CONTRASTE DE HIPÓTESIS Una hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna característica de interés de una población bajo estudio. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones con la realidad que observamos. Si dentro del margen de error que nos permitimos admitir, hay coincidencia, aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazaremos. La hipótesis emitida se suele designar por Ho y se llama Hipótesis nula porque parte del supuesto que la diferencia entre el verdadero valor del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia. La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama Hipótesis alternativa . Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis de trabajo. Si las definimos en términos de igualdad estamos ante una hipótesis bilateral , si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor) estamos ante una hipótesis unilateral . Se trata de significativa, sobre el valor población bajo
extraer conclusiones a partir de una muestra aleatoria y que permita aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida, de un parámetro (alguna característica medible) desconocido de la estudio.
Identificación de hipótesis a) Si definimos una hipótesis de trabajo en términos de igualdad, como por ejemplo: Supóngase que el gerente de un hotel afirma que el promedio de las cuentas de los huéspedes, en una semana, es de $800.000. La hipótesis anterior corresponde a la hipótesis hip ótesis nula, entonces tenemos:
H0 :
800.000
y la hipótesis alterna es H1 : 800.000 (Prueba bilateral )
b) Si definimos una hipótesis de trabajo en términos de desigualdad (mayor que), como por ejemplo: Supóngase que el gerente de otro hotel afirma que el promedio de las cuentas de los huéspedes, en una semana, es mayor de $800.000. La hipótesis anterior corresponde a la hipótesis alterna, entonces tenemos:
H0 : 800.000
y la hipótesis alterna es
H1 : 800.000
(Prueba unilateral derecha )
c) Si definimos una hipótesis de trabajo en términos de desigualdad (menor que), como por ejemplo: Supóngase que el gerente de otro hotel afirma que el promedio de las cuentas de los huéspedes, en una semana, es de por lo menos $800.000. La hipótesis anterior corresponde a la hipótesis nula, entonces tenemos:
H0 : 800.000 y la hipótesis alterna es
H1 : 800.000 .
(Prueba unilateral izquierda )
Marco Antonio Triana Docente área Estadística - UAO
1
Para comprobar una hipótesis de trabajo se puede seguir los siguientes pasos:
1. Enunciar la hipótesis de trabajo (hipótesis nula, hipótesis alterna) 2. Elegir un nivel de significancia
3. Construir la Región de aceptación , intervalo dentro del cual se encuentra el (1- ) 100% de los casos. Construir la Región de rechazo que la llamaremos región crítica , y su área es igual al nivel de significancia. 4. Verificar la hipótesis seleccionando una muestra aleatoria, recoger los datos, realizar su procesamiento y obtener el correspondiente estadístico de prueba (media muestral x , proporción muestral p , desviación estándar ˆ
muestral S , de acuerdo al caso de interés).
5. Tomar una decisión. Si el estadístico de prueba cae dentro de la región de aceptación se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza.
POSIBLES ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER Al realizar una prueba de hipótesis se establece un criterio que nos permite decidir si la hipótesis de trabajo (H 0) se debe aceptar o rechazar. También, es posible determinar si la muestra observada difiere significativamente de los resultados esperados en la prueba. En este proceso se puede cometer dos tipos de errores según sea la situación real y la decisión que tomemos. Si rechazamos la hipótesis nula cuando debiera ser aceptada, es decir, siendo verdadera, cometemos un error de tipo I. Si aceptamos la hipótesis nula debiendo ser rechazada, es decir, siendo falsa, diremos que hemos cometido un error de tipo II. Minimizar los errores no es una cuestión sencilla, un tipo de error suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentando el tamaño de la muestra.
• • • •
Ho verdadera
Ho falsa
DECISIÓN: Aceptar Ho
Decisión correcta
Decisión incorrecta Error de tipo II
DECISIÓN: Rechazar Ho
Decisión incorrecta Error de tipo I
Decisión correcta
La probabilidad de cometer un error de tipo I es igual al nivel de significancia . La probabilidad de cometer un error de tipo II es igual a β. Esta probabilidad depende del verdadero valor de µ y del tamaño de la muestra. La probabilidad de tomar una buena decisión cuando Ho es verdadera es igual a 1 – . La probabilidad de tomar una buena decisión cuando Ho es falsa es igual a 1 - β. Donde 1 - β es la potencia de la prueba.
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2
El Valor p (p - value) El valor P (nivel de significancia de la muestra) es la probabilidad máxima de equivocarnos (tomar una decisión incorrecta ) al rechazar la hipótesis nula (siendo verdadera) con los resultados obtenidos en una muestra aleatoria. El valor P es el nivel de significancia más pequeño que nos puede permitir rechazar la hipótesis nula. Se rechazará la hipótesis nula si el valor P (nivel de significancia).
PRUEBAS DE HIPOTESIS RESPECTO A LA MEDIA POBLACIONAL Veamos la siguiente aplicación:
Ejemplo 1: El jefe de control de calidad de una empresa metalmecánica afirma que la longitud promedio de las piezas metálicas que se producen semanalmente es de 5 centímetros, es decir, cumple con las especificaciones. Si la longitud de estas piezas está por encima o por debajo de 5 centímetros se pueden presentar problemas de calidad. Supóngase ahora, que el jefe de control de calidad selecciona una muestra aleatoria de 60 piezas metálicas. Después de haber medido la longitud de cada una de las piezas escogidas en la muestra se obtuvieron los siguientes resultados: una media muestral de 5,15 centímetros y una desviación estándar muestral de 0,75 centímetros. Estadísticamente se quiere Probar que " la media poblacional difiere de 5 centímetros ", supondremos en principio lo contrario, es decir que " la media es igual a 5 centímetros”. Para este caso, las hipótesis nula y alterna son las siguientes: H0 :
5 centimetros
y
H1 : 5 centimetros
(Prueba bilateral ) Si queremos comprobar la hipótesis nula a un nivel de significancia ( ) del 5% por ejemplo, buscamos el valor de la variable aleatoria Z0 tal que es decir Observe que P( Z Z 0 ) 0.025 , P( Z Z 0 ) 0.975 . P( Z
Z0 )
igual a P( Z
Z 0 )
2
P( Z
Z 0
)
2,5% (como la prueba es bilateral , tenemos un área
en las colas de la distribución normal estándar, ver figura 1).
es equivalente a
P( X
X 0 )
2,5% . X0 se obtiene buscando en primer
lugar el valor de la variable aleatoria Z0 que resulta ser Z0 = 1,96 (según valor de tabla, ver figura 1). Los valores que se encuentran a 1,96 desviaciones estándar de la media son los que forman la región crítica (región de rechazo). Ahora, encontraremos la región crítica en términos de la media muestral tiene que: Z 0
1,96
X 0
1, 96
n
Marco Antonio Triana Docente área Estadística - UAO
X 5
0,75 60
3
(1)
X ,
se
Ahora, despejamos el valor crítico X de la ecuación ( 1) tanto para el valor positivo de Z (+1,96) como para el valor negativo de Z (–1,96). Observe que la región critica expresada en términos de la media muestral queda de la siguiente forma:
X 5,19
Región crítica:
4,81 X
4,81
X
X
5,19 , entonces la región de aceptación es:
Puesto que la media muestral obtenida fue 5,15 centímetros que se encuentra en la región de aceptación , se concluye que: "No rechazamos la hipótesis nula ” , es decir, a un nivel de significancia del 5%, no existe evidencia suficiente de que la longitud promedio de las piezas metálicas que se producen semanalmente difiere de 5 centímetros, es decir, concluimos que la longitud promedio es de 5 centímetros. De acuerdo a estos resultados, el jefe de control de calidad de la empresa esta en lo correcto.
Algunas reflexiones:
Si el nivel de significancia de la prueba es menor del 5%, la región crítica disminuye, y tendremos más confianza en una decisión si concluimos rechazar la hipótesis nula, ¿ Por qué?
Es evidente por ejemplo, que si la decisión es no rechazar la hipótesis nula, también estaríamos arriesgándonos a cometer un error, ¿ Cuál tipo de error ?
Conclusión: En cualquier caso, después de realizar el procedimiento, es decir, contrastar la hipótesis de trabajo se toma una decisión asumiendo un margen de error. Realicemos la prueba formal del “ejemplo 1” siguiendo los pasos:
1.
H 0 : H1 :
5
5
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4
2.
Nivel de significancia:
tabla.
Recordemos que
Z
X
5% ,
2
2,5%
Z
1,96 según valor de
2
n
3. Ahora, buscamos el punto crítico de la media muestral
X para
obtener la
región de rechazo. Z 0
1,96
X 0
1,96
X
1,96
X 0
5
1,96
X
X
5
0,75
n
4.
X 1,96*0,0968
5 5,19
60
RA: 4,81
0,75
n
Z 0
X
1,96*0,0968
5 4,81
60
5,19
RR : X
4,81
X
5,19 ,
Verificar: Se selecciona aleatoriamente una muestra de 60 piezas metálicas de la población bajo estudio, se toma información de la longitud de estas piezas y se realiza el procesamiento de los datos. Se obtuvieron los siguientes resultados: una media muestral de 5,15 centímetros y una desviación estándar muestral de 0,75 centímetros. Observe que el valor de la media muestral X 5,15 cae en la región de aceptación .
5.
Decisión: No rechazamos la hipótesis nula, es decir, a un nivel de significancia del 5% concluimos que la longitud promedio de las piezas metálicas que se producen semanalmente es de 5 centímetros . Es decir, la afirmación del jefe de control de calidad es verdadera. Otros Problemas de aplicación
Ejemplo 2. Se desea llevar a cabo un estudio para saber cuanto tiempo en promedio se ve televisión en los hogares de la ciudad de Cali, en el horario de 6:00 p.m a 12:00 de la noche. De acuerdo a estudios anteriores se asume que estos datos (tiempo que emplean los hogares en ver televisión en el horario de 6:00 p.m a 12:00 de la noche) se aproximan a una distribución normal. Un investigador de una empresa privada afirma que el tiempo promedio que emplean los hogares de la ciudad de Cali en ver televisión en ese horario es de por lo menos 4,5 horas. Para realizar el estudio el investigador selecciona una muestra al azar de 400 hogares de la población bajo estudio, después de procesar los datos encontró una media muestral de 4,39 horas y una desviación estándar de 0,35 horas. ¿A un nivel de significancia del 1.7%, usted esta de acuerdo con la afirmación del investigador?
Usted debe mencionar claramente todos los pasos a seguir para tomar una decisión, debe enunciar correctamente todos los elementos necesarios para comprobar la hipótesis.
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5
1.
2.
H 0 : H1 :
4,5
4,5
Observe que la prueba es unilateral (cola izquierda)
Nivel de significancia :
Recordemos que
Z
X
= 1,7%
Z
2,12 (Valor de tabla)
n
3. Ahora, buscamos el punto crítico de la media muestral
X para
obtener la
región de rechazo. 2,12
X
4,5
2,12*0,0175
X
0,35
4,5
4,46
400
3. 4.
RA : X
4, 46
RR :
X
4, 46
Verificación: De la población bajo estudio seleccionamos en forma aleatoria cada uno de los 400 hogares que conforman la muestra representativa. A cada uno de estos hogares se encuestó para determinar el tiempo que pasan viendo televisión en el horario de 6:00 p.m a 12:00 de la noche. Se organiza la información en una base de datos. Al realizar el procesamiento de los datos se encontró un tiempo promedio de 4,39 horas con una desviación estándar de 0,35 horas. Obsérvese que la media muestral X 4,39 se encuentra en la región de rechazo.
5.
Decisión: rechazamos la hipótesis nula, es decir, a un nivel de significancia del 3,4% concluimos que el tiempo promedio que emplean los hogares de la ciudad de Cali en ver televisión en ese horario es menor de 4,5 horas . El resultado anterior significa que el investigador esta equi vocado.
Ejemplo 3: El dueño del restaurante DELTA S.A asegura que la cantidad promedio que gastan los clientes cuando visitan el sitio es mayor de $30.000. El administrador del restaurante realiza una inspección por muestreo para determinar si es correcta la afirmación del dueño; utiliza un nivel de significancia del 2,5%. Después de seleccionar una muestra de 50 clientes del restaurante se encontró una media de $32.000 y una varianza de 2.560.000.
1.
H 0 : H1 : 2.
Enunciar la hipótesis nula y la hipótesis alterna. Determine la región de aceptación y de rechazo. Comprobar la hipótesis anterior. Tomar una decisión. Utilice un nivel de significancia de 0,025.
$30.000
Observe que la prueba es unilateral (cola derecha)
$30.000
Nivel de significancia :
=
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2,5%
Z
6
1,96 (Valor de tabla)
Recordemos que
Z
X
n
3. Ahora, buscamos el punto crítico de la media muestral
X para
obtener la
región de rechazo. 1, 96
X 30.000
1600
X
1,96* 226, 274 30.000 30.443,5
50
RA : X
30.443, 5
RR :
X
30.443, 5
4. Verificación: De todos los clientes del restaurante DELTA S.A seleccionamos en forma aleatoria cada uno de los 50 clientes que conforman la muestra. Después de seleccionar la muestra se encontró una media de $32.000 y una desviación estándar de $1.600. Obsérvese que la media muestral X $32.000 se encuentra en la región de rechazo.
5.
Decisión: Rechazamos la hipótesis nula, es decir, a un nivel de significancia del 2,5% concluimos que la cantidad promedio que gastan los clientes cuando visitan el sitio es mayor de $30.000. El resultado anterior significa que estamos de acuerdo con la afirmación del dueño del restaurante.
PRUEBAS DE HIPOTESIS RESPECTO A LA MEDIA POBLACIONAL EN EL CASO DE DESCONOCIDA En muchos casos prácticos no se tiene información del valor de la desviación estándar poblacional antes de seleccionar una muestra. En estos casos, la muestra se utiliza para obtener una estimación de la media y la desviación estándar . Cuando seleccionamos una muestra aleatoria y obtenemos S (desviación estándar muestral) para estimar a (desviación estándar poblacional), y el tamaño de la muestra < 30 , aplicamos la distribución T –student con n -1 grados de libertad para realizar una estimación de (media poblacional). Veamos algunas aplicaciones:
Ejemplo 1: Un ingeniero de la empresa TEXTILES S.A es el encargado de la producción. Un proveedor le ofrece lotes de tela. De acuerdo a la producción del mes anterior se requiere que los lotes de tela tengan una resistencia a la ruptura promedio mayor de 200 libras por pulgada. Si se cumple el requerimiento de producción el ingeniero decide aceptar el lote, de lo contrario lo rechaza. Se realiza una inspección por muestreo, seleccionando aleatoriamente 15 lotes de tela , los cuales se someten a prueba de calidad, obteniendo una resistencia promedio de 205 libras por pulgada y una desviación estándar de 10 libras por pulgada. ¿A un nivel de significancia del 5%, comprobar si los lotes de tela cumplen con las especificaciones o no.
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7
Enunciar la hipótesis nula y la hipótesis alterna. Determine la región de aceptación y de rechazo. Comprobar la hipótesis anterior. Tomar una decisión. Utilice un nivel de significancia de 0,05.
1. 2. y
H 0 : 200
Es una prueba unilateral (cola derecha)
H 1 : 200
n
5%,
30 ,
T
1, 7613 . Como NO conocemos la desviación estándar poblacional
entonces utilizamos la distribución T student con 14 grados de
libertad. 3. Ahora, buscamos el punto crítico de la media muestral
X para
obtener la
región de rechazo. Recordemos que
1, 7613
X
200
10
X 1,7613*2,582
200 204,55
15
RA : X
4.
204,55
RR :
X
204, 55
Verificación: De todos los lotes de tela, se toma una muestra de 15 lotes aleatoriamente, los cuales se someten a prueba de calidad, obteniendo una resistencia promedio de 205 libras por pulgada. Obsérvese que la media muestral (205 libras) se encuentra en la región de rechazo.
5.
Decisión: Rechazamos la hipótesis nula, es decir, a un nivel de significancia del 5% podemos concluir que la resistencia a la ruptura promedio de los lotes de tela es mayor de 200 libras por pulgada. En conclusión, los lotes de tela SI cumplen con las especificaciones .
Ejemplo 2. Un investigador de una empresa privada asegura que el ingreso promedio mensual de todos los profesores universitarios de la ciudad de Cali esta por debajo de $2.800.000. De acuerdo a los últimos registros observados se asume que estos ingresos se aproximan a una distribución normal. Para realizar el estudio selecciona una muestra al azar de 28 personas de la población bajo estudio, después de procesar los datos se halló una media muestral de $2.789.500 y una desviación estándar de $131.570. ¿A un nivel de significancia del 2.5%, usted esta de acuerdo con la afirmación del investigador?
1. 2.
Enunciar la hipótesis nula y la hipótesis alterna. Determine la región de aceptación y de rechazo. Comprobar la hipótesis anterior. Tomar una decisión.
H 0 : $2.800.000
Es una prueba unilateral (cola izquierda)
H 1 : $2.800.000
2, 5%,
T 0,025 ;
27
2, 0518 . Como NO conocemos la desviación estándar
poblacional, y n < 30, entonces utilizamos la T-student con 27 grados de
libertad.
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3. Ahora, buscamos el punto crítico de la media muestral
X para
obtener la
región de rechazo. Recordemos que 2,0518
X
2.800.000
131.570
X 2, 0518* 24.864, 39 2.800.000 2.748.983, 24
28
RA : X
4.
$2.748.983,24
RR :
X
$2.748.983,24
Verificación: Se encuestaron 28 profesores universitarios de la ciudad de Cali y se encontró un ingreso promedio mensual de $2.789.500 y una desviación estándar de $131.570. Obsérvese que la media muestral ($2.789.500) se encuentra en la región de aceptación.
5.
Decisión: No Rechazamos la hipótesis nula, es decir, a un nivel de significancia del 2,5% podemos concluir que el ingreso promedio mensual de todos los profesores universitarios de la ciudad de Cali es de por lo menos $2.800.000. Esto significa que no estamos de acuerdo con el investigador.
Para ir evaluando sus comprensiones realice este ejercicio.
Ejercicio 1: Debido a los altos costos y a los tiempos de un cambio de producción, un director de manufactura debe convencer a la gerencia de que el método propuesto de fabricación reduce los costos, antes de poder implantarlo. El método actual funciona con un costo promedio de 250 dólares por hora. Se lleva a cabo una investigación en la que se medirá el costo del nuevo método durante un periodo de producción de una muestra aleatoria. Después de realizar una inspección por muestreo el investigador encontró los siguientes resultados: n
25
X
247,08
2
S
56,76
A un nivel de significancia del 5%, el nuevo método es mejor que el actual?
Enunciar la hipótesis nula y la hipótesis alterna. Determine la región de aceptación y de rechazo. Comprobar la hipótesis anterior. Tomar una decisión.
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