Problema de 75 W
En cierta bodega, una caja contiene cuatro focos de 40W, cinco de 60W y seis de 75W. Supóngase que se deben seleccionar los focos, uno por uno hasta encontrar uno de 75W. ¿Cuál es la probabilidad de sacar seis focos cuando menos? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14,15 6 focos cuando menos: 6 focos o más
Resolución: Sea F el evento en el cual se examinan al menos 6 focos hasta encontrar uno de 75W. Sea A el evento en el cual se deben examinar exactamente 6 focos hasta encontrar uno de 75W. Sea B el evento en el cual se deben examinar exactamente 7 focos hasta encontrar uno de 75W. Sea C el evento en el cual se deben examinar exactamente 8 focos hasta encontrar uno de 75W. Sea D el evento en el cual se deben examinar exactamente 9 focos hasta encontrar uno de 75W. Sea E el evento en el cual se deben examinar exactamente 10 focos hasta encontrar uno de 75W.
P(F)=P(A)+P(B) +P(C) +P(D) +P(E)
Resolución:
Focos n=9 que NO son de Probabilidad de que el 75W primer foco examinado no sea de de 75W
P ( A)
P(F)=P(A)+P(B) +P(C) +P(D) +P(E) n=6 Focos que SÍ son de 75W
Focos n=5 que NO son de 75W
n=6 Focos que SÍ son de 75W
= ( 159 ) ( 148 ) ( 137 ) ( 126 ) ( 115 ) (106 ) Focos n=8 que NO son de 75W
n=6 Focos que SÍ son de 75W
Probabilidad de que el sexto foco sea de 75W, de los 10 que quedan después de sacar 5 que no son de 75W.
Resolución: P ( A)
= 0.0252
9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 6 P( B) = = 0.0112 15 ×14 × 13 × 12 ×11×10 9 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 6 P (C ) = = 0.0042 15 ×14 × 13 ×12 ×11 ×10 × 9 8 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 6 P( D) = = 0.0012 15 ×14 ×13 ×12 ×11× 10 × 9 × 8 7 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 6 P ( E ) = = 0.0002 15 ×14 ×13 ×12 ×11 × 10 × 9 × 8 × 7 6 P ( F ) = 0.0252 + 0.0112 + 0.0042 + 0.0012 + 0.0002 = 0.04196
O bien utilizando el complemento 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14,15 6 focos cuando menos: 6 focos o más
Sea F examinar 5 focos o menos
( ) = 1− P (F )
P F
6 9 6 9 ×8 6 9 ×8 ×7 6 9 ×8 × 7 ×6 6 = 1 − + + + + ( ) 15 15 14 15 ×14 13 15 ×14 ×13 12 15 ×14 ×13 ×12 11 P ( F ) = 1 − 0.9580 = 0.04196 P F
Sea F examinar 5 focos o menos
( ) = 1− P ( F )
P F
6
( ) = 1−
P F
15
+
9 6 9×8 6 9× 8× 7 6 9× 8× 7 × 6 6 + + + 15 14 15 × 14 13 15 × 14 × 13 12 15 × 14 × 13 × 12 11
( ) = 1 − 0.9580 = 0.04196
P F
Sea
F
examinar 5 focos o menos 6 15 9 15
75W: Primera extracción 75W: Segunda extracción 6 14 75W 6 75W 8 13 6 14
7 13
12 6 6 12
Focos n=9 que NO son de 75W
n=6 Focos que SÍ son de 75W
11
75W : Quinta extracción
O bien se puede ver de la siguiente manera… Focos n=9 que NO son de 75W
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14,15 6 focos cuando menos: 6 focos o más
Sea F examinar 5 focos o menos
El primer foco que se extrae es de 75 W
Se extraen 4 focos que no son de 75W y en la 5ta extracción se obtiene el de 75W
P16 P09 P16 P19 P16 P29 P16 P39 P ( F ) = 1 − P15 + P15 + P15 + P15 + 2 3 4 1 72 6 36 6 9 P ( F ) = 1 − + + + + 15 35 455 65 715 137 P ( F ) = 1 − = 1 − 0.9580 = 0.04195 143
6
9
P1 P4 15
P5
n=6 Focos que SÍ son de 75W
Analizando el primer término y recordando la definición de permutación; =
n
Pr
6
9
P1 P0 15
P1
n!
( n − r )! 6! 5!(6) 6 5 ! 5 ! = = = 15! 14!(15) 15 14! 14!
Que es el mismo término del análisis usando el complemento, los demás términos se obtienen de la misma manera.
