UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENCIÓN EXTENCIÓN LATACUNGA LA TACUNGA REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS EN CELOSÍA Jorque Rea Byron Stalin
[email protected] Ingeniería Electrónica e Instrumentación, Quinto Nivel, Universidad de las Fuerzas Armadas Márquez Márquez de Maenza Maenza S/N Latacunga, Ecuador. Ecuador. Fecha de presentación: presentación: 09/07/2018.
RESUMEN: En el presente artículo presenta la representación de los sistemas LTI en celosía. Esta representación es un parámetro importante para distintas aplicaciones dependiendo de las necesidades que se presenten en el tratamiento de señales. Para cualquier sistema discreto en el tiempo existen dos estructuras o configuraciones configuraciones para su realización y estos son FIR (Finite Impulse Response) e IIR (Infinite Impulse Response) se pretende aplicar la representación en celosía que presenta una gran robustez y ampliamente es utilizada en el procesado de voz, implementación de filtros adaptativos, tratamiento.
PALABRAS
CLAVE:
Resprentacion celosía, Sistemas LTI, Estructura, filtros.
1. INTRODUCCIÓN
2. DESARROLLO ESTRUCTURA PARA SISTEMAS FIR FINITE IMPULSE RESPONSE o FIR son sistemas digitales en los cuales, como su nombre lo indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos; tienen la gran ventaja que además de ser siempre estables, se pueden diseñar para ser de fase lineal, lo cual hace que presenten ciertas propiedades en la simetría de los coeficientes. Tiene especial interés en aplicaciones de audio. ESTRUCTURA SISTEMAS FIR.
EN
CELOSÍA
PARA
() ∑= ()−
Dado un filtro FIR con función de transferencia vamos a definir un conjunto de filtros. Considerando la siguiente estructura
La estructura en celosía (lattice), ampliamente utilizada en el procesado de voz, se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Figura [1]. Filtro FIR de primer orden
Las ecuaciones son:
[] [] [] (1) [] [] [] +.[1] (2) []+[1] (3) [] [] [] +.[1] (4) [][]+[1] (5) (1) Luego:
Entonces:
principales diferencias respecto a los filtros FIR es que los IIR pueden cumplir las mismas exigencias que los anteriores pero con menos orden de filtro. Esto es importante a la hora de implementar el filtro, pues presenta una menor carga computacional. Este tipo de filtros pueden ser inestables, aun cuando se diseñen para ser estables. 1.2 ESTRUCTURA SISTEMAS IIR.
EN
CELOSÍA
PARA
Partimos de un sistema de solo polos cuya función de transferencia es:
() 1+ ∑=1().− 1()
En general para un sistema de orden M tenemos:
La realización en la forma directa de un sistema se ilustra en la figura. Las ecuaciones en diferencia para este sistema IIR es:
().[] [] [] =
Figura 2. Filtro FIR de primer orden M Las ecuaciones son:
[] [] [] []−[]+ .− [1]; 1,2,…, [].−[]+−[1] ;1,2,.., [][]
Luego:
[] =().[] ;(0) ;(0)1 [] =().[] 1.1 ESTRUCTURA PARA SISTEMAS IIR. INFINITE IMPULSE RESPONSE ó IIR, es otro de los tipos de filtros digitales que como su nombre lo indica, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número infinito de términos no nulos, es decir, nunca vuelve al reposo. Las
Figura 3. Estructura en celosía para un sistema IIR de sólo polos. Las ecuaciones son:
[ ] [ ] [] .[] []+ −[] 1] ; ,1,..,1 .− [[1] ; − [] −[] [] ,1,..,1 1.3 ESTRUCTURA EN CELOSÍA – ESCALERA PARA SISTEMAS IIR. Una estructura en celosía todo polos con parámetros y añadiendo una parte escalonada tomando como salida una combinación lineal es una combinación lineal de salidas presentes y pasadas; la salida del sistema es:
()
() = ()
palabras de longitud finita; por lo que son muy utilizadas en aplicaciones prácticas tales como procesamiento de voz, filtrado adaptivo y procesamiento de señales geofísicas. 1 EJERCICIOS. Obtenga los coeficientes de la celosía correspondiente al filtro FIR con función de transferencia. A( z )
Figura 4. Estructura en celosía escalonada de un sistema polos-ceros
}
representa los parámetros que nos sirven para determinar los ceros del sistema, la función de transferencia es :
() () () () = () → ()() () ()() () () = ()() = () = () ∑ () ()
Que da como resultado:
() = () Los coeficientes del polinomio (), sirven para determinar los coeficientes de ponderación de la escalera } y los coeficientes del polinomio ()}. Losdeterminan los parámetros de la celosía parámetros de la escalera están dados por: − () = () +() −()+() Estos parámetros se calculan recursivamente a partir de los polinomios inversos () m=1,2,..,M, como () para todo m, los parámetros se pueden determinar mirando que () −()−()+() m=0,1,…,M; dando como resultado :
Estos filtros en celosía escalonada requieren un mínimo de memoria aunque no pocas multiplicaciones, otra de sus ventajas es que son filtros muy estables y robustos ante los efectos de
=
3 1 + z 4
1
−
+
1 2
z
−
2
+
1 4
z
−
3
Resolución La estructura en celosía se usa ampliamente en procesada digital de la voz y en la realización de filtros adaptativos. Un sistema en celosía presenta una serie de etapas en cascada, donde el filtro describe el conjunto de ecuaciones siguiente: F 0 ( z )
F m ( z )
=
=
G0 ( z )
F m
1
−
=
X ( z )
( z ) + K m 1 Gm 1 ( z ), z−
−
m=1,2,…,M – 1 Gm ( z ) = K m F m
( z ) + z 1G m 1( z ) −
1
−
−
m=1,2,…,M – 1
Donde Km es el parámetro de celosía de la etapa m-ésima, también denominados coeficientes de reflexión por ser idénticos a los coeficientes de reflexión introducidos en el test de estabilidad de Schür-Cohn. Las Ecuaciones m=1,2,…,M – 1 y se describen el comportamiento de la etapa m-ésima, donde las entradas son F m_1(z) y Gm_1(z), proporcionándolas salidas Fm(z) y Gm(z). En conjunto, las Ecuaciones F 0 ( z ) G0 ( z ) X ( z ) a m=1,2,…,M – 1 son un conjunto de ecuaciones recursivas que describen el filtro en celosía. =
=
Como vemos en la figura inferior, primera etapa, la entrada x(n) está conectada a f 0(n) y g 0(n), y la salida f(n) de la última etapa se considera la salida del filtro
Dado que el sistema tiene dos salidas, F M(Z) y GM(Z), y una única entrada, X(z), podemos diferenciar dos funciones de transferencia: A M ( z )
B( z )
F M ( z )
=
=
X ( z )
G M ( z ) X ( z )
F M ( z )
=
=
F 0 ( z )
GM ( z ) G0 ( z )
,
Además, sabemos que los coeficientes del filtro de salida B(z) son inversos a los de A(z) por lo que:
3 ( z ) + 3 (0) + 3 (1) z 1 4
,
1
+
2
z
1
−
+
3 4
z
−
2
1
−
+
2
−
3 (2) z
+
3 (3) z
3
−
=
y
3
−
+ z
por tanto 3 (1)
=
3 (3)
=
3 ( 2), 3 (0)
=
3 (3),
3 (0), 3 (2)
=
3 (1),
Deseamos determinar los correspondientes parámetros del filtro de celosía {K i}. Para ello sabemos que K (i ) . Dado que el grado del polinomio A(z) es tres, tendremos una celosía de tres etapas, de la cual podremos obtener inmediatamente el parámetro i
=
K 3
Figura 5. Filtro en celosía de M-1 etapas
=
3
(3)
=
1/ 4 .
Para obtener el parámetro K 2 necesitaremos el polinomio A 2(z). La relación recursiva general se determina fácilmente a partir de las Ecuaciones 1 y Am ( z ) = Am 1 ( z ) + K m z Bm 1 ( z), −
−
Bm ( z )
=
−
K m Am Am ( z ) Am
Figura 6. Estructura de cada etapa.
i
1
−
1
−
( z ) + z Bm 1 ( z), donde:
=
Am
−
1
−
( z ) + K m z 1 Bm 1 ( z ) = −
1
−
−
( z ) + K m Bm ( z ) − K m Am 1 ( z ) −
Donde si conocemos resolver Am 1 ( z ) :
K m , Bm
y A(z) podemos
−
por
lo
F 0 ( z )
=
que G0 ( z )
dividiendo
=
las
X ( z ) a m=1,2,…,M
Ecuaciones – 1 por X(z),
Am
tenemos: A0 ( z )
=
Am ( z )
B0 ( z )
= Am−1
=
=
( z) + K m z 1 Bm 1 ( z ), −
−
K m Am
A2 ( z )
1
−
1 ( z ) + z Bm 1 ( z ),
−
= 3
3 1 + z 4
1
−
(0) + 3 (1) z
=
Am ( z )
1
−
K m Bm ( z )
−
K
2 m
A3 ( z ) − K 3 B3 ( z ) 2
=
1 − K 3
2 1 + z 3
1
−
+
1 3
z
−
2
Por lo
que:
Como partimos de los coeficientes del filtro FIR para la realización en forma directa, tenemos el polinomio A(z) que es: =
=
−
m=1,2,…,M – 1
A3 ( z )
( z )
La cual es precisamente la recursión descendente usada en el test de estabilidad de Schür-Cohn. Mediante la recursión descendiente, con m = 3, se obtiene:
1
m=1,2,…,M – 1 Bm ( z )
1
−
+
1
−
1 2
z
−
+ 3
2
+
1 4
( 2) z
z
−
2
−
K 2
= 2
(2) = 1 / 3 yB2 ( z ) =
A1 ( z )
(3) z
3
−
3
+
2 3
z
1
−
+
z
−
2
Al repetir la recursión descendente, obtenemos:
3
+ 3
1
=
A2 ( z ) − K 2 B2 ( z ) 2
1 − K 2
=
1+
1 2
z
1
−
por lo que finalmente K 1 1 (1) 1/ 2 con lo que los coeficientes de la estructura celosía resultan =
K1 = 1/2,
K2 = 1/3,
=
K3 = 1/4
La estructura en celosía del sistema FIR propuesto es la representada en la Figura
2 CONCLUSIONES. •
•
•
•
•
Existen diferentes tipos de representaciones de los sistemas LTI y Celosía es una representación importante en el tratamiento de digital de señales. La estructura en celosía es conocida por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Los sistemas FIR son sistemas digitales en los cuales, si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Las principales diferencias respecto a los filtros FIR es que los IIR pueden cumplir las mismas exigencias que los anteriores, pero con menos orden de filtro. Las estructuras en celosía tanto FIR como IIR se caracterizan por los mismos coeficientes de reflexión, ki, diferenciándose únicamente en su interconexión.
5 BIBLIOGRAFÍA. [1] http : // agamenon . tsc.uah.es /Asignaturas/it/ tds/apuntes /filtros/celosia.pdf [2] http://dspace.ups.edu.ec/ bitstr eam /1234 567 8 9 /418/ 15/UPS-CT001 878.pdf [3] http://ocw.uv.es/ingenieria -y-arquitectura/ filtros -digitales /tema_5_realizacion _de _sistemas _en_tiempo_discreto.pdf
[4] Tintaya, C. O.
J. (2007). Procesamiento digital de señales sísmicas con Matlab. Revista de Investigación de Física, 10(02).
