PROGRAMACION DINAMICA DETERMINISTICA MODELO DE INVENTARIOS Instrucciones:
Resolver los siguientes problemas considerando el uso de la recursividad de la programación dinámica.
PROBLEMA 1
Una empresa tiene los siguientes datos de demanda de su producto:
Mes 1 2 3 4
Demanda 1 3 2 4
¿Cuántas unidades debe fabricar en el mes? Sabiendo que: Durante el mes que se producen algunas unidades se incurre en un costo fijo de $30. o El costo variable es de $10 por cada cad a unidad fabricada. o o Al final de cada mes se genera un costo de almacenamiento de $5 por cada unidad. Las limitaciones de capacidad permiten una producción máxima de 5 unidades. o El tamaño del almacén restringe un inventario final máximo de 4 unidades cada mes. o Se dispone de 0 unidades al principio del primer mes. o
Características: Se conoce la demanda de cada mes al principio del mes 1. Se debe determinar cuántas unidades deben producirse teniendo en cuenta que la capacidad de fabricación es limitada. La demanda de cada período debe satisfacerse a tiempo con el inventario o la producción actual. Durante cada período donde la producción tiene lugar se genera un costo fijo, así como un costo variable por unidad. Se tiene capacidad limitada de almacenamiento. Se genera un costo de almacenamiento por unidad al inventario final de cada período. El objetivo es minimizar el costo total por cumplir con la demanda de cada período.
Modelo de revisión periódica: El inventario se conoce al final de cada período, y se toma la decisión sobre la producción. Solución: Sean: x n el nivel de producción en el mes n y n el inventario inicial en el mes n d n la demanda en el mes n CP(x n ) el costo de producción de x n unidades, CP(x )=30+10x n n Lo que tenga en almacén el siguiente mes, será lo que produje mas lo que tenía en inventario menos la demanda de dicho mes: y i+1 = y i + x i - d i ; entonces CI(y i+1 )=5(y i + x i - d )i Función recursiva: Costo mínimo de cumplir las demandas demandas f n (s n ,x ) {CI(y n+1 ) + CP(x ) )} } n = min {CI(y n + f n+1(s n+1 )
1
s4
x 4 = 0
0
-
1
-
2
-
3
-
4
0+0
Etapa 4 (demanda=4) f 4(s4,x 4 )=30+10x )=30+10x 4 x 4 = 1 x 4 = 2 x 4 = 3 x 4 = 4 30+40 30+30 30+20 30+10 -
-
-
-
Solución óptima f 4* (s4 ) x 4* 70
4
60
3
50
2
40
1
0
0
Sn: disponibilidad de almacén Etapa 3 (demanda=2) f 3(s3,x 3 )= 5(y 3+x 3-d 3 ) )+ +30+10x 3+f 4* (y 3+x 3-d 3 ) s3 0 1 2 3 4
x 3 = 0 0 +0 +70 =70 =70 5 +0 +60 =65 =65 10 +0 +50 =60 =60
x 3 = 1 0 +40 +70 =110 =110 5 +40 +60 =105 =105 10 +40 +50 =100 =100 15 +40 +40 =95 =95
x 3 = 2 0 +50 +70 =120 =120 5 +50 +60 =115 =115 10 +50 +50 =110 =110 15 +50 +40 =105 =105 20 +50 +0 =70 =70
x 3 = 3 5 +60 +60 =125 =125 10 +60 +50 =120 =120 15 +60 +40 =115 =115 20 +60 +0 =80 =80 -
x 3 = 4 10 +70 +50 =130 =130 15 +70 +40 =125 =125 20 +70 +0 =90 =90 -
x 3 = 5 15 +80 +40 =135 =135 20 +80 +0 =100 =100 -
Solución óptima f 3* (s3 ) x 3* 120
2
100
5
70
0
65
0
60
0
Etapa 2 (demanda=3) * +x f 2 2(s ( s2 ,x ,x 2 2 )= + -d 2 2 ) )+ -d 2 2 ) 5(y 2 2+x x 2 2 -d +30+10x 2 2+ f 3 (y 2 2+ x 2 2 -d
s2
x 2 2 = 0 0 +0 +120 =120 =120 5 +0 +100 =105 =105
0 1 2 3 4
x 2 2 = 1 0 +40 +120 =160 =160 5 +40 +100 =145 =145 10 +40 +70 =120 =120
x 2 2 = 2 0 +50 +120 =170 =170 5 +50 +100 =155 =155 10 +50 +70 =130 =130 15 +50 +65 =130 =130
x 2 2 = 3 0 +60 +120 =180 =180 5 +60 +100 =165 =165 10 +60 +70 =140 =140 15 +60 +65 =140 =140 20 +60 +60 =140 =140
x 2 2 = 4 5 +70 +100 =175 =175 10 +70 +70 =150 =150 15 +70 +65 =150 =150 20 +70 +60 =150 =150 -
x 2 2 = 5 10 +80 +70 =160 =160 15 +80 +65 =160 =160 20 +80 +60 =160 =160 -
Solución óptima f 2 2 * (s2 ) x 2 2* 160
5
150
4
140
3
120
0
105
0
Etapa 1 (demanda=1) f 1(s1,x 1 )= 5(y 1+x 1-d 1 ) )+ +30+10x 1+f 2 2* (y 1+x 1-d 1 ) s1 0
x 1 = 0 -
x 1 = 1 0 +40 +160 =200 =200
x 1 = 2 5 +50 +150 =205 =205
x 1 = 3 10 +60 +140 =210 =210
x 1 = 4 15 +70 +120 =205 =205
x 1 = 5 20 +80 +105 =205 =205
Solución óptima * f 1 (s1 ) x 1* 200
1
PROBLEMA 2
Una compañía construye aviones comerciales para varias líneas aéreas de todo el mundo. La última etapa del proceso consiste en la fabricación de los motores de turbina y su instalación en la estructura del avión. La compañía tiene que hacer entrega, próximamente, de un gran número de aviones y, por este motivo, desea programar la producción de los motores de turbina para los próximos cuatro meses. En la siguiente tabla se muestra, para cada uno de los próximos cuatro meses, la cantidad de motores que deben de estar listos para su instalación, la capacidad de producción máxima de dicho mes, el coste unitario de fabricar cada motor (que puede variar de mes a mes debido debi do a las necesidades de personal, alteraciones en los precios de las materiales, consumos energéticos, etc.), y el coste de almacenar un motor durante un mes (en este caso, el coste siempre es fijo de $15000 por motor). 2
Mes
Instalaciones programadas
Producción máxima
1 2 3 4
10 15 25 20
25 35 30 10
Costo unitario de producción*
Costo unitario de almacenaje*
1.08 0.015 1.11 0.015 1.10 0.015 1.13 *costo dado en millones de $.
Dada las variaciones de los costos de producción, podría valer la pena fabricar algunos motores antes de su fecha de instalación. Utilice métodos de programación dinámica para determinar la producción óptima de cada mes, teniendo en cuenta que las cantidades producidas deben ser múltiplos de 5.
3
