Tema 3: PROBABILIDA PROBABILIDAD D PROBLEMAS
1. El departamento de calidad de una fábrica de elementos de sujección ha evaluado que cierto tipo de anclajes anclajes metálicos metálicos producidos producidos pueden ser defectuos defectuosos os debido a las siguientes siguientes causas: defectos defectos en la rosca y defectos en las dimensiones. Se ha calculado que el 6% de los anclajes que producen tiene defectos en la rosca, mientras que el 9% tiene defectos en las dimensiones. Sin embargo, el 90% de los anclajes no tienen ningún tipo de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que un anclaje tenga ambos tipos de defectos? SOLUCIÓN:
P = 0: 0 :05 2. Una máquina consta de tres componentes en serie, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de fallo de 0:01. 01. Por motivos motivos de seguridad seguridad se decide colocar otros otros tres componentes, componentes, en paralelo con los primeros, primeros, para reducir reducir el riesgo de avería avería de la máquina. máquina. Suponiendo Suponiendo que todos los componentes componentes actúan independientemente, ¿ cuál de las dos alternativas presentadas en la …gura es preferible, teniendo en cuenta que, por motivos económicos, los componentes de seguridad son de inferior calidad y tienen una probabilidad de averiarse de 0.05?
SOLUCIÓN:
P ( P (avería de la máquina en a ) = 4:236 236 10 3 : P ( P (avería de la máquina en b ) = 1:499 499 10 3 : Por consiguiente, es preferible la alternativa b) a la a). 3. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe sab e que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad de su intersección es de 0,1. (a) Calcula Calcula la probabilidad probabilidad de A. (1 punto) punto) (b) ¿Qué suceso suceso es más probable probable que o curra sabiendo sabiendo que ya ha ocurrido ocurrido el otro? Justi…ca Justi…ca tu respuesta. respuesta. (2 puntos) SOLUCIÓN:
(a) P ( P (A) = 0:1; P ( P (B ) = 0:2 (b) Es más probable el B si hemos observado el A. 4. La probabilidad de que un componente se averíe averíe en un período de tiempo dado es 0 es 0::01. 01. Su estado (averiado, funcionando) se comprueba con un ensayo que cumple que cuando el componente funciona la probabilidad de que el ensayo diga lo contrario es 0: 0 :05, 05, pero si el componente está averiado el ensayo no se equivoca. Si el ensayo indica que el componente está averiado, ¿ cuál es la probabilidad de que realmente lo esté? SOLUCIÓN:
P = 0: 0 :168 168:: 1
5. Un laboratorio quiere introducir en el mercado un test para detectar una enfermedad. Cuando la persona está enferma, el test indica un 95% de las veces que lo está. Sin embargo, a veces el test da positivo aunque la persona no tenga la enfermedad. Esto ocurre un 1% de las veces. Si el 0:5% de la población está enferma, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad cuando el test así lo indica? (junio 97). SOLUCIÓN:
P = 0:323: 6. En un sistema protegido por una alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haber existido peligro es 0.03. Hallar la probabilidad de que habiendo funcionado la alarma no haya habido peligro. . SOLUCIÓN:
P = 0:2213 7. Tres máquinas A, B y C producen piezas con una proporción de defectuosas del 5%, 3% y 2% respectivamente. Se tiene un lote compuesto por 100 piezas de A, 50 de B y 50 de C. Se extrae una pieza al azar. (a) Calcular la probabilidad de que la pieza sea defectuosa. (b) Si la pieza es defectuosa, calcular la probabilidad de que venga de A. SOLUCIÓN:
a. P = 0:0375: b.P = 0:66 8. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad, de manera que el 60% de los autobuses cubren el servicio de la primera línea, el 30% cubren el servicio de la segunda línea y el 10% cubren el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es: Del 2% en la primera línea. Del 4% en la segunda línea. Del 1% en la tercera línea. Calcular: (a) La probabilidad de que en un día un autobús sufra avería. (b) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que preste servicio en la primera línea? SOLUCIÓN:
a) P = 0:025: b) P = 0:48
2
9. Se tiene un sistema de componentes conectados según la siguiente …gura:
A
1
2
3 B
4 6 5 7
Todos los componentes son de una …abilidad similar, y tienen una probabilidad de averiarse de 0.01. Las averías de los componentes son independientes del estado del resto de los componentes. El sistema fuciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? SOLUCIÓN:
P (funciona) = 0:9896 10. Calcula la probabilidad de que el siguiente sistema funcione, donde los componentes tienen las mismas características que en el problema anterior
1
A
4
B
3
2
5
SOLUCIÓN:
P (funciona) = 0:9898 11. Sean A,B y C sucesos cualesquiera. Demostrar los siguientes resultados (junio 05):
3
(a) Demuestra que P (A [ B [ C ) = P (A) + P (B) + P (C ) P (B \ C ) P (A \ B) P (A \ C ) + P (A \ B \ C ) (sugerencia: ayúdate del suceso D = B [ C ) (b) Demuestra que si A,B y C son mutuamente excluyentes, entonces P (A[B[C ) = P (A)+P (B)+P (C ) (c) Demuestra que P (A \ B \ C ) = P (AjB \ C )P (BjC )P (C ) (d) Sea A = B \ C: Demuestra que P (BjA) = 1 (e) Sea ahora A = B [ C: Demuestra que P (BjA) = P (B)=P (A) 12. Se tiene un sistema formado por 4 componentes como el de la …gura
Todos los componentes son de una …abilidad similar, teniendo una probabilidad de averiarse de 0.05. Las averías de los componentes son independientes del estado del resto de los componentes. El sistema fuciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? SOLUCIÓN:
0:94988: 13. Se sabe que la probabilidad de marcar un teléfono equivocado en España es 0.1 (números de 9 cifras). Si la probabilidad de marcar un dígito mal (equivocarse al marcar una tecla) es igual para cada uno de los dígitos e independiente del número de dígitos que tenga el número, calcula la probabilidad de equivocarse al llamar al siguiente teléfono de información: 1485. SOLUCIÓN:
0.0457. 14. En una asignatura los alumnos deben aprobar tanto la parte práctica como la parte teórica, realizándose ambas evaluaciones en exámenes diferentes. De la información disponible se ha podido observar que un 60 % de los estudiantes aprueba la parte de prácticas. Un 70 % de los que no aprueban la parte práctica no aprueba tampoco el examen de teoría. También sabemos que un 18% de los estudiantes aprueban la parte práctica pero suspenden el examen de teoría. (a) ¿Qué porcentaje de estudiantes no aprobó ni las prácticas ni la teoría? (b) ¿Qué porcentaje de estudiantes no ha aprobado la parte teórica? (c) De los estudiantes que no han aprobado la parte teórica, ¿qué porcentaje aprobó la parte práctica? SOLUCIÓN:
4
(a) 0.28 (b) 0.46 (c) 0:3913 15. Un sistema de comunicación binario transmite sólo 0 y 1. Debido al ruido del sistema, a veces un 0 transmitido se recibe como un 1, y un 1 transmitido se recibe como un 0. Suponiendo que la probabilidad de que un 0 se transmita correctamente es 0.94, que la probabilidad de que un 1 se transmita correctamente es 0.91, y que la proporción de 0‘s transmitidos es 0.45, calcular: (a) La probabilidad de que habiendo recibido un 1, haya sido transmitido un 1. (b) La probabilidad de que habiendo recibido un 0, haya sido transmitido un 1. SOLUCIÓN:
(a) 0:949 (b) 0:10 16. Como puede observarse en la …gura, el siguiente sistema está formado por dos subsistemas conectados en serie, S y T, que están formados a su vez por los dispositivos S 1 ; S 2 ; S 3 y T 1 ; T 2 , respectivamente.
Los cinco dispositivos fallan de manera independiente, siendo las probabilidades de fallo las siguientes: S 1 : S 2 : S 3 :
0.1 0.2 0.3
T 1 : T 2 :
0.1 0.2
Se pide: (a) Calcula la probabilidad de que el subsistema S funcione. (b) Calcula la probabilidad de que el subsistema T funcione (c) Calcula la probabilidad de que el sistema completo funcione. SOLUCIÓN:
(a) 0:916 (b) 0:98 (c) 0:89768 17. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes cuestiones, razonando la respuesta (a) El 30% de los accesos al servidor de una empresa tiene como objetivo la descarga de documentos. El 10% de este tipo de descargas resulta fallida. A partir de esta información podemos asegurar que el porcentaje total de conexiones fallidas al servidor independientemente de su objetivo es 0:3 0:1 = 0:03. (b) Después de analizar todos los registros de fallos del servidor anterior vemos que los únicos errores de transmisión observados se han producido durante la descarga de documentos. Por tanto el porcentaje total de conexiones fallidas al servidor independientemente de su objetivo es del 10%. 5
(c) En otro servidor de esa misma empesa se observa que también el 10% de las descargas resultan fallidas. Sin embargo, en operaciones distintas a las descargas se observan fallos el 5% de las veces. Si a la hora de descargarse documentos los usuarios usan indistintamente un servidor u otro, el porcentaje total de descargas fallidas será del 9.25%. SOLUCIÓN:
(a) Falso. (b) Falso. (c) Falso. 18. Una red está formada por 3 subsistemas como indica el grá…co. La red funciona siempre que haya conexión entre los puntos A y B. Los 5 componentes que se encuentran en la red tienen una probabilidad de fallo de 0.05, siendo sus estados (funcionando/averiado) independientes unos de otros. Calcula la probabilidad de que este sistema falle.
SOLUCIÓN:
Llamemos, por simplicidad, S i al suceso “el subsistema S i funciona”. El subsistema S 1 funciona si ambos componentes funcionan. Similar razonamiento puede hacerse para S 2 . Por tanto P (S 1 ) = 0:952 = 0:9025 = P (S 2 ) : Todo el sistema funciona si funciona alguno de sus subsistemas, y fallará cuando fallen los tres. Por tanto, la probabilidad de que falle es
P S = P S 1 \ S 2 \ S 3 = P S 1 P S 2 P S 3 = (1 0:9025)2 0:05 = 0:000475 = 4:75 104
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