º

A

C

a

d i

¿Cuántas estacas se necesitan, si las estacas se colocan cada 3 metros? (UNSAAC CBU 2003 I) a) 36 d) 31

b) 29 e) 30

e

f

b

c) 32

c

Hallar la suma de los angulos :

2. En la siguiente figura, determinar :

a b c d 2e 2f a) 360º d) 620º

a b c d e f (UNSAAC CBU 2003 I) c a

d

b) 270º e) 540º

i c) 720º

6. En la figura adjunta, AD = DC = 6m, si CB = CA. Calcular DB. (UNSAAC CBU 2003 II)

b

B

e

f A

a) 360º d) 180º

b) 270º e) 720º

c) 540º C

3. En la siquiente figura, ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. Hallar el valor del ángulo “x”. (UNSAAC CBU 2003 I) B E

C

x

D

A

a) 80º d) 75º

b) 105º e) 115º

c) 100º

4. Los lados de un triangulo miden, respectivamente; 10, 9 y 8 cm. Si cada lado se disminuye en “x” cm, se convierte en un triangulo rectangulo.

D

a) 3 5 m d) 6 5 m

b) 8 m

c) 10 m

e) 10 5 m

7. Se da un trapecio con bases de longitudes 3cm. y 6cm. y con altura de 4cm. de longitud. Hallar la distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base mayor. (UNSAAC 2000 II) a) 6cm b) 9cm c) 8cm d) 4cm e) 5cm 8. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo forma con la hipotenusa un ángulo de 115°. El ángulo que forma dicha bisectriz con

la bisectriz exterior del menor de los ángulos agudos, mide: (UNSAAC 2001 II) a) 25° d) 35°

b) 30° e) 45°

(UNSAAC 2000 I) B

c) 20°

R

Q

9. En un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa y uno de los catetos miden 12m y 4 5 m , respectivamente. La longitud de la altura relativa a la hipotenusa mide (en m.): (UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

a) 8 5 d)

b) 3 5

5 3

e)

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

15°

6

45°

x

d)

3

e)

c) 2 2

6

11. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm. y uno de los catetos mide 8cm. Hallar la altura del triángulo tomando como base la hipotenusa. (UNSAAC 2000 I) a) 6cm d) 3.5cm

b) 4.8cm e) 10cm

a) 2 2 m

b) 3m

d) 2m

e)

C c) 1 m

2m

13. Una escalera se apoya a una pared de

8 5 3

b) 2 3

S

P H

c) 8

10. En la siguiente figura, la longitud de “x”, es:

a) 3 2

A

c) 4cm

12. En el triángulo ABC mostrado en la figura BH = 4m, AC = 4m. Hallar la longitud del lado del cuadrado inscrito PQRS.

4 3 metros de altura, de modo que sus extremos superiores coinciden. Los ángulos que forman la escalera con el piso y la pared con el piso son de 30° y 90° respectivamente. Hallar la distancia del extremo inferior de la escalera a la pared. (UNSAAC 2000 I) a) 12m

b) 6m

d) 15m

e) 6

c) 9m

3m

14. Se tiene un triángulo en donde dos de sus lados miden 3 y 4. Hallar el perímetro del triángulo. Si el tercer lado es el doble de uno de los otros dos lados. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

15. Los lados de un triángulo rectángulo forman una progresión aritmética cuya razón es 3m. Hallar el perímetro del triángulo. a) 36m d) 24m

b) 32m e) 21m

c) 28m

16. Calcular el valor de “x” en la figura.

suma del máximo y mínimo valor entero que puede tener “x”.

D

B

A

10

x

30º

C 2

x

8 3

A B

a) 18 d) 21

C

a) 32

b) 16

d) 32

e) 16

3

3

c) 16 3

D

8 b) 19 e) 22

c) 20

20. El la figura hallar “x” 80º 40º

17. Calcular el valor de “m + n” en la figura.

x 20º 100º

n 60°

37°

m

a) 30º d) 60º

b) 40º e) 80º

c) 50º

21. De la figura hallar “ ”

3

a) 4

3

b) 7

3

c) 7

3

d) 3

3

e) 8

3

100°

40°

a) 10° d) 30°

18. Calcular “x” en el gráfico

b) 15° e) 40°

c) 20°

22. Hallar “x” en la figura

10

100°

x a) 40 2

b) 40

d) 20

e) 10 2

x

70°

c) 20 2

19. En la figura se sabe que  > 90º, y que AC es un número entero. Calcular la

a) 50° d) 80°

b) 60° e) 40°

c) 70°

23. Si AB = DC y DA = DB, hallar “x”.

B D

x

A

a) 10° d) 45°

C

b) 20° e) 53°

c) 30°

24. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide 22°30´; si queremos calcular la longitud de la hipotenusa ¿entre qué número debemos de dividir a la hipotenusa? a) 2 d)

2

b) 2 2 e) 3

a) 30° d) 16°

b) 37° e) 15°

29. Calcular “

c) 53°

” en: B

A

c) 4

25. En la figura, hallar BC 30

D

B

a) 20° d) 45°

A 6 a) 12 d) 15

D

10

b) 16 e) 18

C c) 20

26. La hipotenusa y un cateto suman 162m. Si el otro cateto mide 80m. Hallar la hipotenusa. a) 82m d) 90m

b) 68m e) 86m

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

28. Calcular “ ”, si los 2 cuadrados son congruentes.

b) 35° e) 60°

c) 37°

30. En la figura siguiente la medidas de ˆ son 60° y ˆ y ACB los ángulos BAC 90° respectivamente, además se trazan las bisectrices de los ángulos interiores las que se intersectan en el punto D. Sea DM la mediana del triángulo ADB hallar la medida de ˆ . los ángulo MDB C

c) 84m

27. En el interior de un cuadrado ABCD se toma el punto P y luego se traza PH BC, tal que BH=2 y HC=8. Si m APD=90°, hallar PH.

C

D A

M

a) 20° d) 55°

b) 30° e) 60°

31. Calcular el valor de “x”:

B

c) 45°

35. Si sabemos que “E” es el punto medio de AB . Además ABCD es un cuadrado. Hallar :

3

x a) 4 d) 8

A

b) 5 e) 9

B

c) 6

32. En la figura calcular el valor del ángulo “ ” si AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.

B

C

D

a) 12° d) 16°

b) 14° e) 20°

c) 15°

D 36. En la figura se muestra una lámina metálica de forma rectangular. Si y AB 4 3 cm. AD 4 cm. Calcular la longitud que recorre el vértice A cuando la lamina haya dado una vuelta completa en el sentido indicado.

60

20

A

C

a) 95° d) 120°

E F

b) 110° e) 125°

c) 115°

33. Cuatro rectas se intersecan como se muestra en la figura. Calcular el valor de: (x y z w)

D

C

A

B

a) 3 ( 3 1)cm

z

b) ( 3 3) cm

c) (2 3 3 ) cm d) 2 ( 2 2)cm e) 2 ( 3 3)cm

y x

w

5m y BC

37. Si AB

12 , hallar la

medida de MN a) 360° d) 630°

b) 450° e) 720°

c) 540°

B

34. Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. a) 60° d) 65°

b) 45° e) 75°

c) 30°

A

a) 1 d) 4

M

N

b) 2 e) 5

C

c) 2.5

38. Hallar el valor del ángulo “ ” si sabemos que ABCD es un cuadrado. A

B

1. Hallar el perímetro de la figura sombreada:

a a a 2a

C

D

a) 100° d) 116°

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE PERÍMETROS

b) 105° e) 150°

c) 110°

a 39. Calcular el valor de “x” en:

a) 20a d) 32a

a

b

x m

b) 28a e) 34a

c) 30a

2. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

n

ab 2a b 3a b e) 2ab

a b 2ab ab d) a b a)

a

3a

b)

c)

a b ab

b d a

40. En la figura ABCD es un cuadrado de lado “a”. Calcular el radio de la circunferencia. B

c

C

a) 2(a + 2b + c – d) c) 2a + 4b + c – 2d e) 5(a + 3b + 10c – d)

b) 2(a + 2b – c + d) d) a + 2b + 2c – 2d

3. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

2

A

6

2

D

A

a)

a 3 2

b)

a 2

d)

a 2 2

e)

3a 8

c)

3a 5

6 a) 30 d) 36

b) 46 e) 42

c) 40

4. Hallar el perímetro de la región sombreada, de la figura: (UNSAAC CBU 2000 I)

7. El peimetro de la region sombreada, es: (UNSAAC CBU INT. 2003)

8 4 6R

4 15 a) 44 d) 64

b) 36 e) 62

c) 54

5. En la figura adjunta. Determinar el perímetro de la región sombreada (UNSAAC CBU 2000 II)

a) 30 R d) 36 R

b) 25 R e) 32 R

c) 38 R

8. En la siguiente figura, hallar el perímetro de la región sombreada. (UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

4

a 3

a

1 1

2a

4

b) 7 a

a) 22 a 3 11a d) 3

3 3a e) 22

c) 20 a 3

6. Hallar el perímetro de la siguiente figura. (UNSAAC CBU 2002 I) b

b

b

a) + 4 d) 2 + 3

b) 2(4+3 ) e) 2(4 + )

c) 3(2+ )

9. Un arquitecto diseña la siguiente reja para ventana. Si los arcos son semicircunferencias iguales y 22 asumiendo ; hallar la 7 longitud total de acero que se requiere.

c 70

a a) 2 (a – b + 2c) c) 2 (a + b + c) e) 2 (2a + b + c)

b) 2 (a + 2b + c) d) 2 (a + 2b + 2c)

a) 490 d) 680

b) 560 e) 620

c) 720

10. Hallar el perímetro de la siguiente figura: c

d

b c

a) 21 d) 18

a

a) 2 (a + b – d) c) 4 (a + b – d) e) 2 (2a + b – c)

13. En un triángulo equilátero de lado 4; se unen los puntos medios de los lados, formando otro triángulo equilátero, y se repite la operación indefinidamente. Hallar el límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos.

b) 2 (a + b + d ) d) 3 (a – b – d)

11. Hallar el perímetro de la figura sombreada si todas las curvas son semicircunferencias.

A

B

D

C

a) 10( +2) d) 20( +2) 8 a) 8 d) 6( +3)

b) 16 e) 12( +2)

c) 12

c) 24

14. Cuál es el perímetro de la figura, si ABCD es un cuadrado de 10 cm. de lado y los dos arcos son semicircunferencias.

10

6

b) 8 e) 12

b) 5( +2) e) 10( +4)

c) 5

15. Hallar el perímetro de la región marcada si cada cuadradito tiene 1cm. de lado.

12. La figura mostrada está formada por hexágonos regulares iguales. Hallar el perímetro de toda la figura si cada hexágono tiene 48 cm. de perímetro. a) 26 d) 25

b) 27 e) 24

c) 28

16. Se tiene un pentágono ABCDE tal que: AB = BC = CD = DE = b y ABC ACD ADE 90º . Calcular el perímetro del pentágono ABCDE.

a) 176cm d) 168cm

b) 184cm e) 240cm

c) 160cm

a) 2b d) 10b

b) 6b e) 12b

c) 8b

17. Del gráfico calcule el perímetro del polígono ABCDE B

2m

1. El perímetro de un cuadrado es el doble del perímetro de un triángulo equilátero, cuya área es igual a 2 9 3 cm . Hallar el área del cuadrado. (UNSAAC CBU 2003 II)

C

3m D 4m A

5m

a) 2 6 +15 d) 5 6 +15

a) 64cm2 d) 81cm2

E

b) 3 6 +14 e) 7 6 +15

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE ÁREAS

c) 3 6

10. Hallar el perímetro del trapecio, si la altura es igual a la base menor: 4

b) 100cm2 e) 121cm2

2. Calcular el perimetro de la región sombreada en cm, sabiendo que P, Q, R y S son puntos medios en el cuadrados ABCD cuyo lado mide 10cm . (UNSAAC CBU INT. 2003) Q

D

b) 22 e) 28

R

c) 24 A

19. Calcular el perímetro de la región sombreada, si AB = 15. A

C

P

10 a) 20 d) 26

c) 49cm2

M B

a) 10 2 d) 12 2

S

B

b) 11 3 e) 8 3

c) 8 5

3. En la figura: AB = AP y CD = DP, el area del cuadrilátero ABCD es: (UNSAAC CBU 2003 II) B

C a) 20 d) 35

N b) 25 e) 40

c) 30

y

20. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre el lado AD se traza una semicircunferencia interior, luego desde C se traza una tangente a la semicircunferencia la cual corta a AB en F. Hallar el perímetro del triángulo BCF si el lado del cuadrado mide 6. a) 12 d) 22

b) 14 e) 24

C

x

c) 18

A

a) (x y)

b)

4

c) e)

(x

x2

D

P 2

y)2 2

xy 4

d)

x

2

xy 2

x2

y2

y2 2

y2

4. En la siguiente figura, el diámetro

del círculo de centro O, mide 8cm. Hallar el área de la región sombreada. B

P A 2

a) 18cm d) 16cm2

C

O

a) 600m2 d) 100m2

Q

D b) 20cm2 e) 17cm2

perímetro es igual a 74m., mientras que el cuadrado de su diagonal es igual a 769m2. ¿Cuál es el área del lote? (UNSAAC 2000 II)

c) 14cm2

5. En la figura, el área de la region sombreada y no sombreada en el círculo mayor de radio R = 4 metros, son de igual medida. El área en metros cuadrados de la región sombreada, es:

b) 150m2 e) 300m2

9. Si el área de la figura sombreada es 8m2. entonces el lado del cuadrado ABCD mide: (UNSAAC 2001 II) A

B

D

C

a) 6 2 m d) 4 m a) 6 d) 10

b) 4 e) 8

c) 12

6. Se quiere revestir un piso rectangular con losas circulares de igual radio, colocadas tangentes unas con otras. Si se sabe que tanto a lo largo como a lo ancho entran losas completas. ¿Cuál es el máximo porcentaje que se cubrirá del piso con las losas? (SAN MARCOS 2003) a) 27.5 % d) 30 %

b) 20 % e) 22.5 %

a) 128 d) 144

b) 576 e) 288

b) 6 m

c) 72

8. Un lote de terreno es de forma rectangular y se sabe que su

c) 2 m

e) 4 2 m

10. En la siguiente figura se tiene dos circunferencias concéntricas donde OA = AB = 1. Si OB = BC = OC, calcular el área de la región sombreada. (UNSAAC 2002 II)

D

C

O

c) 25 %

7. Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles son iguales entre sí y miden 15 metros. Si la base mayor mide 33m. El área del trapecio en metros cuadrados, es: (UNSAAC 2000 I)

c) 500m2

A

3 2 2 c) 3

a)

e)

4

3

b)

3

d)

3

6

B

3

3

3

11. La pintura de un cuadro tiene un largo de 60 cm. y un ancho de 35 cm. Calcular el área del marco rectangular

en cm2, si se tiene un ancho igual a 2,5cm. (UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN))

A) 250 D) 450

B) 500 E) 325

C) 300

12. Hallar el área del círculo inscrito en un hexágono regular, cuya área es de 36

3 m2.

región es igual a 4/9 del área de la región del primer hexágono. A) 5 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

17. El cubo mostrado tiene 2m. de arista. Hallar el área de la figura limitada por el triángulo sombreado.

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

A) 18 m2 C) 24

3

m2

E) 26

3

m2

B) 30

3

m2

D) 18

3

m2

13. Calcular el área del círculo que está inscrito en un sector circular de 60° de ángulo central y 15cm de radio. (UNSAAC 2002 I) A) 15 cm2 D) 20 cm2

B) 25 cm2 E) 30 cm2

C) 18 cm2

B)

D) 2 3

E) 4 3

Y

-2 B) 8

D) 12 2

E) 8 2

-1

C) 2 2

15. Si el triángulo es rectángulo, hallar el área marcada en:

C) 3 2

18. Hallar el área de la región sombreada en la siguiente figura:

14. Calcular el área de la región de un triángulo rectángulo si su hipotenusa mide 8 y uno de sus ángulos internos mide 22°30” A) 4

3 3 2

A) 4 3

0

A) ( - 3 ) u2 C) 2( - 3 ) u

1

2

X

B) 2( + 3 ) u2 2

D) ( + 3 ) u2

E) 3 3 u2 6

19. Los lados de un triángulo son tres números consecutivos, el perímetro es 60m. El área de triángulo es:

8 A) 3(4- ) D) 4(6- )

B) 2(5- ) E) 3(6- )

C) 6(4- )

16. El lado de un hexágono regular mide 9. Determine el lado de otro hexágono regular, cuya área de su

A) 152.4 m2 C) 120.6 m2 E) 170 m2

B) 145.8 m2 D) 172.3 m2

20. En la figura E, F, G y H son puntos medios del cuadrado ABCD. Entonces la razón entre el área

10

sombreada y el área no sombreada es: F B C

4

G

E

A

H

3 13 2 D) 15

7 10 6 D) 17

B)

C)

5 13

21. Si el lado de un cuadrado inscrito en un círculo C1 es L, entonces el área de la figura sombreada, en función del radio R de la circunferencia C1, es:

L

C) 2 E)

R2

4

B) 1 R

2

D) 4

4 4

R2

A

B

D

C

A) a 2

B)

a2 2

a2 3

E)

a2 5

D) 4

B)

C)

7 10

24. Hallar el área sombreada, si consideramos que la figura ABCD es un cuadrado, además DB DE a 2 .

R

A)

6 13 7 E) 13

A)

D

5 16 7 E) 13

A)

3

4

E C)

a2 4

25. Hallar el área sombreada de la figura: R

2

3 R2 4

22. La altura de un triángulo es los 3/4 de la base más 4m. Si la base es la solución positiva de: 2x2 -13x-24 0 , el área del triángulo es: A) 60 m2 D) 50 m2

B) 80 m2 E) 65 m2

C) 40 m2

23. Hallar la relación entre el área sombreada y el área no sombreada.

R

A) R2 (16 2 )

B) 2R2 (15 2 )

C) 3R2 (

D) 2R2 (8

6)

3)

2

E) 2R (32 9 ) 26. El área del cuadrado ABCD es 40m2. Hallar el área sombreada sabiendo que M, N, O, y R son puntos medios de los lados.

A

N

A

B

B

N

O

M

D A) 10 D) 36

D

C

R

B) 20 E) 38

C) 32

27. Calcular el área de la sombreada en el cuadrado. A

región

B

C

M

A)

7a 2 10

B)

8a 2 15

D)

11a 2 20

E)

7a 2 10

C)

9a 2 20

30. Determinar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado “a”. Además M y N son puntos medios.

a a

A D

B

C

A)

5a 2 2

B)

4a 2 5

D)

5a 2 3

E)

5a 2 7

C)

6a 2 7

D

28. En el cubo de arista 4m., calcular el área sombreada:

B

C

A

E

A) 8 2 D) 16

B) 4 2 E) 8

C

M

A)

2a 2 46

B)

5a 2 41

D)

5a 2 35

E)

7a 2 35

C)

5a 2 48

31. Si las bases de un trapecio miden 4 y 6 metros y su altura es de 2m. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las diagonales y el punto de corte de los lados no paralelos.

D

F

N

C) 2 2

29. En el cuadrado ABCD, de lado “a” M y N son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada.

A) 2.4 m2 D) 2.7 m2

B) 2.5 m2 E) 2.8 m2

C) 2.6 m2

32. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado: Calcular el área sombreada si tenemos que “O” es el centroide del cuadrado.

A

M

B

4

4

C

B) 2( E) 3(

2) 3)

D

A) 3( D) 3(

2) 1)

A C) 2

33. Hallar el área sombreada, si AB 8 , siendo ABCD un cuadrado. A

N 2

B 2

A) 4 m . D) 6 m2.

C) /2 m2

B) 8 m . E) 3 m2.

36. Si Rr 5 R, hallar el área de la región sombreada.

B

r

R

D

A) 8 D) 15

C

A) 4 (2 3 2)

B) 8 (7 3 5)

C) 8 (6

D) 8 (7 2 2)

5)

E) 9 (7 3 5) 34. El área del cuadrado ABCD es igual a 20m2, siendo M y N puntos medios. Hallar el área del triángulo sombreado.

A

M

B) 10 E) 20

C) 12

37. En la figura mostrada calcular el área sombreada si AB AC 2 , además F y M son centros de las semicircunferencias. B

F A 60

B M

C

N A) 2

D A) 3 D) 5.5

C B) 4 E) 6

C) 5

35. Calcular el área de la región sombreada, si MN mide 4m. y AB, AN y AM son diámetros.

C) 3

3

3 3 8

B) 2

4

3 3 3

D) 4

2

2 3 3

3

2 2 7

E) 2 38. Hallar el área de la región sombreada si: m LUZ = 120°. y “U” es centro de las dos semicircunferencias. (AU = R)

L

sombreada es 10m2. (“x” e “y” son semicircunferencias)

Z

B A A) D)

R2 3 4

B)

2

R 4

E)

M

B

U 3R 2 3 16

C) R

3

8

R 3

3 4 3 D) 5

C

B) 20m2 E) 50m2

48 25 3 E) 7

B)

B) 4 E) 1

B) 75 m2 E) 12 m2

C) 30m2

43. Hallar el área del cuadrado ABCD siendo “R” el radio del semicírculo y “r” el radio del círculo.

r B

R C)

13 4

D

C

A) Rr

B) R2 r 2

D) 4Rr

E) 2(R2

44. Calcula el sombreada:

área

A

C) 2Rr

r2 ) de

la

región

B

C) 6 24

41. En una pirámide regular de base cuadrada de 10m de lado )cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a las 12 meridiano. A) 100m2 D) 25m2

A) 10m2 D) 40m2

R

40. En un cuadrado ABCD de lado 3 2 , se toma Q, en la diagonal BD, de modo que las áreas ABCQ y CQD sean iguales. Hallar DQ. A) 2 D) 3

C

x

A

B

r

A)

A

2

39. En la figura mostrada, calcular el área sombreada de la región ABC. Si r 4 y R 6.

A

y

2

C) 50 m2

42. En la figura mostrada calcular la suma de las áreas “x” e “y”. Si el área del triángulo mixtilíneo AMBC es 40m2. y el área de la lúnula

D

24

C

A) 222 2

B) 250 2

C) 267 2

D) 278 2

E) 288 2 45. En la figura mostrada se pide calcular el área sombreada, si los radios miden 6 m. y 2 m.

P y Q trisecan a BC y MN trisecan a AC) B

O1 2 O

A) 22 3 C) 30 3 40 E) 3

8 8

Q

6

B) 28 3 D) 35 4

P 9

A a) 1 m . d) 16 m2.

8

8

46. El perímetro de un trapecio es 42m. y la base menor mide 3m. Hallar el área del trapecio (en m2) si sus diagonales son bisectrices de los ángulos obtusos. A) 96 D) 102

B) 84 E) 114

B) 5/4 E) 1/2

C) 1

48. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 14m2. B 2b

a M a N a

A 2

A) 1 m . D) 4 m2.

B) 2 m2. E) 5 m2.

N 2

b) 4 m . e) 25 m2.

C c) 9 m2.

50. En la figura ABCD es un cuadrado, si AB 10 . Calcular el área de la región sombreada aproximada. A

B

D

C

C) 90

47. Calcular el área del cuadrado inscrito en un semicírculo de radio " 1m" sabiendo que uno de sus lados está sobre su diámetro A) 4/5 D) 3/2

M 2

P b C C) 3m2

49. En la figura mostrada calcular el área de la región sombreada si el área de la región triangular ABC es 70m2. (Si

A) 50.25 D) 55.02

B) 52.38 E) 56.38

C) 53.42

Parábola de la

Educación Iba un hombre caminando por el desierto cuando oyó una voz que le dijo:: “Levanta algunos guijarros, mételos en tu bolsillo y mañana te sentirás a la vez triste y contento”. Aquel hombre obedeció. Se inclinó, recogió un puñado de guijarros y se los metió en el bolsillo. A la mañana siguiente, vio que los guijarros se habían convertido en diamantes, rubíes y esmeraldas. Y se sintió feliz y triste. Feliz, por haber cogido guijarros; triste por no haber cogido más. Lo mismo ocurre con la educación W. Cunningham