FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA DE MINAS
PLANEAMIENTO ESTRATÉGICO DE LA EMPRESA DANIELITA. Informe académico Autor(es): CHANDUVÍ DÍAZ, HEIDY STEPHANIE LINARES JUAREZ, JOSÉ ARIEL LINO RODRÍGUEZ, GINA NELY PRÍNCIPE OLIVA, LEONARDO ALFREDO Curso: MATEMÁTICA BÁSICA. Docente: NORIEGA DÍAZ, ERNESTO AUGUSTO TRUJILLO – PERÚ 2017
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN………………………………………………….…………… PROBLEMÁTICA……………………………………………………………… 3.1. PROBLEMA 3.2. HIPÓTESIS OBJETIVOS……………………………………………………………………… 4.1. GENERALES 4.2. ESPECÍFICOS FUNDAMENTO TEÓRICO…………………………………………………... 5.1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES 5.2. MARCO TEÓRICO
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA………………………………………………..
RESULTADOS …………………………………………………………………
CONCLUSIONES……………………………………………………………...
RECOMENDACIONES………………………………………………………..
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………
MATE MA TEM M TICA TICA B SICA SICA
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INTRODUCCIÓN En el curso de matemática básica, desde un punto de vista en la economía y rendimiento, nos permitirá conocer cómo emplear los principios enseñados en la formulación de matrices, permitiendo el proceso del aprendizaje del curso. Para ello es necesario contar con los recursos brindados por la sociedad en las diferentes empresas en donde se pueda aplicar con facilidad los ejercicios propuestos por diferentes autores quienes dieron un origen a un desarrollo de las actividades de manera cómoda y organizada, para un buen desarrollo de los problemas empresariales, por lo que es necesario que el estudiante de ingeniería tenga conocimiento de matrices y pueda aplicarlos de manera correcta en los problemas presentes en diferentes empresas. Así, creímos conveniente plantear y analizar un caso particular en el que se pueda observar cómo influye la matemática en la toma de decisiones de una empresa. Los temas escogidos por nosotros, son operaciones con matrices y ecuaciones lineales, agregando así a nuestro trabajo las debidas definiciones de cada tema. De esta manera, el presente proyecto busca obtener, mediante el planteamiento y desarrollo de un problema matemático, los costos mínimos en los que se debe incurrir por la compra de insumos de una empresa de multiservicios. Este trabajo de investigación tiene el propósito de plantear una supuesta situación problemática en la que se relacionen los conocimientos adquiridos en el curso de matemática básica.
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PROBLEMÁTICA PROBLEMA: La empresa, está dedicada al servicio de fotocopias, impresiones, anillados, etc. Los cuales son servicios que estudiantes usan diariamente. Actualmente no se lleva un debido control del número óptimo de unidades a comprar por cada insumo (Cartuchos de tinta, hojas bond A4, Tóner), por lo que se ha solicitado realizar un análisis que nos permita optimizar estos costos, lo cual se llevará acabo basándose en el historial de compras que se realiza y en la capacidad de rendimiento que dichos insumos poseen. Historial de compras de Insumos: Cartuchos de Tinta Negra
Cartuchos de Tinta de Color
MES
Tóner para Fotocopiadora
Paquete de Hojas A4
MES
1
1
FEBRERO
2
9
FEBRERO
2
1
MARZO
2
7
MARZO
2
2
ABRIL
4
13
ABRIL
3
2
MAYO
4
10
MAYO
3
2
JUNIO
4
15
JUNIO
Capacidad de Rendimiento:
Rendimiento por Insumo
Cartuchos de Tinta Negra
Cartuchos de Tinta de Color
400 Impresiones
300 Impresiones
Rendimiento por Insumo
Tóner para Fotocopias
Paquete de Hojas A4
1500 Impresiones
500 Hojas Bond A4
Los costos de los insumos a los que la empresa le compra a su proveedor son los que aparecen en la siguiente tabla: Costos de los Insumos
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Cartucho Tinta Negra
S/. 60.00
Cartucho Tinta de Color
S/. 70.00
Tóner para la fotocopiadora
S/. 40.00
Paquete de Hojas A4
S/. 15.00
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Determinar el número de unidades a comprar por cada insumo con el fin de minimizar los costos totales para el mes de Julio de la empresa Danielita. * Se sabe que se espera realizar este mes 1500 impresiones y 9000
Fotocopias.
HIPÓTESIS: La aplicación de la teoría de matrices y la teoría de programación lineal permite determinar el número de unidades a comprar por cada insumo con el fin de minimizar los costos totales para el mes de Julio de la empresa de Danielita.
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OBJETIVOS a) GENERAL
Hallar el número total de unidades a comprar y el costo mínimo total de los insumos que necesita la empresa Danielita para el mes de Julio.
b) ESPECIFICO
Determinar las restricciones para encontrar el punto óptimo en nuestro modelo de Programación lineal.
Aplicar la teoría de matrices y la de ecuación lineal para el desarrollo del problema mostrado.
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FUNDAMENTO TEORICO TEORÍA DE MATRIZ:
•
Matriz: Se denomina matriz a un arreglo rectangular ordenado de elementos dispuestos en filas y columnas, que se encierran entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas. Veamos por ejemplo: Al realizar el inventario en los tres almacenes de una tienda se obtuvo: Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres. Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres. Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres. ¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
Solución: Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular. La fila indica el almacén y la columna el artículo.
C
I
E
Almacén 1
12
8
5
Almacén 2
20
18
9
Almacén 3
2
3
15
34
29
29
Total
En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.
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PROGRAMACIÓN LINEAL: Definición: En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, a las cuales se les da el nombre de restricciones. Este tema te permite hallar soluciones a dichos problemas.
a. Función objetivo: La programación lineal consiste en optimizar (es decir maximizar o minimizar) una función lineal que tiene varias variables.
f (x,y) = ax + by
La función objetiva está sujeta a varias restricciones, expresadas por inecuaciones lineales. Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano que se encuentra en el plano cartesiano, puede ser
en
cualquiera
de
los
cuatro
cuadrantes.
El semiplano se encuentra en el primer cuadrante.
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b. Solución factible: El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un área que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
Área sombreada en un semiplano, está determinada por las desigualdades de las restricciones.
c. Solución óptima: El conjunto de los vértices del área se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
d. Valor de la programación lineal: El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
e. Operaciones con programación lineal: Los pasos para resolver un problema de programación lineal son: a. Elegir las incógnitas. b. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema. MATEM TICA B SICA
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c. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. d. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones. e. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos). f. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
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MARCO TEÓRICO:
Operaciones con matrices:
Adición y/o sustracción de matrices: La suma (diferencia) de dos matrices A = (aij), B = (bij) de la misma dimensión, es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico
sij = aij ± bij Ejemplos:
Propiedades de la suma de matrices:
P1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
P2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
P3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
P4. La matriz – A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + ( – A) = 0.
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Producto de un número por una matriz: El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir: bij = k·aij
Ejemplo: 3 A
Solución:
Producto de dos matrices:
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SOLUCIÓN DEL PROBLEMA A los datos que se nos han dado los pasamos a Matrices de manera correspondiente.
Número de Insumos Utilizados Mensualmente:
A: Cartuchos de tinta negra para impresora.
Cartuchos de tinta de color para impresora.
: [ ] Tóner para impresora.
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FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO
FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO
Paquete de hojas A4.
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Costos Unitarios de los Insumos:
:
TINTA NEGRA TINTA DE COLOR
:
TÓNER PAQUETE A4
Rendimiento Por Insumo: IMPRESIONES
: F
:
TINTA NEGRA TINTA DE COLOR
COPIAS POR TONÉR # DE HOJAS POR PAQUETE
Demanda Esperada:
:
CANTIDAD DE IMPRESIONES CANTIDAD DE COPIAS
Ahora que ya definimos nuestras matrices, procederemos a hallar datos adicionales a partir de estas, con la finalidad de poder obtener el número óptimo de insumos a comprar.
Costo Total de Insumos por Mes:
A x C: [
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+ + x = + = + [+] [] ]
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: X = [ ]
+ + + = + + []
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Determinación de Variables: x = Número de cartuchos de tinta negra para impresora a comprar en el mes de Julio. y = Número de cartuchos de tinta a color para impresora a comprar en el mes de Julio. p = Número de tóneres de tinta negra para fotocopiadora a comprar en mes de Julio. q = Número de paquetes de 1/2 millar de papel Bond A4 a comprar en el mes de Julio. Planteamiento de las Restricciones: Para las variables “x” e “y” se tomó en cuenta: - Según la matriz A, el número de “x” máximo fue de 3 unidades. - Según la matriz A, el número de “y” máximo fue de 2 unidades. - Según la matriz A, el número de “x” e “y” mínimo fue de 1 unidad. - Según la matriz C, el costo unitario por “x” es S/. 60 y por “y” es S/. 70. - Según la matriz A x C el costo total máximo por mes fue de S/. 320. - Según la matriz E, el número de impresiones realizadas mensualmente por “x” es 400 y por “y” es 300. - Según la matriz G, el rendimiento mensual esperado de impresiones es 1500. Restricciones:
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≥ 1 ≤ 3 ≥1 ≤2 60+70 ≤320 400+300≥1500
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Para las variables “p” y “q” se tiene en cuenta: - Según la matriz B, el número de “p” máximo fue de 4 unidades. - Según la matriz B, el número de “q” máximo fue de 15 unidades. - Según la matriz B, el número de “p” mínimo fue de 2 unidades. - Según la matriz B, el número de “q” mínimo fue de 7 unidades. - Según la matriz D, el costo unitario por “p” es S/. 40 y por “q” es S/. 15. - Según la matriz B x D, el costo total máximo por mes fue de S/. 385. - Según la matriz F, el número de fotocopias realizadas mensualmente por “p” es 1500 y por “q” es 500. - Según la matriz G, el rendimiento mensual esperado de fotocopias es 9000. Restricciones:
≥2 ≤4 ≥7 ≤15 40+15 ≤385 1500 + 500 ≥ 9000
A partir de las restricciones obtenidas, podemos graficar:
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Según la gráfica Nº 1 los puntos de intersección son:
A (2,3; 2) B (2,8; 2) C (3; 1,8) D (3,1)
Según la gráfica Nº 2 los puntos de intersección son: A (2; 15) B (3,9; 15) C (4; 14,5) D (4,7) E (3,15; 7) F (2,12)
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Reemplazar en Función Objetivo:
C (x, y) = 60x + 70y
A (2,3; 2) = 60(2,3) + 70(2) = 278 B (2,8; 2) = 60(2,8) + 70(2) = 308 C (3; 1,8) = 60(3) + 70(1,8) = 306 D (3; 1) = 60(3) + 70(1) = 250
C (p, q) = 40p + 15q
A (2,15) = 40(2) + 15(15) = 305 B (3,9; 15) = 40(3,9) + 15(15) = 381 C (4; 14,8) = 40(4) + 15(14,8) = 382 D (4,7) = 40(4) + 15(7) = 204,55 = 265 E (2; 12) = 40(2) + 15(12) = 260
Suma de los Costos Mínimos: Costo Mínimo (x, y) = 250 nuevos soles Costo Mínimo (p, q) = 260 nuevos soles 510 nuevos soles==>
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COSTO MÍNIMO TOTAL
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RESULTADOS Se halló que se deberá comprar 3 cartuchos de tinta negra y 1 cartucho de tinta a color para obtener un costo mínimo de S/. 250 en el mes de Julio. Se mostró que se deberá comprar 2 tóneres de tinta negra para fotocopiadora y 12 paquetes de ½ millar de papel bond A4 para obtener un costo mínimo de S/. 260 en el mes de Julio. Se halló que se deberá comprar 3 cartuchos de tinta negra, 1 cartucho de tinta a color, 2 tóneres de tinta negra para fotocopiadora y 12 paquetes de ½ millar de papel bond A4 para obtener un costo mínimo total de S/ .510 en el mes de Julio.
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CONCLUSIONES Con la ayuda de los temas: Matrices y Programación Lineal, nos damos cuenta que son herramientas para reducir (en el proyecto) costos que afectan a la empresa. Se comprobó nuestra hipótesis de la empresa, reduciendo el costo total a 510 nuevos soles.
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RECOMENDACIONES La empresa deberá apostar por nuestra investigación y nuestros resultados; pues, Danielita puede mejorar en sus gastos con la ayuda de esto dos temas realizados a través del proyecto. Ya que el proyecto empezó a mediados del presente mes (Julio), este sistema ayuda no solo al mes actual si no a los siguientes.
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BIBLIOGRAFIA Y/O LINKOGRAFIA
Miller, Ch.; Heeren, V. y Hornsby, J. (2006). Matemática: Razonamiento y aplicaciones. Haeussler, E. (2003). Matemática para administración y economía. http://www.uv.es/~perezsa/docencia/material/IMEE/Matrices.pdf http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_2.html http://fernandohn.galeon.com/aficiones1476102.html
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ANEXOS
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