1 &- 8 44 7 ar'na = $50 l, ; B 44 g > $ l,C = 8$ g 6'ar,onato = 05$$ l, ; B 44 g > $ l,C = 4!5!4 g olvo 3e &ornear = 050 l, ; B 44 g > $ l,C = 225# g olvo 3e aao = $500 l, ; B 44 g > $ l,C = 44 g (al = 05$$ l, ; B 44 g > $ l,C = 4!5!4 g 'nagre = 05$$ l, ; B 44 g > $ l,C = 4!5!4 g Easa total = $50 K 05$$ K 050 K $500 K 05$$ K 05$$ = 258 l, Easa total = 8$ K 4!5!4 K 225# K 44 K 4!5!4 K 4!5!4 = $"0#52 g 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 61: ara e;)resar una an*3a3 en NOTACIN CIENTFICA se usa la s'gu'ente e;)res'7n: A.6 M $0?N A: s un n+ero 3el $ al !5 3's*nto 3e ero. N: l e;)onente 3e $0 )os'*vo o nega*vo segn el aso. 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 661G5 Me*ir e' "m e& es!es$r t$ta& *e &as .$(as *e %' &i-r$ &%e7$ *ii*ir !ara e& 'mer$ *e .$(as 3 e N+ero 3e )/g'nas s)esor $ &o1a = $852!# + > $!0 = 050!" + s)esor $ &o1a = !5" ; $0?F2 + Bnota'7n 'enOPaC 6665 La masa *e %' i'se"t$ es 666661 7 E
66?5 Or*e'ar &as si7%ie'tes "a'2*a*es si"as *e me'$r a ma3$r ++ = $0?BF"C +. + = $0?BF2C +. 3+ = $0?BF$C +. + = $0?B0C +. 3a+ = $0?B$C +. &+ = $0?B2C +. H+ = $0?B"C +. 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 6: ara REDONDEAR un n+ero segu'3o !$r %' 65 se au+enta en $ 3'&o n+ero. ara re3on3ear un n+ero segu'3o !$r s$&$ %' 5 se au+enta en $ s' el n+ero es im!ar y no se au+enta na3a s' es !ar $ "er$. 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 6645 Re*$'*ear &as si7%ie'tes "a'2*a*es a *$s *e"ima&es: aC 2504" +. = 2504 +. ,C 250#8 s = 250# s. C $502" +. = $502 +. 3C 45004 l,. = 4500 l,. eC $5$0 g. = $5$0 g. fC 450# +. = 4508 +. gC "5$000$ Hg. = "5$$ Hg. &C 25$4000$ s. = 25$ s. 'C $520000$ +. = $52$ +. 1C 500004 N. = 50$ N. 665 La ra!i*e *e %' tre' es *e 14 mi&&as/. e& ; B$0! +>$ +'llaC ; B$ &>"00 sC $42 +'llas>& = "54$$$$.. +>s. = $42 +'llas>& = 5" ; $0?$ +>s. 665 La "a'2*a* *e mer"%ri$ es *e 1? 7 /"m>? e? e' '$ta"i#' "ie';,"a 3 "$' *$s *e"ima&es $"5 g>+?" ; B$ Hg>$000 gC ; B$00+>$+C?" $"5 ; $0?BF"C ; $0? Hg>+?" $"5 ; $0?" Hg>+?" $5" ; $0?4 Hg>+?" $"5 g>+?" = $5" ; $0?4 Hg>+?" 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 6?: (on CIFRAS SINIFICATIVAS to3os los n+eros +enos los eros a la 'zqu'er3a n' las ,ases $0 on sus e;)onentes.
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 665 E' e& si7%ie'te "$'(%'t$ *e me*i"i$'es es"ri-ir e& 'mer$ *e "i@ras si7'i,"a2as: aC 0500$2 +. =R 2 'fras s'gn'Pa*vas ,C $52 ; $0?" +. =R 2 'fras s'gn'Pa*vas C $20 +. =R " 'fras s'gn'Pa*vas 3C 050$0000" ; $0?" +. =R 'fras s'gn'Pa*vas 665 E' e& si7%ie'te "$'(%'t$ *e me*i"i$'es es"ri-ir e& 'mer$ *e "i@ras si7'i,"a2as: aC B$ K>F $C +. =R " 'fras s'gn'Pa*vas ,C B$500 K>F 050$C s. =R " 'fras s'gn'Pa*vas C B$50" K>F 0500$C ; $0?" Hg. =R 4 'fras s'gn'Pa*vas 3C B$5$ K>F 05$C ; $0?" +. =R 2 'fras s'gn'Pa*vas eC B05000$0 K>F 050000$C g. =R 2 'fras s'gn'Pa*vas fC B$50$00 K>F 050000$C +. =R 'fras s'gn'Pa*vas 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 64: ara SUMAR RESTAR MEDICIONES CON CIFRAS SINIFICATIVAS5 el resulta3o 3e,e re3on3earse 3e auer3o a la +e3''7n que tenga +enor n+ero 3e 3e'+ales. Los eros a la 'zqu'er3a no son 'fras s'gn'Pa*vas. ara re3on3ear un n+ero segu'3o !$r 65 se au+enta en $ 3'&o n+ero. ara re3on3ear un n+ero segu'3o !$r s$&$ %' 5 se au+enta en $ s' el n+ero es im!ar y no se au+enta na3a s' es !ar $ "er$. 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 66G5 Se 2e'e &as si7%ie'tes me*i"i$'es: a 8 1 =/5 1 - 8 16 =/5 661 "8 16 =/5 61 Ha&&ar a=- -5" a K , = $ K $50 = $50 = $# , – = $50 – $50 = 050 = 05 66?5 C$'si*era'*$ 0%e t$*as &as "a'2*a*es s$' me*i"i$'es rea&i"e &as si7%ie'tes $!era"i$'es: 41 7 = 6 7 = 66 7 8 45$ g K 250 g K 050# g = 5$ g K 050# g = 52 g K 050# g = 52# g = 5" g 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 6: ara MULTIPLICAR DIVIDIR MEDICIONES CON CIFRAS SINIFICATIVAS5 el resulta3o 3e,e re3on3earse 3e auer3o al tér+'no que tenga el +enor n+ero 3e 'fras s'gn'Pa*vas. Los
n+eros que a)areen en f7r+ulas y que no son +e3''ones5 se ons'3eran n+eros e;atos5 es 3e'r *enen 'nPn'to n+ero 3e 'fras s'gn'Pa*vas. Los eros a la 'zqu'er3a no son 'fras s'gn'Pa*vas. ara re3on3ear un n+ero segu'3o !$r 65 se au+enta en $ 3'&o n+ero. ara re3on3ear un n+ero segu'3o !$r s$&$ %' 5 se au+enta en $ s' el n+ero es im!ar y no se au+enta na3a s' es !ar $ "er$. 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 66?65 Se 2e'e &as si7%ie'tes me*i"i$'es: a 8 6 =/5 1 - 8 66 =/5 661 Ha&&ar a < a ; , = 20 ; 2500 = 40500 = 40 66?15 U'a !&a"a tria'7%&ar met)&i"a 2e'e &as *ime'si$'es -ase - 8 66 =/5 661 a&t%ra a 8 46 =/5 61 Determi'e e& )rea *e &a !&a"a Grea tr'angular = ,ase ; altura > 2 Grea = #500 ; 450 > 2 Grea = $0500 = $5 ; $0?2 66?5 Se mi*e &as *ime'si$'es *e %' terre'$ *e @$rma re"ta'7%&ar: &ar7$ 8 J466 =/5 61K m a'".$ 8 J16 =/5 1K m Si e& !r$!ietari$ *e& terre'$ *esea e'*er &a mita* *e& mism$ e' @$rma tria'7%&ar C%)& es e& )rea *e& terre'$ a e'*er rea tria'7%&ar = Blargo ; an&oC > 2 rea tria'7%&ar = B4050 ; $0C>2 rea tria'7%&ar = 400 +?2>2 rea tria'7%&ar = 450 ; $0?2 +?2>2 rea tria'7%&ar = 250 ; $0?2 +?2 66?5 Da*as &as si7%ie'tes me*i"i$'es a 8 1 =/5 1 - 8 6 =/5 61 " 8 466 =/5 661 Determi'e &as si7%ie'tes $!era"i$'es: a=-=" a
, = $ ; 4500 > 250 = 0500 > 250 = 0 > 250 = "050 = "0 66??5 Se 2e'e &as si7%ie'tes me*i"i$'es:
a 8 J =/5 1K m - 8 J =/5 61K m " 8 J =/5 1K m Ha&&ar: a-" -<" a – , = 2 – 85# = $5" = $ +. , – = 85# – 2 = 5# = # +. , ; = 85# ; 2 = $#54 = $# +. 66?45 Se mi*e &as *ime'si$'es *e %' terre'$ *e @$rma re"ta'7%&ar: &ar7$ 8 J466 =/5 61K m a'".$ 8 J16 =/5 1K m Ca&"%&e e& aK REA -K PERMETRO rea = largo ; an&o = 4050 ; $0 = 400 +?2 = 450 ; $0?2 +?2 Permetr$ = 2 ; Blargo K an&oC = 2 ; B4050 K $0 C = 2 ; B0C = $00 +. = $0 ; $0?$ + 66?5 De &as si7%ie'tes me*i"i$'es C%)& es &a me*i"i#' 0%e est) ma& eF 05$0C +. ,C B25 K>F 050$C +. C B$0 K>F 05$C +. =R Est) ma& *e-e ser J16 =/5 1K m 3C B$5 K>F 05$C Hg. 66?5 C$'si*era'*$ 0%e t$*as &as "a'2*a*es s$' me*i"i$'es rea&i"e &as si7%ie'tes $!era"i$'es: J J 1 < ?6 K / ? K 46 8 B B 25$ ; "50 C > 252" C – 450 = B B 54 C > 252" C – 450 = B B 54 C > 252" C – 450 = B 25" C – 450 = B 25 C – 450 = F $5 66?G5 C$'si*era'*$ 0%e t$*as &as "a'2*a*es s$' me*i"i$'es rea&i"e &as si7%ie'tes $!era"i$'es: J J6 < K / K = J J ?6 < 1 K / 1G K 8 B B#50 ; 252 C > 2 C K B B "520 ; $5# C > $5! C = B B$5# C > 2 C K B B 5 C > $5! C = B B$ C > 2 C K B B 50 C > $5! C = B 8 C K B 258#$8 C = B 8 C K B 258# C = B $058# C = $$
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 6: La MEDICIN MS PRECISA es la que tenga el +enor error rela*vo y )orentual. ara +e3'r el error rela*vo se 3'v'3e el error a,soluto y la +e3''7n. D= A K>F 6 Err$r RELATIVO 8 B/A Err$r RELATIVO PORCENTUAL 8 JB/AK<166W 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 66465 Da*as &as si7%ie'tes me*i"i$'es *etermi'e &a me*i"i#' m)s !re"isa: a 8 J 1 =/5 1 K "m - 8 J 6 =/5 61 K "m " 8 J 466 =/5 661 K "m a = $>$ = 050. = $ aS = B $>$ C ; $00S = 5.S = #S , = 05$>250 = 050 = 0 ,S = B 05$>250 C ; $00S = 50S = 050$>4500 = 05002 = 0500 S = B 050$>4500 C ; $00S = 052S es el +/s )re'so )orque *ene = 0500 y S = 052S +enor que los 3e+/s. 66415 Or*e'ar &as si7%ie'tes me*i"i$'es *es*e &as me'$s !re"isas a &a m)s !re"isa J1 =/5 1K 7 J14 =/5 661K 7 J =/5 61K 7 NOTA: La me*i"i#' m)s !re"isa es &a 0%e te'7a e& me'$r err$r re&a2$ 3 !$r"e't%a& $>$82 = 54! ; $0?F" B+enos )re'saC 050$>$452 = 05#0 ; $0?F" B+/s )re'saC 05$ >252 = "5!# ; $0?F" B$82 K>F $C Hg B+enos )re'saC B252 K>F 05$C Hg B$452 K>F 050$C Hg B+/s )re'saC 6645 De &as si7%ie'tes me*i"i$'es C%)& es &a me*i"i#' m)s !re"isa aK J46 =/5 661K "m -K J1 =/5 61K m "K J161 =/5 61K m *K J1 =/5 61K 7 La me*i"i#' m)s !re"isa es &a 0%e 2e'e e& me'$r err$r a =/5 - 8 Err$r 8 -/a -a = 050$>2540 = 4.$# ; $0?BF"C 8 E& me'$r err$r es &a m)s !re"isa -, = 05$>$5 = 52 ; $0?BF2C
- = 05$>$05$ = !5!0 ; $0?BF"C -3 = 05$>$5 = 52 ; $0?BF2C 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 6: ORDEN DE MANITUD: s el valor a)ro;'+a3o orres)on3'ente a la )oten'a 3e 3'ez +/s erana 3e una an*3a3 o +e3''7n 3a3a. La +'ta3 entre $0?0 y $0?$ es $0?05 que es 'gual a $0 = "5$. (' el valor es +enor entones que3a 'gual el e;)onente 3e $0 )ero s' es +ayor entones se a? *e %'a !is"i'a "$' &as si7%ie'tes *ime'si$'es: 16 m *e a'".$ 6 m *e &ar7$ 3 ? m *e !r$@%'*i*a* olu+en = an&o ; largo ; )rofun3'3a3 = $0 ; 20 ; " = 00 + 00 = 50 ; $0?2 50 no es +enor a "5$ entones su,e $ el e;)onente 3e $0 -E = $0?B2K$C = $0?" +?" 6645 Determi'e e& $r*e' *e ma7'it%* *e& 'mer$ *e est%*ia'tes *e s% a%&a *e "&ases 4 estu3'antes 4 = 54 ; $0?$ 54 no es +enor a "5$ entones su,e $ el e;)onente 3e $0 -E = $0?B$K$C = $0?2 6645 La masa *e %' e&e"tr#' es G11 < 16>J5?1K 7 Determi'e e& $r*e' *e ma7'it%* *e &a masa e $ Hg C = !5$$ ; $0?BF28C !5$$ no es +enor a "5$ entones su,e $ el e;)onente 3e $0 -E = $0?BF28K$C = $0?BF2#C g 6645 C$'si*era'*$ 0%e e& !r$me*i$ *e i*a *e& ser .%ma'$ es *e 6 aY$s 3 0%e &a @re"%e'"ia "ar*ia"a *e %'a !ers$'a e' -%e' esta*$ es *e 6 !%&s$s !$r mi'%t$ Determi'e e& $r*e' *e ma7'it%* *e& 'mer$ *e !%&s$s *%ra'te t$*a &a i*a *e& ser .%ma'$ N+ero 3e )ulsos = 80 a+'nuto
80 a+'nuto ; B " 3ías > $ a $ 3ía C ; B 0 +'nutos > $ &ora C = 25$024 ; $0?! )ulsos 25$0 es +enor que "5$ que3a 'gual el e;)onente 3e $0 -E = $0?! 664G5 Determi'e e& $r*e' *e ma7'it%* *e &as .$ras t$ta&es 0%e *$rmira %'a !ers$'a e' t$*a s% i*a sa-ie'*$ 0%e e& !r$me*i$ *e i*a es *e aY$s 3 0%e *%erme .$ras *iarias # a3ía ; B " 3ía > $ a? si 8 Z < r> < . -K C$'$"ie'*$ 0%e &a *e'si*a* es &a masa *ii*i*a !$r e& $&%me' *etermi'e e& $r*e' *e ma7'it%* *e &a *e'si*a* e' 7/m>? aK E& $r*e' *e ma7'it%* *e& $&%me' e' m>? si 8 Z < r> < . v = V ; r?2 ; & = "5$4$ ; B$$5"0 ++C?2 ; 2858 ++. v = $$#"520 ++?" ; B $ +?" > B$000 ++C?" C v = B $5$#"20 ; $0?4 C ; $0?BF!C +?" v = $5$ ; $0?B FC +?" $5$ es +enor que "5$ )or lo tanto el e;)onente 3e $0 que3a 'gual -E = $0?BFC -K C$'$"ie'*$ 0%e &a *e'si*a* es &a masa *ii*i*a !$r e& $&%me' *etermi'e e& $r*e' *e ma7'it%* *e &a *e'si*a* e' 7/m>? @ = +asa > volu+en @ = 05000$# Hg > B $5$ ; $0?BFC +?" C @ = $5" ; $0?BF4C Hg > $0?BFC +?" @ = $5" ; $0 Hg>+?" $5" es +enor que "5$ )or lo tanto el e;)onente 3e $0 que3a 'gual -E = $0 6615 Te'em$s %'a mesa re"ta'7%&ar "$' a'".$ m 3 &ar7$ 16 m "$' am-$s e -K E& $r*e' *e ma7'it%* *e& )rea aC l /rea 3e la +esa en +?2
/rea retangular = an&o ; largo = 25 + ; $50 + = 25 +?2 /rea 'rular = 2 /rea se+''rular = 2 B B V ; B$50>2C?2 C >2 C /rea 'rular = V ; 052 = 05#84 +?2 = 05#! +?2 Grea total = /rea retangular K /rea 'rular = 25 +?2 K 05#! +?2 Grea total = "52! +?2 ,C l or3en 3e +agn'tu3 3el /rea. Grea total = "52! +?2 = "52! ; $0?0 "52! no es +enor que "5$ )or lo tanto se su+a $ al e;)onente 3e $0. -E = $0?B0K$C = $0?$ 665 Determi'e e& $r*e' *e ma7'it%* e' m *e& !ermetr$ *e %' terre'$ *e @$rma "%a*ra*a *e 66 m *e &a*$ La3o = 050 +. erí+etro = 4 ; La3o = 4 ; 050 = 24050 +. erí+etro = 254 ; $0?2 +. 254 es +enor que "5 que3a 'gual el e;)onente 3e $0. -E = $0?2 +. 66?5 Determi'e e& $r*e' *e ma7'it%* e' m> *e& )rea tria'7%&ar *e %' terre'$ re"ta'7%&ar "$': Lar7$ 8 J466 =/5 61K m A'".$ 8 J16 =/5 1K m Grea tr'angular = BLargo ; An&oC>2 = B4050 ; $0C> 2 = 400>2 = 200 +?2 Grea tr'angular = 250 ; $0?2 +?2 250 es +enor que "5 que3a 'gual el e;)onente 3e $0. -E = $0?2 +?2 FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 6: 9n VECTOR se los re)resenta on una letra +aysula on o s'n e&a en la )arte su)er'or. or lo general los tela3os no 3's)onen 3e Letras on e&as )or lo ual +u&os autores solo usan las letras +aysulas. 1e+)lo: A A = B$525"C .. Note las o+as 3e se)ara'7n. A = $W K 2X K " k …. Note que ya no &ay o+as )orque se usaron los vetores un'tar'os W5 X , k 9n ESCALAR se lo re)resenta o+o una letra +'nsula o una letra +aysula on 3os ,arras ver*ales que re)resenta el +73ulo. 1e+)lo: IAI a IAI = a = " Ve"t$r UNITARIO: s aquel uyo +73ulo es la un'3a3. Ve"t$res COLINEALES: (on aquellos que est/n a lo largo 3e una +'s+a línea reta5 )ue3en tener la +'s+a 3're'7n o 3're'7n o)uesta. Ve"t$res PARALELOS: (on vetores on 'gual sen*3o5 o for+an un /ngulo 3e 0Y entre s'.
Ve"t$res ANTIPARALELOS: (on vetores on sen*3os ontrar'os5 o for+an un /ngulo 3e $80Y entre s'. 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 6645 Te'em$s ? e"t$res "$&i'ea&es "a&"%&e &a res%&ta'te IAI 8 % IBI 8 ? % ICI 8 54 % . Ve"t$res C$&i'ea&es: (on aquellos que est/n a lo largo 3e una +'s+a línea reta5 )ue3en tener la +'s+a 3're'7n o 3're'7n o)uesta. . etor esultante = IAI K I6I K II etor esultante = u K " u – 4 u etor esultante = u Bo+o es )os'*vo5 'n3'a que est/ 3'r'g'3o &a'a la 3ere&aC. 665 Te'em$s ? e"t$res "$&i'ea&es "a&"%&e &a res%&ta'te *e &a si7%ie'te $!era"i#': IAI 8 % IBI 8 ? % ICI 8 54 % IRI 8 5IAI =?IBI =4ICI . Ve"t$res C$&i'ea&es: (on aquellos que est/n a lo largo 3e una +'s+a línea reta5 )ue3en tener la +'s+a 3're'7n o 3're'7n o)uesta. . II = F2B uC K "B" uC K 4BF4 uC II = F $2 u K ! u – $ u II = F$! u Bo+o es nega*vo5 'n3'a que est/ 3'r'g'3o &a'a la 'zqu'er3aC. FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 6G: 9n vetor *ene 3os COMPONENTES VECTORIALES: 9na en el e1e ; que se alula +ul*)l'an3o la +agn'tu3 3el vetor )or el oseno 3el Angulo que for+a on el e1e ; )os'*vo. (' sale )os'*vo es &a'a la 3ere&a y s' sale nega*vo es &a'a la 'zqu'er3a. -tra on el e1e y que se alula +ul*)l'an3o la +agn'tu3 3el vetor )or el (eno 3el Angulo que for+a on el e1e ; )os'*vo. (' sale )os'*vo es &a'a arr',a y s' sale nega*vo es &a'a a,a1o. FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 665 Se 2e'e %' e"t$r B "%3a ma7'it%* es *e 166 %'i*a*es 3 @$rma %' )'7%&$ *e 6[ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < Ca&"%&e &as "$m!$'e'tes *e B a &$ &ar7$ *e &$s e(es < 3 3 . I6I = $0.0 u Gngulo = 0Y . 6; = I6I oseno /ngulo 6y = I6I seno /ngulo . 6; = $0.0 u os 0Y = 500 u Bal ser )os'*vo 'n3'a que va &a'a la 3ere&a 3el e1e ;C. 6y = $0.0 u sen 0Y = 85 u Bal ser )os'*vo 'n3'a que va &a'a arr',a 3el e1e yC
665 Ca&"%&e &as "$m!$'e'tes *e& e"t$r C e& "%a& 2e'e %'a ma7'it%* *e 6 %'i*a*es 3 %'a *ire""i#' *e 16[ . II = 20 u Gngulo = $20Y . ; = II oseno /ngulo y = II seno /ngulo . ; = 20 u os $20Y = F $0 u Bal ser nega*vo 'n3'a que va &a'a la 'zqu'er3a 3el e1e ;C. y = 20 u sen $20Y = $#5" u Bal ser )os'*vo 'n3'a que va &a'a arr',a 3el e1e yC FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 16: n tr'gono+etría5 la Ley 3el (N- y -(N- se a)l'an uan3o no &ay /ngulos retos 3entro 3e un tr'/ngulo: a>senΦ = ,>senZ = >sen[ a> 8 -> = "> -" "$s Φ -> 8 a> = "> a" "$s \ "> 8 a> = -> a- "$s ] FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF n \s'a5 la ley 3el -(N- se 3e3ue 3e for+a 3'ferente )ues s'rve )ara 3eter+'nar la (9LTANT que nae 3e la su+a 3e vetores y no 3e la un'7n 3e los e;tre+os 3e los vetores5 )or lo ual el s'gno BFC se a+,'a )or BKC y el /ngulo usa3o no es el o)uesto s'no el /ngulo entre los 3os vetores: La s%ma *e *$s e"t$res A 3 B "$' %' )'7%&$ e'tre e&&$s *e ^ te'*r)' %'a res%&ta'te R IRI> 8 IAI> = IBI> = IAIIBI "$s ^ E& )'7%&$ *e &a res%&ta'te J_K "$' res!e"t$ a& e"t$r m)s "er"a'$ a& e(e !$si2$ < es: Ta' _ 8 JIBI se' ^K / JIAI = IBI "$s ^K ara este l*+o /lulo5 es +uy '+)ortante enten3er que A es el vetor +/s erano al e1e ; sea en el la3o )os'*vo o nega*vo5 y que ] es el /ngulo entre la resultante y el vetor A5 )or lo tanto ten3re+os los s'gu'entes asos )ara 3eter+'nar el valor Pnal 3el /ngulo 3e la esultante on res)eto al e1e )os'*vo ;. aC (' la esultante est/ en el )r'+er ua3rante5 el /ngulo 3e la resultante ser/ 'gual a la su+a 3e ] +/s el /ngulo 3el vetor A on res)eto al e1e )os'*vo ; on su s'gno5 es 3e'r5 el /ngulo A ser/ )os'*vo uan3o el vetor A esté en el )r'+er ua3rante y ser/ nega*vo uan3o el vetor A esté en el uarto ua3rante. ,C (' la esultante est/ en el segun3o ua3rante o el uarto ua3rante5 el /ngulo 3e la resultante ser/ 'gual al /ngulo 3el etor A F el /ngulo ]. C (' la esultante est/ en el terer ua3rante5 el /ngulo 3e la resultante ser/ 'gual al /ngulo 3el etor A K el /ngulo ]. FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF (en B$80F^C = (en ^ os B$80F^C = F os ^ FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 665 S$-re %'a "a(a se a!&i"a' *$s @%eras *e 6 N 3 166 N e' e& mism$ !&a'$ @$rma'*$ %' )'7%&$ *e ?6[ e'tre e&&as 3 A es !er!e'*i"%&ar a &a "a(a Ca&"%&e &a Res%&ta'te 3 s% *ire""i#' IAI 8 6 IBI 8 166 ` 8 ?6[
II?2 = IAI?2 K I6I?2 K 2IAII6I os ^ II = BIAI?2 K I6I?2 K 2IAII6I os ^C?B$>2C II = B80?2 K $00?2 K 2;80;$00; os"0YC?B$>2C II = $#".! N . Tan ] = BI6I sen ^C > BIAI K I6I os ^C ] = tan?BF$C B B6 sen ^C > BA K 6 os ^CC ] = tan?BF$C B B$00 sen "0YC > B80 K $00 os "0YCC ] = $"5"Y 66Ga5 Ca&"%&e &a s%ma *e &$s e"t$res A 3 B si: IAI 8 N 3 s% )'7%&$ "$' &a .$ri$'ta& 'e7a2a *e < es *e ?6[ IBI 8 1 N 3 s% )'7%&$ "$' &a .$ri$'ta& !$si2a *e < es *e ?6[
La su+ator'a 3e los /ngulos 'nternos 3e un tr'/ngulo es $80Y5 )or lo tanto el /ngulo entre los 3os vetores A y 6 ser/ 3e B$80F"0F"0C = $20Y _ = $20Y . II?2 =IAI?2 K I6I?2 K 2IAII6I os ^ II = BIAI?2 K I6I?2 K 2IAII6I os ^C?B$>2C II = B8?2 K $2?2 K 2;8;$2; os $20YC?B$>2C II = $05 N .
asta aquí no &ay n'ngn )ro,le+a )uesto que no '+)orta s' te equ'voas y 3ePnes 6 o+o A5 o A o+o 6 que 3a el +'s+o resulta3o5 )ero on la s'gu'ente eua'7n )ara el /ngulo ]5 a&í no te )ue3es equ'voar y 3e,es )o3er '3en*Par ,'en ual es A y ual es 65 )or lo ual en el e1er''o `00!,` te e;)ongo o+o enontrar ] on otras eua'ones que no te )ue3es equ'voar. . Tan ] = BIAI sen ^C > BI6I K IAI os ^C ] = tan?BF$C B BIAI sen ^C > BI6I K IAI os ^CC ] = tan?BF$C B B8 sen $20YC > B$2 K 8 os $20YCC ] = tan?BF$C B 5!28 > 8 C ] = tan?BF$C B 058 C ] = 4058! Y ] = 405!Y . Gngulo 3e la esultante = ] K "0Y Gngulo 3e la esultante = 405!Y K "0Y Gngulo 3e la esultante = #05!Y 66G-5 Ca&"%&e &a s%ma *e &$s e"t$res A 3 B si: IAI8 N 3 s% )'7%&$ "$' &a .$ri$'ta& 'e7a2a *e < es *e ?6[ IBI8 1 N 3 s% )'7%&$ "$' &a .$ri$'ta& !$si2a *e < es *e ?6[ OTRO MTODO:
ILI = IAI sen "0 = 8 sen "0 = 8 ; 05 = 4 I(I = IAI os "0 = 8 os "0 = 8 ; 058 = 5!28 II = BI(I?2 K BI6IFILIC?2 C ? B$>2C II = B B5!28C?2 K B$2F4C?2 C ? B$>2C II = B 48 K B8C?2 C ? B$>2C II = B 48 K 4 C ? B$>2C II = B $$2 C ? B$>2C II = $05 .
(en ] = I(I > II (en ] = 5!28 > $05 (en ] = 05" ] = ar sen B05"C = 405!Y . Gngulo 3e la esultante = ] K "0Y Gngulo 3e la esultante = 405!Y K "0Y Gngulo 3e la esultante = #05!Y FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 11: Resta *e Ve"t$res: uan3o se su+an los vetores5 la resultante nae 3el )unto 3e or'gen 3e los vetores y el /ngulo ^ es el que for+an los vetores su+an3os entre s'. IRI 8 JIAI> = IBI> = IAIIBI "$s ^K>J1/K uan3o se restan los vetores5 la resultante nae 3el Pnal 3el vetor restante &a'a el Pnal 3el otro vetor y su eua'7n varía leve+ente 3el aso anter'or en solo un s'gno. l /ngulo ^ es el que for+an los vetores entre s' o el o)uesto a la resultante 3e la resta. IRI 8 JIAI> = IBI> IAIIBI "$s ^K>J1/K FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 6665 La ,7%ra m%estra e& si7%ie'te sistema *e tres e"t$res *$'*e e& tri)'7%&$ @$rma*$ es %' tri)'7%&$ e0%i&)ter$ *e &a*$ i7%a& a %'i*a*es Determi'e &a ma7'it%* *e &a res%&ta'te *e &a s%ma e"t$ria& *e t$*$s &$s e"t$res *e& sistema
(' se P1an ,'en los 3os vetores su)er'ores 3el tr'/ngulo equ'l/tero 3an o+o resultante el vetor &or'zontal que +uestra la Pgura5 o+o ya &ay uno5 s'gn'Pa que el vetor resultante total sería la su+a 3e 3os vetores &or'zontales. (' el vetor &or'zontal *ene o+o +agn'tu3 2 un'3a3es5 entones 3os vetores en la +'s+a 3're'7n ten3rían la +agn'tu3 total 3e 4 un'3a3es. es)uesta = 4 un'3a3es.
6615 S$-re &$s &a*$s *e %' tra!e"i$ se e'"%e'tra' e"t$res "$m$ se m%estra e' &a ,7%ra E
l tra)e'o *ene 4 la3os: F l la3o 'zqu'er3o 3el tra)e'o *ene 3os o+)onentes5 una on la 3're'7n &a'a arr',a 3el e1e y que vale L y otra &a'a la 3ere&a 3el e1e ; on un /ngulo 3e 0Y on valor 3e JL/ta'6[K F l la3o 3ere&o 3el tra)e'o *ene ta+,'én 3os o+)onentes5 una on la 3're'7n &a'a a,a1o 3el e1e y que vale –L que anula la o+)onente y 3el la3o 'zqu'er3o 3el tra)e'o5 +'entras quela otra o+)onente va &a'a la 3ere&a 3el e1e ; on un /ngulo 3e 0Y on valor 3e JL/ta'6[K que se su+a a la o+)onente 3el la3o 'zqu'er3o 3el tra)e'o. F Tanto la ,ase o+o el la3o su)er'or *enen la +'s+a 3're'7n nega*va &a'a la 'zqu'er3a. F l tra+o su)er'or es 'gual a 2L +enos las o+)onentes ; 3el la3o 3ere&o e 'zqu'er3o 3el tra)e'o. or lo tanto: Tra+o su)er'or = 2 L – 2BL>tan0YC on 3're'7n nega*va o &a'a la 'zqu'er3a. F La esultante ser/ en la 3're'7n 3el e1e ; )orque la o+)onentes y se anularon. esultante = F 2L – B 2L – 2L>tan0Y C K 2 BL>tan0YC esultante = F 2L – 2L K 2L>tan0Y K 2L>tan0Y esultante = F 4L K 4L>tan0Y esultante = 4L>tan0Y F 4L esultante = 4L B$>tan0Y F $C esultante = 4L B$>$5#"2$ F $C esultante = F$5! L BNega*vo5 'n3'a &a'a la 'zqu'er3aC 665 E'"$'trar &a ma7'it%* *e& e"t$r res%&ta'te *e& si7%ie'te sistema *e e"t$res m$stra*$s e' &a ,7%ra sa-ie'*$ 0%e e& &a*$ *e& "%a*ra*$ mi*e %'i*a*es:
('gu'en3o las e&as 3e los vetores que est/n so,re el )erí+etro 3el ua3ra3o5 ve+os que su resultante 3a ero. or lo tanto solo nos que3an las 3'agonales que una va &a'a arr',a y otra &a'a a,a1o5 lo que nos 'n3'a que las o+)onentes en y se anulan5 +/s solo se su+an las o+)onentes en ; uyo valor son K2 u y K2 u &a'a la 3ere&a. La esultante ser/ 'gual a la su+a 3e las 3os o+)onentes que 3a K 4 u5 es 3e'r &a'a la 3ere&a. 66?5 Da*$s &$s e"t$res A B 3 C m$stra*$s e' &a ,7%ra "a&"%&e &a ma7'it%* *e &a res%&ta'te A = B = C 3 e& )'7%&$ 0%e este e"t$r @$rma "$' e& e(e !$si2$ *e &as < Use e& mQt$*$ 7r),"$ *e& !$&7$'$
E' e& mQt$*$ 7r),"$ *e& !$&7$'$ se !arte *e %' !rimer e"t$r 0%e e' '%estr$ "as$ @%e e& C 3 (%st$ a& ,'a& *e s% be".a %-i"am$s e& e"t$r B 3 &%e7$ e& A La Res%&ta'te se 7ra,"a *es*e e& !%'t$ i'i"ia& $ "e'tr$ *e &a "r% .asta e& !%'t$ ,'a& *e &a be".a *e& &2m$ e"t$r s%ma*$ 0%e es &a !%'ta *e &a be".a *e A E& )'7%&$ ^ se 7ra,"a *es*e e& e(e !$si2$ < .asta 0%e t$!a "$' &a &'ea *e& e"t$r Res%&ta'te R
6645 D$s e"t$res A 3 B *e &a misma ma7'it%* se .a&&a' s$-re e& !&a'$ Si &a ma7'it%* *e &a res%&ta'te *e est$s *$s e"t$res es i7%a& a &a ma7'it%* *e %'$ *e e&&$s "a&"%&ar e& )'7%&$ e'tre &$s *$s e"t$res
IAI = I6I = II ara que esto se u+)la se trata 3e un tr'/ngulo equ'l/tero 3on3e to3os sus /ngulos 'nternos son 3e 0 gra3os. or lo tanto el /ngulo entre estos 3os vetores es 3e $20 gra3os. 665 Da*$s &$s e"t$res A 3 B m$stra*$s e' &a ,7%ra "a&"%&e e& e"t$r A B N$ $&i*e i'*i"ar e& )'7%&$ 0%e e& e"t$r @$rma "$' e& e(e !$si2$ *e &as < Use e& mQt$*$ 7r),"$ *e& !ara&e&$7ram$
665 Da*$s &$s e"t$res A B 3 C 0%e se i'*i"a' a "$'2'%a"i#' "a&"%&e &a ma7'it%* 3 &a *ire""i#' *e& e"t$r res%&ta'te A = B = C %sa'*$ e& mQt$*$ *e &as "$m!$'e'tes re"ta'7%&ares IAI 8 16 % 5 6[
IBI 8 6 % ?6 [ ICI 8 1 % 16[ a3a vetor se graPa o+o una e&a )ar*en3o 3es3e el entro 3e la ruz y a a3a uno se le )one el /ngulo 3e 'nl'na'7n on res)eto al e1e ; )os'*vo Bla3o 3ere&o 3e la ruzC. a3a vetor on su /ngulo *ene su )roye'7n so,re el e1e y o ; +/s erano5 )or eso el vetor 6 *ene su roye'7n 6y &a'a arr',a y 6; &a'a la 3ere&a. ara su+ar vetores usan3o el +éto3o 3e las o+)onentes5 se saa a3a o+)onente 3e a3a vetor y se su+an o restan segn el s'gno que tengan. n la 3're'7n y &a'a arr',a se su+an y &a'a a,a1o se resta. n la 3're'7n ; &a'a la 3ere&a se su+an y &a'a la 'zqu'er3a se restan.
IAI = $0 u5 F 20Y IA;I = A os ] IA;I = $0 os BF20YC IA;I = $0 B 05!40 C IA;I = !54
IAyI = A sen ] IAyI = $0 sen BF20YC IAyI = $0 B F05"42 C IAyI = F"54 . I6I = 20 u5 "0 Y I6;I = 6 os Z I6;I = 20 os B"0YC I6;I = 20 B 058 C I6;I = $#5"2 I6yI = 6 sen Z I6yI = 20 sen B"0YC I6yI = 20 B 05 C I6yI = $0 . II = $ u5 $20Y I;I = os [ I;I = $ os B$20YC I;I = $ B F05 C I;I = F#5 IyI = sen [ IyI = $ sen B$20YC IyI = $ B 058 C IyI = $25!! I;I = IA;I K I6;I K I;I I;I = !54 K $#5"2 K BF#5C I;I = !54 K $#5"2 F #5 I;I = $!522 IyI = IAyI K I6yI K IyI IyI = BF"54C K $0 K $25!! IyI = F"54 K $0 K $25!! IyI = $!5! . Tan ^ = y>; ^ = ar tan By>;C ^ = ar tan B$!5!>$!522C ^ = ar tan B$50$!C ^ = 454Y 665 D$s e"t$res 2e'e' %'a res%&ta'te m)
^ es el /ngulo entre los 3os vetores. os 0Y = $ os $80Y = F$ . +/;'+a = uan3o ^ = 0Y +ín'+a = $ uan3o ^ = $80Y . II?2 = IAI?2 K I6I?2 K 2IAII6I os ^ . +/;'+a ?2 = A?2 K 6?2 K 2A6 os 0Y ?2 = A?2 K 6?2 K 2A6 B$C ?2 = A?2 K 2A6 K 6?2 ?2 = BA K 6C?2 = BA K 6C AK6 = A = F 6 . +ín'+a $?2 = A?2 K 6?2 K 2A6 os $80Y 22 = BF6C?2 K 6?2 K 2BF6C6 BF$C 22 = B?2F 2BCB6CK 6?2C K 6?2 F 2BF6C6 22 = B"02 F $$06 K 6?2C K 6?2 – $$06 K 26?2 0 = "02 F 22 F $$06 K 6?2 K 6?2 – $$06 K 26?2 0 = 2800 F 2206 K 46?2 0 = #00 – 6 K 6?2 0 = 6?2 – 6 K #00 F #00 = 6?2 – 6 F #00 = 6B6 – C #00 = 6BF6C . (' I6I=20 entones se u+)le que #00=20BF20C = 20B"C=#00 I6I = 20
A = F6 = F20=" es)uesta: A=" y 6=20 665 Para e& tri)'7%&$ ABC m$stra*$ e' &a ,7%ra "a&"%&e e& a&$r *e& &a*$ AB %sa'*$ &a &e3 *e& "$se'$ E& &a*$ AC mi*e G "m 3 e& &a*$ BC mi*e "m Dat$s: C$s 6[ 8 6 8 1/ C$s [ 8 6
= A6 . Note que aquí es un esalar y no un vetor5 no &ay e&as en la gr/Pa. ^ 8 /ngulo entre los la3os 6 y A5 o /ngulo o)uesto a A6 Ley 3el oseno uan3o la es 'gual a la un'7n 3e los e;tre+os 3e los vetores o la3os A y 65 note el s'gno nega*vo 3e 2 en este aso. R 8 J JBCK> = JACK> 5 < JBCK < JACK < "$s ^ K>J1/K = B ?2 K !?2 – 2 ; ; ! ; os 0Y C?B$>2C = B " K 8$ – 2 ; ; ! ; B$>2C C?B$>2C = B $$# – #2 C?B$>2C = B 4 C?B$>2C = 5# +.
66G5 Da*$s *$s e"t$res A 3 B "$m$ se m%estra' e' &a ,7%ra *$'*e R 8 A = B i'*i0%e "%)& es &a ma7'it%* *e R
^ 8 /ngulo entre los vetores A y 6 ^=]KZ . Ley 3el oseno uan3o la nae 3el or'gen 3e los otros 3os vetores5 note el s'gno )os'*vo 3el 2 en este aso. IRI 8 J IAI> = IBI> = IAIIBI "$s ^ K>J1/K IR I8 J IAI> = IBI> = IAIIBI "$s J] K ZK K>J1/K 6665 C$' res!e"t$ a& si7%ie'te 7r),"$ Es er*a* 0%e &a ma7'it%* *e &a res%&ta'te *e &$s e"t$res A 3 B es IRI 8 J IAI> = IBI> 5 IAI IBI "$s c K>J1/K
(' es el /ngulo o)uesto a y el s'gno 1unto al 2 es nega*vo5 entones est/ ,'en la eua'7n. 6615 Para &$s e"t$res m$stra*$s "a&"%&e I A B I IAI 8 16 % IBI 8 4 % ` 8 ?6[ C$s ?6[ 8 6
II = I A – 6 I . Ley 3el oseno uan3o la es 'gual a la un'7n 3e los e;tre+os 3e los vetores A y 6. ^ 8 )'7%&$ $!%est$ a R . IRI8 J IAI> = IBI> 5 IAI IBI "$s ^ K>J1/K II = B B$0C?2 K B4C?2 F 2 ; $0 ; 4 ; os "0Y C?B$>2C II = B $00 K $ F 80 ; 058 C?B$>2C II = B $$ – !528 C?B$>2C I I= 584 u .
I AF6 I = 584 u 665 D$s @%eras *e N "a*a %'a a"ta' sim%&t)'eame'te e' %' mism$ s$!$rte E' "%)& *e &$s si7%ie'tes 7r),"$s se e(er"e &a ma3$r @%era res%&ta'te s$-re e& s$!$rte
E'entras +enos sea el /ngulo entre las 3os fuerzas5 +/s gran3e es la esultante5 )or lo tanto en el aso 3C tene+os una fuerza +ayor que las 3e+/s. . es)uesta = 3C 66?5 Si &a s%ma e'tre tres e"t$res A B 3 C es '%&a e't$'"es es"$(a &a a&ter'a2a "$rre"ta aK La s%ma *e *$s *e e&&$s es i7%a& a& ter"er$ -K La ma7'it%* *e A = B es i7%a& a &a ma7'it%* *e C "K L$s tres e"t$res 2e'e' &a misma *ire""i#' *K L$s tres e"t$res s$' !er!e'*i"%&ares . 9n vetor *ene +agn'tu35 3're'7n y sen*3o5 entones )ara el aso aC que se su)one se tratan 3e vetores5 s' la resultante 3e la su+a 3e 3os ellos *ene la +'s+a +agn'tu35 3're'7n y sen*3o 3el terer vetor5 entones se su+an y no se restan5 )or lo tanto aC no )ue3e ser. 9na +agn'tu3 es solo el ta+a
es)uesta = b,c 6645 Determi'e &a ma7'it%* *e& e"t$r 0%e a& s%marse "$' &$s e"t$res m$stra*$s e' &a ,7%ra se $-te'7a %'a res%&ta'te '%&a Se "$'$"e 0%e &a ma7'it%* *e &$s e"t$res s$' : I V1 I 8 m 6[ I V I 8 16 m
(' reor3a+os que la su+a 3e vetores usan3o el +éto3o 3e )oner los vetores uno a on*nua'7n 3el otro5 nos 3a+os uenta que la su+a 3e 2 K " nos 3aría un vetor 'gual a $. ero o+o tene+os ya un vetor $ en la Pgura5 entones la esultante total sería la su+a 3el vetor $ +/s el vetor esultante $ '3én*o o,ten'3o 3e la su+a 3e 2K"5 o sea la esultante sería = 2$ on la +'s+a 3're'7n 3e 0Y5 entones el uarto etor que tene+os que a
euer3e que la esultante es 'gual a la su+a 3e los vetores A y 6 +e3'ante el +éto3o 3el )aralelogra+o5 y el n'o +o+ento en que IAI = I6I = II es uan3o el /ngulo ^ entre A y 6 es 3e $20Y FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 1: Ve"t$res U'itari$s: (on aquellos que *enen +agn'tu3 'gual a la un'3a3 y )ue3en tener ualqu'er 3're'7n. . ara enontrar el etor un'tar'o 3e ualqu'er etor se 3'v'3e el etor )ara su +73ulo o +agn'tu35 3an3o un nuevo vetor: u = > II ste vetor un'tar'o u ser/ )aralelo al vetor y s' 3esea+os enontrar otro vetor 2 que sea )aralelo a y a3e+/s tenga +73ulo o +agn'tu3 5 solo 3e,e+os enontrar el etor 9n'tar'o 3el etor y lo +ul*)l'a+os )or : 2 = BuC = B > II C . Dos vetores A y 6 son )aralelos s' se u+)le la s'gu'ente on3''7n: A;>6; = Ay>6y = Az>6z . W es el vetor un'tar'o en la 3're'7n ;. X es el vetor un'tar'o en la 3're'7n 1. l vetor A = A; W K Ay X l /ngulo 3el vetor se alula +e3'ante la tangente: Tan ^ = Ay > A; FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF alula3ora tr'gono+étr'a en línea: .d!s://"a&"%&a*$ra"$'ers$r"$m/"a&"%&a*$ra5*e5tri7$'$metria/%tmfs$%r"e8-%d$' FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 665 Ha&&ar &a s%ma *e &$s si7%ie'tes e"t$res: A 8 ?g = 4h B 8 g 5 h
A K 6 = B"KCW K B4F8CX A K 6 = !W F 4X 665 Ca&"%&e e& e"t$r JA = ?BK *e &$ si7%ie'te e"t$res: A 8 ?g = 4h B 8 g 5 h JA = ?BK 8 2A = 2B"WC K 2B4XC = W K 8X "6 = "BWC K "BF8XC = $8W F 24X B2A K "6C = BW K 8XC K B$8W F 24XC B2A K "6C = BK$8CW K B8F24CX B2A K "6C = 24W F $X 665 Para e& e"t$r *a*$ "a&"%&e &a ma7'it%* 3 *ire""i#' A 8 ?g = 4h Eagn'tu3 3e A = BA;?2 K Ay?2C?B$>2C Eagn'tu3 3e A = B"?2 K 4?2C?B$>2C Eagn'tu3 3e A = B!K$C?B$>2C Eagn'tu3 3e A = B2C?B$>2C Eagn'tu3 3e A = D're'7n 3e A = ^ tan ^ = Ay>A; ^ = tan?BF$C BAy>A;C ^ = tan?BF$C BAy>A;C ^ = tan?BF$C B4>"C ^ = "Y 66G5 Da*$s &$s e"t$res m$stra*$s e' &a ,7%ra "a&"%&e &as si7%ie'tes $!era"i$'es Js$&$ "a&"%&e &as ma7'it%*esK
IAI 8 %'i*a*es IBI 8 ? %'i*a*es ICI 8 4 %'i*a*es ;)resa+os los vetores en fun'7n a sus vetores un'tar'os: A = W
6 = F"W = 4X a5 I A = B I A K 6 = W K BF"WC A K 6 = W F "WC A K 6 = "W I A K 6 I = I "W I IAK6I=" -5 I A B I A F 6 = W F BF"WC A F 6 = W K "WC A F 6 = !W I A F 6 I = I !W I IAF6I=! "5 I B = C I 6 K = BF"WC K 4X 6 K = F "W K 4X I 6 K I = B BF"C?2 K 4?2 C?B$>2CI I 6 K I = B ! K $ C?B$>2CI I 6 K I = B 2 C?B$>2CI I6KI= *5 I A = B = C I A K 6 K = W K BF"WC K 4X A K 6 K = W F "W K 4X A K 6 K = "W K 4X I A K 6 K I = B "?2 K 4?2 C?B$>2CI I A K 6 K I = B ! K $ C?B$>2CI I A K 6 K I = B 2 C?B$>2CI IAK6KI= 6665 C$'$"ie'*$ e& e"t$r V1 3 e& e"t$r R "$' s%s si7%ie'tes "$m!$'e'tes $rt$7$'a&es V1 8 J16 m/sK g = J4 m/sK h R 8 J1 mK g J4 mK h C%)& es &a ma7'it%* *e& e"t$r V1 R es)uesta = No se )ue3en restar valores no o+)a*,les on 3's*ntas un'3a3es. 6615 Si %' e"t$r A *e 4 %'i*a*es *e ma7'it%* *iri7i*$ .a"ia a-a($ 3 %' e"t$r B *e ? %'i*a*es *e ma7'it%* *iri7i*$ .a"ia arri-a C%)& sera e& a&$r *e& e"t$r A B
A = F4X 6 = "X A – 26 = F 4X – 2B"XC A – 26 = F 4X – X A – 26 = F $0 X 665 Se "$'$"e %' e"t$r A 0%e 2e'e %'a ma7'it%* *e 1 %'i*a*es 3 %'a *ire""i#' a& N$rte %' e"t$r B 0%e 2e'e %'a ma7'it%* *e ? %'i*a*es 3 %'a *ire""i#' Oeste 3 %' e"t$r C 0%e 2e'e %'a ma7'it%* *e 11 %'i*a*es a& S%r Determi'e &a ma7'it%* *e& e"t$r res%&ta'te A = B = C A = $ X 6 = F" W = F$$ X
A K 6 K = $X F "W – $$X A K 6 K = F "W – $$X K $X A K 6 K = F "W K 4X I A K 6 K I = BBF"C?2 K B4C?2C ?B$>2C I A K 6 K I = B! K $C ?B$>2C I A K 6 K I = B2C ?B$>2C I A K 6 K I = un'3a3es 66?5 Si e& e"t$r A se .a&&a e' e& !&a'$ <3 C%)& es e& )'7%&$ 0%e este e"t$r @$rma "$' e& e"t$r %'itari$
ualqu'er vetor que se enuentre en el )lano ;y ser/ )er)en3'ular al vetor un'tar'o
.
or lo tanto el vetor A se enuentra a !0Y on res)eto al vetor un'tar'o 6645 U' e"t$r A se .a&&a e' e& !&a'$ <3 3 $tr$ e"t$r B se .a&&a e' e& !&a'$ 3 Ser) e& )'7%&$ e'tre A 3 B 'e"esariame'te G6[
a3a )unto 3el vetor A en el )lano ;y s'e+)re ser/ )er)en3'ular al )lano yz5 )ero un etor es otra osa )ues *ene +agn'tu35 sen*3o y 3're'7n5 y no neesar'a+ente se +ueve o *ene una 3're'7n on un /ngulo 3e !0Y on res)eto al otro )lano... ea la Pgura y anal'e el aso 3el vetor 6 que for+a un /ngulo 3e "Y on res)eto al )lano ;y.... (' el vetor A que est/ en el )lano ;y se +ueve y se u,'a 1usto so,re el e1e y 3e su )ro)'o )lano ;y entones el vetor 6 ten3r/ un /ngulo 3e "Y on res)eto a A y no !0Y. (olo uan3o uno 3e los vetores 3e un )lano es )er)en3'ular al otro )lano5 a+,os vetores for+ar/n un /ngulo 3e !0 gra3os entre s'5 aunque el otro vetor se +ueva en su )lano en ualqu'er 3're'7n. 665 Sea' &$s si7%ie'tes e"t$res: A 8 Jg =h = " k K B 8 Jag =-h k K Si &a s%ma A = B 8 6 &$s a&$res *e a - 3 " s$': . AK6 = B2W K2X K HC K BaW K,X – 2 k C AK6 = B2KaCW KB2K,CX K BF2C k AK6=0 . 2Ka = 0 2K, = 0 F2 = 0 . a =F2 , = F2 =2 665 Sea' &$s e"t$res: V1 8 g 5 1h = V 8 516g = 4h = V? ta& 0%e V1 = V = V? 8 6 Determi'e V1 V = V? . $ K 2 K " = 0 " = FB$K2C
" = F B B8W F $2X K HC KBF$0W K 4X K #HC C " = F B 8W F $2X K H F $0W K 4X K #H C " = F B F 2W F 8X K $"H C " = 2W K 8X F $"H . $ – 22 K " = B8W F $2X K HC – 2BF$0W K 4X K #HC K B2W K 8X F $"HC = 8W F $2X K H K 20W F 8X F $4H K 2W K 8X F $"H = "0W F $2X F 2$H 665 Da*a &a ,7%ra e'"%e'tre E& e"t$r C 8 5 A = 4 B
=FdAK46 . A = B05#50C – B0505C A = 05#5F A = 0W K #X – H . 6 = B5050C – B0505C 6 = 505F 6 = W K 0X – H . =FdAK46 = F d B0W K #X – HC K 4 BW K 0X – HC = B0W F #X>2 K "HC K B20W K 0X – 24HC = 20W F #X>2 F 2$H
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 TEORA 1?: ro3uto unto o salar entre 2 etores 3a un esalar. ro3uto ruz entre 2 etores 3a un vetor. FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF ro3uto unto o salar: A . 6 = IAI ; I6I ; os ^ _ es el /ngulo entre A y 6 os !0Y = 0 os 0Y = $ W.W = X.X = . = $ W.X = W. = X.W = X. = .W = .X = 0 A = A;W K AyX 6 = 6;W K 6yX A . 6 = IAI ; I6I ; os ^ A . 6 = BA;.6;C K BAy.6yC IAI = B A;?2 A;?2 K Ay?2 Ay?2 C ?B$>2C I6I = B 6;?2 K 6y?2 C ?B$>2C 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 665 Da*$ &$s e"t$res: A 8 ?g = 4h B 8 g = h Ca&"%&e e& !r$*%"t$ !%'t$ e'tre &$s e"t$res e"t$res A 3 B "a&"%&e e& m#*%&$ *e A 3 *e B "a&"%&e e& )'7%&$ e'tre &$s e"t$res A 3 B A 8 A = A3> K >J1/K IAI = B "?2 K 4?2 C ?B$>2C IAI = B ! K $ C ?B$>2C IAI = B 2 C ?B$>2C IAI =
E73ulo 3e 6 IBI 8 J B<> = B3> K >J1/K I6I = B ?2 K 8?2 C ?B$>2C I6I = B " K 4 C ?B$>2C I6I = B $00 C ?B$>2C I6I = $0 AB 8 IAI IBI C$s ^ ^ = ar os B BA.6C> BIAI I6IC ^ = ar os B B0C > BCB$0C C ^ = ar os B$C ^ = 0Y Los 3os vetores A y 6 son )aralelos. 66G5 E& e"t$r A 2e'e %'a ma7'it%* *e 4 %'i*a*es 3 @$rma %' )'7%&$ *e 6[ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < E& e"t$r B 2e'e %'a ma7'it%* *e %'i*a*es 3 @$rma %' )'7%&$ *e 6[ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < Ca&"%&e e& !r$*%"t$ !%'t$ AB C$s 6[ 8 6
A B 8 IAI IBI C$s ^ A.6 = B4C BC os 0Y A.6 = 24 ; 05 A.6 = $2 un'3a3es
66G65 E& )'7%&$ 0%e e& e"t$r C @$rma "$' e& e(e !$si2$ *e &as < es *e 1[ 3 s% ma7'it%* es *e %'i*a*es E& e"t$r D @$rma %' )'7%&$ *e [ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < 3 s% ma7'it%* es *e 16 %'i*a*es Ca&"%&e e& !r$*%"t$ !%'t$ CD C$s 6[ 8 6
II = 8 un'3a3es IDI = $0 un'3a3es Gngulo A = $Y Gngulo 6 = #Y _ = Gngulo entre A y 6 = # – $ = 0Y CD 8 ICI < IDI < "$s ^ .D = 8 ; $0 ; os 0Y .D = 80 ; 05 .D = 40 un'3a3es 66G15 C$' &as "$$r*e'a*as *e &a !ir)mi*e m$stra*a "a&"%&ar e& )'7%&$ _ *e %'a *e &as "aras *e &a !ir)mi*e Use !r$*%"t$ !%'t$
$ = B5050C 2 = B"5"58C " = B550C V1 8 P1 P $ = B5050C – B"5"58C $ = B"5F"5F8C IV1I 8 J V1<> = V13> = V1> K>J1/K I$I =B B"C?2 K BF"C?2 K BF8C?2 C?B$>2C I$I =B ! K ! K 4 C?B$>2C I$I =B 82 C?B$>2C V 8 P? P 2 = B550C – B"5"58C 2 = B"5"5F8C IVI 8 J V<> = V3> = V> K>J1/K I2I =B B"C?2 K B"C?2 K BF8C?2 C?B$>2C I2I =B ! K ! K 4 C?B$>2C I2I =B 82 C?B$>2C V1 V 8 IV1I < IVI < "$s _ B"5F"5F8C.B"5"5F8C = B B82C?B$>2C C ; B B82C?B$>2C C ; os ] !F!K4 = 82 os ] 4>82 = os ] ] = ar os B4>82C
] = "85#0Y NOTA: La i*ea !r)"2"a *e este e(er"i"i$ es "$m!re'*er 0%e "$' s$&$ ? !%'t$s *e %' mism$ !&a'$ %sa'*$ e& !r$*%"t$ !%'t$ *e e"t$res !%e*es "a&"%&ar matem)2"ame'te e& )'7%&$ *e se!ara"i#' *e es$s ? !%'t$s 66G5 S%!$'7a 0%e %' e"t$r A 2e'e %'a ma7'it%* *e %'i*a*es C%)& es e& a&$r *e A A IAI = un'3a3es 0Y = Gngulo entre A y A A.A =IAI IAI os -Y A.A = ; ; $ A.A = 2 66G?5 E' "%)& *e &$s si7%ie'tes 7r),"$s *e e"t$res se $-2e'e e& me'$r !r$*%"t$ !%'t$ e'tre &$s e"t$res A 3 B N$ta: L$s e"t$res est)' 7ra,"a*$s *e'tr$ *e %' "%a*ra*$ *e &a*$ L
l +enor )ro3uto )unto entre A y 6 es uan3o su /ngulo es 3e !0 gra3os. 66G45 Ca&"%&e e& "$se'$ *e& )'7%&$ e'tre &$s e"t$res A 3 B m$stra*$s e' &a ,7%ra
n la eua'7n 3el )ro3uto )unto entre 3os vetores tene+os el oseno 3el /ngulo5 así que a)l'a+os esa eua'7n. . A.6 = IAI I6I os ^ . "$s ^ 8 JABK / JIAI IBIK . A = W K 2X IAI = B ?2 K 2?2 C?B$>2C IAI = B 2 K 4 C?B$>2C IAI = B 2! C?B$>2C . 6 = 2W K X I6I = B 2?2 K ?2 C?B$>2C I6I = B 4 K 2 C?B$>2C I6I = B 2! C?B$>2C . A.6 = BW K 2XC B2W K XC A.6 = $0 K $0 A.6 = 20 . "$s ^ 8 JABK / JIAI IBIK os ^ = B20C > BB 2! C?B$>2C B 2! C?B$>2CC os ^ = 20 > 2! os ^ = 05!
66G5 U' e"t$r A se .a&&a s$-re e& !&a'$ <3 3 @$rma %' )'7%&$ *e 4[ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < $tr$ e"t$r B se .a&&a s$-re e& !&a'$ < 3 @$rma %' )'7%&$ *e 4[ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < e't$'"es e& )'7%&$ 0%e @$rma' &$s e"t$res A 3 B e'tre si es:
9so el tr'/ngulo ret/ngulo on atetos 'gual a $ y /ngulos 'nternos agu3os 'guales a 4Y . A = $W K $X 6 = $W K $ k A.6 =IAI I6I os ^ IAI = B A;?2 K Ay?2 K Az?2 C?B$>2C IAI = B $?2 K $?2 K 0?2 C?B$>2C IAI = B2C?B$>2C . I6I = B 6;?2 K 6y?2 K 6z?2 C?B$>2C I6I = B $?2 K 0?2 K $?2 C?B$>2C I6I = B2C?B$>2C . A.6 = B$W K $XC . B$W K $ k C (olo WW = XX = kk =$ el resto 3e o+,'na'ones 3a 0 A.6 = $ A.6 =IAI I6I os ^ $ = B2C?B$>2C B2C?B$>2C os ^ $ = 2os ^ $>2 = os ^ os ^ = $>2 ^ = ar os B$>2C ^ = 0Y 66G5 Ca&"%&e e& !r$*%"t$ !%'t$ e'tre &$s e"t$res A 8 g 5 h B 8 5?g = h . A.6 = BCBF"C K BF$CB2C A.6 = F$ F2 A.6 = F$#
. N$ta: euer3e que W.W = $5 X.X =$5 H.H=$5 y que W.X=05 W.H=05 X.H=0. 66G5 Ca&"%&e e& "$se'$ *e& )'7%&$ 0%e &$s e"t$res A 3 B @$rma' e'tre e&&$s: A 8 ?g = 4 k B 8 g = h = k . A.6 = IAI I6I os ^ A.6 > BIAI I6IC = os ^ . A.6 = K 0 K 4 A.6 = $0 IAI = B"?2 K 4?2C?B$>2C IAI = B! K $C?B$>2C IAI = B2C?B$>2C IAI = I6I = B2?2 K 2?2 K $?2C?B$>2C I6I = B4 K 4 K $C?B$>2C I6I = B!C?B$>2C I6I = " . A.6 > B IAI I6I C = os ^ os ^ = A.6 > B IAI I6I C os ^ = $0 > B BCB"C C os ^ = $0 > $ os ^ = 2 > " 66G5 Si A 8 3 B 8 g = h "a&"%&e e& !r$*%"t$ !%'t$ AB A8 B 8 g = h . A.6 = 0K0K0 A.6 = 0 66GG5 Da*$s &$s e"t$res A 8 ?g = h 5 k B 8 5g = ?h = k Est$s e"t$res s$' !ara&e&$s . Dos vetores A y 6 son )aralelos s' se u+)le la s'gu'ente on3''7n: A;>6; = Ay>6y = Az>6z . A;>6; = Ay>6y = Az>6z F">2 = 2>" = F$>2 Bno se u+)le )or lo tanto no son )aralelosC . OTRO MTODO MUCHO MS LARO: . A.6 = IAI I6I os ^ os ^ = A.6 > B IAI I6I C . (' 3a os ^ = $ entones ^ = 0Y y )or lo tanto serían )aralelos. . C$s ^ 8 AB / J IAI IBI K
A 8 ?g = h 5 k B 8 5g = ?h = k . A.6 = BFC K – 2 A.6 = F2 IAI = B "?2 K 2?2 K BF$C?2 C?B$>2C IAI = B ! K 4 K $ C?B$>2C IAI = B $4 C?B$>2C I6I = B BF2C?2 K "?2 K B2C?2 C?B$>2C I6I = B 4 K ! K 4 C?B$>2C I6I = B $# C?B$>2C . C$s ^ 8 AB / J IAI IBI K os ^ = BF2C > B BB$4CB$#CC?B$>2C C os ^ = F 05$2!# No 3a os ^ = $ )or lo tanto no son )aralelos 61665 Si %' e"t$r es A 8 g = 3 $tr$ e"t$r es B 8 g = h C%)& es e& "$se'$ *e& )'7%&$ e'tre &$s e"t$res A 3 B C$s ^ 8 . A = 2W K H 6 = W K 2X l os ^ lo enontra+os en la eua'7n 3el )ro3uto )unto entre 3os vetores. . A.6 = IAI I6I os ^ IAI I6I os ^ = A.6 os ^ = BA.6C > BIAI I6IC . A.6 = 2 K 0 K 0 = 2 . IAI = B 2?2 K $?2 C?B$>2C IAI = B 4 K $ C?B$>2C IAI = B C?B$>2C I6I = B $?2 K 2?2 C?B$>2C I6I = B $ K 4 C?B$>2C I6I = B C?B$>2C IAI I6I = B C?B$>2C B C?B$>2C IAI I6I = . os ^ = BA.6C > BIAI I6IC os ^ = B2C > BC os ^ = 2> 61615 E& !r$*%"t$ !%'t$ *e e"t$res es 1 E& e"t$r A8 g = 4h 3 e& e"t$r B 8 jg *$'*e j es %'a "$'sta'te Ha&&e e& )'7%&$ e'tre &$s e"t$res A 3 B . A= 8W K 4X 6 = W . A.6 = $
B8W K 4XC. BWC = $ 8 = $ = $>8 =2 . 6 = 2W . IAI = B 8?2 K 4?2 C?B$>2C IAI = B 4 K $ C?B$>2C IAI = B 80 C?B$>2C IAI = 85!44 . I6I = B2?2C?B$>2C I6I = 2 . A.6 = IAI I6I os ^ IAI I6I os ^ = A.6 os ^ = BA.6C > BIAI I6IC os ^ = $ > B85!4CB2C os ^ = 058! ^ = ar os B058!C ^ = 254!Y 6165 Sea e& e"t$r A 8 ?% ?6[ 3 e& e"t$r B "$' %'a ma7'it%* 4% Si &a ma7'it%* *e& e"t$r res%&ta'te es *e ?% Ha&&e e& !r$*%"t$ es"a&ar e'tre A 3 B ua'7n )ara &allar la resultante )or el +éto3o 3el )aralelogra+o uan3o la resultante sale 3el or'gen 3e los 3os vetores que se su+an. IRI> 8 IAI> = IBI> = IAI IBI "$s ^ II?2 F IAI?2 F I6I?2 = 2 IAI I6I os ^ 2 IAI I6I os ^ = II?2 F IAI?2 F I6I?2 os ^ = B II?2 F IAI?2 F I6I?2 C>B 2 IAI I6I C os ^ = B B52C?2 – B"C?2 – B4C?2 C>B 2 B"C B4C C os ^ = B "!50 – ! – $ C>B 2 B"C B4C C os ^ = $450 > 24 os ^ = 058! ro3uto esalar es el )ro3uto )unto. AB 8 IAI IBI "$s ^ A.6 = B"C B4C B058! C A.6 = #50" FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 14: La PROECCIN 3e un vetor so,re el otro5 es la )er)en3'ular que ae 3el e;tre+o 3e la e&a 3el vetor que se )royeta so,re la 3're'7n 3el otro vetor.
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 616?5 Es "$rre"t$ a,rmar 0%e e& !r$*%"t$ !%'t$ e'tre *$s e"t$res A 3 B re!rese'ta &a !r$3e""i#' *e& e"t$r A s$-re e& e"t$r B
A.6 = IAI I6I os ^ ^ = es el /ngulo entre A y 6 . La )roye'7n 3el vetor A so,re el vetor 6 es IAI os ^5 )ero el )ro3uto )unto 'nluye I6I5 )or lo tanto no es orreto aPr+ar que el )ro3uto )unto sea la )roye'7n. .
61645 Se 2e'e *$s e"t$res: A 8 ?g = 4h B 8 h Ca&"%&e &a !r$3e""i#' *e& e"t$r A s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r B
96 = 6 > I6I I6I = B B2C?2 C?B$>2C I6I = B 4 C?B$>2C I6I = 2 . IAI os ^ = A . 96 IAI os ^ = A . B6 > I6I C IAI os ^ = B"W K 4XC . B B2XC > 2 C IAI os ^ = B"W K 4XC . B X C IAI os ^ = B"W .X K 4X.X C IAI os ^ = B0 K 4B$C C IAI os ^ = 4 un'3a3es 6165 Se 2e'e *$s e"t$res: A 8 ?g = 4h B 8 h Ca&"%&e &a !r$3e""i#' *e& e"t$r B s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r A
9A = A > IAI IAI = B"C?2 K B4C?2 C?B$>2C IAI = B ! K $ C?B$>2C C IAI = B 2 C?B$>2C C IAI = . I6I os ^ = 6 . 9A I6I os ^ = 6 . BA > IAI C I6I os ^ = B2XC . B B"WK4XC > C I6I os ^ = B2XC . B"WK4XC > I6I os ^ = BXW K8XXC > I6I os ^ = B0 K8B$CC > I6I os ^ = B8>C un'3a3es 6165 C$' res!e"t$ a &$s e"t$res A 3 B m$stra*$s e' &a ,7%ra "a&"%&e &a !r$3e""i#' *e& e"t$r B s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r A
Pr$3e""i#' *e& e"t$r B s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r A 8 IBI "$s ^ n la eua'7n 3el )ro3uto )unto entre 3os vetores tene+os la )roye'7n 3e un vetor so,re el otro vetor. AB 8 IAI IBI "$s ^ I6I os ^ = BA.6C > IAI . A = 4W K "X 6 = 2W K X . IAI = B 4?2 K "?2 C?B$>2C IAI = B $ K ! C?B$>2C IAI = B 2 C?B$>2C IAI = . A.6 = B4W K "XC . B2W K XC A.6 = 8 K $ A.6 = 2" . I6I os ^ = BA.6C > IAI I6I os ^ = 2" > I6I os ^ = 45
6165 Ca&"%&e &a !r$3e""i#' *e& e"t$r 16 k s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r h . A = $0 k 6 = X Pr$3e""i#' *e& e"t$r A s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r B 8 IAI "$s ^ n la eua'7n 3el )ro3uto )unto entre 3os vetores tene+os la )roye'7n 3e un vetor so,re el otro vetor. AB 8 IAI IBI "$s ^ IAI os ^ = BA.6C > I6I . A.6 = 0 I6I = IAI = $0 . IAI os ^ = B0C > IAI os ^ = 0 616 615 Si %' e"t$r est) *a*$ !$r: M 8 g = h 3 $tr$ e"t$r !$r: P 8 h = k "a&"%&e &a !r$3e""i#' *e M s$-re &a *ire""i#' *e P JK>J1/K 8 141 . M 8 g = h P 8 h = k . roye'7n 3e E so,re la 3're'7n 3e es 'gual a IEI os ^ . E. = IEI II os ^ E. > II = IEI os ^ . E. = 0K2K0 E. = 2 . II = B $?2 K $?2 C?B$>2C II = B $ K $ C?B$>2C II = B 2 C?B$>2C . MP / IPI 8 IMI "$s ^ IEI os ^ = E. > II IEI os ^ = 2 > B 2 C?B$>2C IEI os ^ = B2C B B 2 C?B$>2C C > B B 2 C?B$>2C B 2 C?B$>2CC IEI os ^ = B2C B 2 C?B$>2C C > B 2C IEI os ^ = B 2 C?B$>2C 616G5 I'*i0%e "%)& *e &as si7%ie'tes a&ter'a2as es &a "$rre"ta: aK AB es &a !r$3e""i#' *e& e"t$r A s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r B La )roye'7n es BIAI os^C = A.6> I6I
%AL( -K La !r$3e""i#' *e& e"t$r A e' &a *ire""i#' *e& e"t$r B JAUBK es &a !r$3e""i#' *e& e"t$r B s$-re e& e"t$r A La )roye'7n 3e 6 so,re A es: I6I os ^ = A.6 > IAI = 9A.6 %AL( "K Si e& e"t$r A 3 e& e"t$r B s$' !er!e'*i"%&ares e't$'"es A5B es i7%a& a "er$ AF6 = B IAI?2 K I6I?2 – 2BIAICBI6ICos^ C?B$>2C ^ = !0Y AF6 = B IAI?2 K I6I?2 – 2BIAICBI6ICos!0Y C?B$>2C os !0Y = 0 AF6 = B IAI?2 K I6I?2 – 2BIAICBI6ICB0C C?B$>2C AF6 = B IAI?2 K I6I?2 C?B$>2C %AL( *K JABK/IAI es i7%a& a& "$se'$ *e& )'7%&$ e'tre e& e"t$r A 3 e& e"t$r B A.6 = IAI I6I os ^ BA.6C > IAI = I6I os ^ %AL( eK Si e& "$se'$ *e& )'7%&$ e'tre A 3 B es i7%a& a 1 e't$'"es &$s *$s e"t$res s$' !ara&e&$s os 0Y = $ etores )aralelos son aquellos que for+an 0Y entre s'. VERDADERO 61165 Ca&"%&e &a !r$3e""i#' *e %' e"t$r *e 16 %'i*a*es 0%e @$rma %' )'7%&$ *e ?6[ "$' e& e(e !$si2$ *e &as < s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r h
La )roye'7n 3el vetor so,re la 3're'7n X s'gn'Pa que qu'ere la )roye'7n 3el vetor so,re el e1e y. . roye'7n so,re X = $0 sen "0Y roye'7n so,re X = $0 B$>2C roye'7n so,re X = 61115 Ca&"%&e &a !r$3e""i#' *e& e"t$r A s$-re &a *ire""i#' *e& e"t$r B L$s e"t$res est)' m$stra*$s e' e& 7r),"$ a*(%'t$
La )roye'7n 3el vetor A so,re la 3're'7n 3el vetor 6 se alula +e3'ante BIAI os ^C . A = B45"5$C 6 = B45"50C . A.6 = IAI I6I os ^ IAI I6I os ^ = A.6 IAI os ^ = A.6 > I6I . A.6 = $K!K0 A.6 = 2 . I6I = B4?2 K "?2C?B$>2C I6I = B$ K !C?B$>2C I6I = B2C?B$>2C I6I = IAI os ^ = 2 > IAI os ^ = 6115 U'a !ar;"%&a e
∆M2 = B2WK"XKHC
. I ∆M$I = B $?2 K $?2 C?B$>2C I ∆M$I = B $ K $ C?B$>2C I ∆M$I = B 2 C?B$>2C +. . roye'7n 3el vetor ∆M2 so,re ∆M$ = I ∆M2I os ^ . ∆M$ . ∆M2 = I ∆M$I I ∆M2I os ^ I ∆M$I I ∆M2I os ^ = ∆M$ . ∆M2 I ∆M2I os ^ = ∆M$ . ∆M2 > I ∆M$I . ∆M$ . ∆M2 = BWKXC . B2WK"XKHC ∆M$ . ∆M2 = 2 K " ∆M$ . ∆M2 = . I ∆M2I os ^ = > B 2 C?B$>2C . I ∆M2I os ^ = B > B 2 C?B$>2C C BB 2 C?B$>2C > B 2 C?B$>2CC I ∆M2I os ^ = B>2C B 2 C?B$>2C FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 1: PRODUCTO CRUk l )ro3uto ruz entre 3os vetores 3a otro vetor que es )er)en3'ular a los 3os vetores5 uya 3're'7n se 3eter+'na usan3o la regla 3e la +ano 3ere&a y su MANITUD re)resenta el /rea 3el )aralelogra+o for+a3o )or los 3os vetores y sus )roye'ones: I A ; 6 I = IAI I6I sen ^ ^ = /ngulo entra A y 6 l VECTOR o,ten'3o 3el )ro3uto ruz se alula +e3'ante el +éto3o 3e la 3eter+'nante:
A ; 6 = g BAy6z – Az6yC – h BA;6z – Az6;C K k BA;6y – Ay6;C
ara sa,er la DIRECCIN 3el etor o,ten'3o5 se )one la +ano a,'erta so,re el vetor 'n''al o sea A y se +ueve los 4 3e3os en la 3're'7n 3el vetor Pnal o sea 65 el )ulgar se
l vetor 3e +enor +agn'tu3 es uan3o A;6 = BL?2C>2 6115 Da*$ &$s e"t$res 0%e se m%estra' e' &a ,7%ra Determi'e e& )'7%&$ ^ e'tre &$s e"t$res A 3 B %sa'*$ e& mQt$*$ *e& !r$*%"t$ e"t$ria&
IA;6I = IAI I6I sen ^ IAI I6I sen ^ = IA;6I sen ^ = IA;6I > BIAI I6IC . A = B"5050C F B0505C A = "W K 0X – H IAI = B "?2 K BFC?2 C?B$>2C IAI = B ! K 2 C?B$>2C IAI = B "4 C?B$>2C IAI = 58" . 6 = B0550C – B0505C 6 = 0W K X F H I6I = B ?2 K BFC?2 C?B$>2C I6I = B " K 2 C?B$>2C I6I = B $ C?B$>2C I6I = #58$ . r = W K X K H A = "W K 0X – H 6 = 0W K X F H A;6 = W B 0 K "0 C – X B F$ C K H B $8 C A;6 = "0 W K $ X K $8 H . IA;6I = B"0?2 K $?2 K $8?2 C?B$>2C IA;6I = B!00 K 22 K "24 C?B$>2C
IA;6I = B$44!C?B$>2C IA;6I = "850 sen ^ = IA;6I > BIAI I6IC sen ^ = "850 > BB58"C B#58$CC sen ^ = 058"8 ^ = ar sen B058"8C ^ = 5# Y 6115 Da*$ &$s e"t$res: A 8 g 5 ?h = ? B 8 54g 5 h = E'"%e'tre e& )rea *e& !ara&e&$7ram$ @$rma*$ !$r est$s *$s e"t$res . l /rea 3el )aralelogra+o es IA;6I . r = W K X K H A = 8W F "X K "H 6 = F4W F X K 2H . A2C IA;6I = B 8$ K #84 K 2#04 C?B$>2C IA;6I = B "! C?B$>2C IA;6I = !5#4 6115 Sea' &$s e"t$res: A 8 g 5 h = ? B 8 ?g = h = Ca&"%&e e& )rea *e& tri)'7%&$ @$rma*$ !$r &$s e"t$res A B 3 e& e"t$r JA5BK
l tr'/ngulo que se o,*ene al un'r los )untos 3el etor A on el etor 6 y el etor BAF6C es la +'ta3 3el AALL-AE- que for+a el vetor A y el vetor 6 on sus )roye'ones5 )or lo
tanto )o3e+os usar el )ro3uto ruz entre A y 6 que es 'gual a esa +'s+a /rea y luego la 3'v'3'+os )ara 2 )ara que nos 3é el /rea 3el tr'/ngulo 3esea3o. A ; 6 = g BAy6z – Az6yC – h BA;6z – Az6;C K k BA;6y – Ay6;C A; = 2 Ay = F2 Az = " 6; = " 6y = 2 6z = $ A ; 6 = g BF2;$ – ";2C – h B2;$ – ";"C K k B2;2 – BF2C;"C A ; 6 = g BF2 – C – h B2 – !C K k B4 K C A ; 6 = g BF8C – h B–#C K k B$0C A ; 6 = g BF8C K h B#C K k B$0C = = g BF8C K h B#C K k B$0C ; = F8 y = # z = $0 IA ; 6I = B ;?2 K y?2 K z?2C?B$>2C IA ; 6I = B BF8C?2 K #?2 K $0?2C?B$>2C IA ; 6I = B 4 K 4! K $00C?B$>2C IA ; 6I = B 2$"C?B$>2C IA ; 6I = $45 un'3a3es?2 FFFFFFF Grea 3el )aralelogra+o Grea 3el tr'/ngulo = Grea 3el )aralelogra+o>2 Grea 3el tr'/ngulo = $45>2 Grea 3el tr'/ngulo = #5" un'3a3es?2 NOTA: E& !r$*%"t$ Cr% e'tre *$s e"t$res '$s *a $tr$ e"t$r !er!e'*i"%&ar a &$s *$s e"t$res i'i"ia&es Es &a ma7'it%* $ m#*%&$ *e& !r$*%"t$ "r% e& 0%e '$s *a e& )rea *e& !ara&e&$7ram$ @$rma*$ !$r &$s *$s e"t$res 3 s%s !r$3e""i$'es 6115 Ca&"%&e e& )rea *e& !ara&e&$7ram$ @$rma*$ !$r &$s e"t$res A 3 B m$stra*$s e' &a ,7%ra
A = B05"50C – B2505$C A = BF25"5F$C 6 = B05050C – B25"5$C 6 = BF25F"5F$C . ara alular el /rea 3el )aralelogra+o que for+an 2 vetores on sus )roye'ones se usa el )ro3uto ruz 3e esos 3os vetores y luego se le saa el +73ulo a ese +'s+o )ro3uto ruz resultante. . IA;6I = IAI I6I sen ^ . ara alular A;6 a)l'a+os el +éto3o 3e la 3eter+'nante. r = B W K X K k C A = BF25"5F$C 6 = BF25F"5F$C . A2C IA;6I = B " K 0 K $44 C?B$>2C IA;6I = B $80 C?B$>2C
IA;6I = B B"CBC C?B$>2C IA;6I = BC?B$>2C 611G5 Determi'ar e& )rea *e &a "ara s$m-rea*a *e &a !ir)mi*e
ara resolver r/)'3a+ente este e1er''o 3e,e+os asu+'r que se trata 3e 2 vetores que su+a3os +e3'ante el +éto3o 3e )oner un vetor a on*nua'7n 3el otro nos 3a la resultante5 eso nos )er+'te )oner las e&as y así asu+'r ual es el )r'+ero vetor A5 el segun3o vetor 6 y u/l sería la resultante . . ntones a&ora que &e+os )uesto ,'en las e&as5 nos va+os a la teoría 3on3e se sa,e que el +73ulo 3el )ro3uto ruz entre 3os vetores nos 3a el /rea 3el )aralelogra+o y que la +'ta3 3el +'s+o es 'gual al tr'/ngulo so+,rea3o5 entones: . rea Para&e&$7ram$ 8 IA < BI Grea tr'/ngulo so+,rea3o = Grea aralelogra+o > 2 rea tri)'7%&$ s$m-rea*$ 8 IA
6z = F8 . A = A3> = A>K>J1/K IA;6I = BBF48C?2 K 0?2 K BF$8C?2C?B$>2C IA;6I = B2"04 K 0 K "24C?B$>2C IA;6I = B228C?B$>2C IA;6I = $52 . Grea tr'/ngulo so+,rea3o = IA;6I > 2 Grea tr'/ngulo so+,rea3o = $52 > 2 Grea tr'/ngulo so+,rea3o = 25" un'3a3es?2 6165 Determi'ar e& )rea ra3a*a e'tre &$s *$s e"t$res V1 3 V *a*$s e' e& si7%ie'te 7r),"$
2 = B4505C $ = B455C . Grea 3el tr'/ngulo = Grea 3el aralelogra+o> 2 Grea 3el tr'/ngulo = IB$;2CI> 2
. r = W K X K H $ = 4W K X K H 2 = 4W K 0X K H . $;2 = W B "0 F 0 C – X B 20 F 20 C K H B 0 F 24 C $;2 = W B"0C – X B0C K H BF24C $;2 = "0W F 24H . I$;2I = B "0?2 K BF24C?2 C?B$>2C I$;2I = B !00 K # C?B$>2C I$;2I = B $4# C?B$>2C I$;2I = "854$ . Grea 3el tr'/ngulo = IB$;2CI> 2 Grea 3el tr'/ngulo = "854$> 2 Grea 3el tr'/ngulo = $!52$ +?2 6115 Ca&"%&e e& )rea *e& tri)'7%&$ @$rma*$ !$r &$s e"t$res AB 3 A5B A 8 g = h 5 k B 8 g = k . Grea )aralelogra+o = IA;6I Grea 3el tr'/ngulo = Grea )aralelogra+o > 2 Grea 3el tr'/ngulo = IA;6I > 2
A
6z = $ A;6 = W BB2CB$C – BF$CB0CC – X BB2CB$C – BF$CB2CC K k BB2CB0C – B2CB2CC A;6 = W B2 – 0C – X B2 K 2C K k B0 – 4C A;6 = W B2C – X B4C K k B– 4C A;6 = 2 W – 4 X F 4 k . IA;6I = B 2?2 K BF4C?2 K BF4C?2 C?B$>2C IA;6I = B 4 K $ K $ C?B$>2C IA;6I = B " C?B$>2C IA;6I = . Grea 3el tr'/ngulo = IA;6I > 2 Grea 3el tr'/ngulo = > 2 Grea 3el tr'/ngulo = " un'3a3es?2 615 Ca&"%&e %' e"t$r 0%e sea !er!e'*i"%&ar a& !&a'$ @$rma*$ !$r &$s e"t$res C 3 D M%estre e& !r$"e*imie't$ *eta&&a*ame'te
ara alular el vetor )er)en3'ular )o3e+os a)l'ar las s'gu'entes eua'ones: ;D D; . = $W K 0X K 2 k D = $W K 2X K 2 k . ; = $ y = 0 z = 2 D; = $ Dy = 2 Dz = 2 . C
. D; =K4 W F 2 k . NOTA: ara alular el valor 3e vetor D;5 los valores nu+ér'os son 'guales a los 3e ;D )ero a+,'a3os el s'gno 3el valor W y 3el valor k 5 el s'gno 3e X se +an*ene 'gual. 61?5 Da*$ &$s e"t$res V1 3 V 0%e se m%estra' e' &a ,7%ra "a&"%&e %' e"t$r !er!e'*i"%&ar sa&ie'*$ *e& !&a'$ @$rma*$ !$r &$s e"t$res V1 3 V
r = W KX K H $ = W K 0X K 0H 2 = 0W K #X K H . $;2 = W B0C – X B"0C K H B"C $;2 = – "0X K "H 6145 Se 2e'e ? e"t$res E& e"t$r A se .a&&a a &$ &ar7$ *e& e(e *e &as
T'ene +agn'tu3 -. %AL(. *K E& e"t$r JA = IBI> = ICI>K>J1/K La +agn'tu3 es -. %AL(615 Si e& e"t$r A se e'"%e'tra s$-re e& e(e *e &as 3 e& e"t$r B se e'"%e'tra s$-re e& e(e *e &as 3 e& e"t$r C s$-re e& e(e *e &as < *etermi'e "%)& *e &as si7%ie'tes e
aK A < C = B A; 3a un vetor )er)en3'ular en la 3're'7n z &a'a a,a1o. A; K 6 3a un vetor en el e1e z5 y el e1e z est/ en el )lano yz (TG N L LAN- h. -K C < A = B = A ;A 3a un vetor )er)en3'ular en la 3're'7n z &a'a arr',a 6KA 3a un vetor en el )lano yz )os'*vo. B;AC K B6 K AC 3a un vetor en el )lano yz )os'*vo (TG N L LAN- h. "K C A < B A;6 3a un vetor )er)en3'ular en la 3're'7n ; )os'*va. F A;6 3a un vetor )er)en3'ular en la 3're'7n ; nega*va5 &a'a atr/s. – A;6 3a un vetor en el e1e ;. N- (TG N L LAN- h. *K A = B = C A K 6 K 3a un vetor en el es)a'o.
N- (TG N L LAN- h. 615 Ba($ 0%Q "$'*i"i$'es se "%m!&e 0%e I A B2C?B$>2C . es)uesta = b,c 615 T$ma'*$ e' "%e'ta &a ,7%ra *a*a C%)& *e &as si7%ie'tes e
IAI = I6I = II = IDI = II = I%I = II (en !0Y = $ os !0Y = 0 (en $80Y = 0 . aK JABKC =
A.6 = IAI I6I os !0Y = 0 BA.6C K = B0C K = on sen*3o )os'*vo ; . -K A < C = D IA ; I = IAI II sen $80Y = 0 A ; K D = B0C K D = D on sen*3o )os'*vo y . "K A < B = F < IA ; 6I = IAI I6I sen !0Y IAI = I6I (en !0Y = $ IA ; 6I = IAI?2 A ; 6 = etor 3e +agn'tu3 IAI?2 on 3're'7n &a'a a3entro . I% ; I = I%I II sen !0Y I%I = II (en !0Y = $ I% ; I = I%I?2 IAI = I%I I% ; I = IAI?2 I% ; I = etor 3e +agn'tu3e IAI?2 on 3're'7n afuera. . A;6 K %; = etor IAI?2 &a'a a3entro on etor IAI?2 &a'a afuera se anulan y 3a CERO . *K B < C = E I6;I = I6I II sen !0Y I6I = II (en !0Y = $ I6;I = I6I I6I $ I6;I = I6I?2 . 6; = etor 3e +agn'tu3 I6I?2 y 3're'7n )er)en3'ular &a'a a3entro. . I B6;C K C I = B I6;I?2 K II?2 C?B$>2C I6;I = I6I?2 I6I = II I B6; K C I = B BI6I?2C?2 K I6I?2 C?B$>2C I B6; K C I = B I6I?4 K I6I?2 C?B$>2C I B6; K C I = I6I B I6I?2 K $ C?B$>2C . eK A C = E = FA = F BAC – BFAC K F BFC = 2A K 2 A= 2A K 2A = 4A on sen*3o )os'*vo. . es)uestas: aC ,C D C 3C I6I B B I6I?2 K $ C?B$>2C C
eC 4A RESPUESTA &a eK es e& VALOR MS ALTO 615 Si *$s e"t$res A 3 B s$' !er!e'*i"%&ares e't$'"es es "iert$ 0%e: aK AB 8 AB "$s 6[ ^ = !0Y %AL(. -K A = B>K>J1/K 8 6 No se )ue3e elevar al ua3ra3o un vetor. %AL( *K AB es &a !r$3e""i#' *e& e"t$r A s$-re e& e"t$r B La )roye'7n 3e A so,re 6 es BIAI os^C A.6 = IAI I6I os ^ A.6 > I6I = IAI os ^ %AL( eK IA
(' reor3a+os la eua'7n 3el )ro3uto )unto entre 3os vetores: D C 8 IDI ICI "$s ^ ^ es el /ngulo entre D y J A < B K C 8 IA
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 61?65 Sea' A 8 g = h = B 8 5g 5 h = 4 C 8 54g = 4h 5 E't$'"es JA
N 8 5g = h k O 8 g 5 1h ? k
V$&%me' 8 JA
$&%me' *e %' !ara&e&e!!e*$ *e-e 7ra,"ar &$s e"t$res 3 *es"%-rir e' 0%Q se'2*$ ir) &a a&t%ra e' -ase a& mQt$*$ *e &a ma'$ *ere".a N2C II = B$K$C?B$>2C II = B2C?B$>2C N- es un vetor un'tar'o -K g = h = k = W K X K k II = B$?2 K $?2 K $?2C?B$>2C II = B$K$K$C?B$>2C II = B"C?B$>2C N- es un vetor un'tar'o "K J1/Kg = J1/Kh = B$>2CW K B$>2CX II = BB$>2C?2 K B$>2C?2C?B$>2C II = BB$>4CK B$>4CC?B$>2C II = B2>4 C?B$>2C II = B$>2 C?B$>2C N- es un vetor un'tar'o *K J1/?Kg = J1/?Kh = J1/?K k = B$>"CW K B$>"CX K B$>"Ck II = BB$>"C?2 K B$>"C?2 K B$>"C?2C?B$>2C II = BB$>!CK B$>!CK B$>!CC?B$>2C II = B">!C?B$>2C II = B$>"C?B$>2C N- es un vetor un'tar'o eK J 1/JJK>J1/KK K g = J 1/JJK>J1/KK K h = B$>BB2C?B$>2CCCW K B$>BB2C?B$>2CCCX II = BB$>BB2C?B$>2CCC?2 K B$>BB2C?B$>2CCC?2C?B$>2C II = BB$>2CK B$>2CC?B$>2C II = B$ C?B$>2C II = $ SI es %' VECTOR UNITARIO !$r0%e s% m#*%&$ es i7%a& a 1 FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 1: E"%a"i#' !ara "$'er2r %' e"t$r C a $tr$ PARALELO 0%e te'7a %'a *etermi'a*a MANITUD: VECTOR 8 Ma7'it%* JC%K 8 Ma7'it%* J C / ICI K
VECTOR 8 Ma7'it%* J g JC2C II = B$44$ K 2"40! K 44$C?B$>2C II = B"84!$C?B$>2C II = $!5$! VECTOR UNITARIO 8 V/ IVI T- 9NITAI- = B$2$W F $"X – 2$ k C / $!5$! . T- 9NITAI- = B$2$>$!5$!C W – B$">$!5$!CX – B2$>$!5$!Ck E& Ve"t$r U'itari$ $-te'i*$ te'*r) "$m$ ma7'it%* &a %'i*a* 3 es !ara&e&$ a V si 0%erem$s 0%e te'7a "$m$ ma7'it%* 16 te'*ram$s 0%e m%&2!&i"ar e& Ve"t$r U'itari$ !$r 16 T- +agn'tu3 $0 = B B$2$>$!5$!C W – B$">$!5$!CX – B2$>$!5$!Ck C B16C T- +agn'tu3 $0 = B$2$0>$!5$!C W – B$"0>$!5$!CX – B2$0>$!5$!Ck T- +agn'tu3 $0 = 5$# W – #5#!8X – $50#0k Res!%esta 8 5$# W – #5#!8X – $50#0 k 61?45 Da*$ &$s e"t$res: V1 8 4g 5 h = V 8 5g = h =
Ha&&e %' e"t$r *e ma7'it%* e' &a *ire""i#' *e V1 ?V = 2$ – "2 = 2B4W F 2X K 8HC – "BF2W K X K HC = 8W F 4X K $H K W F $X F"H = $4W F $!X K $"H . IRI 8 J R<> = R3> = R> K>J1/K II = B $4?2 K BF$!C?2 K B$"C?2 C?B$>2C II = B $! K "$ K $! C?B$>2C II = B #2 C?B$>2C II = 25!4 . etor aralelo a 3e +agn'tu3 8: V 8 JR/IRIK = 8B$4W F $!X K $"HC > 25!4 = 45$W – 54X K "58H 61?5 Da*$ &$s e"t$res: A 8 g = h = ? B 8 5g = h = Ha&&e %' e"t$r *e ma7'it%* 16 !er!e'*i"%&ar a& !&a'$ 0%e @$rma A 3 B . l )lano que for+a A y 6 se &alla )or el IA;6I5 y su vetor )er)en3'ular es A;6. . r = W K X K H A = W K 2X K "H 6 = F2W K X K H . A2C IA;6I = B $! K $2$ K 84$ C?B$>2C IA;6I = B $$"$ C?B$>2C IA;6I = ""5" . Ma7'it%* J g JC""5"C K X BF$$>""5"C K H B2!>""5"C C $0 B W BF05"8C K X BF05"2#$C K H B0582"C C F "58 W – "52# X K 852H FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF TEORA 1:
COSENOS DIRECTORES . os ] = A; > IAI . os Z = Ay > IAI . os [ = Az > IAI . Bos ]C?2 K Bos ZC?2 K Bos [C?2 = $ FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 61?5 Ca&"%&e e& )'7%&$ 0%e e& e"t$r A @$rma "$' e& e(e A 8 g = h = k . Az = $ IAI = B 2?2 K 2?2 K $?2 C?B$>2C IAI = B 4 K 4 K $ C?B$>2C IAI = B ! C?B$>2C IAI = " . os [ = Az > IAI os [ = $ > " 61?5 S%!$'7a 0%e &$s "$se'$s *ire"t$res *e %' e"t$r est)' *a*$s !$r: C$s _ 8 6 C$s \ 8 6 C%)& es e& )'7%&$ ] 0%e este e"t$r @$rma "$' e& e(e *e &as . JC$s _K> = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 1 B058C?2 K B05C?2 K Bos [C?2 = $ B054C K B05"C K Bos [C?2 = $ $ K Bos [C?2 = $ Bos [C?2 = $ – $ Bos [C?2 = 0 os [ = 0 [ = !0Y 61?5 U' e"t$r %'itari$ est) *a*$ !$r: U 8 6g = 6h = 6 k C%)&es s$' &$s "$se'$s *ire"t$res *e este e"t$r . os ] = 9; > I9I os Z = 9y > I9I os [ = 9z > I9I . 9; = 05 9y = 05# 9z = 05 l +73ulo o +agn'tu3 3e un vetor un'tar'o es s'e+)re $ )or lo tanto I9I = $ . os ] = 05 > $ os Z = 05# > $ os [ = 05 > $
. os ] = 05 os Z = 05# os [ = 05 61?G5 Si _ \ 3 ] s$' &$s )'7%&$s 0%e e& e"t$r A @$rma "$' &$s e(es < 3 3 res!e"2ame'te C%)& *e &as si7%ie'tes a&ter'a2as es &a "$rre"ta . aK C$s _ = C$s \ = C$s ] 8 1 La e"%a"i#' "$rre"ta es: JC$s _K> = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 1 FALSO . -K JC$s _K> = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 6 La e"%a"i#' "$rre"ta es: JC$s _K> = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 1 %AL(. "K _ = \ = ] 8 16[ (' A est/ so,re ualqu'era 3e los e1es 3e oor3ena3as ;5 y o z entones es DAD-5 )or e1e+)lo A est/ so,re el e1e ;: A]= 0Y5 AZ= !0Y 5 A[= !0Y A] K AZ K A[ = 0Y K !0Y K !0Y = $80Y ero )ara los 3e+/s asos no se u+)le. . *K J_> = \> = ]>K>J1/K 8 1 La e"%a"i#' "$rre"ta es: JC$s _K> = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 1 %AL(. eK Si _ 8 ?[ \ 8 [ e't$'"es "$s ] 8 6 JC$s _K> = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 1 Bos [C?2 = $ F Bos ]C?2 F Bos ZC?2 os [ = B $ F Bos ]C?2 F Bos ZC?2 C?B$>2C os [ = B $ F Bos "YC?2 F Bos YC?2 C?B$>2C os [ = B $ – 05# – 05"" C?B$>2C os [ = B 0 C?B$>2C os [ = 0 DAD61465 C%)& *e &as si7%ie'tes a&ter'a2as es &a "$rre"ta aK g = h = es %' e"t$r %'itari$ =WKXKH II = B $?2 K $?2 K $?2 C?B$>2C II = B $ K $ K $ C?B$>2C II = B " C?B$>2C %AL( -K E& "$s _ *e& e"t$r g = h = k es i7%a& a 1 os ] = ; > II II = B $?2 K $?2 K $?2 C?B$>2C II = B $ K $ K $ C?B$>2C II = B " C?B$>2C os ] = $ > B " C?B$>2C %AL(-
"K E& "$s _ *e& e"t$r g = h = k es i7%a& a J?K>J1/K os ] = ; > II II = B $?2 K $?2 K $?2 C?B$>2C II = B $ K $ K $ C?B$>2C II = B " C?B$>2C os ] = $ > B " C?B$>2C %AL( *K E& "$s _ *e& e"t$r g = h = k es i7%a& a J?K>J1/K / ? os ] = ; > II II = B $?2 K $?2 K $?2 C?B$>2C II = B $ K $ K $ C?B$>2C II = B " C?B$>2C os ] = B$ > B " C?B$>2C C B " C?B$>2C > B " C?B$>2CC os ] = B " C?B$>2C C > " DAD eK g = h = k es %' e"t$r 0%e '$ e = JC$s \K> = JC$s ]K> 8 1 Bos [C?2 = $ – Bos ]C?2 K Bos ZC?2 os [ = B $ – Bos ]C?2 K Bos ZC?2 C?B$>2C . os [ = B $ – Bos 0YC?2 K Bos 80YC?2 C?B$>2C . os [ = K>F 05848 . os [$ = K05848 [$ =ar osB K05848C ]1 8 ?[ . os [2 = F 05848 [2 = ar osBF05848C ] 8 14[ 6145 La "a'2*a* si"a Φ 8 E A re!rese'ta e& b%($ e&Q"tri"$ a traQs *e %'a s%!er,"ie sie'*$ E es e& e"t$r "am!$ e&Q"tri"$ 3 A es e& e"t$r )rea 3 E 8 g = h = A 8 g 5 h E't$'"es &a s%ma *e& )'7%&$ 0%e se @$rma e'tre e&&$s 3 e& )'7%&$ 0%e @$rma e& e"t$r E "$' e& e(e 3 es: . E A 8 IEI IAI "$s ^
^ 8 ar" "$s J EA / JIEI IAIK K ^ = /ngulo entre y A . .A = Bg = h = K Jg 5 hK .A = $0 5 4 .A = . IEI 8 J E<> = E3> = E> K>J1/K II = B ?2 K 2?2 K ?2 C?B$>2C II = B 2 K 4 K 2 C?B$>2C II = B 4 C?B$>2C II = #5" . IAI 8 J A<> = A3> K>J1/K IAI = B 2?2 K BF2C?2 C?B$>2C IAI = B 4 K 4 C?B$>2C IAI = B 8 C?B$>2C IAI = 258" . ^ 8 ar" "$s J EA / JIEI IAIK K ^ = ar os B > BB#5"CB258"CC C ^ = #"52Y . ara sa,er el /ngulo 3e on res)eto al e1e y usa+os la teoría 3e los -(N-( DIT-(: . os Z = y > II Z = ar os By > IIC Z = ar os B2 > #5"C Z = #452Y . l e1er''o nos )'3e la su+a 3e ^ K Z = #"52Y K #452Y = $4#54Y 614?5 C%)& es e& )'7%&$ 0%e e& e"t$r g = h = k @$rma "$' e& e(e . = W K X K k II = B $?2 K $?2 K $?2 C?B$>2C II = B $ K $ K $ C?B$>2C II = B " C?B$>2C . os [ = z > II os [ = $ > BB " C?B$>2C C [ = Y 61445 C%)& es e& )'7%&$ 0%e @$rma e& e"t$r g = "$' e& e(e . = 2W K H . l /ngulo entre y z se onoe o+o [ . os [ = z > II z = $ II = B2?2 K $?2C?B$>2C
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os Z = Dy > IDI os [ = Dz > IDI . D = A;6 A;6 = 42W K "0X K "H IA;6I = 25" . os ] = 42 > 25" os Z = "0 > 25" os [ = " > 25" . os ] = 05# os Z = 0548 os [ = 05 . ] = 4#5!" Z = $5"$ [ = 5!4 . ] K Z K [ = 4#5!" K $5"$ K 5!4 ] K Z K [ = $5$8Y 6145 Sea' &$s e"t$res V1 3 V $rt$7$'a&es e'tre e&&$s Si: V1 8 4g 5 ?h = V 8 ?g = _h = ? Se !i*e: aK Ca&"%&e e& )rea *e& !ara&e&$7ram$ @$rma*$ !$r &$s *$s e"t$res . $ . 2 = I$I I2I os ^ (' son ortogonales entones ^ = !0Y os !0Y = 0 $ . 2 = 0 B 4W F "X K 2H C . B "W K ]X K "H C = 0 $2 F "] K = 0 $8 = "] $8> " = ] =] ]= . r = W K X K H $ = 4W F "X K 2H 2 = "W K X K "H . $;2 = W BBF!CF$2C – X B$2 – C K H B24 – BF!CC $;2 = W BF2$C – X BC K H B""C $;2 = F2$W – X K ""H . I$;2I = B BF2$C?2 K BFC?2 K B""C?2 C?B$>2C I$;2I = B 44$ K " K $08! C?B$>2C I$;2I = B $ C?B$>2C I$;2I = "!5# u?2 .
-K Ha&&ar &$s )'7%&$s *ire"t$res *e& e"t$r V . COSENOS DIRECTORES os ] = 2; > I2I os Z = 2y > I2I os [ = 2z > I2I . 2 = "W K X K "H I2I = B "?2 K ?2 K "?2 C?B$>2C I2I = B ! K " K ! C?B$>2C I2I = B 4 C?B$>2C I2I = #5" . os ] = " > #5" os Z = > #5" os [ = " > #5" . os ] = 05408$ os Z = 058$" os [ = 05408$ . ] = ar os B05408$C Z = ar os B058$"C [ = ar os B05408$C . ] = 5!$Y Z = "528Y [ = 5!$Y 6145 Sea' &$s e"t$res: F1 8 g 5 ?h = F 8 g = h = ? aK U2&ia'*$ &a &e3 *e& "$se'$ .a&&e e& )'7%&$ e'tre &$s e"t$res F1 3 F IRI> 8 IAI> = IBI> = IAIIBI "$s ^ IRI> 8 IF1I> = IFI> = IF1IIFI "$s ^ I%$I?2 K I%2I?2 K 2I%$II%2I os ^ = ?2 2I%$II%2I os ^ = II?2 – I%$I?2 – I%2I?2 os ^ = BII?2 – I%$I?2 – I%2I?2C > B2I%$II%2IC ^ = ar os B BII?2 – I%$I?2 – I%2I?2C > B2I%$II%2IC C . R 8 F1 = F = B8W F "X K 2HC K BW K 2X K "HC = $"W F $X K H II = B $"?2 K BF$C?2 K ?2 C?B$>2C II = B $! K $ K 2 C?B$>2C II = B $! C?B$>2C II = $"5! . %$ = 8W F "X K 2H I%$I = B 8?2 K BF"C?2 K 2?2 C?B$>2C I%$I = B 4 K ! K 4 C?B$>2C
I%$I = B ## C?B$>2C I%$I = 85## . %2 = W K 2X K "H I%2I = B ?2 K 2?2 K "?2 C?B$>2C I%2I = B 2 K 4 K ! C?B$>2C I%2I = B "8 C?B$>2C I%2I = 5$ . ^ 8 ar" "$s J JIRI> IF1I> IFI>K / JIF1IIFIK K ^ = ar os B B$"5!?2 – 85##?2 – 5$?2C>B2B85##CB5$CC C ^ = ar os B B$!4588 – #5!$ – "#5!4C>B$0850C C ^ = ar os B B8050"C>B$0850C C ^ = ar os B 05#40# C ^ = 4252$Y . -K Ha&&e &$s )'7%&$s *ire"t$res *e &a res%&ta'te . = $"W F $X K H II = $"5! . COSENOS DIRECTORES os ] = ; > II os Z = y > II os [ = z > II . os ] = $" > $"5! os Z = F$ > $"5! os [ = > $"5! . os ] = 05!"$2 os Z = F050#$ os [ = 05"82 . ] = ar os B05!"$2C Z = ar os BF050#$C [ = ar os B05"82C . ] = 2$5"#Y Z = !45$0Y [ = !50$Y 614G5 Si %' e"t$r se .a&&a e' e& !&a'$ <3 3 $tr$ e"t$r se .a&&a e' e& !&a'$ 3 e't$'"es e& )'7%&$ e'tre est$s *$s e"t$res es:
%alta 'nfor+a'7n )ara )o3er 3eter+'nar su valor. 6165 A B 3 C s$' e"t$res 0%e se .a&&a' e' e& mism$ !&a'$ SeYa&e &a $!"i#' er*a*era aK A < B 8 C es )er)er3'ular )or efeto 3el )ro3uto ruz 3e A y 6 %AL(-K A = B = C 8 A
