Final PyE 2015

Universidad Distrital francisco José de Caldas

Probabilidad y Estadística Sergio David Moya Hilarión- [email protected] 20112007098 variab variable le ale aleato atoria ria propo proporc rcion iona a un medio medio matem)tic matem)tico o para rel relacio acionar nar 1. Intr Introd odc cci ción ón cualquier resultado con una medida cuantitativa. Los Los exper experime imento ntoss se concib conciben en de maner anera a que que los los res esu ulta ltados dos del del espacio muestral son de tipo cualitati cualitativos vos o cuantitat cuantitativos ivos.. Es por ello que las distribuciones de probabilidad indica toda la ama de valores que pueden resultar de un exper perimen imento to.. !in em emba barro las las dist distri ribu buci cion ones es de prob probab abil ilid idad ad"" constituye una #erramienta fundamental para la prospectiva de even evento toss" pues esto to que se puede ede dise$ar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fen%menos que afecten el experimento. &ea ealm lmen ente te las las dist distri ribu buci cion ones es de probabilidad describen los fen% fen%me meno noss alea aleato tori rios os de la vida vida real" como por e'emplo la e(cacia de un nuevo f)rmaco en los paci pacien ente tess que que lo usar usaron" on" o los productos que pueden ser defe defect ctuo uoso soss o no defe defect ctuo uoso soss en una línea de producci%n. Por ello la

2. !" !"#e #eti tivo vo$ $ Objetivo General

 *denti(car la variable discreta y contin continua" ua" asoci)nd asoci)ndola ola con los los res espe pect ctiv ivos os prob proble lema mass propuestos.

Objetivos Específcos

 Estim timar la la es esp peran eran+a +a y varian varian+a +a ma matem tem)ti )tica ca de la respectiva variable discreta o continua.  De(nir y veri(car su f.m.p" y f.d.a.  Describir las diferentes características de las variables y calcular las probabilidades de los e'ercicios propuestos.  Establecer las propiedades de la funci%n de distribuci%n de

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proba probabil bilida idad d acumu acumulad lada a de una variable aleatoria discreta y continua.

Los Los pasos pasos siui siuient entes es se aseme aseme'an 'an estrec#amente a los de la secci%n anterior. anterior. !eleccionemos !eleccionemos valores ('os para ara r y" y" y cons onsider iderem emos os los los eventos < y =" donde < 7 >los primeros 6y 5?; intentos contienen 6r 5 ?; éxitos@

%. &aria"l aria"le$ e$ aleator aleatoria$ ia$.. %.1. 'inomial (egativa ,!ea un escenario binomial en que se observa una secuencia de ensayos independientesla pro probab babilida lidad d de éxito xito en ca cad da ensayo ensayo es constant constante e e iual a p. En luar de ('ar el nmero de ensayos en n y observar el nmero de éxitos" sup% sup%n nas ase e que que se cont contin ina an n los los ensa ensayo yoss #ast #asta a que que #an #an ocur ocurri rido do exactamente r éxitos. En este caso" la variable aleatoria es el nmero de ensayos necesarios para observar r éxitos/. De nuevo nos concentramos concentramos en intentos independientes e idént idéntico icos" s" cada cada uno uno de los cuales cuales conduce a uno de dos resultados0 éxito o fracaso. La probabilidad p de éxito ito siu iue siend endo iua ual de un inten ntento to a otr otro. La distrib tribuc uci% i%n n mane ane'a el caso aso donde es esttam amo os interesados en el nmero de intento en el que que ocur ocurrre el prim primer er éxit éxito. o. 12ué pasa si estamos estamos interes interesados ados en conocer el nmero de intento en el que que oc ocur urrre el éxit éxito o se seu und ndo" o" tercero o cuarto3 La distribuci%n que se aplica a la variable aleatoria 4 iua iuall al nme nmerro del del inte intent nto o en el

4 = 7 >el >el inten tento y res esu ulta en un éxito@. Como suponemos que los intentos son independientes" se deduce que < y = son eventos independientes y las supos suposici icione oness previ previas as implic implican an que P6=; 7 p. Por tanto" p6y; 7 p64 7 y; 7 P6< A=; 7 P6<; B P6=;. bserve que P6<; es  si 6y 5?;  6r 5 ?; o" de iual manera" si y  r. !i y F r" implica que la distribuci%n de probabilidad es0

{

( )

y −1 p r (1 − p ) y −r y =r , r + 1, r + 2 .. , p ( y )= r −1 ¿ 0 ≤ p≤ p≤ 1 0 enotr en otro o valor valor

!ea !ea xGr" xGr" el nme nmerro de ensa ensayo yoss inde indepe pend ndie ient ntes es nece necesa sari rios os para para alcan+ar" de manera exacta"rHéxitos en un experimento binomial donde la prob probab abil ilid idad ad de éxit éxito o en ca cada da ensayo es p. !e dice entonces que x es una una variab variable le binom binomial ial neati neativo vo con funci%n de probabilidad









{

(

)

r + y −1 p r ( 1 − p )r y =0,1,2 … r −1 p ( n;r, p )= r =1,2 … 0≤ p≤ 1 0 enotrovalor

∞

E [ Y ( Y − 1)]=

∑ y ( y −1 ) q − p y 1

Y

∞

E [ Y ( Y −1)]= qp

∑ y ( y − 1) q −

y 2

Y

%.1.2. )$*eran+a

eniendo eniendo en cuenta cuenta que 2

d [ q y ]= y ( y −1 ) q y −2 2 dq ∞

E [ Y ( Y −1)]= qp

∑ Y

q

2

d [ q y ] 7 2 dq

y

∞

∑¿ Y

¿ 2

d qp ¿ 2 dq

E [ Y ( Y −1)]= )] =

2q

Ii ?. Demostraci%n matem)tica de la esperan+a de la distribuci%n distribuci%n binomial neativa 2

( Y −1 )]+ )] + E [ Y ] E [ Y ]= E [Y (

1

E ( Y )= P

2

Ec ?0 Esperan+a de la distribuci%n binomial neativa

E [ Y ]=

2q

1

2 q + p

p

p

p

+ = 2

2

V [ [ Y ] ]= E [Y ] − E [ Y ] ]

2

2

%.1.%. &arian+a 2 2 !i V [ Y ]= E [ Y ]− E [ Y ]

2

p

y V [ Y ]=

2 q + p

1

=

2 ( 1− p ) + p −1

=

1− p









V ( ( Y ) ) =

1 − p

p

2

Ec 80 Karian+a de la distribuci%n binomial neativa %.1.,. )#em*lo$ En la serie de campeonatos de la =<" el equipo que ane : de M 'ueos ser) el anador. anador. !upona que los equipos < y b se enfrentan en los 'ueos de campeonato campeonato y que el equipo < tiene una probabilidad de .NN .NN de ana anarl rle e al equi equipo po =.

[ 1] 1Cu)l es la probabilidad de que el equipo < ane la serue de O 'ueos3

bomba. !upona que lleva ? minutos probar una bomba que est) en buenas condiciones y 9 minutos para para proba probarr y repa reparar rar una bomba bomba que no funciona. Encuentre la media y la varian+a del tiempo total que tarda la traba'adora para usar sus tres equipos de reparaci%n [ 2 ] Denotemos con Y el nmero del intento en el que se locali+a la tercera bomba que no funciona. !e deduce que Y tiene una distribuci%n binomial neativa con p7.8. Entonces" V ( ( Y ) ) =

1Cu)l es la probabilidad de que el equipo < ane la serie3 <; b6O b6O-: -:" ".N .NN; N;7 7

()

4 2 5 0.55 ( 1− 0.55) =0.1853 3

=; b6:-:" b6:-:".NN; .NN;G G b6Nb6N-:".N :".NN;G N;G b6O-:".NN;G b6M-:".NN;7 .Q?NG.?O:MG.?RNG.? OO7.OR9

E ( Y )=

3

( .2 )2

=15

3 ( .8 )

(.2)2

= 60 . Debido a

que se requieren otros 8 minutos para reparar cada bomba defectuosa" el tiempo total necesario para usar los tres equipos de reparaci%n es0 T =10 Y + 3 ( 20 ) E ( T ) =10 E ( Y ) + 60 =10 ( 15 ) + 60= 210

P&PUE! Una ran acumulaci%n de bombas usadas contiene 8S que necesitan ser reparadas. Una traba'adora de manten mantenim imien iento to es enviad enviada a a esa esass bombas con tres 'ueos de pie+as de repar eparac aci% i%n. n. Ella selec eleccciona iona

y

V ( ( T )=10 V ( ( Y )=100 ( 60 )= 6000 2

%2

!ISS!(









rande y la proporci%n de éxitos es peque$a. Esos intervalos de medida pueden pueden referirs referirse e a- tiempo" tiempo" )reas" )reas" volumen etc. Como e'em Como e'empl plos os se pued puede e usar usar la dist distri ribu buci ci%n %n de Poiss oisson on para para los los siuientes casos0 T El nmero de errores de ortorafía que uno comete al escribir una nica p)ina. T El nmero de llamadas telef%nicas en una central telef%nica por minuto. T El n n mero de d e de d efectos po p or metro cuadrado de tela. T El n nmero de de e esstrellas en en un un determinado volumen de espacio. Las características m)s sobresali sobresalientes entes de esta distribu distribuci%n ci%n son0 T La distribuci%n de Poisson tiene la particularidad particularidad de que la esperan+a y la varian+a son iuales. T El espacio muestral en un modelo de Poisson se enera por un nmero muy rand rande e 6puede 6puede consi consider derars arse e in(n n(nito ito; de repet epetic icio ione ness de un experimento cuyo modelo de probabilidad es el de =enorulli" con probabilidad de éxito muy peque$a. Por esta ra+%n se le suele llamar de ,event ,eventos os raros/ raros/.. Las Las repet repetici icione oness del del expe experi rime ment nto o de =er =ernoul noulli li se reali+an en cada uno de los puntos

promedio de éxitos en un intervalo es una constante " que no cambia de intervalo a intervalo. La distribuci%n de Poisson se puede ver ver de ma mane nera ra r)( r)(ca ca con con (rma (rma asimét asi métric rica a positi positiva va como como suced sucede e con con la dist distri ribu buci ci%n %n bino binomi mial al.. !in !in emb em baro" o" al ir aum aumentan ntando do los los valo valore ress de " va adqu adquir irie iend ndo o la típica forma de campana de Vauss. < continuaci%n podemos ver aluno alunoss e'e e'emp mplos los de r)(co r)(coss con distintos valores de 0 %.2.1.)cación /nción de la Di$tri"ción de oi$$on Donde x es un entero positivo. Esta Esta expr expres esi% i%n n se pued puede e obte obtene nerr tomando los limites cuando n tiende a W" p tiende a  y np permanece constante e iual a λ " de la funci%n de probabilidad de la distribuci%n de una variable binomial. De(nici%n0 !ea una variable aleatoria que representa el nmero de eventos aleatorios independ independient ientes es que ocurren ocurren a una rapide+ constante sobre el tiempo o el espacio. !e dice entonces que la variable aleatoria tiene una distribuci%n de Poisson con funci%n de probabilidad








lim

()

n p y ( 1− p )n− y cuando n→ ∞ y n→

∞

! q " tenemos

x

∑ =  0

− λ



e λ =  ( x ; λ ) !

%.2.%.)$*eran+a de *oi$$on La media o esperan+a y la varian+a" se obtienen mediante el mismo procedimiento" tomando los limites cuando n tiende a W" p tiende a  y np tiende a λ . E ( " )= lim ( np )= λ np→λ

( np ( 1− p )) =¿ λ 2

# = lim ¿ np→λ

Ii 8. Demostraci%n Demostra ci%n funci%n de la distribuci%n de poisson.

!i observamos que todos los términos de la derec#a del límite tienden a ? entonces0

!in embaro se puede ver de otra forma para demostrar este #ec#o" como se mostrara a continuaci%n" ya que la distribuci%n de Poisson se x basa en la serie de e " se tendr) para la esperan+a0 E ( " " )=

x

({ )

∞

− λ x

∑

•

La probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson sea menor o iual a un valor de x se determina por la funci%n de distribuci%n

( ) − λ x

∞

x − 1

e λ λ ¿ x = λe− λ x ! x −1 ) ! x =0 x = 1 ( x

e λ f ( ( x )= x ! , s x =0,1,2 … , n 0, e . o . c

%.2.2./nción de Di$tri"ción cmlativa

∑ xf ( x) ∑

s y = x − 1 entonces 0 ∞

y

λ E ( " )= λ e = λ e− λ e λ = λ y = 0 y ! − λ

∑

Ec 90 Esperan+a de la distribuci%n Poisson.











Var ( " )= E ( " )− [ E E ( " ) ] ,
2

que E ( " " ) = E [ " " ( " " −1 ) ] + E ( " ) 2

∞

∞

x = 0

x 0

E [ " " ( " −1 ) ] =

∑ x ( x x −1 ) f ( ( x x )=∑= x ( x −1 )(

<#ora sea0 y = x −2 ∞

y

λ λ e = λ 2 y = 0 y ! 2

− λ

∑

" entonces-

Var ( " )= λ + λ− λ 2

Var ( " )=¿

2

!i un banco recibe en promedio O c#eques sin fondo por día. día. 1Cu)les son las las prob proba abili bilid dades des de que que reciba30 <. 1Cuatr 1Cuatro o c#equ c#eques es sin sin fondo fondo en un día dado3 =. 1? 1? c#equ eques sin fon fondos en cualquiera de dos consecutivos3 [ 3 ] !oluci%n0 <. x7 vari variab able le que que nos de(n de(ne e el nmero de c#eques sin fondo que llean al banco en un día cualquiera7 " ?" 8"9Yetc. x7O c#eques sin fondo por día0 −6

4

e (6 ) P ( λ λ=6, x = 4 )= = 0.1338 4!

λ

Ec :0 Karian+a de la distribuci%n Poisson.

=. x7 O c#eq c#eques ues por día  8 días días 7 ?8 c#eques − 12

%.2..)#em*lo$ Durante un experimento de laboratorio el nmero de promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador en un miliseundo miliseundo es :. 1Cu)l es la probabilidad que entren O particulas

P ( λ=12, x =10 )=

%.%.

e

( 1210 )

10 !

=0.1048

HI)3)!M45I6









una prueba sin reposici%n donde los elementos de la muestra son tomados todos a la ve+ y no individualmente o donde el elemento seleccionado no se reint einte era ra al exper xperim imen ento to o a la muestra nuevamente. Una de las diferencias que se encu encuen entr tran an entr entre e la dist distri ribu buci ci%n %n eométrica y la binomial es que en ésta ltima se reali+a un muestreo con reempla+o e independencia de pruebas o ensayos y en la primera se reali+a un muestreo sin ree eemp mpla la+o +o y sin sin inde indepe pend nden enci cia a entre pruebas o ensayos.

!ea la variable aleatoria \ el nmero de éxitos en la muestra. Entonces" \ tiene una distribuci%n #ipereométrica % funci%n de probabilidad #ipereométrica

f x x ( x x ; $ ,% ,% ,n

− ( )( − ) )= () $ n

; x =0,1,2, … . n

Iunci%n de Distribuci%n acumulativa

( )( ) ∑ () x

P ( " ≤ x )=

 =0

Para de(nir una distribuci%n Xipereométrica Xipereom étrica se debe considerar un con'unto de  ob'etos que contiene0  Z ob'etos clasi(cados como éxitos y   5 Z ob'etos clasi(cados como fallas Donde se toma una muestra de tama$o n" al a+ar 6sin reempla+o; de entre  ob'etos" donde0 Z [  - y- n [ 

% $ % x n x

% $ − % x n − x $ n

%.%.2.)$*eran+a de Hi*ergeomtrica Para poder determinar la esperan+a se con los par)metros anteriormente mencionados0 n" y m se tiene









%.%.%.&arian+a de Hi*ergeomtrica Podemos decir que0

&eempla+ando P7nZ^ y usando la identidad"

!e tiene que0 Donde 4 es una variable aleatoria #ipereométrica con par)metros nH ?" H? y ZH?. omando ]7? se tiene0

!i el valor de ] se cambia por ]78 % " ] se en la ecuaci%n de E [ "

obtiene0

4a 4a que  es un nmero rande en comparaci%n con n" la relaci%n $ −n $ −1 es aproximadamente 7 ? Var ( x x ) ≌ np ( 1−q )

Ec O0 Karian+a de la distribuci%n









compon component ente e defec defectuo tuoso so

si en en el

lote #ay 9 defectuosos3 [ 1 ]

f x x ( 1 ; 40 , 5 , 3

( )( ) )= = ( ) 3 37 1 4 40 5

0.3011

!%lo el 9S de las veces que detecta un lote mal 6con 9 componentes defectuosos;. Propuesto0 Un lote de pie+as contiene ? de un proveedor local de tubería" y 8 de un proveedor del mismo material" pero de otro estado. !i se elien cuatro pie+as al a+ar y sin reempla+o" 1Cu)l es la probabilidad que todas provenan del proveedor local3 [ 3 ] !oluci%n0 !ea \ el nmero de partes en la muestra que son del proveedor local. Entonces" \ tiene una distribuci%n #ipereométrica y la probabilidad pedida es P6\7:;.

P (& 1

( )( )( ) = )= − ( ) 1

200 100 4 0 300 4

0.196

Calcule la varian+a y la esperan+a del e'ercicio anterior0 Primero se debe calcular la ra+%n entre los ,_xitos/ y la cantidad de ob'etos totales P7Z^7 ?^9 E6\;76:;6?^9;7?.99 Var ( x x ) ≌ np ( 1−q )

K6x;7?.996?H?^9;68MO^8MQ;7 .RMQ %.,.

3MM

Una Una vari variab able le alea aleato tori ria a 6v.a 6v.a.; .; es simplemente una funci%n que describe los res esu ultados de un experimento. En el curso de prob probab abil ilid idad ad enco encont ntra ramo moss que que existen indicadores que simetría 6o asim asimet etrí ría; a; de dist distri ribu buci cion ones es de probabilidad de una v.a." para esto nos podemos apoyar en la distribuci%n Vamma.









poseen una distribuci%n de frecu frecuenc encia ia ses sesad ada. a. La pobla poblaci% ci%n n asociada con estas variables alea aleato tori rias as pose posee e con con frec frecue uenc ncia ia func funcio ione ness de dens densid idad ad que que son son modeladas de manera adecuada por una funci%n de densidad amma. En la funci%n de densidad la Earl Earlan an" " el par) par)me metr tro o r apar aparec ece e como como r` Para ara de(n de(nir ir una una vari variab able le aleatoria Vamma se requiere ere enerali+ar la funci%n factorial.

Para \ y r7?"8"9"Y.."

%.,.%. )$*eran+a.

Ec M0 Karian+a de la distribuci%n Vamma. %.,.,. &arian+a

Ec R0 Karian+a de la distribuci%n Vamma.

%.,.2. %.,.2. /nción nción de den$id den$idad ad de *ro"a"ilidad La variable aleatoria \ con funci%n de densidad densidad de probab probabilid ilidad ad dada por por la ec ecu uac aci% i%n n 6?? 6??; tiene ene una distribuci%n distribuci%n Vamma con par)metros par)metros   y r  .

%.,.. )#em*lo$. !up%nase que cierta pie+a met) me t)li lica ca se rompe omper) r) desp despué uéss de sufr sufrir ir dos dos cicl ciclos os de esfu esfuer er+o +o.. !i esto estoss cicl ciclos os oc ocur urrren de ma mane nera ra inde indepe pend ndie ient nte e a una una frec frecue uenc ncia ia promedi edio de dos por ca cada da ? #oras" #oras" obtene obtenerr la proba probabil bilida idad d de que el intervalo de tiempo se











los materiales puede modelarse de manera adecuada.
∞

68;7

∫ xe

x

dx

0

Kemos que −0,02 x

f ( ( x , 2,0,02 ) =1−(1 − 0.02 ) xe

Para x 2 r '= = =100 λ 0.02 2 r 2 ( = 2 = =5000 2 λ 0.02

Para solucionar el e'ercicio 0

Esta distribuci%n se puede identi(car mediante los par)metros "  y . Las principales características para identi(car y utili+ar dic#a distribuci%n son0 y  *nterpretaci%n caracteri+aci%n de componentes0  odelamiento de comp compon onen ente tess dent dentrro de un









mec ecan anis ism mo falla. 

de

Lo que nos conduce a0

# H par)m par)metr etro o

de esca escala la"" vida vida característica. 

* H par)me par)metr tro o

de locali locali+ac +aci%n i%n"" vida mínima. %..2. /nción de den$idad. 

La funci%n de densidad est) dada por



Don Donde las las unid unidad ades es de los los par)metros son0

Para los f6x;- I6x;7 %..%. )$*eran+a









Ec Q0 Esperan+a de la distribuci%n eibull.

%..,. &arian+a

%..,. )#em*lo$ La duraci%n de un ventilador" en una #ora #ora"" que que se usa usa en un sist sistem ema a computacional tiene una distr istrib ibu uci%n ci%n de eib eibull ull con

#

7?"N y ) 7"?. [ 3 ] <. 1Cu)l 1Cu)l es la pro probab babili ilidad dad de de que un ventilador dure m)s de ? #oras3 =. 1Cu)l 1Cu)l es la pro probab babili ilidad dad de de que un ventilador dure entre 9 y Q #oras3 !oluci%n0 ?;Usando la funci%n de Distribuci%n acumulada

[

 ( x x ≤ 10000 )= −e

[ ( ) ]] −

"

0.0001

10000

1.5

0

=0.6324









curva de la funci%n de distrib distribuci% uci%n n acumulad acumulada a para estos estos par)m par)metr etros os veríam veríamos os que se trata de unos par)m par)metr etros os muy favora favorable bless en cuant cuanto o a la con(a con(abil bilida idad d de la maquinaria dado que el par)metro beta da una ba'ísima ba'ísima frecuen frecuencia cia de fallas fallas a través del tiempo.

punto de referencia" la probabilidad acumulada de la Pareto Pareto es siempre iual a cero.  Estimaci%n del par)metro g0 Dado que la distribuci%n de Pareto eto depe epende nde del del par) par)me metr tro o g para para su c)lc c) lcul ulo o se tien tienen en dos dos diferentes opciones.

Propuesto. El tiempo de vida \ en #oras de un artículo en el taller mec)nico tiene una distribuci%n de eibull con 7.?

y

) 78.

1Cu)l

es

#

la

probabilidad de que falle antes de R

[ 2]

#oras de curso3

(

)

(

)

3.5.2.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PARETO

La func funci% i%n n de dens densid idad ad de pareto viene dada por0

{



 ∗+  x ( x )= x  +1

0

Donde

sx&+ enotrocaso 

 ?

} +

 









:.

lim −+ -→ ∞

N. lim −+ -→ ∞

[



{ }[ ]



1

x

→ +



]



{}

+ 1−  ( x x x ) = x

()



+ + −  →  → =1  + + + 1

1

FUNCIÓN ACUMULATIVA DE PARETO

La func funci% i%n n acum acumul ulat ativ iva a de pareto se obtiene de la primicia icia de la funci% nci%n n de densidad. x

∫ +



representa

la proporci%n de personas en la pobl poblac aci% i%n n co con n inr inres esos os mayores que x.

%..,.)$*eran+a. En este punto demostraremos como se expresa la Esperan+a. ∞

∫

E (  )= x∗f ( ( x x ) dx +



 ∗+ dt  + 1 t

∞

?.

∫

x∗ ∗+



dx →











N. 

O.

 ∗+  ∗+ (  −1 ) → (  −1 ) (  −1 )∗+

Ec ??0 Esperan+a Esperan+a de la distribuci%n distribuci%n de pareto. 3.5.5.

VARIANZA.

En este punto demostraremos como se expresa la varian+a.

lim − ∗+ -→∞

(  −2 )



{-

−+

−(  −2 )

}−  ∗+ → (  −1 )

O.

{ }

2



 ∗+  ∗+ → (  −2 ) − (  −1 ) (  − 2 ) ¿ +

M.

 ∗+

(

2

2)

−

{ }

2

−(  − 2 )

{( ) }  ∗+

1

2









•

2,4 −2,4 −2,4 7 1−9 (18 −9 )

•

7?H"R?7 "?Q

,. 6oncl$ione$ La dis distrib tribuci% uci%n n #iper #ipereom eométric étrica a es fundamental en el estudio de muestras en poblaciones peque$as" así como en el c)lculo de probabilidades de" 'ueos de a+ar" adem ad em)s )s ti tien ene e r ran an ut util ilid idad ad en el contr con trol ol de cal calida idad d y en dif difer erent entes es procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situaci%n

sector muy poblaci%n.

peque$o

de

la

. 'I': 'I':II!3 !3/< /< 

[ 1 ] alpole" &onald. Probabilidad y estadística para ineniería y ciencias. ovena edici%n. Pearson. Pearson.

[ 2 ] ac]erly" Dennis. Estadística Estadística atem tem)tic )tica a con co n apli apliccac acio ion nes es.. !éptima edici%n. Cenae Learnin.

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