Formulario Probabilidad y Estadística

FORMULARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA

x  f  R=M-m n

CONJUNTOS

R K n   Nota : para datos  2  Fa  ya agrupados Me  Li   c f   c  L2  L1   1  f  fant 1 Mo  Li  ( )c  2  f  fpos 1   2 X 

K n

c

TEOREMA DE BAYES

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

P ( Ai B ) 

n(A-B) = n(A) - n(A∩B) n(A’) = n(U) – n(A) n(AxB) = n(A) x n(B) PROBABILIDAD SIMPLE

P( E ) 

PROBABILIDAD CONDICIONAL

n( E ) n( s )

P( B )  A

TÉCNICAS DE CONTEO

 n   ( d )  r  Fa  dr  Li   c f    

S2  a



 f  ( x  x) n 1



 f  ( x  x) s 3 (n  1)

3

2



S S

CV 

g

P(AUB) = P(A) + P(B)

x  e  x!

var(x )  



S X 4



 f  ( x  x) 3 s 4 (n  1)

n! (n  r )!

Combinación: nCr 

n! r!(n  r )!

DISTRIBUCION GEOMÉTRICA

Var ( x ) 

1 p p2

  var(x)

E ( xy )   [ x i  y j  P( xi , y j )]



E ( x)  n  p Var ( x )  n  p  q

  var(x)

1 p

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS CONJUNTAS

Cov ( xy )  E ( xy )  (  x   y )

b( x; n, p ) n C x ( p x )q ( n  x )

  var(x)

E ( x) 

 x  var(x)

DISTRIBUCION BINOMIAL

E (x )  

G ( x, p )  p  q ( x 1)

Var ( x )   [ xi2  P ( xi )]  (  x ) 2

Permutación: n Pr 

DISTRIBUCION DE POISSON

P( x;  ) 

E ( x )   X   [ xi  P ( xi )]

P(A∩B) = P(A) x P(B)



DISTRIBUCION HIPERGEOMÉTRICA

H ( N , m; n, x ) 

m

C x [ ( N m) C (n x) ] N

Var ( x )  n

E ( x )  n(

Cn

m N m N n ( )( ) N N N 1

  var(x)

b



var(x)

P ( a, x) 

a b

d

Var ( x )   [ x  f ( x)]dx  

P (c  x  d )   f ( x)dx

a

E( X ) 

Nota: n 

1 p

mNp

xa ba

ab 2

si a < x < b, 0 otro caso

Var ( x ) 

(b  a) 2 12

c

DISTRIBUCION GAMMA

x P(0, x)   ( ,  ) 

m ) N

DISTRIBUCION UNIFORME

Para f(x) si a
cov( xy )  x  y

q=1–p

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

2

P ( A  B ) n( A  B )  P( A) n( A)

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Para eventos independientes: 2

P ( B Ai )  P ( Ai )  [ P ( B Ai )  P( Ai )]

E (x)  

Var ( x )   2   2

DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR

z

( x   ) P( z  n )  0.5 - Tabla(n) P( z  n )  0.5  Tabla(n) 

P( n1 < z < n2 ) = Tabla(n2) – Tabla (n1) Elaborado por: Ing. Beatriz Vargas Rosales

FORMULARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA INFERENCIA ESTADISTICA TAMAÑO DE LA MUESTRA

n0 

z2  p  q E2

n

BONDAD DE AJUSTE

n0 1  [(n0  1) / N ]

X J2 

( fo  fe )2 fe

j k

Si

x

2 j

 xi2 ( k 1,1 ) Si se ajusta

j 1

INTERVALOS DE CONFIANZA Para Media con Dist. Normal

IC  X  z 1 ( (

2

)

Para Proporciones

 ) n

 

IC  p  z 1 (

)

1 )  (s 1  ( v ,1 ) n 2

IC  [

v =n-1

v( s 2 ) v ( s 2 ) , ] x2  x2  i ( v ,1 ) 2

Para Diferencias de Proporciones

IC  ( pˆ 1  pˆ 2 )  z 1 (

2

)

Ha:   C

Ha:   C

Ho:   C

ó Ha: 1   2 2 Colas

Ha:   C

IC  ( X 1  X 2 )  z 1

i (v , ) 2

(

IC  ( X 1  X 2 )  t

Ho:   C

ó Ha: 1   2

 ( v ,1 ) 2

Ho: 1   2

2

)

 12  22  n1 n2

t-Student v = *n - 1

s12 s 22  n1 n2

* se toma la n más pequeña

Si IC es ( -,+ ) entonces 1   2 Cálculo de Z0 ó t0 Para Z0

z calc  z 0

t0 = t(v,1-)

tabla = 0.5 - 

Se rechaza Ho si z calc  z 0



Igual que el anterior, pero tanto z0 como t0 son negativas

z calc  z 0

Se acepta Ho si

Ho: 1   2

v = n-1

con Dist. Normal

Se acepta Ho si

Ho: 1   2

s ) v

(

Para Diferencias de Medias

Regla de Decisión

Ho:   C

ó Ha: 1   2

 ( v ,1 ) 2

v=n-1

Si IC es (+ ) entonces 1   2

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Cola Izquierda

IC  X  t

Para Diferencias de Medias con Dist.

pˆ 1  (1  pˆ 1 ) pˆ 2  (1  pˆ 2 )  n1 n2

Si IC es ( - ) entonces 1   2

Cola Derecha



p (1  p) n

Para Varianza con Dist. Xi2

De Predicción

Ip  X  t

2

Para Media con Dist. t-Student

Se rechaza Ho si z calc  z 0 Se acepta Ho si

Se rechaza Ho

z01= -z02, para z02

z 01  z calc  z 02

si zcalc < z01

 tabla = 0.52

ó

La región de rechazo es 1 - y zo es el límite de la región de aceptación en Dist. Normal.

Para: Media

Para muestras pequeñas (n<30) se usa Dist. tStudent y en lugar de z es t y en lugar de  es s y para calcular v en to en diferencia de medias, se toma la n más pequeña.

z calc 

x  n

zcalc > z02

Proporciones

 ( v ,1 ) 2

t01= -t02

Diferencia de Medias

pˆ  p p(1  p) n

zcalc 

t 02  t

z calc 

( X 1  X 2 )  ( 1   2 )

 12  22  n1 n2

REGRESION LINEAL SIMPLE y = mx + b

m

n [ xy ]   x   y n ( x 2 )  ( x ) 2

b

 y  m x n

r

n xy    x   y [ n  ( x 2 )  (  x ) 2 ][ n  ( y 2 )  (  y ) 2 ] Elaborado por: Ing. Beatriz Vargas Rosales