1. Enunciado Sea un círculo de radio r. Se traza una cuerda al azar. Hallar la probabilidad de: a) Que la cuerda sea mayor o igual que el radio. b) Que la cuerda sea menor que el lado del triángulo inscrito. c) Si fijamos un punto P sobre la circunferencia y consideramos todas las cuerdas que pasan por P, hallar la probabilidad de que una cuerda al azar sea menor que el radio. 2. Una solución al apartado a Supongamos fijado un sistema de referencia en el plano ortonormal de origen O. Sin pérdida de generalidad, supondré que el centro del círculo del enunciado es O y que r=1. Sea c la circunferencia de centro O y radio 1. Defino la aplicación α :c ⟶ ¿ , tal que a cada punto P∈ c , le asociar el ángulo (medido en radianes) que forma el vector OP , y que notaremos por α (P) . Trivialmente α es (1,0) con el vector ⃗ biyectiva, permitiéndonos identificar puntos con ángulos. Sea C una cuerda cualquiera de extremos A y B. Puesto que x=α (A ) e y=α ( B) .
A , B ∈ c , sean
Para identificar cada cuerda C del círculo con una única pareja de valores de ¿ ׿ , voy a imponer que x ≤ y , ya que en principio hay dos formas. Sea Ω={ ( x , y ) ∈ [ 0,2 π ) × [ 0,2 π ) : x ≤ y } nuestro espacio de probabilidad, dotado del σ -álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. La longitud de C será mayor que r si el ángulo comprendido entre sus dos extremos π es mayor que radianes, pero menor 3 5π que radianes. Luego se tiene que 3 π 5π ≤ y−x ≤ cumplir que . 3 3 Si denotamos por X e Y a dos variables aleatorias e independientes que representan los ángulos de los extremos de una cuerda elegida al azar, diremos que ocurre el π 5π ≤ Y −X ≤ suceso S1 cuando se cumpla que . 3 3 A la vista de la figura, la probabilidad de que la longitud de una cuerda C sea mayor que el radio se corresponde con el cociente entre en el área del trapecio azul y el área del triángulo rojo.
2
2
1 5π 1 π 5π π 5 π π 4π − + − 2π ∙ 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 P ( S 1 )= = = = 2 2 1 2 3 4π 4π (2 π ) 2
( ) () (
)(
)
Siendo muy rigurosos al área del triángulo rojo ( Ω ) deberíamos de restarle el área del segmento que forman los puntos de coordenadas (x, 2 π ), con x ∈ ¿ y el área del punto ( 2 π , 2 π ¿ , que también es 0. Luego la probabilidad de que una cuerda sea mayor o igual que el radio es
2 . 3
3. Otra solución del apartado a Tomamos un punto P al azar en el círculo, y trazamos la cuerda perpendicular a OP que pasa por P. Si d es la longitud de dicha cuerda, se verifica que d ≥1 si, y sólo si: √3 d (O , P) ≤ 2 Recordemos que la apotema del hexágono regular inscrito en la circunferencia unidad √3 . mide 2 Sea A el círculo de centro O y radio 2
π P ( A )=
√3 . La probabilidad buscada es: 2
( √23 ) = 3 π
4
Luego la probabilidad de que una cuerda sea mayor o igual que el radio es
3 . 4
4. Una solución al apartado b En ninguna parte del enunciado se indica propiedad alguna del triángulo. Por lo que el enunciado es ambiguo. Buscando entre mis libros de problemas, el que me planteas es muy similar al que apareció en 1984 en Andalucía. En él sí que se indica que el triángulo es equilátero. De ahora en adelante, resolveremos el problema bajo esta condición adicional y con las mismas convenciones y notaciones del apartado anterior. Este problema es muy similar al anterior (de hecho yo diría que es «complementario»). Cualquiera de los vértices de un lado l de un triángulo equilátero inscrito forman un 2π ángulo de radianes con el centro de la circunferencia que lo circunscribe. Luego 3 para que la longitud de una cuerda sea mayor o igual que la longitud de l tiene que
2π 2π 2 π 4π ≤ y−x ≤2 π − ⇔ ≤ y−x ≤ . Esto es justamente lo 3 3 3 3 contrario de lo que el problema nos pide. cumplirse que
Si denotamos por X e Y a dos variables aleatorias e independientes que representan los ángulos de los extremos de una cuerda elegida al azar, diremos que ocurre el suceso S2 2π 4π ≤Y−X≤ cuando se cumpla que . 3 3 De forma análoga al apartado anterior, la probabilidad de que la longitud de una cuerda C sea mayor o igual que la longitud de l, se corresponde con el cociente entre en el área del trapecio verde y el área del triángulo rojo.
1 4π 2 1 2π 2 4 π 2π 4 π 2π − + − 2 3 2 3 3 3 3 3 ´ P ( S 2 )=1−P ( S 2 )=1− =1− =¿ 2 1 2 4 π (2 π ) 2 2π 2π ∙ 3 1 2 ¿ 1− =1− = 2 3 3 4π
( ) ( )
(
)(
)
Luego la probabilidad de que un cuerda C sea menor que el lado del triángulo equilátero 2 inscrito en una circunferencia es también . 3 5. Otra solución del apartado b Al ser
√ 3 el lado del triángulo equilátero inscrito, se verifica que d< √ 3 si, y sólo
si, d (O , P ) >
1 . 2
Sea B el círculo de centro O y radio
1 . La probabilidad buscada es: 2
1 2 π 2 3 1−P ( B )=1− = π 4
()
Luego la probabilidad de que un cuerda C sea menor que el lado del triángulo equilátero 3 inscrito en una circunferencia es . 4
