Primera Prueba Objetiva Parcial Solución

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA PRIMER SEMESTRE 2017 FÍSICA 1 SECCIÓN A Ing. Luis Ernesto Aguilar. Primera prueba parcial (15 puntos) Instrucciones:   Resuelva

cada uno de los siguientes planteamientos dejando constancia de todo el  procedimiento  procedimiento que realice, trabaje trabaje únicamente únicamente con lapicero lapicero y sin usar corrector, corrector, de lo contrario contrario no tendrá tendrá derecho a revisión.

/2

 

1. Un carrete uniforme hueco tiene radio interior , radio exterior  y masa . Está montado de modo que da vueltas vueltas sobre un eje horizontal horizontal fijo. Un contrapeso contrapeso de masa m se conecta al extremo de una cuerda enrollada alrededor del carrete. carrete. El contrapeso cae desde el reposo a una posición  en el tiempo . Demuestre que que el momento de torsión generado generado por la fricción entre el carrete y el eje es de:



  = 4 (8 5  5 + 4)

SOLUCIÓN: Haciendo el diagrama de cuerpo libre para la masa se obtiene:

   =   =  ++   =  +  = ( + )  = 0  =?  =?  = ∆ℎ =  ∆ℎ =  + 12 

Para hallar la aceleración se usa la cinemática traslacional:

 = 12   = 2  = ൬2 + ൰ =  (2 +)

Entonces la tensión en la cuerda es:

La tensión genera un momento de torsión en el disco que lo hace girar, y la fricción genera un momento de torsión que se opone a la rotación:

 =    =      1     = 2 ቆ  + ൬2൰ ቇቀቁ   = 58   (2 +)   = 58 ൬2 ൰ 2   +    = 54  2   +  54  =    =  ൫+  ൯ 2      4/3  

2. Un cubo sólido de madera, de lado  y masa , descansa sobre una superficie horizontal. El cubo está restringido a dar vuelta en torno a un eje fijo . Una bala de masa  y rapidez  se dispara a la cara opuesta  a una altura de . La bala se incrusta en el cubo. Encuentre el valor mínimo de  que se requiere para voltear al cubo de modo que caiga sobre la cara ABCD. Suponga  es mucho menor que . (sugerencia: determine la velocidad de la bala para que el centro de masa del bloque suba a un punto verticalmente arriba del punto de giro)



SOLUCIÓN:



Se utiliza la conservación del momento angular para determinar la velocidad angular del bloque luego de la colisión:

La bala está a una distancia de 4a/3 del punto de rotación, por lo que entonces se tiene:

 =  ൬43 ൰ =   =  +   = 121 ((2) + (2)) = 23 

La inercia del bloque se puede encontrar usando el teorema de los ejes paralelos:

La inercia de un bloque alrededor del centro de masa es:

La distancia a la que el eje se traslada es la distancia del centro del cubo a una esquina, usando Pitágoras se obtiene que:

Entonces:

 =  +  = 23  + ቀඥ 2ቁ =   ൬43 ൰ = 83    = 

Y la velocidad angular del bloque luego de la colisión será:

Si se desea que el bloque gire y caiga sobre la otra cara, entonces se calculará la velocidad mínima  para que el bloque tenga su centro de masa exactamente sobre el punto de giro:

El bloque inmediatamente después de la colisión tiene energía cinética, la cuál se transformará en energía potencial gravitacional si el centro de masa sube una altura h La altura que el bloque subirá será:

ℎ = ඥ 2   = ൫ξ 2 1൯  = 12  = ℎ 12 ൬83 ൰ቀ2   ቁ = ℎ 3 = ൫ξ 2 1൯  ൯  = ඨ ൫ξ   

entonces usando la conservación de la energía:

Otra solución podría ser el uso de torca:

El peso genera una torca que desacelera al bloque, por lo que la velocidad angular inicial es la velocidad encontrada y la velocidad angular será cero cuándo el centro de masa esté sobre el punto de giro, esto ocurre cuando el ángulo mostrado en la figura cambia de 45° a 90°; la torca es el producto del peso y la component e de la distancia “d” que se puede encontrar por Pitágoras con las dimensiones del cuadrado:

 =  cos() = ൬83 ൰ ξ 2cos() = 83   3ξ 28cos()  =  3ξ 28cos() =  Ahora se usa la expresión:

 =    =     =  3ξ 28cos()   / න  = න/  3ξ 28cos()   2 =  3ξ 28sen()ቤ /2/4 2 = 3ξ 82 ቆ1 ξ 22 ቇ  = 3ξ 82 ൫2ξ 2൯   ቁ = 3ξ 82 ൫2ξ 2൯ ቀ2 4 = 3ξ 82 ൫2ξ 2൯  = 3ξ 2 2 ൫2ξ 2൯

Se integra de ambos lados mediante la condición que se planteó:

Se evalúa y se simplifica

Y finalmente se obtiene que:

3.

 = 3ξ 2 3  = 3൫ξ 2 1൯ 2 1൯   = 3൫ξ       ൯   ඨ    = ൫ξ  

Como resultado de la fricción, la rapidez angular de una rueda cambia con el tiempo de acuerdo con:

 = −    2.00 /  = 9.30   = 3. 0 0  2.50  Donde

3. 50/  = 0

y   son constantes. La rapidez angular cambia de en a  en . Use esta información para determinar  y . Luego determine a) la magnitud de la aceleración angular en , b) el número de revoluciones que da la rueda en los primeros  y c) el número de revoluciones que da antes de llegar al reposo. Solución: Se sabe que la razón instantánea de cambio del desplazamiento angular respecto al tiempo es la velocidad angular, por lo que:

Las condiciones son:

 = () = − (0) = 3.5 = −() (9.3) = 2 = −(.) 3.5 =  2 = 3.5−(.) ln ൬2035൰ = 9.3 20   l n ቀ ቁ 35  = 9.3  ≈ 0.06 () = 3.5−.

De la primera condición se puede obtener que

Por lo que la ecuación es:

, usando esto en la segunda condición:

La aceleración angular se obtiene al derivar la velocidad angular y evaluarla en el tiempo indicado:

 = () = 0.21−. () = . −.() ≈ .  /

Para determinar el número de revoluciones entonces se encuentra el desplazamiento angular, integrando la ecuación de la velocidad angular:

.  ∆ = න .−.  = .  ≡ . 

Por último, se necesita las revoluciones que la rueda gira antes de que llegue al reposo, de matemática básica se sabe que la expresión exponencial nunca es cero pero:

Entonces:

3.5−. → 0   → ∞  ∆ = න .−.  = →.−.ห  = .  ≡ . 