Problema N° 1 Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantand o los cuatro laterales de la caja.
Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L debe medir entre 2 y 3 cm (2 ≤ L ≤ 32 ≤ L ≤ 3).
Solución: Si a es el ancho de la caja, h es su altura y P es su profundidad, entonces su volumen es
Al cortar los cuatro cuadrados de lado L, el ancho de la caja es
La profundidad es
Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado:
Luego el volumen de la caja en función de L es (paso 1)
Derivamos la función volumen (paso 2):
Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos (paso3):
Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los intervalos (paso 4):
Escogemos los puntos x=1 del primer intervalo, x=3 del segundo intervalo y x=8 del tercero:
Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en el segundo y creciente en el tercero:
Pero el lado L debe medir entre 2 y 3, es decir, debe ser
Como en el intervalo [2.11, 3] [2.11, 3] la función es decreciente, el volumen será máximo para L=2.11cm Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser
Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen es 192.45cm
Problema N ° 2
Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.
Calcular:
a. Las dimensiones de una puerta de 2m22m2 de superficie de hoja para que el coste sea mínimo. ¿Cuál será su precio? b. Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio? SOLUCION:
Sean x e y la anchura y altura de la hoja de la puerta, respectivamente. Como la superficie de la hoja es 2m22m2, tenemos que
Como la anchura de los listones es de 10cm, la longitud del listón del lado superior debe ser (escribimos 0.1 ya que los precios son por metro)
La longitud de los dos listones de los lados laterales debe ser
El coste total es el coste de la hoja más el del marco. El coste de la hoja es
El coste del listón superior es
Y el coste de los listones laterales es
Por tanto, el coste total es
Como tenemos dos variables, escribimos yy en función de xx:
Calculamos la derivada:
Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para buscar los puntos críticos:
Situamos los puntos críticos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada en los 4 intervalos:
Nota: hay que incluir el punto x=0x=0 como punto crítico ya que la función no está definida en dicho punto (no se puede dividir entre 0).
Escogemos x=−3x=−3 para el primer intervalo, x=−1x=−1 para el segundo, x=1x=1 para el tercero y x=3x=3 para el cuarto:
La función es creciente para x≤−2x≤−2, decreciente en el intervalo [−2,2][−2,2] y creciente para x≥2x≥2. Además, tiene un en x=2x=2. Nota: cuando xx tiende a −∞−∞ la función decrece, pero como xx representa una longitud, debe ser positiva.
Las dimensiones son
Es decir, 2 metros de ancho y 1 de alto. Calculamos el coste:
Luego el coste total de la puerta es $621.4. Apartado b: Evaluando la función en (x=2.5x=2.5),