PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO #1 Un camión puede transportar como máximo 9 Tm. por viaje. En un viaje desea transportar transportar al menos 4 Tm. de la mercancía mercancía A y un peso de la mercancía mercancía B que no sea inerior a la mitad del peso que transporta de A. !a"iendo que co"ra #$ pts.%&ilo de A y '$ pts.%&ilo de B( )cómo se de"e car*ar el camión para o"tener la *anancia máxima+ ,esolv lver er(( *rá *ráic icam ament ente( e( el si*u si*uie ient nte e sist sistem ema a de inec inecuac uacio ione nessEJERCI EJE RCICIO CIO #2 ,eso
alumnos de un cole*io cole*io van a ir de excursión. a empresa que EJERCICIO #3 os /$$ alumnos reali0a el viaje dispone de 1$ auto"uses de 4$ pla0as y 2 de /$( pero sólo de 11 conductores conductores en ese día. El alquiler de los auto"uses peque3os es de /$$$ pesos. y el de los *randes de $$$ pesos. )5uántos )5uántos auto"uses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posi"le+
EJERCICIO #4 ,esolver *ráicamente el sistema de inecuacionesEJERCICIO #5 Una á"rica produce dos modelos A y B de un producto. El "eneicio que arroja el modelo A es de 4$$$ pts.%unidad y el del B $$$ pts.%unidad. a producción producción diaria no puede superar 4$$ unidades del modelo A ni #$$ del B y en total total no pueden superarse las $$ unidades. )5uántas unidades de cada modelo de"e producir la á"rica para o"tener el máximo "eneicio+ EJERCICIO #6 6allar el máximo y el mínimo de la unción 7x(y8 x : y sometida a las
restricciones-
EJERCICIO #7 En unos *randes almacenes necesitan entre y 1/ vi*ilantes cuando están a"iertos a"iertos al p;"lico p;"lico y entre 4 y < vi*ilantes vi*ilantes nocturnos. nocturnos. =or ra0ones de se*uridad( de"e >a"er más vi*ilantes cuando están a"iertos. !i el salario nocturno es un $? más alto que el diurno( )cómo de"e or*ani0arse el servicio para que resulte lo más económico posi"le+
EJERCICIO #8 @aximi0ar y minimi0ar la unción 7x(y8 'x : y 1 sujeta a las
restricciones-
EJERCICIO #9- ,esuelva el si*uiente pro"lema de maximi0ación de la unción -
5ontestea8 !i se a3aden dos unidades del actor limitante A( ) en cuánto variará el producto de cada proceso para que la solución contin;e siendo óptima + "8 )!ería conveniente introducir la actividad C # si los requerimientos por unidad de producto de dic>a actividad de los insumos A y B son respectivamente( 1./ y './D y el precio unitario del producto de dic>o proceso es 9.
EJERCICIO #10 ,esuelva el si*uiente pro"lema de maximi0ación de la unción -
5ontestea8 )FuG variación mínima en el precio del "ien 1 se requiere para que la solución encontrada deje de serlo( en consecuencia( de"a modiicarse la composición de "ienes a ser incluidos en la nueva solución óptima +
"8 !i uera posi"le reducir en un '$? los coeicientes de insumoproducto del "ien no incluído en la solución óptima ori*inal )tendrá sentido producirlo +
EJERCICIO #11 a8 ,esuelva el si*uiente pro"lema de maximi0ación de la unción -
"8 Hetermine los precios som"ra de los actores limitantes. c8 ) 5uál sería la variación en el nivel de cada actividad si se incorporase una unidad del primer actor limitante+
EJERCICIO #12 a 5onstructora 5asas tda.( se >a adjudicado la construcción de 1$$ casas. El contrato la o"li*a a construir dos tipos de casas. =ara los "eneiciarios las casas tienen el mismo costo( pero para 5onstructora 5asas( Gstas tienen un mar*en de utilidad dierente( así las casas tipo campo arrojan /.1$$ I y las de tipo ranc>o /.$$$ I. El contrato o"li*a a entre*ar las casas dentro de los nueve meses de irmado el contrato. Jtra inormación relevante se resume en la si*uiente ta"laRecurso por tipo de casa
Disponibilidad
Campo
Rancho
de horas
200
100
12000
Carpintero
50
120
13000
Albañil
a8 Kormule el pro"lema de pro*ramación lineal. "8 Encuentre la solución óptima *ráicamente. c8 !upon*a que se desea a*re*ar un nuevo tipo de casa denominada L5olonialM que da un mar*en de utilidad de 49$$ I%casa y que requiere de 1/$ >r
carpintero%casa y 2$ >ral"a3il%casa. Explique si conviene o no a"ricar las casas.
EJERCICIO #13 Una empresa proveedora de alimentos "alanceados y maximi0adora de "eneicios >a o"tenido una orden de compra para producir un compuesto con( por lo menos( 1$$ *ramos de i"ras( #$$ *ramos de proteínas y <$ *ramos de minerales. En el mercado puede o"tener los si*uientes productos con las si*uientes características-
CONTENIO
PROUCTO
E!
1
2
3
"IBRAS
20
30
5
PROTE$NAS
60
50
38
MINERALES
9
8
8
POR &10
&15
&8
PRECIO %G.
5ontestea8 )5uál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo + "8 )A cuánto ascenderá el precio som"ra 7por *ramo8 de Ki"ras+ =roteínas+ @inerales+ c8 )5ómo cam"iaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exi*e que cada unidad de compuesto pese un &ilo exactamente +
EJERCICIO #14 En el 0ooló*ico municipal( se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones( que conten*a i*ual cantidad de proteínas y de *rasa. !e*;n un estudio de mercado( los distintos tipos de carne tienen las si*uientes características y los si*uientes preciosCONTENIO
CARNE TIPO!
E!
A
B
C
GRASAS
16
18
25
PROTE$NAS
22
20
16
&90
&100
PRECIO %G.
POR &70
!i se desea minimi0ar el costo de la alimentación de las ierasa8 =lantee el pro"lema en tGrminos de pro*ramación lineal. "8 6aciendo uso del pro*rama de acti"ilidad( esta"le0ca la primera solución "ásica. c8 =lantear el pro*rama dual al planteado por usted. d8 Encontrar la com"inación óptima de tipos de carne a adquirir que minimi0a el costo de la dieta por &ilo*ramo de ración.
EJERCICIO #15 En la empresa =,JNOEA( el departamento de in*eniería se3ala que cuando se produce el "ien 1 solamente( se o"tiene como máximo una producción de '$$ unidades del mismoD utili0ando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A( no utili0ando un '/? de la capacidad de las máquinas B y usando el /$? de las máquinas 5. En cam"io( cuando sólo se produce el "ien ' se utili0a el 1$$? de la capacidad instalada de máquinas 5 y sólo el 1'./? de la capacidad instalada de las A y el ? de las BD o"teniGndose un máximo de 1$$ unidades del "ien en cuestión. El "eneicio neto por unidad del "ien 1 y del ' es( respectivamente( 1 y #. En "ase a los datos aportados por el departamento de in*eniería( el *erente de producción ar*umenta que como so"raría capacidad instalada del parque de maquinarias B( convendrá orecerlas en alquiler. El *erente tGcnico opina( en cam"io(
que "ajo las circunstancias( lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto( el "ien #( que requiere '? de capacidad de A( 1$? de B y $./? de 5( para o"tener una unidad de este "ienD que puede venderse en el mercado con un "eneicio neto unitario de 14. 5omo el presidente de la empresa sa"e que usted tiene "uenos conocimientos de pro*ramación lineal y que las condiciones en las que opera =rolineal son aptas a tal planteo( le pide que dG su opinión acerca del mejor curso de acción a se*uir( respondiendo críticamente a los planteos de los dos *erentes.
EJERCICIO #16 =ara producir ' toneladas de tri*o se requieren 4 >ectáreas( ' "olsas de semillas de tri*o por >ectárea y / meses%>om"re. =ara producir # toneladas de centeno se requieren ' >ectáreas( 1./ "olsas de semillas de centeno por >ectárea y 9 meses%>om"re. El precio del tri*o y del centeno por tonelada asciende a #$$ y '#$ pesos respectivamente. El costo de la "olsa de semillas de cada uno de estos productos es '$ la de tri*o y #$ la de centeno. El empresario maximi0ador de "eneicios dispone de 1'$ >ectáreas y de '<$ meses%>om"re. Asimismo cuenta de un contrato que le otor*a la opción de arrendar un campo lindero de 2$ >ectáreas a ra0ón de #$ la >ectárea utili0ada. a ley la"oral( por otra parte( le "rinda el "eneicio de contratar mano de o"ra adicional a un costo de /$ por meses%>om"re( sin limitación. a8 Kormule el pro"lema en tGrminos de pro*ramación lineal. "8 Hetermine cuál será la solución óptima del empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades. c8 Kormule el pro*rama dual correspondiente y lue*o( >aciendo uso del pro*rama de acti"ilidad( esta"le0ca la primera solución "ásica.
EJERCICIO #17 En una economía lineal( se requiere por >ectárea ' >om"res( "olsas de semillas y # de ertili0antesD para o"tener un rendimiento por >ectárea de # toneladas de tri*o candeal. =or otra parte( para o"tener un rendimiento por >ectárea de ' toneladas de ce"ada se necesitan( en cam"io( por >ectáreaD 4 "olsas de semillas( ' de ertili0antes y # >om"res. 7denominamos este enunciado como el de producción8. Una ve0 cosec>ada la producción( Gsta de"e almacenarse en silos del tipo A( B y%o 5( cuyas capacidades son de 1$$ toneladas de cereales cada uno 7alternativamente( de"e venderse a un precio de 1$$ la tonelada de cereal sea cual uere el producto8. os silos del tipo A sólo almacenan tri*oD los del tipo B sólo ce"ada( mientras que los del tipo 5 pueden almacenar am"os productos simultánea o indistintamente.
7denominamos este enunciado como el de almacenamiento8. os valores pertinentes a los enunciados anteriores son 5osto por "olsa de semilla de tri*o / 5osto por "olsa de semilla de ce"ada 1$ 5osto por "olsa de semilla de ertili0antes 1$ =recio por tonelada de tri*o 19$ =recio por tonelada de ce"ada 1$ 5antidad de silos- uno de cada tipo. 5antidad de >om"res- #'$ 5antidad de 6ectáreas- 1'$ 7os precios ri*en para la venta despuGs del período de almacenamiento8. a8 =lantee el pro"lema *lo"al 7de producción y de almacenamiento8 en tGrminos de pro*ramación lineal( si el o"jetivo es maximi0ar los "eneicios. "8 =lantee y resuelva ;nicamente el pro"lema de producción. c8 =lantee el dual de a8 y la primera ta"la de simplex.
EJERCICIO #18 En una á"rica de *uardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas. a primera de ellas requiere dos >oras >om"re del taller de cortado y cuatro >oras >om"re del taller de cosido. El se*undo artículo se a"rica utili0ando una >ora >om"re del taller de cortado y cinco del de cosido. a conección de la ;ltima especie de prenda requiere tres >oras >om"re de cada uno de los talleres se3alados. 5ada una de las prendas que es acti"le producir consume respectivamente( por unidadD dos( tres y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de #. !i la empresa dispone en cada taller respectivamente de 1$$ cortadores y de #/$ cosedores( operarios que de"en cumplir con '$$ >oras de tra"ajo mensual cada uno( y se veriican las condiciones necesarias para la aplicación de la pro*ramación lineala8 Hetermine cuál será la asi*nación óptima de la mano de o"ra entre las distintas actividades si el precio de los tres tipos de *uardapolvos al que pueden venderse cantidades ilimitadas de los mismos es de '$( ' y 4$ cada uno( respectivamente. "8 5onteste- )produciría una nueva prenda cuyo precio es de /' y que requiere 4 >oras >om"re de cortado y / de cosido( consumiendo metros cuadrados de tela+
c8 =lantee el pro"lema en tGrminos de pro*ramación lineal si cada operario del plantel de cortadores pudiera tra"ajar '$ >oras extras mensuales a un costo de 4 la >ora adicional.
EJERCICIO #19 Una irma productora de deter*entes cuenta con dos procesos productivos para a"ricarlos. 5ada actividad utili0a en0imas( capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. as en0imas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a 1$$ por unidad. as plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado ija. El precio del deter*ente es de 4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda a"ricar. El primero de los procesos utili0a dos unidades de en0imas( 4? de la capacidad de la planta de producción y 2? de la de envasado( por cada 1$$ unidades de deter*ente. El se*undo proceso requiere dos unidades de en0imas( '? de la capacidad de la planta de producción y 1'? de la de envasado( por cada 1$$ unidades de deter*ente. 5ontestea8 )5uál es el pro*rama óptimo de producción y a cuánto ascenderá el "eneicio esperado+ "8 )5uál planta aconsejará usted ampliar( si ello uera posi"le y de muy "ajo costo( y en quG porcentaje +
EJERCICIO #20 !i la si*uiente ta"la tariaría esta"lece los costos unitarios de transporte de contenedores de los centros de producción A( B y 5( a los centros de consumo a( "( c y dESTINOS
OR$GENES
'
(
)
*
A
10
5
6
7
B
8
2
7
6
C
9
3
4
8
y en cada ori*en se dispone respectivamente de /$( /$ y 1$$ unidadesD mientras se requieren en los puntos de destino respectivamente de #$( 4$( $ y <$ contenedoresD encuentre el pro*rama óptimo de transporte de los contenedores.
EJERCICIO #21 En una economía lineal( para producir # unidades de tri*o se requieren unidades de tierra( 2 en semillas y # tra"ajadores. =ara producir 4 unidades de centeno se requieren / unidades de tierra( 1$ de semillas y tra"ajadores. El precio por unidad de tri*o y centeno es 1/ y '$(/ respectivamente( siendo las cantidades disponi"les de tierra y de tra"ajo de 1$$ y 1#$ unidades respectivamente. !i el empresario desea optimi0ar el resultado de su explotación( interprete la solución del dual.
EJERCICIO #22 Usted( como vendedor de KE,,ETE,NA 5.A. tiene que decidir cómo asi*nar sus esuer0os entre los dierentes tipos de clientes de su territorio. Usted de"e visitar comerciantes mayoristas y clientes que compran al detal. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce '$ en ventas( pero la visita en promedio dura ' >oras y de"e manejar tam"iGn en promedio 1$ Im. En una visita a un comprador al detal( le vende /$ requiere de unas # >oras y '$ Im manejando su carro aproximadamente. Usted planiica viajar como máximo $$ Im por semana en su carro y preiere tra"ajar no más de # >oras a la semana. Encuentre la com"inación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximi0ar sus *anancias EJERCICIO #23 El *rupo AOTA,( !.A. está anali0ando la posi"ilidad de diversiicar sus inversiones( >acia sectores dierentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponi"le para inversiones de esta naturale0a se >a ijado en 1$$($$$($$$. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales( el director de inan0as >a recomendado que las nuevas inversiones sean en la NOHU!T,NA =ET,JE,A( A NOHU!T,NA !NHE,P,QN5A R EO 5ETE!. Especíicamente( el director >a identiicado siete oportunidades de inversión( así como las tasas de rendimiento esperadas de las mismas. Hic>a inormación se da a continuación. OPCIONES E IN+ERSIÓN
TASA E RENIMIENTO ,
P/ '* S.A.
50
I*:/' P/' S.A.
75
P/ * N/ S.A.
40
A) M)' S.A. S*;<)' N')' S.A.
70
= A) S.A.
55
CETES
60
45
El consejo de Administración >a impuesto( por su parte( la si*uiente estrate*ia de inversión-
1. Oo se de"e destinar más del /$? del total de la inversión a una industria en particular. '. a inversión en 5ETE! de"e ser por lo menos el '/? del total invertido en siderur*ia. #. a inversión en Nndustria =etrolera !. A.( la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque tam"iGn la de más alto ries*o( no puede exceder al /$? del total a invertir en el sector petrolero. 4. El total a invertir en sider;r*ica de"e ser por lo menos i*ual al invertido en petróleo. A. B.
Kormular el modelo como uno de = Hesarrollar el modelo @atemático
L EJERCICIO
#24 Texas Nnstruments Nnc. está estudiando la posi"ilidad de a*re*ar nuevos minicomputadores a su línea con el in de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores >an sido dise3ados y evaluados. 5ada uno requerirá de una inversión de #$$($$$. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de /$($$$ unidades por a3o( con una contri"ución en las utilidades de '$ por unidad. os computadores ' y # tienen un valor esperado de ventas de #$$($$$ y 1$$($$$ unidades( respectivamente( con contri"uciones en la utilidad de / y 1$. a TEN >a asi*nado 2$$ >oras mensuales de tiempo de planta tGcnica para estos nuevos productos. os computadores 1( ' y # requieren 1( $.' y $./ >oras tGcnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despac>os serán los usados actualmente por la compa3ía. Este sistema puede empacar y despac>ar como máximo '/($$$ cajas de los minicomputadores 1( ' y #. El computador 1 es empacado en 1 cajaD los computadores ' y #son empacados( cada uno( 4 computadores por caja. Kormule un modelo de pro*ramación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEN. EJERCICIO #25 En un contexto que usted puede asumir como lineal( una á"rica de jeans produce varios modelos de pantalones El modelo S"asicS 7B8( que requiere ' m ' de tela denim( # minutos >om"re del taller de cortado para cortar las distintas pie0as y minutos >om"re del taller de cosido. El empaque se >ace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despac>ada previo desem"olso de tres pesos por prenda en concepto de caja de em"alaje y apliques varios en cada pantalón. El modelo S"asic plusS 7B=8 no es otra cosa que el modelo anterior al que se le a*re*a un "ordado muy "onito cuya conección requiere de 1 minuto de la utili0ación del taller de "ordado. El modelo S"asic plus ultraS 7B=U8 es i*ual al modelo "asic plus pero esta coneccionado previo planc>ado de la tela que requiere de un lapso de ' minutos por prenda de la concurrencia de uanita( la planc>adora. os modelos B lar*o( B= lar*o y B=U lar*o son variantes de los modelos comunes descriptos( pero requieren un 1$? más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe( sin em"ar*o( una limitación dado que no es posi"le producir más de #$ de estas prendas en total( limitación que no ri*e para las prendas comunes.
os parámetros relevantes son los si*uientes 5osto de la tela por m ' 1$. 5apacidad máxima disponi"le mensual en >oras >om"re del taller de cortado '$$$D del taller de cosido 2$$D del taller de "ordado '/$D del taller de empaque <$. uanita sólo tra"aja 1$$ >oras eectivas mensuales. os jeans comunes B( B= y B=U se pueden colocar en cantidades ilimitadas a #$( 4$ y /$ respectivamente y los modelos B( B= y B=U de i*ual modo( a #4( 4# y / respectivamente. a8 Kormule el pro"lema en tGrminos de pro*ramación lineal. "8 !i uera posi"le o"tener un /$? de >oras adicionales del taller de cortado a un precio de 1 por minuto( ) cómo modiicaría su planteo+
EJERCICIO #26 Una compa3ía produce tres tama3os de tu"os- A( B y 5( que son vendidos( respectivamente en 1$( 1' y 9 por metro. =ara a"ricar cada metro del tu"o A se requieren de $./ minutos de tiempo de procesamiento so"re un tipo particular de máquina de modelado. 5ada metro del tu"o B requiere de $.4/ minutos y cada metro del tu"o 5 requiere $. minutos. HespuGs de la producción( cada metro de tu"o( sin importar el tipo( requiere 1 &* de material de soldar. El costo total se estima en #( 4 y 4 por metro de los tu"os A( B y 5 respectivamente. =ara la si*uiente semana( la compa3ía >a reci"ido pedidos excepcionalmente *randes de sus clientes( que totali0an '$$$ metros de tu"o A( 4$$$ metros de tu"o B y /$$$ metros del tu"o 5. 5omo sólo se dispone de 4$ >rs. Hel tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario /(/$$ &*s de material de soldar el departamento de producción no podrá satisacer la demanda la cual requiere de 11($$$ &*s de material para soldar y más tiempo de producción. Oo se espera que contin;e este alto nivel de demanda. En ve0 de expandir la capacidad de las instalaciones de producción( la *erencia esta considerando la compra de al*unos de estos tu"os a proveedores de apón a un costo de entre*a de por metro del tu"o A( por metro del tu"o B y < por metro del tu"o 5. Estos diversos datos se resumen en la ta"la 1. A Usted como Qerente del Hepartamento de producción( se le >a pedido >acer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tu"o y la cantidad de compra a apón para satisacer la demanda y maximi0ar las *anancias de la 5ompa3ía. T'(' 1! Hatos reerentes al pro"lemaTu"o tipo
=recio de Hemand Tiempo de @aterial enta a @áquina para 7%metro8 ,>?>/ soldar 7metros8 ,@>/
5osto de 5osto de =roducció compra a n apón ,&?>/ ,&?>/
A 1$
'($$$
$./$
1
#
B
1'
4($$$
$.4/
1
4
C
9
/($$$
$.$
1
4
<
A. B. C.
Kormule el modelo de = Hesarrollar el modelo @atemático y resuelvalo por medio del pro*rama VNOF!B !olución con el pro*rama VNOF!B
EJERCICIO #27 Un complejo industrial produce dos productos( A y B( los que comerciali0a en mercados perectamente competitivos a 1'$ y #$ por unidad respectivamente. =ara producir cada uno de estos "ienes se requieren respectivamente por cada 1$$ unidades( 4 y 2 >oras%operario y( 1 y # >oras%supervisor. Tam"iGn se necesita de máquinas tipo C y e tipo R para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo C tiene una capacidad para procesar 4$ y $ unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y en orma simultánea. @ientras que el parque de máquinas de tipo R utili0a i*ual tiempo de procesamiento por producto pero en orma secuencial( de modo que( por ejemplo( si se procesa A al máximo admisi"le por minuto no se puede procesar unidad de B al*una en i*ual lapso. El producto B requiere a su ve0 como insumo de ' unidades de A por cada unidad de B. a materia prima indispensa"le para producir A es de ' &*. por unidad cuyo costo por &*. es de 1$( en la medida en que no se excedan las 1$ toneladas de consumo por período y de 1/ por el excedente de dic>o tonelaje( si lo >u"iera. a empresa considerada dispone de 1$ operarios y de # supervisores y( en cada período( de < >orasmáquina tipo C y de 1# >orasmáquina del otro tipo. as >oras eectivas de tra"ajo suman 9 >oras por período y por tra"ajador. Es posi"le disponer >oras%operario extra a un costo de $ la >ora. El equipo de ventas puede comerciali0ar >asta un máximo de #$$$ y 2$$$ unidades de A y B respectivamente por
período. 5uando no se especiica la duración( el período se asume de una duración de 9 >oras. !uponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la pro*ramación lineala8 =lantee en tGrminos de pro*ramación lineal el pro"lema de optimi0ación que enrenta la Hirección del complejo industrial. "8 =lantee e interprete el pro"lema dual si no existieran >oras extras ni precios dierenciales por insumos( ni restricciones a la comerciali0ación.
EJERCICIO #28 !i F1( F'D U1( U'( U# denotan respectivamente a las varia"les uncionales y de >ol*ura de un pro*rama lineal y 1( '( #D 1( ' sim"oli0an respectivamente a las varia"les uncionales y de >ol*ura del correspondiente pro*rama dual( ) puede el si*uiente conjunto de valores constituir un par de soluciones óptimas+ F1 1'( F' $( U 1 #( U ' 4( U # $( 1 $( ' 4( 1 ( ' $( # 4. Kundamente su respuesta. EJERCICIO #29 Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 1$$ >oras operario y dos plantas u"icadas en distintos puntos *eo*ráicos del país de"e satisacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas 0onas. os costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resume en la si*uiente ta"la T'' ':/ ** P'/' I '/' D'/' )>)
P'/' II
C>)'/ A
&4
&7
C>)'/ B
&6
&5
C>)'/ C
&5
&8
a ela"oración diaria de cada paquete de envasados en la planta N requiere de 1%' >ora operario( 4%# ? de utili0ación de la capacidad de la maquinaria para envasado y de ' en concepto de insumos varios. a planta NNcuya tecnolo*ía es menos eiciente requiere un /$? mas de todos los insumos por unidad de producto . El precio uniorme por paquete es de 1# y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de /$ ( $ y 4$ paquetes
a8 =lantee el pro"lema de optimi0ación que se le presenta al empresario en tGrminos de =. "8 !i cada planta( en el planteo anterior ( produjera /$ y 1$$ paquetes respectivamente( o"ten*a un plan de transporte óptimo ( independientemente de los costos de producción.
EJERCICIO #30 Asuma que de"e pro*ramar la producción de una empresa a*rícola en cada uno de los si*uientes cuatro periodos en los que son ele*i"les tres cultivos posi"les el A( el B y el 5 ( existe una restricción de tierra 7T8( los coeicientes de insumo producto son conocidos e i*uales para cada cultivo en los distintos periodos pero dierentes entre sí 7a(" y c8 y los precios netos 7=at(="t y =ct8 son datos en todos los periodos. Existen además las si*uientes restricciones de rotación- i8 no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y ii8 no se puede cultivar 5 en más de dos periodos en la misma tierra. Kormule el pro*rama lineal a resolver. EJERCICIO #31 Una empresa proveedora de alimentos "alanceados y maximi0adora de "eneicios >a o"tenido una orden de compra para producir un compuesto con( por lo menos( 1$$ *ramos de i"ras( #$$ *ramos de proteínas y <$ *ramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 1/$( 4$$ y 9$ *ramos. En el mercado puede o"tener los si*uientes productos con las si*uientes características-
CONTENIO
PROUCTO
E!
1
2
3
"IBRAS
20
30
5
PROTE$NAS
60
50
38
MINERALES
9
8
8
PRECIO POR %G
&10
&15
&8
!i el compuesto no puede pesar más de /$$ *ramos o si lo >ace se de"e pa*ar una multa de '$ centavos por *ramo excedente por los primeros /$ *rs y de #$ centavos si
excede de /$ *rs ormule el pro"lema de optimi0ación que enrenta el empresario en tGrminos de = si de"e producir 1$.$$$ unidades del compuesto.
EJERCICIO #33 a empresa AAEE5T,J !.A. es a"ricante de dos componentes mecánicos para una *ran compa3ía de lavadoras de ropa. a compa3ía a"ricante de lavadoras >ace pedidos trimestrales a AAEE5T,J !. A. os requerimientos mensuales varían de un mes a otro( dedo que a venta de lavadoras se ve aectada por cierta estacionalidad( AAEE5T,J !. A. aca"a de reci"ir una orden para el si*uiente trimestre( la cual se detalla a continuación. MES Componente Enero
Febrero
Marzo
X-126 A
30,000
20,000
40,000
X-112 C
10,000
20,000
30,000
HespuGs que se procesa la orden( se envía una requisición al departamento de control de producción( en donde ela"oran una pro*ramación trimestral para am"os componentes. El gerente de producción opina que lo mejor es a!ricar en promedio 30,000"#30,000 $ 20,000 $ 40,000%&3 unidades por mes del primer componente, ' 20,000 " #10,000 $ 20,000 $ 30,000%&3 unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendr(a un ni)el de producción constante* +or otra parte, el gerente de nanas no opina lo mismo que el de producción, dado que con una producción constante, el ni)el de in)entarios para los componentes ser(a alto, redundando en un alto costo nanciero* Espec(camente, el in)entario que se generar(a con una producción constante es.
M Inventario Inicial
Producci Ventas Inventario ón Final
0
30,000
30,000
0
1
0
30,000
20,000
10,000
2
10,000
30 ,000
40,000
0
126 A
/-112C
1
0
20,000
10,000
10,000
2
10,000
20,000
20,000
10,000
3
10,000
20,000
30,000
0
+or tanto, el gerente de nanas sugiere que se produca nicamente lo que se )a a )ender en cada mes* A esta sugerencia, el gerente de producción a contestado que ser(a mu' costoso para la compa(a tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al )ariar el ni)el de producción ' adems, que ser(a an ms costoso para la empresa, disponer de dierentes ni)eles de mano de o!ra de un mes a otro* El gerente de control del producción a decidido conciliar los o!jeti)os en con5icto de los gerentes de producción ' de nanas, para la cual a o!tenido la siguiente inormación.
Capacidad maquinaria
M (horas)
en Capacidad Capacidad en en mano de almacén obra (m) (horas)
E 00
1,000
300
7e!rer o
1,000
1,000
300
8aro
1,900
1,000
300
Component !oras"m#quina e por unidad
!oras" hombre unidad
Espacio por unitario (m)
C1'A
/-112C
0*10
0*09
0*30
0*19
0*09
0*29
Adicionalmente, se sa!e que el costo de producción es :3,000 para el primer componente ' :2,000 para el segundo el costo de mantener una unidad en in)entario se estima en 9; del costo de producción ' actualmente se tienen en in)entario 10,000 unidades del primer componente ' 9,000 unidades del segundo el costo por ora-om!re contratada adicionalmente es :1,000 ' por ora-om!re no utiliada es :900* <=u> programa de producción de!e esta!lecer el gerente de control de producción?
EJERCICIO #34 Una >iladora >a reci"ido una orden para producir un >ilo que de"e contener al menos 4/ on0as de al*odón y '/ on0as de seda. a orden puede ser conormada para cualquier me0cla posi"le de dos tipos de 6ilo 7A y B8. El @aterial A cuesta # por on0a y el B cuesta ' por on0a. 5ontienen las proporciones de al*odón y seda que se presentan en la si*uiente ta"la Al*odón !eda A #$? /$? B $? 1$? )FuG cantidades 7on0as8 de >ilos A y B de"erían ser usadas para minimi0ar el costo de esta orden+ !oluciónKunción J"jetivo- @in 5 #A : 'B ,estricciones- .#$A : .$B 4/ ./$A : .1$B '/ a solución simultanea de dos ecuaciones de restricciones da A #9 on0as y B // on0as. El costo mínimo( 5( es entonces #A : 'B #W#9 : 'W// ''<. Una EJERCICIO #35 Una persona aca"a de >eredar $$$ y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos ami*os distintos le orecen la oportunidad de participar como socio en dos ne*ocios( cada uno planeado por cada ami*o. En am"os casos( la inversión si*niica dedicar un poco de tiempo el si*uiente verano( al i*ual que invertir eectivo. 5on el primer ami*o al convertirse en socio completo tendría que invertir /$$$ y 4$$ >oras( y la *anancia estimada 7i*norando el valor del tiempo8 sería 4/$$. as ciras correspondientes a la proposición del se*undo ami*o son 4$$$ y /$$ >oras( con una *anancia estimada de 4/$$. !in em"ar*o( am"os ami*os son lexi"les y le permitirían entrar en el ne*ocio con cualquier racción de la sociedadD la participación en las utilidades será proporcional a esa racción.
5omo de todas maneras esta persona está "uscando un tra"ajo interesante para el verano 7$$ >oras a lo sumo8( >a decidido participar en una o am"as propuestas( con la com"inación que maximice la *anancia total estimada. Es necesario resolver el pro"lema de o"tener la mejor com"inación. a8 Kormule el modelo de pro*ramación lineal para este pro"lema. "8 ,esuelva este modelo con una *ráica. )5uál es la *anancia total estimada+ c8 Nndique por quG parece que cada una de las cuatro suposiciones de pro*ramación lineal se satisace ra0ona"lemente en este pro"lema. )Está en duda al*una de las suposiciones+ !i así es( )FuG puede >acerse para tomar en cuenta esto+
EJERCICIO #36 Una compa3ía manuacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no reditua"le. Esto creó un exceso considera"le en la capacidad de producción. a *erencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos( llámense productos 1( ' y #. En la si*uiente ta"la se resume la capacidad disponi"le de cada máquina que puede limitar la producción. T * >F:'
T> *( , D'->F:' >''
"'*'
500
T
350
R)/)'*'
150
El n;mero de >orasmáquina que se requiere para cada producto es5oeiciente de productividad 7en >orasmáquina por unidad8
T * >F:'
P*:)/ 1
P*:)/ 2
P*:)/ 3
"'*'
9
3
5
T
5
4
0
R)/)'*'
3
0
2
El departamento de ventas >a indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y ' exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto # son '$ unidades por semana. a *anancia unitaria sería de /$( '$ y '/( respectivamente( para los productos 1( ' y #. El o"jetivo es determinar cuántos productos de cada tipo de"e producir la compa3ía para maximi0ar la *anancia. Kormule y resuelva el modelo de pro*ramación lineal para este pro"lema.
EJERCICIO #37 Un *ranjero cría cerdos para venta y desea determinar quG cantidades de los distintos tipos de alimento de"e dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la si*uiente ta"la se dan las unidades de cada clase de in*rediente nutritivo "ásico contenido en un &ilo*ramo de cada tipo de alimento( junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentosI<*/ :/)'
%<'> %<'> %<'> R:>/ * >'H * <'' * ''' >> *'
C'(D*'/
90
20
40
200
P/'
30
80
60
180
+/'>'
10
20
60
150
C/ ,US&
42
36
30
Kormule y resuelva el modelo de pro*ramación lineal utili0ando el pro*rama !JE,
EJERCICIO #38 a compa3ía UONTE56 tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. as tres pueden a"ricar un determinado producto y la *erencia >a decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede >acerse en tres tama3os- *rande( mediano y c>ico( que darán una *anancia neta de 4'$( #$ y #$$( respectivamente. as plantas tienen capacidad de mano de o"ra y equipo para producir $( 9$$ y 4/$ unidades diarias cada una( sin importar el tama3o o la com"inación de tama3os de que se trate. a cantidad de espacio disponi"le para almacenar material en proceso impone tam"iGn una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. !e cuenta con 1#$$$( 1'$$$ y /$$$ pies cuadrados de espacio en las plantas 1( ' y #( para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. 5ada unidad *rande( mediana y c>ica que se produce requiere '$( 1/ y 1' pies cuadrados( respectivamente. os pronósticos de mercado indican que se pueden vender 9$$( 1'$$ y /$ unidades diarias( correspondientes a los tama3os *randes( mediano y c>ico. 5on el in de mantener una car*a de tra"ajo uniorme entre las plantas y para conservar al*una lexi"ilidad( la *erencia >a decidido que la producción adicional que se les asi*ne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El *erente quiere sa"er cuántas unidades de cada tama3o de"e producir en cada planta para maximi0ar la *anancia. Kormule y resuelva el modelo de pro*ramación lineal utili0ando el pro*rama VNOF!B
EJERCICIO #39 Una amilia campesina es propietaria de 1'/ acres y tiene ondos por 4$($$$ para invertir. !us miem"ros pueden producir un total de #/$$ >oras>om"re de mano de o"ra durante los meses de invierno 7mediados de septiem"re a mediados de mayo8 y 4$$$ >oras>om"re durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas >oras>om"re( los jóvenes de la amilia las emplearán para tra"ajar en
un campo vecino por /.$$ la >ora durante los meses de invierno y por ($$ la >ora en el verano. =ueden o"tener el in*reso en eectivo a partir de tres tipos de cosec>a y dos tipos de animales de *ranja- vacas lec>eras y *allinas ponedoras. =ara las cosec>as no se necesita inversión( pero cada vaca requerirá un desem"olso de 1('$$ y cada *allina costará 9. 5ada vaca necesita 1./ acres( 1$$ >oras>om"re durante el invierno y otras /$ >oras >om"re en el veranoD cada una producirá un in*reso anual neto de 1$$$ para la amilia. as ciras correspondientes para cada *allina son nada de terreno( $. >oras >om"res en el invierno( $.# >oras>om"re en el verano y un in*reso anual neto de /. 5a"en #$$$ *allinas en el *allinero y el corral limita el *anado a un máximo de #' vacas. as estimaciones de las >oras>om"res y el in*reso por acre plantado con cada tipo de cosec>a son-
S'
M'H
A'
='-D>(
20
35
10
='-D>( '
50
75
40
I< / ':' ,&
600
900
450
a amilia quiere determinar cuántos acres de"e sem"rar con cada tipo de cosec>a y cuántas vacas y *allinas de"e mantener para maximi0ar su in*reso neto. Kormule el modelo de pro*ramación lineal para este pro"lema.
EJERCICIO #40 Un avión de car*a tiene tres compartimientos para almacenardelantero( central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. os datos se resumen ense*uidaC>'/>/
C'')*'* * C'')*'* ') ,/'*' );()
'/
12
7000
C/'
18
9000
T'
10
5000
* ,
=ara mantener el avión "alanceado( el peso de la car*a en los respectivos compartimientos de"e ser proporcional a su capacidad. !e tienen oertas para los si*uientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio-
C'<'
P ,/'*'
+:> );()?/'*'
, G'')' ,&?/'*'
1
20
500
320
2
16
700
400
3
25
600
360
4
13
400
290
!e puede aceptar cualquier racción de estas car*as. El o"jetivo es determinar quG cantidad de cada car*a de"e aceptarse 7si se acepta8 y cómo distri"uirla en los compartimientos para maximi0ar la *anancia del vuelo. Kormule y resuelva el modelo de pro*ramación lineal utili0ando el pro*rama !JE,.
EJERCICIO #41 !e va a me0clar mineral proveniente de 4 minas dierentes para a"ricar "andas para un nuevo producto de la Q@5. os análisis >an demostrado que para producir una "anda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se de"e contar con # elementos "ásicos- A( B( 5. En particular( cada tonelada de mineral de"e contener( por lo menos( / li"ras de elemento "ásico A( por lo menos 1$$ li"ras del elemento B y al menos #$ li"ras del elemento 5. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los # elementos "ásicos( pero en distintas proporciones. !us composiciones en li"ras%toneladas( y los costos de extracción de los minerales de cada mina sonElemento
MINA
MINA
Costos en !"#on de mineral
$%sico
1
2
3
4
1
&00
A
10
3
&
2
2
'00
$
(0
150
)5
1)5
3
*00
C
'5
25
20
3)
'
500
Utili0ando el el pro*rama !JE,( la Q@5 desea >allar la com"inación 7me0cla8 de costo mínimo para a"ricar la "anda.
EJERCICIO #42 Un proveedor de"e preparar con / "e"idas de ruta en existencias( al menos /$$ *alones de un ponc>e que conten*a por lo menos '$? de ju*o de naranja( 1$? de ju*o de toronja y /? de ju*o de arándano. !i los datos del inventario son los que se muestran en la ta"la si*uientes Utili0ando el pro*rama VNOF!B( indicar )FuG cantidad de cada "e"ida de"erá emplear el proveedor a in de o"tener la composición requerida a un costo total mínimo+ +u,o de +u,o de +u,o de E.istencia Naran-a #oron-a Ar%ndano /,al
Costo /!",al
Bebida A
'0
'0
0
200
150
Bebida B
5
10
20
'00
0)5
Bebida C
100
0
0
100
200
Bebida D
0
100
0
50
1)5
Bebida E
0
0
0
&00
025
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.
EJERCICIO #43 Un peque3o taller arma dispositivos mecánicos( ya sea como un producto terminado que entre*a al mercado( o como un proceso intermedio para entre*ar a una *ran á"rica. Tra"ajan # personas en jornadas de 4$ >oras semanales. Hos de estos o"reros no caliicados reci"en $.4 por >ora( y el tercero( un o"rero caliicado( reci"e $. por >ora. os tres están dispuestos a tra"ajar >asta 1$ >oras adicionales a la semana con un salario /$? superior durante este período. os costos ijos semanales son de 2$$. os *astos de operación varia"les son de 1.$ por >ora de tra"ajo de o"rero no caliicado y '.4 por >ora de o"rero caliicado. os dispositivos mecánicos sin aca"ar son vendidos a la planta a ./ cada uno. El taller tiene un contrato "ajo el cual de"e entre*ar 1$$ de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El due3o del taller tiene como política el producir no más de /$ dispositivos a la semana por so"re el contrato. os dispositivos terminados se venden a 1/ cada uno sin restricciones de mercado. !e requieren $./ >oras de o"rero no caliicado y $.'/ >oras de o"rero caliicado para producir un dispositivo sin aca"ar listo para entre*ar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensam"larse y dejarlo terminado a*re*ándole $./ >oras de tra"ajador caliicado. Un dispositivo aca"ado listo para entre*ar al mercado se puede producir con $. >oras de o"rero no caliicado y $./ >oras de o"rero caliicado. =lantear el modelo de pro*ramación lineal que permita
responder la consulta y aplicando el pro*rama !JE,( indicar )cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximi0ar las utilidades+
EJERCICIO #44 Un producto se puede ormar de 4 unidades del componente A1 junto con # unidades del componente B1( o se pueden utili0ar # unidades del componente A' junto con 4 unidades del componente B'. En cualquiera de las dos opciones( usted puede suponer que la calidad del producto es la misma. as componentes A1 y B1 se a"rican en la Ká"rica UOJ y las componentes A' y B' se a"rican en la Ká"rica HJ!. 5ada componente necesita # materiales =( F y ,. !in em"ar*o( se utili0an en dierentes proporciones. as cantidades usadas dependen del lu*ar y del tipo de componente a ela"orar. Actualmente se dispone de 4$$ unidades de =( #$$ de F y /$$ de ,. =lantear el pro"lema de pro*ramación lineal asociado que permita determinar( aplicando !JE,( el n;mero de corridas de producción en cada á"rica( tal que maximice la producción total del producto terminado( si se conoce la si*uiente ta"la-
Fábr i ca
Uni dades corr i da
r equer i das
por Uni dades pr oduci das por corrida
Materi al
P
Q
R
A1
B1
A2
B2
UNO
7
3
10
5
6
0
0
DOS
5
6
5
0
0
7
8
EJERCICIO #45 Un inversionista tiene oportunidad de reali0ar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos / a3os 7llámense a3os 1 al /8. 5ada dólar invertido en A al principio de cualquier a3o retri"uye 1.4$ 7una *anancia de $.4$8 ' a3os despuGs 7a tiempo para la reinversión inmediata8. 5ada dólar invertido en B al principio de cualquier a3o retri"uye 1.<$( # a3os despuGs. Además( la actividad 5 estará disponi"le para inversión una sola ve0 en el uturo. 5ada dólar invertido en 5 al principio del a3o ' da 1.9$ al inal del a3o /. a actividad H estará disponi"le sólo ' veces( al inicio del a3o 1 y del a3o /. 5ada dólar invertido en H al principio de a3o retri"uye 1.#$ al inal de ese a3o. El inversionista tiene $$$$ para iniciar y desea sa"er( utili0ando el pro*rama VNOF!B )cuál plan de inversión maximi0a la cantidad de dinero acumulada a3o principio del a3o + EJERCICIO #46 Una compa3ía química produce cuatro productos químicos dierentes 7A( B( 5 y H8 usando dos procesos de reacción dierentes 71 y '8. =or cada >ora que se reali0a el proceso 1 Gste entre*a 4$$ l"s de A( 1$$ l"s de B y 1$$ l"s de 5. El proceso ' entre*a 1$$ l"s de A( 1$$ l"s de B y 1$$ l"s de H por >ora. El departamento de mar&etin* >a especiicado que la producción diaria de"e ser no más de /$$ l"s de B y #$$ l"s de 5 y al menos 2$$ l"s de A y 1$$ l"s de H. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de U!/$$ y una corrida del proceso ' tiene un costo de U!1$$. !upon*a que
una li"ra da cada químico A( B( 5 y H se pueden vender en 1( /( / y 4 dólares( respectivamente. Kormule un modelo de pro*ramación lineal y aplicando el pro*rama !JE,( encuentre la solución óptima 7todas en caso de existir óptimos alternativos8.
EJERCICIO #47 Una empresa de arriendo de ve>ículos desea esta"lecer la lota de automóviles( camionetas y jeeps para el presente a3o. =ara tales eectos( estudia la adquisición de ve>ículos de los tres tipos. Todos los ve>ículos comprados son depreciados y pa*ados en un período de ' a3os( despuGs del cual son vendidos. a ta"la si*uiente muestra el precio de compra y los in*resos del período para los tres tipos de ve>ículos 7los in*resos para el se*undo a3o incluyen el valor de salvamento8.
ehculo
Costo /4!
In,resos primer In,resos se,undo año /4! año /4!
Autom6il
)000
3000
5'00
Camioneta
*500
2300
5300
+eep
5&00
2100
5000
A;n cuando la empresa puede pa*ar el costo de los ve>ículos inmediatamente( puede tam"iGn decidir dierir parte del costo de los ve>ículos al inal del primer o se*undo a3o. El costo del crGdito es de 14? anual. a empresa de"e pa*ar por lo menos el '$? de la inversión inicial al reci"ir un ve>ículo y por lo menos el /$? de la inversión inicial más los intereses del crGdito de"en >a"er sido pa*ado al inal del primer a3o. a empresa dispone de U!'$$$$$$ para la compra de ve>ículos este a3o. a compa3ía usa una tasa de descuento del 1/? para eectos de inanciamiento 7es decir( U!1$$ >oy valen U!2/ dentro de un a3o8. Todo excedente en cualquier a3o es invertido en otros ru"ros y( por lo tanto( no puede considerarse en pa*os uturos. Kormule un modelo de pro*ramación lineal para el pro"lema y resuelva aplicando el pro*rama !JE,.
EJERCICIO #48 Un nuevo mall está considerando instalar una mesa de inormación *estionada por un empleado. Basados en inormación o"tenida de mesas de inormación similares( se cree que la *ente lle*ará a la mesa a una tasa de '$ por >ora. leva un promedio de ' minutos responder una pre*unta. !e asume que las lle*adas son =oisson y los tiempos de respuesta están exponencialmente distri"uidos. 7a8 Encontrar la pro"a"ilidad de que el empleado estG desocupado. 7"8 Encontrar la proporción de tiempo que el empleado está ocupado. 7c8 Encontrar el n;mero promedio de personas reci"iendo y esperando para reci"ir al*una inormación. 7d8 Encontrar el n;mero promedio de personas esperando en la cola para o"tener al*una inormación.
7e8 Encontrar el tiempo promedio que una persona que "usca inormación pierde en la mesa. 78 Encontrar el tiempo esperado que una persona pierde sólo esperando en la cola para que se le responda una pre*unta.
EJERCICIO #49 Asumir que el empleado de la mesa de inormación en el pro"lema 1 *ana / por >ora. El costo del tiempo de espera( en tGrminos del enojo del cliente con el @A es 1' por >ora de tiempo *astada esperando en la ila. Encontrar todos los costos esperados en un día de 2 >oras. EJERCICIO #50 El @A >a decidido estudiar la posi"ilidad de emplear dos empleados en la mesa de inormación. 7a8 Encontrar la proporción de tiempo que los empleados estarán desocupados. 7"8 Encontrar el n;mero promedio de personas esperando en este sistema. 7c8 Encontrar el tiempo esperado que una persona *asta esperando en el sistema. 7d8 Asumiendo el mismo nivel de salario y costos de espera que en el pro"lema '( encontrar los costos totales esperados en un día de 2 >oras.
EJERCICIO #51 Tres estudiantes lle*an por minuto a una máquina de caG que entre*a exactamente 4 ta0as por minuto a una tasa constante. Hescri"ir los parámetros del sistema. EJERCICIO #52 Un mecánico sirve a 4 prensas. El tiempo de servicio promedia los 1$ minutos( y es exponencial. as máquinas se rompen despuGs de un promedio de tiempo de <$ minutos si*uiendo una distri"ución =oisson. Hescri"ir las características principales del sistema.