UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FÍSICAS Y QUIMICAS ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
NOMBRES: LUIS FERNANDO OÑA MEJIA
ASIGNATURA: ESTRUCTURAS II
TEMA: ESTUDIO DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS METODO DE FUERZAS. METODO DEL TRABAJO MINIMO
DOCENTE: ING. IVAN ZEVALLOS
PERIODO ACADÉMICO: Abril 2017 – Septiembre Septiembre 2017
TEMA: ESTUDIO DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS POR EL ME TODO DEL TRABAJO MINIMO.
INTRODUCCION El método de las deformaciones compatibles, aplica el principio de superposición en las deformaciones elásticas de la estructura primaria, en los puntos de aplicación de las hiperestáticas , siendo la estructura primaria estable y estáticamente determinada y sometida a las cargas externas y a n fuerzas hiperestáticas. Las expresiones que establecen que el desplazamiento de cada hiperestática es igual a cero para una estructura cargada con apoyo que no sufren asentamientos, pueden plantearse aplicando el primer teorema de Castigliano en la forma:
,,… ,
∆= = 0 ∆= = 0 :
∆= = 0 donde W es la energía total de deformación de la estructura primaria y es, por tanto, función de las cargar externas y de las hiperestáticas desconocidas .
,,
Habrá, pues, tantas ecuaciones simultaneas como hiperestáticas desconocidas en el problema.
= = . . .= = 0 se conoce con el nombre de segundo teorema de Castigliano, teorema que puede enunciarse como sigue: las acciones hiperestáticas deben tener un valor tal que la energía de
deformación de la estructura sea un mínimo compatible con el equilibrio. Por esta razón se denomina a veces teorema del trabajo mínimo. Por la demostración anterior es evidente que el método del trabajo mínimo y el método de las deformaciones compatibles son en realidad idénticos. La elección entre los dos métodos es cuestión de preferencia personal. Por tener un enunciado más sencillo, el método del trabajo mínimo es utilizado más ampliamente por los ingenieros de estructuras. Sin embrago, este método está limitado al cálculo de fuerzas internas producidas solamente por cargas externas sobre estructuras con apoyos que no sufren asentamientos. No puede utilizarse para determinar esfuerzos producidos por cambios de temperatura, movimientos en los apoyos, defectos de fabricación, etc., y por tanto, no es tan general como el método de las deformaciones compatibles.
OBJETIVOS Objetivo General Realizar el estudio de las estructuras hiperestáticas por el método del trabajo mínimo
Objetivos Específicos Analizar el estudio y el cálculo de las cerchas hiperestáticas Investigar el análisis y el cálculo de las vigas hiperestáticas Determinar y analizar el estudio y cálculo de los pórticos hiperestáticos
JUSTIFICACION
El presente trabajo de investigación se lo ejecuta con la finalidad de realizar un análisis de las estructuras hiperestáticas en el cual se incluyen las, cerchas, vigas y pórticos. El estudio de estas estructuras se lo lleva a cabo por su importancia en la adquisición de conocimientos en el cálculo y la resolución de dichas estructuras, ya que como futuros ingenieros civiles es necesario e importante saber calcular este tipo de estructuras, las cuales son las más comunes en la construcción.
MARCO TEORICO Análisis de vigas hiperestáticas por el método del trabajo mínimo. El procedimiento implica en expresar la energía total de deformación de la estructura primaria en función de las cargas originales y de una o más acciones hiperestáticas y hacer cada una de las derivadas de esta expresión con respecto a una de las hiperestáticas conocidas igual a cero, y resolver el sistema de ecuaciones así obtenido para calcular el valor de las incógnitas. Como en los métodos anteriores, consideramos el momento flector como el único factor importante que contribuye a la energía interna de las v igas o de los pórticos rígidos. Por tanto, la energía total de deformación puede expresarse en la forma:
= ∫ 2 Igualando a cero la expresión de la derivada con respecto a una cualquiera de las hiperestáticas , se obtiene la ecuación del trabajo mínimo:
=0 ∫ /
En esta forma, podemos escribir un sistema de n ecuaciones simultáneas de trabajo mínimo, para una viga estáticamente indeterminada (o un pórtico rígido) con n hiperestáticas:
= ∫ / =0 = ∫ / =0 = ∫ / =0 :
con lo que podemos resolver todas las hiperestáticas desconocidas.
Ejemplo: Resolver la viga de la fig. 1(a) por el método del trabajo mínimo.
Fig. 1 Solución 1: la reacción en b,
, la elegimos como hiperestática, y tomamos como origen el
extremo b [ver fig. 1(b)]. Así.
= −
y
=
Sustituyendo estas ecuaciones en la expresión
= ∫ / =0 obtenemos
[ − 2/2] ∫ =0 o
3 − 3 = 0 3 8
de la que
que actúa en la dirección indicada.
= 38
Solución 2: escojamos el momento del extremo a,
, como magnitud hiperestática y tomemos como origen el punto a, como se indica en la fig. 1(c).
2 = + 2 − − 2 = 1−
escribiendo
= ∫ / 2 + 2 − − 2 {1−/} = ∫ = − 18 2
obtenemos
El signo negativo indica un momento en sentido antihorario.
Solución 3: supóngase que escogemos el momento interno en la sección del centro de la luz c, , como hiperestático. Tendremos entonces la estructura primaria cargada como se indica
en la fig. 1(d).
+2/ 2 = 4 + − 2 = 2
Por la estática, la reacción en el extremo b es
actuando hacia arriba. Tomando
b como origen tenemos
Sustituyendo
= 1 ∫ + − 2 2 =0 4 2 Obtenemos
= 2/16,
que actúa en la dirección supuesta.
Ejercicio de una viga hiperestática por el método del trabajo mínimo: Encontrar las reacciones en la viga de la Fig. 2(a) que tiene dos tramos. En este problema puede ser conveniente elegir como hiperestática la reacción vertical en el apoyo b. La viga puede considerarse entonces como una viga simple
Fig. 2 Sometida a la carga inicial y a la hiperestática respectivamente.
, como se indica en la fig. 2(b) y (c)
Los datos de la ecuación
= ∫ / =0 están expresados en la siguiente tabla
2 20+ 2 − 2 /2 20+2 /2 = ∫ +∫ 2 +200/2 +∫
= 25.84 Para obtener las reacciones en el apoyo a y en el apoyo d aplicamos las ecuaciones de la estática:
Σ =0 + 2010−20+2030− 40 = 0 2010−25.8420+2030− 40 = 0 =283.2/40 = 7.08 Σ=0 + −20+25.84−20+7.08=0 −7.08=0 =7.08
Análisis de pórticos rígidos hiperestáticos por el método del trabajo mínimo El procedimiento a seguir en el análisis de pórticos rígidos estáticamente indeterminados, por el método del trabajo mínimo, es similar empleado en el análisis de vigas hiperestáticas, por el mismo método.
Ejercicio de un pórtico hiperestático por el método del trabajo mínimo. Considérese el pórtico cargado de la fig. 3, y analizarlo por el método del trabajo mínimo:
Tomemos las componentes de reacción en a , y como hiperestáticas, según se indica en la fig. 3(b). Por simetría, podemos sustituir por 6 klb, de manera que solo nos quedan dos hiperestáticas, y , como se indica.
=0 ∫ / =0 =0 ∫ / =0 Las soluciones para las ecuaciones del trabajo mi nio están contenidas en la siguiente tabla:
∫ / 1. 2 = ∫ − 1 +∫ − 10 +6− 2 1 +∫ [ +−10 ]1 = 10 −50 + 10 −100 +100 + 10 −50 = 0 3 −20 +10=0 (ec. 1)
∫ / 1. 2 = ∫ − − +∫ − 10 +6− 2 −10 +∫ [ +−10]−10 1000 ) = 0 =(−50 + 1000 )+−100 +1000 −1000+ (−50 + 3 3 −3 +25 −15=0 Resolviendo (ec1) y (ec. 2)
3 −20 +10=0 −3 +25 −15=0 5 − 5 = 0 = 1
(ec. 2)
3 −20 +10=0 3 −201+10=0 =10/3 = 3.33 .
Reemplazando
en (ec. 1), tenemos:
Análisis de cerchas hiperestáticas por el método del trabajo mínimo. Las cerchas hiperestáticas pueden estudiarse por el método del trabajo mínimo en forma similar a los casos anteriores. La energía total de deformación (trabajo interno) de una cercha viene expresada por
= Σ 2 Obteniendo la derivada de esta expresión con respecto a cualquiera de las hiperestáticas e igualándola a cero, obtenemos la ecuación del trabajo mínimo:
= 0 Σ / = 0 Σ / :
= 0 Σ / Ejercicio de una cercha hiperestática por el método del trabajo mínimo Analizar la cercha de la figura 3. Tomar las barras.
= 30000 / / = 1 y
para todas
La cercha es estáticamente indeterminada de segundo grado. Podemos tomar las barras bC y Cd como barras sobrantes. Como se indica en la figura 4, estas barras se cortan y se les aplican las fuerzas axiales hiperestáticas respectivamente. Se calcula después de la fuerza interna en cada una de las barras en función de las cargas externas y de las fuerzas hiperestáticas como se indica. Las incógnitas se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas:
= 0 Σ /
= 0 Σ /
Disponiendo los cálculos de la forma indicada en la siguiente tabla
Sustituyendo tenemos:
−78.4+4 +0.64 = 0 27.2+0.64 +4 = 0 Y resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que
= 21.2
=10.2
En la tabla se dan los valores de las fuerzas en cada una de las barras. Obsérvese que el mismo procedimiento puede extenderse al análisis de las cerchas con muchas magnitudes hiperestáticas.
CONCLUSIONES En la presente investigación se concluye que, como futuros ingenieros civiles, es de vital importancia saber calcular estructuras hiperestáticas, en especial tener conocimientos de los diferentes métodos para el cálculo de las mismas, ya que ex isten métodos que pueden ayudar a resolver dichas estructuras de una manera rápida y confiable, es por eso que en esta investigación se adopta realizar un análisis de uno de los diferentes métodos que existen, como lo es el método del trabajo mínimo. En el cálculo de las estructuras hiperestáticas existen diversos métodos, por lo que se puede concluir que el método del trabajo mínimo, es un método muy eficaz y rápido, pero para poder ponerlo en práctica es de vital importancia tener conocimientos básicos que nos ayuden a emplear el método de una forma correcta para no cometer errores en los cálculos.
RECOMENDACIONES Es recomendable realizar un estudio de los distintos métodos que existen para el cálculo de las estructuras hiperestáticas y así poder utilizar el método más factible y sencillo que facilite el cálculo de dichas estructuras para obtener de una manera más rápida y segura los resultados esperados. Antes de emplear un método para realizar el cálculo, se deben considerar ciertos aspectos en cuanto a el grado de hiperestaticidad de la estructura, reconocer si es estable o inestable, así como también reconocer si la estructura es isostática o hiperestática, ya que es de vital importancia reconocer todos estos aspectos los cuales tendrán una gran influencia para el empleo del método a seguir.
BIBLIOGRAFIA Teoría Elemental de Estructuras – Yuan-Yu Hsieh
