PRODUCTO CARTESIANO Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesianode cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe: Podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flec flechas has,, diagramas arbolados,, tablas y gráficos cartesianos. arbolados cartesianos. Cada par que formemos con un elemento de A y uno de B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado. ordenado.
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
E jemplo:
Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene: AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)} El producto cartesiano AXB no es igual ig ual al producto cartesiano BXA Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces ent onces los elementos del producto cartesiano de la forma (a,a), se les llama elementos diagonales. Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma simbólica como A 2. Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos los elementos del producto cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al ultimo.
Para representar gráficamente el producto cartesiano utili zaremos la
representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes p erpendiculares, en el eje horizontal (eje X o eje de las abscisas) colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical (eje Y o eje de las ordenadas) los elementos del conjunto B,los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. Ver la representación del ejemplo
Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos
en el diagrama de árbol
tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado
por n conjuntos, multiplicando el número de elementos o cardinalde cada uno de los conjuntos que intervienen
card(AXB....Z)=card(A)card(B).....Card(Z) Propiedades del producto cartesiano.
1. El producto cartesiano d e un conjunto. Cualquiera por el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío. Ax{ } = { }es evidente, ya que el conjunto vacío carece de elementos, luego no se pueden formar pares con los del otro conjunto A. 2. Propieda d distributiva respe cto de la unión. Se ex presa: AX(BUC) = (AxB)U(AxC) 3. Propiedad distributiva respecto de la intersección: Ax(BnC) = ((AxB)n(AxC)) OJO : En
particular, siendo
R x
R
= {(x, y) / x
R x
R
es el conjunto de todas las parejas de números reales. La
R
R
y
el conjunto de los números reales, se tiene: R
}.
representación geométrica de
R x
R
es el plano cartesiano llamado también
plano numérico.
Se establece una relación biunívocaentre R
x
y el conjunto de los puntos
R
del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).
Ejemplo 1:
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A A
x
B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
x
B será:
Ejemplo 2: Sean A = {x / x B = {x / x
1
R R
2
x e 3 },
e
x
2 }.
Su representación geométrica es:
A
x
B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los
puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. Ejemplo 3:
Sean A = {x / x
Representar A
x
N
1
e
x
4}, B = {x / x
B en el plano cartesiano.
R
1
e
x
e
3}.
Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A 1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n adas ordenadas (a 1, a2,..., a n) tales que a i Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1x A2x ...xAn.
Propiedades del producto cartesiano.
1A
X
B
Y
2A
x
B=0
3A
{
B
A
x
A
x
A=0
B
{
0
B
X
x
Y.
B = 0.
A
x
B {Bx A.
Ejemplo . Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A
x
B consta de 12
elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:
E jercicios
1) s
c
¡
¢
¦
¡
¡
£
£
¦
¤
s
¥
¤
¦
( , /
¡
¥
¨
§
c
¥
¥
§
§
c s ¥
¥
¦
¨
¢
s
©
¥
¨
¢
¤
¦
s
§
¦
¦
¦
¥
c
¦
¡
©
¦
¤
§
¥
§
¦
¤
¥
s
¨
¥
s
s:
,
¢
,
,
2) Sean: A, el c njunto de todos los números reales que están entre 1 y 3
incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5 Hacer un diagrama cartesiano de:
A
x
B
B x A.
3) Sea S = {100, 101,..., 999} as que S = 900 elementos.
y
¿Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejem los: 300, 707, 736, 103, 997.
y
¿Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7? Ejem los: 736, 377. !
R EL
Ó
Llamamos
RELACIÓN entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra R, a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB. R
Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un so lo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamenta les que pueden cumplirse en esa relación: propiedad ref lexiva,simétrica y transitiva.
CONCLUSIÓN SOBRE LAS
EN
RE LACI ONES:
Definició n. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relac ó "
sí y sólo sí R es subconjunto de A Si R
A
x
x
#
$
e A en B
B.
A se dice que R es una relación de A en A o simplemente
una relación en A. 0yA x
x
B son relaciones de A en B, puesto que 0
A
x
ByA
x
B
B.
Si ( ,y) %
R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".
Ejemplo 1: Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}. R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B. R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B. R3 = {(x, y) / x
A
R4 = {(x, y) / x
A
&
&
y
B
y
B
&
&
x
"
y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
x y e 7}
= {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}. R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A. R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A. R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A. R8 = {(x, y) / x
A,y
B, x y = 0} = 0.
A
Dominio de un
'
R elació n.
Definició n. Sea R una relación. Se llama
Domi nio
de R y se denota
por D (R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto: D (R)
/ ( ) (x, )
R}
En consecuencia, x D (R)
( )((x, )
R).
x D (R)
( )((x, )
R).
R a ngo
de una
R elación.
Definició n. Sea R una relación. Se llama
Rang o
de R y se denota por
K(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las
parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto: K (R)
/ ( x) (x, )
R}
En consecuencia, y
K (R)
( x)((x, y)
R).
y
K (R)
( x)((x, y)
R).
Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene: D (R1)
, 1, 5} ; K (R1)
D (R2)
}; K (R2)
D (R3)
3, 5}; K (R3)
, 8, 4}
8}
2, 4}
D (R ) = {3, 1, }; (
(R ) = {2, , 6}
K
)
D (R ) = {3, 1};
K
(R ) = { , 3}
D (R6) = {2, 6};
K
(R6) = {3, 1}.
0
0
Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x
R
y
R
y x}.
El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.
Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación: "x es menor que y" Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}. D (R) = {1, 2},
K
(R) = { 2, 3}.
Teorema.
Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación
de A en B sí y sólo sí D (R)
(R)
B.
R} se denomina relaci n inversa y se
relación {(y, x) / (x, y)
y y y
K
inversa.De f inición. Sea R una relación. Entonces la
R elación
denota R
Ay
1.
1
En consecuencia,
(y, x) R 1 (x, y) R. (y, x) R 1 (x, y) R. Si R es una relación de A en B, entonces R B en A.
R elación
1
es una relación de
Idéntica.
Def inición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x y = x} se denomina relaci n idéntica en A y se designa -A: 2
En consecuencia: (x, y)
-A
x
A
y = x.
(x, y)
-A
x
A
y
{
x.
A
Ejemplo 7.
- es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos R
los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.
R elación
re f lexiva en un conjunto.
Def inición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí, R
A
x
A
( x
A) ((x, x)
R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R
A
x
B
( x
A) ((x, x)
R).
Ejemplo 8. Sea A = {1, 3, 5}. R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva
en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Ejemplo 9. -A es reflexiva en A cualquiera sea A
{
0.
Ejemplo 10. A2 es reflexiva en A cualquiera sea A Teorema.
R elación
{
0.
R es reflexiva en A sí y sólo sí -A
R.
simétrica en un conjunto.
Def inición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces y R x. En consecuencia: R A y R es simétrica en A y R no es simétrica en A R
A ( x)( y) ( x R y y R x). A x A ( x)( y) (x R y y x).
x
Ejemplo 11. Las relaciones -A y A2 son simétricas en A cualquiera sea A. Ejemplo 12 Sea A = {3, 4, 2} entonces: R = {(2, 3), (3, ), ( , 3), (3, 2), ( , )} es simétrica en A. S = {(3, 2), ( , 3), (2, 2), (3, )} no es simétrica en A.
Ejemplo 13. La relación T = {(x, y) / x
N
,y
N
x` y} donde la expresión "x ` y"
significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x` y no necesariamente y` x.
Teorema.
R elación
R es sim trica en A sí y sólo sí R = R 1. 3
an isimétrica en un con un to. 5
4
Definició n. R es una relación antisim trica en A sí y sólo sí R es una 6
relación en A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que: Sí x R y y R x entonces x = y. En consecuencia: y
R
R es antisim trica en A equivale a decir : 7
A y
R
x
A
( x)( y) ( x R y y R x x = y)
R no es antisim trica en A equivale a decir: 8
A
x
A
( x)( y) ( x R y y R x x{ y)
Ejemplo 14. 9
A
es antisim trica en A. @
Ejemplo 15. Sea A = {2, 4, 6} entonces: R = {(2, 2), (4, 4)} es antisim trica en A. @
S = {(2, 4)} es antisim trica en A. @
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisim trica en A @
Ejemplo 16. La
relación T = {(x, y) / x
N
,y
puesto que x `y y`x implica x = y.
N
x`y} es antisim trica en N, A
Teorema.
R elación
R es antisimétrica en A
RyR
1
-A.
transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R
es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que: Sí x R y y R z, entonces x R z. En consecuencia: y
R es transitiva en A equivale a decir:
A
R y
R
x
A
( x)( y)( z) ( x R y y R z
x R z)
R no es transitiva en A equivale a decir:
A
x
A
( x)( y)( z) ( x R y y R z
x
z).
Ejemplo 17. - A es transitiva en A.
Ejemplo 18. Sea = {2, 4, 6, 3} entonces: R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva
en A. S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A. Ejemplo 19. La relación T = {(x, y) / x
N,
y
N
x `y} es transitiva en N.
