Mecánica de Sólidos Unidad 2 Problemas Resueltos Cálculo de esfuerzos y deformaciones normales en barras rectas sometidas a carga axial.
Eercicio !" #. Ej. 101. Pág. 8. Resistencia Resistencia de Materiales. Materiales. Introducción Introducción a la Mecánica de los Sólidos Sólidos (A. Pytel / Singer! Singer!
Un tubo de aluminio está rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una de acero, tal como se muestra en la Figura 1. Las cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Determinar el esfuerzo normal en cada material. Las areas de cada secci!n trans"ersal se especifican en la Figura 1.
$igura #. Solución%
#ara calcular el esfuerzo normal en cada secci!n, se debe determinar primero la fuerza interna en cada una de estas. Los D$L adecuados se muestran en la Figura %.
$igura 2.
&plicando la condici!n de e'uilibrio a cada uno de los D$L de la Figura %, se tiene( # bronce
% - )comp+
/
#allum
0 - )$omp+
/
#acero
1 - )*racc+
Los esfuerzos -ormales en cada secci!n son( bronce
# bronce & bronce
alum
% -
#alum & alum
5 mm
%
0 1 mm
%
2
%2,3 x 1 -4m
%
%2,3 #a.
0 x 1 2 -4m % 0 #a.
acero
#acero & acero
1 3 mm
%
2
1%,0 x 1 -4m
%
1%,0 #a.
Eercicio !" 2
La mnsula de peso despreciable, 'ue se muestra en la figura se carga con una fuerza # de 10 -. La conexi!n en los extremos de las barras es por pasadores cilíndricos sin fricci!n. Determinar el esfuerzo normal en el tramo más delgado de la barra &6 y el esfuerzo normal en la barra 6$. 7l área de la secci!n trans"ersal más delgada de la barra &6 es de ,8 cm % y el área de la secci!n trans"ersal de la barra 6$ es 1,0 cm %.
$igura #. Solución.
$alculo de las fuerzas internas en las barras &6 y 6$. 7n la Figura % se muestra un D$L de un tramo mnsula, donde se 9a cortado las barras &6 y 6$ mediante planos perpendiculares a sus correspondientes ejes longitudinales. Las barras se consideran ideales, luego ellas pueden funcionar a tracci!n o a compresi!n, Las fuerzas internas actuantes el las secciones trans"ersales se 9an supuesto dirigidas seg:n la normal exterior al área de corte )barras a tracci!n+, en caso de no ser esto correcto, se e"idenciará si el resultado de la fuerza en cuesti!n da con signo negati"o.
$igura 2.
7l "alor de los ángulos y 'uedan definidos de acuerdo con la geometría del dibujo del enunciado, esto es( 50 tan <1 %2,02 ; )1+ 10 10 tan <1 =0; )%+ 10 &plicando las ecuaciones de e'uilibrio al D$L de la Figura 1, se tiene(
)+
Fy
)+ Fx
F&6 sen
F$6sen 10
F&6 cos F$6 cos .
.
)>+ )=+
?esol"iendo el sistema de ecuaciones )>+ y )=+ se obtiene( F&6
11,% -
/
F6$
1=,1 -
)0+
7l signo negati"o en el resultado de la fuerza interna F 6$ indica 'ue la barra 6$ funciona a compresi!n, #or tanto dic9a fuerza realmente debe estar dirigida entrando a la secci!n de corte. 7l esfuerzo normal en la secci!n trans"ersal más delgada de la barra &6 es un esfuerzo de tensión y 'ueda determinado mediante(
&6
F&6 & &6
11,% 1%,== -4cm % 1%=,= #a ,8
)2+
7l esfuerzo normal en la secci!n trans"ersal de la barra $6 es un esfuerzo de com&resión y 'ueda determinado mediante(
$6
F$6 & $6
1=,1 8,= -4cm % 8= #a. 1,0
)5+
Eercicio !" '
La mnsula de peso despreciable, formada por las barras &6 y $6 9a de soportar la fuerza # aplicada en la conexi!n 6, tal como se indica en la figura. @i el esfuerzo axial en las barras 9a de ser el mismo, determinar el ángulo necesario para 'ue el "olumen de la mnsula sea mínimo. Las barras son de secci!n trans"ersal constante.
$igura # Solución.
$álculo de las fuerzas internas en las barras &6 y 6$. 7n la Figura % se muestra un D$L de un tramo mnsula, donde se 9a cortado las barras &6 y 6$ mediante planos perpendiculares a sus correspondientes ejes longitudinales. Las barras se consideran ideales, luego ellas pueden funcionar a tracci!n o a compresi!n, Las fuerzas internas actuantes el las secciones trans"ersales se 9an supuesto dirigidas seg:n la normal exterior al área de corte )barras a tracci!n+, en caso de no ser esto correcto, se e"idenciará si el resultado de la fuerza en cuesti!n da con signo negati"o.
$igura 2
&plicando las ecuaciones de e'uilibrio al D$L de la Figura 1, se tiene el "alor de las fuerzas internas en las barras, esto es( ) + Fy *% sen # )1+ ) + Fx
*1 *%
.
cos
.
)%+
De las ecuaciones )1+ y )%+ se tiene( *%
# )$omp+ sen
/
*1
# cos )*racci!n+ sen
)>+
Los esfuerzos normales correspondientes son(
1
*1 &1
# cos &1sen
%
/
*% &%
# & % sen
)=+
De acuerdo con la condici!n impuesta respecto a los esfuerzos y teniendo presente los "alores obtenidos en )=+, puede determinarse los "alores de las áreas trans"ersales de las barras en funci!n del ángulo , esto es( &1
# cos
/
sen
&%
#
sen
)0+
7l "olumen de la mnsula es igual a la suma de los "ol:menes de las barras, esto es( Amnsula
# cos L # L # cos 1 L1&1 L % L % L sen cos sen sen cos sen
Amnsula
cos % 1 cos sen
L#
)2+
Usando el teorema de máximos y mínimos del cálculo, se tiene( d Amens d
cos % 1 . d cos sen d
)5+
?esol"iendo )5+ se obtiene( cos
Eercicio !" (
%
1 >
00;
)5+
La mnsula de peso despreciable, formada por las barras &6 y $6 9a de soportar la fuerza # aplicada en la conexi!n 6, tal como se indica en la figura 1. La secci!n trans"ersal de la barra &6 es > mm % y la de la barra 6$ es 0 mm%. @i 7 B % C#&, determinar el desplazamiento 9orizontal y "ertical de la conexi!n 6.
$igura # Solución.
7n la Figura % se muestra un D$L de un tramo mnsula, donde se 9a cortado las barras &6 y 6$ mediante planos perpendiculares a sus correspondientes ejes longitudinales. Las barras se consideran ideales, luego ellas pueden funcionar a tracci!n o a compresi!n, Las fuerzas internas actuantes el las secciones trans"ersales se 9an supuesto dirigidas seg:n la normal exterior al área de corte )barras a tracci!n+, en caso de no ser esto correcto, se e"idenciará si el resultado de la fuerza en cuesti!n da con signo negati"o.
$igura 2
&plicando las ecuaciones de e'uilibrio al D$L de la Figura %, se tiene el "alor de las fuerzas internas en las barras, esto es( ) +
Fy
)*racci!n+
)1+
) +
Fx . *6$ =. - )$ompresi!n+
)%+
*&6
0 -
La barra &6 experimentará debido a la carga externa un alargamiento en direcci!n de la barra dado por, &6
*&6 L &6 & &6 7
)0.x1. > +)0...+ )>..x1.
2
8
+) %..x1. +
=,15 mm
)>+
La barra 6$ experimentará debido a la carga externa un acortamiento en direcci!n de la barra dado por,
6$
*6$ L 6$ & 6$ 7
) =.x1. > +)=...+ )0.. x1. 2 +) %.. x1. 8 +
1,2. mm
)=+
$igura '
#ara analizar el efecto de estos desplazamientos en el mo"imiento de la conexi!n 6, imaginemos 'ue se desconectan entre sí las barras &6 y 6$ de manera 'ue puedan alargarse y acortarse libremente debido a las fuerzas generadas en ellas, tal como se indica en la Figura >. #ara reunir sus extremos 9ay 'ue girarlas una "ez deformadas con sus nue"as longitudes alrededor de los centros de giro & y $ respecti"amente 9asta 'ue se encuentren en el punto 6. &9ora bien, los arcos generados por estas rotaciones son tan pe'ueEos 'ue se pueden reemplazar sin error apreciable por rectas perpendiculares a a las barras &6 y 6$ ya deformadas/ estas rectas 'ue se cortan en el punto 6. 7l desplazamiento total de 6 es el "ector 66 o dirigido tal como se indica en la Figura =.
$igura (
7n la Figura = se obser"a 'ue el desplazamiento 9orizontal de 6 o componente 9orizontal de es( 9 6$ 1,2 mm )9acia la derec9a+
)0+
#or otra parte 9 es igual a la suma algebraica de las componentes 9orizontales de &6 y de la longitud desconocida , esto es, 9 sen &6 cos
)2+
*eniendo presente 'ue sen B >40 y cos B =40, de )>+ y )0+ se tiene( 1,2
)>40+ =,15)= 4 0+ 3,%> mm.
)2+
$on este "alor de se puede determinar " mediante,
"
&6
sen
cos
=,15 )> 4 0+
3,%>) = 4 0+
8,.8 mm )9acia abajo+
Eercicio !" )
Una columna cuadrada de concreto de poca altura se refuerza axialmente con 2 cabillas de acero de 2 mm % de secci!n trans"ersal c4u colocadas simtricamente en círculo alrededor del eje "ertical de la columna tal como se indica en la Figura 1. & la placa de apoyo superior se le aplica una carga #, determinar el "alor máximo de esta carga, si los esfuerzos admisibles son( para el acero 1%-4m % y para el concreto 2-4m % y sus correspondientes m!dulos de oung son( 7 c B 1=x18 -4m% )concreto+ y * ac B %x18 -4m% )acero+.
$igura # Solución.
La relaci!n entre La fuerza aplicada # y las fuerzas internas en cual'uier secci!n trans"ersal de la columna puede determinarse mediante la ecuaci!n de e'uilibrio del tramo de columna ubicado por encima del corte
$igura 2
7n la Figura % se muestra el D$L del tramo de columna por encima del corte , aplicando la condici!n de e'uilibrio se tiene, )+
Fy
#
- ac - c
)1+
$omo no 9ay otra ecuaci!n estática 'ue muestre la proporci!n en 'ue se distribuye la fuerza total interna entre los dos materiales, se 9a de acudir a la relaci!n geomtrica de acortamientos de los elementos de la columna. 7s e"idente 'ue la placa de apoyo 9ace 'ue el concreto y el acero se acorten la misma cantidad, esto es, c ac
c
L
7c
ac
L
7 ac
)%+
De )%+ y de los datos del m!dulo de oung se obtiene, ac )
7 ac 7c
+ c
)
% 1=
+ c
1=,> c
)>+
De esta relaci!n se deduce 'ue, cuando el concreto alcance su esfuerzo admisible )esfuerzo límite para su comportamiento elástico+ de 2 -4m %, el correspondiente en el acero debe ser de acuerdo con la relaci!n obtenida en )>+( ac 1=,> )2+ 30,3 -4m %
)=+
De este resultado se concluye 'ue el acero no alcanzará su esfuerzo admisible de 1% -4m % sin 'ue el concreto se sobrepase del suyo. Los esfuerzos reales 'ue se generan en los materiales de la columna deben ser, pues, de 2 -4m% en el concreto y de 30,3 -4m % en el acero. 7s fácilmente comprobable 'ue si la carga # desconocida generará el esfuerzo límite en el acero )1% -4m %+, el esfuerzo 'ue se produciría en el concreto sobrepasaría su "alor admisible y en consecuencia La fuerza axial interna en el acero y en el concreto pueden determinarse mediante( ac & ac )30,3x1 2 +)2x 2x1 2 + >3.33 -
)0+
c & c )2 x1 2 +)8x1 2 2 x 2x1 2 + 013.= -
)2+
- ac
- c
@ustituyendo )0+ y )2+ en )1+ se obtiene( #max
ac & ac >3.33 013= 3%5.%3 -
#máx
3%5,%3
)5+
-
Eercicio !" *
Una barra maciza de aluminio de 3 mm de diámetro se introduce concntricamente dentro de un tubo de acero. Determinar el diámetro interior del tubo de manera 'ue no exista presi!n alguna de contacto entre el eje y el tubo, sabiendo 'ue el eje de aluminio debe soportar una fuerza axial de compresi!n de = -. #ara el aluminio el coeficiente de #oisson es B 14> y el m!dulo de oung es 7 B 5 x 1 8 -4m%
Solución.
La compresi!n axial en el eje de aluminio debido a la carga de = - es, ) al + x
-)x+ & al
= x1 >
=
58,03 -4m %
)1+
),3+ %
De acuerdo con la ley de Gooe, la deformaci!n axial es, x
) al + x 7 al
58,03x1. 2 -4m % 8
5. x1. -4m
%
1,1>x1. > m4m
)%+
#ara el esfuerzo unidireccional )seg:n el eje axial de la barra+, la deformaci!n trans"ersal )en la direcci!n radial+ de la barra, de acuerdo con la relaci!n de #oisson es, y x
)>+
De )>+ se obtiene, 1
y ) 1,1>x1 > + ,>58 x1 > m4m
)=+
>
De acuerdo con la definici!n de deformaci!n media, la deformaci!n trans"ersal es, y )
D D
+ al
) D+ al
y
D al
),>58x1 > + )3+ >,>%x1 >
m
)2+
*eniendo presente este resultado )aumento del diámetro de la barra debido a la carga axial+, el diámetro interior del tubo de acero debe ser mayor o al menos igual al diámetro de la barra con su diámetro expandido esto es,
)D int + ac ) D ext + al )D+ al )3 H ,>>%+ B 3,>> mm.
)5+
Eercicio !" +
Una "arilla de cobre se introduce en un cilindro 9ueco de aluminio. La "arilla sobresale ,1> mm del borde superior del cilindro, tal se indica en la Figura 1. Determinar la carga máxima 'ue se puede aplicar al conjunto por intermedio de la placa de apoyo. Los datos geomtricos y de resistencia del material se especifican en la siguiente tabla. Irea )mm%+ !dulo de oung 7 )Cpa+
$obre 1% 1%
&luminio 13 5
7sfuerzo &dmisible )#a+
1=
5
Figura 1 Solución.
&demás de la ecuaci!n de e'uilibrio estático es necesario 9allar una relaci!n entre los esfuerzos a tra"s de una ecuaci!n de deformaciones. #ara ello considrese 'ue al aplicar la carga #, la placa de apoyo desciende una cierta cantidad tal 'ue además de comprimir la "arilla de cobre, comprime tambin al cilindro de aluminio, por lo 'ue se puede escribir la siguiente relaci!n de desplazamientos )acortamientos+, cu al ,1>x1 > )m+ )1+ La ecuaci!n )1+ puede escribirse en trminos de los esfuerzos, cu
L cu
7 cu
al
L al
7 al
,1>x1 > )en metros+
)%+
Usando los "alores de la tabla se tiene, cu ),%01>+ 1% x1
8
al ),%0+
,1>x1 >
)>+
)7sfuerzos expresados en -4m%+
)=+
5 x1
8
7fectuando los cálculos se obtiene, cu 1,51 al 2%,= x1 2
@i se llegase a aplicar una carga # en la placa de apoyo tal 'ue el esfuerzo del aluminio alcanzase su esfuerzo admisible )5x1 2 -+, entonces de acuerdo con la ecuaci!n )=+, el esfuerzo en el cobre llegaría a ser, cu 1,51 )5. x1. 2 + 2%,= x1. 2 13%,1x1. 2 #a 13%,1 #a
)0+
7l "alor del esfuerzo del cobre obtenido en )0+ sobrepasa el admisible )1= #a+, por lo 'ue es el esfuerzo admisible en el cobre el 'ue "a a limitar la carga. 7n este sentido debe determinarse el "alor 'ue ad'uiere el esfuerzo en el aluminio si la carga aplicada a la placa de apoyo es tal 'ue se alcanza el esfuerzo admisible n el cobre, esto es, 1= x1
2
1,51 al 2%,= x1 2 )7sfuerzos expresados en -4m %+
)2+
De )2+ se obtiene, al
=0,=,1x1. 2
#a
=0,= #a
)5+
$omo puede obser"arse en )5+ , al aplicar una carga # tal 'ue el esfuerzo en el cobre llega a su "alor admisible )1= #a+, el esfuerzo 'ue se genera en el aluminio será de =0,= #a, inferior a su "alor admisible )5 #a+ & continuaci!n se determina las fuerzas internas en el aluminio y en el cobre, utilizando para ello los esfuerzos correspondientes 'ue garanticen 'ue no se sobrepasen los "alores admisibles de ninguno de los dos materiales, esto es, para el aluminio se tomará el "alor de =0,= #a y para el cobre el "alor de 1= #a - cu - al
cu & cu )1=1x1 2 -4m % +)1% x1 2 m % + 123. al & al )=0,=x1 2 -4m % +)13 x1 2 m % + 31.5% -
)3+ )8+
@obre la placa de apoyo act:a la fuerza # )9acia abajo+ y las fuerzas internas generadas por el cobre y el aluminio )ambas 9acia arriba+, por tanto la ecuaci!n de e'uilibrio para la placa es, #
- al - co 315% 123 %=85% -
)1+
La máxima carga 'ue se puede aplicar a la placa de apoyo sin 'ue se sobrepase el esfuerzo admisible de alguno de los materiales es, #máx
%=8,5% -
