deformacion de vigas.docx

RESISTENCIA DE MATERIALES MATERIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA

CIVIL

SOLUCION DE EJERCICIOS

Docente:

ING. DANNY NIETO PALOMINO

Curso:

Resistencia de materiales

Alumnos:

Código:

TABO T ABOADA ADA CALL CALLUCO Jeri !!!!"#

CUSCOPERÚ 2014 SOLUCION DE LOS EJERCICIOS DEL $%& AL $!" De'rmaci'n de (i)as

P*)ina !

RESISTENCIA DE MATERIALES MATERIALES $%&. Determinar la de-ei/n m*ima en 0na (i)a sim1lemente a1'2ada de l'n)it0d L c'n 0na car)a c'ncentrada P en el centr' de s0 clar'.

L+" , P+"

P+" L

Ec0aci/n )eneral de m'ment's3

•

⟨ ⟩

()

2

d y P L EI x − = x −( P ) x 2 2 2 dx •

Primera inte)raci/n3

( ) ( )⟨ ⟩ +

dy d y P 2 P L EI = x − x − dx 4 2 2 •

C 1

Se)0nda inte)raci/n3

EIy =

•

2

( ) −( ) ⟨ − ⟩ + P

12

x

3

P

L

x

6

2

2

C 1 x + C 2

C'ndici'nes de 4r'ntera3 o

o

56% ∧ 26% ent'nces C 2 =0

( ) ( )−( )( − ) +

0=

56L ∧ 26% ent'nces

P 6

L L

3

3 P L − De !3 C 1 = 16

•

( )( ) ( )⟨

EI y max =

y max =

L

12

2

6

L

L 2

3

C 1 ( L ) … … ( 1)

,6 72

La de-ei/n 'c0rre en 6L+" P

P

3

−

P

L

6

2

L

−

2

⟩ ( )( ) 3

−

P L 16

2

L 2

− P L3 48 EI

De'rmaci'n de (i)as

P*)ina "

RESISTENCIA DE MATERIALES 3

PL δ = RESPUESTA 48 EI

$%$. Determinar la de-ei/n m*ima en 0na (i)a sim1lemente a1'2ada: de l'n)it0d L: ;0e s'1'rta 0na car)a 0ni'rmemente distri<0ida de 8 N+m a1licada en t'da s0 l'n)it0d.

9 , 8L+"

8L+" L

( ) ( )

2

d y wL w 2 EI x − x = 2 2 2 dx •


( )( )−( )( )+ 2

dy wL x EI = dx 2 2 •

3

( )( )−( )( )+ wL x 2

3

C 1

4

w

x

2

12

3

C 1 x + C 2

C'ndici'nes de r'ntera o

o

•

2

3


EIy =

•

w x

56% ∧ 26% ent'nces

( )( )−( )( )+

0=

56L ∧ 26% ent'nces

wL L 2

La de-ei/n 'c0rre en 6L+"

( )( ) ( )( ) ( )( )

EI y max =

wL L 12

2

3

−

w

L

24

2


4

3

−

,6 72

C 2 =0

wL

L

24

2

P*)ina =

3

6

w L 2

4

12

C 1 ( L ) →C 1=

−W L3 24

RESISTENCIA DE MATERIALES y max =

−5 w L 4 384 EI 3

PL δ = RESPUESTA 48 EI

$%>. Determinar el m*im' (al'r de EI2 en la m?ns0la de la @)0ra P7$%>: car)ada c'm' se indica. C'nsiderar el 'ri)en de c''rdenadas en el em1'tramient'.

a

P L Ec0aci/n )eneral de m'ment's3

•

2

d y EI =( P ) x −( Pa )−( P ) ⟨ x −a ⟩ 2 dx •

Primera inte)raci/n3 2

⟨ x −a ⟩ dy x EI =( P ) −( Pa ) ( x )−( P ) + C 1 2 2 dx 2

•

Se)0nda inte)raci/n3. C 1 =0 1'r ser em1'trad' en 0n etrem'.

EIy =

() ( ) () P 6

x

3

−

Pa 2

x

2

+


P 6

⟨ x − a ⟩3 + C 2

P*)ina #

RESISTENCIA DE MATERIALES C'ndici'nes de 4r'ntera3

•

,6 72

56% ∧ 26% ent'nces C 2 =0

o

La de-ei/n 'c0rre en 6L

•

( )−( )( − )

3

P L

EI y max =

EIy max

2

−

6

P aL

P

2

6

L a

3

3 P L − =

48 EI

RESPUESTA

$%. O
•

( ) ( ) ( )

2

2

d y wL wL w 3 − EI 2 = M = x − x 2 3 6 L dx •


( ) −( ) ( )−( )( )+

dy wL x EI = dx 2 2

•

2

wL

2

4

w x 6 L 4

x

3

C 1

Se)0nda inte)raci/n3 P'r el em1'tramient'

EIy =

( ) ( )( ) ( )( ) wL x 2

6

3

2

−

2

wL

x

3

2


5

−

w x + C 2 6 L 20

P*)ina &

C 1 =0

RESISTENCIA DE MATERIALES •


•

56% ∧ 26% ent'nces C 2 =0

La de-ei/n 3

( ) −( ) −(

EI y max =

wL 12

(

x

3

wL 6

3

2

x

5

2

w 120 L

)

5

x

)

w L x x y = RESPUESTA − L2 x 2+ 20 EI 2 20 L

$%. C'm' se indica en la @)0ra: 0na (i)a sim1lemente a1'2ada s'stiene d's car)as c'ncentradas. Sim?tricamente c'l'cadas. Calc0lar la de-ei/n m*ima $ 2 c'm1arar el res0ltad' c'n la -eca en el centr': del cas' > de la ta
Res'l0ci/n

Del e;0ili
Inte)rand' d's (eces dica ec0aci/n tenem's3 En la 1resente (i)a tenem's d's c'ndici'nes de <'rde3 5 6 O: 2 6 %F de d'nde de '

P*)ina $


d y EL 2 = ( P ) x −( P ) ⟨ x −a ⟩− P ⟨ x − L+ a ⟩ dx 2

EL

d y dx

2

=( P )

ELy=( P )

( ) −( x

2

x

2

( )−( x

3

P )

6

P )

⟨ x − a ⟩2

⟨ x −a ⟩3 6

2

⟨ x − L + a ⟩3

−( P )

6

⟨ x − L + a ⟩3

−( P )

6

+ C 1

+ C 1 x + C 2

En la 1resente (i)a tenem's d's c'ndici'nes de <'rde 56%:2 6%3 de d'nde se '
()

0=

P 6

[ L −( L−a ) −( L− L +a ) ]+ C ( L ) 3

3

3

1

( ) [

− P De d'nde '
3

3 La− 3 a

]

Ent'nces ELy=

( )[ P 6

x

3

− ⟨ x −a ⟩ ⟨ x − L + a ⟩ −( 3 La −3 a3 ) x ] 3

3

P'r la simetra de la (i)a: la de-ei/n m*ima s0cede en el ee de

( ) x =

simetra

L 2

Reem1laHand' en !3

( )[( ) ( )

ELymax =

P

L

6

2

( )(

ELymax =

Pa 24

3

3 L

1

3

− −a −( 3 La −3 a2 ) 2

2

( )] L 2

−4 a2 )

c'm' δ =− y ,entoces :


P*)ina >

RESISTENCIA DE MATERIALES δ max=

Pa ( 3 L2− 4 a2 ) 24 EL

O
•

⟨ x −a ⟩ d y EI M wb x w ( ) = = − 2 2 dx 2

•

+w

⟨ x −a −2 b ⟩2 2


dy x EI =( wb ) dx 2 •

2

2

w ⟨ x −a ⟩

( )

−

2

3

3

+

w ⟨ x −a −2 b ⟩

() 2

3

3

+C 1


( )

( )

3 4 4 x w ( ) EIy = wb ⟨ x − a ⟩ + w ⟨ x −a −2 b ⟩ + C 1 x +C 2 −

6

•

24

24


56% ∧ L6% ent'nces C 2 =0

o

56L ∧ 26% ent'nces3

( ) =( )( −

( )

3 ( wb ) L − w ⟨ L− a ⟩ 4 + w ⟨ L− a−2 b ⟩4 +C 1 L= 0

6

C 1

•

24 3

24

2

w

L

3 L a

6

8

4

+

3 La 2

2 3

)

−a −

wb L

2

8

La de-ei/n m*ima es c0and' 6L+" 3


P*)ina 

,6 72

RESISTENCIA DE MATERIALES L 2

¿ ¿

( )¿

EI y max =

wb 24

( )(

EI y max =

wb 24

4

3 L 16

− L3 a −a 4−b L3

(

4

w 3 L 3 4 3 δ = L a + a + bL − 24 EI 16

)

)

Si a6% ent'nces "<6LF reem1laHam's3

•

δ =

5w L 384

4

RESPUESTA

$!!.7 Calc0lar el (al'r de EI$ en el centr' de la (i)a car)ada c'm' se indica en la @)0ra.

Res'l0ci/n

A 1artir de la ec. de m'ment's )eneral calc0lam's la ec. dela 1endiente 2 de-ei/n3 2

EL

d y dx

2

2

=225 X −150 ⟨ X −1,5 ⟩ + 150 ⟨ X −3,5 ⟩


2

P*)ina 


dy 225 X EL = dx 2 3

225 X ELy= 6

−

− 150 ⟨ X −1,5 ⟩ + 150 ⟨ X −3,5 ⟩ + C 1 4

4

3

3

4 4 150 ⟨ X −1,5 ⟩ + 150 ⟨ X −3,5 ⟩ +C 1 x +C 2 12 12

De las c'ndici'nes de <'rde3 56%:2 6%3 1'r l' tant' C 2 =0 56#m:2 6%F de d'nde 0=

225 6

( 4 )− 150 ⟨ 4 −1.5 ⟩ + 150 ⟨ 4 −3.5 ⟩ 4

3

12

C 1 =−478,13 N  m

12

4

C 1 ( 4 )

2

P'r l' tant' 3

ELy=

225 X 6

−

150 12

⟨ X −1,5 ⟩ + 150 ⟨ X −3,5 ⟩ −478,13 x 4

4

12

En el centr' de L0H: 6"m ELy( 2) =

225 6

( 2 )− 150 ( 0.5 ) − 478,13 (2 ) 3

4

12

3

ELy(2 )=−657.04 N  m : ELδ =657.04 N  m

Per' c'm' δ =− y entonces :

3

$!". Calc0lar el (al'r de EI, en el centr' de la (i)a car)ada c'm' se indica en la @)0ra P7$!". Ec0aci/n )eneral de m'ment's3

•

2

2 2 d y EI x x x = 225 − 150 − 1.5 + 150 − 3.5 ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 2 dx

•



P*)ina !%

RESISTENCIA DE MATERIALES

( ) ( )

( )

dy 225 2 150 EI = x − ⟨ x −1.5 ⟩3 + 150 ⟨ x −1.5 ⟩ 3+C 1 dx 2 3 3 •


EIy =

•

( ) ( )

( )

225 3 150 x − ⟨ x−1.5 ⟩4 + 150 ⟨ x −3.5 ⟩4 + C 1 x + C 2 6 12 12


56% ∧ 26% ent'nces C 2 =0

o

56# ∧ 26% ent'nces

( ) ( )

0=

225 6

4

3

−

150 12

⟨ 4 −1.5 ⟩4 +

( ) 150 12

⟨ 4 −3.5 ⟩4 + 4 C 1

C 1 =−478.13

DE LA PRIMERA INTEGRACIKN EIy =

•

( ) −( ) ⟨ − 225 3 x 6

,6 72

( )

4 150 150 ⟨ x −3.5 ⟩4− 478.13 x x 1.5 ⟩ + 12 12

La de-ei/n 'c0rre en 6"

EIy =

( ) ( ) 225 6

3

2

−

150 12

⟨ 2 −1.5 ⟩ 4− 478.13 ( 2 )

EIy =−657.04 EIδ =657.04 RESPUESTA


P*)ina !!

RESISTENCIA DE MATERIALES CALCULAR EN CADA UNA DE LAS IGAS DE LOS PROBLEMAS $"# A $=" EL MOMENTO DEL REA DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS 4LE5IONASTE COMPRENDIDA ENTRE LOS APOYOS RESPECTO DE CADA UNO DE STOS. $"#. i)a car)ada c'm' indica la @)0ra P7$"#. Calc0land' reacci'nes3

•

) ( 2 ) −600 + R ( 4 )=0 ∑ M =−( 900 $%%N.m 2

A

∗

R2=600 N

A ∗

B ∑ ! " = R1 + R2−900 =0

R1=300 N

DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES

$%%N.m =m

!m

Res1ect' al 10nt' A

´ A = ( 4 ) ( 1200 ) (#$ea ) A%  X 2

() 2 3

( 4 )−

( 1800 ) ( 2 ) 2

( () ) 2+

2 3

´ A =2500 N  m3 RESPUESTA (#$ea ) A%  X


P*)ina !"

( )

( 2 ) +( 600) 3 + 1 2


$"$. i)a car)ada c'm' indica la @)0ra

Res'l0ci/n

Del e;0ili
T'mand' m'ment's res1ect' a B de l's dia)ramas de m'ment's 1'r 1artes3 % =¿

( 4 )( 2400 ) 2

( () ) 1+

1 3

( 4)

(3 )( 2400 ) 2

( () ) 1+

1 4

(3 ) +

( a$ea ) A% X ¿

( a$ea ) A% X % =8,25 &N  m3


P*)ina !=

( 1 ) ( 600 ) 2

()

2 (1 ) 3

RESISTENCIA DE MATERIALES $". Res'l(er el 1r'
Del e;0ili
( 3) ( 1) 2

( )= 2 3

0 ⇒ R 2=0.2 &N

P'r e;0ili
( 3 ) (1 ) 2

R1=0.3 &N

⇒

Ela<'rand' l's dia)ramas de car)as e;0i(alentes en ('lad' 2 dia)ramas de m'ment's 1'r 1artes3


P*)ina !#


T'mand' m'ment's res1ect' del etrem' A3 A =¿

( 4 ) ( 3.9 ) 2

()

( () )

()

( 1.5 ) ( 3 ) 4 ( 2 ) ( 0.4 ) 2 2 ( 3) − ( 3 )+ (2 ) ( 1 ) (3 + 0,5 ) + ( 2) 3+ 3 4 5 2 3 ( a$ea ) A% X ¿

( a$ea ) A% X A =17.47 &N  m3

$=". En la (i)a de la @)0ra: calc0lar el (al'r de ( a$ea ) A% X A De ac0erd' c'n e res0ltad' '
Resolución:


P*)ina !&

RESISTENCIA DE MATERIALES Del e;0ili
( R ) ( 3 )=( 4 ) ( 200 ) +( 800 )( 2)( 1 ) 2

R2=800 N

Del E;0ili
Ela<'rand' l's es;0emas de car)as en ('lad' 2 dia)ramas de m'ment's 1'r 1artes3


P*)ina !$

RESISTENCIA DE MATERIALES C'm' n's 1iden ( a$ea ) A% X A ent'nces calc0lam's l's m'ment's de *reas de a;0ellas ;0e se enc0entran 0
( 2 ) ( 2000 ) 2

() 2 3

( 2 )−

( 2 ) ( 1600 ) 3

() 3

4

( 2) +

(1 ) ( 800 ) 2

( () ) 2+

1 3

( 1 ) −( 200 ) ( 1 ) ( 2 + 0,5 )−

( 1 ) ( 200 ) 2

( ( )( ) ) 2+

( a$ea ) A% X ¿ ( a$ea ) A% X A =1.27 & N  m3

De
SOLUCIKN DE LOS EJERCICIOS DEL $=$ AL $#

$= QCalc0lar el (al'r de EI$ en el etrem' IH;0ierd' de la (i)a m'strada en la @)0ra. 0? sentid' tiene la de-ei/n

Resolución

N's Pide3 ELδ A


P*)ina !>

1 3

1


( )(

t A /% =

Calc0lam's

A =¿

( 1 ) ( 4 ) 2

1

EL

a$ea ) A% X A

( ) ( ) +( )( )( + ) 2 3

4

2 2 2 1

( a$ea ) A%  X ¿ 3

A =¿ 6.67 & N  m ( a$ea ) A%  X ¿

En ( 1 ) : ELt A / %=6.67 &N m

c'm'

3

δ =−t A ⇒ E L δ A =6.67 &Nm

3

%

El si)n' ne)ati(' ;0e se '
Res'l0ci/n


P*)ina !


δ A

6% c'm' δ A 6 t A /C 6%

Calc0lam's

( 3 ) ( EP )

A =¿

2

() 2 3

( 3 )−( 400)( 1.5 )

(

1.5 +

)

1.5 2

( a$ea ) AC X ¿ A =¿ ( 9 P −1350 ) N  m ( a$ea ) AC X ¿

3

( )

1 De !3 EL ( 9 P−1350 )=0

P'r l' tant'3 P=150 N

$## Determinar la m*ima de-ei/n 1ara la (i)a de la @)0ra.


P*)ina !

RESISTENCIA DE MATERIALES Resolución:

δ A

6 t A /C A =¿

t A / C =

( )( 1

EL

a$ea ) AC  X ¿

Dia)rama d m'ment's 1'r 1artes res1ect' de A3

A =¿

( )( )( )( ) L

wL

2

8

2

1

1

3

4

( L ) + ( L )

( )( )( ) ( ) wL

2

2

1

1

2

3

( L )

1 2

( a$ea ) AC  X ¿ ( a$ea ) AC  X A = 41 wL 384 (e (2 )=t A / C =

(e (1 ) : δ

( )(

4

1

−41 wL4

EL

384

41 wL

)

⇒

t A /C

−41 wL4 384 EL

4

384 EL


P*)ina "%

RESISTENCIA DE MATERIALES $#>. Determinar el m*im' (al'r de EI δ en la (i)a de la @)0ra.

Res'l0ci/n3

EI δ m*im' s0cede en el etrem' A. Dia)rama de m'ment's 1'r 1artes res1ect' de A3

A =¿ como t A / C =

( )( 1

EL

a$ea ) AC  X ¿

[ ( )( )( )]( )( )+[( )( )( )]( )( )−[( )( )]( )( 2

( a$ea ) AC  X A = −

L wL

1

1

1

2

4

5

2

24

( a$ea ) AC  X A = 121 wL 1920

L

wL

2

4

4

4

como δ A

6 −t A / C EL δ A = ⇒


121 wL 1920

P*)ina "!

1

1

2

3

L

5w 24

2

L

1 2

L )


SOLUCION DE LOS EJERCICIOS DEL $&= AL $&&

$&#. Determinar el (al'r de EI δ a ! m de R1 en la (i)a de la @)0ra. Indicaci/n3 traHar la tan)ente de reerencia en el a1'2' derec'.

Res'l0ci/n3

El des1laHamient' en QOQ es δ . Primer' calc0lam's el t A /% : l0e)' el t ) / %

1ara ell' de
1artes3


P*)ina ""

RESISTENCIA DE MATERIALES ELt A / %=( a$ea ) AC  X A

( 3 ) ( 1200 ) 3

() 2 4

( 2 ) ( 1600 )

( 2 )+

2

()

( ( )( ))

( 1 ) ( 400 ) 2 2 ( 2) + 2+ 3 2 3

1

3

ELt A / %=1400 N  m

ELt ) / %=( a$ea )) / C  X C

( 1 ) ( 400 ) 2

( )( ) 1 3

1

3

ELt ) / %=66.67 N  m

o´ o´ } over {1} ⇒ acute {o} acute {o} = de*a +,-.$a ( a )

ELt A / % 3

ELt A / % 3

⇒

o´ ´o =466.67 N. {m} ^ {3}

=¿

Pe$o ( a ) o´ ´o =EL δ {ELt} r!u" {#$%} = ELδ66.67 3

/ELδ =400 N  m


P*)ina "=

deformacion de vigas.docx

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