BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Mengajarkan pembelajaran
matematika
sedemikian
merupakan
sehingga
suatu
siswa
kegiatan
belajar
untuk
mendapatkan kemampuan dan ketrampilan tentang matematika. Kemampuan dan ketrampilan tersebut ditandai dengan adanya interaksi yang positif antara guru dengan siswa, siswa dengan siswa, yang sesuai dengan tujuan pengajaran yang telah ditetapkan . Namun
dalam
melaksanakan
kegiatan
pembelajaran
khususnya yang berhubungan dengan matematika, ternyata masih banyak mengalami hambatan-hambatan baik yang dialami siswa maupun guru. Salah satu hambatan yang terjadi adalah kesulitan
dalam
memahami
konsep-konsep
matematika.
Didapatkan bahwa dari latar belakang siswa sangat bervariasi dalam motivasi belajarnya, mereka rata-rata dalam belajar tanpa dibekali
keinginan
untuk
memahami
konsep-konsep
yang
diajarkan oleh guru. Mereka kurang dalam mengkaitkan materi satu dengan yang lain. Sehingga yang terjadi mereka kebingungan dan selanjutnya dalam menyelesiakan soal-soal tidak sesuai dengan prosedur. Dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP), materi Teorema Pythagoras yang berbunyi: “Kuadrat ukuran hipotenusa dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat ukuran sisi sikusikunya”, merupakan materi yang diberikan pada siswa SMP/MTs kelas VIII. Seorang guru harus dapat memilih strategi pembelajaran yang sesuai dengan kemampuan siswanya sehingga mudah dalam memahami dan menanamkan konsep yang ada. Tentunya
dengan konsep yang sudah ada maka siswa pastinya akan dapat menyelesaikan,
membuktikan,
menganalisis
persoalan yang
dihadapi dengan cara berpikir yang logis dan matematis. B. Batasan Masalah Dalam makalah yang dibuat ini perlu adanya pembatasan masalah yang akan yang bahas, dengan melalui beberapa pendekatan dalam pembuktian teorema Pythagoras ini mampu membantu
dalam
penanaman
konsep
teorema
Pythagoras
kepada siswa. C. Rumusan Masalah Dari
batasan
masalah
diatas
maka
dapat
rumuskan
permasalah yang ada yaitu “Bagaimana pembuktian Teorema Pythagoras melalui beberapa pendekatan dapat membantu dalam penanaman konsep teorema Pythagoras”. D. Tujuan Penulisan Sesuai dengan rumusan masalah diatas tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui bagaimana pembuktian Teorema
Pythagoras
membantu
dalam
melalui
penanaman
beberapa konsep
pendekatan teorema
dapat
Pythagoras
tersebut pada siswa SMP kelas VIII. E. Manfaat Penulisan 1. Bagi siswa akan memperoleh pengetahuan baru dan akan dapat membuktikan teorema Pythagoras dengan menggunakan beberapa pendekatan. 2. Bagi guru akan dapat menanamkan pengetahuan baru kepada siswa tentang teorema Pythagoras.
BAB II PEMBAHASAN A. Pyhtagoras 1. Biografi Pythagoras Phytagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya. Dalam melakukan
tradisi
Yunani,
perjalanan,
diceritakan
diantaranya
ke
bahwa Mesir.
ia
banyak
Perjalanan
Phytagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. Konon, karena
kecerdasannya
dikunjunginya
merasa
yang tidak
luar
biasa,
sanggup
para untuk
imam
yang
menerima
Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe. Disini ia belajar
berbagai macam misteri. Selain itu, Phytagoras juga berguru pada imam-imam Caldei untuk belajar Astronomi, pada para imam Phoenesia untuk belajar Logistik dan Geometri, pada para Magi untuk belajar ritus-ritus mistik, dan dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia belajar teori perlawanan. Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Phytagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Phytagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan “Kaum Phytagorean.” 2. Kaum Phytagorean Kaum phytagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiranpemikiran
Phytagoras.
Semboyan
mereka
yang
terkenal adalah “authos epha, ipse dixit” (dia sendiri yang telah mengatakan demikian).2 Kaum ini diorganisir menurut aturanaturan hidup bersama, dan setiap orang wajib menaatinya. Mereka menganggap filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai jalan hidup, sarana supaya setiap orang menjadi tahir, sehingga luput dari perpindahan jiwa terus-menerus. Diantara pengikut-pengikut Phytagoras di kemudian hari berkembang dua aliran. Yang pertama disebut akusmatikoi (akusma = apa yang telah
didengar; peraturan): mereka
mengindahkan penyucian dengan menaati semua peraturan secara seksama. Yang kedua disebut mathematikoi (mathesis = ilmu pengetahuan): mereka mengutamakan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu pasti.
3. Pemikiran Phytagoras Phytagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda.
Angka
bukan
anasiralam.
Pada
dasarnya
Phytagorean menganggap bahwa pandangan
kaum
Anaximandros
tentang to Apeiron dekat juga dengan pandangan Phytagoras. To Apeiron
melepaskan
unsur-unsur
berlawanan
agar
terjadi
keseimbangan atau keadilan (dikhe). Pandangan Phytagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur, melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan kata lain tata tertib terjadi melalui angka-angka. Salah satu peninggalan Phytagoras yang terkenal adalah teorema
Pythagoras,
yang
menyatakan
bahwa
kuadrat
hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah
kuadrat
dari
kaki-kakinya
(sisi-sisi
siku-sikunya).
Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras dan muridmuridnya
percaya
bahwa
segala
sesuatu
di
dunia
ini
berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan
dalam
bilangan-bilangan
atau
perbandingan
bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa
√2 ,
hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing
1,
adalah
bilangan
irasional,
Pythagoras
memutuskan
untuk
membunuhnya
karena
tidak
dapat
membantah bukti yang diajukan Hippasus. B. Teorema Pythagoras Dan Pembuktiannya 1. Teorema Pytahgoras Pada suatu segitiga siku-siku, Kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi siku-sikunya.” c2 = a2 + b2
2. Pembuktian Teorema Pythagoras. a. Dari sekolah pythagoras Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, Mesir, juga di Cina. Tetapi, catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji dengan gambar di bawah.
Dari kedua gambar diatas dapat dilihat dengan jelas bahwa persegi besar sebelah kanan sama luasnya dengan persegi besar kiri. Luas yang dimaksud disini adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning . dari gambar di atas juga diperoleh, sebagai berikut :
Luas daerah biru pada persegi kanan adalah Luas 1 + Luas 2 = (a.a) (b.b) = a2 + b2 Luas daerah biru pada persegi sebelah kiri adalah Luas = c.c = c2 Karena telah jelas dari gambar bahwa luas daerah
biru
pada kedua persegi adalah sama maka di peroleh a2 + b2 = c2 b. Bukti dari Bhaskara Pembuktian aljabar ini merupakan pembuktian teorema dengan mengunakan 4 buah segitiga siku-siku sama dengan panjang sisi a,b, dan c .segitiga siku-siku disusun dengan sisi c diletakkan diluar sehingga menjadi menjadi persegi dengan luas c2 sebagai berikut.
Luas segitiga adalah= ½ x alas x tinggi = ½ ab Sedangkan luas peresegi kecil yang berada didalam segitiga sikusiku adalah (b-a)2 Jadi diketahui bahwa luas persegi ABCD adalah 4 kali luas segitiga siku-siku + luas persegi kecil Luas PQRS + 4 × luas ABQ = luas ABCD (b – a)2 + 4 ×1/2. ab = c2 b2 – 2ab + a2 + 2ab = c2 a2 + b2 = c2 c. Bukti dari J.A. Garfield
Pembuktian berikut ini berasal dari J.A. Garfield tahun 1876.Trapesium dapat terbentuk dari 3 buah segitiga siku-siku sehingga
Luas
trapesium
sama
dengan
luas
segitiga
penyusunnya. Luas trapesium = (alas + atas)/2. tinggi = (a + b)/2. (a + b). 1 ½(a+b) (a+b) = ( 2 ab ¿+¿ 1 2 ( a +2 ab+b 2 )=¿ ( 1 ab ¿+¿ 2 2
1 1 2 ( 2 ab ¿+( 2 c ) 1 1 ab ¿+ c 2 dikalikan2 ( 2 2
( )
a2 +2 ab+b 2=ab+ ab+c 2 a2 +2 ab+b 2 = 2 ab+c 2 2
a +b
2
= c
2
d. Pembuktian dengan indentitas trigonometri Buatlah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c seperti gambar berikut c a b
Kemudian
dengan
menggunakan
menentukan sinus dan cosinus
trigonometri
untuk
θ sudut yaitu sebagai berikut
1 θ
Sin
Cos
θ
a b θ= , cos θ= b c
Sin
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri pythagoras yang mendasar, sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa 2
2
sin θ+cos θ=1 a 2 b 2 + =1 c c
()()
a2 b2 + =1 c2 c2 a2 +b2 =1 2 c a2 +b 2=c 2
e. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun
Perhatikan gambar di samping: Δ ABC ~ Δ ACD sehingga
b c
=
c1 b atau b2 = c.c1 ....(1)
Δ ABC ~ Δ CBD sehingga atau a2 = c.c2 ...(2) Dari (1) dan (2): a2 + b2 = c.c1 + c.c2 a2 + b2 = c. (c1 + c2) a2 + b2 = c.c a2 + b2 = c2
f. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah Δ ABC sebesar 90o searah arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi titik C. Segitiga baru A’B’C’ berimpit dengan Δ ABC. 1 2 a =( 1 ) 2 1 2 b =( 2 ) + ( 3 ) 2 1 2 1 2 a + b =(1) + [ (2) + (3) ] 2 2
= [ (1) + (2) ] + (3) = ½ cx + ½ cy = ½ c (x + y) = ½ c.c = ½ c2 Dengan mengali dua kedua ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
g. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan
segitiga
siku-siku
ABC.
dibuat
segitiga
JHI
kongruen dengan ABC.Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC dan EDGF adalah kongruen. Bukti Teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut: luas(ADGC) + luas(EDGF) = luas(ABHI) + luas(JHBC) luas(ADEFGC) = luas(ABCJHI) Tetapi kedua bangun memuat 2 segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga: luas(ADEFGC) - 2. luas(ABC) = luas(ABCJHI) - 2.luas(ABC) luas(ABED) + luas(BCGF) = luas(ACJI) a2 + b2 = c2
h. Bukti Dengan Vektor
Suatu vektor yang digambarkan pada bidang koordinat mempunyai komponen horisontal (gerakan ke kanan/kiri) dan komponen vertikal (gerakan ke atas/bawah)
Berdasarkan gambar di atas, komponen horisontal vektor AB sebesar xB – xA, sedang komponen vertikal vektor AB sebesar yB – yA. Maka panjang AB dapat ditentukan sebagai berikut: |AB|2 = (Komponen Horizontal)2 + (Komponen Vertikal)2= (xB – xA)2 + (yB – yA)2 Dengan kata lain ini sama saja dengan misalnya |AB| adalah c, (xB – xA) adalah a dan (yB – yA) adalah b maka: c2 = a2 + b2
BAB III KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Dari semua pembahasan diatas maka dapat disumpulkan untuk
membuktikan
teorema
Pythagoras
dapat
dibuktikan
dengan beberapa pendekatan, diantaranya dengan : 1) 2) 3) 4)
Bukti dari sekolah pythagoras Bukti dari Bhaskara Bukti dari J.A. Garfield Bukti menggunakan Garis Tinggi Sebangun
dan
Sifat
Segitiga
5) 6) 7) 8)
Bukti Bukti Bukti Bukti
menggunakan Transformasi dari Euclides dari Leonardo da Vinci dengan Vektor
B. Saran 1) Untuk membuktikan teorema Pythagoras perlu adanya pemahaman konsep yang lebih agar dalam membuktikan teorema tersebut tidak mengalami kesulitan. 2) Pembuktian teorema Pythagoras sebaiknya menggunakan lebih dari satu pendekatan
DAFTAR PUSTAKA Kukuh. 2006. Geometri Analitik Bangun dan Ruang. Samarinda: Fakultas
Keguruan
dan
Ilmu
Pendidikan
Universitas
Mulawarman Kukuh. 2006. Geometri Datar dan Ruang . Samarinda: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Mulawarman Kusumawati, Heny. 2006. Matematika untuk SLTP Kelas VIII. Jakarta: Erlangga Rich, Barnet. 2005. Geometri. Jakarta: Erlangga Sobel, Max A.2004. Mengajar Matematika. Jakarta: Erlangga
Sumarno. 2006. Geometri Datar dan Ruang. Samarinda: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Mulawarman ______.
Pembuktian
Teorema
http://www.matematikaku.com/
Tanggal
Pythagoras. 16
Desember
Is
Story.
16
Desember
2014 Pukul 16.45 ______.
Pythagoras
My
http://www.matematikaku.com/ 2014 Pukul 16.55
Life Tanggal
