Ejercicios de estadística
INSTRUCCIONES: Elija la metodología adecuada según el problema planteado. Se debe utilizar software estadístico en el caso en que la metodología elegida se encuentre implementada.
1. Visa Card USA estudió la frecuencia con que los consumidores de diversos rangos de edades usan tarjetas plásticas (de crédito o de débito) al pagar sus compras (Associated Press, 16 de enero de 2006). A continuación se presentan los datos muestrales de 300 clientes divididos en cuatro grupos de edades Grupo de edad Forma de pago
18-24
25-34
35-44
45 y más
Plástico
21
27
27
36
Efectivo o cheque
21
36
42
90
Tabla - 1 Pruebe la independencia entre el método de pago y el grupo de edad. ¿Cuál es el valor p? Usando un nivel de significancia del 0.05 ¿Cuál es su conclusión? Respuesta:
Ho: La forma de pago y el grupo edad de la Tabla - 1 son independientes. Ha: La forma de pago y el grupo edad de la Tabla - 1 no son independientes. Usando Minitab, según el texto "Estadística para Negocios y economía" por Anderson, Sweeney, y Williams (libro utilizado en clase por la profesora), se ingresan los valores de la Tabla - 1, y se hace clic sobre el menú Prueba Chi-cuadrada (tabla de dos factores en hoja de trabajo)..., como se indica en la Fig. 1
Fig. 1
Desde el menú Enviar sección a Microsoft Word , Fig. 2, se obtiene los resultados que se indican abajo.
Fig. 2
Prueba Chi-cuadrada: 18-24; 25-34; 35-44; 45 y más Los conteos esperados se imprimen debajo de los conteos observados Las contribuciones Chi-cuadradas se imprimen debajo de los conteos esperados 18-24 21 15,54 1,918
25-34 27 23,31 0,584
35-44 27 25,53 0,085
45 y más 36 46,62 2,419
Total 111
2
21 26,46 1,127
36 39,69 0,343
42 43,47 0,050
90 79,38 1,421
189
Total
42
63
69
126
300
1
Chi-cuadrada = 7,947; GL = 3; Valor P = 0,047
En donde: 1 se refiere a la forma de pago Plástico y 2 a la forma de pago Efectivo o cheque. El Valor p, como se indica en los resultados es de 0,047. Conclusión: Usando un nivel de significancia del 0,05, se observa que el Valor p (de 0,047) no
supera este nivel, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula Ho. 2 . El número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador de una empresa tiene una distribución de Poisson. Use un nivel de significancia del 10% y los siguientes datos para probar esta suposición Número de llamadas por minutos
0
1
2
3
4
5
6
Frecuencia observada
15
31
20
15
13
4
2
Respuesta: Ho: El número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador tiene una distribución Poisson. Ha: El número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador no tiene una distribución Poisson.
= 0,1
Con esta información se construye la siguiente tabla, baso en el método de prueba de bondad y ajuste de la distribución de Poisson(ampliar para mejor visibilidad):
Número de llamadas por
Frecuencia observada
minutos
0
15
1
31
2 3
20 15
4
13
5 6 7 o más Total µ e
Numero esperado de numero de 2 minutos Cuadrado de llamadas por con x Freecuencia la frecuencia probabilidad llamadas(100 Observada(fi Frecuencia diferencia(fiobservada de poisson f(x) ) esperada(ei) ei)^2
Cuadrado de la diferencia dividido entre la frecuencia espererada
0 31
0,1353 0,2707
13,53 27,07
15 31
13,53 27,07
2,15 15,47
40
0,2707
27,07
20
27,07
49,94
1,85
45 52
0,1804 0,0902
18,04 9,02
15 13
18,04 9,02
9,27 15,82
0,51 1,75
4 2
20
0,0361
3,61
6
5,27
0,54
0,10
12
0,0120 0,0045
1,20 0,45
100 2 2,718281828
200 0,9955
100,00
100
0,16 0,57
chicuadrado 4,95
100,0000
grados de libertad 4,00
pvalor 0,2929
Conclusiones: Dado que el p- valor (0,2929) es mayor que α(0,1) se concluye que no se rechaza la hipótesis nula Ho, es decir, que el número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador tiene una distribución Poisson.
3. Las siguientes son las calificaciones en los exámenes finales en un curso universitario 55
85
72
99
48
71
88
70
59
98
80
74
93
85
74
82
90
71
83
80
60
95
77
84
73
63
72
95
79
51
85
76
81
78
65
75
87
86
70
64
Use un nivel de significancia del 5% y realice una prueba para determinar si se debe rechazar que una distribución normal sea representativa de la distribución poblacional de estas calificaciones.
Respuesta: Se utiliza la herramienta SSPS, y existen dos formas de acceso para ello. Ambos se refieren al procedimiento Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra compara la función de distribución acumulada observada de una variable con una distribución teórica determinada, que puede ser la normal, la uniforme, la de Poisson o la exponencial. La Z de KolmogorovSmirnov se calcula a partir de la diferencia mayor (en valor absol uto) entre las funciones de distribución acumuladas teórica y observada. Esta prueba de bondad de ajuste contrasta si las observaciones podrían razonablemente proceder de la distribución especificada. A continuación se muestra primera la secuencia de acceso a esta prueba (cuadros de diálogos antiguos).
Fig. 3
En la siguiente imagen se muestra la segunda secuencia de acceso a este método, y es el más moderno:
Fig. 3 Esta secuencia lleva a las siguientes ventanas:
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
Los resultados obtenidos de esta prueba son los siguientes.
NPAR TESTS /K-S(NORMAL)=Calificaciones /STATISTICS DESCRIPTIVES QUARTILES /MISSING ANALYSIS.
Pruebas no paramétricas Notas
Resultados creados
26-MAY-2012 20:42:55
Comentarios
Entrada
Conjunto de datos activo
Conjunto_de_datos0
Filtro
Peso
Dividir archivo
Núm. de filas del archivo de
40
trabajo Los valores perdidos Definición de los perdidos
definidos por el usuario será tratados como perdidos.
Manipulación de los valores
Los estadísticos para cada
perdidos
prueba se basan en todos Casos utilizados
los casos con datos válidos para las variables usadas en dicha prueba. NPAR TESTS /KS(NORMAL)=Calificaciones
Sintaxis
/STATISTICS DESCRIPTIVES QUARTILES /MISSING ANALYSIS.
Recursos
Tiempo de procesador
00:00:00,02
Tiempo transcurrido
00:00:00,02
Número de casos
196608
a
permitidos
a. Basado en la disponibilidad de memoria en el espacio de trabajo.
[Conjunto_de_datos0] Estadísticos descriptivos
N
Media
Desviación
Mínimo
Máximo
típica
Percentile s 25
Calificaciones
40
76,8250
12,42596
48,00
99,00
70,2500
Estadísticos descriptivos
Percentiles 50 (Mediana) Calificaciones
75 77,5000
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
Calificaciones N
40 Media
76,8250
a,b
Parámetros normales
Desviación típica
Diferencias más extremas
12,42596
Absoluta
,091
Positiva
,037
Negativa
-,091
85,0000
Z de Kolmogorov-Smirnov
,578
Sig. asintót. (bilateral)
,892
a. La distribución de contraste es la Normal. b. Se han calculado a partir de los datos.
*Nonparametric Tests: One Sample. NPTESTS /ONESAMPLE TEST (Calificaciones) KOLMOGOROV_SMIRNOV(NORMAL=SAMPLE ) /MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.
Pruebas no paramétricas Notas
Resultados creados
26-MAY-2012 20:51:26
Comentarios Conjunto de datos activo
Conjunto_de_datos0
Filtro
Peso
Dividir archivo
Entrada
Núm. de filas del archivo de
40
trabajo NPTESTS /ONESAMPLE TEST (Calificaciones)
KOLMOGOROV_SMIRNOV( NORMAL=SAMPLE ) Sintaxis /MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95. Tiempo de procesador
00:00:00,53
Tiempo transcurrido
00:00:00,85
Recursos
[Conjunto_de_datos0]
Fig. 7 Conclusión: Los datos suministrados se aproximan a una distribución normal dentro de un nivel de significancia del 5%.
4. Con objeto de determinar su efecto en el rendimiento de la gasolina en millas por galón en los automóviles de pasajeros, se prueban dos aditivos para gasolina. A continuación aparecen los resultados de esta prueba en 12 automóviles; en cada automóvil se probaron los dos aditivos. Use un nivel de significancia del 5% y la prueba de los rangos con signo de Wilcoxon para determinar si existe una diferencia significativa entre estos dos aditivos Automóvil
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Aditivo 1
20.12
23.56
22.03
19.15
21.23
24.77
16.16
18.55
21.87
24.23
23.21
25.02
Aditivo 2
18.05
21.77
22.57
17.06
21.22
23.80
17.20
14.98
20.03
21.15
22.78
23.70
Respuesta:
Antes de realizar la prueba de los rangos con signo de Wilcoxon se observa la distribución de los datos para verificar si existe algún tipo de simetría, ya que la prueba asume este tipo de relación entre los datos. Se ha creado un gráfico con estos datos, Fig. 8 , y efectivamente podemos asumir que existe simetría entre los mismos, no siendo sesgadas.
Fig. 8
Otro punto que debe tomarse en cuenta es que la prueba se presenta como alternativa a la t de Student cuando el supuesto de normalidad no es asumible, que es lo que se observa en la Fig. 9.
Automóvil
Aditivo 1
Aditivo 2
Diferencia
Diferencia Absoluta
1
20,12
18,05
2,07
2,07
2
23,56
21,77
1,79
1,79
3
22,03
22,57
-0,54
0,54
4
19,15
17,06
2,09
2,09
5
21,23
21,22
0,01
0,01
6
24,77
23,8
0,97
0,97
7
16,16
17,2
-1,04
1,04
8
18,55
14,98
3,57
3,57
9
21,87
20,03
1,84
1,84
10
24,23
21,15
3,08
3,08
11
23,21
22,78
0,43
0,43
12
25,02
23,7
1,32
1,32
Tabla - 2 A simple vista (ver tabla 1), se puede observar que el rendimiento del automóvil con el Aditivo 1 es mejor que el del Aditivo 2, excepto por los automóviles 3 y 7. En particular, se usará la prueba de rangos con signo de Wilcoxon para la diferencia entre la mediana de los rendimientos para los dos aditivos usados en las pruebas los 12 automóviles. Las hipótesis son las siguientes, para un nivel de significancia del 5%. Ho: Existe una diferencia significativa entre las medianas de los rendimientos producidos por
los dos aditivos. Ha: No existe una diferencia significativa entre las medianas de los rendimientos producidos
por los dos aditivos.
Usando SPSS, se siguen los siguientes pasos:
Fig. 9
Fig. 10
Fig. 11
Los primeros resultados que nos devuelve SPSS, so n los siguientes:
*Nonparametric Tests: Related Samples. NPTESTS /RELATED TEST(Aditivo1 Aditivo2) WILCOXON /MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.
Pruebas no paramétricas Notas
Resultados creados Comentarios
27-MAY-2012 08:41:15
Entrada
Conjunto de datos activo
Conjunto_de_datos0
Filtro
Peso
Dividir archivo
Núm. de filas del archivo de
12
trabajo NPTESTS /RELATED TEST(Aditivo1 Aditivo2) WILCOXON Sintaxis
/MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95. Tiempo de procesador
00:00:00,25
Tiempo transcurrido
00:00:00,24
Recursos
[Conjunto_de_datos0]
Nótese que SPSS rechaza la hipótesis nula de que la diferencia entre ambos redimientos es cero. Por lo que SSPS considera como hipótesis nula, lo que para la respuesta de este ejercicio es la hipótesis alterna.
Para observar los resultados con más detalle, SSPS nos da los siguientes resultados:
[Conjunto_de_datos0]
Estadísticos descriptivos
N
Media
Desviación
Mínimo
Máximo
Percentiles
típica 25
50 (Mediana)
75
Aditivo1
12
21,6583
2,73926
16,16
25,02
19,3925
21,9500
24,0625
Aditivo2
12
20,3592
2,89744
14,98
23,80
17,4125
21,1850
22,7275
Rangos
N
Rango promedio Suma de rangos a
7,00
70,00
b
4,00
8,00
Rangos negativos
10
Rangos positivos
2
Empates
0
Total
12
aditivo2 - aditivo1
a. aditivo2 < aditivo1 b. aditivo2 > aditivo1 c. aditivo2 = aditivo1
c
Estadísticos de contraste
a
aditivo2 aditivo1 Z
b
-2,432
Sig. asintót. (bilateral)
,015
Sig. exacta (bilateral)
,012
Sig. exacta (unilateral)
,006
Probabilidad en el punto
,001
a. Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon b. Basado en los rangos positivos.
Conclusión:
Como el P-valor es 0,012 (ver resultados en rojo, página anterior) y el nivel de significancia es de 5%(0,05) , es decir que 0,012< 0,05, entonces nos quedamos con la hipótesis que indica que no hay diferencia significativa entre el rendimiento de los dos aditivos. Para SPSS, ésta es la hipótesis alternativa, para la respuesta de este ejercicio es la hipótesis nula, Ho.
