PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y PROBLEMAS ALGEBRAICOS En su esencia las matemáticas son consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Algunos llaman a las matemáticas ciencias exactas. En este trabajo se abordan algunos principios referentes a la aritmética y al álgebra, la intención de este escrito no es presentar un compendio de ejercicios, sino, más bien, aportar algunos principios básicos de esta ciencia tan necesaria en la vida diaria. Problemas aritméticos Para empezar a abordar el tema es necesario dar una visión general de lo que representa la Aritmética, que literalmente significa el arte de contar. La palabra deriva del griego arithmētikē, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technē, que se refiere a un arte o habilidad. La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición, sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra número se refiere también a los números negativos, irracionales, algebraicos y fracciones. Las propiedades aritméticas de la suma y la multiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra. DEFINICIONES FUNDAMENTALES: La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo. Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera de encontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos. La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más
números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. La multiplicación es simplemente una suma repetida. La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12:4), una línea horizontal ( ) o una raya inclinada (12/4). La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3, o es 3. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede ser dividido exactamente por todos y cada uno de ellos. Por ejemplo, para encontrar el m.c.m. de tres números 27, 63 y 75, primero se descomponen en factores: 27 = 33, 63 = 32 · 7, y 75 = 3 · 52. El m.c.m. debe contener los factores 33, 7 y 52; por tanto, 33 · 7 · 52 = 4.725 es el menor número que se puede dividir exactamente entre 27, 63 y 75. El mayor divisor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (M.C.D.). Por ejemplo, dados 9, 15 y 27, el M.C.D. es 3, que se encuentra fácilmente examinando la descomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 32, 15 = 3 · 5, 27 = 33; el único factor que aparece en los tres números es 3. a continuación se muestran algunos ejemplos de lo anterior. ⇒ Si compré ½ kilo de guayabas y ¾ de kilo de uvas ¿Cuántos kilogramos compré en total? ⇒ Paula va a hacer moños con 1/3 de metro de listón cada uno. Si necesita 114 moños ¿Cuánto listón necesita comprar? ⇒ 2x8–3+5= Ejercicios Algebraicos Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras. El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.
El álgebra se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. La expresión del algebra son las ecuaciones es una igualdad entre expresiones algebraicas. Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede
tener
una,
ninguna
o
varias
soluciones.
Por
ejemplo:
3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4. x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15. Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4. Algunos ejercicios algebraicos simples serían los siguientes: Encuentra el número que sigue: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 Encuentra el número que sigue: 1, 4, 9, 16, 25, 36 Don Juan, el dueño de la frutería tiene 252 kilos de naranjas, quiere repartir las naranjas en bolsas de dos y cinco kilos. ¿Cuántas bolsas necesita para empacar todas las naranjas si utiliza la misma cantidad de bolsas de dos kilos que de cinco kilos? R.= 72 bolsas en total 36 bolsas de 2kg = 72 kg. 36 bolsas de 5kg =180 kg. Total: 252 kg. La edad de Luis es 5 años más que el doble de la edad de Paty. R.= x = 5 + 2y El doble del producto de dos números es 48. R.= 2(x.y) = 48
