introducción
La operación económica de los Sistemas de Potencia es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan a las compañías generadoras a alcanzar la máxima eficiencia posible, lo que minimiza el costo del kWh a los consumidores y también el costo que representa a la compañía esta energía. La operación económica que involucra la generación de potencia y el suministro, se puede subdividir en dos partes: una, llamada despacho económico, que se relaciona con el costo mínimo de producción de potencia y otra, la de suministro con pérdidas mínimas de la potencia generada a las cargas. Para cualquier condición de carga, el despacho económico determina la salida de potencia de cada central generadora que minimizará el costo de combustible necesario. en este trabajo sólo se considerará la aproximación clásica al despacho económico. Despacho económico sin considerar las pérdidas de la red
Se trata de una formulación simplificada del problema general que proporciona una visión física de la solución. Es directamente aplicable al reparto de potencias entre generadores de una misma central. Formulación del problema
Dado un sistema con n nudos y m generadores y dadas todas las potencias demandadas por las cargas SDi, con i=1,2,...,n; determinar la potencia activa que debe generar cada generador Pi, cuyo costo de operación es Ci (Pi), con i=1,2,......,m, para minimizar el costo total CT. Es decir:
Solución sin considerar límites de generación
La Figura 1 muestra la característica de entrada típica del grupo turbina-generador i en función de la potencia de salida Pi, donde Hi corresponde a la entrada de combustible por cada hora de funcionamiento y Ci al costo del combustible necesario, que se puede obtener multiplicando los valores de la curva de Hi, por el costo del combustible. En la curva de costo Ci, es posible definir el denominado “costo incremental” CI, de la unidad generadora i como la derivada de la función de costo respecto de la potencia activa generada, esto es:
Unidades de H: Se mide habitualmente en Mbtu/h o en kcal/h, donde: 1 Btu (British thermal unit) se define como la cantidad de calor necesario para elevar en 1º F la temperatura de una lb de agua a la presión atmosférica normal. 1 kcal es la cantidad de calor necesario para elevar en 1º C la temperatura de un kg de agua a la presión atmosférica normal. El costo incremental (Costo Marginal) CI, representa la pendiente de la curva de costo Ci y se puede interpretar como el costo adicional por hora que tiene aumentar la salida de la máquina i en un MW. Si las unidades de Ci (Pi) son UM/h (UM=Unidades Monetarias), las unidades de CI, son UM/h/MW ó UM/MWh.
En este caso especial, el problema se reduce a resolver solamente las ecuaciones (1) y (2), lo que se puede plantear de la siguiente forma: El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:
Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:
Por otro lado, suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante (debido a los cambios relativamente lentos en la demanda, que puede considerarse constante en períodos de 2 a 10 minutos), su diferencial será:
Multiplicando la expresión (7) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (6), se obtiene:
La ecuación anterior se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero. Esto es, cuando:
Por lo tanto, el costo mínimo de operación se tendrá cuando todas las unidades generadoras funcionan con el mismo costo incremental y se cumple el balance de
potencia dado por la ecuación (2). El sistema de m+1 ecuaciones permite calcular las m potencias a generar y el costo incremental λ del sistema . Solución considerando los límites en las potencias generadas
Para la obtención de las ecuaciones de despacho económico se ha supuesto que las potencias generadas estaban dentro de sus límites prácticos; o lo que es lo mismo, se ha supuesto que se respetan las restricciones expresadas por la ecuación (3). Considérese ahora un sistema ejemplo con tres generadores, con las curvas de costos incrementales mostradas en la Figura.3, donde se señalan los límites máximos y mínimos de funcionamiento. Supóngase que para una potencia demandada PD el sistema funciona en la condición de igualdad de costos incrementales con un valor λ=λ1 para todas las máquinas. A partir de esa situación, a medida que aumenta la demanda, a umenta el valor de λ común, hasta que se alcanza la potencia máxima en alguna de las unidades de generación. Este razonamiento, aunque sin una demostración matemática rigurosa, conduce a la siguiente solución expresada en palabras: si en el proceso de búsqueda de la solución uno o varios generadores alcanzan alguno de sus límites, sus correspondientes potencias quedan fijadas en los límites alcanzados; los generadores restantes deben funcionar con igual costo incremental. El costo incremental del sistema es igual al costo incremental común de estos últimos generadores.
El procedimiento iterativo para hallar λ será, en este caso, el siguiente: Elegir un valor inicial de λ tal que todos los generadores operen con el mismo costo incremental y dentro de sus límites. Si la elección de λ no es coherente con
satisfacer la demanda, ajustarlo igual que en los casos en los que no se consideran límites. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades. Despacho económico considerando las pérdidas en la red
Si todos los generadores están situados en una misma central o están próximos geográficamente, es razonable despreciar las pérdidas en las líneas para calcular el despacho económico. En cambio, si las centrales están separadas geográficamente, se deben considerar las pérdidas en las líneas de transmisión, con lo que el reparto económico determinado en el apartado anterior cambia. En un caso sencillo supóngase que todas las unidades de generación del sistema son idénticas. Entonces, al considerar pérdidas en las líneas, es de esperar que sea más barato suministrar más potencia desde los generadores más próximos a las cargas. La forma más generalizada de abordar el problema del despacho económico considerando pérdidas en las líneas parte del supuesto de que se tiene una expresión para esas pérdidas Pp, en función de las potencias de salida de los generadores, de la forma:
Formulación del problema
Se trata de encontrar las potencias Pi para minimizar el costo total CT:
sujeto a:
La restricción en forma de igualdad es simplemente una manifestación del principio de conservación de la potencia (activa)
Del mismo modo que en el caso de red sin pérdidas, considérese primero la situación en la que no existen límites de generación. El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:
Solución sin considerar límites de generación
Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:
Por otro lado, el diferencial del balance de potencias activas suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante será:
Multiplicando la expresión (18) por un número real λ (mu ltiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (17), se obtiene:
La ecuación (19) se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero. Esto es, cuando:
El coeficiente ∂Pp/∂Pi corresponde a las pérdidas incrementales de transmisión de la máquina i.Designando al Factor de penalización Li para el i-ésimo generador como:
Se tiene que como dCi /dPi representa el costo incremental del i-ésimo generador, el sistema operará a costo mínimo, cuando el producto del costo incremental de cada unidad generadora por su Factor de Penalización Li sea el mismo para todas ellas. Por lo tanto, la solución del problema queda determinada por las m+1 ecuaciones siguientes, que permiten calcular las potencias a generar y el costo incremental del sistema:
Se observa que ya no es condición de óptimo que cada generador funcione con el mismo costo incremental. Los CI están ahora ponderados por los factores de penalización Li. Un factor de penalización elevado hace a la correspondiente unidad generadora menos atractiva. Es de esperar que las centrales alejadas de los centros de consumo tengan factores de penalización mayores que las más próximas a dichas cargas. Solución considerando los límites de generación
Si se consideran los límites de generación, se tiene una solución análoga a la del caso sin pérdidas; es decir, hacer funcionar a todos los generadores que estén dentro de sus límites de tal forma que se cumpla que LiCIi=λ. Si en est e proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades.
Cálculo de las pérdidas en la red
El método expuesto para optimizar la repartición de carga entre los generadores de un sistema, requiere desarrollar una expresión que permita determinar las pérdidas totales de transmisión en función de la potencia generada por ellos. Se aborda esta cuestión indicando uno de los métodos más importantes, aproximado pero sencillo. Según este método, para unas condiciones dadas de funcionamiento del sistema (o “caso base”) las pérdidas de transmisión son función cuadrática de las potencias de los generadores, lo que se puede escribir según las ecuaciones (27) o (28):
Donde los términos Bij son los llamados Coeficientes B o Coeficientes de pérdidas y [B] es la matriz de coeficientes de pérdida. Los coeficientes Bij no son verdaderamente constantes sino que varían según el estado de carga del sistema y se obtienen a partir de los resultados de un Cálculo de Flujos de Potencia (caso base). Una vez determinados los coeficientes se tendrá una expresión para las pérdidas del sistema en función de las potencias generadas que, en rigor, sólo es válida para las condiciones correspondientes a esos valores concretos de las potencias de los generadores Pi. En la práctica, estos coeficientes pueden considerarse constantes, siempre que las condiciones del sistema no difieran drásticamente de las del caso base, respecto del cual han sido calculados. En un sistema real, dada la variación en la potencia demandada a lo largo de un día, la diferencia entre las condiciones de funcionamiento del sistema llegan a ser tan grandes que se hace necesario utilizar más de un conjunto de coeficientes B durante el ciclo de carga diario. A partir de una fórmula de pérdidas explícita, el cálculo de ∂Pp/∂Pi es simple, suponiendo que Bij=Bji
Existen varios métodos para la obtención de los coeficientes B. Para entender la formulación, se presenta, a manera de ejemplo, el caso de un sistema simple (Figura 6) formado por dos generadores, un sistema de transmisión y una carga.
Sean a, b y c las líneas de transmisión con resistencias Ra, Rb y Rc por las que circulan las corrientes cuyos módulos son , respectivamente. La potencia activa total perdida en el sistema de transmisión Pp se puede escribir como:
Escribiendo los módulos de las corrientes simplemente como: I1, I2 e I3, respectivamente, se tiene que las pérdidas se pueden escribir como:
Si P1 y P2 son las potencias trifásicas de salida de las máquinas, con factores de potencia fp1 y fp2 y V1 y V2 son los módulos de los voltajes entre líneas en las barras de los generadores, las corrientes I1 e I2 son:
Por lo que las pérdidas quedan expresadas como:
Que se puede escribir como:
Si los voltajes se expresan en kV , las resistencias en Ω/fase, las unidades de los coeficientes B son 1/MW y la potencia perdida Pp queda expresada en MW. Por supuesto que es posible hacer el cálculo en por unidad. Para el sistema en el cual han sido deducidos y con la suposición de que 1 I e I 2 están en fase, estos coeficientes entregan las pérdidas en forma exacta, por medio de la ecuación (35), solamente para los valores particulares de P1 y P2 que resultan de las tensiones y factores de potencia utilizados en las ecuaciones (36). Los coeficientes B son constantes al variar P1 y P2, sólo mientras las tensiones en las barras de los generadores mantengan un valor constante y los factores de potencia sean también constantes.
Opinión personal.
El conocimiento del flujo de cargas en un sistema eléctrico de potencia permite hallar la potencia activa y reactiva que debe entregar cada unidad generadora para atender una demanda de potencia determinada. El reparto de cargas o potencias entre generadores depende de las condiciones de operación que se impongan. La demanda de potencia en un sistema eléctrico puede ser generada de diversas formas; de todos los posibles repartos de carga interesa aquel que supone un mínimo costo de generación..
