TEORÍA DE RENOVACIÓN
La teoría de renovación estudia una clase de procesos estocásticos conocidos como procesos de conteo, es decir, procesos que registran el número de repeticiones de cierto evento, con la característica de que los tiempos de ocurrencia entre dos eventos consecutivos son variabl variables es aleato aleatorias rias no negativ negativas, as, indepen independien dientes tes e idéntic idénticame amente nte distribuidas. La teoría de la renovación puede aplicarse a varias áreas de la vida cotidiana. Un ejemplo clásico es el de la gallina y los huevos mágicos. veces la gallina pone huevos de oro y otras veces pone huevos tó!i tó!ico cos. s. La recom recompen pensa sa "i son son las las pérdi pérdidas das #inan #inanci cier eras as al reci recibi bir r huev huevos os tó!i tó!ico cos, s, los los cual cuales es hay hay que que paga pagarr para para su elim elimin inac ació ión n y limpie$a, además de las ganancias que representan los huevos de oro. %tro ejemplo &uponer que tenemos una cantidad in#inita de bombillas con tiempo tiempo de vida vida indepen independie diente nte e idénti idénticam cament ente e distri distribui buido. do. &e utili$ará una sola bombilla a la ve$ y cuando esta #alle se sustituirá por una nueva. 'ajo estas condiciones ()*t+, t -, es un proceso de renovación donde )*/+ representa el número de bombillas que han #allado para el tiempo t. 0ara un 0roceso de 1enovación teniendo tiempos entre llegadas 23, 24,5, sea 6br 78 &- 9 - &n 9 será la suma de n variables aleatorias independientes. TEOREMAS DE LA TEORÍA DE RENOVACIÓN 3+ &ea 2: 2: un proceso proceso de renovación renovación con
;ntonces<
;ste teorema relaciona relaciona la esperan$a esperan$a matemática matemática de las variables variables aleatorias con la #unción de renovación.
4+ 0ara cada t 8 % se cumple que<
=+ /eorema de Limite
>+ /eorema ;lemental de 1enovación
CARACTERISTICAS DE LAS TEORÍAS DE RENOVACIÓN
3+ /oma valores enteros no negativos que contabili$a el número de veces que ocurre un cierto evento durante el intervalo. 4+ Los intervalos de tiempo entre dos eventos consecutivos son variables aleatorias, positivas, independientes e idénticamente distribuidas. =+ La variable aleatoria representa el tiempo real en el que se reali$a la n?ésima renovación. >+ @ndican el número de renovaciones reali$adas hasta el tiempo #inal. A+ ;n la literatura se le denomina proceso de renovación a cualquiera de los procesos (/n < n 9 3, 4, . . ., ("n < n 9 -, 3, . . ., o ()t < t -, pues por construcción e!iste una correspondencia biunívoca entre cualesquiera dos de estos tres procesos.
ECUACIÓN DE LA RENOVACIÓN
&upongamos que la primera renovación ocurrió en el tiempo s 8 %, es decir, 2r 9 s. %bserve que<
;n otras palabras, si s 6 t, entonces a partir del instante s, el proceso reinicia y el número esperado de renovaciones en el intervalo B%, , es igual a uno más el número esperado de renovaciones en el tiempo t C s. ;n caso contrario, el número esperado de renovaciones en el intervalo B%, ti es cero. De esto, tenemos que<
lo cual nos lleva a las siguientes igualdades<
;s decir< ;sto es, la #unción de renovación satis#ace un caso particular de una ecuación integral, conocida corno ecuación de renovación GENERALIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE RENOVACIÓN
;s una generali$ación del 0roceso de 0oisson. ;sencialmente, el proceso de 0oisson es un proceso de Ear:ov del continuo?tiempo en los números enteros positivos *que empie$an generalmente cero+ que tiene la independiente distribuyó idénticamente llevar a cabo épocas en cada número entero i *e!ponencial distribuido+ antes de avan$ar
*con la probabilidad 3+ al número entero siguiente< i F 3. ;n el mismo alcohol in#ormal, podemos de#inir un proceso de la renovación para ser la misma cosa, salvo que los tiempos que sostienen adquieren una distribución más general. *)ota sin embargo que @@D la característica de los tiempos que sostienen se conserva+. DISTRIBUCIÓN LÍMITE PARA LOS PROCESOS TRANSITORIOS
Guando la probabilidad es 3, )*t+ tiende a in#inito cuando t tiende a in#inito. 0or lo tanto, si la probabilidad es 3< )*t+ 3 tH a medida que t I. Donde 37 H es la tasa de renovación. PROCESOS TRANSITORIOS Gualquiera de las variables del proceso cambia con el tiempo. Los procesos intermitentes y semi intermitentes son operaciones en régimen no permanente y los procesos continuos pueden ser transitorios o estacionarios. ;l proceso intermitente se usa cuando se producen cantidades pequeJas de producto en una única ocasión, mientras que para producciones grandes se usan procesos continuos en régimen permanente. Las condiciones de un régimen transitorio e!isten durante el arranque de un proceso y en los cambios subsecuentes en las condiciones de operación del proceso. CARACTERÍSTICAS DE LOS PROCESOS TRANSITORIOS
3+ Describe el comportamiento de una cadena de Ear:ov antes de alcan$ar el estado estable. 4+ &i 2*t+ es un proceso gaussiano aplicado a la entrada de un sistema L@/, la salida también es un proceso aleatorio gaussiano K*t+. =+ &i un proceso aleatorio. 2*t+, es gaussiano, entonces las #unciones muestra generadas por 2*t+ son conjuntamente gaussianas, para cualquier n, siendo n, el orden del proceso aleatorio. >+ &i el proceso gaussiano es estacionario, entonces el proceso es estrictamente estacionario. A+ &i las variables aleatorias !*t3+ !*t4+ < < < !*tn+, son obtenidos de un proceso gaussiano 2*t+ en los tiempos t3 t4 < < < tn y son no correlacionados entonces las variables aleatorias son estadísticamente independientes.
APORTES
De acuerdo a la investigación reali$ada se desarrollaron tanto teórico y un poco práctico los procesos no mar:ovianos, en cuestión de análisis se destacó que son procesos estocástico, que a pesar de ser contrarias a las propiedades de los procesos mar:ovianos e!iste la manera de calcular las probabilidades de di#erentes #ormas. ;!ploramos el en#oque de la teoría de la renovación que no es más que un proceso de conteo, es decir, procesos que registran el número de repeticiones de cierto evento, con la característica de que los tiempos de ocurrencia entre dos eventos consecutivos son variables aleatorias no negativas, independientes e idénticamente distribuidas, las cuales posee una #unción que satis#ace ciertas ecuaciones integrales donde se observa el estudio de un sistema de ecuación con unas condiciones que si un resultado da cero es porque se cumple tal condición s8t y si resulta 3 entonces se cumple la condición contradictoria s69t, donde s y t son variables totalmente aleatorias. Gon respecto a los procesos transitorios su búsqueda #ue un recorrido tedioso y se plasmó de manera analítica su de#inición y unos determinados ejemplo, pero por lo menos se logró el conocimiento y se llega a la conclusión de que cada distribución, proceso mar:oviano o no, continua o determinada maneja lo que es el proceso transitorio debido a que la probabilidad juega mucho con sus variables ya sea en tiempos y movimientos de una manera dinámica aleatoria. M0or qué Dinámica y leatoriaN 0orque está sometida a cambios. &u aplicabilidad puede decir que dentro de la química y la #ísica toma mucho su protagonismo debido a que se reali$an estudios donde las variables de tiempo, espacios y estados pueden variar de una u otra #orma. &in ;mbargo también destacamos que el clima y el proceso de una cola también pueden tener cierta transitoriedad. ngelica 0enso
Los procesos no mar:ovianos son útiles para estudiar la evolución de sistemas a lo largo de ensayos repetidos, que a menudo, son períodos sucesivos donde el estado del sistema, en cualquier período particular, no puede determinarse con certe$a. La teoría de la renovación es la rama de la teoría de la probabilidad que sistemati$a los procesos de conteo para el cual el tiempo entre los eventos sucesivos es independiente y está idénticamente distribuido. Gada ve$ que ocurre el evento decimos que ha ocurrido OrenovaciónP. &i tenemos el tiempo entre cada renovación, podemos calcular el tiempo total. Euchos #enómenos naturales son aleatorios, pero e!isten algunos como el lan$amiento de un dado, donde el #enómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que las características del material hace que no e!ista una simetría del mismo, así las repeticiones no garanti$an una probabilidad de#inida. ;n los procesos reales que se moderni$an mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen ésta es una de las ra$ones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí. Dentro de los 0rocesos )o Ear:ovianos podemos encontrar los procesos transitorios que no es más que el movimiento de un estado inicial a un estado #inal. Qosé Gamejo
