11.2 Model Modelos os estáticos estáticos de cantida cantidad d económic económica a de pedido (CEP (CEP,, o EOQ)
TCU y 1 , w2 = y*
w*
=
=
KD y
+
D - a 2 -
h5 y1 1
21 1
A ph1 1
2KD1 p p
A p1 p p
+
D - a
2KDh1 1
w62
+
435
pw2
D - a y 2
h2
2 D a
-
2
h2
+
11.2.22 Canti 11.2. Cantidad dad económica económica de de pedido con con discontinu discontinuidade idadess de precio precio
Este modelo es el mismo de la sección 11.2.1, con la excepción de que el artículo en inventario se puede comprar con descuento si el tamaño del pedido y es mayor que determinado límite q; esto es, que el precio unitario de compra c es c
=
e
c1, c2,
si y si y
… 7
f,
q q
c1
7
c2
Por consiguiente
Precio de compra por unidad de tiempo
=
d
c1 y t 0 c2 y t 0
=
=
c1 y
1 yD2 c2 y
1 yD2
=
Dc1, y
…
q
=
Dc2, y
7
q
Al usar la notación de la sección 11.2.1, el costo total por unidad de tiempo es 1 2 = TCU y
d
TCU1 1 y2 = Dc1
+
KD y
+
h y, y
…
q
TCU2 1 y2 = Dc2
+
KD y
+
h y, y
7
q
2 2
Las funciones TCU1 y TCU2 se grafican en la figura 11.3. Como las dos funciones sólo difieren en una cantidad constante, sus mínimos se presentan en ym
Costo
=
A h
2KD
FIGURA 11.3 TCU 1 TCU 2
I
II ym
I II Q
y
Función de costo de inventario con discontinuidades en el precio
436
Capítulo 11
Modelos determinísticos de inventarios
La función de costo TCU( y) comienza a la izquierda, con TCU 1( y) y baja hasta TCU2( y) en el punto de discontinuidad de precio q. La figura 11.3 muestra que la determinación de la cantidad económica de pedido y* depende de dónde está el punto de discontinuidad de precio q con respecto a las zonas I, II y III, limitadas por (0, ym), ( ym, Q) y (Q, q ), respectivamente. El valor de Q ( ym) se determina con la ecuación
TCU2 1 Q2 = TCU1 1 ym2 o sea c2D
+
KD Q
+
hQ
2
TCU1 1 ym2
=
Esto reduce la ecuación de Q a Q2
+
a 21
c2D
-
TCU1 1 ym22
b
h
Q
2KD
+
h
=
0
La figura 11.4 muestra cómo se determina la cantidad óptima y* que se busca: y*
=
e , , sisi ym q
q está en las zonas I o q está en la zona II
III
Los pasos para determinar y* son Paso 1. FIGURA 11.4
A
2KD Determinar ym = . Si q está en la zona I, entonces y* ym; detenerse. En h caso contrario continuar en el paso 2. Costo
Solución óptima de los problemas de inventario con discontinuidades en el precio
Costo TCU 1
TCU 1
TCU 2
TCU 2
Mínimo
Mínimo q
ym
y
Q
ym q Q
Caso 1: q cae en la zona I, y* ym
Caso 2: q cae en la zona II, y* q
Costo TCU 1
TCU 2
Mínimo
ym
Qq
Caso 3: q cae en la zona III, y* ym
y
y
11.2 Modelos estáticos de cantidad económica de pedido (CEP, o EOQ)
Paso 2.
437
Determinar Q ( ym) con la ecuación de Q: Q2
+
a 21
c2D
-
TCU1 1 ym22
b
h
Q
+
2KD h
=
0
Definir las zonas II y III. Si q está en la zona II, entonces y* q. En caso contrario, q está en la zona III y y* ym. Ejemplo 11.2-2
LubeCar se especializa en cambios rápidos de aceite para motor de automóvil. El servicio compra aceite para motor a granel, a $3 por galón. Si LubeCar compra más de 100 galones, obtiene un descuento de $2.50 por galón. En el servicio se atienden unos 150 autos diarios, y cada cambio de aceite requiere de 1.25 galones. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0.02 por galón y por día. También, el costo de colocar un pedido de aceite a granel es de $20. Hay un tiempo de 2 días para la entrega. Determine la política óptima de inventario. El consumo diario de aceite es D 150 automóviles por día 1.25 galones por automóvil 187.5 galones por día También los datos son $0.02 por galón por día K $20 por pedido L 2 días c1 $3 por galón c2 $2.50 por galón q 1000 galones h
Paso 1.
Calcular
A h A
20 * 187.5 = 612.37 galones 0.02 Como q 100 es mayor que ym, continuamos en el paso 2. Paso 2. Determinar Q ym
=
2KD
1 m2 = c1D TCU y =
3
2
=
*
+
*
KD ym
187.5
+
+
hym
2
20 * 187.5 612.37
+
0.02
612.37 2
*
574.75 En consecuencia, la ecuación de Q se calcula como sigue: 2 * 1 2.5 * 187.5 - 574.752 2 * 20 * 187.5 Q2 + Q + 0.02 0.02 o sea Q2 - 10599.74Q + 375000 = 0 =
a
b
=
0
438
Capítulo 11
Modelos determinísticos de inventarios
El resultado de esto es Q = 10564.25 1 7 ym2 . Entonces, Zona II = 1 612.37, 10564.252 Zona III = 1 10564.25, q 2 Como q ( 1000) cae en la zona II, la cantidad óptima de pedido es y* q 1000 galones. Como el tiempo de entrega es de 2 días, el punto de reorden es 2 D 2 187.5 375 galones. Así, la política de inventario óptimo es Pedir 1000 galones cuando el nivel de inventario baja a 375 galones
La plantilla ch11EOQ.xls de Excel está diseñada para manejar el problema general de cantidad económica de pedido que se describió en el problema 9, conjunto 11.2a, cuando se permiten tasa uniforme de producción y faltante. También resuelve el caso de discontinuidades en el precio, que se describió arriba. La figura 11.5 muestra la aplicación del modelo al problema de discontinuidades de precio del ejemplo 11.2-2. El uso del modelo es directo. Se capturan los datos del modelo en la sección de entrada de datos (C3:C11). Se requiere anotar –1 en la casilla si no se aplica un Solución de cantidad económica de pedido en hoja de cálculo.
FIGURA 11.5
Solución del ejemplo 11.2-2 (CEP, o EOQ con discontinuidades en el precio) con Excel
11.2 Modelos estáticos de cantidad económica de pedido (CEP, o EOQ)
439
elemento de dato al modelo. Por ejemplo, para resolver modelos CEP, o EOQ sin discontinuidades de precio, se escribe –1 como C 1, q y c2 (celdas C3:C5). El sistema muestra los mensa jes correspondientes de error para resolver conflictos entre datos. El resultado del modelo muestra la política óptima de inventario y también los cálculos intermedios del problema. CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.2B 1.
2.
3.
4. 5.
Se tiene el caso del servicio de lavandería del hotel, del problema 6, conjunto de problemas 11.2a. La tarifa normal por lavar una toalla sucia es de $0.60, pero el servicio de lavandería sólo cobra $0.50 si el hotel les manda un mínimo de 2500 toallas. ¿Debe aprovechar el hotel ese descuento? Un artículo se consume con la tasa de 30 unidades diarias. El costo de almacenamiento por unidad y por día es de $0.05 y el costo de preparación es de $100. Suponga que no se permite la faltante y que el costo de compra por unidad es de $10 por cualquier cantidad menor de 500 unidades, y de $8 en caso contrario. a) Determine la política de inventario óptimo cuando el tiempo de entrega es de 21 días. b) Use la hoja de cálculo ch11EOQ.xls para resolver el problema. Un artículo se vende en $25 por unidad, pero se ofrece un descuento en lotes de 150 unidades o más. Una empresa usa este artículo, con una tasa de 20 unidades diarias. El costo de preparación para pedir un lote es de $50, y el costo de almacenamiento por unidad y por día es de $0.30. ¿Debe aprovechar la empresa el descuento? En el problema 3, determine el intervalo de porcentaje de descuento de precio que, cuando se ofrezca con lotes de 150 unidades o más no cause ventaja financiera alguna a la empresa. En el modelo de inventario descrito en esta sección, suponga que el costo de almacenamiento por unidad y por unidad de tiempo es h1 para cantidades menores que q y h2 en caso contrario; h1 h2. Indique cómo determinar el tamaño económico de lote.
11.2.3 Cantidad económica de pedido de varios artículos con limitación de almacén
Este modelo se aplica al caso con n ( 1) artículos cuyo inventario individual fluctúa de acuerdo con la pauta de la figura 11.1 (no se permiten faltantes). La diferencia está en que los artículos compiten por un espacio limitado de almacenamiento. Se definirán, para el artículo i, i 1, 2, ..., n: Di Tasa de demanda K i Costo de preparación hi Costo unitario de almacenamiento por unidad de tiempo yi Cantidad de pedido ai Área de almacenamiento necesaria por unidad de inventario A Área máxima disponible de almacenamiento para los n artículos
Suponiendo que no hay faltantes, el modelo matemático que representa la situación del inventario es n
Minimizar TCU 1 y1, y2, p , yn2 = a i 1 =
a
K iDi yi
+
h y i i
2
b
440
Capítulo 11
Modelos determinísticos de inventarios
sujeta a n
ai yi … A a i 1 yi 7 0, i = 1, 2, p , Los pasos para resolver el problema son los siguientes. =
Paso 1.
n
Calcular los valores óptimos no restringidos de las cantidades de pedido con: 2K iDi , i = 1, 2, p , n y*i =
A
hi
Comprobar si los valores óptimos no restringidos yi* satisfacen la restricción de almacenamiento. Si la satisfacen, detenerse; la solución yi*, i 1, 2, ..., n es óptima. En caso contrario seguir en el paso 3. Paso 3. Se debe satisfacer la restricción del almacenamiento en forma de ecuación. Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los valores restringidos óptimos de las cantidades de pedido. Paso 2.
En el paso 3, la función de Lagrange se formula como sigue:
aa aa 2 b n
L1 , y1, y2,
p
1 1, y2, , yn2 = TCU y n
a
K iDi =a yi i=1
+
p
, yn2 -
i=1
ai yi
-
n
h y i i
-
i=1
ai yi
-
b b
A
A
donde 1 6 02 es el multiplicador de Lagrange.1 Como la función de Lagrange es convexa, los valores óptimos de yi y se determinan con la siguiente condición necesaria: 0L 0 yi 0L 0
= -
K iDi
+
2
yi
hi
2
- ai =
0
n
= -
ai yi a i 1
+
A
=
0
=
La segunda ecuación indica que se debe satisfacer la restricción en forma de ecuación para el óptimo. De la primera ecuación, y*i
=
A
2K iDi hi - 2*ai
La fórmula indica que yi* depende del valor de *. Para * ción. 1Véanse
=
0, y*i da la solución sin restric-
los detalles del método de Lagrange en la sección 20.1.1. La aplicación del método es correcta en este caso, porque TCU( y1, y2, ..., yn) es convexa y el problema tiene una sola restricción lineal; por consiguiente su espacio de soluciones es convexo. Puede suceder que el procedimiento no sea correcto bajo otras condiciones, o cuando el problema tenga más de una restricción, como se explica en la sección 20.1.2.
11.2 Modelos estáticos de cantidad económica de pedido (CEP, o EOQ)
441
El valor de * se puede determinar como sigue: como por definición 6 0 para el caso de minimización, se disminuye en forma sucesiva una cantidad razonablemente pequeña, y se sustituye en la fórmula para calcular la y*i asociada. La * deseada produce los valores de y*i que satisfacen la restricción de almacenamiento en forma de ecuación.
Ejemplo 11.2-3
Los datos siguientes describen tres artículos de inventario: Artículo i K i ($)
Di (unidades por día)
hi ($)
ai 1 ft22
1 10 2 0.30 1 2 5 4 0.10 1 3 15 4 0.20 1 Área total disponible para almacenamiento 25 pies2
Los cálculos asociados con el modelo son sencillos, pero tediosos. Se proporciona la plantilla de hoja de cálculo ch11ConstrainedEOQ.xls para subsanar esta dificultad. La figura 11.6 muestra la aplicación de la plantilla a los datos de este ejemplo. La sección de datos contiene todos los parámetros necesarios para todos los artículos. El valor inicial de ( Initial Lambda, lambda inicial) se suele igualar a cero, y el decremento de ( Lambda decrement ) se establece en un valor razonable. Estos valores iniciales se pueden ajustar para asegurar cualquier grado de exactitud en los cálculos, como se explicará en breve. La plantilla puede manejar un máximo de 10 artículos. También está diseñada para aceptar problemas en los que la restricción tiene la forma n
ai
a i 1 yi
…
A
=
Esta clase de restricción puede surgir en otras situaciones, como se ve en el problema 4, con junto 11.2c. Para usar esta opción debe poner 1 en la celda G4 de la plantilla. FIGURA 11.6
Solución del modelo de almacenamiento del ejemplo 11.2-3, con Excel
442
Capítulo 11
Modelos determinísticos de inventarios
La última columna de la figura 11.6 muestra que la ecuación de almacenamiento se satisface en algún punto del intervalo - 0.3 7 7 - 0.4. La hoja de Excel puede refinar la respuesta a cualquier exactitud que se desee, del siguiente modo: cambie el valor de inicial (celda C10) a - 0.3 y especifique un decremento menor de lamda (celda C11), digamos 0.05. Ahora ejecute el modelo y revise inicial y el decremento. Repita el proceso, actualizando inicial y seleccionando un decremento menor de hasta obtener la exactitud que se desee. Yo hice la prueba con este procedimiento y pude refinar la búsqueda hasta inicial = - 0.03475 y decremento de = 0.0005. En * = - 0.348, la ecuación cerraba casi a cero. Los valores correspondientes de las cantidades de pedido son y*1
L
6.34 unidades, y*2
L
7.09 unidades, y*3
L
11.57 unidades
CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.2C 2 1.
Los datos siguientes describen cinco artículos de inventario. Artículo i K i ($)
Di (unidades por día)
ai 1 pie22
hi ($)
1 20 22 0.35 1.0 2 25 34 0.15 0.8 3 30 14 0.28 1.1 4 28 21 0.30 0.5 5 35 26 0.42 1.2 Área total disponible para almacenamiento = 25 pies 2
Determine las cantidades óptimas de pedido. 2. Resuelva el modelo del ejemplo 11.2-3, suponiendo que se requiere que la suma de los inventarios promedio para todos los artículos sea menor que 25 unidades. 3. En el problema 2, suponga que la única restricción es un límite de $1000 en el capital que se puede invertir en el inventario. Los costos de compra de los artículos 1, 2 y 3, por unidad, son de $100, $50 y $100, respectivamente. Determine la solución óp tima. 4. Los datos siguientes describen cuatro artículos de inventario. Artículo i K i ($)
1 2 3 4
100 50 90 20
Di (unidades por día)
hi ($)
10 20 5 10
0.1 0.2 0.2 0.1
La empresa desea determinar la cantidad económica de pedido para cada uno de los cuatro artículos, de tal modo que la cantidad total de pedidos por año (de 365 días) sea 150, cuando mucho. Formule la función de Lagrange y deduzca las fórmulas necesarias. A continuación use ch11ConstrainedEOQ.xls para resolver el problema. 5. Use las ecuaciones de derivadas parciales del modelo de inventario en esta sección para demostrar que el valor inicial de la óptima se puede aproximar por: 2Podrá usted aprovechar ch11StorageEOQ.xls para resolver los
problemas de este conjunto.
443
11.3 Modelos dinámicos de cantidad económica de pedido h 2a
* L
-
n2 a KD A2
en donde n
h
11.3
=
hi a i 1 =
n
n
,a
=
a ai i 1 =
n
n
, KD
=
K iDi a i 1 =
n
MODELOS DINÁMICOS DE CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO
Los modelos que aquí se presentan difieren de los de la sección 11.2 en dos aspectos: 1) el nivel de inventario se revisa en forma periódica durante una cantidad finita de periodos iguales, y 2) la demanda por periodo, aunque es determinista, es dinámica en el sentido que puede variar de un periodo al siguiente. Un caso en el que se presenta la demanda dinámica determinista es el de la planeación de los requerimientos de materiales (MRP, del inglés materials requirement planning ). El concepto de la MRP se describirá con un ejemplo. Suponga que la demanda trimestral de dos modelos M 1 y M 2 de un producto, durante el próximo año, es de 100 y 150 unidades, respectivamente. Las entregas de los lotes trimestrales se hacen al final de cada trimestre. El tiempo de entrega de la producción es de 2 meses para M 1 y de 1 mes para M 2. Cada unidad de M 1 y M 2 usa 2 unidades del subensamble S . El tiempo de entrega de la producción de S es de 1 mes. La figura 11.7 representa los calendarios de producción de M 1 y M 2. Comienzan con la demanda trimestral de los dos modelos (indicada por las flechas llenas) al final de los meses Modelo 1 Modelo 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100
100
100
100
150
150
150
150
M 1
M 2
200
100
100
100
200
200
200
100
150 300
150 300
150 300
150 300
S
S
200
200
200
200 200 300
200300
300
300
200 300
200300
300
Necesidades combinadas de S para los modelos 1 y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 FIGURA 11.7
Ejemplo de la demanda dinámica generada por MRP
300
