Resume Rangkaian Listrik 2
Penyelesaian teori Node-Voltage dan Superposisi dalam ABB
27
RESUME RANGKAIAN LISTRIK II
Penerapan Teorema Node-Voltage dan Superposisi dalam Penyederhanaan Arus Bolak – Balik
Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A. (5115122623)
Cut Zarmayra Zahra (5115120353)
Fajar Muttaqin (5115122606)
Inggih Piany Syanita (5115122568)
Moh. Syamsul Nur (5115122604)
Reza Irhamsyah (5115122572)
Siti Mardiah (5115122581)
Yusup Fawzi Yahya (5115122591)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
JAKARTA
2013
Tujuan
Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis Node Voltage;
Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema Node Voltage dalam menyelesaikan soal rangkaian listrik.
Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis Superposisi;
Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema Node Voltage dalam menyelesaikan soal rangkaian listrik.
.
PENDAHULUAN
Pada pertemuan sebelumnya telah di jelaskan tentang penyelesaian persamaan rangkaian arus bolak balik dengan menggunakan teorema arus mesh, yaitu dengan cara menggunakan loop untuk menentukan arah arusnya.
Pada kali ini kita akan menyelesaikan persamaan rangkaian arus bolak balik dengan menggunakan teorema node voltage dan teorema superposisi. Masih sama dengan teorema arus mesh dengan tetap menggunakan hukum Kirchoff Current Law dan juga masih sama pula dengan menggunakan bilangan polar atau kompleks dalam penyelesaiannya.
Tetapi ada perbedaan dalam menyelesaikan teorema node voltage yaitu dengan menggunakan simpul dan pada teorema superposisi dengan menggunakan salah satu sumber di short dan salah satu di hubung terbuka.
Untuk memperdalam lagi teorema tersebut, maka penulis akan mempersembahkan Teorema Node Voltage dan Teorema Superposisi dengan menggunakan bahasa yang mudah dimengerti, disertai contoh soal dan pembahasan
TEOREMA NODE VOLTAGE
Untuk mengingatkan kembali tentang teorema Node-Voltage pada Rangkaian Listrik I, Dalam menganalisis teorema node berprinsip pada Hukum Arus Kirchoff (Kirchoff Current Law/KCL) yaitu Jumlah aljabar semua arus yang memasuki sebuah simpul adalah nol. Analisis node lebih mudah jika pencatunya adalah sumber arus dimana tegangan pada setiap node belum diketahui.
Dalam menganalisis teorema node voltage pada rangkaian arus bolak-balik, langkah pertama adalah menentukan impedansi dari rangkaian tersebut. salah satu simpul node yang dijadikan sebagai simpul referensi yang selanjutnya akan mendefinisikan tegangan diantara setiap simpul lain dengan simpul referensi. Perlu diketahui bahwa sebuah rangkaian yang bersimpul N memiliki (N-1) tegangan yang tak diketahui dan (N-1) persamaan untuk dapat disederhanakan.
Pada suatu rangkaian yang terlihat pada Gambar 1.1 dapat menggunakan analisis Node Voltage.
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan analisis Node Voltage adalah:
Tentukan impedansi dari rangkaian.
Tentukan tegangan titik simpul (node).
Tegangan titik simpul (simpul acuan) merupakan titik – titik pada suatu rangkaian dimana ujung – ujung dua elemen atau lebih yang saling bertemu.
Tentukan arah arus pada rangkaian tersebut.
Tentukan persamaan arus.
Penentuan besarnya suatu arus berprinsip pada Hukum Kirchoff / KCL, dimana jumlah arus yang masuk dan keluar dari titik percabangan akan sama dengan nol.
I = 0
I1+I2-I3=0
I1=VA-VNZ1 . . . . . . . . .(1)I2=VB-VNZ2. . . . . . . . .(2)I3=VNZ3. . . . . . . . .(3)
I1=VA-VNZ1 . . . . . . . . .(1)
I2=VB-VNZ2. . . . . . . . .(2)
I3=VNZ3. . . . . . . . .(3)
INGAT !Arus yang menuju node bernilai positif, dan arus yang meninggalkan node bernilai negative
INGAT !
Arus yang menuju node bernilai positif, dan arus yang meninggalkan node bernilai negative
Hitung VN-nya.
Contoh soal :
Tentukan besar VN dari rangkaian tersebut!
Jawab:
Langkah-langkahnya adalah:
Tentukan impedansi dari rangkaian tersebut.
Z1 = +j2
Z2 = -j
Z3 = 4
Tentukan titik nodenya dan tentukan arah arusnya.
Tentukan besar arus (persamaannya). Ingat hukum Kirchoff. Arus yang mendekati node bernilai positif dan yang meninggalkan node bernilai negatif, sehingga :
I = 0
I1+I2-I3=0
Setelah menentukan persamaannya, hitung VNnya:
I1+I2-I3=0
VA-VNZ1+VB-VNZ2-VNZ3=0
2 0-VN+j2+6 0-VN-j-VN4=0
8-4.VN-48+8.VN-j2.VN+j8=0
-40+4.VN-j2.VN=0
-40+4-j2VN=0
VN=404-j2=40 04,5 -26,5=8,89 26,5
Contoh rangkaian dengan dua Node :
Tentukanlah VN1 danVN2 ?
Jawab :
Langkah-langkahnya adalah :
Tentukan impedansi dari rangkaian tersebut.
I1 = 6 0o
I1 = 4 0o
Z1 = 4
Z2 = j5
Z3 = -j2
Karena menghitung dengan pecahan risiko membuat kesalahannya lebih besar, maka digunakan admitansi. Admitansi disimbolkan dengan dengan Y.
Y merupakan kebalikan dari impedansi (Z) yang disebut admitansi. Admitansi satuannya adalah mho ( ).Y1=1Z1 Y2=1Z2 Y3=1Z3
Y merupakan kebalikan dari impedansi (Z) yang disebut admitansi. Admitansi satuannya adalah mho ( ).
Y1=1Z1
Y2=1Z2
Y3=1Z3
Maka,
Y1=1Z1=14=0,25
Y2=1Z2=1j5=1 05 90=150-90=0,2 -90
Y3=1Z3=1-2j=0,5 90
Tentukan titik node dan arah arusnya.
Tentukan persamaan arusnya. (diasumsikan VN1 > VN2 )
Patokan pada VN1
I = 0
-I1-VN1Z1- (VN1- VN2)Z2 =0
-I1-VN1Z1- VN1Z2+VN2Z2 =0
-I1-VN1. Y1- VN1. Y2+VN2. Y2 =0
VN1Y1+Y2-VN2Y2=-I1
Patokan pada VN2
I = 0
I2-VN2Z3- (VN1- VN2)Z2 =0
I2-VN2Z3- VN1Z2+VN2Z2 =0
I2-VN2. Y3- VN1. Y2+VN2. Y2 =0
V1Y1+Y2-V2Y2=-I1
VN2Y3+Y2-VN1Y2=+I2
Hitung besar VN-nya.
VN1Y1+Y2-VN2Y2=-I1
VN2Y3+Y2-VN1Y2=+I2
Atau
VN1Y1+Y2-V2Y2=-I1
-VN1Y2+V2Y3+Y2=+I2
Maka
VN1=-I1-Y2+I2Y3+Y2Y1+Y2-Y2-Y2Y3+Y2
VN1=-6 0-0,2 904 00,5 90+0,2 -900,25+0,2 -90-0,2 -90-0,2 -900,5 90+0,2 -90
VN1=-6 00,5 90+0,2 -90-4 0-0,2 900,25-0,2j-0,2j+0,5j--0,2j2
VN1=-3 90-1,2 -90+0,8 -900,25-0,2j0,3j-0,04j2
VN1=-3j+1,2j-0,8j0,75j-0,06j2-0,04j2
VN1=-2,6j0,75j-0,1j2 = 20,80 -126,870
VN2 = Y1+ Y2- I1- Y2I2Y1+ Y2- Y2- Y2Y2+ Y3
= I2Y1+ Y2- Y2I1 Y1+ Y2Y2+ Y3- Y22
= I2Y1+ Y2- Y2I1 Y1 Y2+Y1 Y3+Y2 Y3+ Y22- Y22
= I2Y1+ Y2- Y2I1 Y1 Y2+Y1 Y3+Y2 Y3
= 4 014+15j-15j(-6 0)14x15j+14x1-2j+1-2jx15j
= 4 0 0.25+0.2j-0.2j (-6 0)0.25x0.2j+0.25x-0.5j+-0.5jx0.2j
= 4 0 0.25+0.2j-0.2j-6 00.5j+0.125j+-0.1j
= 6 0 0.15 38.66-(0.2 90) 4 0-0.05j+0.125j+0.1
= 0.9 38.66-(0.8 90) -0.075j+0.1
= 0.702 + j0.558+(0.8j) -0.075j+0.1
= 0.702+1.358j -0.075j+0.1
= 1.53 62.6 0.125 36,86
= 12.24 25.74˚
Tentukan besar VN1 dan VN2 !
Jawab :
Langkah-langkahnya adalah :
Tentukan impedansi dari rangkaian tersebut.
I1 = 6 0o
I1 = 4 0o
Z1 = 4
Z2 = j5
Z3 = -j2
Karena pada sumber satu masih berbentuk tegangan, ubah ke bentuk arus. Dengan demikian impedansi Z1 berubah menjadi paralel.
Tentukan titik node dan arah arusnya.
Tentukan persamaan arusnya.
Patokan pada VN1
I = 0
I1-VN1Z1-VN1Z2- (VN1- VN2)Z3 =0
I1-VN1Z1- VN1Z2- VN1Z3+VN2Z3 =0
I1-VN1. Y1- VN1. Y2- VN1. Y3+VN2. Y3 =0
VN1Y1+Y2-VN2Y2=-I1
Patokan pada VN2
I = 0
I2-VN2Z3- (VN1- VN2)Z2 =0
I2-VN2Z3- VN1Z2+VN2Z2 =0
I2-VN2. Y3- VN1. Y2+VN2. Y2 =0
V1Y1+Y2-V2Y2=-I1
VN2Y3+Y2-VN1Y2=+I2
Hitung besar VN .
VN1 I = 0
I2 -VN1Z1-VN1Z2- VN1 – VN2Z3 = 0
I2 - VN1 (Y1) – VN1 (Y2) –Y3 (VN1 – VN2) = 0
VN1Y1 + VN1 Y2 - VN1Y3 + VN2 Y3 = I2
VN1 (Y1 + Y2 + Y3) - VN2Y3 = I2..........(1)
VN2 I = 0
I1 + VN2Z4- VN1 – VN2Z3 = 0
I1 + VN2 (Y4) –Y3 (VN1 – VN2) = 0
I2+VN2Y4 -VN1 Y3 + VN2 Y3 =
VN2 (Y3 + Y4) - VN1Y3 = I1..........(2)
mensubtitusikan kedua persamaan di atas untuk mendapatkan besarnya VN1 dan VN2. caranya yaitu dengan subtitusi matriks.
VN1 (Y1 + Y2 + Y3) - VN2Y3 = I2..........(1)
VN2 (Y3 + Y4) - VN1Y3 = I1..........(2)
Y1+ Y2+Y3 -Y3- Y3Y3+ Y4 VN1VN2 = I2I2
VN1 = I2- Y3I1Y4+ Y3Y1+ Y2+Y3 -Y3- Y3Y3+ Y4
= I2Y4+ Y3- Y3I1 Y1+ Y2+Y3Y3+ Y4- Y32
= I2Y3+I2Y4- Y3I1 Y1 Y4+Y1 Y3+Y2 Y3+Y2 Y4+Y4 Y3+Y32- Y32
= I2Y3+I2Y4- Y3I1Y1 Y4+Y1 Y3+Y2 Y3+Y2 Y4+Y4 Y3
= I2Y4+ Y3- Y3I1 Y1 Y4+Y1 Y3+Y2 Y3+Y2 Y4+Y4 Y3
= 10 2018+1-10j-1-10j 10 2017+8jx18+17+8jx1-10j+14+5jx1-10j+14+5jx18+1-10jx18
= 10 2018+1-10j-1-10j 10 20156+64j+1-70j+80+1-40j+50+132+40j+1-80j
= 10 200.125+0.1j-0.1j x 10 2056-64j7232+70j+8011300+40j+504100+32-40j2624+0.0125j
= 10 200.16 38.65-(0.1 90)) 10 205.1584x1013+1.099x10138.792x1014
=1.6 58.65- 1 1107.615 47.3687.92 0
=1.36j+0.832+0.34-j0.940.0866 47.36 = 0.42j+1.1630.0866 47.36 = 1.2365 19.85 0.0866 47.36 = 1.428 -27.51
Y1+ Y2+Y3 -Y3- Y3Y3+ Y4 VN1VN2 = I2I2
VN2 = Y1+ Y2+Y3I2- Y3I1Y1+ Y2+Y3 -Y3- Y3Y3+ Y4
= I1Y1+ Y2+Y3+ Y3I2 Y1+ Y2+Y3Y3+ Y4- Y32
= I1Y1+ Y2+Y3+ Y3I2 Y1 Y4+Y1 Y3+Y2 Y3+Y2 Y4+Y4 Y3+Y32- Y32
= I1Y1+ Y2+Y3+ Y3I2Y1 Y4+Y1 Y3+Y2 Y3+Y2 Y4+Y4 Y3
= 10 2017+8j+14+5j+1-10j+1-10j 10 2017+8jx18+17+8jx1-10j+14+5jx1-10j+14+5jx18+1-10jx18
= 10 207-8j49+64+4+5j16+25+0.1j+0.1j x 10 20156+64j+1-70j+80+1-40j+50+132+40j+1-80j
= 10 207-8j113+4-5j41+0.1j+0.1j x 10 2056-64j7232+70j+8011300+40j+504100+32-40j2624+0.0125j
=10 20739-429.7j4633+0.1j x 10 2056-64j7232+70j+8011300+40j+504100+32-40j2624+0.0125j
= 10 20601.23 -30.114633 0-(0.1 90) 10 205.1584x1013+1.099x10138.792x1014
=10 20-4031.77 -30.11-(0.1 90) 10 205.1584x1013+1.099x10138.792x1014
=40317.7 10.11 - 1 1107.615 47.3687.92 0
= 39511.346+j7055,6+0.34-j0.947.615 47.3687.92 0 = 7054.66j+39511.7040.0866 47.36 = 40136.55 10.123 0.0866 47.36 = 463.470 -37.23
TEOREMA SUPERPOSISI
Seperti teorema node voltage, teorema superposisi juga pernah dibahas sebelumnya pada Rangkaian Listrik 1 di semester 2. Teorema superposisi hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier. Teorema superposisi berpatokan dengan satu sumber dan sumber yang lainnya dapat dihubung singkat. Seperti pada pembahasan teorema sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu impedansi daari rangkaian.
Beberapa langkah penyelesaian superposisi:
tentukan patokan satu sumber
tentukan arah arus
menghitung besar arus pada masing – masing beban
Seperti pada gambar rangkaian di bawah ini, penyelesaiannya dapat dengan menggunakan analisis Superposisi.
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah:
1. Buat VA sebagai patokan, maka VB di short. Kemudian tentukan arah arus dari rangkaian tersebut.
2. Kemudian hitung besar arus pada masing-masing beban.
ZG1 = Z1 + Z2Z3Z2+ Z3
I1' = VAZG1
I2' = Z3Z2+ Z3 . I1'
I3' = Z2Z2+ Z3 . I1'
Setelah itu, ubah patokan sumbernya pada VB, maka VA, di short.
Kemudian hitung besar arus pada masing-masing beban.
ZG1 = Z2 + Z1Z3Z1+ Z3
I1" = Z3Z1+ Z3 . I2''
I2'' = VBZG2
I3'' = Z1Z1+ Z2 . I2''
Besar arus yang mengalir tiap cabang.
Jika I1' arusnya berlawanan arah dengan I1'' , maka I1 = I1' – I1" , begitu pula dengan I2.
Jika I1' arusnya searah dengan I1'' , maka I1 = I1' + I1" , begitu pula dengan I2
Contoh soal :
Tentukan besar arus yang melewati R=6 Ω.
Jawab :
Langkah-langkahnya adalah :
Ubah rangkaian dalam bentuk impedansi, seperti pada gambar dibawah ini :
Diketahui : V1 = 20 30 ; XL = 6 Ω ; R = 6 Ω ; I2 = 2 0 ; Xc = 8 Ω
Patokan dalam sumber arus (I) sedangkan sumber tegangan dihubung singkat (short)
Kemudian hitung besar arus pada beban.
I'=Z1 . I2Z1+Z2
I'=j6 . 2j6+6-j8
I'=j126-j2=12 906,32 -18,43=1,9 108,43°
Patokan pada sumber tegangan (V) sedangkan sumber arus dihubung singkat.
Kemudian hitung besar arus pada beban.
I"=V1Z1+Z2
I"=20 306,32 -18,43
I"=3,16 48,43°
Karena arus I' dan I'' searah, jadi total arus yang melewati resistor:
I=I'+I"
=1,9 108,43+3,16 48,43
=-0,6+j1,8+2,10+j2,32
=1,5+j4,16
=4,42 70,2°
SOAL DAN JAWABAN
Untuk mempermudah perhitungan dalam teori Node Voltage, kesepakatan dalam menentukan nilai arus adalah …
Arus yang menuju titik Node bernilai positif
Arus yang menjauhi titik Node bernilai positif
Arus yang menuju titik Node bernilai Negatif
Arus yang menjauhi titik Node bernilai Negatif
A dan D benar.
Jawab : E
Yang membedakan teorema Superposisi dengan teorena lainnya adalah …
Arus yang mengalir pada rangkaian dianggap positif
Arus yang mendekati titik simpul dianggap positif
Arus yang menjauhi titik simpul dianggap positif
Jika ada 2 sumber, maka untuk mempermudah perhitungan dibuat 2 persamaan dengan berpatokan pada satu sumber di masing – masing persamaanny
Jawab : D
Tentukan VN dari gambar di atas !
Jawab :
Dik : VA = 2 0 = 2 + J0 Z1 = J3 Z3 = 2
VB = 4 0 = 4 + J0 Z2 = -J
Tentukan arah arus dan titik Nodenya
Tentukan besar arus
I1 + I2 – I3 = 0
VN nya didapat
VA-VNZ1+VB-VNZ2- VNZ3=0
2 0-VNJ3+4 0-VN-J- VN2=0
4-2 VN-24-6VN-J3VNJ6 =0
-20+4-J3VN=0
VN=204-J3=20 05 -36,7
VN=4 36,7
Tentukan I1, I2, I3 pada gambar nomor 2!
I1=VA-VNZ1=2 0-4 36,7J3
I1=2+J0-3,2+J2,4J3
=1,2-J2,4J3=2,7 -63,43 90=0,9 -153,4
I2=VB-VNZ2=4 0-4 36,7-J
=4+J0-3,2+J2,4-J
=0,8-J2,4-J=2,5 -71,61 -90=2,5 -18,4
I3=VNZ3=4 36,72=2 36,7
Tentukan Ii pada rangkaian di atas!
Dik : V1 = 10 90 = 0 + J10 Z1 = J4
I2 = 4 0 = 4 + J0 Z2 = 4 – J6
Ubah rangkaian dalam bentuk impedansi
Patokan pada sumber arus, sumber tegangan di short
Ii=Z1Z1+Z2 x I2
=J44-J6+J4 ×4 0
=4 904-J2 ×4 0
=4 904,5 -26,6 ×4 0
=0,89 116,6 ×4 0
=3,56 116,6
Tentukan Iii pada gambar no 3 !
Patokan sumber tegangan, sumber arus di short!
Iii=V1Z1=10 904-J2=10 904,5 -26,6
=2,23 116,6
DAFTAR PUSTAKA
Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta: Erlangga.
Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda
[Type the company name]
[Type the document title]
