ECONOMETRIA I TALLER No. 2: distribuciones de probabilidad. El siguiente taller lo pueden resolver en parejas o grupos de máximo 3 personas, recuerde que sólo lo debe subir un integrante del grupo. 1 El salari salario o prom promed edio io para los reci recién én egre egresa sado dos s de econom economía ía durant durante e el último último ao !ue de " 1.#$$.$$$. 1.#$$.$$$. %i se supone que este salario se distribu&e distribu&e normalmente con una desviación estándar de " '($.$$$. %ea X → %alario promedio para un recién egresado de economía. X N ( μ ,σ ∼
)onde
2
)
μ=1600000 &
σ =250000
a *+uál es es la probab probabilid ilidad ad de un recién recién egre egresado sado reciba reciba un salario salario entre entre " 1.$$.$$$ & 1.-$$.$$$ P (1400000 ≤ X ≤ 1800000 ) = P ( 1800000 ≤ X )− P ( 1400000 ≤ X ) )
(
P Z ≤
1800000 −1600000 250000
)− (
P Z ≤
1400000 −1600000 250000
)
P ( Z ≤ 0.8 ) − P ( Z ≤ −0.8 )= 0.7881−0.2128 =0.5762
Hay una pr Hay pro oba babi billidad idad de 5!" 5!"2 2# de $u $ue e un reci reci%n %n e&resado reciba un salario entre ' (.)**.*** y (.+**.*** b *+uá *+uáll es la prob probab abil ilid idad ad de que recib eciba a un sala salari rio o ma&o ma&orr a dos dos millones P ( X ≥ 2000000 )= 1− P ( 2000000 ≤ X )
(
1− P Z ≤
2000000 −1600000 250000
)
1− P ( Z ≤ 1.6 )=1− 0.9452=0.0548
c
Hay una probabilidad de 5!5# de $ue un reci%n e&resado reciba un salario ,ayor a dos ,illones. *+uál *+uál es por porcen centaj taje e de sala salario rios s menor menor a " 1.($$ 1.($$.$$ .$$$ $
(
P ( X ≤ 1500000 )= P Z ≤
1500000 −1600000 250000
)
1− P ( Z ≤−0.4 )=0.3457
Hay un porcenta-e de )!)"# salarios ,eno enores a '(.5**.*** '(.5**.*** para los reci%n e&resados de econo,/a durante el 0lti,o a1o.
d +uál +uál es el sala salari rio o límit límite e para para estar estar en el 1/ corre corresp spon ondi dient ente e a los los salarios más altos. P ( X ≤ k )=0.01
(
P Z ≤
k −1600000 250000
)=
0.01
Z =2,32 k −1600000 250000
=2.32
k =( 2.32∗250000 ) + 1600000 k =2181586,97
El salario l/,ite para estar en el (# de los salarios ,s altos es '2.(+(.5+ '2.(+(.5+ ' %e llama llama cocie cocient nte e inte intele lect ctua uall 0+. 0+..2 .2 al coci cocien ente te entre entre la edad edad menta mentall & la edad real. %e sabe que la distribución del +.. se distribu&e normalmente con con medi media a $. $. & desv desvia iaci ción ón típi típica ca $.1$.1-.. En una pobl poblac ació ión n con con '#$$ '#$$ personas se desea saber4 %ea X → el cociente intelectual 0+..2 X N ( μ ,σ ∼
)onde
2
)
n =2600, μ =0.99 &
σ =0.18
a. *+uánt *+uántas as tendrá tendrán n un +.. super superior ior a 1. 1. P ( X ≥ 1.4 )=1− P ( 1.4 ≤ X )
(
1− P Z ≤
1.4 − 0,99 0.18
)
1− P ( Z ≤ 2.277 )=1− 0.9886=0.01136 0.01136∗2600 =29.5617
En una poblaci3n con 2"** personas! * personas tendrn un cociente intelectual superior a (!). b. +uántas +uántas tendrán tendrán un +.. +.. in!eri in!erior or a $.-
(
P ( X ≤ 0.8 ) = P Z ≤
0.8 −0.99 0.18
)
P ( Z ≤ −1.05 )=0.1456 0.1456∗2600=378.52
En una poblaci3n con 2"** personas! + personas tendrn un cociente intelectual in4erior a *.+. c. *+uántas tendrán un +.. entre $.-5 & 1.( P ( 0.87 ≤ X ≤ 1.5 )= P ( 1.5 ≤ X )− P ( 0.8 ≤ X )
(
P Z ≤
1.5 −0.99 0.18
) (
− P Z ≤
0.87 −0.99 0.18
)
P ( Z ≤ 2.83 ) − P ( Z ≤ − 0.66 )= 0.9977−0.2525 =0.745 0.745∗2600= 1937.53
En una poblaci3n con 2"** personas! ( personas tendrn un cociente intelectual entre *.+ y (.5. 3 6a compaía aérea 78lillas9 sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una le& normal, con un retraso medio de '$ minutos & desviación típica 5 minutos. +alcular4 X →
%ea
tiempo de retraso de los
vuelos
de la compaía
78lillas90medido en minutos2 2 %ea X N ( μ ,σ ) ∼
)onde
μ=20 &
σ =7
a. :robabilidad de que un vuelo no tenga retraso.
(
P ( X ≤ 0 )= P Z ≤
0 − 20 7
)
P ( Z ≤ −2.857 )= 0.002137
La probabilidad de $ue un 6uelo de la co,pa1/a a%rea 7Alillas8 no ten&a retraso es de *!2(#. b. :robabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 3( minutos de retraso.
(
P ( X ≤ 35 ) = P Z ≤
35 −20 7
)
P ( Z ≤ 2.1428 ) =0.9839
La probabilidad de $ue el pr39i,o 6uelo de la co,pa1/a a%rea 7Alillas8 lle&ue con no ,s de 5 ,inutos de retraso es de +.)#. c. :robabilidad de que el próximo vuelo llegue con más de 3$ minutos de retraso.
(
P ( X ≥ 30 ) =1− P Z ≤
30 −20 7
)
1− P ( Z ≤ 1.4285 )=1−0.9234 =0.0765
La probabilidad de $ue el pr39i,o 6uelo de la co,pa1/a a%rea 7Alillas8 lle&ue con ,s de * ,inutos de retraso es de ."5#. ;na empresa instala $$$$ bombillas. 6a duración media de una bombilla sigue una distribución normal con media 3$ días & desviación típica '(. *+uántas bombillas se espera que se !undan antes de 3#( días *+uántas durarán más de $$ días %ea X → 6a duración media de una bombilla. 0
)onde
2
)
n =4000, μ =340 &
σ =25
8ntes de 3#( días4
(
P ( X ≤ 365 ) = P Z ≤
365 −340 25
)
P ( Z ≤ 1 )= 0.8413 0.8413∗4000= 3365.378
e espera $ue se 4undan "5 bo,billas antes de "5 d/as. <ás de $$ días4
(
P ( X ≥ 400 )=1− P Z ≤
400 −340 25
)
1− P ( Z ≤ 2.4 )=1 −0.9918 = 0.00819 0.0082∗4000=32.8
e espera $ue bo,billas duren ,s de )** d/as ( En un examen a un gran número de estudiantes, se comprobó que las cali=caciones obtenidas correspondían ra>onablemente a una distribución normal con cali=cación media de #,5 & desviación típica de 1.-.
Elegido al a>ar un estudiante, calcular +uál es la probabilidad de que su cali=cación esté comprendida entre #.' & 5.3. %ea X → 6as cali=caciones. X N ( μ ,σ
2
∼
)
μ=6.7 &
)onde
σ =1.8
P (6.2 ≤ X ≤ 7.3 )= P (7.3 ≤ X )− P ( 6.2 ≤ X )
(
P Z ≤
7.3 −6.7 1.8
) (
− P Z ≤
6.2 −6.7 1.8
)
P ( Z ≤ 0.333 ) − P ( Z ≤ −0.277 )= 0.6305−0.3906 =0.23996
La probabilidad de un estudiante ele&ido al a;ar obten&a una cali
)onde
μ=20 &
σ =7
a. +alcular la probabilidad de que comprendido entre 15 & '3 minutos. P (17 ≤ X ≤ 23 )= P ( 23 ≤ X )− P ( 17 ≤ X )
(
P Z ≤
23 −20 7
) (
− P Z ≤
17 −20 7
el
tiempo
de
llegada
esté
)
P ( Z ≤ 0.4285 ) − P ( Z ≤ −0.4285 )=0.6658 −0.3341= 0.3317
La probabilidad de $ue el tie,po de lle&ada de la a,bulancia sea de ( a 2 ,inutos es de .(# b. *:ara qué valor del tiempo t, la probabilidad de que la ambulancia emplee más de t minutos en llegar es del -/ P ( X ≥ t )=1− P ( X ≤ t ) =0.08
(
t −20
(
t −20
P Z ≤
P Z ≤
7
7
)= − 1
)=
0.08
0.92
Z =−1.4050
t −20 7
=−1.4050
t =(−1.4050∗7 )+ 20 t =10.16
La probabilidad de $ue la a,bulancia e,plee ,s de (*.(" ,inutos en lle&ar es del +# 5 En un gran estadio deportivo se quiere instalar !ocos para iluminar el campo de juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los !ocos es, aproximadamente, normal con media 5$ ?oras & desviación típica 1$ ?oras. %ea X → El tiempo de vida de los !ocos.0medido en ?oras2 X N ( μ ,σ ∼
)onde
2
)
μ= 70 &
σ =10
a. Escogiendo un !oco al a>ar, *+uál es la probabilidad de que lu>ca al menos ($ ?
(
P ( X ≥ 50 ) =1− P Z ≤
50 −70 10
)
1− P ( Z ≤−2 ) = 1−0.02275 =0.9772
La probabilidad de $ue un 4oco ele&ido al a;ar lu;ca al ,enos 5* =oras es de .2# b. %i se compran 1#$$ !ocos, *cuántos se puede esperar que lu>can por lo menos #$ ?
(
P ( X ≥ 60 ) =1− P Z ≤
60 −70 10
)
1− P ( Z ≤−1 ) =1 −0.158655= 0.8413 0.8413∗1600=1346,15
i se co,pran ("** 4ocos se espera $ue ()" lu;can al ,enos "* =oras. c. %i se comprueba que sólo 1$$ !ocos lucen durante más de (( ?, *qué puede deducirse
(
P ( X ≥ 55 ) =1− P Z ≤
55 −70 10
)
1− P ( Z ≤−1.5 ) =1−0.0668 =0.9332 0.9332∗1600 =1493,11
e&0n los datos proporcionados deber/an lucir () 4ocos lucen durante ,s de 55 =oras! si solo ()** 4ocos lucen ,s de 55 =oras $uiere decir $ue los datos no si&uen la distribuci3n nor,al con la ,edia y la des6iaci3n dic=as. - %e ?a aplicado un test a $$ alumnos & se ?a obtenido que los resultados se distribu&en normalmente con media 3' & desviación típica . %ea X → puntuación del test X N ( μ ,σ
2
∼
)onde
)
μ=32, n =400 &
σ =9
a. *@ué porcentaje de alumnos tendrá una puntuación comprendida entre '$ & 3$ P (20 ≤ X ≤ 30 )= P ( 30 ≤ X )− P ( 20 ≤ X )
(
P Z ≤
30 −32 9
) (
− P Z ≤
20− 32 9
)
P ( Z ≤ −1.333 )− P ( Z ≤−0.222 ) = 0.09121−0.41207 =0.3208
El 2!(# de los alu,nos tendrn una puntuaci3n co,prendida entre 2* y *. b. *+uántos alumnos tendrán puntuación ma&or de '
(
P ( X ≥ 42 )=1− P Z ≤
42− 32 9
)
1− P ( Z ≤ 1.11 ) =1− 0.86673 =0.1332 0.1332∗400=53,30
>e los )** alu,nos 5 obtendrn un punta-e superior a )2. 6a nota media de las pruebas de acceso correspondientes a los estudiantes que querían ingresar en una !acultad era (.-, & la desviación típica 1.. Aueron admitidos los de nota superior a #,-. %ea X → nota correspondiente a las pruebas de acceso a la !acultad X N ( μ ,σ ∼
)onde
2
)
μ=5.8 &
σ =1.9
a. *+uál !ue el porcentaje de admitidos si la distribución es normal
(
P ( X ≥ 6.8 ) =1− P Z ≤
6.8 −5.8 1.9
)
1− P ( Z ≤ 0.5263 )=1− 0.70066 =0.2993
El *# de estudiantes $ue presentaron la prueba de ad,isi3n a la 4acultad 4ue ad,itido. b. *+on que probabilidad exactamente 3 de 1$ estudiantes son admitidos %ea X el número de alumnos admitidos de la muestra de tamao 1$. %e trata de una distribución binomial de parámetros n =10 & p=0.2993 6a probabilidad de que 3 estudiantes de 1$ sean admitidos está dada por4 0,7006
¿ ¿ 3 P ( x = 3 )= 10 ∗( 0.2993 ) ∗¿
( ) 3
La probabilidad de $ue estudiantes de (* sean ad,itidos es de 2"!# 1$ %i los pesos de una muestra de ''($ personas presentan una distribución normal de media #- Bg & desviación típica # Bg, se pide la probabilidad de que una persona elegida al a>ar, pese4 %ea X → peso de una persona 0medido en Cg.2 %ea X N ( μ ,σ ∼
)onde
2
)
μ= 68 &
σ = 6
a. <ás de #1 Bg.
(
P ( X ≥ 61 )=1 − P Z ≤
61 −68 6
)
1− P ( Z ≤−1,166 ) =1−0.1216 =0.8783
La probabilidad de $ue una persona ele&ida al a;ar! pese "( ?& es de +!+#. b. Entre #3 & # Bg. P (63 ≤ X ≤ 69 )= P ( 69 ≤ X )− P ( 63 ≤ X )
(
P Z ≤
69 −68 6
) (
− P Z ≤
63 −68 6
)
P ( Z ≤ −0.8333 )− P ( Z ≤ 0.166 )= 0.2023−0.5661= 0.3638
La probabilidad de $ue una persona ele&ida al a;ar! pese entre " ?& y " ?& es de "!+#.
11 %e tomó la estatura de 15$ personas, se obtuvo una media de 1# cm & una desviación típica de - cm. %e supone que la distribución es normal & se pide4 %ea X → Estatura de una persona 0medido en cm.2 X N ( μ ,σ
2
∼
)
μ=169 n =1740 &
)onde
σ =8
a. )ecir +uántas medidas son menores de 1(5 cm.
(
P ( X ≤ 157 ) = P Z ≤
157 −169 8
)
P ( Z ≤ −1.5 )=0,0668 0,0668∗1740=116,2445
>e las ()* personas! ((" ,edidas son ,enores a (5c,. b. +uántas se ?allan entre 1#5 & 1-1 cm. P (167 ≤ X ≤ 181 )= P (181 ≤ X )− P ( 167 ≤ X )
(
P Z ≤
181 −169 8
) (
− P Z ≤
167−169 8
)
P ( Z ≤ −0.25 )− P ( Z ≤ 1.5 )=0.9331 −0.4012= 0.5318 0.5318∗1740=925,50
>e las ()* personas! 25 ,edidas se =allan entre (" c,. y (+( c,. 1' En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente de media '(D & desviación típica D. +alcular el número de días que se espera tengan una temperatura máxima comprendida entre '' D & '-D. %ea X → emperatura máxima durante el mes de junio 0medida en grados centígrados2 2 X N ( μ ,σ ) ∼
)onde
μ= 25 ° &
σ =4 °
P (22 ≤ X ≤ 28 )= P ( 28 ≤ X ) − P ( 22 ≤ X )
(
P Z ≤
28 −25 4
) (
− P Z ≤
22 −25 4
)
P ( Z ≤ 0.75 ) − P ( Z ≤ − 0.75 )= 0.7733− 0.2266 =0.5467 0.5467∗30=16,40
Teniendo en cuenta $ue @unio tiene * d/as! se espera $ue durante (" d/as la te,peratura ,9i,a este entre 22 y 2+. 13 ;na normativa europea obliga a que en los envases de &ogurt no debe ?aber menos de 1'$ gr. 6a máquina dosi=cadora de una empresa láctea ?ace los envases de &ogurt según una le& normal de desviación típica de 3 gr. & media 1' gr. %ea X → Framos contenidos en los envases de &ogurt. X N ( μ ,σ ∼
2
)
μ=124 &
)onde
σ =3
a. *@ué tanto por ciento de los envases de &ogurt de esa empresa cumplirá la normativa P ( X ≥ 120 ) =1− P ( X ≤ 120)
(
1− P Z ≤
120 −124 3
)
1− P ( Z ≤−1.333 ) =1−0.09121= 0.9087
El *!+# de los en6ases de yo&urt $ue produce la ,a$uina dosi
(
=
P Z ≥
120− μ 3
120 − μ 3
)=
0.98
Z =−2,0537
Entonces4 120 − μ 3
=−2.0537
μ=( 2.0537 ∗3 ) + 120 =126,1612
La ,edia de la ley nor,al con la cual la ,$uina dosi
verbal a ('$ alumnos de primero de E.%.H. de un centro de secundaria. %e supone que las puntuaciones obtenidas se distribu&en según una normal de media -( & desviación típica 1(. %e pide4 %ea X → puntuaciones obtenidas en un test de Guide> verbal. X N ( μ ,σ
2
∼
)
μ=85, n =520 &
)onde
σ =15
a. *@ué puntuación separa el '(/ de los alumnos con menos Guide> verbal P ( X ≤ k )=0.25
(
P Z ≤
k −85 15
)=
0.25
Z =−0.6744 k −85 15
=−0.6744
k =(−0.6744 ∗15 )+ 85 k =74.88
La puntuaci3n $ue separa el 25# de los alu,nos con ,enos Buide; 6erbal es )!++. b. *8 partir de qué puntuación se encuentra el '(/ de los alumnos con ma&or Guide> verbal P ( X ≤ k )=0.25
(
P Z ≤
k −85 15
)=
0.25
Z =0.6744 k −85 15
=0.6744
k =( 0.6744 ∗15 ) + 85 k = 95.11
La puntuaci3n $ue separa el 25# de los alu,nos con ,ayor Buide; 6erbal es 5!((. 1( 6a media de ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes es de -($ & la desviación típica es de 1$$. %uponiendo que la distribución de ventas es normal. *+uál es la probabilidad de vender más de 11($ *en un día %ea X → ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes. X N ( μ ,σ
2
∼
)onde
μ=850, &
)
σ =100
(
P ( X ≥ 1150 )=1− P Z ≤
1150 − 850 100
)
1− P ( Z ≤ 3 )=1−0.998650 =0.0013498
La probabilidad de $ue un 6endedor de unos &randes al,acenes lo&re 6ender ,s de ((5* en un d/a es de *!(5#. 1# +ierto tipo de batería dura un promedio de aos, con una desviación típica de $.( aos. %uponiendo que la duración de las baterías es una variable normal. %ea X → )uración promedio de un tipo de batería 0
2
∼
)onde
)
μ= 4, &
σ =0.5
a. *@ué porcentaje de baterías se espera que duren entre 3.( & ,( aos P (3.5 ≤ X ≤ 4.5 )= P ( 4.5 ≤ X ) − P ( 3.5 ≤ X )
(
P Z ≤
4.5 − 4 0.5
) (
− P Z ≤
3.5 −4 0.5
)
P ( Z ≤ 1 )− P ( Z ≤−1 ) =0.8413 − 0.1586 =0.6826
e espera $ue el "+!2"# de las bater/as duren entre a1os y ,edio y ) a1os y ,edio. b. %i una batería lleva !uncionando aos, *+uál es la probabilidad de que dure menos de (.( aos P ( 4 ≤ X ≤ 5.5 ) P ( X ≤ 5.5| X ≥ 4 )= P ( X ≥ 4 ) Iesolviendo el numerador4
P ( 4 ≤ X ≤ 5.5 )= P (5.5 ≤ X )− P ( 4 ≤ X )
(
P Z ≤
5.5 −4 0.5
) (
− P Z ≤
)
4 − 4 0.5
P ( Z ≤ 3 ) − P ( Z ≤ 0 ) = 0.9986− 0.5=0.4986
Iesolviendo el denominador4 P ( X ≥ 4 )=1 − P ( X ≤ 4 )
(
1− P Z ≤
)= −
4 − 4
1 P ( Z ≤ 0 )=1− 0.5=0.5
0.5
Entonces4 P ( X ≤ 5.5| X ≥ 4 )=
P ( 4 ≤ X ≤ 5.5 ) P ( X ≥ 4 )
=
0.4986 0.5
= 0.9973
La probabilidad de $ue una bater/a $ue lle6a 4uncionando ) a1os dure ,enos de 5 a1os y ,edio es de !#. 15 ras reali>ar un test de cultura general entre los ?abitantes de cierta población, se observa que las puntuaciones siguen una distribución normal, de media # & desviación típica 13. %e desea clasi=car a los ?abitantes en tres grupos 0de baja cultura general, de cultura general aceptable & de cultura general excelente2, de manera que el primer grupo abarque un '$/ de la población, el segundo un #(/ & el tercero el 1(/ restante .*+uáles son las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro %ea X → :untuación en un test de cultura general. X N ( μ ,σ
2
∼
)onde
)
μ=69, &
σ =13
a-a cultura &eneral: P ( X ≤ k )=0.20
(
P Z ≤
k −69 13
)=
0.20
Z =0.8416 k −69 13
=−0.8416
k =(−0.8416 ∗13 ) + 69 k =58.0589
>e los =abitantes de una poblaci3n el 2*# $ue se considera tienen cultura &eneral ba-a obtu6ieron punta-es in4eriores o i&uales a 5+ en el test reali;ado. Cultura &eneral aceptable: >e los =abitantes de una poblaci3n el "5# $ue se considera tienen cultura &eneral aceptable obtu6ieron punta-es entre 5 y +( en el test reali;ado. Cultura &eneral e9celente: P ( X ≥ k )=1− p ( X ≤ k )= 0.85
(
P Z ≤
k −69 13
)=
0.15
Z =1.03853 k −69 13
=1.03853
k =( 1.03853∗13 ) + 69 k =82.47
>e los =abitantes de una poblaci3n el (5# $ue se considera tienen cultura &eneral e9celente obtu6ieron punta-es superiores o i&uales a +2 en el test reali;ado. 1- %e deben mecani>ar cierta pie>a de una maquina con tolerancia mu& estrec?a para que los clientes realicen la compra. 6as especi=caciones de la pie>a piden que la varian>a máxima de las longitudes de las partes sea de $.$$$#. %uponga que con '( partes la varian>a de la muestra resultó ser de $.$$$5. pruebe con un 5/ de signi=cancia si se ?a violado la especi=cación de la varian>a de la población. 2
σ
<áxima
n = 25
S
:ruebe con
2
0.0006
=0.0007 α =0.07 5/ de signi=cancia4
2
H 0 : σ 0 ≤ 0.0006 2
H 1 : σ 0 > 0.0006
2
χ =
( n −1 ) S2 2
σ
2
=
24 ( 0.0007 ) 0.0006
=28
2
χ (n −1 ) ,α = χ ( 24) , 0.07 2
χ (24 ) , 1−0.07=34.89
Entonces 2 2 χ < χ (24 ) , 0.07
Con un ni6el de si&nia en las cantidades de llenado de vasos de &ogurt es demasiado importante para el productor de máquinas de llenado automáticas. %i la varian>a es demasiado grande ?abrá dos opciones algunos vasos los ?a llenado demasiado & otros llenado escaso lo que provocará una insatis!acción en los clientes. ;na varian>a aceptable de las cantidades 0en on>as2 de llenado es $.'5. %e toma una muestra de '$ vasos & se obtiene una varian>a de $,'. a
*ndican los resultados que se deben ?acer ajustes a la maquina llenadora 0use (/ de signi=cancia2 2
σ
$.'5
n = 20 vasos
:ruebe con
S
2
=0.42
α =0.05 4
2
H 0 : σ 0 ≤ 0.27 2
H 1 : σ 0 > 0.27
2
χ =
( n −1 ) S2 2
σ
2
2
=
19 ( 0.42 ) 0.27
= 29.55
χ (n −1 ) ,α = χ ( 19) , 1−0.05=30.14
Entonces
2
2
χ < χ (19 ) , 1−0.05
Con un ni6el de si&nia de $/ para la varian>a de las cantidades de llenado de esta máquina. IC =
IC =
[ [
19 ( 0.42 ) 19 ( 0.42)
,
2
χ
1−
2
α
χ α
2
2
7.98
,
7.98
30.1435 10.1170
]
]
IC =[ 0.2647 , 0.7887 ]
e espera con una cona también aumenta con la edad del automóvil. En una muestra de '( automóviles con cuatro aos de antigJedad se obtuvo una desviación estándar de " $$.$$$ & en una muestra de 3$ automóviles con dos aos de antigJedad la desviación estándar resulto ser "''$.$$$.
´ =3000000 → 4 años X ´ =2100000 → 2 años X p1 : n =25 automovils!on 4 años "anti#$"a" s = 400000 p2 : n =30 automovils!on 2 años "anti#$"a" s = 220000
a
Aormule la ?ipótesis nula & la ?ipótesis alterna de que la varian>a de los costos anuales aumenta con los aos de antigJedad. 2
2
2
2
H 0 : σ 1 ≤ σ 2 H 1 : σ 1> σ 2
Es una prueba unilateral de cola superior derec=a. b +on un nivel de signi=cancia del 1/. *+uál es su conclusión *@ué tan ra>onables son sus resultados α =0,01
El estadístico de prueba es 2 2 s1 ( 400000 ) % ! = 2 = =3,3057 2 s2 ( 220000 ) El valor crítico con ' grados de libertad el numerador & ' grados de libertad en el denominador es4 24 % α = % 29,0.01=2.4946 % ! > % α
+omo
3.30 > 2.4946 %E IE+K8L8 68 K:HE%% M;68
Con un ni6el de si&ni σ 2 ! co,o la poblaci3n ( tiene ,ayor cantidad de a1os entonces los costos anuales de reparaci3n son ,ayores! se acepta $ue la 6arian;a de los costos de reparaci3n ta,bi%n au,enta cuando el auto,36il es ,s anti&uo. '1 6a varian>a en un proceso de producción es un indicador de la calidad del mismo. ;na varian>a grande indica que ?a& posibilidades de mejorar el proceso. 6a siguiente tabla muestra los di!erentes pesos de bolsas de detergente en polvo después de reali>ar su empacado en dos máquinas di!erentes. Iealice una prueba estadística para determinar si ?a& di!erencia en la varian>a de los pesos de las bolsas de detergente. ;se un nivel de signi=cancia del (/. *+uál es su conclusión *@ué máquina, si es que la ?a&, o!rece, mejor calidad
31 5
31 $
3$ $
' 3
' (
3$ -
' '
'5
'
'5
' (
'
'
3$ (
3$ $
'
31 (
3$
' 1
' $
31 5
3$ 3
'
' -
'
' 3
'
' -
' 3
' -
' #
' 5
' -
31
' -
31 #
'
' -
3$ $
' 5
3$ (
'
3$ #
3$ 1
α =0.05 2
2
2
2
H 0 : σ 1 ≤ σ 2 H 1 : σ 1> σ 2
%ea
2
S 1=88.66 &
2
S 2= 41.48
El estadístico de prueba es 2 s1 88.66 % ! = 2 = =2.1373 s2 41.48 El valor crítico con '3 grados de libertad el numerador & 1 grados de libertad en el denominador es4 23 % α = % 19,0.05= 0.4852 % ! > % α
+omo
2.13 > 0.4852 %E IE+K8L8 68 K:HE%% M;68
Con un ni6el de si&ni σ 2 La ,$uina 2 es de ,e-or calidad ya $ue tiene ,enor 6arian;a en el e,pacado de deter&ente en pol6o. En conclusi3n se deber/a ,e-orar el proceso de la ,a$uina ( para $ue sea ,s 3pti,o en el e,pacado del deter&ente en pol6o. '' El contenido de - contenedores similares de ácido sul!úrico son 1$., .-, 1$.1, 1$.3, .5, 1$.(, 1$.', & .5 litros. Encuentre un intervalo de con=an>a del (/ para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.
´ =10.0875 X S =0.3182
+on
t
α =0.05
[ = [
7,
´ −t α IC = X
IC
2
α
=2.3646
2
S ´ S , X + t α √ n 2 √ n
10.0875 −
]
2.3646 ∗0.3182
√ 8
, 10.0875 +
2.3646∗ 0.3182
√ 8
]
IC =[ 9.8215,10 .3535]
Con una con
´ =509 X S = 47
)e la tabla encontramos que
t 0.06 para '( grados de libertad es de
1.#$5. :or lo tanto, el !abricante quedara satis!ec?o si una muestra de '# lotes rinde un valor t entre N1.511 & 1.511. %e procede ?allar el t ! : x´ − μ 509 −490 t ! = = =2.0613 47 s √ n √ 26
Co,o
t ! >t 0.06 i se desea obtener la probabilidad de obtener un
6alor de t con 25 &rados de libertad i&ual o ,ayor a 2.*"( se busca en la tabla y es apro9i,ada,ente de *.*2). As/ ,is,o! es probable $ue el 4abricante concluya $ue el proceso produce un ,e-or producto del $ue piensa.
' ;n artículo publicado en el Oournal o! esting and Evaluation presenta las siguientes '$ mediciones del tiempo de combustión residual en segundos de especímenes tratados de ropa de dormir para nios4
.( . 3 .5 5 .5 .5 #
. .5 3 . 3 .( .5 (
.3 . ' .5 ( . ' .-
. 5 . # . 3 . # .
%e desea encontrar un nivel de con=an>a del (/ para el tiempo de combustión residual promedio. %upóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal.
´ %ea X =9.8675 S = 0.07724
+on
α =0.05
[ = [
t
19,
α
= 2.0930
2
´ −t α S , X ´ + t α S IC = X 2 √ n 2 √ n IC
9.8675 −
]
2.0930∗0.07724
√ 20
, 9.8675 +
2.0930∗0.07724
√ 20
]
IC =[ 9.8313,9 .9036]
Con una con
desviación estándar de 11. BiloPattQ?ora, *esto sugiere con un nivel de signi=cancia de $.$# que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 5 BiloPattQ?ora anualmente %uponga que la población de BiloPattQ?ora es normal. μ= 47 CiloPattQ?ora
S =11.9 CiloPattQ?ora
´ =42 CiloPattQ?ora X n =16 α =0.06
H 0 : μ ≤ 47 H 1 : μ > 47
El estadístico de prueba es4 x´ − μ 42−47 = =−1.6806 t ! = s 11.9
√ n
√ 16
t 0.06,15=−1.6486
+omo
t ! < t 0.06 para 1( grados de libertad
No se rec=a;a la =ip3tesis nula! esto su&iere con un ni6el de si&ni
,-
1-,(
15,#
1#,5
1(,5
1(,(
1,1
13,
11,
11,-
11,
,
1$,
1(,
1(,
1,(
1,
1',5 1',
1$,3
1$, 13,3
11, 1$,1
1$,
*%ugieren los datos que la carga promedio de !alla es ma&or que 1',(
´ =13.5952 X n =25
α =0.05 H 0 : μ ≤ 12.5 H 1 : μ > 12.5
El estadístico de prueba es4 x ´ − μ 13.6 −12.5 t ! = = =1.8736 s 2.9233 √ n √ 25 P ( t 24 > 1.8736 ) =0.036
e rec=a;a la =ip3tesis nula! el F6alor es ,enor $ue el
α =0.05,
As/ *.*"G*.*5. e rec=a;a la =ip3tesis de $ue la car&a sea ,enor a (2.5 Mpa. '5 6os pesos en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses son4 1.5, 1#., 1(., 1#.#, 1.(, 1#., 13.-, 1(. & 1.. Kaga una prueba con nivel de (/ de signi=cancia para determinar si el peso promedio de todos los bebés de seis meses es distinto a 1# libras, suponga que sus pesos se distribu&en normalmente & calcule el valor de :. S =1.12
´ =15.51 X
n =9
α =0.05 H 0 : μ =16 H 1 : μ ' 16
El estadístico de prueba es4 x ´ − μ 15.51−16 t ! = = =−1.2996 s 1.12 √ n √ 9 P (|t 8|>−1.2996 )= 2 ( 1 − P ( t 8 <−1.2996 ) ) =0.22993
No se rec=a;a la =ip3tesis nula! el F6alor es de *.22 *.*5. For lo tanto no se puede a
