Física II
Carga eléctrica y campo eléctrico Ejercicios Ley de Coulomb
¿Cuál es la carga total, en coulombs, de todos los electrones en 3 mol de átomos de hidrógeno? Rta.: -2889! C 1.
"e tiene un anillo de oro #uro $2% &uilates' con una masa m ( )*,2 g. +l oro tiene una masa atómica de )9 gmol un n/mero atómico Z = 9. a' ¿Cuántos #rotones ha en el anillo cuál es la carga #ositi0a total? b' "i el anillo no tiene carga neta, ¿cuántos ¿cuántos electrones ha en 1l? 2% 2% Rta.: a' 3, )! #rotones *8))2 C b' 3, )! . 2.
"e colocan electrones en e4ceso sobre una #e&ue5a es6era de #lomo de masa )! g de modo &ue su carga neta es de -2,* )! )! -9 C. a' +ncuentre el n/mero de electrones en e4ceso sobre la es6era. b' ¿Cuántos electrones en e4ceso ha #or átomo de #lomo? +l n/mero atómico del #lomo es 82 su masa atómica es de 2! gmol. Rta.: a' ),* )! )! b' *,3 )!-)3. 3.
7n rao ocurre cuando ha un 6luo de carga el1ctrica $#rinci#almente electrones' entre el suelo una nube de tormenta. a raón má4ima de 6luo de carga en un rao es a#ro4imadamente de 2!!!! Cs esto dura )!! ;s o menos. ¿Cuánta carga 6lue entre el suelo la nube en este tiem#o? ¿Cuántos electrones 6luen en este tiem#o? Rta.: 2 C ),2* )! )9 electrones. 4.
7na carga negati0a de -!, ;C eerce una 6uera de atracción de magnitud !,* < sobre una carga desconocida situada a una distancia de !,2* m. a' ¿Cuál es la carga desconocida $magnitud signo'? b' ¿Cuál es la magnitud dirección de la 6uera &ue la carga desconocida eerce sobre la carga de -!, ;C? Rta.: a' *,9 )! - C b' !,* < en sentido contrario. 5.
=os cargas #untuales iguales de % ;C están se#aradas entre s> una distancia de !,* m. ¿Cuál es la magnitud de la 6uera &ue eerce una sobre la otra? ¿Cuáles son las direcciones de las 6ueras? 6 ueras? Rta.: !,* <, se re#elen. 6.
=os #e&ue5as es6eras de #lástico reciben cargas el1ctricas #ositi0as. Cuando están se#aradas 3! cm entre s>, la 6uera de re#ulsión entre ellas es de !,)* <. =iga cuál es la carga sobre cada es6era a' si las dos cargas son iguales b' si una es6era tiene tres 0eces la carga de la otra. Rta.: a' ),22 )! - C b' ,! )!- C 2,)2 )!- C. 7.
=os #e&ue5as es6eras se#aradas entre s> 3! cm tienen cargas iguales. ¿Cuántos electrones en e4ceso deben estar #resentes en cada es6era #ara &ue la magnitud de la 6uera de re#ulsión entre ellas sea de 2,3 )! -22
=os #e&ue5as es6eras de cobre, cada una con una masa de !,!% g, están a 2 m de distancia entre s>. a' ¿Cuántos electrones contiene cada es6era? $a masa atómica del cobre es de 3,* gmol
.
1
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
su n/mero atómico Z ( 29.' b' ¿Cuántos electrones habr>a &ue eliminar de una es6era agregarlos a la otra #ara generar una 6uera atracti0a entre las es6eras de magnitud )! % < $su#onga &ue las es6eras #ueden tratarse como cargas #untuales'? ¿@u1 6racción de todos los electrones en cada es6era re#resenta esto? Rta.: a' ),) )! 2* b' ),32 )!). 1!. ¿@u1
tan leos tiene &ue ser se#arado el electrón de un átomo de hidrógeno del n/cleo de 1ste #ara &ue la 6uera de atracción sea igual al #eso del electrón en la su#er6icie de la Aierra? Rta.: *,!8 m. 11. =os cargas #untuales están situadas sobre el ee x: la carga q) ( % nC está en x ( !,3 m la carga q2 ( * nC está en x ( -!,2 m. ¿Cuáles son la magnitud dirección de la 6uera total eercida #or esas dos cargas sobre una carga #untual negati0a q3 ( -8 nC colocada en el origen? Rta.: -*,8 )!- i. 12. =os cargas #untuales están situadas sobre el ee y: la carga q) ( 3 , nC está en y ( !, m la carga q2 ( -),* nC está en el origen. ¿Cuáles son la magnitud dirección de la 6uera total eercida sobre una tercera carga q3 ( * nC situada en y ( - !,% m? Rta.: 2, )!- j. 13. Cuatro cargas id1nticas q están colocadas en las es&uinas de un cuadrado de lado L &ue tiene su
01rtice in6erior i&uierdo en el origen de coordenadas. a' =ibue un diagrama de cuer#o libre &ue muestre todas las 6ueras &ue act/an sobre la carga &ue se encuentra en el origen. b' +ncuentre la magnitud dirección de la 6uera total eercida sobre esa carga #or las otras tres cargas. Rta.: b'
"
=
)
q2 2
%πε ! L
) − ) − 2
2 2
) i + −)− 2
2 2
j
14. =os cargas #untuales #ositi0as q están colocadas sobre el ee y, una en y ( a la otra en y ( - a . 7na carga #untual negati0a - Q está localiada en alg/n #unto sobre el ee x. a' =ibue un diagrama de cuer#o libre &ue muestre todas las 6ueras &ue act/an sobre la carga - Q. b' +ncuentre las com#onentes de la 6uera neta &ue las dos cargas #ositi0as eercen sobre - Q. c' ¿Cuál es la 6uera neta sobre la carga - Q cuando 1sta está en el origen? d' =ibue la com#onente x de la 6uera sobre la carga -Q en 6unción de x #ara 0alores de x entre -%a %a. ) qQx " = −2 i 3
Rta.: b'
%πε !
( a + x ) 2
2
c' !.
2
15. "e coloca una carga #untual #ositi0a q sobre el ee y en y ( a se coloca una carga #untual negati0a -q sobre el ee - y en y ( -a. 7na carga #untual negati0a - Q está localiada en alg/n #unto sobre el ee x. a' =ibue un diagrama de cuer#o libre &ue muestre todas las 6ueras &ue act/an sobre la carga - Q. b' +ncuentre las com#onentes de la 6uera neta &ue las dos cargas, q -q, eercen sobre -Q. c' ¿Cuál es la 6uera neta sobre la carga - Q cuando 1sta está en el origen? d' =ibue la com#onente y de la 6uera sobre la carga - Q en 6unción de x #ara 0alores de x entre -%a %a. qQa ) ) qQ "=2 j "=2 j 3
Rta.: b'
%πε !
( a + x ) 2
2
c'
2
%πε ! a
2
2
.
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
Campo eléctrico y #uer$as eléctricas 16. +ncuentre
la magnitud dirección del cam#o el1ctrico debido a una #art>cula con carga el1ctrica de -* ;C en un #unto !,% m directamente #or encima de la #art>cula. Rta.: 28)2*! <C hacia la #art>cula. 17. 7na
carga #untual está en el origen. Con esta carga #untual como #unto 6uente, ¿cuál es el 0ector unitario r en la dirección del #unto de cam#o en x ( -),% m, y ( !,8 m? +4#rese sus resultados en t1rminos de los 0ectores unitarios i j. Rta.: r = −!,88 i + !,%9 j . 18. =e
acuerdo con las normas de seguridad del Bnstitute o6 +lectrical and +lectronics +ngineers $B+++', los seres humanos deber>an e0itar e4#osiciones #rolongadas a cam#os el1ctricos de magnitudes su#eriores a )% <C. a' +n un #unto donde E ( )% <C, ¿cuál es la magnitud de la 6uera el1ctrica sobre un electrón? b' as dimensiones atómicas moleculares son del orden de )! )! m. ¿Cuál es la magnitud de la 6uera el1ctrica sobre un electrón &ue está a una distancia de )! -)! m de un #rotón? c' ¿Cómo se com#aran las res#uestas a los a#artados $a' $b'? ¿@u1 cree usted &ue le #ase a una #ersona situada en un cam#o el1ctrico &ue #roduca una 6uera igual a la calculada en el a#artado $b'? Rta.: a' 9,82 )! -) < b' 2,3 )!-8 <. 1. ¿
&u1 distancia de una carga #untual de nC tiene el cam#o el1ctrico de esa carga una magnitud de * <C? Rta.: 3,29 m. 2!. a' ¿Cuál es el cam#o el1ctrico de un n/cleo de #lata a una distancia de )!
-)!
m del n/cleo? +l n/mero atómico de la #lata es %. "u#onga &ue el n/cleo #uede considerarse como una carga #untual. b' ¿Cuál es el cam#o el1ctrico de un #rotón a una distancia de *,28 )! -)) m del #rotón? $Dste es el radio de la órbita del electrón en el modelo de Eohr #ara el estado 6undamental del átomo de hidrógeno'. Rta.: a' ),88 )! )) <C b' *,) )!)) <C. 21. 7n obeto #e&ue5o con carga de -% nC e4#erimenta una 6uera hacia debao de * )! -8 < cuando
se coloca en un cierto #unto de un cam#o el1ctrico. a' ¿Cuál es la magnitud dirección del cam#o el1ctrico en ese #unto? b' ¿Cuál ser>a la magnitud dirección de la 6uera &ue actuar>a sobre un #rotón colocado en ese mismo #unto del cam#o el1ctrico? Rta.: a' )2,* <C hacia arriba b' 2 )! -)8 < hacia arriba. 22. ¿Cuál
debe ser la carga $signo magnitud' de una #art>cula con masa m ( 3,8! g #ara &ue #ermaneca estacionaria en el laboratorio al colocarla en un cam#o el1ctrico de magnitud %*!! <C dirigido hacia abao? Rta.: -8,28 )!- C. 23. ¿Cuál es la magnitud de un cam#o el1ctrico en el
&ue la 6uera el1ctrica sobre un #rotón es igual
en magnitud a su #eso? Rta.: ),!2 )!- <C. 24. Campo eléctrico de la %ierra. a Aierra tiene una carga el1ctrica neta &ue genera un
cam#o en #untos cercanos a su su#er6icie igual a )*! <C dirigido hacia el centro del #laneta. a' ¿@u1
3
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
magnitud signo de carga tendr>a &ue ad&uirir un hombre de * g #ara 0encer su #eso #or la 6uera eercida #or el cam#o el1ctrico de la Aierra? b' ¿Cuál ser>a la 6uera de re#ulsión entre dos #ersonas cada una con la carga calculada en el a#artado $a' se#aradas #or una distancia de *! m? ¿+s 6actible 0olar #or medio del uso del cam#o el1ctrico de la Aierra? ¿For &u1? Rta.: a' -%,9 C b' 8, )! <. 25. 'o(imie)to e) el campo eléctrico e)tre dos placas paralelas. 7n electrón se lana con una 0elocidad inicial v0 ( % )! ms dentro del cam#o uni6orme entre las #lacas #aralelas de la 6igura.
a dirección del cam#o es 0erticalmente hacia abao el cam#o es cero e4ce#to en el es#acio entre las #lacas. +l v0 E & y ( ) cm electrón entra al cam#o en un #unto situado a la mitad entre las #lacas. a' "i el electrón a#enas #asa la #laca su#erior al salir del cam#o, encuentre la magnitud del cam#o el1ctrico. x ( 2 cm b' "u#onga &ue en la 6igura el electrón es reem#laado #or un #rotón con la misma 0elocidad inicial. ¿tocar>a el #rotón una de las #lacas? "i el #rotón no toca ninguna de las #lacas, ¿cuáles son la magnitud dirección de su des#laamiento 0ertical al salir de la región entre las #lacas? c' Com#are las traectorias recorridas #or el electrón el #rotón e4#li&ue las di6erencias. Rta.: a' 22* <C b'
un cam#o el1ctrico uni6orme en la región entre dos #lacas #lanas #aralelas cargadas con signos contrarios. 7n electrón #arte del re#oso en la su#er6icie de la #laca cargada negati0amente llega a la su#er6icie de la #laca o#uesta situada a y ( ),! cm de la #rimera en t ( ),* )!-8 s. a' +ncuentre la magnitud del cam#o el1ctrico. b' +ncuentre la 0elocidad del electrón al llegar a la segunda #laca. Rta.: a' 8!9 <C b' 2,) )! ms. C*lculos del campo eléctrico 27. 7na
carga #untual q) ( - nC está en el origen una segunda carga #untual q2 ( % nC está sobre el ee x en x ( !,8 m. +ncuentre el cam#o el1ctrico $magnitud dirección' en cada uno de los siguientes #untos sobre el ee x: a' x ( !,2 m b' x ( ),2 m c' x ( - !,2 m. Rta.: a' -)%*! $<C'i b' )8,* $<C' i c' )3)% $<C' i. 28. =os
#art>culas con cargas q) ( ) nC q2 ( 3 nC están a una distancia de ( ),2! m. ¿+n &u1 #unto a lo largo de la l>nea &ue las conecta, el cam#o el1ctrico total debido a las dos cargas es igual a cero? Rta.: !,%39 m de q). 2. =os cargas #untuales #ositi0as q están colocadas sobre el ee x, una en x ( a la otra en x ( !a. a' +ncuentre la magnitud dirección del cam#o el1ctrico en x ( !. b' Gbtenga una e4#resión #ara el cam#o el1ctrico en #untos a lo largo del ee x. 7se el resultado #ara traar una grá6ica de la com#onente x del cam#o el1ctrico en 6unción de x #ara 0alores de x entre -%a %a"
Rta.: a' ! b'
E
=
q %πε !
) ( x − a )
x − a 2
( x − a ) 2
+
i ( x + a ) x + a
)
( x + a ) 2
2
#
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
3!. 7na carga #untual #ositi0a q se coloca en x ( a x ( ! a. a' +ncuentre la magnitud dirección del
una carga #untual negati0a - q se coloca en cam#o el1ctrico en x ( !. b' Gbtenga una e4#resión #ara el cam#o el1ctrico en #untos a lo largo del ee x. 7se el resultado #ara traar una grá6ica de la com#onente x del cam#o el1ctrico en 6unción de x #ara 0alores de x entre -%a %a" Rta.: a'
E
= −2
q %πε ! a
2
i b' E =
q %πε !
) ( x − a ) 2
−a − ) 2 ( x − a ) 2 ( x + a ) x
i ( x + a ) 2 x + a
sistema de coordenadas rectangular, una carga #untual #ositi0a q ( 2 )!-8 C está colocada en el #unto x ( !,) m, y ( !, una carga #untual id1ntica está colocada en x ( - !,) m, y ( !. +ncuentre la magnitud dirección del cam#o el1ctrico en los siguientes #untos: a' el origen b' x ( !,2 m, y ( ! c' x ( !,) m, y ( !,)* m d' x ( !, y ( !,) m. Rta.: 0er #roblema 29. 31. +n un
32. 7na
carga #untual q) ( % nC está en el #unto x ( !,8 m, y ( !, m, una segunda carga #untual q2 ( - nC está x ( !,8 m, y ( !. Calcule la magnitud dirección del cam#o el1ctrico neto en el origen debido a las dos cargas #untuales. Rta.: E ( **,** i H 2),* j. alambre recto mu largo tiene una carga #or unidad de longitud de 3 )! -)! Cm. ¿ &u1 distancia del alambre la magnitud del cam#o el1ctrico es igual a !,* <C? Rta: )!,8 m. 33. 7n
34. 7na
carga el1ctrica #ositi0a está distribuida a lo largo del ee y con una carga uni6orme #or unidad de longitud $. a' "u#onga &ue la carga está distribuida sólo entre el #unto y ( a el #unto y ( ! a. Fara los #untos sobre el ee x, dibue la com#onente x del cam#o el1ctrico en 6unción de x #ara 0alores de x entre x ( a2 x ( %a. b' "u#onga ahora &ue la carga está distribuida a lo largo de todo el ee y con la misma carga #or unidad de longitud $. 7sando la misma grá6ica &ue en el a#artado $a', dibue la com#onente x del cam#o el1ctrico en 6unción de x #ara 0alores de x entre x ( a2 x ( %a. )
a y
%
x
F
7n conductor en 6orma de anillo con radio !,2* cm tiene una carga total #ositi0a Q ( 8,% ;C, distribuida alrededor uni6ormemente como se muestra en la 6igura. +l centro del anillo está en el origen de coordenadas %. a' ¿Cuál es el cam#o el1ctrico $magnitud dirección en el #unto F situado sobre el ee x en x ( !,* m? b' 7na carga #untual q ( -2,* ;C se coloca en el #unto F descri#to en el a#artado $a'. ¿Cuáles son la magnitud dirección de la 6uera eercida #or la carga q sobre el anillo. 35. a (
x
Rta.: a' 3,!2 )! * $<C' i b' !,* < i. )
7n disco uni6ormemente cargado de radio & tiene una carga #ositi0a #or unidad de área ' , como se muestra en la 6igura. Fara los #untos sobre el ee x, dibue la com#onente x del cam#o el1ctrico en 6unción de x #ara 0alores de x entre x ( ! x ( % &. 36.
& %
x
y
(
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
37. Cerca
de la su#er6icie de la Aierra, el cam#o el1ctrico en el aire libre tiene una magnitud de )*! <C está dirigido hacia abao. "i esto se considera como debido a una lámina de carga situada sobre la su#er6icie de la Aierra, calcule la carga #or unidad de área en la lámina. ¿Cuál es el signo de la carga? Rta.: 2,** )! -9 Cm2. es la carga #or área unitaria, en Cm 2, de una lámina #lana in6inita de carga si el cam#o el1ctrico #roducido #or la lámina de carga tiene una magnitud de 3 <C? Rta.: *,3) )!-)) Cm2. 38. ¿Cuál
3. =os láminas horiontales in6initas de
carga están a una distancia entre ellas. a lámina in6erior tiene carga negati0a con densidad de carga su#er6icial uni6orme - ' I!. a lámina su#erior tiene carga #ositi0a con densidad de carga su#er6icial uni6orme ' J!. =iga cuál es el cam#o el1ctrico $magnitud dirección si el cam#o no es cero': a' #or encima de la lámina su#erior b' #or debao de la lámina in6erior c' entre las láminas. Rta.: a' ! b' ! c' ' K!. L+)eas del campo eléctrico 4!. =os grandes láminas #aralelas están se#aradas entre s> #or una distancia . 7na #laca tiene una densidad de carga su#er6icial #ositi0a ' J! la otra una densidad de carga su#er6icial negati0a - ' I!.
Arace las l>neas del cam#o el1ctrico en #untos cercanos al centro de las láminas, o sea, aleados de los bordes. 41. Arace
las l>neas del cam#o el1ctrico #ara un disco de radio & con una densidad de carga su#er6icial uni6orme #ositi0a ' . 7se lo &ue sabe sobre el cam#o el1ctrico mu cerca mu leos del disco como auda #ara hacer el dibuo. 42. a'
Arace las l>neas del cam#o el1ctrico #ara una l>nea in6inita de carga. Fuede ser /til hacer un dibuo de las l>neas del cam#o en un #lano &ue contenga la l>nea de carga un segundo dibuo &ue muestre las l>neas del cam#o en un #lano #er#endicular a la l>nea de carga. b' ¿Cómo muestran sus dibuos &ue la magnitud del cam#o el1ctrico de#ende sólo de la distancia r desde la l>nea de carga &ue decrece seg/n ) r ? a 6igura muestra algunas de las l>neas del cam#o el1ctrico debido a las tres cargas #untuales dis#uestas a lo largo del ee horiontal. as tres cargas tienen la misma magnitud. a' ¿Cuáles son los signos de cada una de las tres cargas? +4#li&ue su raonamiento. b' ¿=ónde es más #e&ue5o el cam#o el1ctrico? +4#li&ue su raonamiento. +4#li&ue cómo los cam#os #roducidos #or cada carga #untual indi0idual se combinan #ara dar un cam#o neto #e&ue5o en este #unto. 43.
,ipolos eléctricos 44. as
cargas #untuales q) ( -3,* nC q2 ( 3,* nC están se#aradas una distancia . as dos cargas 6orman un di#olo el1ctrico con momento di#olar p de magnitud 8,2 )! -)2 CLm. a' ¿Cuál es la
*
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
distancia ? b' as cargas están en un cam#o el1ctrico uni6orme E cua dirección 6orma un ángulo de 3*M con la l>nea &ue une las cargas. ¿Cuál es la magnitud E de este cam#o cuando el momento de torsión eercido sobre el di#olo tiene una magnitud de )! -9
46. a mol1cula de amon>aco $
colocan mol1culas de amon>aco en 6ase gaseosa en un cam#o el1ctrico uni6orme de magnitud 2 )! <C. a' ¿Cuál es el cambio de energ>a #otencial el1ctrica cuando el momento di#olar de una mol1cula cambia su orientación con res#ecto al cam#o el1ctrico de #aralela a #er#endicular? b' ¿ &u1 tem#eratura + , la energ>a cin1tica traslacional media 32 ,+ de una mol1cula es igual al cambio en la energ>a #otencial calculada en el a#artado $a'? $For encima de esta tem#eratura, la agitación t1rmica im#ide &ue los di#olos se alineen con el cam#o.' Rta.: a' ) )!-2% b' !,!%8 N. *
momento di#olar de la mol1cula de agua $Q 2G' es , )! -3! CLm. Considere una mol1cula de agua situada en el origen cuo momento di#olar p tiene la dirección x. 7n ion de cloro $Cl -', de carga -), )!-)9 C, está situado en x ( * )!-8 m. +ncuentre la magnitud dirección de la 6uera el1ctrica &ue la mol1cula de agua eerce sobre el ion de cloro. ¿+s una 6uera atracti0a o re#ulsi0a? "u#onga &ue x es mucho maor &ue la se#aración entre las cargas en el di#olo, de manera &ue #ueda usarse la e4#resión a#ro4imada #ara el cam#o a lo largo del ee del di#olo. Rta.: ),*% )!-) <, atracti0a. 47. +l
-roblemas 48. Ares cargas #untuales están situadas a lo largo del ee x. a carga q) ( nC está en x ( !,3 m, la carga q2 ( -% nC está en x ( -!,2 m. 7na carga #untual #ositi0a q3 está en el origen. a' ¿Cuál debe ser la magnitud de q3 #ara &ue la 6uera neta sobre ella tenga una magnitud de )! -%
'e iones negati0os de cloro $Cl '. a' "i una carga #untual con la misma carga masa &ue todos los iones
-
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
Rta.: a' 2,!8 )!2) < b' *,8 )!23 ms2 c' &ue q) ( q2 ( q. +l radio de cada es6era es
en la mu #e&ue5o en com#aración con la distancia entre las es6eras, #or lo &ue #ueden tratarse como cargas #untuales. =emuestre &ue si el ángulo . es #e&ue5o, la se#aración de e&uilibrio entre las es6eras es L
L
= 3
q 2 L 2πε ! mg
. $"ugerencia: si . es #e&ue5o, entonces
tan . sen . .'
es6eras #e&ue5as, cada una con masa )2 g, cuelgan de hilos de seda de longitud L ( ) m desde un #unto com/n, como se muestra en la 6igura. Cuando las es6eras reciben iguales cantidades de carga negati0a, de modo &ue q) ( q2 ( q, cada hilo 6orma un masa m masa m ángulo de 2!M con la 0ertical. a' =ibue un diagrama &ue muestre carga q) carga q2 todas las 6ueras sobre cada es6era. Considere las es6eras como cargas #untuales. b' +ncuentre la magnitud de q. c' os hilos tiene ahora una longitud L ( !,% m, mientras &ue las cargas en las es6eras siguen siendo las mismas. ¿@u1 ángulo 6orman ahora los hilos con la 0ertical? $"ugerencia: esta #arte del #roblema #uede resol0erse num1ricamente usando 0alores de tanteo #ara . austando los 0alores de . hasta &ue se obtenga una res#uesta consistente.' Rta.: b' ),%9 )! - C c' 3,M. .
.
51. =os
52. =os
es6eras id1nticas cuelgan de hilos de seda de longitud L ( !,* m desde un #unto com/n, como muestra la 6igura. Cada es6era tiene una masa m ( 8 g. +l radio de cada es6era es mu #e&ue5o en com#aración con la distancia entre las es6eras, #or lo &ue #ueden tratarse como cargas #untuales. 7na es6era tiene una carga q) la otra tiene una carga di6erente q2 esto ocasiona &ue las es6eras se se#aren en 6orma tal &ue cuando están en e&uilibrio, los hilos 6orman un ángulo . ) ( 2!M con la 0ertical. a' =ibue un diagrama de cuer#o libre #ara cada es6era en e&uilibrio e identi6i&ue todas las 6ueras &ue act/an sobre cada es6era. b' 7n #e&ue5o alambre se conecta ahora entre las es6eras, #ermitiendo &ue se trans6iera carga de una a otra hasta &ue las dos es6eras tengan la misma carga q el alambre se retira. Cada hilo 6orma ahora un ángulo de . 2 ( 3!M con la 0ertical. =etermine las cargas originales q) q2. Rta.: b' q) ( O2,!28 )! - C, q2 ( O),98 )!- C. 53. i los *tomos )o #uera) )eutros...Como
las cargas del electrón del #rotón tienen el mismo 0alor absoluto, los átomos son el1ctricamente neutros. "u#onga &ue esto no 6uera e4actamente cierto &ue el 0alor absoluto de la carga del electrón 6uese in6erior a la carga del #rotón en !,!!)T. a' +stime cuál ser>a la carga neta de un libro en esas circunstancias. Qaga las hi#ótesis &ue considere usti6icables, #ero indi&ue claramente cuáles son. b' ¿Cuál ser>a la magnitud de la 6uera el1ctrica entre dos libros colocados a * m de distancia? ¿+sta 6uera ser>a de atracción o de re#ulsión? +stime cuál ser>a la aceleración de cada libro si estu0ieran se#arados * m si sólo hubiese 6ueras el1ctricas entre ellos. c' nalice cómo la estabilidad de la materia ordinaria muestra &ue los 0alores absolutos de las cargas del electrón del #rotón deben ser id1nticas con un grado mu alto de #recisión. Rta.: a' a#ro4. )!!! C b' 3, )! )% <, de re#ulsión, ),8 )! )% ms2.
/
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
54. a' "u#onga &ue todos los electrones de 3! g de carbono están localiados en el #olo norte de la
Aierra &ue todos los #rotones están localiados en el #olo sur. ¿Cuál ser>a la 6uera de atracción total eercida #or cada gru#o de cargas sobre el otro? +l n/mero atómico del carbono es la masa atómica es de )2 gmol. b' ¿Cuáles ser>an la magnitud dirección de la 6uera eercida #or las cargas en el a#artado $a' sobre una tercera carga #ositi0a, igual a la carga en el #olo sur localiada en un #unto sobre la su#er6icie de la Aierra en el ecuador? =ibue un diagrama &ue muestre los sitios de las cargas las 6ueras sobre la carga en el ecuador. Rta.: a' %, )! 8 < b' , )!8 <, tangente a la su#er6icie de la Aierra, hacia el #olo a del mo0imiento armónico sim#le tenga en cuenta &ue U xU II a.' b' "u#onga ahora &ue la carga #ositi0a q está colocada sobre el ee y en una coordenada y tal &ue UyU II a &ue se libera. "i esta carga tiene libertad de mo0erse en cual&uier #arte del #lano xy, ¿&u1 le #asará? +4#li&ue su
res#uesta. Rta.: a' ν =
)
qQ
2π
πε !
a3m
b' se mo0erá sobre el ee y aleándose del ee x.
56. 7na carga q) ( -3 nC se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xy, una carga q2 ( 2 nC se coloca sobre el ee y #ositi0o en y ( * cm. "i una tercera carga q3 ( nC se coloca ahora en el #unto x ( 3 cm, y ( * cm, encuentre las com#onentes de la 6uera total eercida sobre
esta carga #or las otras dos. Rta.: 9,** )!-* i -%,!9 )!-* j. 57. Ares
cargas #untuales id1nticas q se colocan en tres es&uinas de un cuadrado cuo lado es L. =iga cuáles son la magnitud dirección de la 6uera neta sobre una carga #untual -3 q si 1sta se coloca a' en el centro del cuadrado b' en la es&uina 0ac>a del cuadrado. +n cada caso, dibue un diagrama de cuer#o libre &ue muestre las 6ueras eercidas sobre la carga -3 q #or cada una de las otras tres cargas. Rta.: a' F & =
)
q
2
%πε ! L2
b' F & =
)
3q
2
2
%πε ! L
(
2
+ !,*)
58. Ares cargas #untuales se colocan sobre el ee y: una carga q en y = a, una carga -2 q en el origen una carga q en y ( -a. Aal dis#osición se denomina carpolo eléctrico" a' +ncuentre la magnitud dirección del cam#o el1ctrico en #untos sobre el ee y #ara y a. b' 7se el desarrollo del binomio #ara demostrar &ue mu leos del cuadru#olo, esto es, #ara y JJ a, el cam#o el1ctrico es #ro#orcional a y! %. Com#are este com#ortamiento con el del cam#o el1ctrico de una carga #untual
con el del cam#o el1ctrico de un di#olo. q ) 2 ) − + Rta.: a' E = %πε j 2 y 2 ( y + a ) 2 ! ( y − a ) 5. Fara
la dis#osición de cargas descri#ta en el #roblema anterior: a' +ncuentre la magnitud dirección del cam#o el1ctrico en #untos sobre el ee x #ositi0o. b' 7sando el teorema del binomio, encuentre una e4#resión a#ro4imada #ara el cam#o el1ctrico &ue sea 0álida #ara x JJ a. Com#are
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
este com#ortamiento con el del cam#o el1ctrico de una carga #untual con el del cam#o el1ctrico de un di#olo. Rta.: a'
E
=
2q %πε ! x
2
) ) + a x
3 2 2
2
− ) i
3a 2 − b' E = % i 2 %πε ! x 2q
7na carga #ositi0a Q está distribuida uni6ormemente a lo largo del ee x #ositi0o entre x = ! x = a" "e coloca una carga q #untual #ositi0a sobre el ee x en x = a r , una distancia r a la q derecha del e4tremo de Q $0er 6igura'. a' Calcule las Q x com#onentes x ,y del cam#o el1ctrico #roducido #or la % distribución de carga Q en los #untos sobre el ee x en &ue x a" r a b' Calcule la 6uera $magnitud dirección' &ue la distribución de carga Q eerce sobre q. c' =emuestre &ue si r a, la magnitud de la 6uera es a#ro4imadamente Qq#450r 2. +4#li&ue #or &u1 se obtiene este resultado. ) qQ ) ) ) Q ) ) " = − − i i Rta.: a' E = b' %πε ! a x ! − a x ! % a r a r + πε ! 6!.
y
7na carga #ositi0a Q se distribue uni6ormemente a lo largo del ee y #ositi0o entre y = ! y = a. 7na carga #untual negati0a - q está sobre el ee x #ositi0o, a una distancia x del origen. a' Calcule las Q com#onentes x ,y del cam#o el1ctrico #roducido #or la distribución de carga Q en #untos sobre el ee x #ositi0o. b' Calcule las com#onentes q x x ,y de la 6uera &ue la distribución de carga Q eerce sobre q. c' % =emuestre &ue si x a, F x = ! Qq#450rx2 F y = ! Qqa450rx3. +4#li&ue #or &u1 se obtiene este resultado. ) Q Q ) ) j b' " = − qE x i − qE y j . i+ − Rta.: a' E = %πε ! x x 2 + a 2 a x 2 + a 2 x 61.
y
2 cm
Q= * nC x
2 cm
7na l>nea cargada como la mostrada en la 6igura se e4tiende desde 2 cm a y ( -2 cm. a carga total distribuida uni6ormemente a lo largo de la l>nea es de -* nC. a' +ncuentre el cam#o el1ctrico $magnitud dirección' sobre el ee x en x = !,%! cm. b' ¿a magnitud del cam#o el1ctrico &ue usted calculó en el a#artado $a' es maor o menor &ue el cam#o el1ctrico a !,%! cm de una l>nea in6inita de carga &ue tiene la misma carga #or unidad de longitud &ue esta l>nea 6inita de carga? +n t1rminos de la a#ro4imación usada #ara obtener E = $2V50r #ara una l>nea in6inita, e4#li&ue #or &u1 sucede as>. c' ¿ &u1 distancia x di6iere el resultado #ara la l>nea in6inita de carga en un )T del de la l>nea 6inita? Rta.: a' E ( -**)* $<C' i b' menor c' x ( !,!!28 m.
62. y (
y
63. 7na l>nea cargada como la mostrada en la 6igura del #roblema anterior se e4tiende desde y ( 2 cm a y ( -2 cm. a carga total distribuida uni6ormemente a lo largo de la l>nea es de -* nC. a' +ncuentre el cam#o el1ctrico $magnitud dirección' sobre el ee x en x = )! cm. b' ¿a magnitud
del cam#o el1ctrico &ue usted calculó en el a#artado $a' es maor o menor &ue el cam#o el1ctrico a
10
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
)! cm de una carga #untual &ue tiene la misma carga total &ue esta l>nea 6inita de carga? +4#li&ue #or &u1 sucede as>. c' ¿ &u1 distancia x di6iere el resultado #ara la l>nea 6inita de carga en un )T del de la carga #untual? Rta.: a' E ( -%%)3 $<C' i b' menor c' x ( !,)%) m. 64. 7n disco cargado uni6ormemente como el de la 6igura tiene un radio de & ( 2 cm una carga #or unidad de área ' ( * )!-9 Cm2. a' +ncuentre el cam#o el1ctrico $magnitud dirección' sobre el ee x en x ( !,2! cm. b'
y
' x
&
¿a magnitud del cam#o el1ctrico &ue calculó usted en el a#artado $a' es maor o menor &ue el cam#o el1ctrico a !,2! cm de una lámina in6inita de carga con la misma carga #or unidad de área &ue el disco? +n t1rminos de la a#ro4imación usada #ara obtener la ecuación E ( ' 250 $a#licable cuando & es mucho maor &ue la distancia x del #unto considerado al disco' a
σ #artir de la ecuación E = 2ε ) −
$&ue da el resultado e4acto' x 2 ) + )
)
( & e4#li&ue #or &u1 sucede as>. c' ¿Cuál es la di6erencia #orcentual entre el cam#o el1ctrico #roducido #or el disco 6inito #or una lámina in6inita con la misma carga #or unidad de área en x ( !,2! cm en x ( !,%! cm? Rta.: a' 2*% $<C' i b' menor c' -)!T -2!T. !
2
65. 7n
disco cargado uni6ormemente como el de la 6igura tiene un radio de 2 cm una carga #or unidad de área de * )! -9 Cm2. a' +ncuentre el cam#o el1ctrico $magnitud dirección' sobre el ee x en x ( 2! cm. b' =emuestre &ue #ara xJJ &, la ecuación E = E ( Q %V50 x2,
σ
2ε !
) − ( & 2
se con0ierte en 2 x ) +)
)
donde Q es la carga total sobre el disco. c' ¿a magnitud del cam#o el1ctrico &ue calculó usted en el a#artado $a' es maor o menor &ue el cam#o el1ctrico a 2! cm de una carga #untual &ue tiene la misma carga total &ue el disco? +4#li&ue #or &u1 sucede as>. d' ¿Cuál es la di6erencia #orcentual entre el cam#o el1ctrico #roducido #or el disco 6inito el #roducido #or una carga #untual con la misma carga en x ( 2! cm en x ( )! cm? Rta.: a' ),% $<C' i b' menor c' -!,9T -3T. 66. +l
tambor 6ormador de imágenes de una 6otoco#iadora tiene carga #ositi0a #ara atraer las #art>culas de toner con carga negati0a. Cerca de la su#er6icie del tambor, el cam#o E tiene una magnitud de 2 )! * <C. ¿Cuál debe ser la magnitud de la carga negati0a sobre una #art>cula de toner de 3 )!-)2 g #ara ser atra>da al tambor con una 6uera igual a )! 0eces su #eso? Rta.: ),% )!-)* C. 67. 7na
carga #ositi0a Q está distribuida uni6ormemente a lo largo del ee x entre x = ! x = a. 7na carga negati0a - Q está distribuida uni6ormemente a lo largo del ee - x entre x = ! x ( -a. a' 7na carga #untual #ositi0a q se encuentra sobre el ee y #ositi0o, a una distancia y del origen. +ncuentre la 6uera $magnitud dirección' &ue las distribuciones de carga #ositi0a negati0a eercen untas sobre q. =emuestre &ue esta 6uera es #ro#orcional a y! 3 cuando y se hace mu grande. b' "u#onga ahora &ue la carga #untual q se encuentra sobre el ee x #ositi0o, a una distancia x a desde el origen. +ncuentre la 6uera $magnitud dirección' &ue la distribución de carga eerce sobre q. =emuestre &ue esta 6uera es #ro#orciona a x! 3 #ara x a"
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Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
Rta.: a'
"
=
2
Qq
%πε !
a
)
a2
+ y 2
2 ) Qq 2a − i b' " = i 2 2 y πε % a ( ) x x a − !
)
68. 7n
electrón se lana al interior de un cam#o el1ctrico uni6orme dirigido hacia arriba de magnitud %!! <C. a 0elocidad inicial del electrón es de 3 )! ms su dirección 6orma un ángulo de 3!M con la horiontal. a' +ncuentre la distancia má4ima &ue el electrón sube 0erticalmente #or encima de su ele0ación inicial. b' ¿=es#u1s de &u1 distancia horiontal retorna el electrón a su ele0ación original? c' Arace la traectoria del electrón. Rta.: a' !,!) m b' !,)) m. 6. 7na #e&ue5a es6era de masa !, g tiene una carga de 3 )!
-)!
C está unida a un e4tremo de un hilo de seda. +l otro e4tremo del hilo está unido a una gran lámina aislante 0ertical &ue tiene una densidad su#er6icial de carga igual a 2* )! - Cm2. Cuando la es6era está en e&uilibrio, ¿cuál es el ángulo &ue 6orma el hilo con la lámina 0ertical? Rta.: %,)2M. 7!. 7na
carga #untual negati0a q) = ! % nC está sobre el ee x en x ( ),2! m. 7na segunda carga #untual q2 está sobre el ee x en x ( -!,! m. =iga cuáles deben ser el signo la magnitud de q2 #ara &ue el cam#o el1ctrico neto en el origen sea de a' *! <C en la dirección x b' de *! <C en la dirección - x. Rta.: a' ) )! -9 C b' -3 )!-9 C. +n una im#resora de chorro de tinta, las letras se 6orman lanando gotas de tinta al #a#el desde una tobera &ue se mue0e rá#idamente. +l #atrón en el #a#el es controlado #or una 0ál0ula electrostática &ue determina en cada #osición de la tobera si debe a#licarse tinta al #a#el o no. as gotas de tinta, de radio r ( )* ;m, salen de la tobera se des#laan hacia el #a#el a v ( 2! ms. as gotas #asan #or una unidad cargadora &ue da a cada gota una carga #ositi0a q cuando la gota #ierde algunos electrones. as gotas #asan entonces entre #lacas de des0iación #aralelas de ( 2 cm de longitud donde ha un cam#o el1ctrico 0ertical uni6orme de 8 )!% <C de magnitud. "i una gota debe des0iarse y ( !,3! mm cuando llega al e4tremo de la #laca de6lectora, ¿&u1 magnitud de carga debe dársele a la gota? $"u#onga &ue la densidad de la gota de tinta es la misma &ue la del agua, 6 ( )!!! gm3'. ¿"e #uede des#reciar la 6uera de la gra0edad? Rta.: ),! )!-)3 C. 71. "u)cio)amie)to de u)a impresora de c/orro de ti)ta.
72. 7na carga de ) nC está 6ia en el origen una segunda carga desconocida está en x = 3 m, y = !, una tercera carga de )2 nC está en x ( m, y = !. ¿Cuáles son la magnitud signo de la carga desconocida si el cam#o neto en x ( 9 m, y = !, tiene una magnitud de )8 <C está dirigido en la dirección x?
Rta.: -%3 )!-9 C. y
a x 7
7na carga #ositi0a Q está uni6ormemente distribuida alrededor de un semic>rculo de radio a, como se indica en la 6igura. +ncuentre el cam#o el1ctrico $magnitud dirección' en el centro de cur0atura F. 73.
Q
Rta.:
E=
−
) 2π
2
Q ε !
12
a
2
j
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
74. 7na 0arilla delgada, no conductora, se dobla en 6orma de arco circular de radio a subtiende un ángulo . ! res#ecto del centro del c>rculo. "e le distribue uni6ormemente una carga q. =eterminar el
cam#o el1ctrico en el centro del c>rculo. Rta.: E =
)
q
)
2πε ! θ ! a
− cosθ
=
!
2
2
q
)
2πε ! θ ! a
se8 2
θ ! 2
75. 7na carga negati0a - Q está distribuida uni6ormemente alrededor de un cuarto de c>rculo de radio a situado en el #rimer cuadrante, con el centro de cur0atura en el origen. ¿Cuáles son las com#onentes x, y del cam#o el1ctrico neto en el origen? ) Q Rta.: E x ( E y ( 2 2 2π ε ! a
7na carga el1ctrica está distribuida uni6ormemente a lo largo de cada lado de un cuadrado. =os lados adacentes tienen carga #ositi0a con carga total Q sobre cada uno. a' "i los otros dos lados tienen carga negati0a con carga total - Q sobre cada uno, seg/n se indica en la 6igura, ¿cuáles son las com#onentes x ,y del cam#o el1ctrico neto en el centro del cuadrado? Cada lado tiene longitud L. b' Re#ita el cálculo del a#artado $a' considerando &ue los cuatro lados tienen carga #ositi0a Q" 76.
y Q !Q
Q x
Rta.: a'
!Q
!,!) Cm !,!2 Cm2 F
R
B
=
Q πε !
2
L2
( − i − j) b' !.
Ares grandes láminas aislantes #aralelas tienen densidades de carga su#er6iciales de !,!2 Cm2, !,!) Cm2 -!,!2 Cm2, como se indica en la 6igura. Calcule el cam#o el1ctrico neto $magnitud dirección' debido a las tres láminas a' en el #unto F $a la i&uierda de la lámina B' b' en el #unto R $entre las láminas B BB' c' en el #unto " $entre las láminas BB BBB' d' en el #unto A $a la 77.
2
-!,!2 Cm2 "
BB
E
A
BBB
derecha de la lámina BBB'. Rta.: a' -*,* )! 8 $<C' i b' ),9 )!9 $<C' i c' 2,82 )!9 $<C' i d' *,* )!8 $<C' i. 78. Fara
la situación descrita en el #roblema anterior encuentre la 6uera #or unidad de área $magnitud dirección' eercida sobre cada una de las láminas B, BB BBB #or las otras dos láminas. Rta.: ),)3 )! $<m2' i, 2,2 )! $<m2' i, -3,39 )! $<m2' i, res#ecti0amente, #ara las #lacas B, BB BBB. 7. 7na
lámina in6inita con carga #ositi0a ' #or unidad de área se encuentra en el #lano xy. 7na segunda lámina in6inita con carga negati0a - ' #or unidad de área se encuentra en el #lano y) . +ncuentre el cam#o el1ctrico neto en todos los #untos &ue no se encuentran en ninguno de esos #lanos. +4#rese su res#uesta en t1rminos de los 0ectores unitarios i, j 0 " Rta.:
E
=
σ
2ε !
−
x x
i+
) )
0
13
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
7n disco delgado con un aguero circular en su centro, x llamado coro8a circlar , tiene radio interno &) radio e4terior &2 $0er 6igura'. +l disco tiene una densidad de carga ' su#er6icial &2 uni6orme #ositi0a. a' =etermine la carga el1ctrica total sobre la &) corona. b' a corona está en el #lano y) , con su centro en el origen. Fara un #unto arbitrario sobre el ee x $el ee de la y corona', encuentre la magnitud dirección del cam#o el1ctrico E. Considere #untos arriba abao de la corona. c' =emuestre &ue en #untos sobre el ee x su6icientemente cercanos al origen, ) la magnitud del cam#o es a#ro4imadamente #ro#orcional a la distancia entre el centro de la corona el #unto. ¿Cuánto es Wsu6icientemente cercanoW? d' 7na #art>cula #untual con carga negati0a - q #uede mo0erse libremente a lo largo del ee x $#ero no 6uera del ee'. a #art>cula está originalmente en re#oso en x = !,!) &) luego se libera. +ncuentre la 6recuencia de oscilación de la #art>cula. $ 9gere8cia: Re#ase la teor>a del mo0imiento armónico sim#le. a corona está 6ia.' ) ) x ) ) 2 2 i c' E = σ x = − E − Rta.: a' πσ ( &2 − &) ) b' i c' 2 & + x ε ! &) 2 & + & x 2 8!.
σ
ε !
)
qσ ) ) 2ε & − & !
)
2
2 )
2
2 2
2
m
2π
-roblemas de desa#+o 81. Ares
cargas están situadas como se muestra en la 6igura. a magnitud de q) es 2 ;C #ero su signo el 0alor de la carga q2 no se conocen. a carga q3 es de % ;C la 6uera neta " sobre q3 es enteramente en la dirección x negati0a. a' Considerando q3 " los di6erentes signos #osibles de q) q2, ha cuatro #osibles diagramas de 6uera &ue re#resentan las 6ueras % cm 3 cm "1 "2 &ue q) q2 eercen sobre q3. Arace esas cuatro #osibles con6iguraciones de 6uera. b' 7sando los dibuos del a#artado $a' del hecho de &ue la 6uera neta sobre q3 * cm q) q2 no tiene com#onente y sino &ue tiene una com#onente x negati0a, deduca los signos de las cargas q) q2. c' Calcule la magnitud de q2. d' =etermine F , la magnitud de la 6uera neta sobre q3. Rta.: b' q) es negati0a q2 es #ositi0a c' 8,%% )! - C d' *,2 <. F
=os cargas están situadas como se muestra en la 6igura. a magnitud de q) es 3 ;C #ero su signo el 0alor * cm )2 cm de la carga q2 no se conocen. +l cam#o el1ctrico neto E en E el #unto F es enteramente en la dirección negati0a. a' Considerando los #osibles signos di6erentes de q) q2, )3 cm q) q2 ha cuatro #osibles diagramas &ue #odr>an re#resentar los cam#os el1ctricos E1 E2 #roducidos #or q) q2. Arace las cuatro #osibles con6iguraciones del cam#o el1ctrico. b' 7sando los dibuos del a#artado $a' la 82.
1#
Carga eléctrica y campo eléctrico
Física II
dirección del cam#o el1ctrico neto en F, deduca los signos de q) q2. c' =etermine la magnitud del cam#o neto E. Rta.: b' ambas negati0as c' )), )! <C. 83. =os barras delgadas de longitud L se encuentran a lo x ( a2 L la otra entre x ( -a2 x ( -a2 - L. Cada barra
largo del ee x, una entre x ( a2 tiene una carga #ositi0a Q distribuida uni6ormemente a todo lo largo. a' Calcule el cam#o el1ctrico #roducido #or la segunda barra en #untos a lo largo del ee x #ositi0o. b' =emuestre &ue la magnitud de la 6uera &ue una barra eerce sobre la otra es
( a + L ) 2 F = ln 2 ( ) a a 2 L + %πε ! L Q
2
c' =emuestre &ue si aL, la magnitud de esta 6uera se reduce a F = @2%450a2. $9gere8cia: 7se el desarrollo ln$) x; = x - x22 x33 -... #ara UxUI). Pantenga todos los desarrollos #or lo menos hasta el orden L2a2.' Bnter#rete este resultado. Rta.: a'
E
=
) %πε !
Q ) L a
2 + x !
i − a + L + x ! 2 )
1(
Carga eléctrica y campo eléctrico
