C A P Í T U L O
1 1
Modelos determinísticos de inventarios
Una empresa o una industria suele tener un inventario razonable de bienes para asegurar su funcionamiento continuo. En forma tradicional se considera a los inventarios como un mal necesario: si son muy pocos, causan costosas interrupciones; si son demasiados equivalen a tener un capital ocioso. El problema del inventario determina la cantidad que equilibra los dos casos extremos. Un factor importante en la formulación y la solución de un modelo de inventario es que la demanda de un artículo (por unidad de tiempo) sea determinística (que se conozca con certidumbre) o probabil probabilística ística (que se pueda describir con una distribución de probabilidad. Este capítulo está dedicada a la presentación de modelos determinísticos. Los modelos probabilísticos, por lo general más complejos, se describirán en el capítulo 16.
11.1 11 .1
MODE MO DELO LO GE GENE NERA RALL DE DE INV INVEN ENTTAR ARIO IO La naturaleza del problema de los inventarios (o existencias) consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos (u “órdenes”) de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. Desde este punto de vista, una política de inventario contesta las dos siguientes preguntas: 1. ¿Cuánto pedir? 2. ¿Cuándo pedir?
La respuesta de estas preguntas se basa en minimizar el siguiente modelo de costo:
£
Costo total del inventario
≥ a =
Costo de Costo de de b a preparación b a almacenamiento b a Costo b faltante
Costo de compra
+
+
+
Todos esos costos se deben expresar en la cantidad económica de pedido (¿cuánto pedir?) y el Todos tiempo entre los pedidos (¿cuándo pedir?). 429
430
Capí Ca pítu tulo lo 11 11
Mode Mo delo loss deter determi miní níst stic icos os de inv inven enta tari rios os
1. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o puede ofrecerse con descuentos. 2. El costo de preparación representa el costo fijo incurrido cuando se coloca un pedido. Es independiente de la cantidad pedida. 3. El costo de almacenamiento o de posesión representa el costo de mantener una existencia de inventario. Comprende el interés sobre el capital y el costo de almacenamiento, mantenimiento y manejo. 4. El costo de faltante es la penalización en que se incurre cuando se terminan las existencias. Incluye la pérdida potencial de ingresos y el costo, más subjetivo, de pérdida de la buena voluntad del cliente.
Un sistema de inventario se puede basar en la revisión periódica (por ejemplo, pedir cada semana o cada mes), cuando se reciben nuevos pedidos al iniciar cada periodo. En forma alternativa, el sistema se puede basar en una revisión continua , cuando se colocan los nuevos pedidos y la cantidad de inventario baja hasta cierto nivel, que se llama punto de reorden. Los modelos de inventario de este capítulo abarcan dos clases de modelos deterministas: estáticos y dinámicos. Los modelos estáticos tienen una demanda constante en función del tiempo. En los modelos dinámicos, la demanda cambia en función del tiempo. Los casos en los que la demanda es probabilística se explican en el capítulo 16.
11.22 11.
MODELO MOD ELOSS ESTÁTIC ESTÁTICOS OS DE CANTI CANTIDA DAD D ECONÓM ECONÓMICA ICA DE DE PEDIDO PEDIDO (CEP (CEP,, O EOQ) EOQ) En esta sección se explican tres variaciones del modelo de cantidad económica de pedido (CEP, o EOQ, del inglés economic order quantity ) con demanda demanda estática. estática.
11.2.11 Model 11.2. Modelo o clásico clásico de canti cantidad dad económi económica ca de pedido pedido El más sencillo de los modelos de inventario implica una tasa constante de demanda con el surtido instantáneo del pedido y sin faltante. Se definen y Cantidad pedida (cantidad de unidades)
Tasa sa de demanda (unidades por unidad de tiempo) D Ta t 0 Duración del ciclo de pedido (unidades de tiempo)
El nivel de inventario sigue el patrón de la figura 11.1. Cuando el inventario llega al valor cero, se coloca un pedido cuyo tamaño es y unidades, y se recibe en forma instantánea. Después, FIGURA 11.1
Comportamiento del inventario en el modelo CEP, CEP, o EOQ clásico
Momentos en que se recibe el pedido
Nivel de inventario y
Inventario y promedio 2
t 0
y D
Tiempo
11.2 Model Modelos os estáticos estáticos de cantida cantidad d económic económica a de pedido (CEP (CEP,, o EOQ)
431
la existencia se consume uniformemente a la tasa constante de demanda D. El ciclo de pedido para este comportamiento es y t 0 = unidades de tiempo D El nivel promedio de inventario que resulta es
Nivel promedio de inventario
=
y
2
unidades
El modelo de costo requiere dos parámetros: K Costo de preparación correspondiente a la colocación de un pedido ($/pedido) h Costo de almacenamiento ($ por unidad en inventario por unidad de tiempo)
El costo total por unidad de tiempo (TCU, de total cost cost per unit unit time) se calcula como sigue: TCU( y y) Costo de preparación por unidad de tiempo Costo de almacenamiento por unidad de tiempo =
=
=
Costo de preparación
+
Costo de almacenamiento por ciclo t 0 t 0
y 2
K + h1 2 t 0 t 0 K y y + h1 2 2
1 D2
El valor óptimo de la cantidad de pedido y se determina minimizando TCU( y) con respecto a y. Suponiendo que y sea continua, una condición necesaria para determinar el valor óptimo de y es d TCU TCU1 1 y2 dy
= -
KD y2
+
h
2
=
0
Esta condición también es suficiente, porque TCU( y) es convexa. La solución de la ecuación da como resultado la siguiente cantidad económica de pedido, y*: y*
=
A h
2KD
Así, la política óptima de inventario para el modelo propuesto se resume como sigue: Pedir y Pedir y*
=
2
2KD h
unidades cada t *0
=
y* D
unidades de tiempo
En realidad, no se necesita hacer un nuevo pedido en el instante en que se pide, como se ha descrito aquí. En lugar de ello puede transcurrir un tiempo de entrega positivo, L, entre la colocación y la recepción de un pedido, como se ve en la figura 11.2. En este caso, el punto de reorden se presenta cuando el nivel de inventario baja a LD unidades. En la figura 11.2 se supone que el tiempo de entrega L es menor que la longitud del ci* clo t 0, lo cual en general general no no es el caso. caso. Para tener tener en cuenta cuenta otras otras situacione situaciones, s, se definirá definirá el tiempo efectivo de entrega como sigue: Le
=
L
-
nt *0
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Mode Mo delo loss deter determi miní níst stic icos os de inv inven enta tari rios os
Nivel de inventario
Puntos de reorden y*
FIGURA 11.2
Punto de reorden en el modelo CEP, CEP, o EOQ clásico
L
L
Tiempo
L
donde n es el entero entero mayor no mayor mayor que t *0 . Este resultado resultado se justifi justifica, ca, porque porque después de n * cicloss de t 0 cada uno, ciclo uno, el estado estado del invent inventario ario es es como si el el intervalo intervalo entre entre colocar colocar un pedido pedido y recibir otro es Le. Así, el punto de reorden está en las Le D unidades, y la política de inventario se puede reenunciar como sigue: Pedir la cantidad y* siempre que la cantidad de inventario baja a L e D unidades
Ejemplo 11.2-1 Se cambian luces de neón en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima de inventario para pedir las luces de neón. De acuerdo con los datos de este problema, D 100 unidades por día K $100 por pedido h $0.02 por unidad y por día L 12 días
Así, y*
=
A h A 2KD
2
=
*
$100 * 100 0.02
=
1000 luces de neón
La longitud del ciclo correspondiente es t *0
1000 y* = D = 100 =
10 días
días2 2 , Como el tiempo de entrega L 12 días es mayor que la longitud del ciclo t *0 1 = 10 días se debe calcular Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es L
n =
1 Entero Entero mayor
…
=
1 Entero Entero mayor
… 10
=
1
t *0
2
12
2
11.2 Model Modelos os estáticos estáticos de cantida cantidad d económic económica a de pedido (CEP (CEP,, o EOQ)
433
Entonces Le
L
=
-
nt *0
=
12
-
1
*
10
=
2 días
Entonces, el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a LeD
=
2
*
100
=
200 luces de neón
La política de inventario para pedir las luces de neón es Pedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades
El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es
TCU1 y2 = TCU1 =
K y D
1 2
+
$100 1 1000 100 2
y
h1 2 2 +
1000 2 2 =
1 $ 0.02 .02 1
$ 20 por día
Solución de cantidad económica de pedido en hoja de cálculo. El modelo ch11EOQ.xls de Excel está diseñado para efectuar cálculos de CEP, o EOQ. Ese modelo resuelve el problema general de cantidad económica de pedido que se describe en el problema 9, conjunto 11.2a, del cual un caso especial es el modelo que se describió arriba. El uso del archivo ch11EOQ.xls se demuestra en el ejemplo 11.2-2 (Sección 11.2.2), porque esa hoja de cálculo también es para el caso de discontinuidades en el precio. Para usar la plantilla con el modelo actual, se escribe –1 en las celdas C3:C5, C8 y C10, para indicar que los datos correspondientes no se aplican.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.2A 1. En cada uno de los siguientes casos no se permiten faltantes, y los tiempos de retraso entre la colocación y la recepción de un p edido son 30 días. Determine la política óptima de inventario y el costo diario correspondiente. a)
K =
b) c)
K = K =
d)
K =
$100, h = $ 0.05, D = 30 unidades diarias $50, h = $ 0.05, D = 30 unidades diarias $100, h = $ 0.01, D = 40 unidades diarias $100, h = $ 0.04, D = 20 unidades diarias
2. McBurger pide carne molida al comenzar cada semana, para cubrir la demanda semanal de 300 lb. El costo fijo por pedido es de $20. Cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar y almacenar la carne. a) Determine el costo semanal de inventario para la política actual de pedidos. b) Determine la política óptima de inventario que debería usar McBurger, suponiendo tiempo de entrega cero entre la colocación y la recepción de un pedido. c) Determine la diferencia de costos semanales entre las políticas actual y óptima de pedidos. 3. Una empresa almacena un artículo que se consume a una tasa de 50 unidades diarias. Le cuesta $20 colocar un pedido. Una unidad de inventario en almacén durante una semana costará $0.35. a) Determine la política óptima de inventario, suponiendo 1 semana de tiempo de entrega. b) Determine la cantidad óptima de pedidos en un año de 365 días.
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Mode Mo delo loss deter determi miní níst stic icos os de inv inven enta tari rios os
4. El departamento de compras de una empresa propu so dos políticas de inventario: Política 1. Pedir 150 unidades. El punto de reorden es de 50 unidades, y el tiempo entre la colocación de un pedido y la recepción del siguiente es de 10 días. Política 2. Pedir 200 unidades. El punto de reorden es de 75 unidades y el tiempo entre la colocación de un pedido y la recepción del siguiente es de 15 días.
El costo de preparación por pedido es de $20, y el costo de almacenamiento por unidad de inventario y por día es de $0.02. a) ¿Cuál de las dos políticas debería adoptar la empresa? b) Si a usted le encargaran diseñar una política de inventario para la empresa, ¿qué recomendaría suponiendo que el proveedor necesita un tiempo de entrega de 22 días? 5. Walmark Store comprime y entarima cajas de mercancía, para reciclarlas. En los almacenes se generan cinco tarimas diarias. El costo de almacenar una tarima en el patio trasero es de $0.10 por día. La empresa que se lleva las tarimas al centro de reciclado cobra una tarifa uniforme d e $100 por la renta de su equipo de carga y un costo variable de transporte de $3 por tarima. Haga una gráfica del cambio de cantidad de tarimas en función del tiempo y propon ga una política óptima para llevar las tarimas al centro de reciclado. 6. Un hotel usa servicio externo de lavandería, para contar con toallas limpias para los huéspedes. Se generan 600 toallas sucias por día. El servicio de lavandería recoge las toallas sucias y las cambia por limpias, a intervalos regulares. La tarifa de este servicio es de $81 fijos por cada servicio de recogida y entrega, y $0.60 por lavar cada toalla. Al hotel le cuesta $0.02 diarios guardar cada toalla sucia, y $0.01 guardar cada toalla limpia. ¿Con qué frecuencia debe pedir el hotel el servicio de lavandería? (Sugerencia: hay dos clases de artículos de inventario, en este caso. Cuando aumenta la cantidad de toallas sucias, la cantidad de toallas limpias disminuye a una tasa igual.) 7. Se tiene el caso de un inventario en el que la existencia se reabastece uniformemente (no instantáneamente) a la tasa a. El consumo sucede a la tasa constante D. Como el consumo también se presenta durante el periodo de reabastecimiento, es necesario que a D. El costo de preparación es K por pedido, y el costo de almacenamiento es h por unidad y por unidad de tiempo. Si y es el tamaño del pedido y no se permiten faltantes, demuestre que los siguientes resultados son válidos: D a) El nivel máximo de inventario es y 1 1 - a 2 . b) El costo total y por unidad de tiempo es
TCU1 y2 = TCU1
KD h y + 2
1 1
D - a y
2
c) La cantidad económica de pedido es y*
=
A h1 1
2KD D - a
,D 2
6
a
d) Demuestre que la CEP, o EOQ con reposición instantánea se puede deducir de la fórmula del punto c). 8. Una empresa puede producir un artículo o comprarlo a un contratista. Si lo produce le costará $20 cada vez que prepare sus máquinas. La tasa de producción es 100 unidades diarias. Si lo compra a un contratista le costará $15 colocar un pedido. El costo de mantener el artículo en existencia, sea producido o comprado, es de $0.02 por unidad y por día. El consumo estimado de ese artículo por la empresa es de 26,000 unidades anuales. Suponiendo q ue no se permiten los faltantes, la empresa ¿lo debe producir o lo debe comprar? 9. En el problema 7 supong a además que se permiten los faltantes y que el costo de faltante por unidad y por unidad de tiempo es p. Si w es el faltante máximo, demuestre que son válidos los resultados siguientes:
