ELEMENTOS DE PROBABILIDAD
Qué es una probabilidad? La probabilidad es una medida de la posibilidad de que algo pase. Una probabilidad es una medida numérica de la verosimilitud o del grado de certeza de que un evento ocurra.
Ejemplos: Probabilidad Probabili dad que al lanzar una moneda caiga cara P(cara)= 0.5 Probabilidad que llueva mañana P(Lluvia) = 0.10 Probabilidad de de pasar Estadística Estadística Basica P(Pasar EB)= ?
Definiciones: Experimento: cualquier proceso para recolectar datos de un fénomeno que exhibe variabilidad. Experimento determinístico: es aquel que al repetirlos bajo las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado. Ejemplo: Arrojar un objeto en caída libre, en física de décimo grado aprendimos a predecir el tiempo de vuelo, la aceleración, velocidad, etc. En consecuencia lo que estudiaremos en adelante son Experimentos NO determinísticos. Espacio Muestral: Muestral: el conjunto de todos los posibles posibles resultados a un experimento. Notación: Suele denotarse utilizando la letra S Ejemplo: Experimento Lanzar una moneda balanceada Lanzar un dado no cargado Lanzar dos monedas
Espacio Muestral S = {cara,sello} S = {1,2,3,4,5,6} S = {CC,CS,SC,SS}
Lanzar un par de dados no cargados
C: cara cara S: sello sello Extensión
S = {(1,1), (1,2), (1,3), …..(6,5),(6,6) } 36 ares
Comprensión S = {(x,y): 1 < x < 6; 1 < y <6} Gráfica
Medir el pH de una sustancia
1 2 1 (1,1) (1,2) 2 (2,1) (2,2) 3 (3,1) (3,2) 4 (4,1) (4,2) 5 (5,1) (5,2) 6 (6,1) (6,2) S = {x: 0
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
S = {rojo, azul} Seleccionar 4 personas del grupo y S = {ssss,ssse,sses,sess,esss,ssee,sese,sees, realizarles la prueba para detectar el virus esse,eses,eess} AH1N1
s:sano e:enfermo De un lote producido por cierta fábrica, S ={ ¿? } revisar artículos uno a uno hasta encontrar el segundo defectuoso Jugar la lotería de Santander S ={ ¿? } Jugar el baloto S ={ ¿? }
Evento: cualquier subconjunto de un espacio muestral S. Por ejemplo para el segundo experimento en la tabla anterior, un evento puede ser A: cae número par, o descrito por extensión, A={2,4,6} Para el cuarto experimentos de la tabla anterior, podríamos definir los eventos: B: Cae par
B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
C: Suma de puntos obtenidos es 7 C={ ? }
TAREA Ejercicio 1: Si es posible listar el espacio muestral, de ser muy grande o infinito describirlo (caracterísitca de los resultados, cuántos elementos hay, etc) E1 Lanzar una moneda y un dado E2 Lanzar tres dados E3 Dentro de un registro de familias numerosas, seleccionar una familia y registrar el género de sus dos primeros hijos E4 Encuestar una persona por su preferencia electoral (previo a las elecciones por la alcaldía de Bucaramanga) E5 Seleccionar aleatoriamente 2 estudiantes del grupo de EB y registrar el estrato socioeconómico al que pertenecen E6 Dar a degustar tres bebidas, A,B y C, y pedir que se ordenen según la preferencia E7 Seleccionar un estudiante del grupo y medir su estatura E8 Seleccionar estudiantes dentro del campus universitario hasta encontrar dos estudiantes que padecen de cierta rara enfermedad E9 Ir un día al hospital universitario y observar el género de los recién nacidos E10 Contestar una prueba de falso o verdadero que contiene 4 preguntas E11 Contestar una prueba de selección múltiple, con cuatro opciones de respuesta (a,b,c,d) y que contiene 3 preguntas
Ejercicio 2:
Con base en los espacios muestrales del ejercicio 1, indicar qué elementos conformas los
siguientes eventos. Con E2 A: Total de puntos obtenidos es 4 A= {
}
Para E5 B: Los dos estudiantes pertenecen al mismo estrato socieconómico B= { Para E6 C: La primera elección fue la bebida A
}
D: El último puesto lo ocupa la bebida C Para E10 E: Todas las respuestas coinciden F: Hay dos respuestas verdaderas G: La segunda respuesta es verdadera H: Sólo la primera respuesta es verdadera I: Hay más verdaderas que falsas Para E11 J: Hay La opción A se repitió dos veces K: No se repiten respuestas L: La opción a no fue seleccionada
Asignación de Probabilidades Note que las probabilidades deben calcularse para tener argumentos que nos permitan predecir el resultado a un experimento y insistimos que esto se hace necesario sólo cuando hay variabilidad en el resultado, es decir, el experimento admite más de un resultado posible.
LA ESCALA DE PROBABILIDAD +----------------------------+----------------------------+ 0 .5 1 Evento Imposible Es igualmente probable Evento seguro que ocurra o que no ocurra
Cómo Asignar Probabilidades?
Repetición del experimento (Uso de la Frecuencia Relativa como aproximación)
Formal
Es equiprobable Ley de Laplace (Casos favorables/Casos posibles) Características del Experimento y Espacio Muestral
Para asignar una probabilidad
No es equiprobable (Analizar características del experimento, Aplicar Propiedades, Definiciones,Axiomas,teoremas,etc) A partir de creencias, opiniones, intuición, etc Estadística Bayesiana
Subjetivo
1. Frecuencia relativa de presentación. Ejercicio 3: Utilice el applet “Coin flip” disponible en
http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/Probability.html y trabaja con él Complete la siguiente tabla según la información solicitada en cada celda. Para abreviar denotaremos Fr : Frecuencia relativa No. De Lanzamientos
# de caras
Fr (Cara)
:
:
10 30 50 70 :
:
:
:
100
Elabore un gráfico de líneas que muestre en el eje horizontal el No. De lanzamientos y en el eje vertical la frecuencia relativa. Luego redacte conclusiones sobre sus observaciones más importantes.
Solución Esperada!
Figura: Convergencia a 1/2 de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en lanzamientos sucesivos de una moneda (por simulación del experimento).
En la Figura se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido al lanzar una moneda 100 veces (resultados obtenidos por simulado). En principio la evolución de las frecuencias relativas exhibe mucha variabilidad, pero a medida que el número de lanzamientos aumenta, tiende a estabilizarse y lo hace justo en ese valor teórico al que llamamos probabilidad de cara.
Uso del Enfoque Frecuentista: En el siglo XIX, los estadísticos británicos, interesados en la fundamentación teórica del cálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a este planteamiento se le llama frecuencia relativa de presentación de un evento y define la probabilidad como: La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos, o la fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables.
Cuando las probabilidades se interpretan en esta forma se dice que estamos usando un enfoque frecuentista de probabilidad. Ejemplos:
Cuando queremos saber cuál es la probabilidad de pasar Estadística Básica podríamos pensar en utilizar la frecuencia relativa : P(Pasar EB)=
pero habría que contar sólo aquellos que tomaron el curso bajo las mismas condiciones (misma profesora, mismo curso, mismo metodología, etc) Cuando queremos indagar por la intención de voto por algún candidato recurrimos a hacer una encuesta. No encuestamos una sola persona sino muchas, y así, el cociente entre el número de seguidores por el candidato divido entre el número de encuestados esperamos nos permitirá acercarnos al verdadero valor para P(Votar por el candidato) Comentarios:
Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una aproximación de la verdadera probabilidad. Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumentan las observaciones. Una dificultad presente con este planteamiento es que la gente lo utiliza a menudo sin evaluar el número suficiente de resultados o por ejemplo cuando se trata con seres vivos, es imposible repetir el experimento bajo las mismas condiciones un gran número de veces.
Interpretación de las probabilidades bajo en Enfoque frecuentista
Al lanzar una moneda balanceada, la probabilidad de cara es 0.5
En un gran número de repeticiones, el 50% de los resultados son caras.
Según el IDEAM, la probabilidad de lluvia para mañana es del 10%
? Sobre estirilización femenina, la técnica llamada Pomeroy tiene una probabilidad de falla de 0.1
?
Tarea opcional Asigne un valor “objetivo” a la probabilidad de que Rafael Nadal gane a Djokovic? Asigne un valor “subjetivo” a la probabilidad de que Rafael Nadal gane a Djokovic?
Cuál es la probabilidad de que el Barcelona actual (el de Guardiola) gane el próximo partido que juegue ante el Real Madrid actual (Con Cristiano Ronaldo)?
