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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana” FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas

PROBLEMAS INVESTIGACION DE OPERACIONES II PROBLEMA 1: Un fabrican fabricante te tiene cuatro cuatro órdenes órdenes de producción: producción: A, A, B, C y D. La tabla que se incluye incluye indica el número de horashombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres !", #, $% de la industria. &s posible di'idir una orden entre 'arios talleres, por e(emplo, parte de la orden A puede ser procesada en ", parte en #, y parte en $. As) mismo, cualquier taller puede e(ecutar fracciones de 'arias órdenes.

*i el fabricante desea minimi+ar los costos de producción, estable+ca el planteamiento del problema !unción ob(eti'o y restricciones%. restricciones%. Defina las 'ariables a emplear y e-plique su sinificado.

SOLUCION "/: " !01% "2: # !0/% "3: $ !04% .5 6in7 01"/ 8 0/"2 8 04"3

&n la cuarta fila la suma de la 'ariable " no tiene horas hombres disponibles por eso no podemos seuir resol'iendo reso l'iendo el problema

IMBESTIGACION DE OPERACIONES II

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PROBLEMA 3: La compa9)a e(as Ltda., es un contratista rande que reali+a traba(os de techos. ;uesto que el precio de las te(as 'ar)a con las estaciones del a9o, la compa9)a trata de acumular e-istencias cuando los precios est
La

compa9)a cobra el precio corriente en el mercado por las te(as que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que aparece al final refle(a lo que la compa9)a ha proyectado como costo, precio y demanda para las te(as durante las pró-imas cuatro temporadas. Cuando las te(as se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de mane(o de => por millar de pie+as, as) como tambi?n en un costo de almacenamiento de =/2 por millar de pie+as por cada temporada en la que se almacena. Lo m<-imo que se puede uardar en el almac?n son 22@.@@@ pie+as, esto incluye el material que se compra para utili+arlo en el mismo per)odo. La compa9)a ha fi(ado como pol)tica no conser'ar materiales m
;lantee un modelo para el

problema que permita a e(as Ltda. ma-imi+ar sus utilidades para un per)odo de cuatro temporadas.

Tempora da Temporad Temporad Temporad Temporad a4

Precio

Precio

"#pie$a! 21 22 26

"#pie$a! 22 23.25 28.5

Ventas mi%%ones pie$as! 100 140 200

24

25.5

160

Solución: se asina 4 'ariables para representar el problema: /: Cantidad de pie+as de temporada / 2: Cantidad de pie+as de temporada 2 3: Cantidad de pie+as de temporada 3 4: Cantidad de pie+as de temporada 4


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&l enunciado nos pide ma-imi+ar las utilidades para un periodo de 4 temporadas, entonces la función ob(eti'o ser)a la siuiente. *uma de las temporadas: $7 (!2//22/% 8 !22223.22%8!2>320.3%8!2432.3%)

PROBLEMA 4: Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente @@, @@ y >@@ toneladas de madera. &l fabricante puede comprar la madera a tres !3% compa9)as madereras. Los primeros dos fabricantes de madera tienen 'irtualmente un suministro ilimitado mientras que, por otros compromisos, el tercer fabricante no puede surtir m
;or otra parte, las otras

dos compa9)as madereras usan camiones, lo cual limita a 2@@ toneladas el peso m<-imo que puede en'iar a cualquiera de las f
P%an P%ant P%ant 2 2.5 3

3 4 3.6

5 4.9 3.2

ormular y resol'er el problema sabiendo que se quiere minimi+ar los costos de transporte.

"i(: cantidad de toneladassolicitadas a la compa9)a maderera ( para surtir la planta i Unidades de las 'ariables de decisión: toneladas 7 ! planta/, planta2, planta3% E7 !compa9)a /, compa9ia2, compa9ia3% unción ob(eti'o: *i llamamos:


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Ci(: costo para transportar una tonelada de madera de la compa9)a ( a la planta i !=onelada%. compañia 3

5: 6in $

=

planta 3

∑ =

1

j compa ;ia 1

∑ =

(

Xij∗Cij; ( ton)∗

i planta1

)

$ =( $ ) Tonelada

*inifica que minimi+aremos los costos de transporte, de tal manera que la sumatoria de cada producto de cantidad de toneladas solicitadas por el costo de transporte sea el mas peque9o posible.

R!"#iccion!: /. Festricciones que me aseuran las toneladas de madera necesarias semanalmente por cada una de las plantas, obliando a que la cantidad de toneladas que pida a cada una de las compa9)as madereras con destino a una misma planta sean mayores a sus requerimientos. compañia 3

∑

;lanta /:

Xplanta 1. j

j = compa;ia 1

G7 @@

compañia 3

;lanta 2:

∑

Xplanta 2 j

j = compa ;ia 1

G7@@

compañia 3

;lanta3:

∑

Xplanta 3 j ≥600

j = compa ;ia 1

2. Festricción de suministro limitado de la Compa9)a 3, dado que por otros compromisos el fabricante no puede surtir m
∑

Xicompañia 3 ≤ 500

j = compa ;ia 1

3. Festricciones de limitación por sistema de repartición en camiones por parte de la compa9)a 2 y la compa9)a 3, ya que solo pueden surtir un m<-imo de 2@@ toneladas a cada una de las diferentes plantas. " ;lanta/, Compa9)a2H " ;lanta2,Compa9)a2H " ;lanta3,Compa9)a2I2@@


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PROBLEMA $: Un cierto fabricante de tornillos, ha constatado la e-istencia de un mercado para paquetes de tornillos a ranel en distintos tama9os. Los datos de la in'estiación de mercados han demostrado que se podr)an 'ender cuatro clases de paquetes con me+clas de los tres tipos de tornillos !/, 2 y 3%, siendo los de mayor aceptación por el público. Los datos de la in'estiación reali+ada indicaron las especificaciones y los precios de 'enta siuientes:

;ara estos tornillos la capacidad de la instalación y los costos de fabricación se indican a continuación: Capacidad Tipo de Torni%%o Prod0cci/n 12! 1 100 2 100 3 60

Costo "#12! 50 30 18

JCu

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SOLUCI%N

ariables de decisión M "/ 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo / de la me+cla A M "2 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 2 de la me+cla A M "3 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 3 de la me+cla A M "4 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo / de la me+cla B M " 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 2 de la me+cla B M "> 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 3 de la me+cla B M " 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo / de la me+cla C M "0 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 2 de la me+cla C M "1 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 3 de la me+cla C M "/@ 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo / de la me+cla D M "// 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 2 de la me+cla D M "/2 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 3 de la me+cla D Las 'ariables de decisión que se presentaron anteriormente son aquellas que indicar

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&laboración de unción 5b(eti'o !5%: &n el enunciado se pide encontrar una producción que se refle(e con una m<-ima anancia, esto sinifica que se debe encontrar la función utilidad !inresos O costos totales%. &n conclusión la 5 es ma-imi+ar. &l paso siuiente para encontrar la 5 es lorar enla+ar las 'ariables de decisión con tal que se pueda obtener una anancia acorde con las futuras restricciones. Como lo di(e anteriormente la utilidad se obtiene de la siuiente manera: Utilidad 7 nresos O Costos &n conclusión, nos queda: 6a- $ 7 >@!"/8"28"3% 8 2!"28"38"4% 8 3!"8">8"% 82@!"/@8"//8"/2% @!"/8"48"8"/@% O 3@ !"28"8"08"//% O /0!"38">8"18"/2% Euntando t?rminos seme(antes: 6a- $ 7 /@"/83@"2842"32"4"8">/"8"08/"13@"/@/@"//82"/2 &laboración de restricciones &n las especificaciones nos encontramos con una serie de datos que me lle'ar"/@,4"2@,4"3P@ !no menos del 4@Q% 2. Festricciones de las me+clas "2I@,2!"/8"28"3% @,2"/8@,0"2@,2"3I@ !no m

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3. "4P@,2!"48"8">% @,0"4@,2"@,2">P@ !no menos del 2@Q% 4. "I@,4!"48"8">% @,4"48@,>"@,4">I@ !no m. "0I@,/!"8"08"1%@,/"8@,1"0@,/"1I@ !no m8"18"/2I>@ !capacidad m<-ima de producción de tornillos del tipo 3% /@. "/,"2,"3,"4,",","0,"1,"/@,"//,"/2 P @ !no neati'idad% &n conclusión el planteamiento del e(ercicio me queda de la siuiente manera: 6a- $ 7 /@"/83@"2842"32"4"8">/"8"08/"13@"/@/@"//82"/2 *A @, > "/@, 4 "2@,4"3 P @ @, 2 "/8@, 0 "2@,2"3 I @ @, 0 "4@, 2 "@,2"> P @ @, 4 "48@, > "@,4"> I @ @,  "@,  "08@,"1 P @ @, / "8@, 1 "0@,/"1 I @ "/8"48"8"/@ I /@@ "28"8"08"// I /@@ "38">8"18"/2 I >@ "/,"2,"3,"4,",">,","0,"1,"/@,"//,"/2 P @


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inalmente este planteamiento lo inresamos al prorama Rinqsb para obtener la información deseada, pero tenemos un peque9o problemaH el prorama no acepta que las restricciones se presenten en decimales, por lo que decid) multiplicar las primeras > restricciones por /@. &sto no afecta en nada el e(ercicio, ya que en la inecuación se encuentra con ceros en el lado i+quierdo !@M/@7@%. Fesultados arro(ados por el prorama ST*B ;or lo tanto la solución óptima es: "/: /@@ H "2: 4@H "3: >@ H "4: @H ": @H ">: @H ": @H "0: @H "1: @H "/@: @H "//: @H "/2: @ &sto sinifica que para obtener una anancia m<-ima de >.22@ U6 se debe utili+arla me+cla A. &l e(ercicio lo podemos comprobar 'erificando las restricciones y sus resultados de la siuiente manera: ariables que encontramos M "/ 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo / de la me+cla A !no menos del 4@Q% M "2 7 Cantidad de Niloramos de tornillos del tipo 2 de la me+cla A !no m@ !se utili+ó el 3@Q% Demostración: 6a- $ 7 /@"/83@"2842"32"4"8">/"8"08/"13@"/@ /@"//82"/2 7 /@M/@@83@M4@842M>@2M@M@8M@/M@8M@8/M@3@M@/@M@82M@ 7 >.22@ U6. Demostrado ;or lo tanto cumple con las restricciones.


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PROBLEMA&: &n una industria peque9a de fabricación de cocinas a as se debe proramar la producción por un periodo de seis meses. eniendo en cuenta que la producción es eminentemente manual, no e-iste ran 'enta(a en producir randes cantidades, sino m@ unidades y se desea que al final del periodo quede una e-istencia de por lo menos @ unidades como stocN de seuridad. Las 'entas reali+adas en promedio en losúltimos a9os es O mes a mes la se9alada en la tabla. Despu?s de estudiar las tendencias presentadas, se tiene la seuridad de que las 'entas 'an a e-perimentar un 0Q de incremento. &l costo unitario de producción es de =/.@@@ y los costos de almacenamiento por unidad y mes !teniendo en cuenta la obsolescencia, alquileres de bodea, etc.% de =/@@. La capacidad de producción para cada mes se se9ala a continuación.

Mes nero "e#rero $ar%o &#ril $a'o (unio

Demand a 166.6! !4.08 222.23 268.52 250 120.38

Capacidad de prod0cci/n 150 195 210 255 190 220

Con los datos anteriores, establecer la proramación óptima para el per)odo de seis meses y calcular el costo total.


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SOLUCI%N: Con los datos que nos entrean en el enunciado podemos concluir la siuiente tabla MES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO UNIO

DEMANDA ESTIMADA 180 80 240 290 270 130

CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN 150 195 210 255 190 220

STOCK 60 30 145 115 80 0

ariables de decisión: "t 7Cantidad de unidades a fabricar por per)odo VtV it 7cantidad en in'entario al final del per)odo VtV bt 7Cantidad en atraso al final del per)odo VtV 6in +7/@@@-/8/@@@-28/@@@-38/@@@-48/@@@-8/@@@->8/@@i/8/@@i28/@@i38/@@i48/@@i8/@ @i>82@@@b/82@@@b282@@@b382@@@b482@@@b82@@@b> Euntando t?rminos 6in +7/@@@-/8-28-38-48-8->8/@@i/8i28i38i48i8i>82@@@b/8b28b38b48b8b> *A: Capacidad: Las siuientes restricciones ser: Eunio% -/I/@ -2I/1 -3I2/@ -4I2


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-I/1@ ->I22@ n'entario: &n el e(ercicio se presenta una restricción que nos indica un stocN inicial y un stocN final, por lo que debemos obliatoriamente condicionarlos con dos 'ariables de decisión. i>P@ i@7>@ Balance de n'entario: inalmente podemos anali+ar ambas restricciones (untas !capacidad, in'entario%, por lo que se establece que el in'entario en el periodo t debe ser iual al in'entario que se encuentra en el momento m7i8-/8b>/3@

#a tenemos establecidas las restricciones y su respecti'a función ob(eti'o, por lo que estamos en condiciones de introducirla al prorama ST*B, lo que nos arro(a lo siuiente: Debo aclarar que el prorama no permite que se imponan las 'ariables, por lo tanto las 'ariables quedan de la siuiente manera: -/, -2,W->: 'ariables de capacidad -, -0,W-/3: cantidad de in'entario al final del periodo


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-/4, -/,W-/1: cantidad de atraso al final del periodo inalmente, no queda: &l resultado final indica que: "/: /@ unidades "2: @ unidades "3: @ unidades "4: @ unidades ": @ unidades ">: @ unidades abricando estas unidades se obtiene el menor costo : 3.@@@ U6 " !/%: 3@H "0 !/2%: /@@H "1 !3%: /@H "/@ !4%: @H "// !%: @H "/2 !>%: @H "/3 !@%: >@ "/4 !b/%: @H "/ !b2%: @H "/> !b3%: @H "/ !b4%: /3@H "/0 !b%: /2@H "/1 !b>%: 3@

PROBLEMA ': Un contratista est< considerando una propuesta para la pa'imentación de una carretera. Las especificaciones requieren un espesor m)nimo de doce puladas !/2X%, y un m<-imo de /0X. La carretera debe ser pa'imentada en concreto, asfalto, ra'illa, o cualquier combinación de estos tres elementos. *in embaro las especificaciones requieren una consistencia final iual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 1X de espesor. &l contratista ha determinado que 3X de su asfalto son tan resistentes como /X de concreto, y >Xde ra'illa son tan resistentes como /X de concreto. Cada pulada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta =/@, el asfalto =3,0@, y la ra'illa Y/,@. Determine la combinación de materiales que el contratista deber)a usar para minimi+ar su costo.


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SOLUCI%N: ariables de decisión M "/ 7 Cantidad de concreto que se requiere para la pa'imentación de la carretera M "2 7 Cantidad de asfalto que se requiere para la pa'imentación de la carretera M "3 7 Cantidad de ra'illa que se requiere para la pa'imentación de la carretera Las 'ariables de decisión que se describieron anteriormente son aquellas que indicarXde ra'illa son tan resistentes como /X de concreto. Las conclusiones que se pueden obtener con esos datos son las siuientes: M *umando las tres 'ariables tienen que ser menor o iual que /0 y mayor o iual a /2. M Las 'ariables deben ser todas mayor o iual a la de una superficie de concreto de 1 puladas.


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M ;or ultimo tenemos las siuientes relaciones: 3"27"/ H >"37"/ H 2"273"3 ;or lo tanto las restricciones nosquedan de la siuiente manera: "/8"28"3 I /0 "/8"28"3 P /2 "/ P 1H 3"2 P 1H >"3 P 1 &l planteamiento del e(ercicio queda de la siuiente manera: 6in $ 7 /@"/83,0"28/,"3 *A "/8"28"3 I /0 "/8"28"3 P /2 "/ P 1H 3"2 P 1H >"3 P 1 "/, "2, "3 P @ Al iual que en el problema  tenemos un peque9o problema que debemos arrelar para poder utili+ar de forma correcta el prorama. Las constantes que acompa9an a las 'ariables de decisión en nuestra 5 son decimales !precio por cada pulada%, por lo que la amplificamos por /@. &sto pro'oca que el resultado final est< representando /@ 'eces de lo que realmente corresponde, por lo tanto tendremos que di'idirlo por /@. nresamos los datos: Fesultados arro(ados por el prorama ST*B &n conclusión se deben utili+ar 1 puladas de concreto, 3 puladas de asfalto y /, puladas de ra'illa. Con esta combinación se minimi+a lo m

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PROBLEMA : Una empresa estima que la demanda de un determinado producto en los primeros cinco meses del a9o ser< como la que se muestra en la tabla. &l costo unitario de producción es de =3. &l costo unitario de almacena(e en un periodo es =2. La capacidad de producción durante los cinco periodos es de:

Mes nero "e#rero $ar%o &#ril $a'o Total

Demand a 16 16 12 10 12 66

Capacidad de Prod0cci/n 36 12 4 12 4 68

&stablecer la proramación óptima para el per)odo de cinco meses y calcular el costo total.

SOLUCI%N: ariables de decisión: "t 7Cantidad de unidades a fabricar por per)odo VtV it7cantidad en in'entario al final del per)odo VtV 6in +73-/83-283-383-483-82i/82i282i382i482i 6in +73-/8-28-38-48-82i/8i28i38i48i *A: Como obtu'imos el stocN es mas f "2P4


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"3P/2 Festricciones de capacidad "4P4 "P/2 /P@ 2P2@ 3P/> Festricciones de stocN 4P0 P/@ "/8/P/> "282P/> "383P/2 Festricciones de producción "484P/@ "8P/2 ;or lo tanto inresamos los datos en el prorama ST*B y nos arro(a lo siuiente: Cabe destacar que como el prorama solo acepta un tipo de 'ariables, las nuestras quedan de la siuiente manera: "/ !"/% "2 !"2% "3 !"3% "4 !"4% " !"% "> !/% " !2% IMBESTIGACION DE OPERACIONES II

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"0 !3% "1 !4% "/@ !% ;or lo tanto la solución óptima es la siuiente: "/: 3> unidades "2: /2 unidades "3: 4 unidades "4: /2 unidades ": /@ unidades /: @ unidades 2: 2@ unidades 3: /> unidades 4: 0 unidades : /@ unidades eniendo un costo total de 3/2 U6 &sto sinifica que el prorama planteado al principio del e(ercicio era el correcto y m
PROBLEMA : Un productor de aluminio fabrica una aleación especial que el aranti+a que contiene un 1@Q o m
La

demanda para esta aleación es muy incierta de modo que el productor no mantiene un


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stocN disponible. &l ha recibido una orden de /.@@@ N. a =4@N. La aleación debe hacerse a partir de barras de dos tipos de materiales de desecho, de cobre puro y de aluminio puro. &l an
$aterial de $aterial de

A% C Otr 95 3 2+ 85 1 14+

Los respecti'os costos son: 6aterial de desecho / 7 =/@NH 6aterial de desecho 2 7 =@NH Cobre puro 7 =/@NH y Aluminio puro =@@N. Cuesta =@ fundir un Niloramo de metal. *e tienen m

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