Momento de Inercia de Figuras CompuestasDescripción completa
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Descripción: Fis
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS ESCUELA PROFESIONAL ING.CIVIL
Estática TEMA: “Radio de giro de una área, teorema de Steiner, momento de áreas compuestas y producto de inercia” DOCENTE:
Lic. Abraham Huaman Cusihuaman
INTEGRANTES:
FERDINAN CCORIMANYA APAZA
CUSCO- PERU 2013
2012153169
RADIO DE GIRO DE UN ÁREA En ingeniería estructural, el radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma. Radio de giro de área El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área: Supongase el área A de la superficie que tiene un momento de inercia Ix, con respecto del eje x Imagínese que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje x, de espesor despreciable, situada a una distancia Kx del eje X, de tal manera que el producto A = al momento de inercia de A con respecto a X. →
√ se llama RADIO DE GIRO del área A con respecto al eje x.
→
√ se llama RADIO DE GIRO del área A con respecto al eje y.
En la figura se define los radios de giro kx, ky y ko (figura b, c y d); así:
Relación entre los radios de giro. Se tiene:
√
→
=
=
=
+
→
=
+
Problema: Hallar los radios de giro de un semicírculo de radio a, ubicado como muestra la figura:
Solución: √
Si:
)
Si: dA=(
∫
∫
(
)
Ecuación de la circunferencia
+
=
→ X=√ √
∫
La integral es:∫
√
=[
⁄
(
)
=
rpta.
√
]
=
→= Luego:
* ( )+ = 2* √ =√
=√
+= =√
TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE EJES PARALELOS
“El momento de inercia de A con respecto a un eje arbitrario x, es igual al momento de inercia de A respecto a un eje // al lado y que pasa por el C.G. de , más el área por la distancia entre ejes al cuadrado” Análogamente:
= ̅ = ̅ +
√ ;I=
Radio de giro de A respecto al eje //: = ̅+
A = ̅ A+
=̅
A
+
Determinar el momento de inercia A de un semicirculo de radio a, respecto al eje A A„ mostrado en la figura
Solución: Según el teorema de Steiner: = ̅
(
= ̅
) ………… (1) ……………….. (2) De (2) ̅ = ̅
De (1)
(
) =(
(
)
)
= = (
=
)
Del anterior problema:
=
A=
De un problema anterior: [
*
]
+ rpta.
MOMENTO DE INERCIA DE AREAS COMPUESTAS El Momento de inercia de un área compuesta por las áreas
,
….,
,
con respecto a un eje es igual a la suma de los momentos de inercia de las áreas o partes componentes respecto al mismo eje. • Un área compuesta consiste de una serie de partes simples conectadas Procedimiento de análisis • Dividir el área en partes y localizar el centroide de cada parte respecto al eje de referencia dado por el Teorema del eje paralelo • Determinar el momento de inercia de cada parte respecto a sus ejes centroidales •
( )
(
)+
(
)….. +
(
) →
( )
∑
( )
•
Si
Ejemplo hallar
para el área mostrada en la siguiente figura.
Solución:
( )
( )
(
) ( )
(
+
( )
)
( )
+
( )
PRODUCTO DE INERCIA En los estudios de movimientos de cuerpos rígidos aparecen, a veces, expresiones en las que intervienen el producto del área de un pequeño elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Se trata de del producto de inercia del elemento. El producto de inercia del área “A” respecto a los ejes X˄Y está definido por: ∫
Dónde:
o
son siempre positivos pero
puede ser positivo o negativo.
Cuando uno de los ejes o ambos son de simetría: Teorema de STEINER para productos de inercia:
= ̅
El producto de inercia de un área compuesto = suma producto de inercia de las áreas componentes:
( )
∑
( )
∑
Dónde: A
Ejemplo: calcular el producto de inercia Ixy de la figura:
