Despacho Económico Ejemplo

EL PROBLEMA DEL DESPACHO ECONÓMICO Los generadores de energía eléctrica así como las demandas estn locali!ados en distintos n"dos de "na red eléctrica# eléctrica# El o$%eti&o del 'ro$lema del des'ac(o des'ac(o econ)mico es calc"lar* calc"lar* 'ara "n instante instante determinado* determinado* la  'otencia +"e (a de 'rod"cir cada generador de modo +"e se satis,aga la demanda a "n coste mínimo* al tiem'o +"e se c"m'lan distintas restricciones técnicas de la red - los generadores#  El problema del despacho económico económico

Cada línea en la red eléctrica transmite la 'otencia desde el n"do s"ministrador (asta el n"do rece'tor# La cantidad de 'otencia en&iada es 'ro'orcional a la di,erencia de los ng"los de estos n"dos .al ig"al +"e el /"%o de ag"a a tra&és de la t"$ería +"e conecta dos de')sitos es 'ro'orcional a la di,erencia de alt"ras de las s"'er,icies en los dos de')sitos0# La constante de 'ro'orcionalidad tiene "n nom$re c"rioso '"es los ingenieros eléctricos la denominan  susceptancia# La 'otencia transmitida desde el n"do i al n"do  j a tra&és de la línea i − j es 'or tanto  Bij .δ  i

− δ    j 0

donde Bij es la s"sce'tancia de la línea i − j1 - δi - δ j los ng"los de los n"dos i - j* res'ecti&amente#234 Por ra!ones ,ísicas* la cantidad de 'otencia transmitida a tra&és de "na línea de 'otencia tiene "n límite# Dic(o límite se %"sti,ica mediante consideraciones térmicas o de esta$ilidad# Por tanto* "na línea de$e ,"ncionar  de manera +"e este límite de trans'orte no se s"'ere en ning5n caso# Esto se ,orm"la como ma6

−  P ij

ma6

≤  Bij .δ i − δ   j 0 ≤ P ij

donde P ijijmax es la ca'acidad m6ima de trans'orte de la línea i − j# De$e insistirse en +"e la 'otencia transmitida es 'ro'orcional a la di,erencia de ng"los - no a "n ng"lo dado# En consec"encia* el &alor de "n ng"lo ar$itrario '"ede 7%arse a 8 - considerarlo como el origen9 δ  k  =

8

donde k es "n n"do ar$itrario# :na consec"encia de seleccionar de modo ar$itrario el origen es +"e los ng"los son &aria$les no restringidas en signo# La 'otencia 'rod"cida 'or "n generador es "na magnit"d 'ositi&a acotada in,erior - s"'eriormente# La cota in,erior se de$e a condiciones de esta$ilidad .de manera anloga a como "n coc(e no '"ede mo&erse con &elocidades 'or de$a%o de "n cierto límite0# La cota s"'erior o$edece a consideraciones térmicas .al ig"al +"e la &elocidad de "n &e(íc"lo no '"ede s"'erar "na cierta cota s"'erior0# Las restricciones anteriores '"eden e6'resarse como min

 P i

ma6

≤  pi ≤ P i

do dond ndee  pi es la 'otenc 'otencia ia 'rod"c 'rod"cida ida 'or el gener generado adorr i -  P imin -  P imax  son constantes 'ositi&as re'resentando* res'ecti&amente* la 'otencia de salida m6ima - mínima admisi$les 'ara el generador i# En cada n"do* la 'otencia +"e llega de$e coincidir con la 'otencia +"e sale del mismo .le- de conser&aci)n de energía0* +"e '"ede e6'resarse como

∑ B

ij

.δ i − δ   j 0 +  pi =  Di * ∀i

  j∈Ωi

234 E6isten modelos ms 'recisos* 'ero el +"e se 'resenta a+"í es ra!ona$le 'ara m"c(os anlisis técnicos - econ)micos#

donde ;i es el con%"nto de n"dos conectados a tra&és de las líneas al n"do i - Di la demanda en el n"do i# Seg5n se (a indicado antes* la 'otencia transmitida a tra&és de cada línea est acotada* así '"es ma6

ma6

≤  Bij .δ  i − δ    j 0 ≤  P  ij

−  P  ij

* ∀j ∈ Ω i * ∀i

Los elementos 'rinci'ales de este 'ro$lema son9 1.

Datos

n9 el n5mero de

generadores

 P imin9 la 'otencia mínima del generador i  P imax9 la 'otencia m6ima del generador i  Bij 9 la s"sce'tancia de la línea i − j  P ijmax9 la ca'acidad de trans'orte m6ima de la línea i − j C i 9 el coste de 'rod"cci)n de 'otencia del generador i

;i 9 el con%"nto de n"dos conectados al n"do i  Di 9 la demanda en el n"do i 2.

Variables

 pi 9 la 'otencia +"e de$e 'rod"cir el generador i δi 9 el ng"lo del n"do i

<# Restricciones # Las restricciones en este 'ro$lema son δ  k  =

∑ B

8

.δ i − δ   j 0 +  p  i =  Di 1 i = 3*=*###* n

ij

  j∈Ωi ma6

−  P  ij

ma6

≤  Bij .δ  i − δ    j 0 ≤  P    ij min

≤  pi ≤  P   i

min

≤  pi ≤  P   i

 P i  P i

<#

Función a minimizar#

1 ∀  j ∈ Ω i * i

ma6

1 i = 3*=*###* n

ma6

1 i = 3*=*###* n

= 3*=*###* n

El o$%eti&o del 'ro$lema del des'ac(o econ)mico es minimi!ar el 'recio total

de la 'rod"cci)n de 'otencia* +"e '"ede concretarse como n

 Z  = ∑ C i pi i =3

donde C i es el 'recio de la 'rod"cci)n del generador i* - n el n5mero de generadores#

E%ercicio# Pro$lema del des'ac(o econ)mico

>ig"ra 39 E%em'lo de des'ac(o econ)mico# Considérese "n sistema de < n"dos - < líneas .&éase la 7g"ra 30# El generador del n"do 3 'rod"ce al  'recio de ? - s"s límites in,erior - s"'erior son* res'ecti&amente* 8#3@ - 8#?# El coste de 'rod"cci)n del generador del n"do = es  - s"s cotas s"'erior e in,erior son* res'ecti&amente* 8#3 - 8## La línea 3= tiene s"sce'tancia =#@ - admite "n trans'orte m6imo de 8#<1 la línea 3< tiene s"sce'tancia <#@ - cota s"'erior de trans'orte de 8#@1 7nalmente la línea =< tiene s"sce'tancia <#8 - límite s"'erior de trans'orte 8## El sistema tiene "n 5nico n"do de demanda en el n"do < con "n &alor de 8#@# Se considera "n 'eriodo de "na (ora# El origen se sit5a en el n"do <# El 'ro$lema del des'ac(o econ)mico 'ara este e%em'lo tiene la ,orma sig"iente# Minimi!ar

? p3   p=

s"%eto a δ< F 8

<.@.δ< − δ3 0 =.@.δ= − δ3 0 p3

F8

<.8.δ< − δ= 0 =.@.δ3 − δ= 0 p=

F8

<.@.δ3 − δ< 0 <.8.δ= − δ< 0 F 8.@ 8.3@ ≤ p3 ≤ 8.? 8.38 ≤ p= ≤ 8. − 8.< ≤

=.@.δ3 − δ= 0 ≤ 8.<

− 8. ≤

<.8.δ= − δ< 0 ≤ 8.

− 8.@ ≤

<.@.δ3 − δ< 0 ≤ 8.@

Las &aria$les a o'timi!ar son  p3* p=* δ3 - δ=# La sol"ci)n )'tima 'ara este 'ro$lema de des'ac(o econ)mico* es9  Z F @.<@ ,

 ' F .8.@?@ , 8.=@0T  ,

El generador 3 de$e 'rod"cir 8#@?@ - el generador =* 8#=@#

δ F .8.3< , 8.33 , 80T