MATRIZ DE PAGOS 1.- Durante varios años, una tienda de departamentos ha ofrecido lápices con las iniciales del cliente como una promoción de Navidad. Compraba los lápices a su proveedor, quien proporcionaba la máquina de grabado. a grabación de las iniciales corr!a por cuenta de la tienda. "ese al #$ito de las ventas de los lápices, la tienda hab!a recibido comentarios en el sentido de que la calidad del plomo era deficiente % cambio de proveedor por tales que&as. "ero el nuevo proveedor no podrá empe'ar a surtirle antes del primero de enero. a tienda de departamentos se vio obligada a adquirir una ve' más sus lápices de su proveedor original, a fin de atender a la demanda de Navidad. "or tanto, es importante no comprar en e$ceso, pero el gerente no quiere perder demasiados clientes a causa del agotamiento de e$istencias. os lápices vienen en paquetes de 1( por bolsa % cada ca&a contiene )* bolsas. a tienda paga + por ca&a % vende los lápices en + 1.( por bolsa os costos de mano de obra son /).( centavos por bolsa. 0asándose en las ventas de años anteriores, el gerente preparó la siguiente tabla entas esperadas "robabilidad
1( 1 1) 12 13 * .( .* ./ .*( .1 .1
4Cuántas ca&as debe ordenar la tienda % cuál es la utilidad esperada5 *.- 6easide "roperties está planeando el desarrollo de un con&unto de condominios cerca de 7ort 8%ers, 7lorida. 9l terreno que se piensa comprar costará + . 9l desarrollo del área com:n costará otros + ; . as unidades costarán + / cada una, % se espera que se vendan en + 2 . 9l problema es decidir cuántas unidades construir, si se constru%en. 6i se obtiene una demanda alta por las unidades, se podrán vender ; de ellas a precio completo. 6e piensa que la probabilidad de una demanda alta es ./(. 6i se obtiene una demanda media, sólo se podrán vender / a precio completo. 6e hará un na compañ!a compañ!a vende cierto cierto instrume instrumento nto de control control electrónic electrónico. o. "arte "arte del proceso de manufact manufactura ura para estos instrumentos implica una calibración del dispositivo de lectura del instrumento ba&o condiciones de operación simulada. Despu#s los instrumentos se env!an a las plantas de los clientes para su instalación. "or desgracia, el dispositivo de lecturas algunas veces pierde la calibración durante el transporte. 9n realidad, la e$periencia pasada muestra que esto sucede en al rededor del 1? de todos los env!os. a compañ!a puede emprender tres posibles acciones. "uede continuar e instalar el instrumento tal como se descarga de los camiones. 6i el instrumento sigue estando calibrado, todo está bien % la operación se conclu%e. 6in embargo, si el instrumento ha perdido la calibración, el costo de corregir los artefactos despu#s de instalados es de + 1 . a segunda acción consiste en enviar siempre a un ingeniero durante la instalación para que efect:e otra calibración del instrumento, sin importar su situación actual. 9sta operación tiene un costo de + 2. a tercera acción que la compañ!a puede reali'ar es hacer una verificación simple de campo al equipo antes de instalarl instalarloo con un costo de + *. Despu#s, si se determina determina que el instrumento instrumento está calibrado calibrado en forma adecuada, puede instalarse tal como está. 6i se determina que la calibración está alterada, puede llamarse al ingeniero@con un costo adicional de + 2A para que realice un a&uste durante la instalación. "lant#ese una matri' de pagos % determ!nese cuál es la acción con los costos esperados más ba&os. ;.- 0ill Bohnson, un agricultor de c!tricos de 7lorida, ha recibido una oferta de contrato de + 1 por la cosecha de este invierno. 0ill piensa que si ha% una helada fuerte, su cosecha rendirá sólo + * en el mercado. 6in embargo, si no ocurre la helada fuerte, la cosecha deberá redituar + * . 4Cuál es la probabilidad de una helada fuerte a la que 0ill ser!a indiferente indiferente entre sus dos alternativas5 (.- >sted es el propietario de un almac#n de art!culos de tenis % debe decidir cuántas pantalonetas de tenis para hombre debe pedir para la estación de verano. "ara un tipo particular de pantaloneta, usted debe pedir lotes de 1. 6i pide 1 pantalonetas, su costo es de + 1 por unidad. 6i pide * su costo es de + 3 por unidad % si pide / o más su costo es de + 2.(. 6u precio de venta es de + 1*, pero si algunas se quedan sin vender al final del verano, #stas deben de venderse a mitad de precio. "or sencille', usted cree que la demanda
de esta pantaloneta es de 1, 1( ó *. 9s claro, que usted no puede vender más de lo que almacena. 6in embargo, si se queda corto ha% una p#rdida de buen nombre de + .( por cada pantaloneta que una persona desee comprar pero que no pueda hacerlo por no tenerla en el almac#n. demás, usted debe colocar el pedido ahora, para la estación de verano venidera % no puede esperar a observar cómo var!a la demanda de esta pantaloneta antes de pedir, ni se pueden colocar varios pedidos. 9li&a usted el criterio adecuado % determine 4cuántas pantalonetas se deben pedir5 .- 9l espectáculo de perros % ponis de Ealter está programado para aparecer en Cedar Fapids el 1; de &ulio. as ganancias que se obtengan dependen en gran medida del clima. 9n concreto, si el clima es lluvioso, Ealter pierde + 1( % si es soleado gana + 1 @se supone que los d!as o son soleados o son lluviososA. Ealter puede decidir cancelar la e$hibición, pero si lo hace pierde un depósito de + 1 que hi'o cuando aceptó la fecha. os registros del pasado indican que en esa fecha ha llovido G de las veces durante los :ltimos 1 años. a 4Hue decisión debe tomar Ealter para ma$imi'ar su beneficio esperado neto en dólares5 b 4Cuál es el valor esperado5 ).- Novelt%, Incorporated, debe decidir si puede fabricar % lan'ar al mercado un nuevo art!culo para cierta estación del año, que acaba de desarrollarse para venderse a + 1.)( dólares por unidad. 6i la empresa decide fabricarlo, habrá que comprar maquinaria especial que se desechará al terminar la estación. >na máquina que cuesta 1 1 dólares dará por resultado un costo variable de manufactura de .3 dólares por unidad. Jtra máquina que cuesta / dólares producirá un costo variable de . dólares por unidad. fortunadamente la empresa podrá fabricar en pequeños lotes a medida que ocurran las ventas % por lo tanto no habrá problemas de mercanc!a no vendida al terminar la estación. as ventas probables de la empresa, en unidades, se muestran en la siguiente tabla 9NK6 9N >NIDD96 * ; 2
"FJ00IIDD .* .; .;
4Hu# debe hacer la empresa, tomando en consideración las ventas esperadas5 2.- 6ue 7armer es un comprador en el departamento de damas de la tienda LoldsmithMs. 9stá tratando de decidir cuántas docenas de vestidos de cierta l!nea de otoño comprar. Cada docena vendida durante el otoño generará + 1( de ganancia para la tienda. Cada docena no vendida al final de la temporada tendrá un costo para la tienda de + (. 6ue piensa que la demanda para la temporada será de ;, (, ó ) docenas de vestidos con probabilidades respectivas de .;, ./, .* % .1. 4Cuántas docenas deberá ordenar5 3.- a compañ!a Lammage necesita reempla'ar una de sus máquinas % está considerando la compra de la máquina o de la 0. a máquina tiene un costo inicial de + 1 % costos de operación por unidad de + .(. "or otro lado, la máquina 0 tienen un costo inicial de + 1; % costos de operación + ./( por unidad. a demanda durante la vida :til de las máquinas es incierta, pero la administración piensa sub&etivamente que puede ser de 1 , * ó / unidades con probabilidades respectivas de .*, .; % .;. 4Hu# máquina deberá comprar la compañ!a5 1.- Cosmetics, Incorporated, está considerando la producción de un nuevo &abón l!quido para el pelo de la mu&er. 9l precio de venta propuesto es de 1.*( dólares el frasco. 9l costo variable pro%ectado es de .3 de dólar por frasco. "ara emprender ese programa se necesita una inversión de 2 en costos fi&os. 6e espera que el nuevo producto tenga una vida de cinco años. 9l grupo de investigaciones de mercado ha calculado la demanda anual en la forma siguiente D98ND N> "FJ00IIDD *( .( ( .1 )( .*
1 11
./ ./(
4Debe producirse el nuevo producto basándose en los hechos dados5 11.- >na empresa de alquiler de automóviles es un negocio que compite con otras grandes corporaciones. "iensa ofrecer un nuevo plan a los clientes que quieren rentar un automóvil por un solo d!a % devolverlo en el aeropuerto. "or + *;.3(, la compañ!a les alquilará un automóvil económico % su :nico gasto adicional será llenar el tanque de gasolina al terminar la &ornada. a compañ!a planea comprar varios automóviles pequeños a un precio reba&ado de + )(. a cuestión fundamental es decidir cuántos comprar. os e&ecutivos han escogido la siguiente distribución de probabilidad estimada del n:mero de automóviles que se alquilan diariamente N:mero de autos alquilados "robabilidad
1 11 .12 .13
1* 1/ 1; 1( .*1 .1( .1; .1/
a compañ!a pretende ofrecer el plan seis d!as por semana@/1* d!as al añoA % prev# que el costo variable por carro será + *.*( al d!a. uego de utili'ar los automóviles durante un año, piensa venderlos % recobrar el ;(? del costo original. "rescindiendo del valor del dinero en el tiempo % de los gastos que no se hacen en efectivo, determine el n:mero óptimo de automóviles que es preciso adquirir. 1*.- >n producto perecedero es adquirido por un minorista en + 1( % se vende a un precio de + *(. a demanda diaria var!a en forma aleatoria conforme a la distribución incluida en la tabla. 6i un producto se almacena pero no se vende, el minorista tendrá que absorber el costo de + 1( como p#rdida. Desea determinar el nivel del inventario diario, a fin de ma$imi'ar la utilidad diaria esperada. a Constru%a la tabla de utilidad condicional. b 4Hu# decisión de inventario produce la má$ima utilidad diaria esperada5 c 4Cuál es la má$ima utilidad diaria esperada5 Demanda diaria @ A 1 11 1* 1/
"@ A .1 ./ .; .*
1/.- >na automotri' se constitu%ó hace poco en corporación. 6u principal activo es una franquicia para vender los automóviles de uno de los principales fabricantes del pa!s. 9l director general está planeando la dotación de personal para las instalaciones de servicio. Con la información suministrada por el fabricante % por otros distribuidores vecinos, ha estimado el n:mero de horas-mecánico anuales que el servicio necesitará Ooras "robabilidad
1 .*
1* ./
1; .;
1 .1
9l director general piensa pagarle a cada mecánico + 3. por hora % cobrar a sus clientes + 1.. os mecánicos traba&arán ; horas a la semana % recibirán dos semanas de vacaciones al año. Determine cuántos mecánicos deben ser contratados. 1;.- >na pequeña firma de consultor!a debe decidir cuántos maestros en administración de empresas contratar para el pró$imo año @Oa decidido que prescindirá de empleados de medio tiempoA. "or e$periencia personal sabe que la distribución de probabilidad del n:mero de traba&os de consultor!a que su firma efect:a cada año está representada por las cantidades ane$as. Kraba&os de Consultor!a "robabilidad
*; ./
*) .*
/ .;
// .1
9l &efe de la firma tambi#n sabe que cada maestro en administración que contrate podrá reali'ar e$actamente tres traba&os de consultor!a al año. 9l sueldo de cada uno es de + / . >n traba&o de consultor!a le de&a a la firma una ganancia de + 1( . >n traba&o que ha%a recibido pero que no pueda cumplir le cuesta + ( por la p#rdida de futuros negocios. 4Cuántos maestros en administración de empresas deberá contratar la firma5 1(.- a panader!a eonardPs prepara todos los d!as su famoso pan. Qste se vende a un dólar la pie'a cuando está reci#n hecho % cuesta + .( prepararlo. 9l pan que no se vende se lleva a la mesa de descuento en donde se vende a + .( la pie'a. :n a ese precio, la mitad del pan de la mesa de descuento no se vende % ha% que tirarlo. 9l problema de la eonardPs es decidir cuántas pie'as de pan preparar en un d!a t!pico. a historia dice que la demanda de pan ha sido la que se muestra en la tabla. Demanda en docenas de pie'as / ; (
"robabilidad .1 .; .; .1
1.- a Compañ!a manufacturera OartRood tiene 1 dólares disponible para inversión en maquinaria % equipo. 6i contin:an las actuales condiciones de los negocios, la inversión producirá utilidades del 1(?, pero si ha% una ligera recesión sólo producirá el /?. 9se dinero, tambi#n puede invertirse en certificados del tesoro para obtener una utilidad segura del (?. 4Hu# probabilidad debe tener la recesión para que las dos inversiones sean, económicamente, igualmente atractivas5 1).- >na empresa que produce energ!a el#ctrica tiene dificultades para la obtención de gas natural para la generación de electricidad. os combustibles diferentes al gas natural se compran con un costo e$tra el cual podr!a transferirse a la base de los usuarios. os gastos totales de combustible por mes son, en promedio, de + ), )(, . >n ingeniero de esta empresa de servicio para la ciudad ha calculado el ingreso promedio de los :ltimos *; meses utili'ando tres me'clas diferentes de combustible, a saber, 1? de gas, menos de /? de otros combustibles % /? o más de otros combustibles. a tabla de aba&o indica los datos correspondientes a estas diferentes situaciones. 4"uede la empresa esperar cubrir los gastos mensuales futuros con base en esta información, si continua un patrón similar al de ahora5 8e'cla 1? Las 8enos del /? de Jtros Combustibles /? o más de Jtros Combustibles
N:mero de 8eses 1*
Ingreso "romedio por 8es + (, *), + ), 2(, + 1*, 1/,
12.- dele Eeiss administra la florer!a del campus. os pedidos de flores a su proveedor, en 8#$ico, debe hacerlos con tres d!as de anticipación. pesar de que el d!a de 6an alent!n se acerca rápidamente, sus ventas se generan casi en su totalidad por compras impulsivas de :ltimo minuto. as ventas hechas con anticipación son tan pequeñas que Eeiss no puede estimar la probabilidad de que la demanda de rosas ro&as sea ba&a @*( docenasA, mediana @ docenasA o alta @1/ docenasA cuando llegue el gran d!a. 9lla compra esas rosas a + 1( por docena % las vende a + ; por docena. Constru%a usted una matri' de pagos % diga 4qu# decisión es la indicada seg:n cada uno de los cuatro criterios de incertidumbre5
PROGRAMACIÓN LINEAL FORMULACIÓN DEL MODELO 1.- 7orm:lese el siguiente problema de inversión en t#rminos de "rogramación ineal @"..A, estableciendo la función ob&etivo % las restricciones. >n banco tiene + 1 millón disponibles para pr#stamos. "uede prestar dinero a empresas, proporcionar hipotecas o conceder pr#stamos personales. as pol!ticas del banco limitan los pr#stamos personales a un má$imo del *(? de todos los pr#stamos, mientras que los pr#stamos a empresas no pueden e$ceder la cantidad de hipotecas. Kambi#n el banco quiere que los pr#stamos a empresas sean por lo menos 1? más que los pr#stamos personales. os intereses promedio son 1*? en pr#stamos personales, 1? en pr#stamos a empresas % 2? sobre hipotecas. os fondos que no se han prestado se invierten en valores a corto pla'o al (?. 9l banco quiere un programa para ma$imi'ar el inter#s.@6ugerencia este problema tiene cuatro variables de decisión.A *.- a 7irerocS Kire Compan% está tratando de encontrar la me&or manera de utili'ar el e$ceso de capacidad, en particular, * horas- hombre. a compañ!a está considerando dos tipos de llantas normal % radial. Cada llanta radial ocupa *.( horas-hombre % tiene una contribución marginal de + *. >na llanta normal requiere * horas-hombre % contribu%e con + 1. 9l departamento de comerciali'ación estima que pueden venderse hasta llantas radiales % 2 llantas normales. a 7orm:lese este como un problema de ".. b 4Cuántas llantas de cada tipo deben producirse5 c 4Cuál es la contribución total5 /.- 9l JrangetoRn "olice Department tiene los siguientes requerimientos m!nimos diarios de personal "er!odo 1 * / ; (
Oora del d!a 1*- ; a. m. ;- 2 a. m. 2-1* a. m. 1*- ; p. m. ;- 2 p. m. 2-1* p. m.
"olic!as requeridos ; * 2 3 ) (
Cada oficial de polic!a traba&a 2 horas consecutivas. 9l departamento de polic!a está buscando una planeación de personal que minimice el total de oficiales de polic!a que se necesitan diariamente. 7orm:lense las relaciones del modelo de ". . para encontrar una programación óptima. No se resuelva. @6ugerencia sea i el n:mero de oficiales de polic!a que inician su traba&o en el per!odo i.A ;.- >na empresa recibe *, %ardas cuadradas de cuero no curtido cada mes. 9sta empresa produce cueros para sillas de montar % cubre asientos. Cada silla de montar requiere 1 %ardas cuadradas de cuero % cada cubreasiento requiere 1( %ardas cuadradas. ntes de que el cuero pueda ser usado para cada uno de sus productos, tiene que ser curtido completamente. 9l cuero que va a ser usado en sillas de montar requiere una hora por %arda cuadrada para ser curtido % el de cubreasientos requiere de dos horas por %arda cuadrada para ser curtido. 6e dispone de * horas de tiempo para curtir en la planta. 9l precio de venta de cada cuero suficiente para una silla de montar es de + 1, % el de cada cubreasientos es de + *)(. a Constru%a un modelo de programación lineal. b 9ncuentre la combinación óptima de curtido de cueros para sillas de montar % cubreasientos usando el m#todo s!mple$. (.- 6uponga que el equipo forestal produce un ingreso neto de + 2* por unidad % que requiere ) libras de hierro, ( horas de labor, 1 transmisión % / horas de tratamiento t#rmico por unidad. 9l equipo de remoción de escombros produce un ingreso neto de + por unidad % requiere ;* libras de hierro, 11 horas de labor, 1 transmisión % 1* horas de tratamiento t#rmico. a capacidad de la compañ!a durante ese per!odo es de 2 libras de hierro, *1 horas de traba&o, *3 transmisiones % horas de tratamiento t#rmico. Defina las variables de decisión % formule este problema como un modelo de programación lineal.
.- >na persona desea invertir + / en una me'cla de inversiones. a tabla que se muestra en seguida, indica las opciones de inversión % las tasas estimadas de rendimiento de cada una. 9l inversionista quiere que por lo menos /? de su inversión est# en bonos del gobierno. 9n virtud del ma%or riesgo que entrañan las dos acciones, ha estipulado que la inversión combinada no rebase los + ( . Kambi#n tiene la cora'onada de que las tasas de inter#s van a seguir siendo altas % ha especificado que al menos *(? de la inversión se haga en el fondo del mercado de dinero. 6u condición final establece que la cantidad invertida en el fondo mutualista no deberá ser ma%or que la invertida en el fondo mutualista 0. 9l problema radica en decidir cuánto invertir en cada alternativa para que se ma$imice el rendimiento total anual @en dólaresA. Defina rigurosamente las variables % formule el modelo de programación lineal que se aplica a este problema. Inversión 7ondo 8utualista 7ondo 8utualista 0 7ondo del 8ercado de Dinero 0onos Lubernamentales cción cción 0
Kasa pro%ectada de rendimiento .1* .1; .1( .1*( .1 .12
).- a "la%safe Insurane Compan% of TnocSville, 8. 9., dispone de fondos ociosos por un total de + * millones para inversiones a corto % largo pla'o. as especificaciones gubernamentales requieren que no más del 2? de todas las inversiones sean de largo pla'o no más del ;? se inviertan a corto pla'o % que la ra'ón entre las inversiones a largo % corto pla'o no sea ma%or de / a 1. ctualmente, las inversiones a largo pla'o rinden el 1(? anual mientras que la tasa anual para las inversiones a corto pla'o es del 1?. a 7ormule el modelo de "rogramación ineal. b Jbtenga la solución utili'ando el m#todo 6!mple$. 2.- a 8abelPs Ko% 6hoppe quiere gastar + 1 en publicidad local. 9l ob&etivo global es alcan'ar la má$ima audiencia posible al mismo tiempo que llegar hasta niños por lo menos. 6e dispone de tres medios sus costos % la audiencia que tienen se dan en la tabla que sigue Costo por paquete udiencia total Niños a b
"eriódico + * * 1
Fadio + 1( 1; 1
K.. + ; / /
7ormule el modelo de "rogramación ineal. >tili'ando el m#todo s!mple$ determine la solución del problema.
3.- "recarious irlines está tratando de decidir cuánto combustible para &et debe comprar a tres proveedores durante el mes pró$imo. Necesita las siguientes cantidades de combustible para los tres aeropuertos que usa en la actualidad galones para el aeropuerto 1, ( galones en el aeropuerto * % / gaones en el aeropuerto /. os tres proveedores han indicado que pueden proporcionar las siguientes cantidades totales de combustible la compañ!a , / galones la compañ!a 0, ; la compañ!a C, ) galones. 9l costo por galón de combustible var!a entre las compañ!as % entre los aeropuertos. a siguiente tabla da los precios por galón que establecieron los proveedores. 7orm:lese #ste como un problema de "rogramación ineal. eropuerto 1 * /
+ .*( + .* + ./
"roveedor 0 + ./ + .*2 + .*3
C + .*2 + .*3 + .*3
MÉTODO GRÁFICO 1.- Dados los siguientes datos para los productos % 0 Fecurso F1 F* Contribución U unidad
"roducto 0 * ; ( + / + 1.(
Fecurso disponible 1 * *
aA.- 9scr!banse la función ob&etivo % las restricciones. bA.- 9ncu#ntrese la solución óptima mediante el m#todo gráfico. *.- >n agricultor compra fertili'antes que contienen tres nutrientes, , 0 % C. as necesidades m!nimas son 1 unidades de , * de 0 % 2 de C. 9n el mercado e$isten dos marcas populares de fertili'antes. 7ast LroR, con un costo de + ; por bolsa con / unidades de , ( de 0 % 1 unidad de C. 9as% LroR, con un costo de + / por bolsa con * unidades de cada nutriente. si el agricultor desea minimi'ar el costo mientras se mantenga el requerimiento de nutrientes, 4cuántas bolsas de cada marca debe comprar5 /.- >n fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Jld 6moSe% % 0la'e Ra%. Durante la producción las parrillas requieren del uso de dos máquinas, % 0. 9l n:mero de horas necesarias en ambas está indicado en la siguiente tabla. 6i cada máquina puede utili'arse *; horas por d!a % las utilidades de los modelos son de + ; % + , respectivamente, 4cuántas parrillas de cada tipo deben producirse por d!a para obtener una utilidad má$ima5 4Cuál es la utilidad má$ima5 Jld 6moSe% 0la'e Ra%
8aquina * horas ; horas
8aquina 0 ; horas * horas
;.- >na compañ!a e$trae minerales de un %acimiento. 9l n:mero de libras de minerales % 0 que puede ser e$tra!do por cada tonelada de los filones I % II está dado en la tabla siguiente &unto con los costos por tonelada. 6i la compañ!a debe e$traer al menos / libras de % * ( de 0, 4Cuántas toneladas de cada filón deben ser procesadas con el fin de minimi'ar el costo5 4Cuál es el costo m!nimo5 8ineral 8ineral 0 Costo por tonelada
7ilón I 11 lb * lb + (
7ilón II * lb ( lb +
(.- >na compañ!a petrolera, que tiene dos refiner!as, necesita al menos 2, 1 ; % ( barriles de petróleo de grados ba&o, medio % alto, respectivamente. Cada d!a, la refiner!a I produce * barriles de grado ba&o, / de medio % 1 de grado alto, mientras que la refiner!a II produce 1 barriles de grado alto, 1 de ba&o % * de grado medio. 6i los costos diarios son de + * ( para operar la refiner!a I % de + * para la refiner!a II, 4cuántos d!as debe ser operada cada refiner!a para satisfacer los requerimientos de producción a un costo m!nimo5@6uponga que e$iste un costo m!nimoA. .- causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañ!a qu!mica ha introducido en sus plantas un nuevo % más caro proceso para complementar o reempla'ar un proceso anterior en la producción de un qu!mico en particular. 9l proceso anterior descarga 1( gramos de dió$ido de a'ufre % ; gramos de part!culas a la atmósfera por cada litro de qu!mico producido. 9l nuevo proceso descarga ( gramos de dió$ido de a'ufre % * gramos de part!culas a la atmósfera por cada litro producido. a compañ!a obtiene una utilidad de / % * centavos por litro en los procesos anterior % nuevo, respectivamente. 6i el gobierno permite a la planta descargar no más de 1 ( gramos de dió$ido de a'ufre % no más de /
gramos de part!culas a la atmósfera cada d!a, 4cuántos litros de qu!mico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para ma$imi'ar la utilidad diaria5 4Cuál es la utilidad diaria5
MÉTODO SÍMPLEX 1.- 9l Centerville Oospital está tratando de determinar el n:mero de comidas de pescado % de res que debe servir durante el pró$imo mes. 9l hospital necesita una comida para cada uno de los treinta d!as del mes. as comidas de pescado cuestan + * cada una % las de res + *.( @ los costos inclu%en vegetales % ensaladas A. mbas comidas cumplen con las necesidades de prote!nas. 6i se &u'ga por el sabor en una escala de 1 a 1, el pescado obtiene un ( % la res 3. 9l hospital quiere alcan'ar en el mes un total, por lo menos, de * puntos por el sabor. os requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser, por lo menos / unidades. a comida de pescado proporciona 2 unidades % la de res 1* unidades. 4Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital5 *.- a "la%safe Insurane Compan% of TnocSville, 8. 9., dispone de fondos ociosos por un total de + * millones para inversiones a corto % largo pla'o. as especificaciones gubernamentales requieren que no más del 2? de todas las inversiones sean de largo pla'o no más del ;? se inviertan a corto pla'o % que la ra'ón entre las inversiones a largo % corto pla'o no sea ma%or de / a 1. ctualmente, las inversiones a largo pla'o rinden el 1(? anual mientras que la tasa anual para las inversiones a corto pla'o es del 1?. a 7ormule el modelo de "rogramación ineal. b Jbtenga la solución utili'ando el m#todo s!mple$. /.- >n gran&ero va a comprar fertili'ante que contiene tres ingredientes nutritivos , 0 % C. os requisitos m!nimos semanales son de 2 unidades de , 1* de 0 % *; de C. 9$isten dos marcas usuales de fertili'ante en el mercado. a marca I cuesta + ; el costal, contiene * unidades de , de 0 % ; de C. a marca II cuesta cinco pesos el costal % contiene * unidades de , * de 0 % 1* de C. 4Cuántos costales de cada marca debe comprar el gran&ero cada semana para minimi'ar los costos % satisfacer los requisitos nutritivos5 ;.- a 8abelMs Ko% 6hoppe quiere gastar + 1 en publicidad local. 9l ob&etivo global es alcan'ar la má$ima audiencia posible al mismo tiempo que llegar hasta niños por lo menos. 6e dispone de tres medios sus costos % la audiencia que tienen se dan en la tabla que sigue "eriódico Fadio K.. Costo por paquete + * + 1( + ; udiencia total * 1; / Niños 1 1 / a 7ormule el modelo de "rogramación ineal. b >tili'ando el m#todo s!mple$ determine la solución óptima. (.- >na refiner!a desea que el me&or de sus aceites contenga ciertas cantidades@ m!nimasA de los componentes , 0 % C 1? de , *? de 0 % 1*? de C. Dispone de tres tipos de crudos. 9l crudo de Ke$as tiene 1(? de , 1? de 0 % 3? de C % cuesta + * el barril. 9l de "enns%lvania tiene 12? de , *(? de 0 % /? de C % cuesta + *.( el barril. 9l de California tiene 1? de , 1(? de 0 % /? de C % cuesta + 1.2 el barril. Derive la me'cla al menor costo para el aceite. .- >na compañ!a de almacenes tiene 1.( millones para asignarlos a uno de sus almacenes. Kres productos, 1, * % / requieren respectivamente /, / % 1( pies c:bicos de espacio por unidad, % el espacio disponible es de / pies c:bicos. 9l producto 1 cuesta + 1* el producto *, + ;.( % el /, + 1(. 4Hu# cantidad debe adquirirse de cada producto si los precios de venta de 1, * % / son respectivamente + 1(, + % + *15 ).- a Cincinnati Chemical Compan% debe producir 1 libras de una me'cla especial para un cliente. a x
,
1 x*
me'cla se compone de los ingredientes
x
x
/
%
x
1
.
cuesta 2 dólares la libra,
x
*
/
1 dólares la libra, %
x
1
11 dólares la libra. No pueden usarse más de / libras de x *
% por lo menos deberán usarse 1( libras de
x/
. demás, se requieren por lo menos * libras de . a Calc:lese el n:mero de libras de cada ingrediente que habrá de emplear, a fin de reducir al m!nimo el costo total de las 1 libras. b Calc:lese el costo total más ba&o posible. c 4Oa% libras sobrantes en el problema5
MODELO DE TRANSPORTE 1.- >na compañ!a tiene tres campos petrol!feros principales % cinco refiner!as regionales. 9n la siguiente tabla se indican los costos de transporte desde los campos hasta las refiner!as, las capacidades de las refiner!as % la producción de los tres campos. Determinar el esquema óptimo de transporte utili'ando el m#todo de la esquina noroeste.
CAPACIDAD DE LAS REFINERIAS Fefiner!as 0arriles U d!a 1 0 1* C 1; D 1 9 12 PRODUCCION Campo 0arriles U d!a 1 * * *( / / COSTO POR 1 000 BARRILES / DIA Fefiner!a 0 C D + ;* + /* + // + /3 + /; + / + /) + /* + /2 + /1 + ; + /(
Campo 1 * /
9 + / + /; + /(
*.- >na compañ!a tiene tres plantas de manufacturación 1, * % /, que pueden producir uno o todos los cuatro productos diferentes , 0, C % D. Como se muestra en la tabla los diferentes costos variables de cada planta hacen variar la ganancia de cada producto. "lanta 1 * /
Lanancia por unidad 0 C + * + * *; * * 13
+ ** *1 12
a demanda de los diferentes productos es "roducto 0 C D
>nidadesUsemana * /; 1( *)
D + *1 *1 *
Capacidad unidadesUsemana ;( / *(
Determinar la cantidad de cada producto que debe fabricarse en cada planta con el ob&eto de ma$imi'ar la ganancia. >tili'ar el m#todo de la esquina noroeste. /.- >n taller elabora tres productos , 0 % C, % la demanda de estos productos es de 3, *1 % 1* unidades por semana, respectivamente. os productos pueden fabricarse por uno de tres m#todos diferentes 1, * % /. 9n la siguiente tabla se indica la capacidad de cada m#todo % las ganancias asociadas con cada producto % cada m#todo de manufacturación. Determinar, seg:n el m#todo de la esquina noroeste, el m#todo optimo de fabricación de estos productos. 8#todo 1 * / "roducto 0 C
1 + 1/3 *3 *(;
>nidades U 6emana 1 1* 1; Lanancia U >nidad * + 1; *) *((
/ + 1/) *1 *((
;.- >na compañ!a tiene tres distribuidores principales que surten a cinco comerciantes al por menor. 9n la siguiente tabla se indican las distancias entre distribuidores % comerciantes, los requerimientos de los comerciantes % las capacidades de los distribuidores. Determinar cuáles distribuidores deben surtir a los comerciantes para minimi'ar la distancia total recorrida. >tili'ar el m#todo de apro$imación de ogel. Comerciante al por menor 1 * / ; ( N:mero disponible
; ( ; 2 1(
Distribuidor 0 ) ) ; / ;2
C 2 ) 3 ( //
N:mero requerido 1* 1( *1 *; *;
(.- Kres depósitos surten a cinco almacenes. a tabla indica el costo de transporte por unidad entre depósitos % almacenes, las capacidades de los depósitos % los requerimientos de los almacenes. 6in embargo, el daño de un puente principal, ha impedido las entregas desde el depósito hasta el almac#n (, desde el depósito 0 hasta el almac#n * % desde el depósito C hasta el almac#n ;. Determinar, dentro de estas limitaciones, el esquema óptimo de entregas seg:n el m#todo de apro$imación de ogel.
lmac#n 1 * / ; ( Capacidad
CJ6KJ D9 KFN6"JFK9, + U >NIDD Depósito 0 C +* +; + / 2 ) ; / 2 ; / * ( 2( / ;(
N:mero requerido )( /;( 12 3 *1
.- a enture "roducts Corp. está planeando una campaña de publicidad para introducir un nuevo producto, un cigarrillo sin tabaco. a compañ!a ha identificado cuatro grupos de mercado % quiere que por lo menos 1, *, ; % 1 @millonesA de clientes potenciales vean su anuncio en el lapso de una semana. 6e están considerando tres medios los periódicos, una revista % un comercial en hora prima de televisión. a enture estima que el
n:mero total de clientes potenciales que verán sólo un anuncio % no los otros dos es un millón para el periódico, *.( millones para la revista % ;.( millones para la televisión. Cada medio tiene grupos de audiencias distintas, lo cual resulta en diferentes costos por cliente potencial para cada anuncio. as tasas efectivas de comerciali'ación por cada 1 clientes potenciales en el mercado se muestran en seguida para cada medio. 8edio "eriódico Fevista Kelevisión
Lrupo de 8ercado * / + .) + .3 + .3 + 1.* + 1./ + 1.
1 + 1.; + 1.* + 1.
; + 1.; + 1. + 1.1
7orm:lese #ste como un problema de transporte. 4 qu# grupos de mercado debe dirigirse cada medio para minimi'ar el costo total5 ).- a 8icellaneous "roducts Compan% tiene dos almacenes que surten sus cinco depósitos de ma%oreo. os almacenes operan ahora al 1? de su capacidad, la 8icellaneous planea abrir un tercer almac#n para proveer el (? esperado de aumento en las ventas en cada depósito durante los pró$imos tres años. a situación actual es lmac#n Capacidad 1* 0 1
Depósito 1 * / ; (
Demanda ( 1 / ;
COSTOS DE TRANSPORTE De 1 * / ; ( ( 2 ; * 0 / ; 3 ( 6e están considerando dos locali'aciones para el nuevo almac#n. os costos de transporte a cada depósito son los siguientes De 1 *
1 ) *
* ( 2
/ / /
; 2 )
( * (
6uponiendo que los costos de transporte son el :nico factor, 4que locali'ación debe elegir la 8icellaneous para su nuevo almac#n5 @No olvide el (? de aumento en las ventasA. 2.- a 7ertile 7arms tiene tres parcelas de tierra con (, 1 % * acres, respectivamente. 9$isten tres cosechas posibles que la compañ!a puede plantar, pero el Departament of griculture ha establecido l!mites en el tamaño de cada cosecha Cosecha C1 C* C/
8á$imo N:mero de acres ( 1*( **(
9n t#rminos de lo que desea, la 7ertile 7arms cree que su ganancia variará con la cosecha % la parcela debido a las variaciones en las condiciones del suelo. 6e han estimado las siguientes ganancias por acre para cada combinación
"arcela "1 "* "/
Cosecha C1 C* 2) 23 3; 3* 3* 23
C/ 31 22 31
Con el m#todo de transporte determ!nese qu# cosechas se deben plantar en cada parcela. 3.- a cadena 0urnt 0urger tiene tres restaurantes en el pa!s los cuales, usan vasos desechables estándares. 6e ha invitado a tres proveedores para competir por la concesión de surtir estos vasos. 6us propuestas son "roveedor 0 C
"recio @por cada 1 A + .3 + 1. + 1.1
Capacidad nual / )( 1/(
9l costo de transporte@en dólaresU1 vasosA var!a desde cada proveedor a cada 0urnt 0urger De 0 C
NV 1 + .2 + .( + .*
la 0urnt 0urger NV * NV / + .1 + ./ + .* + .( + .; + .*
as necesidades anuales de vasos para las tres 0urnt 0urgers son / , % 1* , respectivamente. 4Cuántos vasos deben comprarse de cada proveedor para cada restaurante5 Fesu#lvase este problema con el m#todo de transporte. 1.- a compañ!a 8obile Oome 8oving está tratando de programar sus veh!culos de arrastre para la pró$ima semana. a compañ!a tiene 1 veh!culos de arrastre dispersos en tres ciudades del estado dos en ClearRater, cinco en NeR 6m%rna % nueve en Jrlando. "ara la pró$ima semana deben recoger 1; casas móviles % trasladarlas desde otras tres ciudades dos de 7t. 8%ers, cuatro de 8onticello % ocho de 8iami. os costos estimados para mandar un veh!culo a cada una de estas ciudades se dan a continuación De ClearRater NeR 6m%rna Jrlando
7t. 8%ers 2 ;
8onticello 1 / )
8iami / ;
4Cómo se deben asignar los tractores para minimi'ar el costo5 11.- >n grupo de nuevos administradores de moteles, despu#s de terminar el programa de entrenamiento de la cadena, deben e$presar sus preferencias sobre las tres áreas del pa!s. 6us respuestas tienden a clasificarse en tres grupos, como se muestra en seguida Lrupo 1
Norte /
Wrea 6ur 1
Jeste 2
* /
( )
2 ;
( )
os n:meros indican la utilidad o preferencia, en una escala de 1 a 1, que cada grupo tiene por su asignación en cada región. Fesultó que de *2 administradores cuatro estaban en el grupo 1, ocho en el grupo *, % 1 en el grupo /. a compañ!a tiene vacantes para cuatro administradores en el norte, 1 en el sur % 12 en el oeste. a firma quiere ma$imi'ar la utilidad total. Con el m#todo de transporte resu#lvase este problema. 1*.- os datos que se indican en las tablas de aba&o, representan las capacidades de tres fábricas % las demandas de cuatro almacenes, as! como los respectivos costos de env!o de cada fábrica a cada almac#n, con ellos determine un programa de transporte de costo m!nimo. Fecursos de la 7ábrica 7ábrica Capacidad 61 1 6* * 6/ /
De 61 6* 6/
D1 ) ( )
Demanda en el almac#n lmac#n Demanda D1 1( D* 1( D/ 1* D; 2
Costos de Kransporte @+ U unidadA D* / ( ;
D/ 2 3
D; 2 2 1
MODELO DE ASIGNACIÓN 1.- 6am tiene cuatro fosas de reparaciones en su taller de mantenimiento % tres traba&os para asignárselos. Debido a diferencias en el equipo disponible, la gente asignada a cada fosa % las caracter!sticas del traba&o cada uno de #stos requiere diferentes cantidades de tiempo en cada fosa. 9n la tabla aparecen los tiempos estimados para cada traba&o en cada fosa. 6am quiere minimi'ar el tiempo total requerido. >se el m#todo de asignación para obtener la solución óptima de este problema. 9stable'ca el valor óptimo de la función ob&etivo. 4Oa% soluciones óptimas alternativas5 KF0BJ 7J6 1 * / 1) *3 1 0 1( *2 11 C 12 * 11 D 1/ *( 11 *.- 9n cuatro localidades , 0, C % D se requiere una determinada pie'a de repuesto. as cuatro pie'as están almacenadas en cuatro depósitos diferentes. Determinar el esquema de transporte de Silometra&e m!nimo, si los Silometra&es entre depósitos % localidades son los mostrados en la tabla.
Depósito 1 * / ;
*/ 13 * **
TIJ89KFB9 ocalidad 0 C * *1 *1 * 12 *; 12 *1
D *; * ** */
/.- 9l vicepresidente de administración de productos tiene que asignar cuatro nuevos productos a los gerentes de producto. "ara mantener la carga de traba&o balanceada se asigna cada producto a una persona distinta. 6e dispone de cinco gerentes de producto. 9l vicepresidente ha estimado, en t#rminos de porcenta&es, la medida en que cada producto se compara con los otros productos % la e$periencia de los gerentes de producto. 9n seguida se muestran estas estimaciones. 4Cómo se debe hacer la asignación5 "roducto 1 * / ;
F ) 1 2
6 ( ; 3
Lerente de "roducto K 3 2 3 )
> 2 2 2
) 3 ( 2
;.- >n administrador enfrenta el problema de asignar cuatro nuevos m#todos a tres medios de producción. a asignación de nuevos m#todos aumenta las ganancias seg:n las cantidades mostradas en la siguiente tabla. Determinar la asignación óptima si sólo puede asignarse un m#todo a un medio de producción. LNNCI6 @ se omiten A 8edio de "roducción
8#todo 0 C D
1 1*. 1. 11.( 1/.
* 3. 11. 1. 1*.
/ 1/.( 1*.( 1. 1.(
(.- a compañ!a de seguros Eell Kr% n%thing piensa que las llamadas de larga distancia impresionan más a los clientes potenciales que las llamadas locales. De acuerdo con esto, la compañ!a planea llamar por larga distancia a clientes potenciales en cuatro ciudades. os que llaman estarán en esas mismas cuatro ciudades. "ara balancear la carga de traba&o, cada ciudad que llama sólo hará llamadas a otra ciudad. 6upóngase que se hará un n:mero igual de llamadas a cada ciudad % que las tarifas telefónicas son las que se dan a continuación. 4Hu# ciudad debe llamar a cuál para minimi'ar el costo5 De 8iami Chicago NeR XorS os Wngeles
8iami Chicago -------- + 1.)( + 1.)( -------+ 1.( + 1.( + *.)( + *.*(
NeR XorS + 1.( + 1.( -------+ /.
os Wngeles + *.)( + *.*( + /. --------
.- >na compañ!a constructora tiene cinco palas mecánicas en diferentes localidades % se requiere una pala en tres diferentes sitios de construcción. Determinar el programa óptimo de transporte, para los costos de transporte indicados en la tabla.
ocalidad 1 * / ; (
CJ6KJ D9 KFN6"JFK9 @se omiten A 6itio de construcción 0 +* +/ ) / ( ; ;
C +; ; 2 ( /
).- Cuatro personas acaban de terminar el curso de ventas de la compañ!a % se les va asignar a cuatro distritos diferentes. 0asándose en su e$periencia, actuación en el curso, conocimiento del producto % los clientes potenciales, la administración ha hecho una estimación del #$ito esperado de cada uno en cada distrito. as estimaciones en la escala del 1 @ba&oA al 1 @má$imoA son Distrito "ersona 0 C D
Norte ) 2 )
9ste 3 ) 1 2
6ur 1 3 3 2
Jeste 3 3 2 )
6i el ob&etivo es ma$imi'ar las estimaciones totales, 4qu# persona debe asignarse a cada distrito5 46on posibles otras asignaciones óptimas5 2.- >n corredor de bienes ra!ces planea la venta de cuatro lotes de terreno % ha recibido ofertas individuales de cuatro clientes, debido a la cantidad de capital que se requiere, estas ofertas se han hecho en el entendido de que ninguno de los cuatro clientes comprará más de un lote. as ofertas se muestran en la siguiente figura. 9l corredor de bienes ra!ces quiere ma$imi'ar su ingreso total a partir de esas ofertas. Determine la asignación óptima para la compra de los terrenos % diga cuánto es el ingreso má$imo. JK9
Comprador 0 C D
1 1 13 1( 13
* 1( 1) 1(
/ *( *; 12 1(
; 13 1( 1)
SIMULACIÓN 1.- 6upóngase que una firma está considerando la introducción de un nuevo producto. 6e sabe, con una confian'a ra'onable, que los costos fi&os serán de + 1 % que el precio de venta debe ser de + * por ra'ones competitivas. a firma quiere por lo menos alcan'ar el punto de equilibrio en el primer año de ventas. 9ste problema surge gracias a la incertidumbre en cuanto a los costos variables % a la demanda del producto. as me&ores estimaciones son que los costos variables estarán entre + .3( % + 1.(. 6e piensa que la demanda dependerá de la reacción de los competidores. 6i reaccionan rápidamente en el primer año, se espera que las ventas sean de 2 , 3 ó 1 unidades. 6i no ha% reacción fuerte, entonces las ventas pueden llegar a 1 , 11 ó 1* unidades. a firma piensa que e$iste un ? de posibilidades de que sus competidores reaccionen fuertemente. *.- "ortaCom manufactura computadoras personales % equipo relacionado. 9l grupo de diseño de productos de "ortaCom ha desarrollado un prototipo de una impresora portátil de alta calidad, con un alimentador para / ho&as de papel. a nueva impresora tiene un diseño innovador % potencial para capturar un porcenta&e importante del mercado. os análisis preliminares de mercadeo % de finan'as han llevado a establecer un precio de venta % un presupuesto para los costos administrativos % de publicidad del primer año "recio de enta Y *;3 dólares por unidad Costos dministrativos Y ;, dólares Costos de "ublicidad Y , dólares 9stos tres valores se consideran constantes % son los parámetros del modelo. 9l costo de mano de obra directa, el costo de los componentes % la demanda del primer año de la impresora no se conocen con e$actitud % se consideran entradas probabil!sticas. Costo d M!"o d O#$! D%$&t! . 9ste costo va desde ;/ hasta ;) dólares por unidad, % está descrito por la distribución de probabilidad discreta que aparece en la siguiente tabla DI6KFI0>CIZN D9 "FJ00IIDD "F 9 CJ6KJ D9 8NJ D9 J0F DIF9CK "JF >NIDD Costo de 8ano de Jbra "robabilidad ;/ dólares .1 ;; dólares .* ;( dólares .; ; dólares .* ;) dólares .1
Costo d 'os Co()o""ts . 9ste costo depende de la econom!a en general, de la demanda general de los componentes % de las pol!ticas de precios de los proveedores de componentes de "ortaCom. 9l costo de los componentes va desde 2 hasta 1 dólares por unidad % queda descrito por una distribución de probabilidad uniforme con igual probabilidad para todos sus valores de .(. D(!"d! )!$! ' P$%($ A*o . a demanda del primer año queda descrita por una distribución de probabilidad normal que tiene una media o valor esperado de 1(, unidades % una desviación estándar de ; ( unidades. "ortaCom requiere un análisis del potencial de utilidades de la impresora durante el primer año. Debido a una situación de flu&o de efectivo estrecho, la administración de la empresa está particularmente preocupada sobre una posible p#rdida. 8ediante un modelo de simulación realice un análisis de riesgo para este modelo de impresora. /.- 0utler 9lectrical 6uppl% Compan% quiere establecer una pol!tica de inventarios para un ventilador dom#stico. Cada ventilador le cuesta a 0utler )( dólares % se venden en 1*( dólares, por lo que 0utler obtiene una utilidad bruta de (@1*(-)(Y(A dólares por cada ventilador que vende. a demanda mensual del ventilador queda descrita por una distribución de probabilidad normal, con una media de 1 unidades % una desviación estándar de * unidades.
0utler recibe entregas mensuales de su proveedor % reabastece su inventario a un nivel Q al principio de cada mes. 9ste nivel de inventario inicial se conoce como nivel de reabastecimiento. 6i la demanda mensual es inferior al nivel de reabastecimiento, se carga un costo de posesión de inventario de 1( dólares por cada una de las unidades no vendidas. 6in embargo, si la demanda mensual es superior al nivel de reabastecimiento, ocurre un faltante de inventario % se incurre en un costo de faltante. Dado que 0utler asigna un costo por cr#dito mercantil de / dólares por cada cliente que tiene que recha'ar, se carga un costo de faltante de / dólares por cada unidad de la demanda que no pueda ser satisfecha. a administración desear!a utili'ar el modelo de simulación para determinar la utilidad neta mensual promedio resultante de utili'ar un nivel particular de reabastecimiento, as! como información sobre el porcenta&e de la demanda total que se satisfará. 9ste porcenta&e se conoce como el nivel de servicio .
