Análisis Matemático &niveridad #atólica 'Santo (oribio de )ogrove*o+
I
)gtr. ulio #-ar )oreno Decal%i
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
BLOQUE I: Problemas sobre derivadas: Volumen de un globo.- Si un globo se infla a razón de 4 !" #$"in %!on &u' ra(idez
!re!e su radio )se e*(ande+ !uando 's,e es de - !". Rpta. 3,18 cm/min Solución
dv dv dr = . dt dr dt Donde: v=volumen; t=tiempo; r=radio Volumen del globo o una e!era="/3
4 3
3
v = π r → ∴ 4000
π ∗r
3
dv 4 = ∗3 π r 3−1= 4 π r 2 dt 3
=( 4 π r 2 )
dr dt
dr 4000 = dt 4 π r 2 dr 4000 = dt 4 π ( 10 )2
dr 4000 = dt 4 π 100 dr 4000 = dt 4 ( 3.14 ) 100 4000 dr = dt ( 12.56 ) 100
dr 4000 = dt 1256 dr = 3,18 dt Rpta: #uando el radio e 1$ cm, el globo e in!la a ra%ón de 3,18 cm/min.
Ondas circulares concéntricas.- Una (iedra se de/a !aer sobre un es,an&ue en re(oso 0
(rodu!e ondas !ir!ulares !on!'n,ri!as1 El radio 2 r 3 de la onda e*,erior !re!e a una ,asa !ons,an,e de # !"$seg !uando su radio es - !"1 %A &u' ri,"o es,5 !re!iendo el 5rea ,o,al A de la zona (er,urbada. Rpta. 10," cm/eg Solución
dA dA dr = . dt dr dt Donde: 2=area; t=tiempo; r=radio 2rea de la %ona perturbada= 2
A = π r →
πr
2
dA =2 πr dt
dA =( 2 π r ) ( 30) dt dA =2 π ( 120 )( 30) dt dA =22619,47 dt 2
Rpta: l 4rea 2 et4 creciendo a ra%ón de 10,"
cm . seg
Alambre conductor.- El flu/o de !orrien,e en un ala"bre !ondu!,or de !obre es,a dado (or I ) x + =
ln ( # x
+
) + e x
I ( x )= ln ( 3 x + 2 )+ e 2
2 x
la e*(resión siguien,e6 en 7a,,s8 donde * es la !ondu!,i9idad el'!,ri!a (ara el !obre1 :allar la razón de !a"bio del flu/o de !orrien,e !uando *; -1< )sie"ens $ "e,ro+ Rpta. "1,10 5att metro/iemen Solución Dato: 2
6preión: 769=ln 3 x
+ 2 ¿+ e 2 x
5att
Donde 6 e conductividad el-ctrica=1.Siemen/metro9 Ra%ón de cambio =
I ( x ) = ln ( 3 x + 2 )+ e 2
6 x
'
I ( x )=
3 ( x )
'
I ( 1.5 )= '
2
I ( 1.5 )=
+2
+ e2 ( x ) .2
6 ( 1.5 ) 2
3 ( 1.5 )
2 x
+2
+ e 2( 1.5 ) .2
9 + e3 .2 8.75
I ( x )= 41,19 '
Rpta: #uando la conductividad el-ctrica e de 1. iemen/metro. l !lu*o de corriente et4 a ra%ón de "1.10 5att metro/iemen.
esistencia.- La fuerza en Ne7,ons de resis,en!ia de unos neu"5,i!os (ara au,os
de(or,i9os en !ir!ui,os arenosos de(ende del !oefi!ien,e de roza"ien,o del ,erreno es,o se refle/a en la e!ua!ión6 R ) x+ =
ln ( < x
− -< x
)
De,er"inar la razón de !a"bio de la resis,en!ia !uando el !oefi!ien,e de roza"ien,o es 1< Rpta. 1, < Solución:
R ( x ) = ln ( 5 x −15 x ) 2
R ´ ( x ) =
10 x −15 5 x
−15 x
10 ( 0.5 )− 15
'
R ( 0.5 )=
2
2
5 ( 0.5 )
−15 (0.5 )
R ( x )=1.6 '
Rpta: #uando el coe!iciente de ro%amiento de auto deportivo e $., la ra%ón de cambio de la reitencia e de 1.
Volumen de agua.- A un de(ósi,o !il=ndri!o de base !ir!ular 0 < " de radio8 le es,5
en,rando agua a razón de < li,ros (or segundo1 Cal!ular la ra(idez a la &ue sube la su(erfi!ie del agua1 Rpta. $,3 m/eg Solución:
dv d v dh = . dt dh dt 2
25= πr .
dh dt
dh 25 = dt πr 2 dh 25 = dt ( 3.14 )( 5 )2
dh = 0.32 dt Rpta: a rapide% a la >ue e ube a la uper!icie del agua e de $.3 m/eg.
!ecto Doppler: La fre!uen!ia > de la sirena de un !o!?e de bo"beros o=da (or un -#14 F = ##- ± v
obser9ador en re(oso 9iene dada (or6 Donde @v re(resen,a la 9elo!idad del !o!?e de bo"beros1
Cal!ular el ri,"o de !a"bio de ? res(e!,o de v !uando6 a9 El !o!?e se a!er!a a # "$s )usar 9+ b9 El !o!?e se ale/a a # "$s )usar B9+
Solucion: a ¿ F = F ' =
132,400 331 − v
132,400
(331− v )2 132,400
'
F ( 30 )=
2
( 331 −30)
=1,46 x 10−3
Rpta: #uando el cambio de la !recuencia e 1, repecto a la velocidad e de 1," 6 1 0 b ¿ F =
F ´ =
−3
@%.
132,4 00 331 + v
−132,400 (331 + v )2
'
F ( 30 )=
−132,400 =−1,02 x 10−3 2 ( 331 + 30 )
Rpta: #uando el cambio de la !recuencia e 1, repecto a la velocidad e de 1," 6 −3
1 0 Hz . AroBectil: Se dis(ara un (ro0e!,il dire!,a"en,e ?a!ia arriba desde la su(erfi!ie de la ,ierra
!on una 9elo!idad de 4 (ies$seg1 Su dis,an!ia sobre la su(erfi!ie de la ,ierra des(u's de , segundos es,5 dada (or la e!ua!ión s),+ ; -, B 4,1 a+ :alla el ,ie"(o !uando el (ro0e!,il ,o!a la su(erfi!ie de la ,ierra1 Solución:
s =0 2
0 =−16 t + 400 t 0 =16 t (−t + 25)
0 =t (−t + 25 )
−t +25 =0 ; t =0 t =25 ; t =0 Rpta: #uando el proBectil toca la uper!icie de la tierra er4 depu- de egundo.
b+ %Cu5l es la a!elera!ión en !ual&uier ,ie"(o. s ´ =−32 t + 400 s
' '
=−32 Rpta: a aceleración en cual5uier momento e de .3 m/ segundos
2
)ovimiento de un ob*eto: Un ob/e,o se "ue9e a lo largo de una re!,a de a!uerdo !on la
e!ua!ión6 s),+ ; , -, B -8 Donde s se "ide en (ies 0 , en segundos1 a+ :alla la 9elo!idad del ob/e,o !uando , ; 8-88# Solución:
s ( t )= 2 t −12 t + 10 2
v=
s ' = 4 t −12 t '
∴v
( 0 )= 4 ( 0 )−12 =−12 m / s
v ( 1 )= 4 ( 1 )−12=−8 m / s
v ( 2 )= 4 ( 2 )−12 =−4 m / s v ( 3 ) = 4 ( 3 ) −12=0 m / s
ue: A
un ,an&ue &ue ,iene la for"a de un !ono !ir!ular re!,o in9er,ido de 4 ",s de radio 0 - ",s de al,ura en,ra agua a una razón de < !" #$seg1 a+ %A &u' 9elo!idad es,5 subiendo el ni9el del agua !uando es,e se en!uen,ra a 4 ",s de al,ura. Solución: C 1
#
D
1m
3
cm $ seg .
3
cm
;9olu"en
dv = 50 cm3 dt
*;radio !"4 " 0;al,ura-" 1 3
AFC 0 DE6
y = 4 x ;
y =
16
y
=
2
v = πr y … .. ( 1)
4
x
v=
3
πry
y 4
()
π
2
π r y
v=
=
y
4
2
.y
3
3
16 3
=
πy
3
48
dv dv dh = . dt dh dt
50=
πy
2
dh 16 dt .
2
π ( 400 ) dh 50= . 16 dt dh 50 ( 16 ) = = 1 dt 16000 π 200 π
dh = 0,00159 cm / seg dt Rpta: #uando el nivel del mar e encuentre a "m de altura, ubir4 con cuna velocidad de $,$$10 cm / eg.
b+ %A &u' 9elo!idad es,5 !a"biando el radio en ese "is"o ins,an,e. Rpta.
$,$$10 cm/eg $,$$$308 cm/eg
Solución:
x =
y 4
dx 1 dy = . dt 4 dt
dx 1 = ( 0,00159 )=3,975 x 10−4 dt 4 dx cm = 0,0003978 . dt seg Rpta: l radio en ee mimo intante et4 cambiando a ra%ónde $,$$$308 cm/eg1
BLOQUE II: Problemas sobre !"#imos $ !%nimos:
El ingreso de la (rodu!!ión de * unidades de !ier,o (rodu!,o es6 R ) x + =
D# x − x
x + D#
"illones de dólares1 a+ %Cu5l es el ni9el de (rodu!!ión &ue genera el "5*i"o ingreso. Solución:
R ( x ) =
63 x − x
x
2
2
+63
( 63 −2 x ) ( x 2+ 63 )− (2 x ) ( 63 x − x 2) R ( x ) = ( x 2+ 63 )2
R ( x )= '
63 x
2
+ 6 3 2−2 x 3− 126 x −126 x 2 +2 x3 ( x 2+63 )2
2 2 − 63 x − 126 x + 63 R ( x )= ( x2 + 63 )2
'
−63 ( x 2−2 x + 63 ) R ( x )= ( x 2+ 63 )2 '
° ¿ untos cr!t!cos :
−63 ( x 2− 2 x + 63 ) =0 ( x 2 + 63 )2 2
x − 2 x + 63 =0
( x −7 ) ( x + 9 )=0 x =7 ; x =−9
7
¿ 0,7 >¿ 7, " >¿ '
'
'
R R > 0 R < 0 R #rec!ente $ecrec!ente
Rpta: a producción >ue genera el m46imo ingreo e unidade.
b+ %Cu5l es el "5*i"o ingreso. −63 ( 7 )−72 =3,5 R ( 7 )= 2 7 −63 Rpta: l ingreo m46imo e de 3 $$ millone de dólare.
Un biólogo realizó un e*(eri"en,o sobre la !an,idad de indi9iduos en una (obla!ión de
(ara"e!iu" en un "edio nu,ri,i9o 0 ob,u9o el "odelo g),+ ; ln), H , B <+ donde , se "ide en d=as 0 g),+ es el n"ero de indi9iduos en el !ul,i9o1 Indi&ue des(u's de !u5n,o ,ie"(o el n"ero de indi9iduos en la (obla!ión es "=ni"o1
Solución:
g ( t ) = ln ( t −2 t + 5 ) 2
g ' ( t ) =
2 t − 2 2
t −2 t + 5
J+ Kun,os !r=,i!os6 2 t −2 =0 2 t −2 t + 5 2 t − 2=0
2 t = 2
t =1 1
¿ 0,1 >¿ 1, ">¿ '
'
g g >0
'
g <0
g crec!ente decrec!ente
Rpta: n el dEa 1 el nFmero de individuo en la población e minimo.
La !an,idad de agua re!ogida en )en "illones de li,ros+8 en !ier,o (an,ano8
!o"o fun!ión del ins,an,e de ,ie"(o , )en "eses+8 9iene dada a ,ra9's de la e*(resión6 f )t + =
-
( t − D) 4 + -
L ≤ t ≤ -4
Se (ide6 a+ En &ue (eriodo de ,ie"(o au"en,o la !an,idad de agua re!ogida. Solución: % ( t )
10
( t −6 )2 + 1
; 0 & t & 12
% ( t ) = '
−10 ( 2 ( t −6 ) ) =0 ( ( t −6 )2+ 1 )2
% ( t ) =−20 t + 120= 0 '
t =6
Rpta: a cantidad de agua recogida aumenta en mee.
b+ En &ue ins,an,e se ob,u9o la !an,idad "5*i"a de agua. Rpta: a cantidad m46ima de agua e obtuvo en el e6to me.
!+ Cual fue esa !an,idad "5*i"a. 10 =10 % ( 6 ) = 2 (6 −6 ) + 1 Rpta: a cantidad m46ima e de 1$ millone de litro.
Un !ier,o "edi!a"en,o se ?a in0e!,ado en el !uer(o de una (ersona !on un !5n!er
de "a"a8 su a!,uar se "ide en una es!ala de a < 0 9iene e*(resada (or la fun!ión ),+; 4B-<,,B,#8 donde , es el ,ie"(o )en ?oras+ ,rans!urrido desde &ue !o"enzó el es,udio ),;+1 Indi!ar los ins,an,es de "5*i"a 0 "=ni"a in,er9en!ión en las (ri"eras ?oras 0 los in,er9alos en &ue es,a !re!e 0 de!re!e1 Solución: v ( t )=40 + 15 t − 9 t
2
+ t 3
v ( t ) = 15−18 t + 3 t
2
'
( t )= 15 −18 t + 3 t =0 '
2
( 3 t −3 ) (t −5 )=0 ( =1 ; t =5
15
¿ 0,1 >¿ 1,5 >¿ 5,50 >¿ v ' v
'
'
v ´ > v < 0 v > 0 crec decrec crec
Exi s t eunmáxi moe n1;yunmi ni moe n5. Cuando us,ed ,ose8 la ,r5&uea se !on,rae1 La 9elo!idad 293 a la !ual el aire sale
de(ende del radio 2r3 de la ,r5&uea1 Si R es el radio nor"al )de des!anso+ de la ,r5&uea8 en,on!es (ara 2r3 "enor o igual 2R38 la 9elo!idad es,5 dada (or6 ;a )Rr+ r 8 donde 2a3 es una !ons,an,e (osi,i9a1 a+ %u' 9alor de 2r3 "a*i"iza la 9elo!idad. b+ %Cu5l es esa 9elo!idad "5*i"a. En
una e"(resa el fondo de in9ersión genera una ren,abilidad &ue de(ende de la !an,idad de dinero in9er,ida8 segn la fór"ula6 R)*+;1* B1O*<8 donde R)*+ re(resen,a la ren,abilidad generada !uando se in9ier,e la !an,idad 61 De,er"inar ,eniendo en !uen,a &ue di!?a e"(resa dis(one de < euros6 a+ %Cu5ndo au"en,a 0 !uando dis"inu0e la ren,abilidad. Solución R ( x ) =−0.002 x + 0.8 x −5 2
R ( x )=−0 −004 x + 0.8 '
x =
0.8 0.004 x + 0.8
200
¿ 0 ; 200 >¿ 200 ; 500 >¿ '
'
'
R R > 0 R < 0 '
R #rec $ecrec!ente
Rpta: 2umenta en el intervalo G$;$$H B diminuBe en el intervalo G$$;$$H
b+ %Cu5n,o dinero debe"os in9er,ir (ara ob,ener la "5*i"a ren,abilidad (osible. Rpta: Deberiamo invertir uno $$ ole.
!+ %Cu5l ser5 el 9alor de di!?a ren,abilidad. 2 R ( 200 )=−0,002 ( 200 ) + 0,8 ( 200 )− 5 =75
Rpta: a m46ima rentabilidad e de ole. Un
es,udio realizado duran,e una e(ide"ia "os,ró &ue el n"ero de (ersonas afe!,adas8 , d=as des(u's de ini!iado el bro,e8 res(ondió a una e*(resión del ,i(o6 n)t + =
N
- + A1e − K 1t
N 0 A !ons,an,es8 AP-8 donde N era el n"ero ,o,al de (ersonas )(obla!ión ,o,al+1 De"ues,ra &ue la "5*i"a 9elo!idad de (ro(aga!ión de la enfer"edad o!urrió !uando se infe!,ó la "i,ad de la (obla!ión1 Una !o"(aQ=a de ,rans(or,e !on una ,arifa de 8 ,rans(or,a O (asa/eros (or d=a8 al !onsiderar un au"en,o de la ,arifa la !o"(aQ=a de,er"ina &ue (erder5 O (asa/eros (or !ada < de au"en,o en es,as !ondi!iones %Cu5l debe ser el au"en,o (ara &ue el ingreso sea "5*i"o.
Solución: I ( x ) =( 20 + 5 x ) ( 8000 −800 x )
I ( x ) =160000 −16000 x + 40000 x − 4000 x
2
I ( x ) =−4000 x + 24000 x + 160000 2
I ( x )=−8000 x + 24000 '
I ' ( 3 )=−8000 '
:a0 un "5*i"o en #1 Rs(,a6 Se ?ar5n # au"en,os !on lo &ue el au"en,o en el !os,o ser5n de -< dólares 0 res(e!,o al ingreso "5*i"o as!iende a - dólares1
Considere una e"(resa &ue o(era en el "er!ado ba/o la siguien,e fun!ión de !os,os ,o,ales C)*+;8-*B-*B< 0 !on un (re!io de 9en,a de (or unidad1 De,er"ine6
a+ Kara "a*i"izar las u,ilidades8 %!u5n,as unidades debe (rodu!ir la e"(resa. Solución
U,ilidad v ( x )=20 x −( 0,1 x + 10 x + 50 ) 2
v ( x ) =−0,1 x + 10 x + 50 2
v ( x ) =−0,2 x + 10 '
Kun,os !r=,i!os −0,2 x + 10= 0 x =50 v ( x )=−0,2 ' '
v ( 50 ) =−0,2 ' '
v ( 50 ) < 0 ' '
:a0 un "5*i"o en <1 Rs(,a6 Se debe (rodu!ir 0 9ender < unidades (ara luego !onseguir la "5*i"a u,ilidad1 b+ %a !u5n,o as!iende la u,ilidad "5*i"a. Rs(,a6 La u,ilidad "5*i"a as!iende a dólares1
Un !o!?e de !o"(e,i!ión se des(laza a una 9elo!idad &ue8 en,re las 0 ?oras8 9iene dada (or la e*(resión v69= I69.e68 donde * es el ,ie"(o en ?oras 0 9)*+ es a 9elo!idad en !ien,os de iló"e,ros1 :allar6 a+ En &u' "o"en,o del in,er9alo !ir!ula a la 9elo!idad "5*i"a 0 !al!ular di!?a 9elo!idad1 b+ %En &u' (eriodos gano 9elo!idad 0 en !uales redu/o. !+ %Se de,u9o alguna 9ez.
