Razonamiento Matemático
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Elías Cotos Nolasco
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Razonamiento Matemático
S n
n 2 3 103 5 3 4 5 17 S 345 17 9 0 5 5 2
Interpolación:
Dados dos números a y b para interpolar “m” medios aritméticos (ó Se llama así a la sucesión de términos medios diferenciales) entre “a” y “b” se en la cual un término cualquiera forma una P.A cuyos extremos sean “a” después del primero es igual al término y “b”. anterior aumentado en una cantidad ÷ a . .. . .. .. .. .. b constante llamada razón. Progresiones Aritméticas (P.A)
"m"medios
Notación: T1 P r im im e r t é r mi min o
Tn Té r mi m in o d e lu ga r "n "n "
La razón de interpolación es:
n Nú m er ero d e té r m in in o s r Ra zó n
Forma de una P.A
r
Por definición: T n Tn 1 r r Tn Tn 1 ÷ 3 . 7 . 11 ....... ÷ 4 . 2 . 0 ...... ...
r= 4 r= - 2
Tn T1 n 1 r
Fórmula de la suma de los “n” primeros términos de una P.A s n
S n
T1 Tn 2
Ó
2 T1 n 1 r 2
T1 Tn 2
En consecuencia sabemos que: T1 Tn n ; entonces: Sn 2
S n Tc n
n
En: T1 .T2 .T3 T 2 n
b)
49
c)
5
49
T1 T3 2
6
d)
S 345 179055 Rpta.
49
e) N.A
5
1
Podemos escribir: ÷ 1 2
1
4
1
r
4 T49 .
4
.
1 2
.......... ............. ...
T 49
4
a) 7 d) 10
r
15 64 6 1
Razón: 7 Rpta. 4 Sabiendo que el termino central de una P.A de 20 Calcular: S 20
a) 20 0 Los sumandos son términos de una P.A d) 60 0 de razón 3.
3
7 r 7
÷ 64 . 57 . 50 . 43 . 36. 22. 22 . 15
Resolución:
103 5 3
m 1
La P.A será:
a) 179055 b) 177055 c) 174033 d) 184032 e) 174077
n
b a
a = 6 4 ; b = 1 5; 5; m= m= 6
Rpta.
términos
b) 30 0 e) 70 0
es
c) 50 0
Resolución:
T1 3 n ?
T n T1 n 1 r n
c) 9
Calculo de la razón: r
4
2 Calcular: S 3 6 9 ............. 103 5
r3 Tn 1 0 3 5
b) 8 e) 11
Resolución:
1
T 49 T1 4 9 1 r 1 1 49 T 49 48 4 4 4 49
3 Interpolar 6 medios aritméticos entre 64 y 15, hallar la razón.
Resolución:
Calculo de
este será igual a la media aritmética de los extremos.
4
r
suma de dos términos equidistantes de los extremos, es igual a la suma de los extremos.
Tc
49
. . . . . . . . . . . .. ..
Calculo de la razón:
1 La
Formula del término de lugar “n”
a)
-1
m 1
2 Si en una P.A existe término central
Ejemplos:
-2
1 En: ÷ 2 . 2 Calcular T49
b a
Propiedades:
÷ T1 . T2 . T3 . . . . . . . . . . . . . . Tn -1 . Tn
Elías Cotos Nolasco T1 Tn
Sabemos que: S n Tc n Tn T1
1 n 345
r
1
Luego: S 20 1 5 2 0 3 0 0 S 20 3 00 Rpta.
Calculo de S 345 5 En la P.A ÷
-7 a -7
.5.
a + 3
15.
Razonamiento Matemático
Calcular:”a” a) 7 b) 6 d) 9 e) 10
c) 8
Resolución:
Se debe cumplir que: T1 .T2 .T3 T2
T1 T3 2
Luego: a 7 a 3 5
2 a 7 Rpta.
14 2a
6 El quinto termino de una P.A es igual a
77 Elías Cotos Resolución: T15 T1 14 r...............( )
Nolasco
Restando (2)–(1) tenemos: 5r= 20 r= 4 ; T1= 3
Además: 2T1 n 1 r n Sn 2
465
2 3 n 1 4 2
n
n 15 Rpta. 7 Determinar el décimo quinto termino 8 de una P.A, si la suma de “n” 9 términos esta determinada por: Sn n n 8
a) 37 d) 40
b) 38 e) 41
c) 39
2
; Entonces:
T1 T1 r 20 9 9 r 20 r 2 T1 y “r” en
copas
T1
Resolución:
Sea “n” el lugar que ocupan: En las P.A Tn 9 n 1 6 Tn 5 n 1 5 Por dato: 9 n 1 6 5 n 1 5
n 1 14
n 15 Rpta.
cada una de las cuales se diferencian 12 en cuatro medias onzas según una progresión. La ultima pesa 59 medias onzas. Hallar el peso total de las copitas. a) 23 1 b) 38 2 c) 23 9 d) 14 0
e) 14 1
Resolución:
Calculo del peso de la copita
7 2
S 14
7 54 2 2 2
S 14
, de donde:
, calculo del peso de todas las
T Tn S n 1 2
T15 3 7 Rpta.
11 Giancarlo tiene 14 copitas de plata
2
2n n 465 0
; Tn
59 T1 14 1 2 2
÷ -9 . -3 ............ 19 y el décimo es 39 ¿Cuántos términos ÷ 5 . 10 ............ hay que tomar para que su suma sea 465? Dos términos correspondientes tienen el a) 10 b) 15 c) 20 mismo valor ¿Cuál es el lugar que ocupa? d) 30 e) 60 a) 14 b) 15 c) 16 Resolución: d) 17 e) 18 T5 T1 4 r 19.............(1) T10 T1 9r 39...........(2)
n 14
59
Calculo de T1 Si n 1 S 1 T1 1 1 8 9 Calculo de “r” Si n=2 S 2 T1 T2 2 2 8 20
10 En las P.A. siguientes
78
Razonamiento Matemático
Resolución: Dato: r 5 2 3 , T1 2 , n=50
Aplicando la formula: Tn T1 n 1 r T50 T1 50 1 r
T50 2 4 9 3
n
T50 14 9 Rpta.
14
15 En la P.A .....5.....47.....159 el número de términos que hay entre 47 y 159 es triple del número de términos que hay entre 5 y 47. Hallar la razón de seta progresión.
23 1 Rpta.
a) 4 d) 7
13 Hallar la razón de una P.A si la suma de “n” términos es n 5 n 3 .
a) 17 d) 10
Elías Cotos Nolasco
b) 11 e) 12
c) 13
b) 5 e) 8
c) 6
Resolución:
Considerando la P.A de razón r. .......5.......47.......159
n
Resolución: Sea la P.A T1 , T2 , T3 , .... ......,Tn
Donde: S n n 5n 3 para todo n Si n=1 S 1 T1 1 5 3 2 Si n=2 S 2 T1 T2 2 10 3 14 Pero: T1 2 y T2 12 Luego la razón: r T2 r1 10 r 10 Rpta.
3n
Del intervalo con extremos 5 y 47 47 5
r
n 1
42 n 1
.......... (1)
Del intervalo con extremos 47 y 159 r
159 47 3n 1
112 3n 1
.......... (2)
Como se trata de la misma P.A (1) y (2) son iguales entonces: 42
112
De donde:
n 1 3n 1 n 5 ; sustituir en (1) 42 7 r 5 1 r 7 Rpta.
14 Hallar el T50 en la siguiente P.A.
2,5,8,11,........
a) 14 7 d) 146
b) 148 e) 150
c) 149
16 ¿Cuántos medios aritméticos (m)se pueden interpolar entre 8y 48 de tal manera que se forme una P.A cuya suma de términos sea 588.
Razonamiento Matemático
a) 16 d) 19
b) 17 e) 20ç
79
c) 18
"m "
Siendo “m” el numero de medios interpolados, el numero de términos de la P.A es (m+2) r
m 1
40 m 1
Razonamiento Matemático Producto de los “n” primeros términos de un P.G.
T1 ; T2 ; T3 ; .. .. .. .. ; Tn
Resolución: 8...........................48
48 8
Elías Cotos Nolasco Formula de una Progresión Geométrica
De la definición: Tn Tn 1 q ; despejando “q” q
................ (1)
m 2 .. (2) 2
S m 2 2T1 m 1 r
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Se llama así a la sucesión de términos en la cual un término cualquiera después del primero es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante distinta de cero. Se les denomina también progresión por cociente. Notación: T1 P r ime r términ o n Nú me ro d e té rm in os S n Suma de n té rmin os S L Suma límite P n P r od uco de n té rm in os T n Tér min o enésimo q Razón
T1 Tn
3 : 6 : 12 : 24 : 48 : ...... q= 2 405 : 135 45 15 : ...... q= 1/3 5 2 5 1 25 6 25 : . .. .. . q = 5
q
b
m 1
dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos II) El término central de una P.G. es igual a la media geométrica de los extremos
q n 1 S n T1 q 1 S n
Tc
También
1
ero
T1 Tn
2
do
T1 Tn
S L
T1 1q
12
1
3
6
3
12
729 T13 7 29
Rpta. 2 Sabiendo que el quinto termino de una P.G. es 2 y el décimo primero es 128, calcular el valor de la razón
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
T5 T1 q
c) 3
4
2 …… ( I )
10
n
Tc
÷ T1 : T2 : T3
T11 T1 q 128 …… ( II ) Dividiendo ( II ) entre ( I )
n
T2
T1 T3
q
6
64
q= 2 Rpta.
3 Calcular “x” en:
x 3 : x : 2x
a) 4 d) 7
q 1
infinitos Términos
6
3
q= 3
Por dato:
Tn q T1
Suma limite de una P.G. Decreciente de
72 9
Resolución:
Sabemos que:
Pn
72 9 1
T13 3
Consecuencias:
Suma de los “n” primeros términos de una P.G.
; Donde:
q 24 3 3 1 T13
a
PROPIEDADES: I) El producto de
n 1
12
1
Término de lugar “n” de una P.G. T n T1 q
Sabemos que: Tn T1 q n 1 T13 T1 q
Interpolación en: “m” medios Geométricos, se cumple que:
T n 1
Elías Cotos Nolasco
Luego:
n
a: .......... : b
Tn
De (1) 40 m 1 r Sustituyendo este valor en (2) y Cuando: q 0 : Se obtiene una P.G. creciente también el valor de la suma. 0 q 1 : Se obtiene una P.G. m 2 588 2 8 40 decreciente 2 q 0 : Se obtiene una P.G. oscilante 56 m 2 1176 m 19 Rpta.
P n
80 Resolución:
1 En
1 729
:
1 243
Calcular: T13 a) 719 b) 729 d) 816 e) 817
b) 5 e) 8
c) 6
Resolución: : ........
Se debe cumplir que Tc
c) 815
T1 T n
x
2 x 3 2x x x 3 2x
81
Razonamiento Matemático 2
x 6x 0 x x 6 0 x= 6 Rpta.
4 Calcular S 4 21
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
1 2
......
c)8
Cada sumando es un termino de un P.G decreciente al infinito, la razón q
2
, aplicando la formula de la suma
4
4
T1 1q
1
1
a) 1 d) 4
1 2
T1 1q
2
1
1
T2
1
c) 3
2
2
3 1
3
d) 3 5 7
e) n.a.
T q4 1 T1 q 1 1 82 q 1 q 1
T2 T1
;S
2
4
15 2
6
b) 5/8 e) 1,5
31 2
8
1
2
1 9
2
......
.......
T1 1q
3
....
90 135 m 1
1
S rebote S caida la caida
1 1 2 6 2 2
S rebote 135 90 40 m
.......
S rebote 40 m S 135 45 1 8 0 m Rpta.
1 1 1 1 1 3 ... 1 2 4 6 ... 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 4 2 S 1 1 3 3 1 1 2 4 S 1
1
1 1 4 2 2 2 2
S caida
10
3 S caida 135 m
c) 3
Descomponiendo cada sumando 1
S S ca ida S rebote S caida 90 30 1 0
.......
2
S
5 3
Rpta.
c) 5 5 9
9 Una deja caer una pelota desde una
, luego
altura de 90 m, en cada rebote la pelota se eleva 1/3 de la altura de la cuala cayo la ultima vez, que distancia recorre la pelota hasta quedar en reposo
Resolución:
Como: q
7
Resolución:
2
1
2
a) 5/2 d) 5/3
1
Suma de P.G. de “n” T érminos
Reduciendo se tiene
S
b) 4 5 9
3
2 4 1
8 4 21 S
Rpta.
Calcular:
a) 3 5 9
8
S 1
Resolución:
q 1
3
2
q=
7 Calcular:
2 2 16 32 3 9 9 1 2 2 1 3 3 32 S 3 5 9 S= 3 5 9 9 S
Nota:
una P.G. es igual a 82 veces la suma de los cuatro primeros términos. Hallar la razón a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8
4
1
1
Elías Cotos Nolasco
8 1
.......
Suma limite
5 La suma de los 8 primeros términos de
1
b) 2 e) 5
T1
S
Resolución:
q
n
1
S L 4 Rpta.
2
S L 8 Rpta.
T1 q 1
4
6 Calcular:
4
8
4 q 1 82 q= 3 Rpta.
SL
limite. SL
1 q 1 82 q
1 82 q 1
82
Razonamiento Matemático
4
S 21
Resolución:
1
q q
Elías Cotos Nolasco 8
a) 160m d) 240m
b) 180m e) n.a.
Resolución:
c) 200m 1 Calcula: S 28 32 36 40 ..... 428
a) 23 024 d) 23 020
b) 23 028 e) 23 032
c) 24 026
Razonamiento Matemático
83
2 Dada
la P.A. : 5;......47;.....159 donde el numero de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del numero de términos que hay entre 5 y 47. ¿Cuál es el número de términos de la P.A.? a) 21 b) 20 c) 19 d) 24 e) 23 3 Hallar la razón de una progresión
aritmética en la cual la suma de los n primeros términos esta dado por: S n 5n 7 n a) 10 b) 8 c) 12 d) 5 e) 7 4 El guardián del pozo de una
hacienda ha plantado a partir del pozo cada 5m. un total de 30 árboles, y puede sacar agua del pozo cada vez, para el riego de un solo árbol. ¿Cuántos metros camina diariamente, hasta regar el último árbol y tener que regresar al pozo? a) 4 650 b) 4 500 c) 2 350 d) 2 120 e) 4 120
5 De los tres primeros términos de
una P.A. el término medio es 15 y el producto de ellos es 2 415. Hallar el término 60 de la P.A. a) 478 b) 470 c) 452 d) 479 e) 454 6 Efectuar: S
0,1 0,2 0,3 ..... 1
1 3 5 .... 99 a) 5 b) 25 c) 10 22
d) 10 2
Elías Cotos Nolasco e) 5 2
7 Hallar “S” si los sumandos están en
P.A. S 54 (n) 70 (n) 88 (n) .... 280 (n)
y convertir el resultado a base diez. a) 3 808 b) 3 605 c) 3 709 d) 4 231 e) 4 321 8 Si
la suma de los números consecutivos desde ab hasta 50 es 1 122. Hallar: (a+b) a) 8 b) 10 c) 11 d) 7 e) 9 9 Si la suma de “n” términos de una
progresión aritmética es 5n 2n 2 , para todos los valores de “n”, hallar el término del lugar 10. a) 61 b) 51 c) 49 d) 43 e) 41 10 Las edades de 6 hermanos se
encuentran en P.A. cuya suma vale 120, cuando nació el menor el mayor tenia 20 años. ¿Cuántos años hace que la edad del 3ro fue el triple de la edad del menor? a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 8 11 En una P.A. el ultimo termino es (2 7 2) ,
razón
2
y la suma de
todos los términos es: (16 28 2) . Hallar el número de términos. a) 6 b) 9 c) 11 d) 8 e) 10
84
Razonamiento Matemático
Elías Cotos Nolasco
12 La suma de tres números en P.A. es
S 1 4 7 10 .... 115 118
33 y su producto es 1 232. ¿Cuál es la razón de la P.A.? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
a) 2 380 d) 2 420
13 Si a 2 ; 3a 2 y 10ª, forman una P.A.
El número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a los comprendidos entre 30 y n. Si además la suma de todos los términos es 570. Hallar la razón. a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5
b) 2 180 e) 2 370
c) 2 320
19 En la P.A. mostrada 3 ; ........ ; 30 ; .......... ; n
Hallar la razón. a) 6 b) 7 d) 8 e) 4
c) 5
14 ¿Cuál es el número que ocupa el
lugar 121 en la sucesión? 17 ; 21 ; 25 ; 29 ; ……. a) 495 b) 497 d) 471 e) 387
c) 385
20 A y B leen una novela de 1 100
paginas, A lee 50 paginas diarias y B lee 10 paginas el primer día, 20 el 15 Calcular el exceso de S 1 sobre S 2 , segundo, 30 el tercero y asi sucesivamente. Si comienzan ambos el si se cumple que: 1ro de enero. ¿En que fecha llegaron a S 1 77 79 81 .... 215 la misma página? S 2 24 26 28 .... 90 a) 9 de enero b) 10 de enero c) 10 de febrero d) 15 de enero a) 8 120 b) 7 450 c) 8 170 e) N.A. d) 8 282 e) n.a. 16 Si: a 2 (b c) ; b 2 (a c) ; c 2 (a b)
Hallar: (a c)b 1 a) 1 b) 2 d) 1/3 e) 4 17 Hallar
c) 3
la suma de todos los números positivos de 3 cifras que sean múltiplos de dos pero no de 4, y que al dividirlos por 5, den como resto 3. a) 25 120 b) 25 130 c) 25 105 d) 25 110 e) 24 120 18 Calcular:
18 Hallar el termino de lugar 60 en: (n 1) , (2 n 3) , (3 n 5 ) , (5 n+ 7 ) , .. .. ..
a) 60n+60 c) 60n+119 e) 60n+4n
b) 60n+61 e) 60n+120
19 Hallar: “n” si: S n (n 4) (n 8) .... 5n ; es
Igual a 720 a) 15 b) 14 d) 17 e) n.a.
c) 16
21 Hallar: “n” en 60 67 65 ...... n 10
3
85
Razonamiento Matemático
a) 30 d) 31
b) 29 e) 28
c) 33
d)
e)
5
5
d)
4
cada termino de: 5 , 13 y 29, para que formen una progresión geométrica. a) 1 b) 4 c) 5 d) 2 e) 3
P.A.: a, c, d, ………. P.G.: a, b, d, ………. Donde se cumple que: a d 150 c d 150 Hallar: a b c d
27 La suma de 3 números positivos
b) 283
c)
e) n.a.
23 Dada la progresión:
que forman una P.A. es igual a 21. Si a estos números se les suma respectivamente: 2 , 3 y 9, los nuevos números forman una P.G. ¿Hallar la suma de los terceros términos de las progresiones? a) 18 b) 19 c) 24 d) 21 e) 23
5 , 10 , 15 , …..…. ¿Cuántos términos de esta progresión 28 La suma de los 8 primeros hay que tomar a partir del décimo términos de una P.G. es igual a 82 cuarto para que sumen tanto como los veces la suma de los 4 primeros nueve primeros? términos. Hallar la razón. a) 3 b) 4 c) 5 a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 d) 6 e) 7
29 Cual será el número de términos de
24 Calcular la expresión: 24 12 6 3 S 12 4
a)
8
d) 2
3 3
b)
3
4
4
9
3 2 4
27
c)
8
la siguiente P.G. ....... ....... 8 5
e) 1
3 2
a)
5 2
2
7
2
b)
4
4 3
15 2
6
e) N.A.
3
a) 10 b) 11 c) 8
31 2
8
c)
....... 5 3
3 8
d) 9 e) 12
30 Si los radios de una sucesión de
círculos son: 1 2
4 5
primeros términos de una P.G. el 4to término es: a) 8 b) 6 c) 7 d) 9 e) 16
;
;
4
1 8
; ...... ...
b)
2 3
c)
5 2
Elías Cotos Nolasco
inscribir un triangulo equilátero y en este se inscribe otro circulo y así sucesivamente cual es la suma de las áreas de los círculos.
a)
7
d)
32 Si a: 110 , 90 y 60, se les resta una
misma cantidad se obtiene 3 nuevos números pero en P.G. cuya razón es: a) 42 b) 41 c) 43 d) 50 e) n.a. 33 Una pelota cae desde una altura de
100 m si en cada rebote con el suelo se eleva a un 50% de la altura de que proviene, ¿Qué espacio total habrá recorrido la pelota en el momento de tocar el suelo por novena vez? a) 298 b) 315 c) 260 d) 250 e) 360 34 Hallar n
a)
3
d)
5
la 2 n 1
,4
razón
de
la
3 n 2
1
2
b)
2
e) 7 2
c) 2
2
35 Si cada termino de la sucesión. 1 x 2 , x , x 2 Se le resta 1/8 se forma una P.G. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e)8 1
1
Hallar el límite de la suma de las áreas de los círculos. a)
31 Si: n ; (n+1) ; y (n+3), son los 3
P.G. 2 , 2
96 ; 48 ; 24 ; ........
1;
25 Calcular la expresión: S
86
Razonamiento Matemático 4
26 ¿Qué cantidad hay que agregar a
22 Sean las progresiones
a) 285 279 d) 278
Elías Cotos Nolasco 4
1
36 Dado un triangulo equilátero de
lado A, se inscribe un circulo en el triangulo, en el circulo se vuelve a
8
1.
a
2
a
2
b) e)
9
a
10
2
a
c)
6
a
2
2
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
b
e
a
b
b
e
a
e
d
1 0.
1 1.
1 2.
13
1 4.
1 5.
16 . 1 7.
a
d
b
d
b
b
1 9.
2 0.
2 1.
2 2.
2 3.
2 4.
25 .
26 .
2 7.
b
a
e
a
d
a
a
a
c
2 8.
2 9.
3 0.
3 1.
3 2.
3 3.
34 .
35 .
3 6.
e
d
a
d
d
a
d
b
d
c
1 8. a
b
