Universidad de Valparaíso Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas Escuela de Ingeniería Comercial
Progresiones
Para hablar de progresiones, primero es necesario entender el concepto de sucesión Sucesión: “conjunto ordenado de números que se deducen unos de otros mediante una regla definida. Los números de una sucesión reciben el nombre de términos “ Toda función cuyo dominio sean los naturales se llama sucesión, es decir: F: IN IR Notaciones : Sn: IN IR An: IN IR Ejemplos 1,2,3,4,...,n la de los números naturales 2,4,6,8,...,2n la de los números pares 1,3,5,7,...,2n-1 la de los números impares 1,4,9,16,..., n 2 números al cuadrado 5,10,15,20,...,5n la de los múltiplos de 5 1,8,27,64,...,n3 números al cubo 1,9,17,25,...,8n-7
Sucesiones hay de 4 tipos: 1. - progresiones aritméticas 2. - progresiones geométricas 3. - progresiones geométricas infinitas 4. - progresiones armónicas
Progresiones Aritméticas Es una sucesión en la cual todos los términos, posteriores al primero, se deducen del anterior añadiendo un número constante que se llama diferencia de la progresión ( d = diferencia ). Por ejemplo , 3,7,11,15,19,...,es una P.A. , ya que cada término se obtiene sumando 4 unidades al anterior. En la P.A. 50 ,45 ,40,..., la diferencia es 45-50 = 40-45 = -5 Fórmulas de la P.A. 1) el termino enésimo o el último : Sn = an = a1 + ( n-1 ) d 2) para obtener la suma de n términos o
Spa = n/2 ( 2 a 1 + (n-1) d ). Spa = n/2 ( a1 + an )
Siendo a 1 = primer término; d = diferencia ; n = número de términos ; Sn = an término enésimo; Spa = suma de los n primeros términos Ejemplos 1) Consideremos la P.A. 3,7,11,... siendo a = 3 ,y d = 7-3 = 11-7 = 4 . El sexto término es Sn = a 1 + ( n-1) d = 3+( 6-1) 4 = 23 .
La suma de los seis primeros términos es Spa = n/2 ( a+1 ) = 6/2 (3+23) = 78 o Spa = n/2 ( 2 a + (n-1) d ) = 6/2 ( 2( 3 ) +( 6-1) 4) = 78 2) el cuarto término de una P.A. es 4 y el séptimo término es 2 . formar la progresión y encuentre el término general .
a+(4-1)d =4 a+(7-1)d =2
a+3 ( -2/3 )= 4 a-2 =4 a=6
a+ 4d-d = 4 a+ 7d –d=2 a+3d= 4 a+6d=2
-1
Sn = 6+(n-1) (-2/3) Sn = 6-2/3n+2/3 Sn = 20 / 3 – 2/3n Sn = 2/3 (10-n)
-3d= 2 d =-2/3
Progresiones Geométricas Es una sucesión en la cual todos los términos , posteriores al primero, se deducen del anterior multiplicándolo por una constante que se llama razón de la progresión , por ejemplo. 5,10,20,40,80,...,es una P.G. ya que cada término se obtiene multiplicando por dos al anterior . En la P.G. , 9,-3,1,-1/3,1/9,...,la razón es –3/9= -1/3
fórmulas de la progresión geométrica 1) el término enésimo o último término: sn = an = a r n-1 3) la suma de los n primeros términos Spg = a1(1 - r n), por lo que r tiene que ser distinto de 1 1- r Siendo: a1 = primer término; r = razón; n = número de términos; sn = término enésimo ; Spg = suma de los n primeros términos Consideremos la PG 5, 10, 20... siendo a 1 =5 y r = 10/5 = 20/10 = 2 . El séptimo término es sn = a 1 r n-1= 5(27-1 ) = 5(26 ) = 320 . LA suma de los siete primeros términos es Sn= a1(1-r n ) = 5(1 - 27) 1 - r 1 - 2
= - 635 = 635 -1
Progresiones geométricas infinitas La suma de los términos de una progresión geométrica infinita, de razón r en valor absoluto menor que la unidad, viene dada por : S∞=
a1 1 - r
siendo
r < 1
ejemplo : consideremos la progresión geométrica infinita 1-1/2+1/4 -1/8+...,siendo = a1=1 y r = -1/2. Su suma es S ∞ = a1 1 = 1 = 2 1–r 1 – ( -1/2 ) 3/2 3
PROGRESIONES ARMONICAS Una progresión armónica es una sucesión de números cuyos recíprocos forman una progresión aritmética , por ejemplo . ½ ,1/4 ,1/6, 1/8,1/10....es una progresión armónica , ya que 2,4,6,8,10,...., es una progresión aritmética
MEDIAS
Los términos de una progresión comprendidos entre dos dados reciben el nombre de medias de aquellos. Por ejemplo , en la progresión aritmética , 3 ,5 ,7 , 9 ,11 , 13..., la media aritmética entre tres y siete es cinco y entre tres y trece existen cuatro medias que son: 5 ,7 ,9 ,11. En la PG 2,-4 ,8 ,-16 ,... dos medias entre 2 y –16 que son –4 ,8 . En la progresión armónica 1/2,1/3 ,1/4 ,1/5 ,1/6,..., la media armónica entre 1/2 y 1/4 es 1/3, y tres medias entre 1/ 2 y 1/6 son 1/3, 1/ 4, 1/5 .
ejercicios
Progresiones aritméticas 1) determinar cuales de las siguientes sucesiones son o no progresiones aritméticas a) 1,6 ,11 ,16... d) 9, 12, 16,...
b) 1/3,1 ,5/3, 7/3,... c) 4, -1, -6, -11,... e) 1/2, 1/3, 1/4,... f) 7, 9+3p, 11+6p,...
2) deducir la fórmula Spa = n / 2 ( a 1 + an ) de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. 3) hallar el término 16 de la PA: 4, 7, 10,... 4) hallar la suma de los doce primeros términos de la PA : 3, 8, 13,... 5) hallar el término de posición 40 y la suma de los cuarenta primeros términos de la PA. 10, 8, 6,... 6) ¿ que término de la progresión 5, 14, 23,... es 239? 7) Hallar la suma de los primeros n enteros positivos múltiplos de 7. 8) Hallar cuantos enteros consecutivos a partir de 10 se deben considerar para que su suma sea 2035. 9) Hallar el tiempo que se empleará en saldar una deuda de $ 880.000 pagando $ 25.000 el primer mes , $ 27.000 el segundo , $ 29.000 el tercer mes ,etc. 10) ¿cuántos términos de la PA 24, 22, 20,... se necesitan para que su suma sea 150? Escribir los términos 11) determinar la PA en la que la suma de los n primeros términos es n2 + 12. 12) demostrar que la suma de n enteros impares consecutivos a partir del uno es igual a n 2.
13) hallar tres números en PA . sabiendo que la suma del primero y el tercero es 12 y que el producto del primero por el segundo es 24 14) hallar tres números en PA cuya suma es 21 y cuyo producto es 280 15) tres números están en la relación 2:5:7. Hallar dichos números sabiendo que si se resta siete del segundo los números forman una PA 16) Hallar la suma de todos los enteros comprendidos entre 100 y 800 que sean múltiplos de tres 17) Sobre una superficie horizontal se levanta una pasarela de pendiente uniforme por medio de 10 soportes igualmente espaciados . Las alturas de los soportes mayor y menor son 42,5 y 2 metros respectivamente. Hallar la altura de cada uno de los soportes. 18) Un cuerpo cae libremente, partiendo del reposo, y recorre 16 metros durante el primer segundo, 48 metros en el segundo, 80 metros en el tercero, etc. Hallar la distancia que recorre durante el quinceavo segundo y la distancia total que recorre en quince segundos partiendo del reposo 19) Se colocan ocho bolas en línea recta separadas entre sí a una distancia de 6 metros. A 6 metros de la primera, al otro lado de las bolas, esta situada una persona con una cesta que va caminando por la fila recogiéndolas de una en una e introduciéndolas en la misma. Sabiendo que empieza a recogerlas partiendo de la posición en que inicialmente se encuentra, hallar la distancia total que recorrerá hasta que termine la operación 20) Demostrar que si los lados de un triángulo rectángulo están en PA, su relación es 3:4:5. MEDIAS ARITMETICAS
21) Deducir la fórmula de la media aritmética (x) entre dos números p y q 22) Hallar la media aritmética de los pares de números siguientes: a) 4 y 56 b) 3√2 y -6√2 c) a + 5d y a -3d 23) situar 5 medias aritméticas entre 8 y 26 24) situar entre 1 y 36 un número de medias aritméticas de tal forma que la suma de la PA resultante sea 148
PROGRESIONES GEOMETRICAS
25) Determinar cuales de las sucesiones siguientes son PG a) 3, 6, 12 b) 16, 12, 9 c) –1, 3, -9 d) 1, 4, 9 e) 1/ 2, 1/3, 2/9 f) 2h, 1/h, 1/2h 3 26) deducir la fórmula S = a 1 (r n-1) r-1 de la suma de los n primeros términos de una PG. 27) Hallar el octavo término y la suma de los 8 primeros términos de la progresión: 4, 8, 16 28) Hallar el séptimo término y la suma de los siete primeros términos de la progresión 9 ,– 6 ,4 ... 29) El segundo término de una PG es tres y el quinto es 81/8 .hallar el octavo. 30) Hallar tres números en PG cuya suma es 26 y cuyo producto 216 31) El primer término de una PG es 375 y el cuarto es 192 .Hallar la razón y la suma de los cuatro primeros términos 32) El primer termino de una PG es 160 y la razón es 3/2 .Hallar los términos consecutivos que se deben tomar para que su suma sea 2110. 33) Una PG de razón positiva consta de cuatro términos . Sabiendo que la suma de los dos primeros es 8 y que la correspondiente de los dos últimos es 72, determinar dicha progresión MEDIAS GEOMETRICAS
34) 35)
Deducir la formula de la media geométrica, G, entre dos números p y q Hallar la media geométrica de los pares de números siguientes: a) 4 y 9 b) -2 y –8 c)√7 + √3 y √7 - √3.
PROGRESIONES GEOMETRICAS INFINITAS
36)
Hallar la suma de las series geométricas siguientes ; a) 2 + 1 + 1/2 + ¼ +... b b) 1/3 - 2/9 + 4/27 – 8/81+... c) 1 + 1/1,04 + 1/ (1,04)2 +... 37) Las amplitudes de las sucesivas oscilaciones de un período forman la PG 16, 12, 9,... , centímetros . Hallar la distancia total recorrida por la esferilla del péndulo hasta alcanzar el reposo PROGRESIONES ARMONICAS
38) Determinar armónicas:
cuales de las sucesiones siguientes son progresiones
a) 1/3, 1/5, 1/7... b) 2, 4, 6... c) 1/12, 2/15, 1/3.. 39) calcular el término número 15 de la progresión armónica 1 /4, 1/7, 1/10...
Progresiones Geométricas Infinitas
36) a) S ∞ =
a
=
1-r b) S ∞ = c) S∞ =
a = 1–r a 1–r
=
2 1- ½
= 4
1/3 = 1/5 1 - ( - 2/3 ) 1 1 – 1/1.04
= 1.04 = 104 = 26 1.04 – 1 4
37 ) S∞ =
a 1–r
=
16 1–¾
=
16 ¼
=
64 cm
Progresión Armónica
38)
a) es una progresión armónica ya que 3,5,7... b) no es una progresión armónica ya que ½,1/4,1/6,... c) es una progresión armónica ya que 12,15/2,3,...
39) La progresión armónica correspondiente es 4,7,10,...; su termino 15 es sn = a +( n-1 ) d = 4 + (15-1)3=46 Luego el termino numero 15 de la progresión armónica es 1/46
Problemas Propuestos Progresiones aritméticas
1) Hallar el termino enésimo y la suma de los n primeros términos de las PA siguientes para el valor de n que se indica: a) 1,7,13,... n = 100 b) 2,5 ½ ,9,..., n = 23 c) –26,-24,-22,... n= 40 d) 2,6,10,..., n =16 e) 3, 4 ½,6,..., n = 37 f) x-y,x,x+y,..., n = 30 2) Hallar la suma de los n primeros términos de las PA siguientes : a) 1,2,3,..., b) 2,8,14,...,
c) 1 ½ ,5,8 ½ ,... 3) El primer termino de la PA es 4 y el ultimo 34 . Sabiendo que la suma de sus términos es 247, hallar el numero de términos y la razón 4) Él ultima termino del PA, que consta de 49 términos, es 28. Sabiendo que la razón es, hallar el primer termino y la suma de todos ellos 5) Hallar la suma de todos los enteros pares comprendidos entre 17 y 99
Progresiones Geométricas
6) Hallar el termino enésimo y la suma de los n primeros términos de las sucesiones siguientes para el valor de n que se indica a) 2,3,9/2,..., n=5 b) 6,-12,24,..., n=9 c) 1,1/2,1/4,.., n=10 d) 1,3,9,..., n= 8 e) 8,4,2,.., n= 12 f) √3 , 3 ,3√ 3 ,..., n=8 7) Hallar la suma de los n primeros términos de la PG siguientes : a) 1,1/3,1/9,..., b) 4/3,2,3,..., c) 1,-2,4,..., 8) El primer termino de una PG es 3 y el ultimo 48 .Sabiendo que cada termino es el doble del anterior , hallar el numero de términos y la suma de todos ellos . 9) Hallar 3 números en PG sabiendo que su suma es 42 y su producto 512 10) El tercer termino de una PG es 144 y el sexto 486 . Hallar la suma de los 5 primeros términos de la progresión. Problemas diversos sobre progresiones aritméticas y geométricas
11) El primer termino de una PA es 2 , y el primero , tercero y séptimo forman una PG. Hallar la suma de los siete primeros términos de la PA.
12) Hallar el numero de términos que se deben sumar de la PA , 9,11,13,...., para que la suma sea igual a la de los 9 primeros términos de la PG 3,-6,12,-24,.., 13) Hallar 4 números sabiendo que los tres primeros están en PG y los tres últimos en PA de razón 6, siendo el primer numero igual al cuarto 14) Hallar dos números cuya diferencia es 32 y cuya media aritmética excede a la geométrica en 4 .
Progresiones geométricas infinitas
15)La suma de los primeros 2 términos de una PG decrecientes es 5/4 y la correspondiente a sus infinitos es 9/4 . escribir los tres primeros términos de la progresión 16) La suma de los infinitos términos de una PG decreciente es tres , y la de sus cuadrados es también tres .Escribir los tres primeros términos de la progresión 17) las amplitudes sucesivas ( en centímetros ) de la oscilación de un péndulo son 36,24,16,..., hallar la distancia que recorrerá la esferilla hasta alcanzar el reposo Progresiones Armónicas
18)a) Hallar el octavo termino de la progresión armónica 2/3, ½,2/5,..., b) Hallar el décimo termino de una progresión armónica 5,30/7,15/4,..., d) Hallar el termino enésimo de la progresión armónica 10/3,2,10/7,..., 19)Hallar la media armónica entre los pares de números siguientes: a) 3 y 6 b) ½ y 1/3 c) √3 y √2 d) a+b y a-b 20)a)Hallar 2 medias, en una progresión armónica, entre 5y10. b)Hallar 4 medias , en una progresión armónica, entre 3/2 y 3/7.
Soluciones 1)a) sn = 595 ,S= 29800 b)sn =79, S = 931 ½ c)sn = 52 , S =520 d)sn = 62 , S = 512 e)sn = 57 , S = 1110 f)sn = x +28 y , S = 30x+ 405y 2) a) n( n+1) 2 b)n ( 3n –1 ) c) n( 7n –1 ) 4 3)n= 13 ,d=5/2 3) a=4 , S=784 4) 2378 5) a) sn= 81/8 , S =211/8 b)sn = 1536 , S =1062 a) sn = 1/512, S=1023/512 b) sn = 2187 , S =3280 c) sn = 1/256 , S=4095/256 d) sn = 81 ,S=120 +40 √3 6) a)3/2[1-1/3n] b) 8/3[(3/2)n-1] c) 1-( 2)n 3 7) n=5 , S=93 8) 2,8,32 9) 844 10) 187 ,O, 22 11) 19 12) 8,-4,2,8 13) 18,50
14) 15) 16) 17)
¾,1/2,1/3 3/2,3/4,3/8 108 CM a )1/5 b) 2 c) 10 2n +1 18) a)4 b) 2/5 c)6√2 - 4√3 c d) a2 – b2 a 19) a) 6,15/2 b) 1 , ¾,3/5,1/2
