Inducción de novatos Pruebas de hipótesis hipótesis
II Término académico 2015-2016 Facultad de Ingeniería en Mecánica y Ciencias de la Producción FIMCP Diciembre, 2015
Introducción •
•
•
Involucra Involucra una suposición elaborada sobre uno o más parámetros de una o más poblaciones. Usando la información infor mación muestral se verificará la suposición sobre los parámetros estudiados. estudiados. La hipótesis que se contrasta se llama hipótesis nula (H nula (H0 ).
Inducción de novatos
II Término académico 2015-2016
Decisión
Conclusión
Se rechaza H0
Se puede afirmar que no existe suficiente evidencia estadística para aceptar H0. Se puede afirmar que H1 es verdadera
No se rechaza
Se puede afirmar que existe suficiente evidencia estadística para aceptar H0. No se puede afirmar que H1 es verdadera
H0
Elementos de una prueba estadística 1. Hipótesis Nula, H0, acerca de uno o más parámetros parám etros de
población.
Inducción de novatos
2. Hipótesis alternativ alter nativa, a, Ha , que aceptaremos si decidimos
II Término académico 2015-2016
rechazar la hipótesis nula.
3. Estadística de prueba, pr ueba, calculada a partir de datos de muestra. 4.Región de rechazo, que indica los valores de la estadística de
prueba que q ue implicarán el rechazo de la hipótesis nula.
¿Cómo se eligen Ho y Ha? •
•
Con frecuencia Ho se plantea con signo de igualdad, controlando así la probabilidad de cometer error tipo I. Sin embargo, hay situaciones en que “no rechazar Ho” implica que el parámetro θ podría ser cualquier valor definido por el complemento natural de la hipótesis alternativa. Es evidente que en el caso de las pruebas pr uebas de una cola la consideración más importante es el planteamiento de la alternativa alter nativa (en función de la pregunta de investigación) La decisión de plantear una prueba de una cola o una de dos colas depende de la conclusión que se obtenga si se rechaza Ho. La ubicación de la región critica solo se puede determinar deter minar después de que se plantea H 1.
Inducción de novatos
II Término académico 2015-2016
•
•
Tipos de d e errores errores
Se pueden cometer dos tipos de errores:
Inducción de novatos Población
II Decisión TérminoHo académico 2015-2016 es verdade verdadera ra Ho es falsa No rechazar Ho
Decisión correcta.
Error tipo II
Rechazar Ho
Error tipo I
Decisión correcta.
La potencia de una prueba estadística (1- b ), es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H0 , cuando en realidad H 0 es falsa
Tipos de errores = Pr(Error Tipo I) = Pr(Rechazar H0 / H0 es verdadera). También También Inducción llamada nivel nivel significancia. En ocasiones ocasiones,, el nivel nivel de novatos de significancia se conoce como tamaño de prueba
II= Pr(Error Término académico 2015-2016 Tipo II) II ) = Pr(No rechazar H 0 / H0 es falsa).
Es imposible calcular al menos que tengamos una hipótesis alternativ alter nativaa especifica. •
La probabilidad de cometer ambos tipos de errores er rores se puede reducir aumentando el tamaño de la muestra
Cálculo de β para una prueba Z con muestra muestr a grande/normal Considere una prueba con muestra grande de 0 : = 0 con un nivel de significancia de . El valor de para un valor específico de la alternativa = se calcula como sigue: −
Inducción de novatos
Prueba del extremo derecho:
= <
donde 0 = 0 + es el valor del estimador que corresponde a la frontera de la región de rechazo.
II Término académico 2015-2016 = >
Prueba del extremo izquierdo:
−
donde 0 = 0 es el valor del estimador que corresponde a la frontera de la región de rechazo. Prueba de los dos extremos:
= >
, −
<<
, −
donde 0 = 0 es el valor del estimador que corresponde a la frontera de la región de rechazo. donde 0, = 0 + y 0, = 0 son los valores del estimador que corresponden a las fronteras de la región de rechazo.
Propiedades importantes de una Prueba de Hipótesi Hipótesiss
Inducción de novatos
relacionados. Por lo 1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. general, una disminución en la probabilidad de cometer uno II Término 2015-2016 da como resultado unacadémico incremento en la probabilidad de cometer el otro. 2. El tamaño de la región critica y, por lo tanto, la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir ajustando el (los) valor(es) critico(s).
Propiedades importantes de una Prueba de Hipótesis 3. Un aumento en el tamaño de la muestra n reducirá α y β
de forma simultanea. Inducción de novatos 4. Si la hipótesis nula es falsa, β es un máximo cuando el II Término académico 2015-2016 valor verdadero verdadero de un parámetro se aproxima aproxima al valor hipotético. hipotético. Cuanto mas grande sea la distancia entre el valor verdadero y el valor valor hipotético, hipotético, más pequeña será β.
Nivel de significancia observado en una prueba •
El nivel nivel de significancia observado obser vado en una prueba, o valor valor pr ueba estadística específica es la probabilidad p, de una prueba Inducción de novatos (suponiendo que Ho es verdadera) de observar un valor de II Término académico la estadística de prueba que contradice 2015-2016 la hipótesis nula, y apoya la hipótesis alternativ alter nativa, a, en por lo menos el mismo grado que lo hace el que se calcula a partir de los datos de la muestra.
Cálculo de valores p
Pruebas con muestra grande:
= ≥ ℎ = 2 ≥ = ≤
Inducción de novatos
II Término académico 2015-2016 Donde es el valor calculado de la estadística estadística de prueba.
Pruebas con muestra pequeña:
= ≥ ℎ = 2 ≥ = ≤ Donde es el valor calculado de la estadística estadística de prueba.
Como interpr interpretar etar los valores p 1. Escoja coja el valor alor máxi máximo mo de que está dispuesto a tolerar.Inducción de novatos 2. Si el niv nivel de de sign signifi ifica canci nciaa observ observado ado (valo (valorr p) p) de de la la IIprueba Término académico 2015-2016 es menor que el máximo de , rechace la hipótesis nula
Tipos de prueba de hipótesis
Prueba bilateral o de dos colas: Inducción de
novatos
II Término académico 2015-2016 H : 0
0
H 1 : 0
Tipos de prueba de hipótesis
Prueba unilateral derecha:
Inducción de novatos
H 0 : 0
H : II Término académico 2015-2016 1
0
Prueba unilateral izquierda: H 0 : 0 H1 : 0
Prueba de hipótesis para m s 2 conocida, n≥30
Hipótesis: Unilateral
Unilateral
Bilateral
izquierda H0: m = m 0
H0: m
m 0
derecha H0: m m 0
H1: m < m 0
H1: m ≠ m 0
H1: m > m 0
Estadístico de prueba: Z c
=
X m 0 s
n
~ Z
Región de Rechazo
<
< >
>
> = ; ( ( > )=2
Supuestos: Ninguno (teorema del límite central )
Prueba de hipótesis para m s 2 desconocida, n≥30
Hipótesis: Unilateral
Unilateral
Bilateral
izquierda H0: m = m 0
H0: m
m 0
derecha H0: m m 0
H1: m < m 0
H1: m ≠ m 0
H1: m > m 0
Estadístico de prueba: Z c
=
X m 0 s
n
~ Z
Región de Rechazo
<
< >
>
> = ; ( ( > )=2
Supuestos: Ninguno (teorema del límite central )
Prueba de hipótesis para para m s 2 conocida Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos cuya Ejemplo: Una duración se distribuye de forma for ma novatos aproximadamente aproximadamente Inducción de normal con media de 800 horas y desviación estándar deII40Término horas. Pr Pr uebeacadémico la hipótesis que 2015-2016 la duración promedio es diferente de las 800 horas si una muestra aleatoria de 28 focos tiene una duración promedio de 790 horas. Utilice Utilice un nivel nivel de significación de 0.05.
Prueba de hipótesis para m Caso 2: s 2 desconocida, muestra pequeña
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
H0: m = m 0
H0: m
m 0
H0: m m 0
H1: m < m 0
H1: m m 0
H1: m > m 0
Estadístico de prueba:
Tc
=
X m 0 S
n
~ t n 1
Región de Rechazo
Prueba de hipótesis para m s 2 desconocida, muestra pequeña
Supuestos: La distribución de frecuencia relativa de la
población de la que se seleccionó la muestra es Inducción aproximadamente aproximadamente normal.de novatos
II Término académico 2015-2016
apar tan considerablemente Advertencia: Si los datos se apartan de la normalidad nor malidad es posible que la prueba pr ueba con muestra pequeña conduzca a inferencias i nferencias erróneas. En este caso, caso, utilice la prueba pr ueba no paramétrica del signo. signo.
Prueba de hipótesis h ipótesis para para m s 2 desconocida •
Ejemplo: Se sabe que el rendimiento promedio de un Ejemplo: Se proceso químico es 12. Sin embargo embarg o, últimamente se han observado muchos valores menores. Para probar que efectivamente el rendimiento promedio 2015-2016 ha disminuido, se II Término académico toma una muestra aleatoria de un lote de materia prima y se registran las siguientes observaciones:
Inducción de novatos
9.7
12.8
8.7
13.4
8.3
11.7
10.7
8.1
9.1
10.5
Use un nivel de significancia del 5%.
Prueba de hipótesis h ipótesis para para s 2
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
H0: s 2 = s 20 H0: s 2 = s 20
H0: s 2
H1: s 2 < s 20
H1: s 2 > s 20
H1: s 2 ≠ s 20
2 Estadístico de prueba: c
2 1 n S
s
Región de Rechazo < −
2 0
=
s 20
~ n21
Prueba de hipótesis para s 2 •
•
donde y − son los valores de que se ubican Inducción un área de a la de derecha y a la izquierda, novatos respectivamente, respectivamente, de una distribución chi cuadrada basada en (n-1) grados de libertad.2015-2016 II Término académico
Supuesto: la población de la que se escogió la
muestra aleatoria tiene una distribución aproximadamente normal.
Prueba de hipótesis para s 2 Ejemplo: En un proceso de fabricación de filamentos se Ejemplo: En desea verificar que la varianzade del grosor de los filamentos Inducción novatos es 4 milímetros2. Para ello se toma una muestra de 28 II Término 2015-2016 filamentos que arrojaacadémico una varianza muestral de 3.5 milímetros2. Realice la prueba pr ueba respectiva respectiva con 5% de nivel nivel de significación. Asuma normalidad en el grosor g rosor de los filamentos.
Prueba de hipótesis de la proporción de una población (muestra grande)
Hipótesis: Unilateral izquierda
Bilateral
Unilateral derecha
H0: p = p0
H0: p = p0
H0: p = p0
H1: p< p0
H1: p ≠ p0
H1: p > p0
Estadístico de prueba: Región de Rechazo
<
< >
>
Supuesto: El tamaño de muestra n tiene el tamaño suficiente para que
la aproximación sea válida. Como regla práctica, la condición de “suficientemente grande” se satisface cuando ≥ 4 y ≥ 4
Prueba de hipótesis para para proporciones •
Ejemplo: Un fabricante sostiene que más del 95% Ejemplo: Un Inducción de los equipos que envióde a unanovatos fábrica está acorde conTérmino las especificaciones técnicas. Una técnicas. revisión de II académico 2015-2016 una muestra de 200 piezas enviadas a la fábrica reveló que 18 eran defectuosas pues no estaban acorde con las especificaciones técnicas. técnicas. Pruebe Pr uebe la afirmación afir mación del fabricante al nivel de significación del 1%.
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 y s 22 conocidas.
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
H0: m 1 – m 2 = k H0: m 1 – m 2 = k
H0: m 1 – m 2 k
H1: m 1 – m 2 < k H1: m 1 – m 2 ≠ k
H1: m 1 – m 2 > k
Estadístico de prueba:
Z c
X
=
1
X
s 12 n1
2
k ~ Z
s 22 n2
Región de Rechazo
<
< >
>
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 y s 22 conocidas. Ejemplo: Para comparar Ejemplo: Para comparar dos métodos de enseñanza de las matemáticas, se aplicaron a 200 alumnos elegidos al azar el Inducción de novatos método tradicional y a otra muestra de 250 alumnos el II Término académico 2015-2016 método nuevo nuevo resultando las la s calificaciones promedio de 13 y 15 respectiv r espectivamente. amente. Suponga que las varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16. Usando un nivel de significación del 5%, ¿podemos afirmar que el método nuevo nuevo es superior al a l método antiguo?
Prueba de hipótesis para dos medias Caso 1: s 21 y s 22 desconocidas. Muestras grandes
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
H0: m 1 – m 2 = k H0: m 1 – m 2 = k
H0: m 1 – m 2 k
H1: m 1 – m 2 < k H1: m 1 – m 2 ≠ k
H1: m 1 – m 2 > k
=
Estadístico de prueba: Región de Rechazo
<
< >
>
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 y s 22 desconocidas. Muestras grandes
Supuestos:
II
1. Los tamaños de muestra n1 , n2 son Inducción de novatos suficientemente grandes, grandes, digamos n1≥ 30 y n2 ≥ 30. Término académico 2015-2016 2. Las dos muestras se escogen al azar y de forma for ma independiente de las poblaciones objetivo objetivo
numérico en Nota: k es el un símbolo para el valor numérico m 1 – m 2 en la hipótesis nula. particular especificado para ( m En muchas aplicaciones prácticas queremos hacer la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias de la población; en tales casos, k=0
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 = s 22 desconocidas. Muestra pequeña
Hipótesis:
Unilateral
Bilateral
izquierda
Unilateral derecha
H0: m 1 – m 2 = k
H0: m 1 – m 2 = k
H0: m 1 – m 2 k
H1: m 1 – m 2 < k
H1: m 1 – m 2 ≠ k
H1: m 1 – m 2 > k
Estadístico de prueba:
Tc
X
1
X
S p2
1
n
1
2
=
k ~ t n 1
2
Región de Rechazo
n1 n2 2
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 = s 22 desconocidas. Muestras pequeñas
donde:
S p2
(n1 1) S 12 (n2 1) S 22
n novatos n 2 Inducción de 1
2
Supuestos: Las poblaciones de las que se escogieron las muestras tienes 1. distribuciones de frecuencia aproximadamente normal. Las varianzas de las dos poblaciones son iguales. 2. Las muestras se escogieron de forma aleatoria y son independientes independientes.. 3. Nota: Si se viola el supuesto de poblaciones poblaciones normales, nor males, la prueba puede dar pie a inferencias erróneas er róneas.. En este caso, utilice utilice la prueba pr ueba no parámetrica Wilcoxon.
II Término académico 2015-2016
•
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 = s 22 desconocidas. Muestras pequeñas •
Ejemplo: Se desea determinar Ejemplo: Se deter minar si un proceso de fabricación, que se efectúa en un lugar antiguo se puede establecer localmente, a esta conclusión se llega si las lecturas de voltaje en ambos lugares son, en promedio, iguales. Se instalaron dispositivos dispositivos de prueba en ambos lugares y se tomaron las lecturas de voltaje. Los datos resumidos se muestran a continuación.
Inducción de novatos
II Término académico 2015-2016 Lugar antiguo
Lugar nuevo nuevo
12
9
Media
9.931
9.634
Varianza Varianza
0.4776
0.3950
Muestra
Asuma que las lecturas de de voltaje tienen comportamiento comportamiento normal. Con 2% de nivel de significación, significación, ¿se puede afirmar af irmar que las lecturas de voltaje, en promedio presentan diferencias significativas significativas en ambos lugares?
Prueba de hipótesis para dos media s 21 ≠ s 22 desconocidas. Muestras pequeñas
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
H0: m 1 – m 2 = k H0: m 1 – m 2 = k
H0: m 1 – m 2 k =
H1: m 1 – m 2 < k H1: m 1 – m 2 ≠ k H1: m 1 – m 2 > k
Estadístico de prueba:
Tc
X
1
X
S12 n1
2
k ~ t
S 22 n2
Región de Rechazo
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 ≠ s 22 desconocidas. Muestras pequeñas 2
S S n1 n2 2 2 2 2 S1 S 2 n1 n2 n1 1 n2 1 2 1
1.
2 2
Supuestos: Las poblaciones de las que se escogieron las muestras tienen distribucioness de frecuencia aproximadamente distribucione aproximadamente normal. Las muestras se escogieron de for y son independientes
Prueba de hipótesis para dos medias s 21 ≠ s 22 desconocidas. Muestras pequeñas
Ejemplo: Los siguientes datos resumidos corresponden a la Ejemplo: Los resistencia a la compresión a los 28 días (en kg/cm2 ) reportados por dos laboratorios:
Inducción de novatos
II Término académico 2015-2016 Laboratorio 1 Laboratorio 2 Muestra
15
18
Media
317.41
324.25
Varianza Varianza
25.5937
10.9124
Con 10% de nivel de significación, ¿se puede afirmar afir mar que el laboratorio 2 reporta en promedio 2 kg/cm 2 más en sus resultados en comparación al laboratorio 1? Asuma poblaciones normales.
Prueba de hipótesis para Observaciones Pareadas. Muestra pequeña
Hipótesis: Unilateral izquierda
Bilateral
Unilateral derecha
H0: m D = k
H0: m D = k
H0: m D k
H1: m D< k
H1: m D ≠ k
H1: m D > k
Estadístico de prueba: Región de Rechazo
=
Prueba de hipótesis para Observaciones Pareadas. Muestra pequeña 1.
2.
•
Supuestos: Las poblaciones de las que se escogieron las muestras Inducción de novatos tienen distribuciones de frecuencia aproximadamente aproximadamente normal. IILasTérmino académico 2015-2016 diferencias pareadas se escogieron de forma aleatoria de la población de diferencias. diferencias. Advertencia: Si se viola el supuesto de normalidad, la prueba t puede dar pie a inferencias erróneas. erróneas. En este caso, utilice la prueba no paramétrica suma de rangos de Wilcox Wi lcoxon on
Observaciones pareadas Ejemplo 1: suponga que desea comparar dos métodos para secar concreto empleando dos muestras de cinco mezclas de cemento con cada método. Un método de muestreo sería seleccionar al azar 10 mezclas (digamos (dig amos A, B, C, D,…, D,…, J) de entre todas las mezclas disponibles y luego asignar aleatoriamente cinco al método de secado 1 y cinco al método de secado 2.
Inducción de novatos Muestras aleatorias independientes de mezclas m ezclas de cemento asignadas a cada método Método 1 Método 2 Mezcla A Mezcla B Mezcla E Mezcla C Mezcla F Mezcla D Mezcla H Mezcla G Mezcla J Mezcla I
II Término académico 2015-2016 Las mediciones de resistencia obtenidas después de realizar una serie de pruebas representarían muestras aleatorias independientes de resistencias alcanzadas por especímenes de concreto secados mediante los dos métodos distintos. La diferencia entre las mediciones de resistencia media, (1 ), se podrían estimar empleando el procedimiento de intervalo inter valo de confianza descrito para diferencia de medias.
Observaciones pareadas Un mejor método de muestreo sería aparear los especímenes de concreto según el tipo de mezcla. De cada par con la misma mezcla, un espécimen se escogería al azar para secarse con el método 1; el otro espécimen se secaría con el método 2.
Inducción de novatos Muestras aleatorias independientes de mezclas de cemento asignadas a cada método Tipo de mezcla Método 1 Método 2 A Espécimen 2 Espécimen 1 B Espécimen 2 Espécimen 1 C Espécimen 1 Espécimen 2 D Espécimen 2 Espécimen 1 E Espécimen 1 Espécimen 2
II Término académico 2015-2016
Así, las diferencias entre pares coincidentes de mediciones de resistencia ofrecerían una imagen más clara de la diferencia en resistencias para los dos métodos de secados, pues la formación de pares tendría a cancelar los efectos de los factores que constituyeron la base de la formación de pares ( es decir, los efectos de las diferentes
Observaciones pareadas Ejemplo 2: Si se realiza una prueba de una nueva dieta con 15 individuos, individuos, los pesos antes y después de seguir la dieta conforman c onforman la información de las dos muestras. muestras. Las dos poblaciones son “antes” y “después”, y la unidad experimental es el individuo. individuo. Evidentemente, las observaciones en un par tienen algo en común.
Inducción de novatos
II Término académico 2015-2016 En general, en casos c asos de observaciones pareadas, las muestras no son independientes y las varianzas de las poblaciones no son necesariamente iguales.
Prueba de hipótesis para Observaciones Pareadas. Pare adas. Muestra pequeña pequeñ a En un estudio realizado por el Departamento de Nutrición Humana y Alimentos del Virginia Virgini a Tech, Tech, se registraron los l os siguientes datos sobre los residuos de ácido sórbico en jamón, en partes millón, inmediatamente después 2015-2016 de sumergirlo en una IIpor Término académico solución de sorbato y después de 60 días de almacenamiento:
Inducción de novatos
Prueba de hipótesis para Observaciones Pareadas. Pare adas. Muestra pequeña pequeñ a Residuos de ácido sórbico en jamón Antes del Después del almacenamiento almacenamiento 224 116 270 96 400 239 444 329 590 437 660 597 1400 689 680 576
Inducción de novatos 1 Rebanada
II Término académico 2015-2016 2 3 4 5 6 7 8
•
Si se supone que las poblaciones poblaciones se distribuyen normalmente, nor malmente, ¿ hay suficiente evidencia, evidencia, a un nivel de significancia de 0,05, para decir que la duración del almacenamiento influye en las concentraciones residuales de
Prueba de hipótesis para Observaciones Pareadas. Muestra grande
Hipótesis: Unilateral izquierda
Bilateral
Unilateral derecha
H0: m D = k
H0: m D = k
H0: m D k
H1: m D< k
H1: m D ≠ k
H1: m D > k
=
Estadístico de prueba: Región de Rechazo
<
< >
>
Prueba de hipótesis para Observaciones Pareadas. Muestra grande •
Nota: k es un símbolo para el valor numérico en Inducción de novatos m1 – m 2 ) en Ho. En particular especificado para ( m II Término académico 2015-2016 muchas muc has aplicaciones prácticas se quiere postular de que no hay diferencia entre las medias de población; en tales caso, k=0
Prueba de hipótesis para dos proporciones. Muestras independientes.
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
H0: p1 – p2 = k H0: p1 – p2 = k
H0: p1 – p2 k
H1: p1 – p2 < k H1: p1 – p2 ≠ k
H1: p1 – p2 > k
Estadístico de prueba: Z c
=
( p1 p2 ) k
1 1 p1 p n1 n2
Z
Región de Rechazo
<
< >
>
Prueba de hipótesis para la diferencia de dos propor proporciones ciones donde:
n p n p de y novatos y Inducción p 1
1
2
2
1
2
n1 académico n2 n1 n2 2015-2016 II Término El número total de éxitos en la muestra combinada es y1 y2
Prueba de hipótesis para la diferencia de dos propor proporciones ciones Ejemplo: Un estudio reciente, en la que participaron Ejemplo: Un par ticiparon 15 empresas del sector industrial, reveló que 184 de 616 Inducción deregularidad novatos adultos trabajan utilizando con una computadora personal en su trabajo. Se seleccionó otra II Término académico 2015-2016 muestra de 450 adultos, de 10 empresas del sector salud, y se obtuvo obtuvo que 105 adultos utilizan con regularidad una computadora personal. ¿Existen diferencias significativas entre los porcentajes de adultos de las empresas del sector industria y salud que utilizan con regularidad una computadora personal en su trabajo? Use un nivel nivel de significación del 5%. •
Prueba de hipótesis para dos varianzas: Razón de varianzas
Hipótesis: Unilateral izquierda
Unilateral
Bilateral
derecha
s 22 H0: s 21 s
H0: s 21 = s 22
=s 22 H0: s 21 =s
H1: s 21 < s 22
H1: s 21 ≠ s 22
H1: s 21 > s 22
Estadístico de prueba: Fc
2 1 2 2
S S
~ F n1 1,n2 1
Región Crítica
Prueba de hipótesis para dos varianz varianzas: as: Razón de varianzas Ejemplo: Estos son los tiempos de secado (minutos) de Ejemplo: Estos 10 y 8 hojas cubiertas cubier tas de poliuretano bajo dos Inducción de novatos condiciones ambientales diferentes:
II Término académico 2015-2016
Cond 1 50.4 54.3 55.6 55.8 55.9 56.1 58.5 59.9 61.8 63.4 Cond 2 55.6 56.1 61.8 55.9 51.4 59.9 54.3 62.8
¿Existe heteregoneidad de varianzas? Use un nivel de significación de 2%.
Bibliografía •
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., Ye, K. (2012) Probabilidad y estadística estadística para ingeniería y ciencias. (L. E. Pineda, R. Hernández & L. M. Medina, Trans.) México II Término académico 2015-2016
Inducción de novatos
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