Flujos de carga

Flujos de carga: Introducción

UNIVERSIDAD DE TARAPACA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA “ Sistemas Electricos de Potencia ”

§ Consiste en obtener las condiciones de operación en régimen permanente de un Sep. § Más concretamente : – Dadas las cargas en cada barra y la potencia suministrada por los generadores;

5. Flujos de carga

– Determinar las tensiones en las barras y los flujos de potencia a través de los elementos del Sep. Ildefonso Harnisch Veloso Arica-Chile Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

1

Introducción

§ El cálculo consiste en dos etapas : Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

2

Introducción § Importancia de los estudios de flujo de carga.

1)

Determinar las tensiones de las barras. –

No es posible usar directamente los métodos de análisis de circuitos lineales.

–

Ya que, las cargas no se especifican como impedancias y los generadores no se consideran como fuentes de tensión o corriente.

–

Las cargas y generadores se representan como fuentes de potencia, lo que conduce a un sistema no lineal de ecuaciones.

– Es la herramienta fundamental que se utiliza en la operación y planificación de los Sep.

§ El análisis del flujo de potencia permite : – Estudiar los efectos sobre la distribución de los flujos de potencia como consecuencia de la evolución de la carga, o cuando se producen pérdidas temporales de generación, de transformadores o circuitos de transmisión (Análisis de Seguridad). – Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento óptimo (Operación Económica).

2)

Determinar todas las cantidades de interés, como flujos de potencia activa y reactiva, pérdidas en los elementos, etc. Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

3

– Realizar estudios de regulación de tensión. Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

4

Introducción

Diagrama Unilineal de Red de Transporte

– Realizar otros análisis tales como : •

•

SG1

• Estabilidad Transiente.

•

SG 2

SG3

•

• Cálculo de Cortocircuitos.

Sc1

– Programar las ampliaciones futuras de un sep y determinar su mejor modo de operación, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas centrales generadoras.

•

Sc 4

•

Sc 5 •

SG3

5

Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

Representación de los Elementos


6

Representación de los Elementos

§ Líneas. – Usualmente se representan por su circuito

π −

– En general, todos los transformadores se pueden representar como cuadripolo, utilizando sus parámetros admitancia de barras (aquí se incluyen los transformadores de regulación de ángulo).

nominal.

– En algunos casos bastará la impedancia serie o reactancia serie. – En general, se pueden representar como cuadripolo utilizando sus parámetros admitancia de barras.

§ Transformadores.

– En la mayoría de los casos, se suponen ideales los transformadores de las centrales generadoras. Así, las potencias generadas se consideran como inyectadas en las barras del lado de alta tensión de los transformadores, por lo que el conjunto generador – transformador se simboliza solo por el generador.

§ Generadores y Consumos.

– Los transformadores con relación de transformación igual a la nominal se representan por su impedancia serie.

– Se representan como fuentes de potencia constantes.

– Los transformadores de regulación de módulo, usualmente se representan por el circuito equivalente π

– El generador inyecta potencia a la barra, en donde esta conectado, y un consumo la extrae.


7


8

Comentarios sobre las Cargas

Comentarios Sobre la Red

– Las potencias de las cargas se consideran conocidas (datos) y de valor constante.

§ Usualmente, el cálculo del flujo de carga se focaliza en un determinado nivel de la red. – Si la red considerada es la red de transporte, los generadores se representan como fuentes que inyectan potencia en el lado de alta de los transformadores asociados, y las cargas son los grandes consumidores industriales y/o las subestaciones que interconectan con la red de subtransporte.

– Conocidas, porque se pueden predecir con bastante precisión.

– Constantes, porque su variación es lenta en el tiempo.

– Si la red considerada es la red de subtransporte, las fuentes que inyectan potencia lo hacen en aquellas barras donde se interconectan con la red de transporte, y las cargas son los consumidores industriales conectados a este nivel y/o subestaciones que interconectan con la red de distribución.

– La variación de las cargas durante un período de tiempo, puede estudiarse considerando diferentes casos, que resultan al aproximar las curvas de carga por escalones constantes.

– Equivalentemente, la red considerada podría ser la red de distribución primaria. 9



10



§ Potencia (corriente) compleja neta inyectada. – Similarmente, la corriente neta inyectada en una barra (i) : – La potencia compleja neta inyectada en una barra (i), se define :

•

Si =

•

Ii =

•

SG i − Sc i

•

I G i − Ic i =

∗

Si ∗

•

Representa una fuente de potencia constante.


•

Vi

•

Si :

•

Ii : 11

Representa la corriente inyectada en la barra i, a través de la fuente de potencia.


12



§ Circuito Equivalente por Fase en pu.

– Circuito equivalente por fase en pu.

– Diagrama Unilineal : •

2

y12,0

y12,0

•

S1

SG 2

1

•

I2

•

•

SG1

•

I1

S2 •

•

•

Sc 2

•

y12

y13

y 23

y13,0

y 23,0 y 23,0

y13,0

•

I3 •

3

S3

•

Sc 3 Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

13



§ Ecuaciones de equilibrio en el sistema de referencia de barras (método nodal).

[ YB ]

–

[ YB ] VB : IB :

:

14


– La corriente neta inyectada en la barra i :

⋅ VB = I B

•

Ii =

n

∑

j=1

•

•

Yi j ⋅ Vj

;

i = 1 , 2 ,K , n

Matriz admitancia de barras, compleja, orden nxn, simétrica (siempre que no haya transformadores desfasadores). Vector tensiones (fasores) de barra de orden n.

Vector corrientes (fasores) netas inyectadas en las barras a través de las fuentes de potencias netas.


15


16

Formulación Problema Flujo Potencia


§ Ecuaciones del Flujo de Potencias

– Forma Polar

Se define :

– Forma Compleja

 n • •  S i = Vi ⋅ I i = Vi ⋅  ∑ Yij ⋅ Vj   j=1  •

•

∗

•

•

∗

•

S i = Pi + j Q i =

i = 1, 2, K ,n 17

∑ Y ⋅ V ⋅ V ⋅ cos ( δ − δ n

i

j

i

j

− θij ) ; i = 1, 2, K ,n

j=1

Qi =

∑ Y ⋅ V ⋅ V ⋅ sin ( δ − δ n

ij

j=1

i

n

∑Y

ij

V i = Vi δi

−θij ⋅ Vi δi ⋅ Vj −δ j

j

i

j

− θij ) ; i = 1, 2, K ,n

18

– Cada barra aporta con dos ecuaciones y cuatro incógnitas :

Vi , δi , Pi , Qi – Se deben especificar (programar) dos cantidades por barra para que el sistema de ecuaciones tenga solución.

– La formulación del problema del flujo de potencias se basa en consideraciones operacionales del sistema y también en consideraciones matemáticas.

– La forma compleja y polar son dos formas equivalente de las ecuaciones del flujo de potencias.



Tipos de Barras


ij

;

j=1


Pi =

•

Yi j = Yi j θi j

19


20

Tipos de Barras

Tipos de Barras

o Barras de Tensión Controlada o Barras PV.

– En el caso que exista un generador conectado a la barra, PG i se puede ajustar variando la válvula de admisión de la turbina y variando la i se puede ajustar la magnitud de la tensión. ex

– También se llaman barras de generación.

– En estas barras

Pi

(programadas) y

y

Vi

Qi

y

son cantidades conocida

δi

– En el caso que exista un compensador síncrono o estático,

son las incógnitas.

PG i = 0

21

Tipos de Barras

(programadas) y

Pi

22


Tipos de Barras o Barra Slack o Barra V θ .

o Barras de Carga o Barras PQ.

– En estas barras

( QG i )

se puede ajustar la magnitud de la tensión.

– En estas barras debe existir una fuente controlable de potencia reactiva (generador, compensador síncrono o estático)


y variando la potencia reactiva inyectada

y

Vi

Qi y

son cantidades conocida

δi

– También se denomina barra flotante, oscilante, de referencia.

son las incógnitas.

– Si existe generación se supone fija y se toma como dato. Es el caso de pequeños generadores sin regulador de tensión.

– No todas las Pi pueden tomarse como dato; hay que dejar al menos una de ellas como incógnitas para cerrar el balance de potencia activa del sistema, dado que inicialmente se desconocen sus pérdidas. n

∑P

– También puede existir una fuente de potencia reactiva fija.

G i

i=1


23

−

n

∑P

ci

i=1

=

n

∑P

i

= Ppérd

i=1


24

Tipos de Barras

Tipos de Barras Vi

– En esta barra se especifica (programa) consideran como incógnitas Pi y Q i .

– Como existe un generador, viene siendo como una barra de

– El generador debe ser importante o una barra de interconexión del sistema en estudio con el resto del Sep.

generación, sin embargo, en lugar de

Pi

se específica

δi

y

δi

– En esta barra debe existir un generador para que se pueda satisfacer el balance de potencia activa.

; se

y se toma de valor cero. En consecuencia : – Usualmente la barra Slack es la barra número 1.


25

Tipos de Barras


26

Tipos de Barras

§ Tipos de Variables.

Vector variables independientes Vector variables de estado o dependientes Magnitudes y ángulos de las tensiones no especificadas (no programadas).

Corresponde a las variables especificadas (programadas)

 V1 barra SL   δ barra SL   1   Pi barras PQ  u  y= =  Q barras PQ i   p   Pi barras PV     Vi barras PV 

 Vi barras PQ  x =  δi barras PQ   δi barras PV 


27


28

Tipos de Barras

Tipos de Barras

Algunas de las variables independientes en “y” se pueden utilizar para manipular algunas de las variables de estado. Entonces:

Los valores de las variables de estado describen el estado del sistema y dependen de las variables independientes (especificadas).

El vector variables independientes “y” se puede particionar en dos vectores.

Una vez calculas las variables de estado se conoce el estado completo del sistema, y todas las demás cantidades que dependen de las variables de estado se pueden determinar.

Vector u: vector parámetros de control. Por ejemplo: Magnitudes de tensión en barras PV, PGi en las barras con potencia controlable, tensión en la barra Slack, el tap de los transformadores.

Por ejemplo,

P1 , Q1 , Qi

en las barras PV, pérdidas.

Vector p: vector parámetros no controlables o fijos. Por ejemplo, consumos.


29

Tipos de Barras

30


Formulación Básica del Problema – No contempla la actuación de dispositivos de control ni límites de operación del sistema.

§ Enumeración de las Barras. – Problema : – Barra Slack = 1 • Dados •

( P2 , V2 )

– Barras PV = 2, 3, …, m

V1 ,

– Barras PQ = m+1, …, n

• Determinar •

S1 , Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

31

( Q 2 , δ2 )

, .... ,

( Pm , Vm )

, .... ,

( Qm , δ m )

•

,

•

Sm+1 , .... , Sn

•

,


•

Vm+1 , .... , Vn 32

Formulación Básica del Problema

Formulación Básica del Problema o Subsistema 1.

– Hay 2n incógnitas reales y 2n ecuaciones algebraicas reales no lineales (ecuaciones del flujo de potencias). – Dados •

– El problema puede ser descompuesto en dos subsistemas de ecuaciones:

V1 ,

( P2 , V2 )

, .... ,

( Pm , Vm )

•

,

•

Sm+1 , .... , Sn

– Hallar

δ 2 , .... , δ m , Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

33

•

•

Vm+1 , .... , Vn


34


Formulación Básica del Problema – Sistema de ecuaciones. esp

Pi

=

∑ V ⋅ V ⋅ Y ⋅ cos ( δ n

i

j

ij

i

j=1

i = 2, 3K ,n

esp

Qi

=

∑ V ⋅ V ⋅ Y ⋅ sin ( δ j

ij

i

j=1

i = m+1, K ,n

− δ j − θij )

(Barras PV y PQ )

n

i

– Este subsistema contiene 2NPQ + NPV ecuaciones algebraicas con el mismo número de incógnitas.

– Las incógnitas son implícitas, lo que exige un proceso iterativo de resolución.

− δ j − θij )

(Barras PQ )


35


36



o Subsistema 2.

– Sistema de ecuaciones.

– Una vez resuelto el subsistema 1, se desea hallar el resto de las incógnitas; es decir :

∑ V ⋅ V ⋅ Y ⋅ cos ( δ

i

− δ j − θij )

∑ V ⋅ V ⋅ Y ⋅ sin ( δ

− δ j − θ ij )

n

P1 =

i

j

ij

j=1

•

S1 , Q 2 , .... , Qm Qi =

– Este subsistema tiene NPV + 2 ecuaciones algebraicas no lineales, con el mismo número de incógnitas, todas aparecen en forma explicita, lo que hace trivial el proceso de resolución.

n

i

j

ij

j=1

i

i = 1, 2, 3K ,m 37


Cálculos Adicionales


38


o Flujos de Potencia en Líneas. – Modelo

π

yi j

+ •

•

•

Iji

yi j0

•

•

∗

j

Ii j

Vi

•

Si j = Vi ⋅ I i j

•

i

•

y j i0

+

S j i = Vj ⋅ I j i

•

Vj

−

∗

•    • •  = Vi ⋅  yi j 0 ⋅ Vi +  Vi − Vj  ⋅ yi j      •

∗

•    • •  = Vj ⋅  y j i0 ⋅ Vj +  Vj − Vi  ⋅ yi j      •

∗

− •

•

Si j

Sj i


– Son las ecuaciones del flujo de potencias a través de la línea. 39


40


§ En los programas comerciales este método prácticamente no se utiliza.

o Pérdidas en la Línea. •

–

YB

Método de Gauss – Seidel –

Sp e r d ( i, j) =

•

Si j +

•

Sj i

– Su convergencia es lineal

⇒

nro iteraciones es del orden de n

– El tiempo de cálculo total crece con

n2 .

o Pérdidas Totales del Sistema. •

–

Sperd =

n

∑S i =1

– Presenta problemas de convergencia.

•

i 41



YB

§ Se estudia por su simplicidad y por interés académico.

YB


§ El sistema de ecuaciones anterior, se puede colocar en la forma :

§ El método consiste en barrer secuencialmente cada barra y actualizar su tensión en función de los valores disponibles en ese momento de todas las tensiones.

x = F ( x, y ) Cuya solución, partiendo de un valor inicial obtiene iterativamente mediante :

x 0,

se

x ik +1 = Fi ( x 1k +1 , K , x ik−+11 , x ik , K , x kn )

§ En general, se trata de encontrar el vector x que satisface el sistema de ecuaciones no lineal.

i = 1, 2 , K , n

f ( x, y ) = 0 Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

42


43

Obsérvese que cuando se actualiza x i se utilizan los valores más recientes de las variables. Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

44

Sistemas con Barras de Carga y Slack


§ Dados :

§ La corriente inyectada en la barra i : •

•

•

•

V1 , S2 , S3 , KK , Sn

∗

•

–

Ii

=

Si ∗

n

=

Vi

∑ j=1

•

•

Yij ⋅ Vj

Hallar : •

•

•

i = 2, 3, K , n

•

S1 , V2 , V3 , KK , Vn

n − 1 : Ecuaciones complejas n − 1 : Incognitas complejas 45



46



•

•

Vi

 ∗ S ⋅  ∗i −   Vi 

1

=

•

Yii • k +1

Vi

=

§ Secuencia de Solución.

Vi

– Despejando

1 •

Yi i

 ⋅    

n

∑ j= 1

j≠ i

∗

Si ∗ k

Vi

−

 Yij ⋅ Vj  ; i = 2 , 3 ,K , n    •

•

i- 1

∑

•

• k +1

Yi j ⋅ Vj

j=1

i = 2 , 3 ,K , n


−

n

∑

j=i+1

 Yi j ⋅ Vj     •

– Suponer valores iniciales de tensión para todas las barras. Usualmente : • 0

Vi = 1 0°

(perfil plano) ; i = 2, 3, K , n

• k

47

– Utilizando la formula iterativa, calcular secuencialmente, en cada • k +1

iteración, los valores de las tensiones de barra,


Vi 48


Sistemas con Barras de Carga y Slack § Factor de Aceleración

1 2

ra

da

iter : iter :

k =0 ;

Vi

1

k =1 ;

Vi

2

;

i = 2, 3, K , n

;

i = 2, 3, K , n

– Es posible disminuir el número de iteraciones, a veces hasta la mitad, mediante un factor de aceleración α • k+1

• k

V i a c = Vi a c – El proceso continúa hasta que se cumpla un criterio de convergencia (detención); por Ej. : – • k+1

m á x Vi i

• k

− Vi

≤

α

• k  • k+ 1  + α ⋅  V i - V i ac   

entre 1.4 a 1.6

ε 49



50

Sistemas con Barras PQ , PV y Slack


§ Dados :

– La ecuación iterativa no puede aplicarse directamente a las barras PV porque no se conoce la potencia reactiva Q i en estas barras.

•

V1 , ( P2 ,V2 ) , KK , ( Pm ,Vm ) ,

•

•

Qi :

Sm+1 , KK , Sn

Hallar : •

S1 , ( Q2 ,δ2 ) , KK , ( Qm ,δm ) , Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

•

•

Vm +1 , KK , Vn 51

Es la potencia reactiva necesaria para mantener la tensión especificada en la barra i.

– Para resolver este inconveniente, se estima un valor para Q i con las tensiones de barras más actualizadas disponibles en el momento de su cálculo, utilizando para ello (siempre) la magnitud especificada de la tensión de la barra i; de esta manera se estima el valor necesario de la potencia reactiva requerida en la barra i para mantener su tensión especificada.


52



Es decir, la tensión de la barra PV i, se corrige por:

esp

=

Ahora, se estima

k +1

Qi

Qi

• k

• k

Vi

k+1

Vi

esp k Vi ⋅ = Vi δ i  • k a b s  Vi   

∗k = - Im ⋅  Vi ⋅ 

∑

• k +1

•

Yi j ⋅ Vj

+

∗ k

Vi ⋅

j =1

 Yij ⋅ Vj   •

n

∑ j =i

• k

i = 2 , 3 ,K , m • k +1

Qi :

Vi

∗ n • • = - I m ⋅ Vi ⋅ ∑ Yi j ⋅ Vj  ; i = 2 , 3 ,K , m  j =1  Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

i -1

=

k +1  − P jQ i ⋅  i • ∗ k  Yi i  Vi

1

−

i -1

∑

•

• k +1

Yi j ⋅ Vj

−

j= 1

n

∑

j= i+ 1

  Yi j ⋅ Vj    •

• k

i = 2 , 3 ,K , n 53

54




§ Limite de potencia reactiva en barras PV –

En la ecuación iterativa anterior, cuando se aplica a las barras PQ se ignora el superíndice de Q . i

–

–

De esta forma, durante el proceso iterativo, la magnitud de la tensión en la barra i convergerá ( si no hay problemas de suministro de potencia reactiva) a su valor especificado.

n ma x Q mi ≤ Q ≤ Q Gi Gi Gi

Esta convergencia se da debido a que en cada iteración se recalcula la potencia reactiva necesaria que se requiere para lograr la tensión deseada (especificada).


– Debido a limitaciones físicas de los generadores.

⇒

Qimi n ≤ Qi ≤ Qima x

55


56



k +1

–

Si en cada iteración Q i satisface la restricción anterior (se dispone de la potencia reactiva necesaria para mantener la magnitud de la tensión en la barra PV – i , en su valor especificado); entonces, la barra i es efectivamente una barra PV y por lo tanto la tensión se corrige: • k

Vi –

esp

Vi

–

En caso contrario, si los limites de Q i son sobrepasados, quiere decir que en la barra i no se dispone de la potencia reactiva necesaria para mantener la magnitud de la tensión especificada y por lo tanto la tensión de la barra i no se corrige. Por lo tanto:

Vi

La idea es aprovechar al máximo la potencia reactiva disponible en la barra i, por lo que se fija Q en el valor límite que se haya i sobrepasado y la barra i se trata como una barra PQ al calcular k +1

k

δi

= Vi

• k

–

k

En las iteraciones siguientes, se debe intentar si es posible que la barra i retorne a una barra PV con su tensión especificada.

k

= Vi δ i


57


58



Ingresar Datos

k=0

§ El proceso iterativo se inicia usualmente considerando :

i=2

Emax = 0

• 0

– Barras PQ

Vi = 1 0

o

PV

V au x = Vi

PQ

Barra i

Vi = V iesp·Vi / Vi

Calcular Qi

• 0

– Barras PV

esp

Vi = Vi

0

Q i dent ro límites ?

o

Si

No Q i = Q ili m

V i = Vaux Calcular Vi

Calcular Ei

Determ inar

i=i+1

Si

Emax

i < NB No

No k=k+1


59

Si Emax <= ep

EN D


60

Método de Newton Raphson

EJEMPLO Para el Sep de la figura determinar: a)(20p) Las tensiones de nodo (hacer tres iteraciones) mediante el método de Gauss Seidel. b)(05p) La potencia reactiva que entrega el condensador. c)(05p) la corriente I12. G1

V1 = 1∠0º

G2

1 j0.2

– Supóngase que se tiene un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales.

gi ( x1 , x 2 ,K , x n , u1 , u 2 ,K , um ) = hi ( x , u) - bi = 0

PG 2 = 0.75

i = 1, 2 , K , n

V2 = 1.05 2

Bc = 0.08 PC1 = 0.5 Q C1 = 0.25

– En forma compacta se puede escribir. j0.25 j0.1

g ( x , u) = h ( x , u) - b = 0

1.2 :1

3 50 Mva a Vnom.

PC3 = 0.5 QC5 = 0.5


61


62


Método de Newton Raphson – Sea el vector :

x = [ x1 , x 2 ,…, x n ]

T

:

T

T

x

( 0)

( 0) ( 0) (0) =  x1 , x 2 ,…, x n   

T

una estimación inicial de la solución, y

u = [ u1 , u 2 ,…, u m ] : b = [ b1 , b 2 ,…, bn ]

Vector variable de estado (dependientes).

Vector variable de control (independientes).

–

:

Vector especificado (dato).

Δx

( 0)

( 0) ( 0) (0) = Δx1 , Δx 2 ,…, Δx n   

T

el vector corrección que sumado al vector estimación inicial da la solución exacta : Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

63


x

( 0) 64

Método de Newton Raphson ∗ ∗ ∗ x =  x1 , x 2 ,…, x n    ∗

– Así :

(

gi ( x , u) = gi x ∗

( 0)


T

– El problema consiste en encontrar la solución para el vector

( 0)

corrección Δx . Se utiliza el desarrollo en serie de Taylor de las funciones entorno a la estimación inicial.

(0)

+ ∆x , u

)

(

= 0

( 0)

+ ∆x 2

– O en forma matricial.

)

g x( ) + Δx( ) , u = 0 0

0

∂g i ⋅ ∂x 2


)

(

)

(

–

(

J x ,u

)

(

J x( ) , u

)

Se denomina matriz jacobiana (o simplemente Jacobiano), es cuadrada y de orden nxn.


(0)

+ KK

+

( 0)

∆x n

∂ gi ⋅ ∂x n

+ (0)

+ h.o.t = 0

66


g x(0 ) + ∆x( 0 ) , u = g x(0 ) ,u + J x( 0 ) ,u ⋅ ∆ x(0) + h.o.t = 0

( 0)

+

( 0)


– En forma matricial

(

)

∂g i ∆x1 ⋅ ∂x1 ( 0)

i = 1, 2, K , n 65


(0)

g i x , u = gi x , u

i = 1, 2,K , n

(

(

)

∗

67

0

)

=

 ∂g1   ∂x1   ∂g 2   ∂x1   M   ∂g n  ∂x  1

∂g1 K ∂g1   ∂x 2 ∂x n 

(0)



∂g 2 K ∂ g 2  ∂x 2 ∂x n  ∂g n L ∂x 2


   ∂g n  ∂x n  68



– Despreciando los términos de orden superior, se obtiene un sistema lineal de ecuaciones :

(

(0)

)

J x ,u ⋅ Δx

(0)

(

( 0)

= 0 - g x ,u

)

(

– Entonces, el vector error

(0)

= b - h x ,u

Δg (

)

Δg

(0)

es :

(

0)

= 0 - g x( ) , u 0

)

– Por lo tanto, la ecuación matricial de error (ecuaciones de error) es : – Se designará el valor especificado de

(

(0)

gi x , u

calculado

)

como el error

gi

menos su valor

(0)

∆g i

(

J x( ) ,u

.


69


Δx

x

(1)

( 0)

) ⋅ Δx( ) 0

= Δg (

0)

70



– Desde el sistema lineal de ecuaciones de error se determina el vector corrección se obtiene :

0

– Si se repite el proceso, a partir de la ultima estimación, se tiene, el algoritmo iterativo expresado por :

que sumado al vector estimación inicial,

= x

(0 )

+ Δx

x

(0 ) – Donde

Δx

(k )

( k +1)

= x

(k )

+ Δx

(k )

se obtiene :

– Como se han despreciado los términos de orden superior en el

(1)

desarrollo en serie de Taylor, no será x la solución exacta del problema, pero sí una mejor estimación que la inicialmente tomada

x

( 0)

(

J x(k ) ,u

) ⋅ Δx( ) k

(

= Δg x( k ) ,u

)

.


71


72

Método de Newton Raphson §


Algoritmo

5.

1.

Hacer k = 0 y escoger una solución inicial

2.

Calcular el vector error

3.

Si : Entonces el punto 4.

4.

x

(k )

(

(0)

x = x

Estimar una nueva solución : –

.

Calcular el vector corrección

)

(k )

∆x(

Δg x ,u .

(

m á x Δg i x( ) , u i

k

)

≤

ε

–

(

(k )

J x ,u

)


x 6.

Hacer

73

(

)

(

-1

k k =  J x( ) , u  ⋅ Δg x( ) , u  

)

Actualizar la solución anterior

es la solución; en caso contrario continuar en

Calcular la matriz Jacobiana

k)

( k +1)

(k )

= x

k ← k +1

( k)

+ ∆x

y volver al punto 2. 74


Aplicación Problema Flujo Potencia

Aplicación Problema Flujo Potencia El sistema de ecuaciones es:

– El método de Newton Raphson se tiene que implementar con las ecuaciones del flujo de potencias en su forma real. La presencia de variables complejas conjugadas, en las ecuaciones del flujo de potencia en su versión compleja, impide realizar derivadas en la forma compleja.

n

∑

j=1

Vi ⋅ Vj ⋅ Yij ⋅ cos ( δi − δ j − θij ) − Pi

esp

(

i = 2, 3, …, n barras PV y PQ

=0

)

– Se considerarán barras PV y PQ. n

∑

– El vector estado (incógnitas) es :

j=1

x = [δ V ] = [ δ 2 , δ 3 ,…, δ n , Vm+1, Vm+2 ,…, Vn ] T


75

Vi ⋅ Vj ⋅ Yij ⋅ sin ( δi − δ j − θij ) − Q i = 0 esp

(

i = m + 1, …, n barras PQ T

)


76



Se expresa como:

Pi ( x, u ) - Pi

esp

Q i ( x, u ) - Q i

esp

(

= 0

i = 2, 3, …, n barras PV y PQ

= 0

i = m + 1, …, n barras PQ

(

)

)

– El sistema de ecuaciones es de la forma :

g i ( x,u ) = h i ( x,u ) - bi = 0

Donde:

Pi ( x,u ) =

∑ V ⋅ V ⋅ Y ⋅ cos ( δ n

i

j

ij

i

j=1

Q i ( x,u ) =

∑ V ⋅ V ⋅ Y ⋅ sin ( δ

− δ j − θij )

n

i

j

ij

i

j=1

i = 1, 2,…, N O en su forma compacta :

− δ j − θ ij )


g ( x,u ) = h ( x,u ) - b = 0 77

Aplicación Problema Flujo Potencia esp    P2 x,u - P2        esp    Pn x,u - Pn    = 0   esp   Qm+1 x,u - Qm+1        Q x,u - Qesp  n  n 

M

g ( x,u )

=

M

(

)

(

)

(

(

– Se tiene 2 N P Q + N P V ecuaciones algebraicas con el mismo número de incógnitas.


78

Aplicación Problema Flujo Potencia J ( x,u ) ⋅ ∆x = ∆g ( x,u ) ∆g = [ ∆P2 ,K ∆Pn , ∆Q m+1 , ∆Qm+2 ,K , ∆Qn ]

)

∆g = [ ∆P ∆ Q ]

T

T

)


79


80

Aplicación Problema Flujo Potencia – Los errores (residuos) de potencia

∆Pi ( x,u ) = Pi

esp

( ∆g i )

− Pi ( x,u )

Aplicación Problema Flujo Potencia NPV+NPQ

son :

i = 2 , …, n

NPV + NPQ

∆Qi ( x,u ) = Q i

esp

− Qi ( x,u )

i = m + 1 , …, n

– Así, las ecuaciones de error de potencia se pueden escribir como sigue :

81


– En forma compacta :

(k)

 Δδ  ⋅   ΔV V 

(k)

 ΔP  =    ΔQ 

∂ P2 L ∂ δn

         ∆δ2   ∆P2      M     M      ∂ Pn     ∆δ n   ∆Pn  L Vn ∂ Vn        ⋅   =       ∂ Q m +1   ∆ Vm +1    L Vn ∂ Vn   Vm +1   ∆Q m +1         M   M   ∂ Qn   ∆ Vn   L Vn     ∆Q n  ∂ Vn   Vn     

∂ P2 ∂ P2 Vm +1 L Vn ∂ Vm +1 ∂ Vn M

L

∂ Pn ∂ δn

L

∂ Q m +1 ∂ δn

Vm +1

L

∂ Qn ∂ δn

Vm +1

∂ Pn ∂ Vm +1

Vm +1

∂ Q m +1 ∂ Vm +1 M ∂ Qn ∂ Vm +1

82


Proceso de Solución


 J1 J2   J3 J4   

NPQ

 ∂ P2  ∂δ 2  M   ∂P n   ∂ δ2    ∂ Q m+1  ∂δ 2   M  ∂Q n   ∂ δ 2

NPQ

(0)

Hacer k = 0 y estimar valores iniciales δi , Vi para las variables de estado (incógnitas). Se prefiere el perfil plano.

2.

Calcular los errores de potencia

3.

Si :

(k)

– La utilización de ∆Vi Vi en lugar de Vi no afecta numéricamente el algoritmo, pero se logra una mayor simetría numérica del jacobiano (estructuralmente ya lo es).

(0)

1.

máx i

(

(k )

∆Pi

(k )

, ∆Q i

)

≤ ε

ΔP

(k )

y

⇒ x = x

ΔQ

*

(k )

( solución) ,

en caso contrario seguir en el punto 4 Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

83


84

Proceso de Solución 4.

Calcular la matriz Jacobiana

(

(k )

J x ,u

[

6.

)

7.

Hacer

ΔV V ] del sistema

k ← k +1

y volver al punto 2.

T

Calcular el vector corrección Δδ de ecuaciones algebraicas lineales.

5.

Proceso de Solución

–

Con independencia del tamaño de la red, el número de iteraciones oscila usualmente entre 3 y 5, partiendo del perfil plano.

Actualizar las variables estado. ( k +1)

δi

( k +1)

Vi

(k )

(k )

= δi

+ ∆δi

(k )

= Vi

i = 2, 3, K , n (k )

+ ∆Vi

(k )

= Vi

i = m + 1, K , n

(k )   ΔV i  ⋅ 1 + (k )  Vi   85


Elementos del Jacobiano o

Elementos de §

J1

Fuera de la Diagonal

De la diagonal

J1ii

86

Elementos del Jacobiano

j≠ i

2 ∂ Pi = − Qi − Vi ⋅ Bii ∂ δi

∂ Pi J1ij = = Vi ⋅ Vj ⋅ Yij ⋅ sin ( δi − δ j − θij ) ∂ δj §


∂ Pi = = ∂ δi

j= i

–

n

∑ V ⋅ V ⋅ Y ·sin ( δ i

j

ij

j=1 j≠i


i

;

Bii = Yii ⋅ sin θii

Idénticamente se deducen los elementos de las otras submatrices, que se resumen a continuación :

− δ j − θij ) 87


88

Elementos del Jacobiano j≠ i

Elementos del Jacobiano

J1ij = J 4 ij = Vi ⋅ Vj ⋅ Yij ⋅ sin ( δi − δ j − θij )

§ Ejemplo :

J 2ij = -J3ij = Vi ⋅ Vj ⋅ Yij ⋅ cos ( δi − δ j − θij ) J1ii = − Qi − V ⋅ Bii

j=i

slack

1

2 i

PQ

J3ii = Pi − Vi2 ⋅ G ii J 2ii = Pi + Vi2 ⋅ G ii =

2 ⋅ Vi2 ⋅ G ii + J3ii

J 4ii = Qi − Vi2 ⋅ B ii = − 2 ⋅ Vi2 ⋅ Bii − J1ii Gii = Yii ⋅ cos θii

3

4 PV

PQ

Bii = Yii ⋅ sin θii


89

Elementos del Jacobiano  J122  3 J1  32  4 J1 42    2 J3  22 3 J3  32 2

3

4

2 2

J123 J124

2⋅ V2 ⋅ G22 + J322

J133 J134

−J332

J143 J144

−J342 2

J323 J324

−2⋅ V2 ⋅ B22 −J122

J333 J334

J132

90


Limites Potencia Reactiva, Barras PV – Al final de cada iteración se calcula

2

2

Qi

en las barras PV.

3

 ∆δ ∆P2 2  2  ∆P3 2⋅ V3 ⋅ G33 +J333  ∆δ3  ∆P4 −J343  ∆δ4 ⋅ =   ∆Q2  ∆V2 V2 J123  2 ∆Q3 −2⋅V3 ⋅B33 −J133  ∆V3 V3

(k )

−J323


91

Qi

=

n

∑

j=1

(k ) (k ) (k) (k) Vi ⋅ Vj ⋅ Yij ⋅ sin  δ i − δ j − θij   

i = 2, 3, K , m

– Si

(k)

Qi

excede alguno de los límites, la tensión de la barra i esp

regulada no puede mantenerse en su valor barra a ser una barra PQ con

Vi

, pasando esta

lim

Q i = Qi


92

Limites Potencia Reactiva, Barras PV

Limites Potencia Reactiva, Barras PV – Basta incluir ∆Q en el vector error y ∆V en el vector estado i i o excluirlos en caso contrario, actualizando acordemente las filas y columnas de la matriz Jacobiana.

– Si en una iteración posterior (k) sucede que :

(k)

Vi

(k)

Vi

esp

> Vi

máx

con

Qi = Q i

con

Qi = Q i

esp

< Vi

mín

o bien si

, entonces,

la barra i vuelve a ser tratada como PV.

– Para pasar de una barra PV a una PQ (virtual) hay que agregar la ecuación de error correspondiente o excluirla en caso contrario. Es decir : Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

93

Método Desacoplado Rápido


2)

§

§

§

En redes de transmisión se cumple que :

Se obtiene al introducir una serie de simplificaciones sobre las ecuaciones del método de Newton Raphson completo.

R X =

•

Yi j = Yi j θi j •

[ YB ]

Los desfases entre las tensiones de barras adyacentes son relativamente pequeños.

,

sin ( δi − δ j ) ≈ 0


= 1 son aproximadamente

≈

Yi j = G i j + j Bi j

Simplificaciones

cos ( δi − δ j ) ≈ 1

G B

Por lo tanto, los elementos imaginarios puros.

Se supone que el Sep está bien diseñado y apropiadamente operado.

1)

94


Yi j 9 0 ≈

ο

j Bi j

(Esta aproximación no es aplicable a redes de distribución, ya

95

que R X ≥ 1) Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

96

Método Desacoplado Rápido 3)

En sistemas reales se cumple :

Qi

2

< < Vi ⋅

Qi < 1 4)


;

– Aplicando las aproximaciones 1 y 2 , los valores numéricos de las matrices J 2 y J 3 son significativamente menores que aquellos de las matrices J1 y J 4 . Es decir :

Bi i Bi i = 2 0

a

50

• Los cambios de potencia activa dependen fundamentalmente de los cambios del ángulo de fase de las tensiones y en menor medida, de los cambios de la magnitud de las tensiones, y

pu

• Los cambios de potencia reactiva dependen fundamentalmente de los cambios de la magnitud de las tensiones y en menor medida, de los cambios del ángulo de fase de las tensiones.

Vj ≈ 1 pu

En el subproblema activo se toma


97



– Adicionando la tercera simplificación se obtiene :

– Por lo tanto, es razonable considerar :

J2 = J3 ≈ 0

⇒

J 1i j = J 4i j

≈ - V ⋅ Vj ⋅

J 1i i = J 4i i

≈ - Vi

i

Bi j

Ecuaciones desacopladas

–

J1 ⋅ Δδ = ΔP

98


2

⋅ Bi i

Subproblema activo – El sistema de ecuaciones será :

J4 ⋅ –

ΔP ΔQ

ΔV = ΔQ V

está desacoplado de está desacoplado de

n

Subproblema reactivo

- Vi

⋅ ∑ Vj ⋅ Bij ⋅ ∆δ j = ∆Pi

i = 2, K , n

j=2

ΔV

y

- Vi

Δδ


⋅

n

∑

j=m+1 99

Vj ⋅ Bij ⋅

∆Vj Vj

= ∆Q i


i = m + 1, K , n 100



– Adicionando la aproximación 4, se puede escribir : n

-

∑B

ij

⋅ ∆δ j = ∆Pi Vi

–

B' ⋅ Δδ = ΔP V

b)

B'' ⋅ ΔV = ΔQ V

–

B'

y

–

Los elementos de estas matrices son :

i = 2, K , n Barras NPV + NPQ = n - 1

-

∑

Bij ⋅ ∆Vj =

∆Qi Vi

Barras NPQ = n - m


B''

(NPQ × NPQ)

son matrices constantes; se forman e invierten (o factorizan) una sola vez.

B 'i j = B ''i j = - Bij = - I m { YB ( i, j) }

101


102



–

B''

B'

i = m + 1, K , n

j=m+1

–

(NPV + NPQ ) × (NPV + NPQ )

a)

j=2

n

En forma compacta, se tiene :

Sea :

§

YB' = YB

( sin la columna y fila correspondiente

YB'' = YB

( sin las columnas y filas correspondientes a las barras PV y barra slack )

a la barra slack )

Simplificaciones Adicionales. –

En la formación de B' se omiten aquellos elementos que afectan primordialmente el flujo de potencia reactiva (condensadores y reactores shunt) y se seleccionan las tomas t, de los transformadores que operan en su razón no nominal, igual a 1.

–

Además, en la formación de B' también se omiten las resistencias serie de las líneas. Se ha comprobado que esta simplificación, mejora notablemente el proceso de convergencia.

–

En la formación de B'' se seleccionan las tomas de los transformadores reguladores de fase en :

Por lo tanto :

B' = - Im { Y'B } B'' = - Im { Y''B } Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

•

103

t = 1 0

ο


104

Método Desacoplado Rápido –


Finalmente, con todas las simplificaciones, los elementos de ambas matrices se obtienen del siguiente modo :

B'ij = -1 x ij

B'ii =

∑

–

1 x ij

j = barras vecinas a i

B''ij = - Bij –

–

B' es simétrica, siempre que no existan transformadores desfasadores, cuadrada y de orden NPV + NPQ.

–

B'' es simétrica, cuadrada y de orden

B'ii = - Bii

x

ij es la reactancia serie del elemento (línea o transformador) que interconecta las barras i y j.


105

Método Desacoplado Rápido §

–

δ

( k +1)

(k )

B'' ⋅ ΔV

= ΔP

= δ

(k )

(k )

+ Δδ

V

V

(k )

107

(k +1)

(k )

= ΔQ

= V

(k )

(k )

+ ΔV

V

(k )

(k )

–

Esto da posibilidades de convergencia diferentes para ambos subproblemas, significando un ahorro de tiempo debido a que se deja de iterar el que converja en primer lugar.

–

El número de iteraciones es mayor que el requerido con la versión completa, pero ese exceso de iteraciones queda sobradamente compensado con el esfuerzo de cálculo requerido por iteración (menor cantidad de cálculo por iteración y ahorro de tiempo en inversión).

(k )


106


El proceso iterativo consiste en resolver alternadamente el subproblema activo y el subproblema reactivo, utilizando en cada caso los valores más recientes de δ y V , hasta que se satisface el criterio de convergencia tanto en ∆P como el ∆Q

B' ⋅ Δδ

NPQ.


Estrategia de Solución –

Bij = Im { YB ( i, j) }


108

Flujos Potencia Activa y Reactiva

EJEMPLO En el sistema de la figura. Determinar: - La matriz admitancia de barras - Escribir el sistema de ecuaciones del flujo de cargas en la forma g(x)=0. - Escribir las ecuaciones de error para el método del N.R completo. - Realizar una iteración para hallar las tensiones empleando el método de NRDR. Tomar como valores de partida V2 = 1∠0º , V3 = 1∠ − 5º , V4 = 1.1∠ − 10º

§

El análisis de los flujos de potencia activa y reactiva los estudiaremos en los siguientes puntos : –

Líneas de Transmisión.

–

Transformador Desfasador.

V2 = 1 G1

PG 2 = 0.8

G2

1

j0.05

2

j0.05

V1 = 1∠0º

PC = 0.2

3 0.9 : 1

QC = 0

j0.02 4 PC = 0.8 Q C = 0.9

109


Líneas de Transmisión i

Líneas de Transmisión j

yi j

+

•

Ii j

•

Vi

•

j ⋅ b i j0

110


I ji

j ⋅ b j i0

−

§

R ij

gij =

+ •

2

2

R ij + Xij

Vj

bij = -

Xij 2

2

R ij + Xij

− •

•

Si j

Sji • • • •  Si j = Vi ⋅ Ii j = Vi ⋅  y i j ⋅  Vi − Vj  + j ⋅ b i j 0 ⋅ Vi      •

yij =

1 = g ij + j ⋅ bij R ij + j Xi j


111

•

∗

•


112

∗

Líneas de Transmisión

Líneas de Transmisión §

2

Similarmente : •

•

∗

• • •  •   = Vj ⋅  yi j ⋅  Vj − Vi  + j ⋅ b i j 0 ⋅ Vj      •

∗

P i j = g i j ⋅ Vi − g i j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ c o s δ i j − b i j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ s i n δ i j

S j i = Vj ⋅ I j i

Qi j = - ( bi j + bi j 0 ) ⋅ Vi − g i j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ s i n δ i j +

Pj i = g ij ⋅ Vj − g i j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ co s δ j i − bi j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ s i n δ j i

2

2

+ bi j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ co s δ i j

Q j i = - ( bij + bi j 0 ) ⋅ Vj − gi j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ s i n δ j i + 2

+ bi j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ co s δ j i 113


Líneas de Transmisión §

114


Transformador Desfasador

Las Perdidas son :

(

2

)

2

i

Pi j + Pj i = g i j ⋅ Vi + Vj − 2 ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ co s δi j = •

+

2

•

•

= g i j ⋅ Vi − Vj

( ⋅ (V

2

) − b ⋅ (V + V − 2⋅ V ⋅ V ⋅ cos δ ) +V) −b ⋅ V −V 2

Q ij + Q ji = - bij0 ⋅ Vi + Vj = - bij0

2

i

Vi − ij

2

j

•

2

j

2

i

ij

i

j

ij

j'

•

•

Ii j

I j'i

•

j

ci j : 1

+ •

Vj ' −

+

•

Iji

•

Vj −

•

•

•

Si j

Sji

Sji

2

•


i

yij

j

115


116


Transformador Desfasador •

–

Donde :

–

•

•

•

Vj' = c ij ⋅ Vj –

•

;

I j'i =

•

∗

•

–

•

dos puertas formado por la admitancia admitancia shunt.

yij

e ignorando la


117

Transformador Desfasador –

•

Vj '

por •

Vj = Vj δ j

I ji c ij

Considerando que el transformador ideal no tiene perdidas, los flujos de potencia se pueden obtener directamente a partir de las expresiones deducidas para las líneas, aplicándolas a las

Vj

Hay que intercambiar

Vj' = c ⋅ Vj δ j + φij

Es decir, hay que intercambiar :

Vj

por

c ⋅ Vj

δj

por

δ j + φij


118


Por lo tanto,

P =  ij       Q =  ij  

P =  ji       Q =  ji   

g ij ⋅ Vi − g i j ⋅ Vi ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) ⋅ co s ( δ i j − φi j ) − 2

− bi j ⋅ Vi ⋅ ( c i j ⋅ Vj ) ⋅ s i n ( δi j − φij )

- bi j ⋅ Vi − gij ⋅ Vi ⋅ ( c i j ⋅ Vj ) ⋅ s i n ( δij − φij ) + 2

+ bi j ⋅ Vi ⋅ ( c i j ⋅ Vj ) ⋅ cos ( δij − φij )


119

g ij ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) − g i j ⋅ Vi ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) ⋅ co s ( δ j i + φi j ) − 2

− bi j ⋅ Vi ⋅ ( c i j ⋅ Vj ) ⋅ s i n ( δ j i + φi j ) 2

- bi j ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) − g ij ⋅ Vi ⋅ ( c i j ⋅ Vj ) ⋅ s i n ( δ ji + φi j ) + 2

+ bi j ⋅ Vi ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) ⋅ cos ( δ j i + φij ) 2


120

Transformador Desfasador §

Flujo de Carga Linealizado :

Observaciones :

–

o Modelo de Corriente Continua.

Para transformadores en fase : •

ο

c ij = 1 0 –

⇒

– Es la versión más simplificada del problema del flujo de potencias.

cij = 1

y

φij = 0

ο

– Permite estimar, con bajo costo computacional y precisión razonable, los flujos de potencia activa en una red de transmisión.

Para transformadores desfasadores puros : •

c ij = 1 φij

⇒

– El método tiene muchas aplicaciones en el análisis del Sep, tanto en planificación como en la operación de un sistema.

ci j = 1


121

122

Flujo de Carga Linealizado :

Flujo de Carga Linealizado : – El método se basa en el fuerte acoplamiento que existe entre las variables P y δ en una red de transmisión, siendo el acoplamiento P – V muy debil. En redes de distribucion el acoplamiento P – V es importante, por lo tanto, el modelo linealizado no es aplicable en este caso. – Una de las simplicaciones es considerar que Vi ≈ 1 pu en todas las barras. Esto implica que ∆Vi = 0 en todas las barras por lo que los flujos de potencia reactiva en las ramas del Sep resultarán nulas.

– Por lo tanto, el modelo C.C, no proporciona información de las potencias reactivas. En consecuencia, no puede sustituir por completo los métodos no lineales. Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)


123

– Sin embargo, el flujo de carga linealizado, es de gran utilidad en las fases preliminares de estudios que exigen el análisis de un gran número de casos.

– Una razón por la que los métodos convencionales de flujo de carga pueden presentar dificultades de convergencia en algunos estudios de planificación es la falta de conocimiento sobre el comportamiento reactivo del sistema (reactores, condensadores, taps, barras PV, etc.). El modelo linealizado ignora la parte reactiva del problema, que solo será considerada en fases subsecuentes del estudio, cuando se tiene una idea más concreta sobre las condiciones futuras del sistema.


124

Simplificaciones

Linealización § La aplicación de la linealización la estudiaremos a través de los siguientes puntos :

1)

Vi ≈ 1 pu

2)

Las diferencias angulares de las tensiones entre barras adyacentes son pequeñas.

para todas las barras.

– Simplificaciones. – Líneas de Transmisión. – Transformadores en Fase.

cos δij ≈ 1

– Transformadores Desfasador.

,

sin δij ≈ δi − δ j

– Formulación Matricial.


125

Simplificaciones


126

Líneas de Transmisión 2

3)

Pi j = g ij ⋅ Vi − g i j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ co s δi j − bi j ⋅ Vi ⋅ Vj ⋅ s i n δi j

En líneas de transporte y transformadores de poder

R i j = Xi j :

g ij ≈ 0 bij ≈ -

Pi j =

(pérdidas activas despreciables) 1 X ij

1 ⋅ ( δi − δ j ) Xi j

– Esta ecuación tiene la misma forma de la ley de ohm aplicada a una resistencia recorrida por una corriente continua, siendo P

ij

análogo a 4)

En transformadores con tomas

c i j ≈ 1.


y 127

Xij

I , δi

y

δj

análogos a las tensiones terminales

análogo a la resistencia.


128

Líneas de Transmisión

Transformadores en Fase

– Por esta razón, el modelo de la red de transmisión basado en la expresión anterior, se conoce como modelo de corriente continua.

Pi j = g ij ⋅ Vi − g i j ⋅ Vi ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) ⋅ co s δi j − 2

− bij ⋅ Vi ⋅ ( c i j ⋅ Vj ) ⋅ s i n δi j

Pi j =


129

1 ⋅ ( δi − δ j ) Xi j

Transformadores Desfasadores

Transformadores Desfasadores Pi j = g ij ⋅ Vi − g i j ⋅ Vi ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) ⋅ co s ( δ ij − φij ) − 2

− bij ⋅ Vi ⋅ ( c ij ⋅ Vj ) ⋅ s i n ( δ i j − φi j )

– Considerando φij constante, la expresión Pi j se puede representar por el modelo linealizado siguiente :

i

Pi j =

Pi j =

1 ⋅ s in ( δ i j − φi j ) Xi j

+ •

Vi −

1 ⋅ ( δ ij − φi j ) Xi j Curso: Sistemas Eléctricos de Potencia, Ildefonso Harnisch Veloso Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica-Electrónica (EIEE)

130


131

j

xij Pi j φi j xi j

Pi j

δi j xi j


−

φi j xij

+ •

Vj −

132

Formulación Matricial


– El modelo linealizado puede ser expresado matricialmente por una ecuación del tipo

Y ⋅ V = I

Pi =

– Para mayor simplicidad de exposición, considérese inicialmente una red de transmisión sin transformadores desfasadores. En este caso

Pij =

133

Vector de los ángulos de las tensiones de barras. Vector de las inyecciones netas de potencia activa en las barras. Matriz tipo conductancia nodal.

1 Xi j

 1  ⋅ δ  ∑ j  j ∈ Ωi  X i j 


134

– La relación P = B' ⋅ δ puede ser interpretada como el modelo de una red de resistencias alimentadas por fuentes de corrientes continua, en que P es el vector de las inyecciones de corriente, δ es el vector de las tensiones de barra y B' es la matriz conductancia nodal.

P = B' ⋅ δ

B 'ij = -

i = 2 , 3 ,K , n


– En forma compacta :

B' :

i

1 ⋅ ( δi − δ j ) Xij

i = 2 , 3 ,K , n


P:

∑ j∈Ω

 1  ⋅ δi + Pi =  ∑  j ∈ Ω X i j   i 

1 ⋅ ( δi − δ j ) X ij


δ:

– La inyección de potencia activa en la barra i es igual a la suma de los flujos que salen de la barra.

B 'i i =


∑ j∈Ω

i

1 Xi j 135

– Considérese ahora un sistema que adicionalmente contiene transformadores desfasadores. De acuerdo al circuito equivalente, hay que incorporar al vector P , donde corresponda, las inyecciones equivalentes de potencia activa, utilizadas en la representación de desfasadores.


136



§ Ejemplo :

– Modelo CC :

δ1 = 0 P1

P2 x12

1 δ1 = 0

δ2

1

x 13

x 23

P1

x13 δ3

3 P3

137



−1 −1  x12 + x 23  =   −1 3  − x 23 

P3

2

x 23

P2

3 P3


138

Estimación de las pérdidas

2

P2

2

x12

2

Perd = ∑ R ij ·Iij2

3 −1 − x 23  δ 2  ⋅ −1 −1  x13 + x 23  δ3 


Sij = Vi ⋅ Iij = Pij2 + Qij2 Vi = 1; ⇒ Qij = 0 ⇒ Iij = Pij Perd ≈ ∑ R ij ·Pij2 139


140

Flujos de carga

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