Resume Rangkaian Listrik 2
Penyelesaian teori Mesh dalam ABB dan Matriks
16
RESUME RANGKAIAN LISTRIK II
Penerapan Teorema Mesh dalam Penyederhanaan Arus
Bolak – Balik serta Penyelesaian Matriks
(Minor, Kofaktordan Determinan)
Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A. (5115122623)
Cut Zarmayra Zahra (5115120353)
Fajar Muttaqin (5115122606)
Inggih Piany Syanita (5115122568)
Moh. Syamsul Nur (5115122604)
Reza Irhamsyah (5115122572)
Siti Mardiah (5115122581)
Yusup Fawzi Yahya (5115122591)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
JAKARTA
2013
Tujuan
Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis Mesh.
Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema Mesh dalam menyelesaikan soal rangkaian listrik.
Mahasiswa dapat memahami pengertian Minor dan Kofaktor serta dapat menerapkannya dalam mencari Determinan.
Mahasiswa dapat menggunakan perhitungan matriks dengan baik.
PENDAHULUAN
Suatu rangkaian yang terhubung secara seri maupun paralel yang telah kita pelajari sebelumnya merupakan contoh rangkaian yang sederhana. Pada rangkaian sederhana yang mengkombinasikan tahanan-tahanan atau sumber-sumber yang seri atau paralel dapat kita analisis dengan menggunakan prinsip pembagian arus dan tegangan sesuai hukum yang telah dipelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchoff.
Rangkaian-rangkaian sederhana tersebut merupakan suatu latihan pemahaman dalam pemecahan masalah untuk menolong kita memahami hukum-hukum dasar yang selanjutnya akan kita gunakan dalam rangkaian-rangkaian yang lebih sukar atau lebih kompleks.
Dalam menyederhanakan analisis pada rangkaian yang lebih sukar diperlukan suatu metode analisis yang lebih cocok dan mudah. Metode mesh dapat pula digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dalam arus bolak-balik
TEOREMA MESH
Pada Rangkaian Listrik I kita telah mempelajari cara menyederhanakan rangkaian dalam arus DC (searah) dengan menggunakan teorema Mesh. Kali ini kita akan mempelajari cara menyederhanakan suatu rangkaian yang berada dalam arus AC (bolak-balik).
Pada dasarnya cara perhitungannya sama dengan perhitungan teorema Mesh pada arus searah. Yang berbeda adalah, dalam penyederhanaan rangkaian arus bolak-balik, bukan hanya resistor yang menjadi tahanannya namun juga terdapat induktansi dan kapasitansi. Sehingga terlebih dahulu kita harus mencari impedansi (Z) dari tiap-tiap bagian.
Pada suatu rangkaian yang terlihat pada Gambar 1.1 dapat menggunakan analisis Mesh untuk menyelesaikannya dengan menggunakan konsep arus mesh dan Hukum Tegangan Kirchoff (Kirchoff Voltage Law/KVL).
Gambar 1.1 Rangkaian dengan analisis teorema Mesh
Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Mesh :
Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dan sumber tegangannya. Pada rangkaian tersebut didapatkan tiga impedansi yaitu Z1, Z2, dan Z3.
Z1 hanya terdiri dari induktor, sehingga impedansinya:
Z1 = 0 + j2
= +j2
Z2 hanya terdiri dari kapasitor, sehingga impedansinya:
Z2 = 0 – j1
= -j
Z3 hanya terdiri dari resistor, sehingga impedansinya:
Z3 = 4
VA = 2 00
VB = 6 00
Tentukan arah loop dan arusnya. Arah loop pada teorema Mesh sebaiknya searah jarum jam. Apabila arah arus searah dengan arah loop, maka tandanya negatif (-), namun apabila arah arus berlawanan dengan arah loop, maka tandanya positif (+)
Gambar 1.2. Menentukan arah arus, loop dan tegangan.
Tentukan arah dari masing-masing tegangan. Pada tegangan, apabila arahnya searah dengan arah loop, maka tandanya (+), namun apabila tegangan berlawanan dengan arah loop, maka tandanya negatif (-).
Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.
Gambar 1.3. Daerah loop 1
Loop 1:
ΣV=0
VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 0
2 00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 0
2 00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0
(4+j2).I1 – 4I2 = 2 00 (1)
Gambar 1.4. Daerah loop 2
Loop 2:
ΣV=0
-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0
-VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z3 = 0
-6 00 – (-j+4).I2 + I1.(4) = 0
-6 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0
4I1 – (4-j).I2 = 6 00 (2)
Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan persamaaan tersebut ke dalam matriks.
4+j2-4-44-jI1I2= 2 0-6 0
Untuk mencari I1, maka kolom pertama 4+j2-4-44-j diganti dengan 2 0-6 0 sehingga matriksnya menjadi 2 0-4-6 04-j. Kemudian dibagi dengan bentuk matriks awalnya.
I1=2+j0-4-6+j04-j4+j2-4-44-j
Ingat, j2= 1Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.
Ingat, j2= 1
I1=24-j--6-44+j24-j-16
I1=-16-j24j-j22
I1=-16-j24j+2
Lalu ubah ke bentuk polarnya.
I1=16,1 -172,874,47 63,43
I1=3,61 123,70
Untuk mencari I2, maka kolom kedua 4+j2-4-44-j diganti dengan 2 0-6 0 sehingga matriksnya menjadi 4+j22 0-4-6 0. Kemudian dibagi dengan bentuk matriks awalnya.
I2=4+j22+j0-4-6+j04+j2-4-44-j
Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.
I2=-64+j2--424+j24-j-16
I2=-16-j164j-j22
I2=22, 6 454,47 63,43
I2=5,06 -18,43
Cara Kedua
Cara kedua dalam analisis Mesh ini adalah dengan membuat daerah loop 2 satu rangkaian penuh seperti pada gambar 1. .berbeda dengan cara yang pertama yaitu daerah loop 1 dan loop 2 dibagi menjadi dua bagian yang sama.
Gambar 1.5. Cara kedua menggambarkan loop
Langkah-langkah penyelesaiannya sama dengan cara pertama dari nomor 1-3, yang berbeda adalah dalam penghitungan persamaan loop 2. Persamaan pada loop 1 sama dengan cara sebelumnya.
Loop 1:
ΣV=0
VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 0
2 00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 0
2 00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0
(4+j2).I1 – 4I2 = 2 00 (1)
Loop 2:
ΣV=0
VA - VB – I2 Z1 – I2 Z2 + I1 Z1 = 0
VA - VB – (Z1 + Z2).I2 + I1 Z1 = 0
2 00 - 6 00 – (j2 - j).I2 + I1.(j2) = 0
-6 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0
4I1 – (4-j).I2 = 6 00 (2)
Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan persamaaan tersebut ke dalam matriks. Lalu hitung I1 dan I2 nya dengan cara sama seperti cara sebelumnya.
4+j2-4-44-jI1I2= 2 0-6 0
Contoh Soal 2:
Perhatikan gambar rangkaian di bawah ini.
Gambar 1.6. Contoh soal rangkaian analisis Mesh
Tentukanlah berapa besar I1 dan I2 pada rangkaian tersebut!
Jawab:
Langkah-langkahnya adalah:
Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dan sumber tegangannya.
Z1 = 1 + j2
Z2 = 4 – j8
Z3 = j6
VA = 8 200
VB = 10 00
Tentukan arah loop, arus dan tegangannya.
Gambar 1.7. Arah loop, arus dan tegangan pada analisis Mesh
Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.
Loop 1:
ΣV=0
VA + VB – I1 . Z1 – I1 . Z2 + I2 . Z2 = 0
VA + VB – I1(Z1 + Z2) + I2 . Z2 = 0
8 200 + 10 00 - (5-j6).I1 + (4-j8) I2 = 0
(5-j6).I1 - (4-j8) I2 = 8 200 + 10 00 (1)
Loop 2:
ΣV=0
-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z2 = 0
- VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z2 = 0
(4-j2).I2 - I1.(4-j8) = – 10 00 (2)
Masukkan ke dalam persamaan matriks:
5-j6- (4-j8) 4-j84-j2I1I2= 8 200 + 10 00 – 10 00
Mencari I1:
I1=8 200 + 10 00- (4-j8) – 10 004-j25-j6- (4-j8) 4-j84-j2
Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.
I1=42-j69,2056+j30
I1=80,95 - 58,7463,53 28,18
I1=1,27 -86,92
PENYEDERHANAAN DENGAN DETERMINAN MATRIKS
Matriks adalah suatu susunan dari banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n dan dinotasikan sebagai A = (aij)mxn; I = 1,…,m; dan j = 1,…,n serta aij adalah elemen dari matriks A pada baris ke-I kolom ke-j.
Gambar 3.1. Matriks A
Minor dan Kofaktor
Minor aij yang dinyatakan dengan Mij adalah determinan submatriks setelah baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan dari [A].
Contoh :
Minor dari a13 adalah M13, baris pertama dan kolom ketiga dihilangkan sehingga
M13 = a1.1a1.2a1.3a2.1a2.2a2.3a3.1a3.2a3.3= a2.1a2.2a3.1a3.2
Kofaktor
Kofaktor entri aij dinyatakan oleh cij adalah bilangan (-1)i+j . Mij , dimana Mij adalah minor dari aij. Pangkat dari kofaktor adalah penjumlahan dari posisi baris (i) dan kolom (j) satu elemen dalam sebuah matriks. Apabila besar pangkatnya ganjil, maka minornya bernilai negatif (-). Apabila besar pangkatnya genap, maka minornya bernilai positif (+). Kofaktor dilambangkan dengan Δ.
Contoh :
Δ23 = (-1)2+3 . M23 = - M23 , karena 2+3 = 5 (ganjil) maka minornya negatif.
Δ31 = (-1)3+1 . M31 = + M31 , karena 3+1 = 4 (genap) maka minornya positif.
Determinan
Determinan dapat disimbolkan dengan detA , A atau A. Untuk mencari determinan orde tinggi bisa dengan menggunakan kofaktor minor dari matriks.
Contoh :
B = 032-10-1243
Tentukan determinan dari matriks B!
Jawab :
Langkah-langkahnya adalah:
Tentukan baris atau kolom mana yang akan menjadi acuan kofaktor minornya.
B = 032-10-1243
Hitung jumlah kofaktor minor dari baris kedua.
B = a21 . 21 + a22 . 22 + a23 . 23
= a21 . (-1)2+1 . M21 + a22 . (-1)2+2 . M22 + a23 . (-1)2+3 . M23
= - a21 . M21 + a22 . M22 - a23 . M23
= - (-1) 3243 + 0 0223 - (-1) 0324
= (1) . (3.3- 2.4) + 1 . (0.4 – 3.2)
= 1 - 6
-= -5
-
Cara lain mencari determinan adalah dengan menambahkan dua kolom pertama pada matriks tersebut disebelah kanan, kemudian mengalikannya secara diagonal.
Contoh :
B = 032-10-1243
Tentukan determinan dari matriks B!
Jawab :
Langkah-langkahnya adalah:
Tambahkan dua kolom yang sama di sebelah kanan matriks.
+-+-+-Det B= 032-10-124302-1024
+-
+-
+-
Hitung determinan dengan mengalikan entri secara diagonal.
0.0.3 + 3.(-1).2 + 2.(-1).4 – 2.0.2 – 0.(-1).4 – 3.(-1).3
= -14 + 9
= -5
Hasilnya sama dengan cara pertama yaitu -5.
SOAL DAN JAWABAN
Tentukanlah I1 dan I2pada rangkaian tersebut!
Jawab :
Diketahui :
VA = 4V VB = 2V
Z1 = 2 Z2 = 1 + j0 Z3 = -j
Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya
Persamaan loop
Loop 1
V = 0
VA – I1 ZI – I1 Z3 + I2 Z3 = 0
VA – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0
I1(Z1 + Z3) – I2 Z3 = VA
(2-j) I1 – (-j) I2 = 4 0............ (1)
Loop 2
V = 0
-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0
-VB – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0
I1 Z3 – I2(Z2 + Z3) = VB
(-j) I1 – (1+j) I2 = 2 0........... (2)
2-jjj1+jI1I2=4 0-2 0
I1 = 4+j0j-2+j01+j2-jjj1+j
I1 = 41+j-(-2)(j)2-j1+j-(j)(j)
I1 = 4+j4+j22+j-j2-j2
I1 = 4+j62+j-2j2
I1 = 4+j64+j
I1 = 7,2 56,304,1 14,03
I1 = 1,75 42,27
I2 = 2-j4+j0j-2+j02-jjj1+j
I2 = -22-j-(4)(j)2-j1+j-(j)(j)
I2 = -4+j2-j42+j-j2-j2
I2 = -4-j22+j-2j2
I2 = -4-j24+j
I2 = 4,5 26,564,1 14,03
I2 = 0,4 12,53
Tentukanlah I1 pada rangkaian tersebut!
Jawab :
Diketahui :
V1 = 6 10 V2 = 8 20
Z1 = 1 + j Z2 = 2 - j4 Z2 = j3
Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya
Persamaan loop
Loop 1
V = 0
V1 – I1 ZI – I1 Z3+ I2 Z3 = 0
V1 – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0
I1 (Z1 + Z3) - I2 Z3 = V1
(1+j4) I1- (j3) I2 = 6 10 .......... (1)
Loop 1
V = 0
V2 – I2 Z3 – I2 Z2+ I1 Z3 = 0
V2 – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0
I1 Z3- I2 (Z2 + Z3) = -V1
(j3) I1+ (2-j) I2 = -8 20 ........... (2)
1+j4-j3j32-jI1I2=6 10-8 20
I1 = 6+j-j3-7,5-j2,82-j1+j4-j3j32-j
I1 = 6+j2-j-(-7,5-j2,8)(-j3)1+j42-j-(j3)(-j3)
I1 = (12-j4-j2)-(j22,5+8,4j2)2+j7-4j2--9j2
I1 = 7,4j2-j26,5+125j2+j7+2
I1 = 4,6-j26,5j7-3
I1 = 26,9 -80,157,6 -66,8
I1 = 26,9 279,857,6 293,2
I1 = 3,54 -13,35
I1 = 3,54 373,35
Tentukan M13 dari satu matriks A33 dengan elemen a11 = 4; a12 = 3; a13 = -1; a21 = 0;
a22 = 4; a23 = 1; a31 = -2; a32 = 0; dan a33 = 2 !
Jawab :
A=43-1041-202 M13 = 04-20
Tentukan kofaktor dari soal nomor 1 !
Jawab :
13=(-1)1+3M13 13=+ M13
Tentukan determinan dari soal nomor 1 !
Jawab :
A=a11. 11+a12. 12+a13. 13
A=a11.(-1)1+1M11+a12.(-1)1+2M12+a13.(-1)1+3M13
A=4 4102-3 01-22-1 04-20
A=48-32-18
A=18
DAFTAR PUSTAKA
Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta: Erlangga.
Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda
[Type the company name]
[Type the document title]
