Ap A p l i c ac i o n es de d el Cál Cál c u l o y Estadística Conc once epto ptos s básic básicos, os, probabili pr obabilida dad d clá cl ásic sica ay condicional
Indice • Introducción • Competencias • Definiciones básicas de probabilidad de probabilidad • Definición clásica de probabilidad • Combinación de eventos • Probabilidad Condicional • Bibliografía
Introducción Generalmente usamos frases como «es probable que aprobemos el curso de aplicaciones del cálculo y la estadística», lo cual nos da una visión cualitativa de la probabilidad de ocurrencia, sin embargo, no es común decir, existe un 69% de probabilidad que aprobemos dicho curso. En esta parte del curso aprenderemos a cuantificar el valor de la probabilidad. Es por ello que en esta parte del curso primero aprenderemos a conocer un experimento aleatorio , el espacio muestral y los eventos, para luego calcular las probabilidades de los eventos aleatorios.
Competencias Competencia general: Aplica, calcular e interpretar el valor de probabilidad. Competencias específicas: • Reconoce un experimento aleatorio. • Determina el espacio muestral y plantea diferentes eventos. • Reconoce los eventos del experimento y plantea la probabilidad a calcular. • Aplica la definición de la probabilidad condicional. • Diferencia entre probabilidad condicional y no condicional.
Definiciones básicas de probabilidad
Definición clásica de probabilidad La definición clásica propone que si el espacio muestral es numerable y cada punto muestral tiene la misma posibilidad de ocurrencia, entonces la probabilidad de ocurrencia de un evento A definido sobre es:
Número de casos favorables al evento A P A nΩ Número de casos totales n A
Ejemplo
Combinación de eventos C
Complemento ( A ) Para un evento A cualquiera se define su complemento, como el evento consistente en todos los puntos de Ω que no están en A.
Unión (A B ) Para dos eventos A y B, la unión del evento A con el evento B es el evento que contienen todos los puntos de Ω que pertenecen a A o a B o a ambos.
Combinación de eventos Intersección (A∩B) Para dos eventos A y B, la intersección de los eventos A y B es el evento que contienen todos los puntos de Ω que pertenecen tanto a A como a B.
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen puntos de Ω en común. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si AB= .
Axiomas de la probabilidad Sea un experimento aleatorio, Ω el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio y A un evento definido en Ω, entonces la probabilidad del evento A, denotada por P( A), es aquel número que cumple los siguientes axiomas: Axioma 1: 0 P( A) 1 Axioma 2: P(Ω) = 1 Axioma 3: Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces: P( AB)
= P( A) + P(B)
Teoremas básicos de probabilidad •
P( )
= 0, donde es el evento imposible. •
P( AC)
= 1 – P( A)
• Si A y B son eventos cualesquiera, entonces P( AB)
= P( A) + P(B) – P( AB)
En una muestra de 2000 hogares de Lima Metropolitana se registró el nivel educativo alcanzado por el jefe de hogar y el nivel socioeconómico al cual pertenece. Nivel educativo del jefe
Nivel Socioeconómico (NSE) Total
de hogar
A
B
C
D
E
Ningún nivel alcanzado
0
1
5
120
180
306
Primaria
2
5
200
220
120
547
Secundaria
20
150
300
280
95
845
Superior
78
44
95
80
5
302
100
200
600
700
400
2000
Total
Si se selecciona un hogar al azar, determine la probabilidad de que el jefe de hogar: • Pertenezca al NSE A o D • Tenga como mínimo un nivel educativo primario. • Tenga un nivel educativo secundario y no sea de NSE C. • Tenga un nivel educativo primario o pertenezca al NSE D.
Ejercicio • El 30% de los habitantes de la ciudad de Trujillo sintoniza el noticiero de televisión de la mañana; el 40% ve el noticiero de la noche y el 10% sintoniza ambos noticieros. Se escoge al azar una persona de esta ciudad; halle la probabilidad de que:
a) Vea el noticiero de la mañana ó de la noche. b) No presencie ninguno de los dos.
c) Presencie sólo el de la mañana o sólo el de la noche.
Ejercicio Un estudio de investigación de mercadoha determinado que en cierta ciudad del norte el 50% de personas consumen Alfa kola, 37% consumen el producto Beta kola y el 30% el producto Zeta kola. Además, consumen Alfa kola y Beta kola el 2%; consumen solo Alfa kola y Zeta kola el 8%; consumen solo Beta kola y Zeta kola el 5%; consumen solamente Zeta kola el 15%. a) Cual es la probabilidad de que una persona consuma Alfa kola o Beta kola pero no Zeta kola? b) Cual es la probabilidad que consuma solo un producto? c) Cual es la probabilidad de que consuma exactamente dos productos? d) Cual es la probabilidad de que consuma por lo menos
Probabilidad Condicional Sea un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado. Sean A, B dos eventos definidos en . La probabilidad de ocurrencia del evento A sabiendo que el evento B ha ocurrido se denota por P( A/B) y se llama probabilidad condicional de A dado B: P A/B
P A B P B
; P B 0
Entonces, la probabilidad de ocurrencia del evento B sabiendo que el evento A ha ocurrido se denota por P(B/ A) y se llama probabilidad condicional de B dado A:
P B/A
Ejercicios • Sean A y B dos eventos tales que P(A) = 0.2, P(Bc) = 0.4 y P(Ac Bc) = 0.3. Calcule:
a) P(AUB) d) P(Ac B)
b) P(A B) c) P(A Bc) e) P(Ac U B) f) P(Bc / A)
Ejemplo: un empresario tiene 2 tipos de acciones A y B. La probabilidad de que las acciones tipo B aumenten su cotización es 0.89 y la probabilidad de que los dos aumenten su cotización es de 0.65. Si las acciones tipo B ya habían aumentado su cotización. ¿Cuál es la probabilidad de que las acciones tipo A aumenten su cotización? Solución: sean los eventos: A:las acciones tipo “A”aumenten su cotización B:las acciones tipo “B”aumenten su cotización Luego:
P(B)=0.89
P(AB)=0.65
entonces si las acciones tipo “B”aumentaron quiere decir que el evento B ya ha ocurrido antes, luego:
P(A/B) = P(AB) = P(B)
0.65 = 0.73 0.89
Propiedades de la probabilidad condicional Se verifica que: a) P(A/B) = 1- P(AC/B)
ó
P(AC/B) = 1- P(A/B)
b) Si A1 y A2 son eventos cualesquiera entonces usando el teorema de la adición tenemos: P[(A1U A2)/B] = P(A1/B) + P(A2/B) – P[(A1 A2)/B]
Ejemplo: Un club consiste de 150 miembros.
Del total, 3/5 son Hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no profesionales.Si se elige al azar un socio del club: a) Calcular la probabilidad que sea hombre y profesional. b) Calcular la probabilidad que sea hombre dado que es profesional. c) Calcular la probabilidad que sea no profesional dado que es mujer. Solución: sean los siguientes eventos:
Hombre: H , Mujer: M , Profesional: F , No profesional: NF
Profesional(F) No profesional (NF)
Total
Hombre (H)
60
30
90
Mujer
40
20
60
100
50
150
(M)
Total
a) P( H F ) = n(HF) = 60 = 0.4 n() 150 b) P( H / F) = P ( H F ) P( F)
c) P( NF / M ) =
=
P ( NF M ) P(M)
=
60/150
100/150 20/150 60/150
= 0.6
=
0.33
Ejemplo: Se tienen los resultados de una encuesta efectuada a los huéspedes de un hotel,evaluando si les gustaba la comida o no , y también se les pregunto de donde provenian. Los resultados de la encuesta se encuentran en la siguiente tabla de doble entrada:
Lés agrado mucho (M)
Lés agrado
Lés desagradó
(A)
(D)
30
30
40
100
Norteamericanos (N)
50
25
35
110
Total
80
55
75
210
Franceses
(F)
Total
Calcular lo siguiente: a) La probabilidad de que el huésped sea francés. P(F)=100/210 b) La probabilidad de que les agradó la comida.
P(A)= 55/210
c) La probabilidad de que el huésped sea norteamericano y le desagrade la comida. P(N D)=35/210 d) La probabilidad de que el huésped sea francés si le desagradó la comida. P(F /D) =
40 P(F D) 210 40 = = 75 75 P(D) 210
e) La probabilidad de que el huésped sea norteamericano si le agradó la comida.
P(N/A) =
25 P(N A) 210 25 = = 55 P(A) 55 210
Ejercicio Mensualmente la oficina de Bolsa de Valores estudia tres grupos de industrias y clasifica las compañías como de bajo riesgo (B) o de riesgo elevado o moderado (E). En un informe reciente publicó sus averiguaciones sobre 13 compañías de la industria Química (Q), 27 compañías de alimentos (A) y 20 compañías mineras (M). Los datos de este informe son: Bajo Riesgo (B)
Elevado Riesgo (E)
Química (Q)
4
9
Minera (M)
8
12
Alim ent os (A)
16
11
Si se elige una compañía al azar:
•Calcular la probabilidad de que sea una compañía de alimentos o de bajo riesgo •Si la compañía es de elevado riesgo, ¿Cuál es la probabilidad que sea una de la industria Química o minera? •Calcular la probabilidad de que la compañía sea de la industria Química o de alimentos y sea considerada como de bajo riesgo.
El Teorema o regla de la Multiplicación La consecuencia más importante de la probabilidad condicional es el teorema de la multiplicación donde:
P(A B) = P(B) P(A/B) ó
P(A B) = P(A) P(B/A) Este teorema se puede generalizar para “n” eventos: P(A1 A2
….
An) = P(A1)P(A2 /A1) P(A3 /A1
A2)…..P(An /A1 A2 ….
An-1)
Ejemplo: Calcular la probabilidad de extraer una bola verde en la primera extracción y una bola roja en la segunda extracción sin reposición de una urna que contiene 3 bolas verdes y 4 rojas. A1= Bola verde en la primera extracción A2= Bola roja en la segunda extracción 1 ∩ 2 = 1 ∗ (2\A1)
= 3/7 * 4/6 = 0,2857
Ejercicio Se seleccionan al azar y sin reemplazo tres televisores de un total de 15 de los cuales se sabe que 5 son defectuosos.
a) Defina el experimento aleatorio b) ¿Cual es el espacio muestral? c)¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso?. d) ¿Cuál es la probabilidad de que uno exactamente sea defectuoso?. e) ¿Cuál es la probabilidad de que uno por lo menos sea defectuoso?.
Ejercicio En una empresa hay 200 empleados, de los cuales 150 son graduados. 60 empleados realizan trabajo administrativo. De estos últimos, 40 son graduados. Si se toma al azar un empleado, encuentre la probabilidad de: a) Sea graduado y no realiza trabajo administrativo. b) Sea graduado administrativo. c)No sea graduado administrativo.
dado dado
que que
no no
realiza
trabajo
realiza
trabajo
Ejercicio Las enfermedades A y B son comunes entre las personas de una región. Suponga conocido que 10% de la población contraerá la enfermedad A, 5% la enfermedad B, e 2% ambas enfermedades. Contraiga almenos una enfermedad. a) Contraiga la enfermedad A pero no B. b) Contraiga la enfermedad A dado que ya contrajo B. c) Contraiga la enfermedad B dado que no contrajo A. d) Contraiga ambas enfermedades dado que ya contrajo almenos una.
• Box, George (2008). Estadística para investigadores. Diseño, innovación y descubrimiento. Barcelona : Reverté (519.2/B78) • Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México D.F.: Cengage Learning (519.5/D64) • Esteban García, Jesús (2005). Estadística descriptiva y nociones de probabilidad. Madrid : Thomson (519.53/E92)
