El presente trabajo está enfocado a cualquier persona que desee adquirir los conocimientos básicos sobre las progresiones geométricas con sus respectivas conclusiones como también ejemplos. Además de las demostraciones de cada una de estas. En las siguientes páginas de este informe encontrara como paso a paso son resueltos algunos ejemplos de cada tema que se está tratando. Es evidente que el interés por las matemáticas no responde a esta necesidad. Creemos que en gran parte es por la falta de técnicas didácticas al momento de enseñar o presentar un libro. Es por ello que el presen te trabajo sobre “progresiones” tiene un aspecto didáctico con muchos ejemplos y ejercicios propuestos.
1. INTRODUCCIÓN 2. ÍNDICE 3. REVICIÓN BIBLIOGRAFICA 4. PROBLEMAS RESUELTOS 5. CONCLUSIONES 6. RECOMENDACIONES 7. BIBLIOGRAFIA 8. ANEXO
Dentro de las sucesiones existen dos modelos muy importantes y corresponden al nombre genérico de progresiones.
Progresiones aritméticas Una sucesión de números reales, es una progresión aritmética (P.A) si la diferenciaentre cada término y el anterior es constante. La constante en una P.A se llamadiferencia común y la simbolizaremos con la letra d . Para que una P.A. quede completamente definida, además de especificar su diferencia común d , debemos especificar el primer término de la progresión que usualmente se denota u 1.
¿Cómo reconocer una progresión aritmética? Para asegurarse de que una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión.
Ejemplo 1 (a) 0, 1, 2, 3, 4,............, u1 = 0d= 1 (b) 7, 14, 21, 28,35,....., u1 = 7d= 7 (c) 10, 1,-8,-17,-26,......, u1 = 10d=-9
Ejemplo 2 La sucesión: 5; 8; 11; 14; ...
d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3 Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d .
Nota: En el programa Bachillerato, se utiliza la letra u para designar un elemento de una progresión
Así, si (u n) es una progresión aritmética, se verifica que:
u n = u n - 1 + d
Término general de una progresión aritmética La fórmula del término general de una progresión aritmética (u n) se encuentra sin más que observar que: u2 = u1 + d u 3 = u 2 + d = (u 1 + d ) + d = u 1 + 2 d u 4 = u 3 + d = (u 1 + 2d ) + d = u 1 + 3d u 5 = u 4 + d = (u 1 + 3d ) + d = u 1 + 4d Nótese que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades: - La primera es siempre u 1 - La segunda es el producto (n - 1) d . u n = u 1 + (n - 1) d
Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.
Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.
Ejemplo Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su término general? Solución:
u1 1 1 0 1 0 2 u2 3 1 2 1 1 2 u3 5 1 4 1 2 2 u4 7 1 6 1 2 3 .......... .......... .......... ...... un 1 2 (n 1)
Se trata de una progresión aritmética de diferencia d = 2 y primer término u 1 = 1. El término general es, por tanto: u n = 1 + (n - 1) · 2 = 2n -1
Términos equidistantes aritmética
de
una
progresión
El interés de las progresiones aritméticas no acaba en el cálculo del término general. Estudiando más detalladamente algunos modelos de progresiones aritméticas, se pueden deducir propiedades de enorme interés: En cada uno de estos tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de términos, de forma que la suma de los subíndices es igual en ambos casos. Sumando el valor de los términos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados coinciden. Esto conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de términos cuyas sumas de subíndices coincidan, también coincidirán las sumas de sus términos correspondientes. Dicho en lenguaje matemático, cabe preguntarse si será cierto que el hecho de ser r + s = t + v , se desprende la igualdad ur + us = ut + uv. La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión aritmética.
Propiedad: Si u n es una progresión aritmética de diferencia d y r + s = t + v , entonces u r + u s = u t + u v. Demostración:
u r u1 (r 1)d
u t u1 (t 1)d
u s u1 ( s 1)d
u v u1 (v 1)d
_______________
________________
u r u s 2u1 (r s 2)d
u t u v 2u1 (t v 2)d
Estos dos resultados son iguales por ser r + s = t + v .
Ejemplo En una progresión aritmética se sabe que: a 1 = -2, a 32 = 91, a 16 = 43. Encontrar a 17. Solución: Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, por la propiedad de los términos equidistantes, u 1 + u 32 = u 16 + -2 + 91 = 43 + u 17
u 17 u 17 =46
Interpolación de medios aritméticos Interpolar (de inter = entre y polos = ejes) n números entre otros dos conocidos a y b ; consiste en construir una progresión aritmética a, u 1, u 2, ..., u n, b . Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:
La sucesión tiene n + 2 términos
El primer término es a y el término u n + 2es b .
Aplicando la fórmula del término general de una progresión aritmética, se tiene que:
b = a + [(n + 2) - 1] · d , Una vez conocido el valor de la diferencia, a 1 se obtiene como la suma de a y d ;u 2 es la suma de a 1 y d , y así sucesivamente. Los números u 1, u 2, ..., u n reciben el nombre de medios aritméticos .
Ejemplo Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25. Solución: La progresión es: -18, u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, 25. Aplicando la fórmula obtenida con a = -18 y b = 25.
La progresión aritmética que se buscaba es:
Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética Se denotará por S n a la suma u 1 + u 2 + ... + u n Se tiene entonces: S n = u 1 + u 2 + u 3+ ... + u n - 2 + u n - 1+ a n Invirtiendo el orden, S n = u n + u n - 1 + u n - 2+ ... + u 3 + u 2+ u 1 y sumando, 2S n = (u 1 + u 2) + (u 2 + u n - 1) + ... + (u n - 1 + u 2) + (u n + u 1) Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que: u 1 + u n = u 2 + u n - 1 = u 3 + u n - 2= ... = u n + u 1 Por tanto, 2 · S n = n (u 1+ u n), y despejando: Sn
u1 u n 2
n
Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos. Para sumar, por ejemplo, u 5 + u 6 ... + u 83, es necesario constatar que hay (83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros). La suma es: u 5 u83 2
79
Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050.
Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50 · 101 = 5 050.
Nota: Otra de las fórmulas para obtener la suma de términos en un progresión aritmética es: S n
n 2
2u1 (n 1) d
Suma de términos de una progresión aritmética Ejemplo
Sumar los veinte primeros términos de la progresión: -5, 4, 13, 22, 31, 40 S 20
u1 u20 2
d
Solución: La diferencia es d = 9 u 20 = -5 + (20 - 1) · 9 u 20 = -5 + 19·9 = 166 S 20
5 166 2
20
1610
Progresiones geométricas
Una sucesión de números reales es una progresión geométrica (P.G) si el cocientede cada término con el anterior es constante. Esta constante se llama razón común y la denotaremos con la letra r . Además, para que una P.G quede completamente definida, debemos especificar el primer término de la progresión que denotaremos
u 1. Ejemplo de P.G
1,2, 4, 8,.........,u1 = 1;, r = 2
(b) – 3, 3,-3, 3 ,.....,u1 = -3, r = -1
(c) x, mx, m2 x, m3 x,......, u1 = x,
r=m
Observación : Si u 1es el primer término de una progresión geométrica cuya razón común es r , entonces: n- 1 u n= u 1r
Otra de las definiciones es: Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r . Así, si (u n) es una progresión geométrica, se verifica
u n = u n - 1 · r
¿Cómo reconocer una progresión geométrica? Para asegurarse de que una sucesión es una progresión geométrica se ha de comprobar que el cociente entre cada término y su anterior es siempre el mismo. Además esta comprobación elemental determina el valor de esta razón de la progresión.
Ejemplo 1 ¿Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresión geométrica?
Solución:
Ejemplo 2
Solución: 1 1 5 1 1 5 25 1 25 5 1 5 5 No es una progresión geométrica 1 25 1 125 Pero 1 125 5 25
Término general de una progresión geométrica La fórmula del término general de una progresión geométrica (u n) se encuentra sin más que observar que: u2 = u1 · r u3 = u2 · r = (u1 · r) · r = u1 · r2 u4 = u3 · r = (u1 · r2) · r = u1 · r3 u5 = u4 · r = (u1 · r3) · r = u1 · r4 ....................................................... Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:
La primera es siempre u 1
La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice.
En definitiva, la expresión del término general es:
un = u1 · rn - 1 1. Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior. 2. Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.
3. Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos .
Cálculo del término general de una progresión geométrica Ejemplo 1 Calcular el término general de la progresión
1 , 1, 3, 9,........ 3
Solución : Se trata de una progresión geométrica de razón r = 3 y primer término
El término general es, por tanto: un
1 3
3 n 1 u n = 3n - 2
Ejemplo 2
¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, ...?
Solución: Es una progresión geométrica en la que el primer término a 1 vale -1, y la razón es:
Su término general es, pues:
u n = -1 · (-2)n - 1 Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada. Nótese la similitud que hasta el momento se da entre las progresiones aritméticas y las geométricas. Se seguirán comprobando todas las propiedades, sin más que cambiar sumas por productos.
Términos equidistantes geométrica
de
una
progresión
La analogía observada hasta ahora conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de términos cuyas sumas de subíndices coincidan, también coincidirán los productos de sus términos correspondientes. Dicho en lenguaje matemático, cabe preguntarse si será cierto que del hecho de ser w + s = t + v , se desprende la igualdad u w · u s = u t · u v. La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión geométrica .
Propiedad: Si en una progresión geométrica w + s = t + v , entonces u w · u s = u t · u v Demostración:
u w u1 r w
u t u1 r t
u s u1 r s
u v u1 r v
_____________
_____________
1
1
1
1
w s 2
t v 2
2 u w u s u1 r
2 u t u v u1 r
Al ser w + s = t + v, estas dos expresiones coinciden.
Cálculo de términos de una progresión geométrica Ejemplo 1 Encontrar el término u 1 de una progresión geométrica de la que se sabe que: u3 9 ,
u9
1 81
y u11
1 729
Solución: Puesto que 3 + 9 = 1 + 11 = 12, u3 · u9 = a1 · a11 9
1 1 a1 81 729 1 1 729 u1 u1 9 729 9
u1 = 81
Interpolación de medios geométricos Interpolar n medios geométricos entre otros dos conocidos a y b , consiste en construir una progresión geométrica a , u 1, u 2, ..., u n, b . Para resolver este problema basta con conocer la razón que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:
La sucesión tiene n + 2 términos.
El primer término es a y el n + 2 es b .
Aplicando la fórmula del término general de una progresión geométrica se tiene que: b = a · r n + 2 - 1, de donde
Una vez conocido el valor de la razón, a 1 se obtiene como el producto de r por a ; u 2 es el producto de u 1 por r , y así sucesivamente.
Ejemplo 1 Interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4.
Solución: La progresión es 128, u 1, u 2,u 3, u 4,4.
Aplicando la fórmula obtenida con a = 128 y b = 4:
u1
128
u2
64
u3
32
u4
16
1 2
1 2 1 2
32
16
1 2
64
8
La progresión geométrica que se buscaba es: 128, 64, 32, 16, 8, 4, ...
Ejemplo 2 Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
Solución: Aplicando la fórmula:
Recuérdese que una raíz de índice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. Así pues, en este caso, hay dos posibilidades. Si r = 2, la progresión es 3, 6, 12, 24, 48, ... Si r = -2, la progresión es: 3, -6, 12, -24, 48, ...
Producto de términos consecutivos de una progresión geométrica Continuando con la analogía observada, se encuentra la fórmula del producto de términos de una progresión geométrica. Se denotará por Pn al producto u1 · u2· ... · un. Se tiene entonces: Pn = u1 ·u2 ·u3 ... un - 2 ·un
- 1 ·un
Invirtiendo el orden ·u2 ·u1 y multiplicando ·u2)(un ·u1 )
Pn
= u n ·un - 1 ·un
- 2 ... u3
______________________________ Pn 2 = (u1 ·un )(u2 ·un - 1) ... (un - 1
Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que: u1 ·un = u 2 ·un - 1 = u 3 ·un - 2 = ... = un ·u1
Por tanto Pn 2 = (u1 ·un )n y despejando:
Pn (u1 un )
n
Esta fórmula no sólo sirve para multiplicar los primeros términos de una progresión geométrica, sino que también es válida para multiplicar cualesquiera n términos consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritméticas.
Cálculo del producto de términos consecutivos de una progresión geométrica Ejemplo 1
Solución: Es una progresión geométrica de razón r = 2 u20 u1 r 19
1 16
219 215 20
P20
(u1 u 20 )
20
10 1 2 4 215 211 2110 2
Para poder escribir dicho número serían necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geométricas.
Suma de varios términos unaprogresión geométrica
consecutivos
de
Se denotará por Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn
= u1 + u2+ ... + u n - 1 + un
Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón: Sn · r = (u1 + u2+ ... + un - 1 + an ) · r Sn · r = u1 ·r + u2 ·r + ... + un - 1 ·r + un
·r,
Y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el término siguiente, Sn · r = u2 + u3+ ... + un
+ un · r
Restando ahora a esta igualdad la primera: Sn · r = u2 + u3+ ... + un + un · r Sn = u1 + u2+ ... + un - 1 + un Sn · r - Sn
= -u1 + un · r
Sn (r - 1) = un · r - u1
Despejando S n
Sn
u n r u1 r 1
Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general a n como u1 · rn - 1: n
Sn
u1
r
1
r 1
Suma de términos de una progresión geométrica
Ejemplo Sumar
los
quince
primeros
3 9 27 , , ,........... 2 2 2
Solución :
1 3 15 3 1 3 1 4 15
S15
3 3 2
de
la
progresión
geométrica
PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Es la sucesión 7;5;1;-1;-3;-5…. Una progresión aritmética? Si lo es ¿Cuál es la diferencia?
5 – 7 = -2 ; 3 – 5 = -2 ; 1 – 3 = -2…..
2. Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un sexto piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m. Tn = 4 + (n - 1) • 2,8 T6 = 4 + (6 - 1) • 2,8
T6 = 18
3. En una progresión aritmética se sabe que T 1 = -2, T32 = 91, T16= 43. Encontrar T17. T1 + T32 = T16 + T17 -2 + 91 = 43 + T 17
T17 = 46
4. Interpolar 6 medios aritméticos entre 64 y 15, hallar la razón.
r = 15 – 64 6
+1 r= -7
5. ¿Es 5, 15, 45, 135, 405…..una progresión geométrica?
6. ¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, ...? r=
Tn = -1. (-2)n – 2
7. Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. Aplicando la fórmula:
8.
Si r = 2, la progresión es 3, 6, 12, 24, 48,....
Si r = -2, la progresión es: 3, -6, 12, -24, 48,...
Multiplicar los veinte primeros terminos de la progresión
r =2
9. Calcular el producto de los siete primeros términos de la progresión 1, -2, 4, -8, ... r = -2
Tn = 1.(-2)n - 1;
T7 = 1.(-2)6 = 64
P7 = -221
10. Sumar los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la progresión geométrica 8, 4, 2, 1, ½,…
PROBLEMAS PROPUESTO 11. CALCULA: S = 28 + 32 + 36 + 40 +……+428 12. Dada la P.A: 5;…..47;……159 donde el número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47. ¿Cuál es el número de términos de la P.A? 13. Hallar la razón de una progresión aritmética en la cual la suma de los n primeros términos está dado por: Sn =(5n + 7)n 14. El guardián del pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo cada 5m un total de 30 árboles, y puede sacar agua del pozo cada vez, para el riego de un solo árbol. ¿cuantos metros camina diariamente, hasta regar el últi mo árbol y tener que regresar al pozo? 15. De los tres primeros términos de una P.A el término medio es 15 y el producto de ellos es 2415. Hallar el término 60 de la P.A. 16. Si la suma de los números consecutivos desde ab hasta 50 es 1122. Hallar: (a + b). 17. Las edades de 6 hermanos se encuentran en P.A cuya suma vale 120, cuando nació el menor el mayor tenía 20 años. ¿cuántos años hace que la edad del tercero fue el triple de la edad del menor? 18. En una progresión aritmética, el sexto término vale 10,5; y la diferencia es 1,5. Calcula el primer término y la suma de los 9 primeros términos. 19. La razón de una progresión geométrica es 3, y el tercer término vale 45. Halla la suma de los ocho primeros términos. 20. Un estudiante de primer semestre se propone el día 1 de septiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre?
CONCLUSIONES Problema uno: Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma.
Problema dos: Es claro que si se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m. Se está en el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8. El problema se resuelve calculando el sexto término.
Problema tres. Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, se resuelve
por la propiedad
de los términos equidistantes.
problema cuatro: Solo se tuvo que aplicar la siguiente datos a =1 ; b = 15 ; m = 6 y de ahí aplicarlas en la fórmula:
Problema cinco: Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma de la cual se concluye que es una progresión geométrica.
Problema seis. Es una progresión geométrica en la que el primer término a1 vale -1, y la razón es igual a -2 Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada.
Problema siete. Recuérdese que una raíz de índice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. Así pues, en este caso, hay dos posibilidades, si r =2 ó si r = -2.
Problema ocho: Para poder escribir dicho número serían necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geométricas.
Problema nueve: Para determinar el signo, obsérvese que hay tres términos negativos y al ser este número impar, el producto de todos ellos es negativo.
Problema diez: La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los términos de la progresión y no una parte de ellos. Obsérvese que en el caso de una progresión creciente (cada término mayor que el anterior), la suma de todos los términos de la misma será infinito, independientemente del valor de los términos. No ocurre así para el caso de progresiones decrecientes
RECOMENDACIONES Los valores 1, 2, 3,… etc. Que le damos a n expresan:
Primer término
t1
Segundo término
t2
Tercer término
t3
Cuarto término : : Enésimo término
t4
tn
Por definición:
t3 = t2 + r……. (1) pero: t2 = t1 + r……. (2) Entonces reemplazamos (2) en (1) y obtenemos: t3 = t1 +r +r t3 =t1 + 2r De igual modo ocurre con t4, t5 etc. Dada una sucesión como al siguiente 1, 0, -1/6, - 2/7,….¿ Cómo hallar el término
enésimo ( término de lugar n)?
Para esto analizamos primero el numerador de cada término, así: Para n = 1 el num. Es 1 ó 2 – 1 Para n = 2 el num. Es 0 ó 2 - 2 Para n = 3 el num. Es -1 ó 2 – 3 Para n = n el num. Es 2 – n Ahora en el denominador. Para n = 1 el denominador es 4 ó 3 +1 Para n = 2 el denominador es 5 ó 3 + 2 Para n = 3 el denominador es 6 ó 3 + 3 Para n = n el denominador es 3 + n
Si en una P.A, r > 0, entonces decimos que la progresión es creciente Si en una P.A, r < 0, entonces decimos que la progresión es decresiente.
Por definición:
t3 = t2q…..(1) Pero: t2 = t1q Entonces reemplazamos (2) en(1) y obtenemos: t3 = t1qq ót3 = t1 De igual modo ocurre con t4, t5, etc.