UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO : MECÁNICA MECÁNICA DE SÓLIDOS SÓLIDOS II PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL
Semana N° 03: PROBLEMAS RESUELTOS DE CARGA AXIAL PROBLEMA Nº 1 El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el cople B, determine el desplazamiento del cople B y del extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestra en la figura. Desprecie el tamaño de las conexiones en B y C , y suponga que son rígidas. E ac 200 GPa , E Al 70 GPa GPa B
C
A
2m
3m Resolución
Para determinar el desplazamiento del cople B y del extremo A, primero hallo las fuerzas axiales internas en las barras de acero y aluminio, para ello aplicamos el método de secciones y la primera ecuación de equilibrio ( F 0 ). Como resultado de ello obtenemos: P CB 12 kN (TRACCIÓN ) : Fuerza axial interna en la barra de acero CB
P BA 18kN (TRACCIÓN ) : Fuerza axial interna en la barra de aluminio BA Cálc u lo d e
B (desplazam (desplazam iento
del co ple B)
El cople B experimenta una sola deformación porque al analizar la barra de acero CB, desde el extremo C hasta el cople B, hay una sola fuerza axial interna de tracción ( P CB ). Además, el punto C de de la barra de acero CB permanece fijo, porque en este punto se halla un apoyo tipo pasador que está fijo a una pared,. Cuando la carga y el área son constantes, el desplazamiento del cople B ( B ) viene dado por la siguiente ecuación. B
P CB LCB ACB E ac
Cálc u lo d e
B
(desp lazamiento lazamiento A (desp
(12 10 3 kN )(3 10 3 mm) ( / 4)(12 mm) (200 200 10 2
N / m )
9
2
B 1,59mm
d el punto A )
El punto A experimenta dos deformaciones porque al analizar el conjunto, desde el extremo C hasta el extremo A, actúan dos fuerzas axiales diferentes ( P CB de +12 kN y P BA de +18 kN). Cuando hay varias fuerzas axiales diferentes, para hallar el desplazamiento de un punto, respecto a un punto fijo, aplico el Principio de Superposición. Es decir:
P L A E
A
P CB LCB P BA L BA ACB E ac A BA E Al
Reemplazando Reemplaz ando datos, tenemos: A
(12 10 3 N )(3 m) ( / 4)(0,012 012 m) (200 200 10 N / m ) 2
9
2
(18 10 3 N )(2 m) ( / 4)(0,012 012 m) (70 10 N / m )
También se cumple que: A B / C A / B También Nota.-
2
9
3
A
1,59 mm 4,55 mm 6,14 mm
PROBLEMA Nº 2 La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la figura se muestran el área de la sección transversal y el módulo de elasticidad para cada sección. Desprecie el tamaño de los collarines en B y en C . Además, determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta. Aluminio
Cobre
Acero
E Al 10103 k bf / pu lg 2
E Cu 18 103 k bf / pu lg 2
A AB 0,09 pu lg 2
A BC 0,12 pu lg 2
A
E ac
29 10
ACD
B
k bf / pu lg 2
0,06 pu lg
2
D
C
18 pulg
3
16 pulg
12 pulg
Resolución
Aplicando el método de secciones y la primera condición de equilibrio ( F 0 ), obtenemos: P AB 2 k bf (TRACCIÓN ) : Fuerza axial interna en la sección de aluminio AB P BC 5 k bf (COMPESIÓN ) : Fuerza axial interna en la sección de cobre BC P CD 1,5 k bf (COMPESIÓN ) : Fuerza axial interna en la sección de acero CD Cálc u lo d e
A / D (desplazamiento
del pun to A, respecto al pun to D)
En este caso aplico el Principio de Superposición. Por lo tanto, se cumple que: A / D
P L A E
Luego: A / D
P AC L AB P BC L BC P CD LCD A AB E Al A BC E Cu ACD E ac
Reemplazando datos, tenemos: A / D
(2 k bf )(18 pu lg) (0,09 pu lg )(10 10 k bf / pu lg ) 2
3
2
(5 k bf )(0,12 pu lg 2 ) (0,12 pu lg )(18 10 k bf / pu lg ) 2
3
2
(1,5 k bf )(16 pu lg) (0,06 pu lg 2 )(29 10 3 k bf / pu lg 2 )
A / D 0,04 pu lg (0,028 pu lg) ( 0,014 pu lg) 0,00157 pu lg 0,0398 mm
Nota.- El signo negativo para el desplazamiento del punto A, respecto al punto D, significa que la flecha compuesta experimentó una CONTRACCIÓN. Cálc u lo d e (esfuerzo no rm al) en cada sección
Sabemos:
P A
En la barra AB: AB
En la barra BC: BC
2 k bf 0,09 pu lg 2 5 k bf 0,12 pu lg 2
AB
22,22
BC
41,67
k bf (TRACCIÓN ) pu lg 2
k bf (COMPRESIÓN ) pu lg 2
En la barra CD: CD Cálc u lo d e B / C
1,5 k bf
CD
0,06 pu lg 2
B / C (desplazamiento
P BC L BC A BC E Cu
25
del pun to B, respecto al pun to C)
(5 k bf )(12 pu lg)
B / C
k bf (COMPRESIÓN ) pu lg 2
(0,12 pu lg )(1810 2
3
k bf / pu lg ) 2
B / C 0,028 pu lg
PROBLEMA Nº 3 La armadura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm 2.
Determine el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando P = 8 kN. P B
5 kN
0,8 m
C
A 0,8 m
0,6 m
Resolución
Según tablas: E ACERO A36 200 GPa Además, como se trata de una armadura, hay que analizar primero toda la armadura y hallar las fuerzas de reacción en los apoyos. A continuación se analiza el nodo C y se calcula la fuerza en los elementos AC y BC. An ális is de to da la armad ur a
Sobre toda la armadura actúan las cargas de 5 kN y P = 8 kN, además de las fuerzas de reacción en el apoyo tipo pasador y en el apoyo tipo rodamiento, como se muestra en el DCL siguiente.
P B
Por segunda condición de equilibrio:
5 kN
+ 0,8 m
A
C 0,8 m
0,6 m
An ális is d el no do C
Por primera condición de equilibrio:
C
Cálc u lo d e C (despl azamiento h orizon tal del rod illo en C) C
P CA L AC A AC E ACERO A36
C
C 0.0975 mm
(5,5725 kN )(1,4 m) (400 mm2 )(200 109 N / m 2 )
Nota.- El signo positivo para el desplazamiento del punto C , significa que el elemento AC experimentó un ALARGAMIENTO, por lo tanto el rodillo en C se desplazó hacia la derecha.
PROBLEMA Nº 4 El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rígida AC . El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F , determine el desplazamiento vertical del punto F . E Ti 350 GPa . B
D ADC = 45 mm2
2m
2m ABA = 60
mm2 E
C
A
0,75 m
0,5 m AEF =75 mm2
1,5 m F P = 20 kN
Resolución
Primero analizo la barra rígida AC (hago su DCL y aplico las ecuaciones de equilibrio) y hallo las fuerzas axiales en las tres barras de titanio. A continuación se calculan las deformaciones de los puntos A, C y E , para finalmente calcular el desplazamiento vertical del punto F . Por segunda condición de equilibrio:
E
C
A
0,5 m
0,75 m P = 20 kN
Cálcu lo de defor maci ones A y C A
F AB L AB A AB E Ti
A
F CD LCD C ACD E Ti
C
A
C 1,016 mm
(12 10 3 N )(2 m) (60 10
6
m )(350 10 N / m ) 2
9
2
(8 10 3 N )(2 m) (45 10
6
m )(350 10 N / m ) 2
9
2
1,14mm
An álisis de d eform acion es
Como el desplazamiento del punto A es mayor que el del punto C ( A C ), la barra rígida AC se desvía y adopta la posición final A´C´ , tal como se indica en la figura siguiente. A
0,5 m
E
0,75 m
0,75 m
C´
E´
A´
0,5 m
C
Cálc u lo d e F ( d esplazamiento vertical del punto F)
El punto F experimenta dos desplazamientos, uno debido a la fuerza axial F EF al desplazamiento del punto E . Es decir: F
Donde:
E DEBIDO A F EF . . .
y la otra debido
(1)
C y 1,016 mm 0,075 mm 1,091 mm F EF L EF (20 103 N )(1500 mm) DEBIDO A F 1,1429 mm EF A EF E Ti (75 106 m 2 )(350 109 N / m 2 ) E
Reemplazando en la ecuación (1), tenemos: F 1,091 mm 1 ,1429 mm 2,2339 mm
PROBLEMA Nº 5 La barra rígida está soportada por la barra CB conectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB tiene un área transversal de 14 mm 2 y está hecha de aluminio 6061 – T6. Determine la deflexión vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida. C
1,5 m
D B
A
2m
2m
Resolución
La carga distribuida que actúa sobre la barra rígida ABD origina un desplazamiento vertical de los puntos D y B (el punto A no se desplaza porque está fijo al apoyo rígido tipo pasador). Para calcular estos desplazamientos primero realizo un análisis de fuerzas sobre la barra rígida ABD. A n áli s is de l a ba rr a rígi d a A B D
Sobre esta barra actúan la fuerza resultante de la carga distribuida, la fuerza ejercida por el elemento BC y la fuerza de reacción en el apoyo tipo pasador (esta se descompone en dos componentes), tal como se muestra en el DCL siguiente.
36,87°
A
2m Por segunda condición de equilibrio:
D
B
TOTALES
M A
2m
0
F BC 2000 N (TRACCIÓN )
F BC Sen36,87(2 m) 1200 N (2m) 0
Por primera condición de equilibrio:
R A X 1600 N ; RAY
F 0
0
Cálc u lo d e BC ( d eform ación d e la barra BC)
La barra BC experimenta un ALARGAMIENTO porque la fuerza que actúa sobre ella es una fuerza de tracción. Para hallar este alargamiento utilizamos la ecuación siguiente: BC
F BC L BC A BC E Al
BC
(2000 N )(2,5 m) (14 10
6
m )(68,9 10 N / m ) 2
9
2
BC 5,183 mm
* Esta deformación (alargamiento) producida en la barra BC nos permite hallar la longitud final de esta barra. Se cumple que: L F ( BC ) 2,505183 m L F ( BC ) L0 ( BC ) BC An álisis de deform aciones p rod ucid as
Debido a la carga distribuida, el extremo D de la barra rígida ABD desciende hasta el punto D´ , formándose la figura siguiente: C
1,5 m
B
A
2m
B ´
D
2m
D´
Aplicando la ley de cosenos en el triángulo CAB´ , hallamos la medida del ángulo (2,505183 m) 2 (1,5 m) 2 (2 m) 2 2(1,5 m)(2 m) cos(90 )
.
Es decir:
0,2477 0,004323 rad
Cálc u lo d e D ( d eflexión verti cal de la barra A BD en D) La deflexión vertical de la barra ABD en D es aproximadamente igual al desplazamiento lineal del punto D (longitud de arco recorrido por el punto D). Es decir: D
L ABD
D 17 ,2839 mm
PROBLEMA Nº 6 La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Está suspendida del techo y soporta una carga P en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extremo debido a esta carga es PL /( E r 2 r 1 ) . Desprecie el peso del material. El módulo de elasticidad es E .
L
P
Resolución
La carga P que actúa en el extremo inferior de la barra en forma de tronco cónico origina una fuerza axial interna de TRACCIÓN. Esta fuerza de TRACCIÓN produce ALARGAMIENTO de la barra, por lo tanto el extremo inferior de esta barra se desplaza verticalmente hacia abajo. Para calcular el desplazamiento del extremo inferior de la barra, primero hallo la fuerza axial interna aplicando el método de secciones. A continuación hallo el área de la sección transversal donde se hizo el “corte” imaginario y finalmente calculo el desplazamiento solicitado. Cálcu lo d e la fuerza axial interna q ue actúa en la barra en form a de tro nco cónico
Aplicando el método de secciones, trazamos la sección n-n que “corta” transversalmente a la barra en forma de cono, y analizamos la parte inferior de dicha barra
F = Fuerza axial interna n
n
Por primera condición de equilibrio:
P
Al observar la barra en forma de tronco cónico, se obtienen las figuras siguientes:
L
L
Por semejanza de triángulos, tenemos:
r ( x ) r 1 x r 2 r 1 L
r ( x )
(r 2 r 1 ) x
L
r 1
Luego, el área de la sección transversal será:
A( x ) r (2x )
A( x )
(r r ) x 2 1 r 1 L
2
Cálc u lo d e (desplazamiento del extremo inferior del tronc o c ónico )
F ( x ) dx , donde: F (x) es la fuerza axial interna, igual a P , y es constante A E ( x ) 0
L
Se cumple que:
Reemplazando el área A(x) y evaluando la integral, obtenemos:
P L E r 1 r 2 60 klbf
PROBLEMA Nº 7 La columna de acero A-36 está embebida en concreto de alta resistencia como se muestra en la figura. Si se aplica una carga axial de 60 klbf a la columna, determine el área requerida de acero, de manera que la fuerza sea compartida igualmente entre el acero y el concreto. ¿Cuánto se acorta la columna? La columna tiene una altura original de 8 pies.
9 pulg 16 pulg
8 pies
