Problemas de Colas_EPPEN y TAHA

Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones

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MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

PROBLEMAS DE COLAS (Extraídos del libro de EPPEN) rí o Mississippi a una tasa promedio de una cada dos 1. Las barcazas llegan a la esclusa La Crosse en el río horas. Si el tiempo interarribos tiene una distribución exponencial, (a) ¿cuál es el valor de λ ? (b) ¿cuál es el tiempo medio interarribos? (c) ¿cuál es la tasa media de llegadas?

2. Los automóviles llegan a Joe's Service Station para un cambio de aceite cada 15 minutos, y el Tiempo interarribos tiene una distribución exponencial. La estación de servicio es capaz de atender hasta 48 automóviles en un periodo de ocho horas sin tiempo ocioso. Suponga que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria con distribución exponencial. Estime: (a) El valor de λ . (b) La tasa media de llegadas. (c) El valor de μ. (d) El tiempo medio de servicio. (e) La tasa media de servicio. 3. Una agente de inmigración en el Aeropuerto Heathrow de Londres puede procesar en promedio 120 entradas durante sus ocho horas de servicio si estuviera ocupada todo el tiempo. Si el tiempo para procesar cada entrada es una variable variable aleatoria con una distribución exponencial, (a) ¿cuál es el valor de μ? (b) ¿cuál es el tiempo medio de servicio? (c) ¿cuál es la tasa media de servicio? deter mine: 4 Para los datos del problema 2, determine: (a) La cantidad esperada de automóviles en el sistema. (b) La cantidad estimada de automóviles en la cola de espera. (d) El tiempo de espera estimado. (e) El tiempo medio en la cola de espera. (f) La probabilidad de que el sistema esté vacío.

5. Considere a la oficial de inmigración mencionada en el problema 3. Suponga que el modelo básico es una aproximación razonable de su operación. Recuerde que si ella estuviera e stuviera ocupada todo el tiempo, podría procesar 120 entradas durante su turno de ocho horas. Si en promedio llega una entrada a su estación cada seis minutos, encuentre: (a) La cantidad esperada en el sistema. (b) La cantidad estimada en la cola de espera. (c) El tiempo de espera estimado. (d) El tiempo medio en la cola de espera. (e) La probabilidad de que el sistema esté vacío. 6. Considere la esclusa La Crosse mencionada en el problema 1. Suponga que el modelo básico es una aproximación razonable a su operación. La nueva estimación de la media de tiempo interarribos para la temporada entrante es 60 minutos para barcazas, y en promedio toma 30 minutos pasar una barcaza por la esclusa. Encuentre: (a) La cantidad esperada en el sistema. (b) La cantidad estimada en la cola de espera. (c) El tiempo de espera estimado. (d) El tiempo medio en la cola de espera. (e) La probabilidad de que el sistema esté vacío. (f) El mayor tiempo promedio de servicio para el cual el tiempo de espera estimado sea menor

Mg. Teobaldo León Garc ía

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que 45 minutos.

7. Considere una cola de espera de un solo canal. Suponga que el modelo básico es una aproximación razonable a su operación. Haga un comentario sobre el siguiente esquema para estimar A: (a) Sea que N es igual al número de llegadas entre 8:00 a.m. y 4:00 p.m. (b) 2. Sea que λ = 8/N. 8. Considere el modelo básico. Sea que λ 5, y trace la cantidad esperada en el sistema para μ 6, 7, ... ,15. =

=

9. Considere el modelo básico. Sea que μ = 10, y trace la probabilidad de que el sistema esté vacío para λ = 0, 1, ... , 10. 10. Utilice las respuestas al problema 6 para mostrar que la ecuación de flujo de Little es válida. 11. Utilice la ecuación de flujo de Little y el hecho que L = λ/(μ - λ ) en el modelo básico, para deducir una expresión para W. 12. Utilice la ecuación de flujo de Little, y la expresión para tiempo medio de servicio, así como el hecho de que L = λ/(μ - λ ) en el modelo básico, para deducir la expresión para W q. 13. En Homeburg Savings and Loan, los clientes que desean comprar certificados de depósito se forman en una sola cola y son atendidos por un ejecutivo del banco específico con base en "primeras llegadas, primeras atenciones". El tiempo de servicio está normalmente distribuido con una media de cinco minutos y una desviación estándar de un minuto. Los clientes llegan a una tasa de uno cada ocho minutos. Un estudio de tiempo muestra que los clientes pasan en promedio 11.833 minutos en el sistema (es decir, esperando y siendo atendidos). ¿Cuál es la cantidad promedio de personas en el sistema? 14. Una doctora pasa, en promedio, 20 minutos con sus pacientes. Si el tiempo estimado de espera es de media hora, ¿cuál es el tiempo estimado en la cola de espera? 15. Suponga que, en el problema 14, se determina que los pacientes llegan a una tasa de siete por hora. Haga un comentario sobre este problema. 16. Resuelva del inciso (a) al (e) del problema 6 utilizando el modelo generalizado para el caso en el cual la varianza en la distribución del tiempo de servicio es igual a su media. 17. (Grupo 1) Homeburg Savings and Loan emplea tres cajeros los sábados. El tiempo interarribos y el tiempo de servicio a los clientes tienen ambos una distribución exponencial. Los clientes llegan a una tasa de 20 por hora, y el tiempo medio de servicio es de seis minutos. Los clientes forman una sola cola de espera, y son atendidos por el primer cajero disponible. Bajo condiciones de estado estable, encuentre: (a) La probabilidad de que no haya clientes esperando o siendo atendidos. (b) La cantidad de gente estimada en la cola de espera. (c) El tiempo de espera estimado en la cola de espera. (d) El tiempo de espera estimado. (e) La cantidad estimada de gente en el sistema. (f) ¿Como se modifican los resultados si la tasa de llegada disminuye y el tiempo de servicio aumenta? 18. (Grupo 2) Darden Business School tiene diez conexiones Ethemet de alta velocidad a Internet para uso del profesorado. Si un miembro del profesorado intenta registrarse y todas las conexiones están ocupadas, se le dice que el servidor está ocupado y debe intentarlo de nuevo más tarde. Para estimar las características del sistema, el director de tecnología de la información desea saber los



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valores en estado estable de las características, suponiendo una población solicitante finita de 100 Y una cola de espera infinita. (Ésta es una aproximación, porque los miembros del profesorado que son rechazados por el sistema deben intentarlo de nuevo.) Cada miembro del profesorado desea examinar la World Wide Web una vez cada ocho horas en promedio, y el tiempo interarribos está distribuido ex ponencialmente. Los miembros del profesorado se pasan en promedio 30 minutos navegando por la Web una vez que están conectados, distribuidos de manera exponencial. Encuentre: (a) La probabilidad de que todos los puertos estén desocupados. (b) La cantidad de gente estimada en la cola de espera. (c) El tiempo de espera estimado en la cola. (d) El tiempo de espera estimado. (e) La cantidad esperada en el sistema.

19. Describa con sus palabras un sistema de colas de espera M/D/3. 20. Para el problema 18, estime la probabilidad de que todas las conexiones estén ocupadas utilizando la plantilla de hoja de cálculo ("finiteQ") presentada en el capítulo. (Suponga un modelo M/G/s con eliminación de clientes bloqueados, una población solicitante infinita y una tasa de llegadas que sea 100 veces la de un solo miembro del profesorado.) 21. (Grupo 3) STECO tiene 100 representantes de ventas en Estados Unidos. Envían los pedidos a una oficina central, donde un empleado de oficina, utilizando un sistema de control de inventarios central, confirma la disponibilidad del producto, el precio y la fecha de entrega. El representante llama directamente desde la oficina del cliente antes de firmar un contrato. Las llamadas son mantenidas en la cola de espera y atendidas por el primer oficinista disponible con base en un sistema de "primeras llegadas, primeras atenciones". Las llamadas llegan a una tasa de 40 por hora, y el tiempo medio de servicio es de seis minutos. La administración estima que la llamada de un representante de ventas y la colocación de su pedido cuesta $20 por hora, mientras que son $12 por hora utilizar un empleado de oficina. Haga un modelo de esta situación como una cola de espera M/M/s con una población solicitante infinita, y calcule el costo total por hora esperado si STECO contrata cinco empleados de oficina. 22. Encuentre el costo total esperado para el sistema del problema 21 si STECO emplea seis oficinistas. 23. Utilice las soluciones de los problemas 21 y 22 para determinar el valor de la relación Cs/Cw en la cual a STECO le sea indiferente emplear cinco o seis empleados de oficina. 24. En una celda específica de manufactura, un reparador tiene que dar mantenimiento a cuatro máquinas. Para las máquinas, el tiempo entre fallas está distribuido exponencialmente, con un promedio de cuatro horas. En promedio, toma media hora arreglar una máquina. (a) Encuentre la probabilidad de que haya O, 1, 2, 3 o 4 máquinas en reparación. (b) Encuentre la cantidad promedio de máquinas en reparación. 25. Un conmutador telefónico tiene siete líneas. Las llamadas llegan a una tasa de dos por minuto, y el tiempo interarribos tiene una distribución exponencial. Las conversaciones tienen una distribución normal, con una media de cinco minutos y una desviación estándar de un minuto. Cuando las siete líneas están ocupadas, quien llama simplemente recibe una señal de ocupado. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres líneas estén ocupadas? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté totalmente ocupado? (c) ¿Cuál es la cantidad promedio de servidores ocupados? 26. (Grupo 4) Un grupo de investigación de mercados tiene tres entrevistadores en cabinas adyacentes en un centro comercial suburbano. Una persona interpela a la gente que camina por el centro y les pregunta si están dispuestos a ser entrevistados. Ellos estiman que los clientes que acceden a la entrevista llegan a una tasa de 15 por hora, y el tiempo interarribos tiene una distribución exponencial. En


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promedio, la entrevista ocupa 15 minutos. Si todas las cabinas están ocupadas, la persona que ha accedido a ser entrevistada no espera y simplemente se va a atender sus asuntos. (a) Haga un comentario sobre el siguiente enunciado: Dado que λ > μs , este sistema crecerá sin límite. (b) Calcule la probabilidad de que exactamente un entrevistador esté ocupado. (c) Encuentre la probabilidad de que los tres entrevistadores estén ocupados. (d) Encuentre la cantidad promedio de entrevistadores ocupados. .

27. Considere de nuevo la esclusa La Crosse mencionada en los problemas 1 y 6. Suponga que la media de tiempo interarribos es de 60 minutos y que en promedio toma 30 minutos mover la barcaza a través de la esclusa, pero que la desviación estándar de este tiempo de servicio es de tres minutos. Vuelva a responder los incisos (a) a (e) del problema 6. ¿Cómo cambiaron sus respuestas, y por qué? 28. Las solicitudes de reparación son manejadas por un reparador general en un complejo de departamentos con base en "primeras llegadas, primeras atenciones". Las solicitudes llegan a una tasa de una por hora en promedio. El tiempo que le toma al reparador hacer la reparación está normalmente distribuido, con una media de 30 minutos y una desviación estándar de 15 minutos. ¿Qué tan largo es en promedio el tiempo entre la solicitud de una reparación y la terminación de la misma? 29. Larry Lujack no está feliz con los largos tiempos de entrega que está teniendo que cotizar a los clientes (vea la sección 12.10). Él piensa que PROTRAC empezará a perder el negocio ante sus competidores, que pueden prometer tiempos de entregas menores. Larry inicialmente supuso que los tiempos de proceso estaban exponencialmente distribuidos. Después de examinar más de cerca los datos, descubre que 90% de las veces toma tres horas procesar una unidad, ya sea en la estación de trabajo (WS) 1 o 2, y 10% de las veces toma 13 horas ya sea en una o en otra. Por lo tanto, el tiempo promedio es 0.9*3 + 0.1*13 = 4.0 horas. Después de hablar con el supervisor de producción de estas estaciones, se entera de que este largo tiempo se debe a fallas en el equipo cuando se procesa una unidad. De manera invariable, se necesitan 10 horas para reparar el equipo a partir del momento en que falla. Larry ha oído que el mantenimiento preventivo puede reducir la probabilidad de fallas en el equipo y se pregunta cuál será el valor de reducir la probabilidad de falla de 10% a 1%. (a) Utilice Crystal Ball o @RISK para encontrar el tiempo promedio para terminar 20 unidades y el 99 percentil del tiempo, si en cada estación hay una probabilidad de 10% de fallas en el equipo mientras se procesa una unidad. ¿Cómo se comparan sus respuestas con aquellas de la sección 12.10, donde los tiempos de proceso estaban distribuidos exponencialmente? (b) Ahora suponga que en cada estación de trabajo hay una probabilidad de 1 % de fallas en el equipo mientras se procesa una unidad. ¿Cuál es el valor del mantenimiento preventivo si reduce las fallas en el equipo a este nivel? 30. Suponga que Larry Lujack tiene que prometer otro pedido (observe la sección 12.10). Este pedido es también de 20 unidades, pero el tiempo de proceso promedio es de seis horas por unidad en la estación de trabajo 1 y cuatro horas por unidad en la estación de trabajo 2. (a) Utilizando el modelo básico, estime el tiempo promedio necesario para completar el pedido. (b) Suponiendo que los tiempos de proceso tienen una distribución exponencial, utilice una simulación de hoja de cálculo para obtener el tiempo promedio. ¿Cómo se compara con su respuesta del inciso (a)? (c) Cuando los tiempos de llegada y de servicio tienen una distribución exponencial, entonces en el modelo básico los tiempos de espera más los de proceso están distribuidos exponencialmente. Utilice este hecho para estimar sin simulación el 99 percentil del tiempo que toma terminar 20 unidades. (d) Utilice Crystal Ball o @RlSK para encontrar el 99 percentil del tiempo que toma completar 20 unidades. Compárelo con su respuesta al inciso (c). (e) Suponga que los tiempos fueron invertidos; esto es, que el procesamiento tomara un promedio de cuatro horas por unidad en la estación de trabajo 1 y seis horas por unidad en la estación de trabajo 2. ¿Puede utilizar el modelo básico para estimar la media y el 99% fráctil? ¿Por qué sí o por qué no? Utilice la simulación y compárela con sus respuestas a los inciso s (b) y (d).



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CASO PRÁCTICO: ¿CUÁNTOS OPERADORES? (Grupo 1) L. L. Bean está consciente de la importancia que tienen las personas para que a su vez él tenga su propio éxito. El énfasis en la capacitación y las relaciones laborales nos dice que L. L. Bean comprende un hecho básico de la administración: las personas juegan un papel importante para determinar qué tan bien opera la mayor parte de los sistemas. Es obvio que una preocupación por las personas dentro de una organización se refleja en la manera en que los individuos son tratados cotidianamente. Puede no ser tan obvio que esta misma preocupación juegue un papel importante al diseñar sistemas empresariales. Los pedidos por correo son el núcleo central de los negocios de L. L. Bean. Este negocio está basado en pedidos recibidos por teléfono. Las líneas telefónicas de Bean están abiertas 24 horas al día, 365 días al año. Tienen una tasa promedio de 78,000 llamadas al día. Un momento de reflexión sugiere que estas llamadas no llegan siguiendo una tasa uniforme. Resulta claro que existen efectos estacionales, así como variabilidad cada día. Para cumplir su necesidad de operadores de teléfonos, Bean ofrece tres tipos de convenios de trabajo: tiempo completo, medio tiempo permanente y temporal. Esta estrategia permite una gran flexibilidad para ajustar el número de operadores en servicio en cualquier momento. También da flexibilidad a los empleados, que pueden estructurar un convenio que se ajuste a otras demandas de su tiempo. Sin embargo, la molesta pregunta permanece: "¿Cuántos operadores necesita Bean, y cuándo los necesita?" Parece claro que la empresa desea equilibrar el servicio al cliente con el gasto en personal. Su método es considerar cada una de las 168 horas de la semana como un periodo de asignación de personal. Para cada hora, se hace un modelo del sistema como una cola de espera M/M/s; esto es, una cola de espera con múltiples servidores, con tiempos de llegada y de servicio exponenciales y s servidores (operadores). La tasa de llegadas y la tasa de servicio están estimadas a partir de datos históricos. El equilibrio en los costos se hace de manera intuitiva: un estándar de servicio que la administración considera apropiado es la base del diseño. En particular, el sistema de Bean está diseñado de forma que no más de 15% de las llamadas espere más de veinte segundos antes de encontrar un operador. Observemos una versión simplificada de este modelo. Suponga que hay una sola línea telefónica que responde a quienes llaman al número 1-800 en el periodo de 1 a.m. a 5 a.m. (por supuesto, un horario dramáticamente lento). La empresa ha reunido algunos datos sobre esta línea (anexo 1). Podemos ver que la primera llamada llega a los 0.45 minutos y toma 3.66 minutos procesar el pedido por un total de $51.40. Cuando el siguiente cliente llama a los 0.945 minutos, el operador todavía está atendiendo al primer cliente, así que él o ella obtienen una señal de ocupado. La hoja de cálculo (BEAN.XLS) tiene datos de las primeras 100 llamadas telefónicas. Preguntas

1. Haga un análisis de los datos para determinar cuál es la duración promedio de una llamada. ¿Cuál es el tiempo interarribos promedio? ¿Cuál es el valor promedio del pedido? 2. Trace e] histograma de estos datos y decida si está de acuerdo en que una distribución exponencial es la distribución adecuada para utilizarse en la tasa de llegadas. ¿Para la tasa de servicio? (SUGERENCIA: Crystal Ball tiene una característica interconstruida para ajustar datos como éstos a la mejor distribución probabilística.) 3. ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado un operador? 4. ¿Qué porcentaje de las llamadas se pierde debido a la señal de ocupado?

El modelo actual da una seña] de ocupado si alguien más está siendo atendido, pero L. L. Bean ciertamente podría añadir más líneas y poner a los clientes en espera hasta que su único operador sea capaz de atenderlos. Después de que esas líneas adicionales estén llenas, los otros clientes recibirán la



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señal de ocupado. Suponga que el costo fijo de cada línea adicional es de $35 al mes y que ]a llamada efectuada promedio al número 1-800 ]e cuesta a ]a empresa $2 adicionales en promedio por llamada. L. L. Bean se pregunta cómo analizar los pros y los contras si añadiera ]a capacidad de poner a los clientes en espera. Suponga que existe un margen de utilidad de 45% en todos los pedidos colocados. Más preguntas

5. Utilice la plantilla "finiteQ" para analizar el número aumentado de llamadas que se podría manejar si L. L. Bean añadiera 1, 2, 3, 4 o 5 líneas extras. ¿Cuáles ingresos y utilidades adicionales se generarían para cada uno de estos escenarios? 6. ¿La utilidad adicional vale la pena en comparación con el costo esperado? ¿Cuál es el número óptimo de líneas que se debe añadir?


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PROBLEMAS DE COLAS (Extraídos del libro de TAHA) 16-3 La tabla que sigue resume datos que representan el número de llegadas n por hora y la frecuencia asociada de incidencias fn. Demuestre la hipótesis de que los datos se generan a partir de un flujo de Poisson. Si se acepta la hipótesis, escriba la función densidad de Poisson que utilizaría usted al analizar la situación de espera. n fn

0 6

1 15

2 22

3 24

4 15

5 9

6 4

7 3

8 2

≥ 9

0

16-4 Los trabajos llegan a un taller de maquinaria según un flujo de Poisson a la tasa de 10 por día. Una máquina automática representa el cuello de botella en el taller. Se estima que un incremento unitario en la tasa de producción de la máquina costará $100 por semana. Los trabajos demorados normalmente generan negocios perdidos, se estiman en $200 por trabajo por semana. Determine la velocidad óptima de la máquina en unidades de la tasa de producción. 16-5 Para (M/M/1):(GD/inf/inf) encuentre la tasa óptima de servicio J-L dado que el costo por unidad de aumento en J-L por unidad de tiempo es $10, mientras que el costo por unidad de tiempo de espera por cliente es $1. La tasa de llegadas es de 20 por unidad de tiempo. ,

16-6 Un inventario se agota y se vuelve a surtir según distribuciones de Poisson. Los tiempos medios entre vaciados y resurtida son iguales a 1/μ y 1/λ , respectivamente. Este proceso puede verse como un modelo de colas (M/M / 1): (GD/inf/inf). Suponga que cada unidad de tiempo que el inventario está vacío, se incurre en un costo de penalización C2. También, cada unidad de, tiempo que se tienen disponibles n artículos en inventario se tiene un costo de C1.n donde C2 > C1 (a) Halle una expresión para el costo total esperado por unidad de tiempo. (b) ¿Cuál es el valor óptimo de ρ = λ/μ? 16-7 (Grupo 2) Una compañía vende dos modelos de restaurante privilegiados. El modelo A tiene una capacidad de 80 comensales, mientras que el modelo B puede dar cabida a 100. El costo mensual de operación del modelo A es de $1 000 Y el de B es de $1 200. Un prospecto de inversionista desea erigir un restaurante en su ciudad, y él estima que sus clientes llegarán según una distribución de Poisson a la tasa de 30 por hora. El modelo A ofrecerá servicio a la tasa de 20 clientes por hora y el modelo B servirá a 35 comensales por hora. Cuando el restaurante esté lleno a toda su capacidad, los nuevos clientes que lleguen normalmente se irán del lugar sin buscar ser atendidos. La pérdida por cliente por día se estima en cerca de $8.00. Una demora en la atención a los clientes que esperan dentro del restaurante se calcula costará al dueño alrededor de $0.40 por comensal por hora debido a la pérdida de la buena voluntad del cliente. ¿Qué modelo debe elegir el propietario del restaurante? Supóngase que el restaurante estará abierto 10 horas diarias. 16-10 Se están considerando dos mecánicos para atender 10 máquinas en un taller. Al primer mecánico se le pagarán $3 por hora y puede reparar máquinas a razón de 5 por hora. Al segundo mecánico se le pagarán S5 por hora, pero éste puede reparar máquinas a razón de 8 por hora. Se estima que el tiempo que está parada la máquina cuesta $8 por hora. Suponiendo que las máquinas se descomponen según una distribución de Poisson con media de 4 por hora. y el tiempo de reparación es exponencial, ¿cuál mecánico deberá contratarse? 16-11 Cierta unidad de propulsión de tubería que opera continuamente sobre una base de 24 horas requiere servicio en intervalos de tiempo exponenciales con tiempo medio entre descomposturas igual a 20 horas. Un mecánico puede dar servicio a un propulsor descompuesto en 10 horas en promedio



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con tiempo de servicio exponencial. En una estación con 10 propulsores y dos mecánicos en servicio todo el tiempo, cada mecánico recibe un salado de $7.00 por hora. Se estima que las pérdidas en el programa de tubería ascienden a S15.00 por hora por bomba descompuesta. La compañía considera contratar a otro mecánico. (a) Determine el ahorro en los costos por hora que se logrará si se contrata al otro mecánico. (b) ¿Cuál es la pérdida en el programa en unidades monetarias por descompostura con dos técnicos en servicio? (c) ¿Cuál es la pérdida en el programa en unidades monetarias por descompostura con tres mecánicos en servicio? 16-12 Una compañía renta una línea WATS para dar servicio telefónico en todos los estados por $2000 al mes. La oficina está abierta 200 horas hábiles al mes. En el tiempo restante el servicio de la línea WATS se utiliza para otros fines y no está disponible para la compañía. El acceso a la línea WATS durante horas de trabajo se extiende a 100 ejecutivos y cada uno de ellos puede necesitar la línea en cualquier instante, pero en un promedio de dos veces por cada día de 8 horas (supóngase tiempo exponencial entre llamadas). Un ejecutivo esperará siempre a utilizar la línea WATS si ésta está ocupada a un costo de incomodidad estimado de 1 centavo por minuto de espera. Se supone que no se necesitará hacer otras llamadas mientras el ejecutivo espera para hacer cierta llamada. El costo normal de las llamadas (sin utilizar la línea WATS) observa un promedio de 50 centavos por minuto y la duración de cada llamada es exponencial con media de 6 minutos. La compañía considera rentar (al mismo precio) una segunda línea WATS para ayudar a manejar el intenso tráfico de llamadas. (a) ¿Ahorra dinero a la compañía la única línea WATS con que cuenta en comparación con un sistema "sin línea WATS"? ¿Cuánto está ganando o perdiendo la compañía por mes en comparación con el sistema "sin línea WATS"? (b) ¿Debe la compañía rentar un segundo sistema de línea WATS? ¿Cuánto ganaría o perdería en comparación con el sistema de una sola línea WATS rentando una segunda línea? 16-13 Un taller utiliza 10 máquinas idénticas. La ganancia por máquina es $4.00 por hora de operación. Cada máquina se descompone en promedio una vez cada 7 horas. Una persona puede reparar una máquina en 4 horas en promedio, pero el tiempo de reparación real varía según una distribución exponencial. El salario del mecánico es $6.00 por hora. Determine lo siguiente: (a) El número de mecánicos que minimizará el costo total. (b) El número de mecánicos que se necesita de manera que el número estimado de máquinas descompuestas sea menor que 4. (c) El número de mecánicos que se necesita de manera que la demora esperada hasta que se repare una máquina sea menor que 4 horas. CASOS

Caso 16-1 (Grupo 3) Un centro contra el maltrato a infantes administrado por el estado opera de 9:00 am. á 9:00 pm todos los días. Las llamadas que reportan casos de maltrato llegan, como es de esperarse, en forma completamente aleatoria. La tabla siguiente indica e/número de llamadas que se registran sobre una base por hora en un periodo de siete días. Hora de inicio Día 1 9:00 4 10:00 6 11:00 3 12:00 8 13:00 10 14:00 8 15:00 10 16:00 8


Número total de llamadas durante una hora dada Día 2 Día 3 Día 4 Día 5 Día 6 Día 7 6 8 4 5 3 4 5 5 3 6 4 7 9 6 8 4 7 5 11 10 5 15 12 9 9 8 7 10 16 6 6 10 12 12 11 10 9 12 4 10 6 8 6 9 14 12 10 7

9


17:00 18:00 19:00 20:00 21:00

5 5 3 4 1

10 4 4 3 2

10 6 6 2 1

8 5 2 2 3

10 6 3 2 3

10 7 4 3 5

9 5 5

4 3

La tabla no considera llamadas perdidas que se generan en virtud de que la persona que hace la llamada recibe señal de ocupado. Para las llamadas que realmente son recibidas, cada una dura, al azar hasta 12 minutos con un promedio de 7 minutos. Llamadas anteriores señalan que el centro ha experimentado una tasa de incremento anual del 15% en llamadas telefónicas. En el centro se desea determinar el número de líneas telefónicas que deben instalarse para ofrecer servicio adecuado ahora y en el futuro. En particular, se da especial atención a la reducción del efecto adverso de una persona que llama y recibe señal de ocupado.

Caso 16-2 (Grupo 4) Una compañía manufacturera emplea tres camiones de carga para transportar materiales entre seis departamentos. Los usuarios de los camiones han venido demandando que se agregue un cuarto camión a la flotilla para aliviar el problema de demoras excesivas. Los camiones no tienen una estación base a la cual se les pueda llamar. En cambio, la administración considera que es más efectivo mantener los camiones en movimiento (semi) continuo por toda la fábrica .. Un departamento que solicite el uso de un camión debe esperar a que éste llegue a ese lugar. Si el camión está disponible, responderá a la llamada. De lo contrario, el departamento debe esperar a que llegue otro camión. Algunos datos que se recolectan en relación con el número de llamadas que se reciben de todos los departamentos son Numero de llamada por Frecuencia hora 0 30 1 90 2

99

3 4 5 6

102 120 100 60

1

47

8 9 10 11 12

30 20 12 10 4

El tiempo de servicio para cada departamento (en minutos) es aproximadamente el mismo. La tabla que sigue muestra un resumen de un histograma de tiempo de servicio común para uno de los departamentos Tiempo de servicio t Frecuencia 61 0 ≤ t < 10 34 10 ≤ t < 20 15 20 ≤ t <30 30 ≤ t < 40 40 ≤ t < 50 50 ≤ t < 60


5 8

4

10


60 ≤ t < 70 70 ≤ t < 80 80 ≤ t < 90 90 ≤ t < 100

4

3 2

2

¿Qué tipo de recomendación haría usted a la administración de esta empresa?


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