Proble Pro blema ma 3: Se cuenta con un parque de generación constituido por una central hidráulica de pasada (G1) de 30[MW], dos centrales térmicas y una central de embalse de las siguientes características:
Nombre G2 G3 G4
Tipo Térmico Térmico Embalse
Pmin[MW] Pmax[MW] Qmin[MVAR] Qmax[MVAR] 45 2 50 - 90 1 00 60 1 80 - 10 0 1 35 40 1 00 - 30 50 Tabla 1 La demanda a abastecer está conformada por los consumos: Nombre P[MW] Q[MVAR] C1 2 70 1 00 C2 2 60 1 10 Tabla 2 El valor estratégico del agua embalsada asociado a la central de embalse puede expresarse a través de la siguiente función cuadrática de costo:
C G 4 ( P G 4 ) = 2,8 P G 4
+
2 0,0 3⋅ P G 4 U M $
h
En tanto que para las centrales ce ntrales térmicas se tiene que 2 C G 3 ( P G 3 ) = 6,75 P G 3 + 0,0 2 ⋅ P G 3 U M $
Central
Tipo de combustible
G2
GNL Tabla 3
h
Consumo específico [Mbtu/MWh] 0,00571*PG2+0,96
Sabiendo que el costo del GNL es de 7[UM$/Mbtu], se pide: (a) (1) Realice el despacho económico de las unidades para el caso sin restricciones. Bosqueje en forma
gráfica sus resultados utilizando las curvas de costos incrementales. Realice el despach despacho o económi económico co de las unidade unidadess consid considera erando ndo restri restricci ccione oness de capaci capacidad dad de (b) (2) Realice generación. Comente respecto de la evolución que tiene el costo marginal del sistema desde el caso sin restricciones hasta el caso con restricciones. (c) (1)Comente sobre el procedimiento que seguiría si al parque generador se le agrega una central G5 de
costos de operación de la forma C G 5 ( P G 5 )
=
α 5 + β 5 P G 5 U M $
h
.
(d) (1) ¿Cómo podría incorporar en un modelo de despacho económico el servicio complementario de
reserva de potencia de un 10% de la demanda del sistema en los generadores G2 y G3? (e) (1) Comente Comente la diferencia diferencia central central existente existente entre un diseño diseño de mercado mercado basado en contratos contratos bilaterales bilaterales físicos y uno de tipo Pool. ¿A qué sistema se asimila el diseño de mercado en Chile? ¿Qué instituciones en Chile se corresponden con la figura de operador de mercado y operador de red?
Ecuaciones Nodales P i = P Gi − P Li =
Transformador Desfasador n
∑V V y i
j =1
Qi = QGi − Q Li =
j
ij
cos( δ i − δ j − θ ij )
n
∑ V V y sin (δ − δ j =1
i
j
ij
i
j
Modelo Transformador
− θ ij )
t :1
I ij
Gauss – Seidel
I ji
Z T j
i
yk I ij t 2 = I ji − yk t
1 V i = I i − yijV j yii j ≠i
∑
Diagrama del extremo receptor
yk =
−
yk
t * U 3 U yk 3'
1
Extremo receptor (V2,P2,Q2) para diferentes valores de V1 y Z de T θ. Sea entonces un tetrapolo de parámetros generales conocidos, en que la tensión en el extremo receptor es V2∡0°, y la tensión en el extremo transmisor es V1∡θ. El diagrama de círculo queda expresado como:
Despacho económico
λ − β i P i = 2γ i
ng
ng
λ − β i = P ∑ i ∑ 2γ = P D i =1 i =1 i
P D +
λ =
ng
∑ i =1
ng
∑ i =1
β i 2γ i
1 2γ i
!! Explique en cada problema los procedimientos utilizados y deje constancia de todos los supuestos que utilice en la formulación de sus respuestas !!
Pauta Problema 3
(a) Despacho sin restricciones de capacidad de generación Considerando Consumo específico instantáneo
Lo primero es encontrar la expresión de los costos de generación, en [UM$/h], de la central térmica de GNL (G2). Dado que el consumo específico de esta unidad está dado por: ∂ H 2 ( P G 2 )
= 0,00571 ⋅ P G 2 + 0,96
∂ P G 2 ⇒
∂C G 2 ( P G 2 )
⇒
∂C G 2 ( P G 2 )
∂ P G 2 ∂ P G 2
[Mbtu MWh ]
= ( 0,00571 ⋅ P G 2 + 0,96 )
[
[Mbtu MWh ] ⋅ 7[UM $ Mbtu ]
= 0,04 ⋅ P G 2 + 6,72 UM $
MWh
]
Integrando la expresión anterior, se llega a que: 2 C G 2 ( P G 2 ) = 6,72 ⋅ P G 2 + 0,02 ⋅ P G 2 UM $
h
Luego, dado que la demanda total es 530[MW] y, la central hidráulica de pasada G1 genera en todo instante 30[MW], sigue que dicha central es despachada en base, con lo que la demanda a abastecer será de P C = 500 [ MW ] . La función de costos a minimizar es Min { f ( x)} = C G 2
+ C G 3 + C G 4
s.a. P G 2 + P G 3 + P G 4 = P C De las condiciones de optimalidad del lagrangiano se desprende que: 500 + λ =
6,72 2 ⋅ 0,02 1
2 ⋅ 0,02 P G 2 = P G 3 = P G 4 =
+
+
6,75 2 ⋅ 0,02 1
2 ⋅ 0,02
13 ,2513 − 6,72 2 ⋅ 0,02 13,2513 −6,75 2 ⋅ 0,02 13 ,2513 − 2,8 2 ⋅ 0,03
+
+
2,8 2 ⋅ 0,03 =13 ,2513 UM $ MWh 1
2 ⋅ 0,03
=163 ,281[ MW ] =162 ,531[ MW ]
=174 ,188 [ MW ]
[
]
Costo incremental G1
Costo incremental G2
Costo incremental G3
Costo incremental G4
CMg sistema 50 45 40 ] 35 h W30 M / 25 $ M20 U [ 15 10 5 0 0
50
100
150
200
250
300
[MW]
Figura: Despacho uninodal sin límites de generación.
Notar que en el gráfico tiende a confundirse el costo incremental asociado a G2 con el de G3, debido a la similitud de sus expresiones. Sin embargo, puede notarse, que en el caso sin restricciones el costo marginal del sistema es igual al costo incremental d e cada una de las unidades. (b) Del resultado obtenido en la parte anterior, se puede observar que las unidades G2 y G3 se encuentran despachadas dentro de sus límites operativos de generación, en tanto que la unidad G4 no respeta su límite superior de generación de 100[MW]. Luego, se concluye, que el resultado obtenido de la parte anterior no es realista; razón por la que es necesario incluir en el modelo de optimización las cotas de las unidades. Lo anterior sugiere realizar nuevamente el despacho del sistema, fijando la generación de la unidad G4 en su nivel máximo, esto es, 100[MW[. Con ello, el problema de optimización a resolver en este caso es:
Min { f ( x)} = C G 2
P G 2
+ P G 3 = 500 −100 = 400 [ MW ]
s.a. 45 ≤ P G 2 60
+ C G 3
≤ 250
≤ P G 3 ≤180
De las condiciones de optimalidad, se desprende que:
400 + λ =
6,72 2 ⋅ 0,02 1
2 ⋅ 0,02
6,75
[
2 ⋅ 0,02 =14 ,735 UM $ MWh 1
]
2 ⋅ 0,02
14 ,735 −6,72
P G 2 = P G 3 =
+
+
2 ⋅ 0,02
= 200 ,375 [ MW ]
14 ,735 −6,75 =199 ,625 [ MW ] 2 ⋅ 0,02
Ahora cabe hacerse la pregunta sobre si las potencias resultantes del despacho están dentro de las cotas permisibles. Claramente, la respuesta es negativa dado que G3 no respeta su cota máxima de generación igual a 180[MW]. Luego, este nuevo despacho tampoco resulta viable desde el punto de vista práctico. Luego, el problema de optimización resultante puede escribirse como: Min { f ( x)} = C G 2 P G 2 = 400 −180 = 220 [ MW ]
s.a. 45 ≤ P G 2 ≤ 250 De donde se concluye el siguiente despacho de unidades del sistema: 220 + λ =
6,72 2 ⋅ 0,02 =15 ,52 UM $ MWh 1
[
]
2 ⋅ 0,02 P G1 = 30[ MW ] P G 2 =
15 ,52 − 6,72 2 ⋅ 0,02
= 220 [ MW ]
P G 3 =180 [ MW ] P G 4 =100 [ MW ]
Para verificar la optimalidad de este punto de operación es necesario revisar si se cumplen las condiciones de K-T, para todas las unidades, con el costo marginal del sistema λ =15 ,52 [UM $ / MWh ] , es decir, ∂C G1 ( P G1 ) = 0 ≤ λ ∂ P G1 ∂C G 2 ( P G 2 ) ∂ P G 2 ∂C G 3 ( P G 3 ) ∂ P G 3 ∂C G 4 ( P G 4 ) ∂ P G 4
= 6,72 + 0,04 ⋅ 220 = 15,52 = λ
= 6,75 + 0,04 ⋅180 = 13,95 ≤ λ
= 2,8 + 0,06 ⋅100 = 8,8 ≤ λ
Dado que se satisfacen todas las condiciones de K-T, sigue que el despacho obtenido corresponde al despacho óptimo del sistema.
Claramente el costo marginal del sistema obtenido para el caso sin restricciones es menor al obtenido en el despacho óptimo considerando las restricciones de generación. Ello es debido a que, al incorporar restricciones de generación de las unidades, las unidades de costos incrementales más baratas ven limitada la cantidad de potencia que pueden inyectar al sistema, razón por la que esta potencia residual debe ser abastecida por unidades más caras con lo que el costo marginal del sistema resultante será más caro. Considerando Costo específico Medio
(a) Si se considera que el consumo específico entregado corresponde al consumo especírfico medio, entonces:
C E M _ G 2 ( P G 2 ) = 0,00571⋅ P G 2 + 0,96 Mbtu MWh U M $ Mbtu ⇒ C G 2 ( P ⋅ P ⋅7 ⋅ P [ M W h] G 2 ) = (0,00571 G 2 + 0,96) MW h Mbtu G 2 2 U M $ ⇒ C G 2 ( P = ⋅ + ⋅ P P ) 6 , 72 0 , 04 G2 G2 G2 h
] [
[
[
]
]
Luego, dado que la demanda total es 530[MW] y, la central hidráulica de pasada G1 genera en todo instante 30[MW], sigue que dicha central es despachada en base, con lo que la demanda a abastecer será de P C = 500 [ MW ] . La función de costos a minimizar es Min { f ( x)} = C G 2
+ C G 3 + C G 4
s.a. P G 2 + P G 3 + P G 4 = P C De las condiciones de optimalidad del lagrangiano se desprende que: 500 λ =
+
6,72 2 ⋅ 0,04 1
2 ⋅ 0,04 P G 2
=
P G 3
=
P G 4
=
14 .759
+
+
− 6,72
− 6,75
2 ⋅ 0,02 14 .759
− 2,8
2 ⋅ 0,03
2 ⋅ 0,02 1
2 ⋅ 0,02
2 ⋅ 0,04 14 .759
6,75 +
+
2,8 2 ⋅ 0,03 1
2 ⋅ 0,03
= 100 ,481[ MW ]
= 200 ,212 [ MW ]
= 199 ,308 [ MW ]
= 14 .759
[UM $ MWh ]
Figura: Despacho uninodal sin límites de generación.
(b) Del resultado obtenido en la parte anterior, se puede observar que la unidad G2 se encuentra despachada dentro de sus límites operativos de generación, en tanto que las unidades G3 y G4 no respetan su límites superior de generación de 180[MW] y 100[MW], respectivamente. Luego, se concluye, que el resultado obtenido de la parte anterior no es realista; razón por la que es necesario incluir en el modelo de optimización las cotas de las unidades. Lo anterior sugiere realizar nuevamente el despacho del sistema, fijando la generación de las unidades G3 y G4 en su nivel máximo, esto es, 180 y 100[MW] respectivamente. Con ello, el problema de optimización a resolver en este caso es:
Min { f ( x)} = C G 2 P G 2 = 500 −100 −180 = 220 [ MW ]
s.a. 45 ≤ P G 2 ≤ 250 De las condiciones de optimalidad, se desprende que: 220 + λ =
6,72
[
2 ⋅ 0,04 = 24 ,32 UM $ MWh 1
]
2 ⋅ 0,04 P G 2 =
24 ,32 −6,72 = 220 [ MW ] 2 ⋅ 0,04
Para verificar la optimalidad de este punto de operación es necesario revisar si se cumplen las condiciones de K-T, para todas las unidades, con el costo marginal del sistema λ = 24 ,32[UM $ / MWh ] , es decir,
∂C G1 ( P G1 ) ∂ P G1 ∂C G 2 ( P G 2 ) ∂ P G 2 ∂C G 3 ( P G 3 ) ∂ P G 3 ∂C G 4 ( P G 4 ) ∂ P G 4
= 0 ≤ λ
= 6,72 + 0,08 ⋅ 220 = 24,32 = λ
= 6,75 + 0,04 ⋅180 = 13,95 ≤ λ
= 2,8 + 0,06 ⋅100 = 8,8 ≤ λ
Dado que se satisfacen todas las condiciones de K-T, sigue que el despacho obtenido corresponde al despacho óptimo del sistema. Claramente el costo marginal del sistema obtenido para el caso sin restricciones es menor al obtenido en el despacho óptimo considerando las restricciones de generación. Ello es debido a que, al incorporar restricciones de generación de las unidades, las unidades de costos incrementales más baratas ven limitada la cantidad de potencia que pueden inyectar al sistema, razón por la que esta potencia residual debe ser abastecida por unidades más caras con lo que el costo marginal del sistema resultante será más caro. (c) Al incorporar al parque de generación una central de costos lineales (costo incremental operacional constante, es decir, con γ 5 = 0 ) se debe proceder como sigue:
Plantear el problema de optimización, suponiendo la generación de la unidad de costos de operación lineales en los siguientes casos: Caso 1: G5 inyectando la potencia mínima permisible Se plantea el problema de optimización considerando la demanda residual , esto es, extrayendo la potencia generada que la unidad G5 proporcionaría según este caso planteado.. Luego, una vez que se conoce el costo marginal de operación del sistema y se han satisfecho las condiciones de K-T para el resto de las unidades del sistema incorporadas en el problema de despacho, se compara el costo incremental de G5 con λ . Si β 5 ≥ λ , quiere decir que no hay contradicción con la suposición de que G5 se encuentra despachada a Pmin y, por tanto, aquella será la solución del problema. Si β 5 ≤ λ , quiere decir que hay contradicción ya que G5 debería estar operando a capacidad máxima. En este caso, se va al caso 2. Caso 2: G5 inyectando la potencia máxima permisible Análogo al caso anterior, sólo que esta vez se compara Si β 5 ≤ λ , no hay contradicción y ésta es la solución buscada. (d) El servicio complementario correspondiente a reservas de generación puede incorporarse al problema de despacho económico mediante el planteamiento de restricciones (condiciones) que den cuenta de este servicio. En este caso, si G2 y G3 deben dejar, en forma conjunta, una reserva en giro de 10% de la
demanda del sistema, es decir, equivalente a 53[MW], el planteamiento del problema de despacho económico será: Min { f ( x)} = C G 2
P G 2
+ C G 3 + C G 4
+ P G 3 + P G 4 = 500 [ MW ]
45
≤ P ≤ 250 G2
s.a. 60
≤ P G 3 ≤ 180
40
≤ P G 4 ≤ 100
P G 2
+ P G 3 ≤ 377
(e) La diferencia central radica en la relación establecida entre productores y consumidores. En un sistema de organización de tipo pool, se establece una estructura de mercado tal que productores y consumidores no entran en una relación comercial directa. Por el contrario, en un sistema basado en contratos bilaterales físicos, suministradores y consumidores establecen libremente las relaciones de tipo comercial, ya sea en forma directa o a través de un comercializador (existe una relación directa con el despacho de la operación resultante). El caso chileno corresponde a un pool de generación, en donde las plantas eléctricas se despachan por orden de mérito, es decir, van ingresando de menor a mayor costo incremental de operación, o bien de menos a mayor precio de oferta, hasta satisfacer la demanda. En este sistema, el precio spot de la energía es el costo de operación de la última unidad despachada. Finalmente, en el caso chileno tanto el operador de red como el de mercado son represntados por un única entidad llamada CDEC, quien es la encargada de la operación técnica y de la seguridad de las áreas de control a su cargo y, al mismo tiempo administra y coordina el mercado de compra y venta de energía.
