Precálculo 2da Edición Gladis Medina Escoto

Precálculo

Gladis Medina Escoto Maestría en Gestión de la Calidad Total Total con magna cum laude la ude Profesora de Matemática en Educación Media con orientación en Física en el grado de Licenciatura

Alex Francisco Alonzo Reyes Ingeniero Electricista Industrial Maestría en Gestión de la Calidad Total Total

VP Technical Product Management: Andrew Clubb Portfolio Director, Team Americas and HSSL International: Rhondda Mcnabb Sr. Content Developer: Marcela Rocha Content Developer: Cristina Tapia Montes de Oca

PRECÁLCULO Segunda edición

Todos los derec Todos derechos hos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en/o transmitida por un sistema de recuper recuperación ación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, fotocopiado, electrónico, magnético, electroóptico, electroóptico, o cualquier otro tipo, sin el permiso previo y por escrito de la editorial.

DERECHOS RESERVADOS © 2018, respecto a la segunda edición por: McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 16, Colonia Desarrollo Santa Fe, C.P. 01376, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, reg. núm. 736

ISBN: 978-1-4562-5472-8

ISBN de la edición anterior: 9786071512529

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Impreso en México

OMC

23 22 21 20 19 18 Printed in Mexico

iii

CONTENIDO Capítulo 1

1.1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1

Funciones exponenciales 3 Funciones logarítmicas 12 Propiedades o leyes de los logaritmos 18 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 23 Interés compuesto y otras aplicaciones 28

Capítulo 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Funciones exponenciales y logarítmicas

Fundamentos de geometría

35

Términos general generales es de geometr geometría ía 37 Congruencia de triángulos 51 Cuadriláteros 63 Polígonos 73 Áreas sombreadas 79

Capítulo 3 Funciones trigonométricas y trigonometría analítica 92

3.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.77 3.

Ángulos y sus medidas 93 Razones trigonométricas fundamentales para triángulos rectángulos con aplicaciones 99 Ley de Senos 104 Ley de cosenos 109 Identidades trigonométricas 115 Fórmulas para suma, diferencia ángulo doble y ángulo medio 119 Ecuaciones trigonométricas 129

Capítulo 4

4.1 4.1 4.2 4.3

134

Gráficas senoidales 135 Gráficas de las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante 142 Funciones trigonométricas inversas 148

Capítulo 5

5.1 5.1 5.2

Gráficas de funciones trigonométricas

Cónicas y fracciones parciales

Cónicas 157 Fracciones parciales 168

Soluciones a los ejercicios impares Tabla de fórmula fórmulass Bibliografía

203

197

179

156

v

DEDICATORIA A Dios todopoderoso por permitir manifestarse en nuestra obra. A la Universidad Católica de Honduras Nuestra Señora Reina de la Paz por el apoyo para que ésta obra sea parte integral en el proceso de enseñanza aprendizaje. A nuestra familia por ser pilar fundamental en la vida de cada uno de nosotros.

vii

INTRODUCCIÓN El siguiente contenido da a conocer los conocimientos básicos de precálculo necesarios para los estudiantes, siendo de gran ayuda para ellos, elaborado por los mismos profesores que se entregan en la clase para dar lo mejor de sí. Es una herramienta para el éxito del mismo, en el que podrá resolver problemas desde funciones logarítmicas, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, áreas sombreadas, fracciones parciales y cónicas. Este libro está dividido en varios capítulos, que contienen una gran cantidad de ejemplos para estudio, así como numerosos problemas diseñados para que el estudiante refuerce los conocimientos que le permitirán tener éxito en sus estudios y lograr la aprobación de la asignatura. En el desarrollo de cada uno de sus capítulos hay un equilibrio, no siempre fácil de conseguir, entre el rigor matemático y la claridad expositiva de los conceptos y teorías fundamentales. Para facilitar la lectura y hacerla más comprensible, se incorporan ejemplos y representaciones gráficas, junto con aplicaciones matemáticas de distintas áreas. Después de cada tema se incluyen ejercicios propuestos para su solución lo mismo hay una excelente oportunidad de usar la plataforma Aleks para retroalimentación de los temas en forma independiente. Así este libro contiene ejercicios de carácter básico que permiten afianzar los conceptos y las técnicas de cálculo, problemas de contenido y temas de carácter teórico. Los ejercicios propuestos son similares a los resueltos y tienen como fin ayudar al estudiante en su aprendizaje, afianzar los conocimientos adquiridos y comprobar el grado de asimilación de los objetivos formativos. Para facilitar el estudio, el orden en el que aparecen los ejercicios propuestos y resueltos es el mismo que el de la exposición teórica.



ix

DIAGNÓSTICO DE PRECÁLCULO NOMBRE: NÚMERO DE VECES QUE HA CURSADO PRECÁLCULO: Los siguientes ejercicios sirven de referencia para saber la base de conocimientos que tiene en precálculo: 1.

Exprese en forma desarrollada las siguientes potencias:

 1  − −    3 

2

a) 25=

d) (

6) 4 =

−

2.

b)

e) (4)

−

c) (

(4)-7

f)

=

4)7

−

=

3 ( 1/3)8

−

−

=

Encuentre los siguientes valores (use calculadora científica): −  1  c)    

3

a) e 2 −

=

b) e4

=

=

d) (10)-4

=

e

3.

Si se da la función f ( x) = 2 x evalúe para cuatro valores de x y revise el comportamiento de la gráfica: f ( x) = 2 x

x

4.

Conteste: ¿Qué es un logaritmo natural?___________, Realice una representación de logaritmo natural _____________ ¿Qué es un logaritmo común?______________, Represéntelo___________

5.

Dada f ( x) = (3/4)3x evalúe a) f ( 1) −

b) f (1/)

c) f ( e) qué procedimiento usó ___ −

____________________________________________________________ 6.

Dada la fórmula de fármaco, D(t ) 50e 0.2t haga despeje para t _________________

7.

Dada f ( x) = log3 x evalúe

=

a) f (½ )

−

b) f (1) c) f (3)

qué procedimiento usó _______

___________________________________________________________________

x



DIAGNÓSTICO DE PRECÁLCULO

Represente un punto:_______, un segmento:________, un rayo:______, una

8.

recta:________ 9.

Dibuje un cuadrado, un círculo,un triángulo, un rectángulo.

10.

Represente el ángulo dado 125. 32º en grados, minutos y segundos: ______________

11.

Represente el ángulo dado −

12.

Dados tres lados de un triángulo a = 5, b = 4 y c = 3 , halle el valor de sus tres án-

3π 4

a grados : ___________________

gulos A, B y C: ____________________ 13.

Dada f ( x) = –2 sen ( x − ) evalúe a) f ()

 3π    2 

b) f 

 5π    2 

c) f (2) d) f 

e) f (3 ), haga la gráfica usando los pares ordenados anteriores y observe el compor-

tamiento de la misma.

b) tan (−210º)

 11π    3 

c) Csc 

14.

Encuentre valores exactos de: a) cos 315º

15.

Use fórmulas de suma o resta para encontrar valor exacto de cos (315º – 150º)

16.

Por completación de cuadrados simplifique para las variables x y y : x2 + y2 + 8 y

−

16 x − 20 = 0

17.

a)

Identifique y nombre cada una de las siguientes figuras: b)

c)

Fecha: __________________________________ Revisado: __________________

CAPÍTULO

1 Contenido

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Propiedades o leyes de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Interés compuesto y otras aplicaciones Evaluación Capítulo 1

2

CAPÍTULO 1

Funciones exponenciales y logarítmicas Objetivos de aprendizaje Interpretar y definir una función exponencial. Interpretar y definir una función logarítmica. Reconocer en una serie de funciones logarítmicas las que son de base a y base e. Identificar las características de una función logarítmica y la utilidad que tiene en la vida real. Identificar las propiedades de los logaritmos. Reconocer en una serie de ecuaciones las que son exponenciales y las logarítmicas. Resolver las ecuaciones exponenciales y logarítmicas usando estrategias adecuadas. Despejar en una serie de ecuaciones de interés compuesto las variables indicadas. John Napier Nació en 1550 en el castillo de Merchiston, en las proximidades de Edimburgo, Escocia. En 1619 apareció una obra póstuma bajo el título de “Mirifici logarithmorum canonis constructio”, que incluía tablas numéricas que permitían mostrar la gra n eficacia práctica del nuevo descubrimiento. Pero Napier también es conocido por los resultados que obtuvo en la obtención de expresiones exponenciales para facilitar la representación de funciones trigonométricas. También introdujo la notación decimal para las fracciones e inventó un sistema de cálculo mecánico para efectuar las operaciones parciales de las sumas y los productos de números grandes. Se habla de logaritmos “neperianos” para referirse a los logaritmos en base e. Y es que pocos nombres han tenido en la historia de las matemáticas tantas versiones diferentes como éste: Napeir, Nepair, Nepeir, Neper, Napare, Naper, Naipper.


1.1 Funciones exponenciales Objetivos Que el estudiante aprenda a: • • •

Interpretar y definir lo que es una función exponencial. Reconocer, en una serie de funciones exponenciales, las que son de base a y base e. Identificar las características de una función exponencial y la utilidad que tiene en la vida real.

Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes. El estudio de las po – tencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real.

Definición: Si a > 0 y a  1, la función exponencial con base a es f ( x) = a x 1 Se consideran dos ejemplos de gráficas de funciones exponenciales de base 5 y 5 respectivamente.

Ejemplo 1 Grafique la función f ( x) = 5 x Es importante considerar algunos valores para x y observar sus imágenes en y en la tabla de valores para luego elaborar su gráfica respectiva.

Solución: Se realiza una tabla dándole valores a x con f ( x) = 5 x f ( x )

x

y

4

f ( −2 ) = 5−2

3 =

–2

1 2

52

1 =

1 25

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

–2

5

–3

0

1

–4

1

5

–1

1

2

3

4

5

6

x

–1

Se observa que f ( x) es creciente en (–, ). Dominio es R, Rango es (0, ), asíntota horizontal es y = 0 e intercepto en y es (0, 1).

Ejemplo 2

 1  x Grafique la función f ( x ) =     5  Solución: Usar la tabla de valores

3

4

CAPÍTULO 1

 1  x f ( x ) =     5 

x

y

4 3

−2

f

2

–

 1  2 − = ( )  5    = 52 = 25

2 1

–6

–5

– 4 –3

–2

–1

0

–1

5

–2

0

1

–3

1

1

1

2

3

4

5

6

x

–1

–4

5

Dominio de f ( x) es R, rango es (0, ), asíntota horizontal es y = 0 e intercepto en y es (0, 1) f ( x) es decreciente en (–, ). Otros ejemplos, considerando traslaciones sobre el eje x y el eje y, observe la tendencia de sus gráficas.

Ejemplo 3 1

Grafique f ( x) = 2 x

–

Solución: Se usa tabla de valores y luego se grafica. x

f ( x) = 2 x – 1 f

( 2) ( 2 ) −

=

–2

2 1

−

−

y

=

=

4

23 1

=

−

3

23 1

2 1

8 –6

–5

– 4 –3

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1

1

–1

–2

–2

4

–3

1

0

–4

2 1

1

Se observa que f ( x) es creciente en (–, ).

 1  Dominio es R, rango es (0, ); asíntota horizontal es y 0; intercepto en y es  0,    2  hubo una traslación horizontal del punto (0, 1) al punto (1, 1). 

Ejemplo 4 Grafique f ( x) = 2 x – 2. –

=


Solución: Se usa tabla de valores y luego se grafica. y

4

f ( x) = 2

x

f (–1) 1

= 2

–

–(–1)

= 2

–

– x

1

–

3

2

2

2

–

1

2

= 0

f (0)

0

= 2

f (1)

1

–0

= 2

–

–(1)

–6

2

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

–

= –

0

1

2

3

4

5

6

x

–1

= –

–2

3 – 2

–3 –4

Se observa que f ( x) es decreciente en (–, ). Dominio es R, rango es (–2, ); asíntota horizontal es y = −2 e intercepto en y es (0, −1), también se observa un intercepto en x en (–1, 0), hay una traslación vertical de dos unidades hacia abajo, por lo cual la asíntota horizontal se traslada hacia ese valor. Por tanto, si f ( x) = a x + k , la asíntota horizontal es y = k . Además, la función tiene dos términos con la misma base; entonces, para encontrar el intercepto en x, la función se iguala a cero, así: 0 = 2– x – 2, entonces, 2 = 2– x, 1 = – x, x = –1, se aplica si a x = a y entonces, x = y.

También la función exponencial puede ser de base .

Ejemplo 5 Grafique f ( x) =10 x /2


4 3

f ( x) = 10 x/ 2

x

f (−2) = (10)( = 0.1

–

–2 –1

0.32

2

2/2) 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

0

1

–1

1

3.16

–2 –3 –4

Se observa que f ( x) es creciente en (–, ).

1

2

3

4

5

6

x

5

6

CAPÍTULO 1

Dominio es R, rango es (0, +); asíntota horizontal es y = 0 e intercepto en y es (0, 1), base 10. El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. Las primeras cifras son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...). Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler, e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier).

Calcularlo El valor de (1 + 1/ n)n se aproxima a e cuanto más grande es n: y

n

(1 + 1/ n) 1

2,00000

2

2,25000

5

2,48832

10

2,59374

100

2,70481

1.000

2,71692

10.000

2,71815

100.000

2,71827

n

3

e

 1 +  1

2

n

n

1

0

1

2

3

4

5

x

–1

y cumple con las mismas propiedades que la de base a.

Ejemplo 6 Grafique f ( x) = –e*.


4 3

x

–1

2

f ( x) = –e x f (–1)

=

1

–(e)–1

= – 0.37

–6

–5

– 4 –3

–2

–1

0

0

–1

–1

1

–2.72

–2

1

2

3

4

5

6

x

–3 –4

Se observa que f ( x) es decreciente en (–, signo menos de la función la hace decreciente.

),

aunque la base es mayor que 1, el

Dominio es R, rango es (–, 0); asíntota horizontal es y = 0, el intercepto en y es (0, –1). Procedimiento: Inv ln (–1) = –0.37 y así igual para los demás valores. *Se realiza el procedimiento usando una calculadora.


Ejemplo 7 Grafique f ( x) = e x + 2 Solución: Se usa tabla de valores y luego se grafica. y

4 3

x

2

f ( x) = e x + 2

–1 f (–1)

=

e–1 + 2

= 2.37

0

f (0)

1

f (1)

=

=

1

–6

e0 + 2

= 3

e1 + 2

= 4.72

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –3 –4

Se observa que f ( x) es creciente en (–, ), aunque la base es mayor que 1. Dominio es R, rango es (2, (0, 3).

+);

asíntota horizontal es y = 2 , el intercepto en y es

Procedimiento: con calculadora científica Inv ln (–1) = 0.37 para los demás valores.

+ 2 = 2.37

y así igual

La función exponencial se aplica en la aproximación para encontrar un número facto-

 n  n rial grande. Un método consiste en usar la fórmula de Stirli ng (aproximado), n! = 2π n     e  Puede comprobarse con calculadora. 12! = 479,001,600 fórmula de Stirling

 12  12 12! = (2 xπ x12 ) ×    = 475,687,486.7 e  

Ahora compare ambos resultados.

APLICACIONES: 1.

Si se invierten $2,500.00 durante 6.5 años al 6¼% compuesto tr imestralmente obtenga: a) El monto compuesto Solución: a)

b) El interés compuesto

 r  nt S = C 1 +   S = monto compuesto, C = Capital, r = tasa nominal  n 

de interés, n = capitalizaciones en un año, t = tiempo en años

 0.0625  ( 4×6.5 )  S = 2, 500 1 +  = $3,741.17 4   2.

b) I = S – C = 3,741.17 – 2,500.00 = $1,241.17

Una compañía importante que ofrece tarjet as de crédito a una tasa de interés de 1½% mensual sobre saldos insolutos.

7

8

CAPÍTULO 1

a) ¿Cuál es la tasa nominal compuesta mensualmente? b) ¿ Cuál es la tasa efectiva? Solución:

 r  n tasa efectiva 1 +   − 1  n 

a)

1    0.015     12 1 +  − 1 × 100 = 18%  1    

 1 + 0.015  − 1 × 100 = 19.56%    1   12

b)

1.1 EJERCICIOS En los problemas del 1 al 18 grafique la función dada, identifique sus características y su base. 2

1.

f ( x) = –3– x

2. F ( x)

= 6

4.

f ( x) = (8)– x + 4

5. F ( x)

= 3

8. F ( x)

= (1/4)

7. f ( x) =

34 x + 1

– x +

2 x – x

–2 x

10.

f ( x) = e– x + 2

11. f ( x)

= –e

13.

f ( x) = e x – 3

14. f ( x)

=

16.

f ( x) = 10– x

17. g( x)

= 1–10

e4 x x

– x

3. F ( x)

= (1/3)

6. F ( x)

= –3 – 3

9. F ( x)

= 5

x

2 x

– 5

12. f ( x)

= 1 –

e x

15. f ( x)

= 2 –

e–5 x

18. f ( x)

= 

(1 – x)

En los problemas 19 al 23 encuentre los interceptos en x y en y de la gráfica de la función dada. No grafique. 19. f ( x) = –3– x + 27 22.

f ( x) = –8– x

– x

20. f ( x)

= 3e

23. f ( x)

= 6

–

3 – x

1

21. f ( x)

– x

= 2

–

2

–1

En los problemas 24 al 29, use una calculadora para expresar en forma decimal; emplee cuatro cifras decimales. 24.

4–2

25.

52.15

4–2.17

 3  −3/ 4 29.     4 

27.

e–1.34

30.

Investigue dos ejemplos de la vida real en los que se aplique la función exponencial. Decaimiento radiactivo: Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que permanece después de t días es m ( t ) = 13e–0.015t donde m (t ) se mide en kilogramos, encuentre la masa a) si t = 0, encuentre la masa b) después de 30 días. 120 El aumento de la altura de los árboles se estima por medio de h t = ,h 0.2 t 1 + 200e se mide en pies y t edad del árbol en años. Determine:

31.

32.

28. e3.2

26.

()

−

a) ¿Cuál será su altura en 10 años? ¿Cuál será su altura en 15 años? b) ¿A qué edad medirá 50 pies? 33.

En una maquila José puede coser P pantalones por día, después de t días de práctica, está dada por P(t ) = 400 – 400e–t , ¿después de cuántos días de práctica podrá José coser 399 pantalones diarios?, haga su gráfica y comente.


34.

La población P (miles de habitantes) de una región está dado por P(t ) = 670e0.0235t , donde t es el tiempo en años, ¿en cuánto tiempo la región alcanzará los 500 habitantes?



 R 



−   t E   L   1− e 35. La ecuación I t =  t está dado en segundos, se usa para el estudio de R 

()

36. 37.

38. 39.





circuitos eléctricos. Si E = 10 voltios, R = 12 ohmios y L = 7 henrios a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar a una cor riente de I = 0.8 amperios? b) ¿ Para llegar a I = 0.58 amperios? Halle el valor de f (10) en f ( x) = 30 – ae–kx, ¿existirá un punto a tal que f (a) = 15?, grafique la función ¿qué observa?, determine dominio y rango. Para tratar el virus de la influenza en una región del país, se vacunó a la población y se espera que la cantidad de contagiados disminuya según f ( x) = 150e–0.472 x, x está dado en horas, ¿cuál es el número de contagiados luego de 4 horas?, grafique la función y discuta con sus compañeros sobre estos resultados. Investigue tres ejemplos de la vida real donde se aplique la función exponencial. x) x para todo entero positivo x. Llene la siguiente tabla y compare Sea f ( x) = (1 + 1/ los valores f ( x) obtenidos con e. ¿Qué debe esperar si f ( x)  e, cuando x  ? f ( x)

x

1

2

10

2.5937425

100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 40. Decaimiento radiactivo: Los

médicos emplean el yodo radiactivo como trazador para diagnosticar ciertos trastornos de la glándula tiroides, el yodo se desintegra de modo que la masa restante después de t días se determina por m(t ) = 6e – 0.087t , m(t ) se mide en gramos, encuentre: la masa en el tiempo t = 0.5 días, cuánta masa queda después de 15 días. / n)nt S (t ) = monto compuesto, P = capital, r = tasa 41. Interés compuesto S (t ) = C (1 + r de interés anual (decimal), t = tiempo en años, n = número de veces que el interés compone por año interés compuesto en forma continua S (t ) = Cert S (t ) = monto compuesto (cantidad después de t años) C = capital, r = tasa de interés anual (decimal), t = tiempo en años Se invierten 15,000 dólares a una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente. Encuentre la cantidad después de a) 3 años, b) 8 años, c) 16 años (pruebe normal y en forma continua) 42. Se invierten 3,500 dólares a una tasa de interés de 14¼% anual, encuentre la cantidad después de 5 años capitalizable: a) semestral, mensual, semanal, diario, de manera continua. 43. ¿Cuál de las tasas de interés dadas y periodos de capitalización proporcionan la me jor inversión? a) 7½% anual, capitalizable trimestral b) 9¼% anual capitalizable semestral c) 81 / 5% anual capitalizablemente en forma continua.

9

10



CAPÍTULO 1

44. 45.

Encuentre el valor de C de 12,000 dólares si se paga interés a una tasa de 9 1 / 3% anual capitalizable semestralmente durante dos años y medio. Mezclas y concentraciones: Un barril de 35 galones se llena por completo con agua pura. Se bombea hacia el barril agua salada con una concentración de 0.4 lb/gal, la mezcla resultante sale a la misma tasa, entonces la cantidad de sal en el barr il en el tiempo t se da: Q(t ) = 15(1 – e–0.04t ) t se mide en minutos y Q(t ) en libras. a) ¿Cuánta sal sale después de 3.5 min? b) ¿ Cuánta sal está en el barril después de 9 minutos? c) dibuje la gráfica de Q(t ).

AUTOEVALUACIÓN 1.1 NOMBRE: FECHA: 1.

Conteste con V o F si la expresión es verdadera o es falsa. a)

4 x

2

x

=

4

x 1

b) 5

−

=

4 x _______

1

(5 ) _______ 5 x

c) 10 x−10− x = 100_____________ d) (e x + e– x)–1 = e– x + e x_______

e)

f)

2.

−1 x   1  − x    1    =     _______  5    5   

1 23 x

 1  3 x =    _______  2 

Verifique el resultado al evaluar las siguientes potencias, use tres cifras decimales: a) 23 el resultado es: ____________ b) (–4)5 el resultado es: ___________

c)

 −2  4    el resultado es:___________  5 

d)

 5  5    el resultado es: ____________  8 

e)

–5

f)

 3  −2 −   el resultado es:___________  9 

–3

el resultado es:___________




11

g) ()–2 el resultado es: ___________ h) (e–2)el resultado es: _________

¿Cuáles propiedades utilizó? Marque de acuerdo a las que aparecen a continuación: a) an = a * a * a ... * a, n veces

b) a

−

n

1

=

a 3.

c)

n

 a  n a n    = b n b  

d) (a × b)n = an × bn

Encuentre la función exponencial f ( x) = a x cuya gráfica se muestra b)

a) y

y

8

8

6

6

4

4

2

2 (3, 0)

–6 –5

–4 – 3

–2

–1

0 –2

1 2 (0, ‒2)

3

4

5

6

–6 – 5

x

–4 – 3

–2

0

–1

1 2 –2 (0, ‒1.5)

–4

–4

–6

–6

–8

–8

c)

4

5

6

d) y

10

y

10

(0, 9)

8

8

6

6

4

4

2 – 6 –5

–4 – 3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

2

1

–2 2 , 0

(4, 0) 6

x

–6

–5

– 4 –3

–2

0

–1

–2

–2

–4

–4

–6

–6 –8

4.

3

Elabore la gráfica de la función h( x) 15,20. Revisado: _______________

3 x evaluando para x

=

=

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9,

1

2

1

0, –7 5

3

4

5

6 x

x

12

CAPÍTULO 1

1.2 Funciones logarítmicas Objetivos Que el estudiante aprenda a: • • •

Interpretar y definir una función logarítmica. Reconocer en una serie de funciones logarítmicas las que son de base a y base e. Identificar las características de una función logarítmica y la utilidad que tiene en la vida real.

¿Por qué la palabra logaritmo? Logaritmo viene de dos términos griegos: logos significa calcular o razonar y arithmos que quiere decir número; entonces, se puede decir que es calcular un número.

Definición: Si a > 0 y a  1, la función logarítmica con base a es f ( x) = log  es la inversa de la función exponencial y equivale a a y = . Donde Arg se le denomina Argumento del logaritmo. Se pueden observar en un solo gráfico ambas funciones: y

5

Función exponencial y = e x

4 3 2 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

–1

4

5

6

x

Función logarítmica y = ln x

–2 –3 –4

Se grafica una exponencial de base e y la logarítmica de base e. Son funciones inversas.

Características de la función logaritmo: Dominio es  > 0, rango es R. Asíntota Vertical es Arg = 0 intercepto en x es cuando y = 0.

Ejemplo 1 Grafique la función logarítmica y = log2 x.

Solución: Existe una propiedad importante, que se llama cambio de base, para que pueda usarse una calculadora. y = ln x /ln 2 o y = log x /log 2.


y

4 3 x

f ( x) = log2 x

2

0.1

–3.32

1

1

0

2

1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –3 –4

y

=

log 2 0.1

=

log0.1

3.32 lo mismo para x

= −

log2

1 y x

=

2, se sigue el mismo procedi-

=

miento. Dominio es (0, ), rango es R, asíntota vertical x = 0, intercepto en x es (1, 0), f es creciente en (0, ).

Ejemplo 2

()

Grafique la función f x

=

log 1 2 x . 2

Solución Es necesario el uso de la calculadora. Si x

=

1 2

 1  log1  = log 1 1 =  log0.5  2  2

entonces y = log 1 2  =0

2

Para x = 1 y x = 2 se sigue el mismo procedimiento. y

4 3 2 x

f ( x )

=

log 1 2 x

1

2

0.5

0

1

–1

2

–2

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –3 –4

Dominio (0, ), Rango es R; asíntota vertical x = 0 e intercepto en x es (½, 0) f es decreciente en (0, ).

Ejemplo 3

()

Grafique la función f x

=

(

)

log 1 1 x . 2

−

13

14

CAPÍTULO 1

Solución Para encontrar su dominio de una mejor forma, se puede hacer: (1 – x) > 0, despejando se obtiene x < 1, es decir, de (–, 1). Rango es R, asíntota vertical es x = 1, intercepto en x es (0, 0). f ( x) es creciente en (–, 1). Es necesario el uso de la calculadora.

Si x

=

1 2

, entonces Y

=

(

log 1 1 x 2

−

)

log 1 2

=

x = –1 y x = 0.

=

log 1

1 , de la misma forma resolver para

2

y

4 3 x

f ( x)

=

log 1 (1 x)

2

−

2

1

–1

–1

0

0

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1

0.5

1 –2 –3 –4

Hay una traslación a la izquierda de una unidad; por eso la asíntota vertical queda en x = 1, f ( x) es creciente en (–, 1). Se considera ahora cuando el logaritmo es de base e, así:

Ejemplo 4 Grafique la función logaritmo: f ( x) = log(e) x + 1 = ln x + 1

Solución El dominio es (0, ), rango es R, asíntota vertical es x x > 0 para el dominio, f ( x) es creciente en (0, +).

= 0,

intercepto en x es (0.37, 0)

y

4 3 x

f ( x) = ln x

+ 1

0.37

f (0.37) = ln(0.37) + 1 = 0

0.5

0.31

1

1

2

1.69

2 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0 –1 –2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

x


Y = ln (0.5) + 1 = 0.31.

El mismo procedimiento para x = 1 y x = 2 Se resuelve con calculadora.

Ejemplo 5 Grafique la función f ( x) = log( x + 1) + 2 (su base es 10).

Solución El dominio es ( –1, +), el rango es R, la asíntota vertical es x = –1, el intercepto en x es (–0.99, 0), f ( x) es creciente de (–1, + +), x + 1 > 0, x > –1 para el dominio, el intercepto en x se toma 0 = log( x + 1) + 2 –2 = log( x + 1) 10–2 = log( x + 1) de la forma logarítmica a la forma exponencial 1

−

100

1 x =

–0.99 = x

y

4 3 x

f ( x)

log( x + 1) + 2

2

=

–0.99

0

0

2

0.5

2.18

1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –3 –4

Aplicación: También se pueden encontrar aplicaciones de las f unciones logarítmicas, 1) PH = – log [ H +] es el PH de una solución, [ H +] es la concentración de iones de hidrógeno en la solución en moles por litro (moles/litro), si PH < 7 la solución es ácida, si PH = 7 la solución es neutral y si PH > 7 la solución es básica, con [ H +] = 3.98 × 10–8 de la sangre, calcule el PH de la sangre.

Solución PH = – log (3.98

×

10–8)

= – (log

3.98 + log 10 –8)

= – (log

3.98 – 8)

= – (–0.5999 – 8), = 7.4

log 10 = 1

(es básica)

Log x es logaritmo común (base 10), ln x = loge x es logaritmo natural (base e)

15

16

CAPÍTULO 1

1.2 EJERCICIOS

En los problemas del 1 al 12 grafique las funciones logarítmicas, determine sus características e identifique su base. 1.

f ( x) = log3( x – 2)

2.

f ( x) = log2/5 (2 x)

3.

f ( x) = log5( x + 3) – 1

4.

f ( x) = log7(7 x)

5.

f ( x) = 2 – log2 x

6.

f ( x) = log ( x + 2)

7.

f ( x) = 5 + log 3 x

8.

f ( x) = ln ( x – 2)

9.

f ( x) = ln ( x + 1) + 2

10.

f ( x) = ln x – 9

11.

f ( x) = ln (1 – 3 x)

12.

f ( x) = ln 4 x

En los problemas del 13 al 18 cambie de la forma exponencial a la forma logarítmica. 13.

3 = 53 y

14.

N = 8–5

15.

6 = h2 x

16.

1/5 = 5–2 x

17.

Y = 59

18.

7 = 105 x

En los problemas del 19 al 24 cambie de la forma logarítmica a la forma exponencial. 19.

y = log3 ( x + 2)

20.

y = log5 5 x

21.

2 = log1/4 ( x – 6)

22.

y = log 5 x + 1

23.

y = ln(2 – 3 x)

24.

y = 3 – ln 3 x

25.

Investigue dos aplicaciones de la vida real donde se involucre la función logarítmica. En los problemas del 26 al 29 use una calculadora para evaluar la expresión, aproxime hasta cuatro cifras decimales.

26.

log 32.5

30.

¿Qué es más grande log217 o log622? Explique su razonamiento.

31.

La siguiente fórmula es válida para terremotos en el este de Estados Unidos, relaciona la magnitud R del sismo con el área que lo rodea A (en millas cuadradas) que es afectada por el temblor. R = 2.3 log ( A + 34,000 ) – 7.5, halle a) R si A = 12,000, b) despeje para A en la formula R.  p  ln    29   Dada la altura con relación a la presión atmosférica h p = , halle h( p) si 0.000034 − a) p = 27 b) p = 28 c) si h( p) = 1000 m encuentre p

32.

33.

27.

ln (1 +

3)

28.

ln 33.5

29.

log (3/8)

( )

 I  La siguiente fórmula es la escala de Richter R = log    que sirve para medir la I  0  intensidad de la magnitud de un sismo.

Determine la magnitud de un sismo cuya intensidad I es: a) 100 veces I 0, b)10,000 veces I 0, c) 100,000 veces I 0. Los terremotos de mayor magnitud registrados han estado entre 7 y 9 en la escala de Richter. Calcule las intensidades correspondientes en términos de I 0 34.

35.

La fórmula de Ehrenberg ln W = ln 2.4 + 1.84 h es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso W (en kg) de niños entre 5 y 13 años de edad. La fórmula ha sido verificada en muchos países. Exprese W como función de h.

 I  Absorción de luz. Dada C ( I ) = –250 ln   C ( I ) es la concentración de intensidad  I   0  de luz (moles/litro) I 0 = intensidad de luz incidente

I = intensidad de luz que emerge.




Encuentre la concentración de la sustancia si la intensidad de I : a) es 70% de I 0, b) es 45% de I 0

(

log N / 50

)

36.

Bacterias: t 3

t tiempo en horas, N número de bacterias, log2 Calcule el tiempo necesario para que la colonia crezca a unas quinientas mil bacterias.

37.

Enfriamiento de una máquina. Dada ln 

=

=

=

 T − 20     200 

=

0.11t . T temperatura de la má=

quina, t tiempo en minutos. a) Despeje para T en la ecuación, b) determine la temperatura del motor después de 20 minutos. =

38.

Presión atmosférica. Dada ln en km con k 6 y P0 5 km. =

=

 P  −h    = k . P P  0 

presión atmosférica en kPa, h altura

=

=

120 kPa, despeje para P, calcule la presión P a una altura de


Puede completar la siguiente tabla de ejercicios, observe el comportamiento de la forma exponencial y luego complete la forma logarítmica, después deduzca la equivalencia de una fórmula exponencial y la fórmula logarítmica. Forma exponencial equivalente

Forma logarítmica

52 25

log525 2

=

10

2

−

e1

=

1 =

Log

100 2.72

=

y

a

5 z

3

2

= –

Ln 2.72 1 =

___________

5 z

___________

=

25

___________

=

104 N

___________

c3 27

___________

=

=

e

3

8 y

e

___________

1

___________

16

___________

=

=

y

Evalúe la expresión: a) 2log227 d) log4

3.

100

9

=

2 3log3(5 )

2.

1

=

b) log10 3 10,000

c) ln (1/ e)

2

e) log2 1 / 64

f) eln 

Grafique las funciones f ( x) log x y g( x) =

Revisado:________________________

10 x

=

17

18

CAPÍTULO 1

1.3 Propiedades o leyes de los logaritmos Objetivos Que el estudiante aprenda a: • • •

Identificar las propiedades de los logaritmos. Expandir un solo logaritmo en término de suma, resta y factores. Simplificar a un solo logaritmo haciendo uso de las propiedades.

Es importante destacar que estas propiedades pueden usarse para los logaritmos de base a y los de base e.

Propiedades o leyes de los logaritmos: 1.

loga 1 = 0

2.

loga a = 1

3.

alog x = x

4.

Si: loga x

a

= y,

entonces

logaritmo de base e o ln. 5.

log x log a

=

y . Se llama cambio de base. También puede usar

Para cualquier par de números reales positivos S y T se cumple: S = loga S − loga T a) loga ST = loga S + loga T b) loga c) loga T r = r loga T T

Ejemplo 1 Despeje las incógnitas en las siguientes ecuaciones. a) log5 25 = y

b) log9 x

= −

1 2

c) loga 27 = 3

Solución Para cada ecuación logarítmica dada hay que expresarla primero en la forma exponencial y luego resolver por propiedades de potenciación así: a) log5 25 = y 5 y = 25 luego

5 y =52 y = 2

se concluye que

También se puede emplear la propiedad de cambio de base para el uso de la calculadora log25 log5 b) log9 x

=

2

= −

1

resolviendo queda

2

9–1/2 = x x = 1/3

y simplificando se tiene

c) loga 27 = 3 también haciendo el despeje para a se obtiene a3 = 27 donde a = 3.


Ejemplo 2 Encuentre el valor de y en 8log84

y,

=

Solución Primero se resuelve log84 ln4/ln8 y, 2/3 y 82/3 y =

y;

=

=

=

4

o también

y

=

entonces, pasando a la forma exponencial se obtiene usando cambio de base se sustituye en el exponente y por propiedades de potencias obteniendo 8log84 y, entonces y 4 =

=

Ejemplo 3 Exprese en sumas, restas y las potencias en factores de logaritmos en: a)

   2   x − 25  log5   x    y   

b)

( ) ( x 2)

2 x 3 − x ln x

5

+

Solución Observe y justifique las propiedades aplicadas en cada operación representada.

a)

     x   x 2 − 25  2   x log5  log 25 log = − − 5( 5 )    y   x   y     x  1/2 = log5 (( x − 5)( x + 5)) − log5     y  = log5 ( x − 5) + log 5 ( x + 5) − 1 2 (log5 x − log 5 y) = log5 ( x − 5) + log 5 ( x + 5) − 1/2 log 5 x + 1/ 2 log 5 y

b) ln

1

( ) = ln   2 (3 − x)   2 5  x 5 x + 2  x ( x + 2) )   ( 2 x 3 − x

 2 3 − x  ( )  = 1 2 ln  5   x ( x + 2)  =

1

=

1

=

1

=

1

2

ln 2 3 − x

((

)) −

ln 2 +

1

2

(

) − (ln ( x ) + ln ( x + 2))

ln 2 +

1

2

(

)−

ln 2 +

1

2

(

) − 5 / 2ln x −

1 2

2

ln 3 − x

2

ln 3 − x

2

ln 3 − x

ln

( ( x

5

x

+ 2) ) 5

1

2

1 2

ln

(x ) − 5

1 2

1 2

ln

ln

( x + 2)

( x + 2)

19

20

CAPÍTULO 1

Ejemplo 4 Simplifique a un solo logaritmo: a) log32 – log3(5 x + 1)+ 1/3 log3(3 – x) – 4log36 b) log( x − 2) +

1 2

log( x + 3) – 3 log( x2 + 1) − 4 log( x + 1)

Solución Observe y justifique las propiedades aplicadas en cada operación representada. a) log32 – log3 (5 x + 1) + 1/3 log3(3 – x)– 4log36

= log32 + 1/3

log3(3 – x)

– 4log36–log3(5 x +1) 1

= log32 + log3 (3 − x ) 3 − log3 6 4 −

log 3 (5x + 1)

1   4  = log3  2 (3 − x ) 3   − (log3 6 + log 3 (5 x + 1))   1   4 = log3  2 (3 − x ) 3   − (log3 6 (5 x + 1))   1     4 3   = log3  2 (3 − x )   / (6 (5 x + 1))     

= log3

(

b) log x − 2

)

+

1 2

(( 2 (

(

)

log x + 3

−

3

3 − x

(

)) / (6 (5x +1))) 4

)

3log x 2 + 1

−

(

)

4 log x + 1

log( x + 1)4 1/2 = log(( x – 2) * ( x + 3) ) – (log( x2 + 1)3 + log( x + 1)4) 1/2 ) – (log( x2 + 1)3 * ( x + 1)4) = log(( x – 2) * ( x + 3) 1/2 = log(( x – 2) * ( x + 3) ))/(( x2 + 1)3 * ( x + 1)4))

= log( x – 2) + log( x + 3)

1/2

–log( x

2

=

3

+ 1) –

Ejemplo 5 Demuestre que log y x log x y = 1

Solución log y x log x y

ln x ln y

se usa cambio de base ln y ln x = 1 simplifica. =

Aplicación 1.

Principio de Pareto. Dada la fórmula log P = log C – k log W W = nivel de riqueza, P cantidad de personas en la población que posee dinero. Despeje para P

Solución log P = log C – logW k C log P = log k W C P= W k

con propiedades de logaritmos


2.

La ecuación S = C (1.1)t da el valor S al final de t años de una inversión C compuesta anualmente, a una tasa anual de interés del 10% ¿Cuántos años se requerirán para que una inversión se duplique?

Solución

2C / C = 1.1t 2 = 1.1t Ln 2 = t ln 1.1 t = 7.3 años

1.3 EJERCICIOS En los ejercicios 1 al 8 encuentre el valor de los logaritmos, sin usar calculadora. 1.

5.

log3 27

2.

ln(e–2 e4)

6.

(

log 1  1 / 64     2 

)

log4 (52 53)

3.

log (108 107 10–3)2

7.

log 1  36 3−2     3 

(

)

4.

log 5 125

8.

ln (105 10–3)

En los ejercicios del 9 al 16 despeje las incógnitas dadas. 9.

13.

log H 2 =

logb 8 = 3

log27

10.

( )

14.

ln y2 = 3

3

x

=

3

11.

log2(2 – x) = 2

12.

x) = 2. log (3/

15.

Log 5 = 4 x

16.

log3 9 x = –2

En los ejercicios 17 al 21 simplifique y reduzca la expresión a un solo logaritmo. 17.

4log5 25 – ½ log5 1/125 +12log5 2

19.

y) + log y–3 log ( x y)– 4log ( x /

21.

8log2 2 – 2log2 16 + 4log2 5 –log3 9.

18.

ln( x2 – 1) –ln ( x + 1) + ln( x2 + 1)

20. –1/4log3 8 + 3log3 5 – ½

log3 25 + log3 6 x

En los ejercicios del 22 al 27 convierta el logaritmo en sumas, restas y exprese las potencias como factores con los logaritmos.

22.

25.

28.

  log5   

5

( x + 3) ( x + 4) x ( 2 − x ) 3

 1/5   (s3 − 1)   log  2    (s + 4) 3   

5

2

     

23.

2/ 3 1/3    3 x (2 x − 1)  ln   2  (5 − x )   

24.

1/4 −2   2 3  ( x − 1) ( x + 1)  log   x 2    

26.

 3 x − 5  )   ( log3  3  1 − 5 x    

27.

ln 4 y 2 1 

 x  El logaritmo desarrollado por John Napier fue 10 7 log 1    use cambio de base 7     10   para expresar este logaritmo:  e 

21

22



CAPÍTULO 1

a) En términos de logaritmo natural. b) En términos del logaritmo en base 10. 29.

Resuelva la siguiente expresión log2 3 × log3 6 × log6 12 × log12 24

30.

Explique por qué al conocer los valores de log 10 2 y log 10 3, se puede obtener, sin emplear una calculadora log 10 4, log10 5, log10 6, log10 8, log10 9, pero no log 10 7.

31.

Escala de Richter. M = log ( I / S) , I = intensidad del terremoto, S = intensidad de un terremoto estándar, a) despeje para S , b) despeje para I c) El sismo de Alaska de 1964 tuvo una magnitud de 8.6 en la escala Richter, ¿cuán-

tas veces más intenso fue éste que el de San Francisco en 1906 (8.3 en la escala Richter). 32.

 I  B = log    la intensidad del sonido I es inversamente proporcional al cuadrado de  I 0  k B = nivel de intensidad en decibeles. Niveles la distancia d desde la fuente. I d 2 de decibeles B1 y B2 a distancias d1 y d2 desde una fuente de sonido se relacionan =

mediante B2 = B1 + 20 log

 d1     el nivel de intensidad en un concierto de rock es d2  

120 dB a una distancia de 2 m desde las bocinas, determine el nivel de intensidad a una distancia de 12 m.


Conteste con V o F si la expresión es verdadera o es falsa. a) log

5 es igual a 0.3495 _______

b) Dado eln2 x = 5 el valor de x es 2/5 _______ c) Al escribir ln 3

+ ln7 – ln2 –2ln4

como un solo logaritmo se expresa ln(21/32)

d) Al expresar log x en términos de logaritmo natural es log x 2.

Desarrolle la expresión: a)

b)

c)

 x −4 y5   log    z 7   x −2   log   3  1 + x    2   x − 4 log  2   ( x 2 + 1)(2 x 5 + 3)   

=

ln10 ln x

_______




d)

 ln  z  

   z  y

e) log2 ( x10 y12) 3

f) log5

3.

3

xy

5 z

Simplifique la expression, a un solo logaritmo: a) 1/3 log(4 x) – 3log (1 – 2 x) + 2/9 log (4 b) log 2 5 A −

2 5

+ 3 x)

log 2 3E + log 2 B

c) log 4 y – log 7 x + 4 log 3 y – log z d) ln 5 4.

–

Use fórmula de cambio de base para realizar los cálculos siguientes: log25 log6

5.

8 ln9 + 16 ln7 + 2 ln2

log3 10

 1    log9 81  5 

log7 

En un estudio sobre plantas arraigadas en cierta region geográfica se determinó que en lotes de tamaño A (metros cuadrados), el número promedio de especies que se presentaban era S cuando se graficó log S como función de log A dada por log S = log 12.4 + 0.26 log A, despejar para S Revisado: _________________________________

1.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Objetivos Que el estudiante aprenda a: • • •

Interpretar y definir una ecuación exponencial y una logarítmica. Reconocer en una serie de ecuaciones las que son exponenciales y las logarítmicas. Resolver las ecuaciones exponenciales y logarítmicas usando estrategias adecuadas.

Se presentan algunas estrategias de solución. La idea es siempre hacer el despeje para la variable indicada

Ecuaciones exponenciales (estrategias) Verifique antes de resolver las ecuaciones si se pueden simplificar mediante propiedades de potenciación y luego revisar: Si a x = a y entonces x = y (bases iguales) 2. Si a x = y entonces loga y = x, luego aplique el cambio de base para encontrar el valor aproximado en la calculadora 1.

23

24

CAPÍTULO 1

3.

Si hay tres términos de la forma ax2 + bx + c = 0, se procede a resolver por los métodos de fórmula cuadrática, completando cuadrados o factorización y después puede llegarse al numeral 1 o al numeral 2 y resolver de la misma forma.

Ecuaciones logarítmicas (estrategias) Verifique antes de resolver las ecuaciones, si se pueden simplificar mediante propiedades de logaritmos y luego revisar: 1.

Si loga x = loga y entonces x = y (bases iguales)

2.

Si loga y = x entonces a x = y, luego despeje para la variable indicada factorización. Después puede llegarse al numeral 1 o al numeral 2 y resolver de la misma forma.

Ejemplo 1 Resuelva las ecuaciones exponenciales: a) 53 x + 2 = 10 b) 9 x

2

x

= 3

c) 52 x 52 x1 =

 1  2+3 x     5 

d) e x – 2 = (e x)5 x2

e) 4lne

= 8

f) 2(e x)2 – 3(e x) + 5 = 0

Solución Para cada caso observar las estrategias que se aplican. a) 53 x + 2 = 10 son bases diferentes entonces se cambia a la forma logarítmica y se hace

cambio de base para resolver por calculadora así log5 10 = 3 x + 2 luego log10

=

log5 log10 log5

−2

log5 3

2

se despeja ahora para x

− 2 = 3 x

log10

b) 9 x

3 x + 2

   log10    − 2 = x verifique con la calculadora. C.S. =  log5      3  

x

= 3

observe que las bases son iguales se simplifica usando propiedades de potenciación y luego se hace el despeje así: 9 x2 = 3 x 2 32 x = 3 x 2 x2 = x 2 x2– x = 0 x (2 x –1) = 0 factor común x. x = 0 o x = ½ C.S = {0,1/2}


2+3   1 (52 −1 ) =  5   

se resuelve mediante propiedades de potenciación así:

54

1

= (5

luego

54

1

= (5)

x

c) 52

x

x

x –

x –

–1

)2 + 3

=

x

–2– 3 x

=

se obtiene

4 x –1 = –2 –3 x 4 x + 3 x = –2 + 1 x =

d)

= (e

2

= e

x –

e

/7

2

x –

e

–1

despejando para x queda C.S = {– 1/7}

)5

se resuelve por potenciación así

x

5 x

luego

2 = 5 x

se despeja para x y se obtiene

x –

x =

–1/2 2

x

e) 4ln e

4

2 ln

4

2

x

x

= 8

e

=

bases iguales por potenciación se obtiene

8,

ln e = 1

= 8, 2

22

C.S = {– 1/2}.

x

3

= 2

2 x 2 = 3 3

=±

x



 3



2 

C.S = ±

2

.

f) 2 (e x )2 – 3 (e x ) + 5 = 0 se observa que tiene tres términos se hace una sustitución para

verlo mejor así: sea u = e la ecuación se transforma en x

2u2 – 3u + 5 = 0 (2u – 5)(u + 1) = x

e

=

5 2

;e

x

1

= −

por factorización se obtiene 0 donde: u = 5/2 o u = –1 es decir que no está definido por tanto

ln (5/2) = x , C.S =

  5   ln     .   2  

Ejemplo 2 Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log ( x + 1) = log(2 x – 15) b) log5(2 x – 3)

( )

c) log6 ln x

=

+ log5 x = log55

1 2

d) ln 2 x – ln 4 = −3

25

26

CAPÍTULO 1

Solución

(

)

a) log x + 1

x + 1

=

(

)

log 2x − 15 Son de igual base; simplifique y despeje así:

= 2 x

− 15

x = 16 C.S b) log5 (2 x – 3) + log5 x peja para x así:

= {16}. = log5 5

Se simplifica por propiedades de logaritmo y se des-

log 5  2 x − 3 ∗ x  = log 5 5

(

)





2 x2 – 3 x = 5 2 x2 – 3 x – 5 = 0 Los factores son: (2 x − 5) ( x + 1) = 0, x =

5 2

( )

c) log6 ln x

1

=

x = −1

o

 5  C.S =   .  2 

Se pasa a la forma exponencial dos veces y se despeja para x así:

2

1

62 e

=

6

d) ln 2 x – ln 4

ln x

=

x

= –3

Es equivalente C.S

=

6

=

ln x , luego

{e }. 6

se aplican propiedades de logaritmos y se simplifica así:

ln (2 x /4) = –3, ln

e

 1    = −3  2  x

3

−

=

1

Pasar a la forma exponencial

x

2 2e–3 = x

C.S = {2e–3}.

Aplicación 1.

Dada Q(t ) = 100e¯0.035t , Q(t ) es número de mg de una sustancia radiactiva que resta después de t años. a) ¿Cuántos mg quedan después de ½ año? b) ¿Después de cuántos años habrá 20 mg?

Solución a) Q(0.5) = 100 e–0.035(0.5) = 98.27 mg b) 20 = 100e–0.035t ,

20 100

ln 0.2 = –0.035 t ln e ln 0.2/ –0.035 = t 46 años = t

=

e

0.035t

−


1.4 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 15 resuelva las ecuaciones exponenciales. 1.

4–5 x = 1

2. 23 x

= 5(2

5 x

3. 8 – 2 x

)

= 0

4. e

3 x

−

=

1 e

5.

1 x

8. 10. 13.

2

=

272

−

6. 5 |x|+1

3 x

3 (49t )2– 10 (7t ) + 16 = 0 2 x = e2 x–1

11. 49log7 x

x2(10 x) – x(10 x) = 2(10 x)

7. (4 x)2 – 26 (4 x)

= 25

9. 32 x + 1

8

+ 25 = 0

x – 5

= 5

12. e x– (e– x)

= 36

14. 100(1.04)2 x

= 300

15. 4

4 x

+ 3

+ 2 = 0

= 8

En los ejercicios del 16 al 32 resuelva las ecuaciones logarítmicas. 16.

log8 (4 x – 2) = log8 (10 – 3 x)

17. log x

18.

2log5 x = 5log5 3 – 2log5 5 + log5 8

19. log3 x

20.

log 10 x + 5 − log 5 = log x + 1

21. log2 (4)2 x – log2 2 x

22.

ln x = 4 – ln (10 – x)

23. y

24.

log(log5 2 x) = 1

27.

¿Para qué valor de x se cumple que log ( x + 3) = log x + log 3? Explique.

28.

log x + log( x – 3) = 1

30. 32. 33.

5 10 2 x

=

25. 2 – ln(3 – x)

= 0

= log

lo g y 1 0

=

=

3

+ log

log3 x 1 −

31. log3(2 x

= 4

100,000 y 4

26. ln( x – 1)

+ ln( x + 2) = 1

29. despeje para x en log 2(log3 x)

7

5

= 4

+ 3) = 4 – log3( x + 6)

La única solución de la ecuación log x = ln x es x = 1. Explique por qué ésta es una solución y por qué no existen otras. Simplifique: a) eln x + ln e x + ln 1 b) log 102 + log 1000 – 5 c) Si ln y = x2 + 2, despeje y

34. Presión atmosférica: La

presión atmosférica P (en kilopascales, kPa) a la altura h

(en kilómetros, km) está dada por

 P  −h ln    = con k = 7 y P0 = 100 kPa son cons P0  k

tantes. Despeje para P, use P para encontrar la presión P a una altura de 4 km.

()

1

(a 2

x

−

x

) . Demuestre que f (c

d ) + f (d – c) = 2 f (c) f (d )

35.

Sea f x

36.

La ecuación de demanda para cierto producto es q = 80 – 2 p, despeje para p cuando q = 60. Después de t años, el número de unidades que se venden anualmente de un producto

37.

=

+

a

está dado por q = 1000

+

 1  0.8t    , despeje para t . 2  

27

28



CAPÍTULO 1


Verifique si cada proposición es verdadera o falsa escriba V o F a) El valor de x en e2 x e5 x = e14 es ½ ________ b) El valor de x en 4 x + 3 = 7 es –1.6 ________ c) El valor de x en log (3 x –1) = log ( x – 3) = 2 es 97 ________ x

d) El valor de x en 4 2 2.

=

20 es 3.42 ________

Resuelva las siguientes ecuaciones, primero clasifique si son exponenciales o logarítmicas : a) log2 (1 – x) = 4 ________ b)

e2 x + 2 xe2 = 8 e2 x ________

c) ln (log2 x) = 1 ________ d) ln (2 x – 3) = 14 ________ e) f)

e4 x + 4e2 x –

21 = 0 ________

x2 2 x – 2 x = 0

________

g) 4(1 + 105 x) = 9 ________ h)

50 1+ e

i)

3.

− x

=

x

72

=

51 x −

4 ________ ________

La velocidad de un paracaidista, después de saltar se da por V (t ) = 80 (1 – e–0.2t ), t se da en segundos. ¿Después de cuántos se gundos la velocidad es de 85 pies/segundo? _________ Revisado:__________________________________

1.5 Interés compuesto y otras aplicaciones Objetivos Que el estudiante aprenda a: • • •

Interpretar y definir un interés compuesto y sus aplicaciones. Despejar en una serie de ecuaciones de interés compuesto las variables indicadas. Resolver problemas de interés compuesto y otras aplicaciones usando estrategias adecuadas.


Definición: Específicamente en las inversiones, como en las cuentas de ahorro, se paga una tasa anual de interés compuesta en forma anual, semestral, trimestral, etc. Su fórmula es S = / n)nt , donde C es capital, r es la tasa de interés compuesta en n veces al año, S es C (1 + r el monto y t el tiempo. También si n crece sin límite se dice que el interés se compone continuamente. Su fórmula es S = Cert . La noción de interés compuesto se refiere al beneficio (o costo) del capital principal a una tasa de interés durante un cierto periodo de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de cada periodo no se retiran, sino que se añaden al capital principal. Por lo tanto, los intereses se reinvierten. Fórmula del monto compuesto n veces

Fórmula del capital compuesto n veces

 r  S = C 1 +   n   

 r  − C = S 1 +   n   

nt

nt

Fórmula de la tasa Fórmula del tiempo de interés compues- de interés compuesto n veces to n veces n

  

 − 1  = r C  S

nt

 S     C  = t  r  n ln  1 + n     ln 

 S     C  = t  r  n log  1 + n     log 

Fórmula del monto Fórmula del capital Fórmula de la tasa Fórmula del tiempo compuesto continu- compuesto continu- de interés compues- compuesto continuamente amente to continuamente amente S = C ert

C = S e–r t

ln r

=

 S      C 

S

  c   t =

t

ln 

r

Ejemplo 1 Se deposita una suma de L10,000.00 en una cuenta de ahorros, cuya tasa de interés anual es 9%. Compare el valor futuro compuesto del valor depositado en 5 años si: a) el interés se compone mensualmente. b) el interés se compone continuamente.

Solución C = L

a) S

10,000.00, r = 0.09, t = 5 años y n = 12 meses (en 1 año)

 0.09  60  L10,000.00 1 +  = L15,656.81 nt = 5 × 12 = 60  12 

=

b) S = L10,000.00e(0.09 x 5) = L15,683.12

Ejemplo 2 Encuentre el valor presente de una cuenta depositada cuyo valor futuro es L 18 309.25 a una tasa de interés de 7

1

% durante 3 años en la que: 4 a) el interés se compone semestralmente. b) el interés se compone continuamente.

29

30

CAPÍTULO 1

Solución S = L18,309.25, r = 0.0725, t = 3

años y n = 2 semestres (1 año)

a) C = L18,309.25 (1 + 0.0725/2)–6 = L14,787.11 b) C = L18,309.25e(–0.0725 x 3) = L14,730.30

Ejemplo 3 ¿Cuál es la tasa de interés si se duplica una inversión durante 2 años?, ¿si se compone continuamente?

Solución S = 2C C = C , n = 1

2 C

= C

año

=

simplificación de C

1 + r

2 1 −

=

años

(1 + r )2

2 = (1 + r )2 2

t = 2

cancelación de potencia 2

r

despeje para r

0.4142 × 100 = r

cambiando a porcentaje

41.42% = r Mediante composición continua 2 C

(2r )

= C e

2 = e(2r )

simplificación de C

ln 2 = 2r

de la forma exponencial a la logarítmica

ln 2

despeje para

=

r

r

2 0.3466 × 100 = r 34.66 % = r

Ejemplo 4 Calcule el tiempo en que una inversión de L 25 000.00 se convierte en L 32 714.00 a una tasa de interés de 5

1

% si: 5 a) se compone trimestralmente. b) se compone continuamente.

Solución a) C = L 25 000.00 S

= L

32 714.00

r = 0.052, n = 4

 S   32,714.00     log   25,000.00  C    = t = = 5.21 años  r    0.052    n log   1 + n   4  log 1 +   4       log 

trimestres (en un año)


 S   32714    ln  25000   C     = 5.17 t = = ln 

b)

0.052

r

Ejemplo 5 Halle el valor actual según monto compuesto, tasa de interés especificados: Solución a) $6,000.00 que vence en 20 años al 5% compuesto anualmente

r –nt S = C (1 + r / n)nt , 6,000, C = S (1 + – n)

6,000(1 + 0.05)–20 = C $2,261.34 = C Solución b) $4,000.00 que vence en 12 años al 7% compuesto semestralmente.

4,000.00(1 + 0.07/2) –24 = C $1,751.83 = C Ejemplo 6 Dada la fórmula de un circuito eléctrico simple (en serie)



Fórmula es I =

E 

1− e

R 



 R  −   t  L 

  donde E es voltaje, R es resistencia y L es inductancia,  

haga el despeje para t , aplique las propiedades de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Dé una conclusión.

1.5 EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 19 resuelva para la variable que se le indica según la aplicación enmarcada. 1.

2. 3. 4.

Si se depositan L35,000.00 en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés anual del 8.5% compuesta bimestralmente ¿ cuánto tiempo transcur re hasta que haya L48,000.00 en la cuenta? ¿Cuánto dinero debe invertir al 9 ¼% compuesto de forma continua para obtener un resultado de L1,200,000.00 al cabo de 15 años? Si se invierten L9,300.00 a 6.3% anual compuesto diariamente al duplicarse la cantidad ¿cuánto tiempo transcurre? Si p es presión atmosférica dada en lb/pie 2 a una altura h sobre el nivel del mar entonces p = 2116 e–0.0000318h halle : a) p si h es 0 pies, 10 pies y 100 pies b) h si p es 1,205 lb/pie 2, 2,008 lb/pie 2 c) A cierta altura el manómetro de un avión indica que la presión atmosférica es de 1,500 lb/pie 2 halle h.

31

32

CAPÍTULO 1

5.

6.

El número de bacterias presentes en un cultivo después de t horas se da por N (t ) = N 0 e0.368t si la colonia comenzó con 400 bacterias, ¿cuántas habrá después de: 10 horas, 16 horas y después de 1 día? El número de bacterias presentes en un cultivo después de t horas se da por N (t ) = N 0 ekt encuentre: a) k si se sabe que después de 3 horas la colonia se ha extendido 1.75 veces su po-

blación inicial. b) el tiempo que tarda para cuadruplicar su tamaño. 7. 8.

9.

Dada la fórmula y =

e x

+

e

−

x

haga el despeje para x. 2 Vilfredo Pareto (1848-1923) observó que la mayor parte de riqueza de un país la poseen algunos miembros de la población, el principio de Pareto está dado por: log P = log c – k log w, donde w es el nivel de riqueza y P es el número de personas en la población que tienen la riqueza. Resuelva la ecuación para P, suponga que k = 2.3, c = 8,000 y w se mide en millones de dólares, use el despeje de P para encontrar el número de personas que tienen dos millones o más ¿cuántas personas tienen diez millones o más? El tiempo requerido para duplicar la cantidad de una inversión a una tasa de interés capitalizable de manera contínua es t

10.

11.

12.

13. 14. 15. 16.

17.

=

ln 2 r

, determine el tiempo requerido para

duplicar la inversión en 6%, 7% y 8%. Si se invierten 4,000 dólares en una cuenta para la cual el interés se capitaliza trimestralmente, encuentre la cantidad de la inversión al final de 5 años para las siguientes tasas de interés: 7¼%, 81 / 5%. Para un saltador con pértiga en entrenamiento la cur va de aprendizaje está dada por: P(t ) = 20 – 14 e–0.024t donde P(t ) es la altura que puede saltar después de t meses, ¿después de cuántos meses puede saltar 12 pies? Una persona invierte 6,500.00 dólares en una cuenta que paga 5½% de interés anual, capitalizable cada trimestre, encuentre la cantidad después de 2½ años, ¿cuánto tiempo tomará para que la cantidad sea 8,000.00 dólares? calcule el tiempo requerido para que una inversión de 6,000.00 dólares crezca 8,500.00 dólares a una tasa de interés de 6.75% por año, capitalizable cada semestre. Encuentre el rendimiento porcentual anual para una inversión que gana el 8% anual capitalizable mensualmente. Investigue cuatro aplicaciones de la vida real donde se vea reflejado la presencia de funciones exponenciales y funciones logarítmicas Algunos biólogos modelan el número de especies S área fija A así: log S = log c + k log A, donde c y k son constantes positivas que depende del tipo de especie y el hábitat. Despeje para S , y si se da k = 4 entonces duplicar el área incrementa el número de especies ocho veces. En 1935 el geólogo estadounidense Charles Richter (1900 -1984) definió la magni-

 I    , I es la intensidad del terremoto, S es la intensidad S  

tud de un terremoto M = log 

18.

de un terremoto. Si un terremoto es 20 veces la intensidad de otro. ¿Cuánto más grande es su magnitud en la escala de Richter? La escala de pH mide la acidez de una disolución dando su concentración de ion hidrógeno por Sorensen en 1909 así pH = – log  H +, las disoluciones con pH de 7 son neutras, las que tienen pH < 7 son ácidas y las pH > 7 son básicas. Se da la lectura de pH de una muestra de: leche pH = 6.5 y de agua pH = 7.3 encuentre la concentración de iones de hidrógeno de cada caso.




19.

Un lago pequeño contiene cierta especie de pez. La población de peces está dado por 10 , P es número de peces en miles y t se mide en años, desde que se 0.8 1 + 4e aprovisionó el lago. a) Encuentre la población de peces después de 4.2 años b) ¿Después de cuántos años la población de peces llega a 8,300? P

20.

=

−

t

Encuentre el rendimiento porcentual anual para una inversión que gana 5½% por año, capitalizable de forma continua.


Resuelva las siguientes aplicaciones: a)

b)

El número de bacterias en un cultivo está dado por n(t ) = 500e0.45t , t en horas ¿cuál es el número inicial de bacterias?, ¿cuántas bacterias están en el cultivo después de 3.5 horas? ¿Después de cuántas horas la cantidad de bacterias llega a 11,200? Dada m(t ) = m0e rt , donde m0 es la masa inicial de una sustancia radiactiva con –

vida media h, entonces la masa restante en el tiempo t es m(t ),

r

=

ln2

, halle la

h

c)

d)

vida media si 250 mg de un elemento radiactivo disminuyen a 200 mg en 48 horas. Se invierten $5,500.00 a 8½% anual capitalizable semestralmente. Determine: el monto compuesto de después de 1½ año, ¿después de qué tiempo la inversión llega a $7,800.00? Se saca un pastel del horno cuya temperatura era de 350° F y queda en una cocina donde la temperatura ambiente es de 75° F. Un minuto después se mide la temperatura del pastel y es de 300°F. ¿Cuál es la temperatura del pastel 6 minutos después? ¿En cuánto tiempo la temperatura del pastel será de 80° F? Elabore la gráfica de T (t ). T (t ) = Tm + ( T 0 – T m)ekt , k < 0, T m es temperatura ambiente, T 0 es temperatura inicial

Revisado:__________________________

1.6 EVALUACIÓN CAPÍTULO I NOMBRE: FIRMA:

FECHA:

CATEDRÁTICO(A): ASIGNATURA:

SECCIÓN:

33

34



CAPÍTULO 1

Verdadero o falso: encierre con un círculo si la proposición es verdadera (V) o falsa (F) para cada caso desarrolle procedimiento debajo de cada una. 1.

La gráfica de toda función logarítmica f ( x) = logb x con b > 0 y b  1, contiene los puntos (1, 0) y (b, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V

F

2.

Si y = log5 3 x entonces 5 y = 3 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

3.

El valor actual (capital) de L13,000.00 recibidos después de 2 años al 10% anual compuesto en forma continua es aproximadamente de L1,205.00 . . . . . . . . V log5 7

entonces M = 0.94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

5.

Si 3 x = 34 entonces x = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

6.

Dada alogb a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

7.

Dada logb

4.

8.

9.

Si log8 M =

F

log5 8

M

logb M

=

N

−

logb N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Al aplicar cambio de base en log7 15 =

ln15 ln 7

......... ......... ......V

Dado ln ( y – 3) = ln 2 x2 + ln C , al despejar para C se obtiene C

2 x 2 =

V

F

F

F

y 3 −

10.

Con L = 9 + 5.1 log d fórmula para la magnitud límite L de un telescopio, d es el diámetro (en pulg) de la lente, el valor de la magnitud de un telescopio de 3.5 pulgadas es 11.77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

11.

Con n

log s log c −

=

log(1 r )

F

, n es el número de años para que cierta maquinaria se deprecie

−

hasta un valor de recuperación S , c es un valor inicial y r tasa anual de depreciación (decimal), el número de años para que cierta maquinaria disminuya su valor de L90,000.00 hasta L10,000.00 si la tasa anual de depreciación es 0.20 (20%) es 9.85 años . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V F 12.

Si log5 x = log5 9 el valor de x = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

13.

Con f ( x) = 4 – ln (– x) el dominio de f ( x) es R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

14.

Dada 8 = 4 x225 x los valores de x que satisfacen la ecuación son x = –3 y x = ½ . V

F

15.

El valor de ln e

es e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

16.

En y = ln x significa x = e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

F

2

___________________

REVISADO:

CAPÍTULO

2 Contenido

Fundamentos de geometría Términos generales de geometría 2.2 Congruencia de Triángulos 2.3 Cuadriláteros 2.4 Polígonos 2.5 Áreas sombreadas 2.6 Evaluación Capítulo 2 2.

2.1

36

CAPÍTULO 2

Fundamentos de geometría Objetivos de aprendizaje Que el estudiante tenga la capacidad de: • • •

Resolver ejercicios relacionados con ángulos y sus medidas. Resolver problemas con la forma de círculos, triángulos, cuadriláteros y polígonos. Resolver ejercicios de áreas y volúmenes.

Euclides

Euclides (325 a.C. -265 a.C.) es, sin lugar a dudas, uno de los tres matemáticos más importantes de la Antigüedad junto a Arquímedes y Apolonio. Quizás sea el más nombrado y también uno de los más notables de todos los tiempos. El nombre de Euclides quedó indisolublemente ligado a la geometría al escribir su famosa obra “Los elementos”, el libro más famoso de la historia de la matemática. Es una obra constituida por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas; en e lla se exponen las bases esenciales de la geometría. Euclides construye sus argumentaciones basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes) a partir de los cuales se deduce todo lo demás en lo que llamó postulados.


2.1 Términos generales de geometría 2.1.1 Rectas, rayos y segmentos Objetivos Que el estudiante aprenda a • •

Definir términos básicos como geometría, punto, recta, rayos y segmentos. Identificar en una serie de objetos la representación de puntos, rectas, superficies y planos.

Según Herodoto, los egipcios son los padres de la geometría debido a que el rio Nilo se desbordaba todos los años por las fuertes lluvias en el invierno, y se borraban los trazos o lindes de las tierras cultivadas, lo que provocaba problemas. La palabra geometría se deriva de dos palabras que significan ‘tierra’ y ‘me dida’.

Definición: Punto: Es un término primitivo que designa una figura geométrica que carece de longitud, extensión y espesor; únicamente tiene posición. Se consideran ejemplos de puntos los que se hacen o marcan en una hoja de papel con la punta de un lápiz. En la vida real un punto se puede considerar un lugar de referencia, es decir, una ubicación . Para representar un punto, se usan letras mayúsculas y se lee: punto A, Punto B, punto C , así: A

B

C

Recta: Es un término primitivo usado para designar una sucesión de puntos, que al unirlos se obtiene una línea recta que se extiende indefinidamente en ambos lados. Tiene longitud pero no anchura ni grosor. Una recta se denota con dos letras mayúsculas asignadas a dos puntos cualesquiera de la misma o con una sola letra, así:

A

B

Definición: Segmento de recta es la parte entre dos puntos de la recta, incluyendo estos dos puntos. Cada segmento que se traza tiene principio y fin.

Ejemplo Una hebra de cabello tensado, una regla de 30 cm, una cuerda de guitarra, etcétera. Un segmento se representa por letras mayúsculas que designan a sus puntos extremos así:

A

B

37

38

CAPÍTULO 2

Se representa simbólicamente así: AB . Los puntos A y B se llaman extremos del segmento AB . Se pueden medir segmentos de recta de la forma siguiente: Coloque la regla y trace el segmento a partir de la marca cero de la regla. A

0

B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

En este caso, la medida es de 6 cm y se representa como AB segmento. Otra forma de encontrar la medida de un segmento es:

11

12

= 6 cm o longitud del

AB =  coordenada de B – coordenada de A  =  6 – 0

 = 6 cm.

Segmentos congruentes: se dice que dos segmentos son con gruentes si tienen la misma longitud. Si las medidas de los siguientes segmentos son iguales, se tiene AB = CD, entonces AB es congruente con CD y se denota como AB



CD .

Ejemplo Mida con una regla dos segmentos de 10 cm cada uno y represéntelos uno debajo del otro. El primer segmento se denominará MN y el otro, OP , así:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Punto medio de un segmento: es el punto que divide el segmento en dos segmentos de igual medida. C es un punto medio de un segmento AB ; si C está entre A y B, entonces AC = CB. Notación para el cálculo del punto medio de un segmento, así:

A + B

2 A

=

C .

C

B

C es el punto medio de AB

Ejemplo Dibuje con una regla un segmento de 13 cm; llámelo PQ , encuentre su punto medio y represéntelo con la coordenada S .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

cm

Rayo: solo tiene un extremo, es decir comienza en un punto específico y pasa por otro en línea recta siguiendo indefinidamente en el mismo sentido.


Se representa así: A

B    

simbólicamente es AB .

2.1.1 EJERCICIOS 1.

En las siguientes situaciones indique los términos que se aplican, como punto, recta, superficie o plano. a) la cubierta de un escritorio,

d) un hilo en tensión,

b) una pantalla cinematográfica,

e) la punta de un alfiler.

c) el filo de una regla, 2. 3.

Dibuje algunos objetos que determinen un plano. Nombre las rectas de la siguiente figura. A

B

C D E F

H

G

4. 5. 6. 7.

Mencione cuatro ejemplos de puntos, rectas, superficies y planos relacionados con sus actividades cotidianas. Dibuje un punto, una recta y un plano. Investigue una definición de geometría en la actualidad y mencione los personajes que realizaron contribuciones a ella. Si A, B, C y D son cuatro puntos distintos cualesquiera de una recta dirigida, demostrar que, para todas las ordenaciones posibles de estos puntos sobre la recta, se verifica la igualdad: AB + BC + CD

8. 9. 10. 11.

AD

Un extremo de un segmento dirigido es el punto 8 y su punto medio es 5. Encuentre la coordenada del otro extremo. Encuentre la distancia entre los puntos 10 y 7 Sean A, B y C tres puntos cualesquiera de una recta. Si BC 12, AC 8 y AB 20. ¿Cuál de los tres puntos es intermedio? Use una regla graduada en centímetros y dibuje los segmentos con las siguientes medidas: –

–

=

a) AS 12.

=

8 cm

=

b) LM

7 cm

=

c) YZ

11 cm

=

=

d) RT

Encuentre el punto medio de los segmentos dibujados anteriormente.

=

=

3

1 2

cm

39

40



CAPÍTULO 2

13.

Mida los siguientes segmentos dados y compare cuáles de ellos son congruentes: a) C

D

M

N

b) R

K L T

R

c)

d) N

S

O

P

Y X 14.

Q

Nombre los rayos que se encuentran en la siguiente figura: A

C B

D E

Si A, B y C son tres puntos de una recta, donde AC BC 5 cm y si la coordenada de C es 8 y la coordenada de A es mayor que la coordenada de B, ¿cuáles son las coordenadas de A y B? 16. Suponga que R, S y T son tres puntos de una recta, ¿qué relación debe existir entre RS , ST y RT , si R está entre S y T ? 17. A y L son dos puntos de una recta. Las coordenadas de A y L son 2 y − 18 respectivamente. Si AN NL, ¿cuál es la coordenada de N ? 18. Encuentre la coordenada correspondiente al punto medio de cada segmento y la longitud de cada uno, formados por las coordenadas de los puntos extremos de algunos segmentos. Dibuje cada segmento y represente su punto medio. 15.

=

=

=

a) 12 y 34

b) −4 y 10

c) −12 y 0

d) 13 y 16

e) 2.7 y 22

AUTOEVALUACION 2.1.1 NOMBRE: FECHA: 1.

Indique si lo siguiente es verdadero o falso: a) La palabra geometría se deriva de dos palabras que significan ‘tierra’ y ‘medida’

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(

)

a) Un punto es un término primitivo que designa un elemento geométrico con espe-

sor y longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (

)

a) Recta es un término primitivo usado para designar una sucesión de puntos . . . (

)

a) La distancia entre los puntos 4 y 9 es 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (

)

–

2. 3. 4.

Encuentre el punto medio de los puntos 1/5 y 17/11. Luego grafique los tres puntos en una misma recta. Sean P, Q y R tres puntos cualesquiera de una recta. Si PQ 1, QR 8/3 y PR 1.6 ¿Cuál de los tres puntos es intermedio? 3 P y Q son dos puntos de una recta. Las coordenadas de P 3 2 y 4 respectivamente. Si PR RQ ¿Cuál es la coordenada de R? Realice la gráfica de los tres puntos. =

=

=

Revisado: _________________________________

=

=


2.1.2 Ángulos Objetivo Que el estudiante tenga la capacidad de: •

Resolver ejercicios que comprende relacionados con ángulos y sus formas.

Definición: Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirectas con el mismo origen. El punto en común toma el nombre de vértice. Si C y B son puntos en las rectas l1 y l2, podremos llamar al ángulo que se forma ángulo  BAC , con el vértice en A. l1

C

La recta l1 es el lado inicial y el lado terminal es l2.

A

l2

B

Ángulos coterminales: son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final. l1

l1 Lado final

Lado final

l2

l2 Lado inicial

Lado inicial

Un ángulo es positivo si su sentido de giro es contrario a las manecillas del reloj. l1

C

Se mide en el sentido que indica la flecha.

A B

l2

Un ángulo es negativo si su sentido de giro es a favor de las manecillas del reloj. B

A

l1

Se mide en el sentido que indica la flecha.

C

l2

41

42

CAPÍTULO 2

Clasificación de los ángulos: 1.

Ángulo agudo: es aquel cuya magnitud es menor de 90°.

B

0° < 50°< °90 50º A

2.

Ángulo recto: es aquel que mide exactamente 90° y se coloca un rectángulo en el vértice. B

 BAC =

90°

A C

3.

Ángulo obtuso: Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°. B

90° <  < 180° 140º

A

4.

Ángulo colineal o llano: Es aquel que mide exactamente 180°. B

5.

C

A

C

 BAC = 180°

Ángulo entrante: Es aquel que mide más de 180° y menos de 360°. 220º C A

180° <  < 360°

B


6.

Ángulo perígono: Es el que mide exactamente 360°.

B A

7.

C

Ángulos complementarios : Son dos o más ángulos cuya suma da como resultado 90°. B

 +  = 90°  = 50º

 = 40º A 8.

C

Ángulos suplementarios : Son dos o más ángulos cuya suma da como resultado 180°.

 +  = 180°  = 120º

 = 60º

Ejemplo 1 Determinar el valor de x tal que la suma de los ángulos sea de 90°.

B C D

x

x

3 x

A

m BAC

+ mCAD + m DAE = 90°

E

= 18° mCAD = 18° m DAE = 54° m BAC

43

44

CAPÍTULO 2

Solución: x + x + 3 x = 90°

5 x = 90° x

=

90°

=

5

18

Ejemplo 2 Determine el valor de x tal que la suma de los ángulos sea 180°. D

E

C

2 x + 20

3 x 2 x

x B

A

F

Solución: x + 2 x + 20 + 3 x + 2 x = 180°

8 x = 180 − 20 x

=

160 8

=

20

m BAC = 20° mCAD = 60° m DAE = 60° m EAF = 40°

Ángulos en grados, minutos y segundos Para obtener medidas menores de un grado se pueden usar décimas, centésimas o milésimas de grado. 1° = 60 minutos 1 min = 60 segundos 70°1334 se refiere a un ángulo que mide 70 grados, 13 minutos, 34 segundos.

Ejemplo 3 Transforme los siguientes ángulos a decimal: a) 40°2341 b) 65°3413

Solución: a)

 23  °  41  °  40°23′ 41′ = 40 °+   +    60   3 600   40° + 0.3833° 40.3947°

+ 0.0114°


b)

 34  °  13  °  +  65°34 ′13′ = 65 °+     60   3600   65 + 0.5667 65.5703 



0.00361

+





Definición de Radián

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la circunferencia del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián. Relación entre radianes y grados 1. 2. 3.

180° =  radianes 1 radián = (180°/ ) = 57.2958° de radián a grado 1° = ( /180) radián = 0.0175 de grado a radián

Ejemplo 4

Convertir grados en radianes. a) 45° b) 70° Solución: a)

b)

 π  π  radián =  4  180   π  π = 70°   radián 7  18  180  45° 

Fórmulas:

Longitud de un arco de círculo: S = r  ; donde  está es radianes 1 Área de un sector circular: A r 2θ 2 =

Ejemplo 5

Un ángulo central  está subtendido por un arco de 12 pulgadas de largo en un círculo de 6 pulgadas de radio. a) Calcule la medida  en grados. b) Halle el área del sector circular determinado por  . Solución: S

= r θ

θ

= S r

12 = 2 radián 6  180  2 radián    = 114.592°

θ

=

 π 

45

46

CAPÍTULO 2

1 2 r θ 2 1 2 A = (6) (2) 2 A

A

=

=

36 pulgadas 2

Definición:

Dos rectas A y B son paralelas si y solo si al trazar una recta perpendicular a A es también perpendicular a B. A

B

Teoremas de rectas paralelas:

Si dos rectas cualesquiera son paralelas entonces se cumple que: a) Ángulos alternos internos son congruentes.

1 2

b)

Ángulos alternos externos son congruentes. 1

2

2.1.2 EJERCICIOS 1.

2.

Transformar el ángulo de grados a radianes: a) 15° b) 35° c) 80° f) 90° g) 60° h) 45°

d) i)

150° 30°

e)

Transformar el ángulo de radianes a grados: a)



5

rad

b)



10

rad

c)

3 rad 

d)

17 rad 4

200°


Determinar el valor de x.

3.

D

AOB =

AOB =

BOC

BOC

COD

C

= =

=

COD

=

DOE

=

EOF

=

D C

E x

3 – x + 2 2

B

3 x – 1 2 x + 4

3 x

x

3 x

O

A

2 x

F

O

AOB = BOC COD DOE EOF

AOB = BOC

D

= =

C

=

x

3 – x 2

2 – y 3

5 – x 2

B

B

x

A

O

A

De ser posible encuentre la medida de todos los ángulos: a) ||

b) ||

A 137º

A

47º

B

B

c) 

d) 

40º

A 50º

B B

C

=

3 x

x

3 – x 2

O

A

DOE

C

3 x

63º

=

– 2

=

35º

=

COD

2 x

E

5.

A

E

D

F

B

47

48



CAPÍTULO 2

e) ; 

f)  C D

A

134º

A

63º 115º B B

75º

6.

Si la medida del radio de una circunferencia es 21 cm. ¿Cuál es la medida del arco? Si: a)  35°;

b)  60°;

=

7.

=

c)  /2; =

d)  3/5;  7/3 =

=

Calcule el área del sector circular cuyo radio es si: a)  /4 ;

b)  5/7 ;

=

=

c)  11/9; =

d)  135°; =

e)  335° =

AUTOEVALUACION 2.1.2 NOMBRE: FECHA: 1.

2.

Se presenta una serie de proposiciones escriba sobre la línea de la derecha de cada una la simbología que la haga correcta. •

El suplemento del ángulo 56° es:

__________

•

Al convertir el ángulo 1.25 a grados, minutos y segundos se obtiene: _________ _

•

Al convertir el ángulo 23°512 a radianes es:

__________

•

Si longitud de arco es 4.5 cm y ángulo es 1.3, el radio es:

__________

•

Si el radio es 2.9 m y longitud de arco es 4.2 m, el ángulo es:

__________

Observe detenidamente las figuras y complete: e) ; 

b) 

C D

A

131º

A

47º 119º B

83º

3.

B

Calcule el área del sector circular, dibuje el sector circular, si el radio es: a) 

1.57

=

b) 

0.32

=

Revisado: _________________________________


2.1.3 Figuras geométricas planas Objetivos Que el estudiante aprenda a: • •

Definir figura geométrica y figura plana. Discriminar en una serie de figuras las que son geométricas y las planas.

Definición: Figura geométrica

Figura plana

Resulta de una combinación de puntos, líneas y superficies.

Es la que se sitúa exactamente en un plano.

Figuras geométricas: Esta región cuadrada está formada por segmentos y a la vez, por puntos.

El cilindro está formado por dos superficies circulares y una rectangular.

Figuras planas:

Estas figuras tienen dos dimensiones (ancho y altura) o solo longitud. Normalmente se omite el dibujo del plano; se sobrentiende que todas las figuras planas están sobre un mismo plano.

Figura plana cerrada: Es la que encierra completamente una porción de su plano, así:

Observe que algunas figuras están encerradas por segmentos lla mados lados. Los ángulos formados por los lados consecutivos se llaman á ngulos de la figura; a la vez se identifican los vértices y otras por curvas.

49

50

CAPÍTULO 2

lado

vértice

lado

En general el cuadrilátero está formado por cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices. Cuando la medida de sus lados es la misma se le llama cuadrado.

ángulo

2.1.3 EJERCICIOS 1.

Dibuje cinco figuras geométricas.

2.

Dibuje cinco figuras planas.

3.

Si una figura plana tiene:

a) cinco lados se llama:

b) seis lados se llama:

c) tres lados se llama:

d) diez lados se llama:

4.

¿Una figura puede ser geométrica y plana a la vez? Explique.


2.2 Congruencia de triángulos Objetivos Que el estudiantes aprenda a: •

Clasificar los triángulos e identificar la congruencia de éstos.

Definición: Sean A, B y C , tres puntos no colineales en el plano. Sea la recta a determinada por los puntos B y C , sea la recta b determinada por C y A además la recta c determinada por A y B. La intersección de los semiplanos aA, bB y cC lo llamaremos el triángulo determinado por los puntos A, B y C ; lo representaremos como  ABC . A los puntos que determinan el triángulo los llamaremos vértices del triángulo. A los segmentos determinados por pares de vértices los llamaremos los lados del triángulo. A los ángulos CAB, BCA, ABC los llamaremos ángulos internos del triángulo. N

C

b

a

M c

A

B

Por tanto, un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres lados y tres vértices. La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a  radianes es decir que:  +  +  = 180° A

 c

b

 B

 a

C

Clasificación de los triángulos Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica en alguna de las siguientes categorías: •

Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60°).

51

52

CAPÍTULO 2

•

•

Triángulo isósceles: (del griego iso, ‘igual’, y skelos, ‘piernas’; es decir, ‘con dos piernas iguales’). Tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, con lo que estableció así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales). Triángulo escaleno: (‘cojo’, en griego) Todos sus lados tienen longitudes diferentes (En un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

º

60 60

º

60

º

Equilatero

Isóceles

Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Triángulos: rectángulos, oblicuángulos, obtusángulos, acutángulos. •

Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado, hipotenusa.

•

Triángulo oblicuángulo: Ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°).

•

Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°). Los otros dos son agudos (menores de 90°).

•

Triángulo acutángulo: Sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

<60

º

90

º

Rectángulo

>90

º

Obtusángulo

<60

º

<60

º

Acutángulo

Clasificación según los lados y los ángulos Los triángulos acutángulos pueden ser: •

•

•

Triángulo acutángulo isósceles: Todos sus ángulos son agudos, dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura. Triángulo acutángulo escaleno: Tiene todos sus ángulos agudos y todos diferentes, carece de eje de simetría. Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen el triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser: •

•

Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno). Los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa (opuesto al ángulo de 90°). Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y sus tres lados y ángulos son diferentes.


Los triángulos obtusángulos pueden ser: •

•

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. Triángulo

Equilátero

Isósceles

Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices, de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia Triángulo

Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado). Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo). Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos.)

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado). Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teorema de congruencia Triángulo

Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado). Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tiene la misma medida y longitud, respectivamente.

53

54

CAPÍTULO 2

Congruencias de triángulos rectángulos •

•

•

•

Criterio (hipotenusa, cateto): Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio (cateto, cateto): Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro. Criterio (hipotenusa, ángulo): Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio (cateto, ángulo): Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos •

•

•

Criterio (ángulo, ángulo): Si dos de sus ángulos son semejantes. Criterio (lado, ángulo, lado): Dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Criterio (lado, lado, lado): Sus tres lados son proporcionales.

Semejanzas de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con, al menos, uno de los crite rios siguientes: •

Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.

•

Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.

•

Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Ejemplo 1 Compruebe la congruencia de los triángulos pios aplicados. Dados:  ABC  ADC

isósceles isósceles

AC

como base

 I

con

 II .

B

I

II

D

A

C

Además, indique los princi-


Solución: BD Es común a ambos triángulos, por tanto:  I   II

Por LLL

Ejemplo 2 Dados:

D

BF

⊥

DE

BF

⊥

AC

3



B

E

3

1

4

2

≅ 4

Demuestre: AF  FC

A

6

F

5

C

Solución: Proposiciones

Argumentos

5 6 1 es el complemento de 3. 2 es el complemento de 4. 1 2 I  II

Forman ángulos rectos y congruentes. Los ángulos adyacentes son complementarios.

AF

Partes congruentes de triángulos congruentes.

 FC

Complementos de ángulos congruentes. Por ALA.

Ejercicio 3 Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 4.3 m y una persona que mide 1.75 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 70 cm.

Solución: La casa y la persona forman con su sombra un triángulo rectángulo, ambos triángulos son semejantes por ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos. y: Altura del edificio Por semejanza de triángulos se tiene y

1.7

=

4.3 0.7

Despejando para y y =

43 × 1.7 0.7

y

10.4 .44 4m y = 10

1.7 m

4.3 m

0.7 m

55

56

CAPÍTULO 2

Ejercicio 4: Dos paredes son paralelas entre si, se dejan caer dos tablas entre las paredes (consulte figura). Cada tablón tiene las siguientes medidas T 1 17.5 m; T 2 19.2 m respectiva=

=

mente. Encuentre las distancias: AE , BE ,CE , DE . A

12.5 m

C

T 2 E

T 1

D

B

14.7 m

Solución: Las distancias comprendidas hasta el punto E estará estará denotado por: AE

=

x

17.5 x y DE 19.2 y BE CE

=

−

=

=

−

De tal forma que E

E

19.2– y

D

17.5 m

y

C

B

14.7 m

Por semejanza de triángulos tenemos: 14.7

=

17.5 − x

125

x

14.7 x = 12.5(17.5 − x) 14.7 x = 218.75 − 12.5 x 14 x + 12.5 x = 218.75 27.2 x = 218.75 .04 4m x = 8.0 Por tanto:

17.5 x 9.46 46 m BE 9. BE

=

−

=

Realizando un procedimiento similar obtenemos: AE

=

BE

=

CE

=

DE

=

x 8. 8.04 04 m 17.5 x 9.46 m =

−

=

8.82 m 8.82 19.2 y 10.38 m y

=

−

=

x

12.5 m

A


2.2 EJERCICIOS 1.

Dados:  ABC es es isósceles.

A

BD, CE son bisectrices

Demuestre: BD



CE

E

D

B

2.

C

AB y CD se bisecan en el punto K.

Demuestre: AC  BD

C

K

A

B

D

3.

Dados:  ABC es equilátero.

C

AE  BF  CD

Demuestre:  EFD es equilátero.

D

F

A

4.

Dados: AB  EF DB  LF medianas anas.. AC y EH son medi AC  EH Demuestre:  LEF   ABD

B

E

D

L

C

A

H

B

E

F

57

58

CAPÍTULO 2

5.

Dados: AC 

CB

DA  DB C

Demuestre: AB  CD

1

2

A

B

E

D

6.

Dados: AB  AC



AE AE

Demuestre: AD es bisectriz de Angulo CAE. A

B

F D

C

7.

E

Dados: AD  CE

E

D

BD  BE

es punto medio de AC . Demuestre:  AFC es isósceles. B

F

A

8.

B

C

A

Dados: AB  AF BD  DF BAC



FAE

Demuestre: BC  FE

D C

B

E

F


9.

D

Dados: AB || DC

C

Demuestre:    E

A

10.

B

Dados: 1  2

G

H 1

Demuestre:   

2

4cm

4 cm

p

j

1

11.

Con la siguiente figura demuestre: a)    b)    c)   

C

G

F

E

A

D

B

Dado: GDC es equilátero

12.

GF



FE

AC



BC



ED

La siguiente figura es un hexágono regular: a) ¿Cuántos de los triángulos en la figura son congruentes con el triángulo BCH ?

Escriba 3 triángulos. b) ¿Cuantos triángulos son congruentes con el triángulo ABC ? Escriba 4 de ellos. c) ¿Cuantos triángulos son congruentes con el triángulo ABM ? Escriba 4 de ellos. d) ¿Cuantos triángulos son congruentes con el triángulo BCF ? Escriba algunos de

ellos. e) ¿Cuantos triángulos son congruentes con el triángulo CHI ? Escriba todos.

59

60

CAPÍTULO 2

B

C

H

G

l

A

D

M L

J

K

F

13.

14.

E

Un estudiante de 1.63m de altura se para frente un árbol y una laguna, El estudiante puede ver el reflejo del arbol en la laguna. Calcule la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan al estudiante del lugar de reflejo en la laguna y del árbol son de 2.9 m y 11.3 m, respectivamente. Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara vertical de 40 cm ar roja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre?

100 m

0.4 m

x

15.

0.6 m

Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2.3 m de un árbol de 3.32 m entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña C

x

B

A

1.82 m 2.3 m 138 m


16.

17.

18.

Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 50 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta. Los lados de dos pentágonos regulares miden 9 cm y 7 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas. Pruebe si:  es semejante a  3 cm

C 2 cm

D 2 cm

E c m 0 1

7 c m

15 cm

A

19.

B

Las rectas a, b, c y d son paralelas, calcule x, y.

2 cm

x

1 cm

d c b y a

7 cm

14 cm

20.

Si un ángulo de un triángulo isósceles es congruente con un ángulo de un segundo triángulo isósceles. ¿Son los triángulos congruentes? ¿Por qué?

21.

En términos de triángulos semejantes; la razón ½ da a entender lo mismo que la razón 2 / 1? Explique.

22.

Un triángulo tiene dos lados de longitud 10 cm y 6 cm y el ángulo comprendido entre ellos de 100°. Otro triángulo tiene lados de 5 cm y 3 cm y el ángulo entre ellos dos es de 100°. ¿Cuál es la razón de semejanza si existe?

61

62



CAPÍTULO 2

AUTOEVALUACIÓN 2.2 NOMBRE: FECHA:

Conteste con claridad cada proposición planteada. 1.

Los triángulos se pueden clasificar según la medida de:

2.

Los postulados de congruencia de triángulos son:

3.

Son tres características de un triángulo equilátero:

4.

Encuentre le valor de x si: 1  2 y la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es 3 m.

1 2

x 45°

5.

Datos:    Encuentre la medida de  B

A

2

Q D



C

Revisado: ____________________________________________________


2.3 Cuadriláteros

Objetivos Que el estudiante aprenda a: •

Identificar los elementos de un cuadrilátero.

•

Clasificar los cuadriláteros según los lados.

•

Enunciar algunas propiedades de los paralelogramos y los trapecios.

•

Establecer las condiciones en las cuales un cuadrilátero es un paralelogramo.

Definición: Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. B A

AB

AD

BC

D DC C

Cuadrilátero ABCD

Con las siguientes características: •

Dos lados son opuestos y no tienen punto común. Ejemplo AB y CD, AD y BC .

•

Dos lados contiguos tienen un extremo común. Ejemplo AB y BC .

•

Vértices opuestos son dos vértices que no están en el mismo lado. Ejemplo A y C .

•

Vértices contiguos son dos vértices que están en un mismo lado. Ejemplo C y D.

•

Diagonales de un cuadrilátero son los segmentos que unen los vértices opuestos: y BD.

AC •

Sus ángulos interiores suman cuatro rectos (360°). Se demuestra trazando una diagonal que lo divide en dos triángulos y se sabe que la suma de los ángulos de cada uno de ellos es de 180°.

Clasificación de cuadriláteros La geometría proporciona la siguiente clasificación.

Cuadriláteros

paralelogramos trapecios trapezoides



Paralelogramos Tienen dos pares de lados opuestos paralelos. Se dividen en: Rectángulos, cuadrados, rombos y romboides.

63

64

CAPÍTULO 2

A

Área

Perímetro

A = b  h

P = 2b + 2h

A = L2

P = 4L

B

Altura (h) Base (b)

D

C

Rectatángulo

Los cuadriláteros rectángulos son paralelogramos que tienen los cuatro ángulos interiores rectos y los lados iguales dos a dos. Las diagonales del rectángulo son iguales y o blicuas.

B

A L

Lado ( L) C

D

Cuadrado

Los cuadrados son rectángulos que tienen los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos interiores rectos. Las diagonales del cuadrado son iguales y perpendiculares. A

A

d

E

⋅

P = 4L

2

L

L

D d =

B D

L

L C

Rombo

Los rombos son paralelogramos que tienen los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos. Los ángulos interiores opuestos son iguales. Las diagonales del rombo son perpendiculares y son las bisectrices de los ángulos opuestos. A = b  h A

B b

a

a h

C

D

Romboide

Los romboides son paralelogramos que tienen los lados opuestos iguales y paralelos. Los ángulos interiores opuestos son iguales.

P = 2a + 2b


Propiedades de los paralelogramos • • • • •

Los lados opuestos son iguales. Los ángulos opuestos son iguales. Los ángulos adyacentes a un lado son complementarios. Una diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales. Las diagonales se cortan en su punto medio o centro del paralelogramo.

Base y altura de los paralelogramos • •

Base de un paralelogramo es un lado cualquiera. Altura de un paralelogramo es la distancia de la base al lado opuesto.

Trapecios Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos, (llamados ba– ses, mayor y menor, respectivamente). Se dividen en rectángulos, isósceles y escalenos. a

a

d

b

d

b

a

b

h

d

h h c

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

c

Trapecio escaleno

El trapecio rectángulo es aquel en el que uno de los lados es perpendicular a las bases. El trapecio isósceles tiene los lados no paralelos iguales. El trapecio escaleno es un trapecio genérico. Área del trapecio A =

1 2

Perímetro del trapecio

(c a) h +

P = a + b + c + d

Trapezoide El trapezoide es un cuadrilátero genérico. No tiene lados paralelos. Considerando las diagonales del cuadrilátero y sus paralelas medias de los triángulos que definen con los vértices, observamos que, uniendo los puntos medios de los lados del cuadrilátero, se obtiene un paralelogramo. En este caso, es un romboide cuyos lados miden la mitad que las diagonales a las que son paralelos. La superficie del romboide MNPQ es la mitad de la superficie del cuadrilátero; es fácil comprobar que la superficie del romboide KLPQ es la mitad de la superficie del triángulo ACD, pues el romboide tiene la mitad de la base y de la altura que las del triángulo. C D

O

Trazando paralelas a los lados por sus puntos medios se obtienen dos romboides.

P

N

L

M A

B

65

66

CAPÍTULO 2

P

y S son los puntos medios de las diagonales.

R

C

D R

N

O

S

A

M

B

Área del trapezoide

Perímetro del trapezoide

Suma de áreas de los dos triángulos que lo componen.

P = p + n + m + q

Ejemplos

a) Para la siguiente figura, diga qué tipo de cuadrilátero es y además encuentre la altura

(h), sabiendo que tiene un perímetro de 24 pulgadas y una superficie de 28 pulgadas. 4

5 5

h

c

Solución:

La figura mostrada es un trapecio isósceles, dado que dos lados son iguales y opuestos. Utilizando la fórmula de perímetro para trapecios tenemos: 24 = 4 + 5 + c + 5 10 = c Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula de área de trapecio, se obtiene que: 28 =

1 (10 + 4) h 2

4=h Por tanto, el trapecio tiene una altura de 4 pulgadas. b) Un horticultor dispone de 680 centímetros de malla para cercar dos terrenos que tiene en su hacienda, los cuales debe proteger de que nadie los traspase. Él sabe que en el terreno rectangular el largo es dos veces el ancho y calcula que el área total de los dos terrenos es de 136 m 2. Encuentre las dimensiones de cada terreno.

y

2y

x


Solución:

Se reconoce que el perímetro de los dos terrenos debe ser igual a la suma de la malla disponible para cercar, así pues: P. rectángulo

+

P. cuadrado

= 68

4 y + 2 y

+

4 x

= 68

6 y

+

4 x

= 68

m Así se forma una ecuación (1) con dos variables.

También se sabe que el área de los dos terrenos debe ser igual a 136 m 2. Utilizando la fórmula de área de los terrenos, tenemos: (2 y)( y) + ( x)2 = 136 2 y2 + x2 = 136

(2)

Despejando y de la ecuación 1, tenemos: y = −

2

x+

3 Sustituyendo y = −

2 3

x+

34 3

34

(3)

3

en la ecuación 2, se obtiene:

 2 34  2 2 2 − x +   + x = 136 3   3   2  1156 − 136 x + 4 x 2  = 136  9  9 9   2312 272 17 − x + x 2 = 136 9 17 9

x

2

−

9 272 9

x

+

9 1088 9

x

x

=0 = =

( )(

272 ± 73984 − 4 17 1088

( )

2 17 272

34 x = 8 Ahora sustituimos x = 8 en (3) y = −

y = −

y = 6

Entonces las dimensiones son: Terreno rectangular: 36 m2. Terreno cuadrado: 32 m2.

2

(8) 3

+

34 3

16 16 +

3

3

)

67

68

CAPÍTULO 2

c)

En un espacio publicitario de 30 pies × 72 pies, se debe colocar un afiche espectacular, de modo que forme un borde de ancho idéntico. Si el área del afiche debe ser igual al área del borde, determine las dimensiones del afiche. 72 pies

30 pies

x

x

x

Solución:

El área del espacio publicitario es de 2 160 pies 2. Entonces, el área del borde y del afiche debe ser igual a 1 080 pies 2. Área del afiche: (72 − 2 x )(30 − 2 x ) = 1 080 (72 − 2 x )(30 − 2 x ) = 1 080 2 160 − 204 x + 4 x 2 = 1 080 4 x 2 − 204 x + 1 080 = 0 x =

x =

204 ± 41616 − 4 (4 )(1080 ) 8 204 ± 156 8

1 =

x

45 no se toma en cuenta.

x2 = 6

d)

Como x = 6. Dimensiones del afiche: Largo: (72 – 2(6)) = 60 pulgadas Ancho : (30 – 2(6)) = 18 pulgadas ¿Qué dimensiones debe tener un cuadrado cuya área sea igual a su perímetro en cuanto a valor numérico?

Solución:

En cuanto a valor numérico la fórmula de perímetro y la de áreas deben ser iguales. Entonces, si cada lado es x : 4 x − 4 x = 0 x = 4 2=

x

2 x


Así, un cuadrado que tenga por lado 4 unidades lineales tiene perímetro de 16 unidades y área de 16 unidades cuadradas. e) Los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen por medida.

( x + 40)0 y (3 x − 20)0 Encuentre la medida angular de cada uno de los ángulos del paralelogramo. Solución:

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son evidentemente congruentes entre sí; por tanto: x + 40 = 3 x − 20 60 = 2 x 30° = x

Así entonces: 2 ángulos de 70° 2 ángulos de 110° f) Las diagonales DB y AC de un paralelogramo regular son iguales y se cortan en el

punto “O”. Si: OA = 15 OC = x + 2 y OB = x OD = 3 y − 5

¿Cuánto mide la diagonal? A

AB

B

15

AD

O

BC

x + 2 y 3y –5 D

DC

C

Solución:

Dado que: OA = OD OB = OD

15 = x + 2 y x = 3 y − 5

Solucionando el sistema: x = y y = 4

Luego: AC = 15 + x + 2 y AC = 30 DB = x + 3 y − 5 DB = 14

69

70

CAPÍTULO 2

2.3 EJERCICIOS 1.

Dada la siguiente figura: D

P

B

M

A

C

Donde: ABCD es paralelogramo; M , punto medio de AB; P, punto medio de DC . Demuestre que el área de APCB es congruente con la de ADCM . 2. Dada la siguiente figura: D

M

5

C

3 4

I

2 N A

B

Donde: ABCD es paralelogramo; AM , bisectriz del ángulo A, y CN la bisectriz del ángulo C . Demuestre que la relación entre los ángulos 1 con 4, 2 con 3 es de congruencia. Una fotografía cuadrada ha de colocarse en el centro de una hoja cuadrada de 20 centímetros de lado. Si el área de la fotografía debe ser igual al áre a del borde, determine las dimensiones de la fotografía. 4. Un granjero desea cercar un terreno rectangular cuyo ancho es el doble de su alto. Para esto desea emplear dos tipos de alambre. Para los dos lados paralelos más pequeños quiere utilizar un alambre que cuesta L300 ca da metro lineal y para los otros dos lados uno que cuesta L500 cada metro lineal. Encuentre las dimensiones del terreno y el costo de la cerca. 5. ABCD es un paralelogramo. Encuentre la medida de cada lado uno de sus lados, si: 3.

AB = 3 x

−2 BC = 2 x − 1 El perímetro es de 34 unidades. 6.

Si ABCD es un romboide, encuentra el perímetro si: − 8 cm BC = 0.5 x + 2 cm CD = AB + 3 cm Nota: hay dos soluciones viables. AB = x


7.

Si ABCD es un trapecio isósceles, encuentra los ángulos que faltan, si: 1 Ángulo A = x + 30° 2 1 Ángulo B = 120°− x 5 Ángulo A  B

¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? En caso de ser falsas, explica por qué. I. No hay rombos que sean rectángulos. II. Hay romboides con lados paralelos. III. No hay trapezoides con ángulos iguales. 9. ABCD y MNPQ son trapecio rectángulo y romboide. Determine cuál es cuál y explíque por qué, éstas son las medidas angulares en grados de ellos: Ángulos: A = 90° M = 90° B = 90° N = 50° C = 50° P = 90° D = 130° Q = 130° D  d . Su traba10. Sabemos que el área de un rombo se puede calcular con la fórmula 2 jo es tratar de justificarla con algún razonamiento. Puede dibujar y hacer un análisis o buscar ayuda visual con algún software . 11. ¿Cuántos metros de alambre son necesarios para cercar un campo cuya topografía es así? 8.

5 km

2 km

4 km

3 km

3 km

12.

Calcular el área de la siguiente figura tridimensional. 50 16 16

45

50 45 45

45

20

20

60

71

72



CAPÍTULO 2

AUTOEVALUACIÓN 2.3 NOMBRE: FECHA: Responda a las siguientes situaciones: 1.

La clasificación de los cuadriláteros es:

2.

Mencione 3 características de los cuadriláteros:

3.

Encuentre la medida de x : C 30

110

D

x

50

A

4.

B

Se desea construir un jardín que tenga un área de 430 metros cuadrados, el jardín debe tener un corredor en la orilla como se muestra en la figura. Encuentre el ancho x del corredor. x

20

x x

x 30

5.

2

Un trapecio isósceles tiene área de 18 3 m y perímetro de 24 m. Si dos de los ángulos iguales tienen medida de 60°, calcule las dimensiones de los lados y la altura del trapecio. b

x

h

x

60°

60° B

Revisado:

_____________________


2.4 Polígonos Objetivos Que el estudiante aprenda a: •

Identificar los elementos de un polígono.

•

Clasificar los polígonos según los lados.

•

Enunciar al menos dos propiedades de los polígonos.

Definición: Un polígono es una figura plana, cerrada y limitada por trazos llamados lados (tres o más), que se intersecan en puntos llamados vértices. Dependiendo de la cantidad de lados, se conocen como: Nombre

Número de

Triangulo

3

Cuadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6

Heptágono

7

Octágono

8

Nonágono

9

Decágono

10

Endecágono

11

Dodecágono

12

Pentadecágono

15

Icoságono

20

lados

Los demás no tienen un nombre especial, solo se mencionan por su número de lados. Se dice que un polígono es convexo si al trazar la recta que contiene a cualquiera de sus lados, alguno de los semiplanos determinados por la recta contiene puntos del polígono; de lo contrario se llamará no convexo. B B

D C A

A C E F

E

D

Poligono convexo

G H

Poligono no convexo

73

74

CAPÍTULO 2

Ejemplos Polígonos regulares de 5 y 6 lados respectivamente. A a



a

E

a





a

a

a

a

B

O a

180°–





a

D

a 

C

Tipos de polígonos Polígono

Equilátero Equiángulo Regular e irregular



Polígono equilátero Es aquel cuyos lados son todos congruentes. A

A

B

F

B

C

D

E

AB



BC



E

CD



C

F

D

DE  EF



FA

Polígono equiángulo Es aquel cuyos ángulos son todos congr uentes. A

B

C

F

D

E

∠ A ≅ ∠B ≅ ∠C ≅ ∠D ≅ ∠E ≅ ∠F


Polígono regular Es aquel polígono convexo que es equilátero y equiángulo a la vez. A 

a

E

a

B





O a a

a

D

180°– a





C

AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE ≅ EA ∠ A ≅ ∠B ≅ ∠C ≅ ∠D ≅ ∠E

Polígono irregular Es aquel que no es regular. B A

D

C

Teoremas Dado que un polígono tiene

n

lados, entonces deberá cumplirse lo siguiente:

•

La suma de sus ángulos internos es de 180° ( n – 2).

•

La suma de sus ángulos exteriores es igual a 360°.

•

El número de diagonales que es posible trazar desde un vértice es d

•

El total de diagonales que es posible trazar es

(

n n d

=

−

(n – 3).

=

).

3

2 •

En todo polígono regular o equiángulo (convexo) de n lados, la medida de un ángulo 360° externo es igual a e = . n

•

En todo polígono regular o equiángulo (convexo) de n lados, la medida de un ángulo interno es igual a

180° i

=

( n 2) . −

n

75

76

CAPÍTULO 2

Ejemplos a) Si el número de lados de un polígono se duplica, su número de diagonales aumenta

en 234, entonces, ¿cuál es el número de lados?

Solución: Duplico lado: 2 n

(

)

2 n 2n 3 −

(

)

n n 3 −

234 2 2 4n2 − 6n − n2 − 3n = 468 3n2 − 3n − 468 = 0 n2 − n − 156 = 0 −

=

( )(−156)

1± 1 − 4 1 n= n=

2 1 ± 25 2

n = 13 lados b) Si a un polígono se le quita un lado y queda un nuevo polígono cuyo número de diago-

nales difiere del primero en 19, entonces, ¿cuál el número de lados del polígono original?

Solución: Lados polígono original: n Lados polígono resultante: n − 1

(

) (( n 1)( n 1) 3)

n n 3 −

−

−

−

−

=

2 2 n2 − 3n − n2 + 5n − 4 = 38 2n = 42 n = 21 lados

19

c) En el interior de un hexágono regular ABCDEF se construye el pentágono regular FPQRE , entonces, ¿cuál es la medida del ángulo BEP?

Solución B

C Q

A

R

P

Si  es la medida del ángulo BEP de la figura tenemos que:



F

D

 = 60°

E

– 36°

 = 24°

d) En un polígono equiángulo desde n – 9 vértices consecutivos se trazan n – 3 diago-

nales, entonces, ¿cuál es la medida de su ángulo interior?


Solución

Sumando las diagonales trazadas desde los últimos 9 vértices con las trazadas desde los primeros n – 9 vértices consecutivos obtenemos el número total de diagonales trazadas en un polígono de n lados, así:

(

)

n n −3

28 + n − 3 =

2 50 + 2n = n − 3n 0 = n2 − 5n − 50 n = 10 lados 2

así entonces:

(

180 10 2 i

=

−

)

=

2

144

2.4 EJERCICIOS a) En un polígono regular, si el número de lados se reduce en 4, su número de diagona-

les se reduce en 46. ¿Cuál es la medida de sus ángulos externos? I. 20

II. 24

III. 30

IV. 36

V. 40

b) Indicar si las siguientes proposiciones son correctas:

Si un polígono tiene lados congruentes y ángulos rectos, entonces el polígono es regular. 2. Un ángulo es un conjunto convexo. 3. El conjunto de puntos que forman un polígono convexo es un conjunto no convexo. 1.

I. Solo (1)

I. Solo (2)

c) Si un polígono convexo de d)

e) f) g) h) i)

n

I. Solo (3)

I. Solo (1) y (3)

I. Solo (2) y (3)

lados tuviera 3 lados menos, tendría

n + 3

diagonales

menos. ¿Cuánto vale n? La suma del número total de diagonales de un polígono convexo más el número de ángulos rectos de las medidas de sus ángulos internos es 51. Encuentre el número de lados del polígono. En un polígono convexo de n lados, si el número de lados aumenta en una unidad, entonces, ¿qué le sucede al número de diagonales? ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados? En un hexágono regular, se trazan dos diagonales inversas por el centro. ¿Qué ángulos forman entre sí? ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior es de 60 grados? En el pentágono regular de la figura, si  = 72°, entonces, ¿cuánto vale el ángulo ?





j) Describa el procedimiento para trazar un hexágono utilizando un compás.

77

78



CAPÍTULO 2


Mencione 5 tipos de polígonos:

2.

Encuentre el número de lados de un polígono que tiene 54 diagonales.

3.

Encuentre el valor de un ángulo interior de un decágono.

4.

Un hexágono está inscrito y otro hexágono está circunscrito a una circunferencia de radio 6 cm. Encuentre el área de la región que se encuentra entre los dos hexágonos

5.

La figura muestra un octágono inscrito en un cuadrado. Si el área del octágono es 100 m2. Calcule el valor de x x

x

x

x

x x

x

Revisado:

x

_________________________________


2.5 Áreas sombreadas Objetivo: Que el estudiante aprenda a: •

Determinar los diferentes tipos de áreas en las distintas formas de figuras planas.

Definición: Es la medida en unidades cuadradas (m2, pie2, cm2, pulg2) de una superficie plana. Emplea una unidad de longitud al cuadrado. Se abrevia con la letra A.

Área de cuadrado En el cuadrado la medida de sus cuatro lados es la misma. L

L

L · L

A

=

A

=

L2

Ejemplo 1 Determinar el área de un cuadrado que tiene como lado 3 cm. L = 3 cm

Como se especifica que es un cuadrado, entonces L2

A

=

A

=

L2

(3 cm)2

=

Área de un rectángulo El área de un rectángulo es el producto de la base y la altura.

altura

base

9 cm2

=

79

80

CAPÍTULO 2

Área de un triángulo Para un triángulo el área es la multiplicación de la base por la altura dividido entre dos.

h = altura

A

=

1

bh

2 b = base

Ejemplo 2 Determinar el área del triángulo que se muestra a continuación:

A

=

1

bh

2

h = 11m

A

=

1 2

A b = 10 m

=

(10 m ) (11 m)

55 m 2

Área de un círculo En un círculo lo que influye es el diámetro o el radio.

A

π D

π

2

=

=

( )

4

Diámetro = 2 radios

A

π =

2r 4

4r 2 4

A

=

2 π r

Ejemplo 3 Determinar el área de un círculo con diámetro 4 cm.

Diámetro = 4 cm

 (2 cm) 2 4 cm2 12.566 cm2

A

=

A

=

A

=

2


Área de un trapezoide Es la mitad de la altura multiplicada por la suma de sus bases. b2

h

A =

b1

1 2

(

h b1 + b2

)

Ejemplo 4 Calcular el área del trapezoide que tiene como altura 4 cm y como bases 10 cm y 6 cm. b2 = 6 cm

A =

1 2

(

h b1 + b2

)

h = 4 cm

A =

1 2

A = 32 cm

b = 10 cm 1

(

4 cm cm 10 cm cm + 6 cm cm

)

2

Área de un sector circular En el área del sector circular influye el radio y el ángulo.

A =  r 2

 r

Ejemplo 5 Calcular el área de del sector circular mostrado si el radio es 10 cm y el ángulo es de 60°.

A

A

2  60  = π (10 cm )     360 

= π (10 cm )

60° r = 10 cm

A = 52.36

2

cm2

 1      6 

81

82

CAPÍTULO 2

Área de figuras combinadas Ejemplo 6 Determinar el área sombreada de la figura, si tiene 10 m de base y 6 m de altura. En las esquinas se forman rectángulos que miden 2 m de base y 1 m de altura.

altura

base

•

El área del rectángulo grande.

•

10 m × 6 m A 60 m2 El área del rectángulo pequeño. Multiplicados por 4.

A A

=

bh

=

=

A

=

A

=

A

=

A

=

bh

2 m × 1 m 2 m2 2 m2 × 4 8 m2 =

Al área del rectángulo grande se le resta el área de los rectángulos pequeños. Área sombreada área rectángulo grande − área de los rectángulos pequeños =

Área sombreada 60 m2 − 8 m2 52 m2 =

=

Ejemplo 7 Determinar el área sombreada.

= r =

•

Determinamos el área del cuadrado. A (12 cm)2 A 144 cm2 =

=

6 cm


•

Determinamos el área del círculo. A  r 2 A  (6 cm) 2 A 113.097 cm 2 Área sombreada área del cuadrado – área del círculo Área sombreada 144 cm2 – 113.097 cm 2 Área sombreada 30.90 cm2 = = =

= = =

Ejemplo 8

Si r 4 m, determinar el área sombreada. =

r

r

•

El área del círculo grande. El radio 8 m que es el diámetro de los círculos pequeños. A  (8 m) 2 A 201.06 m 2 El área de los círculos pequeños. A  (4 m) 2 2 2 A 50.265 m × 2 100.53 m Área sombreada área del círculo grande – área de los círculos pequeños Área sombreada 201.06 m2 – 100.53 m 2 Área sombreada 100.53 m2 =

= =

•

= =

=

= = =

2.5 EJERCICIOS Determinar el área sombreada: 6 cm

1.

6 cm

6 cm

6 cm

6 c cm m

6 cm

6 cm

83

84

CAPÍTULO 2

2.

L = 5 cm

L = 5 cm

3.

El triángulo ABC es un triángulo equilátero con AE medios.

5 3 =

2

m. F , D y E son puntos

A

F

D

C

B E

4. 5 cm

2 cm

5 cm

4 cm

3 cm


5.

3 cm

6 cm

6.

r

r

r

75 cm

=

150 cm

=

37.5 cm

=

7.

1 cm

3 cm

3 cm

3 cm

85

86

CAPÍTULO 2

8.

L = 5 cm

L = 5 cm

9.

L 6 cm

L 6 cm

10.

Dentro del círculo se encuentra un cuadrado con una diagonal de 5 2 cm.


11.

Dentro del círculo con radio 4 cm se encuentra un cuadrado.

12. 15 m

15 m

9 cm

3 cm

13.

 ABC es equilátero y su área es de 15 m 2 Encuentre el área de  MPN A

P

M

B

N C

87

88

CAPÍTULO 2

14.

AC

≅

AB

≅

D y H son

BC =

2.7 m

puntos medios C

H

D

E

A

15.

B

F

Para la siguiente figura: AB

=

1 pulg;

BC

=

1 3 8 pulg

Encuentre el área sombreada

B M N E

F

T

H

A

16.

 ABCD es un cuadrado donde AB

=

C

2 cm

Encuentre el área de la Cruz de Malta. D

P

N

C

E

M

F

L

A

H

K

B





Son tres tipos de medidas de área de una figura plana:

2.

Encuentre el área sombreada de : a)

8m

8m

b) Tres cuadrados con lados de longitudes: 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente, se

colocan uno al lado del otro como se muestra en la f igura. Encuentre el área sombreada

c) El triángulo equilátero más grande está dividido en 36 triángulos equiláteros de

área 1 cm2 cada uno. Halle el área del triángulo  ABC .

C

A

B

Revisado _________________________________

89

90

CAPÍTULO 2

2.6 Evaluación Capitulo 2 NOMBRE: FECHA: 1.

Dado el triángulo con vértices: (3, 4) ( 1, 3) (5, 6). Encuentre: –

–

a) El dibujo del triángulo b) El área del triángulo c) El perímetro del perímetro 2.

Encuentre el valor de x

40°

80°

65°

50°

130°

x

3.

Sea la siguiente figura un hexágono regular con AB 8 Encuentre el área sombreada si P y Q son puntos medios. =

F

E

P

A

O

B

4.

D

Q

C

Encuentre el valor de x B

a

Q a a

x

a

I 60

A

M

a

N

Revisado: _________________________________

C

CAPÍTULO

3 Contenido

Funciones trigonométricas y trigonometría analítica 3.1 Ángulos y sus medidas 3.2 Razones trigonométricas fundamentales para triángulos rectángulos con aplicaciones 3.3 Ley de senos 3.4 Ley de cosenos 3.5 Identidades trigonométricas 3.6 Fórmulas para suma, diferencia, ángulo doble y ángulo medio 3.7 Ecuaciones trigonométricas 3.8 Evaluación Capitulo 3 3.

92

CAPÍTULO 3

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos de aprendizaje • •

• • •

•

• •

Comprender como es un ángulo y en qué partes se compone. Aprender la relación que existe entre los lados y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Aprender las relaciones trigonométricas referentes con el triángulo rectángulo. Trabajar con triángulos oblicuángulos usando la ley de senos y ley de cosenos. Resolver ejercicios en que intervengan las funciones trigonométricas para cumplir una igualdad. Conocer y aplicar las distintas fórmulas para para suma, diferencia ángulo doble y ángulo medio de funciones trigonométricas. Para la determinación de su valor exacto. Resolver ecuaciones trigonométricas para la determinación de las soluciones.

Pierre de Fermat

Nacido el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia), Fermat fue un destacado jurista y matemático francés. Es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del teorema de Pitágoras, también llamado último Teorema de Fermat. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica y realizó grandes aportes en trigonometría analítica. Otro campo en el que contribuyó en forma destacada fue la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en demostrarse.

Funciones trigonométricas y trigonometría analítica

3.1 Ángulos y sus medidas Objetivo

Que es el estudiante aprenda a: Comprender cómo es un ángulo y en qué partes se compone. Analizar los ángulos en grados y minutos y segundos Si se dibuja dos rayos con vértice en común se formara un ángulo. A uno de estos lados se le llama lado inicial y al otro lado se le llama lado final. El ángulo formado se identifica señalando la dirección y cantidad de rotación desde el lado inicial hacia el lado final. Si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj en ángulo se denomina ángulo positivo, si es en el mismo sentido al de las manecillas del reloj se denomina ángulo negativo. • •

Lado final

Lado final Lado final

Vértice Vértice

Lado inicial

Vértice

Lado inicial

Lado inicial

Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj. Ángulo Positivo

Rotación en el mismo sentido las manecillas del reloj. Ángulo negativo

Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj. Ángulo Positivo

Se dice que un ángulo  es normal o estándar si su vértice está en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el eje x

Lado final Lado final





Lado inicial

es positivo

Lado inicial

es negativo





Cuando un ángulo  está en forma normal o estándar el lado final puede pertenecer a un cuadrante, en tal caso se dice que  está en ese cuadrante y se puede decir que  es un ángulo cuadrantal, por ejemplo se puede decir que  está en la primera figura en el segundo cuadrante y en la segunda también se puede decir lo mismo. Unidad de medida de los ángulos

Existen principalmente dos tipos de unidades de ángulos. Radián r = 1



93

94

CAPÍTULO 3

El radián es una unidad de medida que se utiliza pr incipalmente en las matemáticas y en la física. El ángulo medido en radianes es igual a la longitud de arco que delimitan las dos rectas si estamos en una circunferencia de radio 1. Una vuelta entera a una circunferencia es 2 radianes. Se dice que un radián es la medida del ángulo central en una circunferencia subtendido por un arco que tiene una longitud igual a la del radio de dicha circunferencia. Si un arco de longitud S de una circunferencia de radio r subtiende un ángulo central  radianes, entonces S r  =

Ejemplo 1 Un arco de longitud S en una circunferencia de radio r , subtiende un ángulo central radianes, hallar el valor desconocido si: a) S 12 m y

35°

 =

=

b) r 9 cm y =

c) S 5 m y =

en



120°

 =

7

 =

Solución: a) S 12 m y

35°

 =

=

S

=

s

ra, r

=

α



 7π   = rad  180°  36

35° ⋅  r

12 m

s =

π

=

α

432

=

7π

7π

m

36 b) r 9 cm y =

120°

 =

S = r 



 2π   = rad  180°  3

120° ⋅  S

=

c) S

=

S

=

9 cm

π

2π

5m rα , r

=

3 y

6π cm 7

 =

s

r

=

α

'

=

5 7

m

Conversión de grados a minutos y segundos Para ello, es necesario apoyarse con el instrumento de la calculadora y saber algunas unidades de conversión, por ejemplo: 1° 60 minutos (60) 1 60 segundos (60) =

=

En una calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarán a la conversión de las funciones trigonométricas, como por ejemplo:


• • •

Grados: (D) (DEG) Radianes: (R) (RAD) Gradianes: (G) (GRAD)

Ejemplo 2

a) Convertir 18.4567° a grados, minutos y segundos. Solución: 1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos equivale a 18°. 2. Luego los decimales después del punto es necesario pasarlos a minutos, así:

0.4567° ⋅

60 '

= 27.402' 1° Elimina unidades iguales y deja únicamente la que interesa, es decir, los minutos. 3. Ahora, toma los decimales 402 y los pasa a segundos. 0.402 × 60 (segundos) = 24.12 4. Ahora una todas las respuestas quedándo 18°2724, que se lee: 18 grados, 27 minutos y 24 segundos

Ángulos de referencia Sea  un ángulo en posición estándar. El ángulo de referencia para , que el lado terminal de  hace con el eje de x.  R Cuadrante I

es el ángulo agudo,



Cuadrante II



R





R



 =  R

Cuadrante III

180 –  =  – 

=  R

Cuadrante IV

 



R



R

180 =  – 

=   R

360 –  = 2 – 

=  R

95

96

CAPÍTULO 3

Grado sexagesimal 90°

0°

180°

360°

270°

Los grados sexagesimales dividen una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que una vuelta a la circunferencia son 360°. Un ángulo recto son 90° (90 grados sexagesimales). Los ángulos se dividen en 60 minutos (expresados con ) y cada uno de los minutos en 60 segundos (con ). Por ejemplo, podríamos escribir un ángulo sexagesimal como 87° 3144. En el mundo científico, se suelen expresar los ángulos tanto en grados, minutos y segundos, como en radianes (aunque esta última unidad proporciona más potencia de cálculo).

Equivalencia entre radián y grado sexagesimal Sabiendo que una vuelta a la circunferencia son 360° grados sexagesimales y 2 radianes podemos calcular la relación entre ambas unidades: Las equivalencias de los principales ángulos son: Grados

0°

30°

60° 90°

120°

150°

180°

210°

240°

270°

300° 330°

Radianes

0

π/6

π/3

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

π/2

Ejemplo 3 Convertir Cada ángulo dado, de grados a radianes a) 120°,

b) 60°

Solución:



 2π   =  180°  3  π  π  60° ⋅   = 3 180 °    π  π  45°   = 4 180 °    π  5π  −150° ⋅   = − 6 180 °  

a) 120° ⋅  

b)

c)

d)

π

c) 45°

d) –150°

11π/6

360° 2π


Ejemplo 4 Convertir cada ángulo dado, de radianes a grados 5



a) –

b) 1

3

c) —

d) −

6

7π

e) 5

4

Solución: a)

 180  = ⋅    = 60° 3 3  π 

π

π

 180   180  °   =     π   π 

b) 1 = 1 ⋅ 

c)

d)

e)

5π 6

−

5π

=

7π 4

6

=−

 180  ⋅    = 150° π   7π 4

 180  ⋅    = −315°  π 

 180   900  °   =  π   = 286.479° π    

5 = 5 ⋅ 

3.1 EJERCICIOS Del 1 al 10. Transformar el ángulo de grados a radianes: 1.

15°

2. 35°

3. 80°

4. 150°

5. 200°

6.

90°

7. 60°

8. 45°

9. 30°

10. 140°

Del 11 al 18. Transformar el ángulo de radianes a grados: –



11.

– 5

12. —

15.

2 — 5

16. –

10



9

17 4

13. 3

14.

–

17.

18.

17 3



Del 19 al 24. Un arco de longitud S en una circunferencia de radio r , subtiende un ángulo central  en radianes, hallar el valor desconocido si: 19. S = 15 m y

 =

35°

20. S = 9 cm y

22. S = 10 m y

 =

30°

23. r = 19 cm y

110°

 =

100°

 =

21. S = 8 m y

24. S = 10 m y r = 8

Del 25 al 28. Determinar el ángulo de referencia. 25.

–

320°

26.

38 3

27. 568o

7

 =

28.

25 3

97

98



CAPÍTULO 3

29.

Una correa conecta dos poleas de radios r = 10 cm. Si la grande da un giro completo, ¿qué ángulo expresado en grados habrá girado la pequeña?

r

10 cm

=

r

30.

31.

32.

25 cm

=

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? ¿Y a las 10:20 hrs.? Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s. La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h?


1.

Transformar el ángulo de radianes a grados: 7 — 5

9 — 10 2.

Determinar el ángulo de referencia. 765°

3.

¿Qué ángulo forman las agujas de un r eloj a las 2 y media en punto? ¿Y a las 10:25 hrs.?

4.

Establecer la diferencia de la escritura de un ángulo en radián y en grado, describir uso de la calculadora en cada caso. Revisado: __________________________________


3.2 Razones trigonométricas fundamentales para triángulos rectángulos con aplicaciones Objetivo Que el estudiante aprenda a: • •

Relacionar lo que existe entre los lados y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Trabajar con relaciones trigonométricas con el triángulo rectángulo.

Definición Las relaciones trigonométricas de triángulos rectángulos es relacionar los lados del triángulo con la hipotenusa, en donde también se hará uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las funciones de seno, coseno y tangente, y sus inversas, además de apoyarnos siempre con la calculadora.

Hipotenusa Opuesto



Adyacente

Razones trigonométricas para triángulos rectángulos sen  =

cos α =

tan α =

Opuesto

csc  =

Hipotenusa

Adyacente Hipotenusa Opuesto Adyacente

sec  =

cot α =

Hipotenusa Opuesto Hipotenusa Adyacente Adyacente Opuesto

Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.

b

a

c

Hipotenusa Cateto

Cateto

99

100

CAPÍTULO 3

Ejemplo 1 Determina la longitud de la hipotenusa dado que los catetos del triángulo miden 3 m y 4 m respectivamente.

4 m

3m

Solución Hipotenusa2 = cateto 12 + cateto 22 Hipotenusa2 = (3 m) 2 + (4 m)2 Hipotenusa = 25 m

Ejemplo 2 Determinar las razones de las 6 funciones trigonométricas

34 3



x

Solución: Calcular la incógnita que de un cateto 2

34 2

x

=

32

2 + x

2

34

=

−

32

2 x =

34

−

(3)2

x =

34 2

−

(3)2

x =

25 = 5 3

sen α =

.

34 5

cos α =

34 tan α =

3 5

34

=

34

34 

34 34

3 34

=

5 34 34

34

csc α =

3 34

sec α =

cot α =

5 5 3


Valores de las razones trigonométricas de ángulos notables Las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente…) para valores conocidos como son: π

0 = 0°

6

=

π

30°

4

=

π

45°

3

=

60°

π

2

60°

π

2

=

90

Estos ángulos son los más característicos del primer cuadrante. Ahora lo que interesa es saber cuáles son los valores del seno, del coseno y de la tangente de estos ángulos (los de los ángulos característicos de los otros cuadrantes pueden obtenerse a partir de ellos).

Razones trigonométricas de 30° y 60° La altura divide al triángulo equilátero en dos tr iángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90o, 60o y 30o. Se debe aplicar el teorema de Pitágoras para obtener la altura en función del lado:

h

=

|

 1  2 −    =  2 

2

3 |2 4

3

=

2

| sen 30° =

3

2 |

1

=

sen 60° =

2

3 | 2 = 3 | 2

cos 30° =

|

2 |

30º

|

3

=

l

| cos 60° = 2 |

1

=

1 2

60º 1

3

tan 30° = 2 3

=

1

l

h

2

=

3

3 3

tan 60° = 2 1

2

=

3

2

2

Razones trigonométricas de 45° La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90°, 45° y 45°. Se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la diagonal en función del lado: d =

|2

2

+| =

sen 45° =

|

2 |2 =

| 2 cos 45° =

|

=|

1

=

2 =

| 2

1 2

=

2 2 2 2

d=

2 l l

2

2 Tan 45



=

2 2 2

=1

45º

l

101

102

CAPÍTULO 3

Razones trigonométricas de ángulos notables a:

0°

sen

0

cos

1

tan

0

30°

45°

60°

2

3

1 2

2

3

1

0

−1

0

−1

0

→∞

0

→ −∞

2

1

3

270 °

1

2

3

180 °

2

2

2

90 °

3

3.2 EJERCICIOS Resuelva los siguientes ejercicios use la figura de un triángulo rectángulo. 1.

Un ángulo agudo  tiene sen α este ángulo.

2.

Un ángulo agudo  tiene tan α este ángulo.

3 =

5 =

5

. Halla las restantes razones trigonométricas de

. Halla las restantes razones trigonométricas de

9 7

3.

Un ángulo agudo  tiene cos  de este ángulo.

4.

Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. a)  24° y c =

b) a

c)  24° y a =

e) a

=

f) b

=

5.

c

a

44

=

4.218; c

=

809 6.759



C

43,6

A

b

=

Determine el valor exacto de cada expresión. a) sen 420°

6.

16

=

=

=



25,78

=

312,7; c

g)  81°; a

. Halla las restantes razones trigonométricas

B

16.

32.46 y b

=

4

=

=

d)  71°, c

=

b) cos 405°

c) sen 405°

d) tan 405° –

Dada la siguiente figura; hallar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo. y –3 

–4

H

B(–3, –4)

0

–4

x




Ejercicios de aplicación Del 7 al 11. Resuelva cada situación planteada usando triángulo rectángulo. 7. Una escalera de 4 m de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si la distancia entre la base de la escalera a la pared es de 2.5 m, ¿cuál es la altura que tiene la escalera sobre la pared? 8. José viaja 4 km al norte y 3 km al oeste, con respecto a su casa, para llegar a su trabajo, ¿cuál sería la distancia mínima desde su casa al trabajo? 9. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste telefónico hace una sombra de 21 pies de longitud sobre el piso, determine la longitud del poste. 10. Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30° con la horizontal 11. Averigua la distancia a la que se encuentra un castillo que está situado en la orilla opuesta de un río, sabiendo que la torre más alta del mismo se ve desde nuestra orilla bajo un ángulo de 40° y alejándonos 100 m del río el ángulo es de 25°. 12. Dibuja un ángulo cuyo coseno sea doble que su seno. 13. Calcula el área de un decágono regular de 5 cm de lado. 14. En una circunferencia de 7 cm de radio trazamos una cuerda de 9 cm. ¿Cuánto mide el ángulo central que abarca dicha cuerda? 15. Halla los ángulos de un triángulo isósceles cuya base mide 50 cm y los lados iguales 40 cm cada uno. 16. Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30°, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la distancia a la que nos encontramos de la misma fuese el doble? ¿Y si fuese el triple? 17. Calcula el ángulo que forman las tangentes a una circunferencia de 5 cm de radio, trazadas desde un punto situado a 7 cm del centro. 18. La resultante de dos fuerzas de 20 N y de 30 N es de 40 N. ¿Qué ángulo forman entre sí dichas fuerzas? ¿Qué ángulo forma cada una de ellas con la resultante? 19. Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 20 cm y 15 cm respectivamente y forman un ángulo de 42°. 20. Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50° y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media? 21. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? ¿Y a las 10:20 hrs.? 22. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 metros de altura, cuando el sol se ha elevado 20° sobre el horizonte?

AUTOEVALUACIÓN 3.2 NOMBRE: FECHA: Resuelva las siguientes situaciones planteadas. La resultante de dos fuerzas de 25 N y de 35 N es de 57 N. ¿Qué ángulo forman entre sí dichas fuerzas? ¿Qué ángulo forma cada una de ellas con la resultante? 1 . Halla las restantes razones trigonométricas de 2. Un ángulo agudo  tiene sen α 5 este ángulo. 3. Determine el valor exacto de cada expresión de sen 420° 4. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 200 metros de altura, cuando el Sol se ha elevado 16° sobre el horizonte? 1.

=

Revisado:__________________________________

103

104

CAPÍTULO 3

3.3 Ley de Senos Objetivo Que el estudiante aprenda a: •

Resolver ejercicios con triángulos que no son triángulos rectángulos usando la ley de senos.

Definición La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados es al seno del ángulo opuesto. En este tema se observara todas las técnicas para resolver triángulos generales A (triángulos rectángulos y no rectángulos).  Este es un triángulo ABC el ángulo  c se escribe en el vértice de A, el ángulo  se b escribe en el vértice de B y el ángulo    se escribe en el vértice de C . B a Los lados que están opuestos al los vértiC ces ABC y los escribimos con una letra minúscula abc. Este tipo de triángulos se puede resolver utilizando la ley de senos o la ley de cosenos. La fórmula para la ley de senos es: sen α

sen β =

a

sen γ =

b

c

a

No hay diferencia si se toma así:

b =

sen α

c =

sen β

sen γ

pero

no se pueden mezclar. Para poder resolver un problema utilizando la ley de los senos, se deben cumplir dos postulados: 1.

Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).

2.

Dos ángulos y cualquier lado (ALA o AAL).

El primer caso es de dos ángulos y un lado Ejemplo 1 Determina las partes restantes del triángulo si  = 20°,  = 130° y b = 6.

Solución: Ordena los datos del problema como se te indica a continuación.

A c

130º

20º

b

6

=

30º

B

C

a

1.

La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo

 = 180 – (130 + 20) = 30°

= 180°


2.

Observe que tiene los valores de  y b por lo que se coloca la fórmula y se buscará el lado a. sen 130 sen 20 =

6

a

6(sen 130) =

sen 20 

3.

13.44

=

Despeje a

a

a

Se toma de nuevo los datos que se tiene seguro del problema que son  y b, porque pudo haberse equivocado en la respuesta anterior y tener esta mala también. sen30 sen20 c 6 =

6(sen30) sen20

=

c



 130°

a

=

 20°

b

=

 30°

c

=

8.77

=

c

13.44

6

8.77

Segundo caso: dos lados y un ángulo opuesto alguno de los lados.

En este caso pueden derivarse cuatro casos diferentes: Supongamos que los lados c, b y el ángulo  se nos especifican, dibujamos el ángulo  y el lado c para localizar los vértices A y B, luego tomamos la medida de b con un compás lo cual corresponde al radio y lo trazamos desde el vértice A formando un arco. Aquí pueden surgir cuatro posibilidades: A

b c

B



NO EXISTE TRIÁNGULO A

c

b b

B

 C 1

C 2

SE FORMAN 2 TRIÁNGULOS

105

106

CAPÍTULO 3

A

c

b

 B

C

SE FORMA UN SOLO TRIÁNGULO A

c b

 B

C C

SE FORMA UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Ejemplo 2

Encuentre las partes restantes del triángulo 

a

=

 50°

b

=



c

=

=

=

=

5 6

Solución:

Tome  con b y c para hallar  sen 50 sen γ 5

=

6(sen 50)

6

5

=

0.91993 sen 

sen γ

=



En este momento se debe razonar si existe triángulo o no “el seno existe si se encuentra entre 1 y 1” –

1. 2.

El resultado 0.9193 El resultado 0.9193

¿es mayor que 1? no. ¿es menor que 1? no. –

Entonces ¿EXISTE TRIÁNGULO? Si el resultado fuera mayor o menor que 1 o 1 entonces –

NO EXISTE TRIÁNGULO y solamente escribo no existe triángulo.  0.9193 sen 

sen−1 0.9193

=

=



66.82°

=

En este momento razone si hay 1 o 2 triángulos 1.

Deberá tomar el resultado del ángulo que dio 66.82° y lo resta de 180°. 180° 66.82° 113.18° –

=

 .


2.

3.

Deberá tomar los datos iniciales y los copia como posible segundo triángulo Primer triángulo

Posible segundo triángulo

 =  =   =

 =  =   =

a=

 c = 6 b=

Posible segundo triángulo a =  = b = 5  = 50° c = 6  =

Copie de nuevo el cuadro inicial de datos y escriba el segundo resultado 113.18°. Primer triángulo  =  =  =   =   = 66.82°  = 6

5.

 c = 6 b=

El primer resultado 66.82° se escribirá en el cuadro de datos del inicio del problema. Primer triángulo a =  = b = 5  = 50°  = 66.82° c = 6

4.

a=

Posible segundo triángulo  =  =  =   =  c = 6  = 113.18°

Recuerde que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°. Ahora determine el valor de  en el primer triángulo 180 − (50 + 66.82) = 63.18 Coloque el resultado en el cuadro del primer triángulo. Ahora determine el valor de  en el posible segundo triángulo 180 − (50 + 113.18) = 16.82 Como el resultado es positivo y la sumatoria no no es mayor de 180° entonces HAY DOS TRIÁNGULOS Primer triángulo

 = 63.18  = 

 =  = 

Segundo triángulo  =   =  =   = 

 = 

 = 

=

113.18

c = 6

Por último deberá determinar el lado a para el primero y segundo triángulo. sen 63.18 a1

=

sen 50

sen 16.82

5

a2

5(sen 63.18) sen 50  5.83 = a1

=

sen 50

5(sen 16.18)

= a1

sen 50

5

= a2

1.89 = a2

3.3 EJERCICIOS Encuentre las partes restantes de cada uno de los tr iángulos. Recordando parar y razonar para saber si hay un triángulo, ninguno o dos triángulos. A

 c b



 B

a

C

107

108

CAPÍTULO 3

1.

 20°,  80° y c 7

2.

 40°, 

3.



4.

 60°, a 15 y b 10

5.

 112°, a 7 y b 18

6.

 81°, c 11 y b 12

7.

 47.73°, b 131.07 c 97.83

8.



9.

 53°20, a 140 y c 115

=

=

=

=

=

=

76° y a

49° 40, 

=

60°20 y c

=

=

=

=

=

121.624° b

=

=

=

=

=

=

540

=

=

=

10

=

=

0.283 c

=

=

0.178

=

=

10.

 15°, a 12 y c 8

11.

En el triángulo ABC , b 15 cm, el ángulo B medida de los lados y ángulos restantes.

=

=

=

=

42° y el ángulo

=

C

76°. Calcule la

=

A

c b

15 cm

=

76° C

42° a

B

Problemas de aplicación 12.

Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia una de otra de 1.8 km. en los puntos A y B, y se encuentra una boya situada en un punto C . Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la boya de la costa?

13.

Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del Sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

14.

Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña?

15.

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50°, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sa biendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

16.

Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 80° con la base. Si el tr iángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.

17.

Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Orbin hay 25 metros, y entre Orbin y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20°. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.

18.

Una valla cuyo perímetro tiene forma tr iangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60° en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.





Resuelva las situaciones planteadas en cada proposición. 1.

Un poste de tendido eléctrico forma un ángulo de 83° con el piso. El ángulo de elevación del Sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

2.

Usando la figura determina los valores restantes y verifica si existe triangulo. a)  23°,  = 80° y c = 5 A

 c

b



 B

2.

a

C

Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 60° con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.

Revisado:__________________________________

3.4 Ley de cosenos Objetivo Que el estudiante aprenda a: • •

Resolver triángulos que son oblicuángulos rectángulos usando la ley de cosenos. Resolver ejercicios utilizando la ley de cosenos.

Definición La ley de los cosenos establece que en todo triángulo la relación de cualquiera de sus lados es: 

c



b

 a

 b = a + c – 2ac cos  c2 = a2 + b2 – 2ab cos  a2 = b2 + c2 – 2bc cos 2

2

2

109

110

CAPÍTULO 3

Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de cosenos. Para poder resolver un problema utilizando la ley de los senos, se deben cumplir dos postulados: 1. 2.

Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLL). Dos ángulos y cualquier lado (LAL).

Ejemplo 1 Primer caso: lado, lado, lado. Si el triángulo que se muestra en la figura tiene lados los ángulos  ,  ,  .

a = 85, b = 70, c = 45,

Solución: a

 c



2

2

1 21

b

2

cos α =

a

α = cos−1 −

=

cos α =

b



2

2

c

+

−a

−

2

2bc cos α

+b

2

+

c

2

2bc 852 + 70 2 + 452

−

=−

2(70)(45)

1 21

= 92.73°

2

b = a + c − 2 ac cos β 2

cos β =

2

− b + a + c

2ac 2

cos β =

2

2

− 70 + 85 + 45

β = cos−1

2(85)(45) 29 51

2

=

29 51

= 55.35°

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

 +  +  = 180°  =       =       =  Ejemplo 2 Usando el caso: lado, ángulo, lado.

Solución: Calcule las partes restantes del triángulo, si

a = 5, c = 8 2

2

y  = 77.

2

b = a + c − 2 ac cos β  c

b

2

a + c − 2 ac cos β

b=

52 + 82 − 2(5)(8) cos 77°



 a

2

b=

b = 8.43

calcule


a

sen α sen β b

senα b

= = =

b

sen β sen α a b sen β a

α = sen

−1

b sen β a

= sen

−1

 8.43sen 77      5  

α = 35° α + β + γ = 180° γ = 180° − α − β γ = 180° − 35° − 77° γ = 68°

3.4 EJERCICIOS 1.

Determine el valor de los ángulos. Redondee al entero más cercano.  5

3



 7

2.

Islas paradisíacas: En el mar de Gera, hay tres islas. Si sabemos que la distancia entre las islas 1 y 2 es de 18 km, la distancia entre las islas 1 y 3 es de 22 km. y además se sabe que el ángulo que se forma desde la isla 1 al mirar hacia las demás islas es de 75°. Entonces: a) Calcular la distancia entre las islas 2 y 3. b) Hallar los ángulos B y C de la gráfica.

2 B c a

1

A b

C 3

3.

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50° y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se

111

112

CAPÍTULO 3

encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

110° 4

6

A

B

d

4.

Las longitudes de los lados de un solar tria ngular son de 240 pies y de 300 pies, y el ángulo opuesto al lado mayor mide 75°. Hallar el tercer lado.

5.

Una valla cuyo perímetro tiene forma tr iangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60° en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.

6.

Dos caminos rectos se cortan en un punto P y ahí forman un ángulo de 42. 6°. En un punto R sobre un camino está un edificio a 368 m de P y en un punto S , en el otro camino está un edificio a 426 m de P. Determine la distancia directa de R a S P

42.6º 368 m

426 m

R S

Ejercicios usando ley de senos y cosenos 7.

Calcular las longitudes incógnitas aplicando ley de senos.

8.

Calcular las longitudes incógnitas aplicando ley de cosenos.

B B

10

122 m

110

H G

E

202 m

20 F

C

200 m

D

40

? 150 m 50

A

?

C

A

D


9.



10.

B C

?

B

264 m

D

65

a

100

c d

?

300 m

213 m 60 60 A

11.

30

b

C

D

300 m


B

a


12.

D

230 m

C

A

45 C 200 m d

B

e

40 110

b

751 m ?

376 m

15

A

A

13.


250 m

B

C

?

D

?


14.

D

25

B

297 m ?

C

?

?

316 m

400 m 20

d

40

30

15.


16.

B

200 m

?

25

120 ?

25

124 m 40

A

125 m

?

?

C C

?

D

D


B

20

c

A

A

A

50 m

?

D

113

114



CAPÍTULO 3


Usando la ley de cosenos determinar los valores restantes ?

B

D

45

?

25

250 m

171 m C

149 m A

2.

Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 60°, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 65°. Sa biendo que el globo se encuentra a una distancia de 8 kilómetros del pueblo A y a 6 kilómetros del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B

8 km

6 km

A

3.

B

Determinar los valores de los ángulos del triangulo

B

4

A

6

C

10

Revisado: __________________________________


3.5 Identidades trigonométricas Objetivos Que el estudiante aprenda a: •

Resolver ejercicios en que intervengan las funciones trigonométricas para el cumplimiento de una igualdad.

Definición Una identidad trigonométrica es una igualdad en la que intervienen las funciones trigonométricas, y que se cumple siempre sin importar el valor del ángulo. Para desarrollar una identidad trigonométrica se puede emplear cualquiera de los siguientes procedimientos: Reducir uno de los miembros de la igualdad y expresarlo en términos del otro miembro, generalmente se reduce el más complicado, es dec ir, el que tiene mayor cantidad de funciones trigonométricas. Trabajar de forma simultánea los dos términos de la igualdad, utiliza ndo las relaciones fundamentales. Generalmente son conocidas como identidades Pitagóricas

Relación seno coseno cos²  + sen²  = 1

Relación secante tangente sec²  = 1 + tan² 

Relación cosecante cotangente csc²  = 1 + cot² 

Identidades reciprocas sen θ

csc θ

=

1

cos θ

1 sen θ

sec θ

tan θ

1

=

cot 

1

=

cot θ

sec θ

csc θ =

1

=

1 =

cos θ

tan θ

Identidades tangentes y cotangente (de cociente) tan θ

sen θ =

cot

cos θ =

sen θ

cos θ

Ejemplo 1 Demostrar la identidad

1

+

sec α + tan α

tan α

=

1 sec α + tan α

sec α

+

tan α

=

sec α

Toma un lado de la identidad, luego aplica identidades e ir simplificando hasta llegar al otro lado de la identidad.

115

116

CAPÍTULO 3

1 sec α + tan α

+

sen α

1 cos α =

sen α

1

tan α =

+

+

cos α

cos α

1 1 + sen α

senα

+

cos α

=

1 cos α

cos α cos α =

=

=

sen α

1 + sen α

+

cos α

1 cos α sec α

Otra forma es: Toma un lado de la identidad y realiza procedimientos de simplificación con identidades, luego por separado toma el otro lado de la identidad y realiza procedimientos de simplificación hasta llegar a la misma expresión: 1

1.

sec α + tan α

+

sen α

1

tan α = 1 cos α

sen α +

+

2. sec  = 1/cos 

cos α

cos α

Escriba aquí la ecuación. 1

=

+

1 + senα

senα cos α

=

1 cos α

cos α =

=

cos α 1 + senα

+

senα cos α

1 cos α

Por tanto por 1 y 2 se concluye que

3.5 EJERCICIOS Demuestre las siguientes identidades 1. 2. 3. 4.

cos  tan  = sen  sen  sec  = tan  sen  cot  = cos  sen  tan  + cos  = sec 

1 sec α + tan α

+

tan α

=

sec α


5.

6.

csc  – sen  = cot  cos  1 − cos α

=

csc α − cot α

1 + cos α 7.

(sen  + cos  )2 + (sen  – cos  )2 = 2

8.

(sen  + csc  )2 = sen2  + cot2  + 3

9.

senα

+

1 + cos α

1 + cos α

2csc α

=

senα

cscα 10.

=

cos α

cot α + tan α 11.

cos4  – sen4  +1 = 2 cos2 

12.

sec4  – sec2  = tan4  + tan2  tan

13.

2

α

1 + tan

2

=

senα

α 2

14.

(sec  + cos  ) (sec  – cos  )

15.

cot4  + cot2  = csc4  – csc2 

16.

(1+ tan2  ) cos2  = 1

17.

sen2  + sen2  tan2  = tan2 

18.

sec2  + csc2  = sec2  csc2 

19.

tan

20.

(1 + cot2  ) sen2  = 1

21.

cos4  – sen4  – 2 cos2  = –1

22.

sen3  cos  + cos3  sen  = sen  cos 

24.

cot  = sec  csc 

 +

1 23.

+

sen α = tan α (1 + cos α )

cot α senα

cot α +

=

csc α

1 + cos α 25.

(1 − sen α )(1 + sen α )

=

1 sec α

26.

27.

sen2  cos2  + cos4  = cos2  cos α 1 − tan α

+

senα 1 − cot α

=

2

= tan  + sen 

senα + cos α

117

118



CAPÍTULO 3

AUTOEVALUACIÓN 3.5 NOMBRE: FECHA: Demuestre las siguientes identidades.

(csc θ − cot θ )2

=

1 − cosθ 1 + cosθ

cos  + tan  sen  = sec 

1 – 2 sen2  =  cos2  – 

tan  + cot  = sec  csc 

Revisado: __________________________________


3.6 Fórmulas para suma, diferencia, ángulo doble y ángulo medio Objetivos Que el estudiante aprenda a: •

Aplicar las distintas fórmulas para para suma, diferencia, ángulo doble y ángulo medio de funciones trigonométricas para la determinación de su valor exacto.

Definición En esta parte de la trigonometría se estudia el desarrollo de las diferentes fórmulas para la suma, resta y otras operaciones fundamentales entre ángulos.

Funciones seno y coseno de la suma de dos ángulos Hasta ahora se han demostrado las fórmulas de las funciones trigonométricas respecto de un ángulo, pero se hace necesario conocer el desarrollo cuando se plantea una suma o diferencia de dos ángulos. Para la demostración de estas fórmulas se utiliza la gráfica de un círculo trigonométrico (de radio = 1) y dos ángulos agudos (< de 90°) positivos A y B. y

P

r

=

B D A

1

A E C F

0

Q G

x

La suma de los dos ángulos ( A + B) puede ser menor o mayor de 90°. En la gráfica se puede distinguir un ángulo GOQ = A y el ángulo QOP = B, de lo cual se puede concluir que el ángulo GOP = A + B. De igual manera, se puede decir que los triángulos rectángulos EDP y OFE son semejantes entre sí aplicando los conceptos de semejanza de triángulos vistos en unidades pasadas. Observe el ángulo GOP se dará cuenta que es igual a la suma de los ángulos A y B es decir: sen( A + B) =

CP

→

sen( A + B) = CP

OP

 = 1 El lado CP = CD + DP y CD = FE , por ser lados opuestos de un rectángulo entonces se tiene sustituyendo el valor CP en sen ( A + B) = CP se tiene: sen ( A + B) = CP



sen ( A + B) = FE + DP

119

120

CAPÍTULO 3

Ahora tomar el triángulo OFE : sen A =

FE

→

OE

OE sen A = FE

Sustituyendo: cos  =  en  sen  =  Se tiene: cos  sen  =  En el triángulo EDP: cos A =

DP

→

EP cos A = DP

EP

Si se reemplaza el valor B =

EP

→

sen B = EP

OP

En  cos  = , se tiene: sen  cos  =  Finalmente los valores: cos B sen A = FE sen B cos A = DP Se reemplazan en la expresión: resultando: sen ( A + B) = sen A cos B + sen B cos A Al utilizar la misma figura y al desarrollar un proceso similar al anterior, encontramos la fórmula para el coseno de una suma de ángulos: cos ( A + B) = cos A cos B – sen A sen B Estas dos fórmulas sirven para deducir las fórmulas del seno y coseno de la diferencia de dos ángulos: sen ( A – B) = sen A cos B – sen B cos A cos ( A – B) = cos A cos B + sen A sen B La fórmula para la tangente de la suma y de la diferencia de dos ángulos, se desarrolla a partir de las encontradas para el seno y coseno. Recordemos que la función tangente viene dada por la expresión: tan A

sen A =

cos A

Entonces: tan( A + B) =

sen( A + B) cos( A + B)

Reemplazando los valores se obtiene: tan( A + B) =

tan A + tan B 1 − tan A tan B

y

tan( A − B)

tan A − tan B 1 + tan A tan B


Ejemplo 1 Demostrar que sen (60°+ x) – sen (60° – x) = sen x Aplicamos las fórmulas encontradas para el seno de la suma y la diferencia de dos ángulos y reemplazamos A = 60°

y B = x

Como: sen ( A + B) = sen A cos B + sen B cos A sen ( A – B) = sen A cos B – sen B cos A sen (60°+ x) – sen (60° – x) = sen 60°cos  cos 60°]

+ s en

 cos 60° − [sen 60° cos  − sen 

1  3

1  cos x + sen x − cos x − sen x  = 2 2  2 2  3

= =

cos x 3

+

2 2sen x

sen x

−

cos 3

2

+

2

sen x 2

2

= sen x Ejemplo 2 Calcular: cos 105° El ángulo 105° se puede expresar como la suma de dos ángulos, es decir: cos 105°

= cos

(60°

+ 45°)

Como cos ( A + B) = cos A cos B – sen A sen B

Solución cos 105°= cos (60°

+ 45°) = cos

60° cos 45° − sen 60° sen 45°

 1   2   3   2    =   −     2    2 2        2    2   6  −   =      4   4  =

2− 6 4

Ejemplo 3 Calcular tan 105° tan 105° = tan (60° + 45°), utilizamos la fórmula:

tan( A + B) =

tan A + tan B 1 − tan A tan B

121

122

CAPÍTULO 3

Solución

tan(60° + 45°) =

tan 60° + tan 45° 1 − tan 60° tan 45° 3 +1

tan 105° = tan(60° + 45°) =

1 − ( 3)(1) tan(60° + 45°) =

3 +1

Racionalizando:

1− 3 tan(60° + 45°) =

3 +1 1+ 3 ⋅

1 − 3 1+ 3 tan(60° + 45°) =

tan(60° + 45°) =

3 + 3 +1+ 3 1 − 32 2 3+4 1− 3

=−

2 3+4 2

= −(

3 + 2)

Identidades trigonométricas para ángulos dobles Veamos algunas demostraciones, en las que utilizaremos básicamente las fórmulas para seno, coseno y tangente de la suma o diferencia de dos ángulos. sen ( A + B) = sen A cos B + sen B cos A cos ( A + B) = cos A cos B – sen A sen B

(

tan A + B

)

tan A + tan B =

1 − tan A tan B

Demostración 1

Demostrar la siguiente identidad sen 2 A = 2 sen A cos A sen 2 A = sen ( A + A) ángulo doble sen ( A + A) = sen A cos A + sen A cos A sen ( A + A) = 2 sen A cos A sen 2 A = 2 sen A cos A Demostración 2

Demostrar la siguiente identidad cos 2 A = cos2 A – sen2 A /cos 2 A = 1 – 2 sen 2A/ cos 2 A = 2 cos 2 A – 1 ángulo doble cos 2 A = cos ( A + A) cos( A + A) = cos A cos B – sen A sen B cos( A + A) = cos A cos A – sen A sen A cos( A + A) = cos2 A – sen2 A cos2 A = cos2 A – sen2 A o cos 2 A = 1– 2 sen2 A o cos 2 A = 2 cos2 A –1


Demostración 3 Demostrar la siguiente identidad tan 2 A

2 tan A =

1 tan 2 A −

tan 2 = tan ( + )

ángulo doble

 = , entonces tan 2 A = tan( A + A) tan A + tan

A

=

1 − tan A tan

A

2tan A =

1 − tan 2

A

Retomando la fórmula del coseno del ángulo doble, para desarrollar otras fórmulas generadas a partir de la fórmula inicial. Recordemos que la ecuación fundamental de la trigonometría viene dada por:

Ejemplo 4 2

Si sen  =

, y el ángulo A está ubicado en el primer cuadrante, calcular sen 2 A

3

Solución C

b

=

3

a

c

A

=

2

B

Calculando el valor del lado c, para hallar las otras funciones: se aplica el teorema de Pitágoras: 72 c

2

c

2

c

c

=

2

+

22

−

22

=

72

=

7−4

=

3

cos A =

21 7

sen 2 A = 25 sen sen 2 A = 2

3 2

A cos A

21 7

=

2

63 14

=

63 7

=

3 7 7

123

124

CAPÍTULO 3

Funciones trigonométricas del ángulo medio sen

A

2

=±

1 − cos A

cos

2

A

2

1 + cos A

=±

2

tan

A

2

=±

1 − cos A 1 + cos A

Transformación de sumas o diferencias de dos funciones en productos En varias aplicaciones para la demostración de identidades trigonométricas se hace preciso expresar un producto de dos funciones trigonométricas como el resultado de una suma o una diferencia, lo que a través de procesos similares a los que se ha estudiado se pueden obtener las siguientes identidades: sen  cos  =

cos  sen  =

cos  cos  =

sen  sen  =

1 2 1 2 1 2 1 2

(sen ( +  ) + sen (   ))

(sen ( +  ) − sen (   ))

(cos ( +  ) + cos (   ))

(cos (   )  cos ( +  ))

Las anteriores identidades se logran a partir de las fórmulas halladas para la suma y la resta de la función seno y coseno, realizando la suma miembro a miembro entre las funciones.

Transformación de un producto entre funciones a sumas o diferencias De igual manera también es necesario lograr expresar las sumas o diferencias de las funciones trigonométricas como resultados de productos, y se pueden desarrollar a partir de las identidades anteriores, realizando un proceso inverso al utilizado en hallar las identidades trigonométricas de una suma o diferencia de dos funciones trigonométricas. Estas identidades serían: sen x + sen y = 2 sen

sen x − sen y = 2 cos

cos x + cos y = 2 cos

x+y

2 x+ y

2 x+y

cos x − cos y = −2 sen

2

cos

sen

cos

x+ y

2

x−y

2 x−y

2 x−y

sen

2 x−y

2


Transformaciones de sumas o diferencias de dos razones en productos

 A + B   A − B    ⋅ cos  2   2    

1) sen A + sen B = 2 sen 

 A + B   A − B     ⋅ sen    2   2 

2) sen A − sen B = 2 cos 

 A + B   A − B    3) cos A + cos B = 2cos   ⋅ cos    2   2   A + B   A − B    ⋅ sen  2   2    

4) cos A − cos B = −2 sen 

3.6 EJERCICIOS 1.

Sabiendo que sen a =

25

y cos b = −

5

con

π

<

a<π

b

π <

a) sen(a + b) d) sen(a − b)

e) cos (a − b)

f) tan (a − b)

g) sen 2a

h) cos 2a

i) tan 2a

j) cot (a + b)

k) sec(a − b)

l) csc (a + b)

a

2

Sabiendo que tan a = −

n) cos

12 5

2

y

13 b) cos (a + b)

m) sen

2.

7

ñ) tan

2 7 25

3π 2

, calcula:

c) tan (a + b)

a

y cos b = −

<

con

3π 2

<

a

2

a < 2π

y

π <

a) sen (a + b) =

b) cos (a – b) =

c) tan (a + b) =

d) sen 2a =

e) cos 2a =

f) tan 2a =

b

<

3π 2

, calcula:

g) sen(a + b) = sen a  cos b + cos a  sen b 3.

Simplifica: sen a  sen(b − c) − sen b  sen( a − c) + sen c  sen(a − b)

4.

Demuestra que: cos (a + b)  cos ( a − b) = cos2 a − sen2 b = cos2 b − sen2 a

5.

Demuestra que: sen(a + b)  sen( a − b) = sen2 a − sen2 b = cos2 b − cos2 a

6.

Demuestra que: cos 2 = 2cos2  −1 = 1− 2 sen2 

7.

Expresa sen 3 a en función del sen a.

8.

Expresa cos 3 a en funcin del cos a.

9.

Expresa sen 4 a en función del sen a.

10.

Desarrolla: sen(a + b + c) = sen(a + b + c) = sen[(a + b)+ c]

11.

Simplifica las siguientes expresiones:

125

126

CAPÍTULO 3

sen2 a

a)

b)

2

sec A − cos A

=

2

cot 2 A cos2 A

b) cot A − cos A c) tan A

=

cot A − 2cot 2 A

=

Demuestra que: a) sen4 a − sen2 a

cos4 a − cos2 a

=

b) tan2 x − tan2 x  sen2 x

sen α cos α =

cos2 α sen 2α −

sen2 x

=

tan α

⋅

c) 14.

cos a

Comprueba si las siguientes igualdades son ciertas o no: a) tan A  sen A

13.

c)

1  cos 2a

sen a

1  cos 2a 12.

sen2 a

1 tan 2 α −

Simplifica: a)

2 ⋅ sen b ⋅ cos( a − b) + 2 ⋅ cos b ⋅ sen ( a − b) =

sen2 a sen 4 a + sen 2 a b)

=

cos 4 a + cos 2 a sen 5a − sen 3a

c)

15.

cos 5a + cos3a

=

Comprueba si son ciertas o no las siguientes igualdades: cot a + tan a a)

b)

cot a − tan a

=

sec2a

=

cot a + sec a

cos a + tan a cos a ⋅ tan a

sec a cos a −

3

c) tan a

=

csc a sen a −

16.

Demuestra que: a) tan a + tan b =

b)

tan a tan b

sen(a + b) cos a ⋅ cos b

−

=

cot b cot a

tan a tan b ⋅

−

3 tan a tan 3 a −

c) tan3a

=

1 3 tan 2 a −

d)

cos 2 a  sen 2 a sen a  cos a


d)

cos(a − b) − cos(a + b) sen(a + b) + sen(a − b) tan a

e)

=

tan 2a tan a

=

tan b

cos2a

−

f) tan 17.

a =

2

cosec a cot a −

Demuestra que si A + B =  , entonces:

(sen A

sen B

+

) ( cos A ⋅

−

cos B

)

2

=−

sen 2 B 18.

Demuestra que: a)

 π   π  tan  + a   − tan  4 − a   = 2tan2a  4   

b) sen a = sen b  cos(a − b) c)

d)

sen2 a cos a

2sen a +

tan2a

cos x + sen x cos x − sen x

19.

=

+ cos b 

cos a

cos x − sen x −

sen(a − b)

cos x + sen x

=

2tan2 x

Simplifica: a)

1 − cos 2a 1 + cos 2a sen2a

b)

c)

2sen a 1 + cot a ⋅ cot b 1 − cot a ⋅ cot b

d) sen(60° + x) + sen(60° − x) e) sen(90° + x)  cos(180° − x) f)

g)

sen (a + b) ⋅ sen (a − b) cos a + cos b 2sen a − sen 2a 2sen a + sen 2a cos(

h)

i)

π

− α ) ⋅ sen ( π + α ) 2 cos 2 (π − α )

1 + tan a ⋅ tan b 1 − tan a ⋅ tan b

+ cos(90° + x)

 sen(180° − x)

127

128



CAPÍTULO 3

20.

Comprueba si las siguientes igualdades son ciertas o no: a)

b)

cos 4 a − sen 4 a

cos a ⋅ tan 2 a

(1

−

1

=

1 + cos a 21.

=

sen a ⋅ cos a

tan a

−

cos a

) (1 ⋅

+

cot a

)

1

Sabiendo que A + B + C =180°, demuestra que: cos( A

−

B)

−

cos C =

2cos A

cos B


Simplificar sen 4 a  sen 2 a cos 4 a

2.



cos 2 a

Sabiendo que sen

a

=

7 15

y cos b = −

5 13

con

π

<

a

<π

2

y

π <

b

a) sen(a + b)

b) cos (a + b)

c) tan (a + b)

d) sen(a − b)

e) cos (a − b)

f) tan (a − b)

Revisado:__________________________________

<

3π 2

, calcula:


3.7 Ecuaciones trigonométricas Objetivo Que el estudiante aprenda a: •

Resolver ecuaciones trigonométricas expresando las soluciones en grados o radianes.

Ecuaciones trigonométricas Son aquellas en las que la incógnita x aparece en el argumento de una razón trigonométrica. Deberemos transformar la ecuación trigonométrica en una ecuación equivalente que tenga la forma: sen x = a cos x = b tan x = c

Observaciones Las soluciones de todas ecuaciones trigonométricas son infinitas sen x = a x = sen–1 a + 360° n, n  Z (solución

en grados)

La calculadora solo da una solución, por lo que deberemos tener en cuenta que: sen x = sen(180° – x) cos x = cos(360° – x) tan x = tan(180° + x)

Ejemplo 1 Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: a) sen x + cos x =1 (elevamos al cuadrado ambos miembros) (sen x + cos x)2 = 12 sen2 x + cos2 x + 2  sen x  cos x =1 1 + 2  sen x  cos x =1 2  sen x  cos x = 0 (igualando cada factor a cero)

 0° + k 360°, k ∈ z  180° + k ⋅ 360°, k ∈ z

sen = 0 ⇒ x = sen − (0) =  1

90° + k ⋅ 180°, k ∈ z −1 cos x = 0 ⇒ x = cos 0 = 90° + k ⋅ 360°, k ∈ z 270° + k ⋅ 360°, k ∈ z Como hemos elevado al cuadrado en la ecuación original obtenemos las soluciones de sen x + cos x =1 y sen x + cos x = −1 ya que (−1) 2 = 1 y 12 = 1. Por tanto, tenemos que comprobar la validez de las soluciones obtenidas (las que verifiquen la ecuación original).

Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: sen 2 x = 2 cos x 2  sen x  cos x = 2  cos x 2  sen x  cos x − 2  cos x = 0 (sacando factor común 2  cos x)

129

130

CAPÍTULO 3

cos x = 0 2 ⋅ cos x ⋅ (sen x − 1) = 0 ⇒ (se iguala cada factor a cero) sen x − 1 = 0

cos x = 0  sen x = 1

O también se puede expresar la solución como 90° + k ⋅ 180°, k ∈ z −1 cos x = 0 ⇒ x = cos 0 = 90° + k ⋅ 360°, k ∈ z 270° + k ⋅ 360°, k ∈ z sen x = 1  x = sen–1 (1)  x = 90° + k  360°, k  z

Ejemplo 3 Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: 1 2

⋅

cos x

3

−

⋅

2

sen

Como sen 30° =

1 2

x

=

0

y cos 30° =

3 2

, se tiene:

sen 30° cos x − cos 30° sen x = 0 −1

 0° + k 360°, k ∈ z  180° + k ⋅ 360°, k ∈ z

sen(30° − x) ⇒ (30° − x) = sen (0) = 

30° − x = 0° + k  360°, k  Z x = 30°

− k 360°, k  Z

x = 30° + k 

360°, k  Z

x = −

30° − x =180° + k 360°, k  Z 150° − k  360°, k  Z

x = 210° + k 

360°,

k

 Z

x = 30° + 180°, k  Z

Las soluciones en el primer giro son: 30° y 210° (observar que –150° y 210° son ángulos coterminales) Nota: Da lo mismo sumar que restar un número de vueltas.

3.7 EJERCICIOS 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x =

1 2

b) sen(2 x + 30°) = c) cos( x

−

π

)

=

3 2

1 2

d) tan( x + 20°) = −1



e) tan  2 x + 



2.

   = 3 

π

3

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:



a) cot  2 x +



   = 3 

π

3






b) cos 3 x − 



 1   = − 2 8 

π

c) sen 2 x + cos x = 0 d) cos 2 x + sen x = 4 sen 2 x e) sen 5 x + sen 3 x = 0

 tan 2 x = 1 f) tan x  3.

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:







3 

a) sec  2 x + π  = 3  







6 

b) csc  x − π  = − 1  

2



c) sec  2 x + 



 1   = − 4  2

π

Las ecuaciones a) , b) y c) se resuelven igual que las del ejercicio número 1. d) sen x + cos2 x = 1

 cos x e) 6 sen3 x = sen 2 x  f) cos x − − sen2 x = 1 g) sec x + tan x = 0 h) 6 cos2 4.

x

2

+

cos x = 1

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para 0° < x < < 90°: – 1) · (4 sen 2 x – 3) a) (tan x –

= 0

AUTOEVAL AUT OEVALUA UACIÓN CIÓN 3.7 3.7 NOMBRE: FECHA: Resolver las siguientes ecuaciones. 1.

cos x = tan x

2.

cot x = sen 2 x

3.

cot x – – cos x = sen x tan tan x

4.

– sen2 x sen 2 x = cos2 x –

Revisado:__________________________________

131

132

CAPÍTULO 3

3.8 EVALUACIÓN CAPÍTULO 3 Del 1 al 4. Transformar el ángulo de radianes a grados y escribe la respuesta en el espacio en blanco: 1.

3 — ___________ 5

2.

3 – — ____________ 10

3.

2 ____________

4.

17 ____________ 4

5.

Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30°, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la distancia a la que nos encontramos de la misma fuese el cuádruple? _______________

6.

Calcula el ángulo que forman las tangentes a una circunferencia de 5 cm de radio, trazadas desde un punto situado a 7 cm del centro. _________________

7.

Demostrar la identidad sen α 1 + cos α

8.

1 + cos α +

sen α

=

2csc α

Sabiendo que tan a = −

2 5

y cos b = −

7 5

con

3π

<

a

<

2

a) sen (a + b) = _______________

b) cos (a – b)

= _______________

c) tan (a + b) = _______________

d) sen 2a = _______________

Revisado:__________________________________

2

π

y

π <

b

<

3π 2

, calcula:

CAPÍTULO

4 Contenido

4. Gráficas

de funciones trigonométricas Gráficas senoidales 4.2 Gráficas de las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante 4.3 Funciones trigonométricas inversas 4.4 Evaluación Capítulo 4 4.1

134

CAPÍTULO 4

Gráficas de funciones trigonométricas Objetivos de aprendizaje Que el estudiante aprenda: a graficar las funciones seno y coseno; a conocer sus propiedades de amplitud y corrimiento, las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante; a comprender sus propiedades de amplitud y corrimientos; así como a encontrar el valor exacto y aproximado de las funciones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente.

Leonhard Euler

Matemático suizo (Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783), Euler refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no solo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió convirtió en una herramienta her ramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego, con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).


4.1 Gráficas senoidales Objetivo Que el estudiante aprenda a graficar las funciones seno y coseno, además el conocimiento de sus propiedades de amplitud y corrimiento. Grafique f ( x) = sen x Propiedades: El dominio es el conjunto de los números reales. El rango son los números entre: [ –1, 1] Es una función impar. Tiene periodo P = 2 . y

1.0 0.5 ( x de –6.6 a 6.6)

x

–2 

–



2

–0.5 –1.0

Grafique f ( x) = cos x Propiedades: El dominio es el conjunto de los números reales. El rango son los números entre: [ –1, 1] Es una función par. Tiene periodo P = 2  . y

1.0 0.5 ( x de –6.6 a 6.6) –2 

–



2

x

–0.5 –1.0

Teorema Si  > 0; la amplitud, periodo y corrimiento horizontal de las gráficas: f ( x) = A sen( x – ) y f ( x) = A sen( x – ) están dadas por:

Amplitud = A Periodo = P = 2 /  Desplazamiento de fase o corrimiento horizontal:  / 

Ejemplo 1 Grafique la siguiente función: f ( x) = 2 cos( x – 45°)

135

136

CAPÍTULO 4

Solución

Donde A = 2;  = 1;  = 45° Para poder comenzar a graficar una función trigonométrica debemos determinar:  A = 2   A = 2 Desplazamiento de fase o corrimiento horizontal: 45° o –. Dominio es R, 4 rango [−2, 2]. y

2 1 ( x de –6.6 a 6.6) –2 

–



2

x

–1 –2

Ejemplo 2

Grafique la siguiente función: f ( x) 1 – 3 sen (2 x + 60°) También se puede escribir de la forma siguiente: f ( x) = 1 – 3 sen(2 x +



3

)

Solución:

Note que el ángulo de desfase está en radianes; es posible, si así se desea, convertirlo a grados, es decir  = –  /3; entonces:  = –60°, nos queda que: f ( x) = 1 – 3 sen(2 x –(–60°)) Donde:  A = –3  A = 3 2 P= 2 360 P= 2 

P = 180° o



, dominio es R, rango es [–2, 4] 2  Desplazamiento de fase o corrimiento horizontal es: –60°/2 = –30° o – 6 y

4 3 2

( x de –3.3 a 3.3)

1 –

 –

2



–1 –2

2



x


Observe que en este ejemplo existe un corrimiento vertical igual a uno. Esto genera que la gráfica se eleve una unidad con respecto al eje de las x. Ejemplo 3

Grafique la función f ( x) = ½ + cos x Solución

Dominio es R 



Rango − 1 , 3   2 2  A = 1 2 1 desplazamiento de fase = P=

ϕ

0

=

ω

Traslación vertical ½ (hacia arriba) y

1.5 1.0 ( x de –6.6 a 6.6)

0.5 x

–2 

–



2

–0.5

Ejemplo 4

Grafique la función f ( x) = 1 – 2 sen x Solución

Dominio es R Rango [–1, 3] A = –2 P=

2 1

desplazamiento de fase =

ϕ

0

=

ω

Traslación vertical 1 ( hacia arriba) y

3 2 ( x de –6.6 a 6.6)

1

–2 

–



–1

2

x

137

138

CAPÍTULO 4

Ejemplo 5

Grafique la función f ( x) 3 sen ( 5 x) =

–

Solución

Dominio es R Rango [ 3, 3] A 3 2 P 5 Desplazamiento de fase –

=

=

ϕ

0

=

=

ω y

3 2 1

–

x



2

–

5

–1

5



2

5

5

( x de –1.3 a 1.3)

–2 –3

Ejemplo 6

Grafique la función f ( x)

2 cos(2 x

= –

 –

6

)

Solución

Dominio es R Rango [ 2, 2] A  2 2π π P 2 –

=

=

–

=

π

Desplazamiento de fase

=

ϕ 6

π

=

ω 2

12

y

2 1 –3

–2

–1

1

2

3

x

( x de –3.3 a 3.3)

–1 –2

Aplicaciones: 1.

Al golpear un diapasón, sus puntas vibran y su función v(t ) 0.7 sen (880 t ), con v(t ) es el desplazamiento de las puntas en milímetros en el tiempo en t segundos, =


determine: a) v(0), v(1), v(1/1760) b) dibuje gráfica de v(t ) v(0) = 0.7 sen (880  (0)) = 0, v(1) = 0.7 sen(880  (1)) = 0, v(1/1760) = 0.7 sen (880  (1/1760)) = 0.7 y

0.6 0.4 0.2 t

–0.002 –0.001 –0.2

0.001

(t de –0.002 a 0.002)

0.002

–0.4 –0.6

2.

Las estrellas variables son aquellas cuya brillantez varía en forma periódica, mode-

 π   t   , t se mide en días, determine:  156 

lada por b( t ) = 7.9 – 2.1 cos

a) La brillantez b(0), b(1), b (5), b(156)

b) gráfica de b(t )

y

10 9 8

(t de –324.5 a 324.5)

7 6 –300 –200 –100

0

100

200

b(0) = 7.9 – 2.1 cos

 π  = 5.8,  (0 )   156 

b(5) = 7.9 – 2.1 cos

 π  = 5.81,  (5)   156 

300

t

b(1) = 7.9 – 2.1 cos

 π   (1)  = 5.80  156 

b(156) = 7.9 – 2.1 cos

 π   (156)  = 10  156 

4.1 EJERCICIOS 1.

Grafique las siguientes funciones senoidales determine dominio, rango, amplitud, desplazamiento de fase. a) f ( x) = cos( x – 60°) c) f ( x) = 3 sen( x –60° ) e) f ( x) = 2/3 sen( x– 45° ) g) f ( x) = cos(3 x –90° ) –2 i) f ( x) = cos(7 x +  /6) + 3/5 k) f ( x) = 3 sen(2 x +



4

)

b) f ( x) = 1– cos( x –  ) d) f ( x) = 2 + cos( x – 2 /3) f) f ( x) = ½ + cos( x + 30°) h) f ( x) = 4/5 sen(4 x – 80°) j) f ( x) = 11/3 cos(3 /11 – ¾ x) + 9/2 l) f ( x) = –2 cos (2 x)

 π

m) f ( x) = 3 sen( x /2 –  /3)

n) f ( x) = –2 sen  x +

o) f ( x) = ½ cos( x) q) f ( x) = –2 + sen 4 x

p) f ( x) = 4 sen( –2 x) r) f ( x) = 1 – sen  x

 2

   2 

π

139

140

CAPÍTULO 4

2.

Se brinda las gráficas de senos y cosenos, se solicita: a) Escriba la amplitud, periodo y desplazamiento de fase. b) Escriba la ecuación que represente a la curva. y

y

3 2 1

2 1 –5

x ( x de

5

–8.3 a 8.3)

–2 

x ( x de

–

–1 –2

a)

2



–1 –2 –3

–6.6 a 6.6)

b) y y

0.2

4

0.1 –2 

–

2



–0.1

x

2

( x de –6.6 a 6.6) –4  –2 

2

x ( x de

–13.2 a 13.2)

–2

–0.2

–4

c)

d) y

y

0.4

0.2

0.2 –6 –4 –2 –0.2

0.1 2

4

6

x

( x de –6.5 a 6.5)

–6

–4

2

4

6

x

( x de –6.2 a 6.2)

–0.2

e)

Dada h(t )

–2

–0.1

–0.4

3.

4

f)

= 3

cos

 π   t   , h(t ) es la altura en pies de una onda por arriba del nivel  10 

medio del mar en el tiempo t segundos, segundos, determine: a) El periodo de la ola 4.

b) h(0), h(5), h(10), h(15)

t), Dada p(t ) = 115 + 25 sen (160  t ) , p(t ) es la presión sanguínea de una persona en milímetros de mercurio (mmHg), con t en en minutos, determine: a) El periodo de p(t )

b) p(0), p(1/160), p(1/320), p(2)

c) Dibuje gráfica de p(t )

d) ¿Cuál es el valor de la presión sanguínea nor mal?



5.

Dada I (t ) = 10 cos 120 π t +



en segundos, determine: t en

   , en un circuito eléctrico la corriente I (t ) en amperes, 3 

π

a) El periodo y desplazamiento de fase de I (t ) 6.

c) dibuje gráfica de h(t ). ).

Dada T (t ) = 5 50 0 + 10 sen

b) gráfica de I (t )

 π (t − 8) , T ( t )  es la temperatura Fahrenheit, t en en horas desde 12

0  t  24, trace la gráfica de T (t ). ). 7.

t, donde V (t ) es el voltaje producido por un generador de Dada V (t ) = 120 sen 120  t corriente alterna, determine: a) periodo y amplitud de V (t )

b) gráfica de V (t ), ), desde t = 0.




8.

Dada x(t ) = 10 sen 5 t , x(t ) es la distancia en metros que un objeto recorre en un tiempo t en en segundos, determine: a) periodo y amplitud de x(t )

b) gráfica de x(t )

AUTOEVAL AUT OEVALUA UACIÓN CIÓN 4.1 4.1 NOMBRE: FECHA: 1.

2.

Determine la amplitud y periodo de la función, grafique: a) f ( x x) = 4 sen( –2 x)

b) f ( x x) = 3 + 3 cos x

c) f ( x x) = 3 sen(3 x +  )

d) f ( x x) = cos 

 π

 − x    2 

Dada la gráfica, determine: a) el periodo y amplitud

b) Determine la función (opcional ) y

y

2

2 1 –2

–1

–1 –2 –3 –4

1

2

x

a)

3.

1

( x de –2.1 a 2.1)

–2 

–



2

x ( x de

–6.6 a 6.6)

–1 –2

b)

Dada Y (t ) = 10 sen 4 t , donde Y (t ) es el desplazamiento de una masa que pende de un resorte en pulgadas y t en en segundos, determine: a) periodo y desplazamiento,

b) gráfica de Y (t )

Revisado:__________________________________

141

142

CAPÍTULO 4

4.2 Gráficas de las funciones: tangente, tangente, cotangente, secante y cosecante Objetivo Que el estudiante aprenda a graficar las funciones, tangente, cotangente, secante y cosecante, además el manejo de sus propiedades de amplitud y corrimientos. Grafique f ( x x)

tan x

=

Propiedades: El dominio es el conjunto de los números reales, con excepción de los múltiplos 

impares de

2

.

El rango son los números reales. Es una función impar. Es una función periódica, con periodo P  . En el eje x se está considerando la medida en radianes. =

y

6 4 2 x

–

 –

2



–2

( x de –3.3 a 3.3)



2

–4 –6

Grafique f ( x x)

cot x

=

Propiedades: El dominio es el conjunto de los números reales, con excepción de los múltiplos pares de  . El rango son los números reales. Es una función impar. Es una función periódica, con periodo P  . En el eje x se está considerando la medida en radianes. =

y l 6 4 2 –

l

–

 2



–2 –4 –6

2

x 

( x de –3.3 a 3.3)


Grafique f ( x x)

csc x

=

Propiedades: El dominio es el conjunto de los números reales, con excepción de los múltiplos pares de  . El rango son los números reales, menos el intervalo [ 1, 1]. Es una función impar. Es una función periódica, con periodo P 2 . 1 Es la función recíproca a la función seno, es decir: csc x sen x En el eje x se está considerando la medida en radianes. –

=

=

y

5

–2 

–



2

x

( x de –6.6 a 6.6)

–5

Grafique f ( x x)

sec x

=

Propiedades: El dominio es el conjunto de los números reales, con excepción de los múltiplos impares de  /2 El rango son los números reales, menos el intervalo [ 1, 1]. Es una función par. Es una función periódica, con periodo P 2 . 1 Es la función recíproca a la función coseno, es decir: sec x cos x –

=

=

y

6 4 2 –2 

–



–2 –4 –6

2

x

( x de –6.6 a 6.6)

Ejemplo 1 Grafique la función f ( x x)

2 tan( x x 30°)

=

–

–

Solución Para realizar esta gráfica, usaremos técnicas de graficación. Iniciamos con f ( x x) tan x. Luego, se transforma en: f ( x x) En el eje x se está considerando la medida en radianes. =

y

2

–2

–

8 6

4

 – 2

–

y

6

–

2 tan( x x 30°).

=

4  2



x

( x de –3.3 a 3.3)

2 –6 –4 –2

–4

–2

( x de –6.5 a 6.5) 2

4

6

x

–4

–6

f ( x)

tan x

=

f ( x x)

2 tan( x x 30°)

=

–

–

143

144

CAPÍTULO 4

Luego: f ( x) = – tan( x – 30°); finalmente: f ( x) = 2 – tan( x – 30°). Note que en cada paso que se realiza, se agregan nuevos valores a la función origi – nal. De este modo vamos transformando la función original hasta alcanzar el resultado esperado.

Ejemplo 2 Grafique la función f ( x) = 2/3 sec(x – 60°) + 3

Solución Para realizar esta gráfica utilizaremos técnicas de graficación. Iniciamos con la función original: f ( x) = sec x. Comenzamos a transformarla: f ( x) = sec( x – 60°). y

y

6 4 2 –2 

–

5 

–2 –4 –6

2

( x de –6.6 a 6.6)

x

–6 –4 –2

2

4

6

x

( x de –6.5 a 6.5)

–5

f ( x) = sec x

Luego: f ( x) =

2

f ( x) = sec ( x – 60°)

2

sec( x − 60°) ; finalmente tenemos que: f ( x) =

sec( x − 60°) + 3 3 3 Note que la línea que está entre la grá fica de la función secante es la función coseno, la cual se transforma de igual manera que la función secante. y

y

8 6

4 2 –6 –4 –2

2

4

6

4

( x de –6.5 a 6.5)

x

2

–2

–6 –4 –2 –2

–4

f ( x) = 2/3 sec ( x – 60°)

2

4

6

x

( x de –6.5 a 6.5)

f ( x) = 2/3 sec ( x – 60°) + 3

4.2 EJERCICIOS 1.

Grafique las siguientes funciones tangente, secante, cotangente y cosecante, determine dominio, rango, amplitud, desplazamiento de fase. a) f ( x) = –2 sec( x – 60°)

b) f ( x) = 3 tan( x –60°)

c) f ( x) = 1– tan( x –  )

d) f ( x)

e) f ( x) = 2 + cot( x – 2 )

f) f ( x) = tan(3 x –90°) –2

3

g) f ( x) = 2/3 csc( x – 45°)



i) f ( x) = sec  7 x +



 3   + 6  5

π

= ½

sec( x + 30°)

h) f ( x) = 4/5 cot(4 x –80°)

 3π

j) f ( x) = 11/3 tan 

 11

−

3  x   + 4 

9 2




2.

k) f ( x)

=

m) f ( x)

=

o) f ( x)

=

q) f ( x)

=

s) f ( x)

=

cot  x +





   4 

π

l) f ( x)

tan 2 x

 

1 2

csc ( 



tan  3 x −



=

   6 

p) f ( x)

=

3

r) f ( x)

=

t) f ( x)

=

–

x) 2

   − 2 4 

π

π

= –

n) f ( x) π

2sec  1 2 x −

   3    π  −3cot  x    2  2 csc  x −

1 2

tan (2  x)



2 csc  2 x +



2 sec(2 x

–

   6 

π

)



Dadas las gráficas de tangente, secante, cosecante y cotangente, determine: a) periodo y amplitud

b) ecuación de la gráfica (opcional)

y

y

30

15

20

10 5

10 –2 

–

2



–10

x ( x de

–6.6 a 6.6)

–

 – 2

–20

 2

–5 –10 –15



x

( x de –3.3 a 3.3)

–30 a)

b)

y

y

8

20

6 4

10

2 –6 –4 –2

–2

2

4

6

x

–

( x de –6.5 a 6.5)

l

–4

–  2

–10

l

 2



x ( x de –3.3 a 3.3)

–20

c)

d)

3.

¿Para cuáles valores de x, 2  x  2 , ocurre que sec x 1? y ¿para cuáles valores de x, 2  x  2 , ocurre que csc x 1? –

=

–

=

4.

¿Para cuáles valores de x, 2  x  2 , ocurre que la gráfica de y asíntotas verticales?

5.


6.

¿Para cuáles valores de x, 2  x  2  , ocurre que la gráfica de y asíntotas verticales?

7.


–

–

–

–

csc x tiene

=

sec x tiene

=

tan x tiene

=

cot x tiene

=

145

146

CAPÍTULO 4

8.

Demuestre que la función secante y cosecante tiene período 2  d

3 millas

9.

Dada d (t ) 3 tan  t , d (t ) es la distancia en millas donde el haz de un faro da una rotación completa cada 1 minutos, t es minutos, determine: =

a) d(0.15 ), d( 0.25) y d(0.5),

10.

()

Dada S t

b) Grafique la función desde 0  t 

π

1 2

t , donde S(t) es la proyección de la sombra de una persona en 12 pies en un día soleado, t es en horas, grafique la función para S(t) en 0 < t <12. =

6 cot

6 pies de alto

S





2.

Determine la amplitud y periodo de la función, grafique: a) f ( x) = 1/4 csc( –2 x)

b) f ( x) = 3 + 5 cot x

c) f ( x) = 3sec(2 x +  /2)

d) f ( x) = tan 

 π

 − x    2 

Dada la gráfica, determine: a) el periodo y amplitud

b) la ecuación de cada una (opcional)

y

40

y

1.0

20

0.5 –1.0 –0.5

0.5

1.0

x ( x de –1.4 a 1.4)

–

–20

 – 2

 2

–0.5



x ( x de

–3.3 a 3.3)

–1.0

–40

a)

b)

y y

6 4 2 –1.0

c)

–0.5

–2 –4 –6

6 4 0.5

1.0

x

( x de –1 a 1)

2

–6

–4 –2

–2 –4 –6

d)

Revisado:__________________________________

2

4

6

x

( x de –6.5 a 6.5)

147

148

CAPÍTULO 4

4.3 Funciones trigonométricas inversas Objetivo Que el estudiante aprenda a encontrar el valor exacto y aproximado de las funciones tr igonométricas inversas de seno, coseno tangente secante cosecante y cotangente Las siguientes son propiedades de las funciones inversas: El dominio de f ( x) Rango de f 1( x) y el dominio de f 1( x) Rango de f ( x). Sea y f ( x) y tiene una función inversa; entonces, la ecuación de la función inversa es x f ( y); por tanto y f 1( x). f 1( f ( x)) x para todo el dominio de f ( x) y además, f ( f 1( x)) x para todo el do minio de f 1( x). La gráfica de f ( x) y la gráfica de f 1( x) son simétricas con respecto a la recta y x. –

=

–

=

=

=

–

=

–

–

=

=

–

–

–

=

Función seno inverso Sea: y arc sen x sen 1 x significa que: x Donde: 1  x  1 y 90°  y  90°. Quiere decir que: =

=

–

–

sen y.

=

–

f 1( f ( x)) sen 1(sen x) x donde 90°  x  90° f ( f 1( x)) sen(sen 1 x) x donde 1  x  1. Su gráfica es: –

=

–

–

=

–

=

–

=

–

y

1.5 1.0 0.5 x

–1.0

–0.5

0.5

( x de –1 a 1)

1.0

–0.5 –1.0 –1.5

Función coseno inverso Sea: y arc cos x cos 1 x significa que: x Donde: 1  x  1 y 0°  y  180°. Quiere decir que: =

=

–

cos y.

=

–

f 1( f ( x)) cos 1(cos x) x donde 0°  x  180° f ( f 1( x)) cos(cos 1 x) x donde 1  x  1. Su gráfica es: –

=

–

=

–

=

–

=

–

y

3.0 2.5 2.0 1.5

( x de –1 a 1)

1.0 0.5 x

–1.0

–0.5

0.5

1.0


Función tangente inversa Sea: y arc tan x tan 1 x significa que: x tan y. Donde:   x   y 90°  x  90°. Quiere decir que: =

=

–

–

=

–

f 1( f ( x)) tan 1(tan x) x, donde 90°  x  90° f ( f 1( x)) tan(tan 1 x) x, donde   x  . Su gráfica es: –

–

=

–

=

–

=

–

=

–

y

1.0 0.5 x

–2

–1

1

( x de –2 a 2)

2

–0.5 –1.0

Función cotangente inverso Sea: y arc cot x cot 1 x significa que: x cot y. Donde:  x  y 0°  y  180°. Quiere decir que: =

=

– 

–

=



f 1( f ( x)) sen 1(sen x) x donde 0°  x  180°  x  . f ( f 1( x)) sen(sen 1 x) x donde Su gráfica es: –

–

=

–

=

–

=

–

=



20

10

–20

0

–10

10

–10

–20

Y

=

tan

−1

 1  para usar calculadora y encontrar valores aproximados.     x 

Función secante inverso Sea: y arc sec x sec 1 x significa que: x sec y. Donde: x  1 o x  1 y 0°  y < 90° o 90° < y 180° Quiere decir que: =

=

–

–

=

149

150

CAPÍTULO 4

20

10

–20

0

–10

10

20

–10

–20

y

=

 1  cos−1    para usar calculadora y encontrar valores aproximados.  x 

Función cosecante inverso

Sea: y arc sec x sec 1 x significa que: x sec y. Donde: x  1 o x  1 y 90°  y < 0° o 0° < y  90° Quiere decir que: =

=

–

=

–

–

20

10

–20

0

–10

10

20

–10

–20

y

=

 1  sen−1    para usar calculadora y encontrar valores aproximados.  x 

Ejemplo 1

 1    3  

Encuentre el valor exacto de tan cos−1 

Solución 1

Considere que:  cos−1 =

3

esto implica que

cos θ

=

1

0    180°;

3

Como cos  > 0, se concluye que existe un triángulo rectángulo ubicado en el pri mer cuadrante con: ady 1; hip 3; por tanto: op 32 12 8 2 2 finalmente: =

=

=

tan y

−1

Es decir que: tancos

 1     = 2 3  

2.

op =

=

ady

2 2 1

−

=

=

–


Ejemplo 2 Encuentre el valor exacto de cos arc sen

 1  −    3 

Solución Considere que:  sen−1 −

1

=

3

; esto implica que

sen θ

=−

1 3

− 90 ≤ θ ≤ 90 



,

Como sen  < 0, se concluye que existe un triángulo rectángulo ubicado en el cuarto cuadrante con: op 1; hip 3; por tanto: ady 32 12 8 2 2 ; finalmente: =

=

=

−

=

 1  2 2  = cos y = ady  hip 3  3 

cos arc sen  − Es decir que: cos arc sen

 1  −    3 

=

2 2 3

4.3 EJERCICIOS 1.

Encuentre valor exacto de las siguientes funciones:



−1 a) sen  tan



c)

  2 

 −1 1   sec  tan  2   

e) sec  cos

−1



g) sen

i)

1 

1

–

1 

  2 

 3π   cos    4 

 −1 3   csc  sen  5   1

k) cos(tan ( 2)) –

–



b) tan sen−1 



d)

1 

  2 

 cot  sen−1    

f) csc  cos−1

h) cos

1

–

2  3

  

2 5  5

  

 3π  sen    4 

j) sec (tan 1 4) –

l)

 −1  1   tan sen −    6     

=

151

152



CAPÍTULO 4

2.

3.

4.

5.

Escriba como una expresión algebraica en términos de x. a) sen(tan–1 x)

b) sec(cos–1 x)

c) cot(sen–1 x)

d) tan(cos–1 x)

e) cos(csc–1 x)

d) csc(sec–1 x)

Encuentre el valor aproximado de las siguientes funciones (use dos cifras decimales): a) cot–1 1.25

b) csc–1 (–2.1)

c) sec–1 1.9

d) cos

e) tan–1 (–0.3 )

f) sen–1 0.84

1

1 4

Grafique las siguientes funciones inversas, determine dominio y rango: a) f ( x) = sen–1( x + 1)

b) f ( x) = cos–1(2 x)

c) f ( x) = 2 sec–1 (2 x)

d) f ( x)

e) f ( x)= –3 csc–1 ( x – 2)

f) f ( x) = 3 tan–1 ( x – 1)

Dada R

2 V 0 sen 2θ =

g

–1

=  + cot

( x)

,V 0 es la velocidad inicial, g es aceleración de la gravedad, R es

distancia, un blanco está a 800 pies del arma y la V 0 es 200 pies/s. Calcule el ángulo de salida del proyectil use g = 32 pie/s2.


Encuentre valor exacto de las funciones dadas:

a) tan

–1

 π   tan    6  

c) tan–1  2 sen



b) tan

   3 

π

–1

e) sen (sen 0)

  

g) tan  sen−1

2

  

 2π   tan    3  

d) (cos–1)  3 sen



f)

3 

–1

 −1 cos  sen 

3  2

h) cos (tan–1 2)

  

   6 

π




2.

3.

Escriba como una expresión algebraica en términos de x. a)

cos(tan 1 x)

c)

cos(cos 1 x + sen 1 x)

–

–

–

sen(2 sen 1 x)

d)

sen(2 cos 1 x)

–

–

Grafique las funciones, determine dominio y rango a) f ( x) = –2 = sen–1 = 4 x

4.

b)

b) f ( x) = 4 cot –1 ( x –1)

Un poste de 50 pies arroja una sombra, a) exprese el ángulo de elevación  del sol en función del largo s de la sombra, b) calcule el ángulo de elevación  del sol cuando la sombra mide 25 pies de largo.

h es 50 pies  s es sombra

Revisado:__________________________________

4.4 EVALUACIÓN CAPÍTULO 4 NOMBRE: FIRMA:

FECHA:


SECCIÓN:

Completación: escriba la simbología o frases que completen y hagan correcta cada proposición.

()

10cos

x

π

1.

La amplitud de

2.

 9π  El valor exacto de cos−1  cos   es: ______________  5 

f x

= −

3

es: ______________

153

154



CAPÍTULO 4

3.

El intercepto en y para la gráfica de la función f ( x) = 2 sec( x +  ) es: _____________

4.

La primera asíntota vertical para la gráfica de f ( x) = tan  x −

 

   a la derecha del eje 4 

π

y es: ______________________________________________________________ 5.

Para la función f ( x) = –2 sen x, el valor del rango de f ( x) está entre –2 y 2 inclusive: __________________________________________________________________

6.

Dada f ( x) = 3 sec x, una asíntota vertical a la derecha del eje y es: _____________

7.

El valor exacto de sen 1(sen  ) es: ______________

8.

El valor exacto de tan 1(cos  ) es: ______________

9.

Dada la función f ( x) = – csc 1 2 el rango es: ______________

–

–

–

y

1.5 1.0 0.5 x

–2.0

–1.5

–1.0

( x de –2 a 0)

–0.5 –0.5 –1.0 –1.5

10.

Corresponde a la gráfica inversa de la siguiente función: ______________

y l 15 10 5 –

–

 2



–5 –10 –15

11.

x

( x de –3.3 a 3.3)



2

l

Corresponde a la gráfica de la siguiente función trigonométrica: ______________

12.

El periodo de la función f ( x) = –4 csc(4 x –  ) es: _____________

13.

El desplazamiento de fase de f ( x) = cos(2 x + 5 ) es: ____________

Revisado: __________________________________

CAPÍTULO

5 Contenido

Cónicas y fracciones parciales Cónicas 5.2 Fracciones parciales 5.3 Evaluación Capítulo 5 5.

5.1

156

CAPÍTULO 5

Cónicas y fracciones parciales Objetivos de aprendizaje Que el estudiante aprenda a identificar y graficar las cónicas, resolver fracciones parciales identificando cada caso

René Descartes (1596-1650) En el siglo XVI, René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones, dando lugar al surgimiento de la geometría analítica. En este contexto las curvas cónicas se pueden representar a través de ecuaciones de segundo grado mediante dos variables. También Pierre de Fermat (1601-1665), en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas de Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas. Seguramente, la aplicación más importante en física, deba atribuirse a Johannes Kepler (1570-1630), quien descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas y que el Sol está en uno de sus focos


5.1 Cónicas Objetivos Que el estudiante aprenda a: • • •

Identificar y graficar las cónicas. Resolver ejercicios con la forma de la circunferencia. Diferenciar cuándo es una circunferencia con su radio y su centro, hipérbola, párabola o elipse.

Los griegos definieron las cónicas como intersecciones de planos y conos (de dos mantos). Las curvas que se forman al intersecarse un plano y un cono de dos mantos las llamaron circunferencia, elipse, hipérbola, parábola.

Hipérbola

Circunferencia

Elipse

Parábola

Definición Llamaremos circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. Circunferencia

Centro Radio

Elementos de una circunferencia Arco CD B

Cuerda A

B

D

C

A C

Diámetro O

Radio

B D

O O

A

Arco AB correspondiente al ángulo AOB Semicircunferencia AB

157

158

CAPÍTULO 5

• • •

• •

•

Se llama cuerda el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Se llama diámetro la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Se llama radio el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Se llama arco cada una de las partes en las que una cuerda divide la circunferencia. Se llama semicircunferencia cada una de las partes en las que un diámetro divide la circunferencia. Se llama ángulo central al ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia.

5.1.1 Ecuación de la circunferencia

La distancia del origen al punto p es el radio. (Por definición de circunferencia) d op = r (radio). Utilizando la fórmula de distancia nos queda:

y P( x, y) Radio 1 2

dop r2

=

=

( x 0) ( y 0) −

+

2

−

1

x

x 2 + y2

Y de esto se obtiene la ecuación para una circunferencia con centro en el origen: x2 + y2 = r 2

Si acaso el centro de la circunferencia es c( x0, y0), el radio de la circunferencia será d op = r (radio) y utilizando la formula anterior se desgloza así: r 2 = ( x − x0)2 + ( y − y0)2

Y de esto se obtiene la ecuación para una circunferencia con centro en cualquier punto ( x0, y0): r 2 = ( x − x0)2 + ( y − y0)2

Ejemplo 1 Encuentre y grafique la ecuación de la circunferencia que: Su centro es (3, –2) y su radio es 2.

Solución Utilizando r 2 = ( x − x0)2 + ( y − y0)2 Entonces sustituyendo x0 = 3, r = 2 y y0 = −2 en r 2 = ( x − x0)2 + ( y − y0)2 tenemos ( x − 3)2 + ( y − (−2))2 = 22


Ecuación de la circunferencia ( x − 3)2 + ( y + 2)2 = 4. y 2 1

–2

–1

1

2

3

4

5

x

–1

C

–2 –3 –4 –5

Ejemplo 2 Encuentre el centro y el radio del círculo cuya ecuación es: x2 + y2 − 4 x + 6 y − 36 = 0

Ecuación cuadrática general, se usa completación de cuadrados para x y para y.

Solución ( x2 − 4 x + ) + ( y2 + 6 y + ) = 36 + + ( x2 − 4 x + 4 ) + ( y2 + 6 y + 9) = 36 + 4 + 9 ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 49 ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 72 C : (2, −3), r = 7 y 10 8 6 4 2

–10 –8

–6 –4

–2 0 –2

2

4

6

8

10

x

–4 –6 –8 –10

Definición Sean D y F una recta y un punto del plano respectivamente, tales que, F  D. Sea e un número positivo, entonces: una cónica es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que su distancia a F es e-veces su distancia a la recta D, es decir: P  Cónica  d (P, F ) = e  d (P, D), e > 0

Donde: F es foco de la cónica. D es directriz de la cónica. e es excentricidad de la cónica.

159

160

CAPÍTULO 5

Sucede que si: e < 1; la cónica se llamará elipse. e = 1; la cónica se llamará parábola. e > 1; la cónica se llamará hipérbola. 5.1.2 Parábola

Una parábola siempre tendrá un vértice en el punto (h, k ). En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones para parábolas con eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados. V értice

Foco

Directriz

Ecuación

Resumen

(h, k )

(h + a, k )

x = –a + h

( y – k )2 = 4a( x – h)

Eje de simetría paralelo al eje x , cóncava hacia la derecha

(h, k )

(h – a, k )

x = a + h

( y – k )2 = –4a( x – h)

Eje de simetría paralelo al eje x , cóncava hacia la izquierda

(h, k )

(h, k + a)

y = –a + k

( x – h)2 = 4a( y – k )

Eje de simetría paralelo al eje y, cóncava hacia arriba

(h, k )

(h, k – a)

y = a + k

( x – h)2 = –4a( y – k )

Eje de simetría paralelo al eje y, cóncava hacia abajo

Ejemplo 3 Dada la ecuación ( y 2)2 = 8( x 1), encuentre su vértice, foco, directriz y trace la gráfica. –

–

Solución: Como la ecuación es ( y 2) 2 = 8( x 1), entonces se puede reescribir como: ( y 2) 2 = 4 · 2( x 1) donde: h = 1, k = 2 y a = 2. Es decir que: –

–

–

–

V értice

(1, 2)

Foco

Directriz

(1 + 2, 2) = (3, 2)

Directriz

( x – 2)2 = 8( x – 1)

x = x

Vértice

Ecuación

–2 + 1 = –1

Resumen


Foco ( y − 2)2

8( x − 1)

=

Eje de simetría


Ejemplo 4 Dada la ecuación ( x gráfica.

+

1)2 = –4( y

+ 2),

encuentre su vértice, foco, directriz y trace la

Solución Como la ecuación es ( x + 1)2 = –4( y + 2) entonces se puede reescribir como: ( x + 1)2 = –4 · 1 ( y + 2) donde: h = –1, k = –2 y a = 1. Es decir que:

y 4

2

–4

–2

0

2

4

x directriz y = –2 + 1 = –1

–2

vértice (–1, –2) –4

–6

–8

foco F ( –1, –2 –1) = (–1, –3)

5.1.3 Elipse Al conjunto de todos los puntos en el plano x, y, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, se denomina elipse, y su ecuación está dada por: x 2 b

2

+

y 2 a

2

=

1

c2 = a2 − b2

Donde: a > b > 0 y además:

En forma general podemos decir que toda elipse tendrá la forma: Centro

(h, k )

Eje mayor

Paralelo al eje x

Focos

(h ± c , k )

Vértices

(h ± a, k )

Ecuación 2

( x h) ( y k ) −

a

+

2

2

a > b; c

(h, k )

Paralelo al eje y

(h, k ± c )

(h, k ± a)

b

2

2

−b

2

−

1

=

1

2

−

+

2

a > b; c

=

2

a

=

( x h) ( y k ) b

2

−

2

=

a 2

a

2

2

−b

161

162

CAPÍTULO 5

Ejemplo 5 2

( x 2) ( y 1) Analice y realice la gráfica de: +

2

−

+

16

=

9

1

Solución Reescribimos la expresión de la siguiente forma, para identificar los valores importantes y necesarios para la elipse: 2

( ( )) ( 2

x −

+

42

Realizar el análisis con la siguiente tabla: c

Centro

(–2, 1)

Eje mayor

Focos

(

Paralelo al eje x

−2 ±

)

2

y − 1

−

32 =

=

1

16 9 −

=

7

Vértices

)

7,1

Ecuación 2

( x 2) ( y 1)

(–2 ± 4, 1)

+

2

−

16

+

=

9

1

donde: a = 4; b = 3 a > b

2

 x 2  y 1 



Centro

2



16

=1

9

y 4 Foco

Foco 3 2

1

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

x Vértice

Vértice –1

–2

–3

–4

Ejemplo 6 Analice y realice la gráfica de: 4 x2 + 4 + 4 y − 8 x + y2 = 0, Ax2 + F + Dy + Ex + Cy2 = 0 Para que sea elipse basta saber que A  C pero son de igual signo.


Solución

Para poder graficar es necesario realizar una completación de cuadrado, tanto para x como para y, es una elipse porque 4  1, pero son de igual signo. Se procede de la siguiente forma: 4 x2 + 4 + 4 y − 8 x + y2 = 0

Agrupar los términos comunes, es decir: las x y las y.

4 x2 − 8 x + y2 + 4 y = −4 (4 − 8 x) ( x2

Para realizar una completación de cuadrado, el coeficiente de la variable que está elevada al cuadrado debe ser igual a 1, luego agregar la operación 1 – 1:

4 y) = −4

2 + y +

4 ( x2 − 2 x) + ( y2 + 4 y) = −4

4 ( − 2 x + 1 − 1 ) ( x2

4 y) = −4

2 + y +

 −2  2 El coeficiente para x es:    = 1  2  Notar que ya se realizó la completación del cuadrado para x, realizar la misma operación para y:

4 (( x − 1) − 1) ( 2

4 y + 4 − 4 ) = −4

2 + y +

 2  2    = 4 2  

4 (( x − 1)2 − 1) + (( y + 2)2 − 4) = −4

Notar que ya se realizó la completación del cuadrado para y.

4 ( x − 1)2 − 4 + ( y + 2)2 − 4 = −4

Simplificamos.

4 ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = −4 + 8 4 ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 4

(

)

x − 1

( y 2)

+

2

y −

−

+

=

4

( x 1) ( ( 12

2

+

2

Se divide toda la expresión entre 4 y resulta que: Ésta es la expresión necesaria para analizar y graficar la elipse.

1

2) )

Se reescribe para identificar de una manera más fácil los coeficientes y términos clave para graficar. Cabe destacar que 12 = 1 y que toda expresión dividida entre 1 es igual a la expresión original. C 4 1 3 . En el análisis tenemos que:

2

−

22

=

1

=

Centro

(h, k ) (1, –2)

Eje mayor

Paralelo al eje y

Focos

(h, k ± c ) (1, −2 ± 3 )

Vértices

(h, k ± a) (1, –2 ± 2)

−

=

Ecuación

( x 1) −

( y 2)

2

+

2

+

4

a > b; a = 2, b = 1

=

1

163

164

CAPÍTULO 5

10

5

–10

0

–5

5

10

–5

–10

centro (1, –2)

Vertices (1, –2 ± 2) Foco (1, –2 ± 3)

5.1.4 Hipérbola El conjunto de todos los puntos en el plano x, y, tales que la resta de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, se denomina hipérbola. En forma general podemos decir que toda elipse te ndrá la forma:

Centro

Eje transversal

Focos

V értices

Ecuación 2 ( x − h)

(h, k )

(h ± c , k )

Paralelo al eje x

a

(h ± a, k ) c

2

2

=

2

a

2 ( y − k )

(h, k )

Paralelo al eje y

(h, k ± c )

a

(h, k ± a) c

2

2

=

2

a

−

2 ( y − k )

b

2

Asíntotas oblícuas

=

1

b y − k = ± ( x − h) a

=

1

a y − k = ± ( x − h) b

2

+b

−

2 ( x − h)

b

2

2

+b

Ejemplo 7 Analice y realice la gráfica de: 4 y2 – 4 – 8 y − 4 x – x2 = 0, Ax2 + F + D y + Ex + Cy2 = 0

Para que sea hipérbola basta saber que A y C son de signos diferentes. 4( y2 – 2 y + 1) – ( x2 + 4 x + 4) = 4 + 4 – 4

completando cuadarados para x y y

4( y – 1)2 – ( x + 2)2 = 4

factorizando trinomio cuadrático

( y − 1) 2 1

−

( x + 2) 2 4

=

se divide cada término por 4

1

Solución

Centro

(–2, 1)

Eje transversal

Paralelo al eje y

Focos

Vértices

(−2,1 ± 5 )

(–2, 1 ± 1)


Ecuación

( y − 1) 1

2

2

−

( x + 2) 4

=

1

y –1 = + (–½) ( x + 2)


10

5

–10

–5

0

5

10

–5

–10 Centro (–2, 1)

Ejemplo 8 Analice y grafique la siguiente expresión:

( x + 4) 2

−

( y − 2)2

3

Solución

=

25

1

Reescribimos la expresión de la siguiente forma para identificar los valores importantes y necesarios para la hipérbola: ( x ( 4))2 −

−

( 3)

( y 2)2 −

−

2

=

52

1

Tomar en cuenta que:

( )

2

3

=

3

En el análisis tenemos que: Centro

Eje transversal

(h, k ) (–4, 2)

Paralelo al eje x

Focos

(h ± c , k )

Vértices

Ecuación

( x + 4) 2

(−4 ± 3,2)

3

(−4 ± 2 7,2)

−

( y − 2)2 25

Asíntotas oblícuas =

1

b y − k = ± ( x − h) a y − 2 = + − 5 / 3 ( x + 4)

c = 3 + 25 c = 2 7

y

Vértice

Vértice

12 10 Foco

Foco

8 6 2

 x 4  y 2 

3

2





25

4

=1

2 –14 –12 –10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

x

Centro

–2 –4

–6 –8


165

166

CAPÍTULO 5

5.1 EJERCICIOS Del 1-7. Encuentre una ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas y grafíquela. 1.

Centro, C (−4, 1), radio 3

2.

Centro, C (−4, 6), que pasa por P (1, 2)

3.

Centro, C (2, −3), radio 5

4.

Centro, C (1/4, 0), radio 6

5.

Centro en el origen, que pasa por P (2, −4)

6.

Centro, C (−3, 5), tangente al eje y

7.

Centro, C (4, −1), tangente al eje x

Del 8-15. Encuentre el centro y radio de la círcnferencia con la ecuación siguiente: 8.

x2 + y 2 + 8 x − 10 y + 37 = 0

9.

x2 + y2 + 4 y − 117 = 0

10. 11.

3 x2 + 3 y2 + 12 x − 18 y − 9 = 0 x2 + y2 − 10 x + 18 = 0

12.

2 x2 + 2 y2 − 12 x + 4 y − 15 = 0

13.

9 x2 + 9 y2 + 12 x − 6 y + 4 = 0

14.

x2 + y2 + 4 x − 4 y + 5 = 0

15.

x2 + y2 + 4 x + 6 y + 9 = 0

Del 16-29. Identifique, analice y grafique cada una de las ecuaciones, las cuales podrían resultar una parábola, una elipse o una hipérbola 16.

4 y2 − 16 x = 1

17.

4 x2 − y = 16

18.

( x − 2)2

−

( y + 3)

16

=

9

1

19.

y2 − 6 y = 8 x − 16

20.

x2 + 2 y2 − 2 x + 8 y − 5 = 1

21. 22.

3 y2 − x2 + 4 x − 6 y − 13 = 0 x2 − 6 x = y + 8

23.

25 x2 + 4 y2 − 50 x = 0

24.

x2 − 2 y2 − 4 x − y = 0

25.

9 x2 − 18 x = 6 y

26.

3 x2 + y2 − 24 x + 39 = 0

27.

4 x2 − y2 − x − 8 y − 16 = 0

28. 29.

x2 + 3 y2 − 6 x + 6 y = 0

9 x2 + y2 = 1




AUTOEVALUACIÓN 5.1 NOMBRE: FECHA: Dadas las gráficas identificar la cónica que representa, determine vértice o centro y el eje sobre el que está dirigida.

–10

–5

10

10

5

5

0

5

10

–10

–5

0

5

–5

–5

–10

–10

10

10 10

5

5

–10

–5

0

5

10

–10

–5

0

5

10

–5

–5

–10

–10

Dadas las siguientes ecuaciones, identifique cada cónica, complete por cuadrados y dibuje la gráfica. =0

b) 12 y2 + 4 x2 + 24 y – 4 x + 1 = 0

c) 2 x2 – 3 y2 + 4 x + 6 y = 49

d) 2 y2 + 2 x2 + 6 y + 4 x – 3/4 = 0

a)

2

–3 x + 12 x – 4 y + 3

Revisado:__________________________

167

168

CAPÍTULO 5

5.2 Fracciones parciales Objetivo Que el estudiante aprenda a: Resolver fracciones parciales identificando casos. El método de fracciones parciales o descomposición en fracciones parciales consiste en reducir el denominador: G( x) de una función racional R( x)

F ( x) =

, en un polinomio

G ( x)

más simple, es decir que la expresión racional original se expresará en la suma de expresiones racionales más simples. Para realizar esta operación es indispensable que la función racional sea una función propia, es decir que el grado del polinomio del numerador sea menor al grado del polinomio del denominador.

CASO I: Factores lineales no repetidos Sucede cuando el polinomio del denominador tiene la forma: G( x) = ( x

–

a)( x – b)( x

c)…

–

Entonces la función racional se expresa de la forma: R( x ) =

F ( x)

=

G( x)

A

( x − a)

+

B

+

( x − b)

C

( x − c)

+

+

z

( x − z)

Donde A, B, C … son constantes por determinar.

CASO II: Factores lineales repetidos Sucede cuando el polinomio del denominador tiene la forma: G( x) = ( x

a)n

–

Entonces, la función racional se expresa de la forma: R( x ) =

F ( x) G( x)

=

A1

( x − a)

+

A2

( x − a) 2

+

A3

( x − a) 3

+

+

An

( x − a) n

donde A1, A2, A3, … An son constantes por determinar.

CASO III: Factores cuadráticos irreducibles Sucede cuando el polinomio del denominador tiene la forma: G( x) = ax2 + bx + c

Entonces, la función racional se expresa de la forma: R( x ) =

F ( x) G ( x)

Ax + B

=

ax

2

+ bx +

c

donde A, B son constantes por determinar.

CASO IV: Factores cuadráticos irreducibles repetidos Sucede cuando el polinomio del denominador tiene la forma: G( x) = (ax2

+

bx

+

c)n

Entonces la función racional se expresa de la forma: R( x) =

F ( x) G ( x)

=

A1 x + B1

(ax 2 + bx + c)

+

A2 x + B3

(ax 2 + bx + c) 2

+

A3 x + B3

( ax 2 + bx + c) 3

donde A1… An, B1… Bn son constantes por determinar.

+ +

An x + Bn

( ax 2 + bx + c) n


Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión: R( x)

= ( x – 1)/( x4 + 2 x3 – 3 x2)

Solución El grado del polinomio del numerador es igual a 1; el grado del polinomio del denominador es igual a 4; por tanto, es una función racional propia y se puede efectuar la descomposición en fracciones parciales. Comenzar factorizando el polinomio del denominador: x4 + 2 x3 – 3 x2 = x2( x2 + 2 x – 3)

= x2( x – 3)( x + 1) Ahora que el polinomio del denominador está factorizado, es momento de identificar qué caso o casos se nos presentan en el problema, es decir: x2:

Caso II, factor lineal repetido dos veces

( x – 3): Caso I, factor lineal no repetido ( x + 1): Caso I, factor lineal no repetido Es de notar que el caso I se repite dos veces. Esto no quiere decir que sea un factor repetido, dado que sus factores, donde se hacen cero, son diferentes. Si reescribimos la función se obtiene: R( x)

= ( x – 1)/( x4 + 2 x3 – 3 x2) = ( x – 1)/(( x2)( x + 3)( x – 1))

es decir que: se forman las siguientes fracciones parciales: R( x)

= ( x – 1)/( x4 + 2 x3 – 3 x2) = ( x – 1)/(( x2)( x + 3)( x – 1)) = A / /( x+ 3) + D /( x – 1) x + B / x2 + C

Se multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores y es (( x2)( x + 3)( x – 1)) quedando como resultado lo siguiente: ( x –1) = Ax( x + 3)( x – 1) + B( x + 3)( x – 1) + C ( x2)( x – 1) + D( x2)( x + 3) x – 1 = Ax3 + 2 Ax2 – 3 Ax + Bx2 + 2 Bx – 3 B + Cx3 – Cx2 + Dx3 + 3 Dx2 Se puede resolver mediante sistema de ecuaciones o donde se hace cero cada factor y se sustituye en toda la ecuación: Si x = 0 se obtiene –1 = –3 B, si x = –3 se obtiene –4 = –36C , si x = 1 se obtiene 0 = 4D 1/3 = B

1/9 = C

0 = D

Y por último al tener todos estos valores se sustituyen en la ecuación para encontrar el valor de A = –1/9. /( x + 3) + D /( x – 1) R( x)= A / x + B / x2 + C

= –1/(9 x) + 1/(3 x2 + 1/(9( x + 3)) + 0/( x – 1)

Ejemplo 2 Descomponga en fracciones parciales la expresión R( x ) =

x

2

x

4

−

3x + 1

+

2x +1

Solución El grado del polinomio del numerador es igual a 2; el grado del polinomio del denominador es igual 4; por tanto, es una función racional propia, se puede efectuar la descomposición en fracciones parciales.

169

170

CAPÍTULO 5

Comenzar factorizando el polinomio del denominador: x4 + 2 x2 + 1

= ( x2 + 1)2

Ahora que el polinomio del denominador está factorizado, es momento de identificar qué caso o casos se nos presentan en el problema, es decir: ( x2 + 1) 2: Caso III, factor cuadrático irreducible repetido dos veces. Si reescribimos la función se obtiene: x

R( x) =

x

2

4

− +

3x + 1

x

2 x2 + 1

2

=

−

3x + 1

( x 1) 2

2

+

Es decir que: x

2

3x + 1

−

( x

2

+

1)

=

Ax + B x

2

+

1

+

Cx + D

( x 2 + 1) 2

El objetivo es encontrar las constantes: A, B, C , D. Para ello proceda de la siguiente forma: Multipliquemos ambos lados de la descomposición por el mínimo común denominador ( x2 + 1)2: Simplificamos cada lado de la igualdad y obtenemos: x2 – 3 x + 1

= ( Ax + B)( x2 + 1) + Cx + D

Para seguir resolviendo este problema, hay que considerar que dar valores a la variable x complicará el problema, para simplificar el camino proceda de la siguiente forma: Multiplicar el lado derecho término a término y obtenemos: x2 – 3 x + 1

= Ax3 + Ax + Bx2 + B + Cx + D

Y al agrupar términos semejantes se obtiene: x2 – 3 x + 1

= Ax3 + Bx2 + ( A + C ) x + ( B + D)

Dado que se ha establecido una igualdad de polinomios, en consecuencia esta igualdad será verdadera, siempre y cuando sus coeficientes sean iguales. Es decir que: A

= 0:

Coeficientes de x3

B

= 1:

Coeficientes de x2

A + C

= –3:

Coeficientes de x

B + D

= 1:

Términos independientes.

En consecuencia, tenemos que: C = –3, D = 0. Finalmente, si se tiene que: R( x)

x =

2

−

3x + 1

( x 2 + 1)

=

Ax + B x

2

+

+

1

Cx + D

( x 2 + 1) 2

entonces: R( x)

=

0 x + 1 x

R( x)

2

+

1

1

=

x

2

+

+

−

1

3 x + 0

−

( x 2 + 1) 2 3 x ( x 2 + 1)2


Ejemplo 3 Descomponga en fracciones parciales la expresión R( x ) =

20 ( x + 3)( x − 2)

Solución El grado del polinomio del numerador es igual a 0; el grado del polinomio del denominador es igual 2; por tanto, es una función racional propia, se puede efectuar la descomposición en fracciones parciales R( x ) =

20 ( x + 3)( x − 2)

)/( x + 3) + B /( x − 2)

= A

Se aplica el mínimo común múltiplo a ambos lados de la ecuación y se obtiene: 20 = A( x – 2) + B( x + 3) Si x = 2 se obtiene 20 = 5 B, si x = –3 se obtiene 20 = –5 A –4 = A 4 = B R( x)

20

=

( x 3)( x 2) +

= A /( x+3) + B /( x–2)= –4/( x+3) + 4/( x–2)

−

Ejemplo 4 Descomponga en fracciones parciales la expresión R( x)

=

12 x 3

(2 x 1) (3 x +

2

+

)

1

Solución El grado del polinomio del numerador es igual a 3; el grado del polinomio del denominador es igual 3; por tanto, es una función racional impropia, se puede efectuar primero una division y con lo que queda en el residuo se forma la descomposición en fracciones parciales 12 x3 ÷ 6 x3 + 3 x2 + 2 x + 1 Quedando un cociente de 2 y un residuo de –6 x2 – 4 x – 2 R( x)

=2+

6 x 2 − 4 x − 2

−

(2 x 1) (3 x +

6 x 2 − 4 x − 2

−

(2 x 1) (3x +

2

+

)

1

2

+

)

= 2 + A /(2 x+1) + ( Bx + C )/(3 x2 + 1)

1

= A /(2 x + 1) + ( Bx + C )/(3 x2 + 1) aplicando mínimo común múl-

tiplo se obtiene: 2

= A(3 x2 + 1) + ( Bx + C ) (2 x + 1)

2

= 3 Ax2 + A + 2 Bx2 + Bx + 2Cx + C

2

= x2 (3 A + 2 B) + x ( B + 2C ) + ( A + C )

–6 x – 4 x–2 –6 x – 4 x–2 –6 x – 4 x–2

Se igualan términos semejantes del lado izquierdo con los del lado derecho formando un sistema de ecuaciones y luego se resuelven –6 = 3 A + 2 B, –4 = B + 2C , –2 = A + C

171

172

CAPÍTULO 5

(–2 = A + C ) –2 4 = B + 2C

−

(

0 = − 2 A + B

)

se obtiene 4 = –2 A – 2C

–2

se obtiene 0 = 4 A –2 B

0 = 4 A –2 B –2 = –6/7 + C se obtiene C = –8/7 –4

= B + 2(–8/7)

6 = 3 A + 2 B

−

se obtiene B = –12/7

se obtiene –6/7 = A

6 = 7 A

−

R( x)

=2+

6 x 2 − 4 x − 2

−

(2 x 1) (3x +

2

+

)

= 2 + (–6/7)/(2 x + 1) + (–12/7 x – 8/7)/(3 x2 + 1)

1

Ejemplo 5 Descomponga en fracciones parciales la expresión R(t )

= !/(sen 3 t + sen2 t )

Solución El grado del polinomio del numerador es igual a 0; el grado del polinomio del denominador es igual 3; por tanto, es una función racional propia, la descomposición en fracciones parciales R(t ) R(t )

= !/(sen 3 t + sen2 t ) = 1/((sen 2 t (sen t + 1))

= 1/((sen 2 t (sen t +1)) = A /sen t + B /sen2 t + C /(sen t + 1)

Aplicando mínimo común múltiplo a ambos lados de la ecuación se obtiene: 1 = A sen t (sen t + 1) + B(sen t + 1) + C (sen2 t ) 0 = A + C , 0 = A + B, 1 = B 0 = –1 + C , 0 = A + 1 1 = C , –1 = A /(sen t + 1) R (t ) = 1/((sen 2 t (sen t + 1)) = A /sen t + B /sen2 t + C = –1/sen t + 1/sen2 t + 1/(sen t + 1)

5.2 EJERCICIOS Descomponga en fracciones parciales las siguientes expresiones:

1.

x  3 x

3

x 2.

x

2

4

x 3.

x

1

3

+

−

1

16

3 8


x 4.

(

x

)(

2

− 25

)(

2

x−

)

x + 5

3

5.

1 − x

(

)(

−1

x

−3

x

)(3

x

)

−2

4 6.

(

x

)(

3

−1

2

x

)

−1

2

7.

x + 1

(

x

2

+ 4x + 4

)(

)

2

x − 1

3

x 8.

(

x

2

+ 6x + 9

)(

t 9.

(

)

4

−1

t

2

2 x 10.

(

x

2

+1

+ x −6

)( ) x

3

x 11.

(

x

+ x + 1

−2 x + 1

12. x

13.

)

2

2

(

)

2

x − 1

t + 6

(

4

t − 16

)

1 14.

(

)

2

x x + 1

2

15.

x + 2 3

x − 1

1 16.

(3

)

x + 1 x

cos t 17.

cos

2

)

x + 1

t  5 cos t  6

173

174



CAPÍTULO 5


1.

1

Dada x

3

(

2

x

+

)

1

el planteo de sus fracciones parciales se describe de la forma si-

guiente:

2.

Encuentre la descomposición en fracciones parciales de: 1

a) x

2

(

2

x

x

+

4

)

b)

Revisado:__________________________

5

−

2 x 4 + 3x 2 + 1

(

x −

2

)

2




5.3 EVALUACIÓN CAPÍTULO 5 NOMBRE: FIRMA:

FECHA:


SECCIÓN:

Completación: Escriba sobre la línea de la derecha de cada proposición la simbología que la complete y la haga correcta. 2

2

1.

( x 1) ( y 2) Dada la ecuación

2.

Dada la ecuación 4( y + 2)2 = x – 1 la gráfica corresponde a: _____________

3.

Las fracciones parciales de

+

12

−

+

8

2

(

x x +

4.

3)

=

1 el valor del centro es: _____________

son : _____________

El número de fracciones parciales que se plantean al tener

2

5.

Las asíntotas oblícuas de

( y 2) ( x 3) +

4

2

−

−

2 x + 1 son:____________ 3 x ( x + 3)

4

=

1 son: _____________

Práctico: Resuelva en forma clara y ordenada cada problema planteado. 6.

Grafique las cónicas dadas : a) ( y + 4)2 + x2 = 9

7.

Realice la descomposición en fracciones parciales de

b)

25

x x

Revisado:__________________________

x

2

2

4

+

(

y−

2)

9

2 =

1

175

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS IMPARES

Contenido

1

Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales 1.2 Funciones logarítmicas 1.3 Propiedades o leyes de los logaritmos 1.4 Funciones exponenciales y logarítmicas 1.5 Interés compuesto y otras aplicaciones Fundamentos de geometría 2.1 Términos generales de geometría 2.2 Congruencia de triángulos 2.3 Cuadriláteros 2.4 Polígonos 2.5 Áreas Sombreadas Gráficas de funciones trigonométricas 4.1 Gráficas senoidales 4.2 Gráficas de las funciones: tangente, cotangente, secante, cosecante 1.1

2

4

178

Soluciones a los ejercicios impares


y 4

Capítulo 1. Funciones exponenciales y logarítmicas

3 2 1

Sección 1.1 Funciones exponenciales – 6 – 5 –4 – 3 –2 –1 0 –1

Grafique las funciones:

1

2

3

4

5

6

x

–2

1.

f ( x) = –3– x

–3 –4

Dominio es R, rango es ( – , 0), asíntota horizontal: y = 0, I y (0, –1). 

7. f ( x) = (3)4 x+1 y

Dominio es R, rango es (0, + ), asíntota horizontal: y = 0, I y (0, 3)

4 3 2

y

1 – 6 –5

–4 –3

–2 –1 0 –1

4 1

2

3

4

5

6

x

3 2

–2

1

–3 –4

– 6 –5

–4 –3

–2 –1 0

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –3

− x

3.

f ( x) =

 1      3 

–4

Dominio es R, rango es (0, + y = 0, I y (0, 1)

), asíntota horizontal:



9. f ( x) = 52 x – 5

Dominio es R, rango es ( –5, + ), asíntota horizontal: y = –5, I y (0, –4)

y y

4

4

3

3

2

2

1

1 – 6 –5

–4 –3

–2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

x – 6 –5

–4 –3

–2 –1

0

–2

–1

–3

–2

–4

–3

1

2

3

4

5

6

x

–4

5. f ( x) = 32 x

Dominio es R, rango es (0, + ), asíntota horizontal: y = 0, I y (0, 1)

11.

f ( x) = – e–2 x

Dominio es R, rango es (–, 0), asíntota horizontal: y = 0, I y (0, –1)


y

–6 –5

– 4 –3

–2 –1

y

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

6

x

– 6 –5

–1

–4 –3

–2

2

3

4

5

x

6

–4

f ( x) = e x – 3 Dominio es R, rango es ( –3, +), asíntota horizontal: y = –3, I y (0, –2) y

Encontrar interceptos en x y y 19.

f ( x) = –3 x +27 I y (0, 26 ), I x (3, 0)

21.

f ( x) = 2 x I y (0, –1), I x (1, 0)

23.

f ( x) = 63 x –1, I y (0, 215 ), I x (3, 0)

5

–

Usar calculadora, aproxime con cuatro cifras decimales.

4

25.

52.15 = 31.8263

29.

 3  −3/ 4    = 1.2408  4 

31.

m (t ) = 13 e

3 2 1 –2 –1

1

–3

–4

–4 –3

0

–2

–3

– 6 –5

–1

–1

–2

13.

179

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

27. e–134

–0.01t

= 0.2618

a) m (0) = 13e(–0.015 x0)

= 13

kg

b) m(30) = 13e(–0.015 x30) = 8.29 kg

–2 –3

33.

p(t ) = 400 – 400e-t 399 = 400 – 400e

–t

–4

t = – ln (1/400) = 6 días 15. f ( x) = 2 –e–5 x

35.

Dominio es R, rango es ( –, 2), asíntota horizontal: y = 2, I y (0, 1)

I (t ) =

 E  1 − e − Rt   a) I R  L 

4

, R = 12, E = 10, L =

7 t = 1.88 segundos 37. f ( x) =150e–0.472 x

y

= 0.8

–0.472 x 4

f (4) = 150e

= 23

personas

39.

3

x

f ( x )

1

2

10

2.5937425

100

2.7048138

–3

1,000

2.7169239

–4

10,000

2.7181459

100,000

2.7182682

1,000,000

2.7182805

10,000,000

2.7182817

2 1

– 6 –5

–4 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2

17.

g( x) = 1 – 10 x Dominio es R, rango es ( –, 1), asíntota horizontal: y = 1, I y (0, 0)

180

41.


 r  nt S = C 1 +   , n  

y rt

S = Ce

4 3

a) S = $20,104.4,

2

S = $20,247.88

1

b) S = $32,743.12,

S = $33,383.11

c) S = $71,474.42,

– 6 –5

–4 – 3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

x

–1

S = $74,295.49

–2

1.0771 C c) .9213 C

b) 1.0946 C mas rentable

43. a)

45.

Q(t ) = 15 (1

–3 –4

–

–0.04t

)

e

a) 1.96 libras

b) 4.53 libras

5.

f ( x) = 2 –log2 x

Dominio es (0, x = 0, I x (4, 0)

y 4

+ ),

3

–6 –5

– 4 –3

–2

–1

rango es R, asíntota vertical es

y

2

4

1

3

0

1

2

3

4

5

6

x

2

–1 1

–2 –3

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

x

–1

–4

–2

c)

–3

Sección 1.2 Funciones logarítmicas

–4

Grafique: 1.

f ( x) = log3 ( x – 2)

Dominio es (2, x = 2, I x (3, 0)

+ ),

rango es R, asíntota vertical es

7. f ( x) = 5 + log

3 x Dominio es (0, + ), rango es R, asíntota vertical es x = 0, I x (3.3 x10 5, 0) –

y

y

4

4

3

3

2

2

1

– 6 –5

– 4 –3

–2

–1

0

1 1

2

3

4

5

6

x

–6 –5

– 4 –3

–2

–1

2

3

4

5

6

x

–3

–4

Dominio es (–3, + ), rango es R, asíntota vertical es x = –3, I x (2, 0)

1

–2

–3

f ( x) = log5 ( x + 3) –1

0 –1

–2

3.

–1

–4

9.

f ( x) = ln ( x + 1) + 2

Dominio es ( –1, + ), rango es R, asíntota vertical es x = –1, I x (–0.86, 0)


y

3

(

)

27.

ln 1 + 3

29.

log (3/8) = –0.4260

4

=

181

1.0051

2

31. a)

1

– 6 –5

–4 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

R = 3.22 magnitud del sismo

 R + 7.5    − 34,000  2.3 

x

b) A = 10  

–1 –2

 100 I 0     = 2  I 0 

–3

33. a)

–4

11.

f ( x) = ln (1 –3 x) Dominio es (–, 1/3), rango es R, asíntota vertical es x = 1/3, I x (0, 0)

R = log

b) R = log

 10,000 I 0     = 4 I  0 

c) R = log

 100,000 I 0     = 5 I   0

y 4 3

35. a)

2 1

b) –6 –5

– 4 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

x

–1

37.

 0.70 I 0    = 0.89,  I 0   0.45 I 0   C (0.45 I 0) = –2.50 ln   = 1.996 = 2 I  0 

C (0.70 I 0 ) = –2.50 ln 

–0.11t

T = 200 e

+

–2 –3 –4

Sección 1.3 Propiedades o leyes de los logaritmos Halle valor de los logaritmos sin calculadora:

Cambie a la forma logarítmica:

1.

log3 27 = log5 33 = 3

3 = 53 y, log5 (3) = 3 y 15. 6 = h2 x, logh 6 = 2 x 17. y = 59 log5 y = 9 13.

= 3

Cambie a la forma exponencial 19.

21.

23. 25.

log3 3

3.

log (108 107 10 3)2 = log (1012)2 –

= log10

y = log3 ( x + 2), 3 y = x + 2

2 = log(1/4) ( x – 6), y

y = ln(2– 3 x), e

 1     ,  4 

= 24

 1  2    = ( x – 6) 4  

= 2 –3 x

ln (e 2 e4) = ln e2 –

= 2

Aplicaciones de la vida real sobre funciones logarítmicas: 1. 2. 3.

Escala Richter (mide amplitud de las ondas sísmicas registradas por un sismógrafo) Escala de PH (mide la acidez de una concentración) Escala del sonido (se determina los umbrales de sonidos que son aceptables para nuestros oídos)

log 10

= 24

5.

ln e

= 2

7.

(

log 1  363−2     3 

) = log     (3 ) 4

1

 3 

= 4 log  1   3 = −4

 3   

24

182


Despeje para la incógnita dada: log H

9.

=

2, 10 4

=

Sección 1.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

H

Resuelva las ecuaciones exponenciales:

11.

log5(2 – x) = 2, x = –23

13.

logb 8 = 3,

b = 2

15.

log 5 = 4 x,

x = log5/4 = 0.17

5 x

−

1.

4

3.

8 − 2 x

5.

1 3 x

=

{}

1 → x = 0 =

C.S = 0

{}

0 x = 3

C.S = 3

= 272−3 x → x =

2

9 ± 57 2

 9 ± 57    2 

C.S = 

Simplifique y reduzca la expresión a un solo logaritmo:

17.

(4 x)2 – 26(4 x) + 25 = 0  x = 0, x = log4 25 C.S = {0, 2.32}

9.

32 x

1 1 40,000 2 4 log 5 25 − log 5 + 12 log 5 2 → log 5 2 125 1 125

19.

7.

( ) − 4 log( x / y) + log y

log xy

 y2  → log  3    x 

−3

11. 13.

21.

1

+

=

5 x − 5 → x =

5 ln 5 − ln 3

−

C.S =

2 ln 3 − ln 5

49log7 x = 36  x = 6

{

}

15.56

−

C.S = {6}

x2 10 x – x 10 x = 2 (10 x)  x = –1, x = 2

C.S = {–1, 2}

8 log2 2 – 2log2 16 + 4 log 2 5 – log3 9 15.

 25  625 → log2   → log2  4  2  2

4 + 34 x

=

8 → x =

ln 4

=

4ln3

{

0.32

C.S = 0.32

}

Resuelva las ecuaciones logarítmicas: 17.

log x = log 3 + log 5  x = 15,

19.

log3 x

21.

log2 (4)2 x– log2 2 x = 4  x = 4/3

23.

y log y

C.S = {15}

Convierta un logaritmo en sumas, restas y factores:

23.

25.

27.

29.

2/3 1/3    3 x (2 x − 1)  ln   → 2 / 3ln 3 + 2 / 3ln x + 2 / 9ln 2  (5 − x )    (2 x − 1) − 4 / 3ln (5 − x)

 1/5   (s3 − 1)  1  → log (s3 − 1) − 2 log (s + 4 ) log  2   3  (s + 4 ) 3  5   ln

( 4 y

2

−

)

1

→ 1

2

(

)

=

log3 x − 1 → x = 9

100,000 y

C.S = {9}

y = 10 5, y = 10

10 M =

I S

→

S =

I

10 M

C.S = {10 5 , 10}

−

→

4

27.

¿Para qué valor de x se cumple que log ( x + 3) = log x + log 3? Explique.

x



=

3

e2

2 – ln (3 – x ) {–4.39}

=

0

−

25.

–

= –4.39

Despeje para x en log2 (log3 x) = 4  x = 316 C.S = {16}

ln3 ln6 ln12 ln24

31.

log3 (2 x + 3) = 4 – log3 ( x + 6)  x = 3

ln 2 ln3 ln6 ln12 ln24

33.

Simplifique: a) eln x + ln e x + ln 1

b) I = S 10 M

C.S

=

Para x = 3/2 haga la demostración

C.S = {3}

b) log 102

+

log

1,000 –5

ln 2 31. a)

C.S = {4/3}

29.

ln 4 y 2 − 1

log2 3 x log 3 6 x log 6 12 x log12 24 →

=

=

X + x + 0

2 + 3 –5

2 x

0


c) Si ln y = x2 + 2, despeje y 2

e x

+ 2

= y

183

Capítulo 2. Fundamentos de geometría Sección 2.1 Términos generales de geometría 1. a) superficie

b) superficie c) recta d) recta e) punto

Sección 1.5 Interés compuesto y otras aplicaciones Resuelva:

 S    C   t = datos: S = 48,000, C = 35,000 n = 6  r  bimestres, r = 0.085  t = 3.74 años n log 1 +    n  log 

1.

3.

 S  log    C   datos: S = 2C , C = 9,300, n t =  r  días  t = 11 años n log 1 +    n 

5. N (t )

−

7. y

=

2

(

si y ± y 2 − 1

9. t =

(

despeje para x ln y ± y 2 − 1

ln 2 r

)

)

=

= 365

15. A

0.06

=

x

>0

11.55, t =

ln 2 0.07

=

9.90, t =

ln 2 0.08

=

1.

3.

7.

t =

−0.024

t = 23.3 meses

a)



12 

3

a) x =

b) h)

7 36 

4

45

i)



8

4 9

d)

5 6

e)

10  9

f)



2



6

b) x =

2

Si r = 1 a)

c)

u 2 b)

350 23 5 14

c) x =

u 2 c)

11 18

216 11 u 2 d)

d) x =

3 8

360 13

u 2 e)

64  72

u2

1.

Demostrar: Primero demostrar que  BCE  CBD luego por propiedades de triangulo Isosceles  ABC es isosceles

3.

Demostrar:  AED   BFE  CDF , luego por correspondencia de traingulos congruentes los angulos del triangulo ABC son congruentes y por tanto  ABC es isósceles

5.

Demostrar:  ACD   BCD luego demostrar que AE  EB y que estos segmentos corresponden a la altura de los triángulos ACD y BC ; por tanto AB es perpendicular a CD

7.

Demostrar:  ADB  CEB Luego por correspondencia de triángulos los angulos en A y C son correspondientes. Por tanto  AFC es isósceles

9.

Si DC  AB entonces DB  AC . Por tanto el punto E biseca a los segmentos AC y DB. Y Por LLL los triángulos AEB y DEC son congruentes.

8.66

= 20 – 14e–0.024t ¿después de cuántos meses puede saltar 12 pies?

 4     7 

–3

Sección 2.2 Congruencia de triángulos

11. P(t )

ln 

= 13; B = 3

17. N =

, determine el tiempo requerido para duplicar

ln 2

17

g)

la inversión en 6%, 7% y 8%.

t=

9.

Sección 2.1.2 Ángulos

= N0 e0.368t, si t = 10 horas entonces N (10 ) = 15, 859 bacterias. Si t = 16 horas entonces N (16) = 144, 273 bacterias. Si t = 24 horas entonces N (24) = 2,739,989 bacterias.

e x + e x

3. AC , AE , CG, GH , HF , FE , CD, DB, AB, BF

Dado que entonces GDC es isósceles entonces  E   D son congruentes al igual que los segmentos GC y DC y por LAL CFG  CED

11. a)

184


b) Demostrar: CFE es isósceles Luego FA  EB, los Angulos en F y E son congruentes por el inciso a) y por LAL  AEF   BFE . c) Dado que GDC es isósceles y que FA  EB, entonces por LAL  AEC   BFC 13.

7.98m

15.

91.82m

19. x

= 4 y =

34 = 2(2 x – 1) + 2 (3 x – 2 ) al resolver x = 4 unidades AB = 10 unidades y BC = 7 unidades. 7. ABCD es trapecio isósceles con ángulo A

ángulo B = 120° –

   1  Se plantea 2  1 x + 30°   2 120 x  = 360° + ° −   5   2   

7 2

Se obtiene x = 100° donde ángulo A y ángulo D = 80°, ángulo B y ángulo C = 100°

Sección 2.3 Cuadriláteros 2.

Afirmaciones a) Sea  ABCD un paralelogramo b)

A-M-ByD-P–C

c)

Se traza AP y MC en el

 ABCD

razones

9.

dato dato 11.

conjunto auxiliar

Para cercar se necesitan 2(5 km ) + 2(3 km) + 2(4 km) + 2 km = 26 km

definición paralelo gramo y paso a)

Sección 2.4 Polígonos

e) DP = PC = AM = MB

definición de punto medio de segmentos y paso b) semejanza de trián gulos LLL, paso c) partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes, pasos d), e) y f) definición de áreas iguales de triángulos, paso g)

Número de lados se reduce a 4, número de diagonales se reduce a 46 a) Polígono regular: Número de lados se reduce a 4, número de diagonales se reduce a 46 n( n 3) n 4 46 2

g)  ADP  CBM

h)

a  ADP = a CBM

a  ADP + a  APCM = a CBM + a  APCM propiedad aditiva de áreas y paso h) simplificación de j) a  ADCM = a  APCB áreas y paso i) ( L.Q.Q.D )* Área del cuadrado de la fotografía = Área del borde de la hoja de 20 cm (20 – 2 x) (20 – 2 x) = 2(20 x) + 2 ( x (20 – 2 x)) Con x = 2.93 cm las dimensiones del cuadrado de la fotografía es de 14.14 cm cada lado

Polígono regular:

−

−

ABCD es

paralelogramo, AB = 3 x – 2, BC = 2 x – 1 perímetro es de 34 unidades

=

−

n = –7 y n = 12

c)

i)

5.

El  ABCD es un trapecio rectángulo tiene dos ángulos consecutivos < A = 90° y < B = 90° y  MNPQ es un romboide tiene dos ángulos rectos no consecutivos o alternados que son < M = 90° y
d) DC y MC son paralelos, AD y BC son paralelos

f) MC  AP

3.

1 x A  B 5

1 2

= x + 30° ,

se toma n = 12 entonces la medida de sus ángulos exteriores es 360° = 30° se toma la op12 ción III Número de lados se reduce a 3 , número de diagonales n( n − 3) − ( n + 3) se reduce a n + 3 n − 3 = 2 Al resolver para n se obtiene n = 0 ó n = 7 se toma n = 7

*( L.Q.Q.D ) significa Lo Que Queremos Demostrar.

e)

Número de lados se aumenta a 1, ¿qué sucede con el número de diagonales? Si es n + 1 entonces el número de diagonales se deter( n + 1)(n − 2) (n + 1)(n + 1 − 3) mina por se simplifica 2 2

g)

Se forman ángulos suplementarios y a la vez par lineal uno es de 120° y el suplemento de 60°, otro de 120° y su suplemento de 60°


A

180°(5 − 2)

i) Cada ángulo interno mide 108°

185

= 108° 5 como  = 72° y es isósceles entonces  = 36°, puede comprobar a colocar el valor de cada ángulo interior de 108° e ir comparando lo que haga falta.

F

D

Sección 2.5 Áreas Sombreadas C

6 cm

B

6 cm

E

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

2 π r

A1

=

π =

(3)2

2

A3

A7

2 π r

2

π =

(3)2

2

=

2

A5

=l −

A6

= l2 − A8

=

2 2 π r

2

6 cm

cm

9 π 2

2 π r

2

Asombreada =

3.

=

9 π

2

=

=

2   5 25π 2 2 2 A1 = π r = π   m = m  2  4     5 3    5   2    2   − π r m 2 A2 =   2   2  

2

A2

2 π r =

=

2

cm 2 A4

π

(3)2

=

2

2 π r =

π =

2

(3)2 2

9π 2

=

9 π 2

cm 2

cm 2

 π (3)2  2  9π  2   cm =  36 − = 36 −  cm  2  2     π (3)2  2  9π  2  = 36 −  cm  cm = 36 − 2  2    

  5  2       25 3 π  2   25  2   A2 = m =  ( 2 −  4 2   8      25π 2  25 Asombreada = A1 + A2 = m =  ( 2 4  8 25 = (π + 2 3 ) m 2

3 − π

 2 )   m

8

Asombreada =

A6

20.64 m 2

A

 9π 2   9π  2 4 A1 + 4 A5 = 4  cm   + 4 36 − 2   cm 2     2 = 144 cm

El  ABC es equilátero y AE = tos medios

 2 3 − π )  m 

5 3 2

m F , E y D pun-

5 3 l

5 3

2

2

E

l

B

2

   2  l  = = l 2 −       2  

5 3 2

=

3 2

 3 2   l   = 4  

l

  →

3 2

l

5 m =1

cada lado del triángulo equilátero mide 5 m

186

5.


=  r1 2 –  r2 2 = ( (6)2 –  (3)2) cm2 = 27  cm 2

Asombreada

10.

7.

1 cm

3 cm

3 cm

3 cm

= bh = 3 cm × 1 cm = 3 cm 2

A1

A2

bh =

2

=

(3 cm × 4 cm) 2 = 6 cm 2

m — Si la diagonal es de 52 cm se forman dos triángulos rectángulos isósceles de Pitágoras se — 2 m 2por teorema 2 obtiene (52 cm) = m + m 50 cm2 = 2m2 25 cm2 = m2 5 = m Asombreada = bh = 5 m × 5 m = 25 m2

= A1 + A2 = 3 cm2 + 6 cm2 = 9 cm2

Asombreada 9.

13.

El  ABC es equilátero y a

 ABC =

 MPN

15 m2 halle a

A

L 6 cm

P

M

B

N L 6 cm C

 π 32 3 x3  2  9π 9  2 Cada lado es k con fórmula de Herón el semiperímetro es cm =  −  cm − =  −  A1 = A2 =   4 2  4 2   4 2  k + k + k 3k = y hay seis áreas más iguales S = 2 2 Se suman las ocho áreas Asombreada =  3k k k k  3 2 3 2 2  ABC =   = k a k entonces 15 m   9π 9  2 2 2 2 2 4 4   8 =  −  cm = (18 π − 36) cm 2 = 20.55 cm 2  al despejar para k = 5.89 m para encontrar el a  MPN se  4 2  toma como referencia πr

2

bh

=


N

significa que BC = 3 2

c

2



c

11.

BC = BN + NC C

c

M

/2 BC = 3C 2 ( BC ) /3 = C , 2(5.89)/3 = C 3.93 m = C ,

13.

15.

17.

B

c

 −π  180°   = − 36° 5  π   180°   3π   = 540° π   2π  180°     = 72° 5  π   180°  π   π   = 180°  

19.

r=

21.

r=

2

semiperímetro es = rón se obtiene: a  MPN | =

 3c   2

c+c+c =

2

   = 2 

c c c

22

3c /2 y con fórmula de He-

3 4

c

2

=

3 4

(3.93 m) 2

=

6.62 m2 = Asombreada

15. Asombreada

 11  2  1  2 π  16   π  2   2 2 2 π r1 π r 2 π r 3     + − = + 2

 π   −  Asombreada

2

2 185   16  

2

2

2



= 0 m2

3.

5.

7.

9.

 π   =  180°  12  π  4 π  80°   =  180°  9  π  10 π  200°   = 9 180 °    π  π  60°   =  180°  3  π  π  30°   =  180°  6

15° 

8m =

7

1.14 m

 5π   s = r α = 19 cm   = 33.16 m  9 

25.

r = 40° r ángulo de referencia

27.

r = 28°  = 5 cm r = 1.43 m

31.

Sección 3.2 Razones trigonométricas fundamentales para triángulos rectángulos con aplicaciones 1.

Capítulo 3. Funciones trigonométricas y trigonometría analítica 1.

= 24.55 m  7π      36 

2

m2

Sección 3.1 Ángulos sus medidas

15 m

23.

29.

187

(52

−

32 )

tan α

3.

π

 2 4 − 

=

=

3 4

2

7

sen α

3 5

, cot α

, cos α

=

=

4 5

, sec α

4 3

, tan α =

2 2

3 7

d) tan (– 405°) =

2

2 2 2 2

= −

1

4 4

, cot α =

3

,

−

5 4

, csc α

=

5 3

3

valor exacto: a) sen 420° = c) sen 405° =

=

4

 3  = 3, sen α = , cos α =  4

csc α =

5.

=

, sec α =

4

,

7

7 4

, b) cos 405° =

3 2

,

,

188

7.


2.5 cos θ = , 4

13. h = 10.39

 2.5  θ = cos   4   = 51.32°   −1

2.5 tan 51.32° = h

m

15.

La distancia de A a B es 8.06 km

17.

La distancia entre Alberto y Camilo es de 35.94 m

3.12 m = h 9.

21 tan 64° = h, h = 43.06 pies

11.

apotema a

(52 2.52 )

=

−

=

10 × 5 = 50 unidades

Sección 3.4 Ley de Cosenos

5 3 , perímetro p = n l = 2

5 3  125 3  = Área A = ½ pa = ½ (50) unidades 2  cuadradas  2 25

= (40 2 − 252 ) = 975 = 5 39, cos α = , 40   25 −1 α = cos   40   = 51.32°  

15. h

1.  = 38.21°,  = 120° 3.

Lado AB = 8. 27

5.

Lado c = 17.78 m, el perímetro es 43.78 m

7.

ángulos: < ACB = 150°, < BCD = 30°, < DBC = 60°, Lados: G = 230.94 m, H = 337.61 m, F = 117.25 m y E = 115.47 m

9. a = 519.62

m, b = 150 m,  = 259.81 m,  = 300 m

11. b = 628.37

m, a = d = 314.19 m, e = 444. 33 m 70°

5 cos α = , 7

α

B

 5  = cos−1    = 44.42°, ángulo × es 45.58°  7 

751 m

40 110

?

376 m

12. ?

A

19. a = 16.36, b = 6.69 21.

C

200 m

 = 51.32°, Ángulo C = 77.36° 17.

y  = 21.79°

D

30°

257.22 m

705.71 m

A las 4:30 hay 45°

20°

A las 10:20 hay 170° 170˚

14. c = 273.66

m y d = 157.92 m

Sección 3.5 Identidades Trigonométricas 1. 45˚

cos  tan  = cos 

1.  = 20°,  = 80° y c = 7, y  = 80°

5.

resultados:

b = 2.43, a = 7

cos  sen 

= sen 

No hay triángulo y a = 101.29

Solución dos triángulos: a)  1 = 77.55°,  1 = 49.12° y b1 = 108.4 ángulo A = 62°

cos 

sen  cot  = cos  sen  cot  = sen 

b)  2 = 102.45°,  2 = 24.22° y b2 = 58.82 11.

3.

y a = 584

7.  = 86.26°,  = 50.01° 9.

sen 

= sen 

Sección 3.3 Ley de Senos

3. b = 474,  = 70°

cos  tan  = sen 

c

= 21.75

y

a

= 19.79

5.

csc  − sen  = cot  cos  csc  − sen  =

=

1 − sen  sen  1 − sen 2 α sen α


=

cos

2

tan



α

1 + tan

sen 

=

2

2

= α

=

sen 

sec

2

α

sen 

(sen  + cos )2 + (sen  − cos )2 = 2

=

cos  1 cos 

= sen2 + 2 sen  cos  + cos2 + sen2 − 2 sen  cos  + cos2 = 2 sen2 + 2 cos2

= sen  15.

= 2(sen2 + cos2)

cot4 + cot2 = csc4 − csc2 cot4 + cot2 = cot2 (cot2 + 1)

= 2

= (csc2 − 1)csc2

sen α

= csc4 − csc2

1 + cos α +

=

1 + cos α

sen α

sen α

1 + cos α +

2 csc α 17.

sen

2 α +

(1 + cos α )

sen2 + sen2 tan2 = tan2 sen2 + sen2 tan2 = sen2 (1 + tan2 )

2

=

1 + cos α

sen α

= sen2 sec2

(1 + cos α )sen α

=

sen

2 α +

1 + 2 cos α + cos

2

=

2 + 2 cos α

cos

19.

2(1 + cos α ) (1 + cos α )sen α = sen  =

= 2 cos2

cos α sen

2 α +

sen α cos

2

α

1

= sec  csc 

cos4 − sen4 + 1 = 2 cos2

= cos2 − (1 − cos 2 ) + 1

cos α +

cos  sen 

= 2 csc

= (cos2 − sen2) + 1

sen α

cos α sen α

2

cos4 − sen4 + 1 = (cos2 − sen2)(cos2 + sen2) + 1



tan  + cot  = sec  csc  tan  + cot  =

=

2

= tan2

(1 + cos α )sen α

=

1

= sen2

α

(1 + cos α )sen α

11.

α

sec 

(sen  + cos )2 + (sen  − cos )2 =

9.

2

tan 

cos  cos 

= cot  cos  7.

tan

21.

2cos4 − sen4 − 2cos2 = −1 cos4 − sen4 − 2cos2 = (cos2 − sen2 )(cos2 + sen2 ) − 2cos2 = (cos2 − sen2 ) − 2cos2 = (−cos2 − sen2 )

13.

tan

189

2

α

1 + tan α

=

sen α

= −(cos2 + sen2 ) = −1

190

23.


cot  +

sen α

= csc 

1 − cos a

1 + cos α cot α +

m) sen (a /2) =

sen α 1 + cos α

cos α =

2

sen α +

sen α

2

1 + cos α

2

cos α (1 + cos α ) + sen

= =

2

1 + cos a

(1 + cos α )sen α n) cos (a /2) =

2

cos α + cos2 α + sen 2α =

2

(1 + cos α )sen α

2

= =

cos α + 1

49 50

=

7 5 2

7 2 10

2 α

=

 −24     25  =

1 − 

2

1 50

=

1 5 2

2 10

7 2

=

(1 + cos α )sen α

ñ) tan (a /2) =

sen(a /2)

1

=

 −24    25   =

1 − 

=

cos( a /2)

10

=

7

2 10

sen  = csc 

3.

simplificar sen a sen(b – c) – sen b sen(a – c) + sen c sen(a – b) =

25.

sen2 cos2 + cos4 = cos2

1

cos 2  cos 

sen2 cos2 + cos4 = cos2 (cos2 + sen2 ) 2

= cos 

1.

sen a =

cos a =

24



25

25

sen b =

12



13

1

1 + cos 2

Sección 3.6 Fórmulas para suma, diferencia, ángulo doble y ángulo medio 7

(a − (b − c)) − cos(a + b − c) − 2 (b − (a − c)) − cos (ba − c) 

cos b =

5



5.

13

(c − (a − b)) − cos(c + a − b)

= 0

Demuestre sen (a + b) sen (a – b) = sen2a – sen2b = cos2a – cos2a sen (a + b) sen (a – b) =

253

a) sen (a + b) =

c) tan (a + b)

=

325

b) cos (a + b) =

204

(sen  cos  + cos  sen )(sen  cos  – cos  sen )

325

 cos )2 – (sen  cos ) (cos  sen ) + (sen  cos )(cos  sen ) − (sen  cos )2

= (sen

253 204

d) sen (a – b) =

f) tan (a – b) =

323



325

= (sen

e) cos (a – b) =

= cos

36

 cos )2 – (sen b cos a)2

2

 sen2 – cos2 sen2 2

= (1 – sen

325

323



36

= sen

2

= sen

2

) sen2 – (1 – sen2) sen2

 – sen2 sen2 – sen2 + sen2 sen2  – sen2 2

= (1 – cos

g) sen 2a =

336



625

h) cos 2a =

527

i) tan 2a =

625

j) cot(a + b) = 1/tan (a + b) = 204/253 k) sec (a – b)

= 1/cos

( a – b) = 325/36

l) csc (a + b) = 1/sen (a + b) = 325/253

336



= 1 – cos

527

2

) – (1 – cos2b)

2

 – 1 + cos2b

= cos b – cos

7.

2



Exprese sen 3a en términos de sen a sen 3a = sen (a + 2a) = sen a cos 2a + cos a sen 2a sen2a) + cos  (2 sen  cos )

= sen a (1 – 2

= sen a – 2

sen3a + 2 sen a cos2


sen3a + 2 sen a (1 – sen2a)

= sen a – 2

= sen a – 2

sen

3

a

+ 2

15.

Comprueba si son ciertas o no las siguientes igualdades: a)

sen a – 2

9.

11.

cot a + tan a

sen a cos a =

cot a − tan a

1 sen 2 a (1 2sen 2 a) 



sen 2a

sen 2a

=

1 + 2 cos2 a − 1 = tan a

cos a

b)

cos a + tan a cos a − tan a

=

=

cos a − tan a

2

=

(cos a − sen a) = − (cos a + sen a ) −

cos a =

a) sen4 – sen2 = cos4 – cos2 2

=

2

sen  – sen  = sen (sen  – 1) 2 2 = sen  (–1(1 – sen )) 2 2 = (1 – cos )(– cos ) 4 2 = cos  – cos  c)

−

sen 2α

tan a

=

cos a

tan 2a

−

tan a

sen 2a cos 2a

cos a sen a cos a

=

1 tan 2α

sen 2a cos a

sen α cos α =

cos2 α − sen 2α sen α

×

cos2 α 1

1−

sen2α

cos2 α tan α

=

1 − tan 2 α

cos 2a sen a

tan a =

sen(2a

cos2 α

−

)

a

cos 2 a cos a tan a

cos α =

−

cos 2 a cos a

1 cos2 α − sen 2α

sen a −

−

sen α cos α

es cierta

=

tan α

⋅

cos2 α

sen a cos a sen a

tan2 x – tan2 x sen2 x = tan2 x (1 – sen2 x ) 2 2 = tan x cos x 2 = sen x sen α cos α

sen a cos 2 a + sen a

= cot a + sec a

b) tan2 x – tan2 x · sen2 x = sen2 x

c)

cos a sen a cos a cos a + sen a

(cos a − sen a)(cos a + sen a)

2

es cierta

cos a =

Demuestra que: 4

2a

cot a + sec a

cos a + tan a

cos a = 2 cos a

sen a − cos a

cos 2a

cos2 a + sen a

1 + 2 cos2 a − 1

cos2 a − sen 2 a

cos2 a − sen 2 a 1

= sec

sen a 2 cos a

1 + cos 2a

d)

=

2 sen a cos a

=

c)

=

2 sen a cos a

=

sen a

cos 2 a − sen 2 a sen a cos a cos2 a + sen 2 a

1 + cos 2a

b)

sec 2a cos 2 a + sen 2 a

Simplifique: a)

13.

=

sen a – 4 sen3a

Exprese sen 4a en términos de sen a sen 4a = 4 sen a

cot a + tan a cot a − tan a

sen3a = 3

191

sen a =

cos 2 a cos a tan a =

sec 2 a tan a = cos

2a

es cierta

192

17.


Demuestre que si A + B = x, entonces: (sen A + sen B) ⋅ (cos A − cos B) =−

sen 2 B

2

C = 180° – ( A + B)

cos( A − B) − cos C cos( A − B) − (180° − ( A + B)) =

2cos A

=

(sen A + sen B)(cos A − cos B) sen 2 B (sen A + sen (π − A))(cos A − cos (π − A)) =

2sen A cos

−

1 − (cos2 a − sen 2 a) =

1 + cos 2a

=

b)

sen 2a

d) sen (60°

2

2

a − sen a

1 + cos 2 a − sen 2 a 2sen 2 a 2cos 2 a

x = sen–1

 1     =  2 



6

ó 150° 6 solución general

cos a + cos b

 3     cos x 2  

=

6

 π

 − α   sen(π + α ) sen α (−sen α ) 2   = 2 cos − α ) (− cos α )2 2

= – tan 

Sabiendo que A + B + C = 180°, demuestra que:

2cos A

cos C

2

)

k es

+ 2 k,

entero y

k es

entero

3

=

–1

 3     = 60° 2  

I cuadrante

2 x + 30° = 60° 2 x = 30° X = 15° 2 x + 30° = 120° II cuadrante 2 x = 90° X = 45° Solución general es: 2 x + 30° = 60° + 360° k , k es entero 2 x + 30° = 120° + 360° k , I es entero

b – cos a

cos 

+ 30°

2 x + 30° = sen

cos a + cos b

= cos



+ 2 k ,

sus soluciones en una rota2 ción están en I y II cuadrante.

cos a + cos b (cos b − cos a)(cos b + cos a)

=

B)

b) sen (2 x

cos2 b − cos 2 a

sen(a + b) sen(a − b)



6

3 cos x

=



X =

X =

+ x) + sen

= 2

cos( A

ó 30° I cuadrante y II cuadran-

5

te X =

2 sen a cos a

(60°– x) = sen 60°cos x + cos 60° sen x + sen 60°cos x – cos 60° sen x = 2 sen 60°cos x

21.

sus soluciones en una rotación están en I y II cuadrante

2 sen a cos a

=

h)

2cos A

=

2 sen a

f)

2 cos A cos B

sen x = ½

1 + (cos 2 a − sen 2 a) 1 − cos

=

2cos A

Sección 3.7 Ecuaciones trigonométricas

A

1. a)

1 − cos 2a

2cos A cos A cos B + sen A sen B + cos( A + B)

= cos B

= –2

19. a)

=

sen(2 x(π − A)) (2sen A)(2 cos A)

=

cos 180° = –1, sen 180° = 0

c) cos ( x –  ) = 1⁄2

Las soluciones en una rotación es I y IV cuadrantes X –  = cos–1(1⁄2) = X =



=  =

5 3

, x =

3

en I cuadrante

3

3 X –  =

4 



5 3

=

8 3

en el IV cuadrante


X –  =

Solución general:

X –  =



3 5

+ 2 k,

3

k es entero

+ 2 k,



tan (2 x +

2 x + = tan 2 x +

π

3

4 

3

Capítulo 4. Gráficas de funciones trigonométricas Sección 4.1 Gráficas senoidales

π

en I cuadrante

=

3

1. a) f ( x) = cos

( x – 60°)

π =

3 2 x = 0 x = 0 2 x +

–1

X = 240° o

, 3 Solución general: X = 120° + 360° k , k es entero X = 240° + 360° k , k es entero

k es entero

) = 3 sus soluciones en una rotación 3 están en el I y III cuadrantes

3. a)

2

X = 120° o

193

3

π

y 1.0 0.5

4 π

en el III cuadrante 3 3 π π Solución general 2 x + = +  k , k es entero 3 3 d) sen x + cos2 x = 1 sen x + (1 – sen2 x) = 1 sen x – sen2 x = 0 –sen x (sen x – 1) = 0 =

–6

–4

–2

=

–sen x =

2

6

( x de –6.5 a 6.5)

–0.5 –1.0

c) f ( x) = 3 sen ( x – 60°)



0 sen x = 1, x =

4

x

3

2

y

2

x = 0 y en 

1

Solución general: x = 0 +  k, con k es entero y 

x =

2

+ 2 k,

–6

–4

–2

2

–1

con k es entero

4

6

x

( x de –6.5 a 6.5)

x

( x de –6.5 a 6.5)

–2 –3

g) sec x + tan x = 0

sec x + tan x =

1

sen x +

cos X cos X

=

e) f ( x) = 2/3 sen ( x – 45°)

0

y 0.6

1 + sen x cos x

=

x = sen–1 =

0 ,

1 + sen x = 0

0.4 0.2

sen x = –1

−π

–6

–2

–0.2

 x  2   6 cos   + cos x = 1  2   1 + cos x   6   2  + cos x = 1   3 + 3 cos x + cos x = 1 4 cos x + 2 = 0 x = cos–1(–1⁄2) soluciones en II y III cuadrante

2

4

6

–0.4 –0.6

en una rotación el valor encontrado

2 no satisface la ecuación c.s = { } h)

–4

–0.8

g) f ( x) = cos (3 x – 90°) – 2 y

–

2 3

–





2

3 –1.0

3

3

–1.5 –2.0 –2.5 –3.0

x

( x de –2.2 a 2.2)

194


i)

q) f ( x)

 π  f ( x ) = cos  7 x +   + 3 / 5 6  

= –2 + sen

x 4 

y –0.4

y

–0.2

0.2

x

0.4

–1.0

1.5

–1.5

( x de –0.5 a 0.5)

–2.0

1.0 ( x de –0.9 a 0.9)

–2.5

0.5 –3.0

x –0.5

0.5

A = |2|, P = 2, Desplaz. de fase = 0 d) A = |5|, P = 4, Desplaz. de fase = 0

2. a)



   4 

π

k) f ( x ) = 3 sen  2 x + 



3.

y 3

–1–1

3cos

b) h(0)

π

10

t

3, h(5) = 0, h(10) = –3, h(15) = 0

1 –2

=

a) periodo es 20

2

–3

h(t)

1

2

x

3

( x de –3.3 a 3.3)

=

c)

–2

y –3

3 2

m)

 x π  f ( x ) = 3 sen  −    2 3 

1 –20

–10

–1

10

t

20

(t de –20.8 a 20.8)

–2

y 3

–3

2 1 x

–10

–5

5

( x de –13.1 a 13.1)

10

5.

–1

I (t ) = 10 cos

  π 120π +   3  

–2

a) periodo es 1/60, desplazamiento de fase es –1/360

–3

b) gráfica o) f ( x) = ½ cos ( x) y y

10

0.4

5

0.2

–2

–1

1

2

x

t

( x de –2.1 a 2.1)

–0.015–0.010 –0.005

–0.2

–5

–0.4

–10

0.005 0.010 0.015

(t de –0.02 a 0.02)


7.

V(t ) 120 sen (20 t ) a) periodo es 1/10, desplazamiento de fase es 0 b) gráfica

g) periodo es 2, amplitud es 2/3 desplazamiento de

=



fase es

4

gráfica y

y

4

100

2

50 –0.10

195

–0.05

0.05

0.10

t

(t de –0.1 a 0.1)

( x de –6.5 a 6.5)

x

–6

–4

–2

2

4

6

–2

–50

–4 –100

i) periodo es 2/7, desplazamiento de fase es

fica

Sección 4.2 Gráficas de las funciones: tangente, cotangente, secante, cosecante

−π 42

grá-

y

1. a)

periodo es 2, amplitud es  2 desplazamiento de

8

–

fase es



6

gráfica

4

3

2 y

–0.5

15

–4 –6

5 –4

–2

0.5

–2

10

–6

( x de –0.9 a 0.9) x

2

4

x

6

( x de –6.5 a 6.5)

–5

k) periodo es , amplitud es 1 desplazamiento de

–10

fase es

–15

−π

gráfica

4

c) periodo es , desplazamiento de fase es , gráfica

y

8

y

6

6

4 4

2

2

–6

( x de –3.3 a 3.3) –

–2

x

 –

–4



–2

2

2

–2

4

x ( x de –6.5 a 6.5)

6

–4



2

–6

–4

m) periodo es , amplitud es 1 desplazamiento de

–6

fase es 0, gráfica e) periodo es , desplazamiento de fase es

2 gráfica 3

y

6

y

4

8 6

2

4 x

2

–6

–4

–2

–2 –4 –6



2

4

6

x ( x de –6.5 a 6.5)

–

2

 –

4

–2 –4 –6





4

2

( x de –1.6 a 1.6)

196


o) periodo es 4, amplitud es 2 desplazamiento de

fase es



12

Observe comportamiento de gráfica de 0 inclusive a ½ no inclusive.

, gráfica

Sección 4.3 Funciones trigonométricas inversas

y

15 10 5 –10

–5

5

–5

x

10

5

1. a)

( x de –13.1 a 13.1)

–10

5 5

i)

–15

sec x

1 es 2, 0, 2

=

–

csc x 1 es

π

=

2

,

3π

3π

−

7.

Asíntotas verticales en en x , x 2

=

2

.x

−

π

=

2

2, x

= –

π

,x

=

2 , x

= –

,x =

1.53

b) d(0.25)

=

d(0.5) no existe

3

=

c) gráfica

=

y

15 10 5

–1

–5 –10 –15

( x de –2.1 a 2.1) 1

2

x

=

3π

5

x , b) 1/

1  x 2

c)

x

, f)

2

x  1

x

2

0, x

=

–2

2

2

Asíntotas verticales en x

d(0.15 )

g)

x  1

−

5.

9. a)

e) 2

5 x

2. a)

2

j)

3 3.

5

c)

=

3. a)

0.67

5. 

19.9° o 

=

c) 1.02

0.35

=

e)

0.29

–

−π 4

TABLA DE FÓRMULAS

Contenido

Ecuación de circunferencia Ecuación de parábola Ecuación de elipse Ecuación de hipérbola Áreas de figuras planas Funciones trigonométricas Ley de senos Ley de cosenos Identidades trigonométricas Fórmulas para suma y diferencia Fórmulas para ángulo doble Fórmulas para ángulo medio

198

Tabla de fórmulas

Tabla de fórmulas Ecuación de circunferencia Ecuación de circunferencia

( x – x 0)2 + ( y – y0)2

=

r 2

Centro

Radio

( x 0, y0)

r

Ecuación de parábola Vértice

(h, k )

(h, k )

(h, k )

(h, k )

Foco

(h + a, k )

(h – a, k )

(h, k + a)

(h, k – a)

Directriz

x –a + h =

x

y

=

a + h

–a + k

=

x

=

a + k

Ecuación

Resumen

( y – k )2 4a( x – h)


( y – k )2 –4a( x – h)

Eje de simetría paralelo al eje x , cóncava hacia la izquierda

( x – h)2 4a( y – k )

Eje de simetría paralelo al eje y, cóncava hacia arriba

( x – h)2 –4a( y – k )

Eje de simetría paralelo al eje y, cóncava hacia abajo

=

=

=

=

Ecuación de elipse Centro

Eje mayor

Focos

Vértices

Ecuación

( x − h)2 (h, k )

Paralelo al eje x

(h ± c , k )

(h ± a, k )

+

2

a

a > b; c 2

( y − k )

=

b

2

2

(h, k )

Paralelo al eje y

(h, k ± c )

(h, k ± a)

b

2

1

a2 − b2

( x h) ( y k ) −

=

2

−

+

a

2

a > b; c 2 = a2 − b2

=

1

Tabla de fórmulas

Ecuación de hipérbola Centro

Eje transversal

Focos

Vértices

Ecuación

( x − h)2 (h, k )

Paralelo al eje x

(h ± c , k )

a2

(h ± a, k )

−

c2

( y − k )2 (h, k )

Paralelo al eje y

(h, k ± c )

a2

(h, k ± a)

=

−

c2

=

( y − k )2 b2


=

1

=

1

b y − k = ± ( x − h ) a

a2 + b2

( x − h )2 b2

a y − k = ± ( x − h ) b

a2 + b2

Áreas de figuras planas Cuadrado A a2

Triángulo

=

A

Bh h

=

2

a

B

Rectángulo A

h

=

B h 

Romboide A

=

h

B h 

B B Romb o

d

A

D

D d =

2

b

Trapecio A =

(B + b) h

h

2 B

Polígono regular A

=

Pa 2

a

r

A

π R2

=

A

π (R2 – r 2)

=





R

P 2 π R =

Corona circular R

Círculo





Sector circular A

π

R2 n

n°

=

360

R

199

200

Tabla de fórmulas

Funciones trigonométricas sen θ

csc θ

=

Opuesto Hipotenusa

=

Hipotenusa Opuesto

cos θ

sec θ

Adyacente

=

tan θ

Hipotenusa

=

Hipotenusa

cot θ

Adyacente

Opuesto

=

Adyacente

=

Adyacente Opuesto

Ley de senos a

sen α

b =

c

sen β

=

sen γ

Ley de cosenos = b2 + c 2 – 2bc cos  2 2 2 b = a + c – 2ac cos  2 2 c = a + b2 – 2ab cos 

a

2

Identidades trigonométricas Identidades recíprocas: senθ

=

csc θ

=

1 csc θ 1 sen θ

cos θ

=

secθ

=

1 sec θ 1 cos θ

tan θ

=

cot θ

=

1 cot θ 1 tan θ

Identidades tangentes y cotangentes: (de cociente) tan θ

sen θ =

cos θ

cot θ

cos θ =

senθ

Identidades pitagóricas: sen2  + cos2  = 1

1 + tan 2  = sec2 

1 + cot2  = csc2 

sen(–) = –sen 

cos(–) = cos 

tan(–) = –tan 

csc(–) = –csc 

sec(–) = sec 

cot(–) = –cot 

Identidades par o impar:

Tabla de fórmulas

Fórmulas para suma y diferencia Fórmulas para el coseno de una suma y diferencia: cos( +  ) = cos  cos  – sen  sen  cos( –  ) = cos  cos  + sen  sen 

Fórmulas para el seno de una suma y diferencia: sen( +  ) = sen  cos  + cos  sen  sen( –  ) = sen  cos  – cos  sen 

Fórmulas para la tangente de una suma y diferencia: tan(α + β ) =

tan(α − β ) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β tan α − tan β 1 + tan α tan β

Fórmulas para ángulo doble sen(2) = 2 sen  cos  cos(2) = cos2() – sen2() cos(2) = 1 – 2 sen 2() cos(2) = 2 cos2() – 1 tan (2θ )

2tan θ =

2

1 tan −

θ

Fórmulas para ángulo medio

sen

α

2

=±

1 − cos α 2 tan

α

2

=

cos

α

2

1 − cos α 1 + cos α

±

1 + cos α 2

201

BIBLIOGRAFÍA

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Goodman, Arthur; Hirsch, Lewis, (1996). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. 1a. ed. Prentice Hall Hispanoamericana. S.A. México. Barnett, Raymond A.; Ziegler, Michael y Byleen, Kart E. (2007). Precálculo. Funciones y gráficas. McGraw-Hill. México Edwin E. Moise y Downs, Floyd L. (1970). Geometría moderna. Edición en español (1986) Addison-Wesley Iberoamericana. México. Swokowski, Earl W. (2007). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. 11a. ed. Editorial Thompson. México. Stewart, James; Redlin, Lothar y Watson, Saleem. Precálculo. (Matemáticas para el cálculo) 5a. ed. Zill, Dennis, G. Álgebra y trigonometría. (2007) McGraw-Hill. México.

Precálculo 2da Edición Gladis Medina Escoto

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