Un alambre de aluminio con diametro d =2 mm y longitud L = 3.8 m sesomete auna carga de tension P (vease la fig. ). El aluminio tiene modulo de elasticidad E =7 !Pa. "i el alargamiento ma#imo $ermisible del alambre es 3.% mm y el esfuero admisible en tension es &% 'Pa u*l es la carga P ma# admisible+
,atos- d = 2 mm L = 3.8 m E = 7 !Pa "olucion-
A =
πd 4
2 2
= 3.142 m m
δ max= 3.0 mm δ =
PL EA
( 75 GPa ) ( 3.142 m m EA Pmax = δ max= L 3.8 m Pmax =186 N
2
)
( 3.0 mm )
2
Una columna ueca de acero ( E=3%%%%/lb0
Plg
) se somete a una carga de
com$resi1n P como se ve en la figura .La longitud de la columna es L=3.% $ies y su di*metro e#terno es de d=7. $lg .La carga es P= 8lb 2
"i el esfuer4o de com$resi1n admisible admisible es de 3%%%%/lb0 Plg
y el acortamiento acortamiento
admisible de la columna es %.%2 $lg. 5ual es el es$esor de $ared
"oluci1n-
σ =
P A 3
A perm=
85 x 10 7000
=12.14 plg 2
PL δ = EA 3
A req=
85 x 10 x 8 x 12 6
30 x 10 x 0.02
2
A min =13.6 plg
=13.6 plg 2
t min
necesario+
A =
π
[d −( d −2 t ) ] 4
13.6 =
2
π
2
[7.5 −( 7.5 −2 t ) ] 4
t min=¿
2
2
%.&3$lg
Una valvula de seguridad en la $arte su$erior de un tan6ue con va$or a la $resion $ tiene un aguero de descarga con diametro d (vease la fig.). La valvula esta diseada $ara soltar el va$or cuando la $resion llega al valor $ ma#. "i la logitud natural del resorte es L y su rigide4 es u*l sera la diension de la valvula+ (E#$rese el resultado como una formula $ara determinar ).
l = long. 9nicial del resorte "olucion-
F =kδ F = k ( l − h ) F = PA F = P
Pmax
π d
2
4
( )= ( − ) π d 4
2
k l h
( )
P max π d 2 h =l− k 4
Los tubos de aluminio y acero mostrados en la figura est*n fios en so$ortes r:gidos en los e#tremos ; y < y en un a$laca r:gida en la uni1n de ellos . El tubo de aluminio tiene doble longitud 6ue el tubo de acero. ,os cargas iguales y simtricamente ubicadas P act>an sobre la $laca c
σ e
,edu4ca la f1rmula $ara calcular los esfuer4os a#iales
b
tubos de aluminio y acero res$ectivamente. alcule los esfuer4os con los datos siguientes P=?2/lb *rea transversal del tubo de aluminio
A s =8.92 plg
6
6
Es =10 x 10 lb / plg
2
en los
2
'1dulo de elasticidad del aluminio y acero
2
Ec =10 x 10 lb / plg
y
σ z
a
y el m1dulo de elasticidad del acero
"oluci1n a) @
∑ F x= 0
RA
A RB = 2P
δAB
=B AC ABCB = %
δAC =
RAL Es As
δ C =
− R (2 L ) Ea Aa
RAL R ( 2 L ) − =0 Es As Ea Aa
RA=
4 Es As P
2 Ea Aa P R = Ea Aa 2 Es As Ea Aa2 Es As
@;luminio
@;cero
R 2 EaP σ a= = Aa Ea Aa 2 Es As
σ s=
RA 4 Es P = As Ea Aa 2 Es As
2
b) P =?2
Aa
= 8.C2
plg
$si
=2C#
6
Ea= ?%
# 10
2
As
=?.%3 plg
6
Es
Da=?&?% $si (com$resi1n) Ds=C3% $si (tensi1n)
10
$si
res cables de acero untos so$ortan una carga de ?2/ (vea la figura). El di*metro de cada cable intermedio es F $ulg y el di*metro de cada cable e#terno es G $ulg. Las tensiones en los cables se austan de modo 6ue cada cable cargue un tercio de la carga (es decir H lb). ,es$ues la carga aumenta C asta un total de 2? lb. a) Iu $orcentae del total de la carga es aora cargado $or el cable intermedio+ b) u*les son los esfuer4os en el cable medio y los cables e#ternos+ 3
A !E"#$= p%lg 4
1
A E&'RE!$ = p%lg 2
En la $rimera carga tenemos 6ue las ?2 lb se distribuyen uniformemente en cada cable es decir H lb $ara cada cable. La segunda carga es menor de C lb entonces-
Entonces-
P ! + 2 P$= P 2 ( ( ( A ) ambin sabemos-
σ ! =σ $ P ! L
=
P $ L
E A ! E A $ P ! P$
=
A ! A $
( ( ( )
Jesolviendo (;) y (<)
P ! + 2 P$= P 2 P2− P ! P$= ( (( a ) 2
P ! P$
=
A ! A $ P$ A ! P ! = A $ Jeem$la4ando (a)
(=
P 2− P !
P !
2
A $
)
A !
P ! =
P !
,es$eando
P ! =
Para
A ! ( P2− P ! ) 2 A $
A ! P 2 2 A $ + A !
( ( ( 1)
P $ P$=
P ! A $ A !
K
P ! = P2−2 P $ Jesolviendo ambas ecuaciones-
P$=
A $ P 2 2 A $
( ( ( 2)
+ A !
Entonces-
A ! =
4
P ! =
=
( )=
=
( )=
π
2
4
π"
A $ =
P$=
π"
4
4
2
4
A ! P 2 2 A $ + A !
A $ P 2 2 A $ + A !
=
=
0.4418
2
1
π
2
2
3
0.1963
(0.4418 ) 9 =4.765 klb 2 ( 0.1963 )+ 0.4418
(0.1963 ) 9 =2.117 klb 2 ( 0.1963 ) + 0.4418
uer4as en cada cable-
Cable del medi)=4 + 4.765 =8.765 klb Cable del extrem)=4 + 2.117 =6.117 klb
a) Porcentae-
=
8.765 21.000
=0.4174 =41.74
b) Esfuer4os en los cables-
Es*%erz) del cable del medi)=
Es*%erz) del cable del extern)=
8.765 0.4418
6.117 0.1963
=19.84 ksi
=31.63 ksi
Una barra de acero ;, (vease la fig.) tiene area transversal %.H% $ulg 2 y esta cargada con las fuer4as P ? = 27%% lb P 2 = ?8%% lb y P 3 = ?3%% lb. Las longitudes de los segmentos de la barra son a = &% $ulg b = 2H $ulg y c = 3& $ulg. a) "u$oniendo 6ue el modulo de elasticidad es E = 3% # ?% & lb0$ulg2 calcule el cambio de longitud B de la barra. "e elonga o se reduce+ b) Iu cantidad P debe aumentarse la carga P 3 $ara 6ue la barra no cambie de longitud cuando las tres fuer4as se a$li6uen+
,atos- ; =%.H% in2 P? = 27%% lb P2 =?8%% lb P3 = ?3%% lb E =3% # ?%& $si "olucion-
N A= P1 + P2− P3 = 3200 lb N C = P 2− P3= 500 lb N C" =− P 3= 1300 lb Parte a)-
+=
+=
1
EA
( N A L A + N C LC + N C" LC" ) 1 6
2
( 30 & 10 psi )( 0.40 p%l g )
[( 3200 lb ) ( 60 p%lg )+ ( 500 lb ) ( 24 p%lg ) + ( 1300 lb ) ( 36 p%lg ) ]
+= 0.0131 p%lg Parte b)0.0131 p%lg
PL EA
= +=
0.0131 p%lg =
P ( 120 p%lg)
( 30 x 10 psi )( 0.40 p%l g ) 6
2
P=1310 lb
Un edificio de dos $isos tiene columnas de acero AB en el $rimer $iso y
BC
segundo $iso como se muestra en la figura. La carga sobre el teco
es igual a H%%
M y la carga en el segundo $iso
P 2
P ?
en el
es igual a 72% M. ada columna tiene una
longitud L = 3.7 m. Las area de las secciones transversales de las columnas del $rimer y segundo $iso son ??%%% mm2 y 3C%% mm2 res$ectivamente.
(a) "u$oniendo 6ue
E
= 2%& !Pa determine el acortamiento total d AC de las dos
columnas debido a la accion combinada de las cargas
P ?
y P 2.
(b) .Iue carga adicional P % se $uede colocar en la $arte su$erior de la columna ($unto C ) si el acortamiento total d AC no debe e#ceder H.% mm+
"oluci1n
E
= 2%& !Pa 2
AAB
= ??%%% mm 2
ABC =3C%% mm
( 1120 kN )( 3.75 m) ( 400 kN )( 3.75 m ) NA L NC L = + = + δ AC @ EAA EAC ( 206 GPa )( 11,000 mm 2 ) ( 206 GPa )( 3,900 mm 2 )
δ AC =3.72 mm
Un marco ;< consiste en dos barras r:gidas ;< y < cada una de longitud b (vase la $rimera $arte de la figura siguiente). Las barras tienen articulaciones en ; < y y est*n unidas $or un resorte con rigide4 . El resorte est* fio en los $untos medios de las barras. El marco tiene un so$orte articulado en ; y un so$orte con rodillos en y las barras forman un *ngulo
, con la ori4ontal. uando se a$lica una carga
vertical P en la articulaci1n < (vase la segunda $arte de la figura) el so$orte con rodillos se mueve acia la dereca el resorte se estira y el *ngulo de las barras disminuye desde
, asta
- . ,etermine el *ngulo
- y el aumento
δ en la
distancia entre los $untos ; y . (Use los siguientes datos- b = 8.% $ulg = ?& lb0$ulg
, = HN y P = ?% lb.)
La estructura sin carga-
L1= distancia de A a C L1=2 b cos , . 1=l)ngit%d del res)rte . 1=
L1 2
= b cos ,
La estructura con carga-
L2=distancia de A a C L2= 2 b cos . 2=l)ngit%d del res)rte
. 2=
L2 2
= b cos -
h =alt%rade C a =bsen L2 2
=b cos -
F =*%erza enel res)rte debid) a lacarga P
∑ ! =0
( )− ( )=
P L2 2
2
F
h
2
0
P cos -= F sen- OO.(?) / . =. 2− .1=b ( c)s- −c)s, ) F =k / . F =kb ( c)s- −c)s, ) "ustituyendo en ?
P cos -= kb ( c)s- − c)s, ) sen P c)t- − c)s- + c)s, = 0 OO(2) 1 bk
c)s, =c)s- −
Pc)tOO(2.?) bk
δ = L2− L1=2 bc)s- −2 bc)s,
¿ 2 b ( c)s- −c)s, ) Jeem$la4ando 2.? en la ecuaci1n anterior
( (
δ = 2 b c)s-− c)s-−
(
δ = 2 b c)s-− c)s- +
δ =
Pc)tbk
Pc)tbk
))
)
2 P
c)t-
b
on nuestros datosb = 8.% $ulg = ?& lb0$ulg
, = HN y P = ?% lb
P c)t- − c)s- + c)s, =0 bk
10
(
8 16
)
c)t- − c)s- + cos ( 45 )=0
-=35.1 δ =
δ =
2 P
b
c)t-
( )
2 10 8
(
cot 35.1
δ = 1.78 p%lg
)
El co$le esta sometido a una fuer4a de lb. ,etermine la distancia d entre y E tomando en cuenta la com$resion del resorte y la deformacion de los segmentos verticales de los $ernos. uando no se tiene una carga a$licada el resorte no esta estirado y d = ?% $ulg. El material es acero ; Q 3& y cada $erno tiene un diametro de %.2 $ulg. Las $lacas en ;< y son rigidas y el resorte tiene una rigide4 = ?2 lb0$ulg.
PL = δ pern)central = AE π 4
PL = δ pern)lateral = AE π 4
5 (1 0
3
)( 8)
=0.028099 p%lg 1
2
( 0.25 ) ( 29 )( 10 )
(
6
) (6) = 0.010537 p%lg 2 ( 0.25 ) ( 29 ) ( 1 0 ) 3
2.5 1 0 2
6
P 5 +res)rte = = =0.41667 p%lg 1 k 12 += 0.41667 + 0.010537 +¿ 0.028099 =0.455 p%lg
∑¿
d 3 =10 + 0.455 =10.455 p%lg 22. La barra ;<, cargada a#ialmente 6ue muestra la fig. esta sueta entre so$ortes rigidos. La barra tiene un area de seccion transversal ;? de ; a y 2R? de a ,. a) ,edu4ca ecuaciones $ara determinar las reacciones J ; y J, en los e#tremos de la barra. b) ,etermine los de4$la4amientos B < y B en los $untos < y res$ectivamente. ,iagrama de cuer$o libre-
"olucionParte (a)-
∑ F
4)riz
=0 R A + R " = P ( (1 )
+ A + + C + +C" =0
R A ( L / 4 ) E A 1
+
( R A − P ) ( L / 4 ) E A 1
,e (?) y (2)-
R A =
2 P 3
5 R "=
P 3
Parte (b)-
R A ( L / 4 ) PL = + = E A 1 6 E A1
+C =
R " ( L / 4 ) E A 1
=
PL 12 E A 1
−
R " ( L / 2 ) E ( 2 A1 )
= 0 ( ( 2 )
Una barra ;< tiene dos *reas trasversales distintas ;?;2 y se suetan entre so$ortes r:gidos ; y en < .Una carga P act>a en el $unto 6ue est* a la distancia b? del e#tremo ; y la distancia b2 del e#tremo <
a) ,edu4ca reformula $ara calcular las reacciones J; y J< En los so$ortes ;y < res$ectivamente debido a la carga P b) ,edu4ca una f1rmula $ara calcular el des$la4amiento del $unto
a)
∑ F = 0 x
R A + R = P δ AC =δ C
R A b1 δ AC = E A1
δ C=
R b 2 E A 2
R A b1 R b2 E A1
R A =
R =
=
E A 2
b2 A 1 P b 1 A 2+ b 2 A1 b1 A 2 P b1 A 2+ b2 A 1
b)
b
¿
1
¿ 1 A 2 + b2 A ¿ E ¿ ¿ R A b1 b1 b2 P δ C =δ AC = ¿ E A 1
El conunto consta de una barra de acero < y una barra de aluminio <; teniendo cada una un di*metro de ?2 mm. "i la barra se somete a las cargas a#iles en ; y en el co$le < determine el des$la4amiento del co$le E y del e#tremo ;. La longitud de cada segmento sin estar se muestra en la figura. ,es$recie el tamao de las cone#iones en < y y su$onga 6ue son r:gidas
Eac =200 GPa
Eal =70 GPa
.
La barra ;<, cargada a#ialmente 6ue muestra la fig. esta sueta entre so$ortes rigidos. La barra tiene un area de seccion transversal ;? de ; a y 2R? de a ,. a) ,edu4ca ecuaciones $ara determinar las reacciones J ; y J, en los e#tremos de la barra. b) ,etermine los de4$la4amientos B < y B en los $untos < y res$ectivamente. ,iagrama de cuer$o libre-
"olucionParte (a)-
∑ F
4)riz
=0 R A + R " = P ( (1 )
+ A + + C + +C" =0
R A ( L / 4 ) E A 1
+
( R A − P ) ( L / 4 ) E A 1
−
R " ( L / 2 ) E ( 2 A1 )
= 0 ( ( 2 )
,e (?) y (2)-
R A =
2 P 3
5 R "=
P 3
Parte (b)-
R A ( L / 4 ) PL = + = E A 1 6 E A1
+C =
R " ( L / 4 ) E A 1
=
PL 12 E A 1
Una barra rigida de longitud L = && $ulg se articula en un so$orte en ; y se sostiene con dos alambres verticales fios en los $untos y , (vease la fig.). ;mbos alambres tiene la misma area transversal ; = %.%272 $ulg 2 y estan ecos del mismo material (modulo E = 3% # ?% & lb0$ulg2).El alambre en tiene longitud = ?8 $ulg y la longitud del alambre en , es doble de la anterior. Las distancias ori4ontales son c = 2% $ulg y d = % $ulg. a) ,etermine los esfuer4os de tension D y D, en los alambres debido a la carga P = ?7% lb 6ue actua en el e#tremo < de la barra. b) alcule el des$la4amiento B < acia abao del e#tremo < de la barra. ,iagrama de cuer$o libre-
,iagrama de des$la4amiento-
,atos- =?8 $ulg c = 2% $ulg d = % $ulg L = && $ulg E = 3% # ?%& $si ; = %.%272 $ulg2 P = 3H% lb "olucion-
∑ ! =0 ' (c ) +' A
C
"
( d )= PL
+C + " c
=
+C =
' C h ' " ( 2 h ) + "= EA EA
' C h cEA ' C =
σ C =
σ "=
d
=
' " ( 2 h ) dEA
2 cPL 2c
2
' C A ' " A
+d
=
=
' " = 2
dPL 2c
2
+d 2
2 cPL 2
2
A ( 2 c + d ) dPL 2 2 A ( 2 c + d )
()
()
2 L 2 h ' " L 2 hP L = = + =+ " d EA d EA ( 2 c2 + d 2 )
2c
2
+ d2 =2 ( 20 p%lg )2+( 50 p%lg )2=3300 p%l g 2
Parte (a)-
σ C =
2 cPL
A ( 2 c + d 2
2
)
=
2 ( 20 p%lg ) ( 340 lb ) ( 66 p%lg ) 2
0.0272 p%l g
∗( 3300 p%l g 2 )
σ C =10000 psi σ "=
( 50 p%lg ) ( 340 lb ) ( 66 p%lg ) 2 2 A ( 2 c + d ) 0.0272 p%l g 2∗( 3300 p%l g 2) dPL
=
σ "=12500 psi Parte (b)-
+ =
2 hP L
2
EA ( 2 c + d 2
2
+ =0.0198 p%lg
=
2 ( 18 p%lg ) (340 lb ) ( 66 p%lg )
) ( 30∗10 psi ) ( 0.0272 p%l g ) ( 3300 p%l g ) 6
2
2
Una barra r:gida ori4ontal de $eso S = 72%% lb esta sostenida $or tres varillas redondas esbeltas a distancias iguales (vase la figura). Las dos varillas laterales son de aluminio
( E1=10 6 10 6 lb / p%lg2 )
y su di*metro es d?=?H $ulg su longitud es
( E =6.5 6 10 lb / p%lg ) 5
L?= H% $ulg. La varilla central es de magnesio
2
2
con di*metro
d2 y longitud L2. Los esfuer4os admisibles en el aluminio y el magnesio son 24000 lb / p%lg
2
y
18000 lb / p%lg
2
res$ectivamente.
"i se desea 6ue las tres varillas estn cargadas asta sus valores m*#imos admisibles u*l debe ser el di*metro e#terior d2 y la longitud L2 de la varilla central+ 2 P 1
σ =
+ P 2=7200
P A
P=σ 6 A 2 σ 1 A 1+ σ 2 A 2=7200
2
" π
A =
4
2
2 σ 1
" 1 π 4
2 σ 1 " 1
"2=
√
"2=
√
"2=0
7200 6 4
σ 2 π
−
2 σ 1 " 1
2
σ 2 2
7200 6 4
2 ( 24000 ) 1.4
18000 π
18000
−
2
2
+ σ
" 2 π
2
4
+ σ 2 " 22=
=7200
7200 6 4
π
Ka 6ue el di*metro sale negativo asumimos 6ue no se necesita de esta varilla en el medio $or lo tanto ,=% K La longitud L=%
δ 1=δ 2 P1 L1 E 1 A1
=
P 2 L2 E2 A 2
